Физико-математические методы при проектировании оборудования нефтегазопереработки

Кафедра «Машины и оборудование нефтегазовых и химических производств» Н.Г. КАЦ С.Б. КОНЫГИН ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ ОБОРУДОВАНИЯ НЕФТЕГАЗОПЕРЕРАБОТКИ Н.Г. КАЦ, С.Б. КОНЫГИН ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ ОБОРУДОВАНИЯ НЕФТЕГАЗОПЕРЕРАБОТКИ Самара Самарский государственный технический университет 2015 2 УДК 665.52 ББК 35.514 Кац Н.Г. К 77 Использование физико-математических методов при проектировании оборудования нефтегазопереработки: Практикум / Н.Г. Кац, С.Б. Коныгин – Самара: Самар. гос. тех. ун-т, 2015. – с. 185 ISBN Приведены способы оптимизации решений на стадии конструирования оборудования нефтегазопереработки, показаны методы оптимального проектирования оборудования с учетом эксплуатационных факторов. Приведены примеры решения инженерных задач. Материалы могут быть использованы студентами всех форм обучения, занимающихся расчетами и проектированием нефтяного оборудования, направления подготовки 151000 – 15.03.02. Технологические машины и оборудования, Шифр специальности Б2Б7. Рецензент − Доцент кафедры ХТиПЭ, к.х.н., Смирнов Б.Ю. УДК 665.52 ББК 35.514 К 77 ISBN © Н.Г. Кац, С.Б. Коныгин, 2015 © Самар. гос. тех. ун-т, 2015 3 ПРЕДИСЛОВИЕ "Если читатели этого практикума пришли к выводу, что знание математики нужно не только математикам, а физики − не только физикам, то авторы достигли поставленной цели". Виктор Петрович Стариков МОЕМУ ДРУГУ, СПЕЦИАЛИСТУ В ОБЛАСТИ ПОДГОТОВКИ ИНЖЕНЕРОВ НЕФТЕГАЗОПЕРЕРАБОТКИ И НЕФТЕХИМИИ, ВНЕСШЕМУ БОЛЬШОЙ ВКЛАД В ЕЕ РАЗВИТИЕ, ПОСВЯЩАЕТСЯ. Главной целью написания этой книги было оказание помощи в приобретении навыков практического использования полученных ранее знаний математики, физики, теоретической механики и других дисциплин. В каждом разделе авторы стремились продемонстрировать возможность использования «абстрактных» формул для решения «реальных» задач. В главе 2 показывается, как математический анализ функций одной переменной связан с оптимизацией геометрический размеров емкостей аппаратуры. 4 Материал 3-й главы демонстрирует возможности теоретического расчета нагрузок от собственного веса аппаратов для выбора такелажной оснастки и грузоподъемных механизмов, а также для расчета основных размеров опорных элементов. Теоретические выкладки физики и гидравлики использованы при анализе задач главы 4, которая наглядно демонстрирует необходимость этих знаний при решении практических задач с элементами движения в системе. Без сведений, представленных в 5-й главе, невозможен достоверный анализ динамических нагрузок и перемещений в различных машинах химических производств: центрифугах, насосах, вентиляторах и т.д. В шестой главе авторы привели конкретные примеры решения некоторых практических задач. В седьмой главе представлены задачи, которые студенты могут самостоятельно решать, используя полученные знания по методам моделирования некоторых процессов, происходящих в аппаратах нефтегазопереработки. 5 ВВЕДЕНИЕ Курс «Физико-математические методы расчета оборудования» является естественнонаучной дисциплиной, целью которой является изложение теоретических основ и рассмотрение практических методов решения наиболее простых, но достаточно информативных инженерных задач. Для изучения материала практикума необходимы знания освоенных ранее дисциплин: высшей математики, физики, теоретической механики и пр. Структура практикума включает рассмотрение общеинженерных проблем и решение конкретно сформулированных инженерных задач из области химической техники, расчета и проектирования оборудования нефтегазопереработки, выбора оптимального варианта решения какой-либо проблемы и т.д. На практических занятиях большое внимание уделяется приобретению студентами навыков самостоятельного решения инженерных задач, для чего они должны индивидуально изучать научнотехническую литературу, повторять разделы ранее пройденных дисциплин, уметь использовать ПЭВМ. Таким образом, при определенной математической подготовке студента становится возможным проследить всю цепочку инженерных действий – начиная от момента постановки задачи до получения готового решения [20]. 6 ГЛАВА 1 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ ОБОРУДОВАНИЯ 1.1. Конструктивные особенности и влияние параметров процесса на форму и размеры оборудования При проектировании оборудования нефтехимических производств, необходимо установить основные факторы, определяющие выбор, как самой конструкции, так и ее размеры, а также конструкционный материал. Такими факторами являются: − технологический процесс; − нагрузки, действующие на узлы и детали; − способ изготовления элементов машин и аппаратов; − эксплуатационные требования к оборудованию. При выборе технологического процесса определяются температура и давление внутри аппарата, состав и характер среды. Эти факторы влияют на исполнительные размеры аппаратов и машин, конструкция которых определяется наиболее целесообразным способом и конструктивными условиями осуществления технологического процесса, а также на выбор конструкционного материала и способы защиты от коррозии. При осуществлении технологического процесса на элементы конструкции действуют нагрузки, которые могут быть постоянными или незначительно меняющимися во времени и переменными или циклическими. Характер нагрузки влияет на методы изоляции от вибрации и т.д. [20]. Эксплуатационные требования также влияют на конструкцию аппарата, так, например, для проведения ремонтов внутренних устройств устанавливают люки-лазы и разъемные соединения корпуса. 7 При проектировании оборудования и сокращения сроков его ремонта проводится унификация и стандартизация некоторых элементов и аппаратов. Стандартизированными являются многие детали и узлы, такие как люки, штуцера, фланцы, трубы, крепежные детали и др. Стандартами устанавливается ряд предпочтительных размеров валов, диаметров цилиндрических аппаратов, объемов для емкостных аппаратов, ряд условных давлений для аппаратов и фланцевых соединений, ряд грузоподъемностей и т.д. [20]. 1.2. Критерии оптимизации при проектирование машин и аппаратов При проектировании перед конструктором всегда стоит задача выбора такого варианта конструкции который представляет наибольший интерес. Это должно осуществляться по определенным критериям, называемым критериями оптимизации, которые характерны для данной задачи. Оптимизации может подвергаться любой параметр, например, число оборотов барабанной мельницы, размеры емкостной аппаратуры и др. Также можно осуществлять оптимизацию на более высоком уровне, например выбор типа теплообменника, количества и производительности центрифуг. Наиболее высоким уровнем оптимизации является оптимизация установки в целом, производства или завода. Известно, что по величинам, содержащимся в задании на проектирование, нельзя однозначно определить все необходимые размеры и характеристики аппарата. Для того чтобы свести задачу проектирования аппарата к формальному расчету, необходимо к тем величинам, которые названы в проектном задании, добавить ряд других, значения которых в известной мере могут быть выбраны конструктором произвольно. Иногда даже опытному конструктору необходимо сделать 5-6 вариантов расчета, прежде чем удастся отыскать приемлемые соотношения тех величин, которыми он задается: размер труб, тип днища, диаметр аппарата, число оборотов барабана и т.д. Опыт пока8 зывает, что различные комбинации этих величин приводят к существенно неравноценным результатам расчета. В одних случаях получаются эффективные аппараты, в других же – малоэффективные или даже практически непригодные конструкции. Приемлемый вариант почти никогда не удается получить с первой попытки, поэтому конструктор обычно делает прикидку ряда вариантов, отличающихся друг от друга числовыми значениями принимаемых величин. Этот ряд последовательных приближений к проектному варианту в значительной степени подвержен влиянию опыта, интуиции конструктора и других субъективных факторов. Кроме того, само решение задачи, т.е. выбор варианта, на котором следует остановиться, также во многом носит субъективный характер. Часто оно выражается в терминах «получить хорошие значения скоростей», «получить приемлемые пропорции», «решение конструктивно» и т.п. [20]. Если задачу проектирования оборудования формулировать как задачу оптимизации положение изменится. Тогда все достоинства аппарата выражаются посредством единственной величины – критерия оптимальности, по которой отдается предпочтение одним вариантам перед другими. При определении оптимизации расчет может быть направлен на поиск такого варианта, для которого критерий оптимальности имеет экстремальное значение. Тогда результат расчета зависит от того, насколько принятый критерий соответствует цели проектирования и как он характеризует достоинства такого аппарата. При этом необходимо учитывать, что даже весьма совершенные критерии оптимальности все-таки полностью или частично игнорируют многие важные показатели качества аппарата, особенно те из них, которые в настоящее время плохо поддаются или вообще не поддаются формализации (например, такие, как уровень унификации, эргономические, патентно-правовые, эстетические и другие показатели) [20]. В таком смысле оптимизация представляет собой более или менее грубую модель творческого процесса поиска инженерного решения. 9 Преимущество оптимизации состоит в том, что это строго осознанный метод выбора наилучшего решения проблемы, свободный от интуитивных представлений. Поэтому цель любого расчета ˗ иметь четкую формулировку и количественную оценку. Любой критерий оптимальности аппарата можно считать функцией, зависящей от переменных двух видов: 1) величины z1 , z2 ,....., zm , определенные в проектном задании на расчет аппарата (поскольку в пределах одной задачи эти величины постоянны, их можно отнести к параметрам); 2) величины x1 , x2 ,....., xn , варьируемые конструктором в процессе поиска наилучшего варианта (эти величины в задаче оптимизации играют роль независимых переменных). Таким образом, критерий оптимальности есть некоторая функция от m параметров и n независимых переменных [20]: KO  f ( x1 ,..., xn , z1 ,..., zm ) . Приступая к проектированию аппарата, вид этой функции должен быть полностью и однозначно определен. Она почти никогда не бывает настолько очевидной, чтобы ее можно было записать в виде достаточно простой и компактной алгебраической формулы. Однако всегда должен быть известен путь, позволяющий по заданным численным значениям всех переменных xi и zi получить численное значение критерия оптимальности KO. Иначе говоря, для решения данной задачи должен быть известен некоторый алгоритм расчета, с помощью которого можно определить значение критерия оптимальности [20]. Таким образом, решение любой задачи оптимизации заключается в том, чтобы найти такие значения независимых переменных x1 , x2 ......xn : 10 х1  х1* ; х2  х2* ; ..... хn  xn* , чтобы функция находилась в области f ( x1* ,...., xn* , z1 ...., zn ) . Конструктору необходимо помнить, что величины x1* ,...., xn* на практике не могут принимать любых значений, они всегда говорят об условном оптимуме, т.е. нахождении значений независимых переменных, доставляющих минимум критерия оптимальности при одновременном удовлетворении ряда ограничений, они сужают область допустимых значений независимых переменных. Такие ограничения могут налагаться как на значения отдельных независимых переменных, так и функций от них. Такого рода ограничений может быть введено сколь угодно, но в общем случае ограничение можно записать в следующем виде: Pi ( x1 ,..., xn )  Ai (значения функции Pi принадлежат области Ai), где Pi – функция независимых переменных; Ai – область допустимых значений для функции. Таким образом, оптимизация аппарата может быть представлена как задача на условный оптимум и сформулирована следующим образом [20]: найти значения x1* ,...., xn* , такие, чтобы f ( x1* ,...., xn* , z1 ...., zn ) при соблюдении k условий вида Pi ( x1 ,..., xn )  Ai (i  1,2,..., k ) . Таким образом при всем многообразии разновидностей задачи оптимизации решение ее должно содержать в себе такие основных элемента: 11 1) реализацию расчета одного (произвольного по численным значениям независимых переменных) варианта аппарата, включая расчет величины критерия оптимальности; 2) изменение вариантов (значений независимых переменных) и их сравнение по величине критерия оптимальности. При проектировании аппаратов в качестве критерия оптимальности могут быть приняты различные величины. Например, для транспортных установок часто стремятся иметь наиболее легкие аппараты. Необходимо помнить, что представление об эффективности проектируемых машин и аппаратов не всегда остается постоянным в ходе решения задачи, оно может меняться по мере накопления информации в зависимости от достигнутых результатов. Основное требование к критерию оптимальности состоит в том, что это должна быть единственная величина, которая по возможности наиболее полно отвечает поставленной цели создания аппарата. Требование единственности критерия существенно, так как при решении одной задачи в общем случае невозможно свести к минимуму или максимуму более чем одну величину. Иными словами, нельзя поставить задачу создания, например, такого аппарата, который имел бы минимальный объем и минимальную стоимость одновременно, хотя в некоторых частных случаях и может быть получено такое совпадение. Таким образом, математические модели можно построить для каждого из параметров, но одновременно оптимизировать несколько функций невозможно [20]. Важным моментом здесь также является вид зависимости критерия оптимизации от варьируемых параметров (см. рис. 1.1). Для того чтобы оптимизация была возможной, зависимость должна иметь экстремум на интервале поиска (графики а и в). В случае если функция является монотонной (график б), то оптимальное решение всегда будет находиться на одной из границ интервала поиска. Если функция имеет вид, схожий с графиком г, то оптимизация не имеет смысла, так как критерий оптимизации безразличен к значению параметра. 12 Р и с. 1.1. Некоторые виды зависимостей критерия оптимизации от варьируемого параметра. Выбор одного из самых ответственных моментов при оптимизации аппарата, является направленность расчета и результаты выбора окончательного варианта. Обычно оптимизируется функция, которая наиболее важна с точки зрения исследования, при ограничениях, налагаемых другими функциями. 1.3. Математические методы получения целевой функции и поиска оптимального варианта Для эффективного выбора решений любой задачи, необходимо применить математические методы. Оптимальные решения любой задачи необходимо проводить не только при конструировании емкостной аппаратуры, это требуется для любых проектных и конструкторских работ. Для практического осуществления поиска оптимального варианта следует величины, входящие в критерий оптимальности, выразить через исходные данные и значения независимых переменных, определяющих соотношения размеров аппаратов [20]. 13 Связь аналитической зависимости между указанными величинами получить не всегда возможно, и чаще всего это нецелесообразно. Однако в этом и нет никакой необходимости, так как в данном случае достаточно указать путь, следуя которому можно вычислить значение критерия оптимальности для анализируемого варианта. В общем случае поиск оптимального варианта осуществляется следующим образом: 1. Принимаются первые значения независимых переменных. 2. По принятым значениям и на основе исходных данных производится расчет данного варианта с определением значения критерия оптимальности. 3. Производится изменение значений независимых переменных и повторение п. 2. После проведения расчета некоторого числа вариантов и сравнения их по величине критерия оптимизации отыскивается вариант с экстремальным значением критерия, который и является оптимальным для данной задачи. Для примера рассмотрим использование при оптимизации метода половинного деления для нахождения минимума функции f(x) на интервале от a до b (рис.1.2). В данном случае поиск решения производится по следующему алгоритму. Р и с. 1.2. Метод половинного деления. 