Функция Грина первой краевой задачи

Лекция 6. Представление решений уравнения Пуассона с помощью потенциалов. Функция Грина первой краевой задачи 1. Представление решений уравнения Пуассона с помощью потенциалов. Теорема. Пусть . Тогда для любой точки верно тождество где – внешняя нормаль к границе области . Доказательство. Применим 2-ю формулу Грина для функций ( – фиксированная точка) в области , где . Получим где , – внешняя нормаль к границе области (последняя, очевидно, состоит из границы области и сферы , являющейся границей шара ). Учитывая, что , приходим к равенству Рассмотрим интегралы Имеем: где – площадь сферы . Поскольку , Далее, когда . Следовательно, Перейдём ко второму интегралу . Имеем: где . При . Отсюда, используя теорему о среднем для интеграла, получим: где – некоторая точка. Заметим, что при , а потому . Делая предельный переход при в равенстве приходим к соотношению откуда перестановкой слагаемых получаем требуемую формулу. Замечание. Полученная формула называется представлением решения уравнения Пуассона с помощью потенциалов. Если в , , , то формула перепишется в виде где первый интеграл носит название объёмного потенциала с плотностью , – потенциала двойного слоя с плотностью , – потенциала простого слоя с плотностью . 2. Бесконечная дифференцируемость гармонических функций. Пусть – гармоническая функция в области т.е. . Тогда по теореме о представлении функции с помощью потенциалов Поскольку фундаментальное решение – бесконечно дифференцируемая функция всюду, кроме точки , но , то полученные интегралы можно дифференцировать по любое число раз. Отметим также, что гармонические функции обладают не только свойством бесконечной дифференцируемости, но и аналитичности. Мы не будем останавливаться на доказательстве этого факта, однако заметим, что в двумерном случае он нам, по сути, известен из курса комплексного анализа. Действительно, для произвольной гармонической функции от двух переменных существует аналитическая функция комплексного переменного, действительной (или мнимой, на выбор) частью которой данная гармоническая функция является. Беря действительную (мнимую) часть степенного ряда, в который разлагается функция , получим разложение в степенной ряд по функции . 3. Функция Грина первой краевой задачи для уравнения Лапласа. Пусть для каждой фиксированной точки – функция, удовлетворяющая условиям: Если такая функция существует, то с её помощью можно получить решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона Покажем это. Применим вторую формулу Грина для функций и : Поскольку , отсюда получаем: Вспомним формулу представления решения с помощью потенциалов: Сложим эти два тождества и, учитывая, что при , получим: где . Отметим, что полученная формула носит условный характер: если решение задачи Дирихле существует, то оно выражается через функцию с помощью этой формулы. Функция называется функцией Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области .