Финансовая математика

Финансовый Университет при Правительстве РФ Департамент анализа данных, принятия решений и финансовых технологий. Сунчалин Андрей Марсович Финансовая математика Литература  Основная  Брусов П.Н., Брусов П.П., Орехова Н.П., Скородулина С.В.,Финансовая математика. М., «Кнорус», 2013, 224 с.  Брусов П.Н., Брусов П.П., Орехова Н.П., Скородулина С.В., Задачи по финансовой математике. М., «Кнорус», 2014, 285 с.  Попов В.Ю., Шаповал А.Б., Инвестиции. Математические методы,М., «Форум», 2008, 144 с. Литература  Основная • Четыркин Е.М., Финансовая математика. М., «Дело», 2011, 400 с..  Бабайцев В.А., Гисин В.Б. Математические методы финансового анализа. М. «Финуниверситет», 2011, 200 с..  Дополнительная • Малыхин В.И., Финансовая математика. М., «ЮНИТИ», 2003, 238 с.. • Брусов П.Н., Филатова Т.В., Финансовый менеджмент. Финансовое планирование. М., «Кнорус», 2013, 226 с. Методология финансово-экономических расчетов Рис.1. Схема взаимодействия кредитора и заемщика КРЕДИТОР-P  Заключая ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЗАЕМЩИК-S финансово-экономические сделки, договаривающиеся стороны оговаривают определенные условия, изменение которых сопряжены с выгодой для одной стороны и убытками с другой стороны. Учитывая это обстоятельство, обе стороны заинтересованы в объективной и грамотной количественной оценке условий сделки, которая строится на основе финансовых вычислений. Время как фактор в финансовых расчетах.  Учет фактора времени обусловлен неравноценностью денег. Равные по абсолютной величине «сегодняшние деньги ценнее будущих. Зависимость ценности денег от времени объясняется тремя причинами:  1. Деньги могут эффективно использоваться, как финансовый актив, приносящий доход, то есть их можно инвестировать и тогда они будут приносить доход.  2. Инфляционные процессы обесценивают деньги во времени, то есть сегодня на рубль можно купить товара больше чем завтра.  3. Неопределенность будущего и связанный с этим риск повышают ценность имеющихся денег. Имея рубль сегодня его уже можно израсходовать на потребление, а будет ли он завтра – еще вопрос. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ  1.P– первоначальная сумма долга или современная (текущая) стоимость (PV- present value); )  2. I- проценты (процентные деньги) I - абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг в виде: выдачи денежной ссуды, продажи в кредит, учета векселя, помещения денег в банк и т.д. При этом различают два способа начисления процентов:1. выплаты процентов кредитору по мере их начисления;2. присоединения к сумме долга.  3.Наращение первоначальной суммы - процесс увеличения денег в связи с присоединением процентов к сумме долга.  4. S– наращенная сумма или будущая стоимость (FV- future value), т.е. первоначальная сумма долга с начисленными на нее процентами к концу срока суды Схема начисления процентов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ  Процентная ставка i - отношение суммы процентных денег, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени к величине ссуды.  Период начисления n- интервал времени, к которому относится процентная ставка.  Коэффициент наращения или множитель наращения K, – это отношение наращенной суммы к первоначальной сумме долга Разделы курса  Теория процентов Простые проценты  Сложные проценты  Финансовые потоки Ренты Консолидация и конверсия рент  Облигации  Портфельный анализ  Опционы Теория процентов  Начисления простого процента.  Начисление сложного процента.  Эффективная процентная ставка.  Процентная ставка в условиях инфляции. Реальная и номинальные процентные ставки.  Формула Фишера. Понятие процента Величина b составляет долю от величины , если a i b  ia b Величина от величины составляет , если p% a p b a 100 12 В операциях наращения и дисконтирования присутствует коэффициент, который называется процентной ставкой. Именно ее величина интересует инвестора при принятия решения. Прогнозирование процентных ставок является одной из важнейших экономических задач. Наращение капитала по процентной ставке a Долю i величины капитала называют процентной ставкой. Процент p связан с процентной ставкой формулой p  100  i За один период времени (например год) капитал может увеличится на p%. Тогда наращенный капитал вычисляется по формуле p a a  a  ia  a(1  i) 100 14 Простые проценты За первый период прирост капитала составляет величину iS0 В случае применения метода расчета по формуле простых процентов считается, что и в каждый последующий период прирост капитала (например долга) составляет величину iS 0 Тогда за периодов прирост n 15 Простые проценты Капитала составит величину niS 0 . Таким образом сумма капитала S n образующегося через периодов вычисляется по формуле n Sn  S0  niS0  S0 (1  ni) Формула Sn  S0 (1  ni) называется формулой простых процентов. Множитель (1  ni ) называется коэффициентом наращения. 16 Простые проценты S S=S0 (1+ni) S0 ni S0 i S0 1 n t Сложные проценты При длительных сроках кредитно денежных отношений естественно применять процентную ставку не к первоначальному капиталу, а к капиталу предыдущего периода. Т. е. полученные проценты реинвестируются или другими словами происходит капитализация полученных процентов. В этом случае Sn  Sn1 (1  i ) 18 Сложные проценты Т. О. S1  S0 (1  i ) S2  S1 (1  i)  S0 (1  i)(1  i)  S0 (1  i)2 S3  S2 (1  i)  S0 (1  i) (1  i)  S0 (1  i) 2 Sn  S0 (1  i) 3 n Последняя формула называется формулой сложных процентов n (1  i) - множитель наращения за n периодов 19 Сложные проценты S S  S0 (1  i) n S 1 t Проценты за нецелое число периодов В формулы простых и сложных процентов можно подставить вместо целого числа t периодов нецелое число . В результате получим формулы n St  S0 (1  ti) St  S0 (1  i) t Применяется также смешанный метод t  n, b периодов вычисления процентов за n — целая часть числа t , b — его где дробная часть. Sn  S0 (1  i)n (1  bi) 21 Учёт времени в днях. t K t T K K  360 K  365(366) 22 Практика начисления простых процентов            В практике используются три варианта расчета : а) точные проценты (“английская практика расчета“): n=tT/TT (1.3.1) где tT - точное число дней ссуды и TT=365 или 366 дней. б) обыкновенные (коммерческие) проценты ("французская практика расчета" ): n=tT/To (1.3.2) где To=360 дней в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды ("германская практика расчета“), n=to/To (1.3.3) где to- продолжительность ссуды определяется числом месяцев, когда все месяцы содержат по 30 дней, и дней ссуды.) Замечание. При расчетах дата выдачи и дата погашения долга считается за один день. Вариант расчета с приближенным измерением времени ссуды и точной временной базы не применяется. Пример.1.2. Ссуда, размером 100 000 руб., выдана на срок с 21 января 2009 г. до 3 марта 2009 г. при ставке простых процентов, равной 15% годовых. Найти:а) точные проценты с точным числом дней ссуды; б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды; в) обыкновенные проценты с п р и б л и ж е н н ы м ч и с л о м д н е й с с у д ы .  Решение.  Для вычисления воспользуемся формулами: I = S0 n i = S0( t / T ) i; n = t / T  а) T = 365, t = 41, Iа = 100 000 * 41 / 365 * 0,15 = 1 684,93 руб.  б) T = 360, t = 41, Iб = 100 000 * 41 / 360 * 0,15 = 1 708,33 руб.  в) T = 360, t = 42, Iв = 100 000 * 42 / 360 * 0,15 = 1 750,00 руб. Примеры Пример 1. Ссуда 150000 руб. выдана на 4 года под 20% годовых (простые проценты). Какова величина накопленного долга? 20   S4  S0 (1  4i )  150000 1  4   270000 100   Пример 2. Вклад в размере 3000 руб. положен в банк на депозит 10 марта под 15% годовых по схеме сложных процентов. Какую сумму вкладчик получит 22 октября? (Считаем, что в месяце 30 дней, а году 360 дней). 25 Примеры (продолжение) 26 Решение примера 3 Под процентом или процентными деньгами подразумевается разность между наращенной суммой и величиной вклада. В случае простых процентов эта разность вычисляется по формуле I  tiS0 Отсюда 18 0,15S0  10000 Следовательно 12 S0  10000 12  44444, 44 18  0,15 27 Кратное начисление процентов St , m m  12 St , m m4 i    S0 1  mt   S0 (1  it ) m   28 Наращение по сложным процентам при изменении ставки во времени  Если ставка сложных процентов меняется во времени, то формула наращения имеет вид: m S  S0  (1  i1 )n1  (1  i2 )n2  ... (1  im )nm  S0   (1  ik )nk k 1  где i1, i2,..., ik - значения ставок процентов, действующих в соответствующие периоды времени n1 , n2 , ... ,nk , -  (1  i )  множитель наращения. m nk k 1 k Номинальная ставка процентов  Пусть годовая ставка сложных процентов равна i, а число периодов начисления в году т. При каждом начислении проценты  капитализируются, то есть добавляются к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. Каждый раз проценты начисляют по ставке i/m.  Ставка i - называется номинальной.  Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле: S = S0 *(1+ i/m )N, где N - число периодов начисления (N = m*n, может быть и дробным числом). Кратное начисление процентов В случае сложных процентов St , m i    S0  1   m  mt Пример. В банк положен депозит в размере 1000 руб. под 10% годовых по схеме сложных процентов. Найти величину депозита через 3 года при начислении процентов 1; 4; 6; 12 раз в году. 31 Решение примера Вычислим по приведённой формуле S3;1  1000(1  0,1)3  1331 S3;4 S3;6 s3;12 0,1    1000 1   4   34 0,1    100  1   6   0,1    s0 1   12    1344,9 36  1346,5 312  1348, 2 32 Непрерывное начисление процентов Если частота начисления сложных процентов неограниченно возрастает, то имеет место непрерывное начисление процентов. Наращенная величина вычисляется с помощью второго замечательного предела mt i   it St ,  lim St ,m  lim S0 1    S0e m m  m Процентную ставку называют силой роста и обозначают через  . Формула непрерывного начисления процентов S (t )  S0  e t 33 Для операций наращения важным является также момент начисления процентов. Антисипативный (предварительный) — начисление процентов происходит в начале расчетного периода. Декурсивный (последующий)— начисление процентов происходит в конце расчетного периода. При антисипативном методе начисления доход, вообще говоря, получается больший. В нормальной экономике используют декурсивный метод начисления процентов, а антисипативный обычно используется в условиях сильной инфляции. Эквивалентность процентных ставок Схемы начисления процентов называются эквивалентными, если коэффициенты наращения по этим схемам одинаковы. Исследуем эквивалентность простой и сложной формул начисления процентов, исходя из условия Sn ,прост  Sn ,сложн , т.е. n n S0 (1  niпр )  S0 1  iсл  Откуда 1  iсл   1  iпр  n 37 Эффективная процентная ставка Для каждой схемы начисления процентов можно найти такую годовую ставку сложных процентов iэфф , начисление по которой эквивалентно начислению по первоначальной схеме. Ставка iэфф называется эффективной процентной ставкой. Найдём эффективные процентные ставки для кратного и непрерывного начисления процентов. 38 Эффективная процентная ставка j Обозначим через номинальную процентную ставку при p-кратном начислении процентов. Тогда S0 1  iэфф  t  j  S0 1   p  pt  p iэфф  j  1    1 p  1  j  p  1  iэфф  p  1   В случае непрерывного начисления процентов с силой роста  t S0 1  iэфф   S0e t  iэфф  e  1 39 Пример1. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты ежеквартально – m=4, исходя из номинальной ставки j=0,16 или 16% годовых. Решение Вычисления проводим по формуле (2.5) и находим iэ = (1+ 0,16 /4)4 - 1 = 0,170, или 17,0%.  Пример2. Определить, какой должна быть номинальная ставка - j=? при ежеквартальном начислении процентов-m=4, чтобы обеспечить эффективную ставку iэ= 12% годовых.  Решение.  Вычисления произведем по формуле (2.6):  j = m [(1+ iэ )1/m-1] = 4*[ (1+0,12) (1/4) - 1 ] = 0,11495, т.е. 11,495%. Эффективная процентная ставка позволяет сравнить доходности различных финансовых операций или сравнить различные схемы начисления процентов. Дисконтирование S0 St S0 St Проценты в виде разности D = S – S0 называются дисконтом или скидкой. 43 Математическое дисконтирование  Математическое дисконтирование- решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды.  Если в прямой задаче рассчитывается наращенная сумма S = S0(1+ n*i ), то в обратной находится  S0 = S* 1/ (1 + n*i ) (*)  Где Kd=1/(1+ n*i ) - дисконтный множитель, показывающий, какую долю составляет первоначальная сумма ссуды в окончательной величине долга.  Дисконт суммы S равен D = S - S0 . (**) Математическое дисконтирование В случае простых процентов В случае сложных процентов St S0  1 t i St S0  t (1  i ) В случае кратного начисления процентов и непрерывного начисления процентов формулы имеют вид St S0   t e S0  St  i  1  p    pt 45 Пример 1. Через 90 дней после подписания договора должник уплатит 1 000 000 руб. Кредит выдан под 20% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?  Дано:S = 1 000 000 руб., n = t/K = 90/360, i = 0,20 или 20%. Найти P = ?  Решение: Воспользуемся формулами (*) и (**):  S0= S / (1 + n*i ) = 1 000 000 / (1+0,20*90/360) = 952 380,95 руб.  D = S – S0= 1 000 000 - 952 380,95 = 47 619,05 руб. Банковский учёт Банковский учёт ─ это покупка банком денежных обязательств по цене меньшей номинальной. Примером может служить вексель ─ долговая расписка, содержащая обязательство выплатить определённую денежную сумму (номинал) в определённый срок. В случае покупки денежного обязательства из номинальной стоимости удерживается 47 Банковский учёт Дисконт I t так что S0  St  I t Дисконт вычисляется с помощью учётной ставки Различают простую и сложную учётную ставку. В случае простой учётной ставки d I t  St  d  t S0  St (1  td ) Для сложной учётной ставки S0  St (1  d ) t 48 Пример 1 Вексель стоимостью 100000 руб. учитывается за 4 года до погашения по сложной учётной ставке 15% годовых. Найти сумму, получаемую векселедержателем, и величину дисконта. Сумма получаемая векселедержателем 4 S  100000(1  0,15)  52200,6 Величина равна 0 дисконта равна I 4  S4  S0  100000  52200,6  47799,3 49 Пример 2 Клиент имеет вексель на 16000 у.е., который он хочет учесть 10.01.2014 в банке по сложной учётной ставке 8%. Какую сумму он получит, если срок погашения 10.07.2014? Продолжительность финансовой операции составит t  T0  30  6  0, 49 K 365 Сумма, полученная клиентом, составит S0  16000(1  0,08) 0,49  15359,46 50 Пример 3 S (0) 7 d  1  1  0,099 S (1) 7,77 51 Эффективная учётная ставка Пусть d эфф ─ годовая (эффективная) учётная ставка (ставка дисконтирования) при кратности начисления m. Эквивалент. эффективная ставка определяется исходя из принципа эквивалентности: m nm  d S0 (1  d эфф )  S0 1    m n  d эфф  d  1  1    m Обратно учётная ставка d выражается через эффективную учётную ставку d эфф  d  m 1  m 1  d эфф  52 Нахождение эквивалентных эффективных ставок 53 Вычисление параметров финансового процесса Формулы наращения и дисконтирования Sn  S0 (1  i )n S0  Sn (1  d )n позволяют вычислять процентную или учётную ставку, а также срок платежа, если остальные параметры известны. Пример. На какой срок необходимо положить в банк 12000 руб., чтобы накопить 15000 руб., если банк принимает вклады под простые (сложные) 8% годовых? 54 Решение примера Для простых процентов воспользуемся формулой Sn  S0 (1  ni) Откуда 15000 1 15000  12000(1  0,08n)  n  12000  3,125 0,08 Для сложных процентов воспользуемся n формулой S  S (1  i )  (1  i)n  S0  n n  log1i Sn ln Sn S0  S0 ln(1  i )  Sn 15000 ln ln1,25 12000 n   2,9 ln(1  0,08) ln1,08 55 Количество лет для увеличения начальной суммы в N раз для простых процентов для сложных процентов N 1 n r T ln N n  T0 ln( 1  r ) k ln N r m(ln(1  )) m Удвоение капитала. Правило 70 n 57 Процентная ставка в условиях инфляции. Если имеется инфляция, то для сохранения заданной доходности необходимо учитывать темп инфляции и расчеты проводить по процентной ставке, учитывающей инфляцию. В некоторых странах для компенсации инфляции используется метод индексации первоначальной суммы платежа. Эта сумма индексируется периодически с помощью заранее оговоренного коэффициента. Учёт инфляции. Темп инфляции равен S1  S0  S0 S1 — стоимость товара через период, например, через год S 0 — стоимость товара в начале периода. Очевидно, что из-за инфляции на ту же сумму денег можно купить меньше. Для того, чтобы купить такое же количество товара нужна сумма . S1  S0 (1   ) Учёт инфляции Говорят, что инфляция составляет долю α в год. Если стоимость товара за год увеличивается в (1+α) раз. Инфляция уменьшает реальную ставку процента. При инфляции деньги обесцениваются в 1+α раз, поэтому реальный эквивалент наращенной за год суммы S1  S0 (1  i ) будет в (1+α) меньше 62 Влияние на ставку процентаинфляции S0 (1  i ) S0 (1      i ) S1 S     1  1  1  S0 (1    (i   ))  1  i     S0     S0 1  i  1   1  1   Через i обозначена процентная ставка с i учётом инфляции ( по прежнему номинальная ставка без учёта инфляции) 63 Формула Фишера Таким образом получается формула ставки процента с учётом инфляции, называемая формулой Фишера i  i  1  При малой инфляции реальная процентная ставка меньше номинально примерно на величину инфляции. 64 Формула Фишера При достаточно высокой инфляции реальная ставка i может стать отрицательной. В такой ситуации кредитор будет работать себе в убыток, а заемщик обогащаться. Чтобы этого не произошло, необходимо скорректировать номинальную процентную ставку , по которой происходит i наращение. Она должна по крайней мере не быть ниже ставки инфляции . i  65 Такая процентная ставка обеспечивает реальную эффективность кредитных операций. Полученная зависимость номинальной процентной ставки от темпа инфляции может быть проверена статистическими методами, например, построить регрессионную модель. Такая проверка была проведена. Предсказанная линейная зависимость подтвердилась. Пример Какую ставку должен установить банк, чтобы при инфляции 8% годовых он мог иметь 10%-ю доходность? i  Решим уравнение Фишера i  1  относительно  i  i (1   )    0,1(1  0,08)  0,08  0,188 Итак ответ 18,8% превышает простой ответ 18%, получаемый сложением темпа инфляции и номинальной процентной ставки. 68 Темп инфляции за несколько периодов Пусть темпы инфляции за последовательные периоды времени t1 , t2 ,..., tn равны 1 , 2 ,..., n соответственно. Найдём темп инфляции за период t . t1  t2  ...  tn Ввиду того, что уровень цен вычисляется исходя из цен предыдущего, а не начального периода, темп инфляции за период t  t1  t2  ...  tn равен   1  1 1   2 ...1   n   1 69 Темп инфляции за несколько периодов Как видим суммарный темп инфляции не равен сумме инфляций. Для равных темпов инфляции 1   2  ...   