Физика. Волновая и квантовая оптика. Строение атома. Молекулярная физика и термодинамика

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» Кафедра «Физика» С.М. Кокин, В.А. Никитенко ФИЗИКА Часть II КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ Москва – 2013 ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» Кафедра «Физика» С.М. Кокин, В.А. Никитенко ФИЗИКА Часть II Рекомендовано редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия для студентов специальностей и направлений ИУИТ, ИТТСУ, ИПСС, ИЭФ, вечернего факультета Москва – 2013 1 УДК 530.1 (076) К-55 Кокин С.М., Никитенко В.А. Физика. Часть II: Конспект лекций. – М.: МИИТ, 2013. – 178 с. Учебное пособие представляет собой конспект лекций по общей физике, включающий разделы: «Колебания», «Волны», «Волновая и квантовая оптика», «Строение атома», «Молекулярная физика и термодинамика». В основу конспекта положен материал лекций, которые авторы читают в МИИТе для студентов ИУИТ и ИТТСУ. Учебное пособие предназначено для студентов специальностей и направлений ИУИТ, ИТТСУ, ИПСС, ИЭФ, вечернего факультета. Рецензенты: – зав. кафедрой физики МГАКХиС профессор Жачкин В.А. – зав. кафедрой физики и химии РОАТ МИИТ проф. Шулиманова З.Л. © МИИТ, 2013 2 Предисловие Настоящее пособие является второй частью конспекта лекций по курсу общей физики, разрабатываемого проф. Кокиным С.М. и проф. Никитенко В.А. для информационных и связанных с электричеством специальностей и направлений университета. Часть III (Никитенко В.А., Кокин С.М. «Физика. Конспект лекций», разделы «Квантовая механика», «Элементы статистической физики», «Физические основы твердотельной микроэлектроники», «Ядерная физика. Элементарные частицы») вышла в 2007 г., часть I (Кокин С.М. «Физика. Конспект лекций», разделы «Механика», «Электростатика», «Постоянный электрический ток», «Магнетизм») появилась в 2010 г. и, наконец, часть II (2013 г.) замыкает логическую цепочку курса, представляя такие разделы, как «Колебания», «Волны», «Волновая и квантовая оптика», «Строение атома», «Молекулярная физика и термодинамика». За время создания конспекта на смену рабочим программам 2-го поколения по физике пришли программы 3-го поколения ФГОС с сокращёнными объёмом часов и содержанием курса, появился бакалавриат. Всё это привело к существенному пересмотру содержания лекций, сделав их более ёмкими, освободив от излишних деталей и выводов. Главным критерием стали простота и наглядность, чёткая логика курса, умение рассказать простым языком о сложном. Конспект не является самодостаточным изданием, он не заменит «живого» общения с лектором и восприятия лекций на слух, но поможет сэкономить время на лекциях при записи основных идей курса, при создании графиков, рисунков и т. д. Для освоения курса, конечно, необходимо посещать сами лекции с их многочисленными лекционными демонстрациями и мультимедийными приложениями, прорабатывать рекомендованную учебную литературу, а также контрольные задания и вопросы (изложенные в конце каждой лекции). Если говорить шире – полезно знакомиться с достижениями современной науки по научно-популярной литературе, журналам, интернет – публикациям, по библиотеке и фильмотеке Дома физики МИИТ. Отдавая себе отчёт в том, что первое издание конспекта лекций не лишено недостатков, авторы с благодарностью примут все пожелания и замечания. Просим направлять их по адресу: 127994, г. Москва, ул. Образцова, д. 9, стр. 9, МИИТ, кафедра «Физика» или fizikamiit@mail.ru. Авторы 3 Лекция № 1 КОЛЕБАНИЯ. ЧАСТЬ I 1.1 Определения Колебания – движения или процессы, повторяющиеся во времени. Если одно и то же состояние системы повторяется через равные промежутки времени, то такие колебания называются периодическими. Свободные (или собственные) – это гармонические периодические колебания, совершающиеся за счёт первоначально сообщённой энергии при отсутствии внешних воздействий. В реальных условиях свободные колебания всегда затухающие. Гармоническими называются колебания, при которых физическая (или любая другая) величина x меняется со временем t по закону косинуса (или синуса): x  Acos(0t  0), (1.1) где A – амплитуда колебаний – модуль максимального значения x, 0 – круговая (циклическая) частота колебаний, (0t  0) – фаза колебаний, 0 – начальная фаза колебаний (фаза в момент времени t  0). Период колебаний – время T0, за которое совершается одно колебание; тогда 0  2/T0 и измеряется в рад/с. Линейная частота 0  1/T0  0/2, измеряется в герцах: 1 Гц  1 с1. Примеры графиков негармонических периодических (а) и гармонических (б) колебаний приведены на рис. 1.1. x A T0 T0 A x A t T0 A а) Рис. 1.1 4 t б) Примечание 1 Гармонические колебания, например, вида S  Acos(0t  0)  можно отображать с помощью проекций вектора A , вращающегося на плоскости с постоянной угловой скоростью 0 (см. рис. 1.2). В процессе вращения проY екция этого вектора на ось OX совершает гармонические коле  A бания: AY AX  Acos(0t  0); 0t аналогичным образом меняется 0    проекция вектора A и на ось OY: X  A X AY  Asin(0t  0). Описание гармонического колебания в виде проекций вращающегося вектора широко используРис. 1.2 ется на практике для анализа результатов сложения нескольких колебаний и носит название метода векторных диаграмм. Примечание 2 При исследовании поведения реальных технических систем применяется метод, предложенный Фурье, следуя которому периодический процесс любой сложности представляется в виде совокупности гармонических колебаний, каждое из которых можно рассматривать независимо от других и описывать приведёнными выше формулами. Такие колебания называются модами. 1.2 Примеры гармонических колебаний Далее мы рассмотрим несколько систем, в которых наблюдаются гармонические колебания и убедимся в том, что, несмотря на их различия, процессы, происходящие в них, описываются одинаковыми математическими зависимостями. 5 Пружинный маятник – груз мас- Математический маятник –  точечный груз, подсой m, закреплённый на невесомой, M mg вешенный на невесоабсолютно упругой пружине с мой нерастяжимой жёсткостью k и совершающий  нити и совершающий колебания около положения равl колебания под дейновесия под действием упругой  ствием силы тяжести: силы F  kx: рис. 1.3а. T рис. 1.3б.   Исходное уравнение – X  F  a m основной закон ди A 0 x A mg  намики вращательk ного движения: Рис. 1.3а    Рис. 1.3б M mg  M T = I  . Исходное уравнение – второй за- ( M – момент силы тяжести mg , mg  кон Ньютона, согласно которому:  M T – момент силы T ). kx  ma,   , Так как M T  0,    или (так как a  x ), kx  m x .   Приведём полученное дифферен- Mmg  mglsin, M mg   , и циальное уравнение к каноничедля малых углов sin   , то  . А поскольку I  ml2, k mgl  I скому виду: x  x  0, или m   получаем:  x  02x  0. (1.2) Решение уравнения: x  Acos(0t  0), k где 0  m , или Т0  2 m .   0, или l   02  0.  (1.2) Решение уравнения:   Acos(0t  0), где 0  k g g l , или Т0  2 l g Для шарика можно найти: (формула Гюйгенса). скорость   x  A0sin(0t  0); Пользуясь определениями, мож2 ускорение a  x  A0 cos(0t  0); но найти угловую скорость  и импульс p  m  A0msin(0t  0); угловое ускорение   , момент кинетическую энергию: импульса маятника L I  и его 2 2 2 2 m m 0 sin (0t   0 ) кинетическую энергию W   К 2 2 WК  потенциальную энергию: WП  kx 2 2  k cos (0t   0 ) 2  2 2 . Заметим: период колебаний математического маятника не зависит от его массы! 2 . 2 6 Физический маятник Идеализированный колебатель– твёрдое тело, совер- ный контур – состоит из конденшающее колебания под сатора с электроёмкостью С и катушки с индукd действием силы тяже сти относительно оси,  1  2 I тивностью L (сопЦ не проходящей через ротивление цепи R C K  0), рис. 1.3г. его центр тяжести: (Ц L на рис. 1.3в). Исходное уравнение  mg Исходное уравнение – EСИ – закон Ома: Рис. 1.3в основной закон дина- Рис. 1.3г IR   2   1  EСИ, мики вращательного    где I – сила тока в движения: M mg  M N = I  . цепи,    – разность потенциа2 1    ( M mg – момент силы mg , M N – мо- лов, EСИ – э.д.с. самоиндукции).  Так как EСИ   L I , I  q , I  q , мент силы реакции опоры N ).   , Так как M N  0,    С  q/( 1   2), и в контуре R  0,  q Mmg  mgdsin, причём M mg  получаем: 0    L q .  C  , и для малых углов sin   , то: Приведём уравнение к канони . mgd  I   N Приведём уравнение к канониче- ческому виду: q    скому виду:  I 1 q  0, или LC   0, или q  02 q  0. mgd (1.2) (1.2) Решение уравнения: q  Acos(0t  0), 1 , или Т0  2 LC Решение уравнения:   Acos(0t  0), где 0    02  0.  LC где 0  I mgd , или Т0  2 mgd . I (формула Томсона); A  qмакс Сила тока I  q  A0sin(0t  0); напряжение на конденсаторе Здесь d – расстояние от центра тяжести маятника до точки подвеса. A Замечание 1: Так как момент инер- U  ( 1   2)  C cos(0t  0), ции I  m, то период колебаний T0 2 2 2 A cos (0t   0 ) q его энергия WЭ   , от массы маятника не зависит. 2C 2C Замечание 2: Для вычисления I относительно оси, проходящей энергия магнитного поля катушки 2 2 2 LI L0 sin (0t   0 ) через точку подвеса, можно исWМ   . пользовать теорему Штейнера. 2 2 7 1.3 Графическое отображение получаемых результатов Пружинный маятник (при 0  0) x T0 A Колебательный контур (при  0 0) q T0 A  qМАКС A t t A A Зависимость координаты x шарика Зависимость заряда q конденсатора от времени t: x  Acos(0t  0) от времени t: q  Acos(0t  0) I T0 I  A0sin(0t  0)  T0 A0 A0 t t A0 A0 Зависимость скорости  шарика от Зависимость силы тока I в катушке времени t:   A0sin(0t  0) индуктивности от времени t a T0 U T0 U  (A/C)cos(0t0) A A02 t t A02 A Зависимость ускорения a шарика от Зависимость напряжения U 2 времени t: a  A0 cos(0t  0) на конденсаторе от времени t WЭ WЭ  [A2cos2(0t  0)]/2С WП WП  [kA2cos2(0t  0)]/2 2 2 A /2С kA /2 t t Зависимость энергии WЭ Зависимость потенциальной конденсатора от времени t энергии WП пружины от времени t WК WК  [mA202sin2(0t  0)]/2 WМ WМ  [LA202sin2(0t  0)]/2 2 2 2 2 mA 0 /2 LA 0 /2 t Зависимость кинетической энергии WК шарика от времени t t Зависимость энергии WМ катушки индуктивности от времени t 2 2 2 2 Так как 02  k/m, то kA2/2  mA202/2 Так как 0  1/LC, то A /2C  LA 0 /2 W, E WЭ WМ W, E WП WК 2 2 E mA202/2 E LA 0 /2 t t Полная энергия маятника E  WП  WК Полная энергия контура E  WЭ  WМ со временем не меняется со временем не меняется 8 Контрольные задания и вопросы 1. Дайте определение колебаний. Какие колебания называются периодическими, гармоническими, собственными? 2. Запишите уравнение гармонических колебаний. Сформулируйте определение амплитуды и фазы колебаний. 3. Выведите дифференциальное уравнение для свободных колебаний. 4. В чём заключается смысл метода векторных диаграмм? 5. Что называется пружинным маятником? Выведите формулу для расчёта периода его колебаний. 6. Что называется математическим маятником? Выведите формулу для расчёта периода его колебаний. 7. Что называется физическим маятником? Выведите формулу для расчёта периода его колебаний. 8. Какая электрическая цепь является идеализированным колебательным контуром? Выведите формулу для расчёта периода колебаний в этом контуре. 9. На примере пружинного маятника (и колебательного контура) дайте графическое отображение зависимости координаты (заряда, напряжения на конденсаторе), скорости (силы тока), ускорения, кинетической энергии (энергии магнитного поля катушки индуктивности), потенциальной энергии (энергии заряженного конденсатора) и полной энергии системы от времени протекания колебательного процесса. 9 Лекция № 2 КОЛЕБАНИЯ. ЧАСТЬ II 2.1 Затухающие колебания Учтём теперь то, что в реальной системе всегда имеют место силы трения, сопротивления. Наличие таких сил отражается введением добавочных слагаемых в исходные формулы, описывающей поведение системы со временем (то есть в уравнения второго закона Ньютона, основного закона динамики вращательного движения, закона Ома). При небольших скоростях величина сил трения, сопротивления пропорциональна скорости движения тела: |FТР|  | |, или |FТР|  | x |, поэтому, с учётом того, что векторы скорости и силы сопротивления направлены в противоположные стороны, можно записать: FТР  r x , где r – коэффициент сопротивления. Уравнение второго закона Ньютона для пружинного маятника: kx r x  m x . (2.1) Приведём данное дифференциальное уравнение к каноничеk r k r скому виду: x  x  0, и, обозначив  , 0  , x  m 2m m m получим: x  2 x  02x  0. (2.2) Множитель  называется коэффициентом затухания; []  c1. Рассмотрим теперь электрический колебательный контур (рис.2.1). Запишем для него формулу закона Ома и учтём, что в реальности сопротивлением R его элементов пренебречь нельзя: IR  2  1  EСИ, но EСИ   L I , I  q , I  q , С  q/(1  2), причём  1   2  U, следовательно, 1  2 q I (2.3) q R    L q . C C R K Приведём данное дифференциальное уравнеL R 1 q  ние к каноническому виду: q  q0 EСИ LC L Рис. 2.1 10 R и, введя обозначения  , 0  2L 1 , запишем окончательно: LC q  2 q  02 q  0. (2.4) Уравнения (2.2) и (2.4) идентичны, поэтому и их решение должно описываться одинаковыми формулами. Однако сам вид этих формул зависит от того, какой из параметров, входящих в уравнения, больше: 0 или . Затухающие колебания (случай 0  ) Решение уравнения вида (2.2) в этом случае можно записать так: x  A0et cos(t  ); (2.5) здесь использовано обозначение   0  2 . Формула (2.5) описывает процесс, который называется затухающими колебаниями. Амплитуда этих колебаний A  A0et уменьшается со временем тем быстрее, чем больше коэффициент затухания . Циклическая частота этих колебаний меньше, чем она была бы в отсутствие сопротивления (  0), а период – 2 больше: T  2   T0  2  . Графики свободных незатухаA0cos(0t  0) ющих и затухаюA0et щих колебаний A0cos0 приведены на t A0etcos(t  0) рис.2.2. Переменная x может явA0 ляться координаРис. 2.2 той пружинного маятника – см. уравнение (2.2), а может – зарядом конденсатора, см. уравнение (2.4) или (так как U  q/C) – напряжением на нём. x A0 T0 T Параметры, характеризующие затухающие колебания:  – коэффициент затухания, []  c1; 11   1/ – время релаксации (за которое амплитуда уменьшается в e раз);  A(t ) A(t  T ) – декремент затухания (или   A0 e A0 e  t  t T )  A0 eT );   ln – логарифмический декремент затухания (очевидно, что   T). Постепенное уменьшение амплитуды обусловлено постепенной потерей (диссипацией) энергии. Для количественного описания подобных потерь используется энергетическую характеристику Q, которая называется добротностью колебательной системы. По определению добротностью называется домноженное на 2 отношение энергии, запасённой системой в некоторый момент времени, к энергии, теряемой за следующий период колебаний: Q  2 E (t ) E ( t )  E (t  T ) . (2.6) Пусть, например, в колебательном контуре в некоторый момент времени заряд конденсатора максимален, q(t)  A0et (при этом ток в катушке индуктивности I  0), тогда энергия системы E(t)  WЭ макс(t)  q(t)2/(2C)  A02 e2t/(2C). Через период энергия, запасённая в контуре, становится меньше: E(t  T)  WЭ макс(t  T)  q(t  T)2/(2C)  A02 e2(tT)/(2C), тогда: Q  2 2 2 t E (t ) E ( t )  E (t  T ) A0 e  2 2  2 t A0 e 2  2 ( t  T )  A0 e  2 1 1 e  2 T . При малом затухании (2T  1) можно записать: e2T  1  2T, или Q     Τ  0 2 . (2.7) На практике коэффициент затухания часто мал, 2T  1, и формула (2.7) хорошо описывает связь между добротностью Q и логарифмическим декрементом затухания . Заметим: и Q, и  размерности не имеют. 12 Апериодический процесс (случай   0) Если   0, решение дифференциального уравнения вида (2.2) записывается следующим образом: x  A0 e (     2  0 ) t 2 x t (    2   2  B0 e , (2.8) где A0 и B0 – константы, значения которых задаются для начального момента времени. Возможные варианты графиков изменения x со временем t изображены на рис. 2.3. )t Условие 0  , когда колебательная система быстрее всего приходит в положение равновесия, называется демпфированием. Примеры демпфирования – движение мягко закрывающейся двери, снабжённой демпферным тормозом-доводчиком, работа амортизаторов автомобиля и т. д. Рис. 2.3 2.2 Вынужденные колебания Реальный колебательный процесс сопровождается потерями энергии, поэтому для его поддержания система должна периодически получать энергию извне, компенсирующую потери. Колебания, происходящие под действием внешней периодически действующей силы, называются вынужденными. В случае механических колебаний учёт действия этой силы сводится к добавке соответствующего слагаемого в формулу второго закона Ньютона; для описания процессов в электрическом колебательном контуре дополнительное слагаемое, соответствующее включению в контур источника с переменной э.д.с., вводится в формулу закона Ома (для неоднородного участка цепи). Поскольку, как мы уже убедились, вид соответствующих дифференциальных уравнений (и их решений) одинаков для самых разных колебательных систем, далее мы будем рассматривать 13 процессы, происходящие лишь в одной из них: в электрическом колебательном контуре. Рассмотрим контур, в который кроме конденсатора с электроёмкостью C, катушки с индуктивностью 1  2 L и резистора с сопротивлением R C K включён источник переменной э.д.с., R  E  E0cost меняющейся по косинусоидальному заL кону E  E0cost (здесь E0 – амплитудEСИ ное значение э.д.с.,  – частота). Схема Рис. 2.4 контура приведена на рис. 2.4. Формула закона Ома теперь имеет вид: IR   2   1  EСИ  E0cost, а с учётом того, что EСИ   L I , I  q , I  q , С  q/(1  2)  q/ U, получаем: q (2.9) q R    L q  E0cost. C Приведём данное дифференциальное уравнение к каноничеE R 1 скому виду: q  q  0 cost, а затем, вновь введя q  L LC L обозначения R 2L  , 0  1 LC , запишем окончательно: q  2 q  02q  E0 cost. (2.10) L Данное уравнение относится к неоднородным (в его правой части стоит не ноль, а некоторое выражение). В теории дифференциальных уравнений показано, что общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения данного неоднородного уравнения. В нашем случае это означает, что решение уравнения (2.10) при 0   можно представить следующим образом: q  A0et cos(t  )  q0cos(t  ), 14 (2.11) где q0  E0 2 L ( 0   )  4  2 tg  , 2 2 2 2 2 0   2 . Первое слагаемое в формуле (2.11) описывает затухающие колебания в контуре, которые со временем прекращаются. Таким образом, после краткого переходного периода первое слагаемое станет практически равным нулю, и заряд на конденсаторе будет изменяться по гармоническому закону q  q0cos(t  ), (2.12) однако колебания теперь будут вынужденными, происходящими с частотой внешней вынуждающей (электродвижущей) силы. Существенно, что амплитуда q0 этих колебаний зависит от частоты  этой силы, а это означает, что при некотором значении  функция q0() может иметь максимум, то есть колебания окажутся особенно сильными. Контрольные задания и вопросы 1. На примере пружинного маятника запишите дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. 2. На примере электрического колебательного контура запишите дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. 3. Проведите аналогию между механическими и электрическими колебательными процессами. 4. Дайте определения основным параметрам, характеризующим затухающие колебания: коэффициенту затухания, декременту затухания, логарифмическому декременту затухания, добротности. 5. Что называется демпфированием? Какое условие должно выполняться для демпфирования? 6. Какой процесс называется апериодическим, и каково условие его возникновения? 7. На примере электрического колебательного контура объясните, как возникают затухающие колебания. Запишите уравнение этих колебаний. 15 Лекция № 3 КОЛЕБАНИЯ. ЧАСТЬ III 3.1 Явление резонанса Резонансом называется явление резкого возрастания амплитуды колебаний под действием внешнего периодической силы. Резонанс по напряжению в колебательном контуре наблюдается, когда амплитуда U0 напряжения на обкладках конденсатора принимает максимальное значение, q E0 U0  0   U0(). (3.1) 2 C LC (   2 ) 2  4 2  2 Очевидно: максимум функции U0() достигается в случае, когда подкоренное выражение y  (02  2)2  4 22 минимально. Для получения условия данного экстремума введём обозначение 2  z, найдём производную yz  2(02  z)  4 2, после чего приравняем её нулю: 2(02  z)  4 2  0. Экстремум имеет место при z  02  2 2, то есть резонанс по напряжению достигается при частоте переменной вынуждающей силы (в нашем случае – электродвижущей), равной U0()  1  0 2  1 E0 3  2  РЕЗ1  0 РЕЗ2  РЕЗ3  2 0  2 2 0  2 2 2  0 2 0  22 . (3.2) Графики зависимости амплитуды U0() напряжения на конденсаторе от частоты внешней вынуждающей силы  представлены на рис. 3.1. Отметим: - чем меньше , тем больше амплитуда колебаний (при   0 U0()  ), кроме того, при   0 РЕЗ  0   РЕЗ2  0 1 LC ; чем меньше , тем больше частота , при которой наблюдается резонанс (при   0 частота РЕЗ1  0); Рис. 3.1 - 16 - при частоте   0 колебаний в системе не происходит, напряжение на конденсаторе постоянно и равно E0; 2 при резонансе   0  22 и, подставив это значение в формулу (3.1), получим, что при резонансе U0  U0макс  - E0 1 . Учитывая, что 0  2 LC 2LC 0   2 сать: U 0 макс E0  0 , для 0   можно запи-  Q, где, согласно формуле (2.7), Q – доброт- 2 ность контура. Резонанс по току в колебательном контуре наблюдается, когда максимального значения достигает амплитуда I0 силы тока в цепи: d [q0cos(t -  )]  I  q0sin(t  )  I0cos(t    ), где dt 2 E0  I0  I0()  E0  2 L ( 0   2 ) 2  4 2  2 . (3.3) 2 L ( 0   2 ) 2 2  4 2 Максимум функции I0 () достигается в случае, когда подкоренное выражение минимально, то есть – когда минимально первое слагаемое. Но оно всегда положительно, и его минимальное значение может быть только нулём. I0() Так мы получаем условие резонанса 1  0 по току:   0. 2  1 3  2 РЕЗ1  0 Рис. 3.2  (3.4) Графики зависимости амплитуды I0() силы тока в контуре от частоты возбуждающей э.д.с.  представлены на рис. 3.2. Отметим: - чем меньше , тем больше амплитуда колебаний (при   0 I0()  ), 17 резонансная частота РЕЗ1 не зависит от коэффициента затухания ; - при частоте   0 колебаний в системе не происходит, сила тока в цепи равна нулю; - - при резонансе I0макс  E0 L 4  2 E0 R . Примечание 1 Очевидно, что в случае механических колебаний формулы (3.1) и (3.2) соответствуют условиям резонанса «по координате». Так, для амплитуды A колеблющегося под действием переменной силы FF0cost пружинного маятника массой m можно записать: F0 A . (3.5) 2 m (0   2 ) 2  4 2  2 Резонанс достигается при   0  22 , где   2 r . 2m Условия (3.3) и (3.4) соответствуют резонансу «по скорости» ( x ), в частности: 0  F0  , (3.6) 2 m (0   2 ) 2  4 2  2 и резонанс происходит при   0. Примечание 2 Отметим некоторые особенности цепи переменного тока, которой является колебательный контур, содержащий последовательно соединённые конденсатор с электроёмкостью C, катушку с индуктивностью L, резистор с сопротивлением R и источник переменной э.д.с. (с частотой ). 1. Используя закон Ома, уравнение (3.3) и то, что 02  1 LC запишем для полного сопротивления цепи: Z  18 , R 2L 2 1   R   L   . C   2 , Если R  0, L  0, то Z  XC  1 – реактивное емкостное C сопротивление (при   0 XC  ). Если R  0, C  , то Z  XL  L – реактивное индуктивное сопротивление (при   0 XL  0). Разность XL  XC  L  1 C – реактивное сопротивление кон- тура. 2. Напряжение на активном сопротивлении (резисторе) меняется   в фазе с током: UR  IR  RI0cos(t    )  URмаксcos(t    ). 2 2 Напряжение на конденсаторе отстаёт по фазе от силы тока на UС  q C  q0 C  2 : cos(t  )  UСмаксcos(t  ). Напряжение на катушке индуктивности на  2 опережает по фазе ток:   I0Lsin(t    )  I0Lcos(t    )  ULмаксcos(t    ). dt 2 3. Связь между значениями напряжения на элементах колебательного контура может быть отображена с помощью векторной диаграммы (рис. 3.3). В момент времени t1 когда t1    0, U1  ZI1  Uмаксcos t1. Из рисунка, в частноUR сти, следует, что URмакс  RIмакс Uмакс  ZIмакс R UR tg   , UL  L dI MAKC  ULмакс  LIмакс UCмакс  Iмакс UCмакс  ULмакс U Рис. 3.3 19 1 C U CMAKC  U LMAKC 1 C  L что соответствует формуле (2.11). 3.2 Автоколебания В автоколебательных системах колебательные движения возникают и поддерживаются за счёт постоянного, не меняющего свои параметры со временем источника энергии. Колебательная система сама управляет П K внешним воздействием, периодический харакE тер носит процесс управления. Пример подобной системы дан на рис. 3.4. Металлический груз Г подвешивают на проГ водящей пружине П так, чтобы он касался поверхности проводящей жидкости – электролита Э Э (например, подсоленной воды). К системе Рис. 3.4 подключают источник постоянной э.д.с. E: один из электродов погружается в электролит, другой подсоединяется к пружине. При замыкании ключа K в цепи возникает электрический ток, витки пружины (по ним токи идут в одну сторону) начинают притягиваться друг к другу: груз поднимается, перестаёт касаться электролита, и цепь разрывается. Разрыв цепи означает исчезновение тока, витки перестают притягиваться, но тогда груз снова опускается в электролит: цепь восстанавливается и в ней вновь возникает электрический ток. Процесс носит периодический характер, колебаниями груза управляет сама система. Контрольные задания и вопросы 1. Что называется резонансом? Приведите примеры. 2. Начертите графики резонанса по напряжению и резонанса по току. Что общего между графиками и в чём состоит отличие? 3. Сравните резонансные кривые механических и электрических колебательных систем. 4. Запишите выражение для полного электрического сопротивления колебательного контура и продемонстрируйте, что оно действительно измеряется в омах. 5. Постройте векторные диаграммы, поясняющие процессы, протекающие в колебательном контуре. 6. Что называется автоколебаниями? Приведите примеры. 20 Лекция № 4 КОЛЕБАНИЯ. ЧАСТЬ IV 4.1 Сложение колебаний, происходящих в одном направлении Рассмотрим ситуацию, когда тело одновременно участвует в двух гармонических колебаниях, происходящих вдоль оси X (пример – шарик на тележке, рис. 4.1), одно (шарика относительно тележки) описывается уравнением x1  A1cos(1t  1), а второе (тележки относительно земли) – X уравнением x2  A2cos(2t  2). РезульРис. 4.1 тирующее движение шарика относительно земли будет периодическим, но в общем случае соответствующую формулу временнòй зависимости смещения шарика от положения равновесия x(t) записать не так легко. Однако можно выделить несколько частных случаев, когда результат сложения колебаний представляется достаточно просто. a) Сложение колебаний одинаковой частоты (1  2  ): x1  A1cos(t  1), x2  A2cos(t  2).  t 0  A2 2  A  A1  2  1 Результат сложения этих колебаний – также гармоническое колебание, происходящее с той же частотой , амплитудой A и начальной фазой : x  x1  x2  Acos(t  ). 1 x1 x2 X x Рис. 4.2 A 2 Значения A и  можно получить, пользуясь методом векторных диаграмм (см. рис. 4.2). Из рисунка следует: 2 A1  A2  2 A1 A2cos( 2  1 ) , tg  A1sin1  A2 sin 2 A1cos1  A2cos 2 21 . (4.1) (4.2) Если 2  1  2m (здесь m – целое неотрицательное число), то амплитуды колебаний складываются: A  A1  A2 (колебания синфазны). Если 2  1  (2m  1), амплитуды вычитаются: A  |A1  A2| (колебания совершаются в противофазе). В частном случае при A1  A2 тело покоится, A  0. b) Сложение колебаний с сильно различающимися частотами (1  2) Результат сложения таких колебаний поясняется рисунком 4.3. В подобных случаях говорят о том, что колебание с частотой 2 модулировано колебанием с частотой 1. x Результирующий процесс x(t) t x1  A1cos(1t  1) x2  A2cos(2t  2) Рис. 4.3 c) Сложение колебаний с близкими частотами (1  2). Биения Пусть складываются два колебания вида x1  Acos(t), и x2  Acos[(  )t)], где   . Для простоты считаем, что амплитуды колебаний одинаковы, и начальные фазы равны нулю. Тогда для результирующего процесса можно записать:   x  x1  x2  Acos(t)  Acos[(  )t)]  2Acos t cos[(  )t], 2 2  или, поскольку    и, тем более,   /2, получаем:    , 2 22 x  2Acos  (4.3) t cos(t)  A*(t) cos(t). 2 Таким образом, результат сложения гармонических колебаний, происходящих в одном направлении с близкими частотами, можно рассматривать, как гармоническое же колебание, амплитуда которого сама меняется со временем по закону косинуса (синуса): см. рис. 4.4. Данный процесс называется биениями. Биения x(t)  A*(t) sin(t) x 2A t 2A A*(t)  2Acos  t 2 Рис. 4.4 4.2 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний 4.2.1 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с равными частотами X Y Рис. 4.5 Рассмотрим ситуацию, когда тело одновременно участвует в двух гармонических колебаниях, одно из которых происходит вдоль оси X, а другое вдоль оси Y (пример – шарик на тележке, вид сверху показан на рис.4.5). Одно колебание (шарика относительно тележки) описывается уравнением x  Acos(t  1), а второе (тележки относительно земли) – урав- нением y  Bcos(t  2). Результирующее движение шарика относительно земли будет периодическим, но в общем случае соответствующая формула 23 временнòй зависимости смещения шарика от положения равновесия x(t) записать не так просто. Однако можно выделить несколько частных случаев, когда результат сложения колебаний представляется достаточно легко. a) Разность начальных фаз колебаний 2  1  2m (m – целое число) x  Acos(t  1), y  Bcos(t  2), причём (по условию) 2  1  2m. Это означает: y  Bcos(t  1  2m)  Bcos(t  1), или B y  x. (4.4) A Формула показывает: траектория шарика является отрезком прямой линии; координата x меняется в пределах от A до A, а координата y – в пределах от B до B. (см. рис. 4.6а). b) Разность начальных фаз колебаний 2  1  (2m  1) x  Acos(t  1), y  Bcos(t  2)  Bcos(t  1    2m)  Bcos(t  1), или B y   x. (4.5) A Траекторией шарика и в этом случае является отрезок прямой линии, однако в системе координат XY он проходит не через первый и третий, а через второй и четвёртый квадранты (рис. 4.6б). Y B A B Y B A A X а) B б) Рис. 4.6 24 A X c) Разность начальных фаз колебаний 2  1   или cos(t  1)  x , x  Aсos(t  1) A y  Bcos(t  2)  Bcos(t  1  или sin(t  1)  y а 2 (2m  1) 2 2 а cos2(t  1)  x 2 , A )  Bsin(t  1), sin2(t  1)  y2 . B B2 Поскольку sin2(t  1)  cos2(t  1)  1, уравнение траектории шарика приобретает вид: x2 y2 Y   1. (4.6) B 2 A2 B2 A ,   Это – каноническое уравнение эллипса (при A  B – окружности), рис. 4.7. 