Электростатика

Лекция № 10 Электростатика I. Электрическое взаимодействие и заряд В природе есть силы взаимодействия между телами, значительно превышающие силу гравитационного притяжения, - электрические силы. Эти силы очень широко распространены и возникают между телами (или частицами), обладающими электрическим зарядом. Весь наш мир построен на электрическом взаимодействии заряженных тел, без этого взаимодействия не было бы ни атомов, ни молекул, ни света. Трудно поверить, но всего 250 лет назад человечество практически ничего не знало об электричестве, кроме нескольких забавных фактов, известных ещё с древних времён: натёртый шерстью янтарь или стекло притягивают лёгкие предметы (пылинки, ворсинки, кусочки бумаги). Лишь в XVI веке систематическим изучением электрического взаимодействия занялся английский врач Гильберт, который установил, что есть два вида электрических зарядов (условно их назвали положительными и отрицательными). В 1785 г. французский физик Шарль Кулон, следуя закону Всемирного тяготения (ЗВТ), с помощью изобретённых им крутильных весов (см. лекцию № 3) установил закон взаимодействия двух точечных электрических зарядов (заряженных материальных точек) q1 и q2 , разделённых расстоянием r (закон Кулона): 2 q1 ⋅ q2 − 12 Ф 1 9 Н ⋅ м , где ( ). k = = 9 ⋅ 10 ( ) , а ε o = 8 ,85 ⋅ 10 2 м 2 r 4π ⋅ εo Кл Сопоставляя закон Кулона с ЗВТ, можно заметить их сходства и различия: Fк = k ⋅ Сходства Различия 1. Оба имеют центральный характер; 1. Fк >> Fg ; Fк зависит от свойств среды; 2. Обе силы Fg и Fк ~ 1 2. Для Fк есть притяжение и отталкивание, r 2; 3. Оба строго справедливы только для точечных и сферических тел. для Fg - только притяжение; 3. От Fg нет экрана, а от Fк можно “спрятаться” внутри проводящей оболочки. 95 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com Кулон также установил, что электрический заряд тел может изменяться только дискретно (т.е. порциями). Этот факт свидетельствовал о связи между электрическим зарядом и частицами вещества. Оказалось, что наименьший (элементарный) заряд имеют электрон и протон. Экспериментальное открытие электрона было совершено в 1897 году Дж. Томсоном, а протона - в 1919 году Э. Резерфордом; причём, оказалось, что: m p = 1836 ⋅ me и q p = −qe = 1,6 ⋅ 10−19 Кл, где m p , me массы протона и электрона. Итак, что же такое электрический заряд? Частица? Новый вид материи? Нет. Электрический заряд - это свойство частицы взаимодействовать с другими заряженными частицами с силой, описываемой законом Кулона. II. Электрическое поле и его характеристики Взаимодействие заряженных тел осуществляется посредством особого вида материи - электрического поля, возникающего вокруг них и имеющего все атрибуты материи (массу, энергию, скорость, импульс). Обнаружить эл. поле можно только по наличию силы, действующей на внесённое в него заряженное тело. В данной точке пространства электростатическое поле (порождаемое неподвижными заряженными телами) характеризуется двумя величинами: 1) силовой r напряжённостью ( E ); 2) энергетической - потенциалом ( ϕ ). r Напряжённостью электрического поля называют векторную величину E , r равную отношению силы F , действующей на другой (пробный) положительный заряд q в данной точке поля, к величине этого заряда: r r q E=F ⇒ E=k⋅ 2 ⇒ [Е] = Н/Кл = В/м. q r Потенциалом электрического поля в данной точке называют величину ϕ , равную отношению работы A , совершаемой полем (или сторонней силой против поля) при перемещении им пробного заряда q из данной точки на бесконечность: 96 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com Дж A Fк ⋅ r q ⇒ [ϕ ] = = 1 ( В ) ольт. = =k⋅ q q r Кл Поскольку эл. поле простирается в бесконечность, то чаще используют поня- ϕ= тие разности потенциалов ∆ϕ BC двух точек поля C и B , как величины, равной отношению работы ∆A поля по перемещению положительного заряда q из точки C в точку B к величине этого заряда: ∆ϕ BC = ϕB − ϕC = ∆A q . Наглядный пример ∆ϕ - "шаговое" напряжение, возникающее между двумя точками поверхности земли в области касания её оборванным проводом линии электропередачи. Между характеристиками эл. поля есть взаимосвязь: E = − ∆ϕ ∆r , т.