Групповые решения

Лекция Групповые решения Элементы формальной теории групповых решений Проблема коллективного выбора — одна из наиболее интересных в теории принятия решения, и ценность ее вполне очевидна. Ограниченный объем учебного пособия не позволяет уделить ей должного внимания, поэтому мы рассмотрим лишь некоторые аспекты этой темы. Общая постановка задачи, связанной с коллективным выбором, формируется следующим образом. Существует группа участников процесса принятия решения, каждый из которых имеет свои предпочтения на множестве выделенных альтернатив. Требуется построить упорядочение множества альтернатив, отражающее мнение всей группы в целом; иными словами, требуется выработать некоторое совокупное мнение на основе индивидуальных мнений участников ППР. Каждый участник процесса коллективного выбора дает то, что называется ранжировками объекта. Введем следующие обозначения: A — множество оцениваемых альтернатив; N = {1,…n} — множество участников ППР; Ri, i={1, …n} — ранжировка i-го индивидуума. Ранжировку удобно представлять, выписывая элементы А в столбец в порядке уменьшения предпочтительности сверху вниз. Например, для множества альтернатив A = {k, l, m, t} одна из ранжировок Ri будет иметь вид Ri k m l-t Дефис между l и t указывает, что эти альтернативы равноценны для индивидуума i. В свою очередь, имеет место следующее упорядочение альтернатив: k, m, (l, t). Набор ранжировок (Ri, …, Rn), выражающих мнения членов группы, определяет групповой профиль. Пусть имеется группа из трех участников. Один из профилей множества альтернатив A = {k, l, m, t} имеет вид R1 k l m t R2 k m l-t R3 k m t l Таким образом, нас интересует следующая проблема: как построить итоговую (результирующую) ранжировку? Рассмотрим несколько наиболее общеупотребимых механизмов получения групповой ранжировки. Правило Кондорсе Жан Антуан де Кондорсе предложил такой вариант решения задачи. Для каждой пары альтернатив ai и aj вычисляется sij — число экспертов, считающих, что ai лучше, чем aj. Если sij > sji, то альтернатива ai лучше (в итоговой ранжировке), чем aj . Если некоторая альтернатива лучше всех остальных в указанном смысле, то она называется альтернативой Кондорсе. Пример. R1 R2 R3 1 2 3 4 1 2 4 3 1 2 4 3 R (результат) 1 2 4 3 Однако, несмотря на кажущуюся логичность и простоту, использованный для получения результата принцип большинства не лишен недостатков. Рассмотрим, например, следующий груп- повой профиль. R1 R2 R3 k l m l m k m k l Для этого примера альтернативы Кондорсе не существует, так как: для R1 — skl = 2, slk = 1, следовательно, k лучше l; для R2 — slm = 2, sml = 1, следовательно, l лучше m; для R3 — smk = 2, skm = 1, следовательно, m лучше k. Этот пример иллюстрирует так называемый парадокс Кондорсе: объединение индивидуальных ранжировок по отношению предпочтения на основе правила большинства не обязательно приводит к групповой ранжировке. Правило Борда Bi(a) — число альтернатив, расположенных ниже альтернативы a в ранжировке Ri. Для последнего места в ранжировке Bi(a) = 0 и т.д. Сумма всех Bi(a) для разных экспертов называется числом Борда для альтернативы a и обозначается B(a). Функция группового выбора определяется следующим образом: в групповом предпочтении альтернатива a выше b тогда и только тогда, когда B(a) > B(b). Для предыдущего примера B(k) = B(l) = B(m) = 3, т.е. в групповой ранжировке все альтернативы равноценны. К сожалению, между принципами Кондорсе и Борда существует противоречие. Рассмотрим пример. a1 a3 a2 a5 a4 a1 a2 a4 a3 a5 a1 a2 a5 a3 a4 a2 a3 a1 a5 a4 a2 a4 a3 a1 a5 Альтернативой Кондорсе здесь является a1. Но по схеме Борда — a2 (так как s2 = 16, а s1 = 15). Подход Кемени Еще один подход к определению функции группового выбора был предложен Джоном Кемени. Пусть задан следующий профиль на множестве альтернатив A ={B, C, D, E, F}. R1 R2 R3 B C D E F F E D C B C B D E F Видно, что ранжировки R1 и R2 сильно отличаются друг от друга, а R1 и R3 довольно близки. Возникает идея измерения различий (расстояния) между ранжировками. С учетом общих математических требований к измерению расстояний такая мера должна давать неотрицательный результат, обладать свойством симметрии (расстояние от ранжировки R1 до ранжировки R2 равно расстоянию от ранжировки R2 до ранжировки R1). Кроме того, должно выполняться неравенство треугольника: сумма расстояний от ранжировки R1 до ранжировки R2 и от ранжировки R2 до ранжировки R3 должна быть всегда не меньше расстояния от ранжировки R1 до ранжировки R3. Если потребовать также, чтобы минимальное положительное (строго большее нуля) расстояние было равно единице, то оказывается, что существует единственный способ его измерения. Это так называемое расстояние Кемени — полусумма модулей разностей рангов альтернатив в ранжировках, расстояние между которыми измеряется. Для нашего примера выше: расстояние Кемени между R1 и R2 равно 6, а между R1 и R3 — 1. Для получения согласованного группового мнения имеем следующую задачу: по данному профилю найти ранжировку R с наименьшим расстоянием от всех ранжировок этого профиля. Вполне естественно принять в качестве R медиану, т.