Элементы операционных исчислений

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" ___________________________________________________________________________________________ ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННЫХ ИСЧИСЛЕНИЙ Учебное пособие Издательство ТПУ Томск 2006 УДК 517 Б 43 Б 43 Беломестных Л.А., Имас О.Н., Кан Л.А., Новоселова Г.П. Элементы операционных исчислений: учебное пособие. – Томск: Изд-во ТПУ, 2006. – 80 с. Работа состоит из семи параграфов. В первом параграфе даны теоретические обоснования преобразований Лапласа. Во втором – его основные свойства, иллюстрированные примерами применения этих свойств. Третий параграф посвящен практическим вопросам нахождения оригиналов и изображений. В четвертом параграфе подробно разобраны методы решения систем дифференциальных уравнений методами операционного исчисления. В параграфе 4 разобраны примеры решения основных типовых задач. В пятом параграфе приводятся основные сведения о пркобразовании Фурье, как пример одного из многих других интегральных преобразвоаний. В параграфе 6 даны теоретические обоснования возникновения дискретных Z- и D-преобразований, а также их свойства. В конце параграфа приведены примеры использования дискретных преобравзоаний при решении профессиональных задач – задач теории систем. В конце приведен список рекомендуемой литературы. Учебное пособие предназначено для студентов инженерных специальностей дневной формы обучения. УДК 517 Рекомендовано к печати Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета Рецензенты Доктор физ.-мат. наук, профессор ТГУ С.П. Гулько Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры теории функций ТГУ Т.Е. Хмылева © Томский политехнический университет, 2006 © Оформление. Издательство ТПУ, 2006 2 Введение Возникновение операционного исчисления как самостоятельного раздела в математике относится к концу 19 века, хотя истоки операционного исчисления имеются уже в классических работах Лейбница, Д.Бернулли, Лагранжа, Эйлера, Фурье, Пуассона, Коши. Сущность операционного исчисления состоит в том, что d оператор дифференцирования рассматривается как алгебраическая dt величина, благодаря чему можно с ним производить действия, как с обычными числами. Методы операционного исчисления являются весьма эффективными методами прикладного математического анализа, которые позволяют во многих случаях посредством простых правил решать сложные задачи в различных областях современного естествознания. Эти методы были успешно применены в математической физике, в теории специальных функций, при вычислении интегралов и суммировании функциональных рядов, в некоторых проблемах теории чисел и т.д. Особенно большое значение операционные методы имеют в таких отраслях науки и техники, как автоматика и телемеханика, теория следящих систем, теория регулирования. Успешно применяется операционное исчисление при решении задач механики, электротехники, радиотехники, теплопередачи, теории систем и др. С целью решения дифференциальных уравнений с данными начальными условиями английский инженер-физик О. Хевисайд (1850−1925 гг.) рассматривал операционное исчисление для функций, определённых на полупрямой, и решил многие прикладные задачи, не заботясь об обосновании применяемых методов. Впервые строгое обоснование операционного исчисления было дано с помощью интегрального преобразования Лапласа (Б. Бромвич, Д. Карсон, П. Леви, Ван-дер-Поль и др.) Первые два параграфа настоящего пособия можно использовать студентам, знающим раздел «Дифференциальные уравнения», а третий параграф − усвоившим ещё и раздел «Ряды» курса высшей математики. Таблица соответствия оригиналов и изображений содержит интересные формулы и помещена в конце пособия. 3 § 1. Оригинал и изображение I. Определения оригинала и изображения Будем рассматривать комплексную функцию действительного (вещественного) аргумента t : f (t ) = u (t ) + iv (t ) Определение 1.1. Функцию f ( t ) , удовлетворяющую следующим условиям: 1) f ( t ) и f ' ( t ) или всюду непрерывны, или имеют на любом конечном промежутке лишь конечное число точек разрыва первого рода; 2) f ( t ) =0 для всех точек t < 0 ; 3) f ( t ) возрастает не быстрее показательной функции, т.е. существуют такие числа M > 0 и s0 ≥ 0 , для которых f ( t ) ≤ Me s 0 t , s0 – показатель роста функции f ( t ) , называют начальной функцией или оригиналом. ⎧⎪ 0, t < 0 f t = ( ) ⎨ (5 − 4 i ) t Примеры: 1) можно ли функцию назвать ,t >0 ⎩⎪ e оригиналом? Очевидно, она непрерывна всюду, кроме значения t = 0 (как и её производная), при t < 0 f (t ) = 0, f (t ) = e 5t , следовательно, для этой функции M = 1, s0 = 5 . Поэтому данная функция – оригинал. ⎧0, t < 0 – так же оригинал, функция непрерывна, 2) f (t ) = ⎨ 3 2 t , t ≥ ⎩ при значениях t < 0 обращается в нуль, а для t ≥ 0 может быть представлена в виде: 2t 3 = 2e 3 ln t < 2e 3t , т.е. для неё M = 2, s0 = 3 . ⎧0, t < 0 ⎪ – не оригинал, так как в точке t = 3 3) f (t ) = ⎨ 1 , t ≥ ⎪⎩ t − 3 функция терпит разрыв второго рода. Простейшая функция – оригинал, так называемая единичная функция η (t ) (функция Хевисайда η(t ) рис.1.1), определяется следующим 1 образом ⎧0, t < 0 ⎩1, t ≥ 0 Рис. 1.1. η (t ) = ⎨ 4 t Будем пользоваться этой функцией в дальнейшем. Пусть некоторая функция ϕ (t ) удовлетворяет условиям 1) и 3) определения 1.1, но не удовлетворяет условию 2), т.е. ϕ (t ) ≠ 0 для значений t < 0 . Умножив эту функцию на η (t ) , мы «гасим» ϕ (t ) для значений t < 0 и не изменяем её для значений t ≥ 0 . Таким образом, произведение ⎪⎧0, t < 0 η (t ) ⋅ϕ (t ) = ⎨ – оригинал. ⎪⎩ϕ ( t ) , t ≥ 0 Пользуясь единичной функцией, можно сделать оригиналами λt и др. такие известные функции, как sin t , cos t , cht , sht , e Действительно, легко проверить, что, например, функция ⎧0, t < 0 η ( t ) ⋅ sin t = ⎨ ⎩sin t , t ≥ 0 будет оригиналом, порядок роста которого M = 1, s0 = 0 , так как sin t ≤ 1 , t – вещественная переменная. Сущность операционного метода заключается в замене оригинала f (t ) такой функцией F ( p ) , при которой операция дифференцирования и интегрирования над оригиналом заменяется алгебраическими операциями над функцией F ( p ) . Здесь p – комплексная переменная величина: p = s + iτ . Такую функцию F ( p ) называют изображением функции f ( t ) и обозначают одним из следующих выражений f ( t ) ≓ F ( p ) , f ( t ) → F ( p ) , L { f ( t )} = F ( p ) Для перехода от оригинала к изображению (и для обратного перехода) надо знать свойства оригиналов и изображений. Зная эти свойства, мы составим таблицу-каталог, с помощью которого можно совершать указанный переход. Определение 1.2. Изображением оригинала f ( t ) называется функция F ( p ) , связанная с оригиналом равенством: F ( p) = ∞ ∫ f ( t)⋅ e − pt dt , (1.1) где p = s + iτ , путем интегрирования является вещественная положительная полуось. 5 Интеграл в формуле (1) называют интегралом Лапласа для функции f ( t ) , переход от оригинала f ( t ) к изображению F ( p ) – преобразованием Лапласа, а теорию преобразований Лапласа – операционным исчислением. II. Условия существования изображения Пусть функция f ( t ) является оригиналом. В какой области комплексной плоскости P существует изображение этого оригинала? Иначе говоря, в какой области плоскости P интеграл Лапласа (1.1) сходится. Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема существования. Теорема 1.1. Если оригинал f ( t ) имеет порядок роста s0 , то изображение этого оригинала F ( p ) существует для всех p , для которых Re p = s > s0 , и является при этом условии аналитической функцией. В теореме утверждается, что интеграл Лапласа сходится, и F ( p ) является аналитической функцией в области, расположенной в комплексной плоскости P справа от прямой s = s0 (рис.1.2). Сходимость интеграла Лапласа, 0 s0 s как следует из теоремы, определяется Рис. 1.2. величиной Re p = s и не зависит от Im p = τ . Докажем существование функции F ( p ) . Пусть Re p = s > s0 . Оценим модуль интеграла Лапласа при этом условии: ∞ ∫ f (t ) ⋅ e − pt ∞ dt ≤ ∫ e − pt ⋅ f ( t ) dt . По свойству показательной функции e − pt = e − st , и ∞ ∫ f (t ) ⋅ e − pt ∞ dt ≤ ∫ e− st ⋅ Me s0 t dt , то есть, модуль интеграла Лапласа можно оценить следующим выражением: ∞ ∞ − ( s − s0 )t ∞ e M ( ) s s t − − − pt ∫ f (t ) ⋅ e dt ≤ M ∫ e 0 dt = − M s − s0 = s − s0 . 6 Так как модуль интеграла (1.1) оказался при значении s > s0 ограниченной величиной, то интеграл сходится, и функция F ( p ) существует. Замечание 1.1. Из доказанного неравенства ∞ M − pt (1.2) ∫ f (t ) ⋅ e dt ≤ s − s следует, что если p → ∞ так, что Re p = s → +∞ , то F ( p ) → 0 . M = 0 , отсюда в силу неравенства (1.2) Действительно lim s → ∞ s − s0 получаем требуемое. Замечание 1.2. В дальнейшем будем полагать Re p > s0 , т.е. рассматривать изображение F ( p ) лишь для тех p , для которых обеспечено существование этого изображения. В заключение параграфа приведём вывод двух наиболее часто встречающихся оригиналов. ⎧0, t < 0 1. Пусть f (t ) = η (t ) = ⎨ . 1 , t ≥ ⎩ Очевидно, что порядок роста этого оригинала s0 = 0 . Его изображением будет функция ∞ ∫ F ( p) ≓ 1 ⋅ e − pt e − pt dt = − p ∞ = 1 p при Re p > s0 = 0 . 1 1 или 1≓ . p p Замечание 1.3. Для записи соответствия оригинала f (t ) изображению F ( p ) используют знак « ≓ ». ⎧0, t < 0 2. Пусть f (t ) = η (t ) ⋅ e qt = ⎨ qt , q – комплексное число. e , t ≥ ⎩ Порядок роста оригинала f (t ) равен s0 = Re q . Его изображение Итак, η (t ) ≓ ∞ ∞ ∞ e − ( p − q )t 1 dt = = F ( p ) ≓ ∫ e ⋅ e dt = ∫ e p−q −( p − q) 0 в предположении, что Re( p − q ) > 0 , т.е. Re p > Re q = s0 . Замечание 1.4. Условимся в дальнейшем множитель η (t ) опускать и произведение η (t ) ⋅ f (t ) обозначать через f (t ) . Таким qt − pt − ( p − q )t 7 образом, оригинал η ( t ) e qt будем обозначать e qt , оригинал η ( t ) ⋅ cos t – 1 . через cos t и т.д. Итак, e qt ≓ p−q §2. Основные свойства преобразования Лапласа Пусть известны изображения оригиналов f (t ) и ϕ (t ) . Как найти изображения для функций 2 f (t ) , 2 f ( t ) − 3ϕ ( t ) , f ′( t ) , ∞ ∫ f (τ ) dτ ? Чтобы ответить на эти вопросы, необходимо изучать свойства преобразования Лапласа. I. Свойство линейности. Если f (t ) ≓ F ( p ) , ϕ (t ) ≓ Φ ( p ) и a, b – любые постоянные, то. af ( t ) + bϕ ( t ) ≓ aF ( p ) + bΦ ( p ) Доказательство этого свойства основано на определении 1.2 преобразования Лапласа и свойстве линейности определённого интеграла: ∞ ∞ ∞ a ⋅ f ( t ) + b ⋅ ϕ ( t ) ≓ ∫ [af (t ) + bϕ (t )] ⋅ e − pt dt = a ∫ f (t ) ⋅ e − pt dt + b ∫ ϕ (t ) ⋅ e − pt dt = = a ⋅ F ( p) + b ⋅Φ( p) . Пример 1. Пусть f ( t ) = sin α t . Найти изображение этого оригинала. Эту функцию с помощью формул Эйлера можно представить в виде: 1 α ti e − e − α ti . Изображение функции e qt известно. Пользуясь 2i свойством линейности, находим: 1⎡ 1 1 ⎤ 2iα α sin α t ≓ ⎢ − = = ⎥ 2i ⎣ p − α i p + α i ⎦ 2i p 2 + α 2 p2 − α 2 Точно также можно доказать, что p α p cos α t ≓ 2 ch α t sh α t , ≓ 2 , ≓ . p −α 2 p +α2 p2 − α 2 II. Свойство подобия Свойство подобия характеризует изменение масштаба вещественной переменной t при преобразовании Лапласа. Если f ( t ) ≓ F ( p ) , то для любого ω > 0 ( ) ( 8 ) f (ω t ) ≓ ⎛ p⎞ F⎜ ⎟ . ω ⎝ω ⎠ 1 ∞ Доказательство. Пусть f (ω t ) ≓ ∫ f (ω t ) ⋅ e − pt dt . Заменим ω t = τ , тогда f (ω t ) ≓ 1 ∞ f (τ ) ⋅ e ω 0∫ Предлагаем поразмышлять, требование ω > 0 ? p − τ ω где в ⎛ p⎞ F⎜ ⎟ . ω ⎝ω ⎠ доказательстве dτ = 1 использовано Пример 2. Найти изображение для f (t ) = sin 2 t . 1 Решение. Прежде всего, заменим f (t ) = sin 2 t = (1 − cos 2t ) , тогда 2 2 2 1 2 sin 2 t = (1 − cos 2t ) ≓ 1 1 − 1 p = 1 p + 4 − p = . 2 2 p 2 p 2 − 4 2 p ( p 2 − 4) p ( p 2 − 4) III. Дифференцирование оригинала Если f ( t ) ≓ F ( p ) , и f ' ( t ), f "( t ), K, f (n ) ( t ) – оригиналы, то f ′( t ) ≓ pF ( p ) − f (0) , f ′′( t ) ≓ p 2 F ( p ) − pf (0) − f ′(0) , f ( n ) ( t ) ≓ p n F ( p ) − p n −1 f (0) − p n − 2 f ′(0) − ... − f ( n −1) (0) . … (Здесь , под производной f (k ) (0) понимается lim f ( k ) (t ) ). t →+0 Доказательство. Найдём изображение для производной f ' (t ) : ∞ f ′(t ) ≓ ∫ f ′( t ) ⋅ e − pt dt Проинтегрируем интеграл справа по частям: f ′(t ) ≓ f (t ) ⋅ e − pt Так как ∞ − ( s − s0 ) t →0 ∞ + p ∫ f ( t ) ⋅ e − pt dt . предполагается, e− p t ⋅ f (t ) ≤ M ⋅ e f ( t ) ⋅ e − pt ∞ что при Re p = s > s 0 , стремлении = 0 − f (0 ) . Поэтому f ′(t ) ≓ pF ( p ) − f (0) . 