Гидростатика.Общие выражения для сил давления.Силы равномерно распределенного давления.

Л 3. ГИДРОСТАТИКА 3.1. Общие выражения для сил давления. Силы равномерно распределенного давления. 3.1.1. Элементарная сила давления. На рис. 1 показана площадь S твердого тела, контактирующая с жидкостью, и ее произвольная элементарная площадка dS. К ней примыкает такая же жидкая площадка dS с единичным вектором нормали n , направленным из жидкости к твердой поверхности (наружу от объема жидкости, как было определено в п. 1.3.2.1. Л1). На жидкую площадку действует элементарная сила давления (см. формулу(8, Л1)): dPж   pdSn . По третьему закону Ньютона на площадку dS твердой поверхности действует противоположно направленная сила: (1) dP  pdSn . z S dS dP p dPж n y x Рис. 1. — Элементарная сила давления 3.1.2. Сила давления и центр давления. Главный вектор всех элементарных сил давления dP по площади S называется силой давления на эту площадь и, в соответствии с положениями теоретической механики, равен: (2) P   pndS . S Точка на поверхности, через которую проходит вектор силы давления, называется центром давления и обозначается буквой «D». Главный момент всех сил dP равен [1]: L   r  dP   r  npdS  rD  P , S (3) S где r — радиус вектор площадки dS (см. рис. 1), rD — радиус вектор центра давления. Замкнутая система или объект, силу давления на который требуется рассчитать, чаще всего окружен атмосферным давлением со всех сторон, в частности, в местах контакта с жидкостью воздействие давления жидкости представляется как сумма воздействий атмосферного и избыточного давлений. Действие атмосферного давления с одной стороны уравновешивается его воздействием с другой стороны. Поэтому главный вектор всех сил давления на замкнутый объект определяется избыточным давлением и в формулах (2), (3) целесообразно использовать избыточное давление [1]. В дальнейшем под силой давления будем понимать силу воздействия избыточного давления. 3.1.3. Проекции сил давления. На рис. 2 показана произвольная криволинейная поверхность S, на которую действует давление p. Определим проекцию Pz главного вектора сил давления p на произвольную ось z. Для этого спроектируем поверхность S на плоскость A — A ортогональную оси z. Площадь проекции обозначена через Sz. Проекция произвольной элементарной площадки dS обозначена через dSz. Через α обозначен угол между единичным вектором n и направлением оси z. Такой же угол образуют касательная τ к площадке dS и координатная ось y, ввиду взаимной ортогональности сторон этих углов (ось y ортогональна направлению оси z, а касательная τ — вектору n ). Так как ось y параллельна плоскости A — A, то справедливо dS z  dS cosα . С другой стороны, проекция  n  z вектора n на ось z равна cosα . В результате получим:  n  z dS  dS z . (4) A z .. D C Sz S Pz 0 p α n dS dS z A α τ y Рис. 2. — Проекция главного вектора сил давления на произвольную ось Это же равенство можно доказать в трехмерном пространстве [1], для чего достаточно переместить центр координатной плоскости (y0z) на вектор n площадки dS и повернуть ось y так, чтобы этот вектор целиком лежал в данной плоскости, как и показано на рис. 2. Подставив данное равенство в формулу (2), получим: Pz   pndS   p  n  z dS   pdS z . (5)  S  z S S Проекцию на ось x силы давления можно определить как силу давления по площади Sz проекции криволинейной поверхности на соответствующую плоскость. В случае вакуума данная формула с учетом равенства p   pв дает отрицательное значение Pz, что означает направление соответствующего вектора против направления оси z. В соответствии с формулой (3) для проекций момента от вектора Pz k , где k — орт оси z, и площади Sz, на которой выполняется n z  1 и n x  n y  0 , получим: (6) Lx   ypdS z  Pz y D ; L y   xpdS z  Pz x D . S S где yD, xD — координаты центра давления на площади Sz (см. рис. 2). Разумеется, если плоскость (y0z) проходит через центр давления, то xD = 0. Использовав формулу (5), запишем: (7) y D   ypdS z  pdS z ; x D   xpdS z  pdS z S S S S Аналогичным образом можно определить проекции силы давления на оси y, x и соответствующие координаты центра давления. 