Электростатическое поле. Теорема Гаусса

ЛЕКЦИИ по дисциплине: "Физика" Выполнил (а): студент (ка) __ курса группы ____________ _______________________________ Проверил (а): ____________________ г……… 2017г. 1 Электростатическое поле Электростатическое поле - это поле посредством которого взаимодействуют неподвижные электричекие заряды. Для обнаружения и исследования поля вводят понятие пробный заряд. Пробный заряд - это положительный, точечный заряд, не искажающий исследуемое поле (точечный заряд - это заряд, сосредоточенный на теле, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями до других запрядов). На пробный заряд Q0 , внесенный в электрическое поле, создаваемое точечным зарядом Q, действует кулоновская сила: где  - вектор, проведенный от заряда Q к заряду Q0 . Отношение  не зависит от величины внесенного заряда Q0, т.е. является характеристикой самого поля. 2 Потенциал и напряженность поля точечного заряда Найдем напряженность электрического поля положительного точечного заряда q в точке, находящейся на расстоянии r от заряда (рис.9.1). Поместим в эту точку пробный положительный точечный заряд qпр. Со стороны заряда q на него будет действовать сила отталкивания (заряды одноименные). Направление вектора совпадает с направлением силы . Величину напряженности найдем, воспользовавшись законом Кулона: . (9.9) Если заряд, создающий поле, отрицательный, то на положительный пробный заряд qпр будет действовать сила притяжения , направленная в сторону заряда –q. Также будет направлен вектор . Величина напряженности рассчитывается по формуле (9.9), заряд подставляется со знаком “модуль”. Итак, если точечный заряд положительный, то вектор направлен по радиальной прямой от положительного заряда. Если точечный заряд отрицательный, то вектор направлен по радиальной прямой к отрицательному заряду. Величина напряженности рассчитывается по формуле: . (9.10) Обращаем внимание, что вектор начинается в точке, которую он характеризует. Без вывода приведем формулу, по которой можно рассчитать величину потенциала в точке, находящейся на расстоянии r от заряда: . (9.11) Потенциал – величина алгебраическая, поэтому в формуле (9.11) знак “модуль” ставить не надо, для положительного заряда потенциал положительный, для отрицательного заряда потенциал отрицательный. Для наглядного изображения электрического поля используют силовые линии. Эти линии проводят так, чтобы направление вектора в каждой точке совпадало с направлением касательной к силовой линии (рис. 9.2). При изображении электрического поля с помощью силовых линий, их густота должна быть пропорциональна модулю вектора напряженности поля. Рис 9.2. Рис.9.3. Силовые линии электрических полей положительных и отрицательных точечных зарядов изображены на рис. 9.3. Силовые линии имеют направление, они начинаются на положительных зарядах, заканчиваются на отрицательных зарядах или уходят в бесконечность. 3 Закон Кулона Зако́н Куло́на — это закон, описывающий силы взаимодействия между точечными электрическими зарядами. Модуль силы взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме прямо пропорционален произведению модулей этих зарядов и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними. Иначе: Два точечных заряда в вакууме действуют друг на друга с силами, которые пропорциональны произведению модулей этих зарядов, обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними и направлены вдоль прямой, соединяющей эти заряды. Эти силы называются электростатическими (кулоновскими). Важно отметить, что для того, чтобы закон был верен, необходимы: 1. точечность зарядов — то есть расстояние между заряженными телами много больше их размеров — впрочем, можно доказать, что сила взаимодействия двух объёмно распределённых зарядов со сферически симметричными непересекающимися пространственными распределениями равна силе взаимодействия двух эквивалентных точечных зарядов, размещённых в центрах сферической симметрии; 2. их неподвижность. Иначе вступают в силу дополнительные эффекты: магнитное поле движущегося заряда и соответствующая ему дополнительная сила Лоренца, действующая на другой движущийся заряд; 3. взаимодействие в вакууме. Однако с некоторыми корректировками закон справедлив также для взаимодействий зарядов в среде и для движущихся зарядов.[1] В векторном виде в формулировке Ш. Кулона закон записывается следующим образом: где — сила, с которой заряд 1 действует на заряд 2; — величина зарядов; — радиус-вектор (вектор, направленный от заряда 1 к заряду 2, и равный, по модулю, расстоянию между зарядами — ); — коэффициент пропорциональности. Таким образом, закон указывает, что одноимённые заряды отталкиваются (а разноимённые — притягиваются). В СГСЭ единица измерения заряда выбрана таким образом, что коэффициент k равен единице. В Международной системе единиц (СИ) одной из основных единиц является единица силы электрического тока ампер, а единица заряда — кулон — производная от него. Величина ампера определена таким образом, что k = c2·10−7 Гн/м = 8,9875517873681764·109 Н·м2/Кл2 (или Ф−1·м). В СИ коэффициент k записывается в виде: где ≈ 8,854187817·10−12 Ф/м — электрическая постоянная. 4 Теорема Гаусса Поток вектора напряжённости электрического поля через любую, произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду. В системе СГСЭ:  . В системе СИ:  , где   — поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность  .   — полный заряд, содержащийся в объеме, который ограничивает поверхность  .   — электрическая постоянная. Данное выражение представляет собой теорему Гаусса в интегральной форме. В дифференциальной форме теорема Гаусса соответствует одному из уравнений Максвелла и выражается следующим образом в системе СИ:  , в системе СГСЭ:  . Здесь  — объёмная плотность заряда (в случае присутствия среды — суммарная плотность свободных и связанных зарядов), а  — оператор набла. Для теоремы Гаусса справедлив принцип суперпозиции, то есть поток вектора напряжённости через поверхность не зависит от распределения заряда внутри поверхности. Физической основой теоремы Гаусса является закон Кулона или, иначе, теорема Гаусса является интегральной формулировкой закона Кулона. Теорема Гаусса для электрической индукции (электрическое смещение). Для поля в веществе электростатическая теорема Гаусса может быть записана иначе — через поток вектора электрического смещения (электрической индукции). При этом формулировка теоремы выглядит следующим образом: поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности свободному электрическому заряду: Если же рассматривать теорему для напряжённости поля в веществе, то в качестве заряда Q необходимо брать сумму свободного заряда, находящегося внутри поверхности и поляризационного (индуцированного, связанного) заряда диэлектрика: , где  ,  — вектор поляризации диэлектрика. Теорема Гаусса для магнитной индукции Поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю: . Это эквивалентно тому, что в природе не существует «магнитных зарядов» (монополей), которые создавали бы магнитное поле, как электрические заряды создают электрическое поле. Иными словами, теорема Гаусса для магнитной индукции показывает, что магнитное поле является вихревым. Применение теоремы Гаусса  Для вычисления электромагнитных полей используются следующие величины: - Объёмная плотность заряда (см. выше). - Поверхностная плотность заряда  , где dS — бесконечно малый участок поверхности. - Линейная плотность заряда  , где dl — длина бесконечно малого отрезка. Рассмотрим поле, создаваемое бесконечной однородной заряженной плоскостью. Пусть поверхностная плотность заряда плоскости одинакова и равна σ. Представим себе мысленно цилиндр с образующими, перпендикулярными к плоскости, и основанием ΔS, расположенным относительно плоскости симметрично. В силу симметрии  . Поток вектора напряжённости равен  . Применив теорему Гаусса, получим:  , из которого  , в системе СГСЭ Важно отметить, что несмотря на свою универсальность и общность, теорема Гаусса в интегральной форме имеет сравнительно ограниченное применение в силу неудобства вычисления интеграла. Однако в случае симметричной задачи решение её становится гораздо более простым, чем с использованием принципа суперпозиции. 5 Работа сил электростатического поля При перемещении пробного заряда q в электрическом поле электрические силы совершают работу. Эта работа при малом перемещении  равна (рис. 1.4.1):  Рисунок 1.4.1. Работа электрических сил при малом перемещении заряда q Рассмотрим работу сил в электрическом поле, создаваемом неизменным во времени распределенным зарядом, т.е. электростатическом поле Электростатическое поле обладает важным свойством: Работа сил электростатического поля при перемещении заряда из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории, а определяется только положением начальной и конечной точек и величиной заряда. Аналогичным свойством обладает и гравитационное поле, и в этом нет ничего удивительного, так как гравитационные и кулоновские силы описываются одинаковыми соотношениями. Следствием независимости работы от формы траектории является следующее утверждение: Работа сил электростатического поля при перемещении заряда по любой замкнутой траектории равна нулю. Силовые поля, обладающие этим свойством, называют потенциальными или консервативными. На рис. 1.4.2 изображены силовые линии кулоновского поля точечного заряда Q и две различные траектории перемещения пробного заряда q из начальной точки (1) в конечную точку (2). На одной из траекторий выделено малое перемещение Работа ΔA кулоновских сил на этом перемещении равна  Таким образом, работа на малом перемещении зависит только от расстояния r между зарядами и его изменения Δr. Если это выражение проинтегрировать на интервале от r = r1 до r = r2, то можно получить  Рисунок 1.4.2. Работа кулоновских сил при перемещении заряда qзависит только от расстояний r1 и r2 начальной и конечной точек траектории Полученный результат не зависит от формы траектории. На траекториях I и II, изображенных на рис. 1.4.2, работы кулоновских сил одинаковы. Если на одной из траекторий изменить направление перемещения заряда q на противоположное, то работа изменит знак. Отсюда следует, что на замкнутой траектории работа кулоновских сил равна нулю. Если электростатическое поле создается совокупностью точечных зарядов  то при перемещении пробного заряда q работа A результирующего поля в соответствии с принципом суперпозиции будет складываться из работ  кулоновских полей точечных зарядов:  Так как каждый член суммы  не зависит от формы траектории, то и полная работа Aрезультирующего поля не зависит от пути и определяется только положением начальной и конечной точек. Свойство потенциальности электростатического поля позволяет ввести понятие потенциальной энергии заряда в электрическом поле. Для этого в пространстве выбирается некоторая точка (0), и потенциальная энергия заряда q, помещенного в эту точку, принимается равной нулю. Потенциальная энергия заряда q, помещенного в любую точку (1) пространства, относительно фиксированной точки (0) равна работе A10, которую совершит электростатическое поле при перемещении заряда q из точки (1) в точку (0): Wp1 = A10. (В электростатике энергию принято обозначать буквой W, так как буквой E обозначают напряженность поля.) Так же, как и в механике, потенциальная энергия определена с точностью до постоянной величины, зависящей от выбора опорной точки (0). Такая неоднозначность в определении потенциальной энергии не приводит к каким-либо недоразумениям, так как физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а