9 t →∞, то т.е. f ′′(t ) = [ f ′(t )] ′ . Найдём изображение второй производной: Пользуясь полученным изображением для первой производной, находим f "( t ) ≓ p ⎡ pF ( p ) − f ( 0 ) ⎤ − f ' ( 0 ) = p 2 F ( p ) − pf ( 0 ) − f ' ( 0 ) , ⎣ ⎦ для f ′′′ ( t ) ≓ p ⎡ p2 F ( p) − pf ( 0) − f '( 0) ⎤ − f "( 0) = p3F ( p) − p2 f ( 0) − pf ' ( 0) − f "( 0) . ⎣ ⎦ В общем случае для n-ой производной: f( n) ( t ) ≓ p n F ( p ) − p n −1 f ( 0 ) − p n − 2 f ' ( 0 ) − K − f ( n − 1) ( 0 ) . В частном случае, если f (0) = 0 , то f ′(t ) ≓ pF ( p ) , т.е. операция дифференцирования оригинала f (t ) сводится к умножению изображения F ( p ) на p . Если же f (0 ) = f ' (0 ) = K = f (n −1) (0 ) = 0 , то f ( n) ( t ) ≓ p n F ( p) . Пример 3. Найти изображение для оригинала f (t ) = x '"−4 x"− x '−5 , если x (0) = 1 , x ' (0) = 0 , x" (0) = −1 и x (t ) = X ( p ) . Решение. Найдём изображение каждого слагаемого x '" ≓ p 3 X ( p ) − p 2 x ( 0 ) − px ' ( 0 ) − x " ( 0 ) = p 3 X − p 2 + 1 , x " ≓ p 2 X ( p ) − px ( 0 ) − x ' ( 0 ) = p 2 X − p , x ' ≓ pX ( p ) − x ( 0 ) = pX − 1, 5 = 5 ⋅ 1 5 = . p p Тогда f (t ) = x '"−4 x"− x '−5 ≓ X ( p 3 − 4 p 2 − p ) − p 2 + 4 p + 2 − 5 . p IV. Интегрирование оригинала t F ( p) . Если f (t ) ≓ F ( p ) , то ∫ f ( τ ) dτ ≓ p t Доказательство. Покажем, прежде всего, что ∫ f (τ ) dτ = ϕ ( t ) –– оригинал. Действительно, условие 1) определения 1.1 выполнено по свойству определённого интеграла – функция ϕ (t ) непрерывна всюду, где непрерывна функция f (t ) или имеет конечное число точек разрыва первого рода. Очевидно, что ϕ ( t ) = 0 при значениях t < 0 , так как f ( t ) = 0 при t < 0 . Кроме того, 10 ϕ (t ) = t t ∫ f (τ ) dτ ≤ ∫ f (τ ) dτ . В силу того, что f (t ) – оригинал, существуют M > 0 и s0 > 0 , для f (t ) ≤ M ⋅ e s0t ; которых тогда ϕ ( t ) ≤ M ⋅ e s0 t ⋅ t и или t ϕ ( t) ≤ M ⋅ e s0t ⋅ eln t ≤ M ⋅ e ( s 0 −1)t . ∫ f (τ ) dτ = ϕ ( t ) Итак, удовлетворяет всем требованиям, которые были функцию - оригинал. Найдём изображение этого оригинала. Пусть наложены на t ϕ (t ) = ∫ f (τ )dτ ≓ Φ ( p) . Очевидно, что ϕ ( 0) = 0 , и по свойству III ϕ ′( t ) ≓ p ⋅ Φ ( p) . F ( p) Но ϕ ' ( t ) = f ( t ) , поэтому f (t ) ≓ p ⋅ Φ ( p ) = F ( p ), Φ ( p ) = . p Операции интегрирования в пространстве оригиналов соответствует операция деления в пространстве изображений. t Пример 4. Найти изображение ∫ dτ . Решение. Здесь f ( t ) = 1, F ( p ) = t что ∫ dτ = t , заключаем: t≓ 2 1 t ≓ 3, 2 p t ∫ τ 2 2 dτ ≓ 1 p4 1 p 2 1 , поэтому p ∫ dτ ≓ F ( p) 1 = 2 . Отмечая, p p t . Продолжая, получаем ∫τ dτ ≓ 1 p3 или n 3 или t 1 1 t t ≓ 4 , …, ≓ n +1 . 2⋅3 p n! p V. Дифференцирование изображения Если F ( p ) ≓ f (t ) , то F ′( p ) ≓ (−t ) f ( t ) , F ′′( p ) ≓ (−t ) 2 f ( t ) , …, F ( n ) ( p) ≓ (−t ) n f ( t ) Доказательство. По теореме о производной от интеграла по параметру: 11 b b d ∂ϕ dt ϕ ( t , α ) dt = ∫ ∫ dα a ∂ α a ∂ϕ непрерывны при a ≤ t ≤ b, c ≤ α ≤ d . ∂α По определению преобразования Лапласа для ∀α ∈ [c, d ] , если ϕ ( t , α ) , ∞ F ( p) = ∫ e − pt ∞ ⋅ f ( t )dt , а F ′( p ) = ∫ (−t )e − pt ⋅ f ( t )dt . Дифференцированию в пространстве изображений соответствует операция умножения оригинала на аргумент с отрицательным знаком в пространстве оригиналов. Пример 5. Найти изображения функций e t , te t ,K, t n e t . 1 , по свойству V Решение. Известно, что et ≓ p −1 2 n! 1 2 t n t , , ≓ , …, ≓ . − te t ≓ − t e t e ( p − 1) 3 ( p − 1) n +1 ( p − 1) 2 Можно показать так же, что p2 − α 2 2 pα t ⋅ sin(α t ) ≓ , t ⋅ cos(α t ) ≓ . 2 2 2 2 2 2 p +α p +α ( ( ) ) VI. Интегрирование изображения f (t ) – оригинал, а интеграл Если f (t ) ≓ F ( p ) , t сходится, то ∞ ∫ F ( z ) dz p f (t ) ≓ ∫ F ( z ) dz . t p ∞ f (t ) f (t ) – оригинал, пусть ≓ Φ( p) . t t По свойству V f (t ) ≓– Φ ′( p) . Но f (t ) ≓ F ( p ) , поэтому F ( p ) = −Φ ' ( p ) Доказательство. Функция или d Φ = − F ( p ) dp . Имеется дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем его в пределах от значения p до значения η : η η p p ∫ dΦ = Φ(η ) − Φ( p) = − ∫ F ( z )dz . 12 Положим η → ∞ , тогда согласно замечанию 1.1 η ∞ p p lim Φ ( p ) = 0, lim ∫ F ( z ) dz = ∫ F ( z ) dz . η →∞ η →∞ Следовательно, Φ ( p ) = ∞ ∫ F ( z ) dz , но p f (t ) ≓ Φ ( p ) , поэтому t f (t ) ∞ ≓ ∫ F ( z ) dz . t p Это соответствие существует, если Re p > s1 > s0 , где s0 и s1 – f (t ) показатели роста функций f (t ) и соответственно. t Итак, операции деления на аргумент в пространстве оригиналов соответствует операция интегрирования в пределах от ρ до ∞ в пространстве изображений. t Пример 6. Найти изображения функции Решение. Известно, sin τ ∫ τ sin t ≓ что sin t ∞ d z π ≓∫ = − arctg( p) . По свойству IV 2 t 2 z + 1 p dτ . t sin τ ∫ τ 1 p2 + 1 , тогда 1 ⎛π ⎞ dτ ≓ ⎜ − arctg( p) ⎟ . p⎝ 2 ⎠ VII. Смещение в аргументе изображения Если f (t ) ≓ F ( p ) и α – комплексное число, то e −αt f (t ) ≓ F ( p + α ) . Доказательство. Применим преобразование Лапласа к оригиналу − αt e f (t ) : ∞ e −αt f ( t ) ≓ ∫ e −α t f (t ) ⋅ e − pt Показатель роста оригинала ∞ dt = ∫ f ( t ) ⋅ e − ( p +α )t dt = F ( p + α ) f (t ) есть s0 , а показателем роста оригинала e −αt f (t ) будет (s0 − Re α ) . В связи с этим утверждение VII справедливо, если Re p > (s0 − Re α ) или Re( p + α ) > s0 . Пример 7. Найти изображения функций eα t ⋅ cos( βt ) . 13 Известно, Решение. eα t ⋅ cos( β t ) ≓ sin β t ≓ β 2 p +β p −α ( p − α )2 + β 2 2 cos β t ≓ что , аналогично p 2 p + β2 из по свойству VII следует eα t ⋅ sin( β t ) ≓ , тогда соответствия β ( p − α )2 + β 2 . VIII. Смещение в аргументе оригинала (запаздывание) Если f ( t ) ≓ F ( p ) и f (t − a ) = 0 при значениях t < a , то для всякого a > 0 f ( t − a ) ≓ e − pa F ( p ) . Иначе говоря, если процесс, описываемый оригиналом f (t − a ) , опаздывает на время a по сравнению с первоначальным f (t ) , то изображение, соответствующее этому процессу, получается из изображения первоначального − pα оригинала умножением на функцию e . Используем определение преобразования Лапласа для оригинала f (t − a ) и свойство аддитивности определённого интеграла относительно отрезка интегрирования. a f ( t − a) ≓ ∫ f ( t − a ) e − pt ∞ dt + ∫ f ( t − a ) ⋅ e − p t dt . a Первый интеграл равен нулю, так как по условию f (t − a ) = 0 при значениях t < a по условию теоремы. Ко второму интегралу применим замену переменной: t − a = τ , dt = dτ , при значении t = a ⇒ τ = 0 , при значении t = ∞ ⇒ τ = ∞ . Тогда ∞ − p( a −τ ) f ( t − a ) ≓ ∫ f (τ ) ⋅ e Графически: ∞ dτ = ∫ f (τ ) ⋅ e − pa − pτ ⋅ e dτ = e − pa ∞ ∫ f (τ ) ⋅ e − pτ dτ = e− pa F ( p) f(t) f(t) а f(t-a) t Рис. 2.1. Пример 8. Оригинал f (t ) задан графически (рис. 2.2), найти его изображение. f(t) 2 2 4 Рис. 2.2. 14 t t≤2 ⎧0, ⎪ Решение. Очевидно, что f (t ) = ⎨t − 2, 2 < t ≤ 4 . Функцию f (t ) = t − 2 ⎪0, t>4 ⎩ можно записать и так («гасим» функцию): f (t ) = (t − 4 ) + 2 . Используя единичные функции η (t − 2) и η (t − 4 ) , запишем 1 2⎞ e −2 p −4 p ⎛ ⎜ ⎟ f (t ) = (t − 2)η (t − 2 ) − (t − 4)η (t − 4 ) − 2η (t − 4 ) ≓ 2 − e ⎜ p2 + p ⎟. p ⎝ ⎠ Теорема запаздывания имеет особое значение в теории регулирования. Пользуясь ею, можно исследовать системы с запаздывающими звеньями и вообще кусочно-непрерывные функции. Рассмотрим вначале «ступенчатые функции» (практически характеризующие сброс или присоединение постоянных нагрузок). Ступенчатые функции – это кусочно-непрерывные функции, которые на каждом участке непрерывности имеют постоянные значения. ⎧0, t < 0 f(t) ⎪ Функция f (t ) = ⎨ A, 0 < t < T0 (рис. 2.3) может A ⎪0, t > T ⎩ быть записана в виде: 0 T t A Рис. 2.3. − pT f (t ) = A ⋅ [η ( t ) − η ( t − T )] ≓ ⋅ [1 − e ] . p Для функции, изображённой на рис. 2.4, имеем f (t ) = Aη (t ) + ( B − A)η (t − T1 ) + (C − B)η (t − T2 ) − (C − D)η (t − T3 ) − Dη (t − T4 ) − pT − pT − pT ( + ( − ) + ( − ) − ( − ) − De A B A e C B e C D e ≓ 1 3 2 − pT 4 )⋅ 1 p f(t) f(t) C D B A A T1 T2 T3 Рис 2.4. T4 t T 2T 3T 4T 5T 6T t Рис 2.5. Рассмотрим периодически-ступенчатую функцию, изображённую на рис. 2.5. Для неё 15 f ( t ) = A ⎡⎣η ( t ) − η ( t − T ) + η ( t − 2T ) − η ( t − 3T ) + η ( t − 4T ) − η ( t − 5T ) + K⎤⎦ ≓ A [1 − e − pT + e − 2 pT − e − 3 pT + e − 4 pT − e − 5 pT + ... ] = 1 ⋅ A − pT . p p 1+ e Для определения изображения функции, заданной на рис. 2.6(а), построим график её производной (рис. 2.6(б)). ≓ f(t) f(t) h t T t T Рис. 2.6(а) Рис. 2.6(б) h h − pT ( ) 1 − e Тогда f ′( t ) ≓ pT , следовательно f ( t ) ≓ p 2 T ( 1− e ) . − pT Для заданной на рис. 2.7(а) графически функции для определения изображения также воспользуемся графическим построением её производной (рис. 2.7(б)): f(t) h f(t) h T 2T 3T 4T 6T t 5T T 2T 3T 4T 5T 6T t -h Рис. 2.7(а) Рис. 2.7(б) h h 1 − e − pT − pT − 2 pT − 3 pT − 4 pT − 2e + 2e − ... ] = ⋅ Тогда f ′( t ) ≓ pT [1 − 2 e + 2 e pT 1 + e − pT . p − pT T 2 −p T 2 1− e e −e pT = T = th ; f ′( t ) ≓ h th pT , то T − pT p −p 2 1+ e T 2 e 2 +e 2 pT h f ( t ) ≓ p 2 T th 2 . Рассмотрим графики ещё трёх функций: Так как f1(t) 1 f(t) 1 T t f2(t) 1 T t Рис. 2.8. 16 T t Функция f ( t ) может быть представлена как разность двух единичных функций f 2 ( t ) = η ( t − T ) ≓ e − pT , f1 ( t ) = η ( t ) ≓1, а f1 ( t ) − f 2 ( t ) , где следовательно, f ( t ) ≓1 − e − pT . IX. Изображение периодического оригинала Если f ( t ) ≓ F ( p ) и f ( t ) – периодическая функция с периодом T > 0 , то 1 F ( p) = 1 − e − pT T ∫ f (t ) ⋅ e −pt dt . Доказательство. По определению 1.2 преобразования Лапласа ∞ F ( p) = ∫ f ( t ) ⋅ e − pt T dt = ∫ f ( t ) ⋅ e − pt ∞ dt + ∫ f ( t ) ⋅ e − pt dt . T Применим ко второму интегралу замену переменной t = τ + T , dt = dτ , при значении t = T ⇒ τ = 0 , при значении t = ∞ ⇒ τ = ∞ ; T F ( p) = ∫ f ( t ) ⋅ e − pt ∞ dt + ∫ f ( τ ) ⋅ e − pτ ⋅e − pT F ( p) = Отсюда T dτ = ∫ f ( t ) ⋅ e − pt dt + e − pT F ( p ) 1 1 − e− pT T ∫ f (t ) ⋅ e −pt Пример 9. Найти изображение периодической функции (рис. 2.9). 2nπ < t < (2n + 1)π ⎧sin t , . f (t ) = f (t + 2π ) = ⎨ ( ) , ( 2 n + 1 ) π < t < 2 n + 2 π ⎩ Решение. Имеем F ( p) = π 1 1− e − 2 πp ∫e − pt sin tdt = = 1 ⋅ dt . 1 3π π e − pt 1 π 2π Рис. 2.9. (− p sin t − cos t ) = ⋅ 1 − e − 2πp p 2 + 1 1 + e −πp p 2 + 1 1 − e − 2πp Заметим, что по свойству VIII = f ( t ) = sin t ⋅η ( sin t ) ≓ 17 1 ⋅ 1 p 2 + 1 1 − e −πp 1 1 ⋅ . p 2 + 1 1 − e−2π p Х. Свёртка функций. Теорема умножения Пусть две функции f ( t ) и ϕ ( t ) непрерывны для значений t > 0 . t Свёрткой этих функций называется интеграл f ∗ϕ = ∫ f (τ ) ⋅ϕ (t − τ ) dτ . Вычисление этого интеграла называется «свёртыванием функций». Покажем, что введённая операция обладает свойством симметрии: f ∗ ϕ = ϕ ∗ f . Действительно t ϕ * f = ∫ ϕ (τ ) ⋅ f ( t − τ ) dτ = t −τ = u − dτ = du t = − ∫ ϕ ( t − u ) ⋅ f ( u ) du = ∫ f ( u ) ⋅ ϕ ( t − u ) du = f * ϕ . t t ∫ f (τ ) ⋅ ϕ ( t − τ ) dτ В физике интегралу даётся следующий смысл. Если, например, в течение времени, длящегося от τ = 0 до τ = t , действуют некоторые факторы f (τ ) , то их суммарный эффект в t простейшем случае равен ∫ f (τ ) dτ . Но если к каждому фактору применять весовой коэффициент ϕ , зависящий от промежутка времени, прошедшего между моментом возникновения фактора и моментом t наблюдения (следовательно, от t − τ ), то свёртка функций определяет суммарный эффект всех факторов. Можно показать, что если f ( t ) и ϕ ( t ) – оригиналы, то их свёртка также оригинал. Точнее, если f ( t ) и ϕ ( t ) – оригиналы с показателями роста s0 и s1 (s0 > s1 ) , то f ∗ ϕ – оригинал с показателем роста s0 . Рассмотрим часто встречающийся случай, когда изображение неизвестного оригинала разлагается на множители F ( p ) ⋅ Φ ( p ) , причём известны оригиналы, соответствующие множителям F ( p ) ≓ f ( t ), Φ ( p ) ≓ ϕ (t ) . Можно ли найти неизвестный оригинал? Ответ даёт теорема умножения (Эмиль Борель 1871–1956 гг.): Теорема 2.1. Если f ( t ) ≓ F ( p ) , ϕ ( t ) ≓ Φ ( p ) , то произведение изображений F ( p ) ⋅ Φ ( p ) является изображением свёртки оригиналов: F ( p ) ⋅ Φ ( p ) ≓ f ( t ) ∗ ϕ (t ) . умножение изображений равносильно Иначе говоря, свёртыванию оригиналов этих изображений. 