Гильбертово пространство

½Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç ïî ó÷åáíèêàì À.Í.Êîëìîãîðîâ, Ñ.Â.Ôîìèí; Å.À.Âëàñîâà, È.Ê.Ìàð÷åâñêèé. Ëåêöèÿ 11 ñîñòàâèë Ï.Ì.Àõìåòüåâ 20.04.2021 1 Ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî Çàìêíóòîñòü, ïîëíîòà îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìû âåêòîðîâ Ïóñòü x1 , . . . îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ â H (âåêòîðà ñèñòåìû ïîïàðíî îðòîãîíàëüíû è êàæäûé âåêòîð èìååò åäèíè÷íóþ äëèíó). Áûëî äîêàçàíî, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà y ∈ H âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî ∞ X c2i ≤ ||y||2 , ci = (y, xi ), i=1 êîòîðîå íàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâì Áåññåëÿ. (Îïóñêàëè ïåðïåíäèêóëÿð z íà ïîäïðîñòðàíñòâî âåêòîðîâ {x1 , . . . } èç y è ïîëó÷àëîñü: ∞ ||x − z|| = ||y||2 − X c2i , i=1 îòêóäà íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ âûòåêàåò.) Îïðåäåëåíèå Îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà {x1 , . . . } íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé, åñëè äëÿ ëþáîãî y ∈ H âûïîëíåíî ðàâåíñòâî: ∞ X c2i = ||y||2 . i=1  ýòîì ñëó÷àå íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ íàçûâàåòñÿ ðàâåíñòâîì Ïàðñåâàëÿ. Áûëî äîêàçàíî, ÷òî çàìêíóòîñòü îðòîíîðìàëüíîé ñèñòåìû âåêòîðîâ ðàâíîñèëüíà òîìó, ÷òî ÷àñòè÷íûå ñóììû ðÿäà Ôóðüå âåêòîðà y ñõîäÿòñÿ ê âåêòîðó y. 2 Òåîðåìà  ñåïàðàáåëüíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå R (ïîëíîòà íå òðåáóåòñÿ) ïðîèçâîëüíàÿ ïîëíàÿ îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé è íàîáîðîò. Äîêàçàòåëüñòâî Ïóñòü ñèñòåìà {x1 , . . . } çàìêíóòà. Òîãäà äëÿ ïðîèçâîëüíîãî y ∈ R ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà Ôóðüå ñõîäèòñÿ ê y. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëèíåéíûå êîìáèíàöèè âåêòîðîâ ñèñòåìû âñþäó ïëîòíû â R, ñèñòåìà ïîëíà (íàèìåíüøåå ïîäïðîñòðàíñòâî (=çàìêíóòîå ëèíåéíîå ïîäìíîãîîáðàçèå), ñîäåðæàùåå âåêòîðà ñèñòåìû, ñîâïàäàåò ñî âñåì R). Îáðàòíî, åñëè ñèñòåìà {x1 , . . . } ïîëíà, òî ëþáîé âåêòîð y ∈ R ñêîëü óãîäíî òî÷íî àïïðîêñèìèðóåòñÿ ëèíåéíûìè êîìáèíàöèÿìè âåêòîðîâ ñèñòåìû. Íî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ÷àñòè÷íàÿ ñóììà ðÿäà Ôóðüå äîñòàâëÿåò íå õóæå àïïðîêñèìèðóåò y. Ñëåäîâàòåëüíî, ðÿä Ôóðüå ñõîäèòñÿ ê y è ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ âûïîëíåíî. Êðèòåðèé ïîëíîòû îðòîãîíàëüíîé íîðìèðîâàííîé ñèñòåìû Theorem 1. Äëÿ òîãî, ÷òîáû íîðìèðîâàííàÿ îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H áûëà ïîëíà, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû íå ñóùåñòâîâàëî y ∈ H , êîòîðûé îðòîãîíàëåí (íóëåâîé âåêòîð íå ãîäèòñÿ, ïî÷åìó?) âñåì âåêòîðàì ñèñòåìû. 