Характеристики звеньев с произвольной передаточной функцией

Лекция № 12 (7 апреля 2022) 3.5. Характеристики звеньев с произвольной передаточной функцией. Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ звена (системы) с произвольной передаточной функцией W(p) можно использовать два способа: Первый способ: W(p) разбивается на простейшие сомножители 𝑊(𝑝) = ∏ 𝑊𝑖 (𝑝) 𝑖 Здесь Wi(p) имеют вид 𝑘; 𝑝; 1 1 1 ; (𝑇𝑝 ± 1); ; 𝑇 2 𝑝2 + 2ξTp + 1; 2 2 𝑝 (𝑇𝑝 ± 1) (𝑇 𝑝 + 2ξTp + 1) Отсюда следует: ККУ звена 𝑊(𝑗𝜔) = ∏ 𝑊𝑖 (𝑗𝜔) = ∏ 𝐴𝑖 (𝜔) ∙ 𝑒 𝑗𝜑𝑖 (𝜔) = 𝐴(𝜔) ∙ 𝑒 𝑗𝜑(𝜔) , 𝑖 где 𝑖 A(ω)= ∏ Ai (ω) => 𝐿(𝜔) = 20𝑙𝑔𝐴(𝜔) = 20𝑙𝑔 ∏ 𝐴𝑖 (𝜔) = ∑ 20𝑙𝑔𝐴𝑖 (𝜔) = ∑ 𝐿𝑖 (𝜔) (1) i 𝑖 𝑖 𝑖 𝜑(𝜔) = 𝑎𝑟𝑔𝑊(𝑗𝜔) = ∑ 𝑎𝑟𝑔𝑊𝑖 (𝑗𝜔) = ∑ 𝜑(𝜔) 𝑖 (2) 𝑖 Суть первого способа: для построения ЛАЧХ (или ЛФЧХ) произвольного звена (системы) его W(p) представляется в виде произведения передаточной функции типовых динамических звеньев, затем строятся ЛАЧХ (или ЛФЧХ) этих звеньев и геометрически складываются в соответствии с формулой (1) (или (2)). 𝐾 Например, пусть имеется звено с передаточной функцией 𝑊(𝑝) = 𝑃(1+𝑝𝑇) (инерционноинтегрирующее звено; последовательное соединение интегрирующего и инерционного звеньев). 𝐾 1 1) 𝑊(𝑝) представляется в виде произведения 𝑊1 (𝑝) = 1+𝑝𝑇 и 𝑊2 (𝑝) = 𝑃 . Строятся ЛАЧХ каждого звена (в данном случае – интегрирующего и инерционного). 2) Для получения ЛАЧХ исходного звена эти ЛАЧХ складываются. L1 ( )  20 lg K  20 lg 1   2T 2 – ЛАЧХ инерционного звена L2 ( )  20 lg  – ЛАЧХ интегрирующего звена (  20 lg1  20 lg  ) 1 На рисунке желтым и фиолетовым показаны асимптотические ЛАЧХ инерционного и интегрирующего звеньев (соответственно). Результирующая асимптотическая ЛАЧХ инерционно-интегрирующего звена 𝐿(𝜔) показана зеленым – построена путем сложения ординат ас. ЛАЧХ обоих звеньев. Результирующая ЛФЧХ (черный график) построена также путем суммирования ординат ЛФЧХ обоих звеньев. Аналогично для АФХ: каждой частоты  i амплитуды (т.е. длины векторов) комплексных коэффициентов усиления интегрирующего и инерционного звеньев перемножаются, а аргументы (углы) ККУ складываются. В результате получаем АФХ инерционноинтегрирующего звена, представляющую собой, по определению, геометрическое место точек конца вектора комплексного коэффициента усиления при изменении частоты он    ): нуля до бесконечности (при 0  – АФХ инерционно-интегрирующего звена (условное изображение) 2 Можно показать, что при   0 АФХ данного звена будет стремиться к некоторой асимптоте, параллельной мнимой оси. Для этого представим ККУ инерционноинтегрирующего звена в следующем виде: W ( j )   домножим на комплексно  сопряженное число K K K (1  jT ) j j   j (1  jT )  (1  jT )  (1   2T 2 ) KT K j  P( )  jQ( ) 2 2 1  T  (1   2T 2 ) Как видно из данного выражения, P (0)   KT , т.