18 Доказательство. По определению изображения ∞ f ( t ) ∗ ϕ (t ) ≓ ∫ f * ϕ ⋅ e − pt ∞ dt = ∫ e t − pt dt ∫ f ( t − τ ) ⋅ ϕ (τ ) d τ Как известно, интеграл Лапласа абсолютно сходится при значениях Re p > s0 , поэтому можно изменить порядок интегрирования: ∞ ∞ τ f ∗ ϕ ≓ ∫ ϕ (τ ) dτ ∫ e − pt ⋅ f (t − τ ) dt . Совершим замену переменной t − τ = u , dt = du . Тогда ∞ f ∗ ϕ ≓ ∫ ϕ (τ ) ⋅ dτ ⋅ e − pτ ∞ ∫ f (u) ⋅ e − pu ∞ во du = ∫ ϕ (τ ) e − pτ внутреннем интеграле: ∞ dτ ⋅ ∫ f ( u ) e− pu du = Φ ( p ) ⋅ F ( p ) Пример 10. Найти оригинал, соответствующий изображению p2 p 4 + 13 p 2 + 36 . Решение. Очевидно p2 p p p p = ⋅ ; 2 ≓ cos 2t , 2 ≓ cos 3t . 4 2 2 2 p +9 p + 13 p + 36 p + 4 p + 9 p + 4 Следовательно, t p2 p p = 2 ⋅ 2 cos 3t ∗ cos 2t = cos 3τ ⋅ cos 2 ( t − τ ) dτ = 4 2 p + 13 p + 36 p + 4 p + 9 ≓ ∫ t 1 1 = ∫ ⎡⎣ cos ( 2t + τ ) + cos ( 5τ − 2t ) ⎤⎦ dτ = ( 3sin 3t − 2sin 2t ) . 20 5 XI. Интеграл Дюамеля (Жан Мари Констан Дюамель 1797-1872 гг.) Эта формула является следствием теоремы умножения и имеет важные приложения при расчёте переходных процессов в электрических цепях. Если f (t ) ≓ F ( p ) , ϕ (t ) ≓ Φ ( p ) , t то p ⋅ F ⋅ Φ ≓ f ( t ) ⋅ ϕ ( 0 ) + ∫ f (τ ) ⋅ ϕ ' ( t − τ ) dτ . Доказательство. Из теоремы Бореля f ∗ ϕ ≓ F ( p ) ⋅ Φ ( p ) . Из правил дифференцирования следует [ f ∗ ϕ ]t' ≓ pF ⋅ Φ − [ f ∗ ϕ ] t = 0 19 [ f ∗ ϕ ]t = 0 Но [ f ∗ ϕ ]t' ≓ pF ⋅ Φ . ⎡t ⎤ = ⎢ ∫ f (τ ) ⋅ ϕ ( t − τ ) dτ ⎥ =0, ⎣0 ⎦ t =0 поэтому Найдём производную свёртки t d [ f ∗ ϕ ] t ′= ∫ f (τ ) ⋅ ϕ ( t − τ ) dτ . dt 0 Интеграл справа – сложная функция от t , так как содержит t как параметр в подынтегральном выражении и зависит от переменного верхнего предела t . Рассмотрим более общий случай: пусть верхним пределом u = u (t ) . Тогда интегрирования будет функция u ∫ f (τ ) ⋅ ϕ ( t − τ ) dτ = X ( u, t ) . По правилу дифференцирования сложной dX ∂ X ∂ X d u функции dt = ∂ t + ∂ u ⋅ d t , где u u ∂X = ∫ ⎡⎣ f (τ ) ⋅ ϕ ( t − τ ) ⎤⎦ t ′ dτ = ∫ f (τ ) ⋅ ϕ ' ( t − τ ) dτ , ∂t u ⎤′ ∂X ⎡ = ⎢ f (τ ) ⋅ ϕ ( t − τ ) dτ ⎥ = f ( u ) ⋅ ϕ ( t − u ) . ∂ u ⎣ ∫0 ⎦ u Следовательно, u dX du = ∫ f (τ ) ⋅ ϕ ' ( t − τ ) dτ + f ( u ) ⋅ ϕ ( t − u ) . dt 0 dt Полагая u = t , получим t t d f (τ ) ⋅ ϕ ( t − τ ) dτ = ∫ f (τ ) ⋅ ϕ ' ( t − τ ) dτ + f ( t ) ⋅ ϕ ( 0 ) ≓ p ⋅ F ⋅ Φ . dt ∫0 Интеграл в правой части и называется интегралом Дюамеля. Эта формула может быть использована для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами при нулевых начальных условиях, когда левая часть не меняется, а правая меняется неоднократно или, когда для правой части трудно подобрать изображение. Пусть дано неоднородное дифференциальное уравнение 20 x (n ) + a1 x (n −1) + K + an x = f (t ) и требуется найти частное решение, удовлетворяющее нулевым x(0 ) = 0, x1 (0 ) = 0, K, x (n −1) (0 ) = 0 . Решение начальным условиям: соответствующего уравнения в пространстве изображений имеет вид: F ( p) , X ( p) = Dn ( p ) где F ( p ) ≓ f (t ) , Dn ( p ) = p n + a1 p n −1 + ... + an . Рассмотрим уравнения с такой же левой частью, что и исходное уравнение, но с правой частью, равной оригинальной функции η (t ) и нулевыми начальными условиями y (n ) + a1 y (n −1) + K + an y = η (t ) . Вспомогательному уравнению соответствует решение в 1 , отсюда X = pF ⋅ Y , или, пространстве изображений: Y ( p ) = p ⋅ Dn ( p ) используя формулу Дюамеля, имеем t x (t ) = f (t ) ⋅ y (0) + ∫ f ( τ) ⋅ y ′(t − τ) dτ , где y = Y ( p) – решение вспомогательного уравнения. С учётом нулевых начальных условий t x ( t ) = ∫ f (τ ) ⋅ y ' ( t − τ ) dτ . Таким образом, по решению уравнения в виде единичной функции можно найти решение, когда правая часть – есть любая непрерывная функция-оригинал. Пример 11. Найти частное решение дифференциального уравнения x " = arctgt , x (0 ) = 0 , x ' (0 ) = 0 . Решение. Вспомогательное уравнение y" = 1 , y (t ) – частное решение. 1 1 2 t2 ≓ p Y , Y = = = y (t ), y (0) = 0 . Операторное уравнение 2 p p3 Тогда искомое решение t t ⎛ ⎛ t2 ⎞ τ 2 ⎞ dτ x ( t ) = ∫ arctg τ ⋅ ( t − τ ) d τ + arctgt ⋅ 0 = ⎜ tτ − ⎟ − ∫ ⎜ tτ − = ⎟ 2 ⎠0 0⎝ 2 ⎠1+τ 2 ⎝ . t 1 2 1 2 = ( t − 1 ) arctgt − ln (1 + t ) + . 2 2 2 t 21 Если начальные условия исходного уравнения не нулевые, то заменой искомой функции задачу можно свести к задаче с нулевыми начальными условиями, при этом лишь несколько изменится правая часть уравнения, функция f (t ) . § 3. Нахождение оригинала по изображению I. Теорема единственности В предыдущем параграфе были найдены изображения многих оригиналов. Для практических целей (так же как для интегралов) существуют обширные таблицы соответствий между оригиналами и изображениями. Для учебных целей некоторые соответствия упорядочены и приведены в таблице в конце пособия. Использование подобной таблицы упрощает процесс нахождения оригиналов и изображений. Однако при этом необходимо знать следующее. Каждому оригиналу f (t ) соответствует единственное изображение F ( p ) . Обратное не всегда верно, т.е. одна и та же функция может служить изображением различных оригиналов. В самом деле, если изменить значение функции f (t ) в конечном числе точек, то, поскольку такое изменение не влияет на результат вычисления интеграла Лапласа, изображение не изменится. Теорема 3.1. (единственности). Если функция F ( p ) является изображением оригиналов f1 ( t ) и f 2 ( t ) , то эти оригиналы равны во всех точках t , где функции f1 ( t ) и f 2 ( t ) непрерывны. Из теоремы следует, что если F ( p ) – изображение непрерывного оригинала f (t ) , то этот оригинал единственный. Так как в приложениях оригиналы предполагаются дифференцируемыми функциями, а, следовательно, и непрерывными функциями, то обычно находят по изображению непрерывный оригинал при помощи таблицы p соответствия. Так, F ( p ) = 2 ≓ cos 2t – единственный непрерывный p −4 при значениях t > 0 оригинал. II. Линейная комбинация изображений Когда в таблице соответствий нужное изображение отсутствует, то это изображение стремятся выразить через линейную комбинацию или произведение изображений, имеющихся в таблице. Пример 1. Найти оригинал для изображения F ( p ) = 22 4p −3 2 p −4p +3 Решение. Используем разложение дроби на элементарные и таблицу соответствий: 4p −3 1 1 9 1 1 t 9 3t F ( p) = 2 =− + ⋅ ≓ − e + e = f (t ) . 2 p −1 2 p − 3 2 2 p −4p +3 p+5 Пример 2. Найти оригинал для изображения F ( p ) = 2 . p − 2 p + 10 Решение. p+5 p −1+ 6 p −1 3 F ( p) = 2 = = + 2 p − 2 p + 10 ( p − 1)2 + 9 ( p − 1)2 + 32 ( p − 1)2 + 32 ≓e t (cos 3t + 2 sin 3t ) = f (t ) . Пример 3. Найти оригинал для изображения F ( p ) = 1 ( p 2 + 1) 2 Решение. F ( p) = 1 (p 2 + 1) 2 t 1 1 = 2 ⋅ ≓ sin t ∗ sin t = ∫ sin τ ⋅ sin ( t − τ ) dτ = p + 1 p2 + 1 t t ⎤ 1 1 1 ⎡sin ( 2τ − t ) = ∫ ⎡⎣cos ( 2τ − t ) − cos t ⎤⎦ dτ = ⎢ −τ cos t ⎥ = ( sin t − t ⋅ cos t ) = f ( t ) 20 2⎣ 2 ⎦0 2 Пример 4. Найти оригинал для изображения F ( p ) = Решение. F ( p ) = −6 p 2 + 15 p + 14 − 6 p 2 + 15 p + 14 ( 1 1 1 1 1 p = ⋅ − ⋅ + ⋅ 2 ≓ 2 20 ( p − 2 ) ( p + 1) 5 ( p − 2 ) 4 p − 2 4 p + 1 2 ≓ ) 20( p − 2 )2 p 2 + 1 . 2 1 1 `1 t ⋅ e 2t − e 2t + cos t = f (t ) . 5 4 4 III. Первая теорема разложения В некоторых случаях для нахождения оригинала f (t ) по изображению F ( p ) последнее представляют в виде ряда, члены которого являются изображениями известных оригиналов. Теорема 3.2. Если функция F ( p ) аналитическая в бесконечно удалённой точке ( p = ∞ ) , и разложение её в ряд Лорана в окрестности указанной точки имеет вид: ∞ a a a a a F ( p ) = 0 + 12 + 23 + K nn+1 + K = ∑ nn+1 , p p p p n=0 p 23 то F ( p ) является изображением оригинала f (t ) , определяемого степенным рядом ∞ a a a a f (t ) = a0 + 1 t + 2 t 2 + K + n t n + K = ∑ n t n , 1! 2! n! n = 0 n! сходящимся для всех t > 0 . ⎛ 1⎞ Пример 5. Найти оригинал по изображению F ( p ) = ln⎜⎜1 + ⎟⎟ . p⎠ ⎝ Решение. Разложим F ( p ) в ряд Лорана по степеням p в окрестностях точки p = ∞ . Известно разложение n z2 n −1 z ln (1 + z ) = z − + K + (− 1) + K , сходящееся для z < 1 . n 2 1 Положим z = , тогда будем иметь p 1 ⎛ 1⎞ 1 n −1 1 + K для p > 1 . F ( p ) = ln⎜1 + ⎟ = − 2 + K + (− 1) p⎠ p 2p np n ⎝ Отсюда n ⎤ ( −1) n−1 t n−1 1 t 1 ⎡ t2 n −1 t f (t ) = 1− ⋅ +K + ⋅ + K = ⎢t − + K + ( −1) + K⎥ = 2 1! n t ⎣ 2! n! ( n − 1)! ⎦ n ⎤ ⎫⎪ 1 1 ⎧⎪ ⎡ t t 2 n t = ⎨1 − ⎢1 − + − K + (− 1) + K⎥ ⎬ = 1 − e − t . t ⎪⎩ ⎣ 1! 2! n! ⎦ ⎪⎭ t ( ) IV. Вторая теорема разложения Пусть дана правильная несократимая рациональная дробь F1 ( p ) b0 p m + b1 p m −1 + K + bm (n > m ) . F ( p) = = n F2 ( p ) p + a1 p n −1 + K + an Получим общую формулу для нахождения соответствующего оригинала. F ( p) Теорема 3.3. Если F ( p ) = 1 – правильная несократимая F2 ( p ) рациональная дробь, и знаменатель имеет корни p1 , p2 , K pe кратностей r1 , r2 , K , rl (r1 + r2 + K + rl = n ) , то оригиналом служит функция 24 d r −1 ⎡ 1 r F1 ( p ) pt ⎤ ( ) f (t ) = ∑ p p lim e ⎥ − ⎢ k − 1 r p→ p dp ⎣ F2 ( p ) ⎦ . k =1 (rk − 1)! l k k k (3.1) k Если среди корней знаменателя есть корень первой кратности (простой корень), например, ps ( rs = 1) , то ему соответствует слагаемое F ( p ) pt lim ( p − p s ) 1 ⋅e , p → ps F2 ( p ) которое с учётом того, что F2 ( ps ) = 0 , можно записать так F (p ) F1 ( p ) e pt = 1 s e pst . lim p → ps F2 ( p ) − F2 ( p s ) F2′ ( p s ) p − ps В случае, когда все корни знаменателя простые, формула (1) примет вид f (t ) = F (p ) ∑ F '1 ( pk )e p t n k k =1 (3.1*) k 2 Докажем теорему для этого частного случая F ( p) A1 A2 An (3.2) F ( p) = 1 = + +K+ F2 ( p ) p − p1 p − p2 p − pn Чтобы найти неопределённые коэффициенты A1 , A2 , K, An , умножим почленно равенство (3.2) на двучлен ( p − pk ) : ( p − pk ) F1 = A1 p − pk + A2 p − pk + K + An p − pk . p − pn p − p2 p − p1 F2 Перейдя в последнем равенстве к пределу при p → pk , найдём F1 ( p ) F (p ) ( p − pk ) F1 = lim = 1 k , k = 1, 2, K , n Ak = lim p → pk p → pk F ( p ) − F ( p ) . F2 F ' 2 ( pk ) k 2 2 p − pk Тогда n F ( p ) n F1 ( p k ) 1 F1 ( p k ) p t F ( p) = 1 =∑ ⋅ e ∑ F2 ( p ) k =1 F ' 2 ( p k ) p − p k ≓ k =1 F ' 2 ( p k ) . k 2 p +1 . ( p − 3)( p − 1)( p + 2 ) Решение. Все корни знаменателя простые, обозначим p1 = 3, p2 = 1, p3 = −2, F1 ( p ) = 2 p + 1, F2 ( p ) = ( p − 3)( p − 1)( p + 2 ) . Найдём F '2 ( p ) = ( p − 1)( p + 2 ) + ( p − 3)( p + 2 ) + ( p − 3)( p − 1) , Пример 6. Найти оригинал по изображению F ( p ) = 25 7 F1 (3) = , F '2 (3) 10 1 F1 (1) =− , 2 F '2 (1) Следовательно, F ( p ) ≓ f (t ) = 1 F1 (− 2 ) =− . 5 F '2 (− 2 ) 7 3t 1 t `1 − 2t e − e − e . 10 2 5 1 . ( p + 1)( p + 3)3 Решение. Корень p1 = −1 кратности r1 = 1 , корень p2 = −3 кратности r2 = 3 . Воспользуемся формулой (3.1): Пример 7. Найти оригинал по изображению F ( p ) = 1 d2 f ( t ) = lim ( p + 1) e + lim 2 3 p →−1 2! p→−3 dp ( p + 1)( p + 3) 1 pt Найдём d ⎛⎜ e pt ⎞⎟ t ( p + 1) − 1 pt = e , dp ⎜⎝ p + 1 ⎟⎠ ( p + 1)2 ⎡ ⎤ 1 3 pt e ⎥ ⎢( p + 3) 3 ⎢⎣ ( p + 1)( p + 3) ⎥⎦ d 2 ⎛⎜ e pt ⎞⎟ t 2 ( p + 1)2 − 2t ( p + 1) + 2 pt e . = dp 2 ⎜⎝ p + 1 ⎟⎠ ( p + 1)3 Теперь t 2 ( p +1) − 2t ( p +1) + 2 pt 1 −t 1 2 1 f ( t ) = lim e = e − (2t + 2t +1)e−3t + lim 3 3 p→−1 8 8 ( p +1) ( p + 3) 2 p→−3 e pt 2 Пример 8. Найти оригинал по изображению F( p) = 1 . p + 2 p2 + 2 p Решение. Корни знаменателя: p1 = 0, p2, 3 = −1 ± i . Для нахождения 3 оригинала используем формулу (3.1*). Найдем F2 ' ( p ) = 3 p 2 + 4 p + 2 . Так как F1 (0) 1 = , F2 ' (0) 2 F1 (− 1 + i ) F (− 1 − i ) 1 1 = − (1 − i ) , 1 = − (1 + i ) . F2 ' (− 1 + i ) F2 ' (− 1 − i ) 4 4 Отсюда, с использованием формулы Эйлера 1 1 1 1 1 f ( t ) = − (1 − i ) e( −1+ i )t − (1 + i ) ⋅ e( −1−i )t = − ( cos t + sin t ) ⋅ e−t . 2 4 4 2 2 F1 ( p ) = 1 = const , то 26 V. Теорема обращения Теорема 3.4. Если функция f (t ) – оригинал с показателем роста s0 и F ( p ) – её изображение, то в любой точке непрерывности f (t ) имеет место формула 1 f (t ) = F ( p ) ⋅ e pt dp , ∫ (3.3) 2π i c где c – любая прямая, параллельная мнимой оси и отстоящая от неё на расстоянии s > s 0 . Доказательство. Для функции f (t ) , заданной на интервале (− ∞, + ∞ ) , удовлетворяющей на любом конечном интервале условиям Дирихле (кусочно-монотонна, кусочно-непрерывна и ограничена) и абсолютно интегрируемой в R (сходится +∞ ∫ f (t ) dt ), во всех точках −∞ непрерывности существует представление интегралом Фурье 1 +∞ +∞ f (t ) = dω ∫ f (τ ) ⋅ e − ω (τ − t )i dτ . (3.4) ∫ 2π − ∞ − ∞ 1 В точках разрыва f (t ) интеграл Фурье равен [ f (t − 0) + f (t + 0)]. Если 2 справедлива формула (3.4), то имеет место прямое F (ω ) = и обратное ∞ − ωτ i ∫ f (τ ) ⋅ e d τ (3.5) −∞ 1 f (t ) = 2π ∞ ∫ F (ω ) ⋅ e ωτi dω (3.6) −∞ преобразования Фурье. Пусть теперь функция f (t ) – оригинал с показателем роста s0 , а F ( p) = ∞ ∫ f (t ) ⋅ e − pt dt – её изображение. Рассмотрим функцию e − st f (t ) , где s > s0 ≥ 0 . Эта функция во всех точках непрерывности допускает представление интегралом Фурье, так как, очевидно, удовлетворяет условиям Дирихле и +∞ +∞ ∞ M − ( s − s )t ∫−∞ e f ( t ) dt = ∫0 e ⋅ f ( t ) ⋅ dt ≤ M ∫0 e dt = − s e 0 т.