Элементы высшей математики

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ САМАРСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГОСУДАРСТВЕННОГО УПРАВЛЕНИЯ «МЕЖДУНАРОДНЫЙ ИНСТИТУТ РЫНКА» Отделение среднего профессионального образования КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ЗАОЧНОЙ ФОРМЕ ОБУЧЕНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ» Специальность 38.02.07 «Банковское дело» Самара, 2019 Область определения функции. Определение 1. Область определения функции - это множество всех значений аргумента x , для которых функция определена (имеет смысл, может быть вычислена). Если функция задана формулой и её область определения не указана, то считается, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл. 1. Алгоритм нахождения области определения функции 1. Выписать элементарные функции, из которых состоит данная функция. 2. Записать в виде системы неравенств и равенств области определения выделенных элементарных функций. 3. Найти решение полученной системы. 4.Выписать область определения исходной функции – решение системы. 2. Область значений функции. График функции. Определение 2. Областью значений функции y  f  x  называется множество, состоящее из всех чисел y  f  x  , таких, что x принадлежит области определения функции y  f  x  . Определение 3. Графиком функции y  f  x  называется множество всех точек  x; y  координатной плоскости, где y  f  x  , а x «пробегает» всю область определения функции y  f  x  . 3. Нули функции. Определение 4. Нулями функции y  f  x  называются значения аргумента x x , при которых f  x   0 ; x0 - корень функции, если f  x0   0 . Геометрически - это абсциссы точек пересечения графика функции с осью OX . Особенности нахождения ОДЗ алгебраических выражений (обобщающая таблица) Вид выражения f(x) g( x ) Особенность нахождения ОДЗ g( x )  0 Выражения, стоящие в знаменателях дробей, не должны равняться 1 нулю. 2n f( x) 0 f(x) Выражения, стоящие под знаком корня четной степени, должны быть неотрицательны.  f  x Нуль нельзя возводить f( x)0 f  ( x ) , где   0 в нулевую и отрицательную степени. f  ( x ) , где  – f( x) 0 нельзя возводить в дробное положительное число; Отрицательные числа f( x) 0 дробную степень. f( x) 0 Выражения, стоящие под f  ( x ) , где  – дробное отрицательное число loga f ( x ) знаком логарифма, должны быть положительны. log f ( x ) A f ( x )  0, f( x) 1 Выражения, стоящие в основании логарифма, должны быть положительны и не равны единице. tg f ( x ) f( x)  2   n, n  Z Аргумент тангенса не должен принимать значений, для которых тангенс не определен    2   n, n  Z  .   ctg f ( x ) f ( x )   n, где n  Z Аргумент котангенса не 2 должен принимать значений, для которых котангенс не определен  n, n  Z  . arcsin f ( x ) 1  f ( x )  1 Аргументы арксинуса и arccos f ( x ) 1  f ( x )  1 арккосинуса не должны превосходить по модулю единицу. Предел функции Теоретический материал §1. Последовательность и ее предел. Определение 1. Если каждому натуральному числу n по некоторому закону поставлено в определенное действительное число a n , то говорят, что задана числовая последовательность a1 , a2 , ..., an ,... . Числа: последовательности, a1 , a2 , ..., an ,...  называются членами a n называют общим членом последовательности. Для краткости последовательность a1 , a2 , ..., an ,... часто обозначают an  . Определение 2. Число a называется пределом последовательности a n  , если для любого (хотя бы и как угодно малого) положительного числа  существует такой номер N , что все члены последовательности a n с номерами n  N удовлетворяют неравенству an  a   . То, что a есть предел последовательности a n  , записывают так: a  lim an или n  an  a . n  Определение 3. Последовательность называется сходящейся, если она имеет предел, и расходящейся, если она предела не имеет. Теорема 1. Всякая сходящаяся последовательность an  ограничена, то есть существуют такие числа m и M , что для всех членов последовательности верно неравенство: m  an  M . 3 Определение 4. Последовательность a n  называется неубывающей, если a1  a2  ...  an  an  1  ... Определение 5. Последовательность an  называется невозрастающей, если a1  a2  ...  an  an  1  ... . Определение 6. Неубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными. § 2. Основные теоремы о пределах. Теорема 1. Для того чтобы последовательность a n  имела предел, равный a , необходимо и достаточно, чтобы последовательность  n  , где  n  an  a , сходилась к нулю. Теорема 2. Если последовательности an  и a n b  сходящиеся, то и последовательность n  bn  сходится, причем lim( an  bn )  lim an  lim bn . n  Следствие 1. Если n  n  a n  последовательности b  и n сходящиеся, то и последовательность  an  bn  сходится, причем lim( an  bn )  lim an  lim bn . n  Теорема 3. Если последовательности a n  n  и  bn  n  сходятся и bn  0 , lim bn  0 , то и n  an  an  an nlim   .  сходится, причем nlim  b lim bn  bn  n последовательность  n  Теорема 4. Если последовательности an  и a n b  n сходящиеся, то и последовательность  bn  сходится, причем lim( an  bn )  lim an  lim bn . n  Следствие 2. Постоянный n  множитель n  можно выносить за знак предела: lim( C  an )  C  lim an . n  n  §3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Определение 1. Последовательность называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю. Теорема 1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Теорема 2. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность. 4 Следствие 1. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Теорема 3. Для того, чтобы число a было пределом последовательности необходимо и достаточно, чтобы an   a n  , a n могло быть представлено в виде an  a   n ,где - бесконечно малая последовательность. Определение 2. Последовательность a n  называется бесконечно большой, если для любого числа A  0 существует номер N , зависящий от этого числа, такой, что для любого номера n  N верно неравенство: an  A , в этом случае пишут: lim an   . n  Теорема 4. Если последовательность a n  , где an  0 , бесконечно большая, то 1  бесконечно малая и наоборот, если последовательность  an  последовательность  a n  1  бесконечно большая. a  n бесконечно малая, то последовательность  §4. Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности. Определение 1. Число A называется пределом функции y  f  x  в точке a , если для любого числа   0 существует   0 такое, что при всех x , удовлетворяющих условию x  a   , верно неравенство f ( x )  A   . В этом случае пишут lim f ( x )  A . xa Теорема 1. Если предел функции в точке существует, то он единственный. Теорема 2. Если значение функции y  f  x  заключены между соответствующими значениями функций y  F ( x ) и y   ( x ) , стремящихся при x  a к одному и тому же пределу A , то y  f  x  также имеет предел, равный числу A . Определение 2. Число A называется пределом функции y  f  x  при x   , если для любого числа   0 существует M  0 такое, что при всех x , удовлетворяющих условию x  M , верно неравенство f ( x )  A   . В этом случае пишут lim f ( x )  A . x Замечание. Если в определении 2 заменить условие f ( x )  A ; если заменить x  M на определение xlim   x  M на x  M , x  M , то получим то получим определение lim f ( x )  A . x   §5. Основные теоремы о пределах. Односторонние пределы. 5 Теорема 1. Предел постоянной функции равен самой этой функции. Теорема 2. Предел суммы (разности) конечного числа функций равен сумме (разности) их пределов, если эти пределы существуют. Теорема 3. Предел произведения функций равен произведению их пределов, если эти пределы существуют. Теорема 4. Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если эти пределы существуют и предел знаменателя не равен нулю. Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела. Следствие 2. Если существует lim f ( x ) , то для любого натурального числа m верно xa равенство lim f m ( x )  ( lim f ( x ))m . x a x a Следствие 3. Для любого натурального числа m верны равенства lim x m  a m ; x a lim m f ( x )  m lim f ( x ) . x a x a §6. Нестандартные ситуации, возникающие при вычислении пределов функций 1. Функция представляет собой дробь, предел знаменателя которой равен нулю. Имеем дробь вида: 2. 1 , которая стремится к  . Функция представляет собой дробь, пределы знаменателя и числителя которой 0  равны нулю. Имеем неопределенность   , для раскрытия которой нужно разложить 0  числитель и знаменатель дроби на множители и сократить общий множитель. 3. Некоторые слагаемые функции пределов не имеют. Если некоторые слагаемые функции стремятся к  , а остальные – к конечным числам, то функция стремится к  . 4. Знаменатель функции является величиной бесконечно большой. Имеем дробь вида: 1 , которая стремится к нулю.  5. Функция представляет собой дробь, числитель и знаменателя которой – величины  бесконечно большие. Имеем неопределенность   , для раскрытия которой нужно  разделить числитель и знаменатель дроби на самое большое число. 6. Функция представляет собой разность бесконечно больших величин. Имеем неопределенность      , для раскрытия которой нужно: 6 - если вычитаются дроби, то привести их к общему знаменателю; - если вычитаются квадратные корни, то умножить и разделить на сопряженный множитель для получения формулы разность квадратов. §7. Односторонние пределы 1) lim f ( x )  A1  предел слева ( x стремится к a , оставаясь меньше a ); xa 0 2) lim f ( x )  A2  предел справа ( x стремится к a , оставаясь больше a ). xa 0 Утверждение. Если односторонние пределы функции в точке lim f ( x )  lim f ( x )  A , то предел функции в точке a существует и xa 0 xa 0 lim f ( x )  lim f ( x ) или хотя бы один из этих пределов x a 0 xa 0 a равны: равен A . Если не существует, то не существует и предел функции в точке a . §8. Алгоритм вычисления пределов функций а) представляющих, дробно-рациональную функцию; б) содержащих, тригонометрические функции 1 1 с) что   и   не являются неопределенностью, в первом случае предел равен нулю, во   0  втором -  . Пояснение: имеющих, вид (1 +  ) , где   0 ,    . 1. Подставить предельное значение аргумента в исследуемое выражение. Если при этом получено конечное значение, то оно является пределом данной функции.   0  2. Определить тип неопределенности:   ,   ,0,  , 1  .   0  Заметим: а) если функция является дробно- рациональной (сл. а), то далее выполняются пункты 3,4,5 алгоритма. б) если функция содержит тригонометрические выражения, а неопределенность типа 0   0  (сл. б), то далее выполняются пункты 6,7 алгоритма.   