Гипотезы о среднем

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Лекция 11 ГИПОТЕЗЫ О СРЕДНЕМ σ неизвестно или n < 30 2 РЕШЕНИЕ В качестве статистики используется следующая случайная функция: 𝑥 − 𝜇𝑜 𝑡= 𝑠/ 𝑛 Эта величина имеет t-распределение с числом степеней свободы df = n – 1. Для нахождения критических значений пользуемся таблицами t-распределения. 3 ПРИМЕР В исследовании, проведенном среди студентов МГИМО, утверждается, что студенты МЖ читают больше книг в сравнении с другими. Среднее количество книг, прочитанных студентами за год, составило 15. Опрос среди 25 студентов МЖ показал, что они читают, в среднем, 16 книг в год, стандартное отклонение равно 2. Справедливо ли утверждение на уровне значимости α = 0,01? Сформулировать основную и альтернативную гипотезы. H 0 : μ ≤ μ0 H 1 : μ > μ0 H0: μ ≤ 15 H1: μ > 15 Задать уровень значимости α. По условию дано α = 0,01. По таблице найти критические значения и построить критическую область. 1−𝛼 +𝑡𝛼 𝛼 4 Найдем t По условию дано α = 0,01. df=n-1=25-1=24 На пересечении ищем t t=2.797 5 ПРИМЕР В исследовании, проведенном среди студентов МГИМО, утверждается, что студенты МЖ читают больше книг в сравнении с другими. Среднее количество книг, прочитанных студентами за год, составило 15. Опрос среди 25 студентов МЖ показал, что они читают, в среднем, 16 книг в год, стандартное отклонение равно 2. Справедливо ли утверждение на уровне значимости α = 0,01? 𝑥 − 𝜇𝑜 16 − 15 𝑡= = = 2.5 𝑠/ 𝑛 2/ 25 𝛼 = 0.01 Значение 𝑡=2.5 не попадает в критическую область. Значит, принимаем нулевую гипотезу о том, что студенты МЖ читают не больше книг, чем студенты в среднем. 𝑡 = 2.5 +𝑡𝛼 = 2.797 6 ГИПОТЕЗА О ДОЛЕ 7 РЕШЕНИЕ Также имеется три варианта: 1 𝛼/2 2 3 H0: p = p0 H 1 : p ≠ p0 H 0 : p ≤ p0 H 1 : p > p0 H0: p ≥ p0 H1: p < p0 Двусторонняя Правосторонняя Левосторонняя 1−𝛼 −𝑧𝛼Τ2 𝛼/2 +𝑧𝛼Τ2 1−𝛼 +𝑧𝛼 𝛼 𝛼 1−𝛼 −𝑧𝛼 8 РЕШЕНИЕ В качестве статистики используется следующая случайная функция: доля признака в выборке 𝑧= 𝑝ො − 𝑝 𝑝𝑞/𝑛 доля признака в ГС Или: 𝑚 − 𝑛𝑝 𝑧= 𝑛𝑝𝑞 Условие: np ≥ 5 и nq ≥ 5 9 ПРИМЕР Кандидат в мэры утверждает, что его поддерживает не менее половины горожан. Исследовательская компания провела опрос и выяснила, что из 500 опрошенных кандидата поддерживают 240 человек. Можно ли утверждать, что кандидат преувеличивает? Проверьте на уровне значимости 1%. Сформулируем основную и альтернативную гипотезы H0: p ≥ p0 H 1 : p < p0 Задаем уровень значимости: 𝛼 = 0.01 Найдем критическое значение и построим критическую область. 10 НАХОДИМ Z𝛼 𝛼 1−𝛼 −𝑧𝛼 Помня о свойстве симметрии, находим z𝛼. –zα равен z𝛼 с отрицательным знаком, то есть -2.33 11 ПРИМЕР Кандидат в мэры утверждает, что его поддерживает более половины горожан. Исследовательская компания провела опрос и выяснила, что из 500 опрошенных кандидата поддерживают 260 человек. Можно ли утверждать, что кандидат преувеличивает? Проверьте на уровне значимости 1%. Сформулируем основную и альтернативную гипотезы H0: p ≤ p0 H 1 : p > p0 Задаем уровень значимости: 𝛼 = 0.01 Найдем критическое значение и построим критическую область. 2.33 12 ПРИМЕР Кандидат в мэры утверждает, что его поддерживает более половины горожан. Исследовательская компания провела опрос и выяснила, что из 500 опрошенных кандидата поддерживают 260 человек. Можно ли утверждать, что кандидат преувеличивает? Проверьте на уровне значимости 1%. Найдем критическое значение и построим критическую область. 2.33 По выборке вычисляем значение статистики 𝑧= 𝑝Ƹ − 𝑝 𝑝𝑞/𝑛 = 0.52 − 0.5 0.02 = = 0.91 0.5 ∗ 0.5/500 0.022 13 ПРИМЕР Кандидат в мэры утверждает, что его поддерживает более половины горожан. Исследовательская компания провела опрос и выяснила, что из 500 опрошенных кандидата поддерживают 260 человек. Можно ли утверждать, что кандидат преувеличивает? Проверьте на уровне значимости 1%. Значение статистики – 0.91 не попадает в критическую область. 0.91 2.33 По выборке вычисляем значение статистики 𝑧= 𝑝Ƹ − 𝑝 𝑝𝑞/𝑛 = 0.48 − 0.5 0.02 = = 0.91 0.5 ∗ 0.5/500 0.022 14 ПРИМЕР Кандидат в мэры утверждает, что его поддерживает более половины горожан. Исследовательская компания провела опрос и выяснила, что из 500 опрошенных кандидата поддерживают 260 человек. Можно ли утверждать, что кандидат преувеличивает? Проверьте на уровне значимости 1%. Значение статистики – 0.91 не попадает в критическую область. 0.91 2.33 Вывод: значение статистики попадает в область принятия гипотезы, значит, принимаем нулевую гипотезу о том, что кандидата поддерживает не более половины горожан. Кандидат преувеличивает. 15