Функции нескольких переменных. Основные понятия.

Лекция №1 Функции нескольких переменных. Основные понятия. Ранее рассматривались числовые функции y  f x  одной переменной x . Областью определения такой функции являлось множество X  R . Числовая функция n переменных характеризуется тем, что областью ее определения является подмножество X пространства R n , n  1 . В этом случае значение аргумента x представляет собой точку x1 , x2 ,, xn  из пространства R n ; соответственно пишут y  f x1 , x2 ,, xn  , переменная y является функцией от n переменных x1 , x2 ,, xn , где x1 , x2 ,, xn   X . Последовательность точек в n-мерном евклидовом пространстве. Расстоянием между двумя произвольными точками M 1 x1 , x2 ,, xn  и M 2  y1 , y 2 ,, y n  пространства R n называется число  M 1 , M 2  , определяемое формулой  M 1 , M 2    y1  x1 2   y2  x2 2     yn  xn 2 . введенным по формуле  M 1 , M 2   Заметим, что пространство R n с  y1  x1 2   y2  x2 2     yn  xn 2 расстоянием между точками называется n-мерным евклидовым пространством и обозначается E n . Пусть точка A  E n , R – некоторое положительное число. Множество точек M :  M , A  R, называется n-мерным шаром радиуса R с центром в точке A . Множество точек M :  M , A  R, называется открытым n-мерным шаром радиуса R с центром в точке A . Открытый шар радиуса  с центром в точке A называется  -окрестностью точки A. Пусть точка A имеет координаты a1 , a2 ,, an  , а d1 , d 2 ,, d n – положительные числа. Множество точек M x1 , x2 ,, xn  : x1  a1  d1 , x2  a2  d 2 ,, xn  an  d n  называется n-мерным параллелепипедом. Определение. Точка A называется внутренней точкой множества M , если существует  -окрестность точки A , целиком принадлежащая множеству M . Определение. Точка A называется граничной точкой множества M , если в любой  -окрестности точки A содержатся точки, как принадлежащие множеству M , так и не принадлежащие ему. Определение. Множество M  называется открытым, если все его точки – внутренние. Определение. Множество M  называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки. Множество всех граничных точек множества M  называется его границей. Определение. Точка A называется предельной точкой множества M , если в любой  -окрестности точки A содержатся точки множества M , отличные от A . Отметим, что предельная точка множества может принадлежать, а может и не принадлежать этому множеству. Множество M  называется ограниченным, если все его точки содержатся в некотором шаре. Множество L  M x1 , x2 ,, xn  : x1  1 t , x2   2 t ,, xn   n t ;  t   , где 1 t ,  2 t ,,  n t  – непрерывные функции на отрезке  ,  , называется непрерывной кривой в пространстве E n . Точки A1  ,,  n   и B1  ,,  n   называются концами кривой L . Говорят также, что непрерывная кривая L соединяет точки A и B. Множество M  называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой, целиком принадлежащей этому множеству. Окрестностью точки A называется любое открытое связное множество, содержащее точку A . Открытое связное множество называют также областью, а объединение области и ее границы – замкнутой областью. Если каждому натуральному числу k поставлена в соответствие точка M k  E n , то говорят, что определена последовательность точек пространства E n : M 1 , M 2 ,, M k ,. Кратко ее обозначают символом M k . Определение. Точка A называется пределом последовательности точек M k , если lim  M k , A  0 . k  Последовательность M k  называется при этом сходящейся к точке A . Можно доказать, что сходимость последовательности точек эквивалентна покоординатной сходимости. Определение. Последовательность M k  называется фундаментальной, если   0N 0 : k  N 0 , p  N   M k , M k  p    . Теорема (критерий Коши сходимости последовательности). Для того чтобы последовательность M k  сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. Определение. Последовательность M k  называется ограниченной, если существует число R  0 такое, что k :  M k , O  R , где O – точка, все координаты которой равны нулю. Теорема (теорема Больцано – Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности точек пространства E n можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Предел функции нескольких переменных. Повторные пределы и их связь с пределом функции. Пусть M  – множество точек пространства E n . Если каждой точке M 1 x1 , x2 ,, xn   M  поставлено в соответствие некоторое число u , то говорят, что на множестве M  определена функция n переменных, и пишут u  f M  или u  f x1 , x2 ,, xn  . Числовые переменные x1 , x2 ,, xn называются независимыми переменными или аргументами функции. Множество M  называется областью определения функции f M  , а число u , соответствующее данной точке M – значением функции в точке M . Совокупность всех значений функции u  f M  называется множеством значений этой функции. Пусть функция u  f M  определена на множестве M  и точка A – предельная точка множества M . Определение (по Коши). Число b называется пределом функции f M  в точке A , если   0  0 такое, что M , удовлетворяющей условиям M  M ,0   M , A   , выполняется неравенство f M   b   . Теорема. Пусть функции f M  и g M  определены на множестве M  и пусть lim f M   b, lim g M   c . Тогда: M A M A lim  f M   g M   b  c; M A lim f M g M   bc; M A f M  b  , c  0. M  A g M  c Для функций многих переменных наряду с обычным понятием предела вводится понятие повторного предела. Оно связано с изучением предела функции при изменении только одной независимой переменной и фиксированных значениях остальных. Рассмотрим это понятие на примере функции двух переменных. u  f x, y  Пусть функция определена в прямоугольнике lim Q  x, y  : x  x0  d1 , y  y0  d 2 , кроме, быть может, отрезков прямых x  x0 , y  y0 . При фиксированном значении переменной y функция f x, y  становится функцией одной переменной x . Пусть для любого фиксированного значения y , удовлетворяющего условию 0  y  y0  d 2 , существует предел функции f x, y  при x  x0 : lim f x, y     y  . Пусть, далее, существует lim   y   b . Тогда говорят, что в точке x  x0 y  y0 M 0 x0 , y0  существует повторный предел функции f x, y  и пишут lim lim f x, y   b . Аналогично определяется другой повторный предел lim lim f x, y  . y  y0 x  x0 x  x0 y  y0 Теорема. Пусть в точке M 0 x0 , y0  существует предел функции f x, y  , равный b , а также внутренние пределы в двух повторных пределах этой функции. Тогда существуют повторные пределы lim lim f x, y  и lim lim f x, y  , причем каждый из них равен b . x  x0 y  y0 y  y0 x  x0 Заметим, что обратное утверждение неверно. Непрерывность функции. Пусть функция n переменных u  f M  определена на множестве M  и пусть A – предельная точка множества M , принадлежащая этому множеству. Определение. Функция u  f M  называется непрерывной в точке A , если lim f M   f  A . M A u  f M  в точке Приращением функции называется функция A u  f M   f  A, M  M . Условие непрерывности функции в точке A эквивалентно условию lim u  0 . M A Функция u  f M  называется непрерывной на множестве M , если она непрерывна в каждой точке этого множества. Функция многих переменных называется непрерывной в своей области определения, если она непрерывна в каждой точке этой области. Теорема (об арифметических операциях над непрерывными функциями). Если функции f M  и g M  определены на множестве M  и непрерывны в точке f M  , g  A  0 непрерывны в точке A . A  M , то функции f M   g M , f M g M  и g M  Пусть функции x1  1 t1 ,, t k , x2   2 t1 ,, t k ,, xn   n t1 ,, t k  определены на T t1 ,, t k   E k . Тогда каждой точке T t1 ,, t k  T  ставится в соответствие точка M x1 , x2 ,, xn   E n . Множество всех таких точек M обозначим M . Пусть на множестве M  определена функция u  f x1,, xn  . Тогда говорят, что на множестве T  определена сложная функция u  f 1 t1 ,, t k ,  2 t1 ,, t k ,,  n t1 ,, t k  . множестве Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть функции x1  1 t1 ,, t k , x2   2 t1 ,, t k ,, xn   n t1 ,, t k  непрерывны в точке Aa1 ,, ak  , а функция u  f x1 , x2 ,, xn  непрерывна в точке Bb1 ,, bn  , где Тогда сложная функция bi   i a1 ,, ak , i  1,2,, n . u  f 1 t1 ,, t k ,  2 t1 ,, t k ,,  n t1 ,, t k  непрерывна в точке A . Функция u  f M  называется ограниченной на множестве M , если множество ее значений ограничено. Теорема (первая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция ограничена на этом множестве. Теорема (вторая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция достигает на этом множестве своих точных граней. Пусть каждая точка M множества M  является его предельной точкой и пусть на множестве M  определена функция u  f M  . Определение. Функция u  f M  называется равномерно непрерывной на множестве M , если   0      0 такое, что M 1 , M 2  M  точек,  M 1 , M 2    , удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство f M 1   f M 2    . Теорема (теорема Кантора). Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция равномерно непрерывна на этом множестве. Частные производные и дифференцируемость функции. Пусть M x1 , x2 ,, xn  – внутренняя точка области определения функции u  f x1 , x2 ,, xn  . Рассмотрим частное приращение этой функции в точке M x1 , x2 ,, xn  x k xk : соответствующее приращению аргумента Отношение  xk u  f x1 , x2 ,, xk 1 , xk  xk , xk 1 ,, xn   f x1 , x2 ,, xk 1 , xk , xk 1 ,, xn  .  xk u является функцией одного аргумента x k при фиксированной точке x k M x1 , x2 ,, xn . Определение. Частной производной функции u  f x1 , x2 ,, xn  по аргументу x k в  xk u точке M называется lim , если он существует. xk 0 x k Эта частная производная обозначается любым из следующих символов: u M , f M , u xk M , f xk M  . Отметим, что при фиксированных значениях всех xk xk аргументов, кроме x k , функция u  f x1 , x2 ,, xn  становится функцией одной переменной. Производная этой функции одной переменной и есть частная производная функции u  f x1 , x2 ,, xn  по аргументу x k . Поэтому вычисление частных производных производится по тем же правилам, что и вычисление производных функций одной переменной. u Физический смысл частной производной: M  – это скорость изменения x k функции в точке M в направлении оси Oxk . Задание: Найти частные производные первого и второго порядков для функции y2 . z  x 2  3x y  y  x Решение: При вычислении z x переменная y рассматривается как постоянная y2 . Рассмотрим теперь переменную x как постоянную x2 3x 2y величину: z y  . 1 x 2 y величина: z x  2 x  3 y  Рассмотрим полное приращение функции u  f x1 , x2 ,, xn  во внутренней точке M x1 , x2 ,, xn  области определения функции u  f x1  x1 ,, xn  xn   f x1 ,, xn  . Оно является функцией аргументов x1 ,, xn . Определение. Функция u  f x1 , x2 ,, xn  называется дифференцируемой в точке M x1 , x2 ,, xn  , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде u  A1x1    An xn  1x1     n xn , где Ai – некоторые числа,  i , i  1,n – функции аргументов x1 ,, xk , бесконечно малые при x1  0,, xn  0 и равные нулю при x1  0,, xn  0 . Условие дифференцируемости u  A1x1    An xn  1x1     n xn можно записать в другой, эквивалентной форме: u  A1x1    An xn     , где  x1 2  xn 2 – расстояние между точками M x1 , x2 ,, xn  и M x1  x1 , x2  x2 ,, xn  xn ,     o  при   0,  0  0 . Теорема. Если функция u  f x1 , x2 ,, xn  дифференцируема в точке M , то она непрерывна в этой точке. Обратная теорема неверна. Заметим, что для функции одной переменной y  f x  существование производной в точке x 0 является необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке. Для функции нескольких переменных дифференцируемость и существование частных производных не являются эквивалентными свойствами функции. Теорема (необходимое условие дифференцируемости). Если функция u  f x1 , x2 ,, xn  дифференцируема в точке M , то она имеет в точке M частные производные по каждому аргументу x1 , x2 ,, xn . u При этом M   Ak , k  1,, n , где Ak – числа из равенства xk u  A1x1    An xn  1x1     n xn . Поэтому условие дифференцируемости можно записать в виде u  A1x1    An xn  1x1     n xn u M x1    u M xn  1x1     n xn . u  x1 xn Обратная теорема неверна. Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Если функция u  f x1 , x2 ,, xn  имеет частные производные по каждому аргументу x1 , x2 ,, xn в некоторой точке M и эти частные производные непрерывны в точке M , то функция u  f x1 , x2 ,, xn  дифференцируема в точке M . Теорема. Пусть функции x1  1 t1 ,, t k , x2   2 t1 ,, t k ,, xn   n t1 ,, t k  дифференцируемы в точке Aa1 ,, ak  , а функция u  f x1 , x2 ,, xn  дифференцируема в точке Bb1 ,, bn  , где bi   i a1 ,, ak , i  1,2,, n . Тогда сложная функция u  f 1 t1 ,, t k ,  2 t1 ,, t k ,,  n t1 ,, t k  дифференцируема в точке A и ее частные производные в этой точке выражаются формулами n  u  A  f B  1  A    f B   n  A   f B  j  A, i  1,2,, k . t i x1 t i xn t i t i j 1 x j Задание: Для функции z  e u sin v , u  xy, v  x  y , найти частные производные. Решение: z x  zu  u x  z v  vx  e u sin v  y  e u cos v  1  e xy y sinx  y   cosx  y , z y  zu  u y  z v  vy  e u sin v  x  e u cos v  1  e xy x sinx  y   cosx  y  . Пусть функция u  f x1 , x2 ,, xn  дифференцируема в точке M x1 , x2 ,, xn  . Дифференциалом функции u  f x1 , x2 ,, xn  в точке M называется линейная u функция аргументов x1 ,, xn : du  M x1    u M xn . x1 xn Дифференциалом независимой переменной x i будем называть приращение этой переменной: dxi  xi . Тогда дифференциал функции u  f x1 , x2 ,, xn  в точке M u можно записать в виде du  M dx1    u M dxn . x1 xn Если аргументы дифференцируемой в точке M b1 , b2 ,, bn  функции u  f x1 , x2 ,, xn  являются не независимыми переменными, а дифференцируемыми t1 ,, t k : функциями каких-либо независимых переменных x1  1 t1 ,, t k , x2   2 t1 ,, t k ,, xn   n t1 ,, t k , причем bi   i a1 ,, ak , i  1,2,, n , то дифференциал сложной функции u  f 1 t1 ,, t k ,  2 t1 ,, t k ,,  n t1 ,, t k  в точке u Aa1 ,, ak  имеет вид du  M dx1    u M dxn , но dx1 ,, dxn являются не x1 xn x1 , x2 ,, xn , приращениями переменных а дифференциалами функций x1  1 t1 ,, t k , x2   2 t1 ,, t k ,, xn   n t1 ,, t k  в точке то есть A, x x dxi  i  Adt1    i  Adt k , i  1,, n . Это свойство называется инвариантностью t1 t k формы первого дифференциала. 2 Задание: Найти дифференциал функции z  e x y . Решение: Находим частные производные z x  2 xye x y , z y  x 2 e x y , а затем дифференциал 2 2 dz  2 xye x y dx  x 2 e x y dy . 