е. f (t ) абсолютно интегрируема на интервале (− ∞, + ∞ ) . − st − st 27 − ( s − s0 ) ∞ = M s , По формуле (3.4) имеем +∞ +∞ 1 −ω τ − t i − st e f (t ) = d ω ∫ e − sτ ⋅ f (τ ) ⋅ e ( ) dτ ⋅ ∫ 2π −∞ −∞ Умножим все выражение на e st . Тогда ⎛∞ ⎞ −( s +iω )τ ⋅ d ω f τ e e f τ e d τ ( ) ( ) ⎜∫ ⎟ dω . ∫−∞ −∞∫ ∫−∞ ⎝ −∞ ⎠ Во внутреннем интеграле обозначим s + iω = p и учтём, что f (t ) – оригинал, тогда 1 f (t ) = 2π ∞ ∞ ( s +iω ) t −( s +iω )τ ∞ ∫ f (τ ) ⋅ e − ( s + iω )τ −∞ 1 dτ = 2π ∞ ( s +iω )t ∞ d τ = ∫ f (τ ) ⋅e − pτ d τ . Правая часть данного выражения есть не что иное, как изображение F ( p ) функции f (t ) . Таким образом, +∞ 1 f (t ) = F ( p) ept d ω . ∫ 2π −∞ Заменим переменную интегрирования ω на p = s + iω . Так как s – фиксированное число, то dp = idω . При изменении ω от − ∞ до + ∞ путём интегрирования в комплексной плоскости p будет прямая c , параллельная мнимой оси и отстоящая от неё на величину s > s0 . После замены переменной интегрирования во всех точках непрерывности функции f (t ) будем иметь f (t ) = 1 F ( p ) ⋅ e p t dp . ∫ 2π i c Замечание. Так как интеграл вычисляется по прямой, то формулу (3.3) записывают в виде s + iω 1 f (t ) = lim ∫ F ( p ) ⋅ e pt dp 2π i ω →∞ s −iω или s + iω 1 f (t ) = F ( p ) ⋅ e pt dp ∫ 2π i s −iω и называют формулой (Меллин Р.Х. (1854–1933)). обращения 28 (3.7) преобразования Лапласа Если заранее известно, что F ( p ) ≓ f (t ) , то на основании теоремы обращения 3.4 для нахождения оригинала f (t ) по изображению F ( p ) можно воспользоваться формулой (3.7). Этой же формулой пользуются и тогда, когда заранее неизвестно, что F ( p ) – изображение некоторой функции f (t ) . В этом случае полученный результат требует проверки выполнения равенства для интеграла Лапласа: F (p) = ∞ ∫ f (t ) ⋅ e − pt dt . Так же, как не всякая функция f (t ) может быть оригиналом, так и не любая функция F ( p ) может служить изображением, т.е. иметь оригинал. Функция F ( p ) будет изображением оригинала, если: 1) F ( p ) – аналитическая функция в полуплоскости Re p = s > s0 , где s0 – некоторое положительное число; 2) F ( p ) → 0 при значениях Re p = s > s0 и p → +∞ ; +∞ 3) сходится интеграл ∫ F (s + iω ) dω . −∞ Для непосредственного вычисления оригинала формула (3.7) мало пригодна, но из неё следует ряд практических выводов. В правой части формулы обращения стоит интеграл от аналитической функции F ( p ) , взятой в плоскости комплексного переменного p . В некоторых случаях удаётся путь интегрирования заменить другим, допускающим вычисление интеграла с помощью теоремы Коши о вычетах. Пусть изображение F ( p ) есть аналитическая функция всюду за исключением конечного числа изолированных особых точек: p1 , p2 , K, pl и lim F ( p ) = 0 , тогда при всех t > 0 p→∞ f (t ) = s + iω [ ] l 1 pt ( ) F p ⋅ e dp = res F ( p ) ⋅ e pt , ∑ ∫ 2π i s −iω k =1 p = pk (3.8) т.е. оригинал находится как сумма вычетов функции F ( p ) ⋅ e pt в изолированных особых точках. В частности, формула (3.8) имеет место, если F ( p ) – правильная рациональная дробь и p1 , p2 , K, pe – корни её знаменателя кратности r1 , r2 , K, re , соответственно. 29 Из теории функций комплексного переменного известно, что, если z0 – полюс порядка r функции f (z ) , то res f ( z ) = 1 d r −1 r lim r −1 ⎡ ( z − z0 ) f ( z ) ⎤ . ⎦ ( r − 1)! z → z0 dz ⎣ С учётом этого для изображения F ( p ) , являющегося правильной рациональной дробью, из формулы (3.8) сразу следует формула (3.1), т.е. получено доказательство второй теоремы разложения в общем случае. F ( p) Теорема 3.5. Если F ( p ) = 1 – правильная несократимая F2 ( p ) дробь, и знаменатель имеет корни p1 , p 2 , K , pl , то оригиналом служит функция f (t ) = ∑ res [F ( p ) ⋅ e pt ] . l k =1 p = pk Пример 9. Найти оригинал по изображению F ( p ) = Решение. Корни знаменателя: кратности r2 = 1 . Обозначим Φ ( p) = F ( p) ⋅ e = По формуле (3.8) . ( p − 1) 2 ( p − 2 ) p1 = 1 кратности r1 = 2 и p2 = −2 pt Тогда 1 e pt ( p − 1) ( p + 2 ) . 2 f (t ) = resΦ (1) + resΦ (− 2 ) . ⎤ ( tp + 2t −1) ept 1 1 d ⎡ e pt 2 lim ⎢( p −1) resΦ(1) = = ( 3t −1) ⋅ et ⎥ = lim 2 2 9 ( 2 −1)! p→1 dp ⎢⎣ ( p −1) ( p + 2) ⎥⎦ p→1 ( p + 2) ( p + 2 )e pt = 1 e − 2t , p → −2 ( p − 1)2 ( p + 2 ) 9 resΦ (− 2 ) = lim 1 t 1 t 1 − 2t следовательно, f (t ) = te − e + e . 3 9 9 30 §4. Приложения операционного исчисления I. Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами Назовём основные этапы реализации операционного метода: 1) искомой функции f (t ) ставят в соответствие другую функцию F ( p ) – изображение функции f (t ) ; 2) над функцией F ( p ) проводят операции, соответствующие f (t ) , и получают заданным операциям над функцией вспомогательное уравнение относительно F ( p ) ; 3) последнее уравнение разрешают относительно функции F ( p ) , что обычно значительно проще, чем нахождение f (t ) из исходного уравнения; 4) по решению F ( p ) вспомогательного уравнения находят функцию f (t ) , которая является искомой. Рассмотрим последовательное выполнение этих этапов. Пусть дано неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами x"+ a1 x '+ a 2 x = f (t ) (4.1) и требуется найти его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям x(0) = x0 , x' (0) = x'0 (4.2) Будем считать, что искомым решением является x (t ) , причем его производные x ' , x" , а также функция f (t ) – оригиналы. Введём в рассмотрение новые функции X ( p ) ≓ x(t ) , F ( p ) ≓ f (t ) , тогда x′(t ) ≓ pX ( p ) − x0 , x′′(t ) ≓ p 2 X ( p ) − px0 − x0′ . Используя теорему линейности и единственности изображения, перейдём в уравнении (4.1) от оригиналов к изображениям p 2 X − px0 − x '0 + a1 [ pX − x0 ] + a2 X = F ( p ) . (4.3) Уравнение (4.3) называют вспомогательным или уравнением в изображениях, соответствующим дифференциальному уравнению (4.1) при начальных условиях (4.2). Таким образом, решение дифференциального уравнения относительно оригинала x (t ) сводится к решению линейного алгебраического уравнения относительно изображения X ( p ) : 31 px0 + x'0 + a1 x0 + F ( p ) (4.4) p 2 + a1 p + a2 Заметим, что, полагая x(t ), x ' (t ), x" (t ) оригиналами, мы тем самым X ( p) = условились, что нас интересует решение уравнения (4.1) при t ≥ 0 . При решении конкретных задач получившееся решение часто оказывается справедливым и при t<0, но это требует дополнительной проверки. Пример 1. Найти решение уравнения x′′ − x' = 2 , удовлетворяющего начальным условиям x (0) = 1, x ' (0) = −1 . Решение. Обозначим X ( p ) ≓ x(t ) по правилу дифференцирования оригинала x′(t ) ≓ pX − 1 , x′′(t ) ≓ p 2 X − p + 1. Тогда операторное уравнение выглядит следующим образом: 2 p 2 X − p + 1 − pX + 1 = p 2 X p2 − p = + p − 2 или p ( Отсюда X = −2 ( p − 1) + p 2 p 2 ( p − 1) ) =− 2 1 + ≓ −2t + et = x ( t ) при t ≥ 0 . 2 p −1 p Пример 2. Найти решение уравнения x " + 4 x ' + 4 x = e − 2 t (cos t + 2 sin t ) , удовлетворяющее начальным условиям x (0 ) = −1, x ' (0 ) = 1 . Решение. Обозначим x(t ) ≓ X ( p ) , найдём x′ ≓ pX + 1, x′′ ≓ p 2 X + p − 1 , cos t + 2 sin t ≓ p 1 p+2 +2 2 = 2 , по теореме смещения p +1 p +1 p +1 ( p + 2) + 2 e−2t ( cos t + 2sin t ) ≓ . 2 ( p + 2) + 1 2 Операторное уравнение имеет вид p 2 X + p − 1 + 4[ pX + 1] + 4 X = Отсюда p+4 . ( p + 2 )2 + 1 p 3 + 7 p 2 + 16 p + 11 1 p+2 2 X =− = − − ≓ ⎡( p + 2 )2 + 1⎤ ⋅ ( p + 2 )2 ( p + 2 )2 ( p + 2 )2 + 1 ( p + 2 )2 + 1 ⎣ ⎦ 32 ≓ t ⋅ e−2t − e−2t ( cos t + 2sin t ) Пример 3. Решить дифференциальное уравнение ⎧0, t < 0 ⎪ x"+ x = f (t ), f (t ) = ⎨1, 0 ≤ t < π, x (0) = 0, x ' (0) = 0 . ⎪0, t ≥ π ⎩ Решение. В данном уравнении правая часть представляет собой кусочно-непрерывную функцию, заданную на разных участках различными аналитическими выражениями, поэтому 1 − eπ p . f ( t ) = η (t ) − η (t − π ) ≓ p Операторное уравнение запишется в виде 1 − e −π p p X+X = , p 2 X = 1 − e −π p p ( p 2 + 1) . Для нахождения оригинала x (t ) заметим, что 1 1 p = − ≓ (1 + cos t ) ⋅η ( t ) . 2 p ( p 2 + 1) p p + 1 Тогда по теореме запаздывания e −π p Следовательно, p ( p 2 + 1) ≓ ⎣⎡1 − cos ( t − π ) ⎦⎤ ⋅η ( t − π ) . x ( t ) = (1 − cos t ) ⋅η ( t ) − ⎡⎣1 − cos ( t − π ) ⎤⎦ ⋅η ( t − π ) . При t ∈ [0, π ] x(t ) = 1 − cos t , при t ≥ π x (t ) = 1 − cos t − 1 + cos(t − π ) = −2 cos t . Таким образом, решение имеет различный вид для разных значений переменной t : ⎧1 − cos t , 0 ≤ t < π x (t ) = ⎨ . ⎩ −2 cos t , t ≥ π II. Решение линейных дифференциальных уравнений n–го порядка с постоянными коэффициентами Пусть дaно уравнение x (n ) + a1 x (n −1) + K + a n −1 x '+ a n x = f (t ) (4.5) и требуется решить задачу Коши, т.е. найти решение, удовлетворяющее начальным условиям 33 x (0 ) = x0 , x ' (0) = x0 ' , K, x (n −1) (0) = x0 n −1 . (4.6) Операторное уравнение запишем в виде D ( p )X ( p ) − N ( p ) = F ( p ), n n −1 где X ( p ) ≓ x( t ) , F ( p ) ≓ f ( t ) , D ( p ) = p + a1 p + K + an , ( ) ( ) N ( p ) = p n −1 x0 + K + x0n −1 + a1 p n − 2 x0 + K + x0n − 2 + K + an −1 x0 . Здесь многочлен D ( p ) – характеристический полином уравнения (4.5), многочлен N ( p ) степени (n − 1) получен за счёт начальных условий (4.6). Решение операторного уравнения N ( p) + F ( p) . X ( p) = D( p ) N ( p) F ( p) , x2 ( t ) ≓ , тогда решение уравнения (4.5), Обозначим x1 ( t ) ≓ D( p ) D( p ) удовлетворяет условиям (4.6): x = x1 (t ) + x 2 (t ) . Рассмотрим подробнее полученное решение. Пусть f (t ) ≡ 0 , тогда F ( p ) ≡ 0 , и x (t ) = x1 (t ) , т.е. x1 – решение однородного уравнения (4.5) при начальных условиях (4.6). Если же x0 = 0, x0 ' = 0, K, x0(n −1) = 0 , т.е. начальные условия нулевые, то N ( p ) ≡ 0 и x (t ) = x2 (t ) . Следовательно, x2 (t ) – решение неоднородного уравнения (4.5) при нулевых начальных условиях. Для линейного дифференциального уравнения с постоянными N ( p) коэффициентами рациональная дробь всегда правильная, и D( p ) соответствующий оригинал x1 (t ) может быть найден, например, по второй теореме разложения. Для нахождения оригинала x2 (t ) можно использовать теорему о свёртке. Покажем это. Рассмотрим сначала частный случай. Пусть f (t ) = δ (t ) , дельта-функция или единичная импульсная функция, принято считать, что δ (t ) = 1 . Тогда обозначим 1 x2 ( t ) ≓ = Φ ( p ) ≓ ϕ ( t ) . Оригинал ϕ ( t ) может быть всегда найден, D( p ) так как Φ ( p ) – рациональная дробь. Пусть теперь f (t ) произвольная функция-оригинал. Запишем 1 x2 ( t ) ≓ ⋅ F ( p ) = Φ ( p ) ⋅ F ( p ) ≓ ϕ ( t ) ∗ f (t ) . D( p ) 34 Получили, что решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами при нулевых начальных условиях и правой части в виде любой функции оригинала f (t ) может быть выражено через свёртку двух функций: решения того же уравнения при нулевых начальных условиях, когда в правой части стоит дельта-функция, и функции f (t ) . Пример 4. Найти решение уравнения x′′′ + 6 x′′ + 11x′ + 6 x = 0, x(0) = 5, x′(0) = 0, x′′(0) = 0 . Решение. Операторное уравнение имеет вид p 3 + 6 p 2 + 11 p + 6 X − 5 p 2 + 30 p + 55 = 0 , 5 p 2 + 6 p + 11 F1 ( p ) . отсюда = X ( p) = F2 ( p ) ( p + 1)( p + 2 )( p + 3) Воспользуемся формулой (3.1). Найдём F2′ ( p ) = 3 p 2 + 12 p + 11 , F1 (− 1) F (− 2 ) F (− 3) тогда = 15, 1 = −15, 1 = 5, F2′ (− 1) F2′ (− 2) F2′ (− 3) следовательно, 3 F (p ) x(t ) = ∑ 1 k e p k t = 15e − t − 15e − 2t + 5e − 3t . k =1 F2 ' ( pk ) ( Пример ) Найти 5. ( ( решение x (0) = 0, x ' (0) = 0 . Решение. Сначала ) уравнения найдём y"− y ' = η (t ), y (0 ) = 0, y ' (0 ) = 0 ( ) e 2t x"− x' = 1 + et решение при уравнения ) 2 Тогда операторное уравнение p − p Y ( p ) = 1 , откуда 1 1 1 = − ≓ et − 1 = y ( t ) p ( p − 1) p − 1 p Теперь для нахождения решения исходного уравнения при нулевых начальных условиях следует вычислить свёртку функций Y ( p) = t e t − eτ ⋅ eτ 2τ ( ) dτ = e t τ − e t 1 τ e − d = ( ) ∫0 1 + eτ x (t ) = ∗ e − 1 = ∫ 1 + eτ 1 + et 2t ( ) t 35 t =∫ ( ) e t + 1 − 1 + eτ deτ = e t + 1 ln 1 + eτ τ 1+ e ( ) ( ) t τ t −e ( ) 1 + et = 1 + e ln − et + 1 . 