3 Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1 Ïîòðåáóåòñÿ ëåììà (òåîðåìà Ðèññà-Ôèøåðà, òåîðåìà 3 ãë.III, ïàðàãðàô 5). Lemma 2. Ïóñòü ϕn, n ∈ Nïðîèçâîëüíàÿ îðòîíîðìàëü- íàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ â ïîëíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå R, ïóñòü ÷èñëà c1 , c2 , . . . cn , . . . òàêîâû, ÷òî ðÿä ∞ X c2k k=1 ñõîäèòñÿ. Òîãäà ñóùåñòâóåò f ∈ R òàêîé, ÷òî ck = (f, ϕk ), ∞ X c2k = (f, f ) = ||f ||2 . k=1 Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 2 Ïîëîæèì fn = n X c k ϕk . k=1 Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî: • Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn } ôóíäàìåíòàëüíà, limn→∞ fn = f (ïî÷åìó?). • Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî: (f, ϕi ) = (fn , ϕi ) + (f − fn , ϕi ), ïðè÷åì ñïðàâà ïåðâîå ñëàãàåìîå ðàâíî ci , à âòîðîå áåñêîíå÷íîìàëî ïî íåðàâåíñòâó Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî: |(f − fn , ϕn )| ≤ ||f − fn || · ||ϕi ||. (ïî÷åìó?). Ïîëó÷èòñÿ (f, ϕi ) = ci . 4 • Ïîñêîëüêó fn → f , ïîëó÷èòñÿ (èñïîëüçóåì îðòîãîíàëüíîñòü âåêòîðîâ ñèñòåìû) (f − n X k=1 c k ϕk , f − n X ck ϕk ) = (f, f ) − n X c2k → 0. k=1 k=1 Âñïîìíèì, ÷òî ïîëíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ ãèëüáåðòîâûì. Ïðèìåðîì ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà ñëóæèò l2 . Åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî C2 ([a, b]) íå ãèëüáåðòîâî, ïîñîëüêó îíî íå ïîëíî. Ïîïîëíåíèåì C2 ([a, b]) áóäåò ãèëüáåðòîâî. Ê ïðîñòðàíñòâó íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íóæíî ïðèñîåäèíèòü âñå ôóíêöèè, êâàäðàò êîòîðûõ èíòåãðèðóåì ïî Ëåáåãó. Òåîðåìà î åäèíñòâåííîñòè ãèëüáåðòîâà (ñåïàðàáåëüíîãî) ïðîñòðàíñòâà Ëþáûå äâà ñåïàðàáåëüíûõ ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà èçîìîðôíû. Äîêàçàòåëüñòâî Òåîðåìû Äîêàæåì, ÷òî ïðîèçâîëüíîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî H èçîìîðôíî l2 . Âûáåðåì â H ïðîèçâîëüíóþ ïîëíóþ îðòîãîíàëüíóþ íîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó {ϕn } (êàê ýòî ñäåëàòü? Òåîðåìà 1 ãë III, ïàðàãðàô 4). Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ýëåìåíòó f ∈ H ñîâîêóïíîñòü åãî êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå (÷òî ýòî òàêîå? ãë.III, ïàðàãðàô 4). Ïî ëåììå 2 âñÿêîìó ýëåìåíòó (c1 , c2 , . . . ) ∈ l2 îòâå÷àåò íåêîòîðûé âåêòîð f . 5 Ñîîòâåòñòâèå H → l2 ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé, ïðîâåðèì, ÷òî ýòà áèåêöèÿ ñîõðàíÿåò åâêëèäîâó ñòðóêòóðó: (f, g) = ∞ X cn dn . n=1 Ýòî âûòåêàåò èç ðàâåíñòâ: (f, f ) = ∞ X c2n , (g, g) = n=1 ∞ X d2n , n=1 (f + g, f + g) = (f, f ) + 2(f, g) + (g, g) = ∞ X (cn + dn )2 = n=1 ∞ X n=1 c2n +2 ∞ X cn dn + n=1 ∞ X d2n . n=1 Ïîäïðîñòðàíñòâà, îðòîãîíàëüíûå äîïîëíåíèÿ, ïðÿìàÿ ñóììà Ëèíåéíûì ìíîãîîáðàçåì L â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H (íàä R), L ⊂ H , íàçûâàåòñÿ òàêàÿ ñîâîêóïíîñòü ýëåìåíòîâ ýëåìåíòîâ, ÷òî åñëè x ∈ L, y ∈ L, òî è ∀α, β ∈ R: αx + βy ∈ L. Ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå, åñëè îíî çàìêíóòî, íàçûâàåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì L ⊂ H . Òåîðåìà  êàæäîì ïîäïðîñòðàíñòâå M ⊂ H ñîäåðæèòñÿ îðòîíîðìàëüíàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ {ϕi }, çàìûêàíèå êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ M . 6 Äîêàçàòåëüñòâî Ïîíÿòíî, ÷òî ëþáîå ïîäìíîæåñòâî ñåïàðàáåëüíîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà ñàìî ñåïàðàáåëüíî. Ïîýòîìó L ⊂ H ñåïàðàáåëüíî. Ïðèìåíèì ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè ê êàêîé-íèáóäü ñ÷åòíîé âñþäó ïëîòíîé ñèñòåìå âåêòîðîâ èç L. Ïîëó÷èì áàçèñ â L. Îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå Ïóñòü M ⊂ H  ïîäïðîñòðàíñòâî. Îðòîãîíàëüíûì äîïîëíåíèåì M ⊥ ê M íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ y ∈ H , êîòîðûå îðòîãîíàëüíû âñåì ýëåìåíòàì èç M : M ⊥ = {y : ∀x ∈ M (y, x) = 0}. M ⊥ ⊂ H  ïîäïðîñòðàíñòâî. Èç ðàâåíñòâ (x1 , y) = 0, (x2 , y) = 0 âûòåêàåò (αx1 +βx2 , y) = 0. Çàìêíóòîñòü M ⊥ âûòåêàåò èç íåïðåðûâíîñòè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ: åñëè yi → y, òî ∀x ∈ M (y, x) = limi→+∞ (xi , y) = 0. Òåîðåìà Åñëè M ïîäïðîñòðàíñòâî (M çàìêíóòî), òî ∀y ∈ H ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî ïðåäñòàâëåíèå y = z + z0 , z ∈ M , z0 ∈ M ⊥ . Äîêàçàòåëüñòâî Íàéäåì â M ïîëíóþ îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó {xi } è îïðåäåëèì: z= ∞ X ci xi , ci = (y, xi ). i=1 7 P∞ Ïî íåðàâåíñòâó Áåññåëÿ ðÿä i=1 c2i ñõîäèòñÿ. Ïîýòîìó z ∈ M