1 A X B Если 1  0, 2  Рис. 4.7  , то x  Acos(t), y 2  Bsin(t). В момент времени t  0 x  A, y  0 (точка 1 на рис 4.7). Через четверть 2 периода (t  T , где T  ) x  Acos( 1 2 )  Acos   0, зато  4 2 4   y  Bsin( )  B (точка 2 на рис. 4.7), то есть движение шарика 2 происходит против часовой стрелки (от точки 1 к точке 2 и далее). Аналогично можно показать, что при 2 1    движение осуществляется в направлении по часовой стрелке. 2 Примечание 1 Если 2  1      m, траекторией является эллипс, оси 2 которого повёрнуты относительно осей X и Y на некоторый угол. Каноническое уравнение такого эллипса имеет вид: x2 A 2  y2 B 2  2 xycos(  AB 25  sin2(). (4.6) Примечание 2 Если частоты колебаний неодинаковы, но близки (2  1  ), уравнения колебаний можно записать в виде x  Acos(1t  1), y  Bcos(2t  2)  Bcos(1t  2  t)  Bcos[1t  2*(t)]. В этом случае разность 2*  1 оказывается зависящей от времени и принимает все возможные значения, а траектория движения непрерывно меняется, превращаясь то в отрезок, то – в эллипс и обратно. Данный процесс удобно наблюдать на экране осциллографа, подавая на пластины, отклоняющие электронный луч по вертикали и горизонтали напряжение с близкими частотами. 4.2.2 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с кратными частотами В этом случае траекторией будет замкнутая линия, число самопересечений которой зависит от отношения частот 1 : 2. Соответствующие кри3     0          вые называются фи4 2 4 гурами Лиссажу. Реальный вид фигур 1 : 2  1  1 зависит от соотношения амплитуд, 1 : 2  1 2 частот и разности фаз складываемых 1 : 2  1  3 колебаний. Примеры некоторых из 1 : 2  2  3 таких фигур приведены на рис. 4.8. 1 : 2  3  4 Если отношение частот не является Рис. 4.8 целым числом, форма фигур непрерывно меняется. Этот процесс соответствует изменению со временем разности фаз (t)  2*  1. 26 Примечание 3 В заключение раздела «Колебания» напомним основные соотношения, используемые при решении задач по данной теме. КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ 1 R k q0 x  x  0 дифференциальное q 2 q  r дифференциальное x 2 2m m уравнение 2 или x 2 x 0 x  0 смещение масса коэффициент сопротивления коэффициент жёсткости коэффициент затухания скорость x m r k   r/(2m)   x потенциальная энергия WП  WК  m 0 Собственная частота пружинного маятника 0  математического маятника 0  заряд индуктивность электрическое сопротивление величина, обратная электроёмкости коэффициент затухания сила тока q L   R/(2L) I  q энергия электрического поля конденсатора WЭ  энергия магнитного поля катушки индуктивности 2 R 1/C q 2 2C WМ  LΙ 0 2 2 k Собственная частота электрического колебательного контура g l 0  LC 2L 2 или q 2 q 0 q  0 2 m 0  1 LC mgd I циклическая частота затухающих колебаний   пружинного маятника логарифмический декремент затухания добротность 2 2 кинетическая энергия физического маятника kx уравнение k m Q  2  r    2m  циклическая частота затухающих колеба-   ний 2  1 LC  R   2L     T  2/0 W W (t )  W (t  T ) 27 ; при малых  Q    2 Контрольные задания и вопросы 1. Рассмотрите сложение колебаний одинаковой частоты и одного направления. Получите выражения для расчёта амплитуды и фазы результирующего колебания. 2. Что называется биениями? 3. Рассмотрите сложение взаимно перпендикулярных колебаний с равными частотами и следующими значениями разности  фаз: 2m, (2m  1), (2m  1) . Получите уравнения траектории 2 итогового движения колеблющейся точки. 4. Что называется фигурами Лиссажу? 5. Проведите сопоставление параметров, характеризующих механические и электрические колебания. 28 Лекция № 5 ВОЛНЫ. ЧАСТЬ I 5.1 Определения Волной называется процесс распространения колебаний в пространстве. Если волна распространяется в упругой среде, она называется упругой волной. Волны, распространяющиеся в неограниченной среде, называются бегущими. Основное свойство таких волн – перенос энергии без переноса вещества. Если колебания совершаются вдоль направления распространения волны, такие волны называются продольными (пример: звуковые волны в газах). Если колебания совершаются в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны, такие волны называются поперечными (примеры: волны на поверхности воды, электромагнитные волны, в частности – свет). При распространении волны в каждый момент времени можно мысленно выбрать поверхность, отделяющую часть пространства, в которой уже происходят колебания, от той части, где их ещё нет. Эта поверхность называется фронтом волны. Если фронт волны – плоскость, волна называется плоской, если сфера – сферической. Фронт волны непрерывно движется. Скорость движения фронта называется скоростью волны (фазовой скоростью). Расстояние, которое фронт проходит за время одного колебания (рис. 5.1), называется длиной волны :   T или   /, (5.1) где  – скорость волны, T – период колебаний,  – частота колебаний. Очевидно: длина волны – это расстояние между соседними частицами упругой среды, колеблющимися в одной фазе. Геометрическое место точек, колеблющихся в одной фазе, называется волновой поверхностью. 29 Волна, колебания в которой происходят лишь с T t X одной частотой, 4 называется монохроматической. T t X В декартовой 2 системе координат положение любой 3T t X колеблющейся 4 точки в заданный момент времени t задаётся с помоtT X щью координат x, y и z.   T Смещение от   положения равно весия точки, имеРис. 5.1 ющей координаты x, y и z в заданный момент времени t, описается с помощью функции, которая называется волновой: t0 X   (x, y, z, t). 5.2 Уравнение бегущей волны a) Выведем уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль выбранной оси X, рис. 5.1. Пусть в начале координат (при x  0) частицы упругой среды совершают колебания по закону (t)  Acos(t  ). Плоская волна распространяется в положительном направлении оси X, при этом в колебания вовлекаются всё новые и новые частицы. Очевидно: чем дальше от начала координат находятся эти частицы, тем позже они окажутся вовлечёнными в колебательное движение. Время запаздывания   x/, где x – координата этих точек по 30 оси X, а  – скорость волны. Сказанное означает, что колебания в плоскости, находящейся на расстоянии x от начала координат, происходят по закону (x, t)  Acos[(t  )  ]. Преобразуем это выражение: x 2 2 (x,t)  Acos[t    ]  Acos[t  x  ]  Acos[t  x  ]    и введём обозначение 2 k (5.2)  (параметр k называется волновым числом). Мы получили уравнение плоской волны, распространяющейся в положительном направлении оси X, позволяющее рассчитать, каким окажется в заданный момент времени t смещение от положения равновесия  точек, имеющих координату x вдоль этой оси: (x, t)  Acos(t  kx  ). (5.3) Аналогично можно показать, что для плоской волны, распространяющейся в направлении, противоположном направлению оси X, справедливо уравнение: (x, t)  Acos(t  kx  ). (5.4) b) Уравнение сферической волны (фронтом которой является сфера с центром в точке – источнике колебаний) имеет следующий вид: A (r, t)  sin(t  kr  ), (5.3) r где r – расстояние от источника колебаний до интересующей нас точки (то есть – радиус сферы). Уравнение справедливо для расстояний r  . Заметим: амплитуда колебаний плоской волны не зависит от расстояния до источника колебаний; амплитуда колебаний в сферической волне уменьшается по мере удаления от источника. 31 5.3 Дифференциальное волновое уравнение Вспомним: для получения формул, описывающих разные виды колебаний, мы вынуждены были каждый раз составлять и решать дифференциальное уравнение, которое, в принципе, имело одну и ту же структуру (линейное дифференциальное уравнение второго порядка). Примерно так же дело обстоит и в случае формул для функций (x, y, z, t), описывающих разные виды волн: все они являются результатом решения (правда, – со своими добавочными условиями: граничными, начальными и так далее), уравнения вида  2  2  2 1  2    , (5.5) x 2 z 2  2 t 2 y 2 которое называется дифференциальным волновым уравнением (здесь  – скорость волны).  2  2  2 Используя обозначения     (здесь знак x 2 z 2 y 2 2     , диф означает оператор Лапласа или «лапласиан») и  2 t ференциальное волновое уравнение можно переписать в виде: 1   2 В виде примера покажем, что формула (5.3) для плоской волны, распространяющейся вдоль оси OX, действительно является решением уравнения вида (5.5): (x, y, z, t)  (x, t)  Acos(t  kx  ),    2 x 2  2 t 2  k2Acos(t  kx  );  2 y 2  2Acos(t  kx  );    T тельно, k 2Acos(t  kx  )  0  0   32  2  0,  z 2  2 2 T k2    0,  , и, действи- k 2Acos(t  kx  ). 5.4 Упругие волны Упругие волны – волны, распространяющиеся в жидких, твёрдых и газообразных средах за счёт действия упругих сил. В жидких и газообразных средах могут распространяться только продольные волны, в твёрдых телах упругие волны могут быть не только продольными, но и поперечными. Скорость распространения упругих волн  зависит от плотности среды :   ½, при этом коэффициенты пропорциональности в этой зависимости могут быть разными для продольных и поперечных волн, то есть в твёрдых телах скорости распространения поперечных и продольных волн в общем случае неодинаковы. В упругих средах различными оказываются и скорости волн, имеющих разные частоты. Мы говорили ранее, что результат сложения колебаний, происходящих в одном направлении с близкими частотами, называется биениями. Если в веществе распространятся две волны с близкими частотами, но с разными скоростями, то движется (причём – с собственной скоростью) и максимум возникающего биения. Напомним: скорость каждой из складывающихся волн называются фазовой, её рассчитываем по формуле    2    . T 2 T k Можно показать, что скорость движения максимума, возникающего при сложении группы волн с близкими частотами Г  d ; (5.6) dk эта скорость называется групповой скоростью. Понятно, что движение подобного максимума – просто результат математических вычислений, реально в пространстве распространяются лишь формирующие его волны, поэтому не удивительно, что групповая скорость по величине может оказаться как меньше фазовой скорости каждой из волн, так и больше их. 33 Позднее мы увидим, что зависимость скорости распространения волны от её частоты  (или длины волны ) приводит к явлению, которое называется дисперсией. Существенной особенностью волнового движения является то, что энергия колебаний каждого малого участка упругой среды периодически меняется со временем. В этом заключается принципиальное отличие волнового движения от свободных механических колебаний, полная энергия которых не зависит от времени (просто кинетическая энергия переходит в потенциальную и наоборот). Это приводит к тому, что волна переносит энергию в пространстве, вовлекая в колебательное движение всё новые и новые объекты. Описание процесса распространения энергии в различных средах имеет важное практическое значение. Но энергия – скаляр, поэтому для математического описания, как её величины, так и того, куда она распространяется, вводится специальный вектор плотности потока энергии (вектор Умова). Пусть за время t через поверхность dS, перпендикулярную  направлению вектора скорости  фронта волной переносится энергия dW. Если учесть, что за это время фронт проходит расстояние x  t, то можно записать: dW dSt  dW x dSx t  dW   w, dV где w – объёмная плотность энергии: так, для упругой волны, распространяющейся в среде с плотностью , w  A22sin2(t  kx  ). Вектором Умова называется вектор   u  w , (5.7) численно равный энергии, переносимой в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению потока энергии в данной точке; направление вектора совпадает с векто ром  . Интенсивностью волны называется модуль среднего значения вектора Умова:  I  | u |  |A22sin2(t  kx  )|  1 2 34 A22. 5.5 Эффект Доплера (в акустике) Эффект Доплера заключается в изменении частоты волны, воспринимаемой приёмником, при движении источника и приёмника волн относительно друг друга. Пример: источник и приёмник звука (0  T0) движутся вдоль соединяющей их прямой со скоростями u И и u П, соответственно. Если движется только источник навстречу приёмнику, то за время T0 фронт, идущий к приёмнику, успеет отдалиться от источника на расстояние   0  u ИT0: приёмник воспримет сигнал с частотой  /T0 1        0 .   0  uИT0  0 /T0  uИ T   uИ Если источник движется в сторону от приёмника,   0  uИT0,  /T0 1        0 .   0  uИT0  0 /T0  uИ T   uИ В случае, когда источник неподвижен, а приёмник движется навстречу источнику, «с точки зрения приёмника» волна распространяется быстрее, *  0/T0  u П, или 1   uП   / T  uП   uП    0 0   0 .  T 0 0 T0 При движении приёмника в сторону от источника 1   uП   / T  uП   uП    0 0   0 .  T 0 0 T0 В результате можно записать: если движутся и источник, и приёмник, частота воспринимаемого приёмником сигнала рассчитывается по формуле   uП   0 . (5.8)   uИ Верхние знаки в этой формуле соответствуют сближению источника и приёмника, а нижние – их расхождению друг от друга. 35 Примером проявления эффекта Доплера является изменение тона свистка электропоезда в момент прохождения мимо наблюдателя на платформе: при приближении поезда частота выше (знак «минус» в знаменателе дроби), при его удалении частота звука скачком понижается («минус» меняется на «плюс»). Приборы, работа которых основана на данном эффекте, широко применяются на транспорте, в медицине и т. д. Эффект Доплера применяется для оценки скорости движения источника и приёмника света, например, при изучении звёздных систем. Контрольные задания и вопросы 1. Что называется волной? Какая волна называется упругой? 2. Какие волны называются продольными? Поперечными? Приведите примеры волн обоих типов. 3. Дайте определение фронта волны. Какие волны называются плоскими? Какие волны называются сферическими? 4. Что называется длиной волны? В каких единицах она измеряется в СИ? 5. Запишите уравнение плоской бегущей волны. Введите понятие волнового числа. 6. Запишите дифференциальное волновое уравнение и поясните смысл входящих в него параметров. 7. Чем отличаются фазовая и групповая скорости волн? Какая волна называется монохроматической? 8. Дайте определение вектора плотности потока энергии (вектора Умова). Каковы единицы его измерения? 9. Что такое «интенсивность» волны? 10. В чём заключается эффект Доплера? 36 Лекция № 6 ВОЛНЫ. ЧАСТЬ II 6.1 Сложение волн Если в среде одновременно распространяются несколько волн, в которых колебания происходят в одном направлении, то, согласно принципу суперпозиции, в каждой точке пространства малые колебания, создаваемые этими волнами, складываются друг с другом. Явление возникновения устойчивой во времени картины распределения в пространстве максимумов и минимумов колебаний при сложении двух или большего числа волн называется интерференцией волн. Получим условие, при котором картина будет устойчивой во времени. Пусть в некоторой точке пространства в какой-то момент времени t складываются две плоские волны с одинаковыми амплитудами A, колебания в которых происходят в одном направлении; путь одной из волн от источника до точки встречи равен l1, путь дугой равен l2: 1  Acos(1t  k1l1  1), 2  Acos(2t  k2 l 2  2), В этой точке возникает результирующее колебание, амплитуда которого AРЕЗ рассчитывается по формуле (4.1), согласно которой AРЕЗ  A2  A2  2 A2cos(2t  k2l2  2  1t  k1l1 1 ) . Для того чтобы картина не менялась со временем, необходимо, чтобы амплитуда AРЕЗ не зависела от t. Очевидно, это возможно лишь в случае, когда выполняется условие: 1t  2t  0, или 1  2. Таким образом, интерферировать могут лишь волны одинаковой частоты (или имеющие одинаковую длину волны:   T    /  2 / и одинаковое волновое число k  2/). Заметим: если разность фаз интерферирующих волн равна 2m, (2t  k2l2  2)  (1t  k1l1  1)  2m, 37 где m  0, 1, 2, 3…, то, с учётом того, что 1  2  , (и, следовательно, k1  k2  k) k(l2  l1)  (2  1)  2m. Амплитуда установившихся колебаний будет максимальна. Если при этом ещё 1  2, то, с учётом того, что k  2/, условие возникновения максимума интерференционной картины приобретает следующий вид: l2  l1  m. (6.1) Разность l2  l1 называется геометрической разностью хода; максимум возникает, если геометрическая разность хода равна «целому числу длин волн». Аналогично можно получить условие минимума: он возникает, если разность фаз интерферирующих волн k(l2  l1)  (2  1)    2m, или геометрическая разность хода равна «нечётному числу длин полуволн»:  l2  l1  (2m  1) . (6.2) 2 Заметим: для возникновения устойчивой картины нужно не только, чтобы были равны частоты интерферирующих волн (1  2), но и разность 1  2 была постоянной. Таким образом, интерферировать могут лишь волны, создающие колебания в одном направлении, и разность фаз (2t  k2l2  2)  (1t  k1l1  1) которых в каждой точке пространства не зависит от времени. Волны, разность фаз которых не зависит от времени, называются когерентными. 6.2 Стоячие волны Частным случаем интерференции волн являются стоячие волны. Стоячая волна – это результат сложения бегущей волны с собой самой, например, отражённой от препятствия и бегущей в противоположную сторону. 38 Пусть, например, плоская волна распространяется в положительном направлении оси X (см. рис. 6.1): 1  Acos(t  kx  ). (6.3)  l x lx x l X  С  ½ ПУЧНОСТЬ УЗЕЛ X Рис. 6.2 Рис. 6.1 Дойдя до стенки, находящейся на расстоянии l от начала оси координат, волна отражается и идёт обратно. В точке с координатой x складываются колебания, порождаемые волной (6.3) и отражённой волной 2, которая успевает к этому времени пройти расстояние l  (l  x). Кроме того, при отражении от более плотной среды волна получает добавочный сдвиг по фазе    (при отражении от менее плотной среды этого сдвига не возникает, то есть можно написать, что   0). В итоге отражённая волна создаёт в точке с координатой x колебание вида 2  Acos{t  k[l  (l  x)]    }. (6.4) Используя известные тригонометрические соотношения, для результирующего колебания получим: 1  2  Acos(t  kx  )  Acos{t  k[l  (l  x)]    }   2Acos (t  kx  )  [t  k (2 l  x)    ] cos 2 (t  kx  )  [t  k (2 l  x)   ]  2  2Acos[k(l  x)  ½]cos(t  kl    ½)  AРЕЗcos(t  *), где AРЕЗ  2Acos[k(l  x)  ½], *  ( kl    ½). Мы видим: в каждой точке оси X возникают гармонические колебания, амплитуда которых 2Acos[k(l  x)  ½] зависит от местоположения точки. Так, на оси существуют точки, в которых разность k(l  x)  ½  m (здесь m – целое число), и колебания имеют наибольшую амплитуду: AРЕЗ  2A. В точках, для которых 39 выполняется условие k(l  x)  ½    m, косинус равен ну- 2 лю, то есть колебаний в этих точках не происходит (см. рис. 6.2). Уравнение вида   2Acos[k(l  x)  ½]cos(t  kl    ½) (6.5) является уравнением стоячей волны; точки, в которых амплитуда колебаний максимальна, называются пучностями, точки, в которых амплитуда колебаний равны нулю, называются узлами стоячей волны. Поскольку стоячая волна является результатом сложения одинаковых волн, бегущих в противоположных направлениях, энергию она (в отличие от бегущей волны) не переносит. Вычислим расстояние между соседними узлами:     k(l  x1)  ½   m, k(l  x2)  ½   (m  1), x2  x1   . 2 2 k 2 Расстояние между двумя соседними узлами (или пучностями) называется длиной стоячей волны; эта длина равна половине длины бегущей волны, которая и создаёт данную стоячую: C   . (6.6) 2 Примечание 1 Стоячие волны возникают при колебаниях струны (музыкального инструмента) с закреплёнными концами. Очевидно, что при этом на концах струны имеют место С1  2l (l  С1/2) узлы, поэтому стояС2  l (l  2С2/2) чие волны здесь С3  2l/3 (l  3С3/2) возникают (рис. 6.3), если их длина C укладывается на длине струны l целое число раз: Рис. 6.3 l  mC  m  . 2 40 Случаю m  1 соответствует основная частота колебаний струны, воспринимаемая ухом; звуки с частотами колебаний с m  2, 3, 4,… называются обертонами. Набор слышимых обертонов сильно зависит от свойств резонатора музыкального инструмента (то есть от характеристик корпуса, на котором закреплена струна), поэтому даже, казалось бы, одинаковые инструменты, но изготовленные разными мастерами, могут сильно отличаться по звучанию. 6.3 Электромагнитные волны В разделе «электромагнетизм» мы отметили, что переменное магнитное поле приводит к возникновению переменного же электрического поля, а переменное электрическое поле, в свою очередь, порождает переменное магнитное поле. Классическая теории электромагнетизма базируется на системе уравнений Максвелла (6.7), позволяющей решать основную задачу электродинамики: по заданному распределению в пространстве токов и зарядов рассчитывать напряженность электрического и магнитного полей в заданной точке пространства в требуемый момент времени. Первое уравнение системы говорит о том, что циркуляция вектора напряжённости электрического поля по произвольному замкнутому контуру равна сумме скорости изменения магнитного потока через поверхность, мысленно натянутую на этот контур, и э. д. с. источников, включённых в этот контур. Согласно второму уравнению, циркуляция вектора напряжённости магнитного поля по произвольному замкнутому контуру равна скорости изменения потока вектора электрического смещения через поверхность, мысленно натянутую на контур и алгебраической сумме токов, пронизывающих эту поверхность. Третье уравнение: поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью. Четвёртое уравнение: поток вектора индукции магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность равен нулю.  D E уравнения, дополненные тремя, связывающими и ,  Данные   H и B , а также плотность тока j с удельным сопротивлением   проводника и E , образуют общую систему уравнений Максвелла: 41    Edl    Hdl   d  dt i 1 S   d  dt   D  0 E   B H   N1  BdS   Ei N2  DdS   I i i 1 S   N3  DdS   q i i 1 S    BdS  0. (6.7)   E . j   S Используя известные из математики теорему Остроградского (о преобразовании интеграла по замкнутой поверхности в интеграл по объёму, ограниченному этой поверхностью) и теорему Стокса (о преобразовании интеграла по замкнутому контуру в интеграл по поверхности, мысленно натянутой на этот контур) для N3 однородной нейтральной (  qi  0) и непроводящей (j  0) среды i 1 с постоянными диэлектрической и магнитной проницаемостями  N3 и  в отсутствие источников э. д. с. (  Ei  0) после ряда преобраi 1 зований из системы уравнений (6.7) можно получить следующие соотношения:  E 2 x 2  H 2 x 2  E 2  y 2  H  E 2  2  y 2 z 2  E 2   00  H t 2  z 2 2 (6.8)  H 2   00 t 2 0Е 2  0Н 2 . Здесь x, y, z – координаты в прямоугольной декартовой системе, t – время. Сравнивая уравнения (6.8) с дифференциальным волновым уравнением (5.5) можно прийти к выводу, сделанному Максвел- 42 лом: электромагнитное поле распространяется в пространстве в виде волн, скорость которых вычисляется по формуле 1  . (6.9)  0 0 В частности, 1  c, где c  3108 м/с – скорость света в ва 0 0 кууме, и это дало возможность Максвеллу выдвинуть предположение о том, что свет является электромагнитной волной. Экспериментальное подтверждение данной гипотезе первым дал Г. Герц. Если электромагнитное поле распространяется в однородной среде лишь в одном направлении (вдоль выбранной нами оси координат X), то (с учётом добавочных начальных условий) можно получить аналитическое решение системы уравнений (6.8): E  Emcos( 2 t 2 x + ); H  Hmcos( 2 t 2 x + ). (6.10) T  T  Вид полученного решения говорит о том, что электромагнитное поле в рассматриваемом случае распространяется в виде плоских волн с амплитудными значениями напряжённостей электрического и магнитного полей Em и Hm соответственно, с начальной фазой  (на практике часто начальную фазу выбирают равной нулю), с периодом колебаний T и длиной волны : T  .  0 0 Волна – это процесс распространения колебаний в пространстве. Что колеблется в электромагнитной волне? Ответ таков: в волне по синусоидальному закону происходит изменение напряжённости электрического и магнитного полей. Электромагнитные   волны – поперечные, колебания векторов E , H происходят в направлениях, перпендикулярных направлению скорости распро   странения волны  . При этом вектора E и H сами всё время  взаимно перпендикулярны и образуют с вектором  правую тройку векторов (рис. 6.4). 43 E  H Рис. 6.4  Плоскость, в которой происходят колебания вектора E , называется плоскостью поляризации электромагнитной волны. Если плоскость поляризации сохраняет свою ориентацию в пространстве, волна называется плоско (или линейно) поляризованной. Если плоскость поляризации произвольным образом меняет ориентацию в пространстве (поворачиваясь относительно оси,  задаваемой вектором  ), волна называется хаотически поляризованной (или просто неполяризованной). Контрольные задания и вопросы 1. Какое явление называется интерференцией волн? Какие волны называются когерентными? 2. Что такое стоячая волна? Выведите уравнение стоячей волны. Каково расстояние между соседними пучностями и узлами в стоячей волне? От чего зависит амплитуда стоячей волны? 3. Запишите систему уравнений Максвелла и приведите формулировку описываемых ими законов. 4. Сформулируйте основные следствия, вытекающие из уравнений Максвелла. 5. Что колеблется в электромагнитной волне? Ответ поясните рисунком. 44 Лекция № 7 ВОЛНЫ. ЧАСТЬ III 7.1 Перенос энергии электромагнитной волной. Вектор Пойнтинга Распространение электромагнитных волн в пространстве, как и в случае волн других типов, означает перенос энергии. Напомним: перенос энергии волной характеризуется вектором Умова (5.7): dW   u  , dV dW  где  – скорость (фазовая) волны, – объёмная плотность dV энергии, переносимой волной. В случае электромагнитной волны объёмная плотность энергии складывается из двух компонент: электрической и магнитной, которые (см. лекции первого семестра) равны, соответственно: wЭЛ  dWЭЛ  ED  dWЭЛ , wМ  dWМ ED BH 2 dV dV Таким образом, для электромагнитной волны dW dV dV  dWМ dV  2  2  BH 2 . . Но D 0E, B  0H, причём 0Е 2  0Н 2 – см. (6.8). Это позволяет записать: ED  0E2  BH  0H2   0 E  0 E   0 E  0 H   0 H  0 H  С учётом того, что  0 H  0 E   0 0 EH,  0 0 EH.  0 0  1/, получаем: dW  ED  BH  EH . 2 dV 2  Для вектора Умова (в случае электромагнитных волн он назы вается вектором Пойнтинга и обозначается символом S ) запишем: 45     EH   E S    EH  [ EH ]        n  S (очевидно: | [ EH ] |  EH, так как вектора E и   H H взаимно перпендикулярны, причём век Рис. 7.1 торное произведение [ EH ] направлено туда    же, куда и единичный вектор n  – см. рис. 7.1).  Итак, перенос энергии в электромагнитной волне описывается вектором Пойнтинга   (7.1) S  [ EH ] , который направлен в сторону распространения волны, а по модулю численно равен энергии, переносимой волной в единицу времени через единичную поверхность, перпендикулярную направлению распространению волны. Величину S принято называть плотностью потока энергии или, что то же самое, – плотностью мощности излучения (единица измерения – ватт на кв. метр). ИНДУКТОР 2 ИНДУКТОР 1 7.2 Опыты Герца ВИБРАТОР 1 (ИЗЛУЧАТЕЛЬ) ВИБРАТОР 2 (ПРИЁМНИК) Рис. 7.2 46 Экспериментальное подтверждение теории Дж. Максвелла дал Г. Герц: он был первым, кто обнаружил, что электромагнитное поле действительно распространяется в виде волн. Установка Герца (рис. 7.2) содержала два вибратора: колебательных контура с одинаковыми параметрами (L, C, R). Оба контура были открытыми: вместо конденсатора в них использовались по два металлических стержня, разделённых искровым промежутком. При подаче достаточно высокого напряжения с индукционной катушки (индуктора) на металлические стержни первого контура в промежутке проскакивала искра (шёл ток), и в контуре возникали электрические колебания. На стержни второго вибратора также подавалось напряжение, однако, немного меньше того, при котором возникал искровой пробой. Но если искра проскакивала между стержнями первого вибратора, то тут же происходил пробой и во втором вибраторе. Ситуация соответствовала возникновению резонанса: Герц сделал вывод о том, что в результате пробоя в первом вибраторе возникают электрические колебания, порождающие переменное электрические поле, которое, распространяясь в пространстве, достигает второго вибратора и, совпадая по частоте с его собственной частотой, инициирует колебания напряжения, приводящие к рождению искры в промежутке между стержнями. Процесс распространения колебаний в пространстве и есть волна, следовательно, электромагнитное поле распространяется в виде волн. С помощью данной установки Герц исследовал генерируемые ею волны и показал, что они являются поперечными и подчиняются тем же законам (отражения, преломления), что и свет. Исследования Г. Герца были выполнены для волн с   1 м – 10 м, позднее учёные провели аналогичные эксперименты и для волн другой длины. В частности, одни из первых работ, выполненных основателем кафедры физики МИИТа выдающимся российским физиком П.Н. Лебедевым, были посвящены изучению свойств электромагнитных волн миллиметрового диапазона. Опыты Герца имели важнейшее практическое значение, послужив фундаментом для создания современных систем беспроводной связи. И не случайно, в знак уважения к открытию Герца, первые слова, которые передал А.С.Попов по изобретённому им радио, были «Генрих Герц». 