Элементы и анализ электрической цепи синусоидального тока. Мощность в однофазных цепях переменного синусоидального тока

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА 22.09.2020 Лекция № 2 Элементы электрической цепи синусоидального тока Элементы электрических цепей разделяют: • Нагрузочные элементы, в которых имеется сопротивление, и на них происходит падение напряжения, поэтому их включают в эл. цепь параллельно питающему напряжению. • Коммутационные элементы, в которых сопротивление близко к нулю на переходных контактах, и падение напряжения практически не учитывается, поэтому они включаются в эл. цепь последовательно нагрузочному элементу. При включении в цепь параллельно питающему напряжению ток на элементе по закону Ома приближается к бесконечности − короткое замыкание. • Полупроводниковые элементы занимают особое промежуточное место, у них в одном направлении большое сопротивление и они препятствуют прохождению эл. тока, в другом направлении сопротивление мало и они пропускают эл. ток. Поэтому их включают в эл. цепь последовательно с нагрузочными элементами. Полупроводники широко применяются в электронике. Нагрузочные элементы подразделяются на активные и пассивные. Активные элементы • Источник ЭДС; Внутреннее сопротивление источника энергии много меньше сопротивления цепи нагрузки r << RН и напряжение источника практически равно ЭДС U = E = const. Его можно заменить идеализированным, у которого r = 0. Напряжение между выводами идеального источника ЭДС не зависит от тока. Такой источник называют источником напряжения. • Источник тока; Внутреннее сопротивление источника энергии много больше сопротивления цепи нагрузки r >> RН , ток источника практически равен его току короткого замыкания I = IК = const. Его также можно заменить идеализированным, у которого r → ∞ и E → ∞. Ток источника не зависит от напряжения между его выводами. Пассивные элементы К ним относятся R, L , C. На активном сопротивлении электроэнергия переходит в другой вид. На реактивных сопротивлениях происходит циркуляция электрической и магнитной энергии. В каждом элементе происходит выделение тепла при протекании тока. 1. РЕЗИСТОР – активное сопротивление – R (r) Сопротивление резистора переменному току называют активным, постоянному току – электрическим. Активное сопротивление резистора больше его электрического сопротивления. Для идеального резистора L = 0, C = 0. На резисторе происходит необратимое преобразование электрической энергии в тепловую/световую энергию с последующим рассеянием. Уравнения мгновенных значений тока и напряжения: ; или где – амплитудное значение напряжения, - амплитудное значение тока, – фаза колебаний тока и напряжения резистора (совпадает). Разделив обе части уравнения на , получим значение напряжения резистора: , [В]. Векторы тока и напряжения совпадают по направлению (рис.2.5), угол φ = 0°. В комплексном виде уравнение напряжения резистора имеет вид: . Произведение сонаправленных векторов – скалярная величина потребляемой мощности: p = i u. Мгновенные значения мощности всегда положительны, т.е. в цепи с идеальным резистором энергия полностью поглощается. 2. КАТУШКА ИНДУКТИВНОСТИ − L Это элемент цепи, в магнитном поле которого происходит обратимое накопление (циркуляция) магнитной энергии. В идеальной катушке RК = 0, C = 0. Ток и сама катушка являются источником магнитного потока Ф, пронизывающего витки и замыкающегося вокруг них. Индуктивность – это свойство электрической цепи, обтекаемой током, создавать магнитный поток и потокосцепление с контурами этой цепи. , . Напряжение на катушке и ток через неё связаны через производную, т.е. , напряжение на зажимах катушки зависит от изменения тока во времени с коэффициентом пропорциональности L. При изменении тока в цепи по синусоидальному закону магнитный поток будет изменяться таким же образом: мгновенные значения периодически повторяются во времени и изменяется полярность. Рассмотрим зажимы катушки: - «плюс» слева, «минус» справа – направление тока слева направо, катушка намагничивается; - «минус» слева, «плюс» справа – направление тока противоположно. Катушка отдаёт энергию в сеть, т.