2 2 Задание: Вычислить приближенное значение функции z  tg 3 x  3e y в точке M x, y  при x  Решение: tg 3 2,4  3e 0,01 , исходя из значения 3  2,36, y  0 . 4 Находим значение данного корня из соотношения tg 3 2,4  3e 0,01   3  tg 3    3e 0  dz  2  dz , при этом dz вычисляем как приращение функции,  4  обусловленное приращением аргументов x  2,4  2,36  0,04, y  0,01 . Имеем: 1 3tg 2 x  3e y cos 2 x dx  dz  z x dx  z y dy  dy ; 2 tg 3 x  3e y 2 tg 3 x  3e y  3 3tg 2   4 dz M   Тогда 1    cos 2  3    3e 0  4   0,04   0,01  0,095 . 3  3  3  3  2 tg    3e 2 tg    3e  4   4  tg 3 2,4  3e 0,01  2  0,095  1,509 . Частные производные и дифференциалы высших порядков. Пусть функция u  f x1 , x2 ,, xn  имеет частную производную u xi в каждой u имеет в точке M частную производную xi по аргументу x k , то эта производная называется частной производной второго порядка в точке и обозначается одним из следующих символов: M 2 2  u M ,  f M , u xi xk M , f xi xk M  . Если k  i , то частная производная второго xk xi xk xi порядка называется смешанной. Если k  i , то частная производная второго порядка  2u  2 f обозначается , 2 ,ux 2 , f x 2 . 2 i i xi xi Частные производные третьего порядка определяются как частные производные от частных производных второго порядка и так далее. Частная производная n - ого порядка  nu функции u  f x1 , x2 ,, xn  по аргументам xi1 , xi2 ,, xin обозначается и xin xin 1  xi1 точке некоторой окрестности точки M . Если   n1u   .  xi  xi  1   n 1 Если не все индексы i1 , i2 ,, in равны друг другу, то частная производная n - ого порядка называется смешанной. определяется формулой  nu   xin xin 1 xi1 xin Теорема. Если в некоторой окрестности точки M 0 x0 , y0  функция u  f x, y  имеет смешанные частные производные f xy x, y  и f yx x, y  , причем эти смешанные частные производные непрерывны в точке M 0 , то они равны в этой точке: f xy x0 , y0  = f yx x0 , y0  . Если равенство f xy x0 , y0  = f yx x0 , y0  выполняется, то говорят, что смешанные частные производные второго порядка функции u  f x, y  не зависят от порядка дифференцирования в точке M 0 x0 , y0  . Обобщением последней теоремы является следующая теорема. Теорема. Если все смешанные частные производные n - ого порядка функции u  f x1 , x2 ,, xn  существуют в некоторой окрестности точки M 0 и непрерывны в точке M 0 , то они не зависят в точке M 0 от порядка дифференцирования. Пусть функция u  f x, y  независимых переменных x и y дифференцируема в окрестности точки M 0 x0 , y0  и дважды дифференцируема в точке M 0 . Первый u x, y dx  u x, y dy является функцией четырех дифференциал функции du  x y u переменных: x, y, dx, dy , причем x, y  и u x, y  – дифференцируемые в точке M 0 x y функции. Второй дифференциал или дифференциал второго порядка d 2 u функции u  f x, y  в точке M 0 определяется как дифференциал в точке M 0 от первого дифференциала du при следующих условиях: du рассматривается как функция только независимых переменных x и y ; 1. u 2. при вычислении дифференциалов от x, y  и u x, y  приращение y x независимых переменных x и y берутся такими же, как и в выражении для du , то есть равными dx и dy . На основании этого определения получается формула 2 2 2  u  u M 0 dxdy   u2 M 0 dy 2 , где dx 2  dx2 , dy 2  dy 2 . d 2 u M 0  2 M 0 dx 2  2 xy x y n Дифференциал d u произвольного n - ого порядка функции u  f x, y    определяется индуктивно по формуле d n u  d d n1u при таких же условиях, что и дифференциал второго порядка. Теорема. Если функция u  f x1 , x2 ,, xm  дифференцируема n  1 раз в некоторой  f x  -окрестности точки M x  x1 , x  x2 ,, x  xm   2 m    этой то для любой точки  -окрестности справедливо равенство 1 2 1 1 d u M0    d nu M0  d n1u N , 1  x1 , , x m  x m  f x1 , , x m  du M 0  n  1! 2! n! где N – некоторая точка, лежащая на отрезке M 0 M , а дифференциалы d k u вычисляются 1 из  M 0 x10 , x20 ,, xm0 ,   по формуле d k u  d d k 1u , причем dxi  xi , i  1,, m . Формула 1 1 f x10  x1 ,, xm0  xm  f x10 ,, xm0  du M 0  d 2 u M 0    d n u 2! n!     M0  1 d n1u n  1! N называется формулой Тейлора для функции u  f x1 , x2 ,, xm  с центром разложения в точке M 0 x10 , x20 ,, xm0  . Если положить xi  xi  xi0 , i  1,2,, m и раскрыть выражения для d k u , то M0 формулу f x10  x1 ,, xm0  xm   f x10 ,, xm0   du можно записать в M0  1 2 d u 2! M0  1 n d u n!   f x1 ,, xm   f x10 ,, xm0  виде M0  1 d n1u n  1! N f M 0  x  x10    x1   1 2 f 1 n f f 0 2 M 0  x1  x1    M 0  xm  xm0 n  Rn1  M 0 xm  xm    2 n 2! x1 n! xm xm  Pn x1 ,, xm   Rn1 , где Pn x1 ,, xm  – многочлен степени n от переменных x1 ,, xm , а 1 Rn 1  d n 1u N – остаточный член. n  1! Многочлен Pn x1 ,, xm  называется многочленом Тейлора; он обладает тем свойством, что значения его и всех его частных производных до n -го порядка включительно в точке M 0 соответственно равны значениям функции u  f x1 , x2 ,, xm      и ее частных производных в точке M 0 . Дифференцирование неявной функции. Следующая теорема носит локальный характер: утверждается существование, единственность и дифференцируемость неявной функции в некоторой окрестности точки. Теорема. Пусть функция F x, y  дифференцируема в некоторой окрестности  точки M 0 x0 , y0  ; частная производная Fy непрерывна в точке M 0 ; F x0 , y0   0, Fy x0 , y0   0 . Тогда существует такой прямоугольник x, y  : x  x  d , y  y0  c, d  0, c  0   , в котором уравнение F x, y   0 определяет единственную неявную функцию y  f x  , причем f x0   y0 , функция f x  дифференцируема на интервале x0  d , x0  d  , и ее производная вычисляется по формуле f x    Fx x, y  Fy x, y   y f x  Fx x, f x  . Fy x, f x  F x1 , x2 ,, xm , y   F M  дифференцируема в некоторой Теорема. Пусть функция окрестности  точки M 0 x , x20 ,, xm0 , y 0 ; частная производная Fy непрерывна в точке 1 F M 0   0, Fy M 0   0 . M0; x , x ,, x 1 2 уравнение m Тогда существует такой  , y  : xi  xi0  d i i  1,2,, m, y  y0  c, d i  0, c  0   , параллелепипед в котором F x1 , x2 ,, xm , y   0 определяет единственную неявную функцию вида y  f x1 , x2 ,, xm , причем   f x10 , x20 ,, xm0  y 0 , функция y  f x1 , x2 ,, xm  дифференцируема при xi  xi0  d i i  1,2,, m , и ее частные производные вычисляются по формуле F x , x ,, xm , f x1 , x2 ,, xm  f i  1,2,, m . x1 , x2 ,, xm    xi 1 2 xi Fy x1 , x2 ,, xm , f x1 , x2 ,, xm  Задание: Найти производную функции, заданной неявным образом xy  e x  e y  0 . y  ex Решение: f x, y   xy  e  e . Имеем f x  y  e , f y  x  e . Поэтому y x   . x  ey x y x y Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала функции z = f(x,y). Заметим, что для функции одной переменной y  f x  из дифференцируемости функции в точке x 0 следует существование касательной к графику функции в точке M x0 , f x0  . Рассмотрим непрерывную функцию двух переменных u  f x, y , x, y   G . График этой функции, то есть множество точек S  x, y, f x, y , x, y   G представляет собой поверхность в пространстве E 3 . Пусть плоскость P проходит через точку N 0 x0 y0 f x0 , y0  поверхности S ; N x, y, f x, y  – произвольная точка на поверхности S ; N 1 – основание перпендикуляра, проведенного из точки N к плоскости P . u n S P N N0 N1 O M x, y  y M 0  x0 , y 0  x Определение. Плоскость P , проходящая через точку N 0 поверхности S , называется касательной плоскостью к поверхности S в этой точке, если при N  N 0 , N  S величина  N , N1  является бесконечно малой более высокого порядка, чем  N , N 0  . Теорема. Если функция u  f x, y  дифференцируема в точке M 0 x0 , y0  , то в точке N 0 x0 , y0 , f x0 , y0  существует касательная плоскость к поверхности S , причем уравнение касательной плоскости имеет вид u M 0 x  x0   u M 0  y  y0   u  f x0 , y0   0 . x y  u  u Вектор n нормали к касательной плоскости, то есть n   M 0 , M 0 ,1 , y  x  называется вектором нормали или нормалью к поверхности S в точке N 0 x0 , y0 , f x0 , y0 . Задание: Найти касательную плоскость и нормаль к сфере x 2  y 2  z 2  R 2 в ее точке M 0 x0 , y0 , z 0  . Решение: Найдем касательную плоскость и нормаль к сфере x 2  y 2  z 2  R 2 .  F   F   F    2 y 0 ,  Имеем    2 x0 ,    2 z 0 , и значит, уравнением касательной  x  0  z  0  y  0 плоскости будет x0 x  x0   y0  y  y0   z 0 z  z 0   0 или x0 x  y0 y  z 0 z  R 2 . Уравнения x  x0 y  y 0 z  z 0   . x0 y0 z0 Локальный экстремум функции. Пусть функция u  f x1 , x2 ,, xm  определена в некоторой окрестности точки нормали имеют вид   M 0 x10 , x20 ,, xm0 . Определение. Говорят, что функция u  f M  имеет в точке M 0 локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки M 0 , для всех точек которой при M  M 0 выполняется неравенство f M   f M 0 ,  f M   f M 0  . Если функция имеет в точке M 0 локальный максимум или локальный минимум, то говорят также, что она имеет в этой точке локальный экстремум или просто экстремум. Теорема (необходимое условие существования экстремума). Если функция u  f M   f x1 ,, xm  имеет в точке M 0 x10 , x20 ,, xm0  локальный экстремум и в этой точке существует частная производная функции по аргументу x k , то u M 0   0 . x k Следствие. Если функция u  f M   f x1 ,, xm  имеет в точке M 0 локальный u экстремум и дифференцируема в этой точке, то du M 0  M 0 dx1    u M 0 dxm  0 x1 xm при любых значениях дифференциалов независимых переменных dx1 ,, dxm . Точки, в которых первый дифференциал равен нулю, принято называть точками возможного экстремума этой функции. Для отыскания точек возможного экстремума  f x1  x1 , , x m   0  функции u  f x1 , x2 ,, xm  нужно решить систему уравнений  .   f x ,, x   0 m  xm 1 Функция вида 2 2 2 Qx1 ,, xm   a11x1  a12 x1 x2    a1m x1 xm  a21x2 x1  a22 x2    amm xm , где a ij – числа, причем aij  a ji , называется квадратичной формой от переменных x1 , x2 ,, xm . Числа a ij называются коэффициентами квадратичной формы, а составленная из этих  a11 a12  a1m     a 21 a 22  a 2 m  A коэффициентов симметричная матрица – матрицей       a   m1 a m 2  a mm  квадратичной формы. a11  a1k a11  a1m a11 a12  1  a11 ,  2  , ,  k     , ,  m     Определители a 21 a 22 a k1  a kk a m1  a mm называются угловыми или главными минорами матрицы A . Квадратичная форма Qx1 ,, xm  называется положительно определенной (отрицательно определенной), если для любых значений переменных x1 , x2 ,, xm , одновременно не равных нулю, она принимает положительные (отрицательные) значения. Квадратичная форма называется знакоопределенной, если она является либо положительно определенной, либо отрицательно определенной. Квадратичная форма Qx1 ,, xm  называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы: 1. Для того чтобы квадратичная форма Qx1 ,, xm  была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры ее матрицы были положительны:  1  0,  2  0,,  m  0 . 2. Для того чтобы квадратичная форма Qx1 ,, xm  была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров ее матрицы чередовались следующим образом: 1  0,  2  0,  3  0,  4  0,. Второй дифференциал функции u  f x1 , x2 ,, xm  , где x1 , x2 ,, xm – независимые переменные, в точке M 0 можно записать в виде d 2 u M0   2u M 0 dxi dx j . Это  i , j 1 xi x j m выражение показывает, что второй дифференциал функции u  f x1 , x2 ,, xm  в данной точке M 0 является квадратичной формой от переменных dx1 , dx2 ,, dxm , а частные  2u M 0  – коэффициентами этой квадратичной формы. xi x j Теорема (достаточные условие существования экстремума). Пусть функция u  f M   f x1 ,, xm  дифференцируема в некоторой окрестности производные второго порядка точки M 0 x10 , x20 ,, xm0  и дважды дифференцируема в самой точке M 0 , причем точка M 0 – точка возможного экстремума данной функции, то есть du дифференциал d 2 u M0 M0  0 . Тогда если второй является положительно определенной (отрицательно определенной) квадратичной формой от переменных dx1 , dx2 ,, dxm , то функция u  f M  имеет в точке M 0 локальный минимум (максимум). Если же d 2 u M0 , является знакопеременной квадратичной формой, то в точке M 0 функция u  f M  не имеет локального экстремума. Пусть функция u  f x, y  независимых переменных x и y дифференцируема в окрестности точки M 0 x0 , y0  и дважды дифференцируема в точке M 0 , причем M 0 – точка возможного экстремума данной функции, то есть du M0  0 . Введем обозначения  2u  2u  2u     M 0  . Тогда из предыдущей теоремы и критерия M , a  M , a  12 22 xy x 2 y 2 Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы следуют утверждения: a11  1) 2) 3) 2 если D  a11a22  a12  0 , то в точке M 0 функция u  f x, y  имеет локальный экстремум (максимум при a11  0 и минимум при a11  0 ); если D  0 , то в точке M 0 функция u  f x, y  не имеет локального экстремума; если D  0 , то в точке M 0 функция u  f x, y  может иметь локальный экстремум, а может и не иметь его. Производная по направлению, градиент функции нескольких переменных. Пусть G – область в трехмерном пространстве или на плоскости. Говорят, что в области G задано скалярное поле, если каждой точке M  G поставлено в соответствие некоторое число u M  . Поверхность (линия), на которой функция u M  принимает постоянное значение, называется поверхностью (линией) уровня скалярного поля. Если в пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz , то скалярное поле описывается функцией трех переменных: u  ux, y, z , x, y, z   G . Говорят, что в области G задано векторное поле, если каждой точке M  G  поставлен в соответствие некоторый вектор a M  .  Удобной геометрической характеристикой векторного поля a M  служат  векторные линии – кривые, в каждой точке M которых вектор a M  направлен по касательной к кривой. Пусть векторная линия, проходящая через точку M 0 , описывается уравнением     r  r t  , где t – параметр. Условие коллинеарности поля a и касательного вектора r t  в   dr произвольной точке этой линии имеет вид  a , где  – некоторое число. Данное dt уравнение является дифференциальным уравнением векторных линий в векторной форме и определяет множество векторных линий. Конкретная векторная линия, проходящая   через заданную точку M 0 , определяется дополнительным условием r t 0   r0 , где r0 – радиус-вектор точки M 0 . Если в пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz , то векторное   поле a M  описывается вектор-функцией трех переменных a x, y, z  или тремя скалярными функциями – ее координатами:  ax, y, z   Px, y, z , Qx, y, z , Rx, y, z , x, y, z   G .  