разность ее значений в двух точках пространства. Работа, совершаемая электростатическое полем при перемещении точечного заряда q из точки (1) в точку (2), равна разности значений потенциальной энергии в этих точках и не зависит от пути перемещения заряда и от выбора точки (0). A12 = A10 + A02 = A10 – A20 = Wp1 – Wp2. Потенциальная энергия заряда q, помещенного в электростатическое поле, пропорциональна величине этого заряда. Физическую величину, равную отношению потенциальной энергии электрического заряда в электростатическом поле к величине этого заряда, называют потенциалом φ электрического поля: Потенциал φ является энергетической характеристикой электростатического поля. Работа A12 по перемещению электрического заряда q из начальной точки (1) в конечную точку (2) равна произведению заряда на разность потенциалов (φ1 – φ2) начальной и конечной точек:  A12 = Wp1 – Wp2 = qφ1 – qφ2 = q(φ1 – φ2). В Международной системе единиц (СИ) единицей потенциала является вольт (В).  1 В = 1 Дж / 1 Кл. Во многих задачах электростатики при вычислении потенциалов за опорную точку (0) удобно принять бесконечно удаленную точку. В этом случае понятие потенциала может быть определено следующим образом: Потенциал поля в данной точке пространства равен работе, которую совершают электрические силы при удалении единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность. Потенциал φ∞ поля точечного заряда Q на расстоянии r от него относительно бесконечно удаленной точки вычисляется следующим образом:  Как следует из теоремы Гаусса, эта же формула выражает потенциал поля однородно заряженного шара (или сферы) при r ≥ R, где R – радиус шара. Для наглядного представления электростатическое поля наряду с силовыми линиями используют эквипотенциальные поверхности. Поверхность, во всех точках которой потенциал электрического поля имеет одинаковые значения, называется эквипотенциальной поверхностью или поверхностью равного потенциала. Силовые линии электростатическое поля всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Эквипотенциальные поверхности кулоновского поля точечного заряда – концентрические сферы. На рис. 1.4.3 представлены картины силовых линий и эквипотенциальных поверхностей некоторых простых электростатических полей. Рисунок 1.4.3. Эквипотенциальные поверхности (синие линии) и силовые линии (красные линии) простых электрических полей: a – точечный заряд; b – электрический диполь; c – два равных положительных заряда В случае однородного поля эквипотенциальные поверхности представляют собой систему параллельных плоскостей. Если пробный заряд q совершил малое перемещение  вдоль силовой линии из точки (1) в точку (2), то можно записать:  ΔA12 = qEΔl = q(φ1 – φ2) = – qΔφ, где Δφ = φ1 – φ2 – изменение потенциала. Отсюда следует  Это соотношение в скалярной форме выражает связь между напряженностью поля и потенциалом. Здесь l – координата, отсчитываемая вдоль силовой линии. Из принципа суперпозиции напряженностей полей, создаваемых электрическими зарядами, следует принцип суперпозиции для потенциалов:  φ = φ1 + φ2 + φ3 + ... 6 Теорема о циркуляции Циркуляцией вектора напряженности называется работа, которую совершают электрические силы при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому пути L Так как работа сил электростатического поля по замкнутому контуру равна нулю (работа сил потенциального поля), следовательно циркуляция напряженности электростатического поля по замкнутому контуру равна нулю. Теорема о циркуляции: Циркуляция магнитного поля постоянных токов по всякому замкнутому контуру пропорциональна сумме сил токов, пронизывающих контур циркуляции. Практическое значение Теорема о циркуляции играет в магнитостатике приблизительно ту же роль, что и теорема Гаусса электростатике. В частности, при наличии определённой симметрии задачи, она позволяет просто находить величину магнитного поля во всём пространстве по заданным токам. Например, для вычисления магнитного поля от бесконечного прямолинейного проводника с током по закону Био — Савара — Лапласа потребуется вычислить неочевидный интеграл, в то время как теорема о циркуляции (с учётом осевой симметрии задачи) позволяет дать мгновенный ответ: . 7 Электростатическое поле в веществе Электростатическое поле характеризуется напряженностью электрического поля Е, которая является его силовой характеристикой: Напряженность электростатического поля показывает, с какой силой электростатическое поле действует на единичный положительный электрический заряд, помещенный в данную точку поля. Направление вектора напряженности совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд, и противоположно направлению силы, действующий на отрицательный заряд. Электростатическое поле однородно, если вектор его напряженности одинаков во всех точках поля, если вектор напряженности в различных точках различается, поле неоднородно. Одно из фундаментальных свойств электростатического поля заключается в том, что работа сил электростатического поля при перемещении заряда из одной точки поля в другую не зависит от траектории движения, а определяется только положением начальной и конечной точек и величиной заряда. Следовательно, работа сил электростатического поля при перемещении заряда по любой замкнутой траектории равна нулю. Силовые поля, обладающие этим свойством, называют потенциальными или консервативными. То есть электростатическое поле - это потенциальное поле, энергетической характеристикой которого является электростатический потенциал , связанным с вектором напряженности Е соотношением: Е = -gradj. Для электростатических полей соблюдается принцип суперпозиции. Каждый электрический заряд создает в пространстве электрическое поле независимо от наличия других электрических зарядов. Напряженность результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженности полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности. Всякий заряд в окружающем его пространстве создает электростатическое поле. Чтобы обнаружить поле в какой-либо точке, надо поместить в точку наблюдения точечный пробный заряд — заряд, который не искажает исследуемое поле (не вызывает перераспределения зарядов, создающих поле). Поле, создаваемое уединенным точечным зарядом q, является сферически симметричным. Модуль напряженности уединенного точечного заряда в вакууме с помощью закона Кулона можно представить в виде: Е = q/4peоr2. Где eо — электрическая постоянная, = 8,85.10-12Ф/м. Закон Кулона, установленный при помощи созданных им крутильных весов (см. Кулона весы), — один из основных законов, описывающих электростатическое поле. Он устанавливает зависимость между силой взаимодействия зарядов и расстоянием между ними: сила взаимодействия двух точечных неподвижных заряженных тел в вакууме прямо пропорциональна произведению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Эту силу называют кулоновской, а поле — кулоновским. В кулоновском поле направление вектора зависит от знака заряда Q: если Q > 0, то вектор направлен по радиусу от заряда, если Q < 0, то вектор направлен к заряду. Электрическое поле можно характеризовать значением потока вектора напряженности электрического поля, который можно рассчитать в соответствии с теоремой Гаусса. Теорема Гаусса устанавливает связь между потоком напряженности электрического поля через замкнутую поверхность и зарядом внутри этой поверхности. Поток напряженности зависит от распределения поля по поверхности той или иной площади и пропорционален электрическому заряду внутри этой поверхности. Если изолированный проводник поместить в электрическое поле, то на свободные заряды q в проводнике будет действовать сила. В результате в проводнике возникает кратковременное перемещение свободных зарядов. Этот процесс закончится тогда, когда собственное электрическое поле зарядов, возникших на поверхности проводника, компенсирует полностью внешнее поле, т. е. установится равновесное распределение зарядов, при котором электростатическое поле внутри проводника обращается в ноль: во всех точках внутри проводника Е = 0, то есть поле отсутствует. Силовые линии электростатического поля вне проводника в непосредственной близости к его поверхности перпендикулярны поверхности. Если бы это было не так, то имелась бы составляющая напряженности поля, вдоль поверхности провод­ника и по поверхности протекал бы ток. Заряды располагаются только на поверхности проводника, при этом все точки поверхности проводника имеют одно и то же значение потенциала. Поверхность проводника является эквипотенциальной поверхностью. Если в проводнике есть полость, то электрическое поле в ней также равно нулю; на этом основана электростатическая защита электрических приборов. 8 Вектор диэлектрического смещения Напряженность электростатического поля, зависит от свойств среды: в однородной изотропной среде напряженность поля Е обратно пропорциональна e. Е, переходя через границу диэлектриков, претерпевает скачко­образное изменение, создавая тем самым неудобства при расчетах электростатических полей. Поэтому оказалось необходимым помимо вектора напряженности характеризо­вать поле ещевектором электрического смещения, который для электрически изотроп­ной среды, по определению, равен . Также вектор электрического смещения можно выразить как  использую формулы диэлектрической проницаемости и восприимчивости.  где æ- диэлектрическая восприимчивость, характерезующая свойства диэлектриков(безразмерная величина). И другая безразмерная величина это диэлектрическая проницаемость среды (ε): ε=æ+1. ε показывает, во сколько раз поле ослабляется диэлект­риком, и характеризует количественно свойство диэлектрика поляризоваться в электрическом поле. Единица электрического смещения — кулон на метр в квадрате (Кл/м2). Рассмотрим, с чем можно связать вектор электрического смещения. Связанные заряды появляются в диэлектрике при наличии внешнего электростатического поля, создаваемого системой свободных электрических зарядов, т. е. в диэлектрике на электростатическое поле свободных зарядов накладывается дополнительное поле свя­занных зарядов. Результирующее поле в диэлектрике описывается вектором напряжен­ности Е, и потому он зависит от свойств диэлектрика. Вектором D описывается электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами. Связанные заряды, воз­никающие в диэлектрике, могут вызвать, однако, перераспределение свободных заря­дов, создающих поле. Поэтому вектор D характеризует электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами (т. е. в вакууме), но при таком их распределении в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика. Аналогично, как и поле Е, поле D изображается с помощьюлиний электрического смещения, направление и густота которых определяются точно так же, как и для линий напряженности. Линии вектора Е могут начинаться и заканчиваться на любых зарядах — свободных и связанных, в то время как линии вектора D — только на свободных зарядах. Через области поля, где находятся связанные заряды, линии вектора D проходят не прерываясь. Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора D сквозь эту поверх­ность  где Dn — проекция вектора D на нормаль n к площадке dS. Теорема Гаусса дляэлектростатического поля в диэлектрике:   т. е. поток вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозь произ­вольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов. В такой форме теорема Гаусса справедлива для электростатического поля как для однородной и изотропной, так и для неоднородной и анизотропной сред. 9 Проводники и диэлектрики Проводники К проводникам относятся все металлы и их сплавы, а также электротехнический уголь(каменный уголь, графит, сажа, смола и т.