Групповая скорость для объемных поляритонов в кристалле

Наноплазмоника Лекция N 21 19 ноября 2020 г. 18:53 Лекция N 21 Групповая скорость для объемных поляритонов в кристалле 1.Введение На прошлой Лекции мы изучили вопрос о фазовой скорости поляритона в различных конкретных кристаллах. Настал черед проанализировать групповую скорость поляритона – с такой скоростью распространяется энергия электромагнитного поля в среде. ▀ Групповая скорость нормальной электромагнитной волны определяется по формуле: = (1) Из этой формулы очевидно, что групповую скорость можно определить, зная дисперсионное уравнение для нормальных волн в среде. 2.Групповая скорость распространения поляритона в среде На Лекции N 18 мы получили следующее выражение для квадрата плазменной частоты Ω = ( − ) Тогда формулу для диэлектрической проницаемости (4) можно представить в еще одном, третьем, виде: ( )= + ( ) − − (2) Из этой формулы получаем для диэлектрической проницаемости следующий безразмерный вид: ( )= + ( − 1− ) (3) Оказывается, что с таким представлением для диэлектрической проницаемости наиболее удобно работать при получении выражения для групповой скорости поляритона. Перепишем формулу (3) в виде: Дисперсионное уравнение для объемных поляритонов дается уравнением: Откуда получаем: Тогда: Нам нужна эта производная потому, что групповая скорость выражается через нее следующим образом: Введем, как и ранее, показатель преломления: Тогда: Вычислим эту производную: Следовательно, мы получили для производной следующее выражение: Тогда: Далее Следовательно, мы получили формулу для производной волнового числа по безразмерной частоте в виде: Получим, наконец, выражение для групповой скорости поляритона: Здесь мы учли, что Следовательно, для групповой скорости поляритона мы получили окончательное выражение: Далее мы проведем расчет групповой скорости поляритона по полученной формуле (13) для ряда кристаллов. 3.Групповая скорость распространения поляритона в реальных кристаллах Кристалл LiF Безразмерная продольная частота приведена в Таблице 1. На Рисунке 1 приведена частотная зависимость отношения групповой скорости к скорости света. Таблица 1 uL 2,197299 Рисунок 1. частотная зависимость относительной групповой скорости для кристалла LiF. Из Рисунка видна уже известная нам запрещенная зона, границы которой указаны на прошлой Лекции. Наиболее существенным фактом является то, что, в отличие от фазовой, групповая скорость нигде не превышает скорость света. Это согласуется с теорией относительности. Кристалл SiO2-1 Безразмерная продольная частота приведена в Таблице 2. На Рисунке 2 приведена частотная зависимость отношения групповой скорости к скорости света. Таблица 2 uL 1,555973 Рисунок 2. Частотная зависимость относительной групповой скорости для кристалла SiO2-1. Мы видим, что запрещенная зона меньше, чем в предыдущем случае и опять, нигде групповая скорость не превышает скорости света Кристалл SiO2-2 Безразмерная продольная частота приведена в Таблице 3. На Рисунке 3 приведена частотная зависимость отношения групповой скорости к скорости света. Таблица 3 uL 1,127516 Мы видим, что запрещенная зона здесь наименьшая из 3-х кристаллов, нигде групповая скорость не превышает скорости света