14 Шаг 1. Определяем среднее значение интервала по формуле ab xср  2 , а также величину f(xср). Шаг 2. Определяем значения x1 и x2 по формулам a  xср xср  b x1  x  2 , 2 2 , а также величины f(x1) и f(x2). Шаг 3. Если f(x1) < f(xср), то отбрасываем интервал от xср до b, а также принимаем b = xср и xср = x1. Переходим к шагу 6. Шаг 4. Если f(x2) < f(xср), то отбрасываем интервал от a до xср, а также принимаем a = xср и xср = x2. Переходим к шагу 6. Шаг 5. Если f(x2) ≥ f(xср), то отбрасываем интервалы от a до x1 и от x2 до b, а также принимаем a = x1 и b = x2. Значение xср не изменяется. Шаг 6. Если значение b  a меньше заданной погрешности, то решением является значение xср. В противном случае переходим к шагу 2. Аналогично задача решается при поиске максимума функции f(x). 1.4. Технико-экономический критерий оптимальности Для многих установок химических производств такие характеристики, как масса, объем, занимаемая площадь не имеют решающего значения, и проектирование аппаратуры для этих систем должно быть подчинено решению основной задачи – обеспечению высокой экономической эффективности. Иными словами, из всех вариантов возможной конструкции машины или аппарата, отвечающих заданным условиям, оптимальным признается экономически наиболее эффективный. Говоря же об оценке эффективности функционирования системы, важно помнить, что речь идет о системе в целом. При решении конкретной задачи критерий оптимальности может быть только один, от него требуется, чтобы он учитывал как можно больше различных характеристик. Таким критерием при анализе про15 изводства аппарата может являться универсальный техникоэкономический критерий «приведенные затраты», т.е. сумма эксплуатационных и капитальных затрат, отнесенная к одному году нормативного срока окупаемости, и, следовательно, наиболее эффективным будет вариант, у которого приведенные затраты минимальны. В структуре приведенных затрат обычно фигурируют такие экономические величины, как капитальные затраты, эксплуатационные затраты и нормативный срок окупаемости, что позволяет применять их для оптимизации любых производственных установок и конструкций. При определении величины приведенных затрат все входящие в них составляющие должны быть выражены через такие технические характеристики, как, например, размеры, масса, потери энергии и т.п. Таким образом, несмотря на экономическую природу величины приведенных затрат, внутреннее содержание этого критерия является техническим. Иными словами, приведенные затраты представляют собой синтетическую величину, характеризующую технические достоинства конструкции в экономической форме. Внутреннее содержание составляющих технико-экономического критерия зависит от конкретной конструкции. При этом чем полнее учитываются различные категории затрат, тем более обоснованным получается результат оптимизации. Необходимо отметить, что поскольку оптимизация – это сравнительный расчет вариантов, то в критерий оптимальности следует включать лишь те затраты, которые непосредственно влияют на выбор оптимального варианта [20]. 16 ГЛАВА 2 ОПТИМИЗАЦИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ РАЗМЕРОВ ОБОРУДОВАНИЯ НЕФТЕГАЗОПЕРЕРАБОТКИ 2.1. Оболочки вращения. Основные понятия и определения. Оболочки в виде цилиндров, шаров, эллипсоидов вращения, конусов или их комбинации широко применяются в конструкциях аппаратов на предприятиях нефтяной, нефтеперерабатывающей, химической и других отраслей промышленности, это, например, резервуары для хранения нефти и нефтепродуктов, ректификационные колонны, реакторы, электродегидраторы, отстойники, теплообменники и другие аппараты. Большое разнообразие использования оболочек заставило ученых обратить внимание на вопросы теории при создании подобных реальных конструкций и их расчета. Рассмотрим основные сведения и определения по геометрии поверхностей вращения. Оболочкой вращения называется оболочка, срединная поверхность которой образована вращением какой-либо плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости. Кривая расположена по одну сторону от оси. Так, сфера образована вращением полуокружности вокруг ее диаметра, тор – вращением окружности вокруг прямой, не пересекающей данную окружность, конус – вращением отрезка прямой вокруг пересекающей отрезок оси и т. д. [1,11,16,20]. Срединной поверхностью называется поверхность оболочки, точки которой везде одинаково отстоят от внешней и внутренней поверхности [1,20]. Образующей поверхности вращения называется кривая, вращением которой образована срединная поверхность оболочки. Полюсами оболочки называются точки пересечения поверхности с осью вращения [20]. 17 Меридиан – это кривая [1,11,20], образованная на поверхности сечением ее плоскостью, проходящей через ось. Очевидно, что меридианы совпадают с образующими. Плоскости, перпендикулярные к оси, пересекают поверхность по кругам, называемым параллельными кругами. Радиус кривизны меридиана в какой-либо точке поверхности называется первым главным радиусом кривизны поверхности в данной точке R1 (рис. 2.1) [20]. Р и с. 2.1. Пример оболочки вращения Радиус кривизны кривой, полученной от пересечения поверхности плоскостью, перпендикулярной к меридиану, называется вторым главным радиусом кривизны поверхности в этой же точке R2. Концы К1 и К2 радиусов кривизны называются центрами кривизны. Второй центр кривизны К2 поверхности вращения лежит, как доказывается в аналитической геометрии, на оси оболочки и оба радиуса находятся на одной прямой, перпендикулярной к поверхности в рас18 сматриваемой точке. Угол  между нормалью к поверхности и осью называется широтой рассматриваемой точки. Все линии, по которым плоскости, проходящие через нормаль к поверхности в данной точке, пересекают поверхность, называются нормальными сечениями. Очевидно, меридиан и кривая, по которой поверхность пересекается плоскостью, нормальной к меридиану, также являются нормальными сечениями и отличаются тем, что из всех нормальных сечений в данной точке они имеют наибольший и наименьший радиусы кривизны [20]. Радиус кривизны R сечения оболочки определяется уравнением Эйлера: 1 cos 2  sin 2    . R R1 R2 Если в какой-либо точке R1=R2=R, то радиусы кривизны всех нормальных сечений в этой точке также равны R, то такая точка называется точкой округления, например, сфероиды, у которого все нормальные сечения в полюсе являются эллипсами. 2.2. Определение объемов тел Пусть известны площади F(x) всех его сечений, параллельных плоскости R(x – расстояние сечения от плоскости R), рассматриваемого тела произвольной формы (рис. 2.2). Из курса высшей математики, объем тела определяется как: x2 V   F ( x)dx . x1 Найдем, например, объем эллипсоида см. рис. 2.3 а – поверхности, представляемой уравнением 19 x2 y2 z2    1. a2 b2 c2 Р и с. 2.2. Схема к определению объема тела произвольной формы Сечения плоскостей XOY, XOZ, YOZ являются эллипсами с полуосями а, b и с. Если все три величины a, b, c различны, то эллипсоид называется трехосным. Если какие-либо две из этих величин равны между собой, то такая поверхность называется эллипсоидом вращения. Другими словами, эллипсоид вращения (рис. 2.3 б) можно определить как поверхность, получаемую равномерным сжатием (или растяжением) сферы к ее экватору (от ее экватора) [1,20]. Сечение KLKL (см. рис. 2.3 а), параллельное главному эллипсу ВСВС и отстоящее от него на расстояние h = OM, есть эллипс с полуосями h2 h2 b  MK  b 1  2 , c'  ML  c 1  2 . a a ' Площадь F(h) сечения определяется как площадь эллипса y2 z2   1. (b' ) 2 (c' ) 2 20 c' 2 h2 2 F ( h)  2  y  (b' ) dy  b' c'  bc(1  2 ).  b ' b' a b ' Р и с. 2.3. Схема к расчету объема эллипсоида Тогда объем эллипсоида будет равен a h2 2bc V   F (h)dh  2 bc(1  2 )dh  2bc  dh  2 dh  a a a 2 4  2abc  abc  abc . 3 3 a a Если эллипсоид становится шаром (a = b = c = R), то получаем другую формулу для расчета 4 V  R 3 . 3 Для тел вращения представленных на рис. 2.4, которые имеют тела, ограниченных поверхностью вращения и двумя плоскостями Р1, Р2, перпендикулярными к оси вращения ОХ, объем может быть определен как 21 b' V    Y 2 dx , a где y = f(x) – ордината меридиана АВ. Найдем объем цилиндра, меридиан которого прямая, и представляется уравнением y  R; H V    R 2 dx  R 2 x |0н  R 2 H , где Н – высота цилиндра. Р и с. 2.4. Схема к определению объема тел вращения При определении объема тора, представленного на рис. 2.5. может быть использовано уравнение r r r r V    ( R  r 2  y 2 ) 2 dy    ( R  r 2  y 2 ) 2 dy  r  4R  r 22 r  y dy  4R 2 2 r 2 2  2 2 Rr 2 . Р и с. 2.5. Схема к расчету объема тора Для определения объема части тора сечением DCF (рис. 2.10), который чаще всего используется в конструкциях аппаратов нефтегазопереработки, определяется как:   3  sin 2  0,33sin   V  2r 2 (  )  R  r (1  ) .  sin 2  2 4     2 4  Для вычисления объема сложного вертикального цилиндрического тела, построенного на основании D и ограниченного сверху соответствующей частью поверхности Z = f(x, y), может использоваться также двойной интеграл V   f ( x, y)d [20]. D Если контур области D встречается со всякой пересекающей его вертикальной прямой не более чем в двух точках (М1, М2 на рис. 1.6 а), то область D может быть задана неравенствами: a  x  b;1 ( x)  y   2 ( x), где a, b – крайние абсциссы области; 1(x) и 2(x) – функции, выражающие ординаты нижней и верхней граничных линий АМ1В1 и АМ2В2. Известно, что двойной интеграл вычисляется как: 23 b 2 ( x ) a 1 ( x )  f ( x, y)d   dx  f ( x, y)dy . D Если контур области встречается не более чем в двух точках (рис. 2.6. б) со всякой пересекающей его горизонтальной прямой, то: d 2 ( y ) c 1 ( y )  f ( x, y)d   dy  f ( x, y)dx . D а б Р и с. 2.6. Схема к расчету объема сложного тела Найдем объем «цилиндрического копыта», т.е. тела ABCD (рис. 2.7), используя двойной интеграл. h Уравнение плоскости ABC будет иметь вид Z  y , тогда: R h ydxdy . ( ABC ) R V   По первому способу имеем a   R; b  R;1 ( x)  0; 2 ( x)  KL  R 2  x 2 . Тогда получим 24 R R2  x2 V   dx  R h ydy . R Р и с. 2.7. Схема к расчету объема "цилиндрического копыта" Выполнив интегрирование по y, найдем R2  x2  h h y2 ydy  R R 2 R2  x2  h (R 2  x 2 ) . 2R Полученное выражение позволяет получить площадь F сечения 1 KLM ( F  KL  LM , гдеKL  R 2  x 2 , а LM находится из подобия 2 треугольников KLM, ODB). Используя интегрирование, получаем следующее выражение: h h 2 V ( R 2  x 2 )dx  R x R 2R 2R R R R h x3  2R 3 R R  25 R2h 2 2  R h  R h. 3 3 2 2.3. Определение поверхностей оболочек вращения Площадь F поверхности, образованной вращением дуги АВ около оси ОХ, выражается интегралом (B) F   2ydF , ( A) где у – ордината меридиана АВ; dF  dx 2  dy 2 – дифференциал дуги; (А) и (В) – крайние значения параметра, через который выражены координаты. За параметр удобно принять абсциссу Х, тогда получим: x2 F   2y 1  ( y ' ) 2 dx . x1 Определим площадь боковой поверхности прямого кругового конуса см. рис. 2.8, высотой Н с радиусом основания R. Конус получаR ется при вращении прямой y  x вокруг своей оси ОХ. H Р и с. 2.8. Схема к расчету поверхности конуса 26 R R 2 R R 2 H2 F   2 x 1  ( ) dx  2 1 ( )  R R 2  H 2 . H H H H 2 H Так же можно рассчитывать площадь поверхности шара или сферы радиусом R. Уравнение образующей окружности х2 + y2 = R2. R F   2 R  x 2 R 2 R x2 1 2 dx  2R  dx  4R 2 . 2 R R x При расчете поверхности эллипсоида вращения уравнение выводится аналогично принимая, что при отношении полуосей m ≥ 1: ln( m  m 2  1) F  2R (1  ). m m2 1 2 Пусть некоторое тело KLM (рис. 2.9) поверхностью S проектируется на область D плоскости XOY (KLM на рисунке), при этом в каждую точку N области D проектируется только одна точка N рассматриваемого тела. Тогда площадь F куска KLM выражается как: F   1  p 2  q 2 d , D где p z z и q . x y Например, найдем площадь части тора с дугой CD (рис. 2.10.), являющегося переходом между цилиндрическим корпусом и коническим или сферическим днищем [20]: sin    F  2r  R  r (1  ) .    Также можно найти площадь поверхности, например, копыта (см. рис. 2.7): 27 F   1  ( y' x ) 2  ( y' z ) 2 dzdx  D xtg  x2 2  2   1  2 dz dx  2 R tg . 2 R x  0 R Р и с. 2.9. Схема к расчету части поверхности Р и с. 2.10. Схема торосферического днища 28 Геометрия некоторых тел приведена в приложении (табл. П1). 2.4. Оптимизация размеров параллелепипеда Пусть из листа жести с размерами, а = 1,0 м и b = 0,5 м необходимо изготовить открытую сверху коробку наибольшей вместимости, вырезая по углам квадраты и загибая оставшиеся кромки, как показано на рис. 2.11 [20]. Р и с. 2.11. Схема к расчету объема коробки Обозначим сторону вырезаемого квадрата через х, тогда объем коробки будет равен: V = (a – 2x)(b – 2x)x. Найдем первую производную от объема и приравняем ее к нулю: V' = (-2)(b – 2x)x + (-2)(a – 2x)x + (a – 2x)(b – 2x) = 0. После упрощения получим: 12х2 – 4(a + b)x + ab = 0. 29 Подставив численные значения величин в это выражение решим квадратное уравнение, получим х1 = 0,394 м, х2 = 0,106 м. Первое решение не имеет физического смысла, так как невозможно при ширине листа 0,5 м вырезать два квадрата, у которых стороны составляют 0,394 м. Поэтому найдем вторую производную от объема и определим ее знак при значении х2: V'' =24x – 4(a + b) = 24x – 6 = 2,544 – 6 < 0. Функция имеет максимум, это решение является искомым. 2.5. Оптимизация размеров сосудов, работающих при атмосферном давлении Н Проведем расчет оптимальных размеров цилиндрической емкости с двумя плоскими крышками объемом V (рис. 2.12), при этом за критерий оптимизации примем полную поверхность сосуда. 2R Р и с. 2.12. Схема сосуда Определим объем сосуда как V  R 2 H  H  V R 2 . Отсюда полная поверхность сосуда будет равна 30 F  2RH  2R 2  2V  2R 2 . R По условию, оптимальными будут размеры, при которых полученная поверхность сосуда имеет минимальную величину [20]. Определим поверхность как: 2V F '   2  4R . R При F' = 0, условие оптимальности выполняется, тогда Rопт  3 V . 2 Вторая производная равна F "  4V  4 0, следовательно, эта R3 функция имеет минимум. Такие же расчеты можно произвести и для цилиндрической емкости с эллиптическими днищами (рис. 2.13), которые представляют собой полуэллипсоиды вращения. Р и с. 2.13. Схема сосуда с эллиптическими днищами Объем эллиптического днища равен 31 2 Vд  R 2 H д , 3 где Hд – высота днища. Обозначив отношение полуосей эллипсоида через m  R (m  1), Hд получим: 2 3 R. 3m Объем сосуда с двумя днищами можно определить как Vд  V  R 2 H  4 3 R , 3m откуда H 4 3 R 3m . R 2 V Если правая часть последнего уравнения равна нулю, то R будет принимать значение R  R0  3 3mV . 4 В этом случае длина цилиндра Н = 0, и объем сосуда равен объему днищ, поэтому R  R0. Полная поверхность сосуда состоит из боковой поверхности цилиндрической части и поверхности двух эллиптических днищ. Поверхность эллиптического днища, как было показано ранее, составляет ln( m  m 2  1) Fд  R [1  ]. m m2 1 2 32 Выражение в скобках обозначим через А, тогда полная поверхность емкости будет равна: F  2RH  2R 2 A . Аналогично предыдущему примеру F  2R 4 3 R 2V 2 2 3m  2  R A   2  R B, R 2 R V 4 . 3m Образуя производную от F по R и приравнивая ее к нулю, полу- где B  A  чим F'  2V  4RB  0, R2 тогда Rопт  3 V  C3 V , 2B 1 . 3 2В Определим вторую производную: где C  F'' 4V  4B 0, R3 она положительна при любом значении R, значит, при R = Rопт поверхность будет минимальной. Для корректного решения задачи следует принимать диаметр емкости, в соответствии со стандартным рядом диаметров аппаратов. Ниже даны значения А, В и С для наиболее применяемых значений m: 33 m А В С 1,000; 2,000; 0,667; 0,620; 1,500; 1,540; 0,695; 0,615; 2,000; 1,380; 0,713; 0,607; 2,500. 1,270. 0,741. 0,599. 2.6. Геометрия сосудов с торосферическими днищами Днища сосудов (рис. 2.10) имеющие меридиан с двумя радиусами кривизны, состоящий из дуги окружности АВС с радиусом q и двух дуг окружности CD = AE с радиусом r, имеющих в точках сопряжения А и С общие касательные с дугой АВС. Объем такого днища состоит из объема шарового сегмента АВС, объема части кругового тора с сечением DCF и объема цилиндра ACFG. Обозначим r  kR(k  1); q  lR(l  1) и рассматривая рисунок 2.10, получим: cos   1 k , lk h  l  (l  k ) 2  (1  k ) 2 . R Определим значение р для расчета центра О шарового сегмента: p  (q  r ) sin   R (l  k ) 2  (1  k ) 2 . Введем обозначения: V1 и F1 – объем и площадь шарового сегмента АВС; V2 – объем цилиндра сечением ACFG; V3 и F3 – объем и площадь части тора сечением DCF. Ориентируясь на расчеты из предыдущих разделов, получим: 1 V1  q 3 (1  sin  ) 2 (2  sin  ); 3 34 V2  r[ R  r (1  cos  )] 2 sin ;    3 sin 2 0,33 sin   2  ] , V3  2R (  )[ R  r 1   sin 2  2 4       2 4  тогда объем сосуда будет составлять V  2(V1  V2  V3 )  R 2 H  2Vдн  R 2 H , где Vдн= V1 + V2 + V3 – объем днища; Н – высота цилиндрической части. H V  2Vдн . R 2 Поверхности отдельных элементов емкости можно подсчитать по следующим формулам [20]: F1  2q 2 (1  sin  ); F3  2r[ R  r (1  sin   )]. Тогда, полная поверхность емкости составляет F  2( F1  F3 )  2RH . Используя материалы предыдущих примеров можно найти оптимальные размеры емкости. 