Электротехника

Введение Электротехника, является одной из дисциплин, на которой базируются специальности технического профиля. Курс электротехники включает лекции, практические и лабораторные занятия. Материалы курса лекций включают следующие основные темы: - цепи постоянного тока; - однофазные цепи переменного тока; - трехфазные цепи; - трансформаторы; - переходные процессы в электрических цепях; - четырехполюсники; - нелинейные электрические цепи. Электротехника, зародившаяся в тридцатых годах девятнадцатого века, развивалась как техника постоянного тока. Исследования ученых Гальни и Вольта привели к открытию электрического постоянного тока. Только после создания русским ученым М.О. Доливо-Добровольским в 1891 г. системы трехфазного тока и трехфазного двигателя, переменный ток стал вытеснять постоянный. Следует отметить, что большинство наиболее важных изобретений и открытий в области электротехники сделано русскими учеными инженерами. Русский изобретатель Шиллинг осуществил в 1832г. первую в мире телеграфную связь с помощью электромагнитного телеграфа. Это было первое применение электричества в области электросвязи. Русский академик Якоби изобрел и построил первый электродвигатель, а затем(1838г.) электропривод, который использовал на судне «Электроход Якоби». В следующие годы 1840-1870 деятельность ученых была направлена на создание экономического и надежного электрического генератора, т.к. электроэнергия использовалась на освещение. В 1875г. русским инженером Яблочковым был изобретен генератор. Сейчас Россия является мощной индустриальной державой во многих областях электроэнергетики. ГЛАВА 1 Электрические цепи постоянного тока 1.1. Электрическая цепь Электрической цепью называют совокупность соединенных друг с другом источников электрической энергии и нагрузок, по которым может протекать электрический ток. В общем случае электрическая цепь состоит из источников, приемников электрической энергии и промежуточных звеньев, связывающих источники и приемники. Источниками электрической энергии являются: гальванические элементы, аккумуляторы, термоэлементы, генераторы и другие устройства которые преобразуют химическую, механическую, солнечную и другие виды энергии в электрическую. Приемниками: (нагрузкой) служат лампы, электроприборы, электродвигатели и т.д. Активными элементами электрической цепи считаются источники электроэнергии: источник напряжения, источник тока. В теории электрических цепей пользуются идеальными источниками электрической энергии. Им приписываются следующие свойства. Идеальный источник напряжения представляет собой активный элемент с двумя зажимами, напряжение на которых не зависит от тока, проходящего через источник. Внутреннее сопротивление источника равно нулю (Rвн = 0). а) б) Рис.1.1. Условное обозначение идеального источника напряжения а) источник постоянного напряжения; б) источник переменного напряжения. Идеальный источник тока представляет собой активный элемент, ток которого не зависит от напряжения на зажимах. Внутреннее сопротивление приближённо равно бесконечности (Rвн = ∞) а) б) Рис.1.2. Условное обозначение идеального источника тока а) источник постоянного тока; б) источник переменного тока. На практике используются реальные источники электрической цепи. Реальный источник напряжения представляет собой активный элемент с двумя зажимами, напряжение на которых зависит от тока, проходящего через источник. Внутреннее сопротивление источника не равно нулю (Rвн=0). а) б) Рис.1.3. Условное обозначение реального источника напряжения а) источник постоянного напряжения; б) источник переменного напряжения. Реальный источник тока представляет собой активный элемент, ток которого зависит от напряжения на зажимах данного элемента. Внутреннее сопротивление не равно бесконечности (Rвн = ∞). а) б) Рис.1.4. Условное обозначение реального источника тока а) источник постоянного тока; б) источник переменного тока. Часть цепи, содержащая источники электрической энергии называется активной. К пассивным элементам электрической цепи относятся нагрузки в нашем курсе это простейшие элементы: резистор, катушка индуктивности, конденсатор. Часть цепи, состоящая только из пассивных элементов, называется пассивным участком. 