Физика, Механика и молекулярная физика

Лекции по курсу «Физика, Механика и молекулярная физика» А. В. Купцова, П. В. Купцов ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю. А.» Факультет электронной техники и приборостроения 7 мая 2012 г. Содержание 1 Кинематика материальной точки 1.1 Принципы научного познания . . . . . . . . 1.1.1 Метод принципов . . . . . . . . . . . 1.1.2 Схема научного познания . . . . . . 1.2 Разделы механики . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Определение . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Кинематика и динамика . . . . . . . 1.2.3 Объекты изучения механики . . . . 1.2.4 Материальная точка . . . . . . . . . 1.2.5 Абсолютно твердое тело . . . . . . . 1.3 Системы отсчёта . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Пространственная система отсчёта . 1.3.2 Радиус-вектор . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Координатные орты . . . . . . . . . . 1.3.4 Правая и левая системы координат . 1.3.5 Система отсчёта . . . . . . . . . . . . 1.4 Движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Описание движения . . . . . . . . . . 1.4.2 Траектория . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Путь и перемещение . . . . . . . . . 1.4.4 Вычисление перемещения . . . . . . 1.5 Скорость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Определение . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Направление скорости . . . . . . . . 1.5.3 Модуль скорости . . . . . . . . . . . 1.5.4 Координатное представление . . . . 1.5.5 Вычисление пути . . . . . . . . . . . 1.5.6 Вычисление перемещения . . . . . . 1.6 Ускорение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Определение . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Координатное разложение . . . . . . 1.6.3 Направление ускорения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 10 11 11 11 12 12 12 12 12 13 13 13 13 2 Кинематика материальной точки. Кинематика абсолютно твёрдого тела 2.1 Нормальное и тангенциальное ускорение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Движение с постоянным ускорением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Скорость при равноускоренном движении . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Перемещение при равноускоренном движении . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Виды движения твёрдого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Движение абсолютно твёрдого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Виды движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Поступательное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Описание поступательного движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Вектор приращения угла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Угловая скорость и ускорение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4 Направление углового ускорения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Равноускоренное вращение вокруг неподвижной оси . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Вывод формул равноускоренного вращения . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Формулы равноускоренного вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Связь между линейными и угловыми величинами . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Векторное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Вывод формул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3 Связь угловой и линейной скоростей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.4 Нормальное и тангенциальное ускорение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 14 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17 18 18 18 18 19 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Кинематика абсолютно твёрдого тела. Динамика материальной точки 3.1 Плоское движение твёрдого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Вывод формул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Свойства плоского движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Мгновенная ось . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Динамика. Инерциальные системы отсчёта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Системы отсчёта в кинематике и динамике . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Отличия систем отсчёта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Инерциальные и неинерциальные системы отсчёта . . . . . . . . . . . 3.2.4 Первый закон Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Инерциальные системы отсчёта в природе . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Однородность и изотропность пространства и времени . . . . . . . . . . . . 3.4 Принцип относительности и преобразование Галилея . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Формулировка принципа относительности . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Вывод формулы преобразования координат . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Закон сложения скоростей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Инварианты преобразований Галилея . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Понятие инвариантов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Длина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3 Абсолютный характер одновременности . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.4 Интервал времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.5 Ускорение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 19 19 20 20 21 21 21 21 21 22 22 22 22 22 22 23 23 23 23 24 24 24 4 Динамика материальной точки. Импульс 4.1 Масса и импульс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Понятие инертной массы . . . . . . . . . . . 4.1.2 Свойства массы . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Количество движения . . . . . . . . . . . . 4.2 Силы. Второй закон Ньютона . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Понятие силы . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Второй закон Ньютона . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Свойства силы . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Суперпозиция сил . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Импульс силы . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Третий закон Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Границы применимости классической механики . 4.5 Виды сил. Фундаментальные силы . . . . . . . . . 4.5.1 Понятие фундаментальных сил . . . . . . . 4.5.2 Сила гравитационного притяжения . . . . . 4.5.3 Кулоновская сила . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Нефундаментальные силы . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Однородная сила тяжести . . . . . . . . . . 4.6.2 Упругая сила . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.3 Силы трения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.4 Сила трения покоя и скольжения . . . . . . 4.6.5 Сила трения качения . . . . . . . . . . . . . 4.6.6 Сила вязкого трения и сила сопротивления 4.7 Импульс системы материальных точек . . . . . . . 4.8 Закон сохранения импульса . . . . . . . . . . . . . 4.8.1 Замкнутая система . . . . . . . . . . . . . . 4.8.2 Формулировка закона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . среды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 24 24 24 24 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 27 27 27 27 27 27 28 28 28 29 29 29 5 Импульс. Работа, мощность, энергия 5.1 Центр масс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Центр масс и понятие материальной точки 5.1.3 Центр масс и центр тяжести . . . . . . . . . 5.1.4 Уравнение движения центра масс . . . . . . 5.2 Работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Знак работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Работа на конечном перемещении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 29 29 30 30 30 31 31 31 31 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 31 32 32 32 32 33 33 34 34 34 34 35 6 Работа, мощность, энергия 6.1 Потенциальная энергия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Свойства потенциальной энергии . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Потенциальная энергия полей разных сил . . . . . . . 6.2 Связь между потенциальной энергией и силой . . . . . . . . 6.2.1 Вывод формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Свойства градиента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Кинетическая энергия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Работа силы по перемещению частицы . . . . . . . . . 6.3.2 Элементарное и конечное перемещение . . . . . . . . 6.4 Собственная потенциальная энергия системы частиц . . . . 6.4.1 Работа в системе двух частиц . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Потенциальная энергия взаимодействия . . . . . . . . 6.4.3 Собственная потенциальная энергия системы частиц 6.5 Закон сохранения механической энергии системы . . . . . . 6.5.1 Вывод формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 Формулировка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Законы сохранения при соударениях тел . . . . . . . . . . . . 6.6.1 Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.2 Абсолютно упругий и неупругий удар . . . . . . . . . 6.6.3 Абсолютно неупругий удар . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.4 Абсолютно упругий удар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 35 35 35 35 36 36 36 37 37 37 37 37 38 38 39 39 40 40 40 40 40 41 7 Динамика абсолютно твёрдого тела 7.1 Момент импульса частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Определение момента импульса . . . . . . . . . . . 7.1.2 Модуль и направление вектора момента импульса 7.1.3 Момент силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.4 Скорость изменения момента импульса . . . . . . 7.1.5 Моменты относительно оси . . . . . . . . . . . . . 7.2 Закон сохранения момента импульса . . . . . . . . . . . . 7.3 Основное уравнение динамики вращательного движения 7.4 Момент инерции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Вычисление момента инерции . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Моменты инерции сплошного однородного диска . 7.4.3 Момент инерции шара . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.4 Момент инерции куба . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.5 Теорема Штейнера . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.6 Доказательство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.7 Использование теоремы Штейнера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 42 42 42 42 42 43 44 45 46 46 46 47 47 48 48 49 8 Динамика абсолютно твёрдого тела. Элементы специальной теории относительности 8.1 Кинетическая энергия при вращательном движении вокруг неподвижной оси . . . . . . . . . 8.1.1 Кинетическая энергия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Работа при вращении вокруг неподвижной оси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Кинетическая энергия тела при плоском движении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Мировой эфир . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Явление интерференции и интерферометр Майкельсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 50 50 50 51 52 52 5.3 5.4 5.5 5.6 5.2.4 Единица измерения работы . . . . . . . . . . . 5.2.5 Геометрический смысл работы . . . . . . . . . 5.2.6 Работа нескольких сил . . . . . . . . . . . . . . Мощность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Работа сил разной природы . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Работа упругой силы . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Работа гравитационной или кулоновской силы 5.4.3 Работа однородной силы тяжести . . . . . . . . Потенциальные силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Работа по замкнутому контуру . . . . . . . . . 5.5.3 Центральные силы . . . . . . . . . . . . . . . . Поле сил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 53 53 53 54 54 54 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 54 55 56 56 57 58 10 Элементы специальной теории относительности. Гармонические колебания 10.1 Инвариантность интервала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Преобразование скорости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Масса, энергия и импульс в теории относительности . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Энергия и импульс свободной частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.2 Свойства массы, энергии и импульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.3 Энергия покоя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.4 Импульс и масса частицы, имеющей скорость света . . . . . . . . . . . . . 10.3.5 Энергия и импульс массивных частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.6 Кинетическая энергия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Связь между силой и ускорением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Колебания. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 Гармонический осциллятор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.1 Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.2 Уравнение консервативного гармонического осциллятора . . . . . . . . . . 10.7 Примеры физических систем, порождающих гармонические колебания . . . . . . 10.7.1 Пружинный маятник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7.2 Физический маятник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 59 60 60 60 60 61 61 61 61 61 62 62 62 62 63 63 63 11 Гармонические колебания 11.1 Энергия гармонических колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Мгновенная кинетическая и потенциальная энергия . . . . . . . 11.1.2 Полная энергия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Энергия, средняя за период . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Векторная диаграмма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой 11.3.1 Векторная диаграмма для суммы колебаний . . . . . . . . . . . 11.3.2 Формула для амплитуды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.3 Формула для фазы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.4 Минимальная и максимальная амплитуда колебаний . . . . . . 11.4 Биения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.1 Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.2 Вывод формулы для биений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.3 Период биений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний . . . . . . . . . . . . 11.5.1 Формула в общем случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.2 Уравнение эллипса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.3 Частные случаи. Синфазные колебания . . . . . . . . . . . . . . 11.5.4 Колебания в противофазе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.5 Сдвиг на π/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6 Фигуры Лиссажу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 64 64 64 65 65 65 65 66 66 66 66 66 67 67 68 68 68 68 69 69 69 8.5 8.6 8.4.1 Сложение двух волн . . . . . . . . . . 8.4.2 Конструкция интерферометра . . . . . Измерение скорости движения по отношению 8.5.1 Описание опыта Майкельсона—Морли 8.5.2 Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . Постулаты Эйнштейна . . . . . . . . . . . . . 8.6.1 Формулировка . . . . . . . . . . . . . . 8.6.2 Достоверность постулатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . к мировому эфиру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Элементы специальной теории относительности 9.1 Равенство поперечных размеров . . . . . . . . . . . 9.2 Замедление времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Лоренцево сокращение длин . . . . . . . . . . . . . 9.4 Преобразования Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Относительность одновременности . . . . . . . . . 9.6 Предельная скорость передачи информации . . . 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . частоты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Основы молекулярной физики и термодинамики 12.1 Основные принципы молекулярной физики и термодинамики . . . . . . . . . . . 12.1.1 Связь свойств вещества с его молекулярным строением . . . . . . . . . . . 12.1.2 Необходимость специальных методов анализа . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.3 Принципы молекулярной физики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.4 Принципы термодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Идеальный газ и закон Авогадро . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1 Идеальный газ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.2 Понятие моля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.3 Молярная масса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.4 Закон Авогадро . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Термодинамические параметры состояния макросистемы. Равновесное состояние 12.3.1 Понятие параметров состояния системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.2 Состояние равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.3 Давление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.4 Температура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Процессы и абсолютная шкала температур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.1 Равновесные процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.2 Уравнение состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.3 Изотермический процесс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.4 Изобарический процесс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.5 Изохорический процесс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.6 Абсолютная температура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5 Уравнение Менделеева—Клапейрона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 70 70 70 70 71 71 71 71 71 72 72 72 72 72 72 73 73 73 73 73 74 74 74 13 Основы молекулярной физики и термодинамики. Функции распределения 13.1 Давление идеального газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.1 Упрощающие предположения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.2 Удары молекул о стенки сосуда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.3 Изменение импульса молекулы после удара . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.4 Импульс, передаваемый стенке сосуда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.5 Формула для давления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.6 Связь давления и средней кинетической энергии молекул . . . . . . . . . 13.1.7 Связь средней кинетической энергии молекул и температуры . . . . . . . 13.1.8 Среднеквадратичная скорость молекул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.9 Закон Авогадро . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Закон Дальтона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Понятие функции распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.1 Дискретные случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.2 Пример вычисления среднего дискретной случайной величины . . . . . . 13.3.3 Непрерывные случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.4 Пример вычисления среднего непрерывной случайной величины . . . . . 13.3.5 Вероятностное описание движения молекул . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4 Распределение Больцмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.2 Вывод формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.3 Границы применимости распределения Больцмана . . . . . . . . . . . . . 13.4.4 Пример использования распределения Больцмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 75 75 76 76 76 77 77 77 78 78 78 78 78 78 79 79 79 80 80 80 81 81 14 Функции распределения. Кинетическая теория газов 14.1 Барометрическая формула . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.1 Распределение Больцмана для атмосферы . . . . . . . . . . . 14.1.2 Применимость распределения Больцмана для атмосферы . . 14.1.3 Вывод барометрической формулы . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Определение Перреном постоянной Авогадро . . . . . . . . . . . . . . 14.2.1 Броуновские частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.2 Подготовка взвеси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.3 Идея опыта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.4 Вычисление постоянной Авогадро . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3 Функция распределения Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.2 Качественное обсуждение структуры функции распределения 14.3.3 График функции распределения Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 81 81 81 82 82 82 82 82 82 83 83 83 84 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Максвелла . . . . . . . 14.3.4 Зависимость от температуры . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.5 Зависимость от массы молекул . . . . . . . . . . . . . . 14.4 Вычисление характеристических скоростей . . . . . . . . . . . 14.4.1 Средняя скорость молекул . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.2 Среднеквадратичная скорость молекул . . . . . . . . . 14.4.3 Наиболее вероятная скорость . . . . . . . . . . . . . . . 14.5 Экспериментальная проверка распределения Максвелла . . . 14.6 Эффективный диаметр молекул . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.6.1 Силы молекулярного притяжения и отталкивания . . . 14.6.2 Кинетическая и потенциальная энергия . . . . . . . . . 14.6.3 Зависимость эффективного диаметра от температуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 84 85 85 85 85 86 86 86 87 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 87 87 87 88 88 89 89 89 89 89 89 90 90 90 90 91 91 92 92 92 92 93 16 Кинетическая теория газов. Первое начало термодинамики 16.1 Свойства разреженных газов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1.1 Зависимость длины свободного пробега от давления . . . 16.1.2 Понятие вакуума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2 Общее представление о термодинамике . . . . . . . . . . . . . . 16.3 Внутренняя энергия тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4 Степени свободы молекул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4.1 Понятие степеней свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4.2 Поступательные и вращательные степени свободы . . . . 16.4.3 Колебательные степени свободы . . . . . . . . . . . . . . 16.4.4 Примеры вычисления числа степеней свободы . . . . . . 16.5 Гипотеза о распределении энергии по степеням свободы . . . . 16.6 Формула для внутренней энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.7 «Замороженные» степени свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.8 Работа и количество тепла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.8.1 Формы передачи энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.9 Первое начало термодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.9.1 Формулировки первого начала термодинамики . . . . . . 16.9.2 Знаки теплоты, внутренней энергии и работы . . . . . . 16.9.3 Первое начало в дифференциальной форме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 93 93 94 94 94 94 94 95 95 95 95 96 96 96 96 97 97 97 97 15 Кинетическая теория газов 15.1 Средняя длина свободного пробега . . . . . . . . . . . . . 15.1.1 Столкновения молекул в газе . . . . . . . . . . . . 15.1.2 Вывод формулы для длины свободного пробега . 15.2 Явления переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.1 Потоки и явления переноса . . . . . . . . . . . . . 15.2.2 Виды явлений переноса . . . . . . . . . . . . . . . 15.3 Диффузия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3.1 Градиент концентрации . . . . . . . . . . . . . . . 15.3.2 Направление процесса диффузии . . . . . . . . . . 15.3.3 Упрощающие предположения . . . . . . . . . . . . 15.3.4 Вывод формулы для плотности потока частиц . . 15.3.5 Коэффициент диффузии . . . . . . . . . . . . . . . 15.3.6 Поток массы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4 Вязкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4.2 Вывод формулы для плотности потока импульса . 15.4.3 Коэффициент вязкости . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4.4 Плотность потока импульса . . . . . . . . . . . . . 15.5 Теплопроводность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5.2 Вывод формулы для потока тепла . . . . . . . . . 15.5.3 Коэффициент теплопроводности . . . . . . . . . . 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Первое начало термодинамики. Второе начало термодинамики 17.1 Работа, совершаемая системой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2 Теплоемкость идеального газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2.1 Определение теплоёмкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2.2 Молярная и удельная теплоёмкость . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2.3 Теплоёмкость при постоянном объёме . . . . . . . . . . . . . . . 17.2.4 Теплоёмкость при постоянном давлении . . . . . . . . . . . . . . 17.2.5 Границы применимости формул для теплоёмкостей . . . . . . . 17.3 Адиабатический процесс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3.1 Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3.2 Первое начало термодинамики для адиабатических процессов . 17.3.3 Уравнение состояния для адиабатического процесса . . . . . . . 17.3.4 Показатель адиабаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4 Значение второго начала термодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4.1 Обратимость уравнений динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4.2 Возможность «невозможных» процессов . . . . . . . . . . . . . . 17.4.3 Второе начало термодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5 Обратимые и необратимые процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6 Статистический вес . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6.1 Микро- и макросостояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6.2 Макросостояния газа из четырёх молекул . . . . . . . . . . . . . 17.6.3 Микросостояния газа из четырёх молекул . . . . . . . . . . . . . 17.6.4 Связь микро- и макросостояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6.5 Статистический вес . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6.6 Статистический вес и вероятность реализации макросостояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 97 98 98 98 98 99 99 100 100 100 100 101 101 101 101 101 102 102 102 102 102 103 103 103 18 Второе начало термодинамики 18.1 Энтропия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.1 Формула Больцмана для энтропии . . . . . . . . 18.1.2 Закон возрастания энтропии . . . . . . . . . . . . 18.1.3 Аддитивность энтропии . . . . . . . . . . . . . . 18.1.4 Произвольная константа . . . . . . . . . . . . . . 18.1.5 Теорема Нернста . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2 Равенство Клаузиуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.1 Приращение энтропии при обратимом процессе 18.2.2 Неравенство Клаузиуса . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.3 Рост и убыль энтропии . . . . . . . . . . . . . . . 