35 2.7. Геометрия сосудов с коническим днищем с плавным переходом Обозначим через  половину угла при вершине конуса (рис. 2.14.). Имеем   . Радиус основания конуса и его высота составляют величины [20]: r1  R  r  r cos   R  r (1  cos  ), h1  r1 ctg , а полная высота днища записывается как h  h1  r sin  . Р и с. 2.14. Схема конического днища с торовым переходом Объем такого днища будет равен: 1 Vд  r12 h1  V2  V3 , 3 где V2 и V3 имеют те же значения, что и в случае торосферического днища. Поверхность днища равна 36 r12 Fд   F3, sin  где F3 имеет то же значение, что и в случае торосферического днища, только следует подставить   . Дальнейшие расчеты аналогичны предыдущему примеру. 2.8. Задачи оптимизации плоских сечений Задача оптимизации для некоторых условий может быть еще более упрощена, если, например, при проектировании подземного газохода от трубчатой печи до дымовой трубы расстояние определяется из условий безопасности и возможности реализации монтажных и ремонтных работ. В этом случае затраты материала на изготовление газохода пропорциональны периметру поперечного сечения. Рассмотрим возможность оптимального проектирования для газохода с поперечным сечением на рис. 2.15. Р и с. 2.15. Сечение газохода Площадь поперечного сечения S определяется количеством дымовых газов и допустимой скоростью их движения. Она обычно задана или может быть рассчитана из условия задачи. В данной задаче она равна сумме площадей прямоугольника и сегмента круга [20]: 37 S  S пр  S сег х 2 (2  sin 2 ) .  xy  4(1  cos 2 ) Отсюда получим величину y х 2 (2  sin 2 ) S 4(1  cos 2 ) y . x Периметр рассматриваемого сечения может быть определен по уравнению P  x  2 y  L, где L – длина дуги окружности радиусом R = x/2sin. Подставляя найденные значения соответствующих величин в предыдущее выражение, получим: x 2 (2  sin 2 ) S x 4(1  cos 2 ) P  x2   x sin  2S x 2  sin 2   x  x . x 4 1  cos 2 sin  Находим первую производную и приравниваем ее к нулю: P'  1  2S 1 2  sin 2     0. x 2 4 1  cos 2 sin  Обозначим значение  как: 38   1 1 2  sin 2  ,  4 1  cos 2 sin  получим: xопт  2S  . 2.9. Уравнение Лапласа С помощью двух меридиональных и двух конических нормальных сечений (сечений, перпендикулярных к меридиану) выделим из оболочки (рис. 2.16 а) элемент размерами dS1 и dS2 и рассмотрим его равновесие под действием внутреннего давления Р такого рода задачи встречаются более всего при расчете аппаратов нефтегазопереработки. а б Р и с. 2.16. Схема к выводу уравнения Лапласа Введем следующие обозначения: 1 – меридиональные напряжения; 2 – кольцевые, или тангенциальные напряжения; 39  – толщина оболочки. В общем случае на каждую грань элемента действуют продольные силы (растяжения и сжатия), поперечные силы и изгибающие моменты. Для тонкостенных оболочек мембранная теория пренебрегает поперечными силами и изгибающими моментами. Кроме того, вдали от края оболочки можно пренебречь слагаемым d (1dS2) [11,12,20]. Произведения величин напряжений на площади соответствующих граней дают силы 1dS2 и 2dS1, которые показаны на рис. 2.16 б. К выделенному элементу также приложена сила нормального давления РdS1dS2. Проектируя все силы на нормаль к поверхности оболочки в точке К, получим: P  dS1  dS 2   1    dS 2  d   2    dS1  d  0 . Зная, что d  dS1 / R1 и d  dS 2 / R2 , получим: P  dS1  dS 2   1    dS 2 dS1 dS   2    dS1 2  0 . R1 R2 Упрощая это выражение, получим уравнение Лапласа, которое связывает между собой меридиональные и кольцевые напряжения. 1 R1  2 R2  P  . Из этого уравнения выводятся уравнения, которые позволяют рассчитать толщину оболочки вращения произвольной формы, но при этом необходимо помнить, что уравнение Лапласа справедливо для тонкостенных оболочек, толщина стенок которых не превышает 40 10% радиуса их кривизны, поэтому оно используется для расчета тонкостенных оболочек, работающих под внутренним давлением. 2.10. Расчет толщины стенок оболочек вращения Для цилиндрической оболочки R1 = , следовательно, 1/R1 = 0. Используя уравнение Лапласа получим: 2/R2 = P/, или 2 = РR2/. Из курса «Конструирование и расчет элементов оборудования отрасли» известно, что 1 = PR2/2, т.е. 2 = 21. Более удобно пользоваться внутренним DВ или наружным DН диаметрами цилиндра: DВ = 2R2 − , или DН= 2R2 + . По методу предельных напряжений должно соблюдаться условие max = 2  []. Допускаемое напряжение [] для различных материалов может быть принято по [6]. Так как в любом аппарате всегда есть сварные швы и он длительно эксплуатируется, можно записать: SЦ  PDВ  C, 2[ ]  p SЦ  PDН  C, 2[ ]  p или где SЦ – исполнительная толщина цилиндрической оболочки;  – коэффициент прочности сварного шва; 41 С – прибавка на компенсацию коррозии. При равномерной поверхности коррозии можно принять [8,20] С = П, где П – глубинный показатель коррозии;  – срок службы аппарата. Для полусферического днища из условия симметричности оболочки следует R1 = R2 = R и 1 = 2 = , тогда уравнение Лапласа можно записать как:   P PR .   , или   2 R R  Получим толщину полусферического днища, используя подстановки предыдущего примера: SП  PDB PDН  C , или S П   C. 4[ ]  P 4[ ]  P При расчете эллиптических днищ необходимо помнить, что радиус кривизны образующей непрерывно меняется. В произвольной точке А (x, y) (рис. 2.17) радиус кривизны рассчитывается по уравнению DB 2 2 16 x 2 y 2 32 R  ( ) Hд ( 4  4 ) . 2 DB Hд Rmin 42 Минимальное значение радиус кривизны принимает в точке В: 2 H д2 DB2  , а максимальное – в точке С (полюсе): Rmax  . DB 4H д Р и с. 2.17. Схема эллиптического днища Для стандартных эллиптических днищ справедливо соотношение DВ = 4Нд. Толщина эллиптического днища может быть рассчитана по следующему уравнению: SЭ  PDВ у э  C, 2[ ]  pу э SЭ  PDН у э  C, 2[ ]  pу э или 1   DB   у Э  2   6   2 H д   где  – коэффициент формы днища.  Для стандартного эллиптического днища yэ = 1. 2 43 2.11. Расчет оптимальных размеров емкости, работающей под действием внутреннего давления Для сосудов, работающих под давлением, толщина стенки, а значит и расход материала, определяется соотношением геометрических размеров и величиной давления. В качестве примера рассмотрим возможность оптимизации размеров цилиндрической емкости с двумя стандартными эллиптическими днищами (рис. 2.13), работающей под действием внутреннего давления P. В данном случае за критерий оптимизации может быть принята масса аппарата, которая зависит от поверхности оболочки и ее толщины: М = ∑FiSiρi, где Fi – поверхность i-того элемента; Si – толщина i-того элемента; ρi – плотность материала i-того элемента. Для рассматриваемого примера М = FцSцρц + 2FэSэρэ, где Fц = 2πRH – поверхность цилиндрической оболочки; 2 PR Sц   C – толщина цилиндрической оболочки; 2    P Fэ = 1,38πR2 – поверхность эллиптического днища; 2 PR Sэ   C – толщина стандартного эллиптического дни2    P ща; ρц – плотность материала цилиндрической части; ρэ – плотность материала днищ. Величины R и Н связаны между собой через заданный объем емкости: 44 V = Vц + 2Vэ = πR2H +2(2/3πR2Hd) = πR2H + 2/3πR3. Тогда Н V 2  R. R 2 3 Подставив значения всех величин в основное уравнение, получим: 2  2 PR   V M  2R 2  R   C  ц  3  2    P  R   2 PR   2  1,380R 2   C  э .  2    P  Упростим уравнение, найдем производную и приравняем ее к нулю, получим: R4 +AR3 – B = 0, где А и В – коэффициенты. Это уравнение может быть решено численными методами или графически. Предположим, что емкость имеет объем V = 10 м3, она изготовлена с использованием автоматической двухсторонней сварки под слоем флюса, т.е. φ=1,0, из стали 20, эксплуатируется на открытой площадке под внутренним давлением Р = 1,5 МПа и предназначена для обработки и хранения сернистого печного топлива при температуре окружающей среды. Скорость процесса атмосферной коррозии данной стали составляет 0,05 мм/год, а скорость коррозии в печном топливе − 0,3 мм/год. Расчетный срок службы емкости 20 лет. По табл. 5 [6,20] для сталей 20 и 20К при температуре 20 °С [σ] = 147 МПа. 45 Приведем расчет прибавки на коррозию: С = 0,05·20 + 0,3·20 = 7 мм = 0,007 м. Плотность металла корпуса и днищ одинаковая, т.е. ρ = ρц = ρэ = = 7800 кг/м3. Определим массу корпуса аппарата  20  М    4,482 R 2 0,0103R  0,007 7800 . R  Найдем первую производную и, приравняв ее к нулю, получим: R4 + 0,455R3 – 1,015 = 0. Решим это уравнение графически, для этого перепишем его в более простом виде, таком как: Y = R4; X = 1,015 – 0,455R3. Таблица 2.1 Результаты расчета R 0,7 0,8 0,9 0,91 1,0 Y 0,240 0,410 0,656 0,686 1,000 X 0,860 0,782 0,683 0,672 0,560 Результаты расчета занесены в таблицу 2.1 и по этим данным построим график см. рис. 2.18, который позволит найти решение с достаточной для инженерных целей точностью. 46 Из графика видно, что решение уравнения находится между 0,90 и 0,91 м. Принимаем ближайший стандартный размер Rопт = 0,90 м, тогда Нопт = 3,33 м. Р и с. 2.18. Графическое нахождение решения уравнения 47 ГЛАВА 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАГРУЗОК ОТ МАССЫ АППАРАТОВ Для определения размеров аппаратов, выбора технологической оснастки, проведения ремонтных работ необходимо знать нагрузки от собственной массы и от массы продукта, содержащегося в объеме аппарата. Для упрощения решения задач следует использовать упрощения в системе сил, приложенных к элементу конструкции и приложенной в определенной точке.. Для этого расчетов аппаратов необходимо знать массу реальных технологических аппаратов и координаты центра тяжести. При определении оптимизации конструкции аппарата, определении нагрузок на такелажные оснастки, выбора способа монтажа и монтажных механизмов необходимо знать массу отдельных элементов и определить положение центра тяжести аппарата. 3.1. Статические моменты пластины Свяжем с системой координат х, у пластину из однородного материала. Проведем интегрирование по всей площади этой пластины, тогда: S x   ydF ; F S y   xdF , F Интеграл представляет собой сумму произведений элементарных площадок dF на расстояние до соответствующей оси х или у. Первый интеграл называется статическим моментом относительно оси х, а второй – относительно оси у [7]. Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной, а точка пересечения таких осей – центром тяжести пластины [20]. 48 Центры тяжести которых можно рассмотреть используя уравнения: S xc  y ; F S yc  x . F Определим координаты центра тяжести кругового сегмента (рис. 3.1.), радиусом R, имеющего центральный углом 2α. Р и с. 3.1. Схема к расчету координат центра тяжести Из условия симметричности сегмента относительно оси х следует, что ус = 0, найдем хс и рассчитаем статический момент относительно оси у. R S y   xdF   xdF. F R cos  49 Из уравнения окружности х2 + у2= R2 следует y  R 2  x 2 , тогда dF = 2ydx  2 R 2  x 2 dx . Подставляя полученное значение dF, найдем выражение для расчета Sy: R 3 2 S y  2  x R 2  x 2 dx   R 2  x 2 2 RR cos   R cos  3 3 2 2  R 2  R 2 cos 2  2  R 3 sin 3  . 3 3 Определим площадь пластины по выражению: R F   dF  2  R 2  x 2 dx  F R cos  R2 x x 2 2  2 R x  arcsin  RR cos   2 R 2 R2 2  sin 2 .  2 Абсцисса центра тяжести может быть определена из выражения, при этом 2α = π, для полукруга, а xc = 4R/3π. 2  2 R 3 sin 3  4 R sin 3  xc    . F 3R 2 2  sin 2  32  sin 2  Sy Таким же образом определим центр тяжести пластины, например, с отверстием (рис. 3.2), разбив ее на три простых фигуры 1, 2 и 3 (см. рис. 3.2). Определим статический момент выбранных фигур, считая что центр тяжести треугольника расположен на 2/3 его высоты, а квадрата на пересечении его осей, т.е.: S y  S y1  S y2  S y3  F1 xc1  F2 xc2  F3 xc3 . 50 Р и с. 3.2. Схема кругового сектора с отверстием Тогда: S y2  1 2 2 2 R sin 2  R cos   R 3 sin  cos 2  , 2 3 3 S y3  R RR R 5 3     R . 4 4  2 8  128 Откуда можно определить: Sy  2 3 2 5 3 R sin 3   R 3 sin  cos 2   R . 3 3 128 С учетом упрощения и преобразований, будет: 5  2 S y  R 3  sin   . 3 128   Тогда площадь всей фигуры будет равна: 51 F  F1  F2  F3  R2 R2 R2 2  sin 2   sin 2  .  2 2 16 Или: 1  F  R 2    . 16   Тогда: 2 5 sin   S 128  R 256 sin   15 . xc  y  R 3 1 F 2416  1  16 3.2. Нахождение центров тяжести оболочек вращения Из курса высшей математики известно, что координата центра тяжести может быть определена как: xc   xd D  d ; yc   yd D  d D D ; zc   zd D  d . D Рассмотрим, например, пластину и определим ее центр тяжести (рис. 3.1), тогда: R  xd   dx D 52 R cos  R2  x2 R 2 2  xdy  2  x R  x dx   R2  x2 R cos  2 3 3 R sin  , 3 R2  x2 R2 D d  R cos dx  dy  2R cos  R  x dx  2  sin 2  .  2  R2  x2 R R 2 2 Также определим центр тяжести конической оболочки [8, 20] (рис. 3.3), когда yc = zc = 0. Р и с. 3.3. Коническая оболочка Запишем уравнение образующей конуса в плоскости х0у в виде у = х·tgα. Производная будет равна y' = tgα, тогда [20]: xc   xd D  d D  x 2y 1   y  dx H  H  2y 1   y  dx ' 2  x 2xtg 1  tg  dx H  2xtg 1  tg  dx 2  2 H  2 ' H  x dx 2  H  xdx  2 H. 3 Найдем положение центра тяжести полусферического днища радиусом R (рис. 3.4). 53 Образующей днища является окружность, уравнение которой y х2 + у2 = R2, тогда х = R 2  y 2 , а производная x'  . Подста2 2 R y вив эти значения в начальное уравнение для определения положения центра тяжести, получим [20]: Р и с. 3.4. Полусферическое днище R  y 2 R  y 2 yc   y 2 2  2  R  y 1  0  R2  y2  R R 2  y R 2  y 2  2  y 1   2 2  R y R 2  R 2  y 2 2   dy   2   dy    R R dy 0 ydy R R2  y2  R  . R 2 dy 0 dy 2 2 R y Найдем положение центра тяжести части цилиндрической оболочки в формы «цилиндрического копыта» (рис. 3.5.). 54 Симметричность тела будет когда ус = 0, найдем остальные координаты: ' '  xd   x 1   y x    y z  dzdx  2 D 2 D xtg R R  x    dx  x 1   dz  dx x dz     2 2 2 2 R x  R x  2 xtg R x2  3  Rtg  dx  R tg . 4 R2  x2 R Р и с. 3.5. «Цилиндрическое копыто» Тогда, хс = R/8.  zd   z 1   y    y  dzdx  ' x D 2 ' 2 z D R R Rx 2 tg 2  3 2   dx  z dz  dx  R tg  , 0 8 R2  x2 2 R2  x2 R xtg 55  Rtg . 16 Данные по расположению центров тяжести различных оболочек вращения представлены в табл. 3.1. или z c  Таблица 3.1 Координаты центров тяжести некоторых оболочек вращения Оболочка Обозначение Формулы Полусферическое R –радиус сферы ус = R/2 от основания днище (рис. 3.4) Стандартное эллип- R – радиус аппарата, тическое днище Нд = R/2 –высота днища yс = Нд/2 = R/4 от основания (рис. 2.17) R – радиус основания, Полый конус ус = Н/3 от основания Н – высота конуса A  R 2 R  r  2 B  r 2 R  r  2 Полый усеченный конус R – радиус бóльшего основания, Н – высота усеченного конуса, r – радиус меньшего основания C  A  R2 H 2 D  B  r2H 2 CR 2  Dr 2 E CR  Dr H  2  yc   R  E  от Rr 3  бóльшего основания «Цилиндрическое копыто» (рис. 3.5) R – радиус цилиндра, α – угол наклона верхней плоскости xc  zc   8  16 R Rtg 3.3. Нахождение центров тяжести пространственных тел Координаты центра тяжести сплошного однородного тела определяются из соотношений [6,20]: xc   xdv V  dv V 56 ; yc   ydv V  dv V ; zc   zdv V  dv V . Найдем центр тяжести полушара, разрезая его на де части плоскостью х0у. Условие симметрии будет, когда хс = ус = 0, тогда объем 2 полушара составит V   dv  R 3 , а статический момент будет раV 3 вен: R  zdv   dx  R V R2  x2  y2 R2  x2  zdz , dy  R2  x2 или: z2 V zdv   0 R  z zdz  R  2 R 2 2 2 R z4  4 R   4 R4 . Решая уравнение, получим zc =3R/8. Определим координаты центра тяжести сплошного однородного «цилиндрического копыта» (табл. 3.2), расположенного, как показано на рис. 3.5. Уравнение верхней секущей плоскости z = xtgα. Объем, 2 найденный ранее, составляет величину V  R 3 tg [20]. 3 Таблица 3.2 Координаты центров тяжести некоторых тел вращения Тело вращения Полушар Полуэллипсоид вращения Сплошной конус Сплошной усеченный конус Обозначение R – радиус шара R – радиус вращения полуэллипсоида, Н = R/2 – высота полуэллипсоида R – радиус основания, Н – высота конуса R – радиус бóльшего основания, Н – высота усеченного конуса, Формулы ус = 3R/8 от основания yс = 3Н/8 = 3R/16 от основания ус = Н/4 от основания A R B 3 B 4 R4  r 4 R3  r 3 57 r – радиус меньшего основания Сплошное «цилиндрическое копыто» (с системой координат по рис. 2.5) Круглая пластина yc  H A Rr от бóльшего основания R – радиус цилиндра, α – угол наклона верхней плоскости 3 R 16 3 zc  Rtg 32 R – радиус пластины В центре пластины xc  Определяем статические моменты: R R2  y2 xtg R R R2  y2 2  xdv   dy  dx  xdz   dy  x tg  dx  V R 2 tg R 2  2    R  y dy  R 4 tg .  