n общий темп вычисляется по формуле   1  1   1 n Зная суммарный темп инфляции Можно вычислить темп инфляции За малый период  1 1  n 1    1 70 Примеры t1 , t2 t1  t2   1  1 1   2   1  1   2  1 2  0,1  0,2  0,1 0,2  0,32 71 Примеры    1  1   1  (1  0,02)  1  26,8% 12 12 72 Учет налогов  А. Проценты по вкладу в банке не облагаются налогами, если они не превышают ставку рефинансирования Банка России +5% (i0). В противном случае с процентов, превышающих i0 взимается налог t = 35%. Эффективную процентную ставку можно найти из соотношения S  S0 (1  i)  t (i  i0 )  S0 (1  iэфф ) Отсюда iэфф  i(1  t )  ti0 . 73 Б. Проценты за кредит исключаются из налогообла- гаемой базы, если они не превышают i*. 1. Если кредитная процентная ставка не превышает i* , то эффективная ставка по взятому кредиту D равна iэфф  i(1  t ). 2. Если кредитная процентная ставка превышает i* , то эффективная ставка равна iэфф  i(1  t )  t i. 74 Модели финансовых потоков Потоки платежей  Финансовые контракты могут предусматривать не отдельные разовые платежи, а серию платежей, распределенных во времени (регулярные выплаты). Например, погашение долгосрочного кредита, вместе с начисленными на него процентами; периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т.д.); дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам; выплаты пенсий из пенсионного фонда и пр.  Поток платежей представляет собой ряд последовательных выплат и поступлений, причем выплаты выражаются отрицательными величинами, а поступления – положительными. Финансовые потоки P , произведённый в момент Платёж времени t , называется финансовым событием и обозначается упорядоченной (t , P) парой ( P, t ) или Конечная или бесконечная последовательность финансовых событий ( P0 , t0 ),( P1 , t1, ),( P2 , t2 ),...,( Pn , tn ) Называется потоком. дискретным финансовым 77 Приведённая величина финансового потока Финансовые потоки обозначатся символом CF (cash flow) CF  {( P0 , t0 ),( P1 , t1 ),...,( Pn , tn ) Напомним, что деньги имеют временную ценность. Это не позволяет непосредственно суммировать платежи, относящиеся к различным моментам времени. 78 Современная величина потока платежей Современная величина потока платежей (А,РV) сумма всех его членов R, дисконтированных (приведенных) на некоторый момент времени, совпадающих с началом потока платежей или Логика финансовой операции определения предшествующих ему.величины Логику финансовых A- современной суммы потока платежейопераций по определению современной суммы A величины потока платежей легко понять из рис.3.2. Современная величина A может характеризовать приведенную прибыль, приведенные издержки и пр. i i А i i R R R n R t время  Рис. 3.2. Схема дисконтирования потока платежей (получения их современной суммы A Понятие приведенной стоимости позволяет сравнивать различные денежные потоки. Один финансовый поток предпочтительнее другого, если он имеет большее значение приведенной стоимости. Приведённая величина финансового потока Для того, чтобы вычислить величину потока в какой то момент времени t необходимо каждый платёж привести к этому моменту времени по некоторой процентной ставке i , которая предполагается известной и неизменной для всего потока, и затем суммировать эти дисконтированные платежи. Обычно дисконтирование происходит по схеме сложных процентов. i 81 Приведённая величина финансового потока t t PVt P0 P1 PVt    ... t0  t t1 t (1  i ) (1  i) 82 Современная и будущая величина финансового потока t0  0 PV P1 P2 PV  P0    ... t1 t2 (1  i ) (1  i) n P  P0 (1  i)  P1 (1  i)  ...  Pn (1  i)   Pk (1  i) t  t0 t t1 t  t0 t t k k 0 83 Будущее накопленное значение FVt (CF , i) FVt t  tn  tn  tk (1  i) t FVt  FVtn (1  i) t t n tn t t n 84 Наращенная сумма потока платежей  Наращенная сумма потока платежей (S,FV) это сумма всех членов последовательности платежей финансовой определения RЛогика с начисленными на операции них процентами к концу срока S -ренты. наращенной величины потока Логикасуммы финансовых операций по платежей определению величины наращенной суммы потока платежей - S отражена на рис. 3.1. В качестве S может выступать итоговый размер создаваемого инвестиционного или какого-либо другого фонда или общая сумма з а д о л ж е н н о с т и . i i S i i R R R n R t время  Рис. 3.1. Схема формирования наращенной суммы S потока платежей Средний срок финансового потока  86 Дюрация 87 Дюрация потока платежей Формула среднего срока потока платежей является приближенной, так как не учитывает срока поступления каждого платежа. Если все платежи привести к начальному моменту времени (или любому одинаковому моменту времени), то по аналогии со средним сроком потока платежей получим точную среднюю продолжительность потока, называемую дюрацией (duration). 88 Пример Найти средний срок потока CF  {(0,100),(1,200),(2,400),(3,100)} По предыдущей формуле t Pt 100  0  200 1  400  2  100  3 1300 1 1  ...  Pn tn    1,025 P1  ...  Pn 100  200  400  100 800 Если все платежи положительные, то t1  t  tn в общем же случае средний срок потока может лежать вне временного интервала платежей. 89 Обыкновенные ренты Поток положительных платежей, разделённых равными временными интервалами, называется финансовой рентой, или просто рентой. Промежуток времени между двумя последовательными платежами называется периодом ренты (rent period, payment period). Считается, что каждый платёж производится либо в начале соответствующего периода, либо в конце. 90 Обыкновенные ренты В первом случае ренту называют авансовой или пренумерандо (annuity due), во втором ─ постнумерандо (ordinary annuity). Ренты с конечным числом платежей называют конечными. Промежуток времени между началом первого периода и окончанием последнего называется сроком конечной ренты. 91 Обыкновенные ренты Ренты с бесконечным числом платежей называются бесконечными, вечными или перпетуететами (perpetuity). Если же платежи равны меду собой, ренту называют постоянной. В дальнейшем будем рассматривать именно постоянные ренты. Рента описывается следующими параметрами: Размером отдельного платежа (член ренты), периодом и сроком ренты, числом платежей в году p (p-срочные ренты). Существуют также непрерывные ренты, p   . 92 Коэффициенты приведения и наращения рент Ренты характеризуются также числом начисления процентов (k-кратные ренты). В случае когда период постоянной ренты равен одному году рента называется годовой рентой или аннуитетом (annuity). Найдём текущую (приведённую) стоимость A ренты постнумерандо {(0,0),( R,1),( R,2),...,( R, n)} 93 Коэффициенты приведения и наращения рент Вычислим приведённую величину по формуле R R R A   ...  2 1  i (1  i ) (1  i ) n Величина A является суммой n членов геометрической прогрессии с первым членом b  R и знаменателем q  1 1 1 i Воспользуемся формулой суммы 1 i n 94 Коэффициенты приведения и наращения членов геометрической прогрессии b 1  q  S  n 1 n R  1  1 n 1  1  (1  i )  n    1  (1  i) n 1  i  (1  i )  1  i A  R 1 1  i 1 i 1 1 i 1 i Таким образом а величина an  i 1 q 1  (1  i )  n A R i 1  (1  i )  i n 95 Коэффициент наращения коэффициентом приведения ренты. Наращенная сумма определяется равенством S  R(1  i )n1  R(1  i ) n2  ...  R которая также является суммой геометрической прогрессии с первым членом b1  R и знаменателем (1  i ) Тогда 1  (1  i) n (1  i) n  1 SR R 1  (1  i) i Величина sn  i (1  i )  i n 96 Рента пренумерандо называется коэффициентом наращения ренты. Коэффициенты приведения и наращения связаны формулой sn  i  an  i (1  i) n Найдём текущую (приведённую) стоимость A ренты пренумерандо {( R,0),( R,1),( R,2),...,( R, n  1),(0, n)} Эта приведенная величина представляет собой сумму 97 Рента пренумерандо геометрической прогрессии A R R R  ...  1 i (1  i ) n1 1 С первым членом R и знаменателем 1 i  1  Тогда R 1  n  n (1  i ) 1  (1  i ) R A  (1  i ) 1 i 1 1 i Множитель n ani 1  (1  i )  (1  i ) i 98 Рента пренумерандо называется коэффициентом приведения ренты пренумерандо. Наращенная сумма ренты пренумерандо S  R(1  i)  R(1  i) n n 1  ...  R(1  i) Также вычисляется как сумма геометрической прогрессии и равна n (1  i )  1 SR (1  i ) i 99 Связь между приведённой величиной и наращенной суммой аннуитета Коэффициент при R называется множителем наращения ренты пренумерандо и равен (1  i ) n  1 sn  i  (1  i) i Приведённая величина A и наращенная сумма S ренты пренумерандо связаны между собой простым соотношением S  A(1  i) n 100 Расчет параметров ренты Действительно n 1  (1  i ) (1  i )  1 n A(1  i )  R (1  i )  R S i i Рассмотрим параметры, характеризующие ренту: срок ренты n , размер отдельного платежа R , процентную ставку i , наращенную сумму S , приведённую величину A . n n 101 Расчёт параметров ренты Эти величины являются зависимыми, поэтому одни из них можно выразить через другие. 1. Если известны A, i, R, то n вычисляется из уравнения n 1  (1  i ) A R i  Ai  ln 1   Ai Ai  Ai   R  n n 1  (1  i)   (1  i)  1   n  log1i 1    R R  R  ln(1  i) 102 Расчёт параметров ренты  Ai  ln 1   R  n ln(1  i ) 2. аналогично предыдущему случаю, если известны S , i, R,то находится из  S уравнения (1  i ) n  1 ln 1  n SR 3. Если известны i n, i, A, то   R n  ln(1  i ) Ai R 1  (1  i )  n 103 Расчёт параметров ренты Si 4. Если известны n, i, S,то R  n (1  i )  1 5. Если заданы n, R, A , то процентная ставка i определяется из уравнения 1  (1  i) n A R i 6. Если заданы n, R, S , то процентная ставка определяется из уравнения 104 Расчёт параметров ренты (1  i )  1 SR i n Последние два уравнения не решаются аналитически, их можно решить только приближённо с любой степенью точности. Пример. Найти срок ренты постнумерандо, если известны S=2000, i=15%, R=100. 105 Расчёт срока ренты (решение примера)  iS  ln 1   R  Воспользуемся формулой n  ln(1  i ) Тогда  2000  0,15  ln 1   100   ln 4  9,9 n  ln(1  0,15) ln1,15 Таким образом годовая рента может выплачиваться 10 лет. Но в конце десятого года наращенная сумма немного превысит величину S  2000 , поэтому платёж R в конце десятого года можно уменьшить. 106 Вечные ренты Если рента выплачивается бесконечно долго, n   , то наращенная сумма не существует, она тем более бесконечна, ( S  ). Однако приведённая величина существует. Можно вычислить сумму денег A , которую надо положить на счёт, чтобы из этой суммы ежегодно выплачивался платёж R 107 Вечные ренты Рассмотрим бесконечную последовательность платежей {(0;0),( R;1),( R;2),...} Приведённая сумма платежей определяется как бесконечная сумма R R A   ... 2 1  i (1  i ) Эта сумма представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии 2 b1  b1q  b1q  ... 108 Вечные ренты и вычисляется по формуле В нашем случае 1 R q b1  1 i 1 i b1 1 q Поэтому приведённая сумма R 1 R R A    1  i 1 i 1 i 1 1 (1  i ) 1 i 1 i Множитель приведения a i 1  i 109 Примеры Пример 1. Найти размер вклада, обеспечивающего получение в конце каждого года 2000 руб. бесконечно долго при сложной ставке 14% годовых Решение. По формуле получим R 2000 A   14285,71 i 0,14 Пример 2. Для бессрочной ренты определить, что больше увеличит приведённую стоимость этой ренты: увеличение рентного платежа на 1% или уменьшение процентной ставки на 1%? 110 Решение примера 2 R 0,01R 1,01R  1,01A i i 0,99i R  1,0101A 0,99i 111 P-срочная рента 112 P-срочная рента 113 P-срочная рента в случае однократного начисления процентов (k=1) n np ( p) A  R p(1  i ) 1  p 1  (1  i )  np 1  (1  i ) 1 p p n R 1  (1  i )   1 p (1  i) p  1 S ( p) S ( p) R (1  i ) n  1   1 p (1  i ) p  1 114 P-срочная рента с k-кратным начислением процентов Если рентные платежи производятся p в год, а проценты начисляются k раз в год, то наращенная величина ренты вычисляется по i kn формуле (1  S ( p) ) 1 R k   p (1  i ) k p  1 k i  А приведённая величина 1   1   R k ( p)  A   по формуле k p  i  1   k  p  kn 1 115 P-срочная рента с непрерывным начислением процентов k  ( p) k A R 1 e   1 p e p 1 R e 1   1 p e p 1 ni  ni S ( p) k 116 Непрерывная рента p   , получим Переходя к пределу при непрерывный поток платежей с постоянной плотностью R , называемую непрерывной рентой. Находя предел при n R 1  (1  i ) получим p   от A( p )   1 p (1  i ) p  1 выражение для приведенной величины непрерывной ренты n () A 1  (1  i )  R ln(1  i ) 117 Непрерывная рента Для наращенной суммы непрерывной ренты аналогичным образом получаем формулу S () (1  i ) n  1  R ln(1  i ) Найдём приведенную величину непрерывной ренты с k-кратным начислением процентов как () ( p) предел Ak  lim Ak p-срочной ренты с k-кратным p  начислением процентов при p   от  nk i  получим 1  1   ( p) k A R k    1 p  i p 1    1  k 118 Непрерывная рента с k-кратным начислением процентов Вычисляя предел находим  nk Ak(  ) i  1  1   k  R  i  k ln 1    k Аналогичным образом вычисляем наращенную величину непрерывной ренты с k-кратным начислением процентов 119 Непрерывная рента с непрерывным начислением процентов nk i  1    1 k Sk(  )  R   i  k ln 1    k Переходя в последних формулах к пределу при k   получаем формулы для вычисления приведённой и наращенной величин непрерывной ренты с непрерывным начислением процентов A , , S , 120 Непрерывная рента с непрерывным начислением процентов Приведём эти формулы A , 1 e  R i  ni e 1  R i ni S  , 121 Задача 1 Определить период, за который начальный капитал в размере 46000 руб. вырастет до 75000 руб., если ставка простых процентов равна 15% годовых. Выразим период t из равенства 75000  46000  1  t  0,15  Откуда 75000 1 t  46000  4, 202 0,15 122 Задача 2 На счет в банке кладется сумма в размере 20000 руб. на 4 года под 11% годовых по схеме простых процентов с дальнейшей пролонгацией на последующие 2 года под 6% годовых по той же схеме. Найти размер вклада через 6 лет. Определить наращенную сумму, если вклад изымается через 4 года и кладется на новый счет на 2 года по той же схеме. 123 Задача 2 В первом случае проценты начисляются на первоначальную сумму 20000. Во втором последние 2 года проценты начисляются на наращенную за первые 4 года сумму 20000(1+4∙0,11). Поэтому в первом случае наращенная сумма равна 20000(1+4∙0,11)+2000∙2∙0,06=31200 Во втором 20000(1+4∙0,11)(1+2∙0,06)=32256 124 Задача 3 В банк положена сумма 150000 руб. сроком на 6 лет по ставке 14% годовых. Найти наращенную сумму, величину полученного процента и эффективную процентную ставку для следующих вариантов начисления процентов: а) полугодового; б) ежеквартального; в) ежемесячного; г) непрерывного при силе роста 14%. 125 Задача 3 Воспользуемся формулами i  S n  S0  1    k а) kn k iэфф j   1    1  k 26  0,14  S6  150000 1    337828,74 2   2 iэфф  0,14   1    1  0,1449  14, 49% 2   126 Задача 3 б)  0,14  S6  150000 1   4   46  342499, 27 4 iэфф в)  0,14   1    1  0,1475  14,75% 4   126  0,14  S12  150000 1   12    345769,74 12  0,14  iэфф  1    1  0,1493  14,93%  12  127 Задача 3 г) наращенная сумма вычисляется по формуле Sn  S0e n , а эффективная  i  e 1 процентная ставка по формуле эфф S6  150000e 60,14  347455,04 iэфф  e  1  0,1503  15,02% 0,14 128 Задача 4 Для создания премиального фонда один раз в год производятся взносы в размере 15000 руб. На вносимые средства начисляются проценты под 12% годовых. Определить размер фонда через 7 лет в следующих случаях: а) поступление средств в конце года, ежеквартальное начисление процентов; б) поступление средств в конце квартала, начисление процентов 6 раз в году; в) ежемесячное поступление средств и ежеквартальное начисление процентов. 129 Задача 4 Воспользуемся формулой вычисления наращенной суммы p-кратной ренты при kкратном начислении процентов kn Sn( ,pk) а) p=1, k=4 i  1  1  R  k   k p  i p 1    1  k б) p=4, k=6 в) p=12, k=4 130 Задача 4 47 а) б) в)  0,12  1   1 4  S  15000    153424,77 4  0,12  1   1 4   67  0,12  1 1   15000  6  S   161351, 47 6 4  0,12  4 1   1 6   47  0,12  1 1   15000  4  S   162590, 29 4 12  0,12  12 1   1 4   131 Основные характеристики рент Обычная годовая рента (1  i) n  1 SR i 1  (1  i)  n AR i Проценты начисляются m раз в году j (1  ) mn  1 m SR j (1  ) m  1 m A R 1  (1  (1  j  mn ) m j m ) 1 m p-срочная рента, m=1 1  (1  i)  n A R p((1  i )1 / p  1) (1  i) n  1 SR p((1  i)1 / p  1) р-срочная рента, p=m SR (1  j mn ) 1 m j A R 1  (1  j  mn ) m j р-срочная рента, p≠m j mn ) 1 m SR j p((1  ) m / p  1) m (1  A R 1  (1  p((1  j  mn ) m j m/ p )  1) m Определение величины процентной ставки простой ренты  При заключении финансовых сделок важно знать их доходность, которая определяется процентной ставкой ренты за один период начисления. При этом считается, что известны следующие значения: отдельный платеж R, срок займа n и наращенная сумма S (или современная стоимость А). В Excel данная задача решается с помощью финансовой функции СТАВКА. Немедленные и отложенные ренты t t A 134 Пример 1  135 Решение примера 1. AR 1  1  i  n Воспользуемся формулой i подставив A=1000000, R=100000, Получим уравнение относительно i 1000000  100000 1  1  i  12 10i  1  1  i  , n=12. 12 i преобразуем это уравнение. 10 1  i   10  1  1  i  10 1  i   111  i   1  0 12 13 12 Обозначим x=1+i и запишем уравнение в виде f x  10 x13  11x12  1  0   136 Решение примера 1. Полученное уравнение можно решить только приближённо. Решим его с точностью до 0,01, найдя числа a и b, такие что f(a) и f(b) имеют разные знаки, b - a < 0,01 b и положив 0,5(b – a). Вычислим последовательно f(1.02) = -0,015<0, f(1,03) = 0,002>0, f(1,029) = 0,00056, f(1,0294) = 0,00043. Следовательно x=1,0292, i=0,0292 (2,92%) 137 Пример 2 В течении 12 лет предполагается погасить долг в размере 1000000 у.е. платежами постнумерандо по 100000 у.е. ежегодно. Первые пять выплат были сделаны согласно достигнутой договорённости. Затем было решено на три года отложить погашение задолженности и возобновить погашение равными выплатами постнумерандо с конца восьмого года. Каковы должны быть погасительные платежи во втором периоде, чтобы выплатить задолженность в установленный срок? 138 Решение примера 2 A1  R A2  R 1  1  i  i 1  1  i  i n 5  100000 1  i  t R 1  1  0,0292  5  459018,69 0,025 1  1  0,0292  0,0292 4 1  0,0292 8  2,958276R 139 Решение примера 2 Приравнивая сумму современных величин двух выплат ко всей сумме долга, получим уравнение относительно погасительного платежа во втором периоде. A1  A2  1000000459018,69  2,958266R  1000000 откуда 1000000  459018,69 R  182871,11 2.958266 140 Пример 3 Начало выплат годовой ренты со сроком 12 лет, процентной ставкой 11%, рентным платежом 16000 руб. отложено на 4,5 года. Найти современную величину отсроченной ренты. 1  1  i  1  1  0,11 t A R 1  i   16000 i 0,11 n 12 1  0,11 4,5  69948,47 141 Пример 4 В течение 7 лет предполагается погасить долг в размере 400000 у.