Элементы теории множеств

Дискретная математика Элементы теории множеств ПРЕПОДАВАТЕЛЬ: ШИЛОВА З.В. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ ЛЕКЦИЯ 1 § 1. МНОЖЕСТВО Эта глава, по существу, служит развернутым словарем для всех остальных глав. Любое понятие дискретной математики можно определить с помощью понятия множества. Понятие «множество» относится к исходным понятиям математической теории и не является строго определяемым. Его синонимами являются «совокупность», «семейство», «класс», «система», «собрание» и др. Георг Кантор (1845–1918), немецкий математик, создатель теории множеств, дал такое определение: «под множеством понимают объединение в одно общее объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью». «Множество есть многое, мыслимое нами как единое» Основатель теории множеств Георг Кантор множество столов в комнате; множество всех атомов на Марсе; множество всех рыб в океане; множество футболистов команды «Звезда» множество всех футбольных команд В математике множество точек (например, окружности), множество всех решений уравнения sinx=0,5 Для числовых множеств будем использовать следующие обозначения: N – множество натуральных чисел Z – множество целых чисел Q – множество рациональных чисел R – множество действительных чисел C – множество комплексных чисел N Z Q R Объекты, составляющие данное множество, называют его элементами. При этом никаких ограничений на природу элементов множества не накладывается. Предполагается только, что для любых двух элементов данного множества имеется возможность выяснить, различны они или одинаковы. Множество называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов, и бесконечным — в противоположном случае. Множество, не содержащее ни одного элемента называется пустым и обозначается ‐ ∅. Cпособы задания множеств полный список (полный перечень) элементов А = {a1, … , an}. задание с помощью характеристического свойства множества А, A = {x| P(x)} или A = {x: P(x)}. порождающая процедура. A = {n | for n from 1 to 10 yield n} Определение 1.1. Пусть А и В – непустые множества. Если каждый элемент множества А является вместе с тем и элементом множества В, то говорят что А – подмножество множества В (или А содержится в В, или В содержит А, или А включено в В) и обозначают А  В. По определению пустое множество  есть подмножество любого множества В, в том числе и пустого. Например, выполняются следующие включения для рассмотренных выше числовых множеств: NZQRC Определение 1.2. Пусть А и В – два множества. Множества А и В называются равными, если каждый элемент множества А является вместе с тем и элементом множества В, и обратно, каждый элемент множества В является и элементом множества А. Другими словами, множества А и В называются равными, если выполняются два включения: А  В и В  А. Докажем, что пустое множество единственно. Действительно, пусть 1 и 2 – два пустых множества. Так как для любого множества А имеем, что   А, то взяв в качестве А множество 1, получим 2  1, а взяв в качестве А множество 2, получим 1  2. Отсюда 1 = 2. Если А  В и А ≠ В, то А называют собственным подмножеством множества В и обозначают А  В. Введенное отношение  называется отношением строго включения. Например, N  Z  Q  R  C. Определение 1.3. Пусть А – непустое множество. Совокупность всех подмножеств множества А обозначим через Б(А) и будем называть булеаном множества А. Ясно, что   Р(А) и А  Р(А). Например, если А = {a, b}, то Б(А) = {, {a}, {b}, А}. Число элементов конечного множества А будем называть его мощностью и обозначать А. Пусть, например, А = n, тогда мощность Б(А) = 2n. §2. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ Во всех рассуждениях о нескольких множествах будем предполагать, что они являются подмножествами некоторого фиксированного множества, которое назовем универсальным, универсумом или пространством и будем обозначать:U (или E). Определение 2.1. Пересечением множеств А и В называется множество, обозначаемое А∩В и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству А так и множеству В. Это определение символически можно записать так: А∩В = {x x  A  x  B}. Примеры: • {1,2,5}∩{1,5,6} = {1,5}; • {1,3}∩{2,4,5} = . Определение 2.2. Объединением множеств А и В называется множество, обозначаемое АВ и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В. Это определение символически можно записать так: АВ = {x x  A  x  B}. Пример: {1,2}{2,3,4,5} = {1,2,3,4,5}. Определение 2.3. Разностью множеств А и В называется множество, обозначаемое А\В и состоящее из элементов, принадлежащих множеству А и не принадлежащих множеству В. Это определение символически можно записать так: А\В = {x x  A  x  B}. Пример: Если А – множество всех действительных чисел, В – множество всех рациональных чисел, то А\В – множество всех иррациональных чисел. Определение 2.4. Пусть А – подмножество множества U. Дополнением множества А в множестве U называют множество, состоящее из всех тех и только тех элементов из U, которые не принадлежат ഥ. А, и обозначают А Это определение символически можно записать так: ഥ = {x x  U  x  А}. А Примеры: • если U – множество всех целых чисел, А ഥ – множество множество всех четных чисел, то А всех нечетных чисел. • если U– множество всех людей, А – множество ഥ – множество всех женщин. всех мужчин, то А Определение 2.5. Симметрической разностью множеств А и В называют множество, обозначаемое АВ и состоящее из элементов, принадлежащих множеству А или множеству В не принадлежащих множеству А∩В. Это определение символически можно записать так: АВ = { x x  А  x  В  x  А∩В }. Замечание. Симметрическую разность множеств А и В называют иногда кольцевой суммой и обозначают АВ. Введенные операции объединения, пересечения, разности и симметрической разности являются двуместными. Операция дополнения является одноместной. Рассмотренные операции над множествами допускают очень наглядное графическое истолкование с помощью так называемых кругов Эйлера (или диаграмм Венна). k Леонард Эйлер — швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук. U U А В А b) А∩В а) АВ U U В А c) А\В В U А А ഥ d) А e) АВ В §3. АЛГЕБРА ПОДМНОЖЕСТВ Пусть Б(Е) - совокупность всех подмножеств множества Е. Б(Е) замкнуто относительно операций объединения, пересечения и дополнения множеств, т.е. производя эти операции над элементами множества Б(Е), получаем элементы, принадлежащие Б(Е). Множество Б(Е) с введенными операциями объединения, пересечения и дополнения называют булевой алгеброй подмножеств множества Е. Подобно тому, как сложение и умножение чисел удовлетворяют известным законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности, операции объединения, пересечения и дополнения в алгебре подмножеств подчинены аналогичным законам, а также ряду других. Замечание. Формальное изучение этих законов восходит к английскому математику Дж. Булю (18151864). 1) A  A; 2) A B  B A;  3) A  B  B A; 4) 5) 6) 7) A B  С  A B С; A B  С  A B С; A  B C   A B  A C ;  A  B C   A B  A C ; 8) A B  A  B;  9) A  B  A  B; 10) A  A  A;  11) A  A  A; 12) 13) A  E  A; A    A; 14) A  A  E; 15) A  A  . 16) 17) A A B   A  A A B   A Универсальным методом доказательства вышеприведенных равенств является доказательство, основанное на определении равенств двух множеств. Например, чтобы доказать 7), достаточно проверить два включения: 7а) А(В∩С)(АВ)∩(АС); 7б) (АВ)∩(АС)А(В∩С). Доказательство 7а Пусть xA(B∩C). Тогда xA, или x B∩C. Если x  A, то x  AB и x  АС, а следовательно, x является элементом пересечения этих множеств. Если x B∩C, то x B и x  С. Значит, x  AB и x  АС, так что и в этом случае x есть элемент их пересечения. Доказательство 7б Пусть x  (АВ)∩(АС). Тогда x  AB и x  АС. Следовательно, x  A или же x B и x  С. Из этого вытекает, что x  А(В∩С). А(ВС) (АВ)(АС) §4. Декартово произведение множест Декартовым произведением непустых множеств А и В называется совокупность всех упорядоченных пар вида (а, b), где а  А, b  В. АВ = {( а, b) а  А, b  В } Если хотя бы одно из множеств А или В пусто, то их декартовым произведением будем называть пустое множество. Пусть, например, А = {a1, a2}, В = {b1, b2, b3}. Тогда А×В = {(a1, b1); (a1, b2); (a1, b3); (a2, b1); (a2, b2); (a2, b3)}. Если А = В, то А × В называют декартовым квадратом множества А и обозначают А2. Пусть, например, А = {a1, a2}. Тогда А2 = {(a1, a1); (a1, a2); (a2, a1); (a2, a2)}. §5. Бинарные отношения Определение 5.1. Бинарным отношением, определенным на паре множеств А и В, называется любое подмножество их декартова произведения А × В. Пусть А = {a1,a2}, B = {b1, b2} . Выпишем все бинарные отношения, определенные на паре множеств А, В, т.