3.1.4. Силы равномерно распределенного давления. Равномерно распределенное давление на поверхности (p = const) возникает под действием невесомой жидкости (как правило, газа), либо под действием тяжелой жидкости, если эта поверхность является горизонтально расположенной плоскостью. Рассмотрим первый случай для криволинейной поверхности. Формула (5) запишется следующим образом: Pz  pS z . (8) Если ось z является осью симметрии поверхности S, либо края этой поверхности по всему периметру совпадают с плоскостью, ортогональной оси z, то проекции сил по другим осям отсутствуют, то есть справедливо: P  pS z k . Формула (7) запишется в следующем виде: 1 yD   ydS z  yc , S z Sz (9) (10) где yc — координата точки «C», называемой центром тяжести соответствующей поверхности (см. рис. 2) [1]. В случае горизонтально расположенной плоской поверхности S  S z и формулы (9) и (10) запишутся в следующем виде: 1 (11)  ydS  yc . SS Для однородно распределенного давления центр давления совпадает с центром P  pSk ; yD  тяжести. 3.2. Вывод расчетных формул для силы давления и центра давления на плоской стенке в тяжелой жидкости Рассматривается плоская стенка с площадью S, имеющая угол наклона α к пьезометрической плоскости и находящаяся под избыточным давлением тяжелой жидкости — см. рис. 3. В качестве оси x возьмем линию пересечения пьезометрической плоскости с плоскостью, в которой находится данная стенка [1]. На основной проекции рис. 3 она изображена точкой «0» начала координат, то есть направлена ортогонально плоскости рисунка. Ось z, как и ранее, направим ортогонально плоскости данной стенки, ввиду чего справедливо S = Sz, P  Pz k . Тогда ось y проходит в плоскости данной стенки под углом α к пьезометрической плоскости — см. рис. 3. Следовательно, пьезометрическая высота и избыточное давление в любой точке на стенке равны: (12) hп  y sin α; p  ρghп  ρgy sin α . ПП α z hC . . . .. p0 . . . .. . .. .. .. . x 0 x .C P S .. C y D y S x Рис. 3. — Силы давления на плоские наклонные стенки Использовав соотношение (12) в формуле (5), получим: P  ρg sin α  ydS ; P  Pk , S (13) Вспомнив обозначение yc  площади S, запишем: 1  ydS для координаты центра тяжести «C» SS P  ρg sin αyc S  ρghc S , (14) где hc — пьезометрическая высота в центре тяжести (см. рис. 3). Справедлива также формула: P  pc S , (15) где pc  ρghc — давление в центре тяжести. Для иллюстрации координатную плоскость x0y вместе со стенкой повернем на 90°, расположив в плоскости рисунка. Площадь стенки S имеет центр давления «D», для координат yD, xD которого формулы (7) с использованием формул (12) запишутся следующим образом: y D  ρg sin α  y 2dS ρg sin α  ydS   y 2dS y c S ;  S S S (16)  x D   xydS y c S .  S  Произведя замену переменных x и y на y и x осей, проходящих через центр тяжести (см. рис. 3), получим: y D  yC  J x yC S , x D  xC  J xy yC S , (17) 2 где J x    y  dS — момент инерции площади S относительно оси x ; J xy   xydS S S — центробежный момент инерции относительно осей y и x . Данные расчетные формулы верны также для вертикальной стенки, для которой координаты y можно заменить пьезометрической высотой. Если ось y является осью симметрии площади S, то J xy =0 и x D  xC . Момент инерции J x всегда больше нуля и при избыточном давлении в центре тяжести y D  yC . В случае вакуума пьезометрическая плоскость расположена ниже центра тяжести, то есть yC  0, pC  0 и y D  yC , P  0, что означает направление вектора силы давления обратное оси z. 3.3. Вывод расчетных формул для сил давления на криволинейные поверхности в тяжелой жидкости, тело давления. Пусть криволинейная поверхность S находится под воздействием