18.3 Основное уравнение термодинамики . . . . . . . . . . . 18.4 Энтропия идеального газа . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5 Тепловые машины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5.1 Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5.2 Круговой процесс . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5.3 К. П. Д. тепловой машины . . . . . . . . . . . . . 18.5.4 Вечный двигатель первого рода . . . . . . . . . . 18.6 Цикл Карно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.6.1 Рабочий цикл тепловой машины . . . . . . . . . 18.6.2 Обратимый рабочий цикл . . . . . . . . . . . . . 18.6.3 Цикл Карно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.6.4 К. П. Д. цикла Карно . . . . . . . . . . . . . . . . 18.6.5 Теорема Карно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.6.6 Максимальный К. П. Д. тепловой машины . . . . 18.6.7 Вечный двигатель второго рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 103 103 104 104 104 104 105 105 105 105 105 105 106 106 106 107 107 107 107 107 108 108 109 109 109 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Кинематика материальной точки 1.1 1.1.1 Принципы научного познания Метод принципов Всякая наука основывается на методе принципов. При изучении любого круга явлений необходимо установить основные законы (принципы), основываясь на которых можно при помощи законов математики объяснить все известные явления из рассматриваемого круга, а также предсказать новые. Основоположниками метода принципов являются Рене Декарт и Исаак Ньютон. Основные законы не могут быть доказаны логически. В их справедливости можно убедиться только поставив эксперимент. 1.1.2 Схема научного познания Гипотеза Эксперимент Теория Предсказания В центре лежит эксперимент. Без него научное познание невозможно. Однако чистый эксперимент без теории не имеет никакой пользы. Развитие науки происходит только при тесном взаимодействии теоретических и экспериментальных исследований. 1.2 1.2.1 Разделы механики Определение Механика это раздел физики, занимающийся изучением закономерностей механического движения и взаимодействия макроскопических тел. • Нерелятивистская, классическая механика — скорости v ≪ c. • Релятивистская механика — скорости v ≈ c (действуют законы теории относительности Эйнштейна). 1.2.2 Кинематика и динамика Разделы механики • Кинематика — занимается математическим описанием движения тел, отвлекаясь от причин, по которым это движение возникает. • Динамика — исследует влияние взаимодействия тел на их движение в пространстве. 1.2.3 Объекты изучения механики Объектами изучения механики являются макротела, т. е. объекты, состоящие из большого числа атомов и молекул. Реальные тела устроены достаточно сложно, поэтому в механике используют упрощённые модели 8 1.2.4 Материальная точка Материальная точка это макроскопическое тело, размеры которого пренебрежимо малы при рассматриваемом движении. Вся масса тела сосредоточена в одной точке. Например, т. к. RЗемли ≪ RОрбиты , то при движении Земли вокруг Солнца, Землю можно считать материальной точкой. Материальная точка является простейшим объектом изучения механики. Так как всякое тело можно разбить на малые макроскопические части и принять их за материальные точки, то механика материальной точки является основой для изучения механики вообще. 1.2.5 Абсолютно твердое тело Абсолютно твердое тело это макроскопическое тело, размерами которого пренебречь нельзя, но можно пренебречь деформациями тела, возникающими при движении и взаимодействии c другими телами. Это система материальных точек, расстояние между которыми не меняется в процессе движения. Вращение материальной точки вокруг собственной оси бессмысленно, поэтому простейшие движения с участием вращения изучают используя понятие абсолютно твёрдого тела. 1.3 1.3.1 Системы отсчёта Пространственная система отсчёта Движением называют изменение положения тела в пространстве с течением времени. Под положением понимается положение относительно других тел. Тело (или система тел), относительно которых определяется положение остальных тел, а так же связанные с ним координатные оси, называется пространственной системой отсчета. В качестве пространственной системы отсчета можно взять произвольное твердое тело и связать с ним координатные оси, например декартовой прямоугольной системы координат, реализованной из трех взаимно перпендикулярных осей. 1.3.2 Радиус-вектор Положение каждой точки в избранной пространственной системе отсчета задается тремя числами — координатами точки x, y, z. Координаты можно объединить в направленный отрезок, называемый радиус-вектором ~r. Начало этого вектора лежит в начале координатных осей, конец в точке где находится тело. 1.3.3 Координатные орты Координаты x, y, z — проекции радиус-вектора на координатные оси. ~r = x~ex + y~ey + z~ez где ~ex , ~ey и ~ez — координатные орты, т. е. единичные вектора, направленные вдоль координатных осей. z ~r (x, y, z) y x 9 1.3.4 Правая и левая системы координат Существуют два вида координатных осей — правая и левая. • Правая — поступательное движение буравчика совпадает с положительным направлением оси z. • Левая — поступательное движение буравчика противоположно оси z. z x z y Правая система x y Левая система Правая система никакими вращениями не может быть совмещена с левой. В физике применяется исключительно правая система. 1.3.5 Система отсчёта Для описания движения, а также любых физических явлений, протекающих во времени, недостаточно только пространственных систем отсчета. Надо снабдить их средством измерения отрезков времени. При этом необходимо, чтобы интервалы времени можно было измерять во всех точках пространства одинаковыми образом — часы в каждой точке пространства должны быть неподвижны и идти синхронно. Таким образом мы получим пространственно-временную систему отсчёта. Обычно говорят просто — система отсчёта. 1.4 1.4.1 Движение Описание движения Чтобы описать движение точки, требуется задать её положение в любой момент времени относительно выбранной системы отсчета. Полное описание движения сводится к нахождению трёх функцией времени x = x(t), y = y(t), z = z(t). Это эквивалентно нахождению векторной функции ~r = ~r(t) 1.4.2 Траектория Траекторией точки называется линия, которую описывает в пространстве материальная точка. По сути определяя x = x(t), y = y(t), z = z(t) мы определяем траекторию движения. 1.4.3 Путь и перемещение Пусть частица перемещается из т. 1 в т. 2 за время ∆t. z 1 2 ∆~r12 ~r1 ~r2 y x 10 Путь это расстояние между т. 1 и т. 2, отсчитанное вдоль траектории. Путь есть скалярная физическая величина, всегда положительная. Если материальная точка, пройдя от т. 1 до т. 2, повернёт и вернётся в т. 1, то путь будет s12 + s21 = 2s12 . z 2 ∆~r12 1 ~r1 ~r2 y x Перемещение это вектор ∆~r21 = ~r2 − ~r1 , начало которого лежит в начальной точке, т. е. в т. 1, а конец в конечной точке, т. е. в т. 2. Если точка, пройдя путь 1-2 повернёт и возвратиться в точку 1, то независимо от того, по какой траектории она двигалась, суммарное перемещение будет равно нулю. 1.4.4 Вычисление перемещения Если задана траектория ~r(t), то вектор перемещения за время от t1 до t2 можно найти следующим образом: ~r(t1 ) = x(t1 )~ex + y(t1 )~ey + z(t1 )~ez , ~r(t2 ) = x(t2 )~ex + y(t2 )~ey + z(t2 )~ez , ∆~r = ~r(t2 ) − ~r(t1 ) = = [x(t2 ) − x(t1 )]~ex + [y(t2 ) − y(t1 )]~ey + +[z(t2 ) − z(t1 )]~ez , |∆~r| = p [x(t2 ) − x(t1 )]2 + [y(t2 ) − y(t1 )]2 + [z(t2 ) − z(t1 )]2 1.5 1.5.1 Скорость Определение Скорость это векторная величина, характеризующая направление и быстроту передвижения точки. Пусть за время ∆t материальная точка совершает перемещение ∆~r. z ∆S ~v ~r ~r + ∆~r ∆~r y x Тогда её скорость определяется как предел отношения перемещения к интервалу времени, за который это перемещение происходит, при стремлении интервала времени к нулю: ~v = lim ∆t→0 ∆~r d~r = = ~r˙ ∆t dt Единицы измерения в СИ: [v] = м/с 11 1.5.2 Направление скорости При ∆t → 0 вектор ∆~r стремится лечь вдоль касательной к траектории и указывает направление движения. Таким образом, ~v направлен по касательной к траектории движения. Направление вектора скорости указывает направление движение материальной точки. 1.5.3 Модуль скорости ∆~r = ∆t |∆~r| = lim = ∆t→0 ∆t |∆~r| ∆s = = lim ∆t→0 ∆s ∆t |∆~r| ∆s = lim lim ∆t→0 ∆s ∆t→0 ∆t v = |~v | = lim ∆t→0 Учтём, что при ∆t → 0 |∆~r| → ∆s. v= 1.5.4 ds dt Координатное представление Скорость можно задать в виде разложения по единичным координатным векторам: ~v (t) = ~r˙ = ẋ(t)~ex + ẏ(t)~ey + ż(t)~ez = = vx (t)~ex + vy (t)~ey + vz (t)~ez Модуль скорости можно вычислить по формуле: q |~v (t)| = v(t) = vx (t)2 + vy (t)2 + vz (t)2 1.5.5 Вычисление пути Зная модуль скорости v(t), можно вычислить путь, пройденный частицей от момента t1 до t2 . Разобьём временно́й интервал t2 − t1 на N малых промежутков (не обязательно одинаковых). За время ∆ti , пройденный путь будет ∆si ≈ vi ∆ti , где vi — какое-либо значение скорости на интервале ∆ti . N N X X vi ∆ti ∆si ≈ s = ∆s1 + ∆s2 + . . . + ∆sN = i=1 i=1 Чтобы получит точное значение пути, нужно устремить к нулю все интервалы ∆ti (N при этом стремится к бесконечности). Это соответствует переходу к интегрированию: s = lim ∆ti →0 1.5.6 N X vi ∆ti = i=1 Zt2 v(t)dt t1 Вычисление перемещения Повторяя эти рассуждения не для модуля скорости v, а для вектора ~v , можно записать формулу для перемещения: Zt2 ∆~r = ~v (t)dt t1 Видно, что в общем случае путь не равен длине вектора перемещения. 12 1.6 1.6.1 Ускорение Определение Ускорение характеризует быстроту изменения скорости как по величине, так и по направлению (скорость изменения скорости). Ускорение есть передел отношения приращения скорости к интервалу времени, за который это приращение происходит, при стремлении интервала времени к нулю, ~a = lim ∆t→0 d~v ∆~v = = ~v˙ ∆t dt Единицы измерения в СИ: [a] = м/с2 1.6.2 Координатное разложение Ускорение можно задать в виде разложения по единичным координатным векторам: ~a(t) = ~v˙ = v̇x (t)~ex + v̇y (t)~ey + v̇z (t)~ez = = ax (t)~ex + ay (t)~ey + az (t)~ez Модуль ускорения можно вычислить по формуле: q |~a(t)| = a(t) = ax (t)2 + ay (t)2 + az (t)2 1.6.3 Направление ускорения Ускорение всегда направлено в сторону изменения скорости, так как ~a ↑↑ ∆~v . • Если тело движется прямолинейно и ускоряется, то вектор ускорения направлен в сторону движения. ~v1 ~v2 ~v1 ∆~v ~a ~v2 • Если тело движется прямолинейно и замедляется, то вектор ускорения направлен противоположно движению. ~v1 ~v2 ~v1 ~a ∆~v ~v2 • При криволинейном движении скорость и ускорение не лежат на одной прямой (рисунок показывает приближённую картину, и становится точным только при стремлении ∆t и ∆~v к нулю). ~v1 ~v2 ~a −~v1 ∆~v 13 2 Кинематика материальной точки. Кинематика абсолютно твёрдого тела 2.1 Нормальное и тангенциальное ускорение Пусть ~τ — единичный вектор, направленный вдоль вектора скорости, ~v = v~τ , где v = ds/dt — модуль вектора скорости. Найдём ускорение: d dv d~τ d~v = (v~τ ) = ~τ +v dt dt dt dt Второе слагаемое можно представить следующим образом: ~a = v d~τ ds d~τ d~τ =v = v2 dt ds dt ds В этой формуле нам нужно найти ds и d~τ . Рассмотрим ds. Короткий фрагмент криволинейной траектории ds можно представить как дугу окружности с центром в точке O и радиусом ρ. O — центр кривизны, ρ — радиус кривизны. ~τ1 ds ρ ρ O ~τ2 dα (Вообще говоря, положение центра кривизны и радиус кривизны зависят от времени.) Из рисунка видно, что (по определению радиана): ds = ρdα Рассмотрим теперь d~τ . Из рисунка видно: 1. d~τ ⊥ ~τ (так как |~τ1 | = |~τ2 |); 2. |d~τ | = |~τ1 |dα = dα (в силу малости dα и так как ~τ единичный). ~τ1 d~τ dα ~τ2 Определим единичный вектор ~n = d~τ /|d~τ | Этот вектор направлен по нормали к траектории (т. е. перпендикулярно, в силу d~τ ⊥ ~τ ) к центру кривизны. Вспомним, что мы получили: ds = ρdα, |d~τ | = dα В итоге имеем: ds = ρdα = ρ|d~τ |, d~τ = |d~τ |~n ✚ |d~ τ |~n ~n d~τ =✚ = ✚ ds ρ ρ✚ |d~ τ| Возвращаемся к формуле для ускорения. ~a = d~v d dv d~τ dv dv v2 d~τ = (v~τ ) = ~τ +v = ~τ + v2 = ~τ + ~n dt dt dt dt dt ds dt ρ Отсюда видно, что ускорение можно представить в виде векторной суммы двух ортогональных компонент, тангенциальной (касательной) aτ и нормальной an : p ~a = ~τ aτ + ~nan , |~a| = a = a2τ + a2n ,   dv v2 aτ = , an = dt ρ 14 ~aτ ~v ~an ρ ~a O 2.2 2.2.1 Движение с постоянным ускорением Скорость при равноускоренном движении Пусть ~a = const. ~v = Z~r1 ~r = Zt1 t0 ~ r0 d~r ⇒ ~v dt = d~r dt ~v dt ⇒ ~r1 = ~r0 + Zt1 ~v dt t0 Нужно узнать, как скорость зависит от времени при ~a = const: ~a = Z~v1 ~v = Zt1 t0 ~ v0 d~v ⇒ ~adt = ~v dt ~adt ⇒ ~v1 = ~v0 + Zt1 ~adt t0 ~v1 = ~v0 + ~a(t1 − t0 ) 2.2.2 Перемещение при равноускоренном движении Пусть t0 = 0, t1 = t: ~v = ~v0 + ~at Теперь вернёмся к формуле для ~r: ~r1 = ~r0 + Zt1 t0 = ~r0 + ~v0 Zt1 Zt1 ~v dt ⇒ ~r1 = ~r0 + (~v0 + ~at)dt = t0 dt + ~a Zt1 tdt = ~r0 + ~v0 t t1 t0 + ~a t2 2 t1 t0 t0 t0 ~r1 = ~r0 + ~v0 (t1 − t0 ) + ~a  t21 t2 − 0 2 2  Пусть t0 = 0, t1 = t: ~r = ~r0 + ~v0 t + 2.3 2.3.1 ~at2 2 Виды движения твёрдого тела Движение абсолютно твёрдого тела В отличие от материальной точки, размерами абсолютно твёрдого тела (далее — твёрдого тела) нельзя пренебрегать. Это приводит к тому, что мы должны кроме движения тела в пространстве также принимать во внимание вращения тела. 15 2.3.2 Виды движения Выделяют два основных (простых) вида движения твёрдого тела 1. поступательное; 2. вращение вокруг неподвижной оси. Также можно выделить ещё три вида движения, которые можно представить в виде совокупности двух простых движений: 1. плоское движение; 2. движение вокруг неподвижной точки; 3. свободное движение. 2.4 2.4.1 Поступательное движение Определение Поступательное движение В ходе такого движения любая прямая, жёстко связанная с телом, всё время остаётся параллельной самой себе. Пример: кабина колеса обозрения, автомобиль, движущийся по прямой. 2.4.2 Уравнения Пусть тело совершает поступательное движение. Поместим в точку O начало системы координат. Выделим в теле две произвольные точки с радиус векторам ~r1 и ~r2 . При поступательном движении вектор ~r12 остаётся постоянным. t = ta ~r12 ~r1 (ta ) t = tb ~r1 (tb ) ~r2 (ta ) ~r12 ~r2 (tb ) O ~r2 = ~r1 + ~r12 ~v2 = ~v1 2.4.3 d ⇒ ~v2 = ~v1 dt d ⇒ ~a2 = ~a1 dt Описание поступательного движения Мы получили, что при поступательном движении все точки твёрдого тела имеют в любой момент времени одинаковые скорости и ускорения, а также траектории. Таким образом, поступательное движение твёрдого тела может быть полностью описано, если известны зависимость от времени ~r(t) любой точки тела и положение тела в начальный момент времени. 2.5 2.5.1 Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси Определение Вращение вокруг неподвижной оси При таком движении все точки твёрдого тела двигаются по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Окружности, по которым двигаются точки тела, лежат в плоскостях, перпендикулярных оси. 16 2.5.2 Вектор приращения угла Пусть твёрдое тело вращается вокруг оси OO′ , которая неподвижна в выбранной системе отсчёта. O′ d~ ϕ O За бесконечно малое время dt тело поворачивается на бесконечно малый угол d~ ϕ. Направление вектора d~ ϕ будем выбирать по правилу правого винта: если вращать правый винт в направлении вращения тела, то поступательное движение винта даст направление вектора. ~ так как эти величины подчиняются Векторами являются только бесконечно малые приращения угла dφ, правилам сложения векторов. Повороты на конечные углы нельзя рассматривать как векторы. 2.5.3 Угловая скорость и ускорение Определим вектор угловой скорости: ω ~ = d~ ϕ dt Вектор ω ~ сонаправлен с вектором d~ ϕ. Изменение угловой скорости ω ~ со временем характеризуется вектором углового ускорения ~ε: ε= 2.5.4 d~ ω dt Направление углового ускорения Вектор ~ε направлен в сторону изменения угловой скорости. • Когда ω ~ возрастает, ~ε ↑↑ ω ~. • Когда ω ~ убывает, ~ε ↑↓ ω ~. ω ~2 ω ~1 ~ε ω ~2 ω ~1 2.6 2.6.1 ~ε Равноускоренное вращение вокруг неподвижной оси Вывод формул равноускоренного вращения Пусть ~ε = const. Так как вращение происходит вокруг неподвижной оси, то d~ ϕ, ω ~ и ~ε лежат на одной прямой (но могут быть направлены по-разному). Поэтому от векторов можно перейти к рассмотрению проекций на эту ось. dϕ ⇒ ωdt = dϕ dt Zt ϕ = ϕ0 + ωdt ω= Чтобы вычислить интеграл Rt ωdt, нужно узнать, как ω зависит от t при постоянном ε. dω ⇒ εdt = ω ⇒ ω = ω0 + ε= dt ω = ω0 + εt 17 Zt εdt Возвращаемся к формуле для ϕ: ϕ = ϕ0 + Zt ωdt ⇒ ϕ = ϕ0 + Zt (ω + εt)dt 2 ϕ = ϕ0 + ω 0 t + 2.6.2 εt 2 Формулы равноускоренного вращения Мы получили формулы равноускоренного вращения: ω = ω0 + εt ϕ = ϕ0 + ω 0 t + εt2 2 В этих формулах нужно значение углового ускорения брать со знаком: • • 2.7 плюс≫, если вращение равноускоренном; ≪ минус≫, если вращение равнозамедленное. ≪ Связь между линейными и угловыми величинами 2.7.1 Векторное произведение h i Векторное произведение ~a, ~b есть вектор, нормальный к плоскости, образованной векторами—сомножителями ~a и ~b и имеющий длину |~a| · |~b| · sin(∠~a, ~b). Направление результирующего вектора определяется по правилу правого винта. h i ~a, ~b ~b ~a Векторное произведение в декартовых координатах: ~ex h i ~c = ~a, ~b = ax bx ~ey ay by ~ez az bz Для векторного произведения важен порядок векторов. Если вектора поменять местами, то результирующий вектор окажется направленным в другую сторону, т. е. h i h i ~b, ~a = − ~a, ~b 2.7.2 Вывод формул Пусть точка твёрдого тела A движется по окружности вокруг оси OO′ с угловой скоростью ω ~. O′ d~ ϕ dϕ R d~r т. A ~r θ O 18 Положение точки задаётся радиус-вектором ~r (т. O — произвольная точка на оси, в которой мы поместили начало системы отсчёта). Так как dϕ бесконечно мало, то |d~r| = Rdϕ = r sin θdφ Используя векторное произведение можно записать выражение для d~r. Из рисунка видно, что правильное направление получается, если записать выражение в виде (первым идёт d~ ϕ, вторым ~r): d~r = [d~ ϕ, ~r] 2.7.3 Связь угловой и линейной скоростей Поделим d~r = [d~ ϕ, ~r] на dt: ~v = [~ ω , ~r] ⇒ v = ωr sin θ ⇒ v = ωR где R — радиус окружности, по которой происходит вращение. Чтобы найти ускорение ~a, продифференцируем скорость по времени:     d~r d~ ω d~v = [~ε, ~r] + [~ ω , ~v ] = , ~r + ω ~, ~a = dt dt dt 2.7.4 Нормальное и тангенциальное ускорение Мы получили формулу ~a = [~ε, ~r] + [~ ω , ~v ] Первое слагаемое [~ε, ~r] — вектор, направленный по касательной к траектории. Это тангенциальное ускорение, ~aτ = [~ε, ~r] , aτ = εR Второе слагаемое [~ ω , ~v ] = [~ ω , [~ ω , ~r]] — вектор, направленный перпендикулярно касательной, к центру окружности. Это нормальное ускорение, ~an = [~ ω , ~v ] = [~ ω , [~ ω , ~r]] , an = ω 2 R Следовательно, полное ускорение: a= 3 3.1 3.1.1 p a2τ + a2n = R p ε2 + ω 4 Кинематика абсолютно твёрдого тела. Динамика материальной точки Плоское движение твёрдого тела Определение Плоское движение При этом движении можно найти такую неподвижную в выбранной систем отсчёт плоскость P , что каждая точка тела будет двигаться параллельно этой плоскости. При этом плоская фигура Φ, образованная сечением плоскостью тела, в процессе движения всё время остаётся в этой плоскости. 19 Пример: движение цилиндра, который катится без скольжения. Положение тела при плоском движении однозначно определяется положением плоской фигуры Φ в плоскости P . Поэтому изучение плоского движения можно свести к изучению этой фигуры на плоскости. 3.1.2 P Φ Вывод формул Пусть плоская фигура Φ движется в плоскости P , которая неподвижна в системе отсчёта K. y′ y K′ K т. A ~r′ ϕ т. O ~r ~r0 ′ x′ Φ ϕ x Свяжем с фигурой Φ систему отсчёта K ′ , такую что её начало отсчёта находится в произвольной (но всегда в одной и той же) точке O′ , и она движется только поступательно (т. е. не вращается) по отношению к K. Зафиксируем в плоскости фигуры Φ ещё одну точку A и построим в системе отсчёта K ′ её радиус-вектор ~r′ . Так как точки O′ и A зафиксированы, радиус-вектор ~r′ жёстко связан с телом. Положение фигуры Φ (а значит и всего твёрдого тела) определяется • радиус-вектором ~r0 точки O′ в системе отсчёта K; • углом ϕ между радиус-вектором ~r′ и осью x системы отсчёта K. Следовательно, плоское движение описывается двумя уравнениями, ~r0 = ~r0 (t) и ϕ = ϕ(t). Если за промежуток времени dt вектор ~r′ поворачивается на угол d~ ϕ, то любой отрезок, проведённый между двумя любыми точками тела также поворачивается на этот же угол. Иными словами, d~ ϕ не зависит от выбора точек O′ и A. Значит и угловая скорость не зависит от выбора этих точек. Мы имеем право называть ω ~ = d~ ϕ/dt угловой скоростью всего тела. Найдём скорость ~v точки A (напомним, что эта точка выбрана произвольно). Элементарное перемещение этой точки в системе отсчёта K можно записать как d~r = d~r0 + d~r′ где d~r0 — перемещение системы отсчёта K ′ , d~r′ — перемещение т. A относительно K ′ . Перемещение d~r′ обусловлено вращением тела относительно оси, проходящей через т. O′ перпендикулярно плоскости рисунка. Согласно полученной ранее формуле d~r′ = [d~ ϕ, ~r′ ] где d~ ϕ — бесконечно малое приращение угла ϕ точки A относительно точки O′ . Следовательно, d~r = d~r0 + [d~ ϕ, ~r′ ] Поделим на dt: ~v = ~v0 + [~ ω , ~r′ ] Это означает, что скорость любой точки A твёрдого тела при плоском движении складывается из скорости ~v0 произвольной точки O′ этого тела и скорости ~v ′ = [~ ω , ~r′ ], обусловленной вращением тела относительно ′ оси, проходящей через точку O . 3.1.3 Свойства плоского движения Мы получили, что плоское движение можно представить как совокупность двух основных видов движения — поступательного и вращательного. Выбирая разные точки O′ мы будем получать разные значение ~v0 и ~v ′ , однако независимо от выбора этой точки угловая скорость ω ~ будет всегда одной и той же. 20 3.1.4 Мгновенная ось Существует точка, для которой скорости поступательного и вращательного движения компенсируют друг друга и суммарная мгновенная скорость обращается в ноль. Радиус-вектор этой точки относительно K ′ можно найти из условия 0 = ~v0 + [~ ω , ~r′ ]. В системе отсчёта связанной с этой точкой тело не совершает поступательного движения, а только вращается. Положение этой точки вообще говоря зависит от времени. Говорят, что эта точка определяет положение мгновенной оси. Пример: для цилиндра, который катится без проскальзывания по плоскости мгновенная ось проходит через точку касания цилиндра с плоскостью. 3.2 3.2.1 Динамика. Инерциальные системы отсчёта Системы отсчёта в кинематике и динамике Динамика это раздел механики, в котором устанавливается связь между причиной возникновения движения и характером самого движения. В кинематике речь идёт об описании движения, и не затрагивается вопрос о причинах его возникновения. Поэтому в кинематике все системы отсчёта равноправны. При изучении законов динамики было обнаружено существенное различие между разными системами отсчёта и было выявлено преимущество одних систем отсчёта по сравнению с другими. 3.2.2 Отличия систем отсчёта Существует бесконечно много систем отсчёта, по-разному двигающихся друг относительно друга. В разных системах отсчёта законы динамики могут быть разными. Естественно возникает задача отыскать такие системы отсчёта, в которых законы имели бы наиболее простой вид. Ключевое отличие систем отсчёта — причина возникновения ускоренного движения. Допустим, что в некоторой системе отсчёта материальная точка движется с ускорением. Причиной этого ускорения может быть • либо действие других тел; • либо свойство самой системы отсчёта. 3.2.3 Инерциальные и неинерциальные системы отсчёта Система отсчёта, в которой ускорение материальной точки может быть обусловлено только свойствами самой системы отсчёта, называется неинерциальной. Пример: • ускоряющийся автомобиль; • лифт, начинающий подъём или спуск; • карусель Инерция свойство тел сохранять скорость своего движения. Инерциальной (движущейся по инерции) называется система отсчёта, в которой ускорение материальной точки целиком обусловлено её взаимодействием с другими материальными точками. 21 3.2.4 Первый закон Ньютона Впервые этот закон сформулировал ещё Галилей. Его называют законом инерции. Этот закон Ньютон принял в качестве первого закона механики. Первый закон Ньютона В инерциальных системах отсчёта всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить своё состояние. Существует бесконечно много инерциальных систем отсчёта. Все инерциальные системы отсчёта двигаются друг относительно друга прямолинейно с постоянной скоростью или покоятся. Системы отсчёта, двигающиеся с ускорением относительно инерциальных систем отсчёта являются неинерциальными. 3.2.5 Инерциальные системы отсчёта в природе Опытным путём установлено, что инерциальной можно считать гелиоцентрическую систему отсчёта. В ней начало координат помещают в центре Солнца, а оси координат проводят в направлении трёх звёзд, не лежащих в одной плоскости. Земля — это неинерциальная система отсчёта, так как каждая точка на её поверхности вращается вокруг оси Земли и вокруг Солнца. Однако эффекты, связанные с её неинерциальностью, достаточно слабы и во многих случаях ими можно пренебречь. 3.3 Однородность и изотропность пространства и времени В инерциальных системах наблюдаются следующие свойства пространства и времени. • Однородность пространства — свойства пространства одинаковы во всех его точках. Физические явления, регистрируемые лабораторной установкой, не зависят точки пространства, в которой находится эта установка. • Изотропность пространства — свойства пространства одинаковы во всех направлениях. Физические эффекты, регистрируемые лабораторной установкой, не зависят от её ориентации установки в пространстве. • Однородность времени — различные моменты времени эквивалентны друг другу по своим физическим свойствам. Физические эффекты, не зависят от момента начала наблюдения. В неинерциальных системах отсчёта эти свойства отсутствуют. 3.4 3.4.1 Принцип относительности и преобразование Галилея Формулировка принципа относительности Принцип относительности Галилея законы механики эквивалентны в разных инерциальных системах отсчёта. Из принципа относительности Галилея следует, что никаким механическими опытами, проводимыми в данной системе отсчёта, нельзя установить, движется ли эта система отсчёта равномерно и прямолинейно или покоится. 3.4.2 Вывод формулы преобразования координат Рассмотрим две системы отсчёта, K и K ′ . Система отсчёта K покоится, а система отсчёта K ′ движется ~. относительно неё со скоростью V y′ y K′ ~r K ~ R A ~r′ O′ x′ O z x z 22 ′ ~ задаёт положение начала координат (точки O′ ) системы отсчёта K ′ в нештрихованной Радиус вектор R системе отсчёта K. ~ =V ~ t. Расположим начала координат так, что при t = 0 точки O и O′ совпадают. Тогда R ′ Время в системах отсчёта K и K течёт одинаково t′ = t Пусть задано движение материальной точки A относительно системы отсчёта K. Требуется описать движение этой точки по отношению к K ′ . Точка A в системе отсчёта K имеет радиус-вектор ~r, а в системе отсчёта K ′ её радиус-вектор ~r′ . ~ + ~r′ . Следовательно: Видно, что ~r = R ~ t, t′ = t ~r′ = ~r − V Это формула преобразования Галилея. Оно справедливо когда скорость движения точки и относительная скорость систем отсчёта много меньше скорости света. 