с) если выражение представляет неопределенность типа  1  (сл. с), выполняется пункт 8. 3. Выписать старшую степень числителя и знаменателя x n , если функция представляет  собой дробно - рациональную и получена неопределенность типа   .  7 4. Поделить числитель и знаменатель функции на x n . 5. Найти предел полученного выражения. 6. Заменить данное выражение эквивалентным ему более простым выражением, используя таблицу эквивалентных бесконечно - малых (следствие из первого замечательного предела): sin  ; tg  . при   0 arctg  ; 1  cos  2 2 . 7. Найти предел эквивалентного выражения. 8. Преобразовать выражение к виду, позволяющему использовать 2 замечательный предел. §9. Операции с пределами обобщим в виде таблицы Операции lim f  x  lim g  x  Результат операции Сумма b c bc  c  lim  f  x   g  x    b    lim f  x   lim g  x        x a x a x a x a x a (неопределённость) Произведение b c bc lim  f  x   g  x    b    lim f  x   lim g  x   c   0 xa xa xa (неопределённость) Частное lim x a f  x g x  lim f  x  b c b c c b b  (неопределённость) b  b 0     (неопределённость)  x a lim g  x  x a 8 Степень lim  f  x   g x xa  b  b  0;b  1 c bc b  b  0;b  1  b  1  1 (неопределённость) 0 0 (неопределённость)   0 (неопределённость) lim g  x   lim  f  x   xa x a При нахождении пределов вида lim  ( x ) ( x ) xa C необходимо иметь в виду следующее: 1) если существуют конечные пределы lim ( x )  A и lim  ( x )  B , то C  AB ; xa xa 0 , 0  A  1 ;   , A  1 2) если lim ( x )  A  1 и lim  ( x )   , то C   xa xa   , 0  A  1 ; 0 , A  1 3) если lim ( x )  A  1 и lim  ( x )   ,то C   xa xa 4) если lim ( x )  1 и lim  ( x )   , то C  e , где   lim  ( x )  1 ( x ) . xa xa x a §10. Два замечательных предела Первый lim замечательный arcsin x 1 x 0 x lim arctgx 1 x 0 x предел lim lim sin x  1; x 0 x sin  ( x ) lim 1  ( x ) 0  ( x ) lim Второй замечательный предел x 1  lim  1    e; x  x  1 lim  1  x  x  e. x 0 x 0 tg x 1 x lim x 0 sin  x    x  x 0 sina  x a  sinb  x b   x   x  ex  1  lim    1; x 0  x   ax  1  lim    lna; x 0  x   ln  1  x   lim    1; x 0 x    loga  1  x   1 lim  ;  x 0 x   lna   1  x   1   . lim  x 0   x    1   ( x )  ( x )  e  ( x ) 0 1 lim 9 Предел отношения двух многочленов при x   :    при n  m;  a x  a1 x  ...  an  a0 lim  lim 0 m    при n  m; x  Q  x  x  b x  b x m  1  ...  b 1 m  b0  0  при n  m. P  x n 1 n §11. Непрерывность функции Определение. Функция y  f  x называется непрерывной в точке x0 , если lim f  x   f  x0  , т.е. предел функции в точке x0 равен значению функции в этой x  x0 точке. Это означает, что функция y  f  x  удовлетворяет четырём условиям: 1.функция определена в точке x0 и её окрестности; 2. существуют конечные пределы слева и справа; 3. пределы слева и справа равны; 4.значения пределов равны значению функции в точке x0 : lim f  x   lim f  x   f  x0  . x  x0  0 x  x0  0 Если хотя бы одно из четырёх условий непрерывности функции y  f  x  в точке x0 не выполняется, то говорят, что функция терпит разрыв, а точку x0 называют точкой разрыва. 1) Функция y  f  x  в окрестности точки x0 определена (в точке x0 может быть определена, может быть не определена), существуют конечные пределы слева и справа, но они не равны между собой: lim f  x   b; lim f  x   c; b  c . Точку x0 называют x  x0  0 x  x0  0 точкой разрыва 1-рода. Разность lim f  x   lim f  x   b  c называют скачком функции y  f  x  в точке x0 . x  x0  0 x  x0  0 2) Функция y  f  x  в окрестности точки x0 определена (в точке x0 может быть определена, может быть не определена), существуют конечные пределы слева и справа равны между собой, но не равные значению функции y  f  x  в точке x0 : lim f  x   lim f  x   b; f  x0   c; b  c . Точку x0 называют точкой разрыва x  x0  0 x  x0  0 1-рода (точка устранимого разрыва). lim f  x   lim f  x   b; f  x0   c; b  c - точка разрыва 1-рода (точка устранимого x  x0  0 x  x0  0 разрыва). 3) Функция y  f  x  в окрестности точки x0 определена (в точке x0 может быть определена, может быть не определена) и хотя бы один из пределов слева или справа равен бесконечности или не существует. А) lim f  x    ; lim f  x    . Точку x0 называют точкой разрыва 2-рода. x  x0  0 x  x0  0 x  x0  0 x  x0  0 Б) lim f  x    ; lim f  x   b . Точку x0 называют точкой разрыва 2-рода. §12. Наиболее часто встречающиеся пределы 10   , если 0  a  1; lim a x   x    0 , если a  1.   , если a  1; lim loga x   x 0  0   , если 0  a  1. 0 , если 0  a  1; lim a x   x     , если a  1.   , если a  1; lim loga x   x     , если 0  a  1. §13.Таблица эквивалентности бесконечно малых Пусть  ( x )  бесконечно малая величина при x  0 1 Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при x  a , есть величина бесконечно малая:   x     x     x   бесконечно малая. 2 Произведение бесконечно малых при x  a на функцию ограниченную в некоторой окрестности точки a есть бесконечно малая при x  a :   x  f  x  бесконечно малая. 3 Произведение бесконечно малая на постоянную величину есть величина бесконечно Малая бесконечно малая: C    x   бесконечно малая 5 Произведение конечного числа бесконечно малых при x  a есть величина бесконечно малая при x  a . 6 sin  (x)  (x) 7 tg  x  8 1  cos  ( x )  2 sin   x 9 arc sin   x  10 arctg  x  11 a 12 e 13 1    x  14 n 2 ( x ) 2 (  ( x ))2 2   x   x   x  1   x  lna; a  0   x  1   x m 1 m   x 1  ( x )  1   ( x ) n 11 15 1 x при малом x ln  1    x     x 16 1 x 2 Таблица производных №/ Формула №/п Формула п 1  c   0 , где c  const ,c  R 22  u  v  w   u  v  w , где u  u  x  ;v  v  x  ;w  w  x  . 2  u  v   u  v  u  v , 23 где u  u  x  ;v  v  x  . 3  u  u  v  v  u , где v  v2    c  u   c  u , где c  const ,c  R ; u  u  x  . 24 c  v  c   v    v 2 , где   c  const ,c  R ; v  v  x  . u  u  x  ;v  v  x  . 4  x   1; x  R 25  u   u  x  , где u  u  x  . 5  x   n  x 26  u   n  u  u 6  x   2 1 x 27  u   2uu , где u  u  x  . 7   28  u   kn  u  8 1  1   x    x2   29 u  1    , где u  u  x  .  u u2   9 n  1   x n    x n 1   30 n  u  1   un    un 1 , где u  u  x  .   10  sin x   cos x 31  sin u   u  cos u , где u  u  x  . 11  cos x    sin x 32  cos u    u  sinu , где u  u  x  . n k xn   n 1 n k n k  x k n k n n 1 k , где u  u  x  . un k , где u  u  x  . 12 12  tgx   13  ctgx    1  sec 2 x 2 cos x 1  co sec 2 x 2 sin x u  u  sec 2 u; u  u  x  . 2 cos u 33  tg u   34  ctg u    u   u  co sec 2 u , где 2 sin u u  u x . 35  e   u  e  lna 36  a   u  a 1  log e x 37  log u  38  lnu  39  arcsinu   14  e   e x 15  a   a x 16  log x   17  ln x   18  arcsin x   19 x x 1 x 1 1 x  arccos x    20  arctg x   21  arcctg x    2 1 1 x 1 1  x2 1 1  x2 40 2 u u u u , где u  u  x  .  lna , где u  u  x  . u  log e , где u  u  x  . u u , где u  u  x  . u  arccos u    u 1 u 2 , где u  u  x  . u 1 u 2 , где u  u  x  . u , где u  u  x  . 1  u2 41  arctg u   42  arcctg u   u , где u  u  x  . 1  u2 Таблица интегралов №/п 1 2 3 4 Формула №/п  0  dx  С 18  1  dx   dx  x С 19 x p 1  x dx  p  1  С 20 dx  x  ln | x | С 21 p Формула    dx x a 2 2 dx x a 2 dx a2  x2  ln | x  x 2  a 2 |  C  ln | x  x 2  a |  C  arcsin x C a  k  f  x  dx  k   f  x  dx 13 5 6 7 8 9 10  dx x dx  1 x  22  2 x С 2  arctg x  С dx 1 x x  a dx  2  arcsin x  С ax С ln a  e dx  e x x С  sin x dx  cosx  C   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx 23  f  ax  b  dx  a F  ax  b   C 24  f  x  dx   f   t       t  dt ; x    t  25  udv   d  u  v    v du 26 b a a b 27 1  f  x  dx    f  x  dx a  f  x  dx  0 a 11 12 13 14 15 16 17  cos x dx  sin x  C 28  tgx dx   ln | cosx | C 29  ctgx dx  ln | sin x | C 30 dx  sin2 x  ctg x  C 31 dx  cos 2 x  tg x  C 32   b c b a a c  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx b b a a  k  f  x  dx  k   f  x  dx b b b a a a   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx b  f  t  dt  F  b   F  a  a  b  f  x  dx   f   t       t  dt a dx 1 x  arctg C x2  a2 a a 33 dx 1 xa   ln C 2 2 x a 2a xa 34 b  udv  u  v a b b a   vdu a b S   f  x  dx a Таблица дифференциалов 1 0  d( C ) 12 dx x 2 dx  d( x ) 13  2  d( x ) a kx dx  1 d( a kx ) k  lna 14 3 dx  4 1  d( k  x  b ) k 1  d( e kx ) k 14 e kx dx  du  dv  dw  d( u  v  w ) 15 cos  k  x  b  dx  5 v  du  u  dv  d( u  v ) 16 1 sin  k  x  b  dx    d cos  kx  b   k 6 C  du  d( C  u ) 17 dx  d( tgx ) cos 2 x 7 v du  udv u  d v v2   18 dx  d( ctgx ) sin2 x 8 yu  ux dx  d( y[ u( x )]) 19 dx 1 x 2 dx 1  d  sin  k  x  b   k   d(arcsin x ) dx  d(ln x ) x 20 10 dx  lna d(loga x ) x 21 dx  d( arctgx ) 1  x2 11 x n1dx  1  d( x n ) n 22 dx  d( arcctgx ) 1  x2 9 1 x 2   d(arccos x ) Дифференциальное исчисление 1. Область определения функции. Определение. Область определения функции - это множество всех значений аргумента x , для которых функция определена (имеет смысл, может быть вычислена). Алгоритм нахождения области определения функции 1. Выписать элементарные функции, из которых состоит данная функция. 2.Записать в виде системы неравенств и равенств области определения выделенных элементарных функций. 3. Найти решение полученной системы. 4.Выписать область определения исходной функции – решение системы. 2. Нули функции. 15 Определение. Корнями функции y  f  x  называются значения аргумента x , при которых f  x   0 ; x0  корень функции, если f  x0   0 . Геометрически - это абсциссы точек пересечения графика функции с осью OX . Для решения данной задачи необходимо решить уравнение y  0 с учётом области определения функции. 3. Четность или нечетность функции. Определение. Функция y  f  x  называется четной (нечетной), если выполняются два условия: 1. Для любого  x  D  y  , т.е. область определения симметрична относительно начала координат. 2. Выполняется равенство f   x    f  x  ; f   x   f  x  . В противном случае, функция y  f  x  называется функцией общего вида. Свойства графика четной (нечетной) функции. График четной функции симметричен относительно оси ординат OY , график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Для решения данной задачи необходимо проверить равенства f   x    f  x  ; f   x   f  x  для каждой функции. 4.Период заданной функции. Определение. Функция y  f  x  называется периодичной, если существует такое число T  0 , что выполняется два условия: 1.