е. все подмножества множества АВ. Их число равно 24 = 16: R1 = ; R2 ={( a1, b1 )}; R3 ={( a2, b2 )}; R4 ={( a2, b1 )}; R5 ={( a2, b2 )}; R6 ={( a1, b1 ), ( a1, b2 )}; R7 ={( a1, b1 ), ( a2, b1 )}; R8 ={( a1, b1 ), ( a2, b2 )}; R9 ={( a1, b2 ), ( a2, b1 )}; R10 ={( a1, b2 ), ( a2, b2 )}; R11 ={( a2, b1 ), ( a2, b2 )}; R12 ={( a1, b1 ), ( a1, b2 ), ( a2, b1 )}; R13 ={( a1, b1 ), ( a1, b2 ), ( a2, b2 )}; R14 ={( a1, b1 ), ( a2, b1 ), ( a2, b2 )}; R15 ={( a1, b2 ), ( a2, b1 ), ( a2, b2 )}; R16 = АВ. Пусть R — бинарное отношение, определенное на паре множеств А, В. Областью определения отношения R называется совокупность всех таких а, что хотя бы для одного b пара (a,b) принадлежит А × В . Областью значений отношения R называют множество всех таких b, что хотя бы для одного элемента а пара (a,b) принадлежит А × В . Область определения бинарного отношения {(2, 1), (2, 4), (3, 3), (3, 7)} — множество {2, 3}, а область значений — {1, 3, 4, 7}. Пусть А ={1, 2, 3}, В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Следующее подмножество множества А × В {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6); (1, 7); (2, 2); (2, 4); (2, 6); (3, 3); (3, 6)} может быть задано короче (словесно) как отношение «а является делителем b». Область определения этого отношения совпадает с А, а область значений - с В. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ a 1 b 3 b P2 P1 c 2 A B a c § 6. N - арные отношения Декартовым произведением непустых множеств А1, …, Аn называется совокупность всех n-ок вида (а1, …, аn), где аi  Аi (i = 1, …, n), и обозначается А1  …  Аn. Если хотя бы одно из множеств А1, …, Аn пустое, то декартовым произведением множеств А1, …, Аn будем называть пустое множество. Другими словами, А1  …  Аn = {(а1 , …, а𝑛 ) а𝑖  А𝑖 , I = 1, …, n }. Если А1 = … = Аn, то А1  …  Аn называют n-й декартовой степенью множества А и обозначают Аn. Примеры: 1. Пусть, например, А= {а,b,с}, В={с,d}, C={1,2}. Тогда А×В×С = {(а,с,1), (а,d,1), (а,с,2), (а,d,2), (b,с,1), (b,d,1), (b,с,2), (b,d,2), (с,с,1), ( с,d,1), (с,с,2), (с,с,2)}. 2.Пусть Е= {0,1}, тогда E3 ={(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)}. Пусть A1, …, An — непустые множества. Всякое подмножество R их декартова произведения А1×…×An называется n-арным отношением, определенным на системе множеств A1, …, An. Пример Пусть: А – множество дней сессии, В = {8-00,14-00}, С - множество аудиторий ИрГТУ, D - множество учебных групп ИрГТУ, Е - множество учебных дисциплин, изучаемых в ИрГТУ, X - множество преподавателей ИрГТУ. Тогда расписание экзаменов – 6-арное отношение, определенное на множестве A×B×C×D×E×X. § 7. Специальные бинарные отношения Определение 7.1. Пусть А – произвольное множество. Множество АА называют универсальным отношением, определенным на множестве А; любая пара (а1, а2), где а1, а2  А, находится в этом отношении, поэтому его называют иногда всюду истинным отношением. Определение 7.2. Пусть Р – бинарное отношение на множестве А: Р  А2. Отношение Р называется тождественным или диагональю, если Р = (а, а), где а  А, и обозначается еА или idA. Определение 7.3. Пусть Р – бинарное отношение на множестве А: P  А2. Отношение Р называется: 1. рефлексивным, если (x, x)  Р для всех х  А. 2. симметричным, если для любых х, у  А из (х, у)  Р следует (у, х)  Р, т.е. Р-1 = Р, 3. антисимметричным, если из (х, у)  Р и (у, х)  Р следует х=у, т.е. Р∩Р-1  idA. 4. транзитивным, если из (х, у)  Р и (у, z)  Р следует (x, z)  Р, т.е. РР  Р. Отметим, что антисимметричность не совпадает с несимметричностью. Примеры: Отношение Р = {(1,2), (2,3), (3,2)} на множестве А = {1,2,3} не симметрично. Тождественное отношение idА является одновременно симметричным и антисимметричным. Отношение ≤ на множестве R , а также отношение включения подмножеств некоторого множества являются рефлексивными и транзитивными, но не являются симметричными. Отношение < на множестве действительных чисел транзитивно, но не рефлексивно, не симметрично. Отношение «х является матерью у» не рефлексивно, не симметрично, не транзитивно.