Электромагнитные волны. Соотношения между электрическим и магнитным полем электромагнитной волны

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ Итак в прошлый раз на основании уравнений Максвелла ⃗ 𝐸 = −𝜕𝐵/𝜕𝑡; ∇ ⃗ 𝐻 = 𝜕𝐷/𝜕𝑡 ∇𝐵 = 0; ∇𝐷 = 0; ∇ и двух вещественных уравнений 𝐵 = μ0 μ𝐻; 𝐷 = ε0 ε𝐸 мы с вами для напряженности электрического поля в пространственно-временном континууме получили волновое уравнение ∆𝐸 = ε0 εμ0 μ(𝜕 2 𝐸/𝜕𝑡 2 ), ⃗ 𝑟). При движении волны решением которого является распространяющаяся в пространстве волна – любая функция вида Е(ωt - 𝑘 вдоль оси Х функция сводится к Е(ωt – kx), а волновое уравнение к виду. 𝜕 2 𝐸/𝜕𝑥 2 = ε0 εμ0 μ(𝜕 2 𝐸/𝜕𝑡 2 ). Возьмем вторые производные по координате и по времени 𝑘 2 𝐸̈ = ε0 εμ0 μω2 𝐸̈ ⇒ ω/𝑘 = 1/√ε0 εμ0 μ. Как мы выяснили в прошлой лекции ω/k – это скорость волны. В свободном пространстве диэлектрическая и магнитная проницаемости ε = µ = 1, поэтому скорость света 𝑐 = 1/√ε0 μ0 . Это соотношение между мировыми константами мы уже получали. В среде ε, µ > 1. Фазовая скорость электромагнитной волны 𝑣 = 𝑐/√εμ = 𝑐/𝑛 всегда меньше скорости света в свободном пространстве. Коэффициент пропорциональности 𝑛 = √εμ говорит, во сколько раз скорость света в среде меньше, чем в свободном пространстве. Его называют показателем преломления среды. Электромагнитная волна – это единственное элементарное возбуждение свободного пространства. Поэтому скорость света является собственной характеристикой пространственно-временного континуума. Скорость света – это максимально возможная скорость распространения информации. Свет доносит информацию максимально быстро и соответственно за минимальное возможное время. Траектория движения света такова, что он доходит из одной точки до другой за минимальное время. Поэтому по определению: прямая линия – это траектория движения света в свободном пространстве. Кратчайший путь между двумя точками – это расстояние по прямой, их соединяющей. Пусть у нас есть плоская граница раздела двух сред (см. рисунок). В одной из сред есть две произвольных точки, в одной из которых расположим источник света, а в другой – приемник. Найдем, по какой траектории свет из первой точки дойдет до границы, отразится и попадет во вторую. Согласно своему свойству свет должен дойти из точки 1 в точку 2 по кратчайшему расстоянию. Не сложно заметить, что для первой точки с другой стороны от границы раздела на таком же расстоянии можно найти симметричную ей точку 1` (называемую обычно ее изображением) такую, что расстояние от точек 1 и 1` до любой точки границы раздела одинаково. Сумма расстояний от точки 1 до любой точки границы раздела и от этой точки до точки 2 равна сумме расстояний от точки 1` до этой точки границы раздела и от этой точки до точки 2. Кратчайшее расстояние от точки 1` до точки 2 – это прямая линия. Поэтому единственная точка границы раздела, где может отразиться падающий на границу луч из точки 1, попадающий в точку 2, – это точка пересечения прямой линии с границей раздела. Для всех других точек длина траектории будет большей. Автоматически, проверив равенство соответствующих