R 3 8 3 R R2  y2 xtg R R R2  y2  zdv   dy  dx  zdz   dy  V R x 2 tg 2 dx  2 2 tg 2 R 2  4 2   RR  y  dy  R tg . 6 16 3 3.4. Определение усилий при монтаже оборудования Для проведения монтажных работ различных аппаратов необходимо определить центр его тяжести, что необходимо знать при расчете реакций опор и нагрузок на такелажные оснастки. Аппарат (рис. 3.6) доставлен на место установки и «выложен» в предмонтажное положение как показано на рис. 3.7. Необходимо установить его в рабочее положение, используя метод поворота вокруг шарнира для этого необходимо: 58 1. Определить массу и положение центра тяжести пустого аппарата. 2. Определить массу и положение центра тяжести аппарата в условиях гидравлического испытания (аппарата, заполненного водой). 3. Определить угол неустойчивого равновесия аппарата (для определения момента включения тормозной лебедки). Разобьем аппарат на следующие основные части: 1) фундаментное кольцо (1); 2) опорную цилиндрическую обечайку (2); 3) нижнее полусферическое днище (3); 4) цилиндрическую часть корпуса аппарата (4); 5) верхнее полусферическое днище (5). За начало координат примем подошву фундаментного кольца, центр тяжести пустого аппарата обозначим как С0. Найдем массу и положение центров тяжести отдельных элементов. Фундаментное кольцо: M1   4 D 2 н  Dв2 S ф  , где ρ = 7800 кг/м3 – плотность стали. М1   4 2,10 2  1,80 2 0,03  7800  215 кг; хс1  0,015 м. Опорная обечайка M 2   D0  S 0 H 0  S ф S 0     2,02  0,012,00  0,030,01  7800  980 кг; 59 x c2  S ф  60 H 0  Sф 2  0,03  2,00  0,03  1,015 м. 2 Р и с. 3.6. Схема аппарата Р и с. 3.7. Предмонтажное положение аппарата Нижнее днище: 2 S   M 3  2  R1  1  S1   2  2 0,01    2 1,00   0,01  7800  495 кг; 2   S  1 1 0,01  хс3  H 0   R1  1   2,00  1,00    1,503 м. 2 2 2 2  Масса и положение центра тяжести цилиндрической части корпуса аппарата 61 M 4   D  S H ц S    2,00  0,015,00  0,01  7800  2465 кг; х с4  Н 0  Нц 2  2,00  5,00  4,50 м. 2 Масса верхнего днища М5 = М3 = 495 кг, а положение центра тяжести S  1 xc5  H 0 H ц   R1  1   2 2 1 0,01   2,00  5,00  1,00    7,503 м. 2 2  Масса пустого аппарата M 0   M i  M1  M 2  M 3  M 4  M 5   215  980  495  2465  495  4650 кг. Координаты центра тяжести пустого аппарата x c0   M x i i M0 c  215  0,015  980  1,015  495  1,503  4650 2465  4,50  495  7,503   3,56 м. 4650 Рассчитаем нагрузки на крюк. Определим сумму моментов относительно оси шарнира: 62 Qкр  М 0 g х с0  4650  9,8 L 3,56  29500Н . 5,50 Найдем массу аппарата и положение его центра тяжести, когда аппарат заполнен водой для проведение гидравлического испытания. Масса воды в нижнем днище 2 М 3в  R13  в , 3 где  в = 1000 кг/м3 – плотность воды. 2 М 3в    1,00 3  1000  2095 кг. 3 Центр тяжести воды в объеме нижнего днища равен: 3 3 xcв3  Н 0  R1  2,00  1,00  1,625 м. 8 8 В объеме цилиндрической части корпуса аппарата М 4в   4 D2 H ц в   4 Нц 2,00 2  5,00  1000  15710 кг. 5,00  4,50 м. 2 2 Найдем координату центра тяжести, когда М 5в  М 3в  2095 кг: хсв4  Н 0   2,00  3 3 хсв5  Н 0  Н ц  R1  2,00  5,00  1,00  7,375 м. 8 8 Масса воды в аппарате и координата центра тяжести равны: 63 M в   М iв  2095  15710  2095  19900 кг. М x i в xc  в  Мв 2095  1,625  15710  4,50  2095  7,375   4,50 м. 19900 в i c Масса аппарата в условиях гидравлического испытания и нагрузка на монтажную опору: Мг = М0 + Мв = 4650 + 19900 = 24550 кг, Rм   ( M 0 xc0  M в xcв ) g L  (4650  3,56  19900  4,50)  9,8  189040 Н. 5,50 Определим нагрузку на шарнир во время гидравлического испытания: Rш  M 0  g  M в  g  Rм  = 4650  9,8  19900  9,8  189040  51532 Н. Угол неустойчивого равновесия φ аппарата учитывая, tgφ = будет:   arctg 2,10  30,5  . 3,56 3.5. Расчет усилий при подъеме несимметричного оборудования 64 Dн , 2 x c0 В случае, когда оборудование имеет несимметричное расположение центров тяжести отдельных элементов найдем положение для каждого элемента. Найти такелажную оснастку для подъема ступенчатого ротора (рис. 3.8) массой М = 25000 кг и длиной L = 6 м, если известно, зная что массы распределяются как: − первого рабочего колеса М1 − второго рабочего колеса М2 − вала ротора М3 6000 кг; 14000 кг; 5000 кг. Р и с. 3.8. Расчетная схема подъема несимметричного ротора Центры тяжести узлов до точки А находятся на расстоянии: х1 = 1,5 м; х2 = 4,5 м; х3 = 3,5 м, тогда центр тяжести ротора в сборе будет: x  M x  6000 1,5  14000  4,5  5000  3,5  3,58 м. 6000  14000  5000 M i i i Примем, что места строповки ротора смещены от концов вала на 0,25 м, тогда С = 5,5 м, с1 = 3,33 м, с2 = 2,17 м. 65 Определим усилие на такелажную оснастку: P1  M  g  c2 25000  9,8  2,17   96660 Н C 5,5 P2  M  g  c1 25000  9,8  3,33   148340 Н C 5,5 Если сумма реакции опор равны весу аппарата, то расчет выполнен правильно. Для подъема могут быть использованы, например, два стреловых крана. 3.6. Оптимальное расположение опор горизонтальных аппаратов При расчете на прочность горизонтальных аппаратов необходимо знать распределение изгибающих нагрузок и соотношение расстояния между опорами. На практике аппарат часто рассматривают как балку на двух или трех опорах с равномерно распределенной нагрузкой по длине. Обычно расчет начинают с определения приведенной длины, заменяя высоту выпуклых днищ соответствующей длиной цилиндра по какойлибо приближенной формуле [20]. Рассмотрим балку на двух опорах (рис. 3.9) с равномерно распределенной нагрузкой q = P/L, где Р – вес балки, L – длина балки. qL Реакции опор будут равны Rа  Rв  , а изгибающие моменты 2 qа 2 на опорах - М а  М в  , тогда изгибающий момент между опора2 ми равен: qL2 L L  qL  М ав   Ra   a    a  . 8 4 2  2  66 М а  М в  М ав . Найдем оптимальное значение длины консольной части аопт балки М а  М в  М ав , когда: 2 qaопт qL  L    aопт   , 2 2  4 Р и с. 3.9. Расчетная схема балки тогда: aопт  0,207 L . Рассчитаем оптимальное расстояние между опорами горизонтальной цилиндрической емкости (рис. 3.10) для хранения воды с двумя стандартными эллиптическими днищами с внутренним диа- 67 метром D = 2600 мм, длиной L = 13500 мм и толщиной стенок корпуса и днищ S = 12 мм. Выпуклая эллиптическая часть стандартного днища имеет высоту Нд = D/4 = 650 мм, тогда длина цилиндрической части Lц = L – 2Hд = = 13500 − 2∙650 = 12200 мм. Удельный вес углеродистой стали   76500 Н/м3. Вес цилиндрической части корпуса Gц = π·(D + + S)·S·Lц·γ = π·(2,20 + 0,01)·0,01·12,20·76500 = 76526 Н. Удельный вес воды   7800 Н/м3. Вес воды в цилиндрической части корпуса устройства Gвц = 0,785D2·Lц·γв = 0,785·2,602·12,20·9800 = 634779 Н. Равномерно распределенная нагрузка q = (Gц+Gвц)/Lц = (76526 + 634779)/12,20 = = 58300 Н/м [20]. Вес эллиптической части днища Gд = 1,38π(D/2)2S·γ = =1,38π(2,61/2)2·0,01·76500 = 565 H. Вес воды в объеме эллиптической части днища Gвд = π·D2·Нв·γв/6 = π·1,302·0,65·9800/6 = 22720 Н. Расстояние от основания эллиптической части днища до центра тяжести самого днища l1 = 0,328 м, а для воды l2 = 0,246 м. Расчетная схема данной емкости представлена на рис. 3.10. Проведя расчеты, такие же как в предыдущем примере, получим C = 7,50 м. Отношение длины консольной части к общей длине аппарата равно 0,222, т.е. изменение составляет 7%. Р и с. 3.10. Расчетная схема емкости 68 69 ГЛАВА 4 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВИЖЕНИЯ В аппаратах нефтегазопереработки и нефтехимии среды находится в постоянном движении. Характер их движения различен они могут перемещаться вертикально, горизонтально или по более сложным траекториям. Характер их движения в аппарате находят расчетным путем. 4.1. Движение тела, брошенного под углом к горизонту Пусть некоторое тело (рис. 4.1), брошено с начальной скоростью V0 под некоторым углом к горизонту , тогда если в системе отсутствует трение можно записать: Vx = V0x = V0cos; Vy = V0y + dy/d, где  – время движения. Р и с. 4.1. К выводу уравнения траектории движения 70 В случае, когда в системе есть поле земного тяготения, можно записать: dy/d = g, или: Vy = V0y + g. Определим координаты точки для такого случая: dx = Vxd = V0cosd, dy = Vy d = V0sind + gd. Проинтегрировав получим: y = ∫dy = V0sin + g2/2+ C; y|=0 = 0  C = 0; x = ∫dx = V0cos + C1; x|=0 = 0  C1 = 0, Или в окончательном виде: y = V0sin +g2/2; x = V0cos. Откуда можно записать, что:  = x/(V0cos). Подставляя это значение в предыдущее выражение, получим: g  x2 y  x  tgα  , 2  V02  cos 2 α которое в каноническом виде будет: 71 2 2  V  sin α   2 g V0  sin α     . y   0 x    2  g   2  g   2  V0  cos α 4.2. Истечение жидкости из отверстия в тонкой стенке Рассмотрим оросительный стакан (рис. 4.2.) в стенке которого имеется отверстие диаметром d0, через которое истекает жидкость. При постоянном уровне и давлении на жидкость истечение будет установившемся. Р и с. 4.2. Схема истечения струи жидкости Коэффициентом сжатия струи  = fc/f называется отношение площади сечения fс струи к площади f отверстия, его значение обычно составляет  = 0,60-0,64. Для сечения 0-0 и 1-1 запишем уравнение Бернулли, допуская что сечение отверстия мало по сравнению с диаметром сосуда, тогда: P P V121 H    hw , γ γ 2g 72 V121 где hw  ξ – потери напора на вход в отверстие. 2g Откуда выразим скорость истечения жидкости:  1 2 V  V1-1  (1   )  2  g  H . Для идеальной жидкости считаем, что  = 0,  = 1 и V  2  g  H , тогда найдем скорость истечения идеальной жидкости.  1 2 Обозначим (1   )   эта величина называется коэффициентом скорости, который для тонкой стенки равен 0,97-0,99, тогда расход жидкости при истечении ее из отверстия будет: πd 02 q = Vfc = Vf = V , 4 С учетом преобразований уравнение для расчета расхода жидкости имеет вид: πd 02 q = f 2  g  H = 4 2 g  H , где  =  = 0,62 – коэффициент расхода. Если в процессе истечения струя получится гладкой ее называют низконапорной. Для этого случая напор не должен превышать 3-4 метра. 4.3. Траектория низконапорной струи Рассмотрим движение низконапорной струи и сравним ее с траекторией тела, брошенного под углом к горизонту, тогда можно записать: 73 x2 . y  x  tgα  2 4 H  cos 2 α Это уравнение справедливо для случая, когда струя не раздроблена на несколько мелких, тогда можно считать, что ее скорость находится в пределах 2,0-2,5 м/с. 4.4. Движение материала в барабане при его вращении Для измельчения тел используются устройства барабанного типа, которые установлены на опорах и приводятся в движение от привода, при этом ось таких устройств располагается либо горизонтально, либо наклонно. Способ движения материала в аппарате зависит от диаметра барабана, скорости его вращения, коэффициентов заполнения, внутреннего трения, коэффициента трения о поверхность барабана f и угла его наклона к горизонту [20]. Р и с. 4.3. Сечение барабана 74 На рис. 4.3 показана схема работы такого устройства и распределение сил, величины которых зависят от положения точки на стенке цилиндра. В положении, характеризующемся углом Р0Х = , на точку действуют направленная к центру составляющая силы тяжести, равная P1 sin = mgsin, и центробежная сила P2 = m2R, направленная по радиусу от центра (рис. 4.4). Если угол  таков, что mgsin = m2R, т.е. если sin = 2R/g, то точка не будет прижата к барабану, отделится от него и упадет вниз на барабан по параболической траектории, как свободное тяжелое тело, брошенное со скоростью V = R под углом (/2 − ) к горизонту. Угол  называется углом отрыва. Р и с. 4.4. Расчетная схема Точка Р достигнет положения, при котором будет падать вниз если ω 2  R g  1, то    2 . Это будет наблюдаться, когда  2  R g 1, а 2R  g. Наименьшая скорость, при которой точка вращается вместе с цилиндром называется критической скоростью барабана, которая определяется выражением: 75 ωkp  g R . На другую точку [20], находящуюся в положении ниже горизонтального, действуют силы, направленные по касательной к аппарату. Эта сила сбрасывает ее вниз, а препятствует этому сила трения, тогда можно записать: mgsin = f(m2R + mgcos), Угол  называется углом подъема, обычно его значение меньше  2. Решим это уравнение относительно sin [20]: sin   f  2 R  g 2 (1  f 2 )  f 2 4 R 2 g (1  f 2 ) . Если барабан неподвижен 0 можно записать: sin   f 1 f 2  tg  tg cos   sin  , 2 1  tg  т.е.  = . Для эффективной работы такого устройства необходимо, чтобы скорость вращения была бы небольшой по сравнению с критической (кр). 4.5. Движение точки по барабану Если коэффициент трения движения f0 меньше коэффициента трения покоя f , то точка, достигнув уровня, соответствующего углу , не прекратит своего движения. Как только она достигнет уровня, соответствующего углу , она остановится, а барабан все еще будет 76 вращаться. Точка скользит по барабану, коэффициент трения снижается с f до f0, условие равновесия нарушается, и точка начинает скользить вниз, чтобы остановиться на новом уровне 1, соответствующем коэффициенту трения f0. По инерции точка скользнет несколько ниже 1 и остановится на некотором уровне 2. Как только точка останавливается, опять возникает коэффициент трения f, и она снова начинает подниматься вместе с барабаном, чтобы, достигнув уровня , опять начать скользить вниз и т.д. Таким образом, точка будет совершать некоторое колебательное движение вверх и вниз по барабану [11, 20]. Запишем уравнение для определения места положения точки на поверхности барабана, когда на нее действуют две силы центробежd ная и направленная по касательной, в котором отношение и есть dt угловая скорость скольжения: R dω0 dω dψ dω0 R 0  Rω0 , dt dψ dt dψ Переносное ускорение точки в ее совместном движении с барабаном дано центробежным ускорением 2R, где =const. На точку действует также Кориолисово ускорение. Так как относительная скорость точки V = 0R, направленная по касательной, и вектор угловой  скорости  , направленный по оси барабана, между собой перпендикулярны, то Кориолисово ускорение 2 0R направлено вдоль радиу  са (нормально к V и  ). Тогда, с учетом что радиальная центробежная сила действует совместно с ускорением, получим: m 2 R  m02 R  2m0 R  m(  0 ) 2 R, или: 77 m dω dω dψ dω0 dV  mR 0  mR 0  mRω0 dt dt dψ dt dψ Запишем условие при котором наступает равновесие, которое после преобразования примет вид уравнения движения точки в барабане: dω mg sin ψ  f 0 m(ω 2  2ωω0  ω02 )R  g sin ψ   mR 0 ω0 , dψ или: dω0 g  f 0 cos ψ  sin ψ   f 0 ω 2 R  f 0 ω0   2 f 0 ω. dψ ω0 R Пусть барабан будет неподвижен (=0), тогда: dω0 g  f 0 cos ψ  sin ψ  1  f 0 ω0   , dψ R ω0 это уравнение напоминает закон Бернулли, решая которое получим: ω01m  e   ( 1 m)udψ c   e  ( 1m)udψ  ( 1  m)vdψ ., или: uψ    f 0 ;vψ   g (f 0 cos ψ  sin ψ);m  1; R 1  m  2; ( 1  m)udψ  2 f 0 ψ. Подставляя эти значения в уравнения Бернулли и проведя интегрирование по частям, получим: 78 e 2 f 0ψ cos ψdψ   e 2 f0ψ d( sin ψ)   e  2 f0ψ sin ψ   2 f 0 e  2 f0ψ sin ψdψ; e 2 f 0ψ sin ψdψ   e 2 f0ψ d(  cos ψ)   e  2 f0ψ cos ψ   2 f 0 e  2 f0ψ cos ψdψ. Подставив его в предыдущее выражение получим [20]: e 2 f 0ψ cos ψ dψ  e 2 f0ψ sin ψ  2 f 0 e 2 f0ψ cos ψ − − 4 f 02  e - 2 f0ψ cos ψ dψ , или перепишем его в другом виде: ( 1  4 f 02 ) e 2 f0ψ cos ψdψ  e 2 f0ψ sin ψ  2 f 0 e 2 f0ψ cos ψ; e  2 f 0ψ e 2 f 0ψ ( sin ψ  2 f 0 cos ψ) cos ψdψ  . 1  4 f 02 Аналогично определим e  2 f 0ψ e 2 f 0ψ ( cos ψ  2 f 0 sin ψ) sin ψdψ   . 1  4 f 02 С учетом подстановок можно записать: ω02  2g 3 f 0 sin ψ  ( 1  2 f 02 ) cos ψ   Ce 2 f0ψ . 2 R( 1  4 f 0 ) Зная, что углы равны, а скорость движения равна нулю, получим: 79 0 2g 3 f 0 sin β  ( 1  2 f 02 ) cos β   Ce 2 f0 β , 2 R( 1  4 f 0 ) Из этого уравнения можно найти значение С, подставим его значение в предыдущее уравнение, получим: ω02  2g [3 f 0( sin ψ  sin βe 2 f 0(ψ  β) )  2 R( 1  4 f 0 )  ( 1  2 f 02 )( cos ψ  cos βe 2 f0(ψ  β) )]. 4.6. Скорость скольжения материала по желобу На рис. 4.5 представлена схема движения материала по желобу. Работа таких устройств зависит от выбранного угла его наклона к горизонту, по которому осуществляется скольжение материала с углом трения  , принимая что tg0 = 0,8tg или f0 = 0,8f [12, 20], а   0. Р и с. 4.5. Расчетная схема желоба 80 По рис. 4.5 а рассчитаем начальную скорость движения материала по желобу wн = wпcos(90 − ), где wп – скорость падения материала на желоб, которая с учетом геометрии устройства составит wп = 2 gh = 2 g ( H  Ltg ) . Определим wк = конечную скорость движения материала 2al  wн2 . 