е. такую ранжировку R, для которой сумма расстояний от всех ранжировок отдельных экспертов минимальна. Такой подход приводит к линейной оптимизационной задаче (задаче поиска минимума суммы расстояний), решение которой принципиально сложнее простых расчетов по схемам Кондорсе и Борда. Проблема, однако, состоит не в том, что имеется много различных способов агрегирования индивидуальных предпочтений, а в том, что ни один из них (причем речь идет не только о предложенных разработанных схемах, но и о любых теоретически возможных) не является логически непротиворечивым. В этом суть знаменитой теоремы о невозможности Кеннета Эрроу. Подход Эрроу к проблеме агрегирования в голосовании — аксиоматический. Это значит, что он попытался сформулировать к процедуре агрегирования требования, которым должна отвечать любая разумная процедура. Эти требования и называются аксиомами. Начиная с 1951 г., когда Эрроу опубликовал свою теорему, появились новые версии и условий, и доказательства теоремы. В наиболее краткой форме она выглядит так. Предполагается, что процедура подведения итогов голосования ранжировками обладает следующими свойствами (аксиомы). Аксиома универсальности. Схема агрегирования должна давать логичные результаты при любых логически возможных вариантов голосования участников. Аксиома единогласия. Если каждый из участников голосования в своей ранжировке ставит альтернативу а выше альтернативы b, в агрегированной ранжировке альтернатива а также должна быть выше альтернативы b. Аксиома независимости от несвязанных альтернатив. Относительное положение в итоговой ранжировке двух альтернатив а и b зависит только от их относительного положения в индивидуальных ранжировках участников голосования. Это значит, что, если, например, ряд участников голосования пересмотрели свои суждения по поводу относительной предпочтительности 3-й и 5-й альтернатив, это не должно сказаться на положении в итоговом списке 1-й и 4-й. Это же относится и к исключению какой-либо альтернативы из списка анализируемых. Аксиома транзитивности. Итоговая ранжировка является транзитивной, т.е. если в ней альтернатива а предпочитается альтернативе b, а альтернатива b — альтернативе с, то это с необходимостью означает, что а предпочтительнее с. Аксиома отсутствия диктатора. Диктатор в данном контексте — это такой участник голосования, который, меняя строгое предпочтение одной альтернативы (а) на другую (b), тем самым меняет относительное положение этих альтернатив в итоговой ранжировке. Данная аксиома, таким образом, требует, чтобы в разумно организованной системе агрегирования предпочтений такая ситуация была исключена, поскольку такой диктатор получает необоснованно большую власть при принятии решения, что нарушает принцип справедливости. Требования аксиом представляются весьма логичными и даже естественными. Тем более парадоксально, что справедливо следующее утверждение: любая схема подведения итогов голосования, удовлетворяющая аксиомам единогласия, независимости от несвязанных альтернатив и транзитивности, приводит к существованию диктатора. Это и есть теорема Эрроу. Рискуя утомить читателя формальными рассуждениями, приведем все-таки изящное доказательство этой теоремы, принадлежащее Джону Джинакоплосу. Отметим сразу, что доказательство строится на конструировании специальных ситуаций при голосовании и в этом смысле опирается прежде всего на аксиому универсальности. Пусть имеется такая альтернатива b, что часть участников голосования ставят ее на первое место (она для них — лучшая), а остальные — на последнее (эта альтернатива, по их мнению, самая плохая). Покажем вначале, что в итоговой ранжировке альтернатива b не может оказаться на одной из промежуточных позиций: она должна быть либо самой лучшей (первой), либо самой худшей (последней) даже в том случае, когда мнения по поводу этой альтернативы разделились поровну. Этот факт доказывается методом от противного. Предположим, что