е. реально АФХ инерционно-интегрирующего звена будет выглядеть следующим образом: Второй способ: однако для построения асимптотических ЛАЧХ можно воспользоваться более простым правилом (а ЛФЧХ построить затем по ЛАЧХ). Проиллюстрируем его на примере. Пример 1: построить асимптотическую ЛАЧХ, ЛФЧХ и АФХ. Пусть: (где ν – порядок астатизма (количество интегрирующих звеньев). Если 𝜈 = 0, то система статическая, если 𝜈>0, то система астатическая). 𝑊(𝑗𝜔) = 𝐴(𝜔) = 100(𝑗𝜔 + 1)2 (𝑗𝜔)𝜈 (10𝑗𝜔 + 1)(0,1𝑗𝜔 + 1)2 100(√1 + 𝜔 2 )2 𝜔 𝜈 √1 + (10𝜔)2 (√1 + (0,1𝜔)2 )2 Пусть 𝜈= 2. Коэффициент усиления обозначим через К (в данном примере равен 100). Построение асимптотической ЛАЧХ (второй способ): 1) Записывают общее выражение для ЛАЧХ: 𝐿(𝜔) = 20𝑙𝑔𝐾 + 40𝑙𝑔√1 + 𝜔 2 − 𝜈 ∙ 20𝑙𝑔𝜔 − 20𝑙𝑔√1 + (10𝜔)2 − 40𝑙𝑔√1 + (0,1𝜔)2 (∗) 2) Находят сопрягающие частоты (частоты, где асимптотическая ЛАЧХ меняет 1 наклон) 𝜔𝑖 = 𝑇 , которые нумеруют в порядке возрастания: ω1<ω2<… (т.к. при малых 𝑖 значениях частот наибольшее влияние оказывают звенья с наибольшей постоянной времени (𝑇1 – наибольшая постоянная времени, далее в порядке убывания идут 𝑇2 и т.д. – просто так их обозначим). 𝜔1 = 1 1 1 1 1 1 = = 0,1 (сек−1 ); 𝜔2 = = = 1 (сек−1 ); 𝜔3 = = = 10(сек−1 ) 𝑇1 10 𝑇2 1 𝑇3 0,1 3 3) Записывают выражения для отрезков асимптотической ЛАЧХ между сопрягающими частотами и определяют их наклон. При частотах, меньших сопрягающей частоты, под корнем оставляем только 1, а при больших – член с наивысшей 1 степенью 𝜔 (обоснование: при 𝜔 < 𝜔𝑖 = 𝑇 произведение 𝑇𝑖 𝜔 < 1, а значит, (𝑇𝑖 𝜔)2 ≪ 1 и 𝑖 2 слагаемым (𝑇𝑖 𝜔) под корнем √1 + (𝑇𝑖 𝜔)2 можно пренебречь). Число участков асимптотической ЛАЧХ равно количеству сомножителей в W(p) (при этом 1 произведения вида 𝑘 ∙ 𝑝𝜈 или 𝐾 ∙ 𝑝𝜈 рассматривают как один сомножитель, т.к. К не добавляет наклона асимптотической ЛАЧХ). Асимптоты строят до сопрягающей частоты, каждая последующая асимптота начинается с конца предыдущей. Этап 3) для данного примера: Как видно из выражения для передаточной функции (сомножители в W(p) обведены красным цветом и их номера подписаны римскими цифрами), у ас. ЛАЧХ будет 4 участка: 1. Рассматриваем диапазон частот 𝜔 ≤ 𝜔1 : 𝐿1 (𝜔) = 20𝑙𝑔𝐾 − 𝜈 ∙ 20𝑙𝑔𝜔 = 20𝑙𝑔100 − 𝜈 ∙ 20𝑙𝑔𝜔 = 40 − 40𝑙𝑔𝜔 (пренебрегли во всех корнях выражения (*) членами, содержащими 𝜔, оставили только единицы) – первая асимптота, которая представляет собой прямую. Эта прямая проходит через точку 𝜔 = 1 и 𝐿1 (𝜔) = 20𝑙𝑔𝐾 (в примере = 40) с наклоном −𝜈 ∙ 20 дБ/дек (в примере = -40 дБ/дек). [Если бы множитель 𝑝𝜈 был не в знаменателе, а в числителе передаточной функции, то наклон первой асимптоты был бы +𝜈 ∙ 20 дБ/дек] {Прямую, как известно, можно построить по двум точкам, либо, что здесь и делается, зная точку, через которую она проходит, и ее наклон. Точка 𝜔 = 1 берется для простоты, т.