47 7.3 Шкала электромагнитных волн К настоящему времени стало понятно, что источниками и приёмниками электромагнитных волн могут быть объекты и процессы, имеющие совершенно разную физическую природу. Пример классификации электромагнитных волн по способам их возбуждения приведён в таблице 7.1. Анализируя приведённые данные, следует помнить, что границы между разными областями не являются абсолютно строгими и частично перекрываются. Таблица 7.1 ДЛИННЫЕ ВОЛНЫ (ДВ) 103 СРЕДНИЕ ВОЛНЫ (СВ) 102 101 100 1 ДЛИНА ВОЛНЫ , м 10 102 РАДИОВОЛНЫ 104 КОРОТКИЕ ВОЛНЫ (КВ) УЛ Ь Т РАК ОРОТ К ИЕ ВОЛ НЫ (УК В) 103 104 105 106 7 10 108 109 10 10 1011 1012 ИНФРАК РАСНОЕ (ИК ) ИЗЛ УЧЕНИЕ ВИДИМЫЙ СВЕТ УЛ Ь Т РАФИОЛ ЕТ ОВОЕ (УФ) ИЗЛ УЧЕНИЕ РЕНТ ГЕНОВСК ОЕ ИЗЛ УЧЕНИЕ ГАМ М А- ИЗЛ УЧЕНИЕ (  - ИЗЛ УЧЕНИЕ) 48 Источники: переменные токи в проводниках и электронных потоках Излучение молекул, атомов при тепловых (и электрических) воздействиях Излучение молекул, атомов при электрических (и тепловых) воздействиях Атомные процессы при воздействии ускоренных заряженных частиц их тормозное излучение Внутриядерные процессы, Космические процессы Отдельный интерес представляет диапазон волн видимого света (400 нм    750 нм). Шкала электромагнитных волн этого диапазона представлена на рис. 7.3. ФИОЛЕТОВЫЙ СИНИЙ ГОЛУБОЙ ЗЕЛЁНЫЙ , нм ЖЁЛТЫЙ ОРАНЖЕВЫЙ КРАСНЫЙ (1 нм  109 м) Рис. 7.3 Примечание 1 Не следует думать, что человеческий организм реагирует только на видимый свет: на него могут оказывать существенное воздействие электромагнитные волны разных длин. Ультрафиолетовое излучение вызывает загар кожи, инфракрасное воспринимается, как нагрев, рентгеновское и гамма-излучение может разрушать молекулы ДНК, радиоизлучение – инициировать в нашем организме колебательные процессы, частоты которых совпадают с частотой радиоволн (к ним относятся процессы в сердечнососудистой системе человека, в его мозгу). Примечание 2 Видимый диапазон длин волн не одинаков для разных живых организмов: так, пчёлы, голуби видят излучение из ультрафиолетового диапазона, комары, клещи – из инфракрасного. Самыми «совершенными» глазами в природе Земли обладают представители отряда раков-богомолов. Они, в отличие от людей, которые различают лишь семь основных цветов, делят свет на двенадцать цветов, поскольку отлично видят и в инфракрасной и в ультрафиолетовой областях спектра (и даже воспринимают его поляризацию)! 49 7.4 Распространение волн. Принцип Гюйгенса Для описания распространения волн в пространстве на практике можно использовать принцип Гюйгенса. Гюйгенс предложил способ нахождения положения фронта волны в некоторый момент времени, если известно положение фронта в предыдущий момент. Способ заключается в следующем. Каждую точку известного фронта представляют в виде источника вторичных сферических волн и находят положение фронтов этих волн через малый момент времени t. Затем строят поверхность, огибающую эти сферические фронты: она и будет являться новым положением фронта всей волны в целом. Фронты вторичных сферических источников следует строить в направлении распространения волны. Применение принципа Гюйгенса в случае плоской и сферической волн, распространяющихся в однородной изотропной среде, поясняется рисунками 7.4а и 7.4б. Фронт в момент времени t Фронт в момент времени t t Вторичные точечные источники (сферических волн) Фронт в момент времени t Фронт в момент времени t t Вторичные точечные источники (сферических волн) а) б) Рис. 7.4 Пользуясь принципом Гюйгенса, можно вывести законы отражения и преломления волн на границе раздела двух сред. Применение принципа для обоснования положения о том, что угол падения равен углу отражения, иллюстрируется рисунком 7.5. 50 На этом рисунке фронт 1 плоской волны движется в направлении  вектора  ; угол падения равен . Новое положение фронта 2 строится с помощью принципа  1 2 Гюйгенса, но поскольку сфе рическая волна в точке А r '  фронта 1 отражается от гра 2 1  ницы раздела, построенный в 4 следующий момент времени r A фронт 2-B-2 приобретает вид B r ломаной линии. Радиусы сфер 3 r одинаковы (скорость волны 2  неизменна), и это даёт возможность выстроить следующую цепочку равенств: Рис. 7.5   1 (вертикальные); 1  2 (с взаимно параллельными сторонами); 2  3 (вертикальные); 3  4 (углы при основании равнобедренного треугольника со сторонами, равными радиусу r); 4   (вертикальные).  Таким образом, мы показали, что вектор  ' отражённой волны составляет с нормалью к границе раздела такой же угол, что и  вектор  , то есть: угол падения равен углу отражения,   . Сходным образом (учитывая то, что в плотной среде свет распространяется медленнее, чем в вакууме и радиусы сфер - фронтов вторичных волн будут отличаться в n раз, где n  c/ – абсолютный показатель преломления среды, c – скорость волны в вакууме, а  – её скорость в среде), можно объяснить явление преломления волн и получить формулу закона Снеллиуса (Снелла): n c 1  sin   2  n21    1. sin  n1 2 c 2 где  – угол падения,  – угол преломления, а n1 и n2 – абсолютные показатели преломления первой и второй сред соответственно. 51  1 Применение принципа Гюйгенса для построения хода лучей при преломлении света на границе раздела двух сред для случая n2  n1 (или, что – то же самое,  2   1) иллюстрируется рисунком 7.6. 2   A B 2   ' Рис. 7.6 Контрольные задания и вопросы 1. Что называется вектором Пойнтинга? В каких единицах он измеряется в СИ? 2. В чём заключался смысл опытов Герца? Опишите проделанные Герцем эксперименты. 3. Приведите шкалу электромагнитных волн. 4. Каков диапазон длин волн видимого света? 5. В чём заключается принцип Гюйгенса? 6. Сформулируйте и запишите формулы закона отражения и закона преломления волн на границе раздела двух сред. 52 Лекция № 8 ВОЛНОВАЯ И КВАНТОВАЯ ОПТИКА. ЧАСТЬ I 8.1 Введение Напомним основные понятия и законы оптики. 1. Угол падения: угол между падающим лучом и перпендикуляром, восстановленным из точки падения (угол  на рис. 8.1). 2. Угол отражения: угол между отражённым лучом и перпендикуля    ром, восстановленным из точки паn1  n2 дения (угол  на рис. 8.1). n2  n1 3. Угол преломления: угол между  преломлённым лучом и перпендикуля ром, восстановленным из точки паРис. 8.1 дения (угол  на рис. 8.1). 4. Абсолютный показатель (коэффициент) преломления среды: c , где c – скорость света в вакууме,  – скорость света в среде  5. Относительный показатель (коэффициент) преломления (второй среды относительно первой): n  n21  1  2 , где  1 – скорость света в первой среде,  2 – скоn1 2 рость света во второй среде 6. Закон отражения света: а) Угол падения равен углу отражения; б) луч падающий, луч отраженный и перпендикуляр, восстановленный из точки падения, лежат в одной плоскости. n 7. Закон преломления света: а) Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению абсолютного показателя преломления второй среды к абсолютному показателю преломления первой среды: 53 sin   n2 ; (8.1) sin  n1 б) луч падающий, луч преломлённый и перпендикуляр, восстановленный из точки падения, лежат в одной плоскости; 8. Закон обратимости световых лучей Согласно этому закону луч света, распространившийся по определённой траектории в одном направлении, в точности повторит свой ход при распространении в обратном направлении. При этом n21  1 . n12 9. Если l – геометрическая длина пути, проходимого лучом (в разделе «механика» мы говорили просто «путь», то есть – длина траектории), то произведение nl, где n – абсолютный показатель преломления среды, называется оптической длиной пути. 10. При переходе света из вакуума в среду с абсолютным показателем преломления n его частота   /(2) не меняется:  c    , но тогда   0 , (8.2) 0  n где 0 – длина волны в вакууме,  – длина волны в среде. 11. Из системы уравнений Максвелла следует, что: 1   c , то есть c  n   .  00   Магнитная проницаемость оптически прозрачных сред   1 (напомним:   (H)  1 у ферромагнетиков, но эти материалы не пропускают свет), поэтому можно считать, что n . (8.3) 12. Поскольку для энергии, переносимой световой волной в единицу времени через единичную поверхность, перпендикулярную направлению распространению волны, можно записать – см. (7.1):   S  [ EH ] , 54  (здесь S – вектор Пойнтинга), а уравнений Максвелла) или H   0  0  0 H   0 E (см. систему E, то, с учётом (8.3):   | S |  | [ EH ] |  nE 2. H  nE, Среднее за период значение модуля вектора Пойнтинга называется интенсивностью световой волны I (именно на неё и реагирует глаз):   2 2 I  | S |  | [ EH ] |  n| E 2 |  n [ Em sin ( t  x  )]2  nE m 2. T  Другими словами, интенсивность света прямо пропорциональна квадрату амплитуды вектора напряжённости электрического поля электромагнитной волны. О том, почему интенсивность света принято связывать с квадратом амплитуды именно электрической компоненты волны (Em), а не магнитной (Hm), мы поговорим позднее. 8.2 Интерференция света Если в данную точку среды приходят две световые волны с одинаковыми частотами , которые вызывают колебания в одном и том же направлении y, то можно записать: y1  A1cos(t  kl1  1), y2  A2cos(t  kl2  2), y1  y2  A1cos(t  kl1  1)  A2cos(t  kl2  2), 2 2 где, согласно (4.1), A  A1  A2  2 A1 A2cos[(kl2   2 )  (kl1  1 )] . Если волны когерентны (разность фаз не меняется со временем, или 1  2 и 2  1  const), то в точке, где они складываются, мы получим устойчивое во времени колебание с амплитудой A. Таким образом, когерентные световые волны интерферируют друг с другом: происходит перераспределение светового потока в пространстве: в одних местах возникают устойчивые максимумы интенсивности, а в других – минимумы; местопо- 55 ложение максимумов и минимумов зависит от разности фаз (kl2  2)  (kl1  1). Если источники не когерентны и разность 2  1 принимает любые значения, то среднее значение косинуса под знаком корня в выражении для A равно нулю, A2  A12  A22, а интенсивность света везде одинакова и просто равна сумме интенсивностей света от этих источников: I  I1  I2 Особенностью световых волн является то, что два разных источника всегда не когерентны; в подавляющем большинстве случаев не когерентны, как источники, даже разные атомы одного тела, испускающего электромагнитное излучение. Более того, каждый атом испускает свет порциями, причём каждая последующая никак не связана по фазе с предыдущими! Это означает, что условие 2  1  const не выполняется даже для нескольких излучённых одним и тем же атомом порций энергии. Именно поэтому все способы получения интерференционной картины сводятся к тому, чтобы каким-либо методом (отражением, преломлением) разделить один световой поток на две части (или большее количество частей) и затем заставить их интерферировать друг с другом: в этом случае условие устойчивости картины 2  1  const выполнится автоматически. Пусть, например, после деления луча света полупрозрачным зеркалом ПЗ на два один из этих лучей проходит путь l1 n1 Э в среде с абсолютным покаl1 зателем преломления n1, а N второй – путь l2 в среде с ПЗ l2 абсолютным показателем n2 преломления n2; лучи сходятся в точке N на экране Э Рис. 8.2 (см. рис. 8.2). Очевидно, что для таких лучей разность фаз 2  1      0; Разность фаз  колебаний, возникающих в точке N, будет равна (для простоты примем, что начальные фазы 1  2  0): 56   (  2n1 2 T l1  t 2n2 2  l2)  ( 2 l2  2 T t 2  l1)  (n1l1  n2l2)  2 , 0 0 0 0 где   n1l1  n2l2 – оптическая разность хода лучей. Максимуму колебаний в точке N соответствуют условия:    2m или   m0  2m 0 , где m  0, 1, 2, 3, …; (8.4) 2 минимуму – условия:    (2m  1) или   (2m  1) 0 . (8.5) 2 Если в точку N приходит белый свет, то при одинаковой разности хода лучей  разность фаз  для различных составляющих его волн будет не одинакова, то есть в точке N свет окажется не белым, а будет окрашенным. 8.3 Наблюдение интерференции света а) Метод Юнга Деление светового потока на два осуществляется с помощью двух параллельных щелей S1 и S2 в непрозрачной перегородке П, рис. 8.3. Интерференционная картина И наблюдается в центральной части экрана Э. П Э S1 S2 Рис. 8.3 57 И б) Бизеркало Френеля Деление светового потока осуществляется отражением света от двух плоских зеркал, образующих Мнимые изображения источника света С двугранный угол, близкий к 180º. На рис. 8.4 З1 и З2 – плоские зерС1 С2 кала, С1 и С2 – два мнимых изображения реального источника света С Зеркало З1 Зеркало З2 в первом и втором зеркале соответственно; Э – экран, на котором интерференционная Источник света наблюдается картина И, формируемая волнами С от мнимых источников, П – перегоПерегородка П родка, которая не даёт возможноОбласть Экран Э сти попадать на экран свету непосредственно от источника С. интерференции И Рис. 8.4 в) Расчёт интерференционной картины в методе Юнга Выведем формулу для расчёта местоположения максимумов интерференционной картины, возникающей на экране Э, отстоящем на расстояние L от параллельно экрану расположенной перегородки П с двумя параллельными тонкими щелями S1 и S2 (расстояние между щелями d  L) – см. рис. 8.5. Из рисунка следует, что П Э l12  L2  (x  0,5d)2, l22  L2  (x  0,5d)2. l1 x Отсюда l22  l12  2xd, или l2 S1 0,5d (l2  l1)(l2  l1)  2xd. d 0,5d Но при L  d и малых x можно S2 считать: l2  l1  2L; тогда разL  d ность хода первого и второго xd лучей l2  l1  . Максимумы буL Рис. 8.5  дут наблюдаться при l2  l1  2m , 2 58 где m  0, 1, 2, 3, …: это позволяет найти их местоположение на экране: L xm  m . (8.6) d Расстояние между соседними максимумами одинаково: L L L xm1  xm  (m  1)   m   . d d d Заметим: - максимумы разных цветов (длин волн ) отстоят друг от друга на разное расстояние: чем больше , тем дальше соответствующий максимум отстоит от центра экрана. Это означает: если освещать препятствие П белым светом, в местах максимумов свет будет разлагаться в «радугу»: ближе к центру окраска будет фиолетовой, дальше от центра – красной; - в центре экрана, где m  0, разность хода l2  l1  0 при всех : условие максимума выполняется для волн всех длин, следовательно, центральный максимум окрашен не будет, он останется белым. 8.4 Интерференция в тонких плёнках В случае тонких прозрачных плёнок деление светового потока происходит при отражении световых 1 2 2 лучей от обеих поверхностей этих 0 плёнок. Рассмотрим ситуацию, когда эти поверхности параллельны (то есть  D толщина d плёнки, имеющей абсолют ный показатель преломления n, везде A C одинакова): рис. 8.6. n d  Интерференция может наблюдаться G как в отражённом (накладываются луB чи 2 и 2), так и в проходящем свете F  (накладываются лучи 3 и 3). 3 3 Для получения условия максимума (или минимума) вновь необходимо Рис. 8.6 59 рассчитать оптическую разность хода лучей. Учтем также, что при отражении от оптически более плотной среды (от среды с бóльшим n) отражённая волна 2 приобретает добавочный сдвиг по фазе на : это эквивалентно прохождению ею добавочного пути 0 : 2   d   n(AB  BC)  (AD  0 )  2n  (ACsin  0 )  2 2 cos  d  2n  (2dtgsin  0 ). 2 cos sin  Поскольку  n, получаем, в итоге, что sin     2d n2  sin 2  0 . (8.7) 2 Как было показано, максимум интерференционной картины в  отражённом свете наблюдается, если   2m 0 , где m  0, 1, 2, 2  3, … , минимум, – если   (2m  1) 0 . 2 Примечание 1 При расчёте разности хода для проходящих лучей 3 и 3 доба вочной разности хода в 0 не возникает, так как отражения от 2 оптически более плотной среды не происходит. Разность хода теперь на половину длины волны меньше,   2d n2  sin 2 . Но это означает, что если в отражённом свете выполняется условие минимума (волны 2 и 2 гасят друг друга), то в проходящем будет максимум: свет проходит сквозь плёнку, не отражаясь от неё. Это явление используется для создания антибликовых покрытий оптических приборов и, так называемой, просветлённой оптики: на 60 поверхность линз объективов наносится тонкая прозрачная плёнка (например, из фторида бария), толщина которой и показатель преломления подбираются таким образом, чтобы в результате интерференции отражения от её поверхности не происходило. Примечание 2 Поскольку условия возникновения максимумов не одинаковы для разных длин волн, отражённый от тонкой плёнки белый свет оказывается окрашенным: с этим связано появление радужных разводов на водной поверхности при разливе нефтепродуктов и других органических веществ. Примечание 3 При нормальном падении луча света на плёнку угол   0, и  оптическая разность хода   2n d  0 . Это означает, что в от2 ражённом свете максимум будет наблюдаться, если толщина   плёнки составляет d  (2m  1) 0 , минимум, – если d  0 m, где m  0, 1, 2, … 4n 2n 8.5 Кольца Ньютона Частным случаем интерференции в тонких плёнках являются кольца Ньютона. Плёнкой здесь является слой воздуха между плоской стеклянной поверхностью и стеклянной же собирающей линзой большого радиуса кривизны (рис. 8.7). Особенностью ситуации является то, что толщина воздушного слоя-плёнки не одинакова: в месте касания линзой плоскости она равна нулю и постепенно возрастает по мере удаления от места касания. Тем не менее, в каждой небольшой области с толщиной воздушного зазора d при нормальном падении луча света 1 он делится на лучи 2 и 2, причем, теперь уже луч 2, а не луч 2 зарабатывает добавочную разность хода , отражаясь в точке B от плоского стекла. В 61 итоге оптическая разность хода между лучами 2 и 2 оказывается равной   2d   0 . Как и в отражённом 2 свете, минимум, например, возникнет, если    (2m  1) 0 . Это означает, 2 в частности, что в центре, вблизи места касания линзой подложки (то  есть там, где d 0 и, 2 O 1 2 2 R R r A d В Рис. 8.7 следовательно,   0 ) будет наблюдаться тёмное пятно. Картина 2 обладает осевой симметрией и имеет вид чередующихся светлых и тёмных колец. Получим формулу для вычисления радиуса r этих колец. Как следует из рисунка, R2  (R  d)2  r2  R2  2Rd  d 2  r2  R2  2Rd  r2. Но так как 2Rd d 2, можно записать: 2d  r2 , следовательно, R оптическая разность хода лучей 2 и 2   2d  0  r2  0 . R 2 2 Вспомним: для возникновения максимума интерференционной  картины требуется, чтобы в условии для разности хода   m 0 2 число m было чётным, а для возникновения минимума – нечёт  r2 ным. Учтём это (m 0   0 ), и получим формулу для рас2 2 R чёта радиуса светлых колец Ньютона в отражённом свете: 62 rm  (2m  1) R 0 2 , (8.8) где m  1, 2, 3, … В заключение отметим: если на линзу падает белый свет, кольца окажутся цветными (чем больше , тем больше rm) и лишь в центральной части картины (при m  1) в отражённом свете минимум будет наблюдаться для всех длин волн: там будет тёмное пятно. 8.6 Интерферометры Интерференция применяется в приборах, позволяющих измерить малые перемещения тел. Так, одно из зеркал на рис. 8.2 можно разместить на стене тоннеля: достаточно стене в результате сейсмического воздействия отодвинутся на четверть длины волны, путь, который проходит падающий и отражённый от него луч, возрастёт на /2, и в точке наблюдения интерференционный максимум сменится на минимум. Если учесть, что у красного света лазера   640 нм, то это означает, что мы зафиксируем подвижку стены тоннеля всего на 160 нм! Ещё один пример подобного использования рассматриваемого явления – интерферометр Майкельсона, в котором луч света делится на два с помощью полупрозрачного зеркала (рис. 8.8). ЗЕРКАЛО 1 1 ПОЛУПРОЗРАЧНОЕ ЗЕРКАЛО СВЕТ ЗЕРКАЛО 2 2 2 1 N Рис. 8.8 63 Разделённые лучи движутся во взаимно перпендикулярных направлениях; интерференция возникает после их отражения от обычных зеркал и попадания в точку наблюдения N. Достаточно одно из зеркал, например, зеркало 2, переместить   на расстояние , разность хода лучей 1 и 2 изменится на , и 4 2 произойдёт смена освещённости зрительного поля в точке N. Интересно, что именно интерферометр Майкельсона был впервые применён для доказательства отсутствия «мирового эфира», а также для измерения и сравнения международного эталона метра с длиной стандартной световой волны. Подробнее о работе данного прибора можно прочитать в учебнике физики. Контрольные задания и вопросы 1. Вспомните основные понятия и законы оптики: что называется углом падения, углом отражения, абсолютным и относительным показателями преломления, геометрической и оптической длина пути; в чём заключаются законы отражения и преломления света, закон обратимости световых лучей. 2. Что называется интерференцией света? Каковы условия возникновения максимумов и минимумов интерференционной картины? 3. Опишите методы получения интерференционной картины. 4. Выведите формулу для расчёта расстояния между интерференционными полосами в методе Юнга. 5. Объясните, как происходит интерференция в тонких плёнках. От чего зависит положение максимумов возникающей интерференционной картины? 6. На чём основано явление просветления оптики? 7. Рассмотрите схему получения колец Ньютона. Объясните, почему в центре интерференционной картины в отражённом свете всегда наблюдается тёмное пятно. 8. Начертите схему интерферометра Майкельсона и поясните принцип его работы. 64 Лекция № 9 ВОЛНОВАЯ И КВАНТОВАЯ ОПТИКА. ЧАСТЬ II 9.1 Дифракция света. Метод зон Френеля Дифракцией света называется явление огибания светом препятствий и попадания им в область геометрической тени. Пользуясь принципом Гюйгенса (см. § 7.4), можно представить себе, как происходит движение фронта волны. Френель дополнил принцип Гюйгенса, предложив считать каждую точку фронта не просто вторичным источником, а источником когерентных волн. Распространяясь в пространстве, эти волны интерферируют: учёт разности хода этих волн даёт возможность рассчитывать интенсивность результирующей дифракционной картины в любой точке пространства. Дополненный Френелем метод Гюйгенса получил название метода Гюйгенса-Френеля. Задача выполнения соответствующих расчётов сводится к суммированию вкладов в общую интерференционную картину бесконечно большого числа точечных вторичных источников на поверхности - фронте волны, то есть – к интегрированию по этой поверхности. В общем случае подобные вычисления достаточно сложны, но Френель предложил упрощённый метод нахождения результирующей картины, который получил название метода зон Френеля*. По предложению Френеля фронт волны мысленно разбивается на области, зоны. Расстояния от каждой точки зоны до той точки, где наблюдается дифракционная картина, принимаются одинаковыми, при этом расстояния до точки наблюдения от соседних зон  считаются отличающимися на (здесь  – длина рассматривае2 мой волны). Поясним метод на примере плоской волны (рис. 9.1). * Математически этот метод сводится к замене интегрирования суммированием:  ydx  S N  yi xi ; так, например, можно рассчитать i 1 площадь под кривой на графике. 65 Пусть плоскость Ф – фронт этой волны (с длиной волны Свет,  Ф ), а N– точка наблюдения, b  3/2 расстояние от которой до b  2/2 фронта в данный момент вреb  /2 мени равно b. Все точки b фронта, расстояние от котоN рых до точки N не превышает величины b  /2, будем считать принадлежащими первой b зоне Френеля (очевидно, она имеет форму круга). Ко второй зоне отнесём точки, расстояние от которых до точки Рис. 9.1 наблюдения больше b  /2, но меньше b  2/2, к третьей – точки, расстояние от которых до точки наблюдения больше b  2/2, но меньше b  3/2, и так далее (очевидно все зоны, кроме первой, имеют форму колец). Рассчитаем радиус rm кольца – зоны под номером m. Используя теорему Пифагора и учитывая то, что расстояние b  , получим: rm  (b  m  0,5)2  b2  mb 025m2 2  mb . (9.1) Определим теперь, чему равны площади Sm зон. - Площадь первой зоны (круга): S1  r12  b; - для второй зоны (кольца): S2  r22  r12  2b  b  b  S1; - для третьей зоны: S3  r32  r22  3b  2b  b  S1  S2… Мы получили, что площади всех зон одинаковы, а, значит, зоны содержат одинаковое количество вторичных источников, то есть они дают одинаковые по величине вклады в итоговую картину дифракции. Правда, разность хода волн, которые приходят от соседних зон, равна /2, поэтому вклады соответствующих источников вычитаются. Поэтому для амплитуды A результирующего колебания в точке N можно записать: A  A1  A2  A3  A4  A5  A6  … 66 (здесь A1, A2, A3 и так далее  амплитуды колебаний, создаваемых источниками первой, второй, третьей зон, соответственно). Можно показать, что действие зон хоть и ненамного, но всё же уменьшается по мере увеличения угла между нормалью к поверхности зоны и направлением на точку наблюдения N: A1  A2  A3   A4  A5. Поэтому для вычисления амплитуды A суммирование проводится следующим образом: A A  A A A   1  A2  3    3  A4  5   …  1 . 2 2 2 2  2 2  Полученный результат означает: действие всей волновой поверхности эквивалентно половине действия центральной зоны Френеля, что говорит о прямолинейности распространения света. Если на пути световой волны поставить пластинку с нарисованной на ней кольцевой структурой (рис. 9.2а), которая перекроет все чётные (или все нечётные) зоны Френеля, то амплитуда колебаний в точке N резко возрастёт: A  A1  A3  A5  … или A  A2  A4  A6  … Такая пластинка называется зонной. Фазовая зонная пластинка не просто перекрывает чётные или нечётные зоны, а меняет фазу прошедших колебаний на  (или, что – то же самое, изменяет оптическую длину пути на   /2). Это достигается варьированием толщины пластины в местах, соответствующих чётным и нечётным зонам на заданную величину, рис. 9.2б. Заметим: толщину можно не только пошагово увеличивать или уменьшать, а наращивать от зоны к зоне на /2 (рис. 9.2в). A  A1  A2  A3  A4  …  A1 ? а) б) Рис. 9.2 67 в) Наращивание можно сделать не ступенчатым, а плавным! Как Вы думаете, какое оптическое устройство, позволяющее резко повысить амплитуду световых колебаний в заданной точке пространства, работает на этом принципе? 9.2 Примеры дифракции света 9.2.1 Дифракция на круглом отверстии Пусть на пути плоской волны находится преграда П с круглым отверстием радиуса r0. За отверстием на расстоянии b параллельно преграде располагается экран Э, на котором мы наблюдаем дифракционную картину (рис. 9.3а). Результат дифракции в центре картины (в точке N) зависит от того, сколько зон Френеля открываются наблюдателю в этой точке. Если отверстие оставляет открытым чётное число зон, то после сложения их вклады взаимно уничтожатся, и в центре картины будет наблюдаться минимум освещённости. Если число открытых зон нечётно, то после попарного взаимного уничтожения вклад одной из зон останется нескомпенсированным: в точке наблюдения будет светло (максимум освещённости). Таким образом, для ответа на вопрос, максимум или минимум будет наблюдаться в центре экрана, достаточно приравнять радиус отверстия r радиусу mb крайней из зон Френеля, укладывающихся на этом отверстии, и понять – чётным является её номер m (тогда будет минимум) или нечётным (максимум). Свет  П Э X X 0 I b  m/2 r0 N I b а) б) Рис. 9.3 68 в) Мы объяснили, что будет наблюдаться в центре картины, но можно показать, какой будет картина и в других местах экрана. При дифракции света на небольшом круглом отверстии эта картина имеет вид концентрических чередующихся светлых и тёмных колец малых радиусов с центром в точке N. На рис. 9.3 приведёны примеры зависимости интенсивности I света на экране от расстояния x до центра картины для случаев, когда число зон, укладывающихся в пределах отверстия, является нечётным (9.3б) и чётным (рис. 9.3в). 9.2.2 Дифракция на круглом непрозрачном диске Пусть на пути плоской волны находится преграда в виде непрозрачного круглого диска Д, плоскость которого перпендикулярна направлению распространения световой волны. За диском на расстоянии b параллельно ему располагается экран Э, на который падает тень от диска (рис. 9.4а). Свет  Э b  m/2 b Д N а) X I б) Рис. 9.4 Пусть диск перекрывает m первых зон Френеля на фронте волны. Тогда для амплитуды результирующего колебания в точке N можно написать: A  Am1  Am2  Am3  Am4  …  Am 1   Am 1  Am  2  Am  3   2  2  2 A A  Am  3   Am  4  m  5   …  m 1 .  2 2 2   69 Полученный результат означает: в центре геометрической тени непрозрачного круглого диска наблюдается маленькое светлое пятнышко! Пятнышко окружено системой концентрических чередующихся тёмных и светлых колец (рис. 9.4б). 9.2.3 Дифракция Фраунгофера на щели В предыдущих примерах мы находили условия возникновения максимума и минимума дифракционной картины только в одной точке: в центре экрана. Расчёт того, что будет наблюдаться в других точках, более сложен, но, при желании, с ним можно ознакомиться в литературе, которая в начале семестра рекомендуется лектором для самостоятельного изучения. Существует, однако, частный случай дифракции, в котором соответствующие вычисления достаточно просты. Это – случай, когда экран, на котором возникают максимумы и минимумы освещённости, находится так далеко от препятствия, что лучи, приходящие от вторичных источников, выделяемых на фронте первичной волны, можно считать практически параллельными друг другу. Данная ситуация носит название дифракции Фраунгофера. Наблюдать дифракцию Фраунгофера можно, поместив экран на расстоянии, много большем как геометрических размеров объекта, на котором происходит дифракция, так и длины волн падающего на него света. Возможет и другой вариант: экран располагается не слишком далеко, а лучи, которые идут параллельно друг другу после объекта, фокусируются на него собирающей линзой. Рассмотрим дифракцию Фраунгофера на тонкой прямой щели AB шириной a, прорезанной в плоскости, на которую нормально падает свет с длиной волны . За препятствием располагается собирающая линза Л (её главная оптическая ось также перпендикулярна плоскости, в которой прорезана щель); линза собирает лучи на экран Э, находящийся в фокальной плоскости: на этом экране и наблюдается дифракционная картина. Схема опыта представлена на рис. 9.5 (щель перпендикулярна плоскости рисунка). 70 Для описания зависимости интенсивности I света на  экране от координаты x разоA A B бьём, как и ранее, фронт С  /2 волны в области щели на зоЛ /2 ны Френеля, начав это разби/2 ение не от центра, а от края щели (на рисунке – от левоI го). Зоны будут иметь вид параллельных полосок одиЭ наковой ширины; расстояN X ние, которое должен пройти до экрана свет от краёв этих полосок, отличается на /2. Рис. 9.5 Если на ширине щели умещается чётное число зон Френеля, на экране в точке наблюдения будет минимум освещённости, если число зон нечётное – максимум. Положение точки наблюдения на экране задаётся углом  между направлением дифрагирующих лучей и нормалью к плоскости, в которой прорезана щель. Как следует из рис. 9.5,  равен углу CAA (они имеют взаимно перпендикулярные стороны). Таким образом, ширина AA одной зоны Френеля оказывается   равной /sin, а на ширине щели a умещается k  a  ( /sin) 2 2 зон. Если k – чётное число (k  2m, где m  1, 2, 3, …), в точке наблюдения N на экране будет минимум дифракционной картины, если k – нечётное число (k  2m  1) – максимум. Полученные условия удобно представить в виде следующих соотношений: m2 m1 m  1 m  2 a asin  m – условие минимума;  asin  m  – условие максимума. 