Электромагнитные колебания в объемных резонаторах

Ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ â îáú¸ìíûõ ðåçîíàòîðàõ Ãëàâà 5 229  Ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ â îáú¸ìíûõ ðåçîíàòîðàõ 5.1. Îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè îáú¸ìíûõ ðåçîíàòîðîâ .................................................................. 230 5.2. Ñâîáîäíûå íåçàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ â îáú¸ìíûõ çàêðûòûõ ðåçîíàòîðàõ ÑÂ× .................................................................................................................................................................. 234 5.3. Ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ â îáú¸ìíûõ çàêðûòûõ ðåçîíàòîðàõ ÑÂ× ïðè íàëè÷èè ïîòåðü .............................................................................................................................................................................................. 237 5.4. Îáùàÿ ýëåêòðîäèíàìè÷åñêàÿ òåîðèÿ îáú¸ìíûõ ðåçîíàòîðîâ ............................................................................................................................................................................... 242 5.5. Ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî âîëíîâîäíîãî ðåçîíàòîðà .................................................................................................................................................................................. 244 5.6. Ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ êðóãëîãî âîëíîâîäíîãî ðåçîíàòîðà ........................................... 250 5.7. Êîàêñèàëüíûé ðåçîíàòîð .................................................................................................................................... 254 5.8(*). Äèýëåêòðè÷åñêèå ðåçîíàòîðû .................................................................................................................. 260 *) Ñèìâîëîì «*» îòìå÷åíû ðàçäåëû è ïàðàãðàôû äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî è óãëóáëåííîãî èçó÷åíèÿ ìàòåðèàëà. 230 ÃËÀÂÀ 5 Ãëàâà 5. Ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ â îáú¸ìíûõ ðåçîíàòîðàõ 5.1. Îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè îáú¸ìíûõ ðåçîíàòîðîâ ÑÂ× 5.1.1. Îáùèå ñâåäåíèÿ îá îáú¸ìíûõ ðåçîíàòîðàõ. Îáúåìíûì ðåçîíàòîðîì íàçûâàåòñÿ êîëåáàòåëüíàÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ñèñòåìà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé îáëàñòü, îãðàíè÷åííóþ ëèáî ìåòàëëè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ, ëèáî ïîâåðõíîñòüþ, ðàçäåëÿþùåé ñðåäû ñ ðàçëè÷íûìè äèýëåêòðè÷åñêîé è ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòÿìè, ëèáî èõ êîìáèíàöèåé.  