4.7. Осаждение под действием сил тяжести Осаждение частиц при ламинарном режиме течения может быть рассчитан по уравнению Стокса: d 2(γ  γc ) wос  , 18 μc где d – диаметр шарообразной частицы, м; γ – удельный вес материала частицы, Н/м3; γс – удельный вес среды, Н/м3; с – вязкость среды, Пас. Для ориентировочных расчетов можно принять: w = 0,5wос. 4.8. Общие рекомендации к выбору аппарата для разделения суспензий Для выбора того или иного аппарата для разделения суспензии необходимо использовать принципы о возможности и целесообразности применения отстойников, отстойных и фильтрующих центрифуг, центробежных сепараторов или гидроциклонов, различных фильтров [20]. 81 При выборе того или иного аппарата следует использовать следующие рекомендации: − для суспензий, которые расслаиваются достаточно быстро и дают хорошо осветленную жидкость, пригодны отстойники; − для суспензий с небольшой разностью плотностей твердой и жидкой фаз или небольшим размером твердых частиц используются центрифуги, сепараторы и гидроциклоны с соответствующим фактором разделения; − для суспензий, не склонных к быстрому расслаиванию и разделяющихся с помощью пористых перегородок, могут быть использованы фильтры. 82 ГЛАВА 5 КОЛЕБАНИЯ И ВИБРОИЗОЛЯЦИЯ. ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ В инженерной практике часто встречаются прикладные задачи, в которых рассматриваются вопросы теории колебаний, например, вопросы прочности устройств при действии знакопеременных сил. В этом случае возникает задача гашения сил колебания и вибрации: В технике такие системы различаются по числу степеней свободы [7, 20], это число независимых координат, определяющих положение системы. Например, если груз подвесить на пружине, он будет иметь одну степень свободы, а вал с жесткими дисками имеет две степени свободы. В таких условиях система будет иметь собственные и вынужденные колебания [20]. Под собственными колебаниями понимается система без внешнего воздействия и предоставленная сама себе, такое движение осуществляется под действием начального импульса. Собственные колебания продолжаются до тех пор, пока энергия не будет полностью израсходована. Вынужденными называются такие колебания, которые происходят под действием изменяющихся внешних сил, а сила, действующая на упругое основание со стороны машины, является возмущающей [20]. Периодом собственных колебаний (T) называется промежуток времени между двумя последующими максимальными отклонениями упругой системы от положения равновесия. Обратная периоду величина называется частотой колебаний – f = 1/Т, или круговой частотой ω: ω = 2πf = 2π/Т. 83 5.1. Свободные колебания системы с одной степенью свободы без затухания На рис. 5.1 представлена система, которая состоит из груза и пружин составим уравнения движения исходя из принципа Д'Аламбера, ˗ к движущейся с ускорением системе могут быть применены уравнения статики при условии, что будут учтены не только внешние силы, но и силы инерции: ky  my , где k – жесткость пружины. Отсюда: y   2 y  0 , Р и с. 5.1. Система с одной степенью свободы 84 Такое уравнение характерно для гармонических колебаний, запишем его решение в виде: y   sin t    , где λ – амплитуда колебаний, ω – круговая частота колебаний, t – время, α – фаза колебаний. Когда t = 0, y   sin     arcsin y  . Жесткость пружины – это отношение величины действующей силы P = mg к статической деформации пружины [20]: k mg ,  где  – статическая деформация под действием массы m. Определим круговую частоту свободных колебаний в системе:  k g  . m  Для винтовой цилиндрической пружины жесткость будет равна: Gd 4 k , 64nr 3 где G – модуль упругости второго рода; d – диаметр проволоки; n – число витков; r – радиус витка пружины. Это уравнение не учитывает энергию поглощения колебанию системы. 85 5.2. Свободные колебания системы с одной степенью свободы с затуханием Амплитуда колебаний с течением времени должна уменьшаться, т.к. действуют сопротивления среды, вызывая потерю энергии до тех пор, пока, по истечении продолжительного отрезка времени, колебания не прекратятся. Запишем уравнение для определения свободных колебаний системы с одной степенью свободы, когда на процесс затухания оказывает влияние скорость перемещения груза: y  2fy   2 y  0 , где f – коэффициент затухания. После преобразования этого уравнения, получим: y  e  ft sin ( 2  f 2 )  t   , Отсюда видно, что свободные колебания происходят с амплитудой, определяемой экспоненциальным законом. 5.3. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы без затухания Пусть некоторая система изменяет свое направление по гармоническому закону с одной степенью свободы, тогда можно записать: P  P0 sin t , где P0 – максимальное значение силы, Ω – круговая частота изменения силы. 86 Запишем уравнение колебаний в дифференциальном виде и зная, что его решение может состоять из трех, с учетом начальных услоР вий, таких как t = 0, y =0 и 0 = q, получим: m P0 sin t . m q q y 2 cos  t  cos t .   2  2  2 y   2 y  Напряжения, которые возникают в материале, зависят от деформации, поэтому любые изменения круговой частоты влияют на его деформацию. С учетом этого можно объяснить принцип реализации вибрации устройства, т.е.можно записать:   lim q .  2  2 Когда круговая частота, совпадает с частотой колебаний возникает критическая частота и наступает резонанс. В работе [20] представлено уравнение для расчета амплитуды вынужденных колебаний.  q q   2 2 2    1  f ст   , 2 1 2  Определим закон нарастания амплитуды при резонансе и решим это уравнение с использованием правила Лапиталя, получим, что амплитуда колебаний изменяется пропорционально времени, т.е.: y   d (cos t  cos t ) cos t  cos t d   lim q q    d  2  2 2 2 (   ) d 87 q ( sin t )t q  t sin t .  2 2 В практике важно, чтобы резонанс не наступил, однако бывают случаи, когда приходится пройти через него. В этом случае важно, чтобы время прохождения через резонанс было минимальным. 5.4. Вынужденные колебания системы с затуханием с одной степенью свободы В таком случае можно использовать уравнение вида: y  2 fy   2 y  q cos t  0 . После преобразований которого получим уравнение для расчета любых колебаний системы: q( 2   2 ) y  e cos(1t   )  2 cos t  (   2 )  4 f 2  2 ft  2qf sin t . ( 2   2 )  4 f 2  2 Возможны разные случаи решения этого уравнения, если деформация и частота равны нулю наступают свободные колебания, если в системе появилась частота наступают свободные колебания с затуханием. Запишем уравнение для свободных колебаний с затуханием в следующем виде: q( 2   2 ) 2qf y 2 cos  t  sin t . (   2 )  4 f 2  2 ( 2   2 )  4 f 2  2 88 После его упрощения и введя обозначения, что: q( 2   2 )  А cos  ; ( 2   2 )  4 f 2  2 2qf  А sin  , ( 2   2 )  4 f 2  2 получим уравнение для вынужденных колебаний, из которого можно записать, что вынужденные колебания с затуханием являются гармоническими колебаниями с частотой, равной частоте Ω возбуждающей силы, и с амплитудой А, а фазовый угол γ представляет собой сдвиг между силой и деформацией, тогда: y  A cos  cos t  A sin  sin t  A sin( t   ) . A  q  , 2 f т.е. амплитуда колебаний пропорциональна коэффициенту затухания и его частоте. Найдем коэффициент динамичности  для вынужденных колебаний с затуханием:  1 2    4 f  1      4     2 2 . 2 89 Упрощая это уравнение и определив отношение   , получим, что максимальная амплитуда наблюдается, когда частоты равны, т.е. Амах =βмах·fст.:  2 12f   1    1.  2   На графике (рис. 5.2) показано влияние затухания на величину коэффициента динамичности, из которого видно, что это влияние особен но значительно в интервале, когда 0,55   1,25 , т.е. можно легко  рассчитать амплитуду вынужденных колебаний. Р и с. 5.2. Изменение коэффициента динамичности 90 Для обеспечения запаса прочности любого изделия или конструкции принимаем, что коэффициент затухания равен нулю. Для компенсации нагрузок основание конструкции устанавливают на амортизаторы и пружины. Тогда упругая сила может быть определена по уравнению: Росн = kβfст =βР. Считая, что коэффициент передачи нагрузок на фундамент равен коэффициенту динамичности, получим:    Pосн . Р Если частота колебаний совпадает с круговой частотой вожет возникнуть опасность резонанса, значит необходимо какое-то конструктивное решение этой задачи, например, снизить жесткость пру жины, что увеличит отношение . Определим коэффициент затуха-  ния: 2 f   1         2  2 2    2 f     1                 2 2 . 2 На рис. 5.3 показана зависимость изменения коэффициента передачи [3, 20] от коэффициента затухания. Из графика видно, что при отношении частот меньше 2 необходимы упругие элементы и амор- тизаторы, а при отношении же частот больше упругих элементов. 2 достаточно только 91 Р и с. 5.3. График изменения коэффициента передачи 5.5. Критическая скорость вала В промышленных условиях машины и аппараты не могут быть идеально сбалансированы, поэтому в таком случае всегда есть дисбаланс. В такой системе всегда, наблюдаются прогибы вала и вибрация всей системы, и тогда вал испытывает значительные по величине прогибы и напряжения. Все это может привести к разрушению системы. Рассмотрим упругую систему, представленную на рис. 5.4, состоящую из вала, на который насажен диск с эксцентриситетом e. Масса диска m, а его угловая частота  . Определим прогиб вала от действия центробежной силы, по уравнению: C  m  r  2 , 92 где r – радиус вращения центра тяжести массы m. Р и с. 5.4. Расчетная схема вала с диском По мере вращения вал приобретает упругий прогиб y, а его радиус увеличивается и становится равным r = e + y. Тогда центробежная сила вращения вала составит: С   m(e  y) 2 . Поскольку вал имеет неравновесное распределение масс возникает центробежная сила, которой препятствует сила упругости вала: P = − ky. 93 Тогда уравнение равновесия сил на валу будет соответствовать значениям С΄ + Р =0 или m(e + y)Ω2 = ky. Откуда найдем прогиб вала: m  e  2 . y k  m 2 В некоторых случаях угловая скорость может быть равна нулю, тогда ее величина может быть рассчитана по выражению:  кр  k . m В закритической области прогиб вала с увеличением скорости вращения уменьшается, и это явление называется самоцентрированием, а валы в этом случае называются гибкими [20]. 5.6. Определение критических скоростей вала с одним диском Известны два вида опор для валов это короткие и длинные. Короткие препятствуют повороту вала, а длинные похожи на защемление. Вал в коротких подшипниках. Критическая скорость для такого вала может быть рассчитана как балка на шарнирных опорах:  2кр  3gEIl , G (l  a) 2 a 2 где Е – модуль упругости материала вала, МПа; I – момент инерции поперечного сечения вала, м4; G – приведенный вес диска, Н; l – расстояние между подшипниками, м; а – расстояние от одного из подшипников до диска, м. Если диск расположен на валу посередине, то: 94 gEI . 3 Gl Вал в длинных подшипниках. В этом случае имеем балку с защемленным концом, тогда прогиб будет равен:  кр  6,93 3gEIl 3 .  кр  G (l  a) 3 a 3 2 В случае, когда диск установлен посередине, имеем:  кр  13,86 gEI . Gl 3 Вал в одном длинном и одном коротком подшипниках. Определим критическую скорость для такого вала, как: 12 gEIl 3 ,  кр  Ga 3 b 2 (3l  b) 2 где b = l – a. Уравнения упростится, когда диск расположен посередине вала:  кр  10,47 gEI . Gl 3 5.7. Динамика центрифуг и сепараторов Известно, что в таких устройствах вал подлежит балансировке для уравновешивания сил , но и после этого он испытывает действие некоторых инерционных сил. Для устранения которых кроме балан- 95 сировки лучше всего изменять частоту вращения вала, которая не совпадала бы с критической. Во время работы центрифуг и сепараторов осадок может распределяться равномерно по толщине и окружности барабана, тогда нет опасности смещения центров масс и машина работает устойчиво (  p / кр  1). Значение критической скорости можно увеличить, это может быть достигнуто утолщением вала или его упрочнением. Если вал закреплен консольно целесообразно уменьшить его вылет, или увеличить жесткость. Если в центрифугах не удалось добиться равномерного распределения осадка по толщине и сечению, то появляется дисбаланс, тогда лучше всего использовать гибкие валы, или упругие опоры. Можно применить принцип самоцентрирования вала. Рассмотрим ротор центрифуги или сепаратора с барабаном, закрепленным на консоли вала с жесткими опорами (рис. 5.5). Если массой вала пренебречь, то он становится невесомым, или идеальным. Чтобы его рассчитать необходимо, определить устойчивость вала. Если на вал действуют центробежные силы, то он становится неустойчивым. В этом случае могут появиться моменты обратной синхронной или прямой несинхронной процессии, которые имеют свои особенности. На вращающийся вал действуют две составляющие: центробежная сила Fц и гироскопический момент M: Fц  m 2 ym M  ( J 0  J ) 2 где m − масса барабана; ym − отклонение центра масс вследствие изгиба вала; J 0 и J э − динамические моменты инерции барабана относительно 96 его оси и диаметра, проходящего через центр масс;  − угол поворота барабана. Р и с. 5.5. К расчету центрифуг с гибким валом Пусть a1c и b1c – соответственно прогиб и угол поворота вала на его конце (в точке I) от единичной силы, приложенной в точке m, а  1с и  1с – прогиб и угол поворота в той же точке от единичного момента. Тогда прогиб и поворот вала в точке 1 [20]: 97 y  a1c Fц  1c M ;   b1c Fц  1c M . Подставляя в эту зависимость значения Fц и M , получим следующее уравнение: y  a1c m 2 ym  1c ( J 0  J э ) 2 ;   b1c m 2 ym  1c ( J 0  J э ) 2 . Имея ввиду, что ym  y  d , получим: y  a1c m 2 ya1c md  1c ( J 0  J э ) 2 ;   b1c m 2 yb1c md  1c ( J 0  J э ) 2 или (a1c m 2  1) y  a1c md  1c ( J 0  J э ) 2  0 ; b1c m 2 y  {b1c md  1c ( J 0  J э ) 2  1}  0 . (5.1) Решим эти уравнения, определив критическое значение  приравняв его нулю, тогда: a1c m 2  1a1c md  1c ( J 0  J э ) 2 b1c m 2 b1c md  1c ( J 0  J э ) 2  1  0. Или: A 4  B 2  1  0 , в этом уравнении: A  m( J 0  J э )(1c 1c  1cb1c ) (5.2) 98 B  1c ( J 0  J э )  m(a1c  b1c d ) . Тогда критическая угловая скорость вращения ротора будет: B  B 2  4F .  2A (5.3) Коэффициенты влияния, входящие в (5.2), связаны с прогибами и углами поворота конца вала (точки крепления 7) от единичных силы и момента, приложенных в той же точке [20]: a1c  a11  11d ; b1c  b11  11d ; 1c  11 ; 1c  11 . Где: l10 (l2 J 1  l1 J 2 ) a11  ; 3EJ1 J 2 b11  11  11  l1 (3l1 J 2  2l2 J 1 ) ; 6 EJ1 J 2 l1 J 1  3l1 J 2 , 3EJ1 J 2 где l1 − длина консоли вала; l2 − расстояние между подшипниками; J1,J2 − моменты инерции сечения вала на участках l1 и l2. Определим величины моментов инерции, которые складываются суммированием динамических моментов инерции всех узлов аппарата: 99 m J 0   r 2 dm ; m J y   l 2 dm , где r − радиус элементарной массы dm; l − расстояние от массы dm до оси x; r 2  x2  y 2 ; l 2  z2  y2 . Р и с. 5.6. К расчету коэффициентов влияния вала Используя рисунок 5.6 определим реакции опор, используя уравнения равновесия моментов, а затем выразим жесткость опор: 100 R1  Il ' a2 c k ; l2 R2  I  a2' c , l2 или: a2' c  l ; kl2  2' c  1 . kl2 где a2' c и  2c' − перемещения упругой опоры, вызванные соответственно единичной силой и моментом; Определим коэффициенты влияния: l2  a1c  2 ; kl2 ' b1'c  1' c  1'c  l ; kl22 I , kl22 которые можно переписать в более простом виде: a1''c  a1c  a1' c ; b1''c  b1c  b1'c ; 1''c  b1''c ; 1'c'  1c  1'c Для случая самоцентрирования вала упругость пружин будет равна: 101 р  5...6 кр 5.8. Определение колебательных движений вибромельниц На рисунке 5.7 изображена схема корпуса вибромельницы, для которой можно записать: Р и с. 5.7. К расчету вибромельниц Mx  bx x  cx x  mД  2 R cos t ; My  by y  c y y  mД  2 R sin t где х и у − координаты колеблющегося центра масс, отсчитываемые от положения равновесия; сх и су − жесткости опорных устройств по соответствующим координатам; bx и by − коэффициенты сопротивления диссипативных сил по соответствующим осям; mД − масса дебаланса вибратора кг;  − угловая скорость вала вибратора, рад/с; R − радиус центра масс дебаланса, м; t − время, с; 102 M  mk  mb  K n (mT  mM ) − масса колеблющейся системы, кг; mk и mb − массы корпуса мельницы и вибратора соответственно; Кn = 0,2... 0,3 − коэффициент присоединения загрузки к колебаниям; mT и тM − массы мелющих тел и измельчаемого материала соответственно. Для установившегося режима движения, можно записать: x  xA cos(t   x ) ; y  y A sin( t   y ) , где  x и  y − начальные фазы колебаний по соответствующим координатам х и y. Откуда амплитуды перемещений системы и начальные фазы колебаний будут равны: xA  yA  mД 2 R (c x  M 2 ) 2  bx2 2 mД 2 R (c y  M 2 ) 2  by2 2 ; , bx ; 02   2 b  y  arctg 2 y 2 . 0    x  arctg где 0 − собственная частота колебаний системы, рад/с. Улучшение условий работы вибромельницы и упрощение виброизоляции несущих конструкций достигаются, если ось вращения вибратора совмещается с осью центра масс системы, реакции опор проходят через центр масс пружин, т.