1.2. Элементы и параметры электрической цепи Резистор – элемент цепи, в котором происходит необратимый процесс преобразования электрической энергии, в тепловую. Параметр данного элемента сопротивление. Единицы измерения сопротивления в системе СИ (Ом). Проводимость величина обратная сопротивлению, единицы измерения сименс (сим). На основании закона Ома сопротивление равно R=U/I (1.1), где U напряжение на зажимах резистора, I ток проходящий через резистор. Проводимость равна g=I/U=1/R (1.2.) Элементы цепи бывают следующих типов: линейные, нелинейные, переменные. Линейный элемент имеет линейную вольтамперную характеристику, параметр элемента величина постоянная. Нелинейный элемент имеет нелинейную вольтамперную характеристику, параметр элемента зависит от тока, проходящего через него и от напряжения, приложенного к зажимам данного элемента. В переменном элементе параметр изменяется механически с помощью движка. Мощность, выделяемая в виде тепла в сопротивлении выражается законом Джоуля-Ленца: Р = U·I=R·I2=g·U2 (1.3.) Рис.1.5. Элементы электрической цепи: а) линейный резистор, б) нелинейный резистор, в) переменный резистор, г) вольтамперная характеристика резистора Катушка индуктивности - элемент цепи способный накапливать энергию магнитного поля. В идеализированном элементе процесс преобразования электрической энергии в магнитную и обратно, происходит без потерь. L - индуктивность выражает магнитную величину равную L = Ψ/ί (1.4.), где Ψ потокосцепление, Ψ = ω·Φ, ω - количество витков катушки,Φ - магнитный поток. Единица измерения индуктивности генри (Гн). Величина U называется падением напряжения на индуктивности. U = -е(t) = L di/dt (1.5.) Мощность P при совпадении знаков тока и напряжения происходит накопление энергии и мощность положительная. P = U·I = i·L·(di/dt) (1.6.) W = L·I2/2 Рис 1.6. Элементы электрической цепи: а) линейная катушка индуктивности, б) нелинейная катушка индуктивности, в) переменная катушка индуктивности, г) зависимость потокосцепления от тока. Конденсатор - элемент, в котором происходит преобразование электрической энергии в электростатическую и обратно. В идеализированном элементе процесс преобразования энергии происходит без потерь. Параметр данного элемента емкость. Единицы измерения емкости фарад. Емкость есть отношение заряда к напряжению в этом элементе. С=g/U (1.7.) С изменением напряжения на емкости в цепи создается ток, величина которого определяется скоростью изменения электрического заряда. i (t)=C·(dU/dt) (1.8.) Рис.1.7. Элементы электрической цепи: а) линейный конденсатор, б) нелинейный конденсатор, в) переменный конденсатор, г) зависимость электрического заряда от напряжения. Мощность емкостного элемента определяется по формуле. Р=U*I=C*U*dU/dt (1.9.) Мощность положительна в интервалах нарастания энергии, отрицательна в интервалах убывания энергии. Энергия на емкости определяется: W=C*U 2/2 (1.10.) 1.3. Преобразование схем электрических цепей При расчете электрических цепей часто возникает целесообразность преобразования схем этих цепей в более простые и удобные для расчета. Метод преобразования заключается в замене участков цепи эквивалентными, т. е. не вызывающими изменения напряжения и токов в остальной цепи. а) последовательное соединение элементов. Рис.1.8. Последовательное соединение элементов: резисторов, катушек индуктивности, конденсатора Определение эквивалентных величин при последовательном соединении элементов: rэкв=r1+r2+r3+....