е. напряжённость пропорциональна величине градиента потенциала. Знак (-) указывает на уменьшение E в направлении уменьшения потенциала ϕ . Для обеих характеристик электрического поля выполняется принцип суперпозиции (сложения): если в данной области пространства эл. поле порождается N зарядами, то в любой точке этой области результирующие напряжённость и потенциал равны сумме напряжённостей и потенциалов полей, создаваемых отr N r r N дельными зарядами: E = ∑ Ei ⇒ ϕ = ∑ ϕi ; причём векторы Еi складываются по i =1 i =1 правилу параллелограмма, а скаляры ϕ i - алгебраически, т.е. с учётом их знака. Изображают эл. поле с помощью силовых линий - линий, касательные к котоr рым в каждой точке совпадают с Fк , действующей на пробный ⊕ заряд (поэтому эти линии выходят из ⊕ и заканчиваются на Θ зарядах или уходят в бесконечность). Густота силовых линий пропорциональна модулю напряжённости E . Электрический диполь - система двух равных по величине разноимённых эл. зарядов q , разнесённых в пространстве. Он характеризуется электрическим моr r ментом диполя: p = q ⋅ l (направленным от Θ к ⊕ ). Электрические диполи широко распространены в природе, особенно в диэлектрических средах. 97 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com Эквипотенциальные линии (поверхности) ⊕⊕ Электрический диполь Θ ⊕ ⊕ r E Θ r p l Силовые линии электр. поля Работа в электрическом поле, по перемещению заряда, не зависит от формы траектории, а определяется только расстоянием между начальным и конечным положениями заряда в направлении силовых линий поля (в этом отношении электрическое поле подобно гравитационному). Эквипотенциальные поверхности - это поверхности в эл. поле, характеризуемые одинаковым потенциалом ( ϕ = const ). Например, для поля точечного заряда эквипотенциальными поверхностями являются сферы. При перемещении заряда по таким поверхностям работа A = q ⋅ ∆ϕ = 0 , так как для них ∆ϕ = 0 . Но A = 0 только в случае, если сила перпендикулярна направлению перемещения заряда. Следовательно, силовые линии электрического поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. III. Проводники в электростатическом поле Наиболее характерными проводниками являются металлы. Основу строения металла составляет кристаллическая решётка, в "узлах" которой "дрожат" положительно заряженные атомы (ионы), а между ионами хаотически движутся свободные электроны (бывшие ранее валентными), число которых ~ 1022 в 1 см3. 98 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com r При внесении проводящего образца в эл. поле Eвнеш . оно проникает внутрь r r него и, в соответствии с формулой Fк = q ⋅ E , действует на свободные электроны r в сторону, противоположную Eвнеш . . Силы электрического взаимодействия с решёткой не позволяют электронам покинуть металл, поэтому они накапливаются r E внеш . r E внутр . r E внеш . r E внеш . Θ Θ Θ Θ Θ r на поверхности той стороны образца, в которую вектор Eвнеш . входит, а на противоположной стороне образуется некоторый дефицит электронов (что эквивалентно появлению на этой стороне положительных зарядов). То есть под воздействиr ем Eвнеш . электронное облако, заполняющее проводящий образец, немного смеr щается в сторону, противоположную направлению Eвнеш . , и на поверхности появляются свободные заряды. Внутри же проводника по-прежнему суммарный электрический заряд в каждом элементарном объёме остаётся равным нулю. Наведение на поверхности проводника избыточных электрических зарядов под действиr ем Eвнеш . называют явлением электростатической индукции. Избыточные заряды r на поверхности проводника порождают внутри него эл. поле Eвнутр . , направленr E ное против внеш. . Свободные электроны перетекают до тех пор, пока r Eвнутр . не r компенсирует Eвнеш . , т.е. внутри проводника напряжённость результирующего r r r электрического поля: E рез . = Eвнеш . + Евнутр. = 0 . Таким образом, можно утверждать, что статическое электрическое поле не проникает внутрь проводящих тел. Это утверждение справедливо и для полых проводящих тел, что используется для 99 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com электростатической защиты приборов и людей от сильных статических электрических полей. Причём, при внесении проводящего образца в эл. поле, его силовые линии искажаются таким образом, чтобы стать перпендикулярными поверхности проводника. Действительно, если бы этого не происходило, т.