е. l1= l2 и a = 0 (здесь l1,l2 − рассто103 яния от центра масс до соответствующих опор; а − расстояние от центра масс системы до центра масс пружины), и собственные частоты всех видов колебаний равны между собой, но поскольку частоты собственных колебаний системы 0  с / M , то сх = су. Для определения амплитуды колебаний считаем, что хA = уA = А, а bх = bу = 0, c  M02 , тогда: mД 2 R . A 2 2 M (0   ) Для повышения эффективности работы мельницы ее можно перевести в зарезонансную область гибкого вала. 104 ГЛАВА 6 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 6.1. Определение частоты вращения барабанной мельницы Для проведения процессов измельчения в барабан мельницы закладывают измельчаемый материал и шары для измельчения. За счет вращения барабана мелющий материал поднимается вверх, а затем сползает или перемещается в сторону, при этом измельчение происходит за счет энергии движения шаров. Схема такого процесса представлена на рис. 6.1 [20]. Р и с. 6.1. Схема к расчету барабанной мельницы Оптимальным будет такая скорость вращения барабана, когда происходит измельчение, при этом соблюдается равенство Н = Yв. Для Зададимся системой координат XAY и X10Y1. и считаем, что мелющее тело падает из точки А в точку В по параболе, тогда можно записать: 105 g  x2 . y   x  tg  2  V 2  cos 2  В точке А происходит отрыв материала, когда соблюдается условие: V  g  R  cos  , отсюда запишем уравнение для описания траектории движения материала, когда x12  y12  R 2 , т.е.: x2 . y   x  tgα  2  R  cos 3 α Опишем координаты любой точки уравнениями: x1 = x − Rsin; y1 = y − Rcos. Тогда уравнение окружности запишем как: (x − Rsin)2 + (y − Rcos)2 = R2. Решая совместно уравнение окружности и уравнение параболы найдем координаты точек пересечения: 2 x2   x  R  sin α     x  tgα   R  cos α   R 2 . 3 2  R  cos α   2 Упростим это уравнение так, что: x3 x    sin α    0. 4 2 R  cos α  4  R  cos α  106 Найдем его корни х1 = х2 = х3 = 0 в точке А, х4 = 4Rsincos2 в точке В хв = х4, тогда можно записать: 16  R 2  sin 2   cos 4  y в  4  R  sin   cos   tg   2  R  cos 3  2  4  R  sin 2   cos  . Или: y в'  4  R  sin  2  cos 2   sin 2    0 . Считая, что 0 и R0, то 2cos2 − sin2 = 0, найдем опт = 5440’, тогда запишем выражение для определения скорости вращения: ωопт  g  cos α опт 2,38 .  R R 6.2. Оптимизация работы щековой дробилки по числу качаний подвижной щеки Конструкция щековой дробилки имеет следующие основные параметры: размеры и взаимное расположение щек; частота качаний подвижной щеки; мощность привода. При проведении расчетов необходимо пользоваться следующими показателями: производительность, начальный и конечный размеры кусков измельчаемого материала, а также его плотность. Конечная цель расчета определение угола захвата  и числа качаний подвижной щеки дробилки n. При движении на частицу материала действуют силы сжатия Р, выталкивания R, трения F и удерживающая сила Т (рис. 6.2): 107 Р и с. 6.2. Схема для расчета щековой дробилки При работе дробилки материал выталкивается силой R = 2Psin(/2), направленной вдоль оси материала. В то же время частицу удерживает равнодействующая сила R = 2T и сила трения F = Pf, тогда удерживающая сила будет равна Т = Рfcos(/2). Если 2T  R частицы материала не покидают барабан. Условием, при котором происходит захват материала считается, когда tg(/2)  f, или   2, где  − угол трения частицы о дробилку. Рассмотрим принцип действия щековой дробилки. В верхнем положении щеки имеются два крайних положения 1 и 2 (рис. 6.2), в этом случае происходит смещение щеки равное S. В этом случае происходит выгрузка материала в объеме соответствующей заштрихованному контуру W, для этого необходимо, чтобы время 1 отхода щеки из положения 1 в положение 2 было равно времени 2 высыпания слоя материала высотой h. Найдем значение времени высыпания материала, как 2 = Учитывая, что h = S tg имеем: 108 2h g . nопт = 1,1 tg S . 6.3. Расчет оросительного стакана Оросительные устройства применяются для равномерного распределения жидкости по живому сечению аппарата. По конструкции они бывают желобчатого типа (рис. 6.3), трубчатого типа (рис. 6.4) и и оросительные стаканы (рис. 6.5). Р и с. 6.3. Желобчатый распределитель жидкости В качестве оросителей можно также использовать перфорированные трубы (рис. 6.4), которые имеют главный недостаток большая металлоемкость устройства. Оросительные стаканы (рис. 6.5) позволяют распределять жидкость по всей площади поверхности аппарата, в которых отверстия направлены в разные стороны под различным углом к горизонту. Однако такая конструкция распыляет жидкость. 109 Р и с. 6.4. Трубчатые оросители Р и с. 6.5. Оросительный стакан Выбор количества точек орошения определяется видом насадки, их количество должно быть максимальным. Их количество рассчитывается по площади поперечного сечения аппарата, например: 110 0,4-0,8 м – количество точек 300; 0,8-1,2 м – количество точек 150; более 1,2 м – количество точек 50. Для эффективной работы насадки необходимо создать равномерность течения жидкости через отверстия оросительного стакана. Необходимо выбрать соотношение числа точек орошения на каждую зону, и количество отверстий ni на ярусах оросительного стакана, что можно сделать используя арифметическую прогрессию вида: ni = 1; 3; 5; … ; (2N – 1). Проведем расчет количества отверстий оросительного стакана, определим их диаметр и углы наклона для колонны диаметром D = 1000 мм при расходе жидкости Q = 36 м3/час и высоте подпора жидкости Н = 4 м. Оросительный стакан устанавливается на высоте y = 500 мм над поверхностью насадки. Площадь поперечного сечения колонны, будет равна F = 0,785D2 = 0,78512 = 0,785 м2. Для нерегулярной насадки количество точек орошения будет равно 0,78520 = 16, это обеспечивается при количестве зон орошения N = 4. Когда ni = 1 + 3 + 5 + 7 = 16, тогда ширина каждой зоны орошения составляет 125 мм. Найдем диаметр отверстий, используя теорию низконапорной струи ( = 0,62), т.е.: d0  4q 4  0,000625 = = 0,012 м, μπ 2 gH 0,62  π 2  9,8  4 где q = Q/ni =36/16 = 2,25 м3/час = 0,000625 м3/с – расход жидкости через одно отверстие. 111 Отверстие для орошения первой зоны должно быть выполнено в центре оросительного стакана с осью перпендикулярной к линии горизонта. Для нахождения положения осей отверстий для орошения второй, третьей и четвертой зон воспользуемся уравнением траектории низконапорной струи при y = 0,5 м,  = 0,98, тогда: x2 = 0,125 + 0,125/2 = 0,1875 м; x3 = 0,125 + 0,125 + 0,125/2 = 0,3125 м;, x4 = 0,4375 м. x22 Для второй зоны можно записать, что y  x2tgα2  2 , 4 H cos 2 α2 тогда: tg22 + 81,9tg2 – 217,5 = 0. Решив это уравнение, найдем его корни 2: 89,3 и – 69,0. Знак минус у второго значения свидетельствует о неверном значении, тогда возьмем значение 2 = 89,3. Таким же образом определим значение 3 = 88,9 и 4 = 88,4. Расчет завершен. 6.4. Определение геометрических размеров камеры осаждения пыли Работа пылеосадительной камеры заключается в осаждении частиц пыли при движении их по горизонтальным каналам (рис. 6.6). Осаждение частиц пыли происходи по закону Стокса. Аппараты такого типа полностью удаляют пыль размер частиц, которых не менее 70 мкм. Примем расстояние между полками h, скорость осаждения w, тогда продолжительность осаждения может быть рассчитана как h/w, за это время газ, движущийся со скоростью wг, пройдет путь l. 112 Р и с. 6.6. Схема пылеосадительной камеры Для устранения уноса твердых частиц потоком газа, его скорость принимается равной или меньше максимально допустимой величины [16, 20], т.е.: wmax  3,6 d(   c ) c . Действительная скорость газа находится в пределах wг = (0,2  0,3) wmax. Тогда можно определить длину полок аппарата из выражения: L  l = hwг/w. 6.5. Расчет основных характеристик отстойника В процессе отстоя суспензия разделяется на слой вязкой жидкости, который называется шлам и слой светлой жидкости объем которой в единицу времени может быть определен по уравнению: 113 V  hF  , где h – высота слоя; F – поверхность осаждения; τ – время осаждения. Так как h = w·τ, найдем поверхность отстаивания из уравнения: F V , w или для расчета суспензии можно записать: F Gc  x1  1   ,  ж w  x2  где Gc – весовой расход суспензии, Н/с; γж – удельный вес осветленной жидкости, Н/м3; х1 – содержание сухого вещества в суспензии в долях; х2 – содержание сухого вещества в осадке в долях. Производительность отстойника определяется только поверхностью осаждения тогда можно принимать высоту отстоя 2,5-3,5 метра. Рассмотрим пример. Рассчитаем производительность, поверхность и диаметр отстойника для осветления суспензии в количестве Gc = 60 Н/с. Концентрация твердой фазы в суспензии х1 = 0,2, концентрация сгущенной суспензии х2 = 0,5, скорость осаждения суспензии w = 1,4·10-4 м/с, удельный вес осветленной жидкости γж = 10300 Н/м3. Найдем производительность отстойника по твердой фазе и по сгущенной суспензии, по уравнению: Gтв = Gc·x1 = 60·0,2 = 12 Н/с. Gсг = Gтв/х2 = 12/0,5 = 24 Н/с. 114 Определим расход аппарата при осветлении потока как: Gж = Gc – Gсг = 60 – 24 = 36 Н/с. Тогда можно рассчитать его поверхность и диаметр: F 60  0,2  2 1    25 м . 4 10300  1,4  10  0,5  D 4F   4  25   5,64 м. Примем диаметр аппарата равным D = 6 м. 6.6. Оптимальная производительность периодически действующих фильтров при постоянной разности давлений Фильтрованием называется процесс разделения неоднородной системы при помощи пористой перегородки, состоящей из фильтрующего материала и постепенно накапливающегося на его поверхности слоя осадка, которые задерживают одну фазу системы и пропускают другую. К процессам фильтрования относятся разделение суспензий на чистую жидкость и влажный осадок, аэрозолей – на чистый газ и сухой осадок или на чистый газ и жидкость [20]. Фильтры представляют собой сосуд, разделенной пористой перегородкой. В процессе работы фильтра осадок накапливается на стенках перегородок, а жидкость проходит через его поры. Осадок постепенно накапливается на стенках и его удаляют, затем цикл работы фильтра повторяется. Для процесса фильтрования, может быть использовано следующее выражение [17, 20]: 115 dV ΔP ,  Sdτ μRос  Rф  где V – объем фильтрата, м3; S – поверхность фильтрования, м2;  – продолжительность фильтрования, с; Р – разность давлений до и после фильтровальной перегородки, Па;  – вязкость жидкой фазы суспензии, Пас; Rос – сопротивление слоя осадка, м-1; Rф – сопротивление фильтровальной перегородки, м-1. Сопротивление слоя осадка может быть определено, как: Rос  rо  хо  V , S где rо – удельное объемное сопротивление осадка (сопротивление, оказываемое потоку фильтрата равномерным слоем осадка толщиной 1 м), м2; хо – отношение объемов осадка и фильтрата. Подставляя это выражение в уравнение для расчета процесса фильтрования, получим: dV ΔP  . V Sdτ   μ rо  хо  Rф  S   Это уравнение показывает, что толщина слоя осадка зависит от скорости процесса фильтрования, т.е. для повышения производитель116 ности аппарата необходимо постоянно удалять фильтровальный осадок, что характерно для аппаратов непрерывного действия. Проведем интегрирование вышеприведенного уравнения, при Р = const, получим: μ  ro  xo V 2   μ  Rф  V  ΔP  S  τ . S 2 Фильтры бывают периодического и непрерывного действия. Производительность фильтра может быть рассчитана аналитически или графическим методом. Аналитический метод более точен, но для этого необходимо рассчитать функцию зависимости толщины осадка от времени осаждения. Для примера рассчитаем продолжительность цикла фильтрации, когда Rф = 0 по выражению: τ μ  ro  xo 2 V . 2 2  S  ΔP μ  ro  xo V  A , а  q тогда получим уравнеΔP S ние для расчета фильтра, когда время фильтрования пропорционально квадрату объема фильтрата: Обозначим значение τ 1 А  q2 , 2 Жидкость, задержавшаяся в порах, называется фильтратом (жидкой фазой осадка), а жидкость, применяемая для извлечения фильтрата, называется промывочной жидкостью. При промывки осадка используют две стадии, первая незначительна по времени, когда концентрация растворенного вещества в промывочной жидкости постоянна. При второй, более продолжи117 тельной, концентрация растворенного вещества уменьшается, для нее применимо уравнение: непрерывно G 0,25 , 1 V Go п.ж. Vo где G – вес растворенного вещества в промывной жидкости, Н; Go – вес растворенного вещества в фильтрате, Н; Vп.ж. – объем промывной жидкости, м3; Vo – объем фильтрата в порах осадка перед промывкой, м3. Значения Go и Vo получены экстраполяцией опытных данных, тогда заменив некоторые величины, получим: qп.ж.  Введем обозначения, что В  0,25qo . G 1 Go 0,25  ε  xo , а qo = хоq, получим: G 1 Go qп.ж. = Вq. Процесс промывки происходит при постоянном слое осадка, тогда вместо значения q можно использовать значения qп.ж., тогда после преобразования предыдущего выражения, получим: τп  118 1 А  В2  q2 . 2 Оставшийся после промывки осадок продувают воздухом, для извлечения его остатков из пор. Процесс вытеснения жидкости из пор называют обезвоживанием, этот процесс может быть описан выражением: Wоб  W  mэу , где mэ – эффективное насыщение влагой осадка; у – показатель степени, зависящий от размера твердых частиц. Тогда можно записать общее выражение для расчета скорости процесса фильтрования в виде: W ΔP . μ  ro  hoc Найдем время, за которое происходит процесс обезвоживания [20]:  1  mo   1 mэ1- у ε  μ  ro  hoc2 , τ об    у 1  2 Δ P   2 где mo – остаточное насыщение осадка влагой; hос – толщина слоя осадка, м.  1  mo   1 mэ1- у Обозначим С    у  1  ε  хо , а ho=xoq получим уравнение 2   2 для расчета времени обезвоживания об = АСq2. Тогда продолжительность всех трех стадий процесса фильтрования будет: осн =  + п + об = 0,5Аq2 + 0,5АВ2q2 + АСq2 = Dq2. 119 Учитывая что D = 0,5А(1 + В2 + С). Получим следующее выражение: q τ осн . D Полученное значение q является решением этого уравнении. Определим среднюю производительность фильтра в единицу времени за весь цикл его работы: τ осн D . Wусл  τ осн  τ всп Продифференцировав данное уравнение получим: dWусл τ всп  τ осн   0. 2 dτ осн 2 D  τ осн τ осн  τ всп  Поскольку знаменатель в этом уравнении не равен нулю, то всп − осн = 0 или осн = всп. Вторая производная при осн = всп оказывается отрицательной величиной, т.е. Wусл достигает максимума. Таким образом производительность работы фильтра достигается при равенстве продолжительности основных и вспомогательных операций. 120 6.7. Практическое применение теории колебаний Рассмотрим грохот установленный на четырех вертикальных цилиндрических витых пружинах (рис. 6.7), найдем амплитуду вынужденных колебаний аппарата. Р и с. 6.7. Схема виброгрохота Зададимся скоростью вращения эксцентрикового вала N = 2400 об/мин. и пусть пружины, изготовленные из проволоки диаметром d = 0,02 м, имеющие по n = 6 витков с радиусом навивки r = 0,03 м. Определим круговую частоту вынужденных колебаний: Ω= πN π  2400 = = 251,3 с-1, 30 30 и найдем величину возмущающей силы: Р0 = meΩ2 = 10,05251,32 = 3160 Н. 121 Рассчитаем жесткость витой цилиндрической пружины по уравнению: 8 1010  0,02 4 Gd 4 k= = = 1,23106 Н/м, 64nr 3 64  6  0,033 где G = 81010 – модуль Юнга для стали, Па. Статическую деформацию под действием массы грохота можно определить из выражения:  Mg 25  9,81 5 м.   4 , 98  10 4k 4 1,23 106 Определим круговую частоту собственных колебаний и коэффициент динамичности: ω β g 9,81   444,0 с-1. 5  4,98 10 1 1 2  2  1, 47 .   251,3  1   1   ω  444,0  Найдем величину статической деформации пружины от действия силы P0 и рассчитаем амплитуду вынужденных колебаний: f ст  P0 3160 4   6 , 42  10 м. 4k 4 1,23 106  = fст = 1,476,4210-4 = 9,4410-4 м. 122 Сила, передаваемая на фундамент будет иметь значение: Q = P0 = 1,473160 = 4650 Н. 6.8. Оптимизация геометрических размеров реактора с неподвижным слоем катализатора и рециркуляцией потока Эффективность работы таких устройств зависит от конструктивных характеристик оборудования, например, высота и диаметр. При постоянном объеме аппарата возможно значительное число сочетаний этих параметров. Выбор их соотношений, обеспечивающий оптимальное значение критерия и является предметом оптимизации. К таким характеристикам, например, можно отнести «Прибыль» или «Приведенные затраты» [20]: Пз = Э + Ен·К, где Э – эксплуатационные затраты; К – капитальные затраты; Ен – нормативный коэффициент. Когда приведенные затраты достигнут минимума это и будет оптимальным вариантом. Рассмотрим затраты, которые изменяются при варьировании значений D и Н, т.