Финансовые ренты. Потоки платежей. Определение наращенной стоимости годовой финансовой ренты

Раздел 6. ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ 6.1. Потоки платежей Современные финансово-банковские операции часто предполагают не отдельные или разовые платежи, некоторую их последовательность во времени. Например, погашение задолженности в рассрочку, выплата дивидендов, пенсий и т.д. Ряд следующих друг за другом выплат и поступлений называют потоками финансовых платежей. Финансовые потоки могут быть регулярными и нерегулярными. В регулярных финансовых потоках поступление средств осуществляется через одинаковые промежутки времени, например, взносы от погашения кредита, перечисление прибыли и т.п. Регулярные финансовые потоки называют также финансовыми рентами или аннуитетами. Величину каждой отдельной выплаты денег, входящей в состав ренты, называют членом ренты. Рентные платежи производят через равные промежутки времени. Эти временные интервалы между двумя платежами называют периодом ренты. Время, измеренное от начала финансовой ренты до конца последнего ее периода называется сроком ренты. Процентная ставка представляет собой ставку, используемую при наращении или дисконтировании платежей, из которых состоит рента. Наряду с этим, при характеристике отдельных видов финансовых рент применяются параметры: число платежей в году, число начисления процентов, моменты произведения платежей и др. 6.2. Виды финансовых рент В зависимости от размера платежа различают ренты постоянные и переменные. По времени осуществления платежи могут производиться в начале процентного периода. Такая рента называется пренумерандо. Если платежи осуществляются в конце процентного периода, то рента называется постнумерандо. Исходя из продолжительности периода, существуют годовые, полугодовые, ежемесячные, р-срочные, платежи. Регулярные финансовые потоки могут быть безусловными и условными. Последние выплачиваются после поступления какого-либо события. Различают также ренты немедленные, действие которых начинается сразу после заключенного договора, и отложенные, платежи по которым производятся по истечении некоторого оговоренного периода. 6.3. Определение наращенной стоимости годовой финансовой ренты Пусть задан регулярный финансовый поток постнумерандо. Суммарный годовой платеж обозначим . Предположим, что начисление процентов и осуществление платежей производится один раз в год. Наращенные отдельные платежи представляют собой геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем прогрессии , где - процентная ставка. Определим наращенную стоимость ренты , как сумму геометрической прогрессии: ; (6.1) Выражение называют коэффициентом или множителем наращения финансовой ренты. Он представляет собой стоимость регулярного потока платежей, каждый из которых равен одной денежной единице к моменту окончания всех платежей. Значения множителей наращения ренты приведены в приложении 4. Рассмотрим финансовую ренту пренумерандо, т.е. платежи осуществляются вначале каждого периода. Следовательно, число раз наращения каждого платежа на один раз больше, что дает увеличение каждого платежа в раз. Поэтому множитель наращения будет выглядеть следующим образом: следовательно, в этом случае (6.2) Пример. В течение 4 лет ежегодно в конце года на специальный счет поступает 50 тыс. руб. Определить наращенную стоимость начисления сложных процентов по ставке 10%. Решение: Рента постнумерандо; = 50 тыс. руб., = 4, = 0,1 Пример. Создается целевой фонд для обеспечения инвестиций в сумме 10 млн. руб. сроком на 5 лет, процентная ставка 20%. Определить ежегодные платежи пренумерандо. Решение: Найти . 6.4. Наращенная сумма годовой ренты с начислением процентов m раз в год Рассмотрим случай, капитализация процентов осуществляется чаще, чем один раз в год. Предположим, проценты начисляются m раз в год. В этом случае их каждый раз начисляют по ставке , где i - номинальная ставка процентов. Срок ренты n лет. Наращенные платежи представляют собой геометрическую прогрессию с первым членом R и знаменателем прогрессии . Наращенная сумма такой ренты определяется по формуле: (6.3) где R- размер годового платежа. Пример. На банковский счет ежегодно в конце года поступает 10 000 рублей в течение 7 лет. На эти средства ежеквартально начисляют проценты по номинальной ставке 15% годовых. Определить, какая сумма будет на банковском счете к концу срока. Решение: R=10 000 руб.; m = 4 раза в год; n =7 лет; i = 0, 15. 