е. равными выплатами в конце каждого года. На остаток долга начисляется 6% годовых. В каком случае годовые расходы на обслуживание долга возрастут больше и на сколько, если: а) будет предоставлена годовая отсрочка, проценты за этот период присоединяются к сумме долга, б) ставка годовых процентов возрастёт на 0,25%? 142 Решение примера 4 143 Решение примера 4 144 Пример 5 Начало выплат годовой ренты со сроком 7 лет, процентной ставкой 8,5% годовых, рентным платежом 24000 руб. отложено на три года. Найти современную величину отсроченной ренты. Применив стандартную формулу, получим AR 1  1  i  i n 1  i  t 1  1,0857  24000 1,0853  96175,82 0,085 145 Чистая современная ценность ренты  Чистой современной ценностью (Net Present Value – NPV) называется разность дисконтированных показателей поступлений и платежей:  NPV=-I0 +R1/(1+i)+…+Rk/(1+i)n Если NPV > 0, то проект прибыльный и окупается на установленном горизонте инвестирования, если NPV < 0, то проект не окупается (экономически неэффективен). Пример. Проект рассчитан на два года и требует инвестиции в I0 = 10 млн. руб. В конце 1-го года доход составит R1 = 5 млн. руб., а в конце второго года – R2 = 12 млн. руб. Найти NPV , если ставка дисконтирования i = 10% % .  Решение.  Cогласно определению.  NPV = 5000 / 1.1 + 12 000 / 1.21 – 10 000 = 4 546 + 9 917 – 10 000 = 4 463 тыс. руб. Оценка NPV может проводиться с применением стандартной функции ЧПС {i; массив}, где «массив» набор значений поступлений и платежей в рамках рентной программы со своими знаками. При использовании функции ЧПС предполагается, что первый рентный платёж (капиталовложение) осуществляется в самом начале программы (пренумерандо). Внутренняя ставка дохода. Срок окупаемости  Внутренняя ставка дохода IRR (Internal Rate of Return) представляет собой процентную ставку, при которой чистый приведенный доход NPV =0. Т.е. IRR является корнем нелинейного алгебраического уравнения относительно i: Если ставка дисконтирования i < IRR, то проект – прибыльный (окупается). Если ставка дисконтирования i > IRR , то проект – убыточный (не окупается). Конверсия рент Бывают ситуации, когда возникает необходимость изменить условия выплаты ренты, заменив одну ренту другой или разовым платежом, а также заменить несколько рент с разными платежами одной или опять же несколькими другими рентами. Во всех вышеперечисленных случаях производится конверсия рент, подчиняющаяся следующему простому правилу. 149 Конверсия рент Современные величины старой (старых) и новой (новых) рент должны быть равны. Это следует из предположения о том, что конверсия рент не должна менять финансового положения сторон, т.е должен соблюдаться принцип финансовой эквивалентности (финансовой справедливости) Алгоритм расчета параметров новой ренты следующий. 150 Конверсия рент 1. Определяется современная величина старой (старых) ренты. 2. В случае объединения рент это величины складываются и дают современную величину новой ренты. 3. Зная современную величину новой ренты, рассчитываются параметры новой ренты, такие как размер отдельного платежа R, срок ренты n, процентная ставка i. 151 Пример 1. Заменить обычную (годовую) ренту с R1  200,n  5,i  10% параметрами срочной (квартальной) рентой с параметрами R2  100,i  10%. Найдём сначала приведённую величину годовой ренты AR 1  1  i  n i  200 1  1  0,1 5 0,1  200  3,79  758 и приравняет её к приведённой величине квартальной ренты с неизвестным параметром n R 1  1  i  100 1  1  0,1 1  1,1 n A  2 p 1  i  1 p n 1 4 1  0,1 1 4  25 1 n 0, 024  1036, 75  1  1,1 n  152 КОНВЕРСИЯ РЕНТ 153 Решение примера 2 Найдём современные величины обеих рент n R 1  1  i  1300 1  1,086 A1    6187,15 1 0,25 p 1  i  p  1 4 1  0,08  1 A2  R 1  1  i  i n 1  i  t 1  1,085  1500 1,08t  5989,07 1,08t 0,08 Приравнивая эти величины, находим t. 6187,15 ln 5989, 07 t 5989, 07 1, 08  6187,15t    0, 423 ln1, 08 154 Консолидация рент При замене нескольких рент одной рентой имеет место равенство современных величин A   Ai i Пример1. консолидируйте три ренты постнумерандо с параметрами R1  1000 , n1  3 R2  1500, n2  5 , R3  2000 , n3  7 ,i  10% , четырехлетней рентой постнумерандо с i  15% 155 Решение примера 1 Вычислим современные величины трёх консолидируемых рент и консолидирующей n 1  1  i ренты по формуле A  R   A1  1000 A2  1500 A R 1  1  0,1 1  1  0,1 5 0,1 1  1  0,15 0,15 A  A1  A2  A3 i 3 0,1  2486,85 1  1  0,1 7  5686,18 A3  2000  2,855R Найдём R из равенства 0,1  9736,84 4 2,855R  2486,85  5686,18  9736,84R  6273,16 156 Пример 2 Долг 100000 у.е. должен быть погашен в течение 10 лет равными платежами в конце каждого года. На остаток долга начисляется 7% годовых. После 5 лет выплат должник решил гасить задолженность равными выплатами в конце каждого полугодия. Явившись в банк в конце девятого года должник решил погасить задолженность разовым платежом. Какую сумму он при этом заплатит. 157 Решение примера 2 1  1  i  n Применяя формулу A  R приведённой i величины ренты, найдём регулярный 10 платёж R . Откуда 100000  R 1  1  0,07  0,07 100000  0,07 R  14237,75 . Далее найдём первую 10 1  1.07 часть долга (выплаченную за первые пять 5 лет) A1  14237,75 1  1  0,07   58525,19 и остаток 0,07 A2  100000  58525,19  41474,81 158 Решение примера 2 По формуле R 1  1  i  t A 1  i   p 1  i  1 p  1 n найдём размер регулярного платежа R при выплате второй части долга, полагая А=41474,81; n=5; i=0,07; p=2; t=5. 5 5 2  41474,8  1,07  1 R 1  1,07 1,07 R  13947,3 41474,81   5  5 1 1,07  1,07 2 1  0,07  12  1 Применим найденное значение R для вычисления оплаченной суммы долга пред приходом в банк в конце девятого года, n=3,5.     159 Решение примера 2 Вычитая полученную величину из оставшееся после пятилетней выплаты суммы долга, получим приведённую к начальному моменту времени оставшуюся сумму долга, которою надо нарастить к моменту времени n=9. 3,5 R 1  1  i   t 13947,81  1.07 5 A2   1  i    1  0,07   30470,6 1 2 1  i  2  1 2 1,07  1 3,5 Остаток долга к моменту прихода в банк (n=9) равна 41474,81-30470,6=11004,21. Выплате подлежит сумма 11004, 211,079  20230,79 160 Пример 3 Задолженность в сумме 100000 у.е. должна быть погашена за 9 лет равными выплатами в конце каждого месяца. На остаток долга начисляется 6% годовых. После четырёх лет выплат клиент попросил в банке отсрочку на 3 года погашению долга. За последние 2 года долг должен быть погашен равными поквартальными платежами. Чему равен размер поквартальных платежей выплачиваемых в конце каждого квартала, если: а) в течение трёхлетнего льготного периода выплачиваются только процентные 161 Пример 3 Платежи в конце каждого года; б) в течение льготного периода процентные платежи не выплачиваются, а присоединяются к сумме долга. n R 1  1  i  Решение. Применяя формулу A  1 p 1  i  p  1 вычисления приведённой величины ренты, найдём регулярный платёж R. 1 9 12 100000  1  0,06  1 12   R 1  1  0,06  100000  R  14668,64 1  9 12 1  0,06  12  1 1  1.06   162 Решение примера 3 Найдём часть долга, выплаченную за первые четыре года, и его остаток n 4 1  1  i 1  1  0, 06     R 14668, 64 A1    52211, 46 1 1 p 1  i  p  1 12 1  0, 06  12  1 А = 100000 – 52211,46 = 47788,54. б) наращенная сумма этой величины к концу 7-го года составляет 7 A  47788,54  1  0,06  71856,29 и является современной величиной для последней двухлетней квартальной ренты. 163 Решение примера 3 Получаем уравнение относительно годового платежа R этой ренты. n 2 1  1  i 1  1  0, 06   R   R A 71856, 29  p 1  i  1 p  1 4 1  0, 06  1 4  1 R  1   38340,87 4  71856, 29  1,06 4  1 1  1,062 Квартальный платёж равен R/4 = 9585,22 а) так как за последние три года процентные платежи выплачиваются, то наращенная величина остатка долга к концу 7-го года 164 Решение примера 3 Равна наращенной величине к концу 4-го 4 года и равна A  47788,54  1  0,06  60331,96 Получаем уравнение относительно годового платежа R этой ренты. 2 n R 1  1  0, 06  60331,96  R 1  1  i  1 A 4 4 1 1  0, 06 1   p 1  i  p  1 1 4 R    32191,75 4  60331,96  1,06  1 1  1,062 Квартальный платёж равен R/4 = 8047,94 165 Задача 1 Какую сумму нужно положить в банк под 8% годовых женщине 42 лет, чтобы по достижению пенсионного возраста 55 лет в течение 25 лет в начале каждого месяца снимать по 15000 руб., если проценты капитализируются: а) в конце каждого года, б) в конце каждого полугодия, в) в конце каждого квартала, г) в конце каждого месяца? 166 Решение задачи 1 167 Решение задачи 1 168 Задача 2  Три фирмы A, B, C сливаются в одну фирму D. Фирма A 3 года назад взяла в банке кредит на сумму 100000 у.е. на 5 лет с погашением задолженности равными уплатами в конце каждого полугодия. Фирма B 2 года назад взяла кредит на сумму 200000 у.е. на 6 лет с погашением долга в конце каждого квартала равными выплатами. Фирма C 4 года назад получила кредит на сумму 400000 у.е. на 8 лет и погашала его платежами в конце года. 169 Задача 2 (продолжение)  Процентная ставка для всех кредитов равна 12% годовых. Объединённая фирма D должна погасить долги A, B, C за 4 года равными платежами в конце каждого года при условии, что на остаток долга начисляется 11% годовых. Какую сумму фирма D должна возвращать ежегодно? 170 Решение задачи 2 Найдём современную величину долгов фирм A, B. C, сумма которых даст современную величину долга фирмы D. Сначала найдём рентные платежи уплаты долгов, исходя из формулы n R 1  1  i  A  p 1  i  1 p  1 Для фирмы А   5 200000 1,12  1 R 1  1  0,12  100000   R   26955,22 1 5 2 1  0,12  2  1 1  1,12 171 Продолжение решения задачи 2 Для фирмы В Для фирмы С R 1  1  0,12  200000   R  1 4 4 1  0,12   1 6 400000  R 1  1  0,12  0,12    45597,74 800000 1,12  4  1 8 R  1  1,12  1 6 48000  80521,14 8 1  1,12 После этого из величин взятых кредитов вычтем приведённые величины выплаченной части долгов и приведём к моменту слияния фирм, что выражается следующей формулой n   1  1  i   n  A R    1  i   1  p 1  i  p  1    172 Продолжение решения задачи 2 Получим современные величины долгов, используя найденные значения рентных платежей R и времени n от момента взятия кредита до момента слияния фирм. Для фирмы А 100000  26935, 22  1 1,12  1,12  46953,12 3   Для фирмы В Для фирмы С 2 1,12 2  1  3 1  45597, 74 1  1,122  2  200000     1,12  149965, 45 1   4 1,12 4  1    1  1,12  400000  80521,14  0,12  4  4  1,12  244570,81  173 Продолжение решения задачи 2 Таким образом долг фирмы D составит 46953,12 + 149965,45 + 244570,81 = 441489,38. Для вычисления ежегодной оплаты долга фирмой D воспользуемся формулой 1  1  i  . A  R n i Откуда 1  1,114 441489.38  0,11 441489.38  R  R   142303, 61 4 0,11 1  1,11 174 Облигации Облигации (bonds) – это долгосрочные векселя (долгосрочные обязательства), выпускаемые коммерческими или правительственными структурами с целью аккумулирования (привлечения) денежных средств. Облигации Помимо кредитов в качестве заёмных средств широко распространён выпуск облигаций. Основное отличие от кредита состоит в том, что заем производится ни у одного банка, а у большого числа физических и юридических лиц в виде продажи облигаций эмитентом. Облигация– это обязательство выплатить в определённые моменты времени в будущем заранее установленные денежные суммы. 177 Облигации  Отдельная облигация рассматривается в условиях определённости. Т.е.:  эмитент не может отозвать облигацию до установленной даты погашения;  платежи по облигации задаются фиксированными значениями в определённые моменты времени;  облигации не имеют кредитного Облигации 179 Каждую облигацию, выпускаемую в момент t=0 характеризует ряд числовых параметров: Номинальная стоимость облигации N, (номинал, нарицательная цена) (par value, face value, principal) – это объявленная цена облигации. Номинал представляет собой сумму, которую фирма берет взаймы. Номинал печатается на самой облигации и выплачивается обладателю облигации в момент погашения T. Выкупная цена облигации – это цена, по которой производится выкуп облигации эмитентом по истечении срока займа; она может совпадать с номинальной стоимостью (как правило это так и есть, и понятие выкупной цены оказывается излишним) или определяться условиями займа. Купонная ставка облигации q определяет дивиденды (купонный доход) С т.е. величину годичных купонных платежей, выплачиваемых эмитентом облигации ее обладателю и равный доле q от номинальной стоимости, т.е. C=qN. Рыночная (курсовая) цена облигации определяется конъюнктурой рынка. Значение рыночной цены в процентах к номиналу называется курсом облигации. Текущая цена облигации PV т.е. цена, которой обладает облигация в любой момент времени t 0  t  T . Облигации  184 Облигации 185 Основные характеристики облигаций 186 Основные характеристики облигаций 187 Основные характеристики облигаций Если купонная ставка не выплачивается, то такую облигацию называют бескупонной. Доход по такой облигации образуется за счёт курсовой разницы стоимости облигации. Перейдём к анализу потока платежей, создаваемого облигацией, а также к исследованию портфеля облигаций (совокупности разных видов облигаций). 188 При t=T (s=0) текущая цена облигации PV совпадает с ее номинальной стоимостью N. Денежный поток, порожденный купонными выплатами Ck представляет собой финансовую ренту постнумерандо, к которой в конце срока операции прибавляется дисконтированная номинальная стоимость облигации. Текущая стоимость облигации 190 Пример 1 191 Решение примера 1 192 Решение примера 1 193 Сравнение текущей стоимости с номинальной Мы видим, что при ставке рефинансирования (10%) меньшей купонной ставки (12%) текущая стоимость облигации (1034,71руб.) больше номинальной стоимости (1000 руб.). При ставке рефинансирования (14%) большей купонной ставки (12%) текущая стоимость (967,067 руб.) меньше номинальной стоимости. При ставке рефинансирования (12%) текущая стоимость равна номинальной. 194 Сравнение текущей стоимости с номинальной Пример 1 демонстрирует свойство текущей стоимости. При повышении купонной ставки текущая стоимость растет, а при повышении процентной ставки текущая стоимость падает. В случае, когда купонная ставка равна процентной, текущая стоимость равна номинальной стоимости облигации. 195 Пример 2 196 По сроку действия (maturity) облигации подразделяются на краткосрочные (от 1 до 3 лет), среднесрочные (от 3 до 7 лет), долгосрочные (от 7 до 30 лет) и бессрочные. Стоимость бессрочной облигации Доход владельца бессрочной облигации представляет собой бессрочный аннуитет. Поэтому стоимость (приведенная стоимость) облигации определяется формулой C C C C PV       2 3 1  i 1  i  1  i  i Здесь С – сумма, равная купонному проценту от номинала, а i – текущая ставка процента (ставка процента на финансовом рынке). Так как купонная ставка процента устанавливается соглашением на весь срок действия облигации, то купонная ставка процента остается постоянной. Текущие рыночные ставки могут понижаться или повышаться. Это приводит к тому, что рыночная цена облигации может в ту или другую сторону отличаться от номинальной цены. Поэтому вложение денег в облигации связано с риском. Курс облигации 201 Накопленный купон, чистая и полная цена облигации.  Когда инвестор покупает облигацию между купонными выплатами, то он должен компенсировать продавцу облигации купонный процент, накопленный со дня последней купонной выплаты. Эта сумма называется накопленным процентом (купоном) и обозначается 𝐴𝐶𝜏 , или 𝐴𝐼𝜏 (здесь индекс 𝜏 обозначает срок от момента последнего купона до момента продажи). Накопленный купон, чистая и полная цена облигации.  Накопленный купон представляет собой пропорциональную долю купонного платежа, соответствующую доле 𝜏 купонного периода, прошедшего с момента последнего купонного платежа 𝐴𝐶𝜏 = 𝐶𝜈 ∙ 𝜏. Стоимость облигации, полученная дисконтированием потока платежей на текущий момент 𝑡, называется полной или грязной ценой облигации. Будем обозначать ее 𝑃𝑡 (полн) . Накопленный купон, чистая и полная цена облигации.  Если накопленный купон не выплачивается, то говорят, что облигация котируется по чистой цене (flat price). Разность полной цены и накопленного купона называется чистой (котировочной) ценой облигации. Обозначим ее 𝑃𝑡 (чист) . Тогда внутри текущего купонного периода  𝑃𝑡 (чист) = 𝑃𝑡 (полн) − 𝐴𝐶𝜏 = 𝑃𝑡 (полн) − 𝐶𝜈 ∙ 𝜏. Текущая доходность облигации 205 Пример 1. 206 Полная доходность облигации  Конечная (полная) доходность характеризует полный доход по облигации, приходящийся на единицу затрат на покупку этой облигации в расчете на год.  Конечная доходность(%) = (Совокупный купонный доход + Дисконт)/(Цена покупки * количество лет владения облигацией) х 100.  