+r n Lэкв=L1+L2+L3...Ln (1.11.) 1/Cэкв=1/C1+1/C2+1/C3....1/Сn б) параллельное соединение элементов. Рис.1.9. Параллельное соединение элементов Определение эквивалентных величин при параллельном соединении элементов. 1/ rэкв =1/r1+1/r2+1/r3+....+1/rn 1/Lэкв=1/L1+1/L2+1/L3 +....+1/L n (1.12.) Cэкв =C1+C2+C3+....+Сn в) смешанное соединение элементов (резисторов). r экв=r1*r2/(r1+r2) (1.13.) rэкв =r1 +(r2*r3)/(r2+r3)+r 4 (1.14.) Рис.1.10. Смешанное соединение элементов г) преобразование из “звезды” в “треугольник”. Рис.1.11. Схема преобразование из “звезды” в “треугольник” g1=1/R1; g2=1/R2; g3=1/R3; g12=g1*g2/g1+g2+g3 g13=g1*g3/g1+g2+g3 (1.15.) g23=g2*g3/g1+g2+g3 R12=1/g12; R13=1/g13; R14=1/g14; д) преобразование из «треугольника» в «звезду» Рис.1.12.Схема преобразование из «треугольника» в «звезду» R12=R1*R2/(R1+R2+R3) R13=R1*R3/(R1+R2+R3) (1.16.) R23=R2*R3/R1+R2+R3) 1.4. Основные законы электротехники Закон Ома для пассивного участка цепи: ток, проходящий через элемент прямо пропорционален напряжению на зажимах данного элемента и обратно пропорционален сопротивлению элемента. I=U/R (1.17) Рис.1.13. Пассивный участок цепи Закон Ома для активного участка цепи: ток в цепи прямо пропорционален Э.Д.С. источника и обратно пропорционален сумме сопротивлений нагрузки и внутреннего сопротивления источника. I=E/(Rн+Rвн) (1.18.) Рис.1.14. Активный участок цепи Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов сходящихся в узле равна нулю. (рис.1.15.) I1+I2-I3=0 (1.19) Слово «алгебраическая» означает с учетом знаков, т.е. входящие токи в узел записать со знаком плюс «+», выходящие со знаком минус «-». Также верно выражение сумма токов входящих в узел равна сумме токов выходящих из узла. Узел - место соединения трех или большего числа ветвей. Ветвь - образуется одним или несколькими последовательно соединенными элементами, по которым течет один и тот же ток. Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма Э.Д.С. в любом контуре цепи равна алгебраической сумме падений напряжений на элементах этого контура. Е= Σ U (1.20.) Рис.1.15.Электрическая схема. Контуром называется любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям. Рис.1.16. Электрическая схема. ГЛАВА 2 Методы расчета сложных электрических цепей 2.1. Применение законов Кирхгофа для расчета сложных цепей Порядок расчета цепей: Пусть цепь имеет m-ветвей (m=3), n-узлов (n=2). 1)задать направление токов в ветвях. В ветви содержащей источник, направление тока совпадает с положительным направлением источника; 2)составить (n-1) уравнений по первому закону Кирхгофа; 3)задать направление обходов контуров; 4)составить m-(n-1) уравнений по второму закону Кирхгофа по заданным обходам; 5)решить систему уравнений. В данной цепи необходимо определить токи во всех ветвях, если известны параметры э.д.с. и сопротивления всех ветвей. Рис.2.1.Электрическая цепь I1+I2-I3=0 I1*Z1-I2*Z2+I3*0=E1-E2 I1*0+I2*Z2+I3*Z3=E2 Число уравнений равно числу ветвей. Количество уравнений равно количеству неизвестных величин. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо следить за тем, чтобы все ветви были охвачены. Выбирая следующий контур необходимо, чтобы в него вошла новая ветвь, которая ранее не входила в другие контуры. Такие контуры называются независимыми. Количество независимых контуров в цепи равно: m-(n-1) (2.1) Решить данное уравнение можно с помощью определителей (матричным способом). Найдите определитель системы уравнений для этого случая. Раскройте данный определитель по первому и по второму столбцу. Для определения 1 первый столбец заменить правой частью системы уравнений, для получения 2 второй столбец заменить правой частью. I1=1/ I2=2/ I3=I1+I2 Ток I3 определяем по первому закону Кирхгофа из первого уравнения системы. Ток I3 можно определить как I3=3/, для определения 3 третий столбец заменить правой частью системы уравнения, но это не рациональный метод решения. 