для любого x  D  f  ;  x  T ; x  T   D  f  ; 2. выполняется равенство f  x  T   f  x  T   f  x  . Алгоритм нахождения периода функции 1. Выделить основной период функции (у функций y  sin x; y  cos x он равен Tосн  2 ); 2. Приравнять коэффициент k , стоящий перед коэффициентом x в аргументе функции, Tосн  2 : для y  sin k  x; y  cos k  x , получим k  T  2 ; 3. Выразить из данного равенства период T . 5. Геометрические преобразования основных элементарных функций 16 Исходя из элементарного графика функции y  f  x, с помощью простых геометрических построений получаем, график искомой функции. Схема построения Вид Пример преобразования y  k  f  x  , 1. Если k  1 растяжение от точки k0  0;0  вдоль оси ординат OY в k раз. 2. если 0  k  1 сжатие к точке  0;0  вдоль оси OY y  f  k  x  , 1. Если k0 в 1 раз. k k  1 сжатие к точке  0;0   0;0  вдоль оси OX в 1 раз. k y 2 x y 1 0,5 y 1 x 2 x 1 y y  2x вдоль оси абсцисс OX в k раз. 2. Если 0  k  1 растяжение от точки y   f  x y2 x y x y 1 0 0,5 1 1 x 2 x 2 Отразите график функции y  f  x  симметрично относительно оси Ox y y  x2 x y   x2 y  f  x Отразите график функции y  f  x  y  x y y x симметрично относительно оси Oy y  f  x  b x 1. Если b  0 , выполните параллельный перенос графика функции y  f  x  вдоль y оси Oy на вектор  0;b  , то есть на b единиц вверх. 2. Если b  0 , выполните параллельный перенос графика функции y  f  x  вдоль оси Oy на вектор  0;b  , то есть на y  x2  2 y  x2 2 x y  x2  3 3 17  b  y  f  x  a единиц вниз. 1. Если a  0 , выполните параллельный перенос графика функции y  f ( x ) вдоль оси Ox на вектор  a;0  , то есть на y   x  3 y 2 y  x2 y   x  2 2 a единиц вправо. 2. Если a  0 , выполните параллельный перенос графика функции y  f  x  вдоль 3 оси Ox на вектор  a;0  , то есть на  a  2 x единиц влево y  f  x Отразите часть графика функции y y  f  x  , лежащую ниже оси Ox , y  x2  4 4 симметрично относительно этой оси вверх, а часть графика лежащую выше оси x Ox и на оси Ox , оставьте без изменений. 2 2 4 y f x Часть графика функции y  f  x  , y лежащую правее оси Oy и на оси Oy , y x 2 x 2 оставьте без изменений, и ее же отразите симметрично относительно этой оси влево, а часть графика, лежащую левее оси Oy , удалите. x 2 2 Производная функции 1. Логарифмическое дифференцирование Если требуется найти y  из уравнения y  f  x  , то можно: 1. логарифмировать обе части уравнения (по основанию e ): ln y  ln f  x     x  ; 2. дифференцировать обе части полученного равенства, где ln y есть сложная функция от переменной x : y   x ; y 18 3. заменить y его выражение, через x и определить y  : y  y     x   f  x      x  . 2. Производные неявной функции. Если y есть неявная функция от x , то есть задана уравнением f  x; y   0 , не разрешённым относительно y, то для нахождения производной dy dx нужно продифференцировать по x обе части равенства, помня, что y есть функция от x , и затем разрешить полученное равенство относительно искомой производной. Как правило, она будет зависеть от x и y ; dy    x; y  . dx 3. Производные от функции, заданной параметрически. Если функция y от независимой переменной x задана через посредство вспомогательной переменной (параметра) t : x  f  t  ; y    t  ; то производные от y по x определяются по формулам: dy dy  dy  dy dt dy  dt dy  y   ; y    ; y    dt ; ... dx dx dx dx dx dx dt dt dt Все эти формулы составлены по одному общему правилу: производная от параметрически заданной величины z по независимой переменной x равна отношению производных от z и от x , взятых по параметру t . 4. Правило Лопиталя Правило Лопиталя состоит в следующем. Пусть функции y  f  x  и y  g  x  дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки a , причём g   x   0 . Если: 1. lim f  x   lim g  x   0 или lim f  x   lim g  x    ; x a x a x a 2. существует предел lim xa Схематично: lim x a x a f  x f  x f  x  lim , то существует и предел lim . x a g  x  x a g   x  g  x  f  x f  x  0 .   или   lim g  x 0   x a g   x  существует 19 Правило Лопиталя верно и в случае a   . Если частное f  x g  x  вновь даёт 0   неопределённость   или   и функции f   x  , g   x  удовлетворяют условиям 0   теоремы, то можно перейти к отношению вторых производных и т.д. Однако заметим, что предел отношения самих функций может существовать, в то время как отношение производных не стремится ни к какому пределу. К применению правила Лопиталя можно сводить и другие неопределённости после проведения соответствующих преобразований. Полезны следующие преобразования:   lim x a   lim  v  x   u  x     0      xa  lim  x a  lim  v  x   xa u x  u x    ; 1  v  x v  x 0    ; 1 0  u x  0 0 ;0  ;1 ;  0   exp  lim u  x   ln v  x    .  x a  Приложение производной и дифференциала 1. Алгоритм нахождения критических точек функции. 1. Найти производную функции f   x  . 2. Найти точки, в которых f   x   0 или f   x  не существует. 2. Алгоритм исследования функции на монотонность. Пусть дана дифференцируемая функция y  f  x  на  a;b  : 1. Находим ее производную f   x  . 2. Находим корни уравнения f   x   0 . 3. Разбиваем интервал корнями на интервалы. 4. Определяем знак f   x  на каждом из интервалов. 5. Согласно признаку монотонности выносим заключение о монотонности. 3. Алгоритм исследования функции на экстремум (первое правило). Пусть в интервале  a;b  дана дифференцируемая функция y  f  x  . 1. Находим производную f   x0  . 20 2. Находим критические точки y  f  x  , то есть точки, в которых f   x0   0 или f   x  не существует. 3.Определяем знак f   x  слева и справа от каждой из этих критических точек. 4.Согласно первому достаточному признаку существования экстремума выносим заключение об экстремуме. 5. Вычисляем значение функции в точках экстремума. 4. Алгоритм исследования функции на экстремум (второе правило). 1. Найти f   x  . 2. Найти стационарные точки, т.е. решить уравнение f   x0   0 . 3. Найти f   x  . 4. Вычислить значения второй производной в стационарных точках. 5. Сделать вывод об экстремуме. Заметим, что пользоваться вторым правилом обычно проще, чем первым, но второе правило имеет более узкий круг применения, а именно: А) Если f   x0   f   x0   0 , то в точке x0 нельзя судить о наличии экстремума. Б) Если f   x  не существует, то f   x0  тоже не существует, т.е. второй достаточный признак в этом случае тоже не применим, и нужно воспользоваться первым достаточным признаком. 5. Алгоритм исследования функции на выпуклость и точки перегиба. 1. Найти f   x  и f   x  . 2. Найти критические точки второго рода. 3. Определить знак второй производной слева и справа от критических точек. 4. Сделать заключение об интервалах выпуклости и вогнутости графика и наличии точек перегиба. 5. Вычислить значение функции в точках перегиба. 6. Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции y  f  x  на отрезке  a;b  . 1. Найти f   x  . 21 2. Найти точки, в которых f   x0   0 или f   x  не существует, и отобрать из них те, которые лежат внутри отрезка  a;b  . y  f  x  в точках, полученных в п.2, а также на 3. Вычислить значения функции концах отрезка y  a  и y  b  , и выбрать из них наибольшее и наименьшее значения: они и являются соответственно наибольшим  yнаиб  и наименьшим  yнаим  значением функции на отрезке  a;b  . 7. Алгоритм отыскания асимптоты графика функции y  f  x  . 1. Вычислить lim f  x  . Если этот предел существует и равен b , то x  y b горизонтальная асимптота; если lim f  x    , то перейти ко второму шагу. x  2. Вычислить lim f  x x  x . Если этот предел не существует, то асимптоты нет; если он существует и равен, то перейти к третьему шагу. 3. Вычислить lim  f  x   k  x  . Если этот предел не существует, то асимптоты нет; x  если он существует и равен b , то перейти к четвёртому шагу. 4. Записать уравнение наклонной асимптоты в виде y  k  x  b . Асимптоты Вертикальная x  x0 Горизонтальная y  f  x k  lim x  M  x  x0 y  kx  b lim f  x   b lim f  x    x  x0 y Наклонная yb x  x b  lim  f  x   k  x  x  y l b yb  y  f  x x M y  f  x y M l f  x x  y  kx  b x 22 Асимптота – прямая l, до которой расстояние  от текущей точки М:   0 . Точки перегиба Необходимый признак: f   x0   0 либо f   x0  не существует. y y y  0 M 0 y   0 x0 x f ë  x0    y  0 x f n  x0    f   x0  − не существует y M0 y  f  x y   0 M0 x0 f   x0    y y   0 y  0 y   0 M0 x0 x f   x0    f ë  x0    x0 x f n  x0    f   x0  − не существует y f   0 f   0 y  f  x f   0 x1 x2 x3 x4 x5 x x1 и x5 − точки максимума x3 − точка минимума x2 и x4 − точки перегиба 8. Алгоритм исследования и построения графика функции. 1. Найти область определения. 2. Найти вертикальные асимптоты. 3. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты. 23 4. Исследовать функцию на четность – нечетность. 5. Исследовать функцию на периодичность. 6. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции. 7. Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции и точки перегиба. 8. Найти точки пересечения с осями координат. 9. Найти дополнительные точки для уточнения графика. 10. Результаты исследования желательно оформить в виде таблицы. 11. Порядок исследования можно изменить исходя из конкретной функции. 12. Целесообразно исследования функции сопровождать построением графика – эскиза, и после уточнения прейти к построению точного графика. 9. Алгоритм использования дифференциала в приближённых вычислениях. Чтобы найти приближённое значение некоторой величины A , нужно: 1. Представить A в виде значения некоторой функции в точке x  a; A  f  a  . 2. Подобрать x0 так, чтобы точка x0 была достаточно близка к точке a , и чтобы значение f   x  было вычислить легко. 3. Вычислить f   x  . 4. Для функции y  f  x  найти f   x  и f   x0  . 5.Подставить найденные значения a; x0 ; f  x0  ; f   x0  в формулу f  a   f  x0   f   x0    a  x0  . Неопределённый интеграл 1. Алгоритм нахождения интеграла  f  x  dx методом интегрирования по частям. 1. Представить подынтегральное выражение f  x  dx в виде произведения u  x   v  x  . 2. Найти du  u  x  dx и v   dv  x  . 3. Применить формулу интегрирования по частям 4. Найти интеграл  udv  u  v   v du .  v du . 5. Подставить результат в найденное в алгоритме (3) выражение. Примечание: I. f ( x )  P( x )  e  x . Следует полагать u  P( x ),dv  e  x dx. 24 f ( x )  P( x )  sin   x. Следует полагать u  P( x ), dv  sin  x dx. f ( x )  P( x )  cos   x. Следует полагать u  P( x ), dv  cos   x dx. II. f ( x )  P( x )  ln x. Следует полагать u  ln x, dv  P( x )dx. f ( x )  P( x )  arc tg x .Следует полагать u  arctg x, dv  P( x )dx . f ( x )  P( x )  arcsin x . Следует полагать u  arcsin x, dv  P( x )dx . (где через P( x ) обозначен многочлен). 