Так как в прямоугольных координатах dr  dx, dy, dz, то векторное уравнение   dr  a для векторных линий эквивалентно системе дифференциальных уравнений dt   dx dy dz   , а дополнительное векторное условие r t 0   r0 эквивалентно следующим P Q R условиям: xt 0   x0 , yt 0   y0 , zt 0   z 0 , где x0 , y0 , z 0 – координаты точки M 0 . uM   ux, y, z  Скалярное и векторное поля и  aM   Px, y, z , Qx, y, z , Rx, y, z  называются дифференцируемыми n раз, если функции ux, y, z , Px, y, z , Qx, y, z , Rx, y, z  дифференцируемы n раз.  Пусть u M  – скалярное поле, заданное в области G ; l – единичный фиксированный вектор; M – фиксированная точка; M  – любая точка из G , отличная от  M и такая, что вектор MM  коллинеарен l . Пусть MM  – величина направленного  отрезка MM  (она равна его длине MM  , если векторы MM  и l сонаправлены, и равна  MM  , если эти векторы противоположно направлены). u M   u M  Определение. Число lim называется производной скалярного поля M  M MM   u u M  (функции u M  ) в точке M по направлению l и обозначается символом M  . l u Производная по направлению M  является скоростью изменения функции l  u M  по направлению l в точке M .  Если в прямоугольной системе координат Oxyz l  cos  , cos  , cos   , то  u u u u  cos   cos   cos  . В частности, если вектор l сонаправлен с одной из l x y z  координатных осей, то производная по направлению l совпадает с соответствующей частной производной. Аналогично определяется производная по направлению векторного поля.   a M   a M  Определение. Вектор lim называется производной векторного поля M  M MM     a M  (вектор-функции a M  ) в точке M по направлению l и обозначается символом  a . l  a M   P, Q, R, то Если в прямоугольной системе координат Oxyz  a  P Q R   , , . l  l l l  Градиент скалярного поля. Определение. Градиентом скалярного поля u  ux, y, z  называется вектор-функция u  u  u   u u u  gradu  i j k   , , . x y z  x y z   u u u u u Из равенства  cos   cos   cos  следует, что  gradu  l , l l x y z   u откуда M   gradu l cos   gradu cos  , так как l  1 . Здесь φ – угол между l  u векторами l и gradu в точке M . Очевидно, что принимает наибольшее значение при l   0 , то есть в направлении gradu в данной точке. Иначе говоря, вектор gradu в данной точке указывает направление наибольшего роста поля u (функции u ) в этой точке, а gradu есть скорость роста функции u в этом направлении. Таким образом, вектор gradu не зависит от выбора системы координат, а его модуль и направление в каждой точке определяются самой функцией u M  .  Определение. Векторное поле a M  называется потенциальным в области G , если его можно представить в этой области как градиент некоторого скалярного поля u M   a  gradu .    Функция u M  называется скалярным потенциалом векторного поля a M  . Если  u u u  a  P, Q, R, то из равенства a  gradu следует, что P  . ,Q  ,R  x y z     Определение. Дивергенцией векторного поля a  Px, y, z i  Qx, y, z  j  Rx, y, z k  P Q R называется скалярная функция diva  .   x y z Дивергенция характеризует плотность источников данного векторного поля в рассматриваемой точке. Определение. Ротором (или вихрем) векторного поля     называется векторная функция a  Px, y, z i  Qx, y, z  j  Rx, y, z k    i j k  R Q   P R   Q P        j   . rota   i       k  x y z  z x   y z   x y  P Q R Ротор любого потенциального поля равен нулю. Поэтому говорят, что потенциальное поле является безвихревым.  Определение. Векторное поле a M  называется соленоидальным в области G , если  в этой области diva  0 .   Так как diva характеризует плотность источников поля a , то в той области, глее  поле a соленоидально, нет источников этого поля.  Если векторное поле a M  можно представить как ротор некоторого векторного     поля b M  , то есть a  rotb , то векторная функция b M  называется векторным     потенциалом поля a M  . Можно проверить, что divrotb  0 , то есть поле a  rotb является соленоидальным. Любое векторное поле можно представить в виде суммы потенциального и соленоидального полей.  Задание: Даны функция z  ln 2 x 3  3 y 2 ; точка A1,1 и вектор a 2,3 . Найти: 1. gradz – градиент функции в точке A1,1 ;  2. производную функции в точке A1,1 по направлению вектора a 2,3 : Решение: 1) Находим частные производные первого порядка: z 6x 2  ; x 2x 3  3y 2 z 6y  3 ; y 2 x  3y 2    6x 2   z z  6у  gradz  ;  3 2) gradz   ; – градиент функции;   3 2 2  2 x  3 y 2 x  3 y  x y    3) Находим значения первых частных производных в точке A1,1 : z x  (1; 1) z y (1; 6  12  6; 2  13  3  12  1) 6 1  6; 2  1  3  12 3  z  z 4) gradz   ;   x A y     gradz   6; 6 – градиент функции в точке A1,1 A   5) Находим направляющие косинусы вектора a m, n  по формулам: m 2 2 cos     2 2 2 2 13 m n 2  (3) cos   n m2  n 2  3 2 2  (3) 2  3 13 6) Находим производную функции в точке A1,1 по направлению вектора  a 2,3 : z A a  z x cos   A Ответ: gradz   6; 6, z  z 2 3  30 cos   A  6  6     у A a 13 13  13  z A a  30 13 . Лекция №2 Понятие двойного интеграла Пусть G – квадрируемая и, следовательно, ограниченная (открытая или замкнутая) область на плоскости и пусть в области G определена ограниченная функция двух переменных u  f M   f x, y  . Разобьем эту область G на n квадрируемых частей Gi i  1,2,, n так, чтобы любые две части не имели общих внутренних точек, в каждой части возьмем Gi произвольную точку M i  i , i  и составим сумму n I Gi , M i    f  i , i si , где si – площадь Gi . i 1 Эта сумма называется интегральной суммой функции f x, y  , соответствующей данному разбиению области G на части Gi и данному выбору промежуточных точек M i . Диаметром ограниченного множества G точек назовем точную верхнюю грань расстояний между двумя произвольными точками этого множества: sup  M , M  . M G M G Пусть d i – диаметр Gi , d  max d i . 1i  n Определение. Число I называется пределом интегральных сумм I Gi , M i  при d  0 , если   0  0 такое, что для любого разбиения области G , у которого d   , и для любого выбора промежуточных точек M i выполняется неравенство I Gi , M i   I   . Если существует lim I Gi , M i   I , то он называется двойным интегралом от d 0 функции f x, y  по области G и обозначается  f x, y dxdy или G  f M ds , а функция G f x, y  называется интегрируемой в области G . При этом функция f x, y  называется подынтегральной функцией, а область G – областью интегрирования. Теорема. Функция, непрерывная в замкнутой квадрируемой области, интегрируема в этой области. Теорема. Функция, ограниченная в квадрируемой области и непрерывная всюду, кроме некоторого множества точек площади нуль, интегрируема в этой области. Двойные интегралы обладают такими же свойствами, как и определенные интегралы (линейность, аддитивность, формулы среднего значения и так далее). Свойства двойного интеграла: Аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла. р и н д е л и и Вычисление двойных интегралов с помощью повторного интегрирования. Различают два основных вида области интегрирования: f x, y  1. Пусть функция определена в области G  x, y  : a  x  b, y1 x   y  y2 x , где y1 x  и y 2 x  – непрерывные функции на сегменте a, b Такую область G назовем y – трапециевидной. Теорема. Пусть: 1) Существует двойной интеграл  f x, y dxdy ; G 2) x  a, b существует определенный интеграл I x   y2  x   f x, y dy . y1  x  Тогда существует определенный интеграл повторным) и справедливо равенство b b y2  x  a a y1  x   I x dx   dx  f x, y dy b y2  x  a y1 x  f x, y dxdy   dx  f x, y dy , G (он называется то есть двойной интеграл равен повторному интегралу. 2. Если область интегрирования G является x – трапециевидной, у d D x=x2(y) x=x1(y) c х то при соответствующих условиях справедлива формула Интегралы стоящие в правых частях называют повторными или двукратными. Отличаются они друг от друга только порядком интегрирования. Интеграл, содержащий функцию f x, y  , называется внутренним, другой интеграл – внешним. При вычислении повторных интегралов следует брать сначала внутренний интеграл, при этом переменная, не стоящая под знаком дифференциала, приниается постоянной. Затем вычисляется внешний интеграл (таким образом интегрирование в повторном интеграле идет справа налево). Область более сложного вида часто удается разбить на трапециевидные части, к которым применимы формулы повторного интегрирования. Задание: Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле по области, ограниченной линиями: y  2 x 2 ,4 x  y 2 . Решение: Построим чертёж: 4 3 2 1 1 1 1 2 3 4 Рассмотрим приведение двойного интеграла к повторному (двукратному) интегралу по области D - I типа: b 2 ( x ) a 1 ( x )  f (x, y)dxdy   dx D  f (x, y)dy ; a=0; b=1; y=2x2; 4x=y2 => y  4x  2 x ; 1 2 x 2x2  f (x, y)dxdy   dx  f (x, y)dy D Рассмотрим приведение двойного интеграла к повторному (двукратному) интегралу по области D - II типа: d 2 ( y) с 1 ( y )  f (x, y)dxdy   dу D  f (x, y)dх ; c=0; d=2; 4x=y2 => x  y2 ; y=2x2 => x  4 y ; 2 y 2 2  f ( x, y)dxdy   dy  f ( x, y)dx . D y2 4 Задание: Изменить порядок интегрирования в двукратном интеграле: 2 2 x 6 x2 1 4  dx  f ( x, y)dy Решение: Построим чертёж: 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 7 6 5 4 3 2 1 0 1 1 2 2 3 4 5 Разобьём прямой у=0 данную область D на две, тогда: 2 2 x 2 y 1 8 2 y 6 x2 1 4 1  2 y 1  2 y 1  dx  f ( x, y)dy   dy  f (x, y)dx   dy  f (x, y)dx . Замена переменных в двойном интеграле. Рассмотрим двойной интеграл  f x, y dxdy . Замена переменных в двойном G интеграле состоит в переходе от переменных x и y к новым переменным u и v по формулам x   u, v , y   u, v , u, v   g . При этом каждая точка x, y  области G соответствует некоторой точке u, v  области g , а каждая точка u, v  области g переходит в некоторую точку x, y  области G . v y G g x   u, v  y   u, v  u, v  О u x, y  O x Иными словами, когда точка u, v  «пробегает» область g , соответствующая ей x, y    u, v, u, v G. точка «пробегает» область Функции x   u, v , y   u, v , u, v   g называют также отображением области g плоскости u, v  на область G плоскости x, y  . Область G называется образом области g , а область g – прообразом области G при отображении x   u, v , y   u, v , u, v   g . Пусть отображение x   u, v , y   u, v , u, v   g удовлетворяет следующим условиям. 1. Отображение x   u, v , y   u, v , u, v   g взаимно однозначно, то есть различным точкам u, v  области g соответствуют различные точки x, y  области G . 2. Функции  u, v  и  u, v  имеют в области g непрерывные частные производные первого порядка. D  x, y   u  v  3. Якобиан отображения отличен от нуля во всех точках Du, v   u  v области g . Теорема. Пусть g и G – замкнутые квадрируемые области, функция f x, y  ограничена в области G и непрерывна всюду, кроме, быть может, некоторого множества точек площади нуль, а отображение x   u, v , y   u, v , u, v   g удовлетворяет условиям 1 – 3. Тогда справедливо равенство (формула замены переменных в двойном интеграле) Dx, y  G f x, y dxdy  g f  u, v  u, v  Du, v  dudv . Задание: Вычислить 2  x  y  x  y  dxdy , 3 где область G – квадрат, ограниченный G прямыми x  y  1, x  y  1, x  y  3, x  y  1 . Решение: Изобразим область G . y v 1 g 3 1 o G O 1 Положим 3 преобразования: x x 1 J  u v  2 y y 1 u v 2 x откуда 1 u  v , y  1 u  v  . 2 2 Найдем якобиан 1 2 1 . 1 2  2  x  y  x  y  dxdy  2  u v 3 1 2 G 3 2 dudv . Так как область g также g является квадратом, то 1 1 3 1 3 1 3  2 3 2 2  x  y  x  y  dxdy   u v dudv   u du  v dv   u  v  3 3 2 G u x x  y  u, x  y  v , Следовательно, 3 g 21 1 1 2 3 1  1 du  3 3 1 1 20   u 3 1  1du  u 4  . 1 61 12 3 x   u, v , y   u, v , u, v   g , которые рассматривались как Формулам отображение области g на область G , можно придать другой смысл. Рассмотрим в области g отрезок прямой u  u0  const . В области G ему соответствует параметрически заданная кривая x   u0 , v , y   u0 , v  , где роль параметра играет переменная v . Точно так же отрезку прямой v  v0 области g соответствует в области G кривая x   u, v0 , y   u, v0  , где роль параметра играет u . Точке u 0 , v0  области g соответствует некоторая точка M 0 x0 , y0  области G x0   u0 , v0 , y0   u0 , v0 , x   u, v , y   u, v , u, v   g точке причем в силу взаимной однозначности отображения M 0 соответствует единственная точка u 0 , v0  области g , то есть точка M 0 однозначно определяется парой чисел u 0 , v0  . Поэтому числа u 0 и v 0 можно рассматривать как координаты точки M 0 (но уже не прямоугольные, а какие-то другие), а кривые x   u0 , v , y   u0 , v  и x   u, v0 , y   u, v0  , на которых одна из координат u или v постоянна, естественно называть координатными линиями v и u . Так как эти координатные линии представляют собой, вообще говоря, кривые, то числа u 0 , v0  M 0 . При отображении называются криволинейными координатами точки x   u, v , y   u, v , u, v   g сетка прямых координатных линий в области g переходит в сетку кривых координатных линий в области G . Таким образом, формулы x   u, v , y   u, v , u, v   g можно рассматривать как формулы перехода от прямоугольных координат x, y  к новым криволинейным координатам u, v  в области G. Примером криволинейных координат являются полярные координаты  ,   , x, y  связанные с прямоугольными координатами формулами x   cos  , y   sin  ,0    ,0    2 . Иногда в качестве промежутка изменения  берется промежуток       . Якобиан перехода к полярным координатам имеет вид x x Dx, y    cos    sin     . sin   cos  Du, v  y y   Задание: Перейдя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл  x 2  y 2 dxdy , где D – I четверть круга x 2  y 2  a 2 . D Решение: x   cos  , y   sin  , Полагая   D  12 3a a3 2 a 3  cos    sin  dd   d   d    0 d   d  . 30 3 0 6 2 x  y dxdy   2 имеем  2 2 D 2  ln x Задание: Вычислить 2 2 a 2 2   y 2 dxdy , где область D – кольцо между окружностями D x2  y 2  e2 и x2  y 2  e4 . Решение: Перейдем к полярным координатам  ln x 2  e2 e 2 D D Взяв 2 2  y dxdy   ln   dd  2  ln dd  2  d   ln d . 2 D по частям e интеграл, зависящий от , получим 2 1  1 2    2 ln    2  d  e 2 3e 2  1 . 2 4 e 0 Геометрический смысл двойного интеграла. Если f x, y   0 в области D , то двойной интеграл  f x, y dxdy равен объему D цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z  f x, y  , с боков цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси OZ, а направляющей снизу служит область D . Приложения двойного интеграла. 1) Вычисление площади плоской фигуры: Площадь S квадрируемой области G на плоскости x, y  выражается формулой S   dxdy . Если G  x, y  : a  x  b,0  y  f x – криволинейная трапеция, то, сведя G двойной интеграл к повторному, придем к известному выражению площади криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла: f x b b b  f x  S   dxdy   dx  dy    y dx   f x dx . 