2 t Найти решение уравнения x"− x'−2 x = 4e3t , Пример 6. x (0) = 0, x ' (0) = 0 . Решение. Решим вспомогательное уравнение y"− y '−2 x = 1 при нулевых начальных условиях: 1 1 p2 − p − 2 ⋅Y ( p ) = , Y ( p ) = p p ( p − 2 )( p + 1) . ( при ) Применяя вторую теорему разложения 3.3, найдём оригиналы 1 1 1 1 1 y (t ) = − + e 2t + e − t , y ' (t ) = e 2t − e − t . 2 6 3 3 3 Воспользуемся формулой Дюамеля t t ⎛ 1 2 t −τ 1 − t −τ ⎞ x ( t ) = ∫ f (τ ) ⋅ y ' ( t − τ ) dτ = ∫ 4e3τ ⎜ e ( ) − e ( ) ⎟ dτ = 3 ⎝3 ⎠ t ⎤ 4 ⎡ 2t t e 4t − 1 ⎞⎟⎤ 3t 4 2t 1 −t 4 ⎡ 2t t τ −t 4τ −t ⎛ ⎜ = ⎢e ∫ e dτ −e ∫ e dτ ⎥ = ⎢e e − 1 − e ⎜ ⎟⎥ = e − 3 e + 3 e . 3⎣ 0 3 4 ⎢ ⎦ ⎝ ⎠⎥⎦ ⎣ ( ) III. Решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Пусть дана система из n линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, содержащая n неизвестных функций x1 (t ), x2 (t ), K, xn (t ) : ⎧ dx1 ⎪ dt + a11 x1 + K + a1n xn = f1 (t ), ⎪ ⎪⎪ dx2 + a x + K + a x = f (t ), 21 1 2n n 2 ⎨ dt ⎪KKKKKKKKKKKK ⎪ ⎪ dxn + a x + K + a x = f (t ) n1 1 nn n n ⎪⎩ dt (4.7) Найдём решение задачи Коши для системы (4.7), удовлетворяющее начальным условиям x1 (0) = x10 , x2 (0) = x20 , K, xn (0) = xn 0 (4.8) 36 Для этого будем полагать, что функции x1 (t ), x2 (t ), K, xn (t ) и их первые f1 (t ), f 2 (t ), K , f n (t ) являются производные, а также функции оригиналами. Обозначим X 1 ( p ) ≓ x1 ( t ) , X 2 ( p ) ≓ x2 ( t ) , …, X n ( p) ≓ xn ( t ) , F1 ( p ) ≓ f1 ( t ) , F2 ( p ) ≓ f 2 ( t ) , …, Fn ( p) ≓ f n ( t ) . Учитывая правило дифференцирования оригинала и свойство линейности преобразования Лапласа, запишем операторный ряд системы (4.6) ⎧ pX 1 ( p ) − x1 (0 ) + a11 X 1 ( p ) + a12 X 2 ( p ) + K + a1n X n ( p ) = F1 ( p ), ⎪ pX ( p ) − x (0 ) + a X ( p ) + a X ( p ) + K + a X ( p ) = F ( p ), ⎪ 2 2 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ ⎪KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK ⎪⎩ pX n ( p ) − xn (0 ) + a n1 X 1 ( p ) + a n 2 X 2 ( p ) + K + a nn X n ( p ) = Fn ( p ) или с учётом начальных условий (4.8): ⎧(a11 + p ) X 1 + a12 X 2 + K + a1n X n = F1 ( p ) + x10 ⎪a X + (a + p ) X + K + a X = F ( p ) + x ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 20 (4.9) ⎨ K K K K K K K K K K K K K K K K K K ⎪ ⎪⎩an1 X 1 + an 2 X 2 + K + (ann + p ) X n = Fn ( p ) + xn 0 Система (4.9) является системой линейных алгебраических уравнений относительно X 1 ( p ), X 2 ( p ), K, X n ( p ) , и её решение можно найти, к примеру, по методу Крамера. Далее, как и в случае одного дифференциального уравнения, следует представить каждое изображение в виде суммы изображений, оригиналы которых известны или могут быть составлены из известных на основе теорем смещения, запаздывания, подобия и др., и перейти затем от изображений к оригиналам. Пример 7. Решить систему уравнений. ⎧ dx −t ⎪⎪ dt + 3 x + y = e , x(0 ) = −1 ⎨ ⎪ dy − x + y = e − 2t , y (0) = −2 ⎪⎩ dt Обозначим X ( p ) ≓ x (t ), Y ( p ) ≓ y (t ) Решение. изображениям 37 и перейдём к 1 ⎧ pX + 1 + 3 X + Y = ⎪⎪ p +1 ⎨ ⎪ pY + 2 − X + Y = 1 ⎪⎩ p+2 p ⎧ + + = − ( p 3 ) X Y ⎪⎪ p +1 +⎨ ⎪− X + ( p + 1)Y = − 2 p + 3 ⎪⎩ p + 2 × ( p + 3) или ×[− ( p +1) ] Применим метод исключения, сначала умножим второе уравнение на ( p + 3) и сложим с первым, имеем 2 p 3 + 12 p 2 + 20 p + 9 2 p 3 + 12 p 2 + 20 p + 9 2 , Y =− Y p + 4p + 4 = − ( p + 2 )( p + 1) ( p + 2 )3 ( p + 1) затем умножим первое уравнение на выражение − ( p + 1) и, складывая со вторым, получим p2 − 3 p2 − 3 − X p2 + 4 p + 4 = , X =− p+2 ( p + 2 )3 Разложение дробей на простейшие даёт 1 4 1 X ( p) = − + − 2 p + 2 ( p + 2 ) ( p + 2 )3 3 3 1 1 Y ( p) = − − + + 2 3 p + 2 ( p + 2) ( p + 2) p +1 После перехода к оригиналам имеем 1 ⎞ ⎛ x (t ) = ⎜ − 1 + 4t − t 2 ⎟e − 2t , 2 ⎠ ⎝ 1 ⎞ ⎛ y (t ) = ⎜ − 3 − 3t + t 2 ⎟e − 2 t + e − t . 2 ⎠ ⎝ IV. Решение уравнений в частных производных Рассмотрим частный случай на примере уравнения теплопроводности. Пусть дано уравнение ( ) ( ) 2 ∂u 2 ∂ u =a ∂t ∂ x2 38 ( 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0) (4.10) и требуется найти решение u ( x, t ) , удовлетворяющее начальному u ( x,0) = f ( x ) и граничным условиям условию u (0, t ) = ϕ1 (t ), u (l , t ) = ϕ 2 (t ) . Предположим, что u ( x, t ) , ∂ u ( x, t ) ∂ u ( x, t ) ∂ 2u ( x, t ) , ∂x , ∂ x2 , ∂t рассматриваемые как функции t , являются оригиналами. Оригиналу u ( x, t ) при значениях t > 0 и 0 ≤ x ≤ l соответствует ∞ − pt изображение U ( x, p ) = ∫ u ( x, t ) ⋅ e dt . По правилу дифференцирования оригинала с учётом начального условия имеем ∂ u ( x, t ) ≓ pU ( x, p ) − f ( x ) . ∂t Поскольку операции интегрирования и дифференцирования по переменной x при преобразовании Лапласа можно менять местами, то ∂ u ( x, t ) ∂x ∂ 2 u ( x, t ) ∞ =∫ ∂ u ( x, t ) ∂x ∂ 2 u ( x, t ) e − pt ∞ ∂U ( x , p ) ∂ − pt dt = u x , t ⋅ e dt = ( ) , ∂ x ∫0 ∂x +∞ ∂ 2U ( x, p ) ∂2 − pt =∫ ⋅e dt = u ( x, t ) ⋅ e dt = 2 2 ∫ ∂ x2 ∂ x ∂ x ∂ x2 При сделанных допущениях и обозначениях уравнению (4.10) относительно оригинала u ( x, t ) соответствует операторное уравнение ∞ − pt pU ( x, p ) − f ( x ) = a 2 ∂ 2U ( x, p ) (4.11) ∂ x2 Так как в данном уравнении p рассматривается как постоянная, то запишем уравнение (4.11) в виде: 1 d 2U ( x, p ) p ( ) − , = − U x p f (x ) . (4.12) dx 2 a2 a2 Применяя изображение Лапласа к граничным условиям u (0, t ) = ϕ1 ( t ) ≓ Φ1 ( p) и u (l , t ) = ϕ 2 ( t ) ≓ Φ 2 ( p) , получим соответствующие граничные условия для уравнения (4.12) U (0, p ) = Φ1 ( p ), U (l , p ) = Φ 2 ( p ) . (4.13) Таким образом, решение уравнения в частных производных (4.10) с начальным и граничными условиями свелось к решению обыкновенного дифференциального уравнения (4.12) при граничных условиях (4.13). 39 Найдя решение U ( x, p ) уравнения (4.12) при выполнении условий (4.13) и перейдя от изображения к оригиналу, получим решение исходной задачи. Пример 8. Найти решение уравнения теплопроводности 2 ∂ u ( x, t ) 2 ∂ u ( x, t ) =a ∂t ∂ x2 , удовлетворяющее начальному условию u ( x,0 ) = A sin условиям u (0, t ) = 0, u (l , t ) = 0 . Решение. Обозначим u ( x, t ) ≓ U ( x, p ) , тогда nπx и граничным l ∂ u ( x, t ) 2 2 nπ x ∂ u ( x, t ) ∂ U ( x, p ) = pU ( x, p ) − A sin , = . ∂t l ∂ x2 dx 2 Уравнение в пространстве изображений, соответствующее исходному уравнению и начальному условию, имеет вид d 2U ( x, p ) p A nπx U x p − ( , ) = − sin l dx 2 a2 a2 Граничные условия для полученного уравнения в изображениях имеют u(0, t ) = U (0, p ) , u(l, t ) = U (l, p) , следовательно, вид U (0, p) = 0, U (l, p) = 0 . Решим неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами методом подбора частного решения. p Характеристическое уравнение k 2 − 2 = 0 имеет корни a p p , k2 = − . Следовательно, общее решение соответствующего k1 = a a однородного уравнения имеет вид: U ( x, p ) = C1 ⋅ e p x a + C2 ⋅ e − p x a Частное решение неоднородного уравнения подберём в виде ∗ nπ x nπ x U = A cos + B sin l l . Подставляя это решение в неоднородное уравнение, имеем 40 2 2 nπx A nπx nπx p nπx nπx p ⎛ nπ ⎞ ⎛ nπ ⎞ − B⎜ − C⎜ − 2 B cos − 2 C sin = 2 sin ⎟ cos ⎟ sin l l l l l ⎝ l ⎠ ⎝ l ⎠ a a a nπx nπx и sin в обеих частях l l A полученного равенства, находим B = 0, C = . 2 ⎛ anπ ⎞ p+⎜ ⎟ ⎝ l ⎠ Таким образом, Приравнивая коэффициенты при cos U ( x, p ) = C1e p x a + C2 e − p x a + A ⎛ anπ ⎞ p+⎜ ⎟ ⎝ l ⎠ sin 2 n πx l Используем граничные условия: U (0, p ) = U (l , p ) = 0 , чтобы определить произвольные постоянные C1 и C2 : ⎧0 = C1 + C2 ⎪ p p ⎨ l − l a a ⎪⎩0 = C1e + C2 e Отсюда C1 = 0, C2 = 0 и A nπx . U ( x, p ) = sin 2 l ⎛ anπ ⎞ p+⎜ ⎟ ⎝ l ⎠ Оригиналом для функции U ( x, p ) является функция 2 u ( x, t ) = ⎛ anπ ⎞ −⎜ ⎟ t l ⎠ ⎝ A⋅e 41 ⋅ sin nπx . l Таблица оригиналов и изображений № f(t) F ( p) № f(t) 1 η (t ) 1 p 13 t n −1 eα t 14 cos 2 β t 15 2 2 3 t e n αt 4 cos β t 5 sin β t 6 сh β t 7 sh β t 8 1 t 9 eα t cos β t 10 eα t sin β t 11 eα t chβ t 12 eα t shβ t n! p n+1 1 p −α p 2 p +β p 2 + 2β 2 p( p 2 + 4β 2 ) 2β 2 sin β t ( eα α 1 t p( p 2 + 4β 2 ) 1 p( p − α ) ) −1 2 17 1− e 2 18 t 19 eα t t 20 − ln t − C 21 ln t t 22 e β t − eα t t 2 23 sin α t t arctg 2 24 shα t t 1 p +α ln 2 p −α p −β β 2 p −β2 π p p −α 2 2 ( p −α) + β β ( p − α )2 + β 2 p −α 2 ( p −α) − β β 2 ( p − α )n 16 p 2 (n − 1)! 2 β p2 + β F ( p) ( p −α) − β 42 − t 1 p (1 + αp) α π 2p p π p −α ln p p − π p ln ⋅ (ln 4 p + C ) p −α p−β α p § 5. Преобразование Фурье Пусть f (x ) – непериодическая функция, определенная на R и удовлетворяющая условиям Дирихле на любом конечном промежутке. Кроме того, будем предполагать, что несобственный интеграл +∞ ∫ f ( x) dx сходится. на промежутке [ −l , l ] ряд Фурье функции f ( x ) : −∞ a0 ∞ + (an cosω n x + bn sinω n x ) , 2 n=1 ∑ l (5.1) l 1 1 nπ f (t ) ⋅ cos ω n tdt , bn = f (t ) ⋅ sin ω n tdt . где ω n = , an = l l −l l −l ∫ ∫ Подставляя выражения для an и bn в ряд Фурье, получим l ∞ l ∑∫ 1 1 f (t ) dt + f (t )(cosω nt cosω n x + sinω nt sinω n x )dt . 2l −l l n=1 −l ∫ Обозначим разность частот ω n+1 − ω n = π l через Δω . Тогда ряд запишется l l 1 1 ∞ f ( t ) dt + ∑ Δω f (t )(cosωnt cosωn x + sin ωnt sin ωn x)dt (5.2) 2l −∫l π n=1 −∫l Устремим l → ∞ тогда предел (5.2) равен (обозначим J ( x) ) J ( x) = J ( x) = или 1 π 1 +∞ π ∫ dω ∫ f (t )[cosω t cosω x + sin ω t sin ω x]dt + ∞ ⎡⎛ ∫ +∞ 1 ⎢⎜ ⎢⎜⎝ π ⎣ J ( x) = ⇒ −∞ ⎛ ⎞ ⎟ cos ω x + ⎜ 1 f ( t ) cos ω tdt ∫ ⎜ π ⎟ −∞ ⎝ ⎠ +∞ 1 π ⎤ ⎞ ⎟ ∫ f (t ) sin ω tdt ⎟ sin ω x⎥⎥ dω −∞ ⎠ ⎦ +∞ +∞ ∫ [A(ω ) cos ω x + B(ω ) sin ω x]dω , 43 (5.3) Интеграл (5.3) называется интегралом Фурье. Справедлива следующая теорема ТЕОРЕМА 5.1. Пусть функция f (x ) удовлетворяет условиям: 1) удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном промежутке. 2) определена и абсолютно интегрируема на всей числовой оси; Тогда функция f (x ) представима своим интегралом Фурье, т.е. ее интеграл Фурье J (x ) сходится в каждой точке x и справедливо равенство f ( x), если x − точка непрерывности f ( x), ⎧⎪ J ( x ) = ⎨ f ( x + 0) + f ( x − 0) , если x − точка разрыва функции f ( x). ⎪⎩ 2 Чаще используется комплексная форма интеграла (5.3). По формулам Эйлера e iω x + e − iω x e iω x − e − iω x A(ω ) cosω x + B (ω ) sin ω x = A(ω ) + B (ω ) = 2 2i 1 A(ω ) − iB (ω ) iω x A(ω ) + iB (ω ) −iω x = e + e = C (ω )e iω x + C (−ω )e − iω x . 2 2 2 Запишем получившийся интеграл в виде суммы двух интегралов и во втором сделаем замену t = −ω . Получим: ( 1 J ( x) = 2π = 1 2π +∞ ∫ C (ω)e +∞ ∫ iω x 1 dω − 2π C (ω)e iω x dω + −∞ ∫ ) C (t )e it x dt = 1 C (t )e it x dt . ∫ 2π − ∞ Переходя от промежутка интегрирования (0,∞) к (-∞,∞) перепишется в виде 1 J ( x) = 2π где 1 C ( w) = 2π +∞ ∫ C (ω )e iω x dω J (x ) (5.4) −∞ +∞ ∫ f ( x )e −∞ 44 − iω x dx (5.5) Определение. Функция (5.5) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(x). Используется обозначение F [f(x)] =C(w). ℱ – оператор Фурье. Формула (5.4) 1 f ( x) = 2π позволяет +∞ ∫ C (ω )e iω x делать обратный переход: dω , т.е, по спектральной функции C(w) можно −∞ восстановить исходную функцию f(x). Величина |C(w)| называется амплитудным спектром, −argC(w) – фазовым спектром. (5.4) и (5.5) являются формулами симметричной формы преобразования Фурье. Симметричность А(w) и 1 C ( w) = 2π +∞ f ( x) = за счет формирования 1 в обеих формулах (5.4) и (5.5). Если в (5.3) 2π коэффициентов коэффициент возникает 1 не выносить перед интегралом, а оставить его внутри π В(w), +∞ для ∫ f ( x )e − iω x преобразования dx , а для Фурье обратного получим вид преобразования −∞ ∫ C (ω )e iω x dω . С другой стороны, в (5.3) можно вынести за знак −∞ интеграла коэффициент 1 π . Тогда обратное и прямое преобразования Фурье будут иметь вид 1 f ( x) = 2π +∞ ∫ C (ω )e iω x −∞ 45 dω (5.4*) +∞ C ( w) = ∫ f ( x )e − iω x dx (5.5*) −∞ Замечание: периодическая функция, определенная на (–l,l) и периодически продолженная, имеет дискретный спектр (ряд Фурье); непериодическая функция, определенная на (–∞,∞) имеет непрерывный спектр. Физически это означает, что исследуемый процесс нельзя построить из гармонических колебаний только с определенными изолированными частотами wn = nπ , для описания процесса нужны гармонические l колебания всех частот. Связь между преобразованием Лапласа и Фурье. t<0 ⎧0, Тогда, согласно (5.5*) ⎩ f (t ), t ≥ 0. 