2. Алгоритм интегрирования методом замены переменной. 1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно). 2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену. 3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной. 4. Производят замену под интегралом. 5. Находят полученный интеграл. 6. В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной. Результат полезно проверить дифференцированием. Определённый интеграл b 1. Алгоритм нахождения определённого интеграла  f  x  dx по формуле Ньютона a Лейбница. 1. Найти одну из первообразных F  x  функции f  x  . 2. Вычислить значение первообразной F  x  в точках x  a и x  b . b 3.Вычислить значение определённого интеграла по формуле:  f  x  dx  F  b   F  a  . a b 2. Алгоритм нахождения определённого интеграла  f  x  dx методом a интегрирования по частям. 1. Представить подынтегральное выражение f  x  dx в виде произведения u  x   v  x  . 25 b 2. Найти du  u  x  dx и v   dv  x  . a b a b 3. Применить формулу интегрирования по частям  udv  u  v   v du . b a a b 4. Найти интеграл  v du . a 5. Подставить результат в найденное в алгоритме (3) выражение. b 3. Алгоритм нахождения определённого интеграла  f  x  dx методом замены a переменной. x   t 1. Выбрать замену переменной ( x    t   монотонная непрерывно дифференцируемая функция). 2. Перейти в подынтегральном выражении от переменной x к новой переменной t : f  x  dx  f   t      t  dt . 3. Найти пределы интегрирования по новой переменной t из равенств     a;      b . 4. Записать данный интеграл по формуле замены переменной:  b  f  x  dx | x   t  a   f   t      t  dt .  5. Вычислить определённый интеграл в правой части последнего равенства по формуле Ньютона – Лейбница. 4. Алгоритм применения определенного интеграла для вычисления площади плоской фигуры а) ограниченной осью OX и графиком кривой y  f  x  . б) ограниченную кривыми y  f  x  и y    x  ; f  x     x  и прямыми x  a; x  b . 1. Построить графики граничных функций. Определить искомую фигуру. 2. Найти пределы интегрирования x  a; x  b . 3. Записать площадь искомой фигуры с помощью определенного интеграла по формулам: 26 а) b b a a S =  f ( x )dx (если f(x)  0 на  a,b ),или S =  ( f ( x )   ( x ))dx (если f(x) < 0 на  a,b  ) b б) S =  ( f ( x )   ( x ))dx . a 4. Вычислить полученные интегралы. Воспользоваться формулой Ньютона - Лейбница. 5. Выписать искомую площадь. 27 Таблица основных значений тригонометрических функций 1 четверть 2 четверть 3 четверть 4 четверть 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360  6  4  3  2 2 3 3 4 5 6  7 6 5 4 4 3 3 2 5 3 7 4 11 6 2 360 330 315 300 270 240 225 210 180 150 135 120 90 60 45 30 2    6  1 2 3 2 1 11 6  7 4  5 3  3 2  4 3  5 4 sin  1 2 2 2 3 2 1 cos  1 3 2 2 2 1 2  tg  3 3 1 3 -  3 -1 ctg  - 3 1 3 3 3 3 -1 3 2  1 2  1 2 2 2  2 2 7 6   5 6  3 4  2 3 1 2  2 2  3 2 -1 3 2  2 2 1 2 1 2 2 2  3 -1 3 3 -1    2  3 2 -1  3 3 3 3 1 3 -  3 - 3 1 3 3     3  3 2     4 2 2 3 3  3 -  28 1 1. Введение в матрицы. Прямоугольная матрица Прямоугольная матрица из m,n действительных порядка m  n , обозначаемая чисел, где первое число m  равно числу строк, а n  числу столбцов матрицы A ; коротко a 1n   a11 a12   матрица A обозначается A  aij . A   a21 a22 a2n  m n a Пример. amn   m 1 am 2 числа a ij , из которых состоит матрица; индексы определяют положение элементы в таблице: первый индекс i  номер строки, второй j  Элементы матрицы номер столбца, на пересечении которых стоит элемент a ij .   2 3 Размерность матрицы 4 Равные матрицы 5 6 7 Пример. две матрицы равны, если они имеют одинаковую размерность и aij  bij , т.е. равны элементы с одинаковыми индексами. Пример. Квадратная матрица порядка если число столбцов матрицы n  равно числу её n строк. Пример. матрица любого размера называется нулевой, Нулевая матрица если все ее элементы равны нулю. Пример. Вектор – строка A   a11 a12 ... a1n 1n . 8 Вектор – столбец 9 Главная диагональ матрицы 10 Симметричная матрица 11 12 13 Пример. количество её строк и столбцов  m  n  . Пример.  a11    a21   A .  ...     am1  m1 Пример. элементы квадратной a11 ; a22 ,;a33 ; ; ann матрицы n  порядка. Пример. квадратная матрица, элементы которой симметричные относительно главной диагонали, равны aij  a ji ; i  1; 2; ...;m; j  1; 2; ...;n. Пример. квадратная матрица, у которой все её элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Пример. диагональная матрица, у которой все её Единичная матрица элементы, расположенные на главной диагонали, равны единице. Пример. Треугольная (трапецевидная) матрица, у которой все элементы, стоящие под (над) главной диагональю нулевые. Пример. матрица Диагональная матрица 1 1 2. Операции с матрицами. Сложение и вычитание матриц матрицы A u B одинаковых размеров при сложении (вычитании) равны суммам C  cij . (разностям) элементов матриц Au B,  a11 a12   b11 b12  расположенных на соответствующих местах,    a a b b  21 22   21 22  т.е. cij  aij  bij . c11 c12   Пример.  a11  b11 a12  b12     a21  b21 a22  b22   c  c22  21  Матрицу любой размерности можно умножить Умножение матрицы на скаляр на число k  0 . Это значит – умножить на число все элементы матрицы: k  A  k  aij .         2 3 Пример. Матрица обладает теми же 1. A  B  B  A ; свойствами суммы, что и числа. 2.  A  B   C   B  C   A  A  B  C ; 3. k   A  B   k  A  k  B,k  const ; 4.  k  p   A  k  A  p  A ; 5. 0  A  0; 6. k  0  0 ; 7. A  0  A . Пример. Пример 1 . Элементы матрицы и её определитель. Используя матрицу  0 3 5 10  A  ответить на следующие вопросы.  1 9 6 4  a. Определите размерность матрицы A . b. Найдите значение элемента a22 .     0 3 5 10  A  2 строки    1  9 6  4     4 столбца   Матрица имеет 2 строки и 4 столбца, т.е. размерность составляет 2  4 .  0  A 2 строка  1  3 5 9 6 2 столбец 10   4    Поскольку a22 элемент во 2 строке, и во 2 столбце, то a 22  9 . 5   3 1 2    4 6 7 11  Пример 2. Найдите значение элементов в матрице A   0 2 5 4  .   3 0  8 5  7 4 9 5    1 ) a23  ... ; 2 ) a12  ... ; 3 ) a51  ... ; 4 ) a 34  ... ; 5 ) a42  ... ; 6 ) a21  ... ;7 ) a53  ... ; 8 ) a14  ... ; 9 ) a22  ... ; 10 ) a54  ... ; 11 ) a13  ... ; 12 ) a42  ... . 2 Мини – проект. Организация данных (посредством матриц). 1. Взяв любой финансовый документ (фрагмент). Распечатать и вклеить в тетрадь. 2. Проанализируйте данный документ и составьте перечень, возникающих вопросов. 3. Запишите соответствующую матрицу. 4. Определите её размерность. 5. Укажите элементы 1 ) a23  ... ; 2 ) a12  ... ; 3 ) a11  ... ; 4 ) a 31  ... . 6. Создайте геометрическую модель данной матрицы, например:     .  7. Решите уравнения 1  7 x   14  3 5     14   2 y   2 x 8 y z    10 16  8 x 4    2 y  8    2 2   3x 2   5x       7 y 2   3 y 10  2 1  4  4 x 1   0 3 x      9 y 5   y 3   3 x  1 18   7 2 y  4     12 4z 28     12 6 3 1 3. Умножение матриц. Произведение матрица C mk (порядка m  k ), элементы которой матрицы Amn вычисляются по формуле (порядка m  n ) на cij  ai 1  b1 j  ai 2  b2 j  ...  ain  bnj ; . матрицу Bnk i  1; 2; ...; m; j  1; 2; ...; k (порядка n  k ). cij , Другими словами: для получения элемента расположенного в i  ой строке и j  ом столбце матрицы C надо элементы i  ой строки матрицы A умножить на соответствующие элементы j  го столбца матрицы B и полученные произведения сложить.  a11 a12   b11 b12   a11  b11  a12  b21 a11  b12  a12  b22       a21 a22   b21 b22   a21  b11  a22  b21 a21  b12  a22  b22  Пример. A B , Найдите произведение матриц если  3 1   1 4  A  ;B    .  2 5  2 2  1 0  2 2 Решение. 1. Проверим, совпадает ли число столбцов матрицы A с B числом строк матрицы совпадают, порядки множителей «согласованы».   2. Определим порядок матрицы произведения: C  cij 2 2 имеет порядок 2  2 , где 2  число строк первого множителя A , 2  число столбцов второго множителя B . 3. Вычислим каждый элемент матрицы произведения C по формулам: cij  ai 1  b1 j  ai 2  b2 j  ...  ain  bnj ; i  1; 2; ...;m; j  1; 2; ...;n. Пример.  3 1   1 4  A  ;B     2 5  2 2  1 0  2 2 c11  3   1    1   1  3  1  4; c12  3  4   1   0  12  0  12; c21  2   1   5  1  2  5  3; c22  2  4  5  0  8  0  8. 4. Выписать полученную матрицу C . c   4 12  c C   11 12      c21 c22   3 8  22 2 Замечания  4 12  Ответ.   .  3 8  2 2 1.1. Произведение матриц определено только в том случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведение матриц содержит столько строк, сколько имеет первая матрица, и столько столбцов, сколько имеет вторая матрица. 4 1.2 .В общем случае A  B  B  A , даже если оба произведения матриц, A  B u B  A , определены. Матрицы, для которых выполняется условие A  B  B  A , называются коммутативными. Как и умножение чисел, произведение матриц подчиняется сочетательному закону: ( A  B )  C  A  ( B  C ) . 3 Возведение матрицы в возведение квадратной матрицы в степень целую Am  A  A  ... A . определяется в виде: положительную m  раз степень Пример.  m  1 Пример 1. Сложение и вычитание матриц. Для заданных матриц A; B;C найдите 4   9  0 3   1 0 3      A   7 1  ; B   2 . ; C   2 5 6 0   3 2   5 6      4   9  1 0 3    А) A  B  7 1  сложение     5 6   2 3  3 2    32 Матрица A размерности 3  2 , матрица B размерности 2  3 , значит, выполнить сложение нельзя. 4  4  3   9 1  9  0 3   9  0         2    7  2 1  2    5 3  сложение . Б) A  С   7 1    2  3 2   5 6   3  5 2  6   2 4          Пример 2. Умножение матрицы на скаляр. 4   2 1 0   Если B   5 3 1 2  , то чему будет равно  2  B  . 0 7 1 3   4   2   2  1    2  0    2  4    2    2 1 0      2  B   2   5 3 1 2    5   2  3   2  1    2   2    2    0 7 1 3   0   2  7   2  1   2  3   2    2 0 8   4     10 6 2 4   0 14 2 6   5 1 4. Преобразование матриц. Матрица вершин Многоугольники могут быть представлены, матрицей координат вершин, размещающиеся в виде столбцов геометрических фигур. Треугольник, имеющий матрицы. Пример. координаты Треугольник, имеющий координаты ABC : A  x A ; y A  ; B  xB ; yB  ; ABC : A  3;2  ; B  4; 2  ; C  2;1 C  xC ; yC  может быть представлен матрицей вершины. , будет иметь матрицу вершин  xA   yA 2 xB yB xC  . yC  Параллельный перенос 2   х  координаты 3 4 ABC     2 2 1   y  координаты A B C Параллельный перенос, когда фигура перемещается из одного места в другое без изменения размера, формы и ориентации. Сложение матрицы вершин с матрицей перевода. Пример. Найти координаты вершин четырехугольника с координатами Q  2; 3  ;U  5; 2  ; A  4; 2  ; D  1; 1  при его параллельном переносе на 4 единиц влево и на 2 единицы вверх. Запишем матрицу 1 2 5 4 вершин  .  