2 71 (9.2) (9.3) В этих формулах m  1, 2,… – номера минимумов и максимумов (на рис. 9.5 – минимумов), знак соответствует отсчёту угла в одну или в другую сторону от главной оптической оси линзы. Примечание 1 Положение максимумов дифракционной картины зависит от длины волны света , поэтому при падении на щель белого света на экране на месте максимумов будут наблюдаться радужные полосы, причём, чем больше длина волны (переход от фиолетового цвета к красному), тем сильнее максимум смещён от центра. Но при m  0 разности хода между лучами нет, вся щель работает, как одна зона и поэтому в центре дифракционной картины будет наблюдаться максимум для всех длин волн: этот максимум останется белым. a a   A B A   0   90 I а) B I Э X Рис. 9.6 Э X б) Примечание 2 Рассмотрим ситуацию, когда ширина щели a  . Это означает, что asin  m или asin  0, то есть угол   0. Другими словами, сразу за границей, отмеченной этим углом, начинается область геометрической тени (рис. 9.6а). О дифракции здесь говорить трудно (хотя, в принципе в тени, у границы света и тени также можно наблюдать слабо выраженные дифракционные полосы). 72 Примечание 3 В другом крайнем случае, когда ширина щели a  , пользуясь условием (9.2), получаем: asin  ma, то есть sin  m, а, коль скоро, m – целое, то делаем следующий вывод: данное условие может выполняться лишь при m  1 или   90, что соответствует практически равномерному освещению всего экрана (см. рис. 9.6б). Контрольные задания и вопросы 1. Дайте определение дифракции света. Приведите примеры её возникновения. 2. Сформулируйте принцип Гюйгенса-Френеля. 3. В чём заключается сущность метода зон Френеля? 4. Что называется зонной пластинкой? Что такое «фазовая» зонная пластинка? 5. Опишите дифракцию, происходящую на круглом отверстии и на непрозрачном диске. 6. Рассмотрите дифракцию Фраунгофера на одной щели. Получите формулу – условие возникновения минимумов при такой дифракции. 73 Лекция № 10 ВОЛНОВАЯ И КВАНТОВАЯ ОПТИКА. ЧАСТЬ III 10.1 Дифракция света. Дифракционная решётка m2 m1 m0 m  1 m  2 Рассмотрим в качестве препятствия плоскость с прорезанными в ней параллельными щелями одинаковой толщины. Если щелей много и они расположены друг от друга на одинаковых расстояниях, то можно говорить о дифракционной решётке. Введём обозначения: a – ширина каждой из щелей, b – расстояние между соседними щелями; расстояние d  a  b назовём постоянной дифракционной решётки (см. рис. 10.1). Очевидно, что на единицу длины такого оптического прибора приходится N  1/d щелей (линий): современные дифракционные решетки могут иметь линейные размеры в десятки сантиметров и содержать более 1000 линий на каждый миллиметр! Пусть свет с длиной волd  ны  падает нормально на a b решётку с постоянной d. Для наблюдения дифракции Фраунгофера параллельно      плоскости решётки располо жим линзу, в фокальной  плоскости которой поместим Л экран. На экране появится I система светлых узких полос (главных максимумов), разделённых тёмными областями, в которых, впрочем, также наблюдаются максимумы освещённости (побочЭ ные), но существенно менее X яркие, и поэтому о них мы здесь говорить не будем. Выведем условие появРис. 10.1 ления главного максимума при дифракции света на си74 стеме параллельных щелей (на дифракционной решётке). Для этого рассмотрим, как формируется картина при сложении световых волн, распространяющихся в сторону линзы под углом  к её главной оптической оси. Во-первых, следует помнить, что если выполняется условие (9.2) минимума при дифракции на одной щели (asin  m), то и после системы щелей света не появится. В этом смысле условие (9.2) является определяющим. Но ситуация с asin  m является гораздо более вероятной, и тогда для вывода условия появления главного максимума следует вычислить разность хода  волн, исходящих от соседних щелей и сравнить её с длиной волны падающего света. Поскольку у воздуха показатель преломления n  1, при расчёте оптической разности хода его можно не учитывать. Из рис. 10.1 следует, что разность хода света от соседних щелей   dsin. Мы помним: максимум возникает, если   m, где m – целое число, поэтому условие возникновения главных максимумов при дифракции света на дифракционной решётке приобретает вид: dsin  m. (10.1) Примечание 1 Чем больше линий на единицу длины содержит решётка, тем более яркими оказываются дифракционные максимумы и тем дальше они отстоят друг от друга. При этом максимальное число возникающих максимумов ограничивается условием   90, то есть m (целое число) не может быть больше, чем дробь d/. Примечание 2 При пропускании сквозь решётку белого света все максимумы, кроме центрального, разложатся в спектр, фиолетовая область которого находится ближе к центру дифракционной картины, чем красная. Центральный максимум (m  0) останется белым. 75 Разложение дифракционной решёткой света на компоненты с разными длинами волн используется в работе спектральных оптических приборов различного назначения. Примечание 3 Кроме дифракционных решёток, работающих «на прохождение», в оптических приборах применяются решётки, работающие «на отражение». Такие устройства тоже содержат систему параллельных тонких полосок: отражающих свет (зеркальных) и не отражающих; дифракционная картина наблюдается в отражённом свете. 10.2 Дифракция на трёхмерных решётках 10.2.1 Дифракция рентгеновских лучей на кристаллической решётке. Формула Вульфа-Брэгга Рассмотренные выше дифракционные решётки можно считать одномерными: прозрачные (или отражающие) полоски чередуются с непрозрачными (или не отражающими); чередование происходит лишь вдоль одной оси. В двумерной решётке имеются две системы полос, лежащих в одной плоскости, но развёрнутых на некоторый угол (в простейшем случае – на 90) друг относительно друга. Соответствующая дифракционная картина имеет вид светлых пятен, расположение которых описывается формулами d1sin1  m1, и при этом d2sin2  m2 (индексы относятся к параметрам первой и второй решёток соответственно). Примером трёхмерной дифракционной решётки, чередование «прозрачных» и «непрозрачных» участков которой происходит уже даже не в двух, а в трёх измерениях, являются кристаллы. Роль «непрозрачных» препятствий в них играют атомы, регулярно расположенные в пространстве. Правда, расстояния между атомами слишком малы, чтобы на них происходила дифракция света 76 (видимое излучение имеет «слишком большую» длину волны). Но на такой решётке может дифрагировать электромагнитное излучение с меньшей  – рентгеновское. На рис. 10.2 показан ход лучей, падающих на кристалл. Атомы (обозначены чёрными точками) образуют плоскости, параллельные друг другу (на рисунке расстояние между этими плоскостями обозначено буквой d). Луч 1 отражается от первой плоскости, луч 2 – от второй. Между лучами возникает разность хода, которая приводит к появлению дифракционной картины в отражённом «свете». Сама картина фиксируется, например, на фотоплёнку. Получим условие возникновения максимума дифракционной картины рентгеновских лучей (формулу Вульфа-Брэгга). Из рисунка следует, что 1 1 разность хода, возникающая 2 2   между лучами 1 и 2 после   отражения от препятствий, составляет величину, равную d     2dsin (угол  называется углом скольжения). Максимум дифракционной картины возникнет, есРис. 10.2 ли разность хода  оказывается равной целому числу m длин волн : d dsin 2dsin  m (10.2) (формула Вульфа – Брэгга). Замечательной особенностью данной формулы является то, что, зная длину волны падающего излучения и измерив угол скольжения, при котором наблюдается максимум дифракционной картины, по ней можно рассчитать расстояние между атомами в кристаллической решётке! Более того: поворачивая кристалл и исследуя получаемую дифракционную картину, можно сделать выводы о структуре самой решётки, понять, чем строение одного кристалла отличается от строения другого. Именно поэтому 77 фракционные методики широко используются на практике для рентгеноструктурного анализа различных материалов. 10.2.2 Голография в толстых плёнках Голография – один из способов получения оптического изображения объекта, для реализации которого используются рассмотренные нами явления интерференции и дифракции. Голограмма, по сути, представляет собой интерферограмму световой волны, зафиксированной, например, на фотопластинке. От амплитуд интерферирующих волн зависит величина возникающих максимумов, а от фаз – их положение. Существуют несколько методов получения голограмм, здесь мы рассмотрим тот из них, который позволяет получать изображение, наблюдаемое в обычном свете лампы. Работу с такой голограммой можно разделить на три этапа. 1. Получение интерференционной картины в объёме фоточувствительного слоя (например, – фотоэмульсии, нанесённой на стеклянную пластину). Одна из возможных схем записи голограммы изображена на рис. 10.3а. Монохроматический свет лазера Белый свет лампы Лучи к наблюдателю Трёхмерная дифракционная решётка Фотослой Стоячая волна Предмет а) б) Рис. 10.3 78 Мнимое изображение предмета Свет от когерентного источника (лазера) падает на фотослой, частично проходит его и попадает на предмет, расположенный за фотопластинкой. Отражённый предметом свет идёт в обратном направлении и интерферирует с падающим: внутри фотослоя возникает стоячая волна. В местах пучностей происходит возбуждение атомов (например, – ионов серебра), которые и формируют пока ещё невидимое изображение. 2. Проявка изображения На этой стадии голограмма с «записанным» изображением подвергается химической обработке, в ходе которой возбужденные атомы взаимодействуют с проявителем, в результате чего в местах, соответствовавших пучностям, возникают непрозрачные области. Другими словами, в фотослое возникает трёхмерная дифракционная решётка, которая, по сути, и является самой голограммой. Затем следуют стадия «закрепления» изображения (удаляются лишние, невозбуждённые атомы серебра) промывки и сушки. После этого голограмма готова к использованию. 3. Восстановление изображения Для получения изображения голограмму вновь следует осветить, однако теперь это можно делать белым светом. Падающий на фотослой световой поток испытывает дифракцию на сформированной в ней дифракционной решётке, и в отражённом свете возникает такая же картина, которая соответствовала волнам, идущим от предмета (рис. 10.3б). Но теперь самого предмета нет: его роль играет трёхмерная дифракционная решётка. Возникающие при отражении максимумы соответствуют той длине волны, на которой проводилась запись, волны других длин в формировании изображения не участвуют, то есть голограмма «автоматически» выбирает из белого света ту , которая требуется для восстановления изображения. При этом изображение оказывается объёмным, в чём можно убедиться, поворачивая голограмму. Возможно получение и цветных голограмм, для чего запись изображения должна проводиться в лучах сразу трёх лазеров: красного, синего и зелёного (комбинацией этих цветов можно со79 здать все другие, воспринимаемые человеческим глазом). В этом случае в объёме фотослоя формируются сразу три «вложенные» друг в друга дифракционные решётки, обеспечивающие получение цветной картины на этапе восстановления. Основы голографии были заложены Д.Габором (Великобритания), первые толстослойные голограммы были получены в нашей стране Ю.Н.Денисюком. 10.3 Прохождение света через вещество. Дисперсия света Классическая теория описывает прохождение света через вещество как взаимодействие электромагнитных волн с заряженными частицами, входящими в состав вещества (электронами, ионами). Каждая молекула (или атом) вещества рассматривается как диполь – линейный гармонический осциллятор с эффективным зарядом q и массой m. Осцилляторы поглощают энергию падающей световой волны и начинают совершать вынужденные колебания в переменном электромагнитном поле. Часть поглощённой энергии переходит в тепло, а часть – спустя некоторое время испускается в виде вторичной волны, распространяющейся в среде с той же частотой, что и первичная волна. Вторичная волна также поглощается и переизлучается, возникает «третичная» волна, и так далее: по мере распространения света в среде процесс повторяется снова и снова. В итоге световая волна, распространяющаяся в веществе (а также на выходе из него) является результатом наложения первичной и всех последующих излучаемых волн. Процесс поглощение – переизлучение занимает некоторое время, поэтому скорость распространения света в среде  оказывается меньше, чем в вакууме (  c), и при этом она зависит от соотношения частоты  падающей световой волны и собственных частот колеблющихся диполей-осцилляторов (в общем случае у молекулы сложной формы таких частот 0i несколько). Но если скорость света в веществе зависит от частоты (или, что то же самое – от длины волны   2c/  c/ν), то от этих 80 1 1 ФИОЛЕТОВЫЙ  а) КРАСНЫЙ n КРАСНЫЙ n ФИОЛЕТОВЫЙ параметров должен зависеть и показатель преломления n, так как n  с/. Дисперсией света называют группу явлений, связанных с зависимостью показателя преломления среды (вещества) n от характеристик распространяющихся в нем электромагнитных волн светового диапазона: длины волны n  n(λ) или частоты n  n(), а также n  n(ν). Типичный вид зависимостей n(λ) и n() в случае нормальной дисперсии приведён на рис. 10.4а и 10.4б.  б) Рис. 10.4 В упрощённой модели дисперсии рассматриваются незатухающие (без потерь энергии) колебания внешних, наиболее слабо связанных с ядром электронов. Предполагается, что диэлектрик состоит из атомов, на каждый атом приходится лишь один такой электрон, и имеется лишь одна собственная циклическая частота свободных незатухающих колебаний 0. В результате вынужденных колебаний электрона в поле с напряженностью E(t)  E0 cost, атом приобретает электрический дипольный момент pe  exm cost,  1 N  а вещество поляризуется: поляризованность P   pe . И если V i 1 все дипольные моменты атомов направлены в одну сторону, то P  N0 pe  N0exmcost; 81 в этой формуле N0 – концентрация поляризованных атомов. Напомним: для большого класса диэлектриков P  0E (в нашем случае P  0E0 cost), где  – диэлектрическая восприимчивость вещества, связанная с диэлектрической проницаемостью  соотношением   1  . Выше мы говорили: для показателя преломления оптически прозрачных сред справедлива зависимость n   , а это означает: N ex P n2    1    1  1 0 m . (10.3)  0 E0 0 Е Но в системе, совершающей вынужденные колебания, возможен резонанс: резкое возрастание амплитуды колебаний (в нашем случае xm). Если потерь энергии нет (коэффициент затухания 0) резонанс наступает, когда частота внешней вынуждающей силы (у нас – это частота ) оказывается равной собственной частоте 0 колебаний системы. Для колеблющегося около положения равновесия электрона можно записать дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные колебания, а также его решение: eE eE0 2 x  0 x  0 cost; x  xmcost, где xm  . 2 m m(0  2 ) Подставляя выражение для xm в формулу (10.3), получаем: зависимость показателя преломления среды n от частоты электромагнитной волны  должна иметь резонансный характер: N 0e 2 n2  1  . (10.4) 2 0 m(0  2 ) В металлах, в которых свободные электроны не связаны с конкретными атомами, 0  0, и n2  1  где КР  N 0e 2  0 m2 N 0e 2 1 КР 2 2 , – критическая частота. Если   КР, то показа0m тель преломления n становится мнимым: электроны проводимо82 сти испытывают многократные столкновения с кристаллической решёткой, уже в приповерхностной области происходит сильное поглощение электромагнитного излучения, которое приводит к её нагреву. Для излучения с частой   КР (например, – рентгеновского) металл становится прозрачным: частота излучения столь высока, что электроны на него практически не реагируют. В области нормальной дисперсии   0, и с увеличением частоты света (уменьшением ) n возрастает (рис. 10.4). При аномальной дисперсии увеличение  приводит к уменьшению n. Такое явление встречается на практике, но в этой области, как правило, наблюдается сильное поглощение света, и свет плохо проходит сквозь вещество. Кроме того, реальные молекулы имеют более сложную структуру, чем рассмотренный нами элементарный диполь, и характеризуются не одной, а несколькими собственными частотами 0i, поэтому область аномальной дисперсии для одной частоты, если она и есть, быстро сменяется областью нормальной дисперсии для следующей 0i: N e2 n2  1  0  .  0 i m( 0 i 2   2 ) Пример графика зависимости n2() приведён на рис. 10.5. Наличие зависимостей n() и n() позволяет объяснить опыт Ньютона, в котором белый свет, пройдя стеклянную призму, разлагается в радугу. На рис. 10.6 в изображён случай нормального падения луча белого све0 0  та на поверхность раздела воздух стеклянная призма. Соответствующий Рис. 10.5 угол падения равен нулю, поэтому равен нулю и угол преломления: луч света входит в стеклянную призму, не преломляясь. Преломление происходит на второй граn НОРМАЛЬНАЯ ДИСПЕРСИЯ АНОМАЛЬНАЯ ДИСПЕРСИЯ 83 нице раздела (стекло – воздух), при этом, согласно закону преломления света, sin  sin   n2 n1 . Экран n2 Белый свет n1  Стекло  КР Ф Красный Фиолетовый Рис. 10.6 Очевидно: чем больше показатель преломления материала призмы n1, тем больше окажется и угол преломления . В области нормальной дисперсии показатель преломления тем больше, чем меньше , следовательно, длинноволновые компоненты белого света (красно-оранжевые) будут отклоняться на меньшие углы, чем коротковолновые (сине-фиолетовые). На рис. 10.6 изображены лишь две компоненты (красная и фиолетовая), соответствующие границам видимого диапазона электромагнитных волн. Между ними в порядке уменьшения  располагаются остальные. Контрольные задания и вопросы 1. Рассмотрите дифракцию на одномерной решётке, Получите условие возникновения главных максимумов при дифракции. 2. Рассмотрите дифракцию рентгеновских лучей на кристаллической решётке. Выведите формулу Вульфа-Брэгга. 3. Что такое голография? Чем голограммы отличаются от обычных фотографий? 84 4. Как происходит запись и восстановление объёмного голографического изображения? 5. Что называется дисперсией света? Какова её природа? Приведите примеры наблюдения дисперсии света. 6. Что такое «нормальная» дисперсия и что такое «аномальная» дисперсия? 7. Объясните, почему призма разлагает белый свет в радугу. 85 Лекция № 11 ВОЛНОВАЯ И КВАНТОВАЯ ОПТИКА. ЧАСТЬ IV 11.1 Поглощение и рассеяние света Как мы уже говорили, процесс прохождения световой волны сквозь вещество сопровождается непрерывным поглощением – переизлучением волн атомами и молекулами, которые можно считать испытывающими колебания электрическими диполями. Часть энергии волны при этом может переходить в тепловую, и по мере продвижения вглубь вещества интенсивность волны уменьшается: происходит её поглощение. Кроме этого после переизлучения часть световой энергии может начать распространятся в направлениях, отличных от первоначального: происходит рассеяние света. Рассеяние возможно также в результате дифракции световой волны на неоднородностях среды (на пылинках, капельках и так далее, а в газе ещё и на скоплениях молекул, обусловленных флуктуациями – случайными отклонениями плотности среды от среднего значения). Ослабление пучка света при его распространении в веществе за счёт совместного действия процессов поглощения и рассеяния называется экстинкцией света (от латинского exstinctio – гашение). Получим формулу закона, описывающего это явление (закона Бугéра – Лáмберта). Пусть световая волна dx движется вдоль оси X и в точке с координатой x  0 переходит из вакуума в неI0 I I  dI x X которую среду. На входе интенсивность волны равна I0; по мере проникновения в вещество её интенсивРис. 11.1 ность уменьшается и в точке с координатой x она равна I. Если далее волна проходит добавочное расстояние dx, то её интенсивность уменьшается на dI. Это означает, что dI   dx. Кроме того, dI  I (чем выше была ин86 тенсивность, тем сильнее может быть её изменение), и, конечно же, величина dI зависит от свойств вещества, которые характеризуются показателем экстинкции : dI   Idx. (11.1) Разделим переменные и проинтегрируем обе части уравнения: I  I dI I x    dx , или lnI  lnI0  x, или I(x)  I0ex (закон Бугéра – Лáмберта) (11.2) Показатель экстинкции   1  2, где 1 – показатель поглощения света, 2 – показатель рассеяния света. В случае, когда размеры d неоднородностей, на которых происходит рассеяние света меньше или порядка одной десятой от длины его волны  (то есть при d  ), для рассеянного света справедлив закон Рэлея: его интенсивность I РАС обратно пропорциональна четвёртой степени длины волны: I РАС  или, так как   2c 1 4 (11.3) , I РАС  4.  Закон объясняет, почему небо – голубое, и почему солнце на закате (особенно в случае появления дымки) краснеет (рис. 11.2). Днём солнце находится высоко, солнечные лучи падают почти отвесно вниз (проходят путь ZX), и за время прохождения в атмосфере успевают рассеяться ПОЛДЕНЬ Солнечный лишь лучи с малой длиной свет (белый) волны: фиолетовые, синие, Z Граница атмосферы голубые (названия цветов на Ф С рис. 11.2 обозначены букваГ О З С ми). Небо окрашивается в Y ВЕЧЕР З, Ж, О, К К Солнечный голубой цвет, а солнце окаX свет (белый) зывается «желтоватым». На Ж Г Ф Рис. 11.2 закате лучи проходят в атмо87 сфере заметно больший путь (YX  ZX), рассеиваются уже и зелёные и жёлтые лучи, а до нас доходят лишь оранжево-красные и красные. Если на небе в это время есть дымка, покраснение оказывается ещё более явно выраженным. Эффект усиливается более сильным преломлением сине-фиолетовых лучей в атмосфере, чем красных. Из закона Рэлея следует также, что в дыму, в тумане красный сигнал светофора виден на бόльшем расстоянии, чем зелёный. 11.2 Эффекты, связанные с поляризацией света. Поляроиды Когда мы говорили о трёх взаимно перпендикулярных векто   рах, характеризующих электромагнитную волну ( E , H и  ) – см. рис. 6.4, мы отметили, что плоскость, в которой происходят  колебания вектора E , называется плоскостью поляризации электромагнитной волны, и если плоскость поляризации сохраняет свою ориентацию в пространстве, волна называется плоско (или линейно) поляризованной. Естественный свет не поляризован (или, что то же самое, – поляризован хаотически): плоскость его поляризации произвольным образом меняет ориентацию в простран стве, поворачиваясь относительно оси, задаваемой вектором  .  Почему нас интересует именно вектор E ? Ведь на движущиеся заряды (например, на электроны в веществе) кроме электрической компоненты волны действует и магнитная, создавая силу Лоренца! Для ответа сравним действие возникающих сил. Электрическая сила: FЭЛ  qE; сила Лоренца: FЛ  qB ( – скорость электронов, движущихся в веществе, в котором распространяется электромагнитная волна). 0 E с FЭЛ E qE 1      FЛ  0 H qB 0  0  0 H  0 E   0 H, причём в про1 странстве между атомами  1,   1, а также то, что  c,  0 0 Здесь мы использовали, что где c – скорость света в вакууме. 88 Понятно, что c  , и из этого следует, что FЭЛ  FЛ, то есть при рассмотрении оптических явлений нас должно, прежде всего, интересовать поведение электрической компоненты электромагнитной волны. Начнём с рассмотрения плоско поляризованных волн. Как их получить? Существуют вещества, молекулы в которых коллективным образов ориентированы в пространстве, и поэтому после поглощения энергии электромагнитной волны переизлучают только ту  компоненту вектора E , которая параллельна направлению их ориентации (обозначим её сим  EII волом EII ). Энергия, соответствующая перпендикулярной  I ПОЛ компоненте E переходит в  E тепло. К числу таких веществ  EII относятся слюда, некоторые полимеры. Это означает: после прохождения слоя такого веще ства хаотически поляризованE ный (естественный) свет теряет I ЕСТ в интенсивности половину (обе компоненты в хаотически поляризованном свете равновероРис. 11.3 ятны), зато на выходе мы получаем плоско поляризованный свет: I ПОЛ  ½ I ЕСТ (см. рис. 11.3). Устройство, превращающее естественный свет в поляризованный, называется поляроидом (поляризатором). Плоско поляризованный свет можно пропустить через второй поляроид (часто его называют анализатором), плоскость которого параллельна поляризатору. Вращая анализатор относительно оси, вдоль которой распространяется свет, можно убедиться в том, что на выходе из него интенсивность света будет меняться от максимального значения (в этот момент молекулы анализатора ориентированы также, как и у поляризатора) до минимального 89 (при этом выделенные направления молекул поляроидов взаимно перпендикулярны). Поясним сказанное.  Пусть на поляроид П (рис. E0 Y П 11.4) падает плоско поля E0 ризованная световая волна Z X   интенсивностью I0 с амплиE0 E  E0cos тудным значением напря E жённости электрического  E поля E0; колебания вектора   E E происходят вдоль оси Y.   Поляроид (его схематичное обозначение изображено в нижней части рисунка) 2 I0 I0cos  пропускает только компоненту с амплитудой E, коРис. 11.4 лебания которой происходят в направлении, составляющем угол  с первоначальным: E  E0cos. И поскольку интенсивность световой волны I  E2, мы можем сделать вывод о том, что интенсивность света, прошедшего сквозь поляризатор, прямо пропорциональна квадрату косинуса угла между направлениями колебаний вектора напряжённости электрического поля в падающей и прошедшей волнах, I  I0cos2. (11.4)  Данное утверждение носит название закона Малюса. Очевидно: если через два последовательно расположенных поляризатора проходит естественный свет (интенсивностью I ЕСТ), на выходе из системы интенсивность света окажется равной I  ½ I ЕСТcos2.  Может оказаться, что компонента E поглощается поляроидом не полностью, тогда свет на выходе окажется поляризованным частично. Степень поляризации характеризуется параметром 90 P I МАКС I МИН , (11.5) I МАКС  I МИН где I МАКС и I МИН – максимальное и минимальное значение интенсивности света, которые можно получить, поставив на его пути новый анализатор и вращая его. Понятно, что у естественного света I МАКС  I МИН, то есть P  0; у плоско поляризованного, наоборот, I МИН  0, или P  1. Примечание 1 Степень поляризации P равна нулю не только у естественного  света. Плоскость, в которой происходят колебания вектора E , может равномерно поворачиваться в пространстве относительно  оси, совпадающей с направлением вектора  (рис. 11.5). Про та  кой свет говорят, что он имеет круговую E E поляризацию. Круговая поляризация мо жет быть правой или левой, в зависимоE сти от того, по часовой стрелке или про  тив неё происходит вращение.  Поляризация может быть и эллиптиE ческой, если одновременно с вращением от максимального до минимального зна чений меняется амплитуда колебаний E вектора напряжённости электрического Рис. 11.5 поля. 11.3 Отражение света на границе раздела диэлектриков Свет может поляризоваться не только после прохождения сквозь вещество, но и при отражении на границе раздела двух диэлектрических сред. Если в падающей волне естественного света в равной степени присутствуют колебания всех направлений, то в  отражённом будут преобладать колебания вектора E , происходящие параллельно поверхности раздела. В преломлённом луче, ситуация будет обратной. Сказанное поясняется рис. 11.6а, на 91 Б n1 n 2  n1  а) б) Рис. 11.6 котором компоненты  вектора E , параллельные поверхности раздела, обозначены точками, а перпендикулярные им – чёрточками. В естественном свете компонент обоих типов оди-наковое количество, в отраженном и преломлённом – раз- ное. Если отражённый и преломлённый лучи взаимно перпендикулярны (рис. 11.6б), отражённый луч оказывается полностью  поляризованным (закон Брюстера). Соответствующий угол падения называется углом Брюстера (Б). Очевидно: sin Б sin  Б sin  Б    tgБ. sin (/2 -  Б ) cos Б sin  Но по закону отражения света sin  Б  n2 , следовательно, n1 sin  полная поляризация отражённого луча наступает, когда n tgБ  2 . (11.6) n1 Заметим: полностью поляризованным оказывается лишь отражённый луч, преломлённый поляризован частично. Примечание 2 При падении света на границу раздела двух сред в случае, когда показатель преломления второй среды меньше, чем первой (n2 n1), возможно возникновение явления полного внутреннего отражения, которое заключается в том, что при превышении углом 92 падения некоторого предельного значения П преломлённый луч исчезает и остаётся лишь отражённый – см. рис. 11.7.   П *  П n1 n2  n1 n1  n2  n1 n1   /2 n2  n1 Рис. 11.7 При угле падения   П угол преломления   /2. Сам угол П можно вычислить, пользуясь законом преломления света: sin  П sin П n   sinП  2 sin /2) sin  n1 Явление полного внутреннего отражения используется в работе световодов для оптоволоконной оптики. Волоконный световод представляет собой нить из оптически прозрачного материала, сердцевина которой радиуса r1 имеет показатель преломления n1; у внешней оболочки (радиуса r2) n2  n1. (рис. 11.8а). r1 r2 П n1 i n2 а) n1(r) n1  n2 П n2 в) б) Рис. 11.8 Лучи, распространяющиеся под достаточно малыми углами к оси световода, испытывают полное внутреннее отражение на поверхности раздела сердцевины и оболочки, распространяясь, в итоге, только по сердцевине (рис. 11.8б). Показатель преломления сердцевины может зависеть от расстояния до её центра, и тогда траектория луча света оказывается не ломаной, а плавной линией (рис. 11.8в). 93 11.4 Оптически анизотропные среды Оптическая анизотропия – это зависимость оптических свойств вещества от направления. Анизотропия бывает естественная (как мы уже говорили, ею обладают вещества, из которых изготавливают поляроиды, кроме того, она характерна для кристаллов, свойства которых не одинаковы в разных направлениях) и искусственная (вызываемая внешними воздействиями). В виде примера рассмотрим кристалл, элеY ментарная ячейка которого имеет вид прямоугольного параллелепипеда (рис. 11.9). Можно представить себе, что два соседних атома образуют электрический диполь, но расстояния между соседними атомами вдоль рёбер паралX лелепипеда неодинаковы, следовательно, под Z действием переменного поля электромагнитРис. 