е.: ΔПз = ΔЭ + Ен·ΔК. Необходимо знать и размер амортизационных отчислений и расходы, необходимые на текущий ремонт, т.е величины капитальных вложений, отчисляемые на амортизацию и текущий ремонт (Ам и Рт), тогда: 123 ΔЭ = Ээ·Цэ + (Ам + Рт)·ΔК, где Ээ – расход электроэнергии; Цэ – цена электроэнергии. Таким образом: ΔПз = Ээ·Цэ + (Ам + Рт + Е)·ΔК. Значения, при которых ΔПз имеет минимум будут оптимальными, т.е. должно соблюдаться соотношение при котором: Vк  π 2  D H к или D 2 H к Vк  0 , 4 4 где Нк – высота слоя катализатора. Воспользуемся методом Лагранжа и найдем экстремальные значения функции. Введем вспомогательную функцию θ, которая отражает сумму целевой функции ΔПз = f(Н, D), тогда можно записать:   θ = f(Н, D) + λ  D 2 H к  Vк  . 4  Найдем частные производные и решим систему из трех уравнений. Определим зависимость мощности компрессора N от высоты и диаметра реактора. Сжатие газа осуществляется адиабатически и политропически, тогда мощность на валу компрессора [10, 20] находится из решения уравнений: 124   m  1 m P 2 N   P1V1    1 , ηи ηм m  1  P1     m 1 где ηи – индикаторный КПД компрессора; ηм – механический КПД компрессора; m – показатель политропы; Р1 – давление всасывания, МПа; Р2 – давление нагнетания, МПа; V1 – всасываемый объем, м3/с. Воспользуемся формулой Эргуна, для определения значения сопротивления слоя катализатора, т.е. [18, 20]:   ΔPк 1  ε  μU 1  ε  ρU 2  150  2  1,75 3  , Нк ε3 dэ ε dэ 2 где μ – динамическая вязкость газа, Нс/м2; U – фиктивная скорость газа (в расчете на полное сечение аппарата, м/с; dэ – эквивалентный диаметр пор, м; ρ – плотность газа, Н·с2/м4; ε – порозность слоя катализатора. Определим долю свободного пространства между частицами катализатора по уравнению: ε ρк  ρн , ρк  ρ где ρк – кажущаяся плотность частиц катализатора, Нс2/м4; ρн – насыпная плотность слоя катализатора, Нс2/м4. 125 В некоторых случаях можно принять, что для частиц шарообразной формы пористость равна 0,4. Определим эквивалентный диаметр пор катализатора [19,20], как: dэ  2ε d , или 3(1  ε) 4 dэ  d , 9 где d – диаметр шарообразных частиц катализатора, м. Выразим фиктивную скорость движения газа через высоту слоя катализатора и время пребывания газов в зоне катализатора: U Hк , τ тогда уравнение Эргуна будет: 1  ε   ΔP  2  ε3 P  2  или обозначив А  2  1  ε   ε3 ρ dэ 1  ε   ε3 2 H    к   Hк  τ  ρ 3 Н , к dэ τ 2 ρ , получим: dэ τ 2 ΔР  АН к3 . 126 То есть сопротивление слоя катализатора пропорционально кубу высоты его слоя, тогда рассчитаем мощность циркуляционного компрессора. m 1 Обозначим  ξ и разложив m  Р2     Р1  m 1 m ξ  Р2    в ряд, получим:  Р1  ξ ξ  P   ΔP      2   1  P P  1  1  2 3 ΔP ξ(ξ  1)  ΔP  ξ(ξ  1)(ξ  2)  ΔP       ...  1 ξ  P1 2!  P1  3! P  1  Тогда мощность компрессора и расход его энергии можно рассчитать по формулам:  AH к3  АН к3  1  1  N Р1V1    . ηи ηм Р Р 2 m  1   1  2 Ээ = к·N·T, где к – переходной коэффициент. Определим капитальные вложения в реактор ΔК считая, что днища реактора стандартные эллиптические, а длина цилиндрической части составляет 1,5 высоты слоя катализатора. Масса такого устройства будет равна: M  ( Fц  2Fэ )  S  ρм , где Fц – поверхность цилиндрической части корпуса, м2; 127 Fэ – поверхность эллиптического днища, м2; S – толщина стенки корпуса и днищ, м; ρм – удельный вес металла реактора, Нс2/м4. Найдем поверхность цилиндрической части обечайки аппарата и эллиптического днища: Fц = 1,5πDHк. Fэ = 0,345πD2. Определим толщину стенки реактора, воспользовавшись известным уравнением Лапласа: S PD C, 2 σ   P где Р = Р2 = Р1 + ΔР = Р1 + А· Н к3 − давление внутри реактора; [σ] – допустимое напряжение для материала корпуса в рабочих условиях; φ – коэффициент прочности сварного шва; С – прибавка на коррозию. Для упрощения расчетов пренебрежем давлением в аппарате, тогда: PD РD S  1,02  0,51 . 2 σ   σ  Свяжем массу аппарата с его геометрическими размерами: ( P1  AH к3 ) D M  0,51м 1,5DH к  2  0,345D  .  σ  2 128 Отсюда капитальные затраты на изготовление реактора составят: ( P1  AH к3 ) D К  0,51м 1,5DH к  2  0,345D  Ц пр ,  σ  2 где Цпр – цена единицы массы продукции данного класса. Введем упрощения: B1  V1 A кТЦэ ; ηи ηм V1 A2 1 B2   кТЦэ ; 2mηи ηм Р1 B3  0,765 π м  Ам  Рт  Е  Р1 Ц пр ;  σ  B4  0,765 π м  Ам  Рт  Е  АЦ пр ;  σ  B5  0,352 π м  Ам  Рт  Е  Р1 Ц пр ;  σ  B6  0,352 π м  Ам  Рт  Е  АЦ пр .  σ  Тогда приведенные затраты будут равны: П з  В1 Н к3  В2 Н к6  В3 D 2 H к  В4 D 2 H к4  В5 D3  В6 D3 H к3 . Вспомогательная функция может быть рассчитана как: θ = В1 Н к3  В2 Н к6  В3 D 2 H к  В4 D 2 H к4  B5 D 3  π   В6 D 3 H к3  λ D 2 H к  Vк  . 4  129 Частные производные такой функции приравненные к нулю, будут равны: θ π  2 B3 DH к  2 В4 DH к4  3В5 D 2  3B6 D 2 H к3  2 λDH к  0, D 4 θ π  3B1 H к2  6 В2 Н к5  В3 D 2  4 В4 D 2 Н к3  3B6 D 3 H к2  λD 2  0, Н 4 θ π 2  D H к  Vк  0. λ 4 Решим это уравнение относительно  , получим: Hк B5 DH к1  2 В4 Н к3  В6 DH к2 .  D 2( В1  2 В2 Н к3 ) Для компрессорной машины введем обозначения, что W = перейдем к одной переменной z  4Vк и π Hк , это выражение может быть D преобразовано к виду: B5 z 1  2 B4Wz 2  B6Wz . z 2(B1  2 B2Wz 2 ) Решение такого уравнения может быть получено с использованием численных методов. 130 6.9. Принципы сравнения и оценки технико-экономической эффективности контактных массообменных устройств аппаратов Многообразие процессов разделения, различные условия их проведения (давление, температура, нагрузки по газу и жидкости), привели к необходимости создания большого количества различных конструкций контактных устройств, каждая из которых наиболее полно удовлетворяет требованиям только одного или группы процессов. Поэтому появление новых конструкций контактных устройств следует считать естественным и закономерным. В связи с этим перед проектировщиками и исследователями возникает задача выбора оптимальной конструкции для конкретного технологического процесса. Любое сравнение требует выбора объективного критерия. В качестве такого критерия в разное время и в различных работах предлагались: 1) съем продукции с единицы объема; 2) удельная металлоемкость, и другие критерии. Это все односторонние критерии, которые требуют дополнительных ограничений. Наиболее объективным критерием на сегодняшний день являются приведенные затраты на производство. Под приведенными затратами ПрЗ понимаются суммарные эксплуатационные капитальные затраты, отнесенные к производительности аппарата по сырью ПрЗ  Э  E K i F i F (6.1) где  Эi − суммарные эксплуатационные затраты, руб/год;  K i − суммарные капитальные затраты, руб; 131 − отраслевой нормативный коэффициент амортизации и Е экономической эффективности ( E  0,12 ) капитальных вложений, 1/год; − годовая производительность аппарата по сырью, т/год. F При рассмотрении составляющих приведенных затрат на разделение в аппаратах с различными контактными устройствами принимаются во внимание только те статьи, которые зависят от контактного устройства. Оптимальной будет считаться та конструкция, которая отвечает минимуму приведенных затрат. Рассмотрим такой подход для различных схем разделения. 6.9.1. Ректификация под давлением без подачи водяного пара Для схемы представленной на рис. 6.8, затраты, зависящие от конструкции контактных устройств, выражаются следующим уравнением: Эзс Эзо ЭзТ K ПрЗ    E з F F F F (6.2) где Эзс − эксплуатационные затраты на транспорт сырья в колонну; Эзо − эксплуатационные затраты на транспорт орошения; ЭзТ − эксплуатационные затраты на подвод тепла; K з − капитальные затраты. Предполагается, что сравнение происходит в одинаковых условиях разделения и проектировщик располагает всей необходимой исходной информацией полученной из расчета процесса ректификации: а) флегмовое число; б) число теоретических тарелок; в) материальные потоки в различных сечениях; 132 г) температурный режим; д) давление. Р и с. 6.8. Схема полной ректификационной колонны Рассмотрим отдельные статьи затрат. Затраты на подвод тепла. Тепловой баланс колонны, приведенной на рис. 6.8 может быть записан в следующем виде: QF  QR/  QD  QD/  QR (6.3) где QR/ и QD/ − тепло, подводимое к кипятильнику и отводимое в холодильнике; QF − тепло, подводимое с сырьем; QD и QR − тепло, отводимое с остатком и дистиллятом. 133 Предполагая сравнение в одинаковых условиях, т.е. допуская постоянство флегмового числа и отбора, можно констатировать, что QD  const , QD/  const . В зависимости от конструкции контактного устройства меняются температура и давление низа колонны, а следовательно, меняется тепловой поток уходящий с остатком: QR  R  CR  t (6.4) где C R − теплоемкость продукта; t − разность температур. Если тепло подводится водяным паром, то ЭзТ QR  CВП F rF (6.5) где СВП − стоимость водяного пара, руб/т; r − скрытая теплота конденсации водяного пара. Подставляя в зависимость (6.5) значения из выражения (6.4) получим: ЭзТ R  CR  t  CВП (6.6) F rF Обозначив   D как относительный выход дистиллята, полуF чим: ЭзТ C  (1   ) R t  CВП F r (6.7) Используя линейную аппроксимацию зависимости температуры низа колонны от давления ti  A  BPi , можно получить: 134 t  B N TT  P (6.8) где P − перепад давления на контактном устройстве (гидравлическое сопротивление). Следовательно ЭзТ C N  (1   ) R B TT P  CВП , руб/т F r  (6.9) Затраты, связанные с транспортом орошения в колонну. Эти затраты связаны с расходом электроэнергии, затрачиваемой на привод насоса. В зависимости от эффективности работы тарелок меняется высота колонны, тогда: Эзо Q  H  g  Сэл F F  н где Q (6.10) − расход орошения; Cэл − стоимость электроэнергии; н − к.п.д. насосной установки; H  H T N TT  − изменение напора жидкости в нагнетательном трубопроводе насоса; H T − расстояние между тарелками. Принимая во внимание, что Q  D  Ф , где Ф − кратность орошения и помня, что   D , окончательно получим: F 135 Эзо H N g    Ф T TT  Сэл F  н (6.11) Затраты, связанные с транспортом сырья в колонну. Могут быть определены следующим образом: Эзс F  H  g  Сэл F F  н (6.12) При изменении конструкции тарелок изменяется высота аппарата и гидравлическое сопротивление, т.е. давление питания, тогда: P  N TTF H T N TTR H    ж   (6.13) где P − гидравлическое сопротивление тарелки;  ж − плотность жидкости; N TTF − число теоретических тарелок в верхней части аппарата; N TTR − число теоретических тарелок в отгонной части аппарата. После преобразования уравнения (6.13) получим: Эзс  P  N TTF H T  NTTR    F   ж    g   Сэл  н (6.14) Капитальные затраты пропорциональны стоимости корпуса и тарелок, т.е. K з  М к  Ск  М Т  СТ (6.15) или с учетом интересующих нас величин можно записать: 136   D 2  NTT  H T  PP   k   D 2 NTT Kз  Ck   f  CT  (2 доп  P) 4  (6.16) где D − диаметр аппарата и тарелки;  доп − допускаемое напряжение; PP − рабочее давление;  − коэффициент прочности сварного шва; f − удельная металлоемкость контактных устройств. 4  PP   k  A . Если V объемный расход паров, а W Обозначим 2 доп  P   D2 V 4 V , или D 2  .  W 4 W После подстановки в уравнение (6.16) получим: скорость движения паров, то Kз   NTT V   A  H T  Ck  f  CT   W (6.17) Отнесем к расходу по сырью, тогда K з NTT V  AHT Ck  fCT    F  FW (6.18) Если паровая нагрузка постоянна, то V D  O D  DФ D (1  Ф) 1 Ф      F п F п F F п п (6.19) В этом случае  1  Ф  N TT  AH T Ck  fCT  Kз       F  W   п    (6.20) 137 Если паровая нагрузка в верхней и нижней части различно, то выражение (6.20) может быть записано только для верхней части колонны, а для нижней части как: V  D  O  eF где e − доля отгона. V D  O  eF 1  D Ф  1      e    (1  Ф)  e F п  F п  F  п K зниз  (1  Ф)  e NTTR  A  H T Ck  f  CT      F п   W  (6.21) Скорость паров в колонне W часто выражают через фактор скорости FS  W   п , тогда выражения (6.20) и (6.21) примут вид: K зверх 1  Ф N TTF   F п   A  H T  Ck  f  CT  FS  K зниз  (1  Ф)  e N TTR   F  п     A  H T  Ck  f  CT  FS  (6.22)    (6.23) Суммарные приведенные капитальные затраты равны: верх Kз K зниз   Kз E  E   F F   F (6.24) Рассмотрим порядок проведения расчета сравнения. Поскольку приведенные затраты в значительной степени зависят от гидродинамики в аппарате, то для объективной оценки необходи138 мо определить оптимальный гидродинамический режим, соответствующий минимуму приведенных затрат для каждой из сравниваемых конструкций, в пределах диапазона устойчивой работы (рис. 6.9). Р и с. 6.9. Зависимость приведенных затрат от фактора скорости Затем для условий Wопт сравниваются величины приведенных затрат, принятых для сравнения конструкций. Оптимальной будет та конструкция, которая имеет минимальное значение ПрЗ . 6.9.2. Реконструкция с подачей водяного пара в низ колонны На схеме рис. 6.10 представлена ректификация термолабильных смесей (например, нефти или мазута) под вакуумом или под давлением в присутствии водяного пара (или инертного газа), подаваемого в низ колонны для снижения парциального давления паров углеводородов. Особенностью таких аппаратов является то, что всегда задается допускаемый перепад давления в аппарате, превышение которого приводит к разложению сырья. В зависимости от конструкции кон139 тактного устройства, т.е. величины перепада давления колонне, меняется расход водяного пара, подаваемого в низ колонны и, следовательно, величина затрат на разделение. Р и с. 6.10. Схема обвязки колонны в присутствии водяного пара Состав приведенных затрат в данном случае состоит из четырех статей расхода: Эзс Эзо ЭТВП K ПрЗ    E з , F F F F (6.25) из которых новой статьей являются только затраты, связанные с подачей водяного пара. Эти затраты определяются расходом водяного пара и затратами на его конденсацию. Затраты, связанные с расходом водяного пара: 140 ЭзРВП Z ВП  CВП F F (6.26) где Z ВП − расход водяного пара; СВП − стоимость водяного пара. Если известно необходимое парциальное давление паров углеводородов Pу , то расход пара можно найти в соответствии с законом Рауля-Дальтона: Pу  P  y где (6.27) y − мольная доля углеводородов в смеси пар - углеводороды; P − общее давление в нижней части колонны: P  P0  P  N TT  (6.28) где P0 − давление в верхней части колонны. Мольную долю можно найти из известного выражения: F (  e) M y F (  e) Z ВП  M M ВП (6.29) где M , M ВП  18 − молекулярный вес углеводородов и водяного пара соответственно, тогда: y 1 Z ВП  M 1 18F (  e) (6.30) 141 Подставляя (6.28) и (6.30) в (6.27)и решая относительно Z ВП , получим: Z ВП  18F (  e)  1  P  NTT   P     1  M P     у (6.31) Подставив (6.31) в (6.26) получим: ЭзРВП 18(  e)  1  P  N TT    P     1  F M P     у (6.32) Водяной пар после колонны конденсируется в водяных или воздушных конденсаторах. Затраты на конденсацию водяного пара определяются расходом воды или другого теплоносителя: ЭзКВП Z T  CB F F (6.33) где Z T − расход теплоносителя; C B − стоимость хладагента. Расход теплоносителя определяется следующим образом: Z B  t B  CT  Z ВП  r (6.34) где CT − теплоемкость теплоносителя. Откуда ZB  Z ВП  r t B  CT Подставив (6.35) в (6.33), получим: 142 (6.35) ЭзКВП Z ВП  r  CB F F  t B  CT (6.36) Суммарные затраты, связанные с подачей водяного пара будут: ЭзВП ЭзРВП ЭзКВП   F F F (6.37) Используя (6.31), (6.32), (6.36) и (6.37), получим ЭзВП 18(  e)  1  P  N TT   r  CB   P   1 C      F M    ВП t B  CT  Pу     (6.38) 6.9.3. Абсорбция На рис. 6.11 показана схема движения потоков в абсорбере. Рассматривая состав приведенных затрат можно показать, что от конструкции контактных устройств зависят только три статьи расхода: Эзс Эзп K ПрЗ   E з F F F (6.39) где Эзп − эксплуатационные затраты, связанные с подачей поглотителя. Если используется газодувка или вентилятор, то Эзс N вент  Cэл F F N вент  V  Pапп н  F  Г н  (6.40) N TT  P (6.41) 143 где V − секундный объем. Р и с. 6.11. Схема потоков в абсорбере Тогда, можно записать: Эзс N TT  P  Сэл F   н   Г (6.42) При использовании компрессора: Эзс N k  Cэл F F Nk  144 N из К (6.43) (6.44) N из  P1V1 ln P2 P1 (6.45) где P1 − давление на входе в компрессор; P2 − давление на выходе из компрессора; V1 − объем газа при давлении P1 и температуре T1 . V1  P2  P0  F Г P  N TT  , тогда Эзс P1  ln F  Г  К P0  P  N TT  P1 Cэл (6.46) 145 ГЛАВА 7 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ В данной главе предлагаются задачи, которые помогут закрепить изучаемый курс. Прежде чем приступить к решению задачи, необходимо ознакомиться с соответствующим разделом курса и разобраться в сущности изложенного вопроса. Решение каждой задачи следует сопровождать необходимыми пояснениями. Для всех используемых расчетных формул должны быть даны значения входящих в них физических величин с указанием размерности. По выполненным контрольным работам студент отчитывается перед преподавателем, и только после того как они будут зачтены, он допускается к сдаче теоретического зачета (экзамена) по курсу. Условия задач для всех студентов одинаковы, а данные для решения необходимо каждому студенту выбрать по последней цифре номера зачетной книжки или студенческого билета. Задача № 1. Из листа жести с размерами «а» и «b» изготовить открытую сверху коробку наибольшей вместимости, вырезая по углам квадраты и загибая оставшиеся кромки (рис. 7.1 и табл. 7.1). Р и с. 7.1. Схема развертки открытого короба 146 Таблица 7.1 Последняя цифра номера зачетной книжки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 а, м b, м 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 0,60 0,80 1,00 0,40 0,50 0,50 0,60 0,40 0,60 1,00 0,80 1,00 0,70 Задача № 2. Найти оптимальный радиус цилиндра и высоту для цилиндрической емкости с двумя плоскими крышками заданного объема V (рис. 7.2 и табл. 7.2). Таблица 7.2 Последняя цифра номера зачетной книжки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Объем V, м3 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 Задача № 3. Найти оптимальные размеры цилиндрической емкости с коническим днищем по заданному объему V (рис. 7.3 и табл. 7.3). 