6.5. Наращенная величина р-срочной ренты Предположим, что вложение средств и капитализация процентов осуществляются чаще,чем один раз в год. Пусть - размер годового платежа; - срок финансовой операции (лет); - годовая процентная ставка; – число платежей в год; – количество начислений процентов. Тогда платеж за период Число процентных периодов , по ставке . Наращенные платежи представляют собой геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем прогрессии . Количество членов ренты равно р·n. Найдем ее сумму: (6.4) Для ренты пренумерандо: (6.5) Пример. Страховая компания принимает платежи по полугодиям равными частями по 250 тыс. руб. в течение 3 лет. Банк, обслуживающий компанию, начисляет проценты ежеквартально из расчета 10% годовых. Определить, какую сумму получит страховая компания по истечению срока договора. Решение: =250 тыс. руб., =500 тыс. руб.; i=0,1; p=2 раза; m=4 раза; n=3 года. Пример. Для обеспечения некоторых будущих расходов создается фонд средств. В фонд поступают платежи в виде постоянной годовой ренты постнумерандо в течение 5 лет. Размер разового платежа 4 млн. руб. На поступившие взносы начисляются проценты по ставке 18,5% годовых. Найти величину фонда на конец срока, если 1). Проценты начисляются, и платежи выплачиваются один раз в год.(). R = 4 млн.руб.; i = 18,5% годовых; n=5 лет. =28,90 млн. руб. 2). Проценты начисляются поквартально, платежи осуществляются один раз в год (= 4, =1), Переход от годового начисления процентов к поквартальному несколько увеличил наращенную сумму. 3). Допустим, проценты начисляются раз в год, платежи выплачиваются поквартально. (= 1, = 4); 4). Пусть платежи и начисление процентов производятся поквартально. (m = p = 4); 5). Пусть платежи производятся поквартально, а начисление процентов производится ежемесячно (= 12, = 4). 6.6. Определение современной стоимости годовой ренты Под современной стоимостью регулярных финансовых потоков понимают сумму всех платежей, дисконтированных на начало периода первого платежа. Дисконтированные отдельные платежи представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем . Ее сумма имеет вид: (6.6) Величина называется коэффициентом современной стоимости срочного аннуитета или коэффициентом приведения годовой ренты и характеризует современную величину обычного регулярного потока платежей, каждый из которых равен одной денежной единице. Значения коэффициентов приведения содержатся в приложении 5. Каждый член полученной геометрической прогрессии в (1+i) раз больше, чем в случае с рентой постнумерандо, следовательно: (6.7) Пример. В начале первого периода фирме предложено вложить 8 млн. руб. Доходы от инвестирования ожидаются в конце четырех последующих периодов по 2,2 млн. руб. Определить чистую приведенную стоимость, исходя из ставки сравнения 10% за период. Решение: Поскольку деньги имеют различную ценность в разные моменты времени, приведем все суммы к началу первого периода. Определим приведенную стоимость финансовой ренты постнумерандо, состоящей из четырех выплат по 2,2 млн. рублей (R=2,2 млн. руб.; i=0,1; n=4 года): Общая сумма приведенных поступлений на начало финансовой операции равна - 8+ 6,974 = - 1,026 млн. рублей.< 0. Следовательно, если поступления от инвестирования ограничиваются указанными, то проект убыточен. 6.7. Определение современной стоимости годовой ренты с начислением процентов m раз в год Начисление процентов производится m раз в год, то есть за весь срок ренты m·n раз. Годовой платеж равен R. Для определения современной стоимости ренты определим дисконтные множители каждого платежа: Современная стоимость ренты может быть определена, как сумма геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем . Следовательно: . (6.8) Пример. В течение семи лет ежегодно в конце года в фонд поступают по 10000 рублей. На них ежеквартально начисляются проценты по номинальной ставке 15% годовых. Определите современную стоимость фонда. Решение: R=10 000 руб.; i=0,15; m=12; n=7. 6.8. Определение современной стоимости р-срочной ренты с начислением процентов m в раз в год Предположим, что начисление процентов производится раз в год в течение лет по номинальной ставке . Каждый раз проценты начисляются по ставке . Количество начислений – . В общем случае современная стоимость финансовой ренты может быть определена по формуле (6.9) Пример. Ежеквартально в течение 2 лет на специальный счет поступает 100 тыс. руб. Определить современную стоимость финансовой ренты, если проценты по ставке 12% годовых начисляются ежемесячно. Решение: 100 тыс. руб.; = 4; = 0,12; = 2; =12. Т. о., современная стоимость данной финансовой ренты 701 079 руб. 6.9. Вечные ренты Наращенная сумма вечной ренты при любых ее параметрах равна бесконечно большой величине, в то же время ее современная величина имеет конкретное значение. Современная величина вечной ренты оказывается полезной характеристикой в ряде финансовых расчетов, например при замене некоторых потоков платежей, оценке финансовых инвестиций, в страховых расчетах. Современная величина вечной годовой ренты определяется по формуле: (6.10) Пример. Квартира арендована за 10000 $ в год. Какова выкупная цена аренды при годовой ставке процента 5%? Решение: R = 10 000 $; i = 0,05. Выкупная цена ренты - это современная величина всех будущих арендных платежей. Она равна . Заметим, что если поместить 200000 $ в банк под 5% годовую ставку, то годовые процентные деньги составят в точности 10 000 $. Формула для вычисления современной стоимости р-срочной вечной ренты с начислением процентов m раз в году имеет вид: (6.11) Пример. Определите цену вечной ренты, выплаты по которой в конце каждого