Конечный доход – это доход за все время владения ценной бумагой. Конечный доход определяется суммированием годовых доходов. Доходность к погашению 208 Доходность к погашению 209 Доходность к погашению 210 Доходность к погашению 211 Пример 1 212 Решение примера 1  213 Доходность к погашению  214 Доходность к погашению 215 Средний срок погашения облигации Средний срок потока платежей позволяет учитывать риск, связанный с изменением процентной ставки и вообще с изменением ситуации на рынке. Чем меньше средний срок тем меньше риск. Понятно, что нельзя взять просто среднее арифметическое сроков всех платежей, а необходимо учитывать денежную величину каждого платежа. Это применимо и к распределению 216 Средний срок поступления доходов по облигации 217 Дюрация облигации 218 Дюрация облигации по Маколею. Для сравнения облигаций с одинаковым сроком погашения, но с различной структурой купонных платежей, необходимо учитывать особенности распределения доходов во времени («профиль»поступления доходов). Дюрация облигации 220 Риск, связанный с изменением процентной ставки. Дюрация. Рыночная цена облигации отличается в меньшую или в большую сторону от номинальной цены в зависимости от изменения текущей ставки процента. Чем выше r, тем ниже P. Инвестиции даже в государственные облигации связаны с риском, обусловленным неустойчивостью текущей ставки процента Найдём количественную оценку реакции текущей цены P облигации на изменение ставки процента r. Дюрация облигации 222 Свойства дюрации облигации 223 wt  Ct P 1  r  t Величина wt является долей приведённой стоимости (или цены облигации), которую вносит выплата в момент времени t. Теперь можем привести формулу к следующему виду:  P/P  r / 1  r  T   twt t 1 T w t 1 t 1 Эластичность цены облигации по ставке процента равна средневзвешенному времени погашения с весами wt Тогда теперь можно определить дюрацию D следующим образом: Ct  P/P D   twt   t  t  r / 1  r  t 1 t 1 P1  r  T T Дюрация  227 Примеры 228 Примеры 229 Примеры 230 Относительное изменение текущей стоимости 231 Относительное изменение цены облигации 232 Относительное изменение цены облигации 233 Решение примера 234 Поскольку дюрация характеризует чувствительность цены облигации (потока платежей), к изменению доходности к погашению, можно пытаться управлять риском, связанным с изменением процентной ставки, выравнивая дюрации активов и задолженностей. Пусть вы должны заплатить $1000 ровно через два года. Тогда дюрация вашей задолженности равна 2. Одним из способов защиты от изменения процентных ставок является покупка бескупонной облигации стоимостью $1000, погашаемой через два года. Если r02 – процентная ставка на два года, то эта покупка обойдётся вам в 1000/(1+r02)2, и ваши обязательства будут в точности соответствовать вашим активам. Теорема об иммунитете утверждает, что риск, связанный с изменением процентных ставок, можно хеджировать, выравнивая дюрации активов и задолженностей. Это правило основано на том факте, что процентный риск возрастает с уменьшением цены облигации и, наоборот, уменьшается с увеличением цены, и что облигации с разными сроками погашения реагируют по-разному на изменения процентных ставок. В результате, если процентная ставка растёт, доход от реинвестиции купонов возрастает, но рыночная стоимость облигации падает, и наоборот, если процентная ставка падает, то стоимость облигации растёт. Проиллюстрируем это правило на примере: простого обязательства выплатить $C в момент времени t. Тогда текущая стоимость задолженности P1  Дюрация C 1  r  t D1  t Назовём такую задолженность облигацией 1. Рассмотрим две бескупонные облигации с номинальными стоимостями С1 и С2 и временами погашения t1 и t2 соответственно. Тогда P2  C1 1  r  t1  C2 1  r  t2 Портфель двух таких облигаций назовём облигацией 2. Предположим, что t1< t< t2, Р1= Р2 =P, D1=D2=D, где D1 и D2 – дюрации облигаций 1 и 2 соответственно. Вычислим производные от цен облигаций по процентной ставке r. dP1 C  t t 1 dr 1  r   1  r dP1 1 r  C D1     t  t 1 P1 dr P1  1  r   1  r 1  r   t C t  C   t    1  r t 1    dP2 C1 C2  t1  t 2 t1 1 t2 1 dr 1  r  1  r  1  r dP2 D2    P2 dr t1 C1 1  r  t1 C1 1  r  t1  t2  C2 1  r  C2 1  r  t2 t2 Видно, что из равенства текущих стоимостей облигаций Р1= Р2 =P, или C 1  r  t  C1 1  r  t1  C2 1  r  t2 и равенства дюраций D1=D2=D, или t1 t C1 1  r  t1 C1 1  r  t1  t2  C2 1  r  C2 1  r  t2 t2 следует равенство производных от цен облигаций по процентной ставке. dP1 dP2  dr dr Это означает, что графики зависимости стоимостей облигаций от процентной ставки касаются в точке (r,P). Так как цена облигации убывает при возрастании процентной ставки, оба графика имеют наклон вниз. Можно показать (с помощью вторых производных функций Р1 и Р2), что в окрестности точки r график Р2 лежит выше графика Р1. На рисунке изображены графики зависимостей стоимости облигаций 1 и 2 от процентной ставки. Видно, что облигации имеют одинаковые стоимости и одинаковые производные стоимостей в точке (r,P), но облигация 2 более чувствительна к изменению аргумента, так как график её стоимости –“более выпуклая кривая”, чем и облигации 1. Вообще более выпуклая кривая лучше, чем менее выпуклая. Меру выпуклости характеризует вторая производная 2 2 d P1 d P2  2 2 dr dr Обозначим w1  C1 P 1  r  t1 w2  C2 P 1  r  t2 C2 1  C1 w1  w2    t1 t2 P  1  r  1  r  P2  1 P w1  w2  1      Условие равенства дюраций записывая в виде t  t1w1  t2 w2 Можно доказать, что при этих условиях t  t w1  t2 w2 2 2 1 2 и отсюда будет следовать, что 2 2 d P1 d P2  2 2 dr dr Для того, чтобы обеспечить выполнение условий иммунизации (хеджирования), достаточно потребовать, чтобы веса платежей удовлетворяли системе уравнений  w1  w2  1,  t1w1  t2 w2  t. Решив эту систему найдем w1 , w2 Далее, вычислим P C 1  r  Затем можно определить их номиналы t C1  w1P 1  r  t1 C2  w2 P 1  r  t2 Задача. Через 10 месяцев фирме предстоит произвести оплату поставки сырья в сумме 100 миллионов рублей. Для обеспечения платежа решено приобрести облигации. На рынке имеются два вида облигаций стоимостью 1 миллион рублей каждая — со сроком погашения 2 месяца и со сроком погашения 18 месяцев. Текущая годовая ставка – 12% (независимо от срока погашения). Определить, сколько облигаций каждого типа нужно приобрести, чтобы обеспечить погашение задолженности с наименьшим риском. Построить графики зависимости текущей стоимости задолженности и текущей стоимости приобретенного актива от процентной ставки r (0,091, называются агрессивными; 1 защитными. Рыночную модель задают уравнением ri   iI   iI rI   iI , где ri  доходность акции i за данный период; rI  доходность рыночного индекса I;  iI  коэффициент смещения (коэффициент альфа акции);  iI  угловой коэффициент (коэффициент бета акции);  iI  случайная погрешность, для которой M  i   0 и Cov  i , RI   0 Коэффициент альфа финансового актива  Разница между фактически ожидаемой доходностью ценной бумаги и равновесной ставкой доходности называют коэффициентом альфа финансового актива называемую избыточную доходность - отклонение фактической доходности от равновесной вследствие неравновесного состояния недооцененности либо переоцененности актива в данный момент : Значение бета - коэффициента  Коэффициент регрессии β служит количественным измерителем систематического риска, не поддающегося диверсификации.  Ценная бумага, имеющая β - коэффициент, равный 1, копирует поведение рынка в целом. Если значение коэффициента выше 1, реакция ценной бумаги опережает изменение рынка как в одну, так и в другую сторону. Систематический риск такого финансового актива выше среднего. Менее рисковыми являются активы, βкоэффициенты которых ниже 1 (но выше 0). Безрисковая ставка доходности  Практически, в качестве безрисковой ставки выбирают, как правило, ставку доходности по краткосрочным (от трех месяцев до года) государственным обязательствам, учетную ставку (либо ставку рефинансирования) центрального банка, либо рассчитанную определенным образом средневзвешенную ставку по кредитам на межбанковском рынке (наиболее известный пример: ставка LIBOR - London Interbank Оffered Rate ). Тогда ожидаемая доходность i-той бумаги вычисляется по формуле  i   f   iM  M   f , В этом смысле рыночная модель согласуется с CAPM. В условиях рыночной модели   2 Cov Ai , A j   iI  jI  I . Риск акции 2 2 2 2  i   iI  I    i , 2  дисперсия рыночного индекса, I 2  дисперсия случайной погрешности.  i Поэтому общий риск акции i есть сумма 2 2 рыночного (систематического) риска  iI  I и собственного (несистематического) риска  i 2 Выводы  Модель CAPM представляет собой идеальную модель рынка капиталов, которая основывается на предположениях портфельной теории и исходит из равной информированности инвесторов относительно доходности и рискованности ценных бумаг.  В условиях модели САРМ справедлива  теорема о разделении, в соответствии с которой оптимальный портфель рискованных активов одинаков для всех инвесторов и соответствует по структуре рыночному портфелю - совокупности всех рискованных активов, представленных на рынке. Индивидуальные портфели различаются лишь пропорциями безрисковых вложений и инвестиций в рыночный портфель. Выводы  В модели САРМ равновесная цена (доходность) отдельных финансовых активов определяются исключительно степенью статистической взаимосвязи доходности данного актива и доходности рыночного портфеля, которая характеризуется коэффициентом бета. Выводы  Риск, связанный с инвестициями в каждую ценную бумагу можно разделить на две составляющие - рыночный (системный) риск и остаточный (индивидуальный) риск. Индивидуальный риск может быть сведен к нулю путем диверсификации инвестиций, тогда как в отношении системного риска диверсификация приводит лишь к его усреднению. Поэтому на цену и доходность финансовых активов в условиях модели САРМ оказывает влияние лишь содержание рыночного риска, а равновесная доходность ценных бумаг должна располагаться вдоль линии рыночной доходности ценных бумаг, определяющей зависимость ожидаемой доходности от коэффициента бета. Рассмотрим портфель акций, доходность которого выражается формулой N rP   xk rk . k 1 rk   kI   kI rI   kI ,  rP   PI   PI rI   PI , N  PI   xk kI , k 1 N  PI   xk  kI , k 1 N  PI   xk  kI . k 1 Общий риск портфеля 2 2 2 2  P   PI I    P , 2  PI  N 2  xk  kI . k 1 Если случайные отклонения доходности некоррелированы, то N  P   2 k 1 2 2 xk  k . Примеры 1. В таблице приведена информация о доходности акции и рыночном индексе за 10 лет. Используя метод наименьших квадратов, найти зависимость r     rI . Год 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 r 10,8 2,2 6,2 2,2 0,4 4,9 7,9 2,8 0,02 4,9 rI 6,6 0,2 2,5 3,9 0,4 8,4 2,6 0,2 0,7 4,5 Решение. Система уравнений метода наименьших квадратов для определения коэффициентов  ,  10 10  10   rI ,k    ri ,k ,   k 1 k 1  10 10 10  r    r2   r r . I , k I , k I , k i , k k 1 k 1 k 1  10  30   21,28,  30  163,32   121,696.   0,24,   0,79.  r  0,24  0,79rI . 2. Рыночная модель портфеля записывается уравнением rP  1,5%  1,2rI   PI . Найти ожидаемую доходность портфеля, если ожидаемая доходность рыночного индекса I равна 8 %. Решение. Из данного уравнения находим  P  1,5  1,2  8  11,1%, так как математическое ожидание случайных ошибок равно 0 3. Имеется портфель, состоящий из двух ценных бумаг A и B. Известно, что  I  8%, x A  x B  0,5,  AI  1,1,  BI  0,9,  A  6, 1644%,  B  4. 6904%. Найти бету и риск портфеля. Решение.  PI  0,5 1,1  0,5  0,9  1. 2 2  A  38,  B  22. 2 2 2  P  0,5  38  0,5  22  15. 2 2 2  P  1  8  15  79,  P  79  8,9. 4. Предположим, что к предыдущему портфелю добавили ценную бумагу C. Кроме того, известно, что 1 x A  x B  xC  3  CI  1,  CI  6%. Найти бету и риск портфеля. Решение. 1 1 1  PI  1,1   0,9  1  1. 3 3 3 2 2 2  C  36,   C  1  64  36  100. 2 2 2 1 1 1 32    2  P     38     22     36  .  3  3  3 32 2 2 2  P  1  64   74 , 3 3 3 Производные финансовые инструменты На финансовом рынке различают основные и производные финансовые инструменты. Основные : банковские счета, облигации, акции. Производные инструменты – это ценные бумаги, стоимость которых базируется на стоимости лежащих в их основе основных инструментов. Важнейшими среди производных инструментов являются опционы и фьючерсные контракты. Считается, что цены основных инструментов определяются непосредственно финансовым рынком. Цены производных инструментов можно рассчитать по ценам основных, используя модель финансового рынка. Форвардные и фьючерсные контракты Форвардный контракт представляет собой соглашение купить или продать некоторый актив в заранее определенный момент (дата поставки) по установленной цене (цена поставки). Форвардный контракт заключается вне биржи. Фьючерсный контракт аналогичен форвардному, но заключается на бирже. Сторона, поставляющая базисный актив, занимает короткую позицию, а сторона его покупающая – длинную. Модель совершенного финансового рынка  1) любой актив можно без ограничений купить или продать в любом количестве;  2) транзакционные расходы при покупке и продаже активов отсутствуют;  3) разрешены короткие продажи (покупка в долг) активов;  4) покупка или продажа активов одним участником рынка не влияет на цены. Далее считаем, что рынок является совершенным и на рынке можно брать ссуды или помещать деньги на банковский счет по единой безрисковой процентной ставке. Определение цен производных финансовых инструментов основывается на предположении об отсутствии на финансовом рынке арбитражных возможностей, позволяющих получить прибыль без риска. Опционы  Опцион «колл» (call option, опцион покупателя) дает его владельцу право (но не обязанность!) купить определенный актив (товар, ценная бумага, валюта и т. п. ) по фиксированной цене (цене исполнения) в установленное время в будущем или до наступления установленной даты. Опционы  Опцион «пут» (put option, опцион продавца) дает его владельцу право продать актив.  Реализация права на покупку ( «колл») или продажу («пут») называется исполнением опциона.  Опцион как финансовый инструмент характеризуется ценой исполнения K и датой истечения срока действия опциона T. Опционы Дата, когда происходит фактическая купля или продажа актива в соответствии с условиями опциона — дата исполнения опциона Американский опцион может быть исполнен в любой момент до даты истечения срока действия. Европейский опцион может быть исполнен только в установленный срок. Опционы Сторона, купившая опцион, занимает длинную позицию по опциону. Сторона, выпустившая опцион – короткую. Выигрыш владельца европейского опциона «колл» на момент его исполнения T CT = max {0, ST – K} ST – цена актива в момент исполнения опциона, а K – цена исполнения опциона. Если в момент исполнения опциона T ST > K, владелец опциона купит актив по цене ниже рыночной. Выигрыш равен ST – K. Если на момент T : ST < K, владелец опциона отказывается от покупки. Выигрыш по европейскому опциону «пут» в длинной позиции на момент его исполнения T PT = max {0, K – ST}. Опцион колл  Пример. Инвестор приобрел европейский опцион на акцию по цене исполнения 100 руб., уплатив премию в 5 руб.  1. Допустим, что к моменту окончания срока действия опциона курс акции составил 120 руб. Тогда инвестор исполняет опцион, т. е. покупает акцию у продавца опциона за 100 руб. Если он сразу продаст акцию на рынке, то его выигрыш составит: 120 −100 = 20 руб, но т.к. он уплатил премию в 5 руб, то его чистый доход составит : 20 − 5 =15 руб. Опцион колл  2. Допустим теперь, что к моменту истечения срока действия опциона курс акции упал до 80 руб. Тогда инвестор не исполняет опцион, так как бессмысленно покупать акцию за 100 руб. по контракту, если ее можно приобрести сейчас на рынке за 80 руб. Потери инвестора по сделке равны уплаченной премии. Возможные результаты сделки для инвестора показаны на рис. . Доход-убыток покупателя колл. Правило действий для покупателя опциона колл Опцион колл исполняется, если спотовая цена базисного актива к моменту истечения срока действия контракта выше цены исполнения, и не исполняется, если она равна или ниже цены исполнения. Опцион пут  Инвестор покупает европейский опцион пут на акцию с ценой исполнения 100 руб. за 5 руб.  1. Допустим, что к моменту истечения срока контракта спотовая цена акции составила 80 руб. Тогда вкладчик покупает акцию на спотовом рынке за 80 руб. и исполняет опцион, т. е.продает ее по цене исполнения за 100 руб. Чистый доход покупателя опциона пут с учетом уплаченной премии равен: 100-80-20 − 5 =15 руб. Опцион пут  2. Предположим теперь, что цена к моменту истечения срока опциона выросла до 120 руб. В этом случае опцион не исполняется, так как инвестор не имеет возможности купить акцию по более низкой цене, чтобы продать ее по более высокой цене. Доход-убыток покупателя пут.  Итоги сделки для продавца опциона противоположны по отношению к результатам покупателя и представлены на рис. Преимущества опционов перед базовыми активами  Если цена опциона составляет 10 долл., то на 100 долл. вы можете купить либо 1 акцию (за 100 долл.), либо 10 опционов с ценой исполнения 100$ (10 долл. х 10).  В случае, если цена акции резко вырастет, опционная позиция принесет доход во много раз больший, чем одна акция. Например, при росте рынка на 20 долл. доход по одной акции составит 20 долл., а прибыль от опциона = доход - премия = (20-10)=10 долл.На десяти опционах прибыль равна [10 х (20 - 10)]= 100$ ВЫВОД. Такая высокая прибыль по отношению к вложениям является одним из основных преимуществ опционов —приносят больший доход при том же размере инвестиций. Замечание  Однако, хотя опционы дают плечо (leverage) большее, чем базовые активы, но сохраняют стоимость хуже (быстро обесцениваются), так если цена акции не вырастет резко, вы потеряете свои инвестиции полностью, т.к. ваш опцион прекратит свое действие с наступлением даты истечения, а акция будет по-прежнему обладать определенной стоимостью.  Другие преимущества опционов, такие, как ограниченность риска (при покупке) и гибкость построения инвестиционных стратегий. Замечание целесообразности покупки опционов  Обобщим случаи, когда покупаются опционы: Вы купите опцион кол, когда ожидаете, что рынок пойдет вверх. Вы купите опцион пут, когда ожидаете, что рынок пойдет вниз. Продажа опционов  Вы продадите опцион кол, когда ожидаете, что рынок пойдет вниз. Например, если вы ожидаете, что цена акций XYZ упадет («медвежий» прогноз, игра на понижение), у вас нет необходимости обладать правом на покупку акций (опцион кол), поэтому вы продадите его.  Вы продадите опцион пут, когда ожидаете, что рынок пойдет вверх. Например, если вы ожидаете подъем рынка («бычий» прогноз, игра на повышение), у вас не будет необходимости обладать правом на продажу акций (опцион пут). Поэтому вы продадите его. Выводы:  «Бычьи» стратегии (игра на повышение стоимости базового актива): Если вы покупаете опцион кол, у вас есть право купить базовый актив по цене, выгодной вам. Если вы продаете опцион пут, у вас появляется обязательство купить базовый актив по цене, невыгодной вам.  Точка окупаемости для опциона кол при истечении срока равна цене исполнения + премия. ВЫВОДЫ  «Медвежьи» стратегии (игра на понижение стоимости базового актива): Если вы покупаете опцион пут, у вас есть право продать базовый актив по цене, выгодной вам. Если вы продаете опцион кол, у вас появляется обязательство продать базовый актив по цене, невыгодной вам.  Точка окупаемости для опциона пут при истечении срока равна цене исполнения премия. О риске.  Когда вы покупаете опцион (платите премию), ваш риск ограничен размером уплаченной премии.  • Когда вы продаете опцион(получаете премию), ваш риск не ограничен, если вы продали опцион кол; - ограничен, если вы продали опцион пут, потому что цена не может упасть ниже 0. Опционные стратегии. Базовые стратегии  Стратегия — это комбинация разных опционов и, возможно, базового актива в одном портфеле, созданном для достижения поставленной инвестором цели.  Например, покупка опциона кол - «бычья» стратегия, состоящая из одного опциона. Спрэд  Спрэд – опционная стратегия, подразумевающая покупку и продажу одинакового количества опционов одного типа с одинаковыми сроками экспирации, но разными ценами исполнения.  Бычий спрэд, рассчитанный на рост цены базового актива, состоит из купленных опционов колл и проданных опционов колл с более высокой ценой исполнения, либо из проданных опционов пут и купленных опционов пут с более низкой ценой исполнения.  Медвежий спрэд строится из проданных опционов колл и купленных опционов колл с более высоким страйком, либо из покупки опционов пут и продажи опционов пут с более низким страйком. Прибыль и убытки по спрэдам ограничены. Бычий и Медвежий спрэд  Бычий спрэд Медвежий спрэд Оценка опционов  Биноминальная модель оценки стоимости опционов  Основные допущения .  