ñîîòâåòñòâèè ñ äàííûì îïðåäåëåíèåì âîçìîæíû ñëåäóþùèå âèäû (òèïû) îáúåìíûõ ðåçîíàòîðîâ: ìåòàëëè÷åñêèå (ýêðàíèðîâàííûå), äèýëåêòðè÷åñêèå (ìàãíèòîäèýëåêòðè÷åñêèå) è ðåçîíàòîðû ñ áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, ÷àñòè÷íî ïîêðûòîé ìåòàëëîì (èíîãäà ãîâîðÿò — ìåòàëëèçèðîâàííîé). Çàïîëíåíèå ðåçîíàòîðîâ ìîæåò áûòü êàê îäíîðîäíûì, òàê è íåîäíîðîäíûì ñ ðàçëè÷íûìè èçîòðîïíûìè è àíèçîòðîïíûìè âêëþ÷åíèÿìè. Îñîáåííîñòüþ ÑÂ× äèàïàçîíà ÿâëÿåòñÿ ñîèçìåðèìîñòü äëèíû âîëíû ãåíåðèðóåìûõ êîëåáàíèé è ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ ñàìèõ êîëåáàòåëüíûõ ñèñòåì. Åñëè â äèàïàçîíå Ê â êà÷åñòâå êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû èñïîëüçóåòñÿ êîíòóð, ñîñòîÿùèé èç ñîñðåäîòî÷åííûõ ýëåìåíòîâ (åìêîñòåé è èíäóêòèâíîñòåé), òî â ÑÂ× äèàïàçîíå ïðèõîäèòñÿ ïðèìåíÿòü ñèñòåìû, îáðàçóåìûå ýëåìåíòàìè ñ ðàñïðåäåë¸ííûìè ïàðàìåòðàìè (îòðåçêàìè êîàêñèàëüíûõ è îòêðûòûõ ëèíèé ïåðåäà÷è, ýêðàíèðîâàííûõ è äèýëåêòðè÷åñêèõ âîëíîâîäîâ è ò.ä.). Íà ðèñ. 5.1 èçîáðàæåíû òðè íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåìûõ òèïà îáú¸ìíûõ ðåçîíàòîðî⠗ ïðÿìîóãîëüíûé (à), êðóãëûé (á) è êîàêñèàëüíûé (â). Âñå òðè óêàçàííûå ñòðóêòóðû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îòðåçêè ñîîòâåòñòâóþùèõ ëèíèé ïåðåäà÷è, îãðàíè÷åííûå òîðöåâûìè ïðîâîäÿùèìè ñòåíêàìè. Ñóùåñòâóþò è òàê íàçûâàåìûå îòêðûòûå ðåçîíàòîðû. Ýòî â ïåðâóþ î÷åðåäü óïîìÿíóòûå âûøå äèýëåêòðè÷åñêèå ðåçîíàòîðû, ïðèíöèï ðàáîòû êîòîðûõ îñíîâàí íà ýôôåêòå ïîëíîãî âíóòðåííåãî îòðàæåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ îò ãðàíèöû ðàçäåëà äâóõ äèýëåêòðè÷åñêèõ ñðåä. Êðîìå òîãî, ê îòêðûòûì ðåçîíàòîðàì îòíîñÿòñÿ ìåòàëëè÷åñêèå ðåçîíàíñíûå ñòðóêòóðû, â êîòîðûõ ïîëå óäåðæèâàåòñÿ çà ñ÷¸ò îòðàæåíèÿ âîëí, îáðàçóþùèõ óñòîé÷èâûé êîëåáàòåëüíûé ïðîöåññ, îò òàê íàçûâàåìûõ êðèòè÷åñêèõ ñå÷åíèé. Îáû÷íî êðèòè÷åñêîå ñå÷åíèå ïîëó÷àåòñÿ â ñóæàþùåéñÿ ÷àñòè âîëíîâîäà, â êîòîðîé ïîñòîÿííàÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû J  . Ýòîò ýôôåêò áûë èçâåñòåí äàâíî è äîñòàòî÷íî ïîäðîáíî îïèñàí â ëèòåðàòóðå, â òîì ÷èñëå, è â ó÷åáíîé. Ãîðàçäî ìåíåå èçâåñòíûì ÿâëÿåòñÿ ýôôåêò ïîëíîãî èëè ïî÷òè ïîëíîãî îòðàæåíèÿ âîëíû îò êðèòè÷åñêîãî ñå÷åíèÿ, ðàñïîëîæåííîãî â ðàñøèðÿþùåéñÿ ÷àñòè âîëíîâîäà. Íà îñíîâå ýòîãî ýôôåêòà â Ðîññèè áûëè ïðåäëîæåíû è ïîñòðîåíû îòêðûòûå ðåçîíàòîðû ñ ðàâíîìåðíûì ñïåêòðîì ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò, òàêèì êàê ó ñòðóíû. Ýòî ïîçâîëèëî ñîçäàòü êëàññ ðåçîíàòîðîâ è ãåíåðàòîðîâ íà èõ îñíîâå ñ óíèêàëüíî ðåäêèì ñïåêòðîì ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò, ñ îãðîìíûì ðàçðåæåíèåì ñïåêò- Ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ â îáú¸ìíûõ ðåçîíàòîðàõ à) á) 231 â) Ðèñ. 5.1 ðà, íåäîñòèæèìûì â îòêðûòûõ äâóìåðíûõ ðåçîíàòîðàõ, à òåì áîëåå, â öåëèêîì ýêðàíèðîâàííûõ.  