Энергетический метод решения задачи устойчивости стержней.

Энергетический метод решения задачи устойчивости стержней. Энергетический подход к решению задачи устойчивости базируется на условии минимума полной потенциальной энергии механической системы. Полная потенциальная энергия стержня W складывается из потенциальной энергии деформации U и потенциала внешних сил V Потенциальная энергия деформированного стержня вычисляется как интеграл Мора. Его выражение хорошо известно, поскольку оно часто используется при расчете статически неопределимых стержневых систем методом сил. Потенциал внешних сил определяется изменением координаты точки приложения силы Для вычисления l1 следует учесть, что согласно принятым гипотезам, при потере устойчивости длина нейтральной оси стержня не меняется. Поэтому можно записать: Приближенно извлечем корень и получим . Полная потенциальная энергия сжато-изогнутого стержня равна: В состоянии равновесия полная потенциальная энергия стержня имеет стационарное значение, причем при устойчивом равновесии потенциальная энергия минимальна. На этой основе можно решить задачу, если есть выражение для изогнутой оси стержня. Рассмотрим в качестве примера стержень, свободно опертый по концам. Примем в качестве уравнения упругой оси . Вычислим потенциальную энергию ; В качестве единственной переменной, которая определяет величину полной энергии, выступает f (после того, как мы задали равнение упругой оси, наш стержень превратился в систему с одной степенью свободы и этой обобщенной координатой является f) Окончательное выражение: В данном случае решение совпадает с решением, полученным статическим методом. Действительно, если форма упругой оси задана точно, то решение будет также точным. Решение задачи устойчивости динамическим методом. Предположим, что стержень деформировался и движется. Приложим помимо активных сил и силы инерции и запишем дифференциальное уравнение изгиба стержня. - продольная сила, действующая на стержень. - масса единицы длины стержня Обозначим Решение будем искать в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от координаты x, другая только от времени t. Подставим в исходное уравнение, разделим на X(x)T(t) ; или : И левая и правая часть уравнения зависят только от одной переменной (но разных), поэтому равенство возможно, только если и левая и правая части являются константами. Рассматривая правую часть равенства, найдем частоту колебаний. Рассмотрим оставшуюся часть уравнения. . Характеристический полином уравнения Полином имеет два действительных корня и два комплексных. Поэтому решение уравнения имеет вид Запишем краевые условия. Для случая свободного опирания по концам константы равны Отсюда частота свободных колебаний сжатого стержня равна Если сжимающая сила отсутствует, то частота колебаний равна: Тогда для сжатого стержня частота колебаний , причем . Эту зависимость можно изобразить графиком (см. рис. 33). Нулевое значение частоты означает исчезновение колебаний, что соответствует потере устойчивости.