0  G a a a Задание: Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой x  4 y  y 2 и прямой x  y  6. Решение: Найдем координаты точек пересечения заданных линий, решив систему уравнений x  4 y  y 2 и x  y  6 . В результате получим A4;2, B3;3 . Таким образом, 3 S   dxdy   dy D 4 y y2 2  6 y Переходя 3 3 4 y y2 dx   x 6 y dy   2 2 S   dxdy в  3  5 1  1   y  5 y  6 dy   y 3  y 2  6 y   (кв.ед.). 2  3 2 6 2 к новым переменным по формулам G x   u, v , y   u, v , u, v   g , получим выражение площади области G в криволинейных D  x, y  dudv . Du, v  G Величину ds  dxdy , представляющую собой площадь прямоугольника со сторонами dx и dy , естественно назвать элементом площади в прямоугольных координатах: S   координатах x и y , а величину ds  координатах D  x, y  dudv – элементом площади в криволинейных Du, v  D  x, y  представляет собой коэффициент Du, v  при отображении области g плоскости u, v  на u и v . Модуль якобиана растяжения площади в точке u, v  область G плоскости x, y  . 2) Вычисление объема цилиндрического тела: Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z  f x, y  , снизу плоскостью z  0 и сбоку цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости ХОУ область G , вычисляется по формуле: V   f ( x, y )dxdy . G Задание: Найти объем тела, ограниченного поверхностями y  1  x 2 , z  3x, y  5, z  0 и расположенного в первом октанте. Решение: Тело, объем которого надо вычислить, ограничено сверху плоскостью z  3x , сбоку – параболическим цилиндром y  1  x 2 и плоскостью y  5 . Следовательно, это цилиндрическое тело. Область D ограничена параболой y  1  x 2 и прямыми y  5 и x  0 . Таким образом, 5   2 1   V   3xdxdy  3 xdx  dy  3 x y  dx  3 4 x  x dx  32 x 2  x 4   12 (куб. ед.). 4 0  D 1 x 2 1 x 2 2 5 2 2 3 3) Вычисление площади поверхности: Если поверхность задана уравнением z  f x, y  , где функция f x, y  , а так же ее частные производные первого порядка, непрерывны в области G , тогда ее площадь S вычисляется по формуле: S   1  Z x   Z y  dxdy . 2 2 G Задание: Найти площадь части сферы x 2  y 2  z 2  a 2 , заключенной внутри цилиндра x 2  y 2  ay . Решение: Изобразим данное тело на чертеже z y x Из уравнения сферы имеем для первого октанта z x z y z  a2  x2  y2 ;   ;  ; x a 2  x 2  y 2 y a2  x2  y2 2 x2 y2 a  z   z  1        1  2   2 2 2 2 2 2 a x y a x y  x   y  a  x2  y2 Часть сферы, расположенная в первом октанте, проецируется в полукруг, ограниченный окружностью x 2  y 2  ay и осью Oy . Этот полукруг и является областью интегрирования D . Поверхность расположена в четырех октантах, а потому искомая площадь dxdy . Перейдем к полярным координатам; тогда уравнение окружности S  4a  2 a  x2  y2 D примет вид y   sin  и, следовательно, 2  S  4a  D dd a2   2 2 a sin   4a  d   d a2   2  2  4a  a 2   2 a sin  2 d  4a 2  cos   1d      4a 2 sin     02  4a 2   1. 2  4) Вычисление физических и механических величин: Пусть G – материальная бесконечно тонкая пластинка (квадрируемая область на плоскости Oxy ) и имеет переменную плотность  x, y  , то масса пластинки: m   p( x, y )dxdy . G Статические моменты пластинки относительно осей Ox и Oy : M x   y p( x, y)dxdy , M y   x p( x, y)dxdy . G G Координаты x0 , y0  центра тяжести пластинки: x0  My m , y0  Mx . m Моменты инерции пластинки относительно осей Ox и Oy : I x   y 2  x, y dxdy, I y   x 2  x, y dxdy . G G Момент инерции пластинки относительно начала координат: I 0  I x  I y   x 2  y 2  x, y dxdy .   G Задание: Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями y  4 x  4, y 2  2 x  4 . 2 Решение: Так как фигура симметрична относительно оси Ox , то y  0 . Остается найти x . Вычислим площадь данной фигуры: 4 y 2 2 2  4  y2 y2  4   3y 2 dy  2  3  S   dxdy  2 dy  dx  2   2 4  4 D 0 0 y 2 4 2 2  1   dy  6 y  y   8 . 12  0   2 4 Тогда получим x 4 y 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1  3 3  xdxdy   2 dy  xdx    4  y 2    y 2  4 dy    3  y 2  y 4 dy   8D 8 0 y 2 4 8 0 4 16 8 0 2 16   2 2 2 4 2  1 y3 3y5  2 3 y      . 8 2 80  0 5 Тройные интегралы. Основные понятия и теоремы для тройных интегралов аналогичны соответствующим понятиям и теоремам для двойных интегралов. Пусть T – кубируемая область (открытая или замкнутая) в трехмерном евклидовом пространстве и пусть в области T определена ограниченная функция u  f M   f x, y, z . Разобьем область T на n кубируемых частей Ti , i  1,2,, n так, чтобы любые две части не имели общих внутренних точек, в каждой части Ti возьмем произвольную точку M i  i , i ,  i  и n составим интегральную сумму I Ti , M i    f  i , i ,  i Vi , где Vi – объем Ti . i 1 Пусть d i – диаметр Ti , d  max d i . 1i  n Определение. Число I называется пределом интегральных сумм I Ti , M i  при d  0 , если   0  0 такое, что для любого разбиения области T , у которого d   , и для любого выбора промежуточных точек M i выполняется неравенство I Ti , M i   I   . Если существует lim I Ti , M i   I , то он называется тройным интегралом от d 0 функции f x, y, z  по области T и обозначается  f x, y, z dxdydz T или  f M dV , а T функция f x, y, z  называется интегрируемой в области T . При этом функция f x, y, z  называется подынтегральной функцией, а область T – областью интегрирования. Теорема. Функция, непрерывная в замкнутой кубируемой области, интегрируема в этой области. Теорема. Функция, ограниченная в кубируемой области и непрерывная всюду, кроме некоторого множества точек объема нуль, интегрируема в этой области. Тройные интегралы обладают такими же свойствами, как и определенные и двойные интегралы (линейность, аддитивность, формулы среднего значения и так далее). Вычисление тройных интегралов с помощью повторного интегрирования. Пусть функции определена в области f x, y, z  T  x, y, z  : x, y   G, z1 x, y   z  z 2 x, y , где z1 x, y  и z 2 x, y  – непрерывные функции в квадрируемой области G . Теорема. Пусть: 1) существует тройной интеграл  f x, y, z dxdydz ; T 2) x, y   G существует определенный интеграл f x, y   z2  x , y   f x, y, z dz . z1  x , y  z2  x , y  Тогда существует двойной интеграл  I x, y dxdy   dxdy  f x, y, z dz G повторным и справедливо равенство G z1 x , y z2  x , y   f x, y, z dxdydz   dxdy  f x, y, z dz , T G тройной интеграл равен повторному. G Если область является y– b y2  x  a y1  x   I x, y dxdy   dx G то есть z1 x , y трапециевидной, G  x, y  : a  x  b, y1 x   y  y2 x , то двойной интеграл можно свести к повторному: он называется  I x, y dxdy G то в свою очередь b y2  x  z2  x , y  a y1  x  z1 x , y  I x, y dy   dx есть  dy  f x, y, z dz . Таким образом, вычисление тройного интеграла сводится в этом случае последовательному вычислению трех определенных (однократных) интегралов: b y2  x  z2  x , y  a y1 x z1 x , y к  f x, y, z dxdydz   dx  dy  f x, y, z dz .    T В формуле z2  x , y   f x, y, z dxdydz   dxdy  f x, y, z dz T G повторный интеграл z1 x , y представляет собой двойной интеграл, а внутренний интеграл в повторном является определенным интегралом. Возможно и иное сведение тройного интеграла к повторному, когда повторный интеграл представляет собой определенный интеграл, а внутренний интеграл в повторном является двойным интегралом. Пусть функции f x, y, z  определена и ограничена в области T , которая заключена между плоскостями x  a и x  b , причем каждое сечение области T плоскостью x  const , a  x  b представляет собой квадрируемую фигуру Gx  . Теорема. Пусть: 1) существует тройной интеграл 3) x  a, b существует двойной интеграл I x    f x, y, z dxdydz ; T  f x, y, z dydz . Gx Тогда существует определенный интеграл называется повторным и справедливо равенство  T b b a a  I x dx   dx   f x, y, z dydz он G x b f x, y, z dxdydz   dx  f x, y, z dydz , a то есть тройной интеграл равен повторному. Замена переменных в тройном интеграле. Gx  Аналогично случаю двойного интеграла замена переменных в тройном интеграле f x, y, z dxdydz состоит в переходе от переменных x, y, z к новым переменным u, v, w T по формулам x   u, v, w, y   u, v, w, z   u, v, w, u, v, w  . При этом каждая точка x, y, z  области соответствует по формулам T x   u, v, w, y   u, v, w, z   u, v, w, u, v, w  некоторой точке u, v, w области  , а каждая точка u, v, w области  переходит в некоторую точку x, y, z  области T . Иными словами, функции x   u, v, w, y   u, v, w, z   u, v, w, u, v, w  осуществляют отображение области  пространства u, v, w на область T пространства x, y, z  . Пусть отображение x   u, v, w, y   u, v, w, z   u, v, w, u, v, w  удовлетворяет условиям. 1. Отображение x   u, v, w, y   u, v, w, z   u, v, w, u, v, w  взаимно однозначно. 2. Функции  u, v, w, u, v, w,  u, v, w имеют в области  непрерывные частные производные первого порядка. 3. u v w u v w D  x, y , z    u  v  w отличен от нуля во всех Якобиан отображения Du, v, w точках области  . Теорема. Пусть  и T – замкнутые кубируемые области, функция f x, y, z  ограничена в области T и непрерывна всюду, кроме, быть может, некоторого множества точек объема нуль, а отображение x   u, v, w, y   u, v, w, z   u, v, w, u, v, w  удовлетворяет условиям 1 – 3. Тогда справедливо равенство (формула замены переменных в тройном интеграле) Dx, y, z  T f x, y, z dxdydz   f  u, v, w, u, v, w u, v, w Du, v, w dudvdw. Криволинейные координаты. Формулы x   u, v, w, y   u, v, w, z   u, v, w, u, v, w  можно рассматривать как формулы перехода к новым, криволинейным координатам u, v, w в области T . u  const, v  const, w  const Поверхности представляют собой координатные поверхности (вообще говоря, криволинейные) в пространстве x, y, z  . Кривые, на которых две криволинейные координаты имеют постоянные значения, и изменяется только одна из координат, представляют собой координатные линии. Рассмотрим два примера наиболее употребительных криволинейных координат. 1. Цилиндрические координаты. Пусть M x, y, z  произвольная точка в пространстве x, y, z  , M  – проекция точки M на плоскость x, y  . Точка M однозначно задается тройкой чисел  ,  , z  , где  ,   – полярные координаты точки M  на плоскости x, y  , z – аппликата точки M . Тройка чисел  ,  , z  называется цилиндрическими координатами точки M . Переход от прямоугольных координат x, y, z  к цилиндрическим координатам  ,  , z  задается формулами Якобиан x   cos  , y   sin  , z  z,0    ,0    2 ,  z   . отображения есть x   cos  , y   sin  , z  z,0    ,0    2 ,  z   D  x, y , z   . Координатная D  ,  , z  цилиндрическую поверхность. поверхность   const представляет собой 2. Сферические координаты. Пусть M x, y, z  произвольная точка в пространстве x, y, z  , M  – проекция точки M на плоскость x, y  . Точка M однозначно задается тройкой чисел r , ,   , где r – расстояние от точки M до точки O начала координат,  – угол между лучами OM и Oz ,  – полярный угол точки M  на плоскости x, y  . Тройка чисел r , ,   называется сферическими координатами точки M . Переход от прямоугольных координат x, y, z  к r, ,  сферическим координатам задается формулами Якобиан x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos  ,0  r  ,0     ,0    2 . отображения x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos  ,0  r  ,0     ,0    2 есть D  x, y , z   r 2 sin  . Координатная поверхность r  const представляет собой сферу. Dr ,  ,   Вычисление объемов с помощью тройных интегралов. Объем V кубируемой области T (кубируемого тела) в пространстве x, y, z  выражается формулой V   f x, y, z dxdydz . T Переходя в равенстве V   dxdydz к новым переменным u, v, w по формулам T x   u, v, w, y   u, v, w, z   u, v, w, u, v, w  , получим выражение объема области T D  x, y , z  dudvdw . Величину dV  dxdydz ,   D u , v , w  представляющую собой объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz , естественно называть элементом объема в прямоугольных координатах x, y, z , а величину в криволинейных dV  V   координатах D  x, y , z  dudvdw – элементом объема в криволинейных координатах u, v, w . Модуль Du, v, w D  x, y , z  представляет собой коэффициент растяжения объема в точке u, v, w Du, v, w при отображении области  пространства u, v, w на область T пространства x, y, z  . Физические приложения тройных интегралов. Пусть T – материальное тело (кубируемая область в прстранстве Oxyz ) с переменной плотностью  x, y, z  , тогда справедливы следующие формулы. якобиана Масса тела m    x, y, z dxdydz . T Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oyz, Ozx и Oxy : M yx   x x, y, z dxdydz , M zx   y x, y, z dxdydz , M xy   z x, y, z dxdydz . T T T M xy M zx , z0  . m m m Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей Oyz, Ozx и Oxy : Координаты x0 , y0 , z 0  центра тяжести тела: x0  M yz , y0  I yx   x 2  x, y, z dxdydz , I zx   y 2  x, y, z dxdydz , I xy   z 2  x, y, z dxdydz . T T T Моменты инерции тела относительно координатных осей Ox, Oy и Oz : I x  I zx  I xy , I y  I xy  I yz , I z  I yz  I zx . Момент инерции тела относительно начала 2 2 2 I 0  I yz  I zx  I xy   x  y  z  x, y, z dxdydz .  T  координат: Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода Криволинейный интеграл по длине дуги (криволинейный интеграл 1-го рода) Пусть кривая L на координатной плоскости Oxy задана параметрически уравнениями x   t , y   t ,   t   . Кривая L называется простой (плоской) незамкнутой кривой, если функции  t , t  непрерывны на  ,   и различным значениям параметра t из сегмента  ,   соответствуют различные точки M  t , t  . Если точка A  ,   совпадает с точкой B  ,   , а остальные точки не являются кратными, то L называется простой замкнутой кривой. Простая кривая L называется спрямляемой, если существует предел длин ломаных вписанных в кривую, при t  0 (этот предел называется длиной кривой L ). Аналогичные определения имеют место для пространственной кривой, заданной параметрически уравнениями в координатном пространстве Oxyz . Пусть L – простая, спрямляемая (замкнутая или незамкнутая) кривая, заданная уравнениями x   t , y   t ,   t   , и пусть на кривой L определена функция f x, y  . Разобьем сегмент  ,   на n частей точками  t 0  t1    t n   . При этом кривая L разобьется на n частей точками M 0 , M 1 ,, M n . Обозначим через l k длину дуги M k 1 M k , выберем на каждой дуге M k 1 M k некоторую точку N k  k , k  и составим интегральную n сумму I M k , N k    f  k , k l k . Пусть l  max l k . 