òåõíèêå ÑÂ× ðåçîíàòîðû èñïîëüçóþòñÿ â êà÷åñòâå êîëåáàòåëüíûõ ñèñòåì ãåíåðàòîðîâ, ôèëüòðîâ ðàçëè÷íîãî íàçíà÷åíèÿ, âîëíîìåðîâ è äðóãèõ èçìåðèòåëüíûõ ïðèáîðîâ; øèðîêîå ïðèìåíåíèå ðåçîíàíñíûå ñòðóêòóðû íàõîäÿò â àíòåííîé òåõíèêå.  õîäå êîëåáàòåëüíîãî ïðîöåññà âî âíóòðåííåì îáúåìå ðåçîíàòîðà ïðîèñõîäèò íåïðåðûâíûé îáìåí ìåæäó çàïàñ¸ííûìè ýëåêòðè÷åñêîé è ìàãíèòíîé ýíåðãèÿìè. Ïðè èçìåíåíèè ÷àñòîòû è ñïîñîáà âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé â ðåçîíàòîðå ìîãóò îáðàçîâûâàòüñÿ ñàìûå ðàçëè÷íûå ñòðóêòóðû ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.  îáùåì ñëó÷àå â ðåçîíàòîðå ìîæåò ñóùåñòâîâàòü áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåçîíàíñíûõ êîëåáàíèé. Êîëåáàíèå, êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò ìèíèìàëüíàÿ ÷àñòîòà, íàçûâàåòñÿ íèçøèì. Åñëè ðåçîíàíñíûå ÷àñòîòû äâóõ èëè áîëåå êîëåáàíèé ñ ðàçëè÷íûìè ñòðóêòóðàìè ïîëåé ñîâïàäàþò, òàêèå êîëåáàíèÿ íàçûâàþòñÿ âûðîæäåííûìè. Êàê è â ëþáûõ êîëåáàòåëüíûõ ñèñòåìàõ, â îáú¸ìíûõ ðåçîíàòîðàõ ñóùåñòâóþò ñâîáîäíûå è âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ. Ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ ïðîèñõîäÿò â ðåçîíàòîðå ïîñëå ïðåêðàùåíèÿ âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ, âûçâàâøåãî èõ.  ðåàëüíîé ñèòóàöèè ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ â ðåçîíàòîðàõ ÑÂ× ÿâëÿþòñÿ çàòóõàþùèìè, òàê êàê âñåãäà ñóùåñòâóþò ïîòåðè â ñðåäå-çàïîëíèòåëå è â ìåòàëëè÷åñêèõ ñòåíêàõ. Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ïîääåðæèâàþòñÿ âíåøíèì èñòî÷íèêîì ýíåðãèè. Ïðè àíàëèçå âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé íåîáõîäèìî ïðåäâàðèòåëüíî ðàññìîòðåòü çàäà÷ó î ñâîáîäíûõ (ñîáñòâåííûõ) êîëåáàíèÿõ, à çàòåì ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû èñïîëüçîâàòü äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è î âûíóæäåííûõ êîëåáàíèÿõ. Ïðè ìàòåìàòè÷åñêîì îïèñàíèè ñâîéñòâ ýëåêòðîìàãíèòíûõ êîëåáàíèé â ðåçîíàòîðàõ èñïîëüçóþò ïîíÿòèÿ ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé è ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò. Äàäèì èõ îïðåäåëåíèÿ. Èçâåñòíî, ÷òî çàäà÷è î ðàñ÷¸òå ïîëåé â ðåçîíàòîðàõ ñâîäÿòñÿ êG çàäà÷àì î íàõîæäåíèè ðåøåíèé óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà äëÿ âåêòîðíûõ G ôóíêöèé ( è + , îïðåäåë¸ííûõ â îáú¸ìå V, îãðàíè÷åííîì ïîâåðõíîñòüþ S (ïîä ïîâåðõíîñòüþ S áóäåì ïîíèìàòü ñòåíêè ðåçîíàòîðà). Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà ðåøàþòñÿ ïðè çàäàííûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ íà ïîâåðõíîñòè S. Êðàåâûå çàäà÷è òàêîãî ðîäà õîðîøî èññëåäîâàíû Gâ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå. Èçâåñòíî, ÷òî G íåíóëåâûå ðåøåíèÿ äëÿ ôóíêöèé ( è + èìåþò ìåñòî òîëüêî ïðè íåêîòîðûõ ^ ZQ ` ïàîïðåäåë¸ííûõ çíà÷åíèÿõ ÷àñòîòû Z Z  Z     . Äèñêðåòíûå G çíà÷åíèÿ G ðàìåòðà Z , ïðè êîòîðûõ ïîëó÷àþòñÿ íåíóëåâûå ðåøåíèÿ ( è + , â ìàòåìàòèêå íàçûâàþò ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðà Z .  ýëåêòðîäèíàìèêå çíà÷åíèÿ 232 ÃËÀÂÀ 5 äèñêðåòíûõ ÷àñòîò ^ ZQ ` íàçûâàþò G ñîáñòâåííûìè ÷àñòîòàìè ðåçîíàòîðà. ÑîG îòâåòñòâåííî, íåíóëåâûå ðåøåíèÿ ( è + , ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðà Z , íàçûâàþò ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè êðàåâûõ çàäà÷. Ïðè âîçáóæäåíèè ðåçîíàòîðà íà ÷àñòîòàõ ZQ â í¸ì ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ, G âîçíèêàþò G îïèñûâàåìûå äåéñòâèòåëüíûìè ôóíêöèÿìè ( è + . Òàêèå êîëåáàíèÿ (ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ íà ñîáñòâåííûõ ÷àñòîòàõ) â ýëåêòðîäèíàìèêå íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè êîëåáàíèÿìè ðåçîíàòîðà. Ïîëíàÿ ýêâèâàëåíòíàÿ ñõåìà ðåçîíàòîðà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå áåñêîíå÷íîãî íàáîðà ñâÿçàííûõ ðåçîíàíñíûõ êîíòóðîâ. Íà ïðàêòèêå èñïîëüçóþòñÿ ðåçîíàòîðû, âîçáóæäàåìûå íà îäíîì îïðåäåëåííîì òèïå êîëåáàíèé.  ýòîì ñëó÷àå âáëèçè ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòû äàííîãî òèïà êîëåáàíèÿ ýêâèâàëåíòíàÿ ñõåìà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáû÷íûé ðåçîíàíñíûé êîíòóð, õàðàêòåðèçóþùèéñÿ ýêâèâàëåíòíûì àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì, ¸ìêîñòüþ è èíäóêòèâíîñòüþ. Ïðè âûáîðå òîãî èëè èíîãî òèïà îáúåìíîãî ðåçîíàòîðà ðåøàþùåå çíà÷åíèå èìåþò îïèñûâàåìûå íèæå ýëåêòðè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè è ïàðàìåòðû. 5.1.2. Îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè ðåçîíàòîðîâ. Òèï êîëåáàíèÿ, ñòðóêòóðà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ è ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà. Ýòè õàðàêòåðèñòèêè îïðåäåëÿþòñÿ èç ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé êðàåâîé çàäà÷è î ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèÿõ ðåçîíàòîðà. Êëàññèôèêàöèÿ òèïîâ êîëåáàíèé àíàëîãè÷íà êëàññèôèêàöèè òèïîâ âîëí â ëèíèÿõ ïåðåäà÷è: E- è H-êîëåáàíèÿ, LE- è LM-êîëåáàíèÿ è ãèáðèäíûå êîëåáàíèÿ. Ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòîé I êîëåáàíèÿ íàçûâàþò ÷àñòîòó, íà êîòîðîé ïðè ïðî÷èõ ðàâíûõ óñëîâèÿõ àìïëèòóäà ýòîãî êîëåáàíèÿ äîñòèãàåò íàèáîëüøåé âåëè÷èíû. Äîáðîòíîñòü ðåçîíàòîðà ( 4 ). Äîáðîòíîñòü ðåçîíàòîðà 4 îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: S 4 : : Z : 3  (5.1.1) ãäå : — ýíåðãèÿ, çàïàñåííàÿ çà ïåðèîä T â ðåçîíàòîðå; : — ýíåðãèÿ ïîòåðü, ðàññåèâàåìàÿ çà ïåðèîä T íà ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå; 3 — ìîùíîñòü ïîòåðü. Ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ îïðåäåëåíèå 4 ÷åðåç ýíåðãèþ è ÷àñòîòó â âèäå (5.1.1) ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíî íåçàâèñèìûì îò òèïà ðåçîíàòîðà. Ýíåðãèÿ, ðàññåèâàåìàÿ çà ïåðèîä T, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå : : :  (5.1.2) ãäå : — ýíåðãèÿ, ðàññåèâàåìàÿ â ðåçîíàòîðå çà ïåðèîä íà ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå; — ýíåðãèÿ, ðàññåèâàåìàÿ âî âíåøíåé öåïè çà ïåðèîä íà ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå. : Ñîîòâåòñòâåííî, ðàçëè÷àþò è äîáðîòíîñòè ðåçîíàòîðà: 4 S : : — (5.1.3) íåíàãðóæåííàÿ (ñîáñòâåííàÿ) äîáðîòíîñòü ðåçîíàòîðà; 4 S : : — (5.1.4) Ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ â îáú¸ìíûõ ðåçîíàòîðàõ 233 âíåøíÿÿ äîáðîòíîñòü ðåçîíàòîðà; S 4 : : — : (5.1.5) íàãðóæåííàÿ äîáðîòíîñòü ðåçîíàòîðà. Èç (5.1.2)-(5.1.5) ìåæäó äîáðîòíîñòÿìè ðåçîíàòîðà ïîëó÷àåòñÿ ïðîñòàÿ ñâÿçü:  4     4 4 (5.1.6) Êîýôôèöèåíò ñâÿçè ( . ) — îòíîøåíèå ìîùíîñòè, ïåðåäàâàåìîé ðåçîíàòîðîì âî âíåøíþþ öåïü ( 3 ), ê ìîùíîñòè, òåðÿåìîé â ðåçîíàòîðå íà ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå ( 3 ): . 3 3  (5.1.7) 5.1.3. Ðàçðåæåíèå ñïåêòðà ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò. Ñðåäè äðóãèõ õàðàêòåðèñòèê ðåçîíàòîðà ðàçðåæåíèå ñïåêòðà ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ÿâëÿåòñÿ âàæíåéøèì åãî ïàðàìåòðîì, ïîä êîòîðûì ïîíèìàåòñÿ ÷àñòîòíûé èíòåðâàë ìåæäó ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòîé ðàáî÷åãî è áëèæàéøåãî ê íåìó íåðàáî÷åãî êîëåáàíèÿ. Ðàññìîòðèì ïîíÿòèå ðàçðåæåíèå ñïåêòðà ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé (ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò) ñ îáùèõ ïîçèöèé. Êàê âèäíî èç (5.1.1), äîáðîòíîñòü ðåçîíàòîðà íàïðÿìóþ çàâèñèò îò âåëè÷èíû çàïàñ¸ííîé ðåçîíàòîðîì ýíåðãèè. Î÷åâèäíî, ÷òî çàïàñ¸ííàÿ ýíåðãèÿ : îïðåäåëÿåòñÿ åãî îáú¸ìîì 9 . Ââåäåì ïîíÿòèå «ðàçðåæåíèå ñïåêòðà ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò» 1 êàê ÷èñëî êîëåáàíèé ðåçîíàòîðà '1 , ïðèõîäÿùååñÿ íà èíòåðâàë ÷àñòîò 'Z .  ýòîì ñëó÷àå, â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Êóðàíòà èëè ôîðìóëîé Ðýëåÿ-Äæèíñà ðàçðåæåíèå ñïåêòðà ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò îáú¸ìíîãî (òð¸õìåðíîãî) çàêðûòîãî ðåçîíàòîðà îïðåäåëÿåòñÿ êàê ' 1 D 9Z  (5.1.8) ' Z SF ãäå V — îáú¸ì ðåçîíàòîðà, a — íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ. Èç (5.1.8) âèäíî, ÷òî ðàçðåæåíèå ñïåêòðà ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò çàêðûòîãî ðåçîíàòîðà a / ). ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíî êóáó íåêîòîðîãî ëèíåéíîãî ðàçìåðà / ( 1 Ðàçðåæåíèå ñïåêòðà ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò äëÿ äâóìåðíûõ îòêðûòûõ ðåçîíàòîðîâ îïðåäåëÿåòñÿ êàê DZ 6 1 (5.1.9) S F ãäå 6 îáîçíà÷àåò ïëîùàäü äâóìåðíîé îáëàñòè, çàíÿòîé ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì ðåçîíàòîðà. Òàêèì îáðàçîì, ðàçðåæåíèå ñïåêòðà â äâóìåðíîì ðåçîíàòîðå ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó åãî ëèíåéíîãî ðàçìåðà ( / ), â ðåçóëüòàòå ÷åãî ñïåêòð îòêðûòîãî ðåçîíàòîðà ñóùåñòâåííî ðåæå, ÷åì çàêðûòîãî. Îòìåòèì, ÷òî èìåííî áëàãîäàðÿ ïåðåõîäó ê îòêðûòîìó ðåçîíàòîðó, ïðåäëîæåííîìó À.Ì. Ïðîõîðîâûì (è íåçàâèñèìî îò íåãî Øàâëîâûì è Òàóíñîì), 1 234 ÃËÀÂÀ 5 ñòàëî âîçìîæíûì ïîñòðîåíèå ëàçåðîâ è ìíîãèõ äðóãèõ ïðèáîðîâ êâàíòîâîé ýëåêòðîíèêè. È íàêîíåö, äëÿ îäíîìåðíîé îáëàñòè ðàññòîÿíèåì / ìåæäó áåñêîíå÷íûìè îòðàæàþùèìè ïëîñêîñòÿìè, ðàçðåæåíèå ñïåêòðà ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò îïðåäåëÿåòñÿ êàê D / (5.1.10) SF Òàêèì îáðàçîì, íàèáîëåå ðàçðåæåííûé ñïåêòð ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò èìååò îäíîìåðíàÿ îáëàñòü, êîòîðàÿ îáëàäàåò ðàâíîìåðíûì (ýêâèäèñòàíòíûì) ñïåêòðîì. Âîçíèêàåò åñòåñòâåííûé âîïðîñ: íåëüçÿ ëè ïîñòðîèòü îáú¸ìíûå, íàïðèìåð, îòêðûòûå ðåçîíàòîðû, ó êîòîðûõ ðàçðåæåíèå ñïåêòðà ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò îïðåäåëÿëîñü áû êàê (5.1.10), à íå êàê (5.1.8)? Êàê îêàçàëîñü, òàêèå îáú¸ìíûå êîëåáàòåëüíûå ñòðóêòóðû ìîæíî ñîçäàòü è îíè áûëè ïðåäëîæåíû â Ðîññèè áîëåå 20 ëåò òîìó íàçàä. Îíè ïîëó÷èëè íàçâàíèå îòêðûòûõ ðåçîíàòîðîâ ñ «íåôîêóñèðóþùèìè» çåðêàëàìè. Íà îñíîâå ýòîãî êëàññà ðåçîíàíñíûõ ñòðóêòóð áûëî ïðåäëîæåíî è ñîçäàíî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ïàññèâíûõ è àêòèâíûõ ïðèáîðîâ è óñòðîéñòâ ÑÂ×, ÊÂ× è îïòè÷åñêîãî äèàïàçîíîâ.  èõ ÷èñëå: ðåçîíàòîðû, âîëíîìåðû, ëàçåðû, êëèñòðîíû, ìàãíåòðîíû, îðîòðîíû (ãåíåðàòîðû äèôðàêöèîííîãî èçëó÷åíèÿ) è ìí. äð. Ðåçîíàòîðû, âíóòðåííÿÿ îáëàñòü êîòîðûõ ïîëíîñòüþ îêðóæåíà ìåòàëëè÷åñêîé îáîëî÷êîé, íàçûâàþòñÿ çàêðûòûìè. Ðåçîíàòîðû, âíóòðåííÿÿ îáëàñòü êîòîðûõ íå ýêðàíèðîâàíà èëè òîëüêî ÷àñòè÷íî ýêðàíèðîâàíà ïðîâîäÿùåé îáîëî÷êîé, íàçûâàþòñÿ îòêðûòûìè.  îòëè÷èå îò òåîðèè êîëåáàòåëüíûõ êîíòóðîâ ñî ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè ïðè ðàññìîòðåíèè ÿâëåíèé â îáú¸ìíûõ ðåçîíàòîðàõ ÑÂ× íåëüçÿ ââåñòè â êà÷åñòâå îñíîâíûõ ïàðàìåòðîâ íàïðÿæåíèå è òîêè, òàê êàê ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå âíóòðè ðåçîíàòîðà íîñèò íåïîòåíöèàëüíûé õàðàêòåð, à òîêè çàâèñÿò îò òð¸õ êîîðäèíàò è âðåìåíè. Ïîýòîìó òåîðèÿ îáú¸ìíûõ ðåçîíàòîðîâ ÑÂ× ñòðîèòñÿ íà îñíîâå ñèñòåìû óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà. Îïðåäåëèâ èç íå¸ íàïðÿæ¸ííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé â ðåçîíàòîðå, ìîæíî ðàññ÷èòàòü è òîêè, òåêóùèå ïî åãî ñòåíêàì (äëÿ äèýëåêòðè÷åñêèõ íåýêðàíèðîâàííûõ ðåçîíàòîðî⠗ òîêè ñìåùåíèÿ). 