Идентификация

Идентификация. 2021 1. Моделирование. • Теория управления основана на определении и изучении трёх сущностей CS = < >. - обозначение (идентификатор) модели объекта управления – обозначение (идентификатор) цели, отражающей желаемые свойства поведения объекта, – обозначение алгоритма управления или правила достижения цели на объекте . CS – идентификатор системы управления (control system). 1.1 • В анализе, объект или система управления представляется блок схемой, например - одномерный объект, то есть «один вход – один выход • Модель объекта, устанавливающая связь входа - с выходом - , строится из моделей блоков по следующему соотношению . Двумерный объект: «два входа - два выхода » может быть представлен следующей блок схемой с моделью вида В общем случае многомерные объекты могут иметь - входов и - выходов и чаще . 1.2 Основное внимание курса связано с методами восстановления моделей объектов и систем, представленных по схеме «вход-выход» . ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В НЕПРЕРЫВНОМ ВРЕМЕНИ Оператором преобразования сигнала входа - в выходной сигнал - для линейных объектов в непрерывном времени - является передаточная функция. Наиболее простой является модель первого порядка , где будем писать вместо ранее используемых символов преобразований Фурье и Лапласа . Символ означает: - оператор дифференцирования, то есть (1) . . Например: - взятие второй производной. ВОПРОС. Какой закон связывает вход с выходом , если записано: (2) . Согласно (1) после приведения к общему знаменателю, для (2) справедлива запись: (3) ОТВЕТ. Переменная есть решение дифференциального уравнения (3) в котором - есть заданная входная функция времени - . • Решение может быть представлено аналитически в виде формулы, если представлено стандартной формулой. Например если единичный скачок, то для уравнения (3) справедливо: (4) . • Если функция задана таблицей чисел или графиком, восстановленном по данным базы первичного контроля и не имеет аналитического представления, то ток же восстанавливается в виде таблице чисел или графика на дискретной временной шкале: (5) , где - период квантования. Используя приближённое равенство , для уравнения (3) можно записать (Интегрирование диффур по явной схеме Эйлера первого порядка) (6) . Если (4) есть точное решение уравнения (3), при , то итеративная процедура (6) – есть алгоритм приближённого восстановления решения и точность приближения зависит от принятого шага . Разделив числитель и знаменатель оператора (передаточной функции) в (2) на , приходим к стандартному (знакомаму) представлению модели апериодического звена первого порядка (7) , где - постоянная времени, а - коэффициент усиления. Для нового представления рекомендуемый шаг численного интегрирования: , а период анализа переходного процесса на скачок входа: . Под численной реализацией модели понимается разработка алгоритма численного построения графика выхода по заданному описанию модели и заданному графику входа . Например, для оператора , при , алгоритм численного интегрирования по аналогии с (6) может быть представлен в виде (8) . Пусть - заданное начальное условие по выходу, а - количество итераций при моделировании, тогда численная реализация процесса (8) может быть представлена следующей инструкции НАЧАЛО Ввод / , , / Для , выполнить КОНЕЦ Здесь - функция определения входа для каждого момента времени Результаты расчёта выхода для заданной функции входа провести самостоятельно, занести в таблицу и вынесены в виде графиков на рисунок 1.3 Модель непрерывного времени второго порядка. Технику преобразований для построения численного алгоритма моделирования рассмотрим на примере передаточной функции вида , что соответствует дифференциальному уравнению второго порядка (9) . ВНИМАНИЕ. Запись преобразования: в виде так же некорректна, как вместо , писать !!! Построение по заданному графику с периодом дискретизации основано на приближённом представлении второй производной в виде . Используя приближенные представления производной для сигнала «входа» и , после подстановки в (9) получаем итеративную схему моделирования в виде . Пусть , тогда итеративная схема расчёта выхода может быть представлена выражением (10) Реализация вычислительного процесса по (10), длинною в итераций, требует знания начальных условий: и осуществляется согласно инструкции. НАЧАЛО Ввод / / Для , выполнить КОНЕЦ 1.4 ДИСКРЕТНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ По аналогии с моделями непрерывного времени дискретные модели так же вводятся блок схемами по типу «вход-выход» где - координата дискретного времени, а линейный динамический оператор (апериодическое звено первого порядка) имеет описание (11) , что соответствует разностному уравнению . Оператор определяется, как - оператор опережения на - шагов. Оператор с отрицательной степенью - есть оператор - кратного запаздывания: . Модель объекта (11) опережающего времени может быть представлена в запаздывающем времени. Для этого числитель и знаменатель оператора умножается на . Результат приобретает искомый вид Операторы: и - есть разные формы представления модели одного и того же объекта. Заметим, численная реализация непрерывной модели связана с переходом к дискретному времени с периодом квантования и построением приближённой дискретной модели (12) , где . Отсюда, любая непрерывная модель имеет дискретный (в общем случае приближённый) аналог. Обратное утверждение – неверно. Однако, можно говорить, что дискретные модели и процессы могут аппроксимироваться классом непрерывных моделей. ВНИМАНИЕ. Здесь и далее для простоты изложения используется один и тот же символ для обозначения объекта в непрерывном и дискретном времени. Но это не значит, что эти операторы равны: , если в последнем заменить на , точно так же, как не равен своему приближённому дискретному аналогу после перехода к дискретному времени с периодом и преобразованием параметров, согласно (12) в виде . ПРИМЕР вычислительной реализации расчёта выхода дискретной модели , по заданному графику входа провести самостоятельно. 1.5 Дискретная модель объекта. с оператором второго порядка (13) устанавливает связь между входом и выходом в виде разностного уравнения , что эквивалентно записи . Реализация вычислительного процесса на итерациях начинается с момента и, по аналогии с (10), требует знания начальных условий: . НАЧАЛО Ввод / / Для , выполнить КОНЕЦ 2. Идентификация. Пусть описание динамической системы имеет уже знакомый вид - для непрерывного времени: , - для дискретном времени: . 2.1 Рассмотренную ранее задачу моделирования можно сформулировать так. Дано: «график входной функции с периодом квантования , передаточная функция или . Необходимо - построить график выхода ». Новая задача идентификации формулируется «альтернативно», как обратная задача. Даны: «графики входа и выхода: , период квантования (для модели непрерывного времени). Необходимо - определить параметры передаточной функции или . Как следует из приведённых определений, идентификация – есть обратная задача по отношению к моделированию, когда ищется не процесс , а оператор или по выборке данных о входо-выходных состояниях , контролируемого объекта. Предметом анализа остаются динамические объекты, образованные линейными звеньями, общее описание которых для непрерывного времени имеет вид (14) , а для дискретного времени, (в запаздывающих разностях) вид (15) , где m