3.4.3 Закон сложения скоростей ~ t по времени, чтобы получить формулу преобразования скоПродифференцируем выражение ~r′ = ~r − V ростей (закон сложения скоростей): ~ ~v ′ = ~v − V 3.5 3.5.1 Инварианты преобразований Галилея Понятие инвариантов Если величина меняет своё значение при переходе от одной системы отсчёта к другой, то значит она характеризует не объективное свойство тела, а его положение относительно некоторой конкретной системы координат. Существуют величины, которые не меняют своего численного значения при преобразованиях Галилея. Они называются инвариантами. Такие величины характеризуют объективные свойства тел. 3.5.2 Длина Рассмотрим стержень в K. В момент времени t0 измерим положения его концов. Получим радиус-вектора ~r1 и ~r2 . y K y′ ~r1 ~r1′ K′ ~r2 O′ O ~r2′ x′ z′ x z В K ′ измерения положений концов стержня происходят в моменты времени t′1 и t′2 . Согласно формулам преобразования Галилея: ~ t, ~r2′ = ~r2 − V ~t ~r1′ = ~r1 − V ′ ′ t1 = t0 , t2 = t0 Длина стержня равна: ~✚ ~✚ V t0 | = |~r2 − ~r1 | V t0 − ~r1 + ✚ |~r2′ − ~r1′ | = |~r2 − ✚ Видно, что длина является инвариантом. 23 3.5.3 Абсолютный характер одновременности Как мы только что видели, двум одновременным событиям — измерениям положений концов стержня, соответствуют измерения в K ′ , которые происходят так же одновременно, t′1 = t′2 = t0 . В общем случае, из формулы преобразования t′ = t следует, что два события, одновременные в одной системе отсчёта, будут одновременными так же и во всех других инерциальных системах отсчёта. Иными словами, одновременность является абсолютной. 3.5.4 Интервал времени Пусть в K в моменты времени t1 и t2 происходят два события. Интервал времени между ними равен ∆t = t2 − t1 . В движущейся системе отсчёта этим событиям соответствуют моменты времени t′1 = t1 и t′2 = t2 . Следовательно, ∆t′ = ∆t Интервал времени является инвариантом преобразований Галилея. 3.5.5 Ускорение ~: Продифференцируем по времени формулу сложения скоростей ~v ′ = ~v − V ~a′ = ~a Следовательно, ускорение материальной точки одинаково во всех инерциальных системах отсчёта, т. е. является инвариантом. 4 Динамика материальной точки. Импульс 4.1 4.1.1 Масса и импульс Понятие инертной массы Согласно первому закону Ньютона, каждое тело сохраняет состояние своего движения до тех пор, пока не испытает действие со стороны других тел. Из опыта известно, что при одних и тех же воздействиях разные тела не одинаково меняют скорость своего движения, т. е. приобретают разные ускорения. Следовательно, приобретаемое телом ускорение зависит не только от внешнего воздействия, но и свойств самого тела. Численной характеристикой способности тела противодействовать изменению скорости является инертная масса. Это понятие ввёл в науку Ньютон. 4.1.2 Свойства массы • Масса величина аддитивная. Это значит, что результирующая масса нескольких тел равна сумме масс каждого из тел. • Масса тела есть величина постоянная, не изменяющаяся при его движении. Следовательно, масса есть ещё один инвариант преобразований Галилея. Часто формулируя законы СТО говорят, что при больших скоростях масса зависит от скорости. Это методически неудачный подход и мы его будем избегать. 4.1.3 Количество движения Хотя скорость естественным образом связана с движением, сама по себе она не может исчерпывающим образом характеризовать движение. Одинаково трудно изменить состояние движения лёгкого тела, двигающегося с большой скоростью, и тяжёлого тела, двигающегося медленно. Поэтому Ньютон ввёл понятие импульса, который равен произведению массы тела на его скорость, p~ = m~v Импульс — мера количества движения, присущего телу. Из первого закона Ньютона следует, что если тело не испытывает на себе действие других тел, то его импульс остаётся постоянным. 24 4.2 4.2.1 Силы. Второй закон Ньютона Понятие силы Если импульс тела меняется, то говорят, что на тело действует сила. Сила — это величина, характеризующая внешнее воздействие на тело. Под силой в механике понимают всякую причину, изменяющую импульс движущегося тела. Понятие силы ввёл Ньютон. Не следует понимать буквально выражение «на тело действует сила». На тело действуют другие тела, а если точнее — поля, создаваемые этим телами. Таким образом, всякое изменение состояния движения, всякое ускорение, есть результат действия на движущееся тело других тел. 4.2.2 Второй закон Ньютона Второй закон Ньютона В инерциальной систем отсчёт сила равна скорости изменения импульса тела, F~ = d~ p/dt Если тело движется с нерелятивистской скоростью, v ≪ c, то его импульс равен p~ = m~v Тогда второй закон Ньютона можно записать в виде: d~ p dm~v d~v F~ = = =m ⇒ F~ = m~a dt dt dt В такой форме второй закон Ньютона гласит, что в инерциальной системе отсчёт изменение скорости тела (ускорение) пропорционально приложенной силе. 4.2.3 Свойства силы Сила F~ есть величина векторная. Она характеризуется: • численной величиной (модулем); • направлением в пространстве; • точкой приложения. Так как масса и ускорение инвариантны относительно преобразований Галилея, то и следовательно и силы также инварианты. Иными словами, они остаются неизменными в разных системах отсчёта. Единицы измерения силы в СИ — Ньютон. [F ] = [m][a] = кг · м/с2 = Н 4.2.4 Суперпозиция сил Принцип независимости действия сил если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было. В результате тело получает ускорение, равное векторной сумме ускорений, создаваемых каждой силой. Этот принцип можно сформулировать иначе: Принцип суперпозиции если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то их действие эквивалентно действию одной результирующей силы, которая равна векторной сумме всех действующих сил. 25 4.2.5 Импульс силы Формулу второго закона Ньютона можно проинтегрировать: d~ p F~ = dt d~ p = F~ dt p~1 − p~0 = Zt1 F~ dt t0 Выражение в правой части называется импульсом силы. Из этой формулы следует, что изменение импульса связано не только с величиной силы, но также и с временем её действия. Большая по величине сила действующая в течении короткого времени незначительно изменяет импульс частицы. 4.3 Третий закон Ньютона Действие тел друг на друга всегда имеет характер взаимодействия. Если тело A сообщает ускорение телу B, то и само оно получает ускорение от B. Третий закон Ньютона силы, с которыми две материальны точки действуют друг на друга, всегда равны по модулю и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки. F~12 = −F~21 4.4 Границы применимости классической механики Законы Ньютона сформулированы в соответствии с принципом дальнодействия. В соответствии с этим принципом тела действуют друг на друга через пустое пространство и действие предаётся мгновенно. Иными словами, если изменятся состояние движения одного из взаимодействующих тел, то это мгновенно приводит к изменению состояния движения другого тела. В действительности это не так. Существует предельная скорость передачи информации в пространстве, эта скорость равна скорости света. Таким образом, у механики Ньютона существуют границы применимости: она справедлива, когда скорости много меньше скорости света. Только в этом случае можно считать, что действие тел друг на друга передаётся мгновенно. 4.5 4.5.1 Виды сил. Фундаментальные силы Понятие фундаментальных сил Чтобы второй закон Ньютона можно было использовать для нахождения ускорения тела, требуется задать силы другим, независимым способом. В природе существует всего 4 вида фундаментальных (основных) сил. Фундаментальными они называются потому, что не могут быть представлены в виде других, более простых сил. В механике используют два вида фундаментальных сил • Гравитационная сила. • Электромагнитная сила. 4.5.2 Сила гравитационного притяжения Закон всемирного тяготения Две материальные точки притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Сила направлена вдоль линии, соединяющая эти точки. m1 m2 ~r F~ = γ r3 где γ — гравитационная постоянная. Массы, фигурирующие в этой формуле называются гравитационными. Экспериментально не найдены отличия гравитационной и инертной масс, поэтому их считают одинаковыми. 26 4.5.3 Кулоновская сила Закон Кулона Сила, действующая на два точечных, покоящихся заряда равна q1 q2 F~ = k 3 ~r r q1 , q2 — электрические заряды, они могут быть как положительными, так и отрицательными, k — коэффициент пропорциональности. Кулоновская сила может быть как силой притяжения (в случае разноимённых зарядов), так и силой отталкивания (для одноимённых зарядов). Сила взаимодействия электрических зарядов зависит также от скорости их относительного движения. Однако если скорости невелики, то этим можно пренебречь. 4.6 4.6.1 Нефундаментальные силы Однородная сила тяжести Фундаментальные силы не всегда возможно учитывать непосредственно. Удобно ввести другие, приближённые силы, выражения для которых можно получить из фундаментальных законов. Вблизи поверхности Земли можно пренебречь изменением r в формуле MЗемли m ~r F~ = γ r2 Тогда можно ввести силу тяжести как F~ = m~g где ~g = γMЗемли~r/r2 — ускорение свободного падения. 4.6.2 Упругая сила Упругая сила пропорциональна смещению точки из положения равновесия и направлена к положению равновесия, F~ = −k~r где ~r — радиус вектор смещения из положения равновесия, k — коэффициент упругости, зависящий от упругих свойств вещества. Эта формула называется законом Гука. 4.6.3 Силы трения Различают следующие виды трения. • Внешнее — трение между двумя различными телами. • Внутреннее — трение между различными частями одного и того же сплошного тела (жидкости, газа). Внешнее трение бывает двух видов. • Сухое — трение между поверхностями твёрдых тел. • Жидкое — трение между твёрдым телом и жидкой и газообразной средой. 4.6.4 Сила трения покоя и скольжения Если на тело действует сила, а тело остаётся в покое, то говорят, что сила уравновешивается силой трения покоя. При увеличении внешней силы нарастает и сила трения покоя. Максимальное значения силы трения покоя равно силе трения скольжения. макс Fтр.п. = Fтр.сколь. = µN где N — сила нормальной реакции опоры, µ — коэффициент трения скольжения, зависящий от скорости движения. 27 4.6.5 Сила трения качения Эта сила возникает между шарообразным или цилиндрическим телом и поверхностью, по которой оно катится. Fтр.кач. = µ1 N где µ1 — коэффициент трения скольжения, который по величине много меньше коэффициента трения скольжения. 4.6.6 Сила вязкого трения и сила сопротивления среды На тело, двигающееся в жидкой или газообразной вязкой среде действует сила, тормозящее движение. F~тр = −k~v где k зависит от формы и размеров тела, от свойств поверхности и от свойств среды. При увеличении скорости формула становится другой: F~тр = −kv n~ev 4.7 Импульс системы материальных точек Рассмотрим произвольную систему частиц в инерциальной системе отсчёта. В общем случае частицы этой системы могут взаимодействовать как между собой, так и с телами не входящими в данную систему. Поэтому силы взаимодействий называют, соответственно, внутренними и внешними. Такое подразделение сил условно и целиком зависит от выбора системы тел. Импульс системы есть величина аддитивная. Это значит, что импульс системы равен сумме импульсов отдельных её частей, вне зависимости взаимодействуют они между собой или нет. p~ = N X p~i i=1 где p~i — импульс i-той частицы. Найдём величину, характеризующую изменение импульса системы. Продифференцируем формулу p~ = PN p ~ по времени: i i=1 N d~ p X d~ pi = dt dt i=1 Согласно второму закону Ньютона, d~ pi = F~iсум dt где F~iсум — суммарная сила, действующая на i-ую частицу. Эта сила складывается из • внутренних сил, действующих со стороны других частицы системы; • внешних сил, действующих со стороны частиц, не входящих в систему. Таким образом N X d~ pi внут F~ik + F~iвнеш = F~iсум = dt k=1, k6=i (Здесь k 6= i потому, что частица не может действовать на саму себя). Следовательно d~ p = dt N X i=1 d~ pi = dt N X i=1     N X k=1, k6=i   внут F~ik + F~iвнеш   внут внут Согласно третьему закону Ньютона Fik + Fki = 0, т. е. частица i действует на частицу k с силой, равной по величине и противоположной по направлению силе действия k на i. Это значит, что внутренние силы компенсируют действие друг друга, так что N N X X внут F~ik =0 i=1 k=1, k6=i 28 Второе слагаемое суммы есть полная внешняя сила: N X F~iвнеш = F~ внеш i=1 Таким образом d~ p = F~ внеш dt Скорость изменения суммарного импульса системы точек равна результирующей внешних сил, действующих на систему. Отсюда следует, что суммарный импульс системы может меняться только под действием внешних сил. Он не зависит от взаимодействия частиц внутри системы. 4.8 4.8.1 Закон сохранения импульса Замкнутая система Замкнутой системой называют систему тел, на которые не действуют внешние силы, т. е. результирующая внешних сил равна нулю. Понятие замкнутой системы имеет смысл только в инерциальных системах отсчёта, поскольку в неинерциальных системах всегда присутствуют силы инерции, играющие роль внешних сил. 4.8.2 Формулировка закона Закон сохранения импульса импульс замкнутой системы частиц остаётся постоянным. p~(t) = N X p~i (t) = const i=1 Импульсы отдельных частей замкнутой системы могут меняться со временем, но всегда возрастание импульсов одних частей происходит за счёт убыли импульсов других частей системы так чтобы суммарный импульс оставался неизменным. У незамкнутой системы может сохраняться не сам импульс, а его проекция px на некоторое направление x. Это бывает тогда, когда проекция результирующей внешней силы на направление x равна 0: (F внеш )x = 0 dpx = (F внеш )x = 0 dt px = const Например, при движении системы в однородном поле силы тяжести сохраняется проекция импульса на любые горизонтальные направления. 5 5.1 5.1.1 Импульс. Работа, мощность, энергия Центр масс Определение Центром масс системы называется точка, положение которой задаётся радиус вектором rцм : N ~rцм = 1 X mi~ri m i=1 где mi и ~ri — масса и радиус вектор i-ой точки системы, соответственно; m = мы. 29 PN i=1 mi — масса всей систе- Если тело представляет собой сплошную среду с плотностью ρ(x, y, z), то его центр масс вычисляется следующим образом: Z Z ZZZ 1 1 ~rdm = ~rρdV = ~rρ(x, y, z)dx dy dz ~rцм = m m m x,y,z V dm = ρdV ~ri Ц. М. ~rцм O 5.1.2 Центр масс и понятие материальной точки Центр масс позволяет уточнить понятие материальной точки. Скорость центра масс характеризует движение системы как целого. N 1 X d~rцм , ~vцм = mi~vi ~vцм = dt m i=1 Если ~vцм = 0, то система как целое покоится. Импульс центра масс равен суммарному импульсу системы: p~цм = m~vцм = N X i=1 mi~vi = N X p~i i=1 Значит, если размерами тела можно пренебречь, то мы можем рассматривать тело как материальную точку, расположенную в центре масс тела. 5.1.3 Центр масс и центр тяжести Понятие центра масс не следует путать с понятием центр тяжести. Центр тяжести — это точка, относительно который суммарный момент сил тяжести, действующих на разные точки системы равен нулю. Если тело находится в однородном гравитационном поле, то центр тяжести совпадает с центром масс. Неоднородное гравитационное поле приводит к тому, что на точки одинаковой массы действуют разные силы и центр тяжести не совпадает с центром масс. Вблизи поверхности Земли гравитационное поле с достаточно высокой точностью можно считать однородным и центр тяжести с высокой точностью совпадает с центром масс. 5.1.4 Уравнение движения центра масс Движение центра масс Центр масс любой системы частиц движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке и к ней были бы приложены все внешние силы. При этом ускорение центра масс не зависит от точек приложения внешних сил. d~ pцм d~vцм = F~ внеш , m = F~ внеш dt dt Это уравнение есть основное уравнение динамики поступательного движения абсолютно твёрдого тела. Уравнение движения центра масс по форме совпадает с основным уравнением динамики материальной точки и является его обобщением на систему частиц. Если в формуле d~vцм m = F~ внеш dt положить F~ внеш = 0, то d~vцм /dt = 0 и следовательно, ~vцм = const, p~цм = const. Следовательно, если центр масс системы движется равномерно и прямолинейно, то её импульс сохраняется в процессе движения. Система центра масс или Ц-система 30 это система отсчёта, жёстко связанная с центром масс и перемещающаяся поступательно по отношению к инерциальным системам отсчёта. Для замкнутой системы частиц её Ц-система является инерциальной. Для незамкнутой системы ~vцм 6= const, т. е. центр масс движется с ускорением и система отсчёта не инерциальна. 5.2 5.2.1 Работа Определение Пусть частица под действием силы F~ совершает перемещение по некоторой траектории 1 − 2. В общем случае сила F~ в процессе движения может меняться как по величине, так и по направлению. Рассмотрим элементарное перемещение, в пределах которого силу можно считать постоянной. Fs d~r 2 α 1 F~ Элементарной работой силы F~ на перемещении d~r называют величину δA = F~ d~r = F cos αds = Fs ds где α — угол между векторами F~ и d~r, ds = |d~r| — элементарный путь, Fs — проекция вектора F~ на направление перемещения d~r. 5.2.2 Знак работы Элементарная работа δA = F~ d~r = F cos αds = Fs ds есть величина скалярная и может быть больше, меньше или равна нулю. Знак зависит от взаимной ориентации F~ и d~r (от угла α): • δA > 0 если ∠F~ , d~r острый (при этом Fs > 0); • δA < 0 если ∠F~ , d~r тупой (при этом Fs < 0); • δA = 0 если ∠F~ , d~r = 90◦ (при этом Fs = 0). 5.2.3 Работа на конечном перемещении Суммируя работу по всем элементарным участкам пути от точки 1 к точке 2, находим полную работу силы F~ : Z2 Z2 ~ A = F d~r = Fs ds 1 1 Эта формула справедлива не только для перемещения материальной точки. Она представляет собой общее определение работы силы F~ по перемещению тела вдоль пути 1 − 2. 5.2.4 Единица измерения работы Единицей измерения работы в СИ является джуль (Дж). Джоуль — это работа силы в 1Н на пути в 1м при условии, что направление силы совпадает с направлением перемещения. 1Дж = 1Н · м 5.2.5 Геометрический смысл работы Формуле для вычисления работы можно придать наглядный геометрический смысл. Если построить график зависимости Fs (s), то заштрихованный элемент под кривой будет равен элементарной работе δA, а площадь под кривой равна всей работе. 31 Fs δA > 0 1 ds 2 s δA < 0 При вычислении работы области над горизонтальной осью учитываются со знаком «+», а области под осью — со знаком «−». 5.2.6 Работа нескольких сил Если на частицу в процессе движения действуют несколько сил, результирующая которых F~ = F~1 +F~2 +. . ., то работа результирующей силы будет равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из сил в отдельности на том же перемещении: A= Z2   F~1 + F~2 + . . . d~r = 1 5.3 Z2 F~1 d~r + 1 Z2 F~2 d~r + . . . 1 Мощность Мощность равна количеству работы, совершаемой за единицу времени, P = dA dt Единица измерения мощности в СИ — ватт (Вт). 1Вт = 1Дж/с Зная мощность силы F~ , можно найти работу, которая совершает сила за промежуток времени t. Из определения мощности получаем: Zt A = P dt Если за промежуток времени dt сила F~ совершает работу F~ d~r, то P = F~ d~r ~v ⇒ P = F~ dt Таким образом, мощность, развиваемая силой F~ , равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы. Мощность как и работа есть скалярная величина. 5.4 5.4.1 Работа сил разной природы Работа упругой силы Упругая сила вычисляется по формуле F~ = −k~r где ~r — радиус-вектор точки M относительно положения равновесия (т. O). 2 d~r ~r2 F~ M ~r 1 O ~r1 32 Элементарная работа равна δA = F~ d~r = −k~rd~r = −kr(d~r)r где (d~r)r — проекция вектора d~r на вектор ~r. (d~r)r = dr ~r d~r Из рисунка видно, что Следовательно: (d~r)r = dr ⇒ ~rd~r = rdr δA = −krdr = −d  kr2 2  Z2  2  kr2 kr2 kr = 1 − 2 A=− d 2 2 2 1 5.4.2 Работа гравитационной или кулоновской силы Пусть в точке O находится неподвижный силовой центр — материальная точка, действующая на частицу M с силой F~ , которую в общем виде можно записать как α F~ = 2 ~er r где ~r — радиус вектор точки M , ~er — орт радиус вектора, α — постоянная, зависящая от природы силы. • Гравитационная сила: α = −γm1 m2 (минус из-за того, что сила направлена против радиус-вектора). • Сила кулона: α = kq1 q2 (может быть как положительной, так и отрицательной). 2 d~r M ~er ~r2 F~ ~r 1 O ~r1 Элементарная работа: δA = F~ d~r = По той же причине, что ~rd~r = rdr, имеем ~er d~r = dr Следовательно, δA = Полная работа: α r2 ~er d~r = α r2 ~er d~r α αdr = −d r2 r Z2   α α α = − A=− d r r1 r2 1 5.4.3 Работа однородной силы тяжести Направим ось z вертикально вверх. z 2 dz ~ez d~r mg ~ 1 33 Однородная сила тяжести: F~ = m~g Элементарная работа: δA = F~ d~r = −mg~ez d~r Вычислим скалярное произведение: ~ez d~r = (d~r)r = dz Следовательно: δA = −mg~ez d~r = −mgdz = −d(mgz) Полная работа: A=− 5.5 Z2 1 d(mgz) = mg(z1 − z2 ) Потенциальные силы 5.5.1 Определение Во всех рассмотренных выше примерах работа не зависит от формы пути, а определяется только положениями начальной и конечной точек. Такие силы называются консервативными или потенциальными. Консервативными (потенциальными) называются силы, работа которых в стационарном случае по любому замкнутому пути равна нулю. Для проверки этого свойства рассмотрим произвольных замкнутый контур и вычисли работу консервативных сил. 5.5.2 Работа по замкнутому контуру Разобьём контур на два участка: 1 − a − 2 и 2 − b − 1. a 1 2 b Работа по замкнутому пути равна: A = A1a2 + A2b1 Работа зависит только от положения точек 1 и 2: A1a2 = A1b2 = −A2b1 Значит A = A1a2 + A2b1 = 0 То есть работа консервативной силы по произвольному замкнутому пути действительно равна нулю. Все остальные силы, не обладающие таким свойством, называются неконсервативными. К числу таких сил относится силы трения и сопротивления. Работа этих сил зависит не только от положения начальной и конечной точек траектории, но и от формы пути. В этом случае работа по любому замкнутому пути не равна нулю. 5.5.3 Центральные силы Силы, зависящие только от расстояния между взаимодействующими частицами и направленные по прямой, проходящей через эти частицы, называются центральными. Примером центральных сил являются гравитационные, кулоновские и упругие. Работа этих сил зависит только от положения начальной и конечной точек пути, а значит центральные силы являются консервативными. 34 5.6 Поле сил Если в каждой точке пространства на помещённую туда частицу действует сила, то частица находится в поле сил. Например, частица может находится в поле сил тяготения, в поле упругих сил, в поле сил сопротивления (в потоке жидкости или газа). Поля, остающиеся постоянными во времени, называются стационарными. Поле, стационарное в одной системе отсчёта, может оказаться нестационарным в другой системе отсчёта. В стационарном поле сила, действующая на тело, зависит только от его положения. 6 Работа, мощность, энергия 6.1 6.1.1 Потенциальная энергия Определение Работа по перемещению частицы в стационарном поле консервативных сил зависит только от начального и конечного положения точек. Это даёт возможность ввести понятие потенциальной энергии. Рассмотрим стационарное поле консервативных сил. Выделим в нём точки O, P1 и P2 . В точку O поместим начало координат. P1 P2 ~r2 ~r1 O Работа Ai0 по перемещению частицы из точки Pi в точку O зависит только от положения точки Pi и не зависит от формы траектории. Следовательно, эта работа есть функция только радиус-вектора ~ri точки Pi . Обозначим эту функцию как U (~ri ) и зададим так, чтобы U (0) = 0. Ai0 = U (~ri ) ≡ Ui Работа по перемещению частицы из точки P1 в P2 : A12 = A10 + A02 = A10 − A20 A12 = ZP2 F~ d~r = U1 − U2 P1 Функция U (~r) называется потенциальной энергией. Работа сил стационарного консервативного поля по перемещению частицы из точки 1 в точку 2 равна убыли потенциальной энергии частицы в данном поле. 6.1.2 Свойства потенциальной энергии Потенциальную энергию нужно относить не к частице, а к системе взаимодействующих частицы и тела, создавшего силовое поле. По этой причине её называют потенциальной энергией взаимодействия. Мы произвольно выбрали точку O в которой U (0) = 0. Значит потенциальна энергия определена с точностью до произвольной константы. Физический смысл имеет только разность потенциальных энергий в двух рассматриваемых точках. 6.1.3 Потенциальная энергия полей разных сил Для вычисления потенциальной энергии необходимо найти работу сил поля на любом пути между двумя точками, и представить её виде убыли функции, которая и есть потенциальная энергия U (~r). • Потенциальная энергия в поле упругой силы: U (r) = kr2 + const 2 • Кулоновское или гравитационное поле: U (r) = • Однородное поле силы тяжести: Величина const выбирается произвольно. α + const r U (h) = mgh + const 35 6.2 6.2.1 Связь между потенциальной энергией и силой Вывод формулы Построим поле сил F~ (~r) по заданной потенциальной энергии U (~r). Исходя из формулы A12 = U1 − U 2 = −∆U имеем: δA = F~ d~r = −dU где −dU — убыль потенциальной энергии вдоль направления d~r. Вспомним: F~ d~r = Fs ds, где ds = |d~r| — элементарный путь, Fs — проекция силы на направление перемещения. Следовательно: Fs ds = −dU ⇒ Fs = − ∂U ∂s Проекция силы F~ в данной точке на направление перемещения d~r равна с обратным знаком производной потенциальной энергии U по данному направлению. Символ ∂/∂s называется частной производной. Он используется вместо производной d/ds так как F~ поразному меняется вдоль разных направлений в пространстве. Перемещение d~r можно взять в любом направлении, в частности — вдоль оси x. В этом случае d~r = ~ex dx, F~ d~r = F~ ~ex dx = Fx dx Следовательно, ∂U ∂x Здесь символ ∂/∂x означает, что при дифференцировании функцию U (x, y, z) следует считать зависящей только от x, а прочие координаты рассматривать как константы. По аналогии записываем: ∂U ∂U Fy = − , Fz = − ∂y ∂z Fx = − Следовательно: F~ = Fx~ex + Fy ~ey + Fz ~ez = −  ∂U ∂U ∂U ~ex + ~ey + ~ez ∂x ∂y ∂z  Конструкция в скобках в правой части называется градиентом скалярной функции U (x, y, z). grad U = ∇U = ∂U ∂U ∂U ~ex + ~ey + ~ez ∂x ∂y ∂z Таким образом получаем окончательную формулу: F~ = − grad U = −∇U 6.2.2 Свойства градиента Вектор grad U направлен в сторону наиболее быстрого нарастания функции U . Модуль этого вектора равен скорости нарастания функции, т. е. производной вдоль этого направления. Введём понятие эквипотенциальной поверхности — это геометрическое место точек с одинаковым значением потенциальной энергии U . Каждому значению U соответствует некоторая эквипотенциальная поверхность. Из Fs = −∂U/∂s следует, что проекция вектора F~ на любое направление, касательное к эквипотенциальной поверхности, равно нулю. Следовательно, F~ направлен по нормали к этой поверхности. Так как положительная проекции Fs соответствует отрицательному приращению −∂U , то значит вектор F~ направлен в сторону уменьшения U . Так как вектор F~ противоположен по направлению вектору ∇U , то мы приходим к следующему выводу. Градиент ∇U это вектор, направленный по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону возрастания потенциальной энергии. 36 U3 U1 < U2 < U3 ∇U U2 U1 F~ 6.3 6.3.1 Кинетическая энергия Работа силы по перемещению частицы Кинетическая энергия равна работе, которую может совершить частица вследствие того, что обладает некоторой скоростью. Если частица массой m движется под действием силы F~ , то элементарная работа этой силы равна: d~v δA = F~ d~r = m d~r = m~v d~v dt ~v d~v = v(d~v )~v = vdv где (d~v )~v — проекция вектора d~v на направление ~v . Следовательно:
δA = mvdv = d mv 2 /2 Работа идёт на приращение некоторой величины, которую называют кинетической энергией, K = mv 2 /2 6.3.2 Элементарное и конечное перемещение Приращение кинетической энергии частицы при элементарном перемещении равно элементарной работе сил, действующих на эту частицу, dK = δA При конечном перемещении: K2 − K1 = A12 То есть, приращение кинетической энергии частицы на некотором перемещении равно работе результирующей силы, действующей на частицу на этом перемещении. • Если A12 > 0, то K2 > K1 — кинетическая энергия увеличивается. • Если A12 < 0, то K2 < K1 — кинетическая энергия уменьшается. 6.4 6.4.1 Собственная потенциальная энергия системы частиц Работа в системе двух частиц Рассмотрим систему частиц, между которыми действуют только центральные силы. Рассмотрим только две частицы. Пусть в произвольной системе отсчёта K за время dt частицы совершили перемещения d~r1 и d~r2 под действием сил взаимного действия F~1 и F~2 . Работа этих сил равна: δA12 = δA1 + δA2 = F~1 d~r1 + F~2 d~r2 Согласно третьему закону Ньютона F~1 = −F~2 . Следовательно, δA12 = F~1 (d~r1 − d~r2 ) Величина (d~r1 − d~r2 ) — это перемещение частицы 1 относительно частицы 2. 37 Если связать систему отсчёта K ′ с частицей 2, то относительно этой системы отсчёта можно записать: d~r1 − d~r2 = d~r1′ Таким образом, δA12 = δA1 + δA2 = F~1 d~r1′ Алгебраическая сумма элементарных работ пары сил взаимодействия в произвольной K-системе отсчёта равна элементарной работе, которую совершает сила, действующая на одну частицу в системе отсчёта, где другая покоится. Иными словами, работа A12 не зависит от выбора исходной системы отсчёта. 6.4.2 Потенциальная энергия взаимодействия Так как рассматриваемые силы являются консервативными, работа δA12 может быть представлена как убыль потенциальной энергии частицы 1 в поле частицы 2 или как убыль потенциальной энергии взаимодействия пары частиц δA12 = −dU12 Если перемещение имеет конечное значение, то A12 = −∆U12 Здесь потенциальная энергия U12 есть функция, зависящая только от расстояния между этими частицами (ранее мы находили вид потенциальной энергии частицы в поле другой) 6.4.3 Собственная потенциальная энергия системы частиц Рассмотрим теперь систему из трех частиц. Работа, которую совершают все силы взаимодействия при перемещении всех частиц, может быть представлена как алгебраическая сумма работ всех трех пар сил взаимодействий A = A12 + A13 + A23 Так как Aik = −∆Uik , то A = −∆(U12 + U13 + U23 ) = −∆U соб где U соб — собственная потенциальная энергия данной системы частиц. U соб = U12 + U13 + U23 Потенциальная энергия i-ой частицы в поле k-ой равна потенциальной энергии k-ой в поле i-ой, т. е. Uik = Uki Значит, каждую энергию можно записать как Uik = 1 (Uik + Uki ) 2 Возвращаемся к формуле для U соб : U соб = U12 + U13 + U23 = = 1 (U12 + U21 + U13 + U31 + U23 + U32 ) = 2 1 [(U12 + U13 ) + (U21 + U23 ) + (U31 + U32 )] 2 Первое слагаемое — потенциальная энергия первой частицы U1 , второе — потенциальная энергия второй частицы U2 и так далее. Значит U соб можно представит как сумму потенциальных энергий частиц: = 3 U соб 1X Ui = 2 i=1 Вывод Каждой конфигурации системы присуще некоторое значение собственной потенциальной энергии. Работа всех внутренних консервативных сил при изменении этой конфигурации равна убыли собственной потенциальной энергии системы, Aвнутр.конс = −∆U соб = U1соб − U2соб Иными словами, работа собственных сил не зависит от того как конкретно система переходит от конфигурации 1 к конфигурации 2, а определяется исключительно самими конфигурациями. 38 6.5 6.5.1 Закон сохранения механической энергии системы Вывод формулы Рассмотрим систему частиц, таких что • между ними действуют консервативные силы f~ij ~i • извне на частицы действуют консервативные силы F~i и неконсервативные силы Φ Запишем уравнения движения для каждой частицы: N m1 X d~v1 = f~1k + F~1 + Φ1 dt k6=1 N m2 X d~v2 = f~2k + F~2 + Φ2 dt k6=2 ... mN N X d~vN = f~N k + F~N + ΦN dt k6=N Каждое уравнение умножим скалярно на соответствующий вектор d~ri . Учтём, что d~vi d~ri = ~vi d~vi dt В результате i-ое уравнение будет иметь вид: mi~vi d~vi − N X k6=i ~ i d~ri f~ik d~ri − F~i d~ri = Φ В этой формуле: • mi~vi d~vi — бесконечно малое приращение кинетической энергии i-ой материальной точки; • f~ik d~ri — убыль потенциальной энергии частицы в полях, создаваемых другими частицами системы; • F~i d~ri — убыль потенциальной энергии частицы во внешних потенциальных полях; • Φi d~ri — бесконечно малая работа внешних неконсервативных сил. Теперь сложим все N уравнений (т. е. суммируем по i) N X i=1 mi~vi d~vi − N N X X i=1 k6=i f~ik d~ri − N X F~i d~ri = i=1 N X ~ i d~ri Φ i=1 В этом уравнении: PN • vi d~vi = dT — бесконечно малое приращение кинетической энергии системы; i=1 mi~ PN P N ~ • ri = −dU соб — убыль собственной потенциальной энергии системы; i=1 k6=i fik d~ PN ~ • ri = −dU внеш — убыль потенциальной энергии системы во внешних полях; i=1 Fi d~ PN ~ • ri = δA — бесконечно малая работа всех внешних неконсервативных сил. i=1 Φi d~ Пусть система переходит из состояния 1 в состояние 2. Проинтегрируем формулу вдоль траектории движения: Z2 (T2 + d(T + U соб + U внеш ) = Aнеконс 12 1 соб U2 + U2внеш ) − (T1 + U1соб + U1внеш ) = Aнеконс 12 Зададим полную механическую энергию системы как E полн = T + U соб + U внеш Тогда: ∆E полн = E2полн − E1полн = Aнеконс 12 39 6.5.2 Формулировка Закон сохранения механической энергии Изменение полной механической энергии системы при переходе из одного состояния в другое равно работе, совершенной при этом внешними неконсервативными силами. Если внешние неконсервативные силы не действуют, то полная механическая энергия остаётся постоянной. Так как работа неконсервативных сил меньше нуля, то E2полн < E1полн , т. е. происходит уменьшение механической энергии системы. Говорят, что происходит диссипация энергии (рассеивание). Энергия никогда не исчезает и не появляется. Она только преобразуется в другие виды. При диссипации механическая энергия преобразуется в тепловую. 6.6 6.6.1 Законы сохранения при соударениях тел Основные понятия В процессе удара возникают кратковременные ударные силы взаимодействия между сталкивающимися телами, причем эти силы во много раз превосходят все внешние силы, действующие на тела. Поэтому в процессе удара систему соударяющихся тел можно приближенно считать замкнутой и применять к ней закон сохранения импульса. Удар называется прямым, если перед ударом скорости центров масс соударяющихся тел параллельны линии удара (линия удара — это линия нормальная к обоим поверхностям соударяющихся тел в точке соударения). Центральный удар — центры масс лежат на линии удара. Мы ограничимся рассмотрением прямого центрального удара. 6.6.2 Абсолютно упругий и неупругий удар • Абсолютно неупругий удар. Возникает пластическая деформация соударяющихся тел и кинетическая энергия полностью или частично превращается в энергию внутреннюю. – Закон сохранения импульса выполняется. – Закон сохранения механической энергии не выполняется. – После удара тела двигаются вместе. • Абсолютно упругий удар. Возникает упругая деформация, кинетическая энергия превращается в энергию упругой деформации, а потом опять в кинетическую энергию без диссипации. – Выполняются законы сохранения импульса и энергии. – После удара тела разлетаются. 6.6.3 Абсолютно неупругий удар Из закона сохранения импульса m1~v1 + m2~v2 = (m1 + m2 )~u ⇒ ~u = m1~v1 + m2~v2 m1 + m2 При проведении числительных расчетов, необходимо направить ось вдоль линии удара и спроецировать на неё импульсы тел до удара. Тогда знак u покажет направление движение тел после удара. Изменение кинетической энергии системы двух сталкивающихся тел при абсолютно неупругом прямом центральном ударе: m 1 + m 2 2 m1 2 m 2 2 ∆K = ~u − ~v − ~v = 2 2 1 2 2 ✘ m1 2 m2 2 (m✘ +✘ m2 ) (m1~v1 + m2~v2 )2 1✘ ✘ − ~v − ~v = 2 2 2 1 2 2 (m1 + m2 )✄ 40 = (m1~v1 )2 + 2m1 m2~v1~v2 + (m2~v2 )2 m1~v12 + m2~v22 − = 2(m1 + m2 ) 2 1 [(m1~v1 )2 + 2m1 m2~v1~v2 + (m2~v2 )2 − = 2(m1 + m2 ) −(m1 + m2 )(m1~v12 + m2~v22 )] = 1 ✘ ✘ 2 2 [✘ (m✘ v✘ v1~v2 + ✘ (m✘ v✘ 1~ 1 ) + 2m1 m2~ 2~ 2) − 2(m1 + m2 ) 2 2 −✟ m21✟ ~v✟ v22 − m1 m2~v12 − ✟ m22✟ ~v✟ 1 − m1 m2 ~ 2] 2m1 m2~v1~v2 − m1 m2~v22 − m1 m2~v12 = = 2(m1 + m2 ) −m1 m2 (−2~v1~v2 + ~v22 + ~v12 ) m1 m2 (~v1 − v2 )2 = = − 2(m1 + m2 ) m1 + m2 2 = Таким образом, мы получили, что всегда ∆K = K2 − K1 < 0. Это значит, что происходит потеря кинетической энергии, переход ее в тепло. 6.6.4 Абсолютно упругий удар Закон сохранения энергии и импульса: m1~v1 + m2~v2 = m1 ~u1 + m2 ~u2 m1~v12 /2 + m2~v22 /2 = m1 ~u21 /2 + m2 ~u22 /2 Используем формулу a2 − b2 = (a − b)(a + b): m1 (~v1 − ~u1 )(~v1 + ~u1 ) = m2 (~u2 − ~v2 )(~u2 + ~v2 ) Преобразуем первое уравнение m1 (~v1 − ~u1 ) = m2 (~u2 − ~v2 ) Из этих двух уравнений следует, что ~v1 + ~u1 = ~u2 + ~v2 В итоге получаем систему уравнений m1 (~v1 − ~u1 ) = m2 (~u2 − ~v2 ) ~v1 + ~u1 = ~u2 + ~v2 Умножим второе уравнение на m2 и вычтем из первого m1 (~v1 − ~u1 ) − m2 (~v1 + ~u1 ) = m2 (~u2 − ~✿✿ v2 ) − m2 (~u2 + ~✿✿ v2 ) Умножим второе уравнение на m1 и сложим с первым m1 (~✿✿ v1 − ~u1 ) + m1 (~✿✿ v1 + ~u1 ) = m2 (~u2 − ~v2 ) + m1 (~u2 + ~v2 ) Получаем систему уравнений ( 2m2~v2 = m2 (~v1 + ~u1 ) − m1 (~v1 − ~u1 ) 2m1~v1 = m2 (~u2 − ~v2 ) + m1 (~u2 + ~v2 )  u1 − m1~v1 + m u1 2~ 1~  2m2~v2 = m2~v1 + m ✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿  2m1~v1 = m2 ~u2 − m2~v2 + m1 ~u2 + m1~v2 ✿✿✿✿ ✿✿✿✿ ( 2m2~v2 = (m1 + m2 )~u1 − (m1 − m2 )~v1 2m1~v1 = (m1 + m2 )~u2 + (m1 − m2 )~v2 ~u1 = 2m2~v2 + (m1 − m2 )~v1 m1 + m 2 ~u2 = Рассмотрим частные случаи. 41 2m1~v1 − (m1 − m2 )~v2 m1 + m 2 • При m1 = m2 = m имеем: ~u1 = ~v2 , ~u2 = ~v1 , т. е. при одинаковых массах шары при упругом ударе обмениваются скоростями. • Пусть m2 ≫ m1 . Тогда ~u1 = 2~v2 −~v1 , ~u2 = ~v2 , т. е. скорость бо́льшего шара практически не меняется. • Если при m2 ≫ m1 ~v2 = 0, то ~u1 = −~v1 , ~u2 ≈ 0. Это значит, что первый шар отскакивает от более тяжёлого второго. 7 7.1 7.1.1 Динамика абсолютно твёрдого тела Момент импульса частицы Определение момента импульса Рассмотрим частицу. ~r — радиус-вектор частицы относительно т. O, p~ — импульс частицы в системе координат с началом в т. O. ~ L p~ ~r т. O ℓ α α Моментом импульсы частицы называется векторная величина ~ = [~r, p~] L 7.1.2 Модуль и направление вектора момента импульса Направление этого вектора совпадает с поступательным движением правого винта, который вращают по кратчайшему расстоянию от вектора ~r до p~. Модуль момента импульса: ~ = rp sin α = pℓ |L| где ℓ = r sin α — плечо импульса относительно т. O. 7.1.3 Момент силы ~ в данной системе отсчёта. Выясним, какая физическая величина ответственна за изменение вектора L     d~ d~ p d~r = L= , p~ + ~r, dt dt dt   d~r , p~ = [~v , p~] = m [~v , ~v ] = 0 dt  h  i d~ p = ~r, F~ = ~r, dt Правая часть выражения называется моментом (результирующей) силы F~ относительно точки O. h i ~ = ~r, F~ M 7.1.4 Скорость изменения момента импульса ~ определяется аналогично моменту импульса. Направление и величина вектора M ~ | = rF sin α = F ℓ |M где ℓ — плечо силы. ~ ~ dL/dt =M 42 Изменение во времени момента импульса частицы происходит под действием момента сил, действующих на частицу. Векторное уравнение можно спроецировать на оси x, y и z системы координат, начало которой лежит в точке О. dLx /dt = Mx , dLy /dt = My , dLz /dt = Mz где Lx,y,z и Mx,y,z — моменты относительно осей x, y, z. ~ = 0, то L ~ = const. Если момент действующих сил равен нулю, M Примером является движение планет вокруг солнца. Движение планет осуществляется под действием центральной силы — силы тяготения. Так как при движение планеты направление силы F~тяг проходит через центр Солнца, то моменты силы относительно Солнца равен нулю. F~тяг Земля p~ Солнце Следовательно момент импульса относительно Солнца будет постоянным. Сам импульс при этом меняется. 7.1.5 Моменты относительно оси Представим себе материальную точку, совершающую поворот вокруг оси z по окружности радиуса ρ под действием силы F~ . z F~ F~z ρ ~ F~τ ~rz F~ρ ~r т. O Разложим силу на три составляющие: • F~ρ — вдоль радиуса окружности; F~ = F~ρ + F~z + F~τ • F~z — вдоль оси z; • F~τ — по касательной к окружности. Начало отсчёта поместим в точку O. Радиус-вектор движущейся точки разложим на две составляющие: ~r = ~rz + ρ ~ Запишем момент силы F~ относительно т. O: h i h i ~ = ~r, F~ = (~rz + ρ M ~), (F~z + F~ρ + F~τ ) = i i h i h i h i h i h h ✟ ✟ ~✟ ~, F~τ ~✟ , F~✟ ~, F~z + ρ rz , F~ρ + ~rz , F~τ + ρ ~r✟ ρ + ρ z , Fz + ~ ✟ ✟ h i h i h i h i ~ = ~rz , F~ρ + ~rz , F~τ + ρ M ~, F~z + ρ ~, F~τ i i h i h i h h ~, F~τ параллельна этой оси. ~, F~z перпендикулярны оси z, а ρ Компоненты ~rz , F~ρ , ~rz , F~τ и ρ Следовательно, проекция момента силы на ось z равна: Mz = ρFτ Аналогично можно показать, что проекция момента импульса материальной точки на ось z равна Lz = ρpτ Моменты относительно оси Mz и Lz ~ иL ~ зависят от выбора т. O на оси. не зависят от положения т. O на оси z. При этом сами вектора M 43 7.2 Закон сохранения момента импульса Пусть система состоит из N частиц. Момент импульса системы относительно т. O равен: N X ~ = L ~i L i=1 ~ i — момент импульса i-ой частицы. где L Продифференцируем эту сумму по времени: N N X dL X ~i ~ dL ~i = = M dt dt i=1 i=1 ~ i — сумма моментов сил, действующих на i-ую частицу, M ~i = M ~ внеш + M ~ внутр M i i Следовательно: N N X X ~ dL ~ внеш + ~ внутр = M M i i dt i=1 i=1 Суммарный момент внутренних сил равен N X ~ внутр = M i i=1 N X i=1 N h N X X  ~ri , i внутр = ~ri , F~ik i=1 k6=i внутр где Mik N X k6=i  внутр  F~ik = N N X X ~ внутр M ik i=1 k6=i i h внутр — момент силы, действующей на i-ую частицу со стороны k-ой частицы. = ~ri , F~ik PN ~ внутр содержит суммы следующих пар: M i i i h h ~ внутр + M ~ внутр = ~ri , F~ внутр + ~rj , F~ внутр M ji ij ji ij Суммарный момент внутренних сил i=1 внутр В силу третьего закона Ньютона F~ijвнутр = −F~ji . Следовательно, i i h h ~ внутр + M ~ внутр = ~ri , F~ внутр − ~rj , F~ внутр = M ij ij ji ij h i внутр = (~ri − ~rj ), F~ij Так как вектора (~ri − ~rj ) и F~ij лежат вдоль одной прямой то их векторное произведение равно нулю. т. j F~ij ~rj (~ri − ~rj ) ~ri F~ij т. i Таким образом, получаем уравнение: N X ~ dL ~ внеш = M ~ внеш = M i dt i=1 N X ~ dL ~ iвнеш = M ~ внеш = M dt i=1 Из этого уравнения следует закон сохранения момента импульса системы материальных точек (или абсолютно твердого тела). 44 Закон сохранения момента импульса Если на систему материальных точек (или на твёрдое тело) не действуют внешние силы, т. е. система является замкнутой, или суммарный момент внешних сил равен нулю, то момент импульса сохраняется во времени ~ dL ~ = 0, L(t) = const dt 7.3 Основное уравнение динамики вращательного движения Представим себе тело вращающееся вокруг оси z таким образом, что вектор угловой скорости ω ~ сонаправлен с ортом ~ez . Найдём связь Lz и ω. z ω ~ ~vi ρ ~i ~rzi ~ri т. O Радиус-вектор ~ri i-ого элемента тела можно представить как ~ri = ~rzi + ρi По определению момента импульса: ~ отн.т.O = L N X [~ri , mi~vi ] = N X [~rzi , mi~vi ] + ~ отн.т.O = L N X [~ ρi , mi~vi ] i=1 i=1 i=0 N X [~rzi , mi~vi ] + N X [~ ρi , mi~vi ] i=1 i=1 Первое слагаемое перпендикулярно оси z. На интересует второе слагаемое, которое параллельно z. Учитывая, что ~vi = [~ ω, ρ ~] запишем: [~ ρi , mi~vi ] = [~ ρi , mi [~ ω, ρ ~i ]] Так как ρ ~i ⊥ ω ~ и ~vi ⊥ ρi , то Lz = N X mi ρ2i ω = ω N X mi ρ2i i=1 i=1 Момент инерции системы материальных точек (или абсолютно твёрдого тела) относительно оси z определяется формулой Jz = N X mi ρ2i i=1 Следовательно Lz = J z ω ~ ~ внеш на ось z: Спроецируем управление dL/dt =M dLz /dt = Mzвнеш Подставим сюда найденное выражение для Lz : d(Jz ω)/dt = Mzвнеш Мы получили основное уравнение динамики абсолютно твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. dω = Mzвнеш Jz dt 45 Обозначим dω/dt = εz — проекция углового ускорения на ось z. Тогда Jz εz = Mzвнеш Имеется соответствие между величинами описывающими поступательное и вращательное движение ~ ⇐⇒ F~ M ~ ⇐⇒ p~ L Jz ⇐⇒ m Jz εz = Mz ⇐⇒ max = Fx ~ ~ ⇐⇒ d~ dL/dt =M p/dt = F~ 7.4 7.4.1 Момент инерции Вычисление момента инерции Из определения момента инерции следует что это величина аддитивная: момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции частей тела относительно той же оси. Для системы материальных точек, расстояния которых относительно оси вращения равны ri , момент инерции вычисляется по формуле J= N X mi ri2 i=1 Если вещество тела распределено непрерывно с плотностью ρ то J = lim N →∞ 7.4.2 N X ∆mi ri2 = i=1 Z r2 dm = m Z r2 ρdV V Моменты инерции сплошного однородного диска Рассмотрим сплошной однородный диск радиуса R и массы m. z R dr r h Выделим кольцо радиусом r и толщиной dr. Площадь кольца равна 2πrdr. Все секторы кольца будут иметь одинаковые моменты инерции, поэтому dJ = (2πrdrhρ)r2 dJ = (2πrdrhρ)r2 Момент инерции всего диска можно найти по формуле: Jдиск = ZR 2 r hρ2πrdr = 2πhρ 4 R r 4 r3 dr = = 2πhρ ZR = R2 2πhρR = (πR2 h)ρ 4 2 4 2 πR h = Vдиск — объём диска, Vдиск ρ = m — его масса. Jдиск = 46 mR2 2 7.4.3 Момент инерции шара Рассмотрим шар радиусом R и массой m. z r z dz R Выберем внутри шара бесконечно тонкий диск радиусом r и высотой dz и воспользуемся полученной формулой для момента инерции диска: dJ = (dm)r2 (ρπr2 dz)r2 πρr4 = = dz 2 2 2 πρr4 dz 2 Радиус диска найдём по теореме Пифагора как r2 = R2 − z 2 . Тогда: dJ = πρ(R2 − z 2 )2 dz 2 = Момент инерции всего шара: Jшар = ✁ 2 ZR πρ(R2 − z 2 )2 dz = πρ ✁2 ZR (R2 − z 2 )2 dz = ZR = πρ (R4 − 2R2 z 2 + z 4 )dz = 3 R5 = πρ R R − 2R + 3 5  2R 4  =    2R5 15 − 10 + 3 R5 5 = πρ R − = πρR = + 3 5 15 4πR3 2R2 8πρR5 =ρ = 15 3 5  5 4πR3 /3 = Vшар — объём шара, Vшар ρ = m — его масса. Jшар = 7.4.4 2mR2 5 Момент инерции куба Рассмотрим куб массой m и с длиной ребра a z r dV = dxdydz 47 Jz = Z ρr2 dV = V ZZZ ρ r2 dx dy dz = V ZZZ =ρ 2 (x + y 2 )dx dy dz = V =ρ Za/2 Za/2 2 2 (x + y )dx dy −a/2 −a/2 = ρa Za/2 dz = −a/2 Za/2 Za/2 (x2 + y 2 )dx dy = −a/2 −a/2   = ρa  Za/2 Za/2 Za/2 Za/2 x2 dx dy + −a/2 −a/2 −a/2 −a/2 Вычислим отдельно внутренние интегралы: Za/2 x3 x dx = 3 a/2 2 −a/2 −a/2 a3 a3 a3 = + = , 24 24 12   y 2 dx dy  = Za/2 y 2 dy = a3 12 −a/2 Следовательно:   = ρa  Za/2 Za/2 x2 dx dy + −a/2 −a/2  =  ρa4   12 Za/2 −a/2 −a/2 −a/2 3 a = ρa  12 Za/2 Za/2 Za/2 3 dy + a 12 −a/2 dy + Za/2 −a/2 Za/2 −a/2    y 2 dx dy  =   dx = ρa5 ρa4  (a + a) = dx = 12 6 Учтём, что ρa3 = m — масса куба. Таким образом, момент инерции куба равен: Jкуб = 7.4.5 ma2 6 Теорема Штейнера Тереме Штейнера используется для вычисления момента инерции тела относительно произвольной оси, когда известен момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс. Теорема Штейнера Момент инерции J тела относительно произвольной оси z равен моменту инерции Jцм относительно оси zцм , параллельной данной и проходящей через центр масс плюс произведение массы m тела на квадрат расстояния между осями J = Jцм + ma2 7.4.6 Доказательство Рассмотрим рисунок. Оси zцм и z ′ перпендикулярны рисунку. 48 y y′ Ri′ a т. Ц. М. z′ zцм x, x′ Ri Момент инерции относительно z ′ : J= N X (Ri′ )2 ∆mi = i=1 i=1 Из рисунка видно, что yi′ = yi , x′i N X  i=1 = N X  i=1 = i=1  (x′i )2 + (yi′ )2 ∆mi = = xi + a. = N X  N X   (xi + a)2 + (yi )2 ∆mi =  (xi )2 + 2axi + a2 + (yi )2 ∆mi = N N X X  xi ∆mi + a2 (xi )2 + (yi )2 ∆mi + 2a ∆mi i=1 i=1 В этой сумме  PN PN  2 2 2 • i=1 Ri ∆mi = Jцм ; i=1 (xi ) + (yi ) ∆mi = PN • 2a i=1 xi ∆mi = 2axцм m, и так как центр масс находится в начале координат, то xцм = 0, и всё это слагаемое обращается в нуль; PN • a2 i=1 ∆mi = a2 m. Таким образом, мы получили теорему Штейнера: J = Jцм + ma2 7.4.7 Использование теоремы Штейнера Пусть необходимо вычислить момент инерции молекулы типа H2 O относительно оси zцм , проходящей через точку центра масс. O x′ α d H zцм т. Ц. М. H y′ Из-за симметрии молекулы проще всего вычислить момент инерции относительно оси J ′ , проходящей через центр атома кислорода. По формуле Штейнера Jцм = J ′ − ma2 . Считая молекулы водорода материальными точками, получим: J ′ = 2mH d2 Теперь нужно найти расстояние от центра молекулы кислорода до центра масс. Из рисунка видно, что центр масс лежит на оси y ′ , т. е. координаты по оси x′ можно не учитывать. a = y ′ цм = mO yO + 2mH yH mO + 2mH 49 O x′ α d H H zцм т. Ц. М. y′ Так как yO = 0 и yH = d cos α/2, то a= 2mH d cos α/2 mO + m H Значение угла α и d вычисляются при помощи квантовой механики. 8 8.1 Динамика абсолютно твёрдого тела. Элементы специальной теории относительности Кинетическая энергия при вращательном движении вокруг неподвижной оси 8.1.1 Кинетическая энергия Когда тело вращается вокруг неподвижной оси, масса ∆mi , отстоящая от оси вращения на Ri , имеет скорость vi = ωRi и ее кинетическая энергия равна Ki = ∆mi vi2 /2 = ∆mi ω 2 Ri2 /2 Тогда энергия всего тела будет равна K= N X Ki = N X ∆mi ω 2 R2 i 2 i=1 i=1 = N ω2 X ∆mi Ri2 2 i=1 Отсюда следует, что K = Jω 2 /2 Мы получили выражение аналогичное кинетической энергии материальной точки: масса ⇔ момент инерции, линейная скорость ⇔ угловая скорость. 8.1.2 Работа при вращении вокруг неподвижной оси Найдем работу внешних сил, совершаемую при вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z. Приращение кинетической энергии тела возникает за счет работы всех внешних сил, действующих на твердое тело. При этом собственная потенциальная энергия тела не меняется, так как тело не деформируется.  2 Jωz δA = dK = d 2 Используем формулу для кинетической энергии:  2  2 d Jωz Jωz = Jωz ⇒ d = Jωz dωz dωz 2 2 Имеем: δA = d  Jωz2 2  , d  Jωz2 2  = Jωz dωz Согласно основному уравнению вращательного движения J dωz = Mz ⇒ Jdωz = Mz dt dt Следовательно: δA = Jωz dωz = Mz ωz dt 50 Так как dϕ/dt = ωz , то ωz dt = dϕ. Таким образом, получаем формулу для элементарной работы: δA = Mz dϕ δA = Mz dϕ Если Mz и dϕ имеют одинаковые знаки, то δA > 0, если знаки противоположные, то δA < 0. Полная работа, совершаемая при повороте на угол ϕ равна: A= Zϕ Mz dϕ Таким образом, мы получили, что работа внешних сил при вращение твердого тела вокруг неподвижной оси определяется действием момента Mz этих сил относительно данной оси 8.2 Кинетическая энергия тела при плоском движении Как известно, плоское движение тела можно представлять как совокупность поступательного движения тела со скоростью ~v0 и вращение вокруг оси, проходящей через некоторую жестко связанную с телом точку O с угловой скоростью ω. Скорость i-ой частицы твёрдого тела равна: ~vi = ~v0 + [~ ω , ~ri ] где ~ri — радиус-вектор i-ой массы, проведённый из точки O. Кинетическая энергия i-ой части твердого тела равна: ∆mi vi2 ∆mi 2 = (~v0 + [~ ω , ~ri ]) = 2 2  ∆mi  2 2 = v0 + 2~v0 [~ ω , ~ri ] + [~ ω , ~ri ] 2 ∆Ki = Кинетическая энергия всего тела: K= N X Ki = i=1 i=1 N X ∆mi v 2 i=1 N X ∆mi  2 + ~v0 2 N X v02 + 2~v0 [~ ω , ~ri ] + [~ ω , ~ri ] ∆mi [~ ω , ~ri ] + i=1 N 2  = 1X 2 ∆mi [~ ω , ~ri ] 2 i=1 В этой формуле: PN 2 2 • i=1 ∆mi v0 /2 = mv0 /2 — кинетическая энергия поступательного движения; z ω ~ 2 α • [~ ω , ~ri ] = ω 2 (ri sin α)2 = (ωRi )2 , где Ri — расстояние от i-ой массы до оси (см. рисунок); PN PN 2 • (1/2) i=1 ∆mi [~ ω , ~ri ] = (1/2)ω 2 i=1 ∆mi Ri2 = J0 ω 2 /2 — энергия вращательного движения твёрдого тела относительно оси, проходящей через точку O; K= N X ∆mi v 2 i=1 2 + ~v0 N X N ∆mi [~ ω , ~ri ] + i=1 1X 2 ∆mi [~ ω , ~ri ] 2 i=1 Последнее слагаемое в формуле для кинетической энергии: h P i PN N • ~v0 i=1 ∆mi [~ ω , ~ri ] = ~v0 ω ~ , i=1 ∆mi~ri = ~v0 [~ ω , m~rцм ] = m~v0 [~ ω , ~rцм ] 51 Ri ~ri т. O Таким образом, получаем кинетическую энергию всего тела: K= J0 ω 2 mv02 + + m~v0 [~ ω , ~rцм ] 2 2 Если точку O поместить в центр масс тела, то ~rцм = 0 и последнее слагаемое обратиться в нуль. Тогда 2 mvцм Jцм ω 2 + 2 2 где vцм — скорость центра масс, Jцм — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс. K= Значит, если разбить движения абсолютно твердого тела на поступательное движение со скоростью его центра масс и вращательное движение вокруг оси, проходящей через центр масс, то кинетическая энергия скалдывается из энергии вращательного движения и энергии поступательного движения. 8.3 Мировой эфир При электрическом или гравитационном взаимодействии одно тело воздействует на другое на расстоянии. Значит от одного тела к другому передаётся энергия. Где заключена энергия, когда она уже покинула первое тело и ещё не достигла второго? На этот вопрос физики в 19 веке отвели, выдвинув гипотезу о существовании всепроникающей среды — мирового эфира. Было сделано предположение, что электромагнитные волны, в частности свет, представляют собой волны возмущений этого эфира. Такое представление согласуется с нашим интуитивным представлениями о волнах: волны на воде; звуковые волны; волны в струне, возбуждаемые смычком скрипки. Эфир не может покоиться во всех инерциальных системах отсчёта сразу. Значит системы отсчёта, относительно которых эфир покоится, выделены по сравнению с другими. Значит, существует абсолютное движение и абсолютный покой, определяемые по отношению к эфиру. Принцип относительности Галилея утверждает, что никакие механические эксперименты не помогут отличить покой от равномерного прямолинейного движения. Но если свет — это волна возмущения эфира, то двигаясь с разными скоростями по отношению к эфиру, мы будем регистрировать разные значения скорости света. Сравнивая эти отличия, можно определить, движемся мы или покоимся по отношению к эфиру. Следовательно, допустив существования светоносного эфира, мы пришли к тому, что принцип относительности не выполняется по отношению к электромагнитным явлениями и с их помощью можно отличить абсолютный покой от абсолютного движения. 8.4 8.4.1 Явление интерференции и интерферометр Майкельсона Сложение двух волн Было поставлено множество экспериментов для регистрации движения по отношению к эфиру. Наиболее убедительным был опыт Майкельсона и Морли. Перед тем, как обсуждать опыт Майкельсона и Морли, обсудим, что происходит при сложении двух колебаний. экран ∆=λ S1 S2 Один из лучей прошёл путь ровно на длину волны меньший, чем другой. На экране эти два луча попали в одну точку. Так как они имеют одинаковую фазу, то усиливают друг друга и возникает яркое пятно — интерференционный максимум. Один из лучей света попал в точку наблюдения, пройдя путь, на половину длины волны больший — в результате колебания происходят в противофазе и гасят друг друга. Возникает тёмное пятно — интерференционный минимум. 52 8.4.2 Конструкция интерферометра Длина волны света — десятые доли микрона. Изменение разности хода двух лучей на половину длины волны приводит сильному к изменению картины на экране. Это можно использовать для точных измерений. B A Интерферометр Майкельсона и Морли: источник света, полупрозрачная пластинка, два зеркала и детектор. Каждый луч от точечного источника света (на рисунке показан ход только одного из лучей) раздваивается на полупрозрачной пластинке, отражается от зеркал и приходит в детектор. S O В зависимости от разности длин отрезков OA и OB лучи в детектор могут приходить в фазе или в противофазе. Соответственно, мы будем наблюдать минимумы или максимумы освещённости. Так как источник света точечный, то лучи от него падают на полупрозрачную пластинку под разными углами. Разности хода для них будут отличаться и в итоге на экране возникнет картина из чередующихся светлых и тёмных концентрических колец. Если немного сместить одно из зеркал (смещение порядка длины волны света!), то радиусы колец заметно изменятся. По этому изменению можно очень точно определить смещение. 