Элементы векторной алгебры: векторы, скаляры

Чернышева Л.Р. ИжГТУ Лекция 3. Элементы векторной алгебры. Содержание. 1. Понятие вектора, линейные операции над векторами. 2. Скалярное произведение векторов. 3. Векторное произведение векторов. 4. Смешанное произведение векторов. Понятие вектора, основные определения. Определение 1. Вектором называется направленный отрезок. характеризуется направлением и длинной. То есть вектор – величина, которая  Замечание. Вектор a  АВ , если точка А – начало вектора, точка В – конец вектора. Определение2. Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Замечание. Направление нулевого вектора не определяется (считается произвольным). Нуль-вектор будем обозначать 0. Определение3. Длиной (модулем, абсолютной величиной) вектора называется расстояние между его началом и  его концом. Обозначение: АВ , а . Естественно, 0  0 . Определение4. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или на параллельных прямых. Иными словами, векторы коллинеарны, если существует прямая, которой они параллельны. Коллинеарность обозначается символом параллельности: a || b . Нуль-вектор коллинеарен любому другому вектору, так как он не имеет определенного направления: a 0 || a . Ненулевые коллинеарные вектора, могут быть (a) сонаправленными (имеющими одинаковое направление), что мы будем обозначать a  b ; (б) противонаправленными (имеющими противоположное направление), что мы будем обозначать a  b . Замечание. Отметим очевидные свойства отношений сонаправленности и противонаправленности: a  b , b  c , 2. Если a  b , b  c , 3. Если a  b , b  c , 4. Если a  b , b  c , 1. Если то a  c ; то a  c ; то a  c ; то a  c . Определение 5. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Определение 6. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют равные длины. Определение 7. Ортом, или единичным вектором, называется вектор, длина которого равна единице. Определение 8. Ортом вектора a называется единичный вектор, сонаправленный с вектором a . Орт вектора a о будем обозначать a . 1 Чернышева Л.Р. ИжГТУ Определение 9. Углом между ненулевыми векторами называется угол между прямыми, на которых расположены данные векторы. Определение 10 . Векторы, лежащие на перпендикулярных прямых, называются ортогональными. Определение 11. Вектор, имеющий одинаковый модуль с вектором a и противонаправленный ему, будем называть противоположным вектору a и обозначать a . Если a  AB , то a  BA . Линейные операции над векторами. Определение 12. Линейными операциями над векторами назовем операции сложения двух векторов и умножения вектора на скаляр (число). b Правила сложения векторов. a a b а) Правило треугольника (Рис. 1.1) b прикладывается к концу вектора a . Тогда сумма векторов a  b будет вектор, идущий из начала вектора a в конец вектора b . Вектор Рис. 1.1 b б) Правило параллелограмма (Рис. 1.2) a и b параллелограмм. Тогда суммой векторов a  b будет диагональ параллелограмма, выходящая из общего начала векторов a и b . Строим на векторах Замечание. Правило треугольника легко распространить на случай большего количества суммируемых векторов. В этом случае это правило называется правилом многоугольника (Рис. 1.3 ). Обозначим множество свободных векторов через V . a a b a3 Рис. 1.2 a2 a1 an 1.2.4. Теорема. (Свойства операции сложения векторов) 1. a , b V 2. a , b , c V a1  a2  a3  ...  an a  b  b  a a , b (коммутативность); a  b   c  a  b  c  Рис. 1.3 (ассоциативность); a 0 a; a V 4. a V   a  a   a   0 . 3. B a b  a двух векторов a и b назовем вектор c , a c b. C b a a b Определение. Разностью для которого Правило параллелограмма вычитания векторов. A b  a двух векторов a и b является вектор c , идущий из конца второго вектора a в конец первого вектора b (Рис. 1.6). D b Рис. 1.4 Разностью векторов Замечание. Очевидно, что b  a  b   a  . Определение. Произведением вектора называется вектор b a a b a на действительное число   b , удовлетворяющий следующим условиям: 2 Рис. 1.6 Чернышева Л.