1. Рассмотрим функцию f (t ) = ⎨ +∞ C ( w) = ∫ f ( x )e − iω x dx (*). ∞ Если в интеграле Лапласа F ( p) = ∫ f (t )e − p t dt (**) положить p=iw, т.е. считать комплексную переменную p чисто мнимой, то правые части выражений в точности совпадают. Кроме того, совпадают первые два условия существования изображений по Лапласу (опр.5.1) и по Фурье (теорема 5.1): 1) f (t ) и f ' ( t ) или всюду непрерывны, или имеют на любом конечном промежутке лишь конечное число точек разрыва первого рода; 2) f (t ) =0 для всех точек t < 0 ; 46 Однако, третье условие для преобразования Лапласа: f ( t ) ≤ Me s 0 t , а для преобразования Фурье: абсолютная интегрируемость функции f (t ) на всей числовой оси. Очевидно, третье условие для преобразования Фурье сильнее. Это приводит к тому, что ряд функций, имеющих изображения по Лапласу не имеют Фурье образов. Пример. Проверить, является ли функция оригиналом по Лапласу и по Фурье? а) f ( t ) = η (t ) проверяем третье условие. 1 L: | 1 |≤ 1e ; s0 = 0, F ( p ) = p 0t ∞ ℱ : ∫1dt = ∞ ДА НЕТ б) f ( t ) = t ⋅ η (t ) L: | t |≤| e ln t 1⋅t |≤ 1 ⋅ e ; s0 = 1, F ( p ) = 1 p2 ∞ ℱ : ∫ tdt = ∞ ДА НЕТ в) f ( t ) = sin t ⋅ η (t ) L: | sin t |≤| 1 |; s0 = 0, F ( p ) = 1 p2 + 1 ∞ ℱ : ∫ | sin t | dt = ∞ НЕТ ДА г) f ( t ) = cos t ⋅ η (t ) L: | cos t |≤| 1 |; s0 = 0, F ( p) = Геометрически: p p2 + 1 f (t ) ∞ ℱ: ∫ | cos t | dt = ∞ НЕТ ДА cos t 1 π/2 47 t Для обратного перехода преобразования Лапласа имеем s + i∞ 1 f (t ) = F ( p ) ⋅ e p t dp (2.3). ∫ 2πi s − i∞ Положив s = 0, p = iw, dp = idw получим 1 f (t ) = 2π +∞ ∫ F (iw)e iw t dw − −∞ совпадает с (5.4*). Различие в подынтегральной функции F (iw) (вместо F (w) ) объясняется тем, что для точного соответствия обозначений преобразование Фурье следовало бы писать в виде F (iw) , считая в интеграле Лапласа p чисто мнимой величиной. Часто так и делают. Таким образом, если оригинал f (t ) при преобразовании Лапласа дополнительно удовлетворяет условию преобразования Фурье (Т. 5.1.) – абсолютной интегрируемости преобразование Фурье, и f (t ) , то для него существует и все свойства преобразования получаются из свойств преобразования Лапласа. Свойства Фурье-преобразования. F F Если F ( w) ← f ( t ) и G ( w) ← g ( t ) , то F 1. af(t) +bg (t) → a F ( w ) + b G ( w ) F 2. f (α t ) → ⎛ w⎞ F ⎜ ⎟ (α≠0) α ⎝α ⎠ 1 F 3. f (t + c) → e −icw F (w) F 4. e ict f (t ) → F (w + c ) F 5. (it ) n f (t ) → F ( n ) (w) F 6. f ( n ) (t ) →(−iw) n F (w) 48 Фурье 7. f ( t ) ∗ g (t ) = +∞ ∫ F f (τ )g (t − τ ) dτ → F ( w) ⋅ G ( w) −∞ F 8. f ( t ) ⋅ g (t ) → F ( w) * G ( w) F 9. f ( t ) → F (− w) Синус- и косинус - преобразования. Так как интеграл (5.4) получен как предельный переход суммы Фурье, то для преобразований Фурье будут справедливы свойства ряда Фурье для четных и нечетных функций. Это удобно, когда изучаемый процесс ограничен полупрямой (0,+∞). Тогда рассматривают пару преобразований: Fc ( w) = 2 π ∞ ∫ f (t ) cos wt dt − косинус преобразование обратно: f (t ) = Fs ( w) = 2 π 2 π ∞ ∫ Fc ( w) cos wt dw −∞ ∞ ∫ f (t ) sin wt dt − синус преобразование обратно: f (t ) = 2 π ∞ ∫ Fs (w) sin wt dw . −∞ ⎧e −αt , t ≥ 0 Пример. f (t ) = ⎨ ⎩0, t < 0 L[ f (t )] = (5.6) 1 1 . Заменяем p=iw, ℱ [f(t)]= . iw + α p +α 49 (5.6*) То же ∞ F ( w) = ∫ e самое − iwt −αt e Амплитудный получим по определению: ∞ 1 e − (α + iw)t dt = = . − (α + iw) 0 α + iw ψ ( w) = − arg F ( w) = arctg w α 1 | F ( w) |= спектр 2 w +α , 2 фазовый спектр . ⎧0, t < 0 ⎪ Пример. f (t ) = ⎨1, 0 ≤ t ≤ τ − импульс, длящийся время τ. ⎪0, t > τ ⎩ f (t ) = η (t ) − η (t − τ ) L[ f (t )] = ℱ [f(t)]= 1 1 −τ − e p p − iwτ 1 2e (1 − e − iwτ ) = iw w ⋅ p iwτ e 2 = 1 (1 − e −τ p ) p −e 2i − iwτ 2 = wτ iwτ 2 e− 2 . w 2 sin Такая форма записи позволяет легко записать амплитудный и фазовый спектр: | F ( w) |= 2 wτ 2 и ψ ( w) = wτ w 2 sin § 6. Дискретные преобразования Z − преобразование Пусть дана последовательность действительных или комплексных чисел a0 , a1 , a2 , ..., an , ... = {an } 50 Определение 6.1. Z − преобразованием последовательности {an } называется функция комплексного переменного F (z ) , определенная рядом F ( z ) = a0 + a a1 a 2 + 2 + ... + nn + ... z z z (6.1) Обозначают ℒ [ {an } ]. Если последовательность {an } удовлетворяет условию an ≤ Meαn (6.2) то ряд (6.1) сходится при | z |> R , где R = eα . Действительно, ряд 6.1 мажорируется геометрической прогрессией n ⎛ eα ⎞ ⎜ ⎟ , которая ≤ M ⎜| z |⎟ zn ⎝ ⎠ an сходится, если | z |> eα . Т.о., функция F (z ) − аналитическая при | z |> R , а разложение (6.1) – ее ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки. Ясно, что z= ∞ – правильная точка ( F (z ) – ограничена) и F (∞ ) = a0 . Пример. {an } = 1, b, b 2 , ..., b n , ... ⇒ an = b n = e n ln b (b ≠ 0) . Так как an = b n =| b |n = e n ln |b| (α = ln | b |) , то согласно (6.2) ряд 6.1. сходится для | z |>| b | . Z – преобразование: F ( z ) = 1 + 1 b b2 bn z (6.3) + 2 + ... + n + ... = = b z z z − b z 1− z Правило. Если Z – преобразование некоторой последовательности {an } является заданной функцией F (z ) , аналитической в бесконечности, то, чтобы найти саму последовательность {an } т.е. найти обратное Z – 51 преобразование, нужно разложить функцию F (z ) в ряд Лорана в окрестности z = ∞; этот ряд будет содержать только правильную часть. Коэффициенты ряда будут составлять искомую последовательность. Для нахождения {an } можно использовать полученную для вычисления коэффициентов ряда Лорана формулу: (Сравнить с формулой ФКП (8.6) С – любой замкнутый c n = контур a 1 2πi n ∫ = 1 2πi ∫ F (z) z ( ) dz C f ( t ) dt C' t − a n −1 n +1 . достаточно a n обозначалась большого c −n , радиуса, окружающий все особые точки). D − преобразование Лапласа Введем новую переменную в (6.3) z = e q и обозначим F ( z ) = F (q ) . Тогда получим ряд F (q ) = a0 + a1e − q + a2 e − 2 q + ... + an e − nq + ... = ∞ ∑ an e − nq n=0 Функция F (q ) называется дискретным преобразованием Лапласа (D − преобразование) последовательности {an } . Но последовательность − это функция целочисленного аргумента an = f (n) . Определение 6.2. Рассмотрим функцию f(t) действительного аргумента t, определенную для t ≥ 0 . Будем предавать переменной t только целые значения. Тогда Последовательность получим { f (n)} последовательность называется Обозначают просто f (n) . 52 решетчатой { f (n)} . функцией. Таким образом, всякая функция f (t ) , являющаяся оригиналом для обычного преобразования Лапласа, «порождает» решетчатую функцию f (n) , для которой определено дискретное преобразование Лапласа ∞ F (q ) = ∑ f (n)e − nq (6.4) n=0 Записывают: f (n) F (q ) По аналогии с оригиналом f (t ) , функция f (n) определена для n = 0,1,2,… и равна нулю для n = −1, −2,… О сходимости ряда а) так как z = e q = e q + 2π ki , то F (q ) − периодическая с мнимым периодом 2π i . б) из сходимости z – преобразования: | z |> eα ⇒ | z |= e q = e s + iw > eα ⇒ F (q ) аналитична в полуплоскости s > α Из а) и б) ⇒ F (q ) аналитична в полуполосе π ⎧− π < w < π ⎨ ⎩s > α -π ω α s Пример. f (n) = 1 = η (n) z . Положим b=1 z −b и используем связь D – преобразования с Z – преобразованием ( z = e q ) а) Воспользуемся предыдущим примером ℒ [ {b n } ]= q ⇒. F (q ) = qe б) e −1 Найдем ∞ изображение ∞ F(q) = ∑ f (n)e−nq = ∑1e−nq = n=0 n=0 αn 1 1− e −q = функции e q q e −1 Пример. f (n) = e . Воспользуемся 53 по определению. z = eq eq eq z . ℒ [{b } ]= = ⇒ F (q ) = = z − b b = e α e q − eα e q − eα n Свойства дискретного преобразования Лапласа Пусть решетчатым функциям f (n) и g (n) соответствуют изображения F (q ) и G (q ) , т.е. f (n) F (q ) и g (n) G (q ) . 1. Свойство линейности a f (n) +bg (n) a F(q) + bG (q) . Доказательство – из определения. 2. Свойство затухания (смещение в аргументе изображения) eαn f (n) F (q − α ) (6.5) Доказательство – из определения. 3. Свойство запаздывания и опережения (смещение в аргументе оригинала) f (n − k ) e − qk F (q) (6.6) f (n + k ) k −1 ⎡ ⎤ e qk ⎢ F (q ) − ∑ f (m)e − qm ⎥ m=0 ⎣ ⎦ (6.6*) Доказательство. (6.6): по определению f (n − k ) ∞ ∑ f (n − k )e − nq = n−k =m = n=k ∞ = ∑ f ( m)e − q(m + k ) =e − qk m=0 ∞ ∑ f (m)e − qm = e − qk F (q) . m=0 (6.6*): по определению: f (n + k ) ∞ ∑ f (n + k )e − nq = n + k = m = n=0 e − qk ∞ ∑ f ( m)e − q ( m − k ) = m=k k −1 k −1 ⎡ ∞ − qm − qm ⎤ qk ⎡ − qm ⎤ = − ∑ f ( m)e ⎢ ∑ f ( m)e ⎥ e ⎢ F ( q ) − ∑ f ( m )e ⎥. m=0 m=0 ⎣m = 0 ⎣ ⎦ ⎦ 54 Пример. Найти изображение решетчатой функции f (n) = η (n − k ) . η (n − k ) eq . eq − 1 η (n) Известно: e − qk eq eq − 1 = По свойству (6.6) 1 (e q − 1)e q ( k −1) 4. Свойство дифференцирования изображения − nf (n) F ′(q) в общем случае: (− n )k f (n) F ( k ) (q ) (6.7) (Доказательство из возможности почленного дифференцирования ряда) САМОСТОЯТЕЛЬНО Пример. n η (n) eq , eq − 1 n ′ ⎛ eq ⎞ eq ⎟ = − ⎜⎜ q ⎟ (e q − 1) 2 , e − 1 ⎝ ⎠ ′ ⎛ eq ⎞ e q (e q + 1) ⎟ = − ⎜⎜ q … 2⎟ q 3 ( e − 1 ) ( e − 1 ) ⎝ ⎠ 2 5. Свойство интегрирования изображения f (n) f ( n) Пусть f (0) = 0 и = 0 , тогда n n n =0 ∞ ∫ F (q) dq (6.8) q Доказательство. ∞ ∞ ∞ f ( n)e ∫ F (q) dq = ∫ ∑ n =0 Рассмотрим q = ∞ f (n) − qn e n n=0 ∑ − qn dq = q f ( n) . n В общем случае, если выполняется lim+ t →0 55 f (t ) = 0 , то tk ∞ ∞ n =0 q ∑ f ( n) ∫ e − qn dq = f ( n) ∞ ∞ q q ∫ ...∫ F (q) dq...dq nk k раз Пример. Найти изображение решетчатой функции f (n) = eq , η (n − 1) eq − 1 η (n) η (n − 1) n ∞ =∫ ∞ dq q q e −1 =∫ e−q eq eq − 1 de q q q q e (e − 1) = = ln 1 eq − 1 eq eq − 1 η (n − 1) n . ⇒ . 6. Дифференцирование по параметру. Если f (n, x) F (q, x) , то ∂ f ( n, x ) ∂x ∂F (q, x) ∂x (6.9) 7. Интегрирование по параметру. x Если f (n, x) F (q, x) , то ∫ f (n, x) dx x0 x ∫ F (q, x) dx (6.10) x0 Конечные разности Пусть f (t ) − заданная функция, Δt=h – фиксированное приращение (шаг) независимого переменного t. Определение 6.3. Первой разностью, или разностью первого порядка называется выражение Δ f (t ) = f (t + h) − f (t ) (6.11) Разностью второго порядка называется выражение Δ2 f (t ) = Δ (Δ f (t )) = Δf (t + h) − Δf (t ) = f (t + 2h) − f (t + h) − f (t + h) + f (t ) ⇒ Δ2 f (t ) = f (t + 2h) − 2 f (t + h) + f (t )) (6.11*) Δk f (t ) = Δ(Δk −1 f (t )) = Δk −1 f (t + h) − Δk −1 f (t ) = f (t + kh) − C1k f (t + (k − 1)h) + ... + (−1) k f (t ) 56 − все последующие разности выражаются через f (t + kh) , Ckr - биномиальные коэфф. Конечные разности для решетчатой f (n) функции будут считаться с шагом h=1. Δ f (n) = f (n + 1) − f (n) . Очевидно, если f (n) = an , то Δ f (n) = a , Δ2 f (n) = Δ3 f (n) = ... = 0 . Если f (n) = n2 , то Δ f (n) = (n + 1) 2 − n2 = 2n + 1, Δ2 f (n) = 2(n + 1) + 1 − 2n −1 = 2 . Δ3 f (n) = Δ4 =...= 0. т. е. последовательные разности f (n) = n k функции являются многочленами понижающихся степеней, и Δk f (n) = k! Пример. Найти разности функции f (n) = eα n до k-го порядка. Δ f (n) = eα ( n+1) − eα n = eα n (eα − 1) ; Δ2 f (n) = eα ( n+ 2) − 2eα ( n+1) + eα n = eα n (e 2α − 2eα + 1) = eα n (eα − 1) 2 ; Δk f (n) = eα n (eα − 1) k . Для решетчатой функции f (n) конечные разности играют роль, аналогичную той, которую играют производные для непрерывной функции. Это свойство отражается и на D-преобразовании конечных разностей. Формально это свойство аналогично свойству дифференцирования оригинала для обычного преобразования Лапласа. 8. Изображение разностей решетчатой функции. Если f (n) F (q ) , то Δ f (n) (e q − 1) F (q ) − e q f (0) (6.12) Доказательство. Δ f (n) = f (n + 1) − f (n) e q [F (q ) − f (0)] − F (q ) = (e q − 1) F (q ) − e q f (0) . 57 Аналогично продолжая, получим: Δk f (n) [ ] (eq −1)k F(q) − eq (eq −1)k −1 f (0) + (eq −1)k −2 Δf (0) + ...+ (eq −1)Δk −2 f (0) + Δk −1 f (0) Если f (0) = Δ f (0) = Δ2 f (0) =...= Δk−1 f (0) = 0, то последнее выражение значительно упрощается: (e q − 1) k F (q ) Δk f (n) (6.12*) Обратной операцией к образованию первой разности является операция суммирования (аналогия: дифференцирование – обратно – интегрирование). Определение 6.4. Суммой решетчатой функции f (n) называется решетчатая функция g (n) , определенная следующим образом: g ( 0) = 0 , g ( n ) = n −1 ∑ f (k ) (n=1,2,…) (6.13) k =0 Подробно: g (1) = f (0) , g (2) = f (0) + f (1) , g (3) = f (0) + f (1) + f (2) = g (2) + f (2) . Очевидно, исходная функция f (n) служит для g (n) первой разностью: Δg (n) = g (n + 1) − g (n) = f (n) . 