1 k  n k 1 Определение. Число I называется пределом интегральных сумм при l  0 , если   0  0 такое, что для любого разбиения кривой L , у которого l   , и для любого выбора промежуточных точек N k выполняется неравенство I M k , N k   I   . Если существует lim I M k , N k   I , то число I l 0 называется криволинейным интегралом первого рода от функции f x, y  по кривой L и обозначается  f x, y dl . L Если кривая L – незамкнутая и точки A и B – ее концы, то криволинейный интеграл первого рода обозначается также следующим образом:  f x, y dl . AB Из определения следует, что криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления пути интегрирования:  f ( x, y )dl   f ( x, y )dl . Если f x, y   1 , то  dl АВ равен длине l кривой AB : ВА AB  dl  l . AB Аналогично вводится криволинейный интеграл первого рода для пространственной кривой L , заданной параметрически уравнениями x   t , y   t , z   t ,   t   . Вычисление криволинейного интеграла первого рода с помощью определенного интеграла. Простая кривая L , заданная уравнениями x   t , y   t ,   t   , называется гладкой (кусочно-гладкой), если функции  t  и  t  имеют непрерывные (кусочнонепрерывные) производные, одновременно не обращающиеся в нуль на  ,   (на  ,   за исключением конечного числа точек). Функция f M   f x, y  , определенная на кривой L , называется непрерывной вдоль кривой L , если M 0  L : lim f M   f M 0  . M M 0 M L Если это условие выполнено в каждой точке кривой, за исключением конечного числа точек, в которых функция имеет разрывы первого рода, то функция f M  называется кусочно-непрерывной вдоль кривой L . Теорема. Если кусочно-гладкая кривая, заданная уравнениями L– x   t , y   t ,   t   , и функция f x, y  кусочно-непрерывной вдоль кривой L , то существует криволинейный  f x, y dl интеграл и справедливо равенство L   f ( x, y)dl   f ( (t ), (t ))  (t )   (t ) dt . 2 2 L Предположим, что f x, y  непрерывна вдоль кривой L . Тогда имеют место следующие утверждения: 1. Если кривая L задана уравнением y  yx , a  x  b , и y x  имеет непрерывную производную на a, b , то существует криволинейный интеграл  f x, y dl и справедливо L равенство  b f ( x, y )dl   f ( x, y ( x)) 1   y ( x)  dx . 2 L a 2. Если кривая L задана в полярных координатах уравнением r  r  , 1     2 и r   имеет непрерывную производную на 1 ,  2 , то существует криволинейный интеграл  f x, y dl и справедливо равенство L 2  f ( x, y)dl   f (r  cos  , r  sin  ) L r 2    r   d . 2 1 3. Для гладкой пространственной кривой L , заданной параметрически уравнениями x   t , y   t , z   t ,   t   , справедлива формула   f ( x, y, z )dl   f ( (t ), (t ),  t )  (t )    (t )    t  dt . 2 2 2  L 4. Криволинейные интегралы первого рода обладают свойствами, аналогичными свойствам определенного интеграла: линейность; аддитивность; модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля функции. Справедлива также формула среднего значения. Задание: Вычислить  x  y ds , где K – отрезок прямой от A0;0 до B4;3 . K 3 3 x . Находим y   и, следовательно, 4 4 4 4 3  9 5 5 24 5    x  y ds  x  x 1  dx  xdx  x  .    0  4  16 16 0 32 0 2 K Физические приложения криволинейных интегралов первого рода. Пусть L – материальная плоская кривая с линейной переменной плотностью  x, y  , тогда справедливы следующие формулы. Решение: Уравнение прямой AB имеет вид y  Масса кривой m    x, y dl . L Статические моменты кривой L относительно координатных осей Ox, Oy : M x   y x, y dl , M y   x x, y dl . L L My Mx . m m Моменты инерции кривой относительно координатных осей Ox, Oy : Координаты x0 , y0  центра тяжести кривой L : x0  , y0  I x   y 2  x, y dl , I y   x 2  x, y dl . L L Момент инерции кривой относительно начала координат (полярный момент инерции кривой): I 0  I x  I y   x 2  y 2  x, y dl .   L В случае пространственной материальной кривой справедливы аналогичные формулы для вычисления координат центра тяжести, статических моментов, полярного момента инерции. t2 t3 Задание: Найти массу M дуги кривой x  t , y  , z  , 0  t  1 , линейная плотность 2 3 которой меняется по закону   2 y . 1 1 1 Решение: Имеем M   2 y ds   2  t 2 x 2  y  2  z  2 dt   t  1  t 2  t 4 dt  2 K 1  2 1  2 t  1  1  1 3  1 1 2  t 4  t 2  1  3 ln  t 2  1  t 4  t 2  1     t 2    dt 2      20  2 4  2 2  2 8  2    0 1 3 3 2 3  .   3 3  1  ln 8 2 3  Задание: Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды x  t  sin t , y  1  cos t , 0  t    . Решение: Координаты центра тяжести однородной дуги кривой K вычислим по 1 1 формулам x   xds , y   yds , где s – длина дуги. Имеем sK sK   s   x  2  y  2 dt     1  cos t 2  sin 2 t dt  2 sin t dt  4 cos t 2  20  4 . Следовательно,  1 1 t 1  t t 1 t t 4  x   xds   t  sin t 2 sin dt    t sin  sin sin t dt   2t cos  4 sin  sin 3 4K 40 2 2 0 2 2 2 2 2 3    t 8  ;  20 3   1 1 t 1  t t 1 t 1 3t t 4  y   yds   1  cos t 2 sin dt    sin  sin cos t dt   2 cos  cos  cos   . 4K 40 2 2 0 2 2 2 2 3 2 20 3  Криволинейные интегралы по координатам (криволинейные интегралы второго рода). Пусть AB – простая, спрямляемая незамкнутая кривая, заданная уравнениями x   t , y   t ,   t    A  A  ,  , B  B  ,   . Пусть на кривой AB заданы две функции Px, y  и Qx, y  . Разобьем сегмент  ,   на n частей точками  t 0  t1    t n   . При этом кривая AB разобьется на n частей точками A  M 0 , M 1 ,, M n  B в направлении от A к B . Пусть xk , y k  – координаты точки M k , xk  xk  xk 1 , y k  y k  y k 1 , l k – длина дуги M k 1 M k , l  max l k . На 1 k  n каждой дуге M k 1 M k возьмем некоторую точку N k  k , k  и составим две интегральные n n k 1 k 1 суммы I 1 M k , N k    P k , k xk , I 2 M k , N k    Q k , k y k . Определение. Число I m , m  1,2 называется пределом интегральных сумм I m M k , N k  при l  0 , если   0  0 такое, что для любого разбиения кривой, у которого l   , и для любого выбора промежуточных точек выполняется неравенство Nk I m M k , N k   I m   . Если существует lim I m M k , N k   I m , l 0 то он называется криволинейным интегралом второго рода и обозначается следующим образом: I 1   P( x, y )dx , I 2   Q( x, y)dy . AB AB Сумма I 1  I 2 называется общим или полным криволинейным интегралом второго рода и обозначается так:  P( x, y)dx  Q( x, y)dy . AB Из определения криволинейного интеграла второго рода следует, что при изменении направления обхода кривой AB изменяется и знак интеграла, то есть  P( x, y)dx    Px, y dx ,  Q( x, y)dy    Qx, y dy . Если AB – замкнутая кривая AB BA AB BA (замкнутый контур), то есть точка A совпадает с точкой B , то для нее можно указать два направления обхода от A к B . Если область, лежащая внутри контура, остается слева по отношению к движущейся по контуру точке, то такое направление обхода кривой L назовем положительным, а противоположное ему – отрицательным. Интеграл  P( x, y )dx  Q( x, y )dy по замкнутому контуру L в положительном AB направлении обозначается так:  Px, y dx  Qx, y dy . L Аналогично вводится криволинейный интеграл второго рода для пространственной x   t , y   t , z   t ,   t   , кривой, заданной параметрически:  A  A  ,  ,   , B  B  ,  ,    , обозначается  P( x, y, z)dx  Q( x, y, z)dy  Rx, y, z dz . AB Вычисление криволинейного интеграла второго рода с помощью определенного интеграла. Теорема. Если кусочно-гладкая кривая, заданная уравнениями AB – x   t , y   t ,   t    A  A  ,  , B  B  ,   , а функции Px, y  и Qx, y  кусочно-непрерывны вдоль кривой AB , то существует интеграл  P( x, y)dx  Q( x, y)dy и справедливо равенство AB   P( x, y)dx  Q( x, y)dy   P t , t  t   Q t , t  t dt . AB  Для пространственной x   t , y   t , z   t ,   t   , кривой заданной уравнениями AB ,  A  A  ,  ,   , B  B  ,  ,    , справедлива аналогичная теорема, и интеграл  P( x, y, z)dx  Q( x, y, z)dy  Rx, y, z dz AB вычисляется по формуле  P( x, y, z )dx  Q( x, y, z)dy  Rx, y, z dz  AB    P t , t ,  t  t   Q t , t ,  t  t   R t , t ,  t  t dt.  Если кривая AB задана уравнением y  yx , a  x  b , и y x  имеет кусочнонепрерывную производную на a, b , а функции Px, y  и Qx, y  кусочно-непрерывны вдоль кривой AB , то существует интеграл  P( x, y)dx  Q( x, y)dy и имеет место равенство AB b  P( x, y)dx  Q( x, y)dy   Px, yx   Qx, yx y x dx . AB a Криволинейный интеграл второго рода обладает свойствами линейности и аддитивности. Задание: Вычислить x 2 ydy  y 2 xdx , если x  cos t , y  sin t ,0  t  K Решение: Найдем dx   sin t 2 cos t dt , dy  cos t 2 sin t  2 . dt . Тогда получим  x K  cos t sin t ydy  y xdx    cos t  sin t   sin t  cos t  2 sin t 2 cos t 0 2 2 2   dt  . 4  Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Теорема. Пусть AB – кусочно-гладкая кривая, заданная уравнениями x   t , y   t ,   t    A  A  ,  , B  B  ,   , функции Px, y  и Qx, y   кусочно-непрерывны вдоль кривой AB и   cos  , sin  – единичный касательный  вектор к кривой AB в точке M x, y  , причем направление  соответствует направлению  движения от A к B (  – угол между вектором  в точке M x, y  и осью Ox ). Тогда  имеет место равенство  P( x, y)dx  Q( x, y)dy   Px, y  cos   Qx, y sin  dl   a dl , AB AB  AB  где a  Px, y i  Qx, y  j . Для пространственной кривой заданной уравнениями AB ,  A  A  ,  ,   , B  B  ,  ,    , x   t , y   t , z   t ,   t   , справедлива аналогичная теорема, а формула   P( x, y)dx  Q( x, y)dy   Px, y cos   Qx, y sin  dl   a dl имеет вид AB AB  P( x, y, z)dx  Q( x, y, z)dy  Rx, y, z dz  AB AB   Px, y, z cos   Qx, y, z cos   Rx, y, z cos  dl   a dl , AB AB         где a  Px, y, z i  Qx, y, z  j  Rx, y, z k ,  cos   i  cos   j  cos   k ,  ,  ,   углы между касательным вектором к кривой в точке M x, y, z  и осями Ox, Oy, Oz . Физические приложения криволинейного интеграла второго рода.    1. Работа силы F x, y   Px, y i  Qx, y  j при перемещении материальной точки массы 1 из точки A в точку B вдоль кривой AB вычисляется по формуле  P( x, y)dx  Q( x, y)dy . Таким же образом вычисляется работа силы при перемещении AB материальной точки вдоль пространственной кривой.  2. Пусть c  ux, y , vx, y  скорость плоского потока жидкости в точке M x, y  . Тогда количество Q жидкости, вытекающей за единицу времени из области G ,   ограниченной гладким контуром L , равно Q   c n dl , где n – единичный вектор L  внешней нормали к кривой L в точке M x, y  . Если направление касательного вектора  к кривой L соответствует положительному направлению обхода кривой и  – угол между  вектором  в точке M x, y  и осью Ox , то         n  cos  , sin    sin  , cos  , c n   u sin   v cos  , и для величины Q 2 2      используя формулу  P( x, y)dx  Q( x, y)dy   Px, y cos   Qx, y sin  dl   a dl , AB AB получаем выражение через Q    v cos   u sin  dl    vdx  udy . L AB интеграл второго рода: L Формула Грина. Замкнутую область G назовем простой, если ее можно разбить на конечное число как x -трапециевидных, так и y -трапециевидных областей. Предполагается, что при каждом разбиении никакие две области не имеют общих внутренних точек. Теорема (Формула Грина). Пусть функции Px, y  и Qx, y  и их частные P Q производные и непрерывны в простой области G . Тогда справедливо равенство x y  Q P  L Pdx  Qdy  G  x  y dxdy , где криволинейный интеграл берется по границе L области G в положительном направлении. Заметим, что формула Грина справедлива не только для простой области, но и для любой ограниченной области с кусочно-гладкой границей. Полагая в формуле Грина Q  x, P  0 , а затем Q  0, P   y и учитывая, что двойной интеграл  dxdy равен площади S области G , получим выражения площади G фигуры через криволинейные интегралы по ее границе S   xdy , S    ydx . L L Пусть  и  – произвольные числа такие, что     1 . Умножая S   xdy на  , L а S    ydx на  и складывая, получим еще одну формулу для нахождения площади: L S   xdy  ydx ,     1 . Наиболее употребительна эта формула при     L 1 : 2 1 xdy  ydx . 2 L Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Определение. Область G на плоскости называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит области G . S Теорема. I) Пусть функции Px, y  и Qx, y  непрерывны в простой области G . Тогда следующие три условия эквивалентны. 1. Для любого замкнутого кусочно-гладкого контура L , расположенного в области G , справедливо равенство  Pdx  Qdy 0 . L 2. Для любых двух точек A и B в области G криволинейный интеграл  P( x, y)dx  Q( x, y)dy не зависит от пути интегрирования, расположенного в области G . AB 3. Выражение Px, y dx  Qx, y dy является полным дифференциалом, то есть в области G существует функция uM   ux, y  такая, что du  Px, y dx  Qx, y dy . При этом для любой кусочно-гладкой кривой AB , лежащей в области G , имеет место равенство  P( x, y)dx  Q( x, y)dy  uB   u A . AB II) Пусть G – односвязная область, а функции Px, y  и Qx, y  имеют в области G P Q непрерывные частные производные и . Тогда каждое из условий 1-3 эквивалентно x y следующему условию: P Q 4. В области G выполняется равенство .  y x Функция u x, y  из условия 3. может быть найдена по формуле u x, y    x, y   Px, y dx  Qx, y dy  C , где интеграл в правой части представляет собой  x0 , y 0  криволинейный интеграл второго рода по произвольной кривой L , лежащей в области G и соединяющей какую-нибудь фиксированную точку x0 , y0  с точкой x, y  , а C – произвольная постоянная.  2; 3  Задание: Вычислить I   x  3 y dx   y  3x dy . 1;1 Решение: Данный интеграл не зависит от контура интегрирования, так как P  Q  P Q  x  3 y   3;   y  3x   3 , то есть  (на всей плоскости xOy ). y y x x y x Выберем в качестве пути интегрирования ломаную линию, звенья которой параллельны осям координат. Имеем на первом участке y  1, dy  0,1  x  2 , на втором участке Следовательно, x  2, dx  0,1  y  3 . 2 3  x2   y2  I   x  3dx    y  6dy    3x     6 y   2  6  0,5  3  4,5  18  0,5  6  20,5. 2 1  2 1 1 1 Поверхностные интегралы первого рода. Пусть на квадрируемой поверхности  определена функция f M   f x, y, z  . 2 3 n Разобьем  кусочно-гладкими кривыми на n квадрируемых частей     i . На i 1 каждой части  i выберем произвольную точку M i и составим интегральную сумму n f  i , M i    f M i S  i  , где S  i  – площадь  i . Пусть d i – диаметр  i , d  max d i . i 1 1i  n Определение. Число I называется пределом интегральных сумм I  i , M i  при d  0 , если   0  0 такое, что для любого разбиения  , у которого d   , и для любого выбора точек M i выполняется неравенство I  i , M i   I   . Предел I интегральных сумм называется поверхностным интегралом первого рода от функции f M  по поверхности  и обозначается  f M dS или  f x, y, z dS .   