избыточного давления тяжелой жидкости. Расположим начало координат на пьезометрической плоскости — см. рис. 4 [1]. Пьезометрическая высота равна координате y и для избыточного давления справедливо: p  ρgy . (18) В рассматриваемом случае, чаще всего, отдельно определяют составляющие Pz k , Px i вектора силы давления P по горизонтально направленным осям z, x и составляющую Py j по вертикально направленной оси y (см. рис. 4). Причем, всегда можно найти такое направление оси z, что Px = 0, например, направление, когда плоскость y0z (плоскость рис. 4) является плоскостью симметрии поверхности S. Суммарная сила давления определяется по известному правилу сложения ортогональных векторов: P  Px2  Py2  Pz2 . Cт . A S ..C D Pz n Py z yC (hC) . . . .. p0 . . . .. . .. .. .. . x 0 yD, h D Wт.д Sy ПП (19) Вид A повернуто x Sz y  y  P Рис. 4. Силы давления на криволинейную поверхность Проекции поверхности S на пьезометрическую плоскость, а также на плоскости, ортогональные осям z и x , обозначим через Sy, Sz и Sx, соответственно (см. рис. 4). Формула (5) для этих проекций с учетом выражения (18) запишется следующим образом: Py  ρg  ydS y , Pz  ρg  ydS z . S Величина (20) Sz 1  ydS z  yC  hC является координатой y центра тяжести C S z Sz площади Sz и, следовательно, пьезометрической высотой hC на уровне центра тяжести — см. рис.4. Справедлива формула: Pz  ρghC S z  pC S z . (21) Она соответствуют формуле (14) для вертикальной плоской стенки. Для координат центра давления D площади Sz справедливы выражения (17) с заменой обозначения S на площадь Sz. Для горизонтальной силы Px имеют место аналогичные соотношения. В случае вакуумметрического давления справедливы соответствующие замечания, сделанные для плоской стенки. Телом давления называется объем (Wт.д), образованный рассматриваемой криволинейной поверхностью, пьезометрической плоскостью и цилиндрической поверхностью с вертикальными образующими по краям данной поверхности — см.рис. 4. Для тела давления и силы давления из выражения (20) можно записать: Wт.д   ydS y , Py  ρgWт.д . (22) S Физический смысл данной формулы заключается в том, что составляющая силы давления Py уравновешивает вес ρgWт.д жидкости, условно заключенной в теле давления. Вертикальная составляющая Py   j  силы давления может быть направлена как вниз, так и вверх. Ее линия действия проходит через центр тяжести тела давления Cт (см. рис. 4). Справедливо следующее правило [1]: если тело давление от поверхности S строится в сторону жидкости (примыкающих слоев жидкости), то сила направлена вниз ( Py j ), если оно строится в сторону материала твердой поверхности, то сила направлена вверх   Py j  (см. рис. 5). ПП n S1 S2 n W1 ; Py2 V n n по S1 Py1 W2 по S2 y Рис. 5. Учет перекрывающихся участков поверхности Более универсальное правило справедливое для любой силы давления и всех составляющих: вектор силы давления или ее составляющей, например Py   j  , направлен так, что образует острый угол с нормалью n к поверхности (см. рис. 1) на линии действия вектора. При этом в формулах (22) учитывается знак величин Wт.д и Py. (отрицательные значения в случае вакуума) При суммировании проекций различных сил этот знак и направление вектора, например  j , учитываются раздельно. Если на одном из участков (S1) поверхности S вектор n с осью y образует острый угол, а на другом участке (S2) — тупой, то соответствующие силы Py1 j и Py 2   j  на этих участках следует определять раздельно. Суммарная сила равна их разности. Если проекции этих участков на пьезометрическую плоскость одинаковы, то данная разность принимает следующий вид: Py  ρgV , (23) где W1, W2 — тело давления первого и второго участка (см. рис. 5); V  W1  W2 — объем, заключенный между данными участками поверхности (см. рис. 5). Литература 1. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика: учебник для вузов. – М.: Машиностроение, 1987.