Рассмотри однопериодную модель - dt. Пусть S и К – стоимость актива и колл опциона (европейского) этого актива без учета налогов и транзакций. Будем считать , что арбитраж на рынке отсутствует, тогда u>R>d Введем величину q=(R-d)/(u-d)называют риск нейтральная вероятность. 0R>d. Цена колл опциона Цена пут-опциона Изменчивость доходности актива характеризуется волатильностью, определяемой на основе статистических данных. Если  – волатильность за единицу времени доходности актива, измеряемой в виде ставки непрерывных процентов, то для расчетов в соответствии с биномиальной моделью полагают Замечания 3 u S0 2 u S0 p uS0 p q S0 2 dS0 u dS0 q udS0 p 2 p q p ud S0 q p q 3 d S0 2 d S0 q Следствия Заключение Всё хорошо,что хорошо кончается. Финансовый Университет при Правительстве РФ Департамент анализа данных, принятия решений и финансовых технологий. Сунчалин Андрей Марсович Финансовая математика Литература  Основная  Брусов П.Н., Брусов П.П., Орехова Н.П., Скородулина С.В.,Финансовая математика. М., «Кнорус», 2013, 224 с.  Брусов П.Н., Брусов П.П., Орехова Н.П., Скородулина С.В., Задачи по финансовой математике. М., «Кнорус», 2014, 285 с.  Попов В.Ю., Шаповал А.Б., Инвестиции. Математические методы,М., «Форум», 2008, 144 с. Литература  Основная • Четыркин Е.М., Финансовая математика. М., «Дело», 2011, 400 с..  Бабайцев В.А., Гисин В.Б. Математические методы финансового анализа. М. «Финуниверситет», 2011, 200 с..  Дополнительная • Малыхин В.И., Финансовая математика. М., «ЮНИТИ», 2003, 238 с.. • Брусов П.Н., Филатова Т.В., Финансовый менеджмент. Финансовое планирование. М., «Кнорус», 2013, 226 с. Методология финансово-экономических расчетов Рис.1. Схема взаимодействия кредитора и заемщика КРЕДИТОР-P  Заключая ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЗАЕМЩИК-S финансово-экономические сделки, договаривающиеся стороны оговаривают определенные условия, изменение которых сопряжены с выгодой для одной стороны и убытками с другой стороны. Учитывая это обстоятельство, обе стороны заинтересованы в объективной и грамотной количественной оценке условий сделки, которая строится на основе финансовых вычислений. Время как фактор в финансовых расчетах.  Учет фактора времени обусловлен неравноценностью денег. Равные по абсолютной величине «сегодняшние деньги ценнее будущих. Зависимость ценности денег от времени объясняется тремя причинами:  1. Деньги могут эффективно использоваться, как финансовый актив, приносящий доход, то есть их можно инвестировать и тогда они будут приносить доход.  2. Инфляционные процессы обесценивают деньги во времени, то есть сегодня на рубль можно купить товара больше чем завтра.  3. Неопределенность будущего и связанный с этим риск повышают ценность имеющихся денег. Имея рубль сегодня его уже можно израсходовать на потребление, а будет ли он завтра – еще вопрос. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ  1.P– первоначальная сумма долга или современная (текущая) стоимость (PV- present value); )  2. I- проценты (процентные деньги) I - абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг в виде: выдачи денежной ссуды, продажи в кредит, учета векселя, помещения денег в банк и т.д. При этом различают два способа начисления процентов:1. выплаты процентов кредитору по мере их начисления;2. присоединения к сумме долга.  3.Наращение первоначальной суммы - процесс увеличения денег в связи с присоединением процентов к сумме долга.  4. S– наращенная сумма или будущая стоимость (FV- future value), т.е. первоначальная сумма долга с начисленными на нее процентами к концу срока суды Схема начисления процентов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ  Процентная ставка i - отношение суммы процентных денег, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени к величине ссуды.  Период начисления n- интервал времени, к которому относится процентная ставка.  Коэффициент наращения или множитель наращения K, – это отношение наращенной суммы к первоначальной сумме долга Разделы курса  Теория процентов Простые проценты  Сложные проценты  Финансовые потоки Ренты Консолидация и конверсия рент  Облигации  Портфельный анализ  Опционы Теория процентов  Начисления простого процента.  Начисление сложного процента.  Эффективная процентная ставка.  Процентная ставка в условиях инфляции. Реальная и номинальные процентные ставки.  Формула Фишера. Понятие процента Величина b составляет долю от величины , если a i b  ia b Величина от величины составляет , если p% a p b a 100 12 В операциях наращения и дисконтирования присутствует коэффициент, который называется процентной ставкой. Именно ее величина интересует инвестора при принятия решения. Прогнозирование процентных ставок является одной из важнейших экономических задач. Наращение капитала по процентной ставке a Долю i величины капитала называют процентной ставкой. Процент p связан с процентной ставкой формулой p  100  i За один период времени (например год) капитал может увеличится на p%. Тогда наращенный капитал вычисляется по формуле p a a  a  ia  a(1  i) 100 14 Простые проценты За первый период прирост капитала составляет величину iS0 В случае применения метода расчета по формуле простых процентов считается, что и в каждый последующий период прирост капитала (например долга) составляет величину iS 0 Тогда за периодов прирост n 15 Простые проценты Капитала составит величину niS 0 . Таким образом сумма капитала S n образующегося через периодов вычисляется по формуле n Sn  S0  niS0  S0 (1  ni) Формула Sn  S0 (1  ni) называется формулой простых процентов. Множитель (1  ni ) называется коэффициентом наращения. 16 Простые проценты S S=S0 (1+ni) S0 ni S0 i S0 1 n t Сложные проценты При длительных сроках кредитно денежных отношений естественно применять процентную ставку не к первоначальному капиталу, а к капиталу предыдущего периода. Т. е. полученные проценты реинвестируются или другими словами происходит капитализация полученных процентов. В этом случае Sn  Sn1 (1  i ) 18 Сложные проценты Т. О. S1  S0 (1  i ) S2  S1 (1  i)  S0 (1  i)(1  i)  S0 (1  i)2 S3  S2 (1  i)  S0 (1  i) (1  i)  S0 (1  i) 2 Sn  S0 (1  i) 3 n Последняя формула называется формулой сложных процентов n (1  i) - множитель наращения за n периодов 19 Сложные проценты S S  S0 (1  i) n S 1 t Проценты за нецелое число периодов В формулы простых и сложных процентов можно подставить вместо целого числа t периодов нецелое число . В результате получим формулы n St  S0 (1  ti) St  S0 (1  i) t Применяется также смешанный метод t  n, b периодов вычисления процентов за n — целая часть числа t , b — его где дробная часть. Sn  S0 (1  i)n (1  bi) 21 Учёт времени в днях. t K t T K K  360 K  365(366) 22 Практика начисления простых процентов            В практике используются три варианта расчета : а) точные проценты (“английская практика расчета“): n=tT/TT (1.3.1) где tT - точное число дней ссуды и TT=365 или 366 дней. б) обыкновенные (коммерческие) проценты ("французская практика расчета" ): n=tT/To (1.3.2) где To=360 дней в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды ("германская практика расчета“), n=to/To (1.3.3) где to- продолжительность ссуды определяется числом месяцев, когда все месяцы содержат по 30 дней, и дней ссуды.) Замечание. При расчетах дата выдачи и дата погашения долга считается за один день. Вариант расчета с приближенным измерением времени ссуды и точной временной базы не применяется. Пример.1.2. Ссуда, размером 100 000 руб., выдана на срок с 21 января 2009 г. до 3 марта 2009 г. при ставке простых процентов, равной 15% годовых. Найти:а) точные проценты с точным числом дней ссуды; б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды; в) обыкновенные проценты с п р и б л и ж е н н ы м ч и с л о м д н е й с с у д ы .  Решение.  Для вычисления воспользуемся формулами: I = S0 n i = S0( t / T ) i; n = t / T  а) T = 365, t = 41, Iа = 100 000 * 41 / 365 * 0,15 = 1 684,93 руб.  б) T = 360, t = 41, Iб = 100 000 * 41 / 360 * 0,15 = 1 708,33 руб.  в) T = 360, t = 42, Iв = 100 000 * 42 / 360 * 0,15 = 1 750,00 руб. Примеры Пример 1. Ссуда 150000 руб. выдана на 4 года под 20% годовых (простые проценты). Какова величина накопленного долга? 20   S4  S0 (1  4i )  150000 1  4   270000 100   Пример 2. Вклад в размере 3000 руб. положен в банк на депозит 10 марта под 15% годовых по схеме сложных процентов. Какую сумму вкладчик получит 22 октября? (Считаем, что в месяце 30 дней, а году 360 дней). 25 Примеры (продолжение) 26 Решение примера 3 Под процентом или процентными деньгами подразумевается разность между наращенной суммой и величиной вклада. В случае простых процентов эта разность вычисляется по формуле I  tiS0 Отсюда 18 0,15S0  10000 Следовательно 12 S0  10000 12  44444, 44 18  0,15 27 Кратное начисление процентов St , m m  12 St , m m4 i    S0 1  mt   S0 (1  it ) m   28 Наращение по сложным процентам при изменении ставки во времени  Если ставка сложных процентов меняется во времени, то формула наращения имеет вид: m S  S0  (1  i1 )n1  (1  i2 )n2  ... (1  im )nm  S0   (1  ik )nk k 1  где i1, i2,..., ik - значения ставок процентов, действующих в соответствующие периоды времени n1 , n2 , ... ,nk , -  (1  i )  множитель наращения. m nk k 1 k Номинальная ставка процентов  Пусть годовая ставка сложных процентов равна i, а число периодов начисления в году т. При каждом начислении проценты  капитализируются, то есть добавляются к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. Каждый раз проценты начисляют по ставке i/m.  Ставка i - называется номинальной.  Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле: S = S0 *(1+ i/m )N, где N - число периодов начисления (N = m*n, может быть и дробным числом). Кратное начисление процентов В случае сложных процентов St , m i    S0  1   m  mt Пример. В банк положен депозит в размере 1000 руб. под 10% годовых по схеме сложных процентов. Найти величину депозита через 3 года при начислении процентов 1; 4; 6; 12 раз в году. 31 Решение примера Вычислим по приведённой формуле S3;1  1000(1  0,1)3  1331 S3;4 S3;6 s3;12 0,1    1000 1   4   34 0,1    100  1   6   0,1    s0 1   12    1344,9 36  1346,5 312  1348, 2 32 Непрерывное начисление процентов Если частота начисления сложных процентов неограниченно возрастает, то имеет место непрерывное начисление процентов. Наращенная величина вычисляется с помощью второго замечательного предела mt i   it St ,  lim St ,m  lim S0 1    S0e m m  m Процентную ставку называют силой роста и обозначают через  . Формула непрерывного начисления процентов S (t )  S0  e t 33 Для операций наращения важным является также момент начисления процентов. Антисипативный (предварительный) — начисление процентов происходит в начале расчетного периода. Декурсивный (последующий)— начисление процентов происходит в конце расчетного периода. При антисипативном методе начисления доход, вообще говоря, получается больший. В нормальной экономике используют декурсивный метод начисления процентов, а антисипативный обычно используется в условиях сильной инфляции. Эквивалентность процентных ставок Схемы начисления процентов называются эквивалентными, если коэффициенты наращения по этим схемам одинаковы. Исследуем эквивалентность простой и сложной формул начисления процентов, исходя из условия Sn ,прост  Sn ,сложн , т.е. n n S0 (1  niпр )  S0 1  iсл  Откуда 1  iсл   1  iпр  n 37 Эффективная процентная ставка Для каждой схемы начисления процентов можно найти такую годовую ставку сложных процентов iэфф , начисление по которой эквивалентно начислению по первоначальной схеме. Ставка iэфф называется эффективной процентной ставкой. Найдём эффективные процентные ставки для кратного и непрерывного начисления процентов. 38 Эффективная процентная ставка j Обозначим через номинальную процентную ставку при p-кратном начислении процентов. Тогда S0 1  iэфф  t  j  S0 1   p  pt  p iэфф  j  1    1 p  1  j  p  1  iэфф  p  1   В случае непрерывного начисления процентов с силой роста  t S0 1  iэфф   S0e t  iэфф  e  1 39 Пример1. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты ежеквартально – m=4, исходя из номинальной ставки j=0,16 или 16% годовых. Решение Вычисления проводим по формуле (2.5) и находим iэ = (1+ 0,16 /4)4 - 1 = 0,170, или 17,0%.  Пример2. Определить, какой должна быть номинальная ставка - j=? при ежеквартальном начислении процентов-m=4, чтобы обеспечить эффективную ставку iэ= 12% годовых.  Решение.  Вычисления произведем по формуле (2.6):  j = m [(1+ iэ )1/m-1] = 4*[ (1+0,12) (1/4) - 1 ] = 0,11495, т.е. 11,495%. Эффективная процентная ставка позволяет сравнить доходности различных финансовых операций или сравнить различные схемы начисления процентов. Дисконтирование S0 St S0 St Проценты в виде разности D = S – S0 называются дисконтом или скидкой. 43 Математическое дисконтирование  Математическое дисконтирование- решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды.  Если в прямой задаче рассчитывается наращенная сумма S = S0(1+ n*i ), то в обратной находится  S0 = S* 1/ (1 + n*i ) (*)  Где Kd=1/(1+ n*i ) - дисконтный множитель, показывающий, какую долю составляет первоначальная сумма ссуды в окончательной величине долга.  Дисконт суммы S равен D = S - S0 . (**) Математическое дисконтирование В случае простых процентов В случае сложных процентов St S0  1 t i St S0  t (1  i ) В случае кратного начисления процентов и непрерывного начисления процентов формулы имеют вид St S0   t e S0  St  i  1  p    pt 45 Пример 1. Через 90 дней после подписания договора должник уплатит 1 000 000 руб. Кредит выдан под 20% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?  Дано:S = 1 000 000 руб., n = t/K = 90/360, i = 0,20 или 20%. Найти P = ?  Решение: Воспользуемся формулами (*) и (**):  S0= S / (1 + n*i ) = 1 000 000 / (1+0,20*90/360) = 952 380,95 руб.  D = S – S0= 1 000 000 - 952 380,95 = 47 619,05 руб. Банковский учёт Банковский учёт ─ это покупка банком денежных обязательств по цене меньшей номинальной. Примером может служить вексель ─ долговая расписка, содержащая обязательство выплатить определённую денежную сумму (номинал) в определённый срок. В случае покупки денежного обязательства из номинальной стоимости удерживается 47 Банковский учёт Дисконт I t так что S0  St  I t Дисконт вычисляется с помощью учётной ставки Различают простую и сложную учётную ставку. В случае простой учётной ставки d I t  St  d  t S0  St (1  td ) Для сложной учётной ставки S0  St (1  d ) t 48 Пример 1 Вексель стоимостью 100000 руб. учитывается за 4 года до погашения по сложной учётной ставке 15% годовых. Найти сумму, получаемую векселедержателем, и величину дисконта. Сумма получаемая векселедержателем 4 S  100000(1  0,15)  52200,6 Величина равна 0 дисконта равна I 4  S4  S0  100000  52200,6  47799,3 49 Пример 2 Клиент имеет вексель на 16000 у.е., который он хочет учесть 10.01.2014 в банке по сложной учётной ставке 8%. Какую сумму он получит, если срок погашения 10.07.2014? Продолжительность финансовой операции составит t  T0  30  6  0, 49 K 365 Сумма, полученная клиентом, составит S0  16000(1  0,08) 0,49  15359,46 50 Пример 3 S (0) 7 d  1  1  0,099 S (1) 7,77 51 Эффективная учётная ставка Пусть d эфф ─ годовая (эффективная) учётная ставка (ставка дисконтирования) при кратности начисления m. Эквивалент. эффективная ставка определяется исходя из принципа эквивалентности: m nm  d S0 (1  d эфф )  S0 1    m n  d эфф  d  1  1    m Обратно учётная ставка d выражается через эффективную учётную ставку d эфф  d  m 1  m 1  d эфф  52 Нахождение эквивалентных эффективных ставок 53 Вычисление параметров финансового процесса Формулы наращения и дисконтирования Sn  S0 (1  i )n S0  Sn (1  d )n позволяют вычислять процентную или учётную ставку, а также срок платежа, если остальные параметры известны. Пример. На какой срок необходимо положить в банк 12000 руб., чтобы накопить 15000 руб., если банк принимает вклады под простые (сложные) 8% годовых? 54 Решение примера Для простых процентов воспользуемся формулой Sn  S0 (1  ni) Откуда 15000 1 15000  12000(1  0,08n)  n  12000  3,125 0,08 Для сложных процентов воспользуемся n формулой S  S (1  i )  (1  i)n  S0  n n  log1i Sn ln Sn S0  S0 ln(1  i )  Sn 15000 ln ln1,25 12000 n   2,9 ln(1  0,08) ln1,08 55 Количество лет для увеличения начальной суммы в N раз для простых процентов для сложных процентов N 1 n r T ln N n  T0 ln( 1  r ) k ln N r m(ln(1  )) m Удвоение капитала. Правило 70 n 57 Процентная ставка в условиях инфляции. Если имеется инфляция, то для сохранения заданной доходности необходимо учитывать темп инфляции и расчеты проводить по процентной ставке, учитывающей инфляцию. В некоторых странах для компенсации инфляции используется метод индексации первоначальной суммы платежа. Эта сумма индексируется периодически с помощью заранее оговоренного коэффициента. Учёт инфляции. Темп инфляции равен S1  S0  S0 S1 — стоимость товара через период, например, через год S 0 — стоимость товара в начале периода. Очевидно, что из-за инфляции на ту же сумму денег можно купить меньше. Для того, чтобы купить такое же количество товара нужна сумма . S1  S0 (1   ) Учёт инфляции Говорят, что инфляция составляет долю α в год. Если стоимость товара за год увеличивается в (1+α) раз. Инфляция уменьшает реальную ставку процента. При инфляции деньги обесцениваются в 1+α раз, поэтому реальный эквивалент наращенной за год суммы S1  S0 (1  i ) будет в (1+α) меньше 62 Влияние на ставку процентаинфляции S0 (1  i ) S0 (1      i ) S1 S     1  1  1  S0 (1    (i   ))  1  i     S0     S0 1  i  1   1  1   Через i обозначена процентная ставка с i учётом инфляции ( по прежнему номинальная ставка без учёта инфляции) 63 Формула Фишера Таким образом получается формула ставки процента с учётом инфляции, называемая формулой Фишера i  i  1  При малой инфляции реальная процентная ставка меньше номинально примерно на величину инфляции. 64 Формула Фишера При достаточно высокой инфляции реальная ставка i может стать отрицательной. В такой ситуации кредитор будет работать себе в убыток, а заемщик обогащаться. Чтобы этого не произошло, необходимо скорректировать номинальную процентную ставку , по которой происходит i наращение. Она должна по крайней мере не быть ниже ставки инфляции . i  65 Такая процентная ставка обеспечивает реальную эффективность кредитных операций. Полученная зависимость номинальной процентной ставки от темпа инфляции может быть проверена статистическими методами, например, построить регрессионную модель. Такая проверка была проведена. Предсказанная линейная зависимость подтвердилась. Пример Какую ставку должен установить банк, чтобы при инфляции 8% годовых он мог иметь 10%-ю доходность? i  Решим уравнение Фишера i  1  относительно  i  i (1   )    0,1(1  0,08)  0,08  0,188 Итак ответ 18,8% превышает простой ответ 18%, получаемый сложением темпа инфляции и номинальной процентной ставки. 