11.9 ной волны диполи будут колебаться поразному. Тогда для каждого из трёх направлений разными окажутся значения его диэлектрической проницаемости (X  Y  Z), и показателя преломления вдоль этих направлений (у оптических сред n   , следовательно, nY  nY  nZ). Пусть в таком кристалле свет распространяется вдоль оси X. Тогда колебания вектора  E , происходящие вдоль осей Y и Z, распространяются с разными скоростями! Как итог – при попадании волны на анизотропный кристалл она разделяется на две компоненты с взаимно перпендикулярной поляризацией, причём, в общем случае, эти компоненты преломляются под разными углами и расходятся. Это явление называется двойным лучепреломлением. В анизотропном кристалле может существовать направление, при распространении света вдоль которого двойного лучепреломления не происходит. Данное направление называется оптической осью кристалла. Оптическую анизотропию можно создать и в однородных средах, подвергнув их внешнему воздействию, например, – механическому сжатию или растяжению, поместив в электрическое или магнитное поле. 94 11.4.2 Жидкие кристаллы Жидкие кристаллы (ЖК) – особое состояние некоторых органических веществ, в котором они обладают текучестью, но сохраняют определённую упорядоченность в расположении молекул и анизотропию ряда физических (в частности, оптических) свойств. Воздействуя электрическим полем на ЖК, можно менять ориентацию его молекул и, тем самым, изменять условия прохождения света сквозь него. Работа ЖК-ячейки системы отображения информации поясСвет няется рис. 11.10. Естественный свет падает на поляроид П1, проП1 ЖК пускающий лишь вертикальную Э1  Э2 компоненту вектора E , а затем С П2 проходит сквозь прозрачный Рис. 11.10 электрод Э1, поверхность которого полирована таким образом, чтобы на ней возникли вертикальные микробороздки. Жидкий кристалл ЖК (молекулы изображены в виде стержней) находится между электродом Э1 и прозрачным электродом Э2, отполированным так, чтобы микробороздки на его поверхности были горизонтальны. Молекулы ЖК у поверхности электродов располагаются вдоль бороздок, а в пространстве между электродами образуют винтовую структуру. Поглощая и переизлучая свет, пропущенный поляроидом П1, эти молекулы поворачивают плоскость его поляризации на 90° так, что он приобретает способность пройти сквозь поляроид П2,  пропускающий лишь горизонтальную компоненту вектора E . Дальше свет идёт сквозь светофильтр С, получая окраску. После подачи на электроды Э1 и Э2 напряжения, молекулы ЖК выстраиваются вдоль силовых линий, то есть вдоль направления распространения света, поворота плоскости поляризации которого теперь не происходит. Поляризованный в вертикальном направлении свет сквозь поляроид П2 пройти уже не сможет. Таким образом, ЖК-ячейка работает как управляемый электрическим полем оптический транспарант. 95 Примечание 3 Поворачивать плоскость поляризации света могут не только жидкие кристаллы, но и некоторые другие вещества. В ряде случаев для поворота плоскости поляризации на угол  необходимо создавать добавочное электрическое поле напряжённостью E:   E (эффект Поккельса),   E2 (эффект Керра); в некоторых – поворот вызывается магнитным полем напряжённостью H:   lH (эффект Фарадея). Иногда (у растворов) угол поворота зависит от концентрации в нём оптически активного вещества C:   Сl. В последних двух случаях угол поворота плоскости поляризации  прямо пропорционален пути l, который свет проходит в веществе. Контрольные задания и вопросы 1. Что такое экстинкция света? Какова её природа? Получите закон Бугéра – Лáмберта. 2. Приведите примеры проявления закона Рэлея. 3. Какой свет называется поляризованным? 4. Опишите методы получения поляризованного света. 5. В чём заключается закон Малюса? Ответ поясните рисунком. 6. В чём заключается закон Брюстера? Ответ поясните рисунком. 7. Опишите принцип работы световода. 8. Что такое жидкие кристаллы? Где они используются? 9. Опишите способы получения и применения искусственной анизотропии веществ. 96 Лекция № 12 ВОЛНОВАЯ И КВАНТОВАЯ ОПТИКА. ЧАСТЬ V 12.1 Тепловое излучение 12.1.1 Определения - Если электромагнитное излучение испускается телом за счёт своей внутренней энергии (теплового движения атомов и молекул), то такое излучение называется тепловым*. Его особенностью является то, что оно может являться равновесным. Это означает: после помещения нескольких имевших разную температуру тел в изолированный от окружающей среды объём спустя некоторое время между ними наступает тепловое равновесие (каждое тело в единицу времени испускает столько же энергии, сколько и поглощает). Получить тепловое излучение легко, для этого тело нужно просто нагреть, и поэтому не удивительно, что изучением данного явления занимались многие исследователи. Однако для того, чтобы объяснить наблюдаемые закономерности, в способы и модели, применявшиеся для описания окружающего мира, физикам потребовалось внести кардинальные поправки. Для того чтобы понять суть проблемы, сначала нужно ввести серию определений. - Энергетическая светимость тела RЭ – энергия, испускаемая в единицу времени с единицы поверхности тела во всех направлениях в диапазоне частот от нуля до бесконечности; [RЭ]  Вт/м2. - На разных частотах (длинах волн) телом испускается разная энергия. Испускательной способностью тела r (или r, r) называется энергия, испускаемая во всех направлениях в единицу времени с единицы поверхности в единичном интервале частот (длин волн): r  dR d ; или r  dR d ; или r  dR d . (12.1) Электромагнитные волны могут излучаться и в ходе других процессов, например, при люминесценции. Люминесценцией называется электромагнитное излучение, избыточное над тепловым при данной температуре, длительность послесвечения которого много больше периода световых колебаний. Это излучение – неравновесное. * 97 Очевидно, r, и r не одинаковы по величине, а от r отличаются и по размерности, однако все они взаимосвязаны: при одной и той же температуре для одного и того же участка спектра: dRЭ  rd  rd  rd, или    RЭ   rd   r d   r d . То, как меняется испускательная способность тела, например, на разных длинах волн при заданной температуре, можно получить, измеряя испускаемую телом энергию на заданной длине волны; примеры соотr*, Вт/м3 ветствующих кривых приведены на рис. 12.1. Одной из задач физи80000 T3  1000 °C ков второй половины XIX века была задача 40000 T2  800 °C теоретического вывода зависимости r(,T), T1  600 °C но на этом пути встре0 тились значительные 200 400 600 800 , нм трудности, о которых Рис. 12.1 речь пойдёт ниже. - Пусть на тело падает поток лучистой энергии. Отношение энергии, поглощаемой в единицу времени единичной поверхностью тела на данной частоте  или  (или длине волны ) ко всей падающей на ту же поверхность за то же время энергии на тех же ,  или , называется поглощательной способностью (коэффициентом поглощения) a или a (или a). Поглощение неодинаково на разных частотах (длинах волн) и при разных температурах T. Часть энергии телом отражается, часть – пропускается, поэтому поглощательная способность всегда меньше единицы. Но можно представить себе гипотетический объект, поглощающий всю падающую на него энергию. Тело, поглощательная способность которого равна единице для всех частот (длин волн) при любых температурах называется абсолютно чёрным. По определению у такого тела a*  a*   a*  1 (здесь и далее все параметры, относящиеся к абсолютно чёрному телу, мы будем помечать звёз98 Рис. 12.2 дочкой). Моделью абсолютно чёрного тела может служить обитый изнутри ворсистой материей ящик (рис. 12.2) с маленьким отверстием в стенке: после попадания в отверстие свет, многократно отражаясь стенками, полностью поглощается, так как из-за малости отверстия вероятность выхода луча из ящика практически равна нулю. 12.1.2 Законы теплового излучения a) Закон Кùрхгофа Согласно установленному Кирхгофом закону, отношение испускательной и поглощательной способностей не зависит от природы тела и является для всех тел одинаковой функцией частоты и температуры: rT rT  f(, T), или  (, T), (12.2) aT a T причём f(, T)  2с (, T)  2 (, T). ω2 2с Поскольку для абсолютно чёрного тела a*  a*  a*  1, можно сделать вывод о том, что f(, T)  r*, а (, T)  r*. Тем не менее, конкретный вид функций f(, T) и (, T) Кирхгофу получить не удалось. b) Закон Стефана - Больцмана Закон говорит о том, что энергетическая светимость абсолютно чёрного тела RЭ* прямо пропорциональна четвёртой степени его термодинамической температуры T:   RЭ*   f (, T )d   (, T )d  T 4 (12.3) В этой формуле   5,67·108 Вт/(м2·К4) – постоянная СтефанаБольцмана. 99 Заметим:  В случае обычных («серых») тел RЭ  T 4, где   1 – коэффициент черноты.  Поскольку геометрический смысл определенного интеграла – площадь под кривой, задаваемой подынтегральной функцией, а (, T)  r*, мы можем сделать вывод о том, что площадь под кривыми на рис. 12.1 прямо пропорциональна четвёртой степени значения соответствующей термодинамической температуры. Несмотря на то, что Больцманом было получено выражение для интеграла от функций f(, T) и (, T), аналитического выражения для самих функций он не нашёл. c) Законы Вина Следующий шаг в выводе формул для f(, T) и (, T) сделал Вин. Ему удалось теоретически доказать, что сами функции должны иметь максимум (что, собственно, и следует из экспериментально получаемого графика 12.1), причём в точке максимума должны соблюдаться два закона:  длина волны m , соответствующая максимуму испускательной способности абсолютно чёрного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре T: b m  . (12.4) T Здесь b  2,898·103 мК – постоянная Вина. Согласно формуле, с увеличением температуры максимум кривой r() должен смещаться в область меньших длин волн (или бόльших частот), поэтому данное утверждение получило название закона смещения Вина. По рис. 12.1 видно, что, действительно, рост температуры приводит к уменьшению m.  По второму закону Вина максимальное значение испускательной способности абсолютно чёрного тела прямо пропорционально пятой степени его термодинамической температуры: (, T)МАКС  rМАКС*  C*T 5, (12.5) 100 где константа C*· 1,29·105 Вт/(м3·К5). Но и Вину вывести формулы для вычисления f(, T) и (, T) не удалось. d) Закон Рэлея – Джинса. Ультрафиолетовая катастрофа Теоретическое выражение для функций f(, T) и (, T) смогли получить Рэлей и Джинс. Рассматривая равновесное тепловое излучение в замкнутом объёме как совокупность стоячих электромагнитных волн, возникающих при сложении испущенных телом волн и тех, которые возвращаются к нему обратно, Рэлей и Джинс вывели формулы 2 f(, T)  kT, (12.6) 42c 2 2с (, T)  4 kT, (12.7)  где k  1,38·1023 Дж/К – постоянная Больцмана, с – скорость света в вакууме. Получение указанных формул явилось большим достижением и в то же время породило столь серьёзную проблему, что её назвали «катастрофой». Дело в том, что хотя в рамках существовавших представлений классической физики формулы были выведены совершенно корректно, выводы, которые из них следовали, в корне противоречили экспериментальным данным. Во-первых, согласно закону Рэлея-Джинса, зависимость f(, T) так же, как и (, T) должна быть монотонной и не иметь никакого максимума (о котором говорится в законах Вина, и который фиксируется в эксперименте). Во-вторых, площадь под кривыми на графиках зависимостей (12.6) и (12.7) стремится к бесконечности, что соответствует утверждению о бесконечно большой энергии, испускаемой в результате теплового излучения, чего, просто не может быть. Хотя в области длинных волн (малых частот) расчёт с использованием закона Рэлея-Джинса даёт результат, близкий к реально 101 наблюдаемому, в коротковолновой области спектра, соответствующей ультрафиолетовому излучению, разница между теорией и экспериментом очевидна (рис. 12.3). Именно поэтому сложившаяся ситуация получила название «ультрафиолетовой катастрофы». (, T)  r* f(, T)  r* по Рэлею – Джинсу Эксперимент по Рэлею - Джинсу Эксперимент   Рис. 12.3 Выход из неё предложил М.Планк. e) Формула Планка. Квантовая природа излучения Для объяснения законов теплового излучения Планк предположил, что энергия атомами тела испускается отдельными порциями – квантами, причём энергия E квантов прямо пропорциональна частоте  излучения: E  h (12.8) (коэффициент пропорциональности h  6,63·1034Джс получил название постоянной Планка). Появление формулы (12.8) и связанной с ней гипотезы Планка ознаменовало рождение новой, квантовой физики. Рассматривая коллектив атомов, их которых состоит тело, как совокупность большого числа колеблющихся объектов (квантовых осцилляторов), в 1900 году Планк вывел формулу для испускательной способности абсолютно чёрного тела, не только полностью согласующуюся с экспериментом, но и позволяющую получить все перечисленные выше законы теплового излучения. f(, T)  3 4 c 1 2 2 102 e  kT , 1 (12.9) где ħ  h  1,031034Джс – постоянная Планка «с чёрточкой», 2 c– скорость света в вакууме, k – постоянная Больцмана, T – термодинамическая температура. В области малых частот (больших длин волн), когда ħ  kT, формула (12.9) переходит в формулу закона Рэлея – Джинса. 12.2 Внешний фотоэффект Внешним фотоэффектом (фотоэлектронной эмиссией) называется явление испускания веществом электронов под действием электромагнитного излучения. Явление открыл Г.Герц в опытах, о которых речь шла ранее: он отметил, что проскакивание искры в межэлектродном пространстве происходило при меньшем напряжении, если электроды освещались ультрафиолетовым излучением. – Первые детальные эксперименты по изучению внешнего фотоэффекта были выполнены А.Г. Столетовым. Схема установки приведена на рис. 12.4: на фотоэлемент (плоский конденсатор, одна из обкладок которого являлась Свет Конденсатор сплошной пластиной, а другая была сделана из металлической сетки), подавалось mA напряжение с источника э.д.с. E; величина напряжения могла меняться с помощью V реостата R. Для наблюдения эффекта конденсатор освещался со стороны сетчатого R электрода; величина напряжения на кон  денсаторе и тока в цепи фиксировались E вольтметром V и миллиамперметром mA. Рис. 12.4 Столетов установил следующее:  наибольший эффект возникает при освещении конденсатора ультрафиолетовым излучением;  сила тока в цепи возрастает с увеличением освещённости  пластины (см. графики вольт-амперных характеристик, приведённые на рис. 12.5); 103  фотоэффект наблюдается, если металлическая пластина имеет отрица 2  1 IН тельный потенциал. 1 На основании результатов опытов был сделан вывод о том, что под возUЗ 0 U действием света из металлической плаРис. 12.5 стины вылетают отрицательно заряженные частицы (позднее выяснилось, что это – электроны). Пластина при этом может быть электронейтральна (напряжение на конденсаторе равно нулю) или даже иметь небольшой положительный потенциал вплоть до некоторого значения, которому соответствует запирающее напряжение UЗ. Однако при объяснении вольт-амперных характеристик фотоэлемента возникло существенное затруднение, связанное с тем, что UЗ оказалось не зависящим от освещённости. Казалось бы: чем выше освещённость пластины, тем больше энергии должны получать электроны и тем легче им преодолеть задерживающую разность потенциалов. Но величина UЗ зависела совсем не от освещённости , а от частоты  падающего света. Дать объяснение этому факту удалось Эйнштейну. Он предположил, что свет поглощается порциями, квантами, а, согласно Планку, энергия кванта зависит от его частоты: E  h. Для того чтобы покинуть металл, электрон должен совершить работу выхода A против сил притяжения положительно заряженных ионов кристаллической решётки. Если потерь энергии нет, то закон сохранения энергии – уравнение Эйнштейна для фотоэффекта может быть записан в следующем виде: I IН   h  A  WМАКС, где WМАКС  mМАКС (12.10) 2 – максимальная кинетическая энергия выле2 тающих электронов (m – их масса, а  МАКС – скорость). Учитывая, что при полном торможении электрона WМАКС  eUЗ, где e – заряд электрона, уравнение (12.10) можно переписать в виде 104 h  A  eUЗ или h c   A  eUЗ. Эффект возможет только, если h  h (12.11) c  A. Максимальная  (критическая) длина волны К, при которой возможен вылет элекc тронов (h  A), называется красной (длинноволновой) граниК цей фотоэффекта. Ей соответствует минимальная частота квантов света МИН, такая, что hМИН  A. (12.12) Работа выхода для каждого материала – своя (соответствующие данные можно найти в справочниках), неодинаковыми у разных веществ оказываются и значения МИН, К. Примечание Используя мощные лазеры, в настоящее время удаётся осуществлять процессы, в ходе которых электрон поглощает энергию не одного, а сразу двух или даже большего числа квантов. Такое явление называется двух- или многофотонным поглощением, и из-за него частота МИН*, на которой начинается фотоэффект, может оказаться в несколько раз меньше, чем приводимая в справочниках МИН. Так, например, при двухфотонном поглощении 2hМИН*  A, и МИН*  0,5МИН. 12.3 Примеры других эффектов, в которых проявляются квантовые свойства света 12.3.1 Фотоны Эйнштейн предположил также, что электромагнитное излучение не только испускается (гипотеза Планка) или поглощается (например, при фотоэффекте), но и переносится, распространяется в пространстве порциями, квантами. И, действительно, в опытах с маломощным источником электромагнитного излучения 105 и несколькими расположенными на одинаковых расстояниях по разные стороны от источника приёмниками было обнаружено, что, фиксируя приход электромагнитного излучения, приёмники срабатывают не одновременно. Этого не должно было происходить, если источник считать точечным, а электромагнитное излучение – сферической волной, распространяющейся одинаковым образом во все стороны сразу. Таким образом, в физике появилось понятие фотонов: частиц, являющихся квантами электромагнитного излучения. Скорость фотонов  и есть скорость света (в вакууме она равна c  3108 м/с), а их энергия E  h  ħ. Поскольку полная энергия любого тела E  mc2, а его импульс h   . p  m  , для фотона можно записать: p  c h Отношение mФ  можно интерпретировать, как массу фотона. 2 c Существенно, что фотон не может покоиться и поэтому не обладает m0 массой покоя m0 (импульс p  , но у фотона   с, а, значит, 1 2 c2 конечное значение данной дроби можно получить лишь в пределе при m0  0). 12.3.2 Давление света. Опыты Лебедева Свет, являясь потоком частиц, обладающих импульсом p каждая, должен воздействовать с определённой силой на освещаемую поверхность. Если фотон поглощается, исчезает, (p2  0), то изменение его импульса p  p2  p  0  p  p, если упруго (зеркально) отражается, p  p2  p  p  p  2p. Согласно второму закону Ньютона это означает, что на фотон подействовала сила со стороны 106 поверхности: F  p , а согласно третьему закону – на саму поt верхность подействовала сила, такая же по величине, но противоположная по направлению. Другими словами, свет должен оказывать давление на освещаемую поверхность, величина которого зависит от коэффициента отражения  поверхности. Теория показывает: давление света p (напомним: p  F/S, где S – площадь поверхности, перпендикулярно которой действует сила F), рассчитывается по формуле: p  w(1  ), где w  (12.13) dW объёмная плотность энергии электромагнитной волdV ны,  – коэффициент отражения света от поверхности. Световое давление очень мало, и его чрезвычайно трудно измерить. Впервые это сделал П.Н. Лебедев. Он создал установку, чувствительным элементом которой являлась пара крылышек, поразному отражающих свет. Крылышки были подвешены на тонВолос ком волосе (рис. 12.6). Измерив Свет угол закручивания волоса при Крылышки освещении системы, можно было Свет рассчитать величину светового Зеркальце давления. Опыты Лебедева подСвет твердили наличие светового давления – эффекта, который предШкала сказал ещё Максвелл, и показали Рис. 12.6 справедливость формулы (12.13). 12.3.3 Эффект Кόмптона Эффект заключается в том, что рассеяние электромагнитных волн рентгеновского и - диапазона различными веществами сопровождается появлением в рассеянных лучах излучения с большими, чем у падающего (), длинами волн *. Разность   *   107 зависит только от угла  отклонения рассеянного луча от первоначального направления. Объяснит эффект можно, рассматривая процесс рассеяния, как результат упругого столкновения квантов света - фотонов со свободными, первоначально покоящимися электронами. Известно, например, что после упругого столкновения одного биллиардного шара с другим, неподвижным, первый меняет свой импульс и отдаёт часть энергии. При столкновении фотона с покоящимся электроном должно происходить то же самое, при этом потеря фотоном части энергии и означает увеличение его длины волны. Процесс столкновения фотона с электроном поясняется Падающий Электрон квант  отдачи рис. 12.7. Ниже приведена формула, Рассеянный  связывающая изменение дликвант ны волны квантов рассеянно* го рентгеновского и излучения с углом рассеяния  (в этой формуле me – масса Рис. 12.7 покоящегося электрона):   2 mec (1  cos). (12.14) Контрольные задания и вопросы 1. В чём заключается разница между тепловым излучением и люминесценцией? 2. Дайте определение энергетической светимости, испускательной способности и поглощательной способности тела. 3. Какое тело называется абсолютно чёрным? 4. Запишите формулы и сформулируйте законы Кирхгофа, Стефана-Больцмана, Вина. 5. Запишите формулу Рэлея-Джинса. Что означает термин «ультрафиолетовая катастрофа»? 108 6. В чём заключалась гипотеза Планка? Что такое «кванты света», от чего зависит их энергия? 7. Что называется внешним фотоэффектом? 8. Запишите и поясните уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Что называется «красной» границей фотоэффекта? 9. Что такое фотон? Каковы его основные характеристики? 10. В чём заключалась идея опытов, проведённых Лебедевым? Какой вывод был сделан на основании этих опытов? 11. Опишите и объясните суть эффекта Комптона. 109 Лекция № 13 СТРОЕНИЕ АТОМА 13.1 Корпускулярно-волновой дуализм света Рассматривая оптические явления, для объяснения ряда из них (интерференции, дифракции, дисперсии и других) мы предполагали, что свет является электромагнитной волной и, как любая волна, характеризуется длиной волны, частотой, амплитудой. Однако для объяснения целой серии явлений, таких, как тепловое излучение, внешний фотоэффект, давление света, эффект Комптона, нам пришлось сделать вывод о том, что свет является потоком частиц (корпускул), которые называются фотонами и характеризуются привычными для частиц параметрами: импульсом, массой. Термин корпускулярно-волновой дуализм света и означает, что в одних случаях свет «ведёт себя», как волна, а в других – как поток частиц. В связи с этим в начале XX века разгорелась дискуссия: так чем же является свет «на самом деле»: движущимися частицами или волной? Вопрос был снят в 20-е годы, когда де Бройлем была высказана гипотеза о том, что корпускулярно-волновой дуализм присущ не только свету: им (в той или иной мере) обладают все тела (правда, наблюдать на практике его мы можем лишь для микрообъектов, таких, как элементарные частицы и ядра атомов). При этом параметры, характеризующие волновые и корпускулярные свойства объекта, связаны между собой соотношением p  h, (13.1) где p – импульс объекта,  – соответствующая ему длина волны, h – постоянная Планка. c В частности, у фотонов E  h  mc2  mcc  pc, откуда легко  получается соотношение де Бройля. Позднее стало понятно, что корпускулярные свойства электромагнитного излучения обусловлены тем, что энергия, импульс и масса излучения локализованы в дискретных порциях, частицах 110 (фотонах). Волновые свойства оказались связаны со статистическим распределением фотонов в пространстве. Так, например, для отдельного фотона заранее нельзя сказать точно, в какое место на экране он попадёт, но можно говорить о вероятности его попадания в ту или иную точку. Где вероятность выше, туда попадёт больше фотонов и большей окажется освещённость. 13.2 Основы теории атома водорода по Бору 13.2.1 Закономерности в спектрах свечения атомарного водорода Знакомясь со шкалой электромагнитных волн, мы отметили, что источником электромагнитных волн оптического диапазона являются процессы, происходящие на атомарном уровне. Изменение энергии электронов в отдельных атомах и в веществе в целом сопровождается испусканием электромагнитного излучения, которое мы воспринимаем, например, как свет. Рассмотрим этот вопрос более подробно. Одной из проблем, которая возникла до появления гипотезы Планка, была проблема объяснения закономерностей, наблюдаемых в спектрах свечения атомарных газов, в частности, самого простого – водорода. Газ можно заставить светиться, например, создав, в нём электрический разряд. Испускаемый при этом свет можно пропустить через призму, разложить в спектр (имеющий вид отдельных линий, каждая из которых соответствует своей частоте – рис. 13.1) и затем определить те частоты (и длины волн), которые в нём присутствуют. Бальмер, исследуя спектрспектр свечения водорода, Сплошной (белый свет) выявил, что частоты  наблюдаемых глазом линий подчиняются необычной за1 1 кономерности:  Г cR  2  2  , где n  3, К4, 5, …, c – скорость Ф С 2 n   света в вакууме, R – константа, получившая название постоянной Спектр свечения атомарного спектр) Ридберга. Сама система линийводорода получила(линейчатый название серии БальмеБуквы соответствуют цвету в спектре ра. Рис. 13.1 111 Бальмер, исследуя спектр свечения водорода, выявил, что частоты  наблюдаемых глазом линий подчиняются необычной за1 1 кономерности:   cR  2  2  , где n  3, 4, 5, …, c – скорость n  2 света в вакууме, R – константа, получившая название постоянной Ридберга. Сама система линий получила название серии Бальмера. Позднее оказалось, что эта серия – не единственная. Существуют и другие – одна в ультрафиолетовой (серия Лаймана) и несколько – в инфракрасной областях (например, серия Пашена). Все они могут быть объединены общей формулой: 1 1   cR  2  2  , где m  1, 2, 3, …, n  m  1, m  2, m  3, … (13.2) m n  В случае серии Лаймана m  1, Бальмера – m  2, Пашена – m  3. Объяснить причину появления подобной зависимости оказалось чрезвычайно трудно: закономерности, для описания которых требуются целые числа, в природе встречаются крайне редко, пожалуй, только, если речь идет о количестве объектов или об их номерах. Проблема оставалась нерешённой почти два десятилетия, до тех пор, пока Бором не была создана теория строения атома водорода. 13.2.2 Опыты Резерфорда. Планетарная модель атома До опытов Резерфорда наиболее проработанной считалась модель атома Томсона. Согласно модели вещество состоит из атомов, которые можно было представить в виде шаров, располагающихся в веществе вплотную друг к другу. Сам атом представляет собой положительно сплошную заряженную субстанцию, содержащую отрицательно заряженные частицы-вкрапления (электроны) в таком количестве, что атом в целом оказывается электронейтрален. Проверяя справедливость модели, Резерфорд подверг тонкие слои (фольги) различных материалов облучению -частицами (потоком ядер гелия) – положительно заряженными и тяжёлыми 112 (масса -частицы почти в 8 тысяч раз больше массы электрона). Если бы модель Томсона была верна, подавляющее число -частиц, сталкиваясь с атомами, должна была бы испытывать а) б) упругие столкновеРис. 13.2 ния и отражаться от фольги (рис. 13.2а). Однако оказалось, что подавляющее число частиц пролетает фольгу насквозь так, как будто бы на своём пути практически они не встречают преград (рис. 13.2б). Незначительная часть частиц всё же отражается, причём так, как будто бы каждая из них испытала упругое соударение с маленьким, но очень массивным, положительно заряженным препятствием. На основе полученных результатов Резерфорд предложил собственную модель строения атома. По Резерфорду атом имеет «планетарное» строение: вокруг тяжелого маленького положительно заряженного ядра подобно планетам вокруг звезды по круговым орбитам движутся электроны (отрицательно заряженные частицы), при этом общий заряд атома равен нулю. На долю ядра и электронов приходится лишь малая часть всего объёма, которых определяется размерами наиболее удалённых от ядра орбит: основная часть всего объёма атома – пустота, поэтому большее число -частиц и пролетало сквозь фольгу, отклоняясь от первоначального направления движения лишь если их траектория проходила близко к ядру. Предлагая планетарную модель, Резерфорд понимал, однако, что она противоречит положениям классической физики, согласно которым электрический заряд, движущийся с ускорением, должен испускать электромагнитные волны, то есть – терять энергию. Электрон, движущийся по круговой орбите, обладает Атомы по Резерфорду -частицы -частицы Атомы по Томсону 113 центростремительным ускорением, поэтому его кинетическая энергия должна непрерывно уменьшаться до тех пор, пока он не упадёт на ядро. Таким образом, вновь возникла ситуация, когда представления классической физики вошли в противоречие с данными эксперимента. 13.2.3 Постулаты Бора. Модель атома водорода по Бору Для преодоления возникшей тупиковой ситуации Н. Бор предложил принять без доказательства положения, которые получили название постулатов Бора. Первый постулат В атоме существуют орбиты (устойчивые состояния), по которым электрон может двигаться, не испуская и не поглощая энергии. Такие орбиты называются разрешёнными (а соответствующие им состояния – стационарными). Разрешёнными являются лишь те орбиты, для которых выполняется следующее условие (правило квантования орбит): mrn  n h 2 , (13.4) где m – масса электрона,  – его скорость, rn – радиус орбиты, по которой движется электрон, n – целое число (номер орбиты); n  1, 2, 3,… ; h – постоянная Планка. Второй постулат Электрон в атоме испускает или поглощает энергию лишь при переходе с одной разрешённой орбиты на другую (из одного стационарного состояния в другое). Так, если Еm – энергия электрона в состоянии с номером m, а Еn – энергия в состоянии с номером n, то при переходе из одного состояния в другое испускается (или поглощается) квант энергии Еm  Еn  h, (13.3) где  – частота кванта электромагнитного излучения, h – постоянная Планка. Используя правило квантования, можно рассчитать радиусы электронных орбит rn в атоме водорода. Для этого достаточно 114 записать формулу второго закона Ньютона, в которую входят выражения для силы кулоновского взаимодействия, действующую на электрон со стороны ядра (обозначим их заряды буквой e), и для центростремительного ускорения aЦ   2/rn: 1 e2 40 rn 2 mrn  n  me  2 rn h . 