Вычисление поверхностного интеграла первого рода с помощью двойного интеграла. Теорема. Пусть  – гладкая поверхность, не имеющая особых точек, заданная параметрически уравнениями x   u, v , y   u, v , z   u, v , u, v   g , где  , ,  – непрерывные функции в области g , и пусть функция f x, y, z  непрерывна на  . Тогда существует  f x, y, z dS интеграл и справедливо равенство   f x, y, z dS   f  u, v , u, v,  u, v  EG  F 2 dudv , где функции E , G, F g переменных u, v определены формулами:  E  ru2   u2 u, v    u2 u, v    u2 u, v  ,  G  rv2   v2 u, v    v2 u, v    v2 u, v  ,  F  ru rv   u u, v  v u, v    u u, v  v u, v    u u, v  v u, v  , а     r  i  u, v   j  u, v   k  u, v  – радиус-вектор точки M x, y, z  . Если поверхность  является графиком непрерывно дифференцируемой функции z  zx, y , x, y   G , то имеет место равенство  f x, y, z dS   f x, y, z   1  z x2  z y2 dxdy . G Физические приложения поверхностных интегралов первого рода. Пусть  – материальная поверхность с поверхностной плотностью  x, y, z  в точке M x, y, z    , тогда масса поверхности: m   p( x, y, z )dS .  Статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей Oxy , Oxz , Oyz : M xy   zp( x, y, z )dS , M xz   yp ( x, y, z )dS , M yz   x x, y, z dS .    M xy M xz , z0  . m m m Момент инерции поверхности относительно оси Ox : I x   y 2  z 2  x, y, z dS . Координаты x0 , y0 , z 0  центра тяжести поверхности: x0  M yz , y0     Момент инерции поверхности относительно плоскости Oyz : I yz   x 2  x, y, z dS .  Момент инерции поверхности относительно начала координат: I 0  I x  I y  I z   x 2  y 2  z 2  x, y, z dS .    Поверхностные интегралы второго рода. Если поверхность ограничивает некоторое тело, то у нее различают внешнюю и внутреннюю стороны. Примером такой поверхности является сфера. Если поверхность задана уравнением z  f x, y  , то у нее различают верхнюю и нижнюю стороны. Указанные поверхности имеют две стороны. Наряду с ними существуют так называемые односторонние поверхности.  Если каждой точке M области G поставлен в соответствие вектор a M  , то G говорят, что в области задано векторное поле. Векторное поле  a M   a1 M , a2 M , a3 M  называется непрерывным в области G , если его координаты – функции a1 M , a2 M , a3 M  являются непрерывными в области G . Гладкая  поверхность  в каждой внутренней точке M имеет нормаль N M  , причем существует окрестность этой точки, вырезающая часть поверхности, на которой поле нормалей непрерывно. Если можно задать векторное поле нормалей, непрерывное на всей поверхности, то такая поверхность называется двусторонней. Поверхность, на которой не существует непрерывного векторного поля нормалей, называется односторонней. Двусторонняя поверхность  характеризуется следующим свойством: для любой точки M   и для любого замкнутого контура, проходящего по поверхности  и не пересекающегося с границей поверхности, выбранное в точке M направление нормали, непрерывно меняясь при движении по контуру, не изменит своего направления (на противоположное) при возвращении в точку M . На односторонней поверхности существует такой контур, при обходе которого направление нормали изменится на противоположное направление. На каждой двусторонней поверхности можно задать два непрерывных поля   нормалей, противоположных по направлению: N M  и  N M  . Выбор одного из этих полей называется выбором стороны поверхности. Таким образом, двусторонняя поверхность имеет две стороны. Двусторонние поверхности называются также ориентируемыми, а выбор   определенной стороны (выбор поля N M  или  N M  ) называется ориентацией поверхности. Например, плоскость, сфера – двусторонние поверхности, лист Мебиуса – односторонняя поверхность. Если поверхность задана уравнением z  f x, y  , где функция f x, y  непрерывно дифференцируема, то на верхней стороне поверхности непрерывное поле нормалей можно  задать вектор-функцией N M    f x M , f y M ,1 , на нижней стороне – вектор функцией  N M    f x M , f y M ,1. Если гладкая двусторонняя поверхность задана параметрически, то на одной ее  стороне непрерывное поле нормалей можно задать вектор-функцией N  A, B, C, а на  другой стороне – вектор-функцией  N   A, B,C. Понятия двусторонней и односторонней поверхности можно ввести и для кусочногладких поверхностей. Примером кусочно-гладкой двусторонней поверхности является поверхность параллелепипеда. Пусть  – гладкая или кусочно-гладкая ограниченная поверхность. Выберем одну  из ее сторон, определяемую полем нормалей N M  . Пусть  M ,  M ,  M  – углы,  которые вектор N M  составляет с осями координат, и пусть на поверхности  заданы три функции PM , QM , RM  . Определение. Поверхностные интегралы первого рода I1   PM  cos  M dS , I 2   QM  cos  M dS , I 3   RM  cos  M dS называются    поверхностными интегралами второго рода от функций P, Q, R по выбранной стороне поверхности Они обозначаются также . I1   PM dydz , I 2   QM dzdx, I 3   RM dxdy .   следующим образом:  Из определения следует, что поверхностный интеграл второго рода зависит от  выбора стороны поверхности. Если взять другую сторону поверхности, то вектор N M  изменит направление на противоположное; поэтому направляющие косинусы вектора  N M  , а, следовательно, и интегралы I1 , I 2 , I 3 изменят знак. Сумма I1  I 2  I 3   PM dydz  QM dzdx  RM dxdy называется общим  поверхностным интегралом второго рода. Вычисление поверхностного интеграла второго рода с помощью двойного интеграла. Поверхностные интегралы второго рода I1   PM  cos  M dS , I 2   QM  cos  M dS , I 3   RM cos dS по выбранной    стороне поверхности  являются поверхностными интегралами первого рода соответственно от функций PM cos  M , QM cos  M , RM cos  M . Поэтому, считая, что функции PM , QM , RM  непрерывны на  , получаем формулы для вычисления поверхностных интегралов второго рода. Пусть гладкая двусторонняя поверхность  задана параметрически уравнениями x   u, v , y   u, v , z   u, v , u, v   g и не имеет особых точек. Выберем ту сторону  A A  поверхности, на которой N M   A, B, C. Тогда cos  M   , A2  B 2  C 2 EG  F 2 B B C C cos  M     , cos  M   . A2  B 2  C 2 EG  F 2 A2  B 2  C 2 EG  F 2 По  f x, y, z dS   f  u, v , u, v,  u, v формуле  EG  F 2 dudv , получаем g I 1   PM  cos  M dS   P u, v , u, v ,  u, v   g A EG  F 2 EG  F 2 dudv    P u, v , u, v ,  u, v Au, v dudv . g Аналогично I 2   QM  cos  M dS   Q u, v , u, v ,  u, v Bu, v dudv  g I 3   RM  cos  M dS   R u, v , u, v ,  u, v C u, v dudv .  g Если гладкая поверхность  задана уравнением z  f x, y , x, y   G и выбрана  N M    f x x, y , f y x, y ,1 , верхняя сторона поверхности, то есть то cos  M   1 1  f x2  f y2 и по формуле I1   PM  cos  M dS , I 2   QM  cos  M dS , I 3   RM  cos  M dS  I 3   RM  cos  M dS       Rx, y, f x, y  G 1 1 f  f 2 x 2 y 1  f x2  f y2 dxdy   Rx, y, f x, y dxdy. G находим Для нижней стороны поверхности имеем cos  M    1 1  f x2  f y2 , откуда I 3   Rx, y, f x, y dxdy. Аналогично получаются формулы для вычисления интегралов G I 1 и I 2 , если поверхность  задана соответственно уравнением x  x y, z ,  y, z   G и уравнением y  yx, z , x, z   G . Физический смысл поверхностного интеграла второго рода. Запишем общий поверхностный интеграл второго рода в виде    PM  cos  M   QM  cos  M   RM  cos  M dS . Направляющие косинусы   cos  M , cos  M , cos  M  являются координатами единичного вектора нормали n M  к  поверхности  в точке M . Если ввести вектор aM   PM , QM , RM , то подынтегральное выражение будет представлять собой скалярное произведение векторов   a M  и n M  , а интеграл    PM cos  M   QM  cos  M   RM  cos  M dS      можно записать в виде    a , n dS . Интеграл    a , n dS называется потоком   вектора (векторного поля) через выбранную сторону поверхности  (определяемую    вектором n M  ). В частности, если a M   v M  – скорость течения жидкости в точке M ,   то    v , n dS представляет собой поток жидкости через выбранную сторону  поверхности. Формула Стокса. Пусть  – ориентированная поверхность, ограниченная замкнутым контуром L . Введем положительное направление обхода контура, согласованное с ориентацией поверхности: если наблюдатель находится на выбранной стороне поверхности (то есть направление от ног к голове совпадает с направлением вектора нормали), то при обходе контура L в положительном направлении он оставляет поверхность слева от себя. Если граница поверхности состоит из нескольких замкнутых контуров, то для каждого из них положительное направление обхода определяется таким же образом. Поверхность  называется xyz -проектируемой, если она однозначно проектируется на каждую координатную плоскость прямоугольной системы координат Oxyz . Такую поверхность можно задать с помощью любого из уравнений: z  zx, y , x, y   G1 ; x  x y, z ,  y, z   G2 ; y  yx, z , x, z   G3 . Теорема. Пусть гладкая xyz -проектируемая ориентированная поверхность  ограничена кусочно-гладким контуром L и расположена внутри области G , в которой функции Px, y, z , Qx, y, z , Rx, y, z  имеют непрерывные частные производные первого порядка. Тогда справедлива формула  R Q   Q P   P R  L Pdx  Qdy  Rdz    y  z dydz   z  x dzdx   x  y dxdy , где контур L обходится в положительном направлении. Эта формула называется формулой Стокса. Она выражает криволинейный интеграл второго рода по замкнутому контуру L через поверхностный интеграл второго рода по поверхности  , ограниченной контуром L . Формула Стокса остается справедливой, если поверхность  не является xyz проектируемой, но ее можно разбить кусочно-гладкими кривыми на конечное число xyz проектируемых частей. Формула Стокса справедлива и в том случае, когда поверхность  является плоской областью, параллельной какой-либо координатной плоскости (такая поверхность не является xyz -проектируемой). Для такой поверхности формула Стокса переходит в формулу Грина. Если граница поверхности  состоит из нескольких контуров, то формула Стокса остается в силе. При этом в левой части формулы Стокса нужно написать сумму интегралов по всем контурам, пробегаемым в положительном направлении. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования в пространстве. Определение. Трехмерная область G называется поверхностно односвязной, если для любого замкнутого контура L , лежащего в G , внутри области G найдется поверхность, ограниченного контуром L . Теорема. Пусть функции Px, y, z , Qx, y, z , Rx, y, z  непрерывны в области G . Тогда следующие три условия эквивалентны: 1. Для любого замкнутого кусочно-гладкого контура L , расположенного в области G , справедливо равенство  Pdx  QdyRdz 0 . L 2. Для любых двух точек A и B в области G криволинейный интеграл  P( x, y, z)dx  Q( x, y, z)dy  Rx, y, z dz не зависит от пути интегрирования, AB расположенного в области G . Px, y, z dx  Qx, y, z dy  Rx, y, z dz 3. Выражение является полным дифференциалом, то есть в области G существует функция uM   ux, y, z  такая, что du  Px, y, z dx  Qx, y, z dy  Rx, y, z dz . При этом для любой кусочно-гладкой кривой AB , лежащей в области G , имеет место равенство  P( x, y, z )dx  Q( x, y, z )dy  Rx, y, z dz  uB   u A . AB II) Пусть G – односвязная область, а функции Px, y, z  , Qx, y, z  и Rx, y, z  имеют в области G непрерывные частные производные первого порядка. Тогда каждое из условий 1-3 эквивалентно следующему условию: P Q R Q P R  ,  ,  4. В области G выполняются равенства . y x y z z x ux, y, z  Функция из условия 3. может быть найдена по формуле u x, y, z    x, y , z   Px, y, z dx  Qx, y, z dy  Rx, y, z dz  C , где интеграл в правой части  x0 , y0 , z0  представляет собой криволинейный интеграл второго рода по произвольной кривой L , лежащей в области G и соединяющей какую-нибудь фиксированную точку x0 , y0 , z 0  с точкой x, y, z  , а C – произвольная постоянная. Формула Остроградского-Гаусса. Пусть функции z1 x, y  и z 2 x, y  определены и непрерывны в ограниченной z1 x, y   z 2 x, y  . замкнутой области и Область D G  x, y, z  : x, y   D, z1 x, y   z 2 x, y  называется z - цилиндрической. Аналогично определяются x - цилиндрическая и y - цилиндрическая области. Область G называется простой, если ее можно разбить на конечное число как x - цилиндрических, так и y цилиндрических и z - цилиндрических областей. Теорема. Пусть функции Px, y, z , Qx, y, z , Rx, y, z  и их частные производные P Q R непрерывны в простой замкнутой области G , ограниченной кусочно-гладкой , , x y z поверхностью  . Тогда справедлива формула  P Q R  G  x  y  z dxdydz   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy , где поверхностный интеграл берется по внешней стороне поверхности.  P Q R  Формула называется G  x  y  z dxdydz   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy формулой Остроградского-Гаусса. Следствие. Если функции таковы, что Px, y, z , Qx, y, z , Rx, y, z  P Q R то интеграл в левой части равенства    1, x y z  P Q R  G  x  y  z dxdydz   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy равен объему области, то есть  P Q R    x  y  z dxdydz  V G  , и получается формула для вычисления объема области G G с помощью интеграла по ее поверхности: V G    Pdydz  Qdzdx  Rdxdy .  Формула Остроградского-Гаусса остается справедливой для любой ограниченной области G , граница которой состоит из конечного числа кусочно-гладких поверхностей. Формула Остроградского-Гаусса в векторной форме.  Пусть в области G определено векторное поле a  P, Q, R;  – замкнутая поверхность,  ограничивающая область G ; n M  = cos  M , cos  M , cos  M – единичный вектор внешней нормали к поверхности  в точке M .  Пусть, далее, для векторного поля a и поверхности  выполнены условия: P Q R функции Px, y, z , Qx, y, z , Rx, y, z  и их частные производные непрерывны , , x y z в простой замкнутой области G , ограниченной кусочно-гладкой поверхностью  . Тогда справедлива формула Остроградского-Гаусса:  P Q R  G  x  y  z dxdydz   P cos   Q cos   R cos  dS .  Подынтегральная функция в тройном интеграле есть diva , а поверхностный  интеграл представляет собой поток векторного поля a через поверхность  . Поэтому  P Q R  dxdydz   P cos   Q cos   R cos  dS можно записать в формулу     x y z  G     векторной форме:  divadV   an dS . G   Физический смысл формулы Остроградского-Гаусса: поток векторного поля a через замкнутую поверхность в сторону внешней нормали равен тройному интегралу по  области, ограниченной этой поверхностью, от дивергенции векторного поля a . Циркуляция векторного поля.  Рассмотрим векторное поле a M  , определенное в пространственной области G , и некоторую кусочно-гладкую кривую L  G , на которой указано направление обхода.  