1 5.2. Ñâîáîäíûå íåçàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ â îáú¸ìíûõ çàêðûòûõ ðåçîíàòîðàõ ÑÂ× Ðàññìîòðèì çàäà÷ó î ñîáñòâåííûõ íåçàòóõàþùèõ êîëåáàíèÿõ îáú¸ìíîãî çàêðûòîãî ðåçîíàòîðà ÑÂ× îáùåãî âèäà, èçîáðàæ¸ííîãî íà ðèñ. 5.2.  îáùåì ñëó÷àå òàêîé ðåçîíàòîð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåêîòîðûé îáú¸ì V äèýëåêòðè÷åñêîé ñðåäû ñ ïàðàìåòðàìè H  P V , êîòîðûé îãðàíè÷åí ñî âñåõ ñòîðîí çàìêíóòîé ïðîâîäÿùåé ïîâåðõíîñòüþ S. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ â îáú¸ìíîì ðåçîíàòîðå áûëè íåçàòóõàþùèìè íåîáõîäèìî ïîòðåáîâàòü âûïîëíåíèÿ äâóõ óñëîâèé: o f; — ïîâåðõíîñòü S äîëæíà áûòü èäåàëüíî ïðîâîäÿùåé, òî åñòü V — ïðîâîäèìîñòü ñðåäû-çàïîëíèòåëÿ âíóòðè îáú¸ìà V äîëæíà áûòü ðàâíà íóëþ ( V  ), ÷òî ñîîòâåòñòâóåò îòñóòñòâèþ ïîòåðü â äèýëåêòðèêå. Ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ â îáú¸ìíûõ ðåçîíàòîðàõ 235 6 < 9 / = V  V  HD  PD f ; Ðèñ. 5.2 Ðåøåíèå çàäà÷è î ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèÿõ îáú¸ìíîãî çàêðûòîãî ðåçîíàòîðà ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ ðåøåíèé êðàåâûõ çàäà÷ íà âåêòîðíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèÿõ G Ãåëüìãîëüöà äëÿ âåêòîðà ( : G G G G ’( U  ZH D P D ( U  9  (5.2.1) G (W  6 G è äëÿ âåêòîðà + : G G G G ’ + U  ZH D P D + U  9  (5.2.2) +Q  6  (5.2.1), (5.2.2) H D è P D — àáñîëþòíûå äèýëåêòðè÷åñêàÿ è ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòè. Ðàññìîòðèì êðàåâóþ çàäà÷ó (5.2.1). Ÿ ðåøåíèÿ ñóùåñòâóåò òîëüêî äëÿ äèñêðåòíîãî ðÿäà çíà÷åíèé NQ ZQ H D P D , íàçûâàåìûõ ñîáñòâåííûìè âîëíîâûìè ÷èñëàìè. Âåëè÷èíû NQ íàçûâàþòñÿ Gñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè êðàåâîé çàäà÷è. G Ñîîòâåòñòâóþùèå èì ðåøåíèÿ (Q U íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè âåêòîðíûìè ôóíêöèÿìè. G G Çíà÷åíèÿ NQ è ÿâíûé âèä ôóíêöèé (Q U îïðåäåëÿþòñÿ ïàðàìåòðàìè äèýëåêòðèêà è ôîðìîé ïîâåðõíîñòè ðåçîíàòîðà. ×èñëî Q — ïîðÿäêîâûé íîìåð ðåøåíèÿ. Äëÿ ðåçîíàòîðà ñ èäåàëüíî ïðîâîäÿùèìè ñòåíêàìè, çàïîëíåííîãî îäíîðîäíîé èçîòðîïíîé ñðåäîé ñ ïàðàìåòðàìè H è P , ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà: G G _ URW (Q _  G9 _ URW +Q _  G9 ³ ZQ H D P D 9 ³ ³ 9 G _ (Q _  G9 9 ³ 9 G _ +Q _  G9  (5.2.3) êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî çàïàñ¸ííûå â îáú¸ìå ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé â ñðåäíåì çà ïåðèîä ðàâíû: G G   P D _ + _  G9 H D _ ( _  G9    ³ 9 ³ 9 236 ÃËÀÂÀ 5 Èç (5.2.3) ñëåäóåò, ÷òî ZQ H D P D { NQ !   