68 Темп инфляции за несколько периодов Пусть темпы инфляции за последовательные периоды времени t1 , t2 ,..., tn равны 1 , 2 ,..., n соответственно. Найдём темп инфляции за период t . t1  t2  ...  tn Ввиду того, что уровень цен вычисляется исходя из цен предыдущего, а не начального периода, темп инфляции за период t  t1  t2  ...  tn равен   1  1 1   2 ...1   n   1 69 Темп инфляции за несколько периодов Как видим суммарный темп инфляции не равен сумме инфляций. Для равных темпов инфляции 1   2  ...   n общий темп вычисляется по формуле   1  1   1 n Зная суммарный темп инфляции Можно вычислить темп инфляции За малый период  1 1  n 1    1 70 Примеры t1 , t2 t1  t2   1  1 1   2   1  1   2  1 2  0,1  0,2  0,1 0,2  0,32 71 Примеры    1  1   1  (1  0,02)  1  26,8% 12 12 72 Учет налогов  А. Проценты по вкладу в банке не облагаются налогами, если они не превышают ставку рефинансирования Банка России +5% (i0). В противном случае с процентов, превышающих i0 взимается налог t = 35%. Эффективную процентную ставку можно найти из соотношения S  S0 (1  i)  t (i  i0 )  S0 (1  iэфф ) Отсюда iэфф  i(1  t )  ti0 . 73 Б. Проценты за кредит исключаются из налогообла- гаемой базы, если они не превышают i*. 1. Если кредитная процентная ставка не превышает i* , то эффективная ставка по взятому кредиту D равна iэфф  i(1  t ). 2. Если кредитная процентная ставка превышает i* , то эффективная ставка равна iэфф  i(1  t )  t i. 74 Модели финансовых потоков Потоки платежей  Финансовые контракты могут предусматривать не отдельные разовые платежи, а серию платежей, распределенных во времени (регулярные выплаты). Например, погашение долгосрочного кредита, вместе с начисленными на него процентами; периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т.д.); дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам; выплаты пенсий из пенсионного фонда и пр.  Поток платежей представляет собой ряд последовательных выплат и поступлений, причем выплаты выражаются отрицательными величинами, а поступления – положительными. Финансовые потоки P , произведённый в момент Платёж времени t , называется финансовым событием и обозначается упорядоченной (t , P) парой ( P, t ) или Конечная или бесконечная последовательность финансовых событий ( P0 , t0 ),( P1 , t1, ),( P2 , t2 ),...,( Pn , tn ) Называется потоком. дискретным финансовым 77 Приведённая величина финансового потока Финансовые потоки обозначатся символом CF (cash flow) CF  {( P0 , t0 ),( P1 , t1 ),...,( Pn , tn ) Напомним, что деньги имеют временную ценность. Это не позволяет непосредственно суммировать платежи, относящиеся к различным моментам времени. 78 Современная величина потока платежей Современная величина потока платежей (А,РV) сумма всех его членов R, дисконтированных (приведенных) на некоторый момент времени, совпадающих с началом потока платежей или Логика финансовой операции определения предшествующих ему.величины Логику финансовых A- современной суммы потока платежейопераций по определению современной суммы A величины потока платежей легко понять из рис.3.2. Современная величина A может характеризовать приведенную прибыль, приведенные издержки и пр. i i А i i R R R n R t время  Рис. 3.2. Схема дисконтирования потока платежей (получения их современной суммы A Понятие приведенной стоимости позволяет сравнивать различные денежные потоки. Один финансовый поток предпочтительнее другого, если он имеет большее значение приведенной стоимости. Приведённая величина финансового потока Для того, чтобы вычислить величину потока в какой то момент времени t необходимо каждый платёж привести к этому моменту времени по некоторой процентной ставке i , которая предполагается известной и неизменной для всего потока, и затем суммировать эти дисконтированные платежи. Обычно дисконтирование происходит по схеме сложных процентов. i 81 Приведённая величина финансового потока t t PVt P0 P1 PVt    ... t0  t t1 t (1  i ) (1  i) 82 Современная и будущая величина финансового потока t0  0 PV P1 P2 PV  P0    ... t1 t2 (1  i ) (1  i) n P  P0 (1  i)  P1 (1  i)  ...  Pn (1  i)   Pk (1  i) t  t0 t t1 t  t0 t t k k 0 83 Будущее накопленное значение FVt (CF , i) FVt t  tn  tn  tk (1  i) t FVt  FVtn (1  i) t t n tn t t n 84 Наращенная сумма потока платежей  Наращенная сумма потока платежей (S,FV) это сумма всех членов последовательности платежей финансовой определения RЛогика с начисленными на операции них процентами к концу срока S -ренты. наращенной величины потока Логикасуммы финансовых операций по платежей определению величины наращенной суммы потока платежей - S отражена на рис. 3.1. В качестве S может выступать итоговый размер создаваемого инвестиционного или какого-либо другого фонда или общая сумма з а д о л ж е н н о с т и . i i S i i R R R n R t время  Рис. 3.1. Схема формирования наращенной суммы S потока платежей Средний срок финансового потока  86 Дюрация 87 Дюрация потока платежей Формула среднего срока потока платежей является приближенной, так как не учитывает срока поступления каждого платежа. Если все платежи привести к начальному моменту времени (или любому одинаковому моменту времени), то по аналогии со средним сроком потока платежей получим точную среднюю продолжительность потока, называемую дюрацией (duration). 88 Пример Найти средний срок потока CF  {(0,100),(1,200),(2,400),(3,100)} По предыдущей формуле t Pt 100  0  200 1  400  2  100  3 1300 1 1  ...  Pn tn    1,025 P1  ...  Pn 100  200  400  100 800 Если все платежи положительные, то t1  t  tn в общем же случае средний срок потока может лежать вне временного интервала платежей. 89 Обыкновенные ренты Поток положительных платежей, разделённых равными временными интервалами, называется финансовой рентой, или просто рентой. Промежуток времени между двумя последовательными платежами называется периодом ренты (rent period, payment period). Считается, что каждый платёж производится либо в начале соответствующего периода, либо в конце. 90 Обыкновенные ренты В первом случае ренту называют авансовой или пренумерандо (annuity due), во втором ─ постнумерандо (ordinary annuity). Ренты с конечным числом платежей называют конечными. Промежуток времени между началом первого периода и окончанием последнего называется сроком конечной ренты. 91 Обыкновенные ренты Ренты с бесконечным числом платежей называются бесконечными, вечными или перпетуететами (perpetuity). Если же платежи равны меду собой, ренту называют постоянной. В дальнейшем будем рассматривать именно постоянные ренты. Рента описывается следующими параметрами: Размером отдельного платежа (член ренты), периодом и сроком ренты, числом платежей в году p (p-срочные ренты). Существуют также непрерывные ренты, p   . 92 Коэффициенты приведения и наращения рент Ренты характеризуются также числом начисления процентов (k-кратные ренты). В случае когда период постоянной ренты равен одному году рента называется годовой рентой или аннуитетом (annuity). Найдём текущую (приведённую) стоимость A ренты постнумерандо {(0,0),( R,1),( R,2),...,( R, n)} 93 Коэффициенты приведения и наращения рент Вычислим приведённую величину по формуле R R R A   ...  2 1  i (1  i ) (1  i ) n Величина A является суммой n членов геометрической прогрессии с первым членом b  R и знаменателем q  1 1 1 i Воспользуемся формулой суммы 1 i n 94 Коэффициенты приведения и наращения членов геометрической прогрессии b 1  q  S  n 1 n R  1  1 n 1  1  (1  i )  n    1  (1  i) n 1  i  (1  i )  1  i A  R 1 1  i 1 i 1 1 i 1 i Таким образом а величина an  i 1 q 1  (1  i )  n A R i 1  (1  i )  i n 95 Коэффициент наращения коэффициентом приведения ренты. Наращенная сумма определяется равенством S  R(1  i )n1  R(1  i ) n2  ...  R которая также является суммой геометрической прогрессии с первым членом b1  R и знаменателем (1  i ) Тогда 1  (1  i) n (1  i) n  1 SR R 1  (1  i) i Величина sn  i (1  i )  i n 96 Рента пренумерандо называется коэффициентом наращения ренты. Коэффициенты приведения и наращения связаны формулой sn  i  an  i (1  i) n Найдём текущую (приведённую) стоимость A ренты пренумерандо {( R,0),( R,1),( R,2),...,( R, n  1),(0, n)} Эта приведенная величина представляет собой сумму 97 Рента пренумерандо геометрической прогрессии A R R R  ...  1 i (1  i ) n1 1 С первым членом R и знаменателем 1 i  1  Тогда R 1  n  n (1  i ) 1  (1  i ) R A  (1  i ) 1 i 1 1 i Множитель n ani 1  (1  i )  (1  i ) i 98 Рента пренумерандо называется коэффициентом приведения ренты пренумерандо. Наращенная сумма ренты пренумерандо S  R(1  i)  R(1  i) n n 1  ...  R(1  i) Также вычисляется как сумма геометрической прогрессии и равна n (1  i )  1 SR (1  i ) i 99 Связь между приведённой величиной и наращенной суммой аннуитета Коэффициент при R называется множителем наращения ренты пренумерандо и равен (1  i ) n  1 sn  i  (1  i) i Приведённая величина A и наращенная сумма S ренты пренумерандо связаны между собой простым соотношением S  A(1  i) n 100 Расчет параметров ренты Действительно n 1  (1  i ) (1  i )  1 n A(1  i )  R (1  i )  R S i i Рассмотрим параметры, характеризующие ренту: срок ренты n , размер отдельного платежа R , процентную ставку i , наращенную сумму S , приведённую величину A . n n 101 Расчёт параметров ренты Эти величины являются зависимыми, поэтому одни из них можно выразить через другие. 1. Если известны A, i, R, то n вычисляется из уравнения n 1  (1  i ) A R i  Ai  ln 1   Ai Ai  Ai   R  n n 1  (1  i)   (1  i)  1   n  log1i 1    R R  R  ln(1  i) 102 Расчёт параметров ренты  Ai  ln 1   R  n ln(1  i ) 2. аналогично предыдущему случаю, если известны S , i, R,то находится из  S уравнения (1  i ) n  1 ln 1  n SR 3. Если известны i n, i, A, то   R n  ln(1  i ) Ai R 1  (1  i )  n 103 Расчёт параметров ренты Si 4. Если известны n, i, S,то R  n (1  i )  1 5. Если заданы n, R, A , то процентная ставка i определяется из уравнения 1  (1  i) n A R i 6. Если заданы n, R, S , то процентная ставка определяется из уравнения 104 Расчёт параметров ренты (1  i )  1 SR i n Последние два уравнения не решаются аналитически, их можно решить только приближённо с любой степенью точности. Пример. Найти срок ренты постнумерандо, если известны S=2000, i=15%, R=100. 105 Расчёт срока ренты (решение примера)  iS  ln 1   R  Воспользуемся формулой n  ln(1  i ) Тогда  2000  0,15  ln 1   100   ln 4  9,9 n  ln(1  0,15) ln1,15 Таким образом годовая рента может выплачиваться 10 лет. Но в конце десятого года наращенная сумма немного превысит величину S  2000 , поэтому платёж R в конце десятого года можно уменьшить. 106 Вечные ренты Если рента выплачивается бесконечно долго, n   , то наращенная сумма не существует, она тем более бесконечна, ( S  ). Однако приведённая величина существует. Можно вычислить сумму денег A , которую надо положить на счёт, чтобы из этой суммы ежегодно выплачивался платёж R 107 Вечные ренты Рассмотрим бесконечную последовательность платежей {(0;0),( R;1),( R;2),...} Приведённая сумма платежей определяется как бесконечная сумма R R A   ... 2 1  i (1  i ) Эта сумма представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии 2 b1  b1q  b1q  ... 108 Вечные ренты и вычисляется по формуле В нашем случае 1 R q b1  1 i 1 i b1 1 q Поэтому приведённая сумма R 1 R R A    1  i 1 i 1 i 1 1 (1  i ) 1 i 1 i Множитель приведения a i 1  i 109 Примеры Пример 1. Найти размер вклада, обеспечивающего получение в конце каждого года 2000 руб. бесконечно долго при сложной ставке 14% годовых Решение. По формуле получим R 2000 A   14285,71 i 0,14 Пример 2. Для бессрочной ренты определить, что больше увеличит приведённую стоимость этой ренты: увеличение рентного платежа на 1% или уменьшение процентной ставки на 1%? 110 Решение примера 2 R 0,01R 1,01R  1,01A i i 0,99i R  1,0101A 0,99i 111 P-срочная рента 112 P-срочная рента 113 P-срочная рента в случае однократного начисления процентов (k=1) n np ( p) A  R p(1  i ) 1  p 1  (1  i )  np 1  (1  i ) 1 p p n R 1  (1  i )   1 p (1  i) p  1 S ( p) S ( p) R (1  i ) n  1   1 p (1  i ) p  1 114 P-срочная рента с k-кратным начислением процентов Если рентные платежи производятся p в год, а проценты начисляются k раз в год, то наращенная величина ренты вычисляется по i kn формуле (1  S ( p) ) 1 R k   p (1  i ) k p  1 k i  А приведённая величина 1   1   R k ( p)  A   по формуле k p  i  1   k  p  kn 1 115 P-срочная рента с непрерывным начислением процентов k  ( p) k A R 1 e   1 p e p 1 R e 1   1 p e p 1 ni  ni S ( p) k 116 Непрерывная рента p   , получим Переходя к пределу при непрерывный поток платежей с постоянной плотностью R , называемую непрерывной рентой. Находя предел при n R 1  (1  i ) получим p   от A( p )   1 p (1  i ) p  1 выражение для приведенной величины непрерывной ренты n () A 1  (1  i )  R ln(1  i ) 117 Непрерывная рента Для наращенной суммы непрерывной ренты аналогичным образом получаем формулу S () (1  i ) n  1  R ln(1  i ) Найдём приведенную величину непрерывной ренты с k-кратным начислением процентов как () ( p) предел Ak  lim Ak p-срочной ренты с k-кратным p  начислением процентов при p   от  nk i  получим 1  1   ( p) k A R k    1 p  i p 1    1  k 118 Непрерывная рента с k-кратным начислением процентов Вычисляя предел находим  nk Ak(  ) i  1  1   k  R  i  k ln 1    k Аналогичным образом вычисляем наращенную величину непрерывной ренты с k-кратным начислением процентов 119 Непрерывная рента с непрерывным начислением процентов nk i  1    1 k Sk(  )  R   i  k ln 1    k Переходя в последних формулах к пределу при k   получаем формулы для вычисления приведённой и наращенной величин непрерывной ренты с непрерывным начислением процентов A , , S , 120 Непрерывная рента с непрерывным начислением процентов Приведём эти формулы A , 1 e  R i  ni e 1  R i ni S  , 121 Задача 1 Определить период, за который начальный капитал в размере 46000 руб. вырастет до 75000 руб., если ставка простых процентов равна 15% годовых. Выразим период t из равенства 75000  46000  1  t  0,15  Откуда 75000 1 t  46000  4, 202 0,15 122 Задача 2 На счет в банке кладется сумма в размере 20000 руб. на 4 года под 11% годовых по схеме простых процентов с дальнейшей пролонгацией на последующие 2 года под 6% годовых по той же схеме. Найти размер вклада через 6 лет. Определить наращенную сумму, если вклад изымается через 4 года и кладется на новый счет на 2 года по той же схеме. 123 Задача 2 В первом случае проценты начисляются на первоначальную сумму 20000. Во втором последние 2 года проценты начисляются на наращенную за первые 4 года сумму 20000(1+4∙0,11). Поэтому в первом случае наращенная сумма равна 20000(1+4∙0,11)+2000∙2∙0,06=31200 Во втором 20000(1+4∙0,11)(1+2∙0,06)=32256 124 Задача 3 В банк положена сумма 150000 руб. сроком на 6 лет по ставке 14% годовых. Найти наращенную сумму, величину полученного процента и эффективную процентную ставку для следующих вариантов начисления процентов: а) полугодового; б) ежеквартального; в) ежемесячного; г) непрерывного при силе роста 14%. 125 Задача 3 Воспользуемся формулами i  S n  S0  1    k а) kn k iэфф j   1    1  k 26  0,14  S6  150000 1    337828,74 2   2 iэфф  0,14   1    1  0,1449  14, 49% 2   126 Задача 3 б)  0,14  S6  150000 1   4   46  342499, 27 4 iэфф в)  0,14   1    1  0,1475  14,75% 4   126  0,14  S12  150000 1   12    345769,74 12  0,14  iэфф  1    1  0,1493  14,93%  12  127 Задача 3 г) наращенная сумма вычисляется по формуле Sn  S0e n , а эффективная  i  e 1 процентная ставка по формуле эфф S6  150000e 60,14  347455,04 iэфф  e  1  0,1503  15,02% 0,14 128 Задача 4 Для создания премиального фонда один раз в год производятся взносы в размере 15000 руб. На вносимые средства начисляются проценты под 12% годовых. Определить размер фонда через 7 лет в следующих случаях: а) поступление средств в конце года, ежеквартальное начисление процентов; б) поступление средств в конце квартала, начисление процентов 6 раз в году; в) ежемесячное поступление средств и ежеквартальное начисление процентов. 129 Задача 4 Воспользуемся формулой вычисления наращенной суммы p-кратной ренты при kкратном начислении процентов kn Sn( ,pk) а) p=1, k=4 i  1  1  R  k   k p  i p 1    1  k б) p=4, k=6 в) p=12, k=4 130 Задача 4 47 а) б) в)  0,12  1   1 4  S  15000    153424,77 4  0,12  1   1 4   67  0,12  1 1   15000  6  S   161351, 47 6 4  0,12  4 1   1 6   47  0,12  1 1   15000  4  S   162590, 29 4 12  0,12  12 1   1 4   131 Основные характеристики рент Обычная годовая рента (1  i) n  1 SR i 1  (1  i)  n AR i Проценты начисляются m раз в году j (1  ) mn  1 m SR j (1  ) m  1 m A R 1  (1  (1  j  mn ) m j m ) 1 m p-срочная рента, m=1 1  (1  i)  n A R p((1  i )1 / p  1) (1  i) n  1 SR p((1  i)1 / p  1) р-срочная рента, p=m SR (1  j mn ) 1 m j A R 1  (1  j  mn ) m j р-срочная рента, p≠m j mn ) 1 m SR j p((1  ) m / p  1) m (1  A R 1  (1  p((1  j  mn ) m j m/ p )  1) m Определение величины процентной ставки простой ренты  При заключении финансовых сделок важно знать их доходность, которая определяется процентной ставкой ренты за один период начисления. При этом считается, что известны следующие значения: отдельный платеж R, срок займа n и наращенная сумма S (или современная стоимость А). В Excel данная задача решается с помощью финансовой функции СТАВКА. Немедленные и отложенные ренты t t A 134 Пример 1  135 Решение примера 1. AR 1  1  i  n Воспользуемся формулой i подставив A=1000000, R=100000, Получим уравнение относительно i 1000000  100000 1  1  i  12 10i  1  1  i  , n=12. 12 i преобразуем это уравнение. 10 1  i   10  1  1  i  10 1  i   111  i   1  0 12 13 12 Обозначим x=1+i и запишем уравнение в виде f x  10 x13  11x12  1  0   136 Решение примера 1. Полученное уравнение можно решить только приближённо. Решим его с точностью до 0,01, найдя числа a и b, такие что f(a) и f(b) имеют разные знаки, b - a < 0,01 b и положив 0,5(b – a). Вычислим последовательно f(1.02) = -0,015<0, f(1,03) = 0,002>0, f(1,029) = 0,00056, f(1,0294) = 0,00043. Следовательно x=1,0292, i=0,0292 (2,92%) 137 Пример 2 В течении 12 лет предполагается погасить долг в размере 1000000 у.е. платежами постнумерандо по 100000 у.