îïðåäåëåí. Ïîëîæèì z0 = y − z. Çàìåòèì (ïî÷åìó?), ÷òî (z0 , xi ) = 0. ∀i : Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ξ ∈ M âû÷èñëèì êîýôôèöèåíòû Ôóðüå: ξ= ∞ X ai x i . i=1 Ïîëó÷èòñÿ: (z , ξ) = ∞ X an (z0 , xi ) = 0. i=1 Òåì ñàìûì, z0 ∈ M ⊥ . Åñëè äîïóñòèòü, ÷òî ïîìèìî y = z + z0 ñóùåñòâóåò åùå îäíî ðàçëîæåíèå: y = z1 + z01 , òî ∀i : (z1 , ξi ) = (y, ξi ) = ci , îòêóäà z1 = z, z01 = z0 . Ñëåäñòâèå 1. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî: (M ⊥ )⊥ = M. 2. Êàæäàÿ îðòîíîðìàëüíàÿ ñèñòåìà {x1 , . . . } ìîæåò áûòü ðàñøèðåíà äî áàçèñà â H . 8 Ïðèìåð (Âëàñîâà Ìàð÷åâñêèé ãë.3, ïðèìåð 3.11) Íàéäåì ðàññòîÿíèå â l2 îò âåêòîðà 1 1 1 x0 = (1, 0, , 0, , 0, . . . , , 0, . . . ) 3 5 2n − 1 äî ïîäïðîñòðàíñòâà L = {y = (y1 , . . . ) ∈ l2 | ∞ X yk k=1 k = 0}. Óñëîâèå y ∈ L çàïèøåì â âèäå: (y, z0 ) = 0, Î÷åâèäíî, ÷òî 1 1 z0 = (1, , , . . . ) ∈ l2 . 2 3 ∞ X 1 ||z0 || = . 2 k i=1 Ïî äîêàçàííîìó ñóùåñòâóåò ðàçëîæåíèå: x0 = y0 + αz0 , α ∈ R. Ïîëó÷èòñÿ: ρ(x0 , L) = ||x0 − y0 || = |α|C, qP ∞ 1 ãäå C = i=1 k 2 . Íàéäåì α èç óñëîâèÿ y0 = (x0 − αz0 ) ⊥ z0 . Ïîëó÷èòñÿ: (x0 − αz0 , z0 ) = (x0 , z0 ) − α(z0 , z0 ) = 0. Ïîýòîìó ∞ (x0 , z0 ) 1 X 1 α= = 2 . (z0 , z0 ) C (2k − 1)2 k=1 P∞ 1 P∞ 1 Îñòàëîñü âû÷èñëèòü i=1 k2 , k=1 (2k−1) 2 . Ýòî âû÷èñëåíèå è íåêîòîðûå äðóãèå ñâåäåíèÿ î ðÿäàõ Ôóðüå ïëàíèðóþòñÿ íà ñåìèíàðàõ. 9 1 Ìåðà, ãë. V; ìåðà ïëîñêèõ ìíîæåñòâ 1.1 Êîëüöî, àëãåáðà, σ-àëãåáðà, íàïîìèíàíèå Denition 3. Íåïóñòàÿ ñèñòåìà ìíîæåñòâ ℵ íàçûâàåòñÿ êîëü- öîì, åñëè ýòà ñèñòåìà çàìêíóòà îòíîñèòåëüíî îáúåäèíåíèÿ A∪B , äîïîëíåíèÿ A\B , ïåðåñå÷åíèÿ A∩B . Êîëüöî ñ åäèíèöåé E ∩ A = A, E ∈ ℵ (äëÿ ëþáîãî A ∈ ℵ) íàçûâàåòñÿ àëãåáðîé. Ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü: A4B = (A \ B) ∪ (B \ A). Êîëüöî çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè. Ïóñòîå ìíîæåñòâî ∅ ∈ ℵ, ∅ = A \ A, A ∈ ℵ. Ïðèìåðû, ãë.I, ïàðàãðàô 5 • ℵ = 2A , ïîëó÷èòñÿ A ∈ ℵ. • ℵ = {A, ∅}. • Ñèñòåìà âñåõ êîíå÷íûõ ïîäìíîæåñòâ A ÿâëÿåòñÿ êîëüöîì, ýòî êîëüöî ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé ⇔ A-êîíå÷íî. • Ñèñòåìà âñåõ îãðàíè÷åííûõ ìíîæåñòâ ÷èñëîâîé ïðÿìîé ÿâëÿåòñÿ êîëüöîì, íî íå àëãåáðîé. Denition 4. Àëãåáðà ℵ íàçûâàåòñÿ σ-àëãåáðîé, åñëè çàìêíó- òî îòíîñèòåëüíî îáúåäèíåíèÿ ëþáîãî ÷èñëà (íå îáÿçàòåëüíî êîíå÷íîãî ÷èñëà) ìíîæåñòâ: An ∈ ℵ ⇒ ∪n An ∈ ℵ. Èç ñîîòíîøåíèé äâîéñòâåííîñòè ∩n An = E \ ∩n (E \ An ) 10 âûòåêàåò, ÷òî σ àëãåáðà