8.5 8.5.1 Измерение скорости движения по отношению к мировому эфиру Описание опыта Майкельсона—Морли Земля неинерционная система отсчёта, так как движется по эллипсу вокруг Солнца. Значит если мировой эфир существует, то скорее всего Земля движется относительно него. B v v c c⊥ A ck = c − v O ck = c + v Пусть c — скорость света относительно эфира, v — скорость движения Земли относительно эфира. Предположим, что плечо OA направлено вдоль движения Земли относительно эфира. Скорость луча от O до A равна ck = c − v, в обратном направлении ck = c + v. Время, необходимое лучу, чтобы пройти путь OAO: ℓOA ℓOA + = c−v c+V 1 2ℓOA = c 1 − (v/c)2 tOAO = В направлении OB луч движется со скоростью c⊥ , такой что ~c = ~c⊥ + ~v . Следовательно, c⊥ = Время на путь OBO: 1 2ℓOB 2ℓOB p = tOBO = √ 2 2 c c −v 1 − (v/c)2 √ c2 − v 2 . Следовательно, луч из одного плеча отстаёт от другого на время ∆t = tOBO − tOAO . Это приводит к возникновению интерференционной картины. Запомним положения минимумов и максимумов на экране и повернём установку на 90◦ . Теперь плечи поменялись ролями и повторив те же самые рассуждения, мы увидим, что теперь разность времени лучей равна −∆t. Это значит, что положения минимумов и максимумов на экране сместились. По величине смещения можно вычислить скорость движения Земли относительно мирового эфира. 53 Этот опыт дал отрицательный результат — распределение максимумов и минимумов не меняется при любых поворотах установки. Были и другие опыты, которые также дали отрицательный результат. 8.5.2 Выводы Исходя из отрицательных результатов опытов по регистрации движения Земли относительно мирового эфира следуют выводы: • никаким способами не удаётся зарегистрировать движение Земли относительно мирового эфира и следовательно от идеи эфира следует отказаться вообще; • скорость света остаётся постоянной независимо от того, как двигаются друг относительно друга источник и приёмник 8.6 8.6.1 Постулаты Эйнштейна Формулировка На основе результата опыта Майкельсона и Морли и других ему подобных Эйнштейн сформулировал два теоретических постулата, которые легли в основу специальную теорию относительности. 1. Все (не только законы механики, как думали раньше) законы природы одинаковы в инерциальных системах отсчёта и поэтому равномерное прямолинейное движение и покой ничем принципиально не отличаются. 2. Скорость света в вакууме не зависит от движения источника и постоянная во всех инерциальных системах отсчёта. 8.6.2 Достоверность постулатов Постулаты Эйнштейна представляют собой обобщения экспериментов. Тем не менее, постулаты сформулированы так, что невозможно экспериментально доказать их истинность. Существует две принципиальные возможности: • эксперимент может не противоречить постулатам; • эксперимент может опровергать постулаты. Было поставлено огромное количество опытов, которые не противоречат постулатам. На основе постулатов построена специальная теория относительности, которая с высокой точностью объясняет имеющийся круг явлений и позволяет предсказывать новые явления. Именно в этом смысле постулаты Эйнштейна считаются верными. Однако нельзя отрицать принципиальной возможности открытия новых явлений, несогласующихся с этими постулатами. 9 9.1 Элементы специальной теории относительности Равенство поперечных размеров Система отсчёта K ′ движется относительно K со скоростью V так, что их горизонтальные оси совпадают. В некоторый момент времени t0 их начала координат также совпадают. K′ K зеркало в K ′ V ℓ детектор Пусть в системе отсчёта K ′ вертикально установлен эталон длины ℓ к которому прикреплено горизонтальное зеркало. Имеются дальномеры, установленные в начале координат системы K и K ′ . Дальномер в K ′ испускает луч и измеряет время, необходимое лучу чтобы дойти до зеркала и вернуться. Это время будет равно ∆t′ = ℓ/c. Дальномер из K делает тоже самое. 54 Чему будет равно измеренное им время ∆t? В системе K зеркало движется по горизонтали и при этом не удаляется и не приближается к дальномеру в K. При этом скорость света одинакова в обоих системах отсчёта. Следовательно ∆t = ∆t′ , т. е. эталон длины, установленный поперёк движения, не зависит от скорости движения системы, в которой им пользуются. Иными словами поперечные размеры тел не зависят от скорости движения. 9.2 Замедление времени Для измерения времени годится любой периодически повторяющийся процесс. Наиболее удобно для рассуждений использовать световые часы: стержень с двумя параллельными зеркалами, между которыми движется луч света. Период таких часов равен интервалу между двумя последовательными моментами, когда импульс достигает одного из концов стержня. Пусть световые часы покоятся в системе отсчёта K ′ . Тогда их период равен ∆t0 = 2ℓ/c Время, измеренное по часам, которые неподвижны относительно изучаемого явления, называется собственным. Отсюда индекс «0». Пусть относительно системы K часы двигаются со скоростью V таким образом, что часы ориентированы поперёк движения. B B′ B ′′ V ℓ V ∆t/2 A A′ A′′ В этом случае высота стержня не меняется, т. е. расстояние межу зеркалами остаётся прежним (сохранение поперечных размеров). Но пока луч идёт снизу вверх, верхнее зеркало смещается вправо в точку B ′ . Следовательно свету нужно пройти более длинный путь чем в K ′ . При этом его скорость его равна c. Точно также удлиняется и обратный путь. По теореме Пифагора ℓ2 + (V ∆t/2)2 = (c∆t/2)2 Отсюда следует: p ∆t = (2ℓ/c)/ 1 − (V /c)2 p Сравнивая ∆t0 = 2ℓ/c и ∆t = (2ℓ/c)/ 1 − (V /c)2 , получаем: где β = V /c. ∆t = p ∆t0 1 − β2 Видно, что ∆t > ∆t0 . Отсюда следует вывод, что время, измеренное движущимися часами течёт медленнее, чем собственное время. Этот эффект симметричен. Если поместить неподвижные часы в систему K, то наблюдатель из K ′ увидит, что эти часы идут медленнее, чем «кажется» наблюдателю из K, считающему эти часы неподвижными. Вспомним, что скорость света примерно равна c = 3 · 108 м/с или 109 км/ч. Это очень большая величина. Когда V ≪ c имеем β ≪ 1 и ∆t ≈ ∆t0 . Эффекты, вытекающие из постулатов Эйнштейна становятся заметными только при движении со скоростями, сравнимыми со скоростью света. Такие эффекты называют ещё релятивистскими. 55 9.3 Лоренцево сокращение длин Пусть стержень неподвижен в системе K ′ . Его длина, измеренная в этой системе равна ℓ0 ; ℓ0 называется собственной длиной. K V K′ ℓ0 M Система отсчёта K ′ движется относительно K со скоростью V . Чтобы измерить длину стержня, находясь в K, установим метку M и поместим туда часы. Измерим интервал времени ∆t0 , необходимый, чтобы стержень прошёл через метку. Отметим: мы использовали неподвижные часы, поэтому получили собственное время, с индексом «0». Длина стержня в K равна: ℓ = V ∆t0 Пересядем в K ′ . В этой системе отсчёта стержень неподвижен и мы заранее знаем, что его длина равна ℓ0 . Выразим её через время и скорость, используя те же самые часы. Для наблюдателя из K ′ часы движутся, и поэтому он с их помощью получит интервал времени ∆t: ∆t = p Значит: где β = V /c. ∆t0 1 − β2 ℓ V ∆t0 =p ℓ0 = V ∆t = p 2 1−β 1 − β2 p ℓ = ℓ0 1 − β 2 Вывод: продольная длина движущегося тела меньше собственной длины. Снова отметим: при V ≪ c получаем ℓ0 ≈ ℓ, т. е. релятивистское сокращение длины проявляется заметным образом только при скоростях, сравнимых со скоростью света. 9.4 Преобразования Лоренца Вспомним, что согласно Ньютоновской механике, координаты и время в разных инерциальных системах отсчёта связаны друг с другом преобразованиями Галилея: ~ t, t′ = t ~r′ = ~r − V Эти преобразования противоречат постулатам Эйнштейна. Требуется найти новые формулы, связывающие координаты и моменты времени одного и того же события в разных инерциальных системах отсчёта. При этом они должны превращаться в преобразования Галилей при V ≪ c. Пусть инерциальная система отсчёта K ′ движется по отношению к K с постоянной скоростью V . K′ K Y′ Y A V X X′ O O′ P Направим оси так, чтобы оси X совпадали и возьмём за начало отсчёта момент времени, когда начала координат совпадают. Пусть в момент времени t (в K системе) в точке A с координатами x и y происходит событие — например, вспыхнула лампочка. Требуется найти координаты x′ , y ′ и время t′ этого события в системе K ′ . 56 Сразу ясно, что y = y ′ , так как поперечные размеры сохраняются. Рассмотрим отрезок O′ P . Он покоится в системе K ′ и его длина ℓ0 = x′ . В K-системе O′ P движется и его длина ℓ = x − V t. p Используем формулу ℓ = ℓ0 1 − β 2 : x − V t = x′ p x−Vt 1 − β 2 ⇒ x′ = p 1 − β2 Рассмотрим отрезок OP . Он неподвижен в K и его длина ℓ0 = x. В системе K ′ он движется и его длина ℓ = x ′ + V t′ . Снова используем формулу сокращения длин: x ′ + V t′ = x p x ′ + V t′ 1 − β2 ⇒ x = p 1 − β2 Формулы для преобразования времени получаются из двух полученных формул, если считать их системой уравнений и сначала решить эту систему относительно t, а потом относительно t′ . Полученные формулы называются преобразованиями Лоренца. Чтобы перейти из K системы в систему K ′ , нужно пересчитать координаты и время по формулам: x−Vt t − xβ/c x′ = p , y ′ = y, t′ = p 1 − β2 1 − β2 Для обратного перехода из K ′ в K нужно использовать формулы t′ + x′ β/c x ′ + V t′ , y = y′ , t = p , x= p 1 − β2 1 − β2 где β = V /c и V — скорость системы отсчёта K ′ относительно K. Из формул сразу видно, что при β → 0 (т. е. V ≪ c), формулы переходят в формулы преобразования Галилея. Также заметим, что β = V /c < 1. При V = c координаты в K ′ обращаются в бесконечность, а при V > c становятся комплексными. Отсюда следует, что инерциальные системы отсчёта могут двигаться друг относительно друга только со скоростями, меньше скорости света. 9.5 Относительность одновременности В механике Ньютона два события, одновременные в одной инерциальной системе отсчёта остаются одновременными во всех других инерциальных системах отсчёт. Из постулатов Эйнштейна следует, что это не так. Пусть поезд движется со скоростью V мимо станции. Свяжем со станцией систему отсчёта K, с поездом K ′. K K′ V В центре поезда вспыхивает лампочка. Свет распространяется вдоль поезда со скоростью c в оба направления, так что пассажиры, находящиеся в голове и в хвосте, увидят вспышку в один и тот же момент времени. Для людей на станции свет распространяется с той же скорость c, но хвост поезда приближается к точке вспышке, а голова удаляется. Это значит, что пусть, проходимый светом до хвоста меньше, чем до головы. 57 Следовательно, люди на станции увидят, что свет достигает концов поезда не одновременно. Таким образом, два события, происходящие в разных точках пространства, одновременные в одной системе отсчёта не одновременные в другой. Более строго это можно проанализировать, используя преобразования Лоренца. Пусть в системе отсчёта K происходят два события, A1 (x1 , y1 , t1 ) и A2 (x2 , y2 , t2 ). Будем считать, что они никак не связаны между собой. Исходя из формул преобразования Лоренца, получаем: t′2 − t′1 = (t2 − t1 ) − (x2 − x1 )β/c p 1 − β2 Если события A1 и A2 происходят одновременно в K, тогда t2 − t1 = 0. Тогда t′2 − t′1 = −(x2 − x1 )β/c p 1 − β2 • Если x1 = x2 , то t′2 = t′1 , т. е. одновременность сохраняется, если события происходят в одной и той же точке пространства. • Если x2 > x1 , то t′1 > t′2 — второе произошло раньше первого. • Если x1 > x2 , то t′2 > t′1 — первое произошло раньше второго. Мы видим, что при переходе в другую систему отсчёта может измениться даже порядок следования событий. 9.6 Предельная скорость передачи информации Несмотря на относительность одновременности, порядок событий, связанных причинно-следственными связями, сохраняется. Пусть событие A1 (x1 , t1 ) — это выстрел, A2 (x2 , t2 ) — попадание в мишень. В системе отсчёта K t2 > t1 . Для определённости положим, что x2 > x1 . Пусть v — скорость пули. Тогда x2 − x1 = v(t2 − t1 ) Используя эту соотношение вычислим t′2 − t′1 . (t2 − t1 ) − (x2 − x1 )β/c p = 1 − β2 (t2 − t1 ) − v(t2 − t1 )β/c (t2 − t1 )(1 − vβ/c) p p = = 1 − β2 1 − β2 t′2 − t′1 = p t′2 − t′1 = (t2 − t1 )(1 − vβ/c)/ 1 − β 2 Чтобы выполнялось t′2 − t′1 > 0 (следствие не наступает раньше причины), необходимо выполнение неравенства 1 − vβ/c > 0 (β = V /c): vV /c2 < 1 Напомним, что V — скорость относительного движения систем отсчёта, а v — скорость передачи информации от причины к следствию. При обсуждении преобразований Лоренца мы выяснили, что V < c. Это значит, что v 6 c. Отсюда следует, что скорость света есть предельно допустимая скорость передачи информации. Для соблюдения причинно-следственных связей необходимо, чтобы никакое тело или энергия не могли двигаться со скоростью выше скорости света. 58 10 10.1 Элементы специальной теории относительности. Гармонические колебания Инвариантность интервала В механике Ньютона размеры тел и промежутки времени имеют абсолютное значение — они инвариантны относительно преобразований Галилея. В теории относительности выяснилось, что это так: как размеры тел, так и промежутки времени зависят от выбора инерциальной системы отсчёта. Это связано с тем, что в теории относительности координаты и время объединены в единое четырёхмерное пространство-время. В механике Ньютона изучают координаты тел и моменты времени, в теории относительности говорят о событиях. Каждое событие представлено точкой в 4-х мерном пространстве-времени (x, y, z, t). Также как в пространстве классической механики остаётся неизменным расстояние между точками, в 4х мерном пространстве неизменным является интервал между событиям s2 = c2 (t2 − t1 )2 − (x1 − x2 )2 − (y1 − y2 )2 − (z1 − z2 )2 Выразим s′ через s. Если движение происходит вдоль оси x, то y ′ = y и z ′ = z. Рассмотрим слагаемые c2 (t2 − t1 )2 − (x1 − x2 )2 c2 (t′2 − t′1 )2 − (x′1 − x′2 )2 = [(t2 − t1 ) − (x2 − x1 )β/c]2 [(x2 − x1 ) − V (t2 − t1 )]2 − = 1 − β2 1 − β2 [(t2 − t1 )2 − 2(t2 − t1 )(x2 − x1 )β/c + (x2 − x1 )2 (β/c)2 ] − = c2 1 − β2 [(x2 − x1 )2 − 2(x2 − x1 )V (t2 − t1 ) + V 2 (t2 − t1 )2 ] − = 1 − β2 c2 ✭ ✭ ✭✭ 2 2 ✭✭ [c2 (t2 − t1 )2 − 2(t✭ −✭ t1 )(x 2✭ 2 − x1 )V + (x2 − x1 ) β ] ✭ − = 1 − β2 ✭ ✭ ✭ 2 2 [(x2 − x1 )2 − 2(x −✭ x✭ )V✭ (t✭ 2 − t1 ) + V (t2 − t1 ) ] ✭✭2 ✭ 1 = − 2 1−β [c2 (t2 − t1 )2 + (x2 − x1 )2 β 2 ] − [(x2 − x1 )2 + V 2 (t2 − t1 )2 ] = = 1 − β2 c2 (t2 − t1 )2 + (x2 − x1 )2 β 2 − (x2 − x1 )2 − V 2 (t2 − t1 )2 ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿ = = 1 − β2 (t2 − t1 )2 (c2 − V 2 ) − (x2 − x1 )2 (1 − β 2 ) = = 1 − β2 c2 (t2 − t1 )2 (1 − β 2 ) − (x2 − x1 )2 (1 − β 2 ) = = 1 − β2 = c2 (t2 − t1 )2 − (x2 − x1 )2 Мы получили, что c2 (t′2 − t′1 )2 − (x′1 − x′2 )2 = c2 (t2 − t1 )2 − (x2 − x1 )2 Отсюда следует, что пространственно-временной интервал между двумя событиями является инвариантом преобразований Лоренца, т. е. является неизменной величиной во всех инерциальных системах отсчёта, s = s′ 59 10.2 Преобразование скорости Пусть в системе отсчёта K в плоскости XY движется частица с скоростью ~v , проекции которой на оси координат равны vx и vy . Найдём с помощью преобразований Лоренца проекции скорости этой частицы vx′ и vy′ в системе K ′ , которая движется относительно K со скоростью V . Считаем, что оси двух систем отсчёта ориентированы также как и при выводе преобразований Лоренца. Идея вывода формул в том, чтобы представить компоненты скорости как vx′ = dx′ /dt dy ′ dy ′ /dt dx′ ′ = , v = = y dt′ dt′ /dt dt′ dt′ /dt Теперь продифференцируем формулы для x′ , y ′ и t′ по t и подставим в предыдущие выражения. В итоге получим формулы vx′ p vy 1 − β 2 vx − V ′ , vy = = 1 − vx β/c 1 − vx β/c где β = V /c. Отсюда модуль скорости равен ′ v = q (vx′ )2 + (vy′ )2 = q (vx − V )2 + vy2 (1 − β 2 ) 1 − vx β/c Полученные формулы называются релятивистским законом преобразования скоростей. При V, vx ≪ c эти формулы превращаются в формулы преобразования скоростей Ньютоновской механики. 10.3 10.3.1 Масса, энергия и импульс в теории относительности Энергия и импульс свободной частицы Сопоставление новых принципов теории относительности и определений импульса и энергии выявило противоречия. Оказалось, что импульс нельзя определять как p~ = m~v . Определённый таким образом суммарный импульс системы частиц не сохраняется при переходе от одной системы отсчёта к другой. Основными соотношениями для свободно движущейся частицы являются формулы: E 2 = m2 c4 + (~ p)2 c2 , p~ = ~v E c2 Здесь E — энергия, p~ — импульс, m — масса, ~v — скорость частицы. Следует особо подчеркнуть, что здесь m и ~v — это те же самые масса и скорость, с которыми мы имеем дело в ньютоновской механике. 10.3.2 Свойства массы, энергии и импульса Также как и ньютоновской механике, энергия и импульс системы частиц равны сумме энергий и импульсов отдельных частиц: N N X X p~i Ei , p~ = E= i=1 i=1 Масса системы частиц не является аддитивной величиной. Если частицы взаимодействуют друг с другом, то результирующая масса системы меньше массы составляющих её частиц. Это называется дефектом массы. Можно сказать, что недостающая масса приходится на энергию взаимодействия. Масса системы частиц в теории относительности является инвариантной величиной. Она не зависит скорости системы отсчёта, в которой измеряется. Масса, энергия и импульс изолированной системы частицы сохраняются. 60 10.3.3 Энергия покоя Важное отличие теории относительности от ньютоновской механики — энергия тела, обладающего массой не обращается в нуль даже когда тело покоится, т. е. при ~v = 0. Из формулы p~ = ~v E/c2 следует что p~ = 0, а из формулы E 2 − (~ p)2 c2 = m2 c4 получаем: E0 = mc2 Из этого следует, что массе тела соответствует некоторая (вообще говоря очень большая) энергия покоя. Обратное утверждение — всякой энергии можно сопоставить массу — неверно. 10.3.4 Импульс и масса частицы, имеющей скорость света Пусть частица движется со скоростью света (например — фотон). Используя формулу для импульса p~ = ~v E/c2 получаем: p = E/c Тогда из формулы E 2 − (~ p)2 c2 = m2 c4 получаем, что масса равна нулю: E 2 − p 2 c 2 = m2 c 4 ⇒ E 2 − E 2 = m 2 c 4 ⇒ m = 0 Частица, движущаяся со скоростью света не имеет массы. 10.3.5 Энергия и импульс массивных частиц Если масса не равна нулю. Тогда: p~ = ~v E/c2 ⇒ p2 = v 2 E 2 /c4 ⇒ p2 c2 = v 2 E 2 /c2 E 2 − p2 c2 = m2 c4 ⇒ E 2 − v 2 E 2 /c2 = m2 c4 E 2 (1 − v 2 /c2 ) = m2 c4 p~ = E=p mc2 1 − β2 ~v mc2 ~v E = 2p 2 c c 1 − β2 p~ = p m~v 1 − β2 где β = v/c — отношение скорости частицы к скорости света. Формулы в рамках — полная энергия частицы и релятивистской импульс. 10.3.6 Кинетическая энергия Полная энергия складывается из энергии покоя E0 = mc2 и кинетической энергии. Тогда выражения для кинетической энергии имеет вид: K = E − E0 = p K = mc 10.4 mc2 1 − β2 1 2 p 1 − β2 − mc2 ! −1 Связь между силой и ускорением Второй закон Ньютона остаётся справедливым и в теории относительности, будучи записанным в виде: d~ p F~ = dt Подставляя выражение для релятивистского импульса, после дифференцирования получаем ~ β~ ~ a) m~a mβ( F~ = p +p 3 1 − β2 1 − β2 61 где β~ = ~v /c Из этой формулы следуют два важных вывода: 1. Сила и ускорение не направлены вдоль одной линии, как это было в механике Ньютона. 2. В механике Ньютона отношение силы к ускорению служило определением меры инерции и было равно массе. Как оказалось, на самом деле невозможно однозначно определить это понятие, так как эта величина зависит ещё и от направления скорости частицы. Анализ силы гравитации с точки зрения теории относительности показывает, что также не определено понятие «гравитационная масса». В механике Ньютона она определятся как отношение силы гравитации к ускорению ею сообщаемое. Однако на самом деле это отношение также зависит от направления скорости частицы. 10.5 Колебания. Основные понятия Колебательным движением или просто колебаниями называется движение или изменение состояния физической системы, характеризуемое той или иной степенью повторяемости во времени значений физических величин, определяющих это движение или состояние. Колебания называются периодическими, если они точно повторяются через один и тот же промежуток времени. Этот промежуток называется периодом колебаний и обычно обозначается как T . При колебательном движении существует некоторое положение или состояние равновесия, в окрестности которого совершает движение система. Колебания бывают свободными и вынужденными. Свободные колебания происходят в результате внутренних процессов в системе. Вынужденные колебания происходят под действием внешних сил. 10.6 10.6.1 Гармонический осциллятор Определение Гармоническим осциллятором называется система, в которой колебания происходят в результате действия консервативной возвращающей силы, величина которой пропорциональна отклонению системы от состояния равновесия, а направление всегда ориентировано в сторону положения равновесия. Кроме консервативной возвращающей силы в гармоническом осцилляторе могут также действовать неконсервативные силы сопротивления, которые вызывают диссипацию энергии и затухание колебаний. Если в гармоническом осцилляторе отсутствуют силы сопротивления, то такой осциллятор называется консервативным гармоническим осциллятором. 10.6.2 Уравнение консервативного гармонического осциллятора Свободные колебания консервативного гармонического осциллятора описываются линейным дифференциальным уравнением второго порядка ẍ + ω02 x = 0 Решение этого уравнение может быть записано в виде x(t) x = a cos(ω0 t + α) a t T Здесь: • a — амплитуда колебаний, т. е. максимальное отклонение от состояния равновесия; • (ω0 t + α) — фаза или фазовый угол колебаний; • ω0 = 2π/T — циклическая или круговая частота колебаний; • T — период колебания. • ν = 1/T — частота колебаний, т. е. количество колебаний, совершаемых в единицу времени; • α — начальная фаза колебаний, т. е. фазовый угол в начальный момент времени t = 0. Частота и период колебаний свободных колебаний консервативного гармонического осциллятора зависят только от свойств самого осциллятора, а амплитуда и начальная фаза определяются из начальных условий. 62 10.7 10.7.1 Примеры физических систем, порождающих гармонические колебания Пружинный маятник На невесомой пружине жёсткостью κ подвешен груз массой m. F~ x m~g Когда сила тяжести уравновешена силой упругости, груз находится в равновесии в точке x = 0 и при этом выполняется равенство mg = Fупр где Fупр = κ∆ℓ и ∆ℓ — растяжение пружины в состоянии равновесия. Если дополнительно растянуть или сжать пружину, то груз начнёт движение, которое будет описываться уравнением mẍ = mg − κ(x + ∆ℓ) Учитывая, что mg = κ∆ℓ, получим: mẍ = mg − κ(x + ∆ℓ) ✘ − κx − ✘ ✘ ✘ ✘ mẍ = ✘ κ∆ℓ κ∆ℓ mẍ + κx = 0 κ ẍ + x = 0 m Отсюда следует, что ω02 10.7.2 2π κ = 2π = , T = m ω0 r m κ Физический маятник Физический маятник представляет собой твёрдое тело, совершающее колебания вокруг неподвижной оси, жёстко связанной с телом. Для того, чтобы тело совершало колебания, оно должно быть подвешено за любую точку, не совпадающую с точкой центра масс. Колебания возникают под действием силы тяжести. ℓцм α цм m~g Выберем положительное направление отсчёта угла α против часовой стрелки. Направление оси z будет совпадать с α ~ , т. е. смотреть на нас. Тогда проекция момента силы тяжести на ось z будет равна Mz = −mgℓцм sin α Согласно уравнению динамики вращательного движения: Jz α̈ = Mz ⇒ Jz α̈ = −mgℓцм sin α 63 Если отклонение от равновесия невелико, тогда sin α ≈ α. Следовательно: Jz α̈ = −mgℓцм α ⇒ α̈ + mgℓцм α=0 Jz Мы получили уравнение гармонических колебаний с частотой ω0 и периодом T : s r mgℓцм Jz ω0 = , T = 2π Jz mgℓцм Если вся масса маятника будет сосредоточена в точке центра масс, мы получим математический маятник. Математический маятник представляет собой материальную точку массы m, подвешенную на нерастяжимой нити длиной ℓмат . Его период равен s s Jz mℓ✄2 T = 2π = 2π ✚ мат ✟ mg✟ ℓмат mgℓмат ✚ s ℓмат T = 2π g Найдём длину математического маятника ℓприв , при котором его период колебаний совпадает с периодом колебаний физического маятника: Tфиз = Tмат ⇒ ℓприв = Jz mℓцм Эта величина называется приведённой длиной физического маятника. 11 11.1 11.1.1 Гармонические колебания Энергия гармонических колебаний Мгновенная кинетическая и потенциальная энергия Рассмотрим колебания материальной точки под действием упругой возвращающей силы F = −κx Напомним, что закон колебаний имеет вид: x(t) = a cos(ω0 t + α) Потенциальная и кинетическая энергия материальной точки равны: κx2 κa2 = cos2 (ω0 t + α) 2 2 ma2 ω02 m(ẋ)2 K= = sin2 (ω0 t + α) = 2 2 ma2 ω02 cos2 (ω0 t + α + π/2) 2 U= 11.1.2 Полная энергия Мы получили, что U и K сдвинуты по фазе на π/2. Когда U максимально, K = 0, и наоборот, когда K максимально U = 0. Полная энергия: E =U +K = κa2 ma2 ω02 cos2 (ω0 t + α) + sin2 (ω0 t + α) 2 2 Учтём, что ω02 = ma 2 κ a2 κ κ ma2 ω02 , =✚ = m 2 2✚ 2 m 64 Тогда κa2 ma2 ω02 cos2 (ω0 t + α) + sin2 (ω0 t + α) = 2 2 κa2 κa2 cos2 (ω0 t + α) + sin2 (ω0 t + α) = 2 2 κa2 κa2 [cos2 (ω0 t + α) + sin2 (ω0 t + α)] = 2 2 E= 11.1.3 Энергия, средняя за период Мы получили, что E = Uмакс = Kмакс U K hEi t Среднее значение энергии за период: κa2 1 hU i = 2 T 11.2 ZT cos2 (ω0 t + α)dt = E E , hKi = 2 2 Векторная диаграмма Колебания вида x = a cos(ωt + α) можно представить как проекцию на ось x вектора a, вращающегося с угловой скоростью ω. ~a ωt + α x Начальная фаза α — это угол вектора с осью x при t = 0. Представление колебаний в виде векторов называется векторной диаграммой. 11.3 11.3.1 Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты Векторная диаграмма для суммы колебаний Вычислим сумму двух колебаний вида: x = x1 + x2 = a1 cos(ωt + α1 ) + a2 cos(ωt + α2 ) На векторной диаграмме эта сумма может быть представлена как ~a = ~a1 + ~a2 Так как частоты колебаний одинаковые, то вектора вращаются с одинаковой угловой скоростью и их взаимная ориентация остаётся постоянной. Следовательно и результирующий вектор ~a также вращается с угловой скоростью ω. Значит, сумма колебаний описывается формулой x = a cos(ωt + α) Нужно определить a и α. 65 11.3.2 Формула для амплитуды Для вычисления a используем теорему косинусов: ~a ~a2 δ = α2 − α1 α2 α1 ~a1 a2 = a21 + a22 − 2a1 a2 cos(π − δ) = = a21 + a22 + 2a1 a2 cos(δ) a2 = a21 + a22 + 2a1 a2 cos(α2 − α2 ) 11.3.3 Формула для фазы ~a ~a2 ~a1 α α2 α1 x1 x2 Угол α — угол наклона вектора ~a к горизонтальной оси. Из рисунка видно, что tg α = 11.3.4 a1 sin α1 + a2 sin α2 a1 cos α1 + a2 cos α2 Минимальная и максимальная амплитуда колебаний Из формулы для амплитуды a2 = a21 + a22 + 2a1 a2 cos(α2 − α2 ) следует, что когда α1 = α2 колебания происходят синфазно (в фазе). Амплитуда результирующего колебания в этом случае максимальна, a = aмакс = a1 + a2 Если α2 = α1 + π, то колебания происходят в противофазе. Амплитуда результирующих колебаний в этом случае минимальна a = aмин = |a1 − a2 | 11.4 11.4.1 Биения Определение Снова рассмотрим случай, когда колебания происходят в одном направлении. Но пусть теперь что частоты немного отличаются друг от друга: ω1 6= ω2 , |ω1 − ω2 | ≪ ω1 , ω2 66 В этом случае можно считать, что остаются справедливыми формулы сложения колебаний a2 = a21 + a22 + 2a1 a2 cos(α2 − α2 ) a1 sin α1 + a2 sin α2 tg α = a1 cos α1 + a2 cos α2 Однако так как теперь вектора ~a1 и ~a2 вращаются с немного разными угловыми скоростями, то результирующий вектор ~a ведёт себя по-другому: • вращается с угловой скоростью, близкой к ω1 и ω2 ; • при этом его длина медленно (по сравнению с вращением) колеблется от aмин до aмакс и обратно. В строгом смысле такие колебания уже не являются гармоническими. Но если отличие частот невелико, то можно сказать, что происходят гармонические колебания с медленно меняющейся амплитудой. Такие колебания называются биениями. 