Геометрическое определение вероятностей

Лекция 24 Геометрическое определение вероятностей Классическое определение вероятности основывается на том, что число всех возможных случаев конечно. Если распределение возможных исходов испытания непрерывно и бесконечно, то при решении задач часто используется понятие геометрической вероятности. Геометрическая вероятность является обобщением понятия классической вероятности в случае опытов с бесконечным (несчетным) числом исходов и используется в задачах на подсчет вероятности попадания точки в некую область, причем любое положение точки в этой области равновероятно. Пусть отрезок а составляет часть отрезка b. a b На отрезке b наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: Поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка b, вероятность попадания точки на отрезок а пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка b. Тогда вероятность попадания точки на отрезок а равна: P( A)  l (a) , l (b) где l (a) – длина отрезка а, l (b) – длина отрезка b. Пример 1. Электрический провод, соединяющий пункты В и С, порвался в неизвестном месте. Чему равна вероятность того, что разрыв произошел не далее 500 м. от пункта В, если расстояние между пунктами 2 км. Решение: Пусть событие А – разрыв провода произошел не далее 500 м. от пункта В. 1 P( A)  500  0,25 2000 Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка, т.е. брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры G, вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g. Тогда вероятность попадания точки в фигуру g равно: P( A)  S(g) , S (G ) где S (g ) – площадь фигуры g, S (G) – площадь фигуры G. Пример 2. Самолет бомбит железнодорожный мост, длина которого 100м и ширина 12м. Какова вероятность попасть в мост, если бомба может упасть в любую точку площади, равной 15000 кв.м. с одинаковой вероятностью? Решение. Событие А – бомба попала в мост. Площадь моста S ( A)  100  12  1200 м 2 , P( A)  общая площадь S  15000 м 2 , тогда S ( A) 1200   0,08 . S 15000 Пример 3 (Задача о встрече). Два друга договорились встретиться в определенном месте между 10 и 11 часами. Какова вероятность встречи друзей, если они договорились ждать друг друга в течение 30 минут? Решение. Пусть событие А – встреча друзей состоялась. Обозначим через х и у время прихода, 0  x, y  60 (минут). В прямоугольной системе 2 координат этому квадрата ОАВС. условию удовлетворяют точки, лежащие внутри Друзья встретятся, если между моментами их прихода пройдет не более 30 минут, то есть y  x  30, y  x; x  y  30, x  y. Этим неравенствам удовлетворяют точки, лежащие в закрашенной области. A B C O Площадь квадрата равна S кв  60 2  3600. Площадь закрашенной части равна 1 S  60 2  2   30  30  3600  900  2700. 2 Тогда вероятность встречи равна отношению площадей закрашенной области и квадрата. P( A)  S 2700 3    0,75. S кв 3600 4 Пусть фигура h составляет часть фигуры H. На фигуру H наудачу брошена точка. Тогда вероятность попадания точки в фигуру h равно: V ( h) , V (H ) где V (h) – объем фигуры h, V (H ) – объем фигуры H. P( A)  Пример 4. В шар с радиусом 5 см. вписан куб. Определить вероятность того, что выбранная наудачу точка внутри шара окажется внутри куба. Решение. Пусть событие А – наудачу выбранная точка оказалась внутри куба 3 4 4 500 Объем шара равен Vшара    R 3    53   см 3 . 3 3 3 Диагональ куба равна AC  2R  10 см. Пусть сторона квадрата равна a, тогда сторона AC  a 2. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AAC найдем сторону квадрата: a 2  2a 2  (2R) 2 ; 3a 2  4 R 2 ; a 2R . 3 Объем куба равен Vкуба 8R 3 8 125 1000 3 a    см . 3 3 3 3 3 3 3 Тогда вероятность того, что выбранная наудачу точка окажется внутри куба, равна V (h) 1000 500 2 P( A)   :   0,37 V (H ) 3 3 3 3 4