е. ежегодно. Первые пять выплат были сделаны согласно достигнутой договорённости. Затем было решено на три года отложить погашение задолженности и возобновить погашение равными выплатами постнумерандо с конца восьмого года. Каковы должны быть погасительные платежи во втором периоде, чтобы выплатить задолженность в установленный срок? 138 Решение примера 2 A1  R A2  R 1  1  i  i 1  1  i  i n 5  100000 1  i  t R 1  1  0,0292  5  459018,69 0,025 1  1  0,0292  0,0292 4 1  0,0292 8  2,958276R 139 Решение примера 2 Приравнивая сумму современных величин двух выплат ко всей сумме долга, получим уравнение относительно погасительного платежа во втором периоде. A1  A2  1000000459018,69  2,958266R  1000000 откуда 1000000  459018,69 R  182871,11 2.958266 140 Пример 3 Начало выплат годовой ренты со сроком 12 лет, процентной ставкой 11%, рентным платежом 16000 руб. отложено на 4,5 года. Найти современную величину отсроченной ренты. 1  1  i  1  1  0,11 t A R 1  i   16000 i 0,11 n 12 1  0,11 4,5  69948,47 141 Пример 4 В течение 7 лет предполагается погасить долг в размере 400000 у.е. равными выплатами в конце каждого года. На остаток долга начисляется 6% годовых. В каком случае годовые расходы на обслуживание долга возрастут больше и на сколько, если: а) будет предоставлена годовая отсрочка, проценты за этот период присоединяются к сумме долга, б) ставка годовых процентов возрастёт на 0,25%? 142 Решение примера 4 143 Решение примера 4 144 Пример 5 Начало выплат годовой ренты со сроком 7 лет, процентной ставкой 8,5% годовых, рентным платежом 24000 руб. отложено на три года. Найти современную величину отсроченной ренты. Применив стандартную формулу, получим AR 1  1  i  i n 1  i  t 1  1,0857  24000 1,0853  96175,82 0,085 145 Чистая современная ценность ренты  Чистой современной ценностью (Net Present Value – NPV) называется разность дисконтированных показателей поступлений и платежей:  NPV=-I0 +R1/(1+i)+…+Rk/(1+i)n Если NPV > 0, то проект прибыльный и окупается на установленном горизонте инвестирования, если NPV < 0, то проект не окупается (экономически неэффективен). Пример. Проект рассчитан на два года и требует инвестиции в I0 = 10 млн. руб. В конце 1-го года доход составит R1 = 5 млн. руб., а в конце второго года – R2 = 12 млн. руб. Найти NPV , если ставка дисконтирования i = 10% % .  Решение.  Cогласно определению.  NPV = 5000 / 1.1 + 12 000 / 1.21 – 10 000 = 4 546 + 9 917 – 10 000 = 4 463 тыс. руб. Оценка NPV может проводиться с применением стандартной функции ЧПС {i; массив}, где «массив» набор значений поступлений и платежей в рамках рентной программы со своими знаками. При использовании функции ЧПС предполагается, что первый рентный платёж (капиталовложение) осуществляется в самом начале программы (пренумерандо). Внутренняя ставка дохода. Срок окупаемости  Внутренняя ставка дохода IRR (Internal Rate of Return) представляет собой процентную ставку, при которой чистый приведенный доход NPV =0. Т.е. IRR является корнем нелинейного алгебраического уравнения относительно i: Если ставка дисконтирования i < IRR, то проект – прибыльный (окупается). Если ставка дисконтирования i > IRR , то проект – убыточный (не окупается). Конверсия рент Бывают ситуации, когда возникает необходимость изменить условия выплаты ренты, заменив одну ренту другой или разовым платежом, а также заменить несколько рент с разными платежами одной или опять же несколькими другими рентами. Во всех вышеперечисленных случаях производится конверсия рент, подчиняющаяся следующему простому правилу. 149 Конверсия рент Современные величины старой (старых) и новой (новых) рент должны быть равны. Это следует из предположения о том, что конверсия рент не должна менять финансового положения сторон, т.е должен соблюдаться принцип финансовой эквивалентности (финансовой справедливости) Алгоритм расчета параметров новой ренты следующий. 150 Конверсия рент 1. Определяется современная величина старой (старых) ренты. 2. В случае объединения рент это величины складываются и дают современную величину новой ренты. 3. Зная современную величину новой ренты, рассчитываются параметры новой ренты, такие как размер отдельного платежа R, срок ренты n, процентная ставка i. 151 Пример 1. Заменить обычную (годовую) ренту с R1  200,n  5,i  10% параметрами срочной (квартальной) рентой с параметрами R2  100,i  10%. Найдём сначала приведённую величину годовой ренты AR 1  1  i  n i  200 1  1  0,1 5 0,1  200  3,79  758 и приравняет её к приведённой величине квартальной ренты с неизвестным параметром n R 1  1  i  100 1  1  0,1 1  1,1 n A  2 p 1  i  1 p n 1 4 1  0,1 1 4  25 1 n 0, 024  1036, 75  1  1,1 n  152 КОНВЕРСИЯ РЕНТ 153 Решение примера 2 Найдём современные величины обеих рент n R 1  1  i  1300 1  1,086 A1    6187,15 1 0,25 p 1  i  p  1 4 1  0,08  1 A2  R 1  1  i  i n 1  i  t 1  1,085  1500 1,08t  5989,07 1,08t 0,08 Приравнивая эти величины, находим t. 6187,15 ln 5989, 07 t 5989, 07 1, 08  6187,15t    0, 423 ln1, 08 154 Консолидация рент При замене нескольких рент одной рентой имеет место равенство современных величин A   Ai i Пример1. консолидируйте три ренты постнумерандо с параметрами R1  1000 , n1  3 R2  1500, n2  5 , R3  2000 , n3  7 ,i  10% , четырехлетней рентой постнумерандо с i  15% 155 Решение примера 1 Вычислим современные величины трёх консолидируемых рент и консолидирующей n 1  1  i ренты по формуле A  R   A1  1000 A2  1500 A R 1  1  0,1 1  1  0,1 5 0,1 1  1  0,15 0,15 A  A1  A2  A3 i 3 0,1  2486,85 1  1  0,1 7  5686,18 A3  2000  2,855R Найдём R из равенства 0,1  9736,84 4 2,855R  2486,85  5686,18  9736,84R  6273,16 156 Пример 2 Долг 100000 у.е. должен быть погашен в течение 10 лет равными платежами в конце каждого года. На остаток долга начисляется 7% годовых. После 5 лет выплат должник решил гасить задолженность равными выплатами в конце каждого полугодия. Явившись в банк в конце девятого года должник решил погасить задолженность разовым платежом. Какую сумму он при этом заплатит. 157 Решение примера 2 1  1  i  n Применяя формулу A  R приведённой i величины ренты, найдём регулярный 10 платёж R . Откуда 100000  R 1  1  0,07  0,07 100000  0,07 R  14237,75 . Далее найдём первую 10 1  1.07 часть долга (выплаченную за первые пять 5 лет) A1  14237,75 1  1  0,07   58525,19 и остаток 0,07 A2  100000  58525,19  41474,81 158 Решение примера 2 По формуле R 1  1  i  t A 1  i   p 1  i  1 p  1 n найдём размер регулярного платежа R при выплате второй части долга, полагая А=41474,81; n=5; i=0,07; p=2; t=5. 5 5 2  41474,8  1,07  1 R 1  1,07 1,07 R  13947,3 41474,81   5  5 1 1,07  1,07 2 1  0,07  12  1 Применим найденное значение R для вычисления оплаченной суммы долга пред приходом в банк в конце девятого года, n=3,5.     159 Решение примера 2 Вычитая полученную величину из оставшееся после пятилетней выплаты суммы долга, получим приведённую к начальному моменту времени оставшуюся сумму долга, которою надо нарастить к моменту времени n=9. 3,5 R 1  1  i   t 13947,81  1.07 5 A2   1  i    1  0,07   30470,6 1 2 1  i  2  1 2 1,07  1 3,5 Остаток долга к моменту прихода в банк (n=9) равна 41474,81-30470,6=11004,21. Выплате подлежит сумма 11004, 211,079  20230,79 160 Пример 3 Задолженность в сумме 100000 у.е. должна быть погашена за 9 лет равными выплатами в конце каждого месяца. На остаток долга начисляется 6% годовых. После четырёх лет выплат клиент попросил в банке отсрочку на 3 года погашению долга. За последние 2 года долг должен быть погашен равными поквартальными платежами. Чему равен размер поквартальных платежей выплачиваемых в конце каждого квартала, если: а) в течение трёхлетнего льготного периода выплачиваются только процентные 161 Пример 3 Платежи в конце каждого года; б) в течение льготного периода процентные платежи не выплачиваются, а присоединяются к сумме долга. n R 1  1  i  Решение. Применяя формулу A  1 p 1  i  p  1 вычисления приведённой величины ренты, найдём регулярный платёж R. 1 9 12 100000  1  0,06  1 12   R 1  1  0,06  100000  R  14668,64 1  9 12 1  0,06  12  1 1  1.06   162 Решение примера 3 Найдём часть долга, выплаченную за первые четыре года, и его остаток n 4 1  1  i 1  1  0, 06     R 14668, 64 A1    52211, 46 1 1 p 1  i  p  1 12 1  0, 06  12  1 А = 100000 – 52211,46 = 47788,54. б) наращенная сумма этой величины к концу 7-го года составляет 7 A  47788,54  1  0,06  71856,29 и является современной величиной для последней двухлетней квартальной ренты. 163 Решение примера 3 Получаем уравнение относительно годового платежа R этой ренты. n 2 1  1  i 1  1  0, 06   R   R A 71856, 29  p 1  i  1 p  1 4 1  0, 06  1 4  1 R  1   38340,87 4  71856, 29  1,06 4  1 1  1,062 Квартальный платёж равен R/4 = 9585,22 а) так как за последние три года процентные платежи выплачиваются, то наращенная величина остатка долга к концу 7-го года 164 Решение примера 3 Равна наращенной величине к концу 4-го 4 года и равна A  47788,54  1  0,06  60331,96 Получаем уравнение относительно годового платежа R этой ренты. 2 n R 1  1  0, 06  60331,96  R 1  1  i  1 A 4 4 1 1  0, 06 1   p 1  i  p  1 1 4 R    32191,75 4  60331,96  1,06  1 1  1,062 Квартальный платёж равен R/4 = 8047,94 165 Задача 1 Какую сумму нужно положить в банк под 8% годовых женщине 42 лет, чтобы по достижению пенсионного возраста 55 лет в течение 25 лет в начале каждого месяца снимать по 15000 руб., если проценты капитализируются: а) в конце каждого года, б) в конце каждого полугодия, в) в конце каждого квартала, г) в конце каждого месяца? 166 Решение задачи 1 167 Решение задачи 1 168 Задача 2  Три фирмы A, B, C сливаются в одну фирму D. Фирма A 3 года назад взяла в банке кредит на сумму 100000 у.е. на 5 лет с погашением задолженности равными уплатами в конце каждого полугодия. Фирма B 2 года назад взяла кредит на сумму 200000 у.е. на 6 лет с погашением долга в конце каждого квартала равными выплатами. Фирма C 4 года назад получила кредит на сумму 400000 у.е. на 8 лет и погашала его платежами в конце года. 169 Задача 2 (продолжение)  Процентная ставка для всех кредитов равна 12% годовых. Объединённая фирма D должна погасить долги A, B, C за 4 года равными платежами в конце каждого года при условии, что на остаток долга начисляется 11% годовых. Какую сумму фирма D должна возвращать ежегодно? 170 Решение задачи 2 Найдём современную величину долгов фирм A, B. C, сумма которых даст современную величину долга фирмы D. Сначала найдём рентные платежи уплаты долгов, исходя из формулы n R 1  1  i  A  p 1  i  1 p  1 Для фирмы А   5 200000 1,12  1 R 1  1  0,12  100000   R   26955,22 1 5 2 1  0,12  2  1 1  1,12 171 Продолжение решения задачи 2 Для фирмы В Для фирмы С R 1  1  0,12  200000   R  1 4 4 1  0,12   1 6 400000  R 1  1  0,12  0,12    45597,74 800000 1,12  4  1 8 R  1  1,12  1 6 48000  80521,14 8 1  1,12 После этого из величин взятых кредитов вычтем приведённые величины выплаченной части долгов и приведём к моменту слияния фирм, что выражается следующей формулой n   1  1  i   n  A R    1  i   1  p 1  i  p  1    172 Продолжение решения задачи 2 Получим современные величины долгов, используя найденные значения рентных платежей R и времени n от момента взятия кредита до момента слияния фирм. Для фирмы А 100000  26935, 22  1 1,12  1,12  46953,12 3   Для фирмы В Для фирмы С 2 1,12 2  1  3 1  45597, 74 1  1,122  2  200000     1,12  149965, 45 1   4 1,12 4  1    1  1,12  400000  80521,14  0,12  4  4  1,12  244570,81  173 Продолжение решения задачи 2 Таким образом долг фирмы D составит 46953,12 + 149965,45 + 244570,81 = 441489,38. Для вычисления ежегодной оплаты долга фирмой D воспользуемся формулой 1  1  i  . A  R n i Откуда 1  1,114 441489.38  0,11 441489.38  R  R   142303, 61 4 0,11 1  1,11 174 Облигации Облигации (bonds) – это долгосрочные векселя (долгосрочные обязательства), выпускаемые коммерческими или правительственными структурами с целью аккумулирования (привлечения) денежных средств. Облигации Помимо кредитов в качестве заёмных средств широко распространён выпуск облигаций. Основное отличие от кредита состоит в том, что заем производится ни у одного банка, а у большого числа физических и юридических лиц в виде продажи облигаций эмитентом. Облигация– это обязательство выплатить в определённые моменты времени в будущем заранее установленные денежные суммы. 177 Облигации  Отдельная облигация рассматривается в условиях определённости. Т.е.:  эмитент не может отозвать облигацию до установленной даты погашения;  платежи по облигации задаются фиксированными значениями в определённые моменты времени;  облигации не имеют кредитного Облигации 179 Каждую облигацию, выпускаемую в момент t=0 характеризует ряд числовых параметров: Номинальная стоимость облигации N, (номинал, нарицательная цена) (par value, face value, principal) – это объявленная цена облигации. Номинал представляет собой сумму, которую фирма берет взаймы. Номинал печатается на самой облигации и выплачивается обладателю облигации в момент погашения T. Выкупная цена облигации – это цена, по которой производится выкуп облигации эмитентом по истечении срока займа; она может совпадать с номинальной стоимостью (как правило это так и есть, и понятие выкупной цены оказывается излишним) или определяться условиями займа. Купонная ставка облигации q определяет дивиденды (купонный доход) С т.е. величину годичных купонных платежей, выплачиваемых эмитентом облигации ее обладателю и равный доле q от номинальной стоимости, т.е. C=qN. Рыночная (курсовая) цена облигации определяется конъюнктурой рынка. Значение рыночной цены в процентах к номиналу называется курсом облигации. Текущая цена облигации PV т.е. цена, которой обладает облигация в любой момент времени t 0  t  T . Облигации  184 Облигации 185 Основные характеристики облигаций 186 Основные характеристики облигаций 187 Основные характеристики облигаций Если купонная ставка не выплачивается, то такую облигацию называют бескупонной. Доход по такой облигации образуется за счёт курсовой разницы стоимости облигации. Перейдём к анализу потока платежей, создаваемого облигацией, а также к исследованию портфеля облигаций (совокупности разных видов облигаций). 188 При t=T (s=0) текущая цена облигации PV совпадает с ее номинальной стоимостью N. Денежный поток, порожденный купонными выплатами Ck представляет собой финансовую ренту постнумерандо, к которой в конце срока операции прибавляется дисконтированная номинальная стоимость облигации. Текущая стоимость облигации 190 Пример 1 191 Решение примера 1 192 Решение примера 1 193 Сравнение текущей стоимости с номинальной Мы видим, что при ставке рефинансирования (10%) меньшей купонной ставки (12%) текущая стоимость облигации (1034,71руб.) больше номинальной стоимости (1000 руб.). При ставке рефинансирования (14%) большей купонной ставки (12%) текущая стоимость (967,067 руб.) меньше номинальной стоимости. При ставке рефинансирования (12%) текущая стоимость равна номинальной. 194 Сравнение текущей стоимости с номинальной Пример 1 демонстрирует свойство текущей стоимости. При повышении купонной ставки текущая стоимость растет, а при повышении процентной ставки текущая стоимость падает. В случае, когда купонная ставка равна процентной, текущая стоимость равна номинальной стоимости облигации. 195 Пример 2 196 По сроку действия (maturity) облигации подразделяются на краткосрочные (от 1 до 3 лет), среднесрочные (от 3 до 7 лет), долгосрочные (от 7 до 30 лет) и бессрочные. Стоимость бессрочной облигации Доход владельца бессрочной облигации представляет собой бессрочный аннуитет. Поэтому стоимость (приведенная стоимость) облигации определяется формулой C C C C PV       2 3 1  i 1  i  1  i  i Здесь С – сумма, равная купонному проценту от номинала, а i – текущая ставка процента (ставка процента на финансовом рынке). Так как купонная ставка процента устанавливается соглашением на весь срок действия облигации, то купонная ставка процента остается постоянной. Текущие рыночные ставки могут понижаться или повышаться. Это приводит к тому, что рыночная цена облигации может в ту или другую сторону отличаться от номинальной цены. Поэтому вложение денег в облигации связано с риском. Курс облигации 201 Накопленный купон, чистая и полная цена облигации.  Когда инвестор покупает облигацию между купонными выплатами, то он должен компенсировать продавцу облигации купонный процент, накопленный со дня последней купонной выплаты. Эта сумма называется накопленным процентом (купоном) и обозначается 𝐴𝐶𝜏 , или 𝐴𝐼𝜏 (здесь индекс 𝜏 обозначает срок от момента последнего купона до момента продажи). Накопленный купон, чистая и полная цена облигации.  Накопленный купон представляет собой пропорциональную долю купонного платежа, соответствующую доле 𝜏 купонного периода, прошедшего с момента последнего купонного платежа 𝐴𝐶𝜏 = 𝐶𝜈 ∙ 𝜏. Стоимость облигации, полученная дисконтированием потока платежей на текущий момент 𝑡, называется полной или грязной ценой облигации. Будем обозначать ее 𝑃𝑡 (полн) . Накопленный купон, чистая и полная цена облигации.  Если накопленный купон не выплачивается, то говорят, что облигация котируется по чистой цене (flat price). Разность полной цены и накопленного купона называется чистой (котировочной) ценой облигации. Обозначим ее 𝑃𝑡 (чист) . Тогда внутри текущего купонного периода  𝑃𝑡 (чист) = 𝑃𝑡 (полн) − 𝐴𝐶𝜏 = 𝑃𝑡 (полн) − 𝐶𝜈 ∙ 𝜏. Текущая доходность облигации 205 Пример 1. 206 Полная доходность облигации  Конечная (полная) доходность характеризует полный доход по облигации, приходящийся на единицу затрат на покупку этой облигации в расчете на год.  Конечная доходность(%) = (Совокупный купонный доход + Дисконт)/(Цена покупки * количество лет владения облигацией) х 100.  