углов, можно утверждать, что угол падения равен углу отражения. Углом падения называем угол между падающим лучем и нормалью к поверхности. Углом отражения – между отраженным лучем и нормалью к поверхности. Соотношения между электрическим и магнитным полем электромагнитной волны Пусть вдоль оси Z распространяется синусоидальная электромагнитная волна 𝐸 = 𝐸𝑥𝑎 cos(ω𝑡 − 𝑘𝑧), имеющая только одну компоненту напряженности электрического поля, направленную вдоль оси Х. Исключим В и D из последних двух уравнений Максвелла, подставив их значения из вещественных уравнений. Тогда получим пару симметричных уравнений относительно Е и Н – ⃗ 𝐸 = −μ0 μ𝜕𝐻/𝜕𝑡; ∇ ⃗ 𝐻 = ε0 ε𝜕𝐸/𝜕𝑡. ∇ У нас есть только одна х-компонента вектора Е, изменяющаяся в направлении Z. Поэтому есть только одна ненулевая компонента ротора Е, направленная согласно определению ротора перпендикулярно и Х и Z – вдоль оси Y. Поэтому есть только y-компонента ветора Н – 𝜕𝐸𝑥 /𝜕𝑧 = −μ0 μ𝜕𝐻𝑦 /𝜕𝑡; 𝜕𝐻𝑦 /𝜕𝑧 = ε0 ε𝜕𝐸𝑥 /𝜕𝑡. Имеем пару согласованных уравнений, определяющих пространственную моду плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси Z. Для моды электромагнитной волны электрическое и магнитное поле взаимно перпендикулярны и каждое из них перпендикулярно направлению распространения. Для плоской волны есть две степени свободы. Электрическое поле может быть направлено вдоль оси Х, а магнитное вдоль оси Y и наоборот. Любую другую волну в том же направлении можно представить как линейную комбинацию этих мод. Учитывая синусоидальность волны, дифференцируя второе уравнение по времени, найдем 𝜕𝐻𝑦 /𝜕𝑧 = −𝐸𝑥𝑎 ωε0 ε sin(ω𝑡 − 𝑘𝑧). Интегрируя по z, получим 𝐻𝑦 = −𝐸𝑥𝑎 (ω/𝑘)ε0 ε cos(ω𝑡 − 𝑘𝑧 + δφ) = 𝐻𝑦𝑎 cos(ω𝑡 − 𝑘𝑧 + δφ). Так как ω/𝑘 = 1/√ε0 εμ0 μ, то отношение амплитудных значений напряженностей электрического и магнитного поля волны 𝐸𝑥𝑎 /𝐻𝑦𝑎 = √μ0 μ/(ε0 ε). В свободном пространстве диэлектрическая и магнитная проницаемости ε = µ = 1, поэтому 𝐸𝑥𝑎 /𝐻𝑦𝑎 = √μ0 /ε0 = 120π = 377 Ом. Эту величину называют волновым сопротивлением свободного пространства. Коэффициент пропорциональности √μ/ε, характеризующий свойства среды, называют ее импедансом. Из предпоследней формулы 2𝑤𝐸𝑎 = ε0 ε𝐸𝑥𝑎 2 = μ0 μ𝐻𝑦𝑎 2 = 2𝑤𝐻𝑎 плотность энергии электрического и магнитного полей одинакова. Фактически по закону сохранения энергии энергия, содержащаяся в электрическом поле, переходит в энергию магнитного поля. Чтобы плотность потока энергии при любой координате z была одинаковой, необходимо, чтобы произвольный сдвиг фаз δφ, добавленный нами при интегрировании был равен π/2. Тогда при любой фазе волны sin2φ + cos2φ = 1. Квадрат среднего по величине поля вдвое меньше квадрата амплитудного значения. Средние значения полностей энергии электрического и магнитного поля одинаковы 𝑤𝐸 = ε0 ε𝐸 2 /2 = μ0 μ𝐻2 /2 = 𝑤𝐻 , а их сумма – плотность энергии поля волны – при любом z равна 𝑤 = 𝑤𝐸 + 𝑤𝐻 = √ε0 εμ0 μ𝐸𝐻 = 𝐸𝐻/𝑣. Плотность потока энергии (мощность, проходящую через единицу площади) ⃗] 𝑆 = 𝑣𝑤 = [𝐸⃗ × 𝐻 называют вектором Умова-Пойнтинга. Энергия распространяетя перпендикулярно электрическому и магнитному полю вдоль направления движения волны.