месяца составляют 2 тыс. рублей при номинальной процентной ставке 12% годовых и ежеквартальном начислении процентов. Решение: 6.10. Конверсия рент В ряде случаев возникает необходимость принять условия финансового соглашения, предусматривающего выплату ренты. Процесс, связанный с изменением условий ренты, называется конверсией ренты. Иногда конверсия ренты заключается в замене ренты единовременным платежом. Иногда рента с одним набором условий заменяется рентой с другими условиями. При этом предполагается, что конверсия рент не приводит к изменению финансовых последствий для каждого из участвующих в соглашении сторон, то есть она должна основываться на принципе финансовой эквивалентности платежей. При этом находят современную величину данной ренты, а затем подбирают ренту с такой же современной величиной и нужными параметрами. Пример. Годовую ренту пренумерандо со сроком 5 лет, разовым платежом =2000 руб. и процентной ставкой =6% необходимо заменить рентой сроком 8 лет. Определите параметры ренты. Решение: R1=2 000 руб.; i=0,06; n1=5;n2=8. 1).Определим современную стоимость такой ренты. 2). Найдем разовый платеж восьмилетней ренты с такой же современной стоимостью. Для этого составим уравнение эквивалентности: 3). Разрешим это уравнение относительно 6.11. Объединение рент Предположим, несколько рент необходимо заменить одной. Замена базируется на принципе финансовой эквивалентности обязательств, который реализуется путем составления уравнения эквивалентности. При составлении уравнения эквивалентности находят современные величины рент-слагаемых и суммируют, а затем приравнивают эту сумму современной стоимости заменяющей ренты. Правило объединения рент: 1) находят современные величины рент-слагаемых и суммируют их; 2) приравнивают полученную сумму современной стоимости заменяющей ренты; 3) задав все параметры заменяющей ренты, кроме одного, из уравнения эквивалентности определяют недостающий параметр. Пример. Найти ренту-сумму для двух годовых рент постнумерандо: одна -длительностью 5 лет с годовым платежом 1000 $. , а другая - 8 лет с годовым платежом 800 $. Годовая ставка процента равна 8%. Решение: - современная величина первой ренты. - современная величина второй ренты. 3) Определим современную величину ренты-суммы: 3992,7+4597,28=8590,02=8589,98 $. Теперь можно задать либо длительность ренты-суммы, либо годовой платеж и затем определить второй из этих параметров. Предположим, что рента – сумма имеет длительность 6 лет, тогда уравнение эквивалентности имеет вид: Отсюда: . 6.12. Определение параметров ренты Постоянная рента описывается набором основных параметров , , и дополнительными параметрами p и m . Однако при разработке контрактов и условий финансовых операций могут возникнуть случаи, когда задается одна из двух обобщающих характеристик и и два основных параметра. В этом случае возникает необходимость определить значение недостающего параметра. а) Определение члена ренты Задается или и набор параметров, кроме . Необходимо определить значение . Пример. Определите ежегодный платеж для создания целевого фонда для погашения задолженности в сумме 100 тыс. рублей через 5 лет. Процентная ставка равна 20%. Решение: Поскольку , то , отсюда находим: = б) Определение срока ренты. Иногда при разработке условий контракта возникает необходимость определения срока ренты, если известны ее остальные параметры. Пример. Какой срок необходим для накопления 100 тыс. руб. при условии, что ежемесячно вносится по 1 тыс. руб., и на ежемесячные вложения начисляются проценты по ставке 24 % годовых. Решение: . Воспользуемся формулой: Получим следующее уравнение: Разрешим его относительно n: 6.13. Переменные финансовые ренты Наряду с постоянными рентами, в последние годы, в финансовой практике часто встречаются ренты, параметры которых изменяются во времени. Такие ренты носят называние переменных во времени. Суть расчета в этом случае сводится к тому, что, если процесс изменения переменной ренты носит не систематический характер, и соответственно его нельзя описать аналитически, то величину будущей и современной стоимостей таких потоков следует определять прямым счетом, наращивая и дисконтируя к требуемому моменту времени отдельные платежи и затем суммируя полученные величины. В общем случае современную стоимость финансовой ренты постнумерандо можно представить таким образом: (6.12) Здесь ожидаемые поступления в момент времени ; - временной горизонт. Расчет современной стоимости регулярных финансовых потоков используют при выборе наилучшего варианта инвестирования и возврата долга. Пример. Имеется переменный финансовый поток постнумерандо 20,12,8,45,30 (тыс. руб.). Рассчитайте приведенную стоимость финансового потока, если его период совпадает с базовым периодом начисления процентов по сложной процентной ставке 25% годовых, т.е. равен одному году. Как изменяется оценка финансового потока, если он представляет собой поток пренумерандо? Решение: Для определения стоимости финансового потока пренумерандо необходимо умножить полученный результат на .