9. Изображение суммы решетчатой функции Если f (n) F (q ) , то n −1 F (q) k =0 eq − 1 ∑ f (k ) (6.14) Доказательство. Обозначим сумму решетчатой функции n −1 ∑ f (k ) =g (n) k =0 58 G (q ) . Так как Δg (n) = f (n) , то Δg (n) = F (q ) . Δg (n) По свойству 8, формула (6.12*) (e q − 1)G (q) ( g (0) = 0 ) ⇒ n −1 F (q ) = (e q − 1)G (q) ⇒ ∑ f (k ) G (q ) = k =0 F (q) eq − 1 . ч.т.д. Определение 6.5. Сверткой решетчатых функций f (n) и называется n f (n) * g (n) = ∑ f (n − k )g (k ) (6.15) k =0 Замечание f (n) * g (n) = g (n) * f (n) . 10. Теорема умножения изображений. Произведению изображений соответствует свертка оригиналов f (n) * g (n) F (q ) G (q ) (6.16) Доказательство. По определению изображения ∞ G (q) = ∑ g (k )e − kq . k =0 Домножим обе стороны равенства на F (q ) : F (q ) G (q ) = ∞ ∑ e − kq F (q) g (k ) . k =0 По свойству запаздывания e− kq F (q) F (q ) G (q ) = f (n − k ) , тогда ∞ ∑ f (n − k ) g (k ) . k =0 Так как f (n − k ) = 0 при k > n то F (q ) G (q ) = n ∑ f (n − k ) g (k ) . k =0 Пример. Найти оригинал функции F (q ) = 59 e 2q (e q − 1)(e q − e) . g (n) 1 − en = ⋅ Решение. q η (n) * e = ∑1 ⋅ e = 1− e (e − 1)(e q − e) (e q − 1) (e q − e) k =0 Определение 4.6. Сверткой изображений называется функция e 2q eq F (n) * G (n) = Предполагается, полуплоскости что eq 1 n γ + iπ F ( s ) ⋅ G (q − s )ds . 2π i γ −∫iπ функции Re q > α ∞ n и F (n) и G (n) аналитичны в γ > α . Тогда свертка аналитична в полуплоскости Re q > α + γ . В этой полуплоскости Re(q − s ) > α , когда точка s находится на отрезке интегрирования [γ − iπ , γ + iπ ] , и поэтому обе функции, стоящие под знаком интеграла – аналитические. Замечание F (n) * G (n) = G (n) * F (n) . 11. Теорема умножения оригиналов. f (n) g (n) F (q ) * G (q ) Предельные значения оригинала и изображения. Между значениями решетчатой функции-оригинала и ее изображения в нуле и на бесконечности имеют место соотношения, подобные установленным для обычного преобразования Лапласа (замечание 1.2). Поскольку функция F (z ) , являющаяся f (n) , аналитична в последовательности lim F(z) = a0 = f (0) , то и Z-преобразованием бесконечности и z →∞ lim F (q) = f (0) (т.к. z = e q ) q →∞ (6.17) Рассмотрим изображение первой разности: Δf (n) = ϕ (n) Пусть Φ(q) = ∞ ∑ e − nqϕ (n) . n =0 ∞ ∑ϕ (n) сходится, тогда при q = 0 n=0 60 Φ ( 0) = ∞ ∑ϕ (n) (*). n=0 Если существует предел lim f (n) = f (∞) , то можно записать n→∞ ∞ ∞ n=0 n=0 ∞ ∑ϕ (n) = ∑ Δf (n) = ∑[ f (n + 1) − f (n)] = f (∞) − f (0) ⇒ для (*) запишем Если f (n) F (q ) , то Δf (n) = ϕ (n) n=0 Φ ( 0) = f ( ∞ ) − f ( 0) (**) (e q − 1) F (q ) − f (0)e q = Φ (q ) . Переходя к пределу [ (***) ] lim (e q − 1) F (q ) = lim Φ (q ) + f (0)e q = f (∞) . q →0 q →0 Т.О. если q = 0 - правильная точка для изображения F (q ) , то f (∞) =0. (6.18) 61 Формулы соответствия для D-преобразования № Оригинал f(n) 1 η (n) 2 n 3 n 2 n 3 n 4 4 5 6 e 7 neαn n e 9 sin ω n 10 cos ω n 12 13 14 eq eq − 1 eq (e q − 1) 2 e q (e q + 1) (e q − 1) 3 e q (e 2 q + 4e q + 1) (e q − 1) 4 e q (e 3q + 11e 2 q + 11e q + 1) (e q − 1) 5 eq αn 8 11 Изображение F*(q) e q − eα e q eα ( e q − eα ) 2 e q eα ( e q + eα ) ( e q − eα ) 3 2 αn shω n chω n eαn sin ω n eαn cos ω n e q sin ω e 2 q − 2e q cos ω + 1 (e q − cos ω )e q e 2 q − 2e q cos ω + 1 e q shω e 2 q − 2e q chω + 1 (e q − chω )e q e 2 q − 2e q chω + 1 e q eα sin ω e 2 q − 2e q eα cos ω + e 2α (e q − eα cos ω )e q e 2 q − 2e q cos ω + e 2α 62 Таблица 6.2. Переход от изображения к оригиналу 1. Функция-изображение – рациональная функция от e q F (q) = C (q ) c0 e qm + c1e q ( m −1) + ... + cm . = B (q ) b0 e qr + b1e q ( r −1) + ... + br (6.19) В терминах Z-преобразования эта формула имеет вид: C ( z ) c0 z m + c1 z ( m −1) + ... + cm F ( z) = = B ( z ) b0 z r + b1 z ( r −1) + ... + br (6.19*) причем степень числителя не может превышать степени знаменателя ( m < r ), так как z = ∞ − правильная точка для функции F (z ) (условие существования оригинала). Если m = r , то можно выделить целую часть, и, согласно (6.17) F(z) = a0 = f (0) . В случае простых корней знаменателя дробей (6.19), их можно разложить на простейшие множители: F ( z ) = C ( z) r d k =∑ B( z ) k =1 z − z k или d C (q ) r = ∑ q k q , где коэффициенты d k − вычеты в простых F (q) = B (q ) k =1 e − e k полюсах. d k = C ( z) . B′( z ) z = z k Рассмотрим знаменатель 1 q e −e теореме запаздывания e − q ⋅ F (q ) e −q ⋅ eq q e −e αn α . Известно, e qk eq e q − eα . По f (n − 1) . Тогда, = 1 q e −e α eα ( n −1) . Обозначая eα = e q k = z k , для случая простых полюсов функции F (z ) можно записать оригинал: 63 F ( z) = r C ( z) B( z ) r ∑ d k ⋅ z kn −1 = ∑ Re s F ( z ) ⋅ z kn −1 (6.20) k =1 z = z k k =1 В общем случае кратных корней знаменателя дробей (6.19) для вычисления оригинала применима формула l [ f (n) = ∑ Re s F ( z ) ⋅ z n −1 k =1 z = z k [ где Re s F ( z ) ⋅ z z = zk n −1 ] ] (6.21) 1 d γ −1 = lim γ −1 F ( z ) ⋅ ( z − z k )γ ⋅ z n −1 (γ − 1)! z → z k dz [ Пример. Найти оригинал функции F (q ) = Решение. Пусть e q = z . F ( z ) = eq e z 2 z − 3z + 2 2q = q − 3e + 2 ] (6.21*) . z . Знаменатель ( z − 1)( z − 2) имеет два простых корня z1 = 1, z 2 = 2 . По формуле (6.20): B′( z ) = 2 z − 3 d1 = 1 2 C ( z) C ( z) = = −1, d 2 = = = 2. B′( z ) z =1 2 − 3 B′( z ) z = 2 2 ⋅ 2 − 3 2 f (n) = ∑ d k ⋅ z kn −1 = −1 ⋅ (1) n −1 + 2 ⋅ 2 n −1 = 2 n − 1 . По формуле (6.21): [ k =1 ] z ( z − 1) z n−1 z ( z − 2) z n−1 = f (n) = ∑ lim F ( z) ⋅ ( z − zk ) ⋅ z = lim + lim z →1 ( z − 1)( z − 2) z →2 ( z − 1)( z − 2) k =1 z →zk 1 n −1 2 n −1 1 + 2 = 2n − 1 . 1− 2 2 −1 2 n−1 § 7. Решение разностных уравнений Уравнение вида Φ [ n , f ( n ), f ( n + 1), ... , f ( n + k )] = 0 или Φ [ n , f ( n ), Δ f ( n ), ... , Δk f ( n )] = 0 (7.1) где f(n) – искомая решетчатая функция, называется разностным уравнением или уравнением в конечных разностях. Так как Δk f (n) 64 всегда можно выразить f (n + k ) , через оба уравнения (7.1) равнозначны. Рассмотрим линейное разностное уравнение k-го порядка с постоянными коэффициентами f (n + k ) + a1 f (n + k − 1) + ... + ak f (n) = ϕ (n) (7.2) здесь f (n) – искомая, ϕ (n) − заданная решетчатая функция. Если ϕ (n) ≡ 0 , то (7.2) – однородное уравнение, при ϕ (n) ≠ 0 – (7.2) не однородное. Пусть заданы начальные условия f (0) = f 0 , f (1) = f1 , ..., f (r − 1) = f k −1 (7.3) Применяя к (7.2) D-преобразование Лапласа (таблица 2) и пользуясь формулой опережения (6.6), переходим к операторному уравнению. Если (7.2) задано в виде Δk f (n) + b1Δk −1 f (n) + ... + bk f (n) = ϕ (n) (7.4) то метод решения тот же, но для построения операторного уравнения пользуются изображением разностей (6.12) Пример. Решить задачу Коши f (n + 2) − 5 f (n + 1) + 6 f (n) = 0 , f (0) = f 0 , f (1) = f1 . Решение. Пусть f (n) F (q) . Тогда f ( n + 2) [ ] e 2 q F (q ) − f 0 − f1 e − q , f (n + 1) e q [F (q ) − f 0 ] . Переходим к операторному уравнению [ ] e 2 q F (q) − f 0 − f1 e − q − 5e q [F (q) − f 0 ] + 6 F (q) = 0 ⇒ (e 2 q − 5e q + 6) F (q ) = f 0 e 2 q − f1 e q + 5 f 0 e q ⇒ 65 F (q) = f 0 e 2 q − f1 e q + 5 f 0 e q e 2 q − 5e q + 6 = f0 + f1e q − 6 f 0 (e q − 3)(e q − 2) . Введем обозначения e q = z . Тогда F ( z) = f0 + f1 z − 6 f 0 . ( z − 3)( z − 2) f 0 =const равен нулю ( ∀n ≥ 1 ). Второе слагаемое – Оригинал от правильная дробь с простыми полюсами. По формуле (6.20) d1 = d2 = C (3) 3 f1 − 6 f 0 = = 3 f1 − 6 f 0 , B′(3) 2⋅3− 5 C (2) 2 f1 − 6 f 0 = = 6 f 0 − 2 f1 ⇒ B′(2) 2⋅2−5 f (n) = (3 f1 − 6 f 0 )3n −1 − ( f1 − 3 f 0 )2 n . Пример. Решить задачу Коши Δ2 f (n) − 2Δf (n) + f (n) = 2 , f (0) = 0 , Δf (0) = 1 . Решение. Пусть f (n) Δ2 f (n) F (q) . Тогда [ ] (e q − 1) 2 F (q ) − e q (e q − 1) f (0) + Δf (0) = (e q − 1) 2 F (q ) − e q , (e q − 1) F (q ) − e q f (0) = (e q − 1) F (q ) , Δ f (n) 2 2 eq eq − 1 Переходим к операторному уравнению q q 2 (e − 1) F (q) − e − 2(e − 1)F (q) + F (q) = 2 (e 2q F (q) = q 2eq + e2q − eq (e − 1)(e eq q − 2e + 1 − 2e + 2 + 1) F (q) = 2 q 2q eq q q − 4e + 4) = 66 q e −1 eq − 1 + eq ⇒ e2q + eq q q (e − 1)(e − 2) ⇒ 2 = eq = z = = z2 + z ( z − 1)( z − 2) Вычисляя оригиналы для 2 = 2 1 6 . − + z − 1 z − 2 ( z − 2) 2 2 1 6 , , z − 1 z − 2 ( z − 2) 2 по формуле (6.21) находим 2 z −1 1 z−2 6 ( z − 2) 2 2( z − 1) z n−1 = 2, z →1 ( z − 1) lim ( z − 2) z n −1 = 2 n −1 , z → 2 ( z − 2) lim ' ⎡ 6( z − 2) 2 z n −1 ⎤ n−2 lim ⎢ ⎥ = 6(n − 1)2 . ⇒ 2 z →2 ⎣ ( z − 2) ⎦z f (n) = 2 − 2 n−1 + 6(n − 1)2 n−2 . 67 п.1. Анализ входных процессов линейных стационарных динамических систем. В теории автоматического регулирования и управления важную роль играет ниже сформулированная задача: на вход динамической системы, математическая модель которой описана, поступает сигнал. Требуется найти сигнал на выходе, т.е., реакцию динамической системы на входной сигнал. Типы динамических систем: а) непрерывные − описываются дифференциальными уравнениями; б) дискретные − описываются разностными уравнениями; в) линейные – задаются линейными уравнениями; г) нелинейные − задаются нелинейными уравнениями; д) стационарные − описываются уравнениями с постоянными коэффициентами; е) нестационарные − имеют уравнения с переменными коэффициентами; ж) одномерные – суммарное число входов и выходов ≤2; з) многомерные – суммарное число входов и выходов больше двух; Применение преобразования Лапласа для задач анализа непрерывных стационарных систем имеет свои особенности. Как было показано выше, Z– и D–преобразования связаны друг с другом простой зависимостью e q = z . Поэтому, все подробно доказанные в §4 для D– преобразования свойства могут быть легко применены и для Z– преобразования. 1. Одномерная система (дискретный процесс). Пусть известен входной сигнал g(k), k=0,1, … . Поведение линейной дискретной стационарной динамической системы задано разностным уравнением 68 an ⋅ x(k + n) + an−1 ⋅ x(k + n − 1) + ... + a0 ⋅ x(k ) = = bm ⋅ g (k + m) + bm −1 ⋅ g (k + m − 1) + ... + b0 ⋅ g (k ) , где коэффициенты ai , b j , i = 0, n, j = 0, m заданы, n≥m. Начальные x(0)=x0, x(1)=x1, …, x(n−1)=xn−1. условия: Будем искать выходной сигнал x(k). Считаем, что входной сигнал g(k), k=0,1, … принадлежит пространству оригиналов. Применим Z–преобразование к обеим частям уравнения с учетом формулы опережения (6.6*): [an ⋅ z n + ... + a0 ] ⋅ X (z) − x0[an ⋅ z n + ... + a1 ⋅ z] − x1[an ⋅ z n−1 + ... + a2 ⋅ z] − ... − xn−1 ⋅ an ⋅ z = [bmzm + ...+ b0 ] ⋅ G(z) − g(0)[bmzm + ...+ b1 ⋅ z] − g(1)[bmzm−1 + ...+ b2 z] − ...− g(m −1) ⋅ bmz . Введем обозначения: D( z ) = an ⋅ z n + ... + a0 , M ( z ) = bm z m + ... + b0 , n D1 ( z ) = x0 ∑ ai ⋅ z i + x1[an ⋅ z n −1 + ... + a2 ⋅ z ] + ... + xn −1 ⋅ an ⋅ z i =1 m D2 ( z ) = g (0) ⋅ ∑ b j ⋅ z j + g (1) ⋅ [bm ⋅ z m −1 + ... + b2 ⋅ z ] + ... + g (m − 1) ⋅ bm ⋅ z . j =1 Тогда уравнение принимает вид: D( z ) ⋅ X ( z ) = M ( z ) ⋅ G ( z ) + D1 ( z ) − D2 ( z ) , откуда находим изображение выходного сигнала: X ( z) = Выходной сигнал Z−преобразования, D1 ( z ) M ( z ) D ( z) . + ⋅ G( z) − 2 D( z ) D( z ) D( z ) системы где определяем первое слагаемое с помощью обратного описывает свободное движение (с ненулевыми начальными условиями и нулевым входным сигналом), а второе и третье – вынужденное (под действием входного сигнала при нулевых начальных условиях). 69 Пример.1. Найти реакцию динамической системы, которая описывается уравнением x(k+2)–2x(k+1)+x(k)=2g(k), на входной сигнал g(k)=2k при x(0)=x(1)=0 . Решение. Находим Z–преобразование входного сигнала: G(z)=Z[2k]= z ; D(z)=z2–2z–1; z−2 определяем передаточную функцию: W ( z) = 2 2 M ( z) = 2 = . D( z ) z − 2 z + 1 ( z − 1) 2 Из начальных условий x0=x1=0, m=0, отсюда D1(z)=0, D2(z)=0. Далее находим Z–преобразование выходного сигнала: X ( z) = 2 ( z − 1) 2 ⋅ z . z−2 Разлагая в ряд Лорана X ( z) = 2z 3 z − 4 z 2 + 5z − 2 , получим X(z)=2z –2+8x –3+22z –4+…, коэффициенты ряда Лорана являются значениями искомой решетчатой функции x(k): x(0)=x(1)=0, x(2)=2, x(3)=8, x(4)=22, … Пример 2. Дискретная динамическая система задана уравнением x(k+2)–5x(k+1)+6x(k)=g(k). Найти ее реакцию на входной сигнал g(k)=1 при начальных условиях x(0)=1, x(1)=2. Решение. Найдем Z[g(k)]=Z[1]= W ( z) = z . Тогда z −1 1 z 2 − 5z + 6 70 , D1 ( z ) = x0 ⋅ [a2 ⋅ z 2 + a1 ⋅ z ] + x1 ⋅ a2 ⋅ z = 1 ⋅ [ z 2 − 5 z ] + 2 = z 2 − 3z . Так как m=0 ⇒ D2=0. Находим Z–преобразование выходного сигнала: X ( z) = z 2 − 3z z 2 − 5z + 6 или X ( z ) = где X c ( z ) = + z z 2 − 5z + 6 z − 1 1 ⋅ z z , + z − 2 ( z − 1)( z − 2)( z − 3) 1 z 1 z z z , X b ( z) = ⋅ . − + ⋅ z−2 2 z −1 z − 2 2 z − 3 По таблице находим выходной сигнал: 1 1 k 1 3k k x(k ) = 2 + − 2 + ⋅ 3 = + . 