д.) К жидким проводникам относятся:вода, раствор солей, кислот и щелочей. К газообразным относятся ионизированные газы. Электрический ток в твердых проводниках-это направленное движение свободных электронов под действием ЭДС. ЭДС-электронно-движущая сила. Свойства проводников: 1. Электрические ◦ Удельное сопротивление веществ от которого зависит электропроводимость ◦ Сверхпроводимость-это свойство некоторых материалов при температуре равной 101(-273) проводить эл.ток без препятствий, т.е. удельное сопротивление этих материалов равно нулю 2. Физические ◦ плотность ◦ температура плавления 3. Механические ◦ Прочность на изгиб, растяжение и т.д., а также способность обрабатываться на станках 4. Химические ◦ Свойства взаимодействовать с окружающей или противостоять коррозии ◦ Свойства соединятся при помощи пайки, сварки Диэлектрики Не пропускают электрический ток.Диэлектрики обладают высоким удельным сопротивлением.Используются для защиты проводника от влаги, механических повреждений, пыли. Диэлектрики бывают • твердые-все неметаллы; • жидкие-масла, синтетические жидкости СОВОЛ, СОВТОЛ • газообразные-все газы:воздух, кислород, азот и т.д. Свойства диэлектриков: 1. Электрические свойства ◦ Электрический пробой-устанавление большого тока, под действием высокого электрического напряжения к электроиоляционному материалу определенной толщины. ◦ Электрическая прочность-это величина, равная напряжению, при котором может быть пробит электроизоляционному материал толщиной в единицу длины. 2. Физико-химические свойства ◦ Нагревостойкость-это способность диэлектрика длительно выдерживать заданную рабочую температуру без заметного изменения своих электроизоляционных качеств. ◦ Холодостойкость-способность материала переносить резкие перепады температуры, от +120, до - 120 ◦ Смачиваемость-способность материала отторгать влагу, испытания проводятся в климатических камерах, типа ELKA, где изделие подвергается увлажнению, создается ТУМАН и мгновенный перепад температуры-СУШКА, и так несколько циклов! 3. Химические ◦ Должны противостоять активной(агрессивной) среде ◦ Способность склеиваться ◦ Растворение в лаках и растворителях, склеиваться 4. Механические ◦ Защита металлических проводников от коррозии ◦ Радиационная стойкость ◦ Вязкость(для жидких диэлектриков) ◦ Вязкость-время истечения жидкости из сосуда, имеющего определенную форму и отверстие ◦ Предел прочности, твердости ◦ Обработка инструментом 10 Магнитное поле. Вектор магнитной индукции • Магнитное поле: это особая форма, посредством которой осуществляется взаимодействие между движущимисяэлектрически заряженными частицами • Вектор магнитной индукции B [Тл]: это силовая характеристика магнитного поля. Направление В это направление от южного полюса к северному полюсу магнитной стрелки, свободно устанавливающейся в магнитном поле (совпадает с направлением положительной нормали к замкнутому контуру с током). • Правило Буравчика: если направление поступательного движения буравчика совпадает с направлением тока в проводнике, то направление вращения ручки буравчика совпадает с направлением вектора В. • Модуль вектора магнитной индукции В - это отношение максимальной силы Fm, действующей со стороны магнитного поля на участок проводника с током, к произведению силы тока I на длину этого участка Δl : 11 Закон Био-Савара-Лапласа Закон Био Савара Лапласа определяет величину модуля вектора магнитной индукции в точке выбранной произвольно находящейся в магнитном поле. Поле при этом создано постоянным током на некотором участке. Формулировка закона Био Савара Лапласа имеет вид: При прохождении постоянного тока по замкнутому контуру, находящемуся в вакууме, для точки, отстоящей на расстоянии r0, от контура магнитная индукция будет иметь вид.  Формула 1 — Закон Био Савара Лапласа  где I  ток в контуре   гамма контур, по которому идет интегрирование       r0    произвольная точка   Возьмём элементарный участок проводника с током dl, он будет создавать в некоторой точке индукцию магнитного поля dB. dl это элементарный вектор направление, которого совпадает с направлением тока в контуре. r радиус вектор, направленный от dl к точке наблюдения. А вектор dB направлен перпендикулярно элементарному участку проводника dl и одновременно перпендикулярно радиус вектору r. То есть, проще говоря, элементарный вектор индукции dB направлен перпендикулярно плоскости образованной вектором dl и r. А его направление совпадает с направлением касательной к магнитной индукции. Определить это направление можно с помощью правила правого винта. Применяется оно таким образом.   Рисунок 1 — иллюстрация к закону Био Савара Лапласа    В случае если поступательное движение винта направлено в сторону движения тока, то направление вращения головки винта указывает направление dB.   Формула 2 — определяет модуль вектора dB   где альфа это угол между векторами элементарного участка цепи dl и радиус-вектором r 12 Сила Ампера • Сила Ампера: это сила, действующая на проводник с током, помещенный в магнитное поле • Закон Ампера: сила Ампера равна произведению модуля вектора магнитной индукции на силу тока, длину участка проводника Δl и на синус угла α между магнитной индукцией и участком проводника: ◦ при этом, очевидно, что если ток (проводник) перпендикулярен вектору магнитной индукции, то ◦ sin α = 1, и формула принимает вид: FА=B |I| ΔL sin α Здесь F – сила Ампера, I – сила тока в проводнике, B – модуль вектора индукции магнитного поля,  – длина участка проводника, на который воздействует магнитное поле,  – угол между вектором индукции магнитного поля и направления тока. Единица измерения силы – Н (ньютон). Сила Ампера — векторная величина. Сила