3 2 2 1  Чтобы перевести четырехугольник на 4 единицы влево, добавьте 4 к каждой x  координате. Для того чтобы перевести на 2 единице вверх, добавить 2 к каждой y  координате. Иначе, к матрице вершин прибавить матрицу перевода: 1    4  4  4 4  2 5 4    2 2 2   3 2 2 1   2 матрица вершин QUAD матрица перевода   2 1 0 3   .  5 4 0 1 матрица вершин Q U AD  3 Гомотетия Умножение матрицы вершин на скаляр, равный коэффициенту гомотетии. Пример. Найти координаты вершин треугольника с координатами J  2; 3  ; K  5;4  ; L  3;2  при гомотетии с коэффициентом k  1  2 5  2  3 4 6 (уменьшить в 2 раза). 3   1 2,5 1,5   . 2   1,5 2 1  1 2 Т.о., координаты вершин искомого J   1; 1,5  ; K   2,5;2  ; L  1,5;1  . треугольника: умножить матрицу координат вершин на матрицу осей  1 0    слева.  0 1 Пример. 4 Симметрия относительно координат 5 матрицу координат вершин на Поворот против часовой умножить стрелки  0 1  матрицу   слева. Пример. Найти координаты 1 0  вершин пятиугольника с координатами Q  1; 3  ; R  3; 2  ; S  3; 1  ; 6 T  1; 2  ;U  1;1  при симметрии относительно оси OY . 1 1   1 3 3 1 1   1 0   1 3 3      0 1   3 2  1  2 1   3 2 1 2 1  Т.о., координаты вершин искомого пятиугольника: Q  1;3  ; R  3;2  ; S  3; 1 ;T  1; 2  ;U  1;1 . Поворот против часовой умножить матрицу координат вершин на матрицу стрелки  0 1    слева. 1 0  Пример. Найти координаты вершин треугольника с координатами A  4;3  ; B  2;1 ;C  1;5  , при повороте на 90 против часовой стрелки.  0  1   4 2 1   3 1 5     . 2 1  1 0  3 1 5  4 Т.о., координаты вершин искомого треугольника: A  3;4  ; B  1;2  ;C   5;1 . 7. Трансформация изображения (симметрия, поворот) для симметрии Отражение оси OX изображения относительно Умножить матрицу 1 0  координат вершин   0 1   на матрицу слева для поворота против Вращение 90 изображения часовой стрелки на угол умножить матрицу  0 1    координат вершин 1 0  7 оси OY линии y  x  1 0     0 1 0 1   1 0 180 270  1 0     0 1   0 1    1 0  на матрицу слева 8 Площадь параллелограмма ABCD : A  x A ; y A  ; B  x B ; y B  ; C  x C ; yC  ; D  x D ; y D  xA yA S  xB yB xC yC Пример. 9 Площадь треугольника 1 1. 1 ABC : A  x A ; y A  ; B  xB ; yB  ; C  xC ; yC  xA 1 S   xB 2 xC Пример. yA yB yC 8 1 1. 1 1 2 5. Определители. это замена строк столбцами. Транспонирование матрицы Пример. 1 4  1 2 3 T   A ;A  2 5 4 5 6 3 6   Определитель матрицы называется число: второго порядка a11 a12  a11  a22  a21  a12 a11 a12 a a 21 a21 3 a22 Определителем третьего порядка a11 a12 a13 a21 a31 a22 a32 a23 . a33 правило Саррюса a b c d e g h 4 22 (т.е. произведение элементов, расположенных на главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали). Пример. матрицы a11 a12 a13 называется число: a21 a31 a22 a32 a23  a33  a11  a22  a33  a32  a21  a13  a12  a23  a31   a31  a 22 a13  a32  a23  a11  a12  a21  a33 . Пример. f i Свойства определителей (в определителе строки и столбцы равноправны, поэтому все свойства для строк справедливы и для столбцов). 1. При замене строк на столбцы определитель не меняется, т.е. определитель не меняется при транспонировании матрицы. 2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель изменяет знак на противоположный. 3. Если все элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. 4. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя. 4.1. Если вся строка определителя нулевая, то он равен нулю. 5. Если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменит своей величины. 6. Треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше (ниже) главной диагонали, - нули, равен произведению элементов главной диагонали. a11  b11 a12  b12 a11 a12 b11 b12   7. a21 a22 a21 a22 a21 a22 8. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей: A  B  A  B . Пример. 9 1 Теорема Крамера 6. Правило Крамера. Система n уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов. Пример. Решение системы линейных уравнений с двумя переменными e b a e f d c f a b  ax  by  e; x ;y ;  0.  a b a b c d  cx  dy  f . c d 2 c d Правило Крамера      определитель матрицы системы; x1  1 ; x2  2 ; ; xn  n , где     k  определитель, получаемый из  заменой k  го столбца столбцом свободных членов. Пример.  a11  x1  a12  x2  a13  x3  b1 ;   a21  x1  a22  x2  a23  x3  b2 ; a  x  a  x  a  x  b . 32 2 33 3 3  31 1 b1 a12 a13 a11 b1 a13 a11 a12 b1 b2 a22 a23 a21 b2 a23 a21 a22 b2 b a32 a33 a b a33 a a 32 b3    x1  1  3 ; x2  2  31 3 ; x3  3  31 . a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 a13    a21 a22 a23 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 a33 3 Правило Крамера Здесь возможны два варианта: (определитель системы 1.   0 и каждый определитель  xi  0 . Это равен нулю) имеет место только тогда, когда коэффициенты при неизвестных xi пропорциональны, то есть каждое уравнение системы получается из первого уравнения умножением обеих его частей на число k . Очевидно, что при этом система имеет бесчисленное множество решений. 2.   0 и хотя бы один из определителей  xi  0 . Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при всех неизвестных, кроме xi , пропорциональны. При этом получается система из противоречивых уравнений, которая не имеет решений. Пример. 10 Пример. Решите систему из трех уравнений по правилу Крамера. m b c a m c a b n g h  2 x  4 y  2z  14; p k i  x ;  3 x  y  z  2; C  2 x  3 y  2z  7.  14 4 2 2 1 1 7 3 2 x ; 2 4 2 3 1 1 2 3 2 2 14 2 3 2 1 2 7 2 y ; 2 4 2 3 1 1 2 3 2 y f j 2 4 14 3 1 2 2 3 7 z . 2 4 2 3 1 1 2 3 2 112 56 168 ;y ;z . 56 56 56 x  2; y  1; z  3. x Ответ.  2; 1; 3  . 11 n p C h i ; z f j m g n k p . C 7. Обратные матрицы. 1 Обратная матрица a c   d b  1 1 A  ; A   ; a  d  b  c  0. a  d  b  c  c a  b d 2 Матричное уравнение 1 0 1 A  X  B;    X  A  B. 1   Запишите матричное уравнение 1 A X  B  a  1; A1  A  E a Умножьте на обратное 1 1 A 1  A  X  A 1  B a x  b число, матрицу. E a a 1 1 E  X  A1  B 1 x   b  a  1; A1  A  E a a 1  x  x; E  X  X 1 X  A1  B x  b a  4 8   x   12  Пример. Решите матричное уравнение       .  2 3   y   13  4 8   3 8  1 1  3 8  1 A  ; A       ;  28  0. 12  16  2 4  28  2 4   2 3  1 0  x 1  3 8   12  1  140   x   5                      5; 1  . 28  2 4   13  28  28   y   1   0 1  y  Шифрование с помощью таблицы 3 Криптография Машина Тьюринга назначив номер каждой буквы в сообщении. Матрица  2 1 кодирования A   .  4 3 Преобразование сообщения в числовой ряд. 1. Напишите сообщение в матричной форме. Расставить числа в матрице B , следующим образом: 2 столбца и столько строк, сколько требуется. Затем умножьте матрицу B на матрицу кодирования A .  7 15   74 52       0 20   2 1   80 60  B  A   15 14       86 57     4 3    9 7   46 30   8 20   96 68      Закодированное сообщение 74 52 80 60 86 57 46 30 96 68 . 2. Используется обратная матрица A 1 , расшифровать сообщение  d b  1 1  3 1  A 1      ad  bc   c a  6  4  4 2  1  3 1   1,5 0 ,5     2  4 2   2 1  Далее, расшифровать сообщение чтобы  12 путем умножения  74 52     80 60  закодированной матрицы C   86 57  на A1 слева.    46 30   96 68    Снова используйте таблицу для преобразования чисел к буквам. Теперь вы можете прочитать сообщение. 13 1 2 3 8. Решение систем линейных уравнений. Векторы линейно если никакой из векторов не может быть x ; y; z выражен (линейно), через другие векторы. независимые максимальное число линейно независимых строк, равное максимальному числу линейно Ранг матрицы A независимых столбцов 1. К одной из строк матрицы A прибавляется другая строка матрицы A , элементы которой умножены на число  , результат записывается в новой матрице B , а остальные строки Элементарные преобразования матрицы B совпадают с соответствующими над строками матрицы A , строками A, матрицы переводящие ее в матрицу B bik  aik    aik ; k  1; 2; ...;n;i  k . 2. Две строки матрицы A , меняются местами, при этом остальные строки остаются без изменения bik  a jk ; b jk  aik ; k  1; 2; ...;n . матрица, обладающая следующим свойством: если в i  ой строке матрицы левее элемента aij 4 Ступенчатая матрица 5 6 7 8 стоят только нули ( a ij – первый отличный от нуля элемент в i  ой строке), то ниже этого элемента в j  ом столбце стоят только нули. метод приведения произвольной матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных Метод Гаусса преобразований. Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных). Он состоит в следующем: систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе со ступенчатой матрицей (системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают). Эти действия называют прямым ходом. Из полученной ступенчатой системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход). При выполнении прямого хода используют следующие преобразования: 1) умножение и деление коэффициентов и свободных членов на одно и то же число; 2) сложение и вычитание уравнений; 3) перестановку уравнений в системе; 4) исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю. первые отличные от нуля элементы каждой Угловые элементы ступенчатой строки, «стоящие на углах» ступенчатой матрицы; число угловых элементов ступенчатой матрицы матрицы равно рангу исходной матрицы. система вида  a11  x1  a12  x2   a1n  xn  b1 ;   a21  x1  a22  x2   a2n  xn  b2 ; Система из m линейных  .........................................................;  уравнений с n неизвестными  am 1  x1  am 2  x2   amn  xn  bm . где x   x1 ; x2 ; ...; xn  – вектор неизвестных, подлежащий определению. матрица коэффициентов при неизвестных Матрица системы 14 a1n   a11 a12   A   a21 a22 a2n  . a a mn   m1 am 2 матрица, полученная присоединением столбца из свободных членов b1 ;b2 ; ...;bm к матрице 9 Расширение матрицы системы 10 11 12 13  a11 a12 a1n  a a22 a2n системы A   21  ..............................  a amn  m1 a m 2 Вектор правых частей, или вектор b   b ;b ; ...;b  . 1 2 m свободных членов системы Векторно-матричная запись запись системы в виде A  x  b . системы система уравнений, в которых вектор правых частей является нулевым вектором Однородная система b  0   0;0; ...;0  ; A  x  0 . Неоднородная уравнений 14 система система, в которой хотя бы в одном уравнении справа стоит ненулевой элемент: b  0 . такой вектор x   x1 ; x2 ; ...; xn  , что при Решение системы 15 16 17 18 19 b1   b2  . ...   