е. если бы поле, входящее r в проводник, имело отличную от нуля тангенциальную составляющую Eτ ≠ 0 , то это обеспечивало бы условия возникновения в проводнике электрического тока. Таким образом, можно было бы без затрат получать энергию (т.е. реализовать вечный двигатель), что невозможно. r Так как силовые линии E перпендикулярны поверхности проводника, то она является эквипотенциальной поверхностью. На поверхности незаряженного проr водящего тела потенциал равен нулю (даже при наличии Eвнеш . ), но если проводнику сообщить заряд, то этот заряд равномерно распределится по поверхности тела, создавая на всей его поверхности одинаковый отличный от нуля потенциал. Отметим, что, вследствие равномерного распределения электрического заряда по внешней поверхности проводника, напряжённость электрического поля вне проводника тем больше, чем больше кривизна его поверхности (этот факт лежит в основе принципа действия громоотвода). IV. Диэлектрики в электростатическом поле Диэлектрики - это вещества, состоящие из электрически нейтральных молекул, т.е. в них нет свободных электрических зарядов. Но связанных заряженных частиц (входящих в состав молекул и участвующих в образовании межмолекулярных связей) в диэлектриках не меньше, чем в проводниках. До внесения диэлектрика в эл. поле, геометрические центры ⊕ и Θ зарядов совпадают и их поля (для внешнего наблюдателя) взаимно компенсируются. При r помещении диэлектрика во внешнее эл. поле Eвнеш . , оно проникает внутрь мате100 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com риала и вызывает в каждой молекуле смещение ⊕ и Θ заряженных частиц в противоположных направлениях. Это явление называют поляризацией (молекул) диэлектрика. Как и в проводниках, смещение зарядов в диэлектрике под действием r Eвнеш . проявляется в виде появления на поверхности тела некомпенсированных зарядов. Однако поляризация диэлектриков существенно от явления электростатической индукции зарядов в проводниках. В отличие от проводника, в диэлектрике поляризационные заряды возникают не только на поверхности, но и во всём объёме. Разрезав в электрическом поле проводник на две части, можно отделить разноимённые эл. заряды и, напротив, “разделить” поляризационные заряды диэлектрика невозможно. Кроме того, в отличие от проводника, электрическое поле внутри диэлектрика не обращается в нуль. В силу принципа суперпозиции электрических полей: 1) микрополя отдельных r поляризованных внешним полем Eвнеш . молекул диэлектрика складываются и r создают внутри него макроскопическое поле Eвнутр. , направленное противопоr r r ложно Eвнеш . ; 2) поля Eвнутр . и Eвнеш . складываются, образуя результирующее поr r r ле: E рез . = Eвнутр. + Eвнеш . ⇒ E рез . = Eвнеш . - Eвнутр . . В случае если окружающей средой является вакуум, то обычно обозначают r r Eвнеш . = Eo . Величину ε = Ео Е рез. >1 называют диэлектрической проницаемостью среды, которая показывает, во сколько раз напряжённость эл. поля в данной среде меньше, чем в вакууме. Поэтому закон Кулона для взаимодействующих в среде (а не в вакууме) зарядов, имеет вид: Fк = k ⋅ q1 ⋅ q2 , т.е. в среде сила кулоε ⋅ r2 новского взаимодействия зарядов ослабляется в ε раз. Например, для газов ε=1,0001-1,01, для жидкостей 2,0-2,5, для твёрдых сред 2,5-8,0, для полярных диэлектриков 10-100, для сегнетоэлектриков 102-104, для металлов ε→∞. 101 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com В зависимости от вида химической связи молекул диэлектрика (ковалентной, полярной или ионной), его поляризация протекает по-разному: r Eвнеш . ⊕ Θ⊕ Θ Θ ⊕ ⊕ Θ Θ ⊕Θ⊕ ΘΘ Θ ΘΘ r Eвнеш. ⊕⊕ ⊕ ⊕⊕ 1) электронная поляризация, характерна для неполярr ных диэлектриков. До наложения Eвнеш . геометрические центры ⊕ и Θ зарядов, распределённых внутри молекулы, r совпадают. В результате действия Eвнеш . центры ⊕ и Θ зарядов смещаются относительно друг друга, превращая r молекулу в ориентированный по Eвнеш . диполь. В резуль- тате, торцы диэлектрического тела приобретают разноимённые заряды. 