Пусть  M  – единичный касательный вектор к кривой L в точке M , направленный в сторону обхода кривой.  Криволинейный интеграл  a dl   a dl называется циркуляцией векторного L L  поля a вдоль кривой L в заданном направлении.  Если взять другое направление обхода кривой, то вектор  изменит направление на  противоположное, поэтому скалярное произведение a  ,а, значит, и циркуляция изменит знак.    Если a  F – силовое векторное поле, то циркуляция  F dl представляет собой   L работу силового векторного поля вдоль кривой L в заданном направлении.  Если в прямоугольной системе координат Oxy a  P, Q, R, а    = cos  , cos  , cos  , то выражение для циркуляции векторного поля a можно записать в виде  P cos   Q cos   R cos  dl   Pdx  Qdy  Rdz . L L Формула Стокса в векторной форме.  Пусть в области G определено векторной поле a  P, Q, R; L – замкнутый контур, лежащий в области G ;  – произвольная поверхность, границей которой  является контур L ;   G; nM   cos  , cos  , cos   – единичный вектор нормали на выбранной стороне поверхности  .  Пусть для векторного поля a  P, Q, R и поверхности  выполнены условия: гладкая xyz -проектируемая ориентированная поверхность  ограничена кусочногладким контуром L и расположена внутри области G , в которой функции Px, y, z , Qx, y, z , Rx, y, z  имеют непрерывные частные производные первого порядка. Тогда справедлива формула Стокса  R Q    Q P   P R      Pdx  Qdy  Rdz   cos    cos    cos  где    dS , L   y z   x y   z x     ориентация контура L согласована с ориентацией поверхности  . Левая часть формулы  Стокса есть циркуляция векторного поля a вдоль контура L , а правая часть представляет собой поток через поверхность векторного поля с координатами   R Q P R Q P , то есть поток rota через поверхность  . Поэтому формулу  ,  ,  y z z x x y    Стокса можно записать в векторной форме:  a dl   rota  n dS . L   Физический смысл формулы Стокса: циркуляция векторного поля a вдоль  замкнутого контура равна потоку ротора векторного поля a через поверхность, натянутую на этот контур. Лекция №3 «Дифференциальные уравнения 1-го порядка» Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции. Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких – то уравнением в частных производных. В общем случае дифференциальное уравнение можно записать в виде , где – некоторая функция от n+2 переменных, , при этом порядок n старшей производной, входящей в запись уравнения, называется порядком дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение n-го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид , где F– некоторая функция от n+1 переменной. Решением дифференциального уравнения называется такая функция , которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество. Задача о нахождении решения некоторого дифференциального уравнения называется задачей интегрирования данного дифференциального уравнения. График решения данного дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется такое его решение , которое является функцией переменной и произвольных независимых постоянных . Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных . Рассмотрим вопросы теории дифференциальных уравнений на примере уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной, то есть таких, которые допускают представление в виде , где – некоторая функция двух переменных. С геометрической точки зрения уравнение задает поле направлений в некоторой области. Решить уравнение – значит найти семейство кривых, отвечающих заданному полю направлений. Теорема. Пусть в дифференциальном уравнении функция и ее частная производная непрерывна на открытом множестве Γ координатной плоскости . Тогда: 1. Для всякой точки множества Γ найдется решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию ; 2. Если два решения и уравнения совпадают хотя бы для одного значения , то эти решения совпадают для всех тех значений переменной , для которых они определены. Геометрический смысл теоремы состоит в том, что через каждую точку множества Γ проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения . Теорема устанавливает условия существования и единственности решения задачи Коши – задачи отыскания частного решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию . «Дифференциальные уравнения 1-го порядка» Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде или в виде , где – некоторые функции переменной ; – некоторые функции переменной . Для решения такого уравнения его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной окажутся в одной части равенства, а переменной – в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного равенства. Задание. Решить уравнение . Решение. Разделив левую и правую части уравнения на выражение приходим к равенству . Интегрируя, получим . Задание: Решить уравнение x y 2  4 dx  ydy  0 .   при или , Решение: Разделив обе части уравнения на y 2  4  0 , имеем Интегрируя, находим x 2  ln y 2  4  ln C , или y 2  4  Ce  x . xdx  ydy  0. y2  4 2   Задание: Найти частное решение дифференциального уравнения 1  x 2 dy  ydx  0 при начальном условии y1  1 . dy dx Решение: Преобразуем данное уравнение к виду . Интегрируя, имеем  y 1 x2 ln y  arctgx  C . Это общий интеграл данного уравнения. Теперь, используя начальные условия, найдем значение произвольной постоянной C :   ln 1  arctg1  C , то есть C  . Следовательно, ln y  arctgx  , откуда получим 4 4   arctgx искомое частное решение y  e 4 . Задание: Цилиндрический резервуар с высотой 6 метров и диаметром основания 4 метра поставлен вертикально и наполнен водой. За какое время вода, заполняющая резервуар, 1 вытекает из него через круглое отверстие радиуса метра, сделанное в дне резервуара? 12 Решение: Воспользуемся формулой Бернулли, определяющей скорость v (в м/с) истечения жидкости из отверстия в резервуаре, находящегося на h метров ниже свободного уровня жидкости: v   2 gh . Здесь g  9,8 м/с2 – ускорение силы тяжести,  – постоянный (безразмерный) коэффициент, зависящий от свойств жидкости (для воды   0,6 ). Пусть через t секунд после начала истечения воды уровень, оставшейся в резервуаре воды был равен h метров и за время dt секунд понизился еще на dh метров dh  0 . Объем воды, вытекшей за этот бесконечно малый промежуток времени dt , вычислим двумя способами. С одной стороны, этот объем d равен объему цилиндрического слоя с высотой dh и радиусом, равным радиусу r основания резервуара ( r  2 метра). Таким образом, d  r 2 dh  r 2 dh . С другой стороны, этот объем равен объему цилиндра, основанием которого служит отверстие в дне резервуара, а высота равна vdt (где v – скорость истечения). 1 Если радиус отверстия равен  (   метра), то d   2 vdt   2 2 ghdt . 12 Приравнивая эти два выражения для одного и того же объема, приходим к уравнению  r 2 dh   2 2 ghdt . Разделяя переменные и интегрируя, получаем dt   C t r2  2 2 g 2r 2 h0  2 2 g 2r 2  2 2 g h  0: T    dh h ;t  C  2r 2 h  2 2 g . При t  0 имеем h  h0  6 метров. Отсюда находим . Таким образом, связь между t и h выражается уравнением  h0  h , а полное время истечения T найдем, полагая в этой формуле 2r 2 h0  2 2 g . Используя исходные данные, получаем T  1062 секунды. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде , где – некоторая функция. Рассмотрим способ решения дифференциального уравнения . Убедимся, что введение в рассмотрение вспомогательной функции от переменной позволяет свести это уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. Действительно, так как , то , поэтому уравнение приобретает следующий вид Задание. Решить уравнение Решение. Так как Тогда , откуда получим, что . . , то уравнение является однородным. Положим и, согласно Интегрируя почленно последнее равенство, получаем . Возвращаясь к первоначальным переменным, получим , имеем . . , откуда     . Задание: Найти общий интеграл уравнения x 2  2 xy dx  xydy  0 . Решение: Здесь Px, y   x 2  2 xy, Qx, y   xy . Обе функции – однородные второго порядка. Положим y  tx , откуда dy  xdt  tdx . Тогда уравнение примет вид или x 2  2 x 2 t dx  tx 2 xdt  tdx   0 , 2 2 2 2 3 x  2 x t  t x dx  tx dt  0 . dx tdt dx tdt Разделяя переменные, имеем   0;     C . Преобразуем 2 x t  1 x t  12 1 t 11 второй интеграл: ln x    C . Возвращаясь к dt  C , или ln x  ln t  1  2 t 1 t  1 x прежней неизвестной функции y , получаем окончательный ответ: ln x  y  C. x y y y Задание: Найти частное решение уравнения y    sin при начальном условии x x  y 1  . 2 Решение: Положим y  tx , откуда dy  xdt  tdx . dt dx Тогда получим . Интегрируя, имеем xdt  tdx  t  sin t dx; xdt  sin tdx;  sin t x t y t  arctgCx . Производя обратную замену t  , находим ln tg  ln x  ln C , откуда 2 x 2 общее решение исходного уравнения: y  2 xarctgCx . Используя данное начальное  условие, получим  2arctgC , то есть C  1 . Итак, искомое частное решение имеет вид 2 y  2 xarctgx . Задание: Найти форму зеркала, собирающего все параллельные лучи в одну точку. Решение: Очевидно, что зеркало должно иметь форму поверхности вращения, ось которой параллельна направлению падающих лучей. Примем эту ось за ось Ox и найдем уравнение кривой y  f x  , вращением которой образуется искомая поверхность.   y M K N O T Начало координат поместим в точку, в которой собираются отраженные лучи. Обозначим падающий луч через KM, а отраженный – через MO. Проведем касательную TM и нормаль MN в точке M к искомой кривой. Тогда треугольник OMT – равнобедренный с вершиной в точке O. Следовательно, OM=OT, но OM  x 2  y 2 , а OT найдем из уравнения касательной Y  y  y  X  x  , полагая в нем Y  0 , получим y y X  x  , откуда OT   X   x  . Таким образом, получаем дифференциальное y y y уравнение x 2  y 2   x  , или x  x 2  y 2 y   y , то есть x  x 2  y 2 dy  ydx  0 . y Оно является однородным. Для его интегрирования введем подстановку x  ty , приняв за аргумент y , а x и t за неизвестные функции этого аргумента. Тогда получим   ty    t 2  1dy  ydt  0 . Разделим переменные и  y 2  ty dy  ytdy  ydt   0 , или dy dt   0; ln y  ln t  1  t 2  ln C . Отсюда y  C t  1  t 2 или, проинтегрируем 2 y 1 t 2 2   возвращаясь к первоначальным переменным, имеем x  x 2  y 2    y2 . После упрощения C C  находим окончательное решение в виде y 2  2C  x   . Искомая кривая является 2  параболой, а зеркало имеет форму параболоида вращения. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид , где – некоторые непрерывные функции переменной . Рассмотрим один из возможных способов решения уравнения . Будем искать решение в виде (тем самым искомыми становятся функции и , одна из которых может быть выбрана произвольно, а другая – должна определяться из уравнения ). Так как , то из следует или . Найдем сначала какое-либо частное решение уравнения . Тогда функция – решение уравнения . Тем самым решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений с разделяющимися переменными. Задание. Решить уравнение . Решение. Разделив левую и правую части на , приходим к линейному неоднородному уравнению: . Пусть , то есть , тогда уравнение примет вид или . Положим или , откуда . Проинтегрировав, найдем какое-либо частное решение этого уравнения, например, при и равенство обратится в уравнение . Или . Решая это уравнение с разделяющимися переменными, получаем . Тогда окончательно имеем . Задание: Решить уравнение y  cos 2 x  y  tgx при начальном условии y0  0 . Решение: Проинтегрируем соответствующее однородное уравнение y  cos 2 x  y  0 , dy dx разделив переменные, получим   0, ln y  tgx  ln C; y  Ce tgx . 2 y cos x Будем искать решение исходного неоднородного уравнения в виде y  C x e tgx , где C x  – неизвестная функция. Подставив в исходное 1 , придем к уравнению y   C x e tgx  C x e tgx  cos 2 x cos 2 xC x e tgx  C x e tgx  уравнение y  C x e tgx и 1  cos 2 x  C x e tgx  tgx , или cos 2 xC x e tgx  tgx откуда cos 2 x e tgxtgxdx  e tgx tgx  1  C . Таким образом, находим общее решение данного 2 cos x уравнения y  tgx  1  Ce tgx . Используя начальное условие y0  0 , получим 0  1  C , откуда C  1 . Итак, искомое частное решение имеет вид y  tgx  1  e tgx . Уравнения Бернулли y  P ( x ) y  Q( x ) y n решаются тем же способом, что и линейные уравнения. Уравнения в полных дифференциалах P( x, y )dx  Q( x, y)dy  0 называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть полный дифференциал некоторой функции U(x,y), т.е. P ( x, y )dx  Q( x, y )dy  dU ( x, y )  U x dx  U y dy Для того чтобы уравнение было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно чтобы выполнялось условие Py  Qx C x    Решение дифференциального уравнения может быть записано в виде U(x,y)=с и найдено из U x  P( x, y )   U y  Q( x, y )     Задание: Найти общий интеграл уравнения e x  y  sin y dx  e y  x  x cos y dy  0 . P Q  1  cos y,  1  cos y y x . Следовательно, левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции U U U по x : U x, y  , то есть  e x  y  sin y,  e y  x  x cos y . Проинтегрируем x x y Решение: Здесь Px, y   e x  y  sin y, Qx, y   e y  x  x cos y,   U   e x  y  sin y dx  C  y   e x  xy  x sin y  C  y  . Найдем функцию C y, U  x  x cos y  C  y  . Получаем y уравнение x  x cos y  C  y   x  x cos y  e y , откуда следует, что C  y   e y , то есть C  y   e y . Итак, общий интеграл уравнения имеет вид e x  xy  x sin y  e y  C . Задание: Найти общий интеграл уравнения x  y  1dx  e y  x dy  0 . P Q Решение: Здесь Px, y   x  y  1, Qx, y   e y  x,  1,  1 ; таким образом, условие y x полного дифференциала выполнено, то есть данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. продифференцировав последнее выражение по y : y x Общий интеграл уравнения будем искать по формуле  Px, y dx   Qx, y dy  C . Взяв x0 x0  0, y0  0 , имеем x y y  x  y  1dx   e dy  C , или y0 x 1 2  y  2 x  xy  x   e y C. 1 2 x  xy  x  e y  1  C . 2 «Дифференциальные уравнения высших порядков» Дифференциальные уравнения высших порядков. Общее решение, начальные условия, задача Коши. Дифференциальным уравнением порядка n называется дифференциальное уравнение F x, y, y , y ,, y n   0 , связывающее независимую переменную x , неизвестную функцию y  yx  и ее производные y , y ,, y n  . Если дифференциальное Подставив пределы интегрирования, находим     уравнение записано как y n   f x, y, y , y ,, y n1 , то говорят, что оно разрешено относительно старшей производной. Общим решением такого дифференциального уравнения называется функция y  yx, C1 , C2 ,, Cn  , которая при любых значениях параметров C1 , C2 ,, Cn дает решение исходного уравнения. Уравнение, x, y, C1 , C2 ,, Cn   0 , задающее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом. Задачей Коши дифференциального уравнения порядка n называют задачу о поиске y  yx  , частного решения удовлетворяющего начальным условиям: n 1 n1  x0   y 0 . yx0   y0 , y x0   y0 ,, y 2. Два типа дифференциальных уравнений 2-го порядка, допускающих понижение порядка. 