е. размагничивается. Этот процесс происходит на витках катушки, которые представляют собой ещё одно сопротивление в цепи переменного тока. При изменении тока в цепи возникает ЭДС самоиндукции е, направленная встречно к действию тока (правило Ленца), рис.2.6. Она изменяется пропорционально скорости изменения тока в цепи и зависит от индуктивности катушки: где L – индуктивность катушки, ; u– напряжение цепи, . Мгновенное значение напряжения: или (5) где Um - амплитудное значение напряжения, ; – круговая (циклическая) частота тока в сети, [рад/с]. ЭДС, направленная встречно к току, препятствует его протеканию по виткам, и ток в результате этого противодействия отстаёт по фазе от напряжения на угол сдвига фазы – φ. Для катушки: . Тогда мгновенное значение тока можно записать уравнением: , (6) где Im - амплитудное значение тока, ; - начальная фаза тока, показывает его значение в момент времени t = 0, см. временную диаграмму рис.2.7. Сопротивление витков катушки - XL называется реактивным индуктивным сопротивлением переменному току: , , , . Оно нарастает при увеличении частоты, поскольку при изменении тока в катушке возникает ЭДС самоиндукции, препятствующая этому изменению. В уравнении (5) амплитудное значение напряжения . Разделив обе части уравнения на , получим значение действующего напряжения на зажимах катушки индуктивности по закону Ома для участка цепи , . В комплексном виде: где j - поворотный множитель. (Умножение на j означает поворот вектора против часовой стрелки от действующей оси комплексной плоскости на 90°). Ток в катушке отстаёт от напряжения по фазе на угол , (или напряжение опережает ток на ), см. временную и векторную диаграммы рис. 2.7. За время при увеличении тока по абсолютной величине происходит накопление магнитной энергии в катушке индуктивности; при убывании тока по абсолютной величине накопленная магнитная энергия возвращается к источнику дважды за период Т. Активная мгновенная мощность по уравнению баланса мощностей за период: p = ui=0 На временной диаграмме рис.2.6 она получена путём перемножения ординат i(t) и u(t), представляет собой площадь ветвей парабол p(t). Положительные области равны отрицательным по площади, т.к. ветви симметричны и компенсируют друг друга. Значение активной мгновенной мощности равно нулю. В цепи катушки индуктивности происходит циркуляция магнитной энергии, ток не совершает полезной работы. При расчёте реальной катушки индуктивности необходимо учитывать выделение тепла при протекании тока (активное сопротивление ). Расчёт выполняют по принципу треугольника сопротивлений последовательной цепи переменного тока рис.2.8. Величина полного сопротивления катушки (модуль сопротивления): , . Угол сдвига фазы в этом случае будет находиться в промежутке φК = 0 ÷ 90°, что соответствует активно-индуктивному – RL режиму работы нагрузки электрической цепи. 3. КОНДЕНСАТОР – электрическая ёмкость – С В электрическом поле конденсатора при нарастании напряжения происходит обратимое накопление энергии, т.е. при протекании переменного тока происходит перезарядка пластин. В идеальном конденсаторе R = 0, L = 0. Ёмкостью С конденсатора называют отношение электрического заряда к разности потенциалов между его электродами: , К цепи с конденсатором подведено синусоидальное напряжение u, под действием которого в цепи возникает ток i и на каждой пластине скапливается заряд q = C u. Напряжение и ток в цепи, представляющий собой изменение заряда во времени (рис. 2.9): , или Амплитудное значение напряжения . Ёмкость конденсатора где , [Ом] – ёмкостное реактивное сопротивление конденсатора. По закону ома для участка цепи значение напряжения конденсатора: [В]. Ток в цепи опережает напряжение по фазе на угол (рис. 2.10). За четверть периода происходит зарядка конденсатора, в течение другой четверти периода при убывании напряжения по абсолютной величине происходит разряд конденсатора. Активная мощность за период p = 0. Ток не совершает полезной работы. В цепи происходит циркуляция электрической энергии. Вывод. Индуктивный и ёмкостной элементы электрической цепи называются реактивными элементами, они противоположны по характеру и при определённых условиях могут компенсировать друг друга. Энергия электрического поля конденсатора: ; Энергия магнитного поля катушки: . Анализ электрических однофазных цепей переменного синусоидального тока Определение параметров цепи и нагрузок зависит от вида электрической цепи и способа соединения её элементов. • Последовательное соединение идеальных элементов (неразветвленная цепь) Дано переменное напряжение источника питания и значения R, C, L. Требуется определить все параметры нагрузок электрической цепи. , . Уравнение электрического состояния последовательной цепи (рис. 2.11) по второму закону Кирхгофа записываем в комплексной форме, т.