ℵ çàìêíóòà îòíîñèòåëüíî ïåðåñå÷åíèÿ ëþáîãî ÷èñëà (íå îáÿçàòåëüíî êîíå÷íîãî ÷èñëà) ìíîæåñòâ (ïî÷åìó?). Theorem 5. Äëÿ ëþáîé ñèñòåìû ìíîæåñòâ S ñóùåñòâó- åò ìèíèìàëüíàÿ (ïî îòíîøåíèþ ê ýòîé ñèñòåìå) σ -àëãåáðà, ℵ(S), ñîäåðæàùàÿ ìíîæåñòâà èç S è ñîäåðæàùàÿñÿ â ëþáîé äðóãîé σ -àëãåáðå, ñîäåðæàùåé S . Ïëàí äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 5 Ñóùåñòâîâàíèå. Ðàññìîòðèì îáúåäèíåíèå E = ∪A∈S A âñåõ ìíîæåñòâ èç S . Ðàññìîòðèì σ àëãåáðó 2E âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà S . Ïóñòü Σ  ñîâîêóïíîñòü âñåõ âñåõ σ àëãåáð, ñîäåðæàùèõñÿ â 2E è ñîäåðæàùèõ S . Ïåðåñå÷åíèå ℵ(S) = ∩ℵ∈Σ ℵ ÿâëÿåòñÿ èñêîìîé σ -àëãåáðîé. Denition 6. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî S âñåõ îòêðûòûõ (èëè âñå çàìêíóòûõ) ïîäìíîæåñòâà ïðîñòðàíñòâà R (íàì íóæåí ñëó÷àé R = R2 ). Áîðåëåâñêèå ìíîæåñòâà  ýòî ìíîæåñòâà ìèíèìëüíîé σ -àëãåáðû ℵ(S). Ïî÷åìó áîðåëåâñêèå σ àëãåáðû âñåõ îòêðûòûõ ìíîæåñòâ è ìíîæåñòâà âñåõ çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ ñîâïàäàþò? 1.2 Ìåðà ýëåìåíòàðíûõ ïëîñêèõ ìíîæåñòâ, ãë. V, ïàðàãðàô 1 Ðàññìîòðèì ïðÿìîóãîëüíèê, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ îäíèì èç íåðàâåíñòâ âèäà: a ≤ x ≤ b; a ≤ x < b, a < x ≤ b, a < x < b; c < y ≤ d, c < y < d. è îäíèì èç íåðàâåíñòâ âèäà: c ≤ y ≤ d; c ≤ y < d, 11  òîì ÷èñëå, ìû ðàññìàòðèâàåì çàìêíóòûé è îòêðûòûé ïðÿìîóãîëüíèê. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì m(P ) = (b − a)(d − c). Íàçîâåì ïëîñêîå ìíîæåñòâî Q ýëåìåíòàðíûì, åñëè åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü õîòÿáû îäíèì ñïîñîáîì êàê îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Theorem 7. Âñå îãðàíè÷åííûå ïëîñêèå ýëåìåíòàðíûå ìíîæåñòâà îáðàçóþò êîëüöî. Ñóùåñòâóåò ìåðà m(Q), êîòîðàÿ êàæäîìó ýëåìåíòàðíîìó ìíîæåñòâó ñîïîñòàâëÿåò äåéñòâèòåëüíîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî ñî ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì àääèòèâíîñòè: Åñëè Q = ∪nk=1 Pk è Pi ∩ Pk = ∅, i 6= k , òî X m(Q) = m(Pk ). k=1 Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 7 Åñëè A = ∪k Pk , B = ∪j Qj äâà ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâà, òî A ∩ B = ∪k,l (Pk ∩ Qj ) ýëåìåíòàðíîå ìíîæåñòâî (ïåðåñå÷åíèå ëþáûõ äâóõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ ñíîâà ïðÿìîóãîëüíèê). Ðàçíîñòü äâóõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ  ýëåìåíòàðíîå ìíîæåñòâî (äîêàæèòå!). Äëÿ äâóõ ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ A, B íàéäåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèê P , A ⊂ P , B ⊂ P . Òîãäà A ∪ B = P \ [(P \ A) ∩ (P \ B)] áóäåò ýëåìåíòàðíûì. Îòñþäà ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü A4B áóäåò ýëåìåíòàðíûì. Äîêàçàíî, ÷òî ýëåìåíòàðíûå ìíîæåñòâà îáðàçóþò êîëüöî. Îïðåäåëèì m(A), A = ∪k Pk , ãäå Pk ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìîóãîëüíèêè, ïî ôîðìóëå: m(Q) = X k 12 m(Pk ). Äîêàæåì, ÷òî m(A) íå çàâèñèò îò ñïîñîáà ðàçáèåíèÿ A â ñóììó êîíå÷íîãî ÷èñëà ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Ïóñòü A = ∪k Pk = ∪j Qj , Pi ∩ Pk = ∅, Qi ∩ Qk = ∅, i 6= k . Ïî àääèòèâíîñòè äëÿ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîâ: X k m(Pk ) = X m(Pk ∩ Qj ) = X m(Qj ). j k,j Ïðîáëåìà 1. Êàê ðàñïðîñòðàíèòü ìåðó ñ êîëüöà (ñ àëãåáðû) ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ íà áîëüøåå σ -êîëüöî (σ àëãåáðó) ñ ñîõðàíåíèåì àääèòèâíîñòè (ñâîéñòâî àääèòèâíîñòè òðåáóåòñÿ îáîáùèòü äî ñâîéñòâà σ àääèòèâíîñòè)? Êàêàÿ σ àëãåáðà ïðè ýòîì ïîëó÷èòñÿ? 2. Ìîæíî ëè ïîñòðîèòü σ àääèòèâíóþ ìåðó íà ìíîæåñòâå âñåõ ïîäìíîæåñòâ 2R äàííîãî îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà R, ñêàæåì, äëÿ S = R (mod n), n ∈ Z (îêðóæíîñòü äëèíû 1, (ïî÷åìó S îêðóæíîñòü?))? Îòâåòû: 1. Ìîæíî, ìû ýòî ñäåëàåì íà ñëåäóþùåé ëåêöèè. Ïîëó÷èòñÿ σ àëãåáðà áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ. 2. Ýòî ñäåëàòü íåâîçìîæíî. Ïóñòü αíåêîòîðîå (ëþáîå) èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî. Ðàçîáúåì òî÷êè îêðóæíîñòè S íà êëàññû ýêâèâàëåíòîíîñòè. Ñêàæåì, ÷òî äâå òî÷êè x, y ∈ S ýêâèâàëåíòíû, åñëè x − y = nα, äëÿ íåêîòîðîãî α ∈ Z. Êàæäûé êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè  ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî òî÷åê (ïî÷åìó?). Âûáåðåì èç êàæäîãî êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè ïî îäíîé òî÷êå. Îáîçíà÷èì òàê îïðåäåëåííîå ìíîæåñòâî ÷åðåç Φ0 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç Φn ñäâèã ìíîæåñòâà Φ0 íà nα âäîëü S . 1. Ìíîæåñòâà Φn1 , Φn2 , n1 6= n2 íå ïåðåñåêàþòñÿ. 13 2. Îáúåäèíåíèå ∪n Φn = S ñîñòàâëÿåò âñþ îêðóæíîñòü. 3. Ìíîæåñòâà Φn1 , Φn2 , n1 6= n2 êîíøðóýíòíû (îäíî èç äðóãîãî ïîëó÷àåòñÿ ñäâèãîì îêðóæíîñòè íà (n2 − n1 )α. Ïîýòîìó, ïî σ àääèòèâíîñòè ïîëó÷èòñÿ: 1= +∞ X m(Φn ), m(Φn1 ) = m(Φn2 ), n=−∞ ÷òî íåâîçìîæíî. 14