Ампера принимает своё наибольшее значение когда векторы индукции и направления тока перпендикулярны ( =90). Направление силы ампера определяют по правилу левой руки: • Правило левой руки: если левую руку расположить так, чтобы перпендикулярная к проводнику составляющая вектора В входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца были направлены по направлению движения тока, то отогретый на 90о большой палец покажет направление силы, действующей на отрезок проводника 13 Сила Лоренца • Сила Лоренца: это сила, действующая на движущуюся заряженную частицу со стороны магнитного поля: ◦ при этом, очевидно, что если скорость частицы перпендикулярна вектору магнитной индукции, ◦ то sin α = 1, и формула принимает вид: FЛ=|q| v B где В — индукция магнитного поля, в котором заряд движется. где  — угол между v и В. Направление силы Лоренца определяется с помощью правила левой руки:  • Правило левой руки: если левую руку расположить так, чтобы составляющая вектора В перпендикулярная скорости заряда входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца были направлены по движении положительного заряда (= против движения отрицательного заряда), то отогрутый на 90о большой палец покажет направление действующей заряд силы Лоренца Сила действующая на эл. заряд Q движущийся в магн. поле со скоростью v называется силой Лоренца. F=Q[vB]. Направление силы Лоренца определяется по правилу левой руки. Магнитное поле не действует на покоящийся заряд. Если на движущийся заряд помимо магн. поля действует эл. поле то результирующая сила равна векторной сумме сил. F=QE+Q[vB]. 14 Теорема о циркуляции вектора В, закон полного тока Поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:  (120.3) Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми. Итак, для потоков векторов В и Е сквозь замкнутую поверхность в вихревом и потенциальном полях получаются различные выражения  .  В качестве примера рассчитаем поток вектора В сквозь соленоид. Магнитная индукция однородного поля внутри соленоида с сердечником с магнитной проницае­мостью m, согласно (119.2), равна B = μ0μNI/l Магнитный поток сквозь один виток соленоида площадью S равен Ф1 = BS а полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида и называемый потокосцеплением,   (120.4) Аналогично циркуляции вектора напряженности электростатического поля вводится циркуляция вектора магнитной индукции. Циркуляцией вектора Впо заданно­му замкнутому контуру называется интеграл , где dl — вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура, Bl=Bcosa — составляющая вектора В в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода), a — угол между векторами В и dl. Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В):циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной m0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим кон­туром: , где n — число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; ток противоположного направления считается отрицательным. Сравнивая выражения для циркуляции векторов Е и В, видим, что между ними существует принципиальное различие.Циркуляция вектора Е электростати­ческого поля всегда равна нулю, т. е. электростатическое поле является потенциаль­ным.Циркуляция вектора В магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым. Теорема о циркуляции вектора В имеет в учении о магнитном поле такое же значение, как теорема Гаусса в электростатике, так как позволяет находить магнитную индукцию поля без применения закона Био — Савара— Лапласа. Линии магнитной индукции непрерывны: они не имеют ни начала, ни конца. Это имеет место для любого магнитного поля, вызванного какими угодно контурами с током. Векторные поля, обладающие непрерывными линиями, получили название вихревых полей. Мы видим, что магнитное поле есть вихревое поле. В этом заключается существенное отличие магнитного поля от электростатического. 15 Контур с током в магнитном поле Пусть в однородное магнитное поле помещена рамка с током (рис. 4.13). Тогда силы Ампера, действующие на боковые стороны рамки, будут создавать вращающий момент, величина которого пропорциональна магнитной индукции, силе тока в рамке, ее площади Sи зависит от угла a между вектором  и нормалью к площади : . Направление нормали выбирают так, чтобы в направлении нормали перемещался правый винт при вращении по направлению тока в рамке. Максимальное значение вращательный момент имеет тогда, когда рамка устанавливается перпендикулярно магнитным силовым линиям: . Это выражение также можно использовать для определения индукции магнитного поля: . Величину, равную произведению , называют магнитным моментом контура Рт. Магнитный момент есть вектор, направление которого совпадает с направлением нормали к контуру. Тогда вращательный момент можно записать . При угле a = 0 вращательный момент равен нулю. Значение вращательного момента зависит от площади контура, но не зависит от его формы. Поэтому на любой замкнутый контур, по которому течет постоянный ток, действует вращательный момент М, который поворачивает его так, чтобы вектор магнитного момента установился параллельно вектору индукции магнитного поля. 16 Явление электромагнитной индукции. Закон Фарадея • Электромагнитная индукция: это явление возникновения электрического тока в проводящем контуре, который либо покоится в переменном магнитном поле, либо движется в постоянном магнитном поле таким образом, что число линий магнитной индукции, пронизывающих контур, меняется • Магнитный поток (=поток магнитной индукции) [Вб]: через поверхность площадью S это величина равная произведению модуля вектора магнитной индукции В на площадь и косинус угла между вектром В и нормалью к плоскости S: ◦ при этом, очевидно, что если магнитная индукция перпендикулярна плоскости, то cos α = 1, и формула принимает