1. Простейшее уравнение второго порядка имеет вид у  f (x) . Правая часть уравнения – непрерывная функция одной переменной х. Такие уравнения решаются последовательным двукратным интегрированием функции f (x) . Пример: у  х 2  1 у  х3 х 3 у х4 х2   х 12 2 1 2. Уравнение, не содержащее в явном виде неизвестную функцию у у   f ( x, у , y ) Решение находится понижением порядка уравнения, произведя замену у   Z тогда у  Z  , в результате мы получим дифференциальное уравнение первого порядка z   f ( x, z ) , решив это уравнение получим решение z   ( x, 1 ) и выполнив обратную замену ( у   Z ) получим новое дифференциальное уравнение у   ( x, 1 ) с разделяющимися переменными из которого имеем dу   ( x, 1 )dx отсюда у    ( x, 1 )dx  c2 Пример: Найти общее решение уравнения 2 dz у  выполним замену у  Z у   х dx dz 2 z получили уравнение с разделяющимися переменными, умножим обе части на dx  dx x у   и разделим на z, получим dz 2dx проинтегрируем обе части уравнения  z x dz dx z 2  z  2 x ln z  c  2 ln x ln z  ln c1  2 ln x ln c  ln x потенцируем обе 1 z части уравнения  x 2 z  x 2 c1 c1 dy Выполним обратную замену ( у   Z  ) dx dy c1 x 3 2 2  x c1 dy  x c1dx и результат y   c2 . dx 3 Задание: Найти общее решение уравнения xy   y  ln y . x Решение: Полагая y   z , преобразуем уравнение к виду xz   z ln z z z , или z   ln . x x x z  t , откуда x dt dx  . z  tx, z   t x  t , и получим уравнение t x  t  t ln t , или t ln t 1 x Интегрируя, находим ln ln t  1  ln x  ln C1 , или ln t  1  C1 x , откуда t  e1C1x , возвращаясь к переменной y , приходим к уравнению y   xe1C1x . 1 1C1x 1 Следовательно, y   xe1C1x dx  xe  2 e1C1x  C 2 . C1 C1 2 Задание: Решить уравнение 1  у   yy  . Это однородное уравнение первого порядка. Теперь положим dz dz . Тогда уравнение примет вид 1  z 2  yz ; это dy dy уравнение первого порядка относительно z с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем: zdz dy  ; ln 1  z 2   2 ln y  2 ln C1 ;1  z 2  C12 y 2 ; z   C12 y 2  1 . Отсюда, возвращаясь к 2 y 1 z dy 1   dx, ln C1 y  C12 y 2  1  x  C 2  переменной y , имеем y    C12 y 2  1, C1 C12 y 2  1 Решение: Положим y   z, y   z   . Задание: Решить уравнение 1  у  2  yy  . dz dz Решение: Положим y   z, y   z . Тогда уравнение примет вид 1  z 2  yz ; это dy dy уравнение первого порядка относительно z с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем: zdz dy  ; ln 1  z 2  2 ln y  2 ln C1 ;1  z 2  C12 y 2 ; z   C12 y 2  1 . Отсюда, возвращаясь к 2 y 1 z dy 1   dx, ln C1 y  C12 y 2  1  x  C 2  переменной y , имеем y    C12 y 2  1, 2 2 C1 C1 y  1     . Задание: Найти y  из уравнения y   b sin y  ky  2 при начальных условиях y0  0, y 0  0 . dz 1 dz Решение: Положим y  2  z ; тогда 2 y y   z   y  , то есть y    . Уравнение dy 2 dy 1 dz  b sin y  kz . Это линейное уравнение первого порядка относительно z примет вид  2 dy dz  2kz  2b sin y . Решим его методом Бернулли. Используя подстановку z  uv , : dy  du  dv  v  2ku   2b sin y; dy  dy  получим  du  2ku  0; u  e  2 ky  dy  dv  2bu 1 sin y; dv  2be 2 ky sin y u Интегрируя, находим v 2b e 2 ky 2k sin y  cos y   C , 2 1  4k откуда 2b 2k sin y  cos y   y  2 . Используем начальные условия: 2 1  4k 2b 2b 2b e 2 ky  2k sin y  cos y . . Итак, y    C  0 , то есть C  2 2 1  4k 2 1  4k 1  4k «Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами» Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , где , – некоторые действительные числа, – некоторая функция. Если , то уравнение называется однородным; в противном случае, при уравнение называется неоднородным. z  uv  Ce 2 ky    Рассмотрим сначала решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами. Теорема. Если и – линейно независимые частные решения уравнения , то общее решение этого уравнения является линейной комбинацией этих частных решений, то есть имеет вид для некоторых действительных чисел и . Теорема. Пусть характеристическое уравнение уравнения имеет действительные корни и , причем . Тогда общее решение уравнения имеет вид , где и – некоторые числа. Теорема. Пусть характеристическое уравнение уравнения имеет действительные корни и , причем . Тогда общее решение уравнения имеет вид , где и – некоторые числа. Теорема. Пусть характеристическое уравнение уравнения не имеет действительных корней. Тогда общее решение уравнения имеет вид , где и – некоторые числа. Перейдем теперь к решению линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Это уравнение может быть, в частности, решено методом вариации произвольных постоянных, который состоит в следующем. Сначала находится общее решение однородного уравнения, имеющего ту же левую часть, что и исходное неоднородное уравнение. Затем решение уравнения находится в виде , то есть предполагается, что постоянные и являются функциями независимой переменной . При этом и могут быть найдены как решения системы . Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения исходного неоднородного уравнения. Пусть правая часть уравнения имеет вид , где – многочлены с действительными коэффициентами; – некоторые числа. Тогда частное решение уравнения следует искать в виде , где равно кратности корня характеристического многочлена ; – многочлены, степень которых равна наибольшей из степеней многочленов .   Задание: Найти общее решение уравнения y  7 y   6 y  0 . Решение: Составим характеристическое уравнение k 2  7k  6  0 ; его корни k1  6, k 2  1 . Следовательно, e 6 x и e x – частные линейно независимые решения, а общее решение имеет вид y  C1e 6 x  C2 e x . Задание: Найти общее решение уравнения y   2 y   y   0 . k 3  2k 2  k  0 имеет Решение: Характеристическое уравнение корни k1  0, k 2  k 3  1 . Здесь 1 является двукратным корнем, поэтому линейно независимыми частными решениями служат 1, e x , xe x . Общее решение имеет вид y  C1  C2 e x  C3 xe x . Задание: Найти общее решение уравнения y   4 y   13 y  0 . Решение: Характеристическое уравнение k 2  4k  13  0 имеет корни k1, 2  2  3i . Корни характеристического уравнения комплексные сопряженные, а поэтому им соответствуют частные решения e 2 x cos 3x и e 2 x sin 3x . Следовательно, общее решение есть y  e 2 x C1 cos 3x  C2 sin 3x  . Задание: Найти общее решение дифференциального уравнения II порядка и частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям: y-2y+5y=x2+1, y0=-3; y0=-0,2; x0=0. Решение: Найдём сначала общее решение соответствующего уравнения без правой частиу, затем какое – либо частное решение у* данного уравнения, а затем прибавим его к общему решению соответствующего уравнения без правой частиу. В сумме получится общее решение данного уравнения: у=у*+у. Cоставим характеристическое уравнение для y-2y+5y=0 k2-2k+5=0, оно имеет два различных мнимых корня: k1,2=12i, тогдау =ex(С1cos2x+С2sin2x), где С1=const, С2=const - общее решение соответствующего уравнения без правой части. Ищем решение в виде: у*=Ax2+Bx+С; у*=2Ax+B; у*=2A. Подставим полученные выражения в заданное уравнение и получим: 2A-4Ах-2В+5Ax2+5Bx+5С=x2+1 5Ax2+(5B-4А)х+(2A-2В+5С)=x2+1 А=0,2; В=0,16; С=0,184. у*=0,2x2+0,16x+0,184 - частное решение. Итак, общее решение данного уравнения: у=ex(С1cos2x+С2sin2x)+0,2x2+0,16x+0,184, где С1=const, С2=const. Ищем теперь частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: у=ex(С1cos2x+С2sin2x)+0,2x2+0,16x+0,184 у=ex(С1cos2x+С2sin2x-2С1sin2x+2С2cos2x)+0,4x+0,16 -3=С1+0,184  С1=-3,184; -0,2=С1+2С2+0,16  С2=1,412 у=ex(-3,184cos2x+1,412sin2x)+0,2x2+0,16x+0,184 Ответ: у=ex(С1cos2x+С2sin2x)+0,2x2+0,16x+0,184 и у=ex(3,184cos2x+1,412sin2x)+0,2x2+0,16x+0,184. Задание: Найти общее решение дифференциального уравнения II порядка и частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям: y-5y+6y=2cosx, y(0)=3; y0=0,5. Решение: Cоставим характеристическое уравнение для y-5y+6y=0 k2-5k+6=0, оно имеет два различных действительных корня: k1=2, k2=3, тогдау =С1e2х +С2e3х, где С1=const, С2=const - общее решение соответствующего уравнения без правой части. Ищем решение в виде: у*=Acosx+Bsinx; у*=-Asinx+Bcosx; у*=-Acosx-Bsinx. Подставим полученные выражения в заданное уравнение и получим: -Acosx-Bsinx-5(-Asinx+Bcosx)+6(Acosx+Bsinx)=2cosx; -Acosx-Bsinx+5Asinx-5Bcosx+6Acosx+6Bsinx=2cosx; (-A-5B+6A)cosx+(-B+5A+6B)sinx=2cosx; 5А  5В  2 10А  2 А  0,2    5А  5В  0 А  В В  0,2 у*=0,2cosx-0,2sinx - частное решение. Итак, общее решение данного уравнения: у=С1e2х+С2e3х+0,2cosx-0,2sinx, где С1=const, С2=const. Ищем теперь частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: у=С1e2х+С2e3х+0,2cosx-0,2sinx; у=2С1e2х+3С2e3х-0,2sinx-0,2cosx С1е 20  С 2 е 30  0,2 cos 0  0,2 sin 0  3 С1  С 2  0,2  3 С1  С 2  2,8       2С1е 2 х  3С 2 е 3х  0,2 sin 0  0,2 cos 0  0,5 2С1  3С 2  0,2  0,5 2С1  3С 2  0,7  2С1  2С 2  5,6 С  С 2  2,8 С  7,7  1  1  2С1  3С 2  0,7 С 2  4,9 С 2  4,9 у=7,7e2х-4,92e3х+0,2cosx-0,2sinx - частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям. Ответ: у=С1e2х+С2e3х+0,2cosx-0,2sinx и у=7,7e2х-4,92e3х+0,2cosx-0,2sinx. Элементы операционного исчисления Преобразование Лапласа. Основным математическим аппаратом, используемым в математическом моделировании, является специальный метод прикладного анализа. Метод называется пер ци нным, в основе которого лежит функциональное преобразование Лапласа. Определение. Пре р переменн й пределяе где функцию я нием Л пл н ы е друг й переменн й я пре р ние функции при п м щи пер р , к рый н шением: оригинал функции; изображение по Лапласу функции комплексная переменная ; . Эта формула определяет прямое преобразование Лапласа. Возможно и обратное преобразование Лапласа, которое позволяет найти оригинал по его изображению: где абсцисса сходимости функции . Для многих функций, встречающихся на практике, составлены таблицы соответствия между оригиналами и изображениями. Если же функция отсутствует в таблице, то ее изображение можно получить, используя формулу из определения. Т № лиц пре р ния Л пл Оригинал Изображение 1 2 : 1 1 3 4 (n=1,2,…) 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Пример 1. Требуется найти преобразование Лапласа от функции Решим его используя определение указанное выше: . Широкое применение преобразования Лапласа обусловлено тем, что изображение некоторых функций оказывается проще их оригиналов и ряд операций, таких как интегрирование, дифференцирование над изображениями проще, чем соответствующие операции над оригиналами. Свойства преобразования Лапласа. Теорема линейности: два любых действительных или комплексных 1. постоянных и линейной комбинации оригиналов соответствует такая же комбинация изображений: где 2. Теорема подобия: умножение аргумента оригинала на любое постоянное положительное число приводит к делению аргумента изображения на то же число λ. 3. Теорема затухания: умножение оригинала на функцию где любое действительное или комплексное число, влечет за собой «смещение» независимой переменной . 4. Теорема запаздывания: для любого постоянного 5. Теорема дифференцирования по параметру: если при любом значении ригин лу 6. соответствует изображение то Теорема дифференцирования оригинала: если то т.е. дифференцирование оригинала сводится к умножению на его изображения и вычитанию Применяя эту теорему В частности, если необходимое количество раз, получают Если то т.е. при нулевых начальных значениях n- кратное дифференцирование оригинала сводится к умножению на Теорема интегрирования оригинала: интегрирование оригинала в пределах 7. д его изображения. приводит к делению изображения на s: 8. Теорема дифференцирования изображения: дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на 9. пределах Теорема интегрирования изображения: интегрированию изображения в д соответствует деление оригинала на е если интеграл сходится, то 10. Теорема умножения изображения: если то свертке функций соответствует произведение изображений 11. Теорема умножения оригиналов: произведению оригиналов соответствует свертка изображений где 12. Теорема о конечном и начальном значениях функции: Решение дифференциальных уравнений Одним из важнейших применений операционного исчисления – преобразование Лапласа – является решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение дифференциального уравнения в этом случае складывается из следующих этапов: 1) Преобразование уравнения по Лапласу; 2) Отыскания решения в области комплексного переменного s; 3) Переход в область действительного переменного путем обратного преобразования Лапласа. Пример . Преобразуем данное уравнение по Лапласу: откуда Пусть полином имее к рни , тогда, как будет показано ниже, можно записать: где некоторые коэффициенты, определяемые методом неопределенных коэффициентов: Пользуясь таблицами обратного преобразования Лапласа, находим Полученное выражение является решением линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка при входном сигнале ничем иным, как переходной функцией для линейного объекта второго порядка. 1.1.Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. т.е. Пусть мы имеем систему дифференциальных уравнений: где коэффициенты постоянные, аргумент, искомые функции. Си ем ур нений п н ы е я и ем й янными к эффициен линейных дн р дных дифференци льных ми. Эту систему можно решить сведя к одному уравнению го порядка, которое в данном случае будет линейным, но можно решить и другим методом. Будем искать частное решение системы в следующем виде: Требуется определить постоянные и так, чтобы функции удовлетворяли системе уравнений. Подставим их в эту систему: Сократим ее на при . Перенося все члены в одну сторону и собирая коэффициенты , получим систему уравнений: Выберем и такими, чтобы удовлетворялась система. Эта система есть система линейных однородных алгебраических уравнений относительно Составим ее определитель: . Если k таково, что определитель нулевые решения отличен от нуля, то система имеет только , а следовательно, формулы дают только тривиальные решения Таким образом, нетривиальные решения мы получим только при таких k, при которых определитель обращается в нуль. Перейдем к уравнению порядка для определения : Э ур нение н ы е я характеристическим уравнением для и корнями характеристического уравнения. емы, к рни –