2.2. Метод контурных токов Этот метод является одним из основных методов расчета сложных электрических цепей, который широко используется на практике. Данный метод применяется в цепях с большим числом узлов. Порядок расчета электрической цепи методом контурных токов: 1)задать направление контурных токов I11, I22, I33; 2)составить m-(n-1) уравнений по методу контурных токов; 3)решить систему уравнений и определить контурные токи. В данной цепи определить токи в ветвях I1, I2 ,I3, I4, I5, I6, если известны параметры э.д.с. и сопротивления резисторов. Рис. 2.2. Электрическая цепь. Записать систему уравнений через сопротивления Z. I11*Z11+I22*Z12+I33*Z13=E1 I11*Z21+I22*Z22-I33*Z23=0 (2.1.) I11*Z31-I22*Z32+I33*Z33=-E2 Где Z11, Z22, Z33 –собственные сопротивления контуров первого, второго, третьего. Z11=Rвн+R1+R4; Z22=R1+R2+R3; Z33=R3+R4+R5. Z12=Z21=R1-общее сопротивление первого и второго контуров. Z13=Z31=R4-общее сопротивление первого и третьего контуров. Z23=Z32=R3-общее сопротивление контуров второго и третьего. I11*(Rвн+R1+R4)+I22*R1+I33*R4=E1 I11*R1+I22*(R1+R2+R3)-I33*R3=0 (2.2.) I11*R4-I22*R3+I33*(R3+R4+R5)=-E2 Решить данную систему и определить контурные токи. I11=1/; I22=2/; I33=3/; I1=I11; I2=I11+I22; I3=-I22; I4=I22-I33; I=I11+I33; I6=-I33. 2.3. Метод наложения Метод наложения применим для линейных электрических цепей с несколькими Э.Д.С., и заключается в следующем: ток в любой ветви определяется как алгебраическая сумма токов, вызванных в этой ветви каждой из Э.Д.С. в отдельности. Рассмотрим расчет токов I1|; I2|; I3| для схемы рис.2.3.б) параметры Э.Д.С. и сопротивления ветвей известны. I1|=E1/Zобщ1; Zобщ1=Z1+Z2*Z3/(Z2+Z3); Zобщ1- общее сопротивление цепи определяется относительно зажимов Е1. Рис. 2.3.Электрическая схема: а) основная схема; б) схема с источником Е1; в) схема с источником Е2. I1=I1|-I1||; I2=-I2|+I2||; I3=I3|+I3||. (2.3.) На основании второго закона Кирхгофа определим ток I2|. I1|*Z1+I2|*Z2=E1  I2|=(E1-I1|*Z1)/Z2. На основании первого закона Кирхгофа определим ток I3|. I3|=I!|-I2| Выполним расчет токов I1||; I2||; I3|| для схемы рис.2.3.в) I2||=E2/Zобщ2; Zобщ2=Z2+Z1*Z3/(Z1+Z3); Zобщ2- общее сопротивление цепи определяется относительно зажимов Е2 На основании второго закона Кирхгофа определим ток I1||. I1||*Z1+I2||*Z2=E2  I1||=(E2-I2||*Z2)/Z1. На основании первого закона Кирхгофа определим ток I3||. I3||=I2||-I1|| Определив частичные токи каждой ветви можно определить ток, как сумму частичных токов по формуле (2.3.). 2.4. Метод эквивалентного источника напряжения Теорема об эквивалентном источнике напряжения: ток в ветви m-n линейной электрической цепи не изменится, если электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником напряжения. Э.Д.С., которого равна напряжению на зажимах разомкнутой ветви m-n, а внутреннее сопротивление источника равно сопротивлению пассивной электрической цепи между зажимами m-n при разомкнутой ветви. Рис.2.4.Электрическая схема: а) основная схема; б) схема замещения; в) схема для определения пассивного сопротивления относительно зажимов m-n; г) схема в режиме холостого хода. Теорема об эквивалентном источнике напряжения применяется для нахождения тока в одной ветви сложной электрической цепи. В данной цепи известны параметры Э.Д.С. и сопротивления резисторов. Определим ток в ветви m-n I5. Imn=I5=Uэг/(Rвн+R5); (2.4.) Uэг=Eэ - напряжение (Э.