bm  подстановке чисел x1 ; x2 ; ...; xn в уравнении системы, получаются верные равенства система, у которой существует хотя бы одно Совместная система решение. система, у которой не существует решение. Несовместная система Критерий (необходимое и равенство рангов основной и расширенной достаточное условие) матрицы. совместности системы совокупность всех решений системы. Общее решение системы решение, которое получается из общего решения путем подстановки вместо свободных Частное решение системы переменных конкретных численных решений. 15 9. Практико - ориентированные задачи Введение в матрицы. 1 1. География. Гавайи. Таблица показывает население и площадь некоторых островов на Гавайях. Какова размерность матрицы, которая представляет эту таблицу? Остров Население Площадь Гавайи 120 317 4 038 Мауи 91 361 729 Оаху 836 231 594 Кауаи 50 947 549 Лунай 2 426 140 2. Сервисное обслуживание. Прачечная. Карл ищет прачечную. Super Wash имеет 20 небольших стиральных машин, 10 больших стиральных машин и 20 сушильных машин. Quickclean имеет - 40 небольших стиральных машин, 5 больших стиральных машин и 50 сушильных машин. Tough Suds - имеет 15 небольших стиральных машин, 40 больших стиральных машин и 100 сушильных машин. Напишите матрицу, чтобы представить эту информацию. 3. Города. Расстояние. В указанной неполной матрице даны приблизительные расстояния между городами Москва, Казань и Волгоград. Заполните матрицу. М М К В К В  0 712 912    ...   ... 0  ... ... 0   4. Инвентаризация. Менеджер магазина записывает наличие ламп (количество) на складе 3 различных марок в течение пяти дней. Менеджер решает записать матрицу, где каждая строка представляет различные марки ламп, и каждый столбец представляет день недели (запись представляет запасы ламп на начало дня).  25 24 22 20 19     30 27 25 22 21   28 25 21 19 19    Предполагая, что запасы не пополнялись, какой бренд держит рекорд по количеству ламп, которые продаются на данный день? Менеджмент. Продажа обуви. Для упражнений 5 и 6, используйте следующую информацию. Менеджер обувного магазина отслеживает количество денег, сделанных каждым из трех продавцов в течение каждого дня рабочей недели с понедельника по пятницу: Кирилл - продажи составили: $40, $70, $35, $50 и $20; Дмитрий - продажи составили: $30, $60, 20$, $45 и $30; Мария - продажи составили: $35, $90, $30, $40 и $30. 16 5. Организовать эти данные в виде матрицы и определите её размерность. 6. Проанализируйте выручку каждого продавца. Кто сделал наибольшую (наименьшую) выручку на этой неделе? Операции с матрицами. 2 1. Тарифы. В таблице представлены тарифы на посещение общей экспозиции и планетария в музей науки на одного человека. Дети Взрослые Общая экспозиция 5 10 Планетарий 4 8 Запишите матрицу тарифов. Что можно сделать с этой матрицей для того, чтобы узнать тарифы на 5 человек? 2. Отрицание. Двум инженерам нужно свести на нет все элементы матрицы (получить нулевую матрицу). Один инженер пытается сделать это путем умножения матрицы на  1  . Другой инженер пытается сделать это путем вычитания удвоенной матрицы от себя. Какой инженер получит правильный результат? 3. Самолет. Тарифы на авиабилеты для путешествий между Нью-Йорком, Чикаго и Лос-Анджелесом записаны в матрицу слева. Матрица справа дает налоговые сборы на соответствующие рейсы. NY C LA NY C LA N  0 40 70   0 440 700  Написать матрицу,     C  46 0 60   460 0 660   850 700 0  LA  85 70 0    представляет собой полную стоимость проезда между этими городами. NY C LA 4. Подсолнухи. Матрица подсолнухов. Матрица  H 31 , G 31 которая которая содержит начальные высоты трех содержит высоту роста в неделю (в дюймах) Что означает матрица H  4G ? Ужин. В упражнениях 5-7, используйте следующую информацию. Меню показывает цены на некоторые блюда в ресторане. Порция Половина порции Баранина 500 250 Курица 350 175 Стейк 700 350 5. По данным таблицы составьте матрицу. Какова её размерность? 6. Пусть M  матрица, которую вы написали в п. 5. Написать выражение при помощи матрицы M , которое получится с учётом цены, в которую необходимо включить дополнительные 20% , чтобы покрыть налоги. 3 7. Вычислить матрицу вы записали в п. 6. Умножение матриц. 17 1. Найдите ошибку. Обе матрицы AuB размерности 2  2 . Маргарита выполнила следующее решение. Какие ошибки она сделала? a.  A  B    A  B  A  B  2 b.   A  B  A   A  B  B c.  AA  BA  AB  BB d.  A2  BA  AB  B 2 e.  A2  AB  AB  B 2 f.  A2  2 AB  B 2 . 2. Экзамен. Баллы, полученные студентами в результате экзаменов, преподаватель записал в виде матрицы размерности 20  3 . Каждый ряд содержит фамилии студентов. Первый экзамен в первом столбце, второй экзамен во втором столбце. Заключительный экзамен в третьем столбце. Преподаватель выводит матрицу размерности 20  1 , в которой содержатся взвешенные оценки для каждого студента. За первые два экзамена засчитывается 25 % , за итоговый экзамен засчитывается 50 % . Как преподавателю получить матрицу взвешенных баллов? 3. Специальные матрицы. Михаил имеет матрицу  M  33 . Он замечает, что для любой матрицы  X 33 , выполняется равенство M  X  X . Какая может быть матрица  M  33 ? 4. Правило умножения матриц. Тимофей только что узнал правило умножения матриц. Он начал умножение матриц. Интересно, что происходит,  1 1 когда он умножил несколько раз матрицу M    на себя и заметил  0 1 некую закономерность. Что такое матрица M n ? Сравнение стоимости. Для упражнений 5 и 6, используйте следующую информацию. Белла и Лариса хотят купить ручки, карандаши и ластики. Они составили матрицу  M  2 3 , которая представляет количество каждого товара, которого они хотели бы приобрести. Матрица  P  32 представляет стоимость товара в двух различных магазинах.  22  12 P    8 №1  10 15 3  Белла M    5 20 5  Лариса P K Л 35  ручки  16  карандаши 10  ластики №2 5. Вычислите произведение матриц M u P . 6. Какой смысл произведения матриц M u P . 4 Преобразования матриц. 1. Рисунок. Леонид будет выполнять преобразования для основных точек «дома», показанного на графике. Укажите вершины матрицы для данного изображения? 18 2. Переезд. Градостроители строят новую дорогу. К сожалению, дорога будет проходить через пять старых деревьев (обозначены маленькими точками). Градостроители решают объехать деревья в тех местах, которые указаны крупными точками. Какая матрица представит этот объезд? 3. Зеркальная симметрия. Детектив нашел только половину изображения. Вершины  4 5 2  видимой части изображения записаны в виде матрицы:   . Взяв зеркало  2 5 4  и выполнив симметрию относительно прямой y  x , он нашёл координаты скрытой части. Каковы координаты скрытых вершин изображения? 4. Фотографии. Александр использовал цифровую камеру, чтобы сделать снимок. Так как он держал камеру под наклоном, то изображение на экране компьютера появился под наклоном. Для того, чтобы преобразовать снимок, ему нужно выполнить вращение по часовой стрелке на 90 . Какая матрица представляет эту трансформацию? Стрелки. Для упражнений 5 - 6, используйте следующую информацию. Стрелка компаса показывает на северо - восток. 5. Укажите координаты вершин стрелки в виде матрицы? 6. Укажите координаты вершин стрелки в виде матрицы, если 5 направление будет на северо - запад? (Указание: поворот на 90 вокруг начала координат). Определители. 1. Найдите ошибку. При вычислении определителя совершена ошибка при определении знака слагаемых. Найдите и исправьте допущенную ошибку. 1 2 3 4 5 6  1  5  9  2  6 7  3  4  8  3  5 7  1  6  8  2  4  9 . 7 8 9 2. Бассейн. Архитектор планирует построить бассейн, указанный на графике. Запишите определитель, который определяет площадь данного бассейна. 3. Половина. Для арт - проекта, студенты должны были украсить блок в виде треугольника различными приспособлениями. Роман хотел украсить половину треугольника. Для осуществления проекта ему необходимо знать площадь половины треугольника, для чего он использовал определитель. По существу же поиск координат вершин треугольника a равен c e b d f  a;b  ;  c;d  ;  e; f  , таких, что определитель 1 1   1 . Приведите пример такого треугольника. 1 19 4. Италия. На рисунке показано, как карта Италии накладывается на график. Координаты Милана, Венеции и Пизы приблизительно  4;5  ;  3,25;4 ,8  u  1,4; 0 ,8  , соответственно. Каждый квадрат карты представляет около 400 квадратных миль. Какова площадь треугольной области? Округлите ответ до квадратных миль. Стрелки. Для упражнений 5 и 6, использовать следующую информацию. Катя строит треугольник из древесины с вершинами в  6 ;0  ;  0;  x  ;  0; x  ; x  0 , используя материал, который стоит 30 $ за единицу площади. 5. Записать определитель, который задаёт площадь этого треугольника. 6. Вычислить определитель и определить значение x , при котором стоимость материала на изготовление треугольника будет равна 900 $ . 6 Правило Крамера. 1. Правило Крамера. Люся хочет решить следующую систему линейных уравнений,  2 x  3 y  5; Запишите три определителя, которые  x  y  2. используя правило Крамера:  Люся будет вычислять. 2. Последствия правилу Крамера. Правило Крамера дает решения системы линейных уравнений с точки зрения их коэффициентов. Формула включает в себ я сложение, вычитание, умножение и деление этих коэффициентов. Возможно ли это и для коэффициентов, являющихся иррациональными и рациональные числами? 3. Магазины. В первом магазине стоимость простыни $18,59 за штуку и наволочки $7,24 за штуку. Если Агата покупает x  простыней и y наволочек, то на постельное белье она потратит $210,75. Во втором магазине стоимость простыни $15,79 за штуку и наволочки $8,19 за штуку. Если Агата покупает x  простыней и y наволочек, то на постельное белье она потратит $191,25. Используя правило Крамера, определите, сколько простыней и наволочек Агата хочет купить. 4. Кирпичи. Фирма использует три различных вида кирпича, которые отличаются только по длине. Если взять 2 коротких, 1 средний и 2 длинных кирпичей, то общая длина будет 45 дюймов. Если взять 1 короткий, 2 средних, и 3 длинных кирпичей, то общая длина будет 59 дюймов. Если взять 5 коротких, 1 средний, и 1 длинный кирпичей, то общая длина составит 53 дюйма. Используя правило Крамера, определите, сколько используется различных видов кирпича. Акции. Для 5 - 7 упражнений, использовать следующую информацию. Местный зоопарк пытается увеличить посещаемость предлагает 20 рублей за каждого ребенка, который пришел. Однако, зоопарк настаивал на том, что будет сопровождать минимум 1 взрослый человек на 8 детей. Школа решила воспользоваться ситуацией, и отправила 1 взрослого человека и 8 детей. Пусть c  количество детей и a  количество взрослых. Вход для взрослых стоил d рублей. Общая стоимость составила k рублей. 