2) дипольная поляризация, характерна для полярных диэлектриков (вода, ацетон, аммиак). У таких диэлектриков молекулы всегда (и r при Eвнеш . = 0) несимметричны в электрическом отношеr Eвнеш. нии, т.е. являются дипольными. Вследствие теплового движения молекулы расположены хаотично, поэтому ди- r Eвнеш. электрик в целом оказывается неполяризованным. Под r влиянием Eвнеш . все дипольные молекулы поворачивают- r ся вдоль Eвнеш . , в результате диэлектрик поляризуется. Степень поляризации заr висит от свойств диэлектрика, напряжённости поля Eвнеш . и температуры. При r исчезновении Eвнеш . исчезает и поляризация диэлектрика, так как тепловое движение сразу разрушает единую ориентацию молекул. К классу полярных диэлектриков относят сегнетоэлектрики (титанат бария BaTiO3, сегнетову соль NaKC4H4O6⋅4H2O, фосфат алюминия Al PO4), у которых r значительная поляризация сохраняется и после исчезновения Eвнеш . . Это объясняется тем, что в сегнетоэлектриках имеются области самопроизвольной поляризации (домены)- микроскопические объёмы, в которых дипольные молекулы 102 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com в ходе формирования вещества приобрели одинаковую ориентацию. Поле r Eвнеш . поворачивает в сегнетоэлектрике не отдельные полярные молекулы, а цеr лые полярные микрообъёмы. После удаления Eвнеш . тепловое движение сможет дезориентировать такие объёмы только при высокой температуре. В противном случае, сегнетоэлектрик остаётся поляризованным, и после исчезновения поля. 3) ионная поляризация, характерна для ионных кристаллов (например, каменная соль), образованных как бы вложенными друг в друга ⊕ и Θ ионными решётками. Соседние ионы обеих решёток образуют противоположно направr r ленные диполи. При наложении Eвнеш . те диполи, дипольные моменты p котоr r рых направлены по Eвнеш. , растягиваются, а диполи, у которых p направлены r против Eвнеш . , - съёживаются. Образец поляризуется. r Eвнеш. У некоторых ионных кристаллов (кварца, турмалина) r поляризация происходит не только под действием Eвнеш . , но и в результате механических напряжений, возникающих в них. Явление возникновения электрических зарядов на поверхности деформированных кристаллов называют r Eвнеш. прямым пьезоэффектом (от греческого слова "piezō" - давлю), оно было открыто в 1880г. братьями Кюри. При деформации кристалла образующие его две ионные решётки разного знака сдвигаются относительно друг друга, приводя к образованию микроскопических электрических диполей. r Размещение же пьезоэлектрика во внешнем поле Eвнеш . , приводит к деформации кристалла (обратный пьезоэффект). Так была открыта возможность преобразования электрических колебаний в механические. Обратный пьезоэффект используют для генерации ультразвука. 103 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com V. Электрическая ёмкость Это способность тела накапливать электрический заряд. Если проводящему телу сообщить заряд q , то вокруг тела образуется электрическое поле, а само оно приобретает потенциал ϕ ~ q . Однако отношение q ϕ , какой бы заряд мы не сообщали телу, остаётся постоянным и равным некоторой константе С = q ϕ , называемой электрической ёмкостью этого тела. Единица измерения эл. ёмкости: [C] = 1 Ф(арад) - 1 Кл/В. Для сферических тел имеем: ϕ = q q = 4π ⋅ ε o ⋅ r C ⇒ Cшара = 4π ⋅ ε o ⋅ r . Пусть электрическая ёмкость сферического тела С=1Ф , тогда это тело имеет радиус r = 1 4πεo = 9 ⋅ 109 м = 9 ⋅ 106 км (этот шарик в 10 раз больше Солнца!). Поэтому используют более мелкие единицы электрической ёмкости: 1 мкФ = 10−6 Ф ( r = 9 км) или 1 пФ = 10−12 Ф ( r = 0,9 см). Электрическая ёмкость плоского конденсатора: C = εo ⋅ ε ⋅ S , где ε - диэлекd трическая проницаемость изоляционного материала, заполняющего пространство (зазор) величиной d между пластинами. При параллельном соединении N конденсаторов их общую ёмкость Собщ рассчитывают по формуле: N Cобщ = ∑ Сi ; i =1 при таком соединении разность потенциалов на всех Сi одинакова. А при последовательном соединении: 1 Cобщ 1 ; при этом разность потенi =1Сi N =∑ циалов между крайними конденсаторами равна сумме напряжений на отдельных N конденсаторах: ϕобщ = ∑ ϕi . i =1 104 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com