Игры в нормальной форме. Некооперативное поведение

Игры в нормальной форме. Некооперативное поведение Лекция 4 1 Игра в нормальной форме набор объектов вида:  N  N ; X1, , Xi, , X n ; K1 , , Ki , , Kn Здесь  N – обозначение игры, N  1, , i, , n – множество игроков, X i   xi  – множество стратегий игрока Ki ( x1 , , xi , i, а , xn ) – функция выигрыша игрока i, принимающая вещественные значения. Значение функции выигрыша представляет собой выигрыш (или полезность), который получает игрок i , если игроками используются стратегии ( x1 , , xi , , xn ) . 2 Принцип оптимальности Под принципом оптимальности (или решением) s , заданным на классе (подклассе) игр N  N , X n i i 1  , K  n i i 1 в нормальной форме, понимают функцию, ставящую в соответствие каждой игре N этого класса определенное подмножество s(N ) , из множества всех XN ситуаций в игре, т.е. s( N )  X N . 3 Равновесие по Нэшу       x  ( x ,  , x , x , x Ситуация N 1 i 1 i i 1  , x n )  X N в игре N называется равновесием по Нэшу, если для каждого игрока i и любой стратегии xi  X i этого игрока выполняется неравенство Ki ( x1 , , xi1 , xi  , xi1 , xn )  Ki ( x1 , xi1 , xi , xi1 , xn ). 4 Равновесия по Нэшу K i ( x1 , , xi1 , xi  , xi1  i  i , xn )  K i ( x1 , xi1 , xi , xi1 , xn )  i Ki ( x , x )  Ki ( xi , x ) NE (N ) – множество всех ситуаций равновесия по Нэшу в игре N . 5 Парето-оптимальное решение Ситуация называется Парето), x N  ( x1 ,..., xn )  X N парето-оптимальной если не существует игре N (оптимальной по в другой ситуации xN  ( x1 ,..., xn )  X N , когда неравенство Ki ( x1 ,..., xn )  Ki ( x1 ,..., xn ) справедливо для каждого игрока i  N и хотя бы для одного игрока i0  N оно выполняется как строгое, т.е. Ki0 ( x1 ,..., xn ) Ki0 ( x1 ,..., xn ) . 6 Парето-оптимальное решение Если существует такая ситуация x N  X N , что выполнены условия: K i ( x1 , x2 ,..., xn )  K i ( x1 , x2 ,..., xn ), i  1,..., n, i0  N : K i0 ( x1 , x2 ,..., xn )  K i0 ( x1 , x2 ,..., xn ) то говорят, что ситуация x N  X N доминирует ситуацию xN  X N по Парето. 7 Сильное равновесие Если ситуация, являющаяся равновесием по Нэшу, является одновременно оптимальной по Парето, то такая ситуация называется сильным равновесием по Нэшу. 8 Примеры теоретикоигрового анализа 1. «Дилемма заключенного» С НС С  (5;5) (0;15)    НС  (15;0) (1;1)  Можно ли найти какие-то аргументы в поддержку кооперативного решения? 9 Метаигра 1 уровня «Дилемма заключённого» Nigel Howard [1971] I. (С,С) Выбрать С в любом случае. II. (С,НС) Выбрать то, что выберет противник. III. (НС,С) Выбрать альтернативу, противоположную той, что выберет противник. IV. (НС,НС) Выбрать НС в любом случае. I: C,C II: C,HC III: HC,C IV: HC,HC С (-5, -5) (-5, -5) (0, -15) (0, -15) НС (-15, 0) (-1 -1) (-15, 0) (-1, -1) 10 Метаигра 2 уровня «Дилемма заключённого» I: C,C II: C,HC III: HC,C IV: HC,HC I: C,C,C,C (-5, -5) (-5, -5) (0, -15) (0, -15) II: C,C,C,HC (-5, -5) (-5, -5) (0, -15) (-1, -1) III: C,C,HC,C (-5, -5) (-5, -5) (-15, 0) (0, -15) IV: C,C,HC,HC (-5, -5) (-15, 0) (-1, -1) V: C,HC,C,C (-5, -5) … (-5, -5) (-1, -1) (0, -15) (0, -15) VI: C,HC,C,HC (-5, -5) (-1, -1) (0, -15) (-1, -1) … … … … … XVI: HC,HC,HC,HC (-15,0) (-1, -1) (-15, 0) (-1, -1) 11 Повторяющаяся игра «Дилемма заключённого» Robert Axelrod [1984]  14 программ Anatol Rapoport «TIT FOR TAT»: 1. Начать с выбора НС 2. Каждый ход повторяет выбор противника на предыдущем шаге 12 Примеры теоретикоигрового анализа 2. «Устойчивая кооперация» НК К НК  (5;5) (15;0)    К  (0;15) (1;1)  3. «Семейный спор» Ф Т Ф  (4;1) (0;0)    Т  (0;0) (1;4)  13 Примеры теоретикоигрового анализа 4. «Услуга за услугу» Б А Б  (1;1) (0;1)    А  (1;0) (0;0)  5. «Делёж $100» 14 Примеры теоретикоигрового анализа 7. Пример А В А  (2;0) (1;1)    В  (1;1) (2;0)  8. Неэффективное сильное равновесие А В А  (3;3) (0;1)    В  (1;0) (2;2)  15