11.4.2 Вывод формулы для биений Для простоты рассмотрим случай, когда a1 = a2 = a и α1 = α2 = 0. x = a cos(ω1 t) + a cos(ω2 t) Используем формулу cos α + cos β = 2 cos  α+β 2  cos  α−β 2  Тогда получим: x = a[cos(ω1 t) + cos(ω2 t)] =     (ω2 + ω1 )t (ω2 − ω1 )t cos = 2a cos 2 2 Обозначим A(t) = 2a cos  (ω2 − ω1 )t 2  , ω= ω2 + ω1 2 В таких обозначениях суммарное колебание имеет вид: x = A(t) cos(ωt) Отметим, что так как разность ω2 − ω1 мала, то A(t) меняется значительно медленнее, чем cos ωt. 11.4.3 Tб Период биений x t Периодом биений Tб называется интервал времени между моментами, когда амплитуда колебаний достигает максимального значения. Из рисунка видно, что период биений в два раз меньше периода изменения медленной амплитуды A(t): Tб = 2π/|ω2 − ω1 | 67 11.5 11.5.1 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний Формула в общем случае Пусть два колебания происходят во взаимно перпендикулярных направлениях, вдоль осей x и y. Рассмотрим случай, когда ω1 = ω2 = ω. x = a cos(ωt) y = b cos(ωt + α) Преобразуем второе уравнение, используя формулу cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β Имеем: y = b cos(ωt + α) ⇒ y/b = cos(ωt) cos α − sin(ωt) sin α Из первого уравнения: x2 /a2 = cos2 (ωt) = 1 − sin2 (ωt) p sin(ωt) = 1 − x2 /a2 Следовательно: y/b = cos(ωt) cos α − sin(ωt) sin α p y/b = (x/a) cos α − 1 − x2 /a2 sin α p y/b − (x/a) cos α = − 1 − x2 /a2 sin α (y/b − (x/a) cos α)2 = (1 − x2 /a2 ) sin2 α y2 xy x2 x2 2 − 2 cos α + cos α + sin2 α = sin2 α b2 ab a2 a2 x2 xy y2 − 2 cos α + = sin2 α a2 ab b2 11.5.2 Уравнение эллипса x2 xy y2 − 2 cos α + = sin2 α a2 ab b2 Мы получили уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно осей x и y произвольным образом. y x 11.5.3 Частные случаи. Синфазные колебания Пусть α = 0: xy y2 x2 − 2 cos α + = sin2 α a2 ab b2 xy y 2 x2 − 2 + 2 =0 a2 ab b  x y 2 =0 − a b b y= x a 68 Колебания происходят вдоль прямой. Учтём, что x = a cos(ωt), y = b cos(ωt). Найдём расстояние до начала координат: p p r = x2 + y 2 = a2 + b2 cos(ωt) Мы получили гармонические колебания. 11.5.4 Колебания в противофазе Пусть α = ±π. xy y2 x2 − 2 cos α + = sin2 α a2 ab b2 xy y 2 x2 +2 + 2 =0 2 a ab b  x y 2 + =0 a b b y=− x a Снова получаем колебания вдоль прямой. 11.5.5 Сдвиг на π/2 Пусть α = ±π/2. x2 xy y2 − 2 = sin2 α cos α + a2 ab b2 x2 y2 + 2 =1 2 a b В этом случае мы получили уравнение эллипса, оси которого ориентированы вдоль координатных осей. При α = +π/2 вращение происходит по часовой стрелке, при α = −π/2 — против часовой. Когда a = b эллипс превращается в окружность. 11.6 Фигуры Лиссажу Пусть складываются колебания во взаимно перпендикулярных плоскостях и при этом их частоты не равны друг другу, а относятся друг к другу как целые числа: n ω1 = ω2 m где n и m — целые. При этом отношение периодов равно обратной величине T1 m = T2 n В этом случае на плоскости xy возникает фигура, называемая фигурой Лиссажу. Эта фигура вписана в прямоугольник со сторонами 2a, 2b. Чтобы по виду фигуры понять, как соотносятся периоды колебаний, нужно двигаясь вдоль линии фигуры пройти полный цикл по одной из координат и подсчитать, сколько циклов сделано при этом по другой координате. x = a cos(ωt) y = b cos(2ωt + π/2) y x 69 x = a cos(2ωt) y = b cos(ωt) y x x = a cos(ωt) y = b cos(3ωt − π/2) y x 12 12.1 12.1.1 Основы молекулярной физики и термодинамики Основные принципы молекулярной физики и термодинамики Связь свойств вещества с его молекулярным строением Все физические тела состоят из молекул. Следовательно, естественно полагать, что все их свойства обусловлены 1. свойствами молекул; 2. характером взаимодействия между ними. 12.1.2 Необходимость специальных методов анализа Невозможно напрямую применить законы механики, чтобы, изучив движение молекул, вывести из этого свойства физических тел. • Количество молекул в макроскопическом объёме вещества настолько велико, что совместное решение уравнений их движения технически невозможно. • Даже если бы была возможность непосредственного решения уравнений движения всех молекул, мы столкнулись бы эффектами динамического хаоса. Любое, сколь угодно малое отклонение в начальных условия приводит к совершенно новой траектории. Значит точное предсказание положения каждой молекулы невозможно в принципе. Для того, чтобы обойти эти трудности, были развиты специальные разделы физики. 12.1.3 Принципы молекулярной физики Молекулярная физика изучает физические свойства тел на основе рассмотрения их молекулярного строения. Отказываясь от анализа движения каждой молекулы в отдельности, молекулярная физика изучает их с использованием методов теории вероятности и статистики. 1. На основе знания о молекулярном, микроскопическом устройстве вещества, находят вид функции распределения. Эта функция позволяет вычислить вероятность обнаружить молекулу вещества в том ином состоянии (например — с заданной скоростью). 2. С использованием функции распределения, вычисляются средние значения физических величин, которые характеризуют макроскопические свойства системы, т. е. доступные измерению. 70 12.1.4 Принципы термодинамики Термодинамика это общая теория теплоты. Термодинамика не интересуется молекулярным устройством вещества и природой теплоты и строится на основе постулатов. Эти постулаты или начала суть обобщения экспериментальных фактов. Они описывают взаимосвязь основных макроскопических величин, характеризующих систему как целое. На основе этих начал и принципов формальной логики выводятся новые соотношения, позволяющие предсказывать свойства веществ, связанные с передачей теплоты. Физические вещества и тела, которые изучает термодинамика называют термодинамическими системами. 12.2 12.2.1 Идеальный газ и закон Авогадро Идеальный газ Идеальный газ это одна из основных моделей в молекулярной физики и термодинамики является. Представляет собой газ, молекулы которого имеют пренебрежимо малый объем и не взаимодействующие друг с другом на расстоянии. В реальных газах существуют силы межмолекулярного притяжения и отталкивания. Также молекулы реального газа имеют конечный размер. Чтобы реальный газ был близок по своим свойствам к идеальному, он должен быть разрежен и иметь не очень низкую температуру. Практически все газы в широком диапазоне температур и давлений можно считать с хорошим приближением идеальными. 12.2.2 Понятие моля Моль это количество вещества, в котором содержится число частиц NА , равное числу атомов в 12 граммах изотопа углерода 12 C. Опытным путем итальянский физик Авогадро установил, что NА = 6.022 · 1023 моль−1 Молярная масса — масса вещества, взятая в количестве одного моля. Обозначается как µ. Молярный объём — объём одного моля вещества. Обозначается как Vµ . 12.2.3 Молярная масса Для определения молярной массы одноатомных веществ используют таблицу Менделеева. 4 Be 9,01218 5 B 10,811 Бериллий 12 Mg 24,305 Бор Al молярная масса в г/моль 13 26,9815 Алюминий Магний Молярная масса химического соединения — сумма молярных масс отдельных элементов, входящих в химическую формулу. Например, молярная масса одноатомного кислорода O равна µO = 16г/моль, молярная масса водорода H равна µH = 1г/моль. Тогда молярная масса воды H2 O равна µH2 O = 2µH + µO = 2 · 1 + 16 = 18г/моль 71 12.2.4 Закон Авогадро Авогадро установил, что при одинаковом давлении и одинаковой температуре молярные объемы различных газов также одинаковы. В частности, объём 1 моля любого газа при нормальных условиях (p = 101235Па, T = 273К)) равен Vµ = 22.4 · 10−3 м3 . Строго говоря, закон Авогадро справедлив для идеальных газов. Однако так как практически все реальные газы в широком диапазоне температур и давлений ведут себя как идеальные, то это закон имеет большое практическое значение. 12.3 12.3.1 Термодинамические параметры состояния макросистемы. Равновесное состояние Понятие параметров состояния системы Параметрами состояния системы называются физические величины, служащие для характеристики состояния термодинамической системы. Основными параметрами являются — давление, объем, температура. Также в качестве параметров могут быть рассмотрены концентрация, плотность и т. д. 12.3.2 Состояние равновесия Термодинамическая система находится в состоянии равновесия, если при постоянных внешних условиях параметры системы остаются неизменными во времени и в системе отсутствуют потоки энергии и вещества. Равновесие — это такое состояние, в которое с течением времени приходит термодинамическая система (при условии неизменности внешних условий) и может оставаться в нём сколь угодно долго. Все параметры состояния системы (температура, давление и т. д.) во всех частях термодинамической системы, находящиеся в равновесном состоянии, одинаковы. 12.3.3 Давление Давление это сила, действующая на единицу площади по направлению нормали к поверхности сосуда p= dFn dS где dFn — модуль нормальной силы, действующей на малый участок поверхности тела площадью dS. В СИ давление измеряется в паскалях Н м2 Природа давления заключается в том, что беспорядочно движущиеся молекулы при ударе в стенку, предают ей импульс. 1Па = 12.3.4 Температура Температура (от лат. temperatura — надлежащее смешение, нормальное состояние) — это характеристика способности тела передавать тепло другим телам. Понятие температуры состоит имеет только смысл для системы частиц и она не имеет смысл для одной частицы. Понятие температуры является одним из важнейших в молекулярной физике. Оно тесно связано с понятием равновесного состояния. Понятие температуры имеет смысл только для равновесных состояний системы. Если две термодинамические системы привести в соприкосновение, то начинается передача теплоты от системы с более высокой температурой к системе с более низкой температурой. Этот процесс прекращается, когда температуры тел выравниваются. Передача тепла происходит за счёт столкновений молекул и обмена между ними энергией. 72 Молекулярно-кинетическая теория показывает, что средняя энергия теплового движения частиц прямо пропорциональна термодинамической температуре системы. Важно понимать, что температура связана именно с тепловым, т. е. беспорядочным движением молекул. Если вещество вовлечено также в макроскопическое движение (газ движется по трубе), то такое движение не даёт вклад в температуру. 12.4 12.4.1 Процессы и абсолютная шкала температур Равновесные процессы Всякое изменение состояния системы, характеризующееся применением ее параметров состояния называется процессом. Равновесным называется такой процесс, при котором система проходит непрерывный ряд бесконечно близких термодинамически равновесных состояний. Равновесный процесс протекает квазистатически — бесконечно медленно через последовательность равновесных состояний. Реальные процессы всегда происходят с конечной скоростью и поэтому не могут быть равновесными. Однако чем медленнее они совершаются, то тем ближе они к равновесным. 12.4.2 Уравнение состояния Уравнение, связывающее параметры системы, называется уравнением состояния: f (p, V, T ) = 0 Также его называют термодинамическим уравнением. В термодинамике вид функции f устанавливается из опыта. Теоретический вид f определяется в статистической физике. Примерами простейших термодинамических процессов могут служить изопроцессы — процессы, протекающие при одном постоянном параметре. • Изотермический процесс — изменение состояния газа при постоянной температуре. • Изобарический процесс — постоянное давление. • Изохорический процесс — постоянный объём. 12.4.3 Изотермический процесс Изотермический процесс описывается законом Бойля—Мариотта pV = const При изотермическом процессе произведение объема на давление есть для данной массы газа постоянная. p V 12.4.4 Изобарический процесс Изобарический процесс описывается законом Гей—Люссака. Vt = V0 (1 + βt) где V0 — объем некоторой массы газа при температуре 0◦ C, Vt — объем этой же массы газа при нагревании до температуры t, β — коэффициент объёмного расширения. Опыты показали, что для всех газов β= 1 град−1 273.15 73 12.4.5 Изохорический процесс Изохорический процесс описывается законом Шарля pt = p0 (1 + αt) где α — коэффициент давления газа. Опыты показали, что для всех газов α=β 12.4.6 Абсолютная температура Рассмотрим графики для изобарического и изохорического процессов. p V p0 V0 t t −273.15 −273.15 Обе прямые – изобара и изохора пересекают ось в точке −273.15◦ С — эта точка называется абсолютным нулем. Из этих графиков следует, что существует температуры которой объём и давление газа обращаются в ноль. Это следствие того, что зависимости описывают идеальный газ — размерами молекул и их взаимодействием пренебрегают. На самом деле реальный газ при уменьшении температуры превращается в жидкость и в твёрдое тело. Тем не менее эти законы правильно предсказывают существование абсолютного нуля температуры. Согласно классической физике при этой температуре прекращается тепловое движение молекул. (Из законов квантовой механики следует, что полное прекращение теплового движения никогда не происходит, однако существование абсолютного нуля не отрицается.) Сместив начало отсчета в абсолютного нуля, мы перейдем от шкалы по Цельсию к другой температурной шкале, которая называется термодинамической или абсолютной шкалой Кельвина. T = t + 273.15 Тогда в условиях термодинамической шкалы изобарический и изохорный процессы будут иметь вид изобарический процесс: V /T = const изохорический процесс: p/T = const 12.5 Уравнение Менделеева—Клапейрона Обобщением уравнений для изопроцессов является уравнение состояния идеального газа. Его называют уравнением Менделеева—Клапейрона Возьмем газ массой m и переведем его из состояния (p1 , V1 , T1 ) в состояние (p2 , V2 , T2 ), используя изотермический и изохорический процессы. p (p1 , V1 , T1 ) 1 (p′ , V2 , T1 ) 2 74 (p2 , V2 , T2 ) V Для изотермического участка кривой — закон Бойля—Мариотта p1 V 1 = p′ V 2 Для изохорического участка кривой — закон Шарля p′ /T1 = p2 /T2 Выразим p′ из первого уравнения и подставим во второе p′ = p1 V 1 ⇒ V2 p1 V 1 = T1 p1 V 1 p2 = V2 T1 T2 p2 V 2 T2 Произведение давления газа на объем, деленное на термодинамическую температуру, есть для данной массы газа величина постоянная. Уравнение состояния идеального газа: pV =B T Величина B зависит только от массы и рода газа. Вспомним закон Авогадро: при одинаковом давлении и одинаковой температуре молярные объемы различных газов также одинаковы. Следовательно, из полученной формулы pV /T = B следует, что для любого газа выполняется следующее уравнение: pVµ =R T где Vµ — объём одного моля, R — константа, которую Менделеев назвал универсальной газовой постоянной. Дж R = 8.31 моль · К Рассмотрим теперь газ объёмом V . Количество моль, содержащееся в газе равно m/µ, где µ — молярная масса. Следовательно V = m Vµ µ Отсюда следует уравнение Менделеева—Клайперона pV = 13 m RT µ Основы молекулярной физики и термодинамики. Функции распределения 13.1 Давление идеального газа 13.1.1 Упрощающие предположения Рассмотрим идеальный газ: молекулы не взаимодействуют друг с другом на расстоянии, при столкновениях молекул друг с другом и со стенками сосуда происходит абсолютно упругий удар. Так как движение молекул газа полностью беспорядочно, то будем считать, что в каждом из направлений x, y и z двигаются по n/3 молекул, а в каждую сторону летят по n/6 молекул. 75 13.1.2 Удары молекул о стенки сосуда Чтобы вычислить давление газа на стенки сосуда, подсчитаем число ударов молекул о стенки сосуда. vi ∆t ∆S Разделим молекулы, находящиеся в единице объема, на N групп по ∆ni молекул в каждой группе. N X ni = n i=1 где n — полное число молекул в единице объёма. Будем считать скорости молекул в каждой из групп одинаковыми и равными vi . Число ударов о площадку ∆S, совершаемых молекулами i-ой группы за время ∆t, равно числу молекул в цилиндре длиной vi ∆t и сечением ∆S. ∆νi = 13.1.3 ∆ni ∆ni Vцил = vi ∆t∆S 6 6 Изменение импульса молекулы после удара Число ударов за единицу времени о единичную поверхность равно количеству νi молекул, имеющих скорость vi : ∆ni ∆νi = vi νi = ∆t∆S 6 Давление на стенки сосуда возникает из-за того, что молекулы, ударяясь о стенки, сообщают им свой импульс. Так как мы считаем, что молекулы могут двигаться только в одном из 6 направлений (по две на каждую координатную ось), то происходят только нормальные соударения со стенками. Приращение импульса молекулы после соударения (вектора опускаем, т. к. импульс всегда направлен по нормали, используем p, чтобы не путать с давлением): ∆p = p2 − (−p1 ) = m0 v + m0 v = 2m0 v 13.1.4 Импульс, передаваемый стенке сосуда Согласно закону сохранения импульса такой же импульс, но в противоположном направлении получает стенка. Импульс, передаваемый ежесекундно единице поверхности стенки молекулами i-ой группы pi = 2m0 vi νi = ∆ni m0 vi2 3 Вспомним определение давления p и используем второй закон Ньютона: p= F ∆p = ∆S ∆t∆S Давление — это импульс, получаемый единицей площади сосуда в единицу времени. 76 13.1.5 Формула для давления Давление можно найти, просуммировав все импульсы pi : N X 1 m0 vi2 ∆ni = 3 i=1 i=1 ! N N X X 1 n 1 vi2 ∆ni m0 = nm0 vi2 ∆ni 3 n 3 n i=1 i=1 p= = N X pi = Величина под знаком суммы есть среднеквадратичная скорость молекул v2 = vi2 ∆ni n Следовательно: p= 13.1.6 1 mn v 2 3 Связь давления и средней кинетической энергии молекул Выражение p = (1/3)mn v 2 можно записать иначе: 2 m v2 2 p= n = n 3 2 3 p=  mv 2 2  2 n hEпост i 3 где hEпост i = mv 2 /2 — среднее значение кинетической энергии поступательного движения молекул. Уравнение в рамке называется основным уравнением кинетической теории газов. Оно раскрывает физический смысл макропараметра p: давление газа на стенку определяется средним значением кинетической энергии молекулы. 13.1.7 Связь средней кинетической энергии молекул и температуры Рассмотрим 1 моль газа. Умножим основное уравнение на молярный объём Vµ . pVµ = 2 2 nVµ hEпост i = NА hEпост i 3 3 Так как pVµ = RT , то hEпост i = 3 R T 2 NА Отношение k = R/NА называется постоянной Больцмана k = 1.38 · 10−23 Дж К Следовательно hEпост i = 3 kT 2 Мы получили, что средняя кинетическая поступательного движения молекул зависит только от температуры. Иными словами, температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения. Это придаёт термодинамической шкале Кельвина физический смысл. При T = 0 прекращается поступательное движение молекул. 77 13.1.8 Среднеквадратичная скорость молекул Из формулы hEпост i = (3/2)kT можно найти среднеквадратичную скорость движения молекул. m v2 3 = kT 2 2 r p 3kT hvкв i = hv 2 i = m hEпост i = Умножим и поделим выражение под корнем на NА , учтём, что k = R/NА , и то, что NА m = µ: r 3kT NА hvкв i = mNА s 3RT hvкв i = µ 13.1.9 Закон Авогадро Получим еще одно выражение основного уравнения молекулярно-кинетической теории. Используем формулу hEпост i = (3/2)kT : 2 p = n hEпост i = nkT 3 Из этого следует закон Авогадро: газы одинаковой температуры, находящиеся под одним и тем же давлением, имеют одну и ту же концентрацию. 13.2 Закон Дальтона Если имеется смесь нескольких газов, то разные по массе молекулы будут иметь различную среднюю скорость, но средняя энергия поступательного движения молекул будет одна и та же. Давление в этом случае будет равно p = nkT = (n1 + n2 + . . . + nk )kT = = n1 kT + n2 kT + . . . + nk kT = p1 + p2 + . . . + pk где ni — концентрации компонент смеси газов, pi — парциальные давления, т. е. давления, обусловленные каким-либо видом молекул. Мы получили закон Дальтона: давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений газов, образующих смесь. 13.3 13.3.1 Понятие функции распределения Дискретные случайные величины Пусть в некотором опыте мы наблюдаем некоторое случайное событие. Оно имеет два возможных исхода. Повторив очень много идентичных опытов, мы убедились, что первый исход произошёл n1 раз, второй n2 раз. Тогда можно вычислить приблизительные значения вероятностей этих исходов как относительные частоты исходов: n1 n2 p1 ≈ , p2 ≈ , p1 + p2 = 1 n1 + n2 n1 + n2 Эти значения приблизительные из-за того, что полное число испытаний n1 + n2 есть конечное число. Если повторить эту серию опытов заново, мы получим близкие, но не точно такие же значения вероятности. 13.3.2 Пример вычисления среднего дискретной случайной величины Рассмотрим пример. Пусть студент N каждый день в одном и том же месте находит кошелёк. За год студент нашёл n1 = 53 кошелька с суммой s1 = 1000р и n2 = 312 раз попался кошелёк с суммой s2 = 10р. Вопрос: сколько в среднем студент находил денег каждый день? 78 s1 n1 s2 n2 + = n1 + n2 n1 + n2 1000 · 53 + 10 · 312 = 153.75р = 53 + 312 hsi = p1 s1 + p2 s2 = Таким образом, зная вероятности различных исходов, можно вычислять средние значения, которые характеризует систему как целое. 13.3.3 Непрерывные случайные величины Если случайная величина X принимает непрерывные случайные значения ξ, вместо вероятностей отдельных исходов вводят плотность вероятности ρ(ξ). Тогда вероятность того, что величина X принимает значения в диапазоне от ξ до ξ + dξ равна ρ(ξ)dξ. Для плотности вероятности должно выполняться равенство: Zb ρ(ξ)dξ = 1 a где a и b — минимально и максимально возможные значения случайной величины X: a 6 ξ 6 b. Это свойство называется нормировкой. Оно выражает, тот факт, что случайная величина с достоверностью принимает какое-то значение меду a и b. 13.3.4 Пример вычисления среднего непрерывной случайной величины На кафедре теоретической физики университета, в котором учится студент N, вычислили, что плотность вероятности опоздания этого студента на первую пару описывается функцией ρ(t) = e−t/600 /600. На сколько в среднем опаздывает студент? Сначала проверим нормировку. Минимальное время опоздания a = 0, максимальное b = +∞. Поэтому: Z∞ Z∞ −t/600 (e /600)dt = − e−t/600 d(−t/600) = = (−1) e −t/600 ∞ =1 Вероятность того, что время опоздания будет лежать в диапазоне от t до t + dt равна, ρ(t)dt. Среднее время опоздания равно: hti = 13.3.5 Z∞ tρ(t)dt = Z∞ t(e−t/600 /600)dt = 600с = 10мин Вероятностное описание движения молекул Так как молекулы двигаются хаотически, мы не можем описать движение каждой них. Но на самом деле нам и не требуется информация об индивидуальных движениях молекул. Нам достаточно описать их движение в среднем. Для этого нужно найти плотности вероятностей обнаружить наугад выбранную молекулу в том или ином состоянии и затем выполнить усреднение. Такие плотности вероятности называются функциями распределения молекул по состояниями или просто функциями распределения. Отметим, что в теории вероятностей понятие функции распределения вероятностей имеет немного иной смысл. 79 13.4 13.4.1 Распределение Больцмана Постановка задачи В отсутствии внешних сил средняя концентрация n молекул газа в состоянии термодинамического равновесия всюду одинакова. Если же газ находится во внешнем силовом поле, ситуация иная. Рассмотрим газ в поле силы тяжести. Под действием этой силы молекулы стремятся собраться на дне сосуда. Тепловое движение препятствует этому и в результате образуется некоторая равновесная (в среднем) концентрация, которая зависит от высоты. Требуется найти формулу для концентрации. Пусть на молекулы газа действует потенциальная сила, направленная вдоль оси Z вертикально вниз. Газ находится в состоянии равновесия, следовательно, его температура постоянна и не зависит от высоты. Z p − dp z + dz z p F~пот Выделим бесконечно тонкий слой газа (z, z + dz). Площадь его поперечного сечения равна S. На слой вниз действует потенциальная сила F~пот . Давление снизу на слой равно p, сверху p − dp (сверху давление меньше). 13.4.2 Вывод формулы Чтобы газ находился в равновесии, сила давления должна уравновешивать силу тяжести: Fp − Fp−dp − N F1 = 0. • Fp = pS, Fp−dp = (p − dp)S — сила давления на нижнюю и верхнюю слоя, соответственно; • F1 — сила, действующая на одну молекулу; • N = n dzS — число молекул внутри слоя; • n — концентрация. Fp − Fp−dp − N F1 = 0 ⇒ pS − (p − dp)S = (n dzS)F1 ✚−✚ ✚ + dp✓ pS pS S = n dz✓ S F1 ⇒ dp = n dzF1 ✚ Так как сила потенциальная, то F1 = − ∂U ∂z где U — потенциальная энергия молекулы. Следовательно: dp = −n dU Считаем газ идеальным, температура постоянна: p = nkT , dp = dn kT dn kT = −n dU ⇒ dn dU =− n kT Проинтегрируем выражение dn/n = −dU/(kT ) вдоль координаты z от нуля до некоторой точки: Zn n0 dn =− n ZU U0 dU n U − U0 ln =− kT n0 kT Так как потенциальная энергия определена с точностью до произвольного слагаемого, то мы можем считать, что на нулевой высоте U0 = 0. В результате получаем: n = n0 e−U/(kT ) Этот закон называется распределением Больцмана. 80 13.4.3 Границы применимости распределения Больцмана Вообще говоря, мы получили распределение Больцмана рассматривая газ как сплошную среду, игнорируя его молекулярную структуру. Причина корректности формулы — беспорядочное движение большого количества молекул. Тем не менее, эта формула перестаёт быть справедливой только для сильно разреженных газов. При выводе мы предполагали, что газ находится в состоянии равновесия. В частности — температура предполагалась постоянной. Формула не работает для газа в неравновесном состоянии, когда температура изменяется вдоль z. 13.4.4 Пример использования распределения Больцмана Используя эту формулу можно вычислить число молекул N в некотором объёме V , находящемся на высоте от z1 до z2 : Z N= n dV = Zz2 nS dz = n0 S = n0 S e−U (z)/(kT ) dz z1 z1 V Zz2 Zz2 e−mgz/(kT ) dz z1 14 14.1 14.1.1 Функции распределения. Кинетическая теория газов Барометрическая формула Распределение Больцмана для атмосферы Рассмотрим изотермическую атмосферу в однородном поле силы тяжести. Молекула массой m на высоте z имеет потенциальную энергию U = mgz Распределение Больцмана в этом случае имеет вид: n = n0 e−U/(kT ) ⇒ n = n0 e−mgz/(kT ) n 1 T2 > T1 или m1 > m2 2 z z z + dz График 2 соответствует более высокой температуре или газу с более лёгкими молекулами. Произведение n(z)dz равно числу молекул в слое толщиной dz вертикального столба газа единичной площади сечения на высоте z. Площадь под всей кривой — полное число молекул в столбе газа бесконечной высоты. 14.1.2 Применимость распределения Больцмана для атмосферы Можем ли мы использовать распределение Больцмана для земной атмосферы? • Воздух — это смесь газов, следовательно, каждый газ в этой смеси будет иметь разное распределение концентрации по высоте. Однако на самом деле в атмосфере не наблюдается заметного изменение состава с высотой. Это объясняется интенсивным конвективным перемешиванием газов (ветры). • Распределение Больцмана получено для газа постоянной температуры, а в атмосфере температура понижается с высотой. Это — главная причина отклонения этой формулы от истинной концентрации. Тем не менее для не очень больших высот отклонение не будет велико. 81 14.1.3 Вывод барометрической формулы Умножим n = n0 e−mgz/(kT ) на kT . Тогда, учитывая, что p = nkT и m = µ/NА получим барометрическую формулу: p = p0 e−mgz/(kT ) = p0 e−µgz/(RT ) Второй вариант формулы можно использовать для смеси газов. 