2 2 2 2 k 2. Многомерные системы ⎛ g1 (k ) ⎞ ⎜ ⎟ Пусть задан входной сигнал g(k)= ⎜ M ⎟ , и многомерная дискретная ⎜ g (k ) ⎟ ⎝ s ⎠ стационарная система задана уравнением состояния: x(k+1)=Ax(k)+Bg(k) и уравнением выхода: y(k)=Cx(k), где x – n-мерный вектор состояния, y – m-мерный вектор выхода, A[n x n], B[n x s], C[s x n] − матрицы. Вектор начальных состояний ⎛ x10 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x20 ⎟ x0 = ⎜ ≡ [ x10 , ..., xn 0 ]T ⎟ M ⎜⎜ ⎟⎟ x ⎝ n0 ⎠ 71 задает начальные условия. Требуется найти законы изменения векторов состояния x(k) и выхода y(k). Считаем, что входной и выходной сигналы и вектор состояния принадлежат пространству G(z)=Z[g(k)]. Применим оригиналов. Обозначим Z−преобразование X(z)=Z[x(k)], к уравнению x(k+1)=Ax(k)+Bg(k): zX(z)−zx0=AX(z)+BG(z) или [zE – A] X(z)= zx0+BG(z), где Е – единичная матрица. Решаем последнее уравнение относительно X(z): X(z)=[zE – A]-1 z x0+[zE – A]-1 BG(z). Из уравнения выхода y(k)=Cx(k) следует: Y(z)=C X(z), то есть Y(z)=C[zE – A]-1 z x0+C[zE – A]-1 BG(z). Обозначим Yс(z)=C[zE – A]-1 z x0, Yb(z)= C[zE – A]-1 BG(z), где Yс(z) описывает свободное движение (при ненулевых начальных условиях и нулевом входном сигнале), а Yb(z) − вынужденное движение (под действием входного сигнала при нулевых начальных условиях). Пример 1. Найти закон изменения векторов состояния и выхода многомерной динамической системы: ⎧ x1 (k + 1) = 4 x1 (k ) − x2 (k ) + g (k ), ⎪ ⎨ x2 (k + 1) = x1 (k ) + 2 x2 (k ), ⎪⎩ y (k ) = − x1 (k ) + x2 (k ); 3 9 при входном сигнале g(k)=1 и начальных условиях x1 (0) = , x2 (0) = . 4 4 Решение. Изображение входного сигнала Z (1) = z , z −1 ⎡1⎤ ⎡4 − 1⎤ ⎡3 A=⎢ , B = , C = [− 1 , 1 ] , x = ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢⎣ 4 , ⎣ ⎦ ⎣1 2 ⎦ 72 T 9⎤ . 4 ⎥⎦ ⎡z − 4 1 ⎤ [zE – A] = ⎢ ⎥ ⎣ − 1 z − 2⎦ -1 Тогда C[zE – A]-1 = ⎡z − 2 1 ⋅ [ − 1 1 ] ⋅ ⎢ 1 ( z − 3) 2 ⎣ −1 = ⎡z − 2 − 1 ⎤ ⋅ ⎢ ⎥; ( z − 3) 2 ⎣ 1 z − 4⎦ 1 −1 ⎤ 1 = ⋅ [−1 1] , ⎥ z − 4⎦ ( z − 3) откуда Wx ( z ) = ⎡ z − 2 − 1 ⎤ ⎡1 ⎤ 1 ⋅⎢ ⎥= ⋅ ⎥ 2 ⎢ 1 z − 4⎦ ⎣0⎦ ( z − 3) 2 ( z − 3) ⎣ 1 W y (z ) = Wx ( z ) ⋅ B = ⎡ z − 2⎤ ⋅⎢ ⎥, ⎣ 1 ⎦ ⎡1⎤ − 1 1 ⋅ [− 1 1] ⋅ ⎢ ⎥ = . ( z − 3) z − 3 ⎣ ⎦ Получили изображение законов изменения векторов состояния и выхода: ⎡ 3z 2 − ⎢ 4( z − 3) 2 ⎢ 1. X (z ) = 2 ⎢ 9z ⎢ 4( z − 3) 2 − ⎣ 15 z ⎤ ⎡ z2 − ⎥ 4( z − 3) 2 ⎥ ⎢⎢ ( z − 3) 2 ( z − 1) + 33z ⎥ ⎢ 4( z − 3) 2 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎤ 2z ⎥ 2 ( z − 3) ( z − 1) ⎥ ; z ⎥ 2 ( z − 3) ( z − 1) ⎥⎦ T z z z 1 3 ⎡3 9⎤ . 2. Y ( z ) = ⋅ [− 1 1] ⋅ z ⋅ ⎢ ⎥ − = ⋅ − ( z − 3) ( z − 3)(z − 1) 2 ( z − 3) ( z − 3)(z − 1) ⎣4 4⎦ Для нахождения законов изменения векторов состояния и выхода разлагаем дроби на элементарные: 1 1 1 1 1 , = ⋅ − ⋅ ( z − 3)( z − 1) 2 ( z − 3) 2 ( z − 1) 1 ( z − 3) 2 ( z − 1) = −1 1 1 1 1 1 ⋅ + ⋅ + ⋅ , 4 ( z − 3) 2 ( z − 3) 2 4 ( z − 1) отсюда получаем 73 ⎡ 3z 2 15z ⎤ ⎡ z2 z2 z2 z z z ⎤ − − + + + − − ⎢ 2 2⎥ ⎢ 2 2 4(z − 3) 4(z − 3) ⎥ ⎢ 4(z − 3) 2(z − 3) 4(z −1) 2(z − 3) (z − 3) 2(z −1) ⎥⎥ + X ( z) = ⎢ 2 z 33z ⎥ ⎢ ⎢ 9z ⎥ − 2 2⎥ ⎢ ⎢ 4(z − 3)2 ⎥⎦ (z − 3) (z −1) 4(z − 3) ⎦ ⎣ ⎣ Y (z ) = 3z z z . + − 2( z − 1) 2( z − 1) 2( z − 3) Используем таблицу для нахождения оригиналов и алгебраические преобразования: ⎡ 3z 2 − ⎢ 2 4 ( − 3 ) z X (z ) = ⎢ 2 ⎢ 9z ⎢ 4( z − 3) 2 − ⎣ 15 z ⎤ ⎡ ⎤ z2 − + ⎥ ⎥ 4( z − 3) 2 ⎥ ⎢ ( z − 3) ⎥ +⎢ z 33 z ⎥ ⎢ ⎥ 2 2 ⎥ ⎢ 4( z − 3) ⎦ ⎣ ( z − 3) ( z − 1) ⎥⎦ Устойчивость решений линейных дискретных стационарных динамических систем 1. Одномерные системы. Пусть задана линейная дискретная стационарная динамическая система an ⋅ x(k + n) + an −1 ⋅ x(k + n − 1) + ... + a0 ⋅ x(k ) = bm ⋅ g (k + m) + ... + b0 ⋅ g (k ) , k=0,1,…и начальные условия x(0)=x0, x(1)=x1, …, x(n-1)=x.n-1. Требуется исследовать асимптотическую устойчивость системы. Определение: динамическая система называется асимптотически устойчивой, если при ненулевых ограниченных начальных значениях свободное движение xc(k) [при g(k)=0] также ограничено при всех k=0,1,2,… и выполняется условие xc(k)→0 при k→∞. Критерий устойчивости: чтобы динамическая система была асимптотически устойчива необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения an ⋅ λn + an −1 ⋅ λn −1 + ... + a0 = 0 были по модулю меньше единицы: λi < 1, i = 1, n . 74 Замечания:1. Согласно критерию, все корни должны располагаться внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат. 2. Если хотя бы один корень характеристического уравнения по модулю больше единицы или равен единице, то решение x(n) ≡ 0 неустойчиво. 3. Если характеристическое уравнение имеет простые корни с модулём, равным единице, а остальные корни, если они есть, по модулю меньше единице, то решение x(n)=0 устойчиво, но не асимптотически. Пример 1: Исследовать устойчивость дискретной динамической системы x(k + 2) − 2 x(k + 1) + 5 x(k ) = 0 Решение: составим характеристическое уравнение: λ2 − 2λ + 5 = 0 ; его корни λ1,2 = 1 ± 2i λ1 = λ2 = 5 , это означает, что решение x(k)=0 неустойчиво. Пример 2. Найти необходимые и достаточное условия того, что корни xарактеристического λ2 + a1 ⋅ λ + a2 = 0 уравнения находятся в единичном круге λ < 1 . Решение. Для этого следует выполнить конформное отображение плоскости комплексного переменного λ на плоскость комплексного переменного w так, чтобы окружность λ = 1 перешла в мнимую ось, а внутренность круга λ < 1 отобразилась на левую полуплоскость Rе(W)<0. Такое отображение мы получаем, используя дробно-линейное преобразование λ= Далее используем Условие 1+ w . w −1 Рауса-Гурвица: чтобы корни характеристического уравнения f (λ ) ≡ a0 λn + a1λn −1 + ... + an = 0 имели 75 отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы Гурвица ⎡ a1 ⎢a ⎢ 3 ⎢a5 ⎢ ⎢M ⎢⎣ 0 a0 ... a2 a1 a0 ... a4 M a3 M a2 M ... ... ... 0⎤ 0 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ M⎥ a n ⎥⎦ были положительны Δ1 > 0, Δ 2 > 0,...Δ n > 0 . Главные миноры матрицы Гурвица: Δ1 = a1 ; Δ 2 = a1 a0 a3 a2 a1 a0 , Δ 3 = a3 a2 a5 a4 a1 a3 Δ = a1 ,… n . a3 a0 a2 . 0 ... 0 a1 ... 0 . . . . 0 ... a n В нашей задаче матрица Гурвица имеет вид: ⎡ 2 − 2a 2 ⎢ 0 ⎣ Тогда при: Δ 1 = 2 − 2a 2 . Δ 2 = (2 − 2a 2 ) ⋅ (1 − a1 + a 2 ) 1 + a1 + a 2 ⎤ , 1 − a1 + a 2 ⎥⎦ 1 + a1 + a2 > 0; 1 − a2 > 0 ; 1 − a1 + a2 > 0 исходное характеристическое уравнение имеет в круге λ < 1 корни. 2. Многомерные системы. Пусть линейная дискретная стационарная динамическая система задана уравнением состояния x(k + 1) = A ⋅ x(k ) + B ⋅ g (k ) и начальным условием x(0) = x0 ; x0 -начальное состояние системы. Определение: динамическая система называется асимптотически устойчивой, если ее свободное движение xc (k ); k = 0,1,...[при.g (k ) = 0] 76 ограничено при ограниченных начальных состояниях x0 , и выполняется n условие: xc (k ) → 0 при x = ∑ xi 2 . Критерий Для устойчивости: i =1 асимптотической устойчивости многомерной динамической системы необходимо и достаточно чтобы корни λi характеристического уравнения det[ A − λE ] = 0 были по модулю меньше единицы: λi < 1, i = 1, n. Геометрически, все корни λi должны быть расположены внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат. Для анализа устойчивости многомерных систем также применяют метод РаусаГурвица. Пример 1. Исследовать устойчивость дискретной динамической системы, если задано уравнение ее состояния: x1 ( k + 1) = − 1 x 2 (k ) + g ⋅ (k ) , 2 x2 (k + 1) = x1 (k ) − g (k ) . Решение: составим матрицу Гурвица: ⎡0 − 1⎤ A=⎢ ⎥. ⎣1 0 ⎦ Найдем корни характеристического уравнения: −λ 1 отсюда λ1 = λ2 = 1 1 1 2 2 = 0 ⇒ λ + λ + = 0 ⇒ λ 1, 2 = [− 1 ± i ], 2 2 −1− λ − 2 < 1 , т.е система асимптотически устойчива. 2 77 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. – М.: Высшая школа, 1965. – 466 с. 2. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразований Лапласа и Z-преобразования. – М.: Наука, 1971. – 288 с. 3. Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц А.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – М.: Наука, 1968. – 416 с. 4. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. (Задачи и упражнения). – М.: Наука, 1971. – 256 с. 5. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. – М.: Физматгиз, 1961. – 304 с. 6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т 2. – М.: Наука, 1965. – 548 с. 7. Ефремова О.Н., Харлова А.Н. Операционное исчисление. Учебное пособие. – Томск: Изд-во ТПУ, 2005. – 72 с. 78 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение.............................................................................................................................. 3 § 1. Оригинал и изображение ............................................................................................ 4 §2. Основные свойства преобразования Лапласа............................................................ 8 § 3. Нахождение оригинала по изображению................................................................ 22 I. Теорема единственности .......................................................................................... 22 II. Линейная комбинация изображений...................................................................... 22 III. Первая теорема разложения .................................................................................. 23 IV. Вторая теорема разложения .................................................................................. 24 V. Теорема обращения ................................................................................................. 27 §4. Приложения операционного исчисления................................................................. 31 I. Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами................................................................................... 31 II. Решение линейных дифференциальных уравнений n–го порядка с постоянными коэффициентами................................................................................... 33 III. Решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами........................................................................................................... 36 IV. Решение уравнений в частных производных ...................................................... 38 § 5. Преобразование Фурье.............................................................................................. 43 § 6. Дискретные преобразования .................................................................................... 50 Z − преобразование ...................................................................................................... 50 D − преобразование Лапласа ....................................................................................... 52 Свойства дискретного преобразования Лапласа ....................................................... 54 Переход от изображения к оригиналу........................................................................ 63 § 7. Решение разностных уравнений .............................................................................. 64 Анализ входных процессов линейных стационарных динамических систем........ 68 1. Одномерная система (дискретный процесс).......................................................... 68 2. Многомерные системы ............................................................................................ 71 Устойчивость решений линейных дискретных стационарных динамических систем ............................................................................................................................ 74 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК............................................................................. 78 79 Людмила Афанасьевна Беломестных Ольга Николаевна Имас Лилия Александровна Кан Галина Павловна Новоселова ОПРЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Научный редактор доктор физико-математических наук, профессор К.П. Арефьев Редактор Е.О. Фукалова Подписано к печати 12.03.2006 Формат 60х84/16. Бумага офсетная. Печать RISO. Усл. печ. л. 6.16. Уч.-изд. л. 5.58. Тираж 100 экз. Заказ . Цена свободная. Издательство ТПУ. 634050, Томск, пр. Ленина, 30. 80