к. на катушке индуктивности и ёмкости происходит сдвиг по фазе между вектором тока и вектором напряжения: , где – комплекс полного сопротивления цепи. Величина (модуль) полного сопротивления может быть определена из треугольника сопротивлений (рис. 2.12): , Аргумент, показывающий сдвиг по фазе между вектором тока и вектором напряжения , даёт представление о характере (режиме) работы электрической цепи. Коэффициент мощности нагрузки: . Падения напряжений на элементах цепи: , , . Ток в цепи по закону Ома для контура . Построение векторной диаграммы начинают с вектора тока, т. к. он является общим для всех элементов цепи. Направление тока совпадает с действующей осью комплексной плоскости. • Активно-индуктивный характер цепи , Вектор напряжения опережает вектор тока (смотреть против часовой стрелки, рис. 2.13). • Активно-ёмкостной характер цепи Вектор тока опережает вектор напряжения (смотреть против часовой стрелки, рис. 2.14). • Резонанс напряжений. Резонансом напряжений называется режим работы последовательного колебательного контура, при котором его ток и напряжение совпадают по фазе (рис. 4.5) Его физической причиной является колебание значительной энергии, запасаемой попеременно в электрическом поле конденсатора и в магнитном поле индуктивной катушки. ; ; . При расчёте реальных цепей при соединении ВЛ и КЛ схему проверяют на резонанс напряжений. Вывод. В цепях с большой мощностью может возникнуть резонанс напряжений, если внезапно изменится ёмкость какого-то элемента. При этом происходит перенапряжение на отдельных участках, что приводит к аварийному режиму всей цепи. Применяется в радиотехнике, телефонии, автоматике для усиления сигналов и настройки цепей на заданную частоту. • Параллельное соединение идеальных элементов (разветвлённая цепь) рис. 2.16. – активная проводимость первой ветви, – реактивная индуктивная проводимость второй ветви, – реактивная ёмкостная проводимость третьей ветви. Напряжение является общим параметром для всех нагрузок параллельных ветвей. Для расчёта параллельной цепи составляем уравнение по первому закону Кирхгофа: где – комплекс полной проводимости. Комплекс полного сопротивления обратен комплексу полной проводимости цепи: . Величина (модуль) полной проводимости может быть определена из треугольника проводимостей на рис. 2.17: [Ом-1, См]. Величина полного сопротивления цепи: , [Ом]. Аргумент, показывающий сдвиг по фазе между вектором тока и вектором напряжения . Коэффициент мощности системы . Величина тока в цепи: . Построение векторной диаграммы начинают с вектора напряжения, т. к. он является общим параметром схемы. • Активно-индуктивный характер цепи Вектор напряжения опережает вектор тока (смотреть против часовой стрелки, рис. 4.8). • Активно-ёмкостной характер цепи Вектор тока опережает вектор напряжения (смотреть против часовой стрелки), рис. 4.9. • Резонанс токов Резонансом токов называется режим работы параллельного колебательного контура, при котором его общий ток и напряжение совпадают по фазе. Векторная диаграмма показана на рис. 2.20. IСЕТИ = IR , . Вывод. Резонанс токов безопасен для электротехнических установок. Используется для повышения коэффициента мощности в однофазных и трёхфазных цепях. Пример 3 В электрической цепи резонанс токов. По условию резонанса равны реактивные проводимости ветвей . Нагрузки параллельных ветвей работают под одним и тем же напряжением UПАР. По закону Ома для участка цепи UПАР , UПАР . Общий ток цепи через резистор определим по первому закону Кирхгофа: . Но на выходе . Ток катушки противоположен по направлению току ёмкости. В режиме резонанса токов катушка и ёмкость полностью компенсируют друг друга. Такая схема имеет название «Электрическая пробка». В реальной электрической цепи на выходе протекает ток небольшой величины. Его значение зависит от активного сопротивления проводов (при протекании тока по любому проводнику происходит его нагрев). • Параллельное соединение реальных элементов Дано: U, R1 , R2 , XC1 , XL2 .