Фундаментальные эффекты, к которым приводит нелинейность. Неизохронность. Ангармоничность. Мультистабильность, бифуркация.

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ЭФФЕКТЫ, К КОТОРЫМ ПРИВОДИТ НЕЛИНЕЙНОСТЬ (Автономные системы второго порядка, способные совершать колебания. Гладкие нелинейности. Качественный уровень исследования) I. НЕИЗОХРОННОСТЬ (Зависимость периода свободных колебаний от амплитуды) 1.1. Период увеличивается с увеличением амплитуды Свободное движение маятника в вертикальной плоскости. Свободное падение мяча с высоты на горизонтальную поверхность при условии идеально упругого удара порождает периодическое движение 1.2. Период уменьшается с увеличением амплитуды Пружина линейная, скольжение без трения, удар абсолютно упругий. II. АНГАРМОНИЧНОСТЬ 2.1. Генерация гармоник При малой амплитуде собственные колебания близки к гармоническим, при большой амплитуде форма колебаний становится отличной от синуса, что говорит о присутствии других гармоник. Если выход – периодическая функция с периодом Т, то ее можно разложить в ряд Фурье Коэффициенты ряда показывают, насколько колебательный процесс отличен от гармонического. Откуда берутся гармоники? На вход статического элемента подаем гармонику 1. 2. )] 3. 4. 2.2. Комбинационные составляющие На вход статического элемента подаем линейную комбинацию гармоник 1. . На выходе линейного элемента имеем линейную комбинацию этих же гармоник 2. ] На выходе нелинейного элемента будут присутствовать колебания с комбинационными частотами. III. МУЛЬТИСТАБИЛЬНОСТЬ, БИФУРКАЦИЯ Движение массы m происходит вдоль оси х без трения. Точка закрепления линейной пружины жесткости k находится на расстоянии а от оси х. Длина пружины в недеформированном состоянии – l. Если , одно устойчивое положение равновесия Если , одно неустойчивое положение равновесия и два устойчивых положения равновесия 1. Консервативная система Положения равновесия Уравнение движения Построение фазового портрета нелинейного осциллятора 1. Особые точки (положения равновесия) 2. Фазовые траектории Определение типа особых точек , Характеристическое уравнение Особая точка Характеристическое уравнение растяжение поджатие =0 ЦЕНТР СЕДЛО =0 ЦЕНТР Максимум потенциальной энергии соответствует особой точке – седлу. Минимумы потенциальной энергии соответствуют особым точкам типа центр. Сепаратриса разграничивает фазовую плоскость на зоны с различным типом движения. Для консервативных систем сепаратриса выходит из седла и стремится вернуться в седло. Случай 2. Диссипативная система, случай (поджатие) Уравнение движения Особая точка - СЕДЛО =0 Особая точка =0 УСТОЙЧИВЫЙ ФОКУС УСТОЙЧИВЫЙ УЗЕЛ Изображена фазовая плоскость в случае малого демпфирования. Особая точка СЕДЛО осталось СЕДЛОМ, а особые точки ЦЕНТРЫ превратились в устойчивые ФОКУСЫ. В диссипативных системах не может быть сепаратрис, идущих их седла в седло. Теперь сепаратрисы служат границами бассейнов притяжения устойчивых фокусов. 3. Уравнение Дуффинга Получим приближенное описание движения В дополнение ко всем допущениям предположим, что отношение - мало. Представим выражение для потенциальной энергии в виде ряда, ограничившись слагаемыми четвертого порядка малости Положения равновесия, случай Уравнение движения принимают структуру уравнения Дуффинга Свободное движение маятника также может быть описано уравнением Дуффинга Уравнение Дуффинга - это уравнение осциллятора с нелинейной жесткостью или нелинейной восстанавливающей силой, причем кубической.