к. при 𝜔 = 1 𝑙𝑔𝜔 = 0 . В контрольной работе для простоты можно брать и другие точки: 𝜔 = 0,01 , 0,1 , 10, 100, ... – любую, кратную 10N (где N – целое число), но строится первая асимптота только до первой сопрягающей частоты включительно}. Строим 𝐿1 (𝜔) до первой сопрягающей частоты 𝜔1 = 0,1 – см. рисунок ниже. На рисунке голубыми пунктирными линиями показаны прямые с наклоном -20, -40 и -60 дБ/дек – асимптоты можно строить параллельным переносом этих прямых, но нужно знать хотя бы одну точку, через которую асимптота должна пройти. 𝐿1 (𝜔 = 1) = 20𝑙𝑔𝐾 так будет всегда, но можно посчитать 𝐿1 от любой другой частоты (например, в данной задаче удобно посчитать 𝐿1 (𝜔1 = 0,1) = 80 дБ) и построить данную асимптоту по ее наклону и известной точке. Первая асимптота строится только до первой сопрягающей частоты! 1 1 1 2 2. 𝜔1 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔2 (𝜔1 = 𝑇 , 𝜔2 = 𝑇 ): В данном диапазоне частот под корнем √1 + (𝑇1 𝜔)2 уже пренебрегают слагаемым «1», поскольку 𝑇1 𝜔 > 1; квадрат и корень сокращаем, в итоге к выражению для первой асимптоты добавится слагаемое −20𝑙𝑔10𝜔: 4 𝐿2 (𝜔) = 40 − 40𝑙𝑔𝜔−𝟐𝟎𝑙𝑔10𝜔 = 40 − 40𝑙𝑔𝜔 − 20 − 20𝑙𝑔𝜔 = 20 − 60𝑙𝑔𝜔 Эта асимптота при 𝜔 = 𝜔2 = 1 проходит через точку 20 (𝑳𝟐 (𝟏) = 𝟐𝟎), ее наклон по отношению к первой асимптоте изменяется на -20 дБ/дек и обуславливается множителем (10p+1) в знаменателе. (В контрольной работе не надо так подробно расписывать, чему будет равна 𝐿2 (𝜔2 )) – надо только написать ее выражение, понять, что к наклону «-40» первой асимптоты добавился наклон «-20» и что результирующий наклон станет «-60».) Строим вторую асимптоту, которая начинается с конца первой асимптоты и проводится до второй сопрягающей частоты (𝝎𝟐 ). 3. 𝜔2 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔3 : 𝐿3 (𝜔) = 20 − 60𝑙𝑔𝜔 + 40𝑙𝑔𝜔 = 20 − 20𝑙𝑔𝜔 𝐿2 (𝜔) за счет множителя (𝑝 + 1)2 в числителе 𝑊(𝑝) (был наклон «-60», увеличился на «+40», стал «-20») Строим третью асимптоту до частоты 𝝎𝟑 . (Легко посчитать, что 𝐿3 (𝜔3 = 10) = 0, но в контрольной работе достаточно просто провести с конца предыдущей асимптоты прямую с наклоном -20 дБ/дек). 4. 𝜔 ≥ 𝜔3 : 𝐿4 (𝜔) = 𝐿3 (𝜔) − 40𝑙𝑔0,1𝜔 (был наклон «-20», добавился «-40» - стал «-60»). Таким образом, при построении асимптотической ЛАЧХ при движении вправо на каждой сопрягающей частоте наклон асимптотической ЛАЧХ меняется на величину ±𝒍 ∙ 𝟐𝟎 дБ/дек, где l – степень множителя (𝑝𝑇 + 1)𝑙 в выражении для передаточной функции («+» – если множитель в числителе, «-» – если множитель в знаменателе). Построим ЛФЧХ и АФХ: 𝑊(𝑗𝜔) = 100(𝑗𝜔 + 1)2 (𝑗𝜔)𝜈 (10𝑗𝜔 + 1)(0,1𝑗𝜔 + 1)2 ЛФЧХ: 𝜑(𝜔) = 𝑎𝑟𝑔𝑊(𝑗𝜔) = 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝜔 − 𝜈 ∙ 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔10𝜔 − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔0,1𝜔 = 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝜔 − 𝜋 2 −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔10𝜔 − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔0,1𝜔 5 Для минимально-фазовых звеньев приближенно считают, что участку дБ асимптотической ЛАЧХ с наклоном ±𝑘 ∙ 20 (k – целое) соответствует фазовый дек 𝜋 сдвиг 𝜑(𝜔) = ±𝑘 ∙ 2 (рад. ). (было на прошлой лекции) В соответствии с данным правилом и стоим ЛФЧХ: Наклон 𝐿(𝜔), дБ/дек -40 -60 -20 -60 𝜑(𝜔), рад −𝜋 −3𝜋/2 −𝜋/2 −3𝜋/2 (В контрольной работе так и делаем, но общее выражение для 𝜑(𝜔) должно быть, иначе оценка снизится!) Построим АФХ (годограф ККУ): (по 𝐴(𝜔) и φ(ω)) 𝐴(𝜔) = 100(√1+𝜔 2 )2 𝜔 2 √1+(10𝜔)2 (√1+(0,1𝜔)2 )2 𝜑(𝜔) = 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝜔 − 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔10𝜔 − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔0,1𝜔 Сначала смотрим, откуда начнется АФХ и куда придет при изменении частоты от 0 до ∞. 𝜔 = 0: 𝜔 = ∞: 𝐴(0) = ∞ 𝐴(∞) = 0 𝜑(0) = −𝜋 𝜑(∞) = − 3𝜋 2 На плоскости 𝑊(𝑗𝜔) отмечаем пунктиром возможные начало АФХ и куда она придет. Далее строим АФХ уже согласно следующему правилу: 6 начинаем со скобки (𝑗𝜔𝑇 + 1)𝑙 из выражения 𝑊(𝑗𝜔) с большей постоянной времени (поскольку при малых частотах наибольшее значение оказывает звено с большей постоянной времени): если скобка (𝑗𝜔𝑇 + 1)𝑙 входит в знаменатель 𝑊(𝑗𝜔), то идем l квадрантов по часовой стрелке (т.к. фаза убывает, если скобка в знаменателе), если в числитель – l квадрантов против часовой стрелки (фаза увеличивается). Т.е. степень скобки определяет, сколько мы должны пройти квадрантов. Далее переходим к рассмотрению скобки со следующей по величине постоянной времени и т.д. В итоге должны прийти в намеченную точку на плоскости 𝑊(𝑗𝜔). В данном примере 𝑊(𝑗𝜔) = 100(𝑗𝜔 + 1)2 (𝑗𝜔)𝜈 (10𝑗𝜔 + 1)(0,1𝑗𝜔 + 1)2 ККУ содержит три скобки вида (𝒋𝝎𝑻 + 𝟏)𝒍 (на множитель (𝑗𝜔)𝜈 внимания не обращаем 𝜋 – он уже внес свой вклад в построение АФХ тем, что она начнется из −𝜈 ∙ 2 (будь он в 𝜋 числителе – началась бы из +𝜈 ∙ 2 )). Поскольку скобка с большей постоянной времени (𝑇1 = 10) находится в знаменателе, то АФХ пойдет из начальной точки по часовой стрелке, но в следующий квадрант не перейдет, т.к. скобка (10𝑗𝜔 + 1) стоит в первой степени (т.е. идем 1 квадрант). (Можно рисовать не прямо до оси, а более схематично – «немного вверх», а если говорить строго, то насколько «вверх» зависит от соотношения постоянных времени 𝑇1 и 𝑇2 ) Далее рассматривается скобка со следующей по величине постоянной времени – (𝑗𝜔 + 1)2. Т.к. она в числителе и в квадрате, то разворачиваемся и рисуем далее АФХ в направлении против часовой стрелки два квадранта (поскольку скобка во 2-й степени). И наконец, последняя скобка – (0,1𝑗𝜔 + 1)2 . Т.к. она в знаменателе, то снова разворачиваемся и рисуем АФХ в направлении по часовой стрелке, тоже два квадранта. Конец примера 1. 7