Д.С.) эквивалентного источника напряжения. Rвн- внутреннее сопротивление эквивалентного источника напряжения. Необходимо определить Еэ и Rвн Еэ - Э.Д.С. равна напряжению на зажимах m-n, в режиме холостого хода(т.е. зажимы m-n разомкнуты, отсутствует сопротивление R5 (рис. 2.4.г) Umn=n- m ; Unk-Ukm+Umn=0; Umn=Ukm-Unk=I4·R4-I3·R3; Определить токи I4, I5 любым из известных методов. Воспользуемся методом контурных токов. I11·(R1+R3)=E1; I22·(R2+R4)=E2;  I11=E1/(R1+R3); I22=E2/(R2+R4). I3=I11; I4=I22; определив токи можно найти напряжение холостого хода Umn. Затем определить внутреннее сопротивление эквивалентного источника напряжения (рис.2.4.в). Rэк=Rвн=Rобщ=R1·R3/(R1+R3)+R2·R4/(R2+R4) Опытным путем параметры эквивалентного источника напряжения Eэ, Rвн определяются в режиме холостого хода. Напряжение Еэ=Uхх холостого хода измеряется на зажимах m-n с помощью вольтметра. Rвн определяется по формуле: Rвн=Uхх/Iкз; Iкз - ток короткого замыкания, определяется при подключении амперметра между зажимами m-n (сопротивление R5 отсутствует). 2.5. Метод узловых напряжений (потенциалов) Метод узловых напряжений заключается в том, что на основании первого закона Кирхгофа определяются напряжения в узлах электрической цепи относительно некоторого базисного узла. Напряжения эти называются узловыми напряжениями. Напряжения, на какой либо ветви равно, разности узловых напряжений концов данной ветви (рис.2.5.). U=2-1 (2.5.) Рис.2.5.Пассивный участок цепи Ток в ветви определяется по закону Ома: I=U/Z=(2-1)·Y; (2.6.), где Z-полное сопротивление ветви,Y=1/Z-полная проводимость ветви. Пример расчета токов в ветвях электрической цепи. Даны параметры Э.Д.С. и полное сопротивление ветвей. Схема рис.2.6.а) является основной, но для расчета токов в цепи необходимо изобразить схему замещения рис.2.6.б), где источники напряжения Е1 и Е2 заменяются на источники тока J1=E1/Z1; J2=E2/Z2. Рис.2.6.а) электрическая схема; б) схема замещения. Необходимо составить систему уравнений для узлов на основании первого закона Кирхгофа. Базисный узел принят 4 при этом U4=0. 1).(U1-U2)*1/Z3+(U1-U3)*1/Z2+(U1-U4)*1/Z1=-J1- J2; относительно 1 узла. 2).(U2-U1)*1/Z3+(U2-U3)*1/Z5+(U2-U4)*1/Z4=0; относительно 2 узла. 3).(U3-U1)*1/Z2+(U3-U2)*1/Z5+(U3-U4)*1/Z6= J2; относительно 3 узла. Раскрыть скобки и сгруппировать столбцы относительно узлов U1; U2; U3. U1*(1/Z1+1/Z2+1/Z3)-U2*1/Z3-U3*1/Z2=-J1- J2 -U1*1/Z3+U2*(1/Z3+1/Z4+1/Z5)-U3*1/Z5=0 -U1*1/Z2-U2*1/Z5+U3(1/Z2+1/Z5+1/Z6)= J2 1/Z1+1/Z2+1/Z3=Y1+Y2+Y3=Y11-собственная проводимость первого узла. 1/Z3+1/Z4+1/Z5=Y3+Y4+Y5=Y22- собственная проводимость второго узла. 1/Z2+1/Z5+1/Z6=Y2+Y5+Y6=Y33- собственная проводимость третьего узла. -1/Z3=Y12=Y21-общая проводимость первого и второго узлов. -1/Z5=Y23=Y32-общая проводимость второго и третьего узлов. -1/Z2=Y13=Y31-общая проводимость первого и третьего узлов. Решить систему уравнений и определить напряжения узлов U1, U2, U3. U1=Δ1/Δ ; U2= Δ2/Δ ; U3= Δ3/Δ. Определив узловые напряжения, можно определить токи в ветвях. Значение величин токов между узлами по модулю определяются по формуле (2.6.). I12=(U1-U2)/Z3; I23=(U2-U3)/Z5; I13=(U1-U3)/Z2; I14=(U1-U4)/Z1; I24=(U2-U4)/Z4; I34=(U3-U4)/Z6. Направление тока в ветви выбирается от большего потенциала (напряжения) узла к меньшему. ГЛАВА 3 Электрические цепи однофазного переменного тока 3.1.