вид: Ф=BS Первый закон Фарадея: масса вещества m, выделяемая на электроде электрическим током, пропорциональная количеству электричества Q, прошедшему через электролит: m = kQ, но Q =It (9.16) где I – сила тока, А; t – время пропускание тока, с. m = kIt (9.17) k – коэффициент пропорциональности, равный количеству вещества, выделяемого при прохождении одного кулона (Кл) электричества (электрохимический эквивалент). Второй закон Фарадея: массы различных веществ, выделенных одним и тем же количеством электричества, пропорциональных их химическим эквивалентам (Мэ): Для выделения 1 грамма эквивалента вещества требуется пропустить через электролит одно и тоже количество электричества, равное приблизительно 96500 Кл (число Фарадея). Следовательно: Подставив последнее уравнение в (9.17), получим формулу, объединяющую оба закона Фарадея. (9.18) Соотношение (9.18) используют в расчетах процессов при электролизе. При практическом проведении электролиза всегда некоторая часть электрической энергии затрачивается на побочные процессы. Важной характеристикой рентабельности установки для проведения электролиза (электролизера) является выход по току (h, %): h = (9.19) где mпр – масса фактически выделенного вещества; mтеор – масса вещества, которая должна была выделиться в соответствии с законом Фарадея. На процесс электролиза существенно влияет плотность тока, то есть сила тока, приходящаяся на единицу рабочей поверхности электрода. 17 Уравнения Максвелла для ЭМ поля В основе теории Максвелла лежат рассмотренные выше четыре уравнения: 1. Электрическое поле может быть как потенциальным (ЕQ), так и вихревым (ЕB), поэтому напряженность суммарного поля Е=ЕQ +ЕB. Так как цир­куляция вектора ЕQ равна нулю, а циркуляция вектора ЕB определяется выражением (137.2), то циркуляция вектора напряженности суммарного поля Это уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля. 2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н  Это уравнение показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущими­ся зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями. 3. Теорема Гаусса для поля D: (139.1) Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью r, то формула (139.1) запишется в виде 4. Теорема Гаусса для поля В: Итак, полная система уравнений Максвелла в интегральной форме: Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и между ними существует следующая связь (изотропные несегнетоэлектрические и неферромагнитные среды): где e0 и m0 — соответственно электрическая и магнитная постоянные, e и m — соответст­венно диэлектрическая и магнитная проницаемости, g — удельная проводимость веще­ства. Из уравнений Максвелла вытекает, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных. Для стационарных полей (E=const и B=const) уравнения Максвелла примут вид т.е. источниками электрического поля в данном случае являются только электрические заряды, источниками магнитного — только токи проводимости. В данном случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитное поля. Воспользовавшись известными из векторного анализа теоремами Стокса и Гаусса можно представить полную систему уравнении Максвелла в дифференциальном форме (характеризующих поле в каждой точке пространства): Если заряды и токи распределены в пространстве непрерывно, то обе формы уравнений Максвелла — интегральная и дифференциальная — эквивалентны. Однако если имеются поверхности разрыва – поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральная форма уравнений является более общей. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме предполагают, что все величины в пространстве и времени изменяются непрерывно. Чтобы достичь математической эквивалентности обеих форм уравнений Максвелла, дифференциальную форму дополняют граничными условиями, которым должно удовлетворять электромагнитное поле на границе раздела двух сред. Интегральная форма уравнений Максвелла содержит эти условия. Они были рассмотрены раньше: (первое и последнее уравнения отвечают случаям, когда на границе раздела нет ни свободных зарядов, ни токов проводимости). Уравнения Максвелла — наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Они играют в учении об электромагнетизме такую же роль, как законы Ньютона в механике. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным, т. е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом — они образуют единое электромагнитное поле. Ток смещения или абсорбционный ток — величина, прямо пропорциональная быстроте изменения электрической индукции. Это понятие используется вклассической электродинамике . Введено Дж. К. Максвеллом при построении теории электромагнитного поля. Введение тока смещения позволило устранить противоречие[1] в формуле Ампера для циркуляции магнитного поля, которая после добавления туда тока смещения стала непротиворечивой и составила последнее уравнение, позволившее корректно замкнуть систему уравнений (классической) электродинамики. Строго говоря, ток смещения не является[2] электрическим током, но измеряется в тех же единицах, что и электрический ток. ного коэффициента) называется[3] поток вектора быстроты изменения электрического поля  через некоторую поверхность[4]  : (СИ) 18 ЭМ волны М. Фарадей ввел понятие поля: • вокруг покоящегося заряда возникает электростатическое поле, • вокруг движущихся зарядов (тока) возникает магнитное поле. В 1830 г. М. Фарадей открыл явление электромагнитной индукции: при изменении магнитного поля возникает вихревое электрическое поле. Рисунок 2.7 - Вихревое электрическое поле где,- вектор напряженности электрического поля,- вектор магнитной индукции. Главное условие возникновения электромагнитной волны — ускоренное движение электрических зарядов. Что собой представляет электромагнитная волна, легко представить