5. Написать систему уравнений, которая описывает заданную ситуацию. 6. Возможно ли, что d  32 рубля? Дайте объяснения, используя правило Крамера. 7. Если d  40;k  400 рублей, то сколько взрослых и детей пошли в зоопарк? 20 7 Использовать правило Крамера для решения этой задачи. Обратные матрицы. 1. Вращение. Предположим, что R представляет собой вращение против часовой стрелки на угол в 45 . Для какого значения n вращение Rn является обратным для R? 2. Специальные матрицы. Николай любит матрицы, у которых определитель равен 1. Если ли такая матрица и какова её обратная матрица? 3. Криптография. Друг отправляет вам секретное сообщение, которое было закодировано с помощью матрицы кодирования Код A 65 J 74 S 83 5 3 C    и таблицы алфавита. Сообщение B 66 K 75 T 84 3 2  C 67 L 76 U 85 567/354/620/388. Расшифруйте это сообщение. D 68 M 77 V 86 E 69 N 78 W 87 F 70 O 79 X 88 G 71 P 80 Y 89 H 72 Q 81 Z 90 I 73 R 82 - 91 4. Матрица обратная сама себе. Филипп считает, что любая матрица с 1 u  1  на диагонали, а остальные элементы нули, будет обратной самой себе. Приведите пример матрицы размерности 2  2 , которая является обратной самой себе. Матричные операции. Для упражнения 5 - 6, используйте следующую информацию. Григорий знает, что такое определитель и обратная матрица. Преподаватель говорит о том, что есть некоторые матрицы с уникальными свойствами, и задача студентов, найти такие матрицы и описать свойства. Григорий  0 1 . 0 0 5. Чему равен определитель матрицы G ? 6. Имеет ли обратную матрицу матрица G ? Ответ объясните. предложил рассмотреть матрицу G   Решение систем линейных уравнений. 8  2 x  y  4; 1.Обучение. Павел записал следующую систему уравнений:   3 x  y  5. Далее, он записывает систему уравнений в матричном виде. Что у него получилось? 2. Найдите ошибку. Павел продолжает решать матричное  2 1  x   4  уравнение:         . Он считает, что обратная матрица будет иметь вид:  3 1  y   5  1  2 1  1 3     .  3 1  1 2  Затем  x   1 3   4   x   11      ;      .  y   1 2   5   y   6  он выполняет Когда 21 он следующее проверил свой решение: результат, то обнаружил, что это было не правильно. Где он мог ошибиться? 3. Возраст. Возраст сестёр Маши, Даши и Саши, соответственно h; k u n . Сумма их возраста составляет 15 лет. Даша - на один год моложе, чем сумма лет Маши и Саши. Саша в три раза старше Маши. Используя матричное исчисление определите возраст каждой сестры. 4. Животные. Кирилл заботится о собаках и цыплятах. Всего 28 животных, и вместе они имеют 68 ног. Используя матричное уравнение, определите количество собак и цыплят. Продажи. Для упражнений 5 и 6, использовать следующую информацию. В баре кинотеатра продают апельсиновый сок по 20 рублей и шоколад по 30 рублей в течение сеанса. Менеджер записывает, сколько каждого вида товара купил каждый посетитель (общая стоимость и количество элементов каждой продажи). 5. Предположим, посетитель потратил k рублей и купил n товаров. Записать систему линейных уравнений, связывающие k u n с учётом их стоимости: апельсиновый сок по r рублей и шоколад по g рублей. 6. Одина из записей продажи показала, что 10 товаров были куплено за 230 рублей. Сколько было приобретено апельсинового сока и шоколада? 22 10. Профессиональная ориентация, связанная с изученным материалом. 7. Заработная плата. Путевки. (Клерки). Многих наемных работников, таких как работающие родители, пенсионеры и студенты работают не полный рабочий день (почасовая работа). Ответственность клерка заключается в том, чтобы сохранить точные и своевременные записи об отработанном времени работниками, и работодатель получает актуальную информацию о расходах по заработной плате. В таблице ниже приводятся данные о количестве часов, которые каждый из трех сотрудников работал в течение одной недели. Буква аббревиатуры обозначает почасовой оплаты категории. Ф Категория Понедельник Вторник Среда Четверг Пятница Петров S 7 6 6 5 8 Иванов C 6 7 7 8 8 Ким R 6 7 7 5 8 S – 24 рубля в час C - 20 рублей в час R - 21 рубль в час Найти ежедневную и общую сумму заработанной платы, уплаченную владельцем компании. Запишите матрицу для представления почасовой заработной платы каждого работника и матрицу представляющую табель рабочего времени. Затем выполните умножение матриц. Почасовая матрица заработной платы:  24 20 21  . 7 6 6 5 8    Табель матрица:  6 7 7 8 8  . 6 7 7 5 8   7 6 6 5 8   24 20 2113   6 7 7 8 8    414 431 431 385 520  . 6 7 7 5 8   31 В понедельник три человека заработали 414 рублей, во вторник и в среду они заработали 431 рубль, в четверг они заработали 385 рублей, в пятницу они заработали 520 рублей. В течение всей недели, компания выплатила 2 181 рубль, троим сотрудникам. Использование матриц для решения задач. 1. Предположим, одну неделю каждый сотрудник работал так же, но за исключением того, что офис был закрыт в пятницу. Найти общую сумму, выплаченную работникам. (1 661 рублей) 2. Новый сотрудник Сидоров Д. зарабатывает 18 рублей в час и работает 6 часов в день, с понедельника по четверг. Найдите общую сумму, выплаченную в ладельцем за пять дней работы. (2 613 рублей). 3. Предположим, что заработная плата в каждой категории увеличивается на 1 рубль в час. Найти еженедельные выплаты заработной платы для четырех человек. 8. Пропорции ингредиентов (химик-технолог). Химический техник в лаборатории. Возможно, захотите поэкспериментировать с различными решениями. Например, найти оптимальную смесь. Задача может занять очень много времени, если решать её традиционно не прибегая к матрицам. Раствор А содержит 10% кислоты, а раствор B содержит 6% кислоты. Техник смешивает оба раствора так, чтобы получить 100 литров раствора C, который содержит 7% кислоты. 23 Сколько литров каждого раствора необходимо смешать вместе? Пусть a  искомое количество литров раствора А, тогда кислоты в растворе будет 10% от a  0,1a . Пусть b  искомое количество литров раствора Б, тогда кислоты в растворе будет 6% от a  0,06b . Кислоты в растворе С будет 7 % от 100  7 . Таким образом, получаем систему 0,1a  0,06b  7 ; или  a  b  100.  уравнений:  0,1 0,06   a   7       . 1 1 b 100       Решим матричное уравнение. 1  a   0 ,1 0 ,06   7      . b 1 1 100       1  0 ,1 0 ,06   25 1,5   Найдём обратную матрицу     . Таким образом, получим 1   1  25 2,5   a   25 1,5   7   a   25     ;    .  b   25 2,5   100   b   75  Техник должен смешать 25 литров раствора А с 75 литрами раствора Б, чтобы сделать 100 литров раствора С. Решите. 1. Если технику необходимо получить раствор С с концентрацией кислоты 6%. Сколько литров каждого раствора необходимо смешать вместе? (100 литров раствора Б). 2. Если технику необходимо получить раствор С с концентрацией кислоты 8%. Сколько литров каждого раствора необходимо смешать вместе? (50 литров раствора А, 50 литров раствора Б). 24 11. Мини-Проект. 8. Вычисление определителей 3  3 . Правило Саррюса. Материалы для каждой группы студентов, две пары различных цветных карточек и ножницы. Цель: развитие деятельности студентов в процессе вычисления определителей третьего порядка. Ход работы. 1. Возьмите две карточки разных цветов и разрежьте каждую из них на 6 полос. 2. Выбрать любые три числа для каждой полосы одного цвета и случайным образом запишите их в колонку. Сделать соответствующий набор лент другого цвета. 3. Возьмите 3 полосы в случайном порядке из одного набора. Расположить полоски 3  3 , как показано на рисунке. Выбрать 2 соответствующие ленты другого цвета и расположить их от других справа, получили столбцы 1 и 2. Теперь вычислить определитель 3  3 , применяя правило Саррюса. Найдите произведение элементов на каждой диагонали (три слагаемых, состоящих из трёх множителей). Сначала находим произведение элементов, находящихся на главных диагоналях (от верхнего левого до нижнего правого угла) и берём их со знаком «плюс». Потом вычисляем произведения элементов, находящихся на побочных диагоналях и берём их со знаком «минус». Результатом является значение определителя. 3 2 0 5 6 1  3   6   5  2  1  2  0  5  4  2   6   0  4  1  3  5  5  2  2 4 5  90  4  0  12  50  148. Значение определителя равно 148 . 4. Пусть группы студентов обменяются лентами с другой группой студентов. Вычислить определители третьего порядка и сравнить полученные результаты. 25 12. Активная алгебра. 1. Матрицы Цель: записывать и интерпретировать матрицу представления конечного графа. Материалы: тетрадь, карандаш. В точках (вершинах), представляющих остановки для отдыха и линии (ребра) представляют тропы. Определить путь, как путь от остановки к остановке, не проходя через любую другую остановку. Найти общее количество путей для каждого элемента графа. (Примечание: путь от повара Угла в угол Кука могут быть по часовой стрелке или счетчик - по часовой стрелке). Изобразите граф, используя матричную форму (как правило, без названия строки и столбцы). 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 Обратная задача, по графу записать соответствующую ему матрицу. Сформируйте группы из трех студентов заполните рабочий лист в тетради. Как только группы закончили работу, анализировать, обсуждать и делиться ответами. Матрицы. Запишите матрицу для графа, предварительно заполнив таблицу (одна и только одна остановка на каждом пути). Путь Угловой зал Столовая Центр досуга Мост Озеро Центр природы Угловой зал Столовая Центр досуга Мост Озеро Центр природы  Матрица     .  66 Используя матрицы, выполните следующие. 1. Добавить элементы во втором ряду. Что означают эти элементы в графе? Как же ваш номер сравниваем с суммой второй столбец? __________________________________________________________________ 2. Добавить элементы в каждой строке. Найти сумму этих сумм. Это общая связана с количеством ребер в графе? Если да, то как? 26 __________________________________________________________________ Запишите матрицы, соответствующих графов. Изобразите графы, соответствующие матрицам. 5. 2 1 1 1 1 1 1 2 6. 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 7. 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 A 1B 0C 0D A B C D 8. Запишите матрицу для графа, предварительно заполнив таблицу (одна и только одна остановка на каждом пути). Угловой центр Мост Сторожка Центр природы Угловой центр Мост Сторожка Центр природы  2 1 0 1     . Матрица       4 4 Ответы. 