íåçàâèñèìî îò òîãî, ÿâëÿåòñÿ ëè âíóòðåííÿÿ ñðåäà ïîãëîùàþùåé èëè íåò. Ýòî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì îáùåãî ïîëîæåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè: ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îäíîðîäíûõ êðàåâûõ çàäà÷ (5.2.1), (5.2.2) — ïîëîæèòåëüíûå âåëè÷èíû. Êàæäîìó âîëíîâîìó ÷èñëó NQ ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåë¸ííàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé: NQ ZQ  Q       (5.2.4) HDPD Òàêèì îáðàçîì, â ðåçîíàòîðå ìîãóò ñóùåñòâîâàòü êîëåáàíèÿ ëèøü ñ îïðåäåë¸ííûìè ñîáñòâåííûìè ÷àñòîòàìè, îáðàçóþùèìè áåñêîíå÷íûé äèñêðåòíûé ñïåêòð. Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè êðàåâîé çàäà÷è äëÿ ïîëîãî ðåçîíàòîðà îáëàäàþò ñâîéñòâîì îðòîãîíàëüíîñòè è ìîãóò áûòü ïðîíîðìèðîâàíû: G G G G ( Q U ( Q U G9 1 Q G QQ  (5.2.5) ³ 9 ãäå G QQ — ñèìâîë Êðîíåêåðà, 1 Q — íîðìèðóþùèé ìíîæèòåëü. Âåêòîð íàïðÿæ¸ííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ Q -ãî êîëåáàíèÿ çàïèñûâàåòñÿ êàê G G G G (5.2.6) ( Q U  W 5H (Q (Q U H L ZQ W  G G ãäå ZQ îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (5.2.4); (Q U — ñîáñòâåííàÿ âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ (êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà) êðàåâîé çàäà÷è (5.2.1); (Q — ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà, îïðåäåëÿåìàÿ èç óñëîâèé âîçáóæäåíèÿ. Îáùåå ðåøåíèå çàäà÷è (5.2.1) çàïèñûâàåòñÿ â âèäå áåñêîíå÷íîé ñóììû ÷àñòíûõ ðåøåíèé (5.2.6), ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé ýëåêòðè÷åñêèå ïîëÿ îòäåëüíûõ ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé: G G G G ( U W 5H > (Q (Q U H L ZQ W @  (5.2.7) Q G Äëÿ íàõîæäåíèÿ íàïðÿæ¸ííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ + âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà: G G G G L +U URW ( U  (5.2.8) Z PD > @ ¦ Âûðàæåíèå (5.2.8) äëÿ íàïðÿæ¸ííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ Q -ãî êîëåáàíèÿ, ìîæíî çàïèñàòü â âèäå: G G G H  LS   (5.2.9) +Q U URW (Q U  ZQ P D Îáùåå ðåøåíèå çàäà÷è (5.2.1), ïðåäñòàâëÿþùåå íàïðÿæ¸ííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ, åñòü ñóììà ÷àñòíûõ ðåøåíèé (5.2.9): G G G G + U W 5H > +Q U H L ZQ W @  (5.2.10) ¦ Q Ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ â îáú¸ìíûõ ðåçîíàòîðàõ 237 G G Èç (5.2.9) ñëåäóåò, ÷òî âåêòîðû (Q è +Q ñäâèíóòû ïî ôàçå íà óãîë S   , ïðè÷¸ì àìïëèòóäû ýòèõ âåêòîðîâ ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè êîîðäèíàò. Òàêîé âèä ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, êàê óæå îòìå÷àëîñü