147 Р и с. 7.2. Схема цилиндрической емкости Таблица 7.3 Последняя цифра номера зачетной книжки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Объем V, м3 2 10 9,5 9,0 8,5 8,0 7,5 7,0 6,5 6,0 5,5 120 110 100 90 100 110 120 110 100 90 Р и с. 7.3. Схема емкости с коническим днищем 148 Задача № 4. Найти оптимальные размеры цилиндрической емкости с выпуклой крышкой и коническим днищем с отбортовкой заданного объема (рис. 7.4 и табл. 7.4). Р и с. 7.4. Схема емкости с коническим днищем с отбортовкой Таблица 7.4 Последняя цифра номера зачетной книжки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Объем V, м3 m k 2 10 9,5 9,0 8,5 8,0 7,5 7,0 6,5 6,0 5,5 1 1,5 2,0 2,5 2,5 2,0 1,5 1,0 2,0 1,0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,20 0,15 0,10 0,05 0,10 0,20 120 110 100 90 80 90 100 110 120 130 149 Задача № 5. Найти оптимальные размеры цилиндрической емкости с двумя стандартными эллиптическими днищами, нагруженной внутренним давлением P , заданного объема V . Коэффициент прочности сварного шва принять равным   1, а прибавку на коррозию с  0,01 м (рис. 7.5 и табл. 7.5). Р и с. 7.5. Схема емкости с эллиптическими днищами Таблица 7.5 Последняя цифра номера зачетной книжки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 150  , Объем V, м3 Давление P , МПа МПа 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 100 120 140 160 180 100 120 140 160 180 Задача № 6. Вывести формулу для нахождения координат центра тяжести по варианту из табл. 7.6. 1. Одинарной пластины в форме: а) равнобедренного треугольника б) кругового сектора; в) кругового сегмента. 2. Однородной оболочки следующей геометрической формы: а) конической; б) полуэллипсоида вращения; в) полусферической. 3. Сплошного однородного тела в виде: а) конуса; б) полушара; в) полуэллипсоида вращения; г) усеченного конуса. Таблица 7.6 Последняя цифра номера зачетной книжки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Вариант задания 1, а 1, б 1, в 2, а 2, б 2, в 3, а 3, б 3, в 3, г Задача № 7. Найти положение центра тяжести оболочки по рис. 7.6 и данным табл. 7.7. 151 S  S1  S2 Р и с. 7.6. Емкость с коническим днищем Таблица 7.7 Последняя цифра номера зачетной книжки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 152 S , мм D , мм 2 , град. H , мм H O , мм 6 8 10 12 6 8 10 8 10 12 1200 1400 1600 1800 1400 1200 1600 1600 1800 2000 30 45 60 75 90 105 120 60 75 90 1000 1000 1200 1200 1400 1400 1200 1200 1000 1000 400 350 400 600 350 400 400 400 600 400 Задача № 8. Найти оптимальное расстояние между опорами горизонтальной цилиндрической емкости для хранения воды с двумя цилиндрическими днищами по данным, представленным в табл. 7.8. Построить развертку цилиндрического днища. Таблица 7.8 Последняя цифра номера зачетной книжки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Полная длина L , м. Диаметр, D , мм Толщина стенки S , мм 12 15 14 10 8 10 12 15 14 12 2400 2600 3000 2800 2400 3000 3200 3600 3000 2400 12 10 8 6 8 10 12 14 8 10 Задача № 9. Гранулированный алюмосиликатный катализатор подается на наклонный желоб для ссыпания в бункер хранения. Необходимо выбрать угол наклона желоба и определить скорость материала на его конце при следующих данных: L  10 м, H  5 м, угол трения покоя   250 . Задача № 10. Подобрать диаметр отстойника при осаждении частиц диаметром 70 мкм, с удельным весом осветленной жидкости   18000 н/м3 в среде с вязкостью с  103 Па∙с. Количество суспензии  с  50 н/с. Концентрация твердой фазы в суспензии X 1  0,15 , концентрация сгущенной суспензии X 2  0,5 . Скорость осаждения суспензии w  1,2 104 м/с. Задача № 11. По исходным данным из таблицы 7.9 для вентилятора массой M со скоростью вращения N , установленного на четырех витых цилиндрических пружинах и имеющего дебаланс вращающихся частей me , подобрать жесткость пружин таким образом, 153 чтобы усилие, передаваемое на основание, было в K раз меньше величины возмущающей силы. Таблица 7.9 Последняя цифра номера зачетной книжки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 154 N , об/мин me , кг∙м K M , кг 1000 1500 1940 2000 2400 2500 2700 1500 2400 3000 0,005 0,008 0,010 0,012 0,014 0,015 0,018 0,020 0,015 0,010 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 2,0 1,5 3,0 2,5 25 20 15 18 22 25 23 28 22 20 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Выготский, М.Я. Справочник по высшей математике / М.Я. Выготский, Государственное издательство технико-теоретической литературы. − Москва, 1956. − 784 с. 2. Яковлева, К.П. Краткий физико-технический справочник / К.П. Яковлева; под общ. ред. К.П. Яковлевой. − Т. 1. Математика. Физика. − Москва: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1960. − 446 с. 3. Канторович, З.Б. Основы расчета химических машин и аппаратов / З.Б. Канторович. − Москва: Машгиз, 1960. − 744 с. 4. ПБ 03-576-03. Правила устройства и безопасной эксплуатации сосудов, работающих под давлением. − М.: Изд-во Омега, 2006. − 275 с. 5. Маньковский, О.Н. Теплообменная аппаратура химических производств / О.Н. Маньковский, А.Р. Толчинский, М.В. Александров. − Ленинград: Химия, 1976. − 368 с. 6. ГОСТ 14249-89. Сосуды и аппараты. Нормы и методы расчета на прочность. − М.: Гос. комитет СССР по стандартам. 1980. − 61 с. 7. Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов / В.И. Феодосьев. − Москва: Наука, 1972. − 544 с. 8. Стариков, В.П. Физико-математические методы в нефтяной технологии: Конспект лекций / В.П. Стариков, Н.Г. Кац. − Ч. I. – Самара: СамГТУ, 2002. − 42 с. 9. Матвеев, В.В. Примеры расчета такелажной оснастки / В.В. Матвеев. − 2-е изд. − Ленинград: Стройиздат, 1974. − 208 с. 10. Канторович, Б.В. Гидравлика, гидравлические и воздуходувные машины / Б.В. Канторович. − Москва: Металлургиздат, 1950. − 540 с. 11. Канторович, Б.В. Машины химической промышленности / Б.В. Канторович. − Москва: Машиностроение, 1965. − 416 с. 12. Машины и аппараты химических производств: Примеры и задачи / Под общ. ред. В.Н. Соколова. − Ленинград: Машиностроение, Ленингр. отд-е. 1982. − 384 с. 155 13. Шаповалов, Ю.Н. Машины и аппараты общехимического назначения: Учеб. пособ. / Ю.Н. Шаповалов, В.С. Шеин. − Воронеж: ВГУ, 1981. − 304 с. 14. Павлов, К.Ф. Примеры и задачи по курсу процессов и аппаратов химической технологии / К.Ф. Павлов, П.Г. Романков, А.А. Носков. – Ленинград: Химия, 1970. − 624 с. 15. Александров, И.А. Ректификационные и абсорбционные аппараты. Методы расчета и основы конструирования / И.А. Александров. – 2-е изд. − Москва: Химия, 1971. − 296 с. 16. Машины и аппараты химических производств / Под ред. И.И. Чернобыльского. − Москва: Машиностроение, 1974. − 456 с. 17. Жужиков, В.А. Фильтрование. Теория и практика разделения суспензий / В.А. Жужиков. – 2-е изд., перераб. − Москва: Химия, 1989. − 412 с. 18. Касаткин, А.Г. Основные процессы и аппараты химической технологии / А.Г. Касаткин. − Москва: Химия, 1973. − 752 с. 19. Циборовский, Я. Основы процессов химической технологии / Я. Циборовский. − Ленинград: Химия, 1967. − 720 с. 20. Стариков, В.П., Кац Н.Г., Григорян Л.Г., Тян В.К. «Физикоматематические методы в нефтяной технологии» - монография / В.П. Стариков, Н.Г. Кац − Самара: СамГТУ - 1, 2010. − 159 с. 156 ПРИЛОЖЕНИЕ 157 Таблица П1 ГЕОМЕТРИЯ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ (V – объем тела; Fб – боковая поверхность; F – полная поверхность) Тело Обозначения Формулы R – радиус основания H – высота V = R2H; Fб = 2RH; F = 2R(H+R) Прямой круговой цилиндр Цилиндр, усеченный непараллельно основанию h1 и h2 – наименьшая и наибольшая образующие; l – длина отрезка, соединяющего центры тяжести оснований О и О; Q и P – площадь и периметр сечения, перпендикулярного отрезку ОО Прямой круговой цилиндр, усеченный непараллельно основанию R – радиус основания; h1 и h2 – наименьшая и наибольшая образующие V = Ql; Fб = 0,5 P (h1 + h2) 1 V  R 2 (h1  h2 ); 2 Fб  R(h1  h2 ); F  R[h1  h2  R   R2  ( h2  h1 2 ) ] 2 Полый цилиндр (цилиндрическая труба) R – наружный радиус; r – внутренний радиус; H – высота;  = R-r – толщина стенки 158 V =  H (R2-r2)= =  H  (2R-) =  H  (2r+) Fб = 2  H (R + r) F = 2  (R + r) (H + R-r) Продолжение табл. П1 Тело Обозначения Формулы Прямой круговой конус R – радиус основания; Н – высота; l  R H 2 Усеченный прямой круговой конус 2 – образующая R и r – радиусы оснований; h – высота; l – образующая: 1 V  R 2 H ; 3 Fб  R R 2  H 2  Rl ; F  R( R  l ) V h ( R 2  r 2  Rr ); 3 Fб  l ( R  r ); l  h  (R  r) ; Н – высота неусеченного конуса: F   R 2  r 2  l(R  r) R – наружный радиус; r – внутренний радиус; D – наружный диаметр; d – внутренний диаметр 4 V   (R3  r 3 )  3 1   ( D 3  d 3 ); 6 F  4 ( R 2  r 2 )  2 2   Полый шар   (D 2  d 2 ) Шаровой сегмент h – высота сегмента; R – радиус шара; а – радиус основания сегмента: a  h(2R  h) 1 V  h(3a 2  h 2 )  6 1  h 2 (3R  h ); 3 Fб  2Rh   (a 2  h 2 ); F   ( 2a 2  h 2 )    (a 2  2 Rh ) 159 Продолжение табл. П1 Тело Обозначения Формулы h – высота слоя; a и b – радиусы оснований (а  b); R – радиус шара 1 V  h(3a 2  3b 2  h 2 ); 6 Fб  2Rh; h – высота сегмента; а – радиус основания сегмента; R – радиус шара 2 V  R 2 h; 3 F  R(a  2h) Шаровой слой F   (a 2  b 2  2Rh) 32 Шаровой сектор Тор (цилиндрическое кольцо) r – радиус поперечного сечения; R – расстояние центра поперечного сечения от оси вращения V  2 2 Rr 2 ; F  4 2 Rr Эллипсоид a, b, c – полуоси 160 4 V  abc 3 Окончание табл. П1 Тело Обозначения Формулы Эллипсоид вращения m R (Rh) h 4 4 V  R 2 h  R 3 ; 3 3m F  2R 2 [1  ln( m  m 2  1) m m2  1 ]. "Цилиндрическое копыто" R – радиус;  – угол наклона плоскости сечения 2 3 R tg ; 3 Fб  2R 2 tg V 161 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение………………………………………………………..……… Глава 1. Общие сведения об использовании физикоматематических методов при проектировании оборудования……………………………..….................................. 1.1. Конструктивные особенности и влияние параметров процесса на форму, и размеры оборудорудования………………………………............................................... 1.2. Критерии оптимизации и оптимальное проектирование машин и аппаратов………………………………………….… 1.3. Математические методы получения целевой функции и поиска оптимального варианта………………………….…… 1.4. Технико-экономический критерий оптимальности…………………………........................................................ Глава 2. Оптимизация геометрических размеров оборудования нефтегазопереработки……………………...…………………. 2.1. Оболочки вращения. Основные понятия и определения 2.2. Определение объемов тел……………..………………… 2.3. Определение поверхности оболочек вращения……...… 2.4. Оптимизация размеров параллелепипеда…………..….. 2.5. Оптимизация размеров сосудов, работающих при атмосферном давлении……………………………………….... 2.6. Геометрия сосудов с торосферическими днищами……………………………………………………................ 2.7. Геометрия сосудов с коническим днищем с плавным переходом…………………………………………………..… 2.8. Задачи оптимизации плоских сечений…………............. 2.9. Уравнение Лапласа…………………………………….... 2.10. Расчет толщины стенок оболочек вращения……….… 2.11. Расчет оптимальных размеров емкости, работающей под действием внутреннего давления………………………. Глава 3. Определение нагрузок от массы аппаратов…………...…………………………………………………………. 3.1. Статические моменты пластины…………………............ 3.2. Нахождение центров тяжести оболочек вращения………………………………………………………..……... 3.3. Нахождение центров тяжести пространственных тел………………………………………..................................... 162 5 6 6 7 12 14 16 16 18 24 27 29 32 34 35 37 39 42 46 46 50 54 3.4. Определение усилий при монтаже оборудования….. 56 3.5. Расчет усилий при подъеме несимметричного оборудования…………………………………………………... 62 3.6. Оптимальное расположение опор горизонтальных аппаратов……………………………………………........... 64 67 Глава 4. Решение задач с элементами движения…………… 4.1. Движение тела, брошенного под углом к горизонту…………………………..................................................... 67 4.2. Истечение жидкости из отверстия в тонкой стенке…………………………………......................................... 69 4.3. Траектория низконапорной струи………………..….. 70 4.4. Движение материала в барабане при его вращении.. 71 4.5. Движение точки по барабану…………………….….. 73 4.6. Скорость скольжения материала по желобу............... 77 4.7. Осаждение под действием сил тяжести…………..…. 78 4.8. Общие рекомендации к выбору аппарата для разделения суспензий………………………………………….... 78 Глава 5. Колебания и виброизоляция. Основные определения теории колебаний…………………………………..…… 80 5.1. Свободные колебания системы с одной степенью свободы без затухания………………………………...…. 81 5.2. Свободные колебания системы с одной степенью свободы с затуханием…………………............................. 83 5.3. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы без затухания…………………………..….. 83 5.4. Вынужденные колебания системы с затуханием одной степенью свободы …………………..................... 85 5.5. Критическая скорость вала……………………...….. 89 5.6. Определение критических скоростей вала с одним диском……………………………………….…………..... 91 5.7. Динамика центрифуг и сепараторов……………..… 92 5.8. Определение колебательных движений вибромельниц………………………………………………….... 99 Глава 6. Примеры решения некоторых практических задач…………………………………………………………..…….. 102 163 6.1. Определение частоты вращения барабанной мельницы………………………................................................. 6.2. Оптимизация работы щековой дробилки по числу качаний подвижной щеки…………….............................. 6.3. Расчет оросительного стакана……………..….......... 6.4. Определение геометрических размеров камеры осаждения пыли………….…………………………...….. 6.5. Определение основных характеристик отстойника. 6.6. Оптимальная производительность периодически действующих фильтров при постоянной разности давлений……………………………….................................... 6.7. Практическое применение теории колебаний ……. 6.8. Оптимизация геометрических размеров реактора с неподвижным слоем катализатора и рециркуляцией потока………………………………………………...…… 6.9. Принципы сравнения и оценки техникоэкономической эффективности контактных массообменных устройств аппаратов……………………………. 6.9.1. Ректификация под давлением без подачи водяного пара……………………………………………….. 6.9.2. Ректификация с подачей пара в низ колонны. 6.9.3. Абсорбция……………………………………... Глава 7. Задачи для самостоятельного решения…………… БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК……..…………...……. ПРИЛОЖЕНИЕ……………………………………………..….. 164 102 104 106 109 110 112 118 120 122 128 124 129 136 140 143 152 154 Практикум КАЦ Николай Григорьевич КОНЫГИН Сергей Борисович Использование физико-математических методов при проектировании оборудования нефтегазопереработки Редактор Е.С. Захарова Верстка Е.Э. Парсаданян Выпускающий редактор Н.В. Беганова Подписано в печать 20.03.2015 Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Усл. п.л. 9,3. Тираж 50 экз. Рег. № Заказ № ______________________________________________________________________ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарского государственного технического университета» 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244, главный корпус Отпечатано в типографии Самарского государственного технического университета 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244, корпус № 8 165