описанная альтернатива b занимает в итоговой ранжировке промежуточное положение. Это значит, что есть некоторая альтернатива а, стоящая в итоговом списке выше b, и альтернатива с, стоящая ниже (на сколько позиций выше и ниже — неважно). Предположим теперь, что каждый из участников голосования изменил свои предпочтения так, что теперь для каждого участника альтернатива с стала предпочтительнее альтернативы а. В силу аксиомы единогласия это означает, что и в итоговой ранжировке теперь альтернатива с должна быть предпочтительнее альтернативы а. В то же время поскольку альтернатива b занимает в индивидуальной ранжировке каждого участника крайнее положение (либо первое место, либо последнее), то ее положение относительно а и с в индивидуальных ранжировках не изменится, и в силу аксиомы независимости от несвязанных альтернатив альтернатива b будет по-прежнему хуже или лучше и альтернативы а, и альтернативы с. Поэтому по-прежнему альтернатива а будет предпочтельнее b, а альтернатива b — предпочтительнее альтернативы с. В силу транзитивности итогового упорядочения это означает, что альтернатива а по крайней мере не менее предпочтительна, чем альтернатива с. Налицо противоречие, которое и доказывает, что альтернатива b обязательно занимает в итоговой ранжировке одну из крайних позиций. Пусть теперь наша альтернатива b — самая худшая для каждого из участников. В силу аксиомы единогласия она на последнем месте и в итоговой ранжировке. Станем последовательно изменять индивидуальные ранжировки участников голосования начиная с первого таким образом, чтобы альтернатива b занимала не последнее, а первое место. При этом каждый раз будем применять процедуру агрегирования и смотреть на итоговую ранжировку. Рано или поздно, обязательно наступит такой момент, когда при изменении индивидуальной ранжировки n-го участника изменится агрегированная (итоговая) ранжировка. Наша уверенность в этом базируется на аксиоме единогласия: ведь если все будут считать альтернативу b самой лучшей, она обязана быть на первом месте в итоговой ранжировке. Практически это произойдет наверняка раньше, когда подавляющее (квалифицированное? достаточное? — зависит от конкретного метода) большинство участников поставят b на первое место. Как мы только что доказали, при изменении индивидуальной ранжировки этого n-го участника произойдет радикальное изменение позиции альтернативы b: она переместится в итоговой ранжировке на первое место. Групповой профиль (совокупность индивидуальных ранжировок) непосредственно перед изменением индивидуальной ранжировки n-го участника будем далее называть профилем 1, а сразу после изменения — профилем 2. Для профиля 1 альтернатива b в итоговой ранжировке на последнем месте, а для профиля 2 — на первом. Покажем, что участник, идентифицированный нами под индексом n, — диктатор. Действительно. Изменим профиль 2 так, что в индивидуальном профиле участника n альтернатива а будет стоять выше b, а альтернатива с — ниже. Как бы ни упорядочивали по предпочтительности альтернативы а и с остальные участники, в итоговой ранжировке соотношение а и b в этом случае будет, как в профиле 1, т.е. а предпочтительнее b. Аналогично, соотношение b и с будет, как в профиле 2, т.е. b предпочтительнее с. Все это непосредственно следует из аксиомы независимости от несвязанных альтернатив. Из аксиомы транзитивности итоговой ранжировки получаем, что a предпочтительнее с, как указано в индивидуальной ранжировке n-го участника. Покажем теперь, что участник с индексом n есть диктатор по отношению к любой паре альтернатив. Возьмем некоторую (отличную от рассмотренных ранее) альтернативу с и построим с нею профили, аналогичные рассмотренным выше профилям 1 и 2 с использованием альтернативы b. Из доказанного выше следует, что существует такой участник с номером n* (c) (т.е. его номер зависит от альтернативы с), который является диктатором для любой пары альтернатив α и β, не включающей c. Но наш участник с номером n — диктатор при профилях 1 и 2, а также при α = a и β = b, т.е. n* (c) = n. Теорема доказана. Таким образом, работа с ранжировками, обладая рядом несомненных преимуществ, всегда содержит некоторые угрозы. Правда, сам ход представленного выше доказательства теоремы Эрроу свидетельствует о том, что неприятности возникают в особенных, специальных случаях. По результатам некоторых исследований обеспечить совмещение требований всех аксиом не удается лишь не более чем в 10% случаев, при компьютерном моделировании различных распределений голосов участников.