2 Решая систему, получаем выражение для радиусов электронных орбит в атоме водорода: r 0 h 2 e 2 me n 2. (13.5) Используя формулу (13.5), можно рассчитать энергию E электрона на орбите с номером n. Она складывается из кинетической 2 WК  me  и потенциальной энергии электростатического взаи2 модействия электрона с ядром WП  1 (  e)  e 40 rn (здесь учтено, что заряд у электрона – отрицательный, а у ядра – положительный). В итоге получаем: e 4 me 1 E  , (13.6) 8 0 h 2 n 2 то есть энергия электрона в атоме отрицательна (для «отрыва» электрона от атома требуется совершить работу) и обратно пропорциональна квадрату номера орбиты. Формула (13.6) в совокупности со вторым постулатом Бора позволили объяснить описанные выше закономерности в спектрах свечения атомарного водорода. Действительно, согласно второму постулату, при переходе электрона с орбиты, имеющей номер n, на орбиту с номером m при n  m испускается квант света с частотой 115  En  Em h  1 e 4 me  1 e 4 me  1 1   1 1  с   2   cR  2  2  .   2 2 3 3  2 8 0 h  m n  80ch  m n  m n  В качестве примера на рис. 13.3 изображена* схема излучаЛ тельных переходов электронов в 7 атоме водорода: серия Лаймана 6 (Л), серия Бальмера (Б) и серия 5 4 3 Пашена (П). Обратные переходы 2 1 электронов (возбуждение атома) Б будут давать такие же серии в спектре поглощения света этим П же веществом. Подобные соображения можно попытаться применить для объяснения спектров свечения других газов. Оказалось, однако, Рис. 13.3 что теория Бора «работает» только в случае водорода и водородоподобных атомов (атомов и ионов, на внешней орбите которых находится лишь один электрон). Поэтому сама теория явилась лишь промежуточным этапом в создании новых разделов физики – квантовой механики и квантовой электродинамики. В частности, выяснилось, что положения, которые выдвигались Бором в виде постулатов, являются автоматическим следствием современных квантовомеханических представлений о строении атома. Кроме того, стало понятно, что успешное описание строения даже такого простейшего атома, каким является атом водорода, невозможно не только без использования гипотезы де Бройля, но и без учета следствий теории относительности. Тем не менее, и в основе современной квантовомеханической релятивистской теории также лежит впервые сформулированное Резерфордом представление о том, что атом состоит из положительно заряженного, массивного, но относительно небольшого по размерам ядра и электронов, которые распределены в пространстве вокруг ядра на расстояниях в тысячи и десятки тысяч раз больших, чем радиус самого ядра. * На рисунке масштаб радиусов орбит – произвольный. 116 13.3 Поглощение и излучение света атомами Итак, электромагнитное излучение испускается и поглощается атомами пре переходе электронов из состояния с одной энергией в состояние с другой энергией. На рис. 13.4 приведены возможные варианты таких переходов (по вертикальной оси на рисунках отложена энергия E). Схема на рис. 13.4а Поглощение Спонтанное Стимулированное иллюстрирует процесс E света излучение излучение E2 поглощения света: энерh12 h12 h12 гия кванта h12 расходуh12 ется на увеличение энергии электрона (пеE1 реход его из состояния с а) б) в) E1 в состояние с E2). Рис. 13.4 Обратный переход сопровождается излучением кванта той же частоты; он может произойти самопроизвольно – рис. 13.4б (такое излучение называется спонтанным) или инициируется (стимулируется) подобным квантом, пролетающим мимо. Во втором случае излучение называется стимулированным. Важной особенностью такого излучения является то, что начальная фаза и поляризация испускаемого кванта окажутся такими же, что и у стимулирующего кванта: система рождает когерентное излучение. Данный эффект лежит в основе работы усилителей света и лазеров (рис. 13.5). Зеркала E2 ФВХ h12 ФВЫХ h12 E1 Источник накачки Источник накачки УСИЛИТЕЛЬ СВЕТА ЛАЗЕР Рис. 13.5 117 Лазерное излучение Ф Добавочная энергия, позволяющая электронам переходить в состояние с большей E, сообщается им источником накачки (например, – при засветке ртутной лампой). В усилителе световой поток ФВХ на входе устройства стимулирует добавочное излучение, в результате чего возрастает световой поток ФВЫХ на выходе. В лазере первые стимулирующие кванты рождаются в самом веществе, а для того, чтобы они сразу не покинули систему и могли инициировать всё новые и новые переходы электронов, лазер содержит два параллельных зеркала, одно из которых (через него выходит часть рождающегося излучения) является частично прозрачным. В реальной ситуации применение двухуровневой схемы для получения лазерного излучения не эффективно, поэтому используются трёх- и многоуровневые. Особенности, которыми обладает лазерное излучение (монохроматичность, когерентность, поляризация, узконаправленность), предопределили их широкое применение: - в системах обработки и передачи информации (например, для работы с CD-носителями, для создания волоконно-оптических линий связи, для оптической связи в космосе на расстояниях до 1010 км); - в устройствах локации (например, для лазерной локации земной атмосферы с целью контроля её загрязнённости, для локации поверхности других планет); - для получения высоких температур (при лазерной резке и сварка металлов, нагреве плазмы); - для селективного воздействия на атомы и молекулы (лазерная химия); - для медицинских целей (лазерная хирургия, обработка крови и т.д.). С появление лазеров получили широкое развитие такие новые направления физики, как голография и нелинейная оптика. 118 Контрольные задания и вопросы 1. Что означает термин «корпускулярно-волновой дуализм» света? Приведите примеры его проявления. 2. Какие закономерности наблюдаются в спектрах излучения атомарного водорода? 3. Опишите опыты Резерфорда. Что позволило Резерфорду сделать вывод о том, что модель атома по Томсону неверна? 4. Опишите модель атома водорода по Бору. Сформулируйте постулаты Бора. 5. В чём заключаются недостатки теории Бора? 6. Пользуясь рисунком, поясните, какие переходы электрона соответствуют поглощению, а какие – излучению электромагнитных волн. 7. Какое излучение называется спонтанным, какое – стимулированным? 8. Какие эффекты лежат в основе работы усилителя света и лазера? 9. В чём заключаются особенности лазерного излучения? 119 Лекция № 14 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЧАСТЬ I 14.1 Введение 14.1.1 Два подхода к описанию свойств макросистем Анализируя поведение электронов в веществе, атомов и молекул в твёрдых телах, в жидкостях и газах, мы сталкиваемся с тем, что рассматриваемые объекты являются макросистемами, содержащими такое количество частиц, составить уравнения обычной кинематики и динамики для которого практически невозможно. Так, в 1 м3 воздуха при нормальных условиях содержится около 1025 молекул, а в 1 м3 металла – примерно 1028 электронов. Понятно, что для математического описания подобных объектов требуются свои методы. Классическим примером решения данной проблемы является раздел «Молекулярная физика и термодинамика», в котором развиваются два подхода к расчётам свойств макросистем: статистический и термодинамический. Статистический подход основан на выявлении статистических закономерностей в поведении большого числа объектов; при этом исследователь оперирует со средними и наиболее вероятными значения скорости частиц, а также их энергии и импульса. Термодинамический подход базируется на описании процессов превращения энергии в рассматриваемых системах, для чего используются макроскопические параметры состояния системы, такие, как объём, давление, температура. 14.1.2 Параметры состояния Параметры состояния (термодинамические параметры) – физические величины, характеризующие состояние термодинамической системы. К ним относятся, например, температура, давление, объём, число частиц, намагниченность, электрическая поляризация и др. Напомним смысл некоторых из них. 120 Объём V – количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. В СИ измеряется в кубических метрах; нужно помнить, что 1 м3  1000 л. Число частиц N (безразмерная величина); концентрация n – число частиц в единице объёма, в СИ [n]  1 м3. Давление p – отношение силы dF, действующей на элемент поверхности нормально к ней, к площади этого элемента dS: p dF dS . (14.1) В СИ давление измеряется в паскалях 1 Па  1 Нм2. На практике используется внесистемная единица давления – миллиметр ртутного столба; 1 мм рт. ст.  133,3 Па. Температура – исторически вводилась как параметр, характеризующий линейное расширение тел. Так, если нагреть трубочку с ртутью или спиртом, длина столбика жидкости увеличится от значения l0 до l; возрастание длины описывается формулой l  l0(1  t), (14.2) где  – температурный коэффициент линейного расширения ртути или спирта, соответственно, а t – и есть температура. Далее нужно было договориться, какое значение температуры принять за ноль (при этой t следовало измерить l0), а затем – создать шкалу, по которой, отслеживая изменение l, можно определять и изменение температуры. В СИ используется понятие термодинамической температуры, которая связана с кинетической энергий WК хаотического (теплового) движения атомов и молекул. Абсолютному нулю соответствует температура, при которой WК  0 (атомы и молекулы не движутся). Термодинамическая температура обозначается буквой T и измеряется в кельвинах ([T]  K). Кельвин – одна из семи основных единиц СИ. Сравнить шкалы Цельсия ([t]  °С), Фаренгейта ([t]  °F), Реомюра ([t]  °R) и Кельвина можно, пользуясь таблицей 14.1. В состоянии термодинамического равновесия (в котором система может находиться неограниченно долгое время) не все па121 раметры состояния являются независимыми, часть из них может быть связана друг с другом уравнением состояния. Так, например, для заданной массы конкретного идеального газа, зная V и T, можно однозначно определить p. Теоретический вывод уравнения состояния возможен при помощи уравнений статистической физики: в этом проявляется связь статистического и термодинамического подходов к описанию свойств макросистем. -32 273 36,6 100 Кипящая вода Тело здорового человека Плавящийся лёд Шкалы Кельвина Цельсия -273 Фаренгейта Реомюра Лёд  вода  нашатырь Таблица 14.1 373 1 К  1 С 100 212 1 F  5/9 С 80 1 R  1,25 С 14.2 Идеальный газ 14.2.1 Определение. Уравнение состояния Идеальным называется газ, для которого выполняются два условия: - размеры его молекул много меньше среднего расстояния между ними; - молекулы* газа, не взаимодействуют друг с другом на расстоянии, а испытывают лишь абсолютно упругие столкновения между собой и со стенками сосуда, в котором находится газ. Подобный объект является лишь удобной математической моделью, однако многие газы, входящие в состав воздуха, в обычных условиях ведут себя, как идеальный. Состояние идеального газа описывается уравнением Клапейрона – Менделеева: * Напомним, что под молекулой понимают наименьшую частицу вещества, обладающую его химическими свойствами и состоящую из атомов, соединённых между собой химическими связями. 122 pV  Μ RT. (14.3)  Здесь p – давление газа, V – занимаемый им объём, М – масса газа, Т – термодинамическая температура; R  8,31 Дж  моль 1К  1 – универсальная газовая постоянная.  – масса одного моля газа (молярная масса), измеряется в килограммах на моль (например, у воды  H 2 O  0,018 кг/моль). Вспомним, что такое один моль. Набор идентичных тел можно характеризовать - массой (например, можно пойти и купить килограмм гвоздей), - стоимостью (например, – купить тех же гвоздей на сто рублей), - количеством (например, купить сто штук всё тех же гвоздей или три коробки, или одну упаковку). Моль – это и есть единица измерения количества вещества; один моль включает столько же структурных элементов (атомов, молекул, ионов), сколько их содержат 12 г углерода (изотоп 12С) а именно: NA  6,021023 моль1 (это число называется числом Авогадро). Таким образом, если бы мы попросили у продавца один моль гвоздей, он был бы вынужден отсчитать нам примерно 602000000000000000000000 штук. Понятно, что и масса такой кучи была бы чудовищной, и стоимость – невообразимой, поэтому молями измеряют количество малых объектов: атомов, молекул, ионов. Моль, как и кельвин, и метр, и секунда, и килограмм, и ампер и кандела (служит для измерения силы света) – одна из семи основных единиц СИ. Примечание 1 Очевидно, что если массу всего газа М разделить на массу одного моля , то мы получим число  молей этого газа. Аналогичный результат получится, если всё имеющееся число молекул газа N разделить на число Авогадро NA:  Μ   123 N ΝΑ . (14.4) Примечание 2 Формула (14.3) – один из видов записи уравнения состояния идеального газа. Но это же уравнение может быть представлено по-другому: N R N RT R Μ RT p   Tn T, или V NA ΝΑ V NA  V p  nkT, (14.5) где n  N/V – концентрация молекул газа; k  R/ NA – постоянная Больцмана, k  1,38  10  23Дж  К  1. Примечание 3 Нормальными атмосферными условиями называется состояние газа при температуре T  273 К (0 С) и давлении p  101325 Па (примерно 105 Па). В этих условиях один моль (  M/  1) любого идеального газа занимает один и тот же объём V  22,4 л. Примечание 4 С хорошей степенью точности сухой воздух можно считать смесью идеальных газов, для каждого из которых, как и для смеси в целом, можно записать своё уравнение Клапейрона-Менделеева. Кроме того, для воздуха выполняется закон Дальтóна, согласно которому давление смеси идеальных газов равно сумме давлений, создаваемых каждым газом в отдельности: pСМЕСИ  p1  p2  …  pN. (14.6) 14.2.2 Изопроцессы в идеальном газе Приставка изо- означает, что речь идёт о процессах, в ходе которых, по крайней мере, один из параметров состояния остаётся постоянным. 124 Далее мы рассмотрим такие изменения параметров состояния, при которых будут оставаться неизменными масса газа M и число частиц N в нём; варьироваться будут лишь p, V и Т (причём давление, объём и температура связаны между собой уравнением Клапейрона-Менделеева pV  M/ RT). a) Изотермический процесс (Т  const) В этом процессе меняются лишь p и V, причём так, что p1V1p2V2, или просто pV  const (закон Бойля – Мариотта). Графики изотермических процессов для двух значений температуры T1 и T2 (T2T1) представp p V лены на рис. 14.1. Очевидно: в коорT2  T1 динатах p – V это гиперболы; в коT1 ординатах p – T и V 0 T1 T2 T 0 T1 T2 T V – T – прямые линии. Рис. 14.1 b) Изобарный процесс (p  const) Здесь меняются лишь V и T, но так, что V T V1 T1  V2 T2 , или просто  const1 (закон Гей – Люссака). Графики изобарных процессов для двух значений давления p1 и p2 (p2  p1) изобраp p V жены на рис. 14.2. p2 p2 p1 В координатах p1 p2  p1 p – V и p – T это прямые линии, параллельные оси V T T абсцисс (p  const2), Рис. 14.2 в координатах V – 125 T – прямые линии, проходящие через начало координат, причём, чем больше p, тем наклон этих прямых меньше, так как, согласно const3 MR уравнению Клапейрона-Менделеева, V T, или V T. p p c) Изохорный процесс (V  const) В этом процессе меняются p и T, причём так, что p1 T1  p2 T2 , p  const4 T (закон Шарля). V1 Графики изохорV2 ных процессов V1 для двух значеV2  V1 ний объёма V1 и V2 0 V1 V2 V T T (V2  V1) изображены на рис. 14.3. Рис. 14.3 В координатах p – V это прямые линии, параллельные оси ординат, (V  const5), в координатах V – T – прямые, параллельные оси абсцисс (V  const5), в координатах p – T – прямые линии, проходящие через начало координат, чем больше V, тем меньше их наклон, так как согласно const3 MR уравнению Клапейрона-Менделеева, p T, или p T. V V или p p V 14.2.3 Масса и размеры молекул идеального газа Проведём некоторые численные оценки параметров идеального газа (на примере молекулы водяного пара H2O). - Оценим массу одной молекулы. Молярная масса воды  H 2 O  0,018 кг/моль, число молекул в моле NA  6,021023 моль1, следовательно, масса одной молекулы m   H 2 O /NA  31026 кг. - Полагая молекулу шариком, оценим размер одной молекулы. 126 Поскольку масса молекулы воды m  31026 кг, а плотность H2O   103 кгм3, найдём сначала объём молекулы V0  m/  31029 м3, 4 а затем (V0  r3) – её радиус: 3 r  3 3V0 /(4)  21010 м  2 Å, где символом Å обозначена внесистемная единица измерения длины ангстрем: 1 Å  1010 м. - Оценим площадь поверхности одной молекулы-шарика: S0  4r2  251020 м2, а также площадь поверхности всех молекул, содержащихся в одном моле: SМ  NAS0  1,5105 м2. - Перейдём к водяному пару (считая его идеальным газом). Вспомним, что один моль идеального газа в нормальных условиях занимает объём V  22,4 л  22,4103 м3. Если этот газ находится в сосуде сферической формы, то радиус сосуда составляет rC  3 3V / (4)  0,17 м, а площадь его стенок SС  4rС2  0,38 м2. Сравнивая SМ и SС, делаем вывод: суммарная площадь поверхности молекул газа гораздо больше площади поверхности стенок сосуда, в котором он находится, следовательно, молекулы гораздо чаще сталкиваются друг с другом, чем со стенками. Именно в процессе таких столкновений они передают друг другу энергию, обмениваются импульсами, в результате чего со временем в замкнутом теплоизолированном сосуде наступает равновесное состояние, при котором параметры состояния оказываются одинаковыми во всех частях сосуда. 14.3 Реальный газ. Уравнение Ван-дер-Ваальса Запишем уравнение Клапейрона – Менделеева в виде (14.3): Μ pV  RT.  127 Мы только что оценили объём одной молекулы идеального газа (V0  31029 м3), объём же всех молекул, содержащихся в одном моле VМ  V0NA  1,8105 м3. В свою очередь сам моль газа в нормальных атмосферных условиях занимает объём V  22,4103 м3. Сравнивая V и VМ, можно сделать вывод о том, что V  VМ, и при расчётах размерами молекул в первом приближении можно пренебрегать. Однако, понижая температуру (и одновременно сжимая газ), можно прийти к ситуации, для расчёта которой уже потребуется учитывать то, что объём свободного пространства для движения молекул окажется сравним с размерами молекул, заполняющих сосуд. Такой газ считать идеальным уже нельзя, а для проведения вычислений в уравнение 14.3 надо ввести поправку, учитывающую размеры молекул конкретного газа. В итоге вместо объёма идеального газа в формуле должна фигурировать разность V  b, где той же буквой V обозначен теперь объём сосуда, который занят реальным газом,   M/ – число молей газа, а b – параметр, характеризующий данный реальный газ и зависящий от размеров его молекул. Далее следует учесть ещё одну поправку. Дело в том, что в объёме газа на каждую молекулу газа действуют силы со стороны соседей, которые окружают молекулу со всех сторон. Совокупность равнодействующих этих сил в случае и входит в формулу для расчёта давления газа. Однако со стороны стенок сосуда в непосредственной близости от этих стенок молекул газа нет, поэтому компенсации действия молекул, находящихся со стороны объёма, не происходит.* Именно поэтому при расчёте давления на стенки приходится использовать поправку: вместо давления p * Можно предложить следующую аналогию: в заполненном вагоне метро на человека, который находится в глубине толпы, силы действуют со всех сторон, и в конкретном направлении равнодействующая всех сил, хоть порой и возникает, но она невелика. Но если человек находится у дверей, то при толчках он давит на дверь (стенки «сосуда») с бóльшей силой, «передавая» давление всей массы народа, который наваливается на него сзади. 128 идеального газа в формуле (14.3) следует записать выражение вида p  2a/V. Здесь буквой p обозначено давление реального газа, V – его объём, a – параметр, учитывающий силы взаимодействия молекул конкретного газа даже тогда, когда они находятся на некотором расстоянии друг от друга. В итоге вместо формулы закона Клапейрона – Менделеева возникает уравнение вида  M  Μ M2 a    p  2 2  V  b   RT,  V      (14.7) которое называется уравнением Ван-дер-Ваальса. Особенностью формулы является то, что она описывает явление конденсации реального газа (превращения его в жидкость). С тем, чтобы в этом убедиться, совсем не обязательно пытаться достичь очень низких температур и высоких давлений: реальным газом являются, например, насыщенные пары воды в воздухе, для объяснения поведения которых удобно использовать формулу (14.7). На рис. 14.4а приведены графики нескольких изотерм реального газа. p p 2 2 T2  T1 TКР (TКР  T2) T3  TКР T4  T3 1 Жидкость T1 1 V а) Рис. 14.4 2 1 Жидкость + газ Газ V б) Особенностью кривых является наличие у них «изгиба», который с ростом температуры становится менее выраженным, а выше некоторой температуры TКР, которая называется критической, 129 исчезает вовсе. При анализе кривых следует помнить, что уравнение (14.7) является лишь очередным приближением в описании поведения реального газа. На деле связь давления с объёмом описывается линией, близкой той, которая представлена на рис. 14.4б: при сжатии газа, начиная с точек 1 и 1 на рис. 14.4а, в сосуде возникает жидкая фаза, причём, чем сильнее сжимается газ, тем её больше. Давление практически не растёт вплоть до точек 2 и 2, когда весь газ превращается в жидкость. Далее изотерма описывает поведение уже не газа, а жидкости, которая сжимается плохо, о чём говорит крутизна графика в области малых V. При температурах выше TКР, а также в области больших V реальный газ ведёт себя, как идеальный. Контрольные задания и вопросы 1. Какой газ называется идеальным? Запишите уравнение Клапейрона – Менделеева, поясните смысл и укажите единицы измерения входящих в него величин. 2. Что такое 1 моль? 3. Выведите формулу, связывающую давление идеального газа с концентрацией его молекул. 4. Какие процессы называются изопроцессами? Начертите графики этих процессов в координатах p – V, p – T, V – T. 5. Оцените размер молекулы газа. 6. В чём заключается закон Дальтóна? Приведите пример проявления закона. 7. Чем поведение реального газа на практике отличается от поведения идеального газа? 8. Начертите графики изотермы реального газа в координатах p – V для нескольких значений температуры. 130 Лекция № 15 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЧАСТЬ II 15.1 Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) позволяет связать друг с другом параметры идеального газа: макроскопические (те, которые обычно измеряются на практике, например – давление) и микроскопические (характеризующие движение отдельных молекул, например, их скорость). Это уравнение впервые было получено Клаузиусом; в основе вывода лежат следующие положения. 1. Давление газа объясняется ударами молекул о дно и стенки сосуда. 2. Давление p тем больше, чем больше количество ударов. Но количество ударов определяется концентрацией молекул n, значит, давление зависит от концентрации: p  n, где n  N/V (здесь N – число молекул в сосуде объёмом V). 3. Давление тем больше, чем больше кинетическая энергия молекулы, налетающей на стенки сосуда. Значит, давление зависит от массы m молекул и квадрата их скорости  2: p  m 2. 4. Для молекул газа, находящегося в замкнутом сосуде, все направления равновероятны, поэтому вдоль любого из них (вдоль осей X, Y и Z) в каждый момент времени компоненты скорости имеет лишь треть молекул: p  ⅓m 2 5. Молекул много, они движутся с различными скоростями и в различных направлениях, причем далеко не все из них принимают участие в создании давления на конкретный участок стенок сосуда. Это означает: при расчётах скорости молекул следует усреднить. Для получения уравнения используем метод размерностей: давление p измеряется в паскалях, 1 Па  1 Нм2  1 кгс2м1; концентрация n измеряется в м3; масса m измеряется в килограммах (кг); скорость  измеряется в метрах в секунду (мс1). 131 Комбинируя размерности, можно сделать вывод о том, что равенство левой и правой частей уравнения достигается, если его записать в виде: кгс2м1  м3кг(мс1)2, то есть p  nm 2. Строгий вывод формулы приводит к следующему виду основного уравнения МКТ газов: 1 p  nm КВ2. (15.1) 3 Здесь учтён множитель ⅓, о котором говорилось выше, и проведено усреднение квадратов скоростей всех N молекул: N   2  ...   N 2 1  КВ  2 2  N N Скорость  КВ  2  i i 1  i i 1 N 2 . 2 называется среднеквадратичной, она N характеризует среднюю кинетическую энергию хаотического поступательного движения молекул газа. Очевидно: общая кинетическая энергия хаотического поступательного движения молекул газа 2 2 2 2 2 m1 m N M КВ Nm[(1 ,..   N ) / N ] WК  …   , 2 2 2 2 где M  Nm  nVm – общая масса всех молекул, поэтому уравнение (15.1) может быть представлено в виде pV  2 3 WК, или, согласно формулам (15.1) и (15.2), p  (15.2) 2 3 где ‹wК*›  m КВ n m КВ 2 2  2 3 n‹wК*›, 2 – средняя кинетическая энергия поступатель- 2 ного движения одной молекулы. 132 Таким образом, давление идеального газа равно двум третям энергии поступательного хаотического движения молекул, находящихся в единице его объёма. Примечание 1 Поскольку WК  M КВ 2 , и для идеального газа pV  2 можно сделать вывод о том, что  КВ  3RT  Μ  RT, , или, с учётом соот- ношений k  R/NА,   mNА (здесь k – постоянная Больцмана, NА – число Авогадро),  КВ  3kT . (15.3) m При этом средняя кинетическая энергия ‹wК*› поступательного хаотического движения молекулы любого идеального газа определяется только его температурой и не зависит от природы самого газа: 2 3 m КВ ‹wК*›   kT. 2 2 Мы видим, что термодинамическая температура характеризует скорость поступательного хаотического движения молекул газа или соответствующую этой скорости кинетическую энергию. Молекулы могут не только двигаться поступательно, но вращаться и колебаться: как мы отметим далее, энергия этих видов движения также зависит лишь от T. Ситуация, при которой все молекулы вещества покоятся, в классической физике соответствует абсолютному нулю температуры. 15.2 Распределение Максвелла молекул по скоростям В каждый конкретный момент времени молекулы газа имеют различные скорости: одни движутся быстрее, другие – медленнее, 133 есть и такие, которые в этот момент практически остановились. Задачу о распределении молекул идеального газа по скоростям поступательного движения впервые теоретически решил Дж. Максвелл. Он показал, какое число dN из общего числа молекул N, при данной температуре T обладает скоростью, значение модуля которой принадлежит интервалу d в пределах от  до   d. Соответствующая формула имеет вид: m 2 3 m  2  2 kT dN  N  4 2d.  e  2kT  (15.4) Выражение 3 m 2 m  2  2 kT F()   N  4 2 (15.5)  e d  2kT  называется полной статистической функцией распределения молекул по скоростям. Очевидно: при   0 и F()  0; при    F()  0. Из услоdF вия  0 можно найти значения , соответствующие экстреd мумам функции. Легко показать, что при   0 имеет место минимум: F()  0; максимальному значению F() соответствует наиболее вероятная (чаще других встречающаяся) скорость dN  ВЕР  2kT . (15.6) m Зная вид функции F(), дли модуля  можно определить среднюю арифметическую скорость молекул газа: ‹ ›  8 kT  m . И наиболее вероятная, и средняя арифметическая скорости, так же, как и среднеквадратичная, зависит от температуры, при этом ВЕР  ‹ ›  1,13ВЕР  КВ  1,22ВЕР. Графики полной статистической функции распределения молекул идеального газа по скоростям для трёх значений температуры представлены на рис. 15.1. 134 Из рисунка следует: - чем выше температура, тем больше ВЕР, но молекулы, T2  T1 обладающие этой скоростью, T3  T2  T1 встречаются реже, то есть соответствующее значение F(ВЕР) становится меньше. 0  ВЕР1  ВЕР2  ВЕР3  - При неизменном количестве молекул N площади Рис. 15.1 под кривыми на рис. 15.1 одинаковы, поскольку эти площади численно равны этому количеству: F() T1    F ( )d   dN d  d   dN  N  const. Ещё раз отметим: закон Максвелла – статистический, то есть выполняется тем точнее, чем больше N. Он справедлив лишь для хаотического (теплового) движения молекул идеального газа. Примечание 2 Об атмосфере планет. При    функция F() хотя и стремится к нулю, но остаётся больше него, а это означает, что среди молекул газа атмосферы, окружающей планету, должны встречаться такие, скорость которых больше, чем вторая космическая для данной планеты. Такие молекулы способны улететь в космос, и атмосфера планеты будет «таять». Существенно, что снижение числа молекул в газе при данной температуре приводит лишь к уменьшению площади под кривой на графике функции F(), сама же форма кривой не меняется: после ухода быстрых молекул появляются новые с такими же скоростями, которые тоже покидают атмосферу, и так далее. В итоге любая планета должна со временем потерять свою атмосферу. Процесс идёт тем быстрее, чем меньше масса планеты (ниже значение второй космической скорости), поэтому, например, пытаться создать атмосферу вокруг астероидов смысла не имеет. 135 Потери могут компенсироваться в результате выбросов газа из недр планет. Так, потери земной атмосферы полностью перекрываются поступлением газов из недр Земли при тектонических процессах (извержениях вулканов, землетрясениях и так далее). На Марсе, например, подобных явлений не наблюдается, и это – одна из причин, по которым его атмосфера является гораздо более разрежённой, чем земная. 15.3 Опыт Штерна Экспериментальное подтверждение справедливости закона Максвелла впервые дал. Штерн. Опыт Штерна заключался в следующем. По платиновой проволоке, покрытой слоем серебра, пропускался электрический ток. Проволока нагревалась, серебро испарялось: пары серебра, испускаемые проволокой, играли роль идеального газа. Вокруг проволоки располагались два цилиндра с радиусами r1 и r2 так, что их оси совпадали с проволокой (схема установки, вид сверху, показана на рис. 15.2). В цилиндре меньшего радиуса была прорезана щель, параллельная его оси; атомы серебра, пролетев сквозь щель, оседали на внутренней поверхности большого цилиндра, формируя тёмную полоску – чёткое изображение щели (рис. 15.