(схема на рис 2.22). Определить: I, I1 , I2 , φ. Комплекс общего тока цепи по первому закону Кирхгофа . Величины полных сопротивлений ветвей и углы сдвига фаз между векторами токов и напряжений в ветвях определяют из треугольника сопротивлений: и , ; Значения токов в ветвях находят по з. Ома для участка цепи: и . Активные (координата по действительной оси) и реактивные (координата по мнимой оси) составляющие токов в ветвях: , . , . Общий ток в цепи . Построение векторной диаграммы (рис. 2.23) начинают с вектора напряжения, отложенного в масштабе по действительной оси. Задают масштаб для R1 , R2 , XC1 , XL2. Для токов также определяют масштаб. Общий ток строят по правилу сложения векторов. Смотреть «Пример решения задачи» в Материалах курса Мощность в однофазных цепях переменного синусоидального тока Мощность также является переменной величиной и в любой момент времени t определяется: p = u i. Рассмотрим на примере схемы замещения обмотки однофазного асинхронного двигателя (рис. 2.24). где – амплитудные значения тока и напряжения обмотки двигателя Мгновенное значение мощности имеет две составляющие: постоянную , не изменяющуюся во времени, и переменную , изменяющуюся периодически с частотой . За время t = T мгновенное значение мощности меняется дважды с двойной частотой, т.е. часть отрицательной мощности циркулирует от источника к потребителю и обратно. Большая часть мощности переходит в тепло и полезную работу. Из временной диаграммы (рис. 2.25) видно, что ток отстаёт от напряжения на угол φ. Среднюю мощность называют активной мощностью Интенсивность обмена электроэнергией между источником и потребителем характеризуется реактивной мощностью Q: Наибольшая, или полная мощность – это произведение действующих значений напряжения и тока , . Треугольник мощностей (активная, реактивная и полная мощности) показан на рис. 2.26. . ; ; . Для цепи с элементами R, L, C реактивная мощность . Реактивная мощность в треугольнике мощностей положительна, когда ток в цепи отстаёт от напряжения (QL > 0), и отрицательна, когда ток опережает напряжение (QC < 0). Коэффициент мощности. Способы его повышения. Только активная составляющая тока позволяет количественно оценить совершаемую работу. Реактивная составляющая тока никакой работы не совершает, но её наличие увеличивает полный ток. Отношение активной мощности P к полной S называют коэффициентом мощности − cos φ. Он показывает, какую долю всей вырабатываемой источником мощности составляет активная мощность, т.е. какая часть мощности необратимо преобразуется в другие виды энергии – механическую работу, тепло или свет. Чем больше cos φ, тем экономичнее работает энергосистема, т. к. при одних и тех же значениях тока I и напряжения U источника можно получить большую активную мощность P. Или при определённых значениях напряжения и мощности источника можно передавать активную энергию меньшим током, что снижает потери в ЛЭП. ; Пример 4 При P = const, U = const: cos φ1 = 0,5, cos φ2 =1: , . Вывод. Уменьшение напряжения со стороны потребителя приводит к остановке работающих двигателей. Двигатели, находящиеся в режиме запуска, не могут быть запущены, так как: Уменьшение cos φ приводит к уменьшению КПД любой установки и её неполному использованию. Пример Для ламп cos φ = 1, для ТАД cos φХ.Х. = 0,2 ÷ 0,3, cos φНОМ. = 0,89. Способы повышения cos φ • Естественные −упорядочить режим работы электрооборудования; −отключить двигатели, работающие на холостом ходу; −можно заменять двигатели, работающие с неполной нагрузкой на двигатели меньшей мощности; −по возможности отключить вторичную обмотку трансформаторов, работающих с неполной нагрузкой. • Искусственные −установка конденсаторной батареи параллельно нагрузке со стороны потребителя (используется режим резонанса токов) – рис. 2.27. Векторная диаграмма показана на рис. 2.28. Для двигателя: , По векторной диаграмме: , Рис.2.27 ; ; Величина ёмкости для компенсации Вывод. Происходит разгрузка сети от реактивных токов, поэтому в сеть можно подключить новые приёмники энергии или новых потребителей.