Символический метод расчета цепей синусоидального тока На практике расчета цепей переменного тока широко используется символический (комплексный) метод. Этот метод основан на символическом изображении действительных синусоидальных функций времени комплексными числами и векторами на комплексной плоскости. Как известно из курса математики, комплексное число имеет две составляющие вещественную (а) и мнимую (в), которые являются координатами точки на комплексной плоскости. С=а+jв (3.1.) Комплексная плоскость представляет прямоугольную систему координат. По одной оси, называемой вещественной, откладывается действительная (вещественная) часть комплекса (а). По другой оси называемой мнимой и обозначаемой +j, -j, откладывается мнимая часть комплекса (в), где j= -1; j2= -1. Комплексное число может быть представлено вектором, длина которого является модулем комплекса, а положение определяется углом φ относительно вещественной оси (рис3.1.). Рис.3.1. Изображение вектора на комплексной плоскости Комплексное число можно записать в алгебраической, показательной, тригонометрической, полярной формах. С=а+jв –алгебраическая форма записи; (3.2.) С=с*е φ –показательная форма записи; (3.3.) С=с* cosφ +jс* ѕіnφ – тригонометрическая форма записи; (3.4.) С=с φ-полярная форма записи. (3.5.) Где с-модуль комплексного числа, φ-аргумент (угол между вещественной осью и вектором комплексного числа) определяются через вещественную и мнимую часть комплексного числа : с2 = а2+в2 (3.6.) φ=arctg (в/а) (3.7.) На основании формулы Эйлера выражение е φ можно записать: еφ=cos φ+j sinφ (3.8.) 3.2. Синусоидальный ток, основные величины Постоянный ток распределяется по всему сечению проводника равномерно, т. е. во всех точках его сечения плотность тока одинакова. Плотность переменного тока возрастает от оси проводника к его поверхности. Электрические цепи, в которых величины и направления Э.Д.С., напряжения и тока периодически изменяются во времени по синусоидальному закону, называются цепями синусоидального тока (цепь переменного тока). Синусоидальный ток изменяется во времени по синусоидальному закону: i(t)=Im*sin( wt+φ) (3.9.) i(t)- мгновенное значение тока; Im-максимальное значение тока, называемое амплитудой; (wt+φ) –фаза, характеризует значение тока в момент времени t; φ –начальная фаза, характеризует значение тока в начальный момент времени; w(рад/с) –угловая (циклическая) частота w=2π*f=2π/T (3.10.) f(Гц)- частота , равна числу колебаний в единицу времени(сек.). Т- период, время, за которое совершается полное колебание. Величины Т и f взаимно обратны Т=1/f; f=1/T. 3.3. Среднее и действующее значение синусоидально изменяющейся величины Среднее значение периодической функции f(t) за период Т определяется по формуле: Fср=1/T f(t)dt. Под средним значением синусоидально изменяющейся величины понимают среднее значение за полпериода Т/2 т.к. значение средней функции за период равно нулю (площадь положительной полуволны компенсируется площадью отрицательной полуволны). Iср=(2/T ) ∫Im*sinwt dt=(2* Im /T*w)*(-coswt)= т.к.T=2π/w=(2* Im *w/2πw) (-cosw*2π/2w+cos0)=(Im/π)*(-(-1)+1)=2Im/π=0.637*Im Iср=2Im/π (3.11) Аналогично среднее значение синусоидального напряжения: Uср=2Um/π (3.12.) О величине U и I обычно судят по действующему значению за период. Действующее значение синусоидального тока равно по величине такому постоянному току, который, проходя через какое-либо сопротивление R, за период времени Т выделил бы то же количество тепла, что и синусоидальный ток проходя через это же сопротивление R за тот же период времени Т. Итак, энергия (тепло) за период Т, выделяющая в сопротивлении R при синусоидальном токе определяет: W~=∫i2(t)·Rdt=R∫I 2msin 2wtdt=R·∫I2m/2(1-cos2wt)dt=R·I2m·T/2 W~=R·I2m·T/2 (3.13) Энергия, выделяющаяся в сопротивлении при прохождении постоянного тока равна: W==I2*R*T (3.14.) Приравнивая данные энергии, получим: R·I2m·T/2=I2m·R·T Iд=Im/2 (3.15.) Iд=0.707*Im Аналогично определяются действующие значения Э.Д.С. и напряжения. Е=Еm/2; U=Um/2. Большинство измерительных приборов показывают действующее значение измеряемой величины.