Функция нескольких переменных. Метод наименьших квадратов

10.06.20 Функция нескольких переменных . Метод наименьших квадратов Одним из широко применяемых приложений теории функции нескольких переменных – это метод наименьших квадратов. Рассмотрим следующую постановку задачи. Необходимо исследовать производство, процесс или явление, который описывается двумя величинами, например x, y, причем эти величины являются зависимыми друг от друга, говоря математическим языком, они имеют функциональную зависимость. Требуется определить эту функциональную зависимость. А какова окончательная цель нахождения функциональной зависимости процесса. Метод наименьших квадратов Если мы найдем функциональную зависимость между величинами x, y в виде некоторой функции, тогда будем иметь конкретную функцию который описывает исследуемый процесс. Значит можно использовать поведение функции и делать прогноз по дальнейшему развитию процесса. Постановка задачи метода наименьших квадратов. Пусть при исследовании некоторого процесса, которое описывается двумя функционально зависимыми величинами x, y были эмпирическим путем, т.е. экспериментальным путем получены последовательность пар чисел Метод наименьших квадратов Пусть задана таблица эмпирических данных: Для удобства рассуждений и графических построений будем считать, что все значения строго возрастают << …<< …< (*) По этим данным (*) требуется определить функцию, которая «наилучшим» образом была близка к этим точкам. Решение задачи Метод наименьших квадратов Построим на плоскости с декартовой системой координат точки с координатами (*) (, ) y (,) рис1 (,) . … …. x Метод наименьших квадратов Геометрически построенное множество эмпирических данных (точек) называется корреляционным полем. И наша задача по виду этого корреляционного поля определить функциональную зависимость этих величин. В качестве примера рассмотрим два заданных корреляционных поля Метод наименьших квадратов y y x Рис2 Рис3 Предложите варианты функциональной зависимости. x Метод наименьших квадратов Теперь попробуем подобрать некоторую функцию y=f(x) которая «наилучшим» образом будет приближена к этим точкам (рис1) (,) (,) y=(x) y=(x) y=(x) (,) y=(x) . … …. x Метод наименьших квадратов Конечно существует общая теория приближений, что можно построить функцию через n заданных точек на плоскости. Это теория интерполяций, а формула этой функции называется интерполяционной формулой. Но данная теория является очень сложной для использования, а для решения практических или экономических задач применяют более простую модель. Изучим эту модель и решим задачу. Метод наименьших квадратов Давайте из четырех предложенных функций (x), (x), (x), (x) выберем в качестве решения поставленной задачи и проанализируем относительно удобства его использования. Сформулируем критерии близости функций, они могут быть различными. Теперь сформулируем критерий близости для поставленной задачи по методу наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов Будем искать наилучшего приближения в виде линейной функции т.е. прямой. Для этого проведем дополнительное графическое построение и это построение изобразим на рис2. Метод наименьших квадратов рис2 (,) y B (,) A C Y=ax+b φ (,) . … …. x Метод наименьших квадратов Рассмотрим семейство построенных треугольников. Все они являются прямоугольными и подобными, причем угол при верхней вершине (на к-ом треугольнике) ABC равен углу между данной прямой и осью ox равен φ. Сделаем чертеж для отдельно взятого к-го треугольнике ABC. B φ A C Метод наименьших квадратов Из приведенного построения следует, что величиной характеризующей близость заданной точки B с координатами () равен длине стороны прямоугольника катету BC. С другой стороны этот катет можно определить по следующей формуле BC=AB Вычислим гипотенузу AB AB== Следовательно получили, что BC= Аналогичным образом можно вычислить для всех других катетов оставшихся треугольников. Метод наименьших квадратов Таким образом, в качестве показателя величины наилучшего приближения можно взять сумму всех катетов BC, т.е. + + …+ обозначим эту величину за r() r()= Функцию r( для исследования на экстремум представим в более удобном виде r()= Метод наименьших квадратов Исследуем на экстремум полученную функцию двух переменных r()= Определим критическую точку, точку в которой может достигаться экстремум, для этого вычислим частные производные = () = Метод наименьших квадратов Для найденных частных производных раскроем скобки и по необходимому признаку экстремума приравняем к нулю, тогда получим или раскрыв скобки суммирования получим Метод наименьших квадратов Из этой системы линейных уравнений найдем неизвестные коэффициенты прямой . Преобразуем полученную систему к следующему виду Метод наименьших квадратов А из этой системы можно легко получить решение Метод наименьших квадратов Найденное решение системы (,) является критической точкой и легко можно показать, что найденная точка –это точка минимума. Самостоятельно покажите правильность сформулированного утверждения. Тем самым мы нашли прямую наилучшего приближения к заданным точкам (*). Задание для самостоятельного выполнения Проиллюстрируем метод наименьших квадратов на простых модельных задачах Задача 1. Найти и построить эмпирические точки и прямую, если заданы точки с координатами (1,1) (2,3) (4,4) Задача 2. Найти и построить эмпирические точки и прямую, если заданы точки с координатами (1,2) (2,1) (3,4) (4,3) Задача 3. Найти и построить эмпирические точки и прямую, если заданы точки с координатами (5,2) (8,6) Задание для самостоятельного выполнения Попробуйте используя полученное построение сделать вывод для полученных решений Задача 1. Задача 2. Задача 3. Обоснуйте свой вывод. 10 июня 2020г. лекция по математике гр. Эб-91,92 ИТОГОВАЯ ОЦЕНКА менее 60%-неуд, 60-80 удовл, 80-90% хор, более 90% отл. РАСПИСАНИЕ ЭКЗАМЕНОВ 22 июня ЭБ(с)-92, 23 июня ЭБ(с)-91 1. Выполнить задания из лекции 10 июня, будет учитываться в качестве 100 баллов на экзамене 2. Ответить на любой один из вопросов, который получите сегодня это тоже 100 баллов на экзамене Все ответы на 1.,2. необходимо отправить