Р. 1. b   a ИжГТУ ; 2. b || a ; 3. b  a при   0 и b  a при   0 . Замечание. Чтобы два вектора a и b были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовало действительное число  , такое что b   a . Свойства операции умножения вектора на число 1.  ,   2.  ,   3.   a V    a     a a V     a  a   a  4. a V 5. a V 1 a  a ;  1  a  a ; a V 7.   0a  0;  0  0. 6.  a , b V  a  b   a   b Замечание. Отметим, что орт вектора aо  (ассоциативность); (дистрибутивность относительно суммы скаляров); (дистрибутивность относительно суммы векторов); 1 a. a Ортогональная проекция вектора на ось. Определение. Осью будем называть прямую, на которой заданы начало отсчета, масштаб (единица длины) и положительное направление. Определение. Ортогональной проекцией вектора AB на ось l называется число, равное длине отрезка A1B1, где A1 и B1  основания D перпендикуляров, опущенных из концов вектора AB на направление l, взятое со знаком плюс, если направление вектора A1B1 совпадает с A C направлением l и со знаком минус, если направление вектора A1B1 противоположно направлению l. Замечание. B1 A1 Проекцию вектора AB на ось l будем обозначать прl AB . Например, на D1 C1 Рис. 1.7 Рис. 1.7 прl AB   A1 B1  0 , прl CD   C1D1  0 . Свойства ортогональной проекции вектора на ось. 1. Проекция вектора на направление равна произведению его длины на косинус угла между вектором и положительным направлением оси: прl AB  AB  cos  , где      AB , l . 2. Проекция суммы векторов на направление l равна сумме проекций слагаемых на это направление:   прl a  b  прl a  прl b . 3. Проекция произведения вектора a на число на направление l равна произведению этого числа на проекцию вектора a на это направление: прl  a    прl a . 3 l Чернышева Л.Р. ИжГТУ Декартовая система координат. Определение. Координатами вектора a называются его ортогональные проекции на координатные оси, заданные соответствующими ортами i , j , k .   Таким образом, a  ax , a y , az , где ax  прi a , ay  пр j a, az  прk a . Скалярное произведение двух векторов. Определение. Скалярным произведением векторов произведению длин векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов a и b называется действительное число, равное a и b обозначается a  b .    a , b  a  b  a  b  cos(a , b ) . Свойства скалярного произведения двух векторов. a b  b  a ; 2 2. a  a  a (скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины); 1. 3. a  b  a Пр a b  b Прb a ;   4. a  b  c  a  c  b  c ; 5.  a   b  a   b     a  b  ; a 0  0 ; 7. если a  b , то a  b  0 ; 8. если a  b  0 , то либо хотя бы один из векторов a и b равен нулю, либо a  b . 9. i  i  j  j  k  k  1, i  j  i  k  j  i  0 6. Механический смысл скалярного произведения заключается в следующем: если материальная точка под воздействием силы F перемещается на вектор s , то совершаемая этой силой работа равна скалярному произведению F на s : A  F s . Теорема. Скалярное произведение двух векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат. Пусть даны координаты векторов a  ax i  a y j  az k   ax , a y , a z  , Тогда b  bx i  by j  bz k   bx , by , bz  . a  b  axbx  a y by  az bz . Следствие 1. (Вычисление длины вектора). a  a  a  ax2  a y2  az2 Следствие 2. (Вычисление координат орта вектора) 4 Чернышева Л.Р. ay a ax az a0   i j k. a a x2  a 2y  az2 a x2  a 2y  az2 a x2  a 2y  az2 ИжГТУ Вычисление проекции вектора на ось Прb a  a b  axbx  a y by  az bz bx2  by2  bz2 b . Вычисление угла между векторами.  cos(a, b )  a b ab axbx  a y by  az bz  ax2  a y2  az2 bx2  by2  bz2   a x bx  a y by  a z bz (a , b )  arccos  2  a x  a 2y  a z2 bx2  by2  bz2  ,  .   Определение. Косинусы углов, которые вектор (отличный от нуля) образует с векторами координатных осей, называются направляющими косинусами.  