на следующем примере. Если на водную гладь бросить камушек, то на поверхности образуются расходящиеся кругами волны. Они движутся от источника их возникновения (возмущения) с определенной скоростью распространения. Для электромагнитных волн возмущениями являются передвигающиеся в пространстве электрические и магнитные поля. Меняющееся во времени электромагнитное поле обязательно вызывает появление переменного магнитного поля, и наоборот. Эти поля взаимно связаны. Основным источником спектра электромагнитных волн является звезда Солнце. Часть спектра электромагнитных волн видит глаз человека. Этот спектр лежит в пределах 380...780 нм (рис. 2.1). В области видимого спектра глаз ощущает свет по-разному. Электромагнитные колебания с различной длиной волн вызывают ощущение света с различной окраской. Рисунок 2.9 - Спектр электромагнитных волн Часть спектра электромагнитных волн используется для целей радиотелевизионного вешания и связи. Источник электромагнитных волн — провод (антенна), в котором происходит колебание электрических зарядов. Процесс формирования полей, начавшийся вблизи провода, постепенно, точку за точкой, захватывает все пространство. Чем выше частота переменного тока, проходящего по проводу и порождающего электрическое или магнитное поле, тем интенсивнее создаваемые проводом радиоволны заданной длины. Ра́дио (лат. radio — излучаю, испускаю лучи ← radius — луч) — разновидность беспроводной связи, при которой в качестве носителя сигнала используются радиоволны, свободно распространяемые в пространстве. Радиоволны (от радио...), электромагнитные волны с длиной волны > 500 мкм (частотой < 6×1012 Гц). Радиоволны - это электрические и магнитные поля, меняющиеся во времени. Скорость распространения радиоволн в свободном пространстве составляет 300000 км/с. Исходя из этого, можно определить длину радиоволны (м). λ=300/f, где f - частота (МГц) Звуковые колебания воздуха, созданные во время телефонного разговора, преобразуются микрофоном в электрические колебания звуковой частоты, которые по проводам передаются к аппаратуре абонента. Там, на другом конце линии, они с помощью излучателя телефона преобразуются в колебания воздуха, воспринимаемые абонентом как звуки. В телефонии средством связи цепи являются провода, в радиовещании — радиоволны. «Сердцем» передатчика любой радиостанции является генератор — устройство, вырабатывающее колебания высокой, но строго постоянной для данной радиостанции частоты. Эти колебания радиочастоты, усиленные до необходимой мощности, поступают в антенну и возбуждают в окружающем ее пространстве электромагнитные колебания точно такой же частоты — радиоволны. Скорость удаления радиоволн от антенны радиостанции равна скорости света: 300 000 км/с, что почти в миллион раз быстрее распространения звука в воздухе. Это значит, что если на Московской радиовещательной станции в некоторый момент времени включили передатчик, то ее радиоволны меньше чем за 1 /30 с дойдут до Владивостока, а звук за это время успеет распространиться всего, лишь на 10— 11 м. Радиоволны распространяются не только в воздухе, но и там, где его нет, например, в космическом пространстве. Этим они отличаются от звуковых волн, для которых совершенно необходим воздух или какая-либо другая плотная среда, например вода. Электромагнитная волна – распространяющееся в пространстве электромагнитное поле (колебания векторов ). Вблизи заряда электрическое и магнитное поля изменяются со сдвигом фаз p/2. Рисунок 2.10 - Единое электромагнитное поле. На большом расстоянии от заряда электрическое и магнитное поля изменяются синфазно. Рисунок 2.11 - Синфазное изменение электрического и магнитного полей. Электромагнитная волна поперечна. Направление скорости электромагнитной волны совпадает с направлением движения правого винта при повороте ручки буравчика вектора  к вектору . Рисунок 2.12 - Электромагнитная волна. Причем в электромагнитной волне выполняется соотношение , где с – скорость света в вакууме. Максвелл теоретически рассчитал энергию и скорость электромагнитных волн. Таким образом, энергия волны прямо пропорциональна четвертой степени частоты. Значит, чтобы легче зафиксировать волну, необходимо, чтобы она была высокой частоты. Электромагнитные волны были открыты Г. Герцем (1887). СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Вихман Э. Берклеевский курс физики. Квантовая физика. - М.: Наука, 2011. 2. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. - М.: Наука, 2013. 3. Гершензон Е.М. и др. Курс общей физики. т.т. 1-2. Механика. - М.: Академия, 2010. 4. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс общей физики. - М.: Высшая школа, 2009 5. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. - М.: Бином, 2008. 6. Иродов И.Е. Механика. Основные законы. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2011. 7. Иродов И.Е. Электромагнетизм. Основные законы. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2011. 8. Калашников С.Г. Электричество. - М.: Наука, 2005. 9. Китель И., Найт У., Рудерман М. Берклеевский курс физики. Механика. - М.: Наука, 2003. 10. Матвеев А.Н. Курс физики. т.т. 1-4. - М.: Высшая школа, 2007 11. Парселл Э. Берклеевский курс физики. Электричество и магнетизм. - М.: Наука, 2002. 12. Рейф Ф. Берклеевский курс физики. Статистическая физика. - М.: Наука, 2009. 13. Савельев И.В. Курс физики, т.т. 1-5. - М.: Наука, 2014. 14. Сивухин Д.В. Общий курс физики, т.т. 1-5. - М.: Высшая школа, 2011. 15. Трофимова Т.И. Краткий курс физики. - М.: Высшая школа, 2000. 16. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. т.т. 1-9. - М.: Мир, 2008. 17. Хайкин С.Э. Физические основы механики. - М.: Наука, 2013. 18. Яворский Б.М., Пинский А.А. Основы физики, т.т. 1-2. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010.