а). Изображение фиксировалось при неподвижных цилиндрах, а затем сравнивалось с тем, которое получалось в случае, когда оба цилиндра начинали вращаться относительно проволоки с одинаковой угловой скоростью . Из-за того, что пролёт промежутка между цилиндрами занимает некое время, изображение щели на его внутренней поверхности большого цилиндра оказывается смещённым на угол , такой, что r r   2 1 ,  где  – скорость атомов серебра, вылетевших из щели. 136 Цилиндры  Щель  r2 r1  Изображение щели Проволока   Атомы серебра а) б) Рис. 15.2 Если бы скорости всех атомов были одинаковы, изображение щели всё равно получалось бы чётким. Но скорости у атомов – разные, причём, чем больше , тем меньше оказывается угол  (рис. 15.2б). Анализируя угловое распределение плотности осажденного серебра (по степени потемнения поверхности цилиндра), можно сделать вывод о распределении атомов серебра по скоростям. Сопоставление результатов эксперимента с теоретическими расчётами подтвердило правильность выводов Максвелла. Примечание 3 Прямая интерпретация результатов опыта Штерна не совсем корректна: распределение Максвелла справедливо для хаотического движения частиц, а в опыте сравнивались скорости их направленного движения. Учёт этого фактора необходим при анализе получаемых в ходе опыта данных. Примечание 4 От формулы полной статистической функции распределения молекул газа по скоростям F() можно перейти к формуле для полной статистической функции распределения молекул газа по их кинетическим энергиям F(wК). Для этого следует преобразоm 2 2 вать выражение (15.5), учитывая, что  wК,  2 wК, а 2 m 137 d  2 m 2 dwК  2 wK m m dwК  2 dwК. mw K В результате получим: F(wК)  dN dw K N 2 ( kT )3/2 e  wК kT (15.7) wK 15.4 Распределение Максвелла-Больцмана 15.4.1 Барометрическая формула Известно, что чем выше мы поднимаемся над поверхностью Земли, тем разрежённее становится воздух, тем меньше оказывается атмосферное давление. Выведем барометрическую формулу – уравнение, описывающее, как давление идеального газа меняется с высотой. Известно, что вертикальный столб газа или жидкости высотой h оказывает на горизонтальную поверхность давление p  gh, (15.8) где  – плотность газа (жидкости), g – ускорение свободного падения. Подъём над поверхностью на высоту dy означает уменьшение на то же dy высоты столба или снижение давления на величину dp – см. рис. 15.3. Если считать, что ни плотность газа (жидкости), ни ускорение свободного падения с высотой практически не меняются, то dp  gdy (15.9) (знак «минус» означает, что чем больше высота подъёма, тем меньше становится давление). Для атмосферы – идеального газа, подчиняющегося закону Клапейрона – Менделеева, можно записать: Y h y  dy y p p(y)  dp dy p(y) Рис. 15.3 138 p0 p M  RT, или p  RT, откуда   p . RT V  Подставим полученное выражение для  в формулу (15.9): p dp   gdy RT и преобразуем её к виду  dp  gdy. RT p Проинтегрируем левую и правую части уравнения, принимая во внимание, что при y  0 давление равно некоторому значению p0, а при y  h давление равно искомому p (параметры , g и T будем считать постоянными): p  p0 h dp   gdy , или p RT   gh p  p0 e RT . (15.10) Мы получили барометрическую формулу, показывающую, как атмосферное давление меняется с высотой подъёма над земной поверхностью. Учитывая, что молярная масса   NАm, а R  NАk, где m – масса молекулы, NА – число Авогадро, а k – постоянная Больцмана, барометрическую формулу можно переписать в виде p  p0 e  mgh kT . (15.11) 15.4.2 Распределение Больцмана Сделаем следующий шаг. Поскольку для идеального газа справедлива формула p  nkT, где n – концентрация молекул, из (15.11) следует, что n  n0 e 139  mgh kT . (15.12) Здесь n – концентрация молекул на высоте h, а n0 – концентрация молекул на уровне земли. В уравнение (15.12) входит выражение, являющееся формулой для расчёта потенциальной энергии тела массой m, которое находится в однородном (g  const) поле тяготения на высоте h над поверхностью планеты: WП  mgh, то есть n  n0 e  WП kT . (15.13) Больцман показал, что данная формула справедлива не только для газа, находящегося в гравитационном поле, но и для большого коллектива частиц, находящихся в любом потенциальном поле (например, заряженных частиц в электрическом поле). Переписав это выражение для общего числа частиц N и N0, находящихся в заданном объёме в состояниях с WП и с потенциальной энергией, равной нулю, соответственно, получаем формулу распределения Больцмана частиц по значениям их потенциальной энергии: N  N0 e  WП kT . (15.14) 15.4.3 Распределение Максвелла-Больцмана Итак, согласно Больцману – см. (15.14),  WП N  N0 e kT , а ранее – см. (15.7) мы показали, что по Максвеллу F(wК)  2 dN  wК e kT w K . N dw K ( kT )3/2 В случае идеального газа полная энергия молекулы складывается из её потенциальной и кинетической энергии: E  wП  wК. Полагая, что распределение частиц по значениям их кинетической энергии не зависит от того, каким образом они распределяются по значениям потенциальной энергии (и наоборот), формулы распределений можно объединить, подставив (15.14) в (15.7). Получаемое при этом выражение называется распределением 140 Максвелла-Больцмана. В частности, для газа, не испытывающего воздействия внешних сил (WП  0) полная статистическая функция распределения Максвелла-Больцмана по энергиям имеет вид F(E)  dN dE N 2 ( kT )3/2 e  E kT E. (15.15) 15.4.4 Средняя длина свободного пробега Как устанавливается в большом статистическом коллективе частиц распределение Максвелла-Больцмана? Молекулы, двигаясь хаотически, постоянно сталкиваются друг с другом, передавая друг другу часть энергии, в результате чего и устанавливается распределение: достигается равновесное состояние газа, в котором он может находиться неограниченно долго. Среднее расстояние, которое молекулы пролетают от одного столкновения до другого, называется средней длиной свободного пробега. Чем меньше эта длина, тем быстрее в системе устанавливается распределение, соответствующее равновесному состоянию. Минимальное расстояние d между центрами молекул при их столкновении называется эффективным диаметром, а соответствующая площадь S0  d 2 – эффективным сечением молекулы. Пользуясь методом размерностей, получим формулу для оценки средней длины свободного пробега СР молекул в идеальном газе. Очевидно: чем выше концентрация молекул n, тем чаще они сталкиваются друг с другом, и тем меньшей оказывается СР. Кроме того, чем больше площадь S0, тем вероятнее то, что они «зацепят» друг друга, столкнутся. Далее учтём, что СР и d измеряются в метрах (м), а единица измерения концентрации – м3. Очевидно, что равенство размерностей в левой и правой частях уравнения достигается при следующей комбинации СР, d и n: 141 м 1 , или СР  1 . м м d 2n Более строгий вывод формулы для вычисления средней длины свободного пробега приводит к уравнению 1 СР  . (15.16) 2d 2 n 2 -3 Заметим: концентрация молекул в идеальном газе напрямую связана с его давлением, так как p  nkT. Поэтому средняя длина свободного пробега тем меньше, чем выше давление. Так, например, в воздухе при нормальных атмосферных условиях (273 К, 105Па) средняя длина свободного пробега молекул составляет примерно 60 нм. 15.5 Явления переноса в газах Хаотичность движения молекул газа, находящегося в равновесном состоянии, можно нарушить внешними воздействиями. В результате этих воздействий возникнет новое равновесное состояние. Необратимые явления, возникающие при переходе системы из одного равновесного состояния в другое, называются явлениями переноса. О переносе чего идёт речь? a) Перенос массы: явление диффузии Явление заключается во взаимном проникновении друг в друга частиц двух контактирующих тел: часть массы тел переносится из той области, где её много, туда, где её мало. В одномерном случае уравнение диффузии выглядит так: d mСЕК   D . (15.17) dx Здесь mСЕК  масса, переносимая в единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярной направлению переноса вещества,   плотность вещества, x – координата по оси, вдоль которой переносится масса, D  коэффициент диффузии (зависит от природы газа, а также от его параметров: давления, температуры). Формула (15.17) носит называние закона Фика. 142 b) Перенос импульса: явление внутреннего трения Внутреннее трение (вязкость) – это свойство текучих тел (жидкостей и газов) оказывать сопротивление перемещению одной их части (слоя) относительно другой. При движении одного слоя в результате взаимодействия начинает двигаться следующий, контактирующий с ним. Но из-за трения в движение приходит и третий слой, и так далее: от слоя к слою переносится импульс. Явление описывается законом Ньютона: d *    . (15.18) dy В этой формуле *  напряжение трения, численно равное силе внутреннего трения, которая действует на единицу поверхности слоя по касательной к ней; d  изменение скорости движения слоёв при переходе от слоя к слою на расстояние dy в направлении, перпендикулярном движению слоёв;  – коэффициент внутреннего трения (другое название – динамический коэффициент вязкости), который определяется свойствами вещества. c) Перенос энергии: явление теплопроводности Явление связано с переносом энергии из одной части системы (нагретой) в другую, имеющую меньшую температуру. В случае одномерного переноса тепла (вдоль направления, задаваемого осью X), уравнение теплопроводности (закон Фурье) имеет следующий вид: dT qСЕК   * , (15.19) dx где qСЕК – энергия, передаваемая в форме теплоты за единицу времени через единичную поверхность, перпендикулярную направлению переноса энергии, x – координата по оси, вдоль которой переносится тепло, *  коэффициент теплопроводности (зависит от свойств вещества). Формулы (15.16) – (15.18) могут быть выведены на основе молекулярно-кинетической теории. Ещё раз отметим: описываемые ими процессы переноса стремятся вернуть систему, выведенную 143 внешними воздействиями из равновесного состояния в состояние, которое вновь будет характеризоваться лишь хаотическим, неупорядоченным движением частиц, подчиняющимся распределению Максвелла-Больцмана. Контрольные задания и вопросы 1. Запишите основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов и поясните смысл входящих в него величин. 2. Запишите формулу для расчёта среднеквадратической скорости молекул идеального газа. Какой смысл имеет эта скорость (что она характеризует)? 3. Каков смысл распределения Максвелла молекул по скоростям? Начертите графики полной статистической функции распределения Максвелла для двух температур: Т1 и Т2 > Т1. 4. Опишите опыт Штерна. 5. Выведите барометрическую формулу. 6. Какой смысл имеет распределение Больцмана? Что оно показывает? 7. Какой смысл имеет распределение Максвелла-Больцмана молекул по энергиям? 8. Что называется средней длиной свободного пробега молекул в газе? От чего она зависит? 9. Приведите примеры явлений переноса. В каком случае возникают эти явления? 144 Лекция № 16 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЧАСТЬ III 16.1 Первое начало термодинамики Первое начало (закон) термодинамики является одной из формулировок закона сохранения энергии, распространённой на процессы, связанные с передачей тепла от одного тела к другому. Согласно закону количество теплоты Q, сообщаемое системе, расходуется на изменение dU её внутренней энергии и на работу A системы против внешних сил: Q  dU  A. (16.1) Закон говорит о том, что по сути количество теплоты, так же, как и работа является мерой изменения внутренней энергии системы: dU – полный дифференциал функции U, а Q и A – бесконечно малые изменение теплоты и элементарная работа, которые таковыми не являются*. Рассмотрим поведение каждой из функций, входящих в приведённое уравнение, на примере идеального газа. 16.1.1 Внутренняя энергия Полную энергию E системы частиц можно рассматривать, как сумму её внутренней энергии U и её энергии W (кинетической и потенциальной), как целого объекта. Величина U зависит только от внутреннего состояния вещества: в общем случае она складывается из энергии, связанной с движением отдельных молекул * Знак полного дифференциала перед U означает, что при переходе системы из одного состояния в другое внутренняя энергия если и меняется, то величина изменения не зависит от того, каким образом происходил процесс, а определяется лишь конечными и начальными параметрами состояния. В противоположность этому символы  перед Q и A гово- рят о том, что общая работа, совершаемая при таком переходе, и получаемое (отдаваемое) количество теплоты зависят от того, каким образом осуществляется процесс перехода. 145 относительно центра масс, от потенциальной энергии взаимодействия молекул и атомов друг с другом, от энергии взаимодействия электронов с ядрами атомов и нуклонов в самих ядрах… В случае идеального газа U связана лишь с хаотическим движением молекул: поступательным, вращательным, колебательным. То, какой средней энергией обладает одна молекула, определяется законом равномерного распределения энергии по степеням свободы. Число степеней свободы – это число независимых переменных (координат), которые полностью определяют положение системы в пространстве. Понятно, что если система состоит всего из одной частицы (точки), то в нашем трёхмерном пространстве для описания её положения нужны три координаты, значит, число её степеней свободы i  3. Если система состоит из N* объектов, то приходится описывать положение каждого из них, и число степеней свободы оказывается равным 3N*. Если перейти в систему отсчёта, связанную с центром масс системы, все 3N* степеней свободы можно разделить на три группы: на те, которые описывают поступательное движение центра масс вдоль выбираемых осей координат (их всего три), на те, которые описывают вращение системы вокруг этих же осей (их, соответственно, тоже три) и на те, которые связаны с колебательным движением отдельных частиц около своего положения равновесия (понятно, что их 3N*  3  3  3N*  6 штук). Согласно закону о равном распределении энергии по степеням свободы, на каждую степень свободы молекулы в среднем приходится одинаковая кинетическая энергия (поступательного, вращательного или колебательного движения), равная 1 kT, 2 где k – постоянная Больцмана, T – термодинамическая температура. При колебательном движении кроме кинетической энергии объект обладает ещё и потенциальной энергией, на долю которой (на каждую степень свободы) приходится также по 1 2 Рассмотрим примеры: 146 kT. Y X Z Рис. 16.1 - Одноатомный газ (например, гелий He): N*  1. Всего число степеней свободы i  3N*  3, они описывают только поступательное движение, и поэтому называются «поступательными». На каждую из них приходится средняя энергия по ½kT, и поэтому общая средняя энергия молекулы одноатомного газа ‹wК*›  3 kT 2 (см. §15.1). О вращении атома – точки говорить не приходится, нет и колебательных степеней свободы. - Двухатомный газ (например, кислород, O2), N*  2. Всего число степеней свободы i  3N*  6. Среди них – три поступательные, на долю каждой из которых приходится по ½kT. В двухатомном газе можно говорить о вращении молекул лишь относительно двух осей (см. рис. 16.1). Дело в том, что момент инерции системы, состоящей из двух точек, относительно третьей оси равен нулю (на рис. 16.1 это ось Z), и о кинетической энергии при вращении относительно этой оси говорить не приходится (напомним: при вращении WК  ½I2, где I – момент инерции относительно оси вращения,  – угловая скорость; так как I  r 2, где r – расстояние частицы до оси вращения, то в случае точечного объекта, расположенного на оси вращения, r  0, то есть I  0 и WК  0). Таким образом, для молекулы двухатомного газа имеет смысл говорить о трёх поступательных, двух вращательных степенях свободы (на каждую из этих степеней приходится по ½kT) и (поскольку всего i  3N*  6) – об одной колебательной, на долю которой приходится ½kT  ½kT  kT. Правда, при обычных, не слишком высоких температурах колебания атомов в молекулах газа практически не проявляются, поэтому можно считать, что энергия молекулы двухатомного идеального газа в среднем равна ‹wК*›  3 2 kT  2 kT  2 5 2 147 kT, или i  5. - Многоатомный газ (N  3). У метана CH4, например, N*  5, общее число степеней свободы 3N*  15, из которых три – поступательных (на них приходится по ½kT), три – вращательных (теперь возможно вращение вокруг всех трёх осей), на каждую из которых также приходится по ½kT, и 15  3  3  9 колебательных, на каждую из которых должно приходиться по kT. Однако при обычных температурах колебания не проявляются, и поэтому существованием колебательных степеней свободы можно пренебречь. В итоге ‹wК*›  3 2 kT  3 kT  2kT, или i  6. 2 В результате можно сделать вывод: при обычных температурах в среднем энергия одной молекулы идеального газа ‹wК*›  i kT, 2 где i  3 или i  5 или i  6. Если же газ содержит N  M  NА моле- кул (здесь M – масса газа,  – его молярная масса, а NА – число Авогадро), то его внутренняя энергия рассчитывается так: i i M M U  N‹wК*›  NА kT  RT. 2 2   Соответственно, если число молекул в газе не меняется (M  const), i M dU  RdT. (16.2) 2  Мы видим: внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры. Если в ходе некоторого процесса газ возвращается в состояние с той же температурой, общее изменение его внутренней энергии оказывается равным нулю, то есть  dU  0. (16.3) Термодинамические функции, для которых выполняется условие вида (16.3), то есть принимаемые ими значения однозначно определяется параметрами состояния (в данном случае – температуры) и не зависит от того, каким путём система в него пришла, называются функциями состояния. Итак, внутренняя энергия идеального газа является функцией его состояния (в отличие от теплоты и работы: см. примечание на стр. 145). 148 Примечание 1 Высокими считаются температуры, при которых колебания настолько сильны, что становится возможным распад молекул на отдельные атомы. Это, например, – одна из причин, по которой трудно описать процессы, происходящие в двигателе внутреннего сгорания: температура и давление паров топлива постоянно меняются, колебательные степени свободы то проявляются, то нет, да и сами пары неоднородны, то есть являются смесью разных газов со своими собственными характеристиками. Сходная ситуация наблюдается и с понижением температуры: при T порядка сотни кельвин молекулы газов перестают вращаться, и у них остаются лишь поступательные степени свободы, то есть в этих условиях i  3. 16.1.2 Работа, совершаемая идеальным газом  По определению (см. раздел «Механика») работой A силы F ,  под действием которой тело испытывает перемещение dr , назы  вается скалярное произведение вида A  ( F dr )  Fdrcos, где    – угол между векторами F и dr . Если сила – переменная, если в процессе движения меняется угол , то работа по перемещению тела из точки 1 в точку 2 рассчитывается, как интеграл: 2 2   A  A  ( Fdr ) .   1 1 Рассмотрим идеальный газ, находящийся в цилиндре объёмом V, одно из оснований которого (площадью S*) – невесомый поршень способный перемещаться без dx вдоль оси цилиндра S* трения (рис.16.2). Пусть давление газа в  сосуде равно p; под действием этого p F X давления поршень приходит в двиV жение. При смещении поршня на малое расстояние dx объём, занимаРис. 16.2 емый газом, увеличивается на вели149 чину dV  S*dx, при этом ни сила F, с которой газ действует на поршень, ни само давление p  F/S* не успевают измениться. С учётом того, что в данном случае угол   0, совершаемую газом работу A можно вычислить, как   F A  ( F dr ) Fdxcos  Fdx  S*dx  pdV. S* Итак, расширяясь, газ совершает работу A  pdV, (16.4) 2 A или  pdV . (16.5) 1 Рассмотрим примеры. - Изохорный процесс: V  const, dV  0, следовательно, A  0, то есть в ходе такого процесса работа газом не совершается. 2 2   1 1 - Изобарный процесс: p  const, A  pdV  p dV  p(V2  V1), A  pV или (16.6) - Изотермический процесс: T  const. В ходе вычислений используем уравнение Клапейрона – Менделеева, из которого слеΜ RT дует, что p  , то есть  V 2 A 2 Μ  pdV   V RTdV 1 1  Μ  2 RT  1 dV V  Μ  RT ln V2 V1 . (16.7) - Для расчёта работы, совершаемой газом в ходе процесса, при котором меняются все его параметры, удобно использовать график этого процесса, построенный в координатах давление – объём (p  V). Используя формулу (16.5), а также вспомнив, каков графический смысл определённого интеграла, общую работу, совершаемую газом при расширении от V1 до V2, можно рассчитать, как площадь под кривой на графике (при этом по оси абсцисс 150 должны быть отложены кубические метры, а по оси ординат – паскали) – см. рис. 16.3. 2 Приведённые примеры показы2 A  pdV вают: работа, совершаемая газом 1 при переходе из состояния 1 в состояние 2, зависит от того, каким V, м3 образом совершается этот процесс. Рис. 16.3 Это означает: работа A в отличие от внутренней энергии U функцией состояния не является. p, Па 1  Примечание 2 Используя зависимости (16.1) – (16.7), формулу первого начала термодинамики в случае идеального газа постоянной массы (неизменного числа частиц) можно записать следующим образом: i M - в общем случае: Q  RdT  pdV; 2  i M - в изохорном процессе: Q  RdT; 2  i M - в изобарном процессе: Q  RT  pV; 2  V Μ - в изотермическом процессе: Q  pdV  RT ln 2 ; V1  - в адиабатном процессе (происходящем без теплообмена с окружающей средой, то есть при Q  0) формула первого начаi M ла термодинамики записывается так: 0 RdT  pdV. 2  Примечание 3 Поскольку внутренняя энергия идеального газа определяется лишь его температурой и не зависит от объёма, при расширении такого газа в пустоту его температура не меняется: процесс оказывается изотермическим. 151 В случае реального газа его адиабатное расширение сопровождается увеличением среднего расстояния между молекулами, которые взаимодействуют друг с другом. Совершается работа против сил притяжения, внутренняя энергия и температура газа понижаются. Явление изменения температуры реального газа при его адиабатном расширении от одного постоянного давления к другому называется эффектом Джоуля-Томсона. 16.2 Теплоёмкость Выше мы отметили, что работа, совершаемая идеальным газом при переходе из одного состояния в другое, зависит от того, каким образом происходит переход. Очевидно, этот же вывод можно сделать и в отношения количества теплоты Q, требуемой для такого перехода. Для описания подобных процессов в теплофизике введено понятие теплоёмкости, которое может иметь несколько вариантов. - Теплоёмкость тела cтела числено равна количеству теплоты, которое необходимо сообщит телу, чтобы нагреть его на 1 К: cтела  Q . (16.8) dT - Удельная теплоёмкость cуд численно равна количеству теплоты, которое необходимо сообщить одному килограмму вещества с тем, чтобы нагреть его на 1 К: суд  1 Q . (16.9) M dT - Молярная теплоёмкость С численно равна количеству теплоты, которое необходимо сообщить одному молю вещества с тем, чтобы нагреть его на 1 К: 1 Q  Q C  . (16.10)  dT M dT 152 В случае идеального газа на практике чаще всего используется именно молярная теплоёмкость, однако численное значение C определяется тем, как происходит передача тепла. a) Молярная теплоёмкость СV в изохорном процессе:  Q  1 i M СV   RdT, или M dT M dT 2  i СV  R. (16.11) 2 b) Молярная теплоёмкость СP в изобарном процессе:  Q  1 i M  1 СP   ( RdT  pdV)  СV  pdV. M dT M dT 2  M dT Μ Но, согласно уравнению Клапейрона – Менделеева, pV  RT,  и, взяв дифференциал от обеих частей уравнения с учётом того, Μ что в изобарном процессе p  const, получим: pdV  RdT.  В результате формула для СP приобретает вид, который называется уравнением Майера: СP  СV  R. (16.12) Молярную теплоёмкость идеального газа при постоянном давлении (так же, как это мы уже сделали в случае СV) можно выразить через число степеней свободы i молекул этого газа: i2 СP  R. (16.13) 2 Примечание 4 (О единицах измерения теплоты и теплоёмкости) В СИ единицей измерения теплоты, энергии и работы является джоуль. Однако в теплотехнике часто используются ещё одна, внесистемная единица измерения: калория. Одна калория равна 153 количеству теплоты, необходимому для нагрева 1 г воды на 1 К (или на 1 ºС от 14,5 ºС до 15,5 ºС); 1 кал  4,18 Дж. [cтела]  ДжК 1; [cуд]  Джкг1К 1; [C]  Джмоль1К 1. 16.3 Адиабатный процесс В адиабатном (адиабатическом) процессе Q  0, а это означает, что 0  dU  A, то есть при совершении газом работы его внутренняя энергия уменьшается: A  dU или pdV   i M RdT. Но из уравнения Клапейрона – Менделеева следует: 2  i M RdT  d(pV). Это позволяет записать: pdV   d(pV)  2  i  (pdV  Vdp). Разделяя переменные, получаем дифференциаль2 ное уравнение вида i  2 dV i dp  . 2 p 2 V Если в начале адиабатного процесса газ имел объём V1 при давлении p1, а в конце – объём V2 при давлении p2, можно записать: i2 2 V2  V1 i dV  V 2 Заметим: СV  i 2 p2  p1 dp , p R; СP  Введём обозначение:   i2 или i2 2 CP CV i ln V2 V1   ln R, следовательно, p2 p1 i2 i . (16.14)  CP CV . , тогда формула (16.14) приобре p V  тает вид: ln   ln , откуда  2   1 , или p1V1  p2V2. V1 p1 p2  V1  V2 p2 154 Другими словами, в ходе адиабатного процесса произведение вида pV  остается постоянным. Данное условие, записанное в виде pV   const, где   CP CV процесса. (16.15) , называется уравнением Пуассона для адиабатного Примечание 5 Поскольку речь идёт об идеальном газе, для которого справедливо уравнение Клапейрона – Менделеева, от переменных p и V в уравнении (16.15) можно перейти к переменным V и T или p и T. Так, например, в случае переменных p и T уравнение Пуассона записывается следующим образом: р T     const. Примечание 6 p адиабата, p  const V  изотерма, p  const V V Рис. 16.4 или p  const V Построим график адиабатного процесса в координатах p  V. Из уравнения (16.15) следует, что в адиабатном процессе const p  , то есть графиком проV цесса будет являться гипербола (чем V больше, тем p меньше). Сходный вид в этих же координа( M /  R тах имеет изотерма (p  V ), однако адиабата спадает круче, так как показа- 155 тель степени   i2 i  1. Например, для одноатомного газа i 3,   5/3  1,7; для двухатомного i  5,   7/5  1,4, для многоатомного i  6,   8/6  1,3. В воздухе больше всего азота (N2) и кислорода (O2) – двухатомных газов, поэтому для воздуха можно принять   1,4. Примеры графиков изотермы и адиабаты показаны на рис. 16.4. Примечание 7 Все процессы, которые вы рассмотрели выше, являются частными случаями, так называемого, политропного процесса, который описывается уравнением вида pV n  const. Действительно:  в изобарном процессе n  0, CP  const;  в изотермическом процессе n  1, CТ  ;  в адиабатном процессе n  , CАД  0;  в изохорном процессе n   CV  const. Контрольные задания и вопросы 1. Сформулируйте первое начало термодинамики. Какой смысл имеют входящие в соответствующую формулу величины? 2. Что имеется в виду, когда говорят, что внутренняя энергия является функцией состояния? От чего зависит изменение внутренней энергии идеального газа? 3. В чём заключается суть теоремы о равном распределении энергии молекул идеального газа по степеням свободы? Поясните суть теоремы на примере молекул газов, входящих в состав атмосферы. 4. Выведите выражение для работы, совершаемой при расширении идеального газа. 156 5. Какие процессы называются обратимыми? Приведите примеры. 6. Что называется молярной теплоёмкостью? Что такое CV и CP? Как они рассчитываются в случае идеального газа? 7. Выведите уравнение Майера. 8. Какой процесс называется адиабатным? Запишите уравнение Пуассона для адиабатного процесса. Начертите график адиабаты в координатах p – V. 9. Запишите формулу первого начала термодинамики для разных изопроцессов, протекающих в идеальном газе. 10. Какой процесс называется политропным? 157 Лекция № 17 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЧАСТЬ IV 17.1 Тепловые машины. Цикл Карно Первое начало термодинамики может быть использовано для описания работы тепловых двигателей – устройств, которые используют поступающее тепло для получения полезной работы. В основе работы тепловых двигателей лежат круговые процессы (циклы), при которых система раз за разом возвращается в исходное состояние с тем, чтобы вновь начать совершать работу. Для расширения рабочее тело (в нашем случае – газ) нагревают (обеспечивающее нагрев устройство обозначают термином «нагреватель»), для того, чтобы он вновь сжался, его охлаждают (устройство для охлаждения называют «холодильник»). Изменение внутренней энергии идеального газа за полный цикл равно  нулю ( dU  0), поэтому работа A, совершаемая газом за один цикл, оказывается равной разнице количеств теплоты, полученной от нагревателя QН и переданной холодильнику QХ: A  QН  QХ. Схематически работа тепловой машины поясняется рис. 17.1. На графике циклического процесса в координатах p – V (рис. 17.2) работа, НАГРЕВАТЕЛЬ, совершаемая газом при расширении из температура TН состояния с объёмом V1 в состояние с QН объёмом V2, численно равна площади под кривой 1 – 2 – 3 (рис. 17.2а), а работа, совершаемая над газом при его РАБОЧЕЕ A сжатии от V2 до V1, – площади под криТЕЛО вой 3 – 2 – 1 (рис. 17.2б). Таким обраQХ зом, полезная работа, совершаемая за цикл тепловым двигателем на основе ХОЛОДИЛЬНИК, температура TХ идеального газа, численно равна площади, ограниченной замкнутой кривой Рис. 17.1 1 – 2 – 3 – 2 – 1 графика цикла в координатах p – V (рис. 17.2в). 