cos   cos(a, i )   ax a a a 2 x 2 y 2 z , cos   cos(a, j )   ay a a a 2 x 2 y 2 z , cos   cos(a, k )  az a  a y2  az2 2 x . Замечание 1. Направляющие косинусы удовлетворяют соотношению cos 2   cos 2   cos 2   1 . Замечание 2. Из полученных выражений для направляющих косинусов видно, что они совпадают с координатами орта вектора. aо  a ax i  a y j  az k   cos   i  cos   j  cos   k . a ax2  a y2  az2 Векторное произведение двух векторов. Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если при приведении этих векторов к общему началу ближайший поворот от первого вектора ко второму виден с конца третьего вектора совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой. Например, на Рис. 1.8. показана правая тройка векторов a1 , a2 , a3 . a3 a2 Замечание 1. a1 Цикличная перестановка векторов не меняет ориентации тройки; (то есть после цикличной перестановки она остается либо правой, либо левой). Замечание 2. Тройки компланарных векторов не относят ни к правым, ни к левым. Замечание 3. 5 Рис. 1.8 Чернышева Л.Р. ИжГТУ Стандартный ортонормированный базис i , j , k пространства V3 задается правой тройкой ортов. Определение. Векторным произведением векторов определяются следующими условиями: a и b называется вектор c , длина и направление которого  1. c  a  b  sin(a , b ) ; 2 c  a, c  b ; 3. a , b , c - правая тройка (если векторы a и b не коллинеарны). Векторное произведение векторов a и b обозначается  a , b  или a  b . Механический смысл векторного произведения двух векторов. Если к точке А приложена сила   F F , то момент этой силы относительно точки О равен M O F  OA  F (Рис. 1.9). О А Свойства векторного произведения двух векторов. Рис. 1.9 a  b  b  a ; (антикоммутативность) 2. a  a  0 ; 3. a  b  0  a || b ; 1. a 0  0; 5.  a   b  a   b   a  b ; 4.      b a b a  b a 6. a  b  c  a  c  b  c . Рис. 1.10 7. i  j  k , j  k  i , k  i  j , j  i  k , k  j  i , i  k   j 8. Длина векторного произведения векторов a и b равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Sпар  ма  a  b Теорема. Пусть даны координаты векторов a  ax i  a y j  az k   ax , a y , a z  , Тогда b  bx i  by j  bz k   bx , by , bz  . i j k a  b  ax a y az . bx by bz i j k a y az ax a y  a y az ax az ax az a x a y a  b  ax a y az  i j k  ;  ;  by bz by bz bx bz bx by b b bx by x z  bx by bz 6  .   Чернышева Л.Р. ИжГТУ Смешанное произведение трех векторов. Определение. Смешанным произведением трех векторов называется число, равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов на третий вектор. Смешанное произведение векторов a , b , c обозначается abc . abc   a  b   c Теорема. (Геометрический смысл смешанного произведения трех векторов). Модуль смешанного произведения векторов a , b , c равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Смешанное произведение положительно, если тройка векторов a , b , c – правая, и отрицательно, если эта тройка – левая (если векторы a , b , c компланарны, то их смешанное произведение равно нулю). Vпар  abc . a b h  c  cos c b Следствие. Объем тетраэдра, построенного на трех векторах, равен одной шестой модуля их смешанного произведения Vтетр Рис. 1.11 1  abc . 6 a Свойства смешанного произведения. 1.  a  b   c  a   b  c   abc 2. Критерий компланарности трех векторов: для того, чтобы три вектора были компланарными, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю; abc  cab  bca  bac  cba  acb ; 4.  a  bc  a  b c  ab  c    abc ; 3.     5. (a  b )cd  acd  bcd ; 6. Если один из трех сомножителей равен нулевому вектору, то их смешанное произведение равно нулю a  0 или b  0 или c  0  abc  0 ; Теорема. Смешанное произведение трех векторов равно определителю, строками которого являются координаты этих векторов. Пусть векторы a , b и c имеют в координаты в ортонормированном базисе a  ax i  a y j  az k   ax , a y , az  , b  bx i  by j  bz k   bx , by , bz  , c  cx i  c y j  c z k   c x , c y , сz  . ax a y az Тогда abc  bx by bz . cx c y cz 7