14.2 14.2.1 Определение Перреном постоянной Авогадро Броуновские частицы Жан Батист Перрен в 1909 году использовал распределение Больцмана для вычисления постоянной Авогадро. Для этого он изучал броуновские частицы — взвесь очень мелких твёрдых частиц в жидкости. • Броуновские частицы достаточно малы и поэтому вовлекаются молекулами жидкости в тепловое движение. Следовательно они подчиняются законам молекулярной физики, в частности, распределению Больцмана. • Эти частицы имеют достаточно большие размеры и их можно наблюдать в микроскоп. 14.2.2 Подготовка взвеси В своём опыте Перрен использовал взвесь гуммигута. Гуммигут — вещество растительного происхождения, используемое как жёлто-оранжевый пигмент для краски. Сначала пигмент измельчался. Затем, при помощи центрифуги, отбирались частицы примерно одинакового размера 0.1мкм. Полученные таким образом частицы засыпались в воду и после тщательного перемешивания получалась взвесь. Взвесь помещалась в кювету и после установления теплового равновесия изучалась при помощи микроскопа. 14.2.3 Идея опыта микроскоп Глубина резкости микроскопа достаточно мала — порядка 1мкм. Частицы гуммигута имеют размер порядка 0.1мкм и они не уложены плотно. Следовательно, в поле зрения микроскопа одновременно могут попадать только частицы, имеющие одинаковую (почти) высоту над дном кюветы. Перемещая микроскоп по вертикали, можно очень точно подсчитать количество частиц на разных высотах. 14.2.4 Вычисление постоянной Авогадро Перрен выполнил подсчёт частиц гуммигута на разных высотах и получил эмпирическое распределение частиц по высоте, которое хорошо соответствовало распределению Больцмана. Распределение Больцмана: n = n0 e−U (z)/(kT ) Нужно учесть, что на частицы гуммигута действует не только сила тяжести, но и сила Архимеда: F ′ = mg − ρ′ gV = (ρ − ρ′ )gV 82 где ρ′ — плотность жидкости, ρ — плотность гуммигута, V — объём частицы гуммигута. Следовательно, распределение Больцмана можно записать как n(z) = n0 e−F ′ z/(kT ) Число шариков, видимое в микроскоп на высоте z равно: ∆N = n(z)S∆z где S — площадь поля зрения микроскопа, ∆z — глубина резкости. Тогда: ✘ ✘ n(z1 )✘ S∆z ∆N1 = = ✘ ✘ ∆N2 n(z2 )✘ S∆z   ′ n(z1 ) exp(−F ′ z1 /(kT )) F (z2 − z1 ) = = exp n(z2 ) exp(−F ′ z2 /(kT )) kT   ′ ′ ∆N1 F (z2 − z1 ) F (z2 − z1 ) ln = ⇒ k= ∆N2 kT T ln(∆N1 /∆N2 ) Так как все величины в этой формуле нам известны, то мы можем найти k, а затем вычислить NА : NА = R/k 14.3 14.3.1 Функция распределения Максвелла Постановка задачи Скорость теплового движения молекул — важная величина, так как с ней связана энергия теплового движения и температура. Несмотря на беспорядочный характер движения, существует строгий закон распределения молекул по скоростям. Рассмотрим единичный объём газа. Количество молекул в этом объеме равно n. (Вспомним, что количество молекул в единичном объёме — это концентрация). Зададимся вопросом: сколько молекул в этом объёме имеют скорости в диапазоне от v до v + ∆v? 14.3.2 Качественное обсуждение структуры функции распределения Максвелла Мы ожидаем, что n зависит от v. Следовательно, можно записать производную: ∆n dn ≈ = a ⇒ ∆n = a∆v dv ∆v где a — некоторый коэффициент пропорциональности. Естественно предположить, что a зависит от скорости v и от концентрации n. a ≡ a(n, v) Предположим, что количество молекул удвоилось: было n стало 2n. Если в результате молекул не стало слишком много (газ не перестал быть идеальным), то количество молекул со скоростью v также удвоится. Значит: a(n, v) = nf (v) Следовательно: ∆n = nf (v)∆v ⇒ ∆n/n = f (v)∆v Величина ∆n/n есть доля молекул в единичном объёме, скорости которых лежат в диапазоне от v до v + ∆v. Если взять бесконечно малые приращения, то dn/n = f (v)dv Функцию f (v) впервые получил Максвелл, она называется функцией распределения Максвелла.   4  m 3/2 2 mv 2 f (v) = √ v exp − 2kT π 2kT Если считать скорость молекул случайной величиной, то f (v) есть плотность вероятности скорости v. 83 14.3.3 График функции распределения Максвелла График функции f (v) показан на рисунке. f (v) dn n v vнв v v + dv При v = 0 и при v → ∞ функция обращается в ноль. Это значит, что в газе нет неподвижных молекул и нет молекул с бесконечно большой скоростью. Наибольшая доля молекул движется со скоростями, близкими к наиболее вероятной скорости vнв . Из рисунка видно, что доля молекул в единичном объёме, скорости которых находятся в диапазоне от v до v + dv, равна площади заштрихованной трапеции. Вся площадь под кривой всегда равна единице. Это свойство вероятностей — вероятность того, что мы обнаружим молекулу с какой угодно скоростью равна единице. 14.3.4 Зависимость от температуры f (v) 1 T 3 > T 2 > T 1 , m 1 = m 2 = m3 2 3 v Вид функции распределения Максвелла зависит от массы молекул газа m и от температуры T . При постоянной массе молекул с ростом T максимум кривой смещается вправо, высота уменьшается. Смещение в право объясняется тем, что с ростом температуры растёт энергия молекул, а значит и их скорость. Уменьшение высоты происходит из-за того, что с ростом температуры увеличивается беспорядочность движения, следовательно растёт разброс скоростей, т. е. максимум становится более широким. Но площадь должна оставаться всегда равна единице. Поэтому максимум, становясь более широким, становится также более низким. 14.3.5 Зависимость от массы молекул f (v) 1 m3 < m2 < m 1 , T 1 = T 2 = T 3 2 3 v При постоянной температуре чем меньше масса молекул газа, тем правее находится максимум. Это объясняется тем, что кинетическая энергия пропорциональна массе и квадрату скорости. При одной и той же энергии чем меньше масса, тем быстрее двигаются молекулы, тем правее находится максимум. С уменьшением массы ширина максимума увеличивается (следовательно уменьшается высота). Это объясняется тем, что с уменьшение массы молекулы легче изменяют скорость, следовательно растёт разброс скоростей. 84 14.4 14.4.1 Вычисление характеристических скоростей Средняя скорость молекул Используем распределение Максвелла для вычисления средней скорости молекул. В единице объёма газа имеется dn молекул с скоростями от v до v + dv: dn = nf (v)dv Чтобы найти среднюю скорость, нужно вычислить интеграл: 1 hvi = n Z∞   Z∞ mv 2 4  m 3/2 = v 3 exp − vnf (v)dv = √ 2kT π 2kT Z∞ 2 x3 e−αx dx = 1 2α2 hvi = 14.4.2 r 8kT = πm s 8RT πµ Среднеквадратичная скорость молекул Так как кинетическая энергия равна mv 2 /2, то вычислив среднее значение квадрата скорости молекул, мы сможем найти их среднюю кинетическую энергию. Вычисляем по аналогии v 2 1 = n Z∞   Z∞ mv 2 4  m 3/2 = v 4 exp − v nf (v)dv = √ 2kT π 2kT 2 Z∞ √ 2 3 π x4 e−αx dx = 8α5/2 v2 = 3RT 3kT = m µ Отсюда получаем уже известную формулу для средней кинетической энергии: hEпост i = 14.4.3 3kT m 3 = kT m 2 2 Наиболее вероятная скорость Наиболее вероятную скорость vнв можно найти из уравнения:   mv 2 4  m 3/2 2 df (v) v exp − = 0, f (v) = √ dv 2kT π 2kT    2 mv d v 2 exp − = dv 2kT       mv 2 2mv mv 2 = 2v exp − − v2 exp − = 2kT 2kT 2kT    mv 2 mv 2 1− =0 = 2v exp − 2kT 2kT mv 2 2v exp − 2kT    mv 2 1− =0 2kT Это равенство выполняется при v = 0, при v → ∞ — это минимумы. 85 Максимум, т. е. искомая наиболее вероятная скорость есть vнв = r 2kT = m s 2RT µ Надо помнить, что вычисленные средние значения vнв , hvi, hvкв i не равны друг другу. 14.5 Экспериментальная проверка распределения Максвелла В опыте Ламмерта (1929) струя газа направляется на два диска со щелями, вращающимися с угловой скоростью ω. Диски зафиксированы, так что угол между щелями ϕ остаётся постоянным. разные скорости отобраны одинаковые скорости Молекулы газа пролетевшие через первую щель попадут и во вторую только при условии, что они пройдут расстояние между дисками ℓ точно за время ∆t, за которое диски поворачиваются на угол ϕ. ∆t = ϕ/ω Это значит, что через вторую щель пролетят только молекулы со скоростями v = ℓ/∆t = ℓω/ϕ Чтобы проверить распределение Максвелла, мы должны менять угловую скорость ω и регистрировать концентрацию газа, попавшего в детектор при таком ω. Этот эксперимент подтвердил правильность функции распределения Максвелла. 14.6 14.6.1 Эффективный диаметр молекул Силы молекулярного притяжения и отталкивания Поведение молекул реальных газов отличается от того, что мы приписываем идеальным газам. Во всех веществах, в том числе в газах, между молекулами одновременно действуют силы взаимного притяжения и отталкивания. На очень близких расстояниях преобладают силы отталкивания на более далёких — силы взаимного притягивания. Fсум = Fотт − Fпрт III II I r rравн • На участке I преобладает сила притяжения, которая, однако, убывает с расстоянием. • На участке II заметный вклад начинает давать и сила отталкивания. В точке r = rравн сила притяжения равна силе отталкивания, Fотт = Fпрт . • На участке III преобладает сила отталкивания. 86 14.6.2 Кинетическая и потенциальная энергия При приближении одной молекулы к другой действие силы притяжения сводится к увеличению кинетической энергии молекулы, а сила отталкивания увеличивает её потенциальную энергию. U r d rравн Сила отталкивания на малых расстояниях растёт намного быстрее силы притяжения. Существует расстояние между центрами молекул r = d, на котором вся кинетическая энергия превратиться в потенциальную и сближение прекратится. 14.6.3 Зависимость эффективного диаметра от температуры Величина d есть эффективных диаметр молекул. Это минимальное расстояние между центрами молекул, на которое они могут сблизится при столкновении. d Чем выше температура, тем выше кинетическая энергия поступательного движения молекул и тем ближе они могут подойти друг к другу. Следовательно, d убывает с ростом T. Однако кривая потенциальной энергии на малых расстояниях растёт очень быстро. Поэтому d убывает очень слабо с ростом T и в первом приближении этим можно пренебречь. Тогда можно сказать, что эффективный диаметр молекул d зависит только от природы газа. 15 15.1 15.1.1 Кинетическая теория газов Средняя длина свободного пробега Столкновения молекул в газе Молекулы, находясь в газе в состоянии непрерывного беспорядочного движения сталкиваются друг с другом. Между столкновениями они проходят свободно некоторый путь λ. Длина этого пути между двумя столкновениями различна, но, благодаря большому числу молекул и беспорядочности их движения, можно говорить о средней длине свободного пробега молекул. 15.1.2 Вывод формулы для длины свободного пробега Подсчитаем эту среднюю длину свободного пробега. Рассмотрим некоторую определённую молекулу, движущуюся со скоростью vотн относительно других молекул, а все остальные молекулы будем считать покоящимися. Молекулы будем представлять в виде шариков радиуса d/2, где d — эффективный диаметр. После каждого столкновения движущаяся молекула меняет направление скорости v. Для простоты предположим, что по величине скорость остаётся постоянной. После соударения молекула движется прямолинейно и с постоянной скоростью. Мысленно окружим траекторию частицы цилиндром радиуса d. Тогда все молекулы, центры которых попадают внутрь цилиндра, будут испытывать соударения с этой молекулой. 2d За время τ молекула проходит ломаный путь, длина которого в среднем равна τ hvотн i. Число происходящих при этом столкновений равно числу молекул центры которых находятся внутри ломаного цилиндра: hνi = nVцил = nπd2 τ hvотн i где n — концентрация молекул. 87 Относительная скорость двух произвольно взятых молекул равна 2 ~vотн = 2 vотн ~vотн = ~v2 − ~v1 = (~v2 − ~v1 )2 = v22 − 2v1 v2 cos α + v12 где α — угол между векторами ~v1 и ~v2 . Среднее от суммы значение равно сумме средних: 2 = v22 + v12 − 2 hv1 v2 cos αi vотн Усреднение производится по всем парам молекул. Угол α между векторами скоростей принимает с равной вероятностью всё значения от 0 до π и при усреднении обращается в нуль. Среднее значение квадрата скорости для всех молекул одинаково: v12 = v22 = v 2 Следовательно, 2 = v22 + v12 − 2 hv1 v2 cos αi vотн 2 = 2 v2 vотн √ h(vотн )кв i = 2 hvкв i Так как среднее квадратичные скорости пропорциональны средним арифметическим, то √ hvотн i = 2 hvi Возвращаемся к формуле для среднего числа соударений: hνi = nVцил = nπd2 τ hvотн i √ hνi = nVцил = nπd2 τ 2 hvi В этой формуле τ hvi есть среднее расстояние (относительно сосуда), которое пролетает молекула за время τ , испытывая при этом hνi соударений. Следовательно, среднее расстояние между соударениями, т. е. средняя длина свободного пробега hλi, равна: hλi = τ hvi hνi hλi = √ 1 2πd2 n Полученная формула имеет очевидный физический смысл. Свободный пробег тем меньше, чем гуще расположены молекулы (т. е. чем больше концентрация n) и чем больше перекрываемая каждой молекулой площадь (πd2 называют эффективным сечением молекулы). 15.2 15.2.1 Явления переноса Потоки и явления переноса Любая изолированная система выведенная из состояния равновесия стремится вернуться в него. Этот возврат происходит за счёт возникающих при нарушении равновесия потоков разной природы, например: • вещества; • тепла; • заряда. Процессы, связанные с этими потоками, называют явлениями переноса. 88 15.2.2 Виды явлений переноса • Диффузия — взаимопроникновение вещества в смесях. Возникает когда вещества смеси имеют неоднородные концентрации, т. е. при наличии градиента концентрации. • Вязкость (внутреннее трение) — перенос импульса упорядоченного движения. Возникает когда разные области вещества упорядоченно двигаются с разными скоростями (градиент скорости). В результате этого возникают силы трения в потоках жидкости и газа. • Теплопроводность — перенос энергии теплового движения молекул из более нагретых областей макросистемы в менее нагретые области (градиент температуры). Все явления переноса самопроизвольны, то есть возникают за счёт теплового движения молекул. 15.3 15.3.1 Диффузия Градиент концентрации Пусть в газе присутствует примесь с концентрацией n, которая является функцией координат. Производная ∂n/∂x показывает, как быстро изменяется концентрация в направлении оси x. Аналогично производные по y и z показывают скорости изменения концентрации в направлении этих осей. В общем виде это записывается через оператор градиент:   ∂ ∂ ∂ n + ~ey + ~ez grad n = ~ex ∂x ∂y ∂z Градиент — это вектор, который показывает направление и скорость наиболее быстрого изменения n. 15.3.2 Направление процесса диффузии Процесс диффузии происходит таким образом, чтобы концентрация n стала всюду одинаковой. В этом случае grad n = 0, т. е. система находится в состоянии равновесия. Попав в равновесие, система уже не может покинуть его самопроизвольно. Если из-за хаотического движения молекул, возникает случайное отклонение от равновесия, то процесс диффузии снова возвращает систему в равновесие. Для вычисления диффузного потока рассмотрим зависимость концентрации только от x и расположим площадку ∆S перпендикулярно оси x в точке с координатой x = const. 15.3.3 Упрощающие предположения точки столкновений n1 /6 n2 /6 ∆S x − hλi x x + hλi • Будем считать, что столкновения молекул происходят только в точках x − hλi, x и x + hλi. Между этими точками соударений нет. • После соударения направления движения молекул перемешиваются и 1/6 их часть летит слева направо в сторону площадки. На этом пути соударений не происходит, так что все они проходят через площадку ∆S. • Аналогично после соударения справа от площадки 1/6 молекул часть летит справа налево и все они проходят через площадку. 15.3.4 Вывод формулы для плотности потока частиц Пусть n(x − hλi) = n1 и n(x + hλi) = n2 . За время ∆t количество молекул N+ , проходящих площадку ∆S в положительном направлении оси, равно: N+ = 1 n1 hvi ∆t∆S 6 89 Аналогично в противоположном направлении: N− = 1 n2 hvi ∆t∆S 6 Здесь интервал времени ∆t может быть произвольным, но достаточно малым. Ограничение сверху: ∆t 6 hλi / hvi. Иначе потеряет смысл наше допущение о соударениях молекул. Всего через площадку проходит ∆N = N+ − N− молекул. Плотность потока частиц, т. е. число частиц, проходящих в единицу времени через единичную площадку, равна 1 1 n2 − n1 ∆N = (n1 − n2 ) hvi = − hvi hλi jN = ∆S∆t 6 3 2 hλi В силу малости hλi от конечных приращений можно перейти к производным n2 − n1 ∂n ≈ 2 hλi ∂x Тогда получим выражение для потока частиц: 1 ∂n jN = − hvi hλi 3 ∂x Плотность потока пропорциональная градиенту концентрации (в одномерном случае градиент превращается в производную). 15.3.5 Коэффициент диффузии Обозначим коэффициент пропорциональности как D = (1/3) hvi hλi Эта величина называется коэффициентом диффузии. Полученное выражение приближённое (при выводе мы сделали сильное допущение). Точное выражение для D имеет более сложный вид. Формула для потока частиц имеет вид: jN = −D 15.3.6 ∂n ∂x Поток массы Если умножить формулу для потока частиц на массу одной молекулы, получим выражение для плотности потока массы jm . ∂ρi jmi = −D ∂x где jmi — плотность потока массы i компоненты смеси, ρi — плотность i-ой компоненты. Этот закон был экспериментально открыт немецким учёным Фиком. Полученный закон диффузии справедлив только при условии, что массы и размеры молекул смеси примерно одинаковы. Тогда скорости hvi и длины свободного пробега hλi у молекул разных типов будут примерно одинаковы. 15.4 15.4.1 Вязкость Постановка задачи Пусть в покоящемся газе движется пластинка со скоростью, много меньшей средней скорости теплового движения молекул V ≪ hvi. Между пластинкой и газом начинает действовать сила трения, которая увлекает газ за пластиной. Из-за вязкости увлекаются и другие слои газа. Устанавливается распределение скоростей v = f (x). Каждая молекула участвует в двух видах движения: беспорядочном тепловом и направленном. При наличии направленного движения газа, вся совокупность молекул в целом будет дрейфовать с некоторыми скоростями. 90 Среднее количество движения молекулы в одном слое равно D E D E ~ = m0 V ~ + 0 = m0 V ~ m0~v + m0 V (средний вектор скорости теплового движения равен нулю). Из-за того, что молекулы участвуют в тепловом движении, они будут переходить между слоями, двигающимися с разными скоростями V и переносить с собой добавочное количество движения. Из-за соударений, будет происходить передача импульса направленного движения и его перераспределение. Это ведёт к выравниванию скоростей. 15.4.2 Вывод формулы для плотности потока импульса V V1 ∆S V2 x x − hλi x x + hλi Рассмотрим площадку ∆S, расположенную параллельно движущейся пластинке на некотором расстоянии от неё. Количества частиц N+ и N− , проходящих через площадку, будут равны друг другу, так как давления, температуры и концентрации молекул одинаковы во всём объёме. Однако количества движения переносимые молекулами будут разными. Слева направо молекулы переносят импульс m0 V1 , где V1 — скорость направленного движения в плоскости x − hλi. Таким образом, уменьшение количества движения слоя, ограниченного справа площадкой ∆S за время ∆t будет равно 1 m0 V1 N+ = m0 V1 n hvi ∆S∆t 6 А увеличение количества движения произойдет за счёт молекул пришедших справа 1 m0 V2 N− = m0 V2 n hvi ∆S∆t 6 Таким образом приращение импульса равно: ∆p = 1 n hvi m0 (V1 − V2 )∆S∆t 6 Вспомним: F ≈ ∆p/∆t. Следовательно, силу трения, действующую на единицу площади слоёв жидкости можно найти следующим образом: (учтём, что m0 n = ρ): fтр = 1 1 V2 − V1 ∆p = n hvi m0 (V1 − V2 ) = − ρ hvi hλi ∆t∆S 6 3 2 hλi Снова перейдём от конечных приращений к производной В итоге получим V2 − V1 ∂V ≈ 2 hλi ∂x fтр = −η ∂V ∂x где η = ρ hvi hλi /3 — коэффициент вязкости. 15.4.3 Коэффициент вязкости Отметим, что также как и в случае с диффузией, выражение для коэффициента вязкости получено нами при достаточно сильных допущениях. Точное выражение отличается от нашего дополнительными коэффициентами. Коэффициент вязкости η равен силе трения действующей на единицу площади, при градиенте скорости равном (−1). 91 15.4.4 Плотность потока импульса Другая интерпретация величины fтр следует из формулы: ∆p ∆t∆S есть плотность потока импульса. fтр = Отсюда видно, что fтр Следовательно, плотность потока импульса пропорциональна градиенту скорости. 15.5 Теплопроводность 15.5.1 Постановка задачи Рассмотрим газ, заключённый между двумя параллельными стенками, имеющими различные температуры Tа и Tб . T Tа T1 T2 ∆S Tб x x − hλi x x + hλi Проведём ость x перпендикулярно стенкам. Температура промежуточных слоёв газа будет функцией x, T = T (x). При наличии градиента температуры через газ в направлении оси x будет идти поток тепла ∆Q. 15.5.2 Вывод формулы для потока тепла Снова рассмотрим движение молекул через площадку ∆S. Теперь молекулы слева и справа от площадки будут иметь разные средние скорости 1 n1 hvi1 ∆t∆S 6 1 N− = n2 hvi2 ∆t∆S 6 N+ = Для одноатомного газа среднее значение кинетической энергии поступательного движения равно hEпост i = 3 kT 2 Поэтому полный поток энергии через площадку равен ∆Q = N+ hEпост i1 − N− hEпост i2 = 1 3 = ∆S∆t k[n1 hvi1 T1 − n2 hvi2 T2 ] 6 2 Нам нужно понять как вычислять разность в квадратных скобках. Вспомним: r 8kT p = nkT, hvi = πm Следовательно: p n hvi T = kT Тогда: r 8kT T =p πm r r 8 √ T πmk p 8 p n1 hvi1 T1 − n2 hvi2 T2 = p ( T1 − T2 ) = πmk r √ √ p 8 p T1 + T2 √ = =p ( T1 − T2 ) √ πmk T1 + T2 r   8 2 T1 − T2 √ √ =p πmk 2 T1 + T2 92 Обозначим r √ √   T1 + T2 8 2 √ √ = n hvi T , p 2 πmk T1 + T2 Здесь T , n и hvi некоторые промежуточные значения концентрации, средней скорости и температуры. √ T = Возвращаемся к формуле для ∆Q: ∆Q = 1 3 ∆S∆t k[n1 hvi1 T1 − n2 hvi2 T2 ] = 6 2 3 1 = ∆S∆t kn hvi (T1 − T2 ) 6 4 Теперь вычислим плотность потока энергии ∆Q 3 = kn hvi (T1 − T2 ) ∆S∆t 24 На следующем шаге умножаем и делим на hλi q= q=− T2 − T1 3 kn hvi hλi 12 2 hλi Теперь снова переходим от конечных разностей к производным ∂T T1 − T2 ≈ 2 hλi ∂x 15.5.3 Коэффициент теплопроводности Тогда окончательно получаем: ∂T ∂x где κ = 3kn hvi hλi /12 — коэффициент теплопроводности. q = −κ Снова отметим, что это только приближённое выражение для коэффициента теплопроводности. Мы получили, что плотность потока тепла пропорциональна градиенту температуры. 16 16.1 16.1.1 Кинетическая теория газов. Первое начало термодинамики Свойства разреженных газов Зависимость длины свободного пробега от давления Вспомним формулу для длины свободного пробега: hλi = √ 1 2πd2 n Так как p = nkT , то kT hλi = √ 2πd2 p Поместим газ в сосуд с линейными размерами L ≈ 10см и начнём постепенно откачивать газ. При этом hλi будет непрерывно возрастать. hλi hλi = L p pвак При p = 760мм.рт.ст. hλi ≈ 10−7 м. При p = 1мм.рт.ст. hλi ≈ 10−4 м. При p = 10−3 мм.рт.ст. hλi ≈ 10см, то есть hλi ≈ L. √ При дальнейшем уменьшении давления hλi уже нельзя вычислять по формуле hλi = kT /( 2πd2 p), так как молекулы до столкновения с другими молекулами сталкиваются со стенками сосуда, так что расстояние между последовательными столкновениями равно L. 93 16.1.2 Понятие вакуума Вакуумом называется область давлений p < pвак , когда молекулы летают от стенки к стенке без столкновений с другими молекулами, так как если бы в сосуде отсутствовали другие молекулы. При L ≈ 10см, вакуум наступает при p ≈ 10−3 мм.рт.ст. Понятие вакуума относительно. В пористых телах с диаметром пор 10−4 мм уже атмосферное давление можно считать вакуумом, так как молекулы будут сталкиваться со стенками прежде, чем друг с другом. 16.2 Общее представление о термодинамике Термодинамика — это учение о связи и взаимопревращениях различных видов энергии, теплоты и работы. Термодинамика строится на основе постулатов, т. е. основных законов, сформулированных как результат обобщения опытных данных. Предметом исследования термодинамики являются процессы, связанные с превращением энергии макроскопическим путем, происходящие не с отдельным атомом или молекулой, а с телами и термодинамическими системами. Под телом в термодинамике понимают некоторую часть пространства, заполненную веществом. Термодинамической системой называется совокупность тел, определенным образом входящих в систему и могущих подвергаться какому-либо воздействию. Система может состоять из одного тела. 16.3 Внутренняя энергия тела Внутренняя энергия U — это сумма энергий всех видов, заключенных в изолированной системе, за исключением энергий, которыми система обладает в результате взаимодействия с другими телами (системами). Внутренняя энергия тела U включает в себя следующие компоненты. • Суммарная кинетическая энергия теплового движения молекул в системе центра масс, в которой система как целое покоится. • Собственная потенциальная энергии взаимодействия всех молекул, т. е. энергия взаимодействия между молекулами, принадлежащими данной системе. • Внутренняя энергия самих молекул, атомов и ядер. В термодинамике внутренняя энергия молекул и их компонент всегда остается постоянной вне зависимости от происходящего процесса. Поэтому её исключают из рассмотрения. В случае идеального газа не учитывается также потенциальная энергия взаимодействия молекул. Рассматривается только кинетическая энергия теплового движения. Внутренняя энергия является функцией состояния и не зависит от того, каким путем мы привели систему в данное состояние. При изменении состояния приращения определяется только начальным и конечным состоянием. 16.4 16.4.1 Степени свободы молекул Понятие степеней свободы Кинетическая энергия теплового движения молекул складывается из • кинетической энергии поступательного движения; • кинетической энергии вращательного движения; • кинетической и потенциальной энергии колебаний атомов в составе молекул. Для описания этих видов движения вводят понятия о степенях свободы. Это число независимых координат, определяющих положение системы, в нашем случае молекулы. 94 16.4.2 Поступательные и вращательные степени свободы Для описания поступательного движения необходимо задать три координаты центра масс молекулы, т. е. молекула всегда имеет три поступательные степени свободы. Для описания вращательного движения в общем случае необходимо задать координаты — углы поворота относительно трёх разных осей. Однако, если молекула линейная, то вращение вокруг оси, соединяющей молекулы, не учитывается — мы считаем атомы материальными точками и поэтому момент инерции J относительно этой оси равен нулю. В этом случае достаточно только двух координат. 16.4.3 Колебательные степени свободы Если между атомами молекулы существует упругая связь, то молекула приобретает колебательные степени свободы. Известно, что система, состоящая из N материальных точек, между которыми действует упругая связь, имеет 3N степеней свободы — положение каждой точки определяется тремя координатами. Чтобы задать положение в пространстве колебательной системы необходимо • задать положение состояния равновесия; • задать отклонения от равновесия каждой точки, совершающей колебания. Если равновесные положения точек системы лежат на одной прямой, то положение равновесия задаётся 5 координатами • три поступательные; • две вращательные; Тогда 3N − 5 степеней свободы являются колебательными. Если равновесные положения не лежат на одной прямой, то положение равновесия задаётся 6 координатами. Тогда 3N − 6 степеней свободы являются колебательными. 