158 p 1 p 1 p 2 1 2 3 2 3 3 2 а) V 2 V б) Рис. 17.2 в) V Тепло, передаваемое холодильнику, как правило, бесполезно теряется в окружающей среде. Коэффициент полезного действия  тепловой машины рассчитывается по формуле  A QН  QН  QХ QН . (17.1) Очевидно:   1, и это подтверждает то, что невозможен периодически действующий двигатель, который совершал бы работу в большем количестве, чем получаемая им извне энергия (такое гипотетическое устройство называется «вечным двигателем первого рода»). Проблема повышения к. п. д. тепловых машин привлекала пристальное внимание учёных. С этой целью совершенствовалась конструкция машин, варьировалось топливо нагревателя, менялся режим работы (форма кривой цикла)… Одновременно проводились теоретические исследования, в результате которых удалось показать, что максимально возможным к. п. д. должны обладать машины, цикл которых представляет собой обратимый процесс. Термодинамический процесс называется обратимым, если он допускает возврат системы в первоначальное состояние без того, чтобы в окружающей среде остались какие-либо изменения. Другими словами, после окончания обратимого цикла в исходное состояние должно возвращаться не только само рабочее тело машины (в нашем случае – газ), не только её элементы (шестерёнки, поршни, рычаги), но и все другие окружающие машину и связанные с ней тела. Примером обратимого процесса в меха159 нике являются свободные незатухающие гармонические колебания (идеальный процесс, происходящий без трения), в термодинамике – адиабатный и изотермический процессы. На практике и трение, и сопротивление всегда имеют место; они приводят к безвозвратной потере части затрачиваемой энергии, и поэтому реальные процессы необратимы. То, что максимальным к. п. д. (*) должна обладать машина, работающая по обратимому циклу, впервые показал Карно. Он доказал также, что величина к. п. д. такой машины не должна зависеть от природы рабочего тела (газ ли это, жидкость или твёрдое тело), а определяется лишь температурой нагревателя TН и температурой холодильника TХ: *  TН  TХ TН . (17.2) Таким образом, у идеальной тепловой машины: *  A QН  QН  QХ QН  TН  TХ TН . (17.3) Обратим внимание: и у идеальной тепловой машины к. п. д. меньше единицы! Карно не только вывел формулу для вычисления максимально возможного значения к. п. д., p он предложил пример цикла, 1 работая по которому, теплоQН; изотерма при TН вая машина будет его иметь. Соответствующий цикл поадиабаты, Q  0 лучил название цикла Карно. Цикл Карно состоит из двух изотерм и двух адиабат 2 Цикл Карно (рис. 17.3). 3 Началу цикла соответ4 ствует состояние 1: нагретый QХ; изотерма при TХ до температуры нагревателя V Рис. 17.3 TН газ, получая от этого 160 нагревателя тепло QН, изотермически расширяется до состояния 2. Далее обмен теплом между нагревателем и газом прекращается; последний продолжает расширяться, но уже адиабатически до состояния 3, в котором его температура оказывается равной температуре холодильника TХ. Расширение заканчивается, газ приводится в контакт с холодильником и начинает отдавать ему тепло QХ. Происходит изотермическое сжатие газа до состояния 4, в котором обмен теплом между рабочим телом и холодильником заканчивается, а газ, сжимаясь адиабатически, возвращается в исходное состояние 1. Цикл завершён. Параметры состояния газа вернулись к исходным значениям, температура и нагревателя и холодильника остались теми же: цикл Карно является обратимым процессом. Поскольку к. п. д. идеальной тепловой машины зависит лишь от температуры нагревателя и холодильника, какие бы другие обратимые циклы мы не совершали, при тех те TН и TХ к. п. д. работающих по этим циклам тепловых машин будет таким же, как и в случае цикла Карно – см. формулу (17.3). Примечание 1 К. п. д. идеальной тепловой машины *  QН  QХ  TН  TХ то есть: 1  QХ QН 1 TХ TН , или QХ QН QН TХ   TН QХ TН , TН QН , то есть в обратимом цикле: . (17.4) TХ Примечание 2 К. п. д. любой идеальной тепловой машины (работающей по T T обратимому циклу) *  Н Х , а к. п. д. реальной тепловой TН машины (работающей по необратимому циклу)   QН  QХ QН 161  *. Это означает, что для необратимого цикла можно записать: QН  QХ T T Q T  Н Х , или Х  Х , или QН TН QН TН QХ Q  Н  0. (17.5) TХ TН 17.2 Второе начало термодинамики Закон сохранения энергии (и второе начало термодинамики, как одна из форм его проявления) накладывает запрет на возможность создания вечного двигателя первого рода. Можно, однако, представить себе двигатель, внутренняя энергия рабочего тела которого не меняется (например, – у идеального газа в изотермическом процессе U  0), а, значит, получаемое тепло полностью переходит в эквивалентную ему работу: Q  A. Получая тепло от нагревателя и полностью преобразуя его в полезную работу, мы создали бы устройство, которое называется вечным двигателем второго рода. Преграду на этом пути ставит второе начало термодинамики. Второе начало имеет несколько формулировок, которые, однако, эквивалентны друг другу. Приведём две из них: - Невозможен процесс, единственным результатом которого является превращение всей теплоты, полученной от нагревателя, в эквивалентную ей работу (то есть – невозможно создание вечного двигателя второго рода). Так, например, при изотермическом расширении хоть Q и равно A, однако этот результат – не единственный: газ расширяется! Расширение не может идти до бесконечности, рано или поздно нам придётся возвращать газ в исходное состояние, для чего необходимо затрачивать часть полученной энергии. Из сказанного следует, в частности, что нельзя создать тепловую машину с к. п. д., равным единице. - Если два тела с разными температурами приведены в тепловой контакт, то тепло будет передаваться от горячего 162 тела к холодному, а не наоборот. Если б это было не так, мы бы могли тепло, получаемое холодильником в ходе циклического процесса, полностью возвращать нагревателю, и тогда и холодильник и рабочее тело периодически возвращались бы в исходное состояние, а единственным результатом функционирования такого устройства было бы превращение получаемого от нагревателя тепла в эквивалентную ему работу. Это запрещено – см. предыдущую формулировку второго начала. Таким образом, несмотря на то, что формула вида Q  A может оказаться математически верной, физически количество теплоты и работа оказываются неравноценны. Работу A в эквивалентное ей тепло Q полностью (и так, чтобы в окружающей среде не появились изменения) превратить можно, например, вследствие внутреннего трения, обратный процесс осуществить не удаётся. 17.3 Энтропия 17.3.1 Энтропия, как функция состояния Назовём энтропией термодинамическую функцию S, которую введём таким образом, чтобы в обратимом процессе она удовлетворяла условию: dS  Q . (17.6) T Что даёт введение такой функции? Каков её физический смысл? Для того чтобы понять это, рассмотрим обратимый процесс в изолированной системе на примере цикла Карно и посчитаем, чему равен интеграл от dS за весь цикл (то есть выясним, как меняется энтропия идеального газа за один обратимый цикл). При вычислениях будем пользоваться рисунком 17.3. Итак: 163 S   dS  Q T 2   1 Q T 3   Q 2 T 4   Q T 3 1   4 Q T . Процесс 1 – 2 – изотермический, T  TН  const, следовательно, 2  1 Q T 2  Q T 1  Н 1 TН 2  Q  1 QН . TН (17.7) Процесс 2 – 3 – адиабатный, Q  0, то есть, 3  2 Q  0. T (17.8) Процесс 3 – 4 – изотермический, T  TХ  const, и это означает: 4  3 Q T 4  Q T 3  Х 1 TХ 4 QХ  Q   T 3 (17.9) Х (знак «минус» показывает, что тепло отводится от рабочего тела к холодильнику). Процесс 4 – 1 – адиабатный, Q  0, или 1  Q  0. (17.10) T Объединяя формулы (17.7) – (17.10), получаем: Q Q Q Q Q S  S   Н 0 Х 0 Н  Х . T TН TХ TН TХ Ранее, однако, мы показали – (17.4), – что в обратимом процесQ Q се Н  Х , а это означает, что рассматриваемый интеграл равен TН TХ нулю, или, другими словами, по завершении цикла Карно энтропия системы не изменилась, то есть S  0. Сказанное справедливо не только для цикла Карно, но и для любого обратимого цикла. На лекции 16 мы говорили о том, что термодинамические функции, интеграл по замкнутому контуру для которых равен нулю (то есть их значение определяется лишь значениями параметров состояния и не зависит от того, каким путём система в него пришла), называются функциями состояния. Функцией состояния 4   164 является внутренняя энергия; из сказанного выше можно сделать вывод о том, что функцией состояния является и энтропия. Примечание 3 Из определения энтропии (dS  Q/T) следует, что если к системе подводится тепло (Q  0), то её энтропия возрастает, если тепло отводится (Q  0), – энтропия уменьшается. В адиабатном процессе Q  0, то есть адиабатным является процесс, протекающий при постоянной энтропии, S  const. Сказанное позволяет построить график цикла Карно в координатах температура – энтропия (T – S), рис. 17.4. Участок 1 – 2 – изотерма, T  TН  const; участок 2 – 3 – адиабата, S  S*  const; участок 3 – 4 – изотерма, T  TХ  const; участок 4 – 1 – адиабата, S  S**  const. График имеет вид прямоугольника, площадь которого также равна совершаемой за цикл работе. Это легко показать, используя T первое начало термодинамики, и то, что 1 2 TН dS  Q/T, или Q  TdS. Действительно, для нашего цикла dS   dU   A . Но  dU  0, следовательно, A   dS . TdS  dU  A, или TХ 4 3 S** S* S Рис. 17.4 Последний интеграл числено как раз и равен площади, ограниченной кривой T(S) в координатах T – S. 17.3.2 Энтропия в необратимых процессах Формула (17.6), согласно которой dS  Q , справедлива лишь T для обратимых процессов. Можно показать, что если процесс необратим, изменение энтропии оказывается больше, то есть в необратимом процессе в изолированной системе 165 dS  Q T , (17.11) что соответствует условию S  0. Таким образом, мы пришли к соотношению S  0, (17.12) которое называется неравенством Клаузиуса. С учётом того, что в окружающем нас мире практически все процессы необратимы, неравенство (17.12) позволяет дать ещё одну формулировку второго начала термодинамики: при любых процессах, происходящих в природе, энтропия замкнутой системы возрастает (не убывает). Она остаётся постоянной лишь в идеальных, обратимых процессах. Таким образом, энтропия, как функция состояния, позволяет оценить, насколько протекающий круговой процесс далёк от идеального, обратимого: чем сильнее меняется энтропия замкнутой системы, тем дальше этот процесс от обратимого. На основании сказанного формула первого начала термодинамики может быть записана в виде для обратимого процесса: TdS  dU  A, для необратимого процесса: TdS  dU  A, в общем виде: TdS  dU  A. (17.13) 17.3.3 Энтропия и термодинамическая вероятность состояния а) О вероятности состояния Если N – число равновероятных событий, то вероятность одного события   1/N. Пример: два одинаковых шарика «a» и «b», не глядя, бросаем в ящик, разделённый на равные две части перегородкой. Возможны следующие варианты: - шарик «a» окажется слева, шарик «b» – справа (рис. 17.5а); - слева окажется шарик «b», а шарик «a» – справа (рис. 17.5б); 166 - оба шарика окажутся слева (рис. 17.5в); - оба шарика окажутся справа (рис. 17.5.г). Вероятность каждого события равна ¼, однако нетрудно заметить, что первое и второе события, по существу, описывают одно P2 «a» «b» а) P1 «b» «a» «a» «b» б) P1 «a» «b» в) г) Рис. 17.5 и то же состояние: отличий между ними нет. Термодинамической вероятностью состояния P называется число способов, которыми оно может реализоваться. Очевидно, что состоянию, когда и справа и слева находится по одному шарику, соответствует P  2, а каждому из состояний, при которых оба шарика находятся справа или оба шарика находятся слева, соответствует P  1. Термодинамическую вероятность состояния связал с энтропией Больцман. Он показал, что: S  klnP  const, где k  1,381023 Дж/К – постоянная Больцмана. Видно, что эта связь определена с точностью до константы, но по предложению Планка константу условились считать равной нулю (на практике всех интересует лишь изменение энтропии), поэтому в итоге: S  klnP. (17.14) Поскольку энтропия замкнутой системы не может убывать, можно дать ещё одну формулировку второго начала термодинамики: термодинамическая вероятность состояния замкнутой системы при всех происходящих в ней процессах не может убывать. Сравнивая различные состояния любой замкнутой системы, можно сделать вывод о том, что, чем больше она упорядочена, тем меньше P, соответствующее этому состоянию. Так, на рис.17.5 порядку соответствуют события в) и г), но для них P 167 меньше, чем в случаях а) и б), в которых частицы равномерно (хаотично) разбросаны по обеим частям ящика. (Это знакомо и по жизни: порядок, например, на письменном столе, достигается вполне определённым числом способов, когда всё разложено по определённым местам, беспорядок же, – когда всё набросано, где попало, – можно создать гораздо бóльшим числом способов). б) Возрастание энтропии и стремление замкнутой системы к хаосу. Статистическое толкование второго начала термодинамики Из закона возрастания энтропии следует, что в процессе эволюции любая замкнутая система стремится к состоянию с максимально возможной термодинамической вероятностью, то есть – к хаосу. При этом энтропия, со статистической точки зрения, является мерой хаоса (беспорядка). Итак, хаос, беспорядок – будущее замкнутых систем. Сказанное не касается систем незамкнутых, то есть тех, в которые есть обмен энергией и информацией с окружающей средой. Так, например, затратив некоторую энергию, мы можем создать порядок на том же самом письменном столе, на котором до этого царил хаос. С эволюцией замкнутой системы в сторону хаоса в космологии связан термодинамический парадокс, на который обратил внимание ещё Больцман. Если Вселенная существует бесконечно долгое время, то хаос в ней (состояние, при котором атомы не объединены в молекулы, не образуют вещество и не формируют планеты и звёзды, а равномерно «распылены» по всему пространству) должен был бы наступить уже давным-давно. Но ведь хаоса нет, – парадокс! Сам же Больцман предложил варианты его объяснения:  Вселенная не замкнута, и поэтому говорить о неуклонном возрастании её энтропии нельзя.  Вселенная бесконечна в пространстве, а, значит, говорить о вероятности того или иного состояния бессмысленно. 168  Хаос давно наступил, но в любом хаотичном состоянии возможны локальные, существующие лишь некоторое время, отклонения параметров системы от среднего значения – флуктуации. В рамках этого объяснения окружающий нас мир является гигантской флуктуацией, которая, случайно возникнув, рано или поздно «рассосётся». О том, каким образом решается данный парадокс в рамках современных представлений о строении Вселенной, мы поговорим в третьей части курса физики. в) Открытые диссипативные системы. Самоорганизация в открытых системах Флуктуации (случайные отклонения значений физических величин от их средних значений) – общее свойство коллектива частиц, и их наличие обычно не сказывается на макропараметрах системы. Появление в системе неустойчивости способствует разрастанию флуктуации, что на определённом этапе может перевести систему в неустойчивое критическое состояние (состояние бифуркации), из которого она может сброситься в качественно новую систему (произойдёт самоорганизация). Наличие случайного фактора и самоорганизация являются неотъемлемыми свойствами большого коллектива. Так, например, броуновское движение маленьких частиц, взвешенных в жидкости, совершенно беспорядочно. Но если таких частиц много, то они своим хаотическим движением дают начало упорядоченному процессу диффузии. Другие примеры самоорганизации – возникновение устойчивых конвекционных потоков частиц в нагреваемой жидкости, водоворотов на поверхности реки, вращение галактик в расширяющейся Вселенной. Самоорганизация приводит к появлению порядка из беспорядка, а это означает, что данному процессу соответствует уменьшение энтропии, что, на первый взгляд, противоречит второму началу термодинамики. Но дело в том, что второе начало было сформулировано для замкнутых систем, а самоорганизация – свойство открытых систем. При этом даже может оказаться, что самоор169 ганизация системы не потребует подвода добавочной энергии, но тогда всё равно часть энергии из системы придётся выводить в окружающую среду, иначе самоорганизация не произойдёт. Так, например, ожижение газа и затвердевание расплава не требуют затрат энергии. Но для протекания данных процессов, переводящих газ и жидкость в более упорядоченные состояния (в жидкое и в твёрдое, соответственно), необходимо часть энергии из этих систем вывести. Какие бы примеры самоорганизации мы не рассматривали, всегда необходимыми условиями её возникновения являются наличие большого коллектива, в котором возможны флуктуации, склонные к разрастанию в состоянии неустойчивости, и открытость самой системы – этого коллектива. В принципе самоорганизация возможна и в замкнутых системах. Однако, самоорганизация и уменьшение энтропии в одной части замкнутой системы неминуемо сопровождается возрастанием энтропии и нарастанием хаоса в другой её части. Рассмотренная схема является составной частью развитой лауреатом нобелевской премии И. Пригожиным теории нелинейной термодинамики неравновесных процессов. Междисциплинарное направление, которое изучает процессы самоорганизации в природе, получило название «синергетика». 17.4 Химический потенциал Напоследок вновь вернёмся к первому началу термодинамики и попытаемся описать ситуацию, когда в системе меняется число входящих в неё частиц N. Очевидно, что с изменением этого числа должна меняться и энергия всей системы в целом. Учтём эту возможность. Для обратимого процесса в системе с неизменным числом частиц формулу первого начала термодинамики мы можем записать так: TdS  dU  pdV, откуда dU  TdS  pdV. 170 Увеличим число частиц в системе на dN: её энергия возрастёт на некоторую величину dN, где  – некоторый коэффициент пропорциональности. Таким образом, формулу первого начала термодинамики для системы с переменным числом частиц можно записать в следующем виде: dU  TdS  pdV  dN. (17.15) Коэффициент  называется химическим потенциалом. Его физический смысл таков: он показывает, на какую величину меняется внутренняя энергия системы в случае постоянных объёма и энтропии (dV  0 и dS  0) при изменении (dN) числа частиц в ней на единицу.  U    (17.16)  .  N V,S Можно показать, что при контакте двух систем, способных обмениваться частицами, их химические потенциалы начнут меняться. В состоянии термодинамического равновесия химические потенциалы контактирующих систем окажутся одинаковыми. Данный вывод мы используем позднее для объяснения свойств p-n-переходов, на работе которых основана элементная база современной микроэлектроники. Контрольные задания и вопросы 1. Какие машины называются тепловыми? Какие превращения происходит с теплом и энергией за один цикл работы таких машин? 2. Какие процессы называются обратимыми? Приведите примеры обратимых и необратимых процессов. 3. В чём заключалась суть выводов, сделанных Карно? Какой цикл был им предложен, в чём заключались особенности этого цикла? 4. Как рассчитывается к. п. д. в цикле Карно и в других обратимых циклах; в необратимых циклах? 171 5. Приведите (по крайней мере) две формулировки второго начала термодинамики. 6. Что называется энтропией? Как она связана с теплотой? Что происходит с энтропией при обратимых и необратимых процессах в замкнутых системах? 7. Начертите графики цикла Карно в координатах p – V и T – S. Поясните, каким процессам соответствуют отдельные участки графиков. 8. Как энтропия связана с термодинамической вероятностью состояния? В чём заключается статистическое толкование второго начала термодинамики? 9. В чём заключается смысл парадокса о тепловой смерти Вселенной? 10. Опишите схему процессов самоорганизации в природе. Что такое бифуркация? 11. Что называется химическим потенциалом? В каких единицах он измеряется в СИ? Что происходит с химическим потенциалом при установлении равновесия в системе из двух контактирующих тел? 172 Рекомендуемая литература 1. Трофимова Т. И. Курс физики – М.: Академия. – 2010 и далее. 2. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Изд-во «Академия». – 2005 и далее. 3. Савельев И.В. Курс общей физики: В 3-х томах. – М.: Наука. – 2005 и далее. 4. Хавруняк В.Г. Курс физики. – М.: Высшая школа. – 2007. 5. Кокин С.М. Физика. Часть I. Конспект лекций. – М.: МИИТ. – 2010. 6. Никитенко В.А., Кокин С.М. Физика. Часть III. Конспект лекций. – М.: МИИТ. – 2007. 7. Оселедчик Ю.С., Самойленко П.И., Точилина Т.Н. Физика. Модульный курс для технических вузов. – М.: Юрайт. – 2012. 8. Сборник задач по дисциплине «Физика» Под общ. ред. проф. С.М. Кокина. – М.: МИИТ. – 2006. 9. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. – М.: Наука. – 2006 и далее. 10. Чертов А.Г., Воробьёв А.А. Задачник по физике. – М.: Высшая школа. – 2006 и далее. 11. Методические указания к лабораторным работам по физике. – М.: МИИТ, 2000 – 2013 и далее. 12. Селезнёв В.А. Методические указания к вводному занятию в лабораториях кафедры физики. – М.: МИИТ. – 2011. 173 Содержание Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Лекция 1 КОЛЕБАНИЯ. ЧАСТЬ I 1.1 Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.2 Примеры гармонических колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.3 Графическое отображение получаемых результатов. . . . . . . .8 Контрольные задания и вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9 Лекция 2 КОЛЕБАНИЯ. ЧАСТЬ II 2.1 Затухающие колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 2.2 Вынужденные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 Контрольные задания и вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 Лекция 3 КОЛЕБАНИЯ. ЧАСТЬ III 3.1 Явление резонанса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 3.2 Автоколебания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 Контрольные задания и вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 Лекция 4 КОЛЕБАНИЯ. ЧАСТЬ IV 4.1 Сложение колебаний, происходящих в одном направлении . . .21 4.2 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний . . . . . . . . . . .23 4.2.1 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с равными частотами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 4.2.2 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с кратными частотами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 Контрольные задания и вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 Лекция 5 ВОЛНЫ. ЧАСТЬ I 5.1 Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 5.2 Уравнение бегущей волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 5.3 Дифференциальное волновое уравнение. . . . . . . . . . . . . . . . . .32 5.4 Упругие волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 5.5 Эффект Доплера (в акустике). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 Контрольные задания и вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 Лекция 6 ВОЛНЫ. ЧАСТЬ II 6.1 Сложение волн. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Стоячие волны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Электромагнитны волны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Контрольные задания и вопросы . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 174 . .37 . .38 . .41 . .44 Лекция 7 ВОЛНЫ. ЧАСТЬ III 7.1 Перенос энергии электромагнитной волной. Вектор Пойнтинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 7.2 Опыты Герца. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 7.3 Шкала электромагнитных волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 7.4 Распространение волн. Принцип Гюйгенса . . . . . . . . . . . . . . . .50 Контрольные задания и вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 Лекция 8 ВОЛНОВАЯ И КВАНТОВАЯ ОПТИКА. ЧАСТЬ I 8.1 Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53 8.2 Интерференция света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 8.3 Наблюдение интерференции света. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 8.4 Интерференция в тонких плёнках. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59 8.5 Кольца Ньютона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 8.6 Интерферометры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63 Контрольные задания и вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64 Лекция 9 ВОЛНОВАЯ И КВАНТОВАЯ ОПТИКА. ЧАСТЬ II 9.1 Дифракция света. Метод зон Френеля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65 9.2 Примеры дифракции света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68 9.2.1 Дифракция на круглом отверстии. . . . . . . . . . . . . . . . . . .68 9.2.2 Дифракция на круглом непрозрачном диске . . . . . . . . . . .69 9.2.3 Дифракция Фраунгофера на щели . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70 Контрольные задания и вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73 Лекция 10 ВОЛНОВАЯ И КВАНТОВАЯ ОПТИКА. ЧАСТЬ III 10.1 Дифракция света. Дифракционная решётка. . . . . . . . . . . . . . .74 10.2 Дифракция на трёхмерных решётках. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76 10.2.1 Дифракция рентгеновских лучей на кристаллической решётке. Формула Вульфа-Брэгга. . . . . . . . . . . . . . . . . . .76 10.2.2 Голография в толстых плёнках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78 10.3 Прохождение света через вещество. Дисперсия света. . . . . .80 Контрольные задания и вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84 Лекция 11 ВОЛНОВАЯ И КВАНТОВАЯ ОПТИКА. ЧАСТЬ IV 11.1 Поглощение и рассеяние света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86 11.2 Эффекты, связанные с поляризацией света. Поляроиды. . . . .88 11.3 Отражение света на границе раздела диэлектриков. . . . . . . .91 11.4 Оптически анизотропные среды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94 11.5 Жидкие кристаллы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95 Контрольные задания и вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96 175 Лекция 12 ВОЛНОВАЯ И КВАНТОВАЯ ОПТИКА. ЧАСТЬ V 12.1 Тепловое излучение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97 12.1.1 Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97 12.1.2 Законы теплового излучения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99 12.2 Внешний фотоэффект. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103 12.3 Примеры других эффектов, в которых проявляются квантовые свойства света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105 12.3.1 Фотоны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105 12.3.2 Давление света. Опыты Лебедева. . . . . . . . . . . . . . . . .106 12.3.3 Эффект Комптона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 Контрольные задания и вопрос. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108 Лекция 13 СТРОЕНИЕ АТОМА 13.1 Корпускулярно-волновой дуализм света. . . . . . . . . . . . . . . . . .110 13.2 Основы теории атома водорода по Бору. . . . . . . . . . . . . . . . .111 13.2.1 Закономерности в спектрах свечения атомарного водорода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 13.2.2 Опыты Резерфорда. Планетарная модель атома. . . . . .112 13.2.3 Постулаты Бора. Модель атома водорода по Бору. . . . .114 13.3 Поглощение и излучение света атомами. . . . . . . . . . . . . . . . . . .117 Контрольные задания и вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119 Лекция 14 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЧАСТЬ I 14.1 Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120 14.1.1 Два подхода к описанию свойств макросистем. . . . . .120 14.1.2 Параметры состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120 14.2 Идеальный газ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122 14.2.1 Определение. Уравнение состояния. . . . . . . . . . . . . . . .122 14.2.2 Изопроцессы в идеальном газе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124 14.2.3 Масса и размеры молекул идеального газа . . . . . . . . . .126 14.3 Реальный газ. Уравнение Ван-дер-Ваальса. . . . . . . . . . . . . . . .127 Контрольные задания и вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130 Лекция 15 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЧАСТЬ II 15.1 Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131 15.2 Распределение Максвелла молекул по скоростям . . . . . . . . . .133 176 15.3 Опыт Штерна. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136 15.4 Распределение Максвелла-Больцмана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138 15.4.1 Барометрическая формула. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138 15.4.2 Распределение Больцмана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139 15.4.3 Распределение Максвелла-Больцмана . . . . . . . . . . . . . .140 15.4.4 Средняя длина свободного пробега. . . . . . . . . . . . . . . . .141 15.5 Явления переноса в газах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142 Контрольные задания и вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .144 Лекция 16 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЧАСТЬ III 16.1 Первое начало термодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145 16.1.1 Внутренняя энергия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145 16.1.2 Работа, совершаемая идеальным газом . . . . . . . . . . . .149 16.2 Теплоёмкость. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152 16.3 Адиабатный процесс. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154 Контрольные задания и вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156 Лекция 17 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЧАСТЬ IV 17.1 Тепловые машины. Цикл Карно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158 17.2 Второе начало термодинамики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162 17.3 Энтропия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163 17.3.1 Энтропия, как функция состояния . . . . . . . . . . . . . . . .163 17.3.2 Энтропия в необратимых процессах. . . . . . . . . . . . . . .165 17.3.3 Энтропия и термодинамическая вероятность состояния. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166 17.4 Химический потенциал. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170 Контрольные задания и вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171 Рекомендуемая литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173 177 Св. план 2013 г., поз. 140 Кокин Сергей Михайлович Никитенко Владимир Александрович ФИЗИКА Часть II КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ Формат 60  84/16 Подписано к печати Тираж 300 экз. Заказ № 178 Усл. п. л.