1. Сумма строки 2  4 . Есть 4 пути, ведущие из столовой. Сумма столбца 2  4 . Они такие же, потому что есть 4 пути из столовой. 2. 20. Есть 10 ребер, а каждое испытание приводит два способа. 2 3. 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 4. 1 1 1 1 1 1 2 1 2 27 Теория вероятностей и математическая статистика. ГЛОССАРИЙ. Новые понятия Содержание № п/п 1 Метод сплошных наблюдений 2 Выборочный метод 3 Непрерывно распределенная величина метод статистического обследования, при котором производится измерение всех элементов совокупности Метод статистического обследования, при котором из совокупности выбирают ограниченное число объектов и их подвергают изучению. Применяется, когда количество объектов велико или сплошное обследование невозможно в силу того, что обследование может привести к уничтожению объекта (например, чтобы узнать качество консервов, банку надо вскрыть), то есть когда не хотят проводить полное обследование объекта Случайная величина  , для которой существует неотрицательная функция такая, что для любого интервала (a, b) ; b P a   < b   f(x)dx a 4 5 6 7 8 9 10 Плотность распределения вероятностей Генеральная совокупность Выборка (выборочная совокупность) Репрезентативная выборка Повторная выборка (выборка с возвратом) Бесповторная выборка (выборка без возврата) Вариационный ряд 11 Накопленная частота 12 Накопленная относительная (эмпирическая) частота значений x. Частота варианта 13 14 15 Размах вариационного ряда Относительная (эмпирическая) частота функция (см. п.3) множество всех изучаемых объектов совокупность объектов, отобранных для исследования из генеральной совокупности выборка, которая производится так, что все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность попасть в выборку такая выборка, для которой раз ,отобранный в выборку объект возвращается в генеральную совокупность и, следовательно, может быть отобран повторно такая выборка, для которой отобранный в выборку объект назад в генеральную совокупность не возвращается значения, которые приняла случайная величина  в n наблюдениях, записанные не в порядке получения, а в порядке возрастания, то есть упорядоченная выборка показывает, сколько наблюдалось вариантов со значением наблюдаемого признака, меньшим x отношение накопленной частоты значения x к общему числу наблюдений числа для каждого полученного значения (варианта) – результат подсчета того, сколько раз значение встретилось в ряде наблюдений расстояние (x max  x min ) между крайними членами вариационного ряда отношение mi / n , где n – объем выборки, а – mi число 16 17 18 19 20 21 значений xj повторения значения x i в выборке Группировка состоит в том, значения x1 ,..., x n , i-ая интервальная частота i-ая относительная (эмпирическая) интервальная частота Интервальный вариационный ряд Таблица статистического распределения выборки Полигон для дискретных вариационных рядов Полигон для интервальных вариационных рядов 23 Гистограмма на оси x , куда попали на интервалы I1 ,..., Ik и подсчитывают частоту попадания значений величины в каждый интервал. Самый простой способ группировки – округление данных число выборочных значений, попавших в i-ый интервал группировки отношение i-й интервальной частоты к объему выборки Вариационные ряд, представленный таблицей, построенной с помощью процедуры группировки Таблица из двух строк, в верхней строке , которой указаны в порядке возрастания наблюдаемые значения (для интервального ряда – середины интервалов группировки), а в нижней – соответствующие им относительные частоты. Она задает статистическое (или эмпирическое) распределение выборки графическое изображение вариант, которое строится так: на оси абсцисс откладывается принимаемые признаком значения x i ; из значений 22 что область разбивают x i проводят перпендикуляры, длины которых пропорциональны значениям, затем концы соседних перпендикуляров соединяют отрезками прямых графическое изображение вариант, которое строится по гистограмме интервального вариационного ряда следующим образом: середины верхних сторон прямоугольников гистограммы соединяют отрезками прямых. Крайние точки этой ломаной соединяют с серединами соседних интервалов, частоты которых равны 0, а длина равна длине соседнего интервала, так чтобы площадь, ограниченная полигоном и осью X , была равна 1 графическое изображение эмпирической плотности строится для группированных выборок , следующим образом: в случае одинаковых интервалов на каждом из интервалов d i значений как на основании стоят прямоугольник с высотой, пропорциональной; если длины интервалов разные, то на каждом из интервалов значений как на основании строят прямоугольник mi / d i – с высотой, пропорциональной количеству, приходящемуся в этом интервале на единицу интервала; если высоты прямоугольников сделать равными mi / di n , то 24 Кумулята 25 Мода гистограмма изображает эмпирическую плотность график накопленных частот, сглаженное графическое изображение эмпирической функции распределения для дискретного вариационного ряда – значение x m , эмпирическая вероятность mi / n которого максимальна; для сгруппированного ряда входит в интервал, у которого эмпирическая вероятность находится mi / n максимальна; 26 Медиана 27 Сходимость случайной величины по вероятности к некоторому значению 28 Статистика 29 30 31 32 33 34 35 Точечная оценка параметра Математическое ожидание Дисперсия случайной величины Среднеквадратическое отклонении Правило трех (сигм) Состоятельная оценка параметра Несмещенная оценка параметра 36 Метод моментов 37 Доверительным интервалом с уровнем графически по гистограмме или с помощью линейной интерполяции середина распределения, т.е. такая точка, для которой половина принимаемых значений распределения лежит слева от нее, а половина справа. В случае группированного вариационного ряда эмпирическая медиана делит площадь гистограммы пополам означает, что, несмотря на увеличение числа испытаний, могут встретиться значения случайной величины, довольно сильно отличающиеся от предельного значения, но процент таких испытаний будет , с ростом графическое изображение уменьшатся (вероятность отклонения от предела с ростом стремится к 0) любая функция θ(x1 ,..., x n ) , зависящая от выборки, и поэтому являющаяся случайной величиной оценка параметра в виде числа – точки на координатной оси «средневзвешенное» значение случайной величины M( )  a математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания характеристика распределения, равная корню из дисперсии практически достоверно то, что нормально распределенная величина примет значение, отличающееся от её математического ожидания по модулю не более чем на 3  , иначе говоря, «практически невозможно» появление значения, выходящего за пределы этого интервала оценка, которая при увеличении объема выборки сходится по вероятности к истинному значению параметра оценка, математическое ожидание которой по всевозможным выборкам данного объема равняется истинному значению определяемого параметра метод получения оценок параметров, который состоит в том, что если оцениваемый параметр распределения, является функцией от моментов распределения (в самом простом случае сам является моментом), то в эту функцию подставляются эмпирические значения моментов и полученное значение берется в качестве оценки для параметра (например, оценкой для математического ожидания является x – эмпирический первый начальный момент, оценкой для дисперсии S 2 – эмпирический второй центральный момент) интервал, накрывающий значение оцениваемого параметра с вероятностью  (  -доверительная вероятность) 38 доверия Критическая область 39 Уровень значимости 40 Область допустимых значений Критические значения 41 42 область, при попадании в которую значения статистики критерия, сосчитанной по выборке, основная гипотеза отвергается. В случае, когда проверка гипотезы осуществляется с помощью доверительного интервала, уровень значимости и доверительная вероятность интервала  связаны соотношением   1   вероятность  попадания в критическую область, в случае, если основная гипотеза истинна дополнение критической области точки, разделяющие критическую область и область допустимых значений Распределение Стьюдента распределение случайной величины с степенями свободы   t  , 1 2 1 n 2 · · n n n i 1 i где 43 Квантиль уровня величины, имеющей плотность распределения  , 1 ,...,  – n независимые, стандартные нормальные случайные величины. При n >20 практически неотличимо от N (0,1) значение u p – верхняя граница интервала, в который с заданной вероятностью попадает случайная величина, т.е. это u p – корень решения уравнения up  f(x)dx = p - 44 Ошибка первого рода 45 Ошибка второго рода 46 Мощность критерия ошибка  , которую совершают, отвергнув основную гипотезу, когда она истинна ошибка  , которую совершают, приняв основную гипотезу, когда она ложна вероятность (1   ) не допустить ошибку 2-го рода, т.е. отвергнуть гипотезу H 0 , когда она неверна (это вероятность 47 Функция правдоподобия попадания критерия в критическую область при условии, что верна конкурирующая гипотеза) плотность вероятности (в дискретной модели просто вероятность) совместного появления результатов выборки x1 , x 2 ,..., x n 48 Метод максимального правдоподобия метод, который состоит в том, что в качестве оценки неизвестного параметра  , принимается такое значение  n , при котором плотность вероятности (в дискретной модели просто вероятность) совместного появления результатов выборки x1 , x 2 ,..., x n максимальна (в котором функция правдоподобия 49 Отношение вероятностей достигает максимума) (отношение функций правдоподобия для конкурирующих n гипотез) для испытаний: Ln   f(x i , a1 ) i=1 n  f(x i , a 0 ) i=1 50 Метод последовательного анализа метод, который состоит в том, что необходимое число наблюдений не фиксируется заранее, а определяется в процессе эксперимента; область значений в – мерном пространстве делится на три части: критическую для гипотезы H 0 (ее вероятность при условии, что гипотезы H1 верна (ее гипотеза H 0   ), вероятность при критическую условии, что для верна гипотеза H1   ) и область неопределенности. Эксперимент продолжается, пока выборочное значение, значения не попадут в одну из критических областей – или критическую для гипотезы H 0 , или критическую для гипотезы H1