16.4.4 Примеры вычисления числа степеней свободы Молекула 16.5 Схема N Пост. Вращ. Колебат. H2 O 3 3 3 3N − 6 = 3 CO2 3 3 2 3N − 5 = 4 Гипотеза о распределении энергии по степеням свободы Средняя энергия поступательного движения молекулы равна hEпостi = 3 kT 2 Отсюда следует, что на каждую поступательную степень свободы в среднем приходится энергия kT /2. Больцман обобщил этот вывод в виде гипотезы о равном распределении средней энергии по степеням свободы. На каждую степень свободы в среднем приходится энергия kT /2. При этом на колебательную степень свободы приходиться в среднем по две половинки kT : одна соответствует кинетической, вторая потенциальной энергии колебаний. 95 16.6 Формула для внутренней энергии С учётом гипотезы о равномерном распределении энергии, средняя энергия молекулы равна hEi = i kT 2 Здесь i определяется через полное число степеней свободы молекулы, i = iпост + iвращ + 2iколеб Умножив hEi на число Авогадро NF , мы получим внутреннюю энергию одного моля вещества (вспомним, что kNF = R): i Uµ = RT 2 Внутренняя энергия произвольного числа молей: U= 16.7 mi RT µ2 «Замороженные» степени свободы При достаточно низких температурах колебательные и вращательные степени свободы оказываются не задействованными. Причина в том, что согласно квантовой механики, энергия этих степеней свободы может принимать только дискретные значения: E1 , E2 , . . . . Иными словами, чтобы заставить молекулу вращаться или колебаться, её нужно сообщить энергию не меньше чем E1 . При низкой температуре энергия теплового движения (поступательные степени свободы) меньше, чем минимально возможная энергия вращений и колебаний. Поэтому эти степени свободы не возбуждены — говорят, что они заморожены. Рассмотрим водород H2 . У него 3 поступательные степени свободы, 2 вращательные и 1 колебательная. Следовательно максимально возможное значение i равно i=3+2+2·1=7 На рисунке показано i, вычисленное с использованием законов квантовой механики. i 7 5 3 T, К 50 100 500 1000 Видно, что при T = 50К фактическое значение i равно 3. Следовательно, колебания и вращения заморожены. При увеличении температуры до T = 500К возбуждаются вращательные степени свободы, i = 5. При температуры около 100К возбуждаются также и колебательные степени свободы. Однако кривая обрывается, так как при высоких температурах начинается диссоциация — распад молекул на атомы. Поэтому при температурах, близким к комнатной, колебательные степени свободы не учитывают. 16.8 16.8.1 Работа и количество тепла Формы передачи энергии Существуют две формы передачи энергии от одного тела к другому: • совершение работы; • передача тепла (теплообмен). 96 При совершении работы энергия упорядоченного движения одного тела переходит в энергию упорядоченного движения другого тела, а так же в другие виды энергии этого тела, или его частей. Это происходит при взаимодействии макроскопических тел, размеры которых во много раз больше размеров отдельных молекул (поршень в цилиндре с газом). При теплообмене энергия теплового движения молекул передаётся непосредственно от одного тела к другому. Передача энергии может происходить при контакте тел, или через тепловое излучение. 16.9 16.9.1 Первое начало термодинамики Формулировки первого начала термодинамики Первое начало термодинамики выражает закон сохранения энергии для термодинамических систем. Формулировка 1 Приращение внутренней энергии макросистемы ∆U = U2 − U1 при её переходе из начального состояния 1 в конечное 2 равно сумме совершённой над системой работы ′ всех внешних макроскопических сил и количества переданного системе тепла Q. ∆U = Q + A′ Формулировка 2 Количество теплоты Q, сообщенная макросистеме, идёт на приращение её внутренней энергии ∆U и на совершение работы системой над внешними телами. Q = ∆U + A 16.9.2 Знаки теплоты, внутренней энергии и работы Все величины могут иметь как положительное, так и отрицательное значения. • Q < 0 — тепло отводится. • Q > 0 — тепло сообщается. • A < 0 — работа производится над системой. • A > 0 — работу производит сама система. • ∆U < 0 — уменьшение внутренней энергии системы. • ∆U > 0 — увеличение внутренней энергии системы. 16.9.3 Первое начало в дифференциальной форме Уравнение, выражающее первое начало термодинамики, может быть записано в дифференциальной форме δQ = dU + δA Здесь d — полный дифференциал функции состояния U . Использование этого символа означает, что U однозначно определяется термодинамическим состоянием тела и не зависит от процесса, в ходе которого система попала в это состояние. Символ δ — элементарное количество теплоты и работы. Эти величины определяются видами процесса из одного состояния в другое. 17 17.1 Первое начало термодинамики. Второе начало термодинамики Работа, совершаемая системой 97 S Пусть газ находится под давлением p в цилиндре с поршнем площадью S. Элементарная работа, совершаемая газом, при перемещении поршня на dh равна δA = F dh dh p Здесь F = pS — сила давления газа на поршень δA = pSdh (sdh = dV ) δA = pdV В ходе процесса давление может меняться, поэтому работа при конечном изменении объема от V1 до V2 равна ZV2 A = pdV V1 Если процесс, происходящий с газом, изобразить на P V -диаграмме, тогда работа, совершаемая газом, будет равна площади под кривой 1-2. V 2 1 p Площадь под кривой зависит от вида кривой, следовательно, работа будет определяться видом процесса. 17.2 17.2.1 Теплоемкость идеального газа Определение теплоёмкости Теплоемкостью тела называют количество тепла, которое нужно сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один Кельвин δQ C= dT Эта величина, так же как и δQ, принимает разные значения в зависимости от того, какого рода процесс осуществляется над системой. 17.2.2 Молярная и удельная теплоёмкость Удельная теплоемкость — теплоёмкость единичной массы вещества, cуд = δQ dT m Молярная теплоёмкость — теплоёмкость одного моля вещества, cмоль = 17.2.3 δQ δQ µ = dT ν dT m Теплоёмкость при постоянном объёме Наиболее важную роль играют теплоемкости для двух процессов: при постоянном объеме CV и при постоянном давлении Cp . При постоянном объеме dV = 0, значит δA = pdV = 0. Согласно первому началу термодинамики ✟ δQ = dU + ✟ δA   dU CV = dT V 98 Опыт показывает что во многих случаях теплоемкость в широком интервале температур почти не меняется. Следовательно: U= Z CV dT ⇒ U = CV T Внутренняя энергия идеального газа равна: i i U = ν RT ⇒ dU = ν RdT 2 2 Следовательно, теплоёмкость при постоянном объёме равна: i CV = ν R 2 Молярная теплоёмкость: cмол = V 17.2.4 i R 2 Теплоёмкость при постоянном давлении     δQ dV dU dV Cp = = CV + p = +p dT dT dT p dT p Из уравнения Менделеева-Клапейрона при p = const имеем: pV = νRT ⇒ pdV = νRdT ⇒ p  dV dT  = νR p Следовательно, теплоёмкость при постоянном давлении равна:   dV Cp = CV + p dT p Cp = CV + νR Поделив это уравнение на число молей ν, получим уравнением Майера для молярных теплоёмкостей: cмол = cмоль +R p V Используем выражение cмол = iR/2: V cмоль = p i+2 R 2 > cмоль . Это объясняется тем что при изобарическом процессе сообщенное тепло будет Видно, что cмоль p V расходоваться не только на приращение внутренней энергии, но и на совершение работы над внешними телами. При изохорическом процессе тепло тратится только на приращение внутренней энергии, а работа не совершается. 17.2.5 Границы применимости формул для теплоёмкостей Формулы для теплоёмкостей получены в предположении, что они не зависят от температуры. Но выше мы говорили о том, что i меняется с ростом T — это связано с «размораживаем» вращательных и колебательных степеней свободы молекул. i 7 5 3 T, К 50 100 500 1000 Поэтому формулы для теплоёмкостей можно применять только для процессов, в которых температура меняется не очень сильно, так что i остаётся постоянной. 99 17.3 17.3.1 Адиабатический процесс Определение Адиабатический процесс — это процесс, происходящий с системой без теплообмена с окружающими телами. Возможности осуществления адиабатического процесса. • Оболочка с теплоизолирующими свойствами. Сосуд Дьюара — двойные стенки с откачанным воздухом. • Процессы, протекающие очень быстро. Пример адиабатического процесса — дизельный двигатель, в котором воспламенение рабочей смеси происходит из-за адиабатического сжатия. 17.3.2 Первое начало термодинамики для адиабатических процессов ❃ ✚= dU + δA ⇒ −dU = δA δQ ✚ Если газ расширяется, то работа δA положительна и dU > 0. Следовательно его температура уменьшается. При сжатии газа δA < 0 и dU > 0, значит температура повышается. 17.3.3 Уравнение состояния для адиабатического процесса Продифференцируем уравнение Менделеева-Клапейрона, записанное для 1 моля: pV = RT ⇒ d(pV ) = d(RT ) ⇒ pdV + V dp = RdT pdV + V dp dT = R Используем уравнение Майера cмол = cмоль + R: p V dT = pdV + V dp cмол − cмоль p V Из первого начала термодинамики для 1 моля имеем: dU + δA = 0 ⇒ cмоль dT + pdV = 0 V Подставим значение dT : cмоль V pdV + V dp + pdV = 0 cмол − cмоль p V ✘ ✘ моль ✘✘ ✘✘ cмоль V dp + cмол cмоль V✘ pdV + cV p pdV − ✘ V✘ pdV = 0 ✘ cмоль V dp + cмол V p pdV = 0 dV dp + cмол =0 cмоль p V p V cмол dp dV p + моль =0 p cV V Отношение γ= называется показателем адиабаты. cмол p cмоль V dp dV +γ =0 p V Так как мы считаем теплоёмкости константами, то dV dp +γ =0 p V d[ln p + γ ln V ] = 0 100 Это значит, что выражение в скобках есть константа. Обозначим её как ln C, где C — произвольная постоянная. ln p + γ ln V = ln C ln pV γ = ln C pV γ = const Мы получили уравнение адиабатического процесса, которое называется уравнением Пуассона. 17.3.4 Показатель адиабаты Показатель адиабаты γ представляет собой характерную для каждого газа величину и определяется числом и характером степеней свободы молекул. γ= 17.4 cмол i+2 2 i+2 p = R = cмоль 2 i i R V Значение второго начала термодинамики 17.4.1 Обратимость уравнений динамики Для описания термодинамических процессов недостаточно одного первого начала. Оно не позволяет определить направление процессов. Уравнения движения обратимы во времени. Предположим, что мы решили уравнения движения и нашли траекторию какой-то молекулы: ~r(t) = ~ex x(t) + ~ey y(t) + ~ez z(t) Формула ~r(−t) = ~ex x(−t) + ~ey y(−t) + ~ez z(−t) описывает движение вдоль той же самой траектории, только в противоположном направлении. Эта обращённая траектория тоже будет решением того же самого уравнения движения. 17.4.2 Возможность «невозможных» процессов Отсюда следует, что если изучать движения молекул, возможными оказывается следующие процессы: • самопроизвольное остывание накалённого железа в холодной воде; • самопроизвольный разогрев этого железа за счёт охлаждения воды. Направление течения процессов нельзя вывести не из одного физического закона. В частности, процесс самопроизвольной передачи тепла от более холодного тела к более тёплому не противоречит первому началу термодинамики при условии, что уменьшение внутренней энергии первого тела равно энергии, полученной вторым. 17.4.3 Второе начало термодинамики Так как из опыта известно, что такого рода процессы невозможны, то был сформулирован специальный постулат, обобщающий это опытное знание. Этот постулат получил название второго начала термодинамики. Второе начало термодинамики (формулировка Клаузиуса) Невозможен самопроизвольный переход тепла от менее нагретого тела к более нагретого. Значит невозможны такие процессы, единственным конечным результатом которых был бы переход некоторого количества теплоты от тела менее нагретого к телу более нагретому. 101 17.5 Обратимые и необратимые процессы Пусть в результате некоторого процесса тело перешло из состояния А в состояние Б. Процесс называется обратимыми, если возможно осуществить обратный переход от Б к А через те же промежуточные состояния так, чтобы не осталось никаких изменений в окружающих телах. Иными словами, обратимый процесс может самопроизвольно протекать как в прямом, так и в обратном направлениях. Необратимый процесс самопроизвольно протекает только в одном направлении. Провести такой процесс в обратном направлении возможно только при условии, что параллельно происходят необратимые изменения в других телах. Всякий обратимый процесс является равновесным. Это значит, что он протекает квазистатически — бесконечно медленно через последовательность равновесных состояний. Обратное также верно — всякие квазистатические процессы обратимы. Существенно, что любые «соседние» состояния квазистатического процесса могут чередоваться в любом порядке. Например, расширение может самопроизвольно остановится и сменится сжатием. При этом вся последовательность состояний повторится, но в обратном порядке. Вообще говоря все процессы в природе, в которых задействованы тела, состоящие из множества молекул, протекают необратимым образом. Обратимый процесс — физическая модель, как и идеальный газ. Реальные процессы могут считаться обратимыми только приблизительно. 17.6 17.6.1 Статистический вес Микро- и макросостояния Пусть имеется изолированная система. Состояние этой системы мы можем охарактеризовать при помощи набора макропараметров: давление, объём, температура, концентрация и т д. В этом случае говорят, что известно макросостояние системы. Также мы можем описать её состояние детально, указав состояния каждой молекулы в отдельности. В этом случае говорят, что известно микросостояние. Ключевой момент для понимания смысла энтропии: каждому макросостоянию отвечает множество микросостояний. 17.6.2 Макросостояния газа из четырёх молекул Рассмотрим газ, состоящий из 4 одинаковых молекул. Мысленно разделим сосуд на две одинаковые части. Макроскопические свойства этого газа зависят от количества молекул в каждой из половин сосуда. Таких состояний 5. 17.6.3 Микросостояния газа из четырёх молекул Чтобы задавать микроскопические состояния, пронумеруем молекулы. Всего имеется 24 = 16 микросостояний, соответствующих разным макросостояниям. На рисунке показаны 4 возможные микросостояния, соответствующие ситуации, когда одна молекула находится справа, а три других слева. 2 3 3 1 1 4 4 4 1 3 102 2 2 2 3 1 4 17.6.4 Связь микро- и макросостояний В таблице перечислены все макросостояния, соответствующие им микросостояния, а также их количество Ω. Слева 1 2 3 4 1,2 1,3 1,4 2,3 2,4 3,4 17.6.5 Справа 1,2,3,4 2,3,4 1,3,4 1,2,4 1,2,3 3,4 2,4 2,3 1,4 1,3 1,2 Слева 2,3,4 1,3,4 1,2,4 1,2,3 1,2,3,4 Ω 1 4 Справа 1 2 3 4 Ω 4 1 6 Статистический вес Статистический вес макросостояния Ω это количество соответствующих ему микросостояний, т. е. число способов реализации этого макросостояния. Из таблицы видно, что наибольшим статистическим весом обладает макросостояние с равномерным распределением молекул (2 слева и 2 справа). Наименьший статистический вес у макросостояний с наиболее неравномерным распределением молекул (0 с одной стороны, 4 с другой). 17.6.6 Статистический вес и вероятность реализации макросостояния Так как молекулы находятся в тепловом движении, микросостояние случайным образом меняются и все микросостояния равновероятны. Всего у нашего газа имеется 16 разных микросостояний и из них 6 отвечают равномерному распределению. Значит, наблюдая за системой достаточно долго, мы обнаружим, что доля времени, в течении которого она находится в состоянии с равномерным распределением молекул равна 6/16. Доля времени, в течении которого все молекулы находятся в одной из половин сосуда, равна 1/16, т. е. 1/2N , где N — число молекул. При большом числе молекул N доля времени, когда все молекулы находятся в одной части сосуда, исчезающе мала. Иными словами, чем выше статистический вес макросостояния, тем большую часть времени система находится в этом состоянии, т. е. тем выше вероятность обнаружить систему в этом состоянии. 18 18.1 18.1.1 Второе начало термодинамики Энтропия Формула Больцмана для энтропии Статистический вес для реальных систем — это очень большая величина. Поэтому в качестве величины, характеризующей вероятность макросостояния, используют энтропию. Энтропия выражается через статистический вес формулой Больцмана: S = k ln Ω, [S] = Дж/К где k = 1.38 · 10−23 Дж/К — постоянная Больцмана. Статистический вес есть число микросостояний, соответствующих одному и тому же макросостоянию. Поэтому можно сказать, что энтропия есть мера недостатка информации о микроскопическом состоянии системы, когда мы задали её макросостояние. Энтропия есть функция состояния системы. Это значит, что она может быть выражена через p, V и T и не она не зависит от процесса, которым система приведена в данное состояние. 103 18.1.2 Закон возрастания энтропии Чем выше статистический вес макросостояния, тем выше энтропия. Вспомним, что микросостояния сменяют друг друга случайным образом. Следовательно, если наблюдать за системой длительное время, мы большую часть времени будем наблюдать макросостояния с максимальной энтропией, т. е. те, которым отвечает наибольшее количество микросостояний. Вероятность наблюдать макросостояния с низкой энтропией исчезающе мала. Поэтому можно сказать, что предоставленная самой себе система стремится перейти в состояние с наибольшей энтропией. Закон возрастания энтропии Если изолированная система находится в неравновесном состоянии, то внутри неё возникают необратимые процессы, которые сопровождаются ростом энтропии и приводят систему в состояние равновесия. Состояние равновесия по определению есть наиболее вероятное состояние, т. е. состояние с максимальной энтропией. Закон возрастания энтропии можно рассматривать как ещё одну формулировку второго начала термодинамики. 18.1.3 Аддитивность энтропии Пусть система состоит из двух подсистем. Состояние первой подсистемы имеет статистический вес Ω1 , статистический вес второй подсистемы Ω2 . Подсчитаем статистический вес состояния полной системы. Возможны следующие комбинации: микросостояние 1 первой подсистемы в сочетании с Ω2 микросостояниями второй, микросостояние 2 первой с Ω2 микросостояниями второй и так далее. Статистический вес полной системы равен Ω = Ω1 Ω2 Вычислим энтропию полной системы: S = k ln Ω = k ln(Ω1 Ω2 ) = k ln Ω1 + k ln Ω2 Мы получили, что энтропия полной системы равна сумме энтропий подсистем. 18.1.4 Произвольная константа Статистический вес можно подсчитывать разными способами — например, в приведённом выше примере газа из четырёх молекул можно было бы разделять сосуд не на две, а на три части. Это значит, что вообще говоря энтропия определена с точностью до произвольной постоянной. Физический смысл имеет не сама энтропия, а разность энтропий в начале и в конце процесса. 18.1.5 Теорема Нернста Теорема Нернста при абсолютном нуле энтропия стремится к определённому пределу, независимо от значений всех параметров состояния. При этом все процессы, переводящие систему из одного равновесного состояния в другое при абсолютном нуле, происходят при постоянной энтропии. Это утверждение не следует логически из других постулатов термодинамики, поэтому его называют третьим началом термодинамики. Теорему Нернста можно объяснить следующим образом. При охлаждении до абсолютного нуля температуры тепловые движения прекращаются, поэтому микросостояния перестают сменять друг друга. Это значит, что энтропия стремится к некоторому пределу независимо от параметров состояния. Вспомним, что энтропию можно определить только с точностью до произвольной постоянной, а значение этой постоянной зависит от способа вычисления статистического веса. Можно избавится от этой неоднозначности. Определим статистический вес таким образом, чтобы при абсолютном нуле каждое микросостояние соответствовало бы одному макросостоянию. Это возможно потому, что микросостояния не сменяют друг друга случайным образом. Тогда Ω = 1 и при абсолютном нуле энтропия принимает не просто некоторое определённое значение, а S = 0. 104 18.2 18.2.1 Равенство Клаузиуса Приращение энтропии при обратимом процессе Методами статистической физики было найдено, что dS = (δQ/T )обр. Здесь T — термодинамическая температура, при которой к системе было подведено тепло δQ. Это называется равенством Клаузиуса. Индекс «обр.» говорит о том, что равенство имеет место, когда количество теплоты подводится обратимым процессом. В интегральной форме равенство Клаузиуса имеет вид: S2 − S1 = сост.Zравн. 2 δQ T сост. равн. 1 18.2.2  обр. Неравенство Клаузиуса Рассмотрим изолированную систему, так что δQ = 0. Если в такой системе происходит необратимый процесс, то энтропия растёт, т. е. ∆S > 0. Если же такой системе начать дополнительно сообщать тепло, т. е. сделать δQ > 0, то полное приращение энтропии будет больше чем δQ/T : dS > (δQ/T )не обр. Так как в данном случае речь идёт о неравновесных состояниях, то под T здесь следует понимать температуру резервуара, от которого получено тепло δQ. Полученное неравенство называют неравенством Клаузиуса. 18.2.3 Рост и убыль энтропии При обратимом процессе энтропия растёт, когда система получает тепло, δQ > 0 и убывает, когда система отдаёт тепло, δQ < 0. При необратимом процессе энтропия также может убывать. Это возможно если система достаточно интенсивно отдаёт тепло, т. е. |δQ/T | больше доли приращения энтропии, которая обусловлена необратимостью процесса. 18.3 Основное уравнение термодинамики Это уравнение записывается для обратимых процессов. Оно получается при подстановке равенства Клаузиуса в формулу первого начала термодинамики: δQ = dU + δA, δQ = T dS, δA = pdV T dS = dU + pdV Для необратимых процессов имеет место неравенство: T dS > dU + pdV 18.4 Энтропия идеального газа Пусть начальное и конечное состояния газа определяются параметрами p1 , V1 и p2 , V2 . Вспомним, что CV = νRT dU , p= dT V 105 Тогда, для обратимого процесса можно записать: dV V dT dV dS = CV + νR T V T dS = CV dT + νRT Запишем уравнение Менделеева—Клапейрона и прологарифмируем его: pV = νRT ⇒ ln(pV ) = ln(νRT ) ln p + ln V = ln(νR) + ln T Вычисли дифференциал выражения ln p + ln V = ln(νR) + ln T : d ln p + d ln V = d ln(νR) + d ln T dT dp dV = + T p V Подставим выражение для dT /T в основное уравнение термодинамики: dV dT + νR dS = CV T   V dp dV dV dS = CV + νR + p V V dp dV dV dS = CV + CV + νR p V V dp dV + (CV + νR) dS = CV p V Вспомним уравнение Майера: Cp = CV + νR. dS = CV dp dV + Cp p V Проинтегрировав, получаем: S2 − S1 = CV ln V2 p2 + Cp ln p1 V1 Используя уравнение Менделеева—Клапейрона, можно получить выражение для энтропии в других переменных: 18.5 18.5.1 S2 − S1 = CV ln V2 T2 + νR ln T1 V1 S2 − S1 = CV ln p2 T2 − νR ln T1 p1 Тепловые машины Определения Тепловой машиной называется периодически действующий двигатель, совершающих работу за счёт получаемого извне количества теплоты. Вещество, совершающее работу в тепловой машине называется рабочим телом. Рабочее тело в процессе работы машины совершает круговой процесс или цикл. Это значит, что в результате произошедших изменений тело возвращается в исходное состояние. 18.5.2 Круговой процесс На рисунке участке 2 − 1 работа отрицательна (т к. dV < 0), а на участке 1 − 2 положительна (dV > 0). Поэтому работа, совершаемая рабочим телом, будет равна площади фигуры внутри цикла. 106 V 2 1 p На участке 1 − 2 система получает теплоту от нагревателя и совершает работу. Согласно первому началу термодинамики: Q1 = U2 − U1 + A1 На участке 2 − 1 над системой совершают работу и она отдаёт тепло холодильнику: −Q2 = U1 − U2 − A2 Сложив два этих уравнения, получим Q1 − Q2 = A1 − A2 18.5.3 К. П. Д. тепловой машины Из уравнения Q1 − Q2 = A1 − A2 следует: тепловая машина совершила круговой процесс в результате которого нагреватель отдал количество теплоты Q1 , холодильник получил теплоту Q2 , а количество теплоты Q = Q1 − Q2 пошло на совершение работы A1 − A2 . Коэффициент полезного действия тепловой машины равен: η= 18.5.4 Q1 − Q2 A = Q1 Q1 Вечный двигатель первого рода К. П. Д. тепловой машины не может быть больше единицы. На основании этого можно дать другую формулировку первого закона термодинамики. Невозможность вечного двигателя первого рода Нельзя построить вечный двигатель первого рода, т. е. периодически действующий двигатель, который, совершал бы работу без подвода энергии извне или совершал бы работу большую, чем количество сообщенной ему извне энергии. 18.6 18.6.1 Цикл Карно Рабочий цикл тепловой машины Рабочий цикл любой тепловой машины устроен следующим образом: • рабочее тело получает тепло от нагревателя; • за счёт полученного тепла, рабочее тело совершает работу; • отдаёт часть полученного тепла холодильнику; • при этом над ним совершается работа, за счёт которое рабочее тело возвращается в исходное состояние. 18.6.2 Обратимый рабочий цикл Сконструируем тепловую машину, совершающую обратимый цикл. Предположим, что рабочее тело имеет температуру T и получает тепло от теплового резервуара нагревателя, который находится при температуре T1 > T . Так как второе начало термодинамики запрещает самопроизвольную передачу тепла от менее нагретого к более нагретому телу, то всякий теплообмен в обратимом цикл должен происходить при T1 = T . 107 Иначе самопроизвольно теплообмен будет происходить только в одном направлении и такой процесс не будет обратимым. Иными словами, участки обратимого цикла, на которых система получает или отдаёт тепло, должны быть изотермическими. Температура нагревателя T1 всегда больше температуры холодильника T2 . Чтобы обмениваться с ними теплотой, рабочее тело должно нагреваться до температуры T1 , и остывать до температуры T2 . Вспомним, что согласно равенству Клаузиуса dS = δQ/T . Для обратимых процессов энтропия остаётся постоянной, dS = 0. Для этого необходимо, чтобы δQ = 0. Следовательно, обратимое нагревание и остывает должно протекать адиабатически. 18.6.3 Цикл Карно Таким образом, обратимый рабочий цикл тепловой машины должен быть устроен следующим образом: T1 T T2 1 2 4 3 S S1 S2 • изотермическое расширение 1 − 2; • адиабатическое расширение 2 − 3; • изотермическое сжатие 3 − 4; • адиабатическое сжатие 4 − 1. Этот цикл называется циклом Карно в честь французского инженера Сади Карно, который его исследовал в 1824 году. 18.6.4 К. П. Д. цикла Карно К. П. Д. тепловой машины равен η= Q1 − Q2 Q1 В цикле Карно рабочее тело получает тепло на участке 1 − 2. Согласно равенству Клаузиуса, так как процесс 1 − 2 изотермический, имеем: S2 − S1 = Z2 Q1 δQ = T T 1 Q1 = T1 (S2 − S1 ) Аналогично, количество теплоты отданное холодильнику на участке 3 − 4 равно: Q2 = −T2 (S1 − S2 ) = T2 (S2 − S1 ) (знак «−» нужен чтобы получить Q2 > 0). Подставим значения Q1 и Q2 в формулу для К. П. Д.: η= ✘ ✘✘ Q1 − Q2 Q2 T2 (S✘ 2 − S1 ) =1− = 1 − ✘ ✘✘ ✘ Q1 Q1 T1✘ (S✘ 2 − S1 ) T1 − T2 η= T1 108 18.6.5 Теорема Карно При выводе формулы для К. П. Д. не делалось никаких предположений о свойствах рабочего тела и устройстве тепловой машины. Следовательно, К. П. Д. всех обратимых тепловых машин зависит только от температуры нагревателя T1 и холодильника T2 . Это утверждение называется теоремой Карно. Отметим, что приведённые выше рассуждения только иллюстрирюут теорему Карно, но не являются её доказательством. 18.6.6 Максимальный К. П. Д. тепловой машины Доказано, что К. П. Д. тепловой машины, совершающей необратимый цикл, не может быть больше К. П. Д. цикла Карно. T1 − T2 ηнеобр < T1 Отсюда следует, что невозможна тепловая машина, имеющая К. П. Д. равный единице. Можно показать, что если бы даже нам удалось достичь абсолютный нуль, цикл машины с T2 = 0 не удалось бы замкнуть конечными фрагментами. 18.6.7 Вечный двигатель второго рода Из того, что η < 1 следует невозможность вечного двигателя второго рода: Невозможность вечного двигателя второго рода невозможен периодический процесс, единственным результатом которого было бы совершение работы за счёт уменьшения внутренней энергии теплового резервуара. Это утверждение также называют вторым началом термодинамики в формулировке Томсона (лорда Кельвина). 109