Конечный доход – это доход за все время владения ценной бумагой. Конечный доход определяется суммированием годовых доходов. Доходность к погашению 208 Доходность к погашению 209 Доходность к погашению 210 Доходность к погашению 211 Пример 1 212 Решение примера 1  213 Доходность к погашению  214 Доходность к погашению 215 Средний срок погашения облигации Средний срок потока платежей позволяет учитывать риск, связанный с изменением процентной ставки и вообще с изменением ситуации на рынке. Чем меньше средний срок тем меньше риск. Понятно, что нельзя взять просто среднее арифметическое сроков всех платежей, а необходимо учитывать денежную величину каждого платежа. Это применимо и к распределению 216 Средний срок поступления доходов по облигации 217 Дюрация облигации 218 Дюрация облигации по Маколею. Для сравнения облигаций с одинаковым сроком погашения, но с различной структурой купонных платежей, необходимо учитывать особенности распределения доходов во времени («профиль»поступления доходов). Дюрация облигации 220 Риск, связанный с изменением процентной ставки. Дюрация. Рыночная цена облигации отличается в меньшую или в большую сторону от номинальной цены в зависимости от изменения текущей ставки процента. Чем выше r, тем ниже P. Инвестиции даже в государственные облигации связаны с риском, обусловленным неустойчивостью текущей ставки процента Найдём количественную оценку реакции текущей цены P облигации на изменение ставки процента r. Дюрация облигации 222 Свойства дюрации облигации 223 wt  Ct P 1  r  t Величина wt является долей приведённой стоимости (или цены облигации), которую вносит выплата в момент времени t. Теперь можем привести формулу к следующему виду:  P/P  r / 1  r  T   twt t 1 T w t 1 t 1 Эластичность цены облигации по ставке процента равна средневзвешенному времени погашения с весами wt Тогда теперь можно определить дюрацию D следующим образом: Ct  P/P D   twt   t  t  r / 1  r  t 1 t 1 P1  r  T T Дюрация  227 Примеры 228 Примеры 229 Примеры 230 Относительное изменение текущей стоимости 231 Относительное изменение цены облигации 232 Относительное изменение цены облигации 233 Решение примера 234 Поскольку дюрация характеризует чувствительность цены облигации (потока платежей), к изменению доходности к погашению, можно пытаться управлять риском, связанным с изменением процентной ставки, выравнивая дюрации активов и задолженностей. Пусть вы должны заплатить $1000 ровно через два года. Тогда дюрация вашей задолженности равна 2. Одним из способов защиты от изменения процентных ставок является покупка бескупонной облигации стоимостью $1000, погашаемой через два года. Если r02 – процентная ставка на два года, то эта покупка обойдётся вам в 1000/(1+r02)2, и ваши обязательства будут в точности соответствовать вашим активам. Теорема об иммунитете утверждает, что риск, связанный с изменением процентных ставок, можно хеджировать, выравнивая дюрации активов и задолженностей. Это правило основано на том факте, что процентный риск возрастает с уменьшением цены облигации и, наоборот, уменьшается с увеличением цены, и что облигации с разными сроками погашения реагируют по-разному на изменения процентных ставок. В результате, если процентная ставка растёт, доход от реинвестиции купонов возрастает, но рыночная стоимость облигации падает, и наоборот, если процентная ставка падает, то стоимость облигации растёт. Проиллюстрируем это правило на примере: простого обязательства выплатить $C в момент времени t. Тогда текущая стоимость задолженности P1  Дюрация C 1  r  t D1  t Назовём такую задолженность облигацией 1. Рассмотрим две бескупонные облигации с номинальными стоимостями С1 и С2 и временами погашения t1 и t2 соответственно. Тогда P2  C1 1  r  t1  C2 1  r  t2 Портфель двух таких облигаций назовём облигацией 2. Предположим, что t1< t< t2, Р1= Р2 =P, D1=D2=D, где D1 и D2 – дюрации облигаций 1 и 2 соответственно. Вычислим производные от цен облигаций по процентной ставке r. dP1 C  t t 1 dr 1  r   1  r dP1 1 r  C D1     t  t 1 P1 dr P1  1  r   1  r 1  r   t C t  C   t    1  r t 1    dP2 C1 C2  t1  t 2 t1 1 t2 1 dr 1  r  1  r  1  r dP2 D2    P2 dr t1 C1 1  r  t1 C1 1  r  t1  t2  C2 1  r  C2 1  r  t2 t2 Видно, что из равенства текущих стоимостей облигаций Р1= Р2 =P, или C 1  r  t  C1 1  r  t1  C2 1  r  t2 и равенства дюраций D1=D2=D, или t1 t C1 1  r  t1 C1 1  r  t1  t2  C2 1  r  C2 1  r  t2 t2 следует равенство производных от цен облигаций по процентной ставке. dP1 dP2  dr dr Это означает, что графики зависимости стоимостей облигаций от процентной ставки касаются в точке (r,P). Так как цена облигации убывает при возрастании процентной ставки, оба графика имеют наклон вниз. Можно показать (с помощью вторых производных функций Р1 и Р2), что в окрестности точки r график Р2 лежит выше графика Р1. На рисунке изображены графики зависимостей стоимости облигаций 1 и 2 от процентной ставки. Видно, что облигации имеют одинаковые стоимости и одинаковые производные стоимостей в точке (r,P), но облигация 2 более чувствительна к изменению аргумента, так как график её стоимости –“более выпуклая кривая”, чем и облигации 1. Вообще более выпуклая кривая лучше, чем менее выпуклая. Меру выпуклости характеризует вторая производная 2 2 d P1 d P2  2 2 dr dr Обозначим w1  C1 P 1  r  t1 w2  C2 P 1  r  t2 C2 1  C1 w1  w2    t1 t2 P  1  r  1  r  P2  1 P w1  w2  1      Условие равенства дюраций записывая в виде t  t1w1  t2 w2 Можно доказать, что при этих условиях t  t w1  t2 w2 2 2 1 2 и отсюда будет следовать, что 2 2 d P1 d P2  2 2 dr dr Для того, чтобы обеспечить выполнение условий иммунизации (хеджирования), достаточно потребовать, чтобы веса платежей удовлетворяли системе уравнений  w1  w2  1,  t1w1  t2 w2  t. Решив эту систему найдем w1 , w2 Далее, вычислим P C 1  r  Затем можно определить их номиналы t C1  w1P 1  r  t1 C2  w2 P 1  r  t2 Задача. Через 10 месяцев фирме предстоит произвести оплату поставки сырья в сумме 100 миллионов рублей. Для обеспечения платежа решено приобрести облигации. На рынке имеются два вида облигаций стоимостью 1 миллион рублей каждая — со сроком погашения 2 месяца и со сроком погашения 18 месяцев. Текущая годовая ставка – 12% (независимо от срока погашения). Определить, сколько облигаций каждого типа нужно приобрести, чтобы обеспечить погашение задолженности с наименьшим риском. Построить графики зависимости текущей стоимости задолженности и текущей стоимости приобретенного актива от процентной ставки r (0,091, называются агрессивными; 1 защитными. Рыночную модель задают уравнением ri   iI   iI rI   iI , где ri  доходность акции i за данный период; rI  доходность рыночного индекса I;  iI  коэффициент смещения (коэффициент альфа акции);  iI  угловой коэффициент (коэффициент бета акции);  iI  случайная погрешность, для которой M  i   0 и Cov  i , RI   0 Коэффициент альфа финансового актива  Разница между фактически ожидаемой доходностью ценной бумаги и равновесной ставкой доходности называют коэффициентом альфа финансового актива называемую избыточную доходность - отклонение фактической доходности от равновесной вследствие неравновесного состояния недооцененности либо переоцененности актива в данный момент : Значение бета - коэффициента  Коэффициент регрессии β служит количественным измерителем систематического риска, не поддающегося диверсификации.  Ценная бумага, имеющая β - коэффициент, равный 1, копирует поведение рынка в целом. Если значение коэффициента выше 1, реакция ценной бумаги опережает изменение рынка как в одну, так и в другую сторону. Систематический риск такого финансового актива выше среднего. Менее рисковыми являются активы, βкоэффициенты которых ниже 1 (но выше 0). Безрисковая ставка доходности  Практически, в качестве безрисковой ставки выбирают, как правило, ставку доходности по краткосрочным (от трех месяцев до года) государственным обязательствам, учетную ставку (либо ставку рефинансирования) центрального банка, либо рассчитанную определенным образом средневзвешенную ставку по кредитам на межбанковском рынке (наиболее известный пример: ставка LIBOR - London Interbank Оffered Rate ). Тогда ожидаемая доходность i-той бумаги вычисляется по формуле  i   f   iM  M   f , В этом смысле рыночная модель согласуется с CAPM. В условиях рыночной модели   2 Cov Ai , A j   iI  jI  I . Риск акции 2 2 2 2  i   iI  I    i , 2  дисперсия рыночного индекса, I 2  дисперсия случайной погрешности.  i Поэтому общий риск акции i есть сумма 2 2 рыночного (систематического) риска  iI  I и собственного (несистематического) риска  i 2 Выводы  Модель CAPM представляет собой идеальную модель рынка капиталов, которая основывается на предположениях портфельной теории и исходит из равной информированности инвесторов относительно доходности и рискованности ценных бумаг.  В условиях модели САРМ справедлива  теорема о разделении, в соответствии с которой оптимальный портфель рискованных активов одинаков для всех инвесторов и соответствует по структуре рыночному портфелю - совокупности всех рискованных активов, представленных на рынке. Индивидуальные портфели различаются лишь пропорциями безрисковых вложений и инвестиций в рыночный портфель. Выводы  В модели САРМ равновесная цена (доходность) отдельных финансовых активов определяются исключительно степенью статистической взаимосвязи доходности данного актива и доходности рыночного портфеля, которая характеризуется коэффициентом бета. Выводы  Риск, связанный с инвестициями в каждую ценную бумагу можно разделить на две составляющие - рыночный (системный) риск и остаточный (индивидуальный) риск. Индивидуальный риск может быть сведен к нулю путем диверсификации инвестиций, тогда как в отношении системного риска диверсификация приводит лишь к его усреднению. Поэтому на цену и доходность финансовых активов в условиях модели САРМ оказывает влияние лишь содержание рыночного риска, а равновесная доходность ценных бумаг должна располагаться вдоль линии рыночной доходности ценных бумаг, определяющей зависимость ожидаемой доходности от коэффициента бета. Рассмотрим портфель акций, доходность которого выражается формулой N rP   xk rk . k 1 rk   kI   kI rI   kI ,  rP   PI   PI rI   PI , N  PI   xk kI , k 1 N  PI   xk  kI , k 1 N  PI   xk  kI . k 1 Общий риск портфеля 2 2 2 2  P   PI I    P , 2  PI  N 2  xk  kI . k 1 Если случайные отклонения доходности некоррелированы, то N  P   2 k 1 2 2 xk  k . Производные финансовые инструменты На финансовом рынке различают основные и производные финансовые инструменты. Основные : банковские счета, облигации, акции. Производные инструменты – это ценные бумаги, стоимость которых базируется на стоимости лежащих в их основе основных инструментов. Важнейшими среди производных инструментов являются опционы и фьючерсные контракты. Считается, что цены основных инструментов определяются непосредственно финансовым рынком. Цены производных инструментов можно рассчитать по ценам основных, используя модель финансового рынка. Форвардные и фьючерсные контракты Форвардный контракт представляет собой соглашение купить или продать некоторый актив в заранее определенный момент (дата поставки) по установленной цене (цена поставки). Форвардный контракт заключается вне биржи. Фьючерсный контракт аналогичен форвардному, но заключается на бирже. Сторона, поставляющая базисный актив, занимает короткую позицию, а сторона его покупающая – длинную. Модель совершенного финансового рынка  1) любой актив можно без ограничений купить или продать в любом количестве;  2) транзакционные расходы при покупке и продаже активов отсутствуют;  3) разрешены короткие продажи (покупка в долг) активов;  4) покупка или продажа активов одним участником рынка не влияет на цены. Далее считаем, что рынок является совершенным и на рынке можно брать ссуды или помещать деньги на банковский счет по единой безрисковой процентной ставке. Определение цен производных финансовых инструментов основывается на предположении об отсутствии на финансовом рынке арбитражных возможностей, позволяющих получить прибыль без риска. Опционы  Опцион «колл» (call option, опцион покупателя) дает его владельцу право (но не обязанность!) купить определенный актив (товар, ценная бумага, валюта и т. п. ) по фиксированной цене (цене исполнения) в установленное время в будущем или до наступления установленной даты. Опционы  Опцион «пут» (put option, опцион продавца) дает его владельцу право продать актив.  Реализация права на покупку ( «колл») или продажу («пут») называется исполнением опциона.  Опцион как финансовый инструмент характеризуется ценой исполнения K и датой истечения срока действия опциона T. Опционы Дата, когда происходит фактическая купля или продажа актива в соответствии с условиями опциона — дата исполнения опциона Американский опцион может быть исполнен в любой момент до даты истечения срока действия. Европейский опцион может быть исполнен только в установленный срок. Опционы Сторона, купившая опцион, занимает длинную позицию по опциону. Сторона, выпустившая опцион – короткую. Выигрыш владельца европейского опциона «колл» на момент его исполнения T CT = max {0, ST – K} ST – цена актива в момент исполнения опциона, а K – цена исполнения опциона. Если в момент исполнения опциона T ST > K, владелец опциона купит актив по цене ниже рыночной. Выигрыш равен ST – K. Если на момент T : ST < K, владелец опциона отказывается от покупки. Выигрыш по европейскому опциону «пут» в длинной позиции на момент его исполнения T PT = max {0, K – ST}. Опцион колл  Пример. Инвестор приобрел европейский опцион на акцию по цене исполнения 100 руб., уплатив премию в 5 руб.  1. Допустим, что к моменту окончания срока действия опциона курс акции составил 120 руб. Тогда инвестор исполняет опцион, т. е. покупает акцию у продавца опциона за 100 руб. Если он сразу продаст акцию на рынке, то его выигрыш составит: 120 −100 = 20 руб, но т.к. он уплатил премию в 5 руб, то его чистый доход составит : 20 − 5 =15 руб. Опцион колл  2. Допустим теперь, что к моменту истечения срока действия опциона курс акции упал до 80 руб. Тогда инвестор не исполняет опцион, так как бессмысленно покупать акцию за 100 руб. по контракту, если ее можно приобрести сейчас на рынке за 80 руб. Потери инвестора по сделке равны уплаченной премии. Возможные результаты сделки для инвестора показаны на рис. . Доход-убыток покупателя колл. Правило действий для покупателя опциона колл Опцион колл исполняется, если спотовая цена базисного актива к моменту истечения срока действия контракта выше цены исполнения, и не исполняется, если она равна или ниже цены исполнения. Опцион пут  Инвестор покупает европейский опцион пут на акцию с ценой исполнения 100 руб. за 5 руб.  1. Допустим, что к моменту истечения срока контракта спотовая цена акции составила 80 руб. Тогда вкладчик покупает акцию на спотовом рынке за 80 руб. и исполняет опцион, т. е.продает ее по цене исполнения за 100 руб. Чистый доход покупателя опциона пут с учетом уплаченной премии равен: 100-80-20 − 5 =15 руб. Опцион пут  2. Предположим теперь, что цена к моменту истечения срока опциона выросла до 120 руб. В этом случае опцион не исполняется, так как инвестор не имеет возможности купить акцию по более низкой цене, чтобы продать ее по более высокой цене. Доход-убыток покупателя пут.  Итоги сделки для продавца опциона противоположны по отношению к результатам покупателя и представлены на рис. Преимущества опционов перед базовыми активами  Если цена опциона составляет 10 долл., то на 100 долл. вы можете купить либо 1 акцию (за 100 долл.), либо 10 опционов с ценой исполнения 100$ (10 долл. х 10).  В случае, если цена акции резко вырастет, опционная позиция принесет доход во много раз больший, чем одна акция. Например, при росте рынка на 20 долл. доход по одной акции составит 20 долл., а прибыль от опциона = доход - премия = (20-10)=10 долл.На десяти опционах прибыль равна [10 х (20 - 10)]= 100$ ВЫВОД. Такая высокая прибыль по отношению к вложениям является одним из основных преимуществ опционов —приносят больший доход при том же размере инвестиций. Замечание  Однако, хотя опционы дают плечо (leverage) большее, чем базовые активы, но сохраняют стоимость хуже (быстро обесцениваются), так если цена акции не вырастет резко, вы потеряете свои инвестиции полностью, т.к. ваш опцион прекратит свое действие с наступлением даты истечения, а акция будет по-прежнему обладать определенной стоимостью.  Другие преимущества опционов, такие, как ограниченность риска (при покупке) и гибкость построения инвестиционных стратегий. Замечание целесообразности покупки опционов  Обобщим случаи, когда покупаются опционы: Вы купите опцион кол, когда ожидаете, что рынок пойдет вверх. Вы купите опцион пут, когда ожидаете, что рынок пойдет вниз. Продажа опционов  Вы продадите опцион кол, когда ожидаете, что рынок пойдет вниз. Например, если вы ожидаете, что цена акций XYZ упадет («медвежий» прогноз, игра на понижение), у вас нет необходимости обладать правом на покупку акций (опцион кол), поэтому вы продадите его.  Вы продадите опцион пут, когда ожидаете, что рынок пойдет вверх. Например, если вы ожидаете подъем рынка («бычий» прогноз, игра на повышение), у вас не будет необходимости обладать правом на продажу акций (опцион пут). Поэтому вы продадите его. Выводы:  «Бычьи» стратегии (игра на повышение стоимости базового актива): Если вы покупаете опцион кол, у вас есть право купить базовый актив по цене, выгодной вам. Если вы продаете опцион пут, у вас появляется обязательство купить базовый актив по цене, невыгодной вам.  Точка окупаемости для опциона кол при истечении срока равна цене исполнения + премия. ВЫВОДЫ  «Медвежьи» стратегии (игра на понижение стоимости базового актива): Если вы покупаете опцион пут, у вас есть право продать базовый актив по цене, выгодной вам. Если вы продаете опцион кол, у вас появляется обязательство продать базовый актив по цене, невыгодной вам.  Точка окупаемости для опциона пут при истечении срока равна цене исполнения премия. О риске.  Когда вы покупаете опцион (платите премию), ваш риск ограничен размером уплаченной премии.  • Когда вы продаете опцион(получаете премию), ваш риск не ограничен, если вы продали опцион кол; - ограничен, если вы продали опцион пут, потому что цена не может упасть ниже 0. Опционные стратегии. Базовые стратегии  Стратегия — это комбинация разных опционов и, возможно, базового актива в одном портфеле, созданном для достижения поставленной инвестором цели.  Например, покупка опциона кол - «бычья» стратегия, состоящая из одного опциона. Спрэд  Спрэд – опционная стратегия, подразумевающая покупку и продажу одинакового количества опционов одного типа с одинаковыми сроками экспирации, но разными ценами исполнения.  Бычий спрэд, рассчитанный на рост цены базового актива, состоит из купленных опционов колл и проданных опционов колл с более высокой ценой исполнения, либо из проданных опционов пут и купленных опционов пут с более низкой ценой исполнения.  Медвежий спрэд строится из проданных опционов колл и купленных опционов колл с более высоким страйком, либо из покупки опционов пут и продажи опционов пут с более низким страйком. Прибыль и убытки по спрэдам ограничены. Бычий и Медвежий спрэд  Бычий спрэд Медвежий спрэд Оценка опционов  Биноминальная модель оценки стоимости опционов  Основные допущения .  Рассмотри однопериодную модель - dt. Пусть S и К – стоимость актива и колл опциона (европейского) этого актива без учета налогов и транзакций. Будем считать , что арбитраж на рынке отсутствует, тогда u>R>d Введем величину q=(R-d)/(u-d)называют риск нейтральная вероятность. 0R>d. Цена колл опциона Цена пут-опциона Изменчивость доходности актива характеризуется волатильностью, определяемой на основе статистических данных. Если  – волатильность за единицу времени доходности актива, измеряемой в виде ставки непрерывных процентов, то для расчетов в соответствии с биномиальной моделью полагают Замечания 3 u S0 2 u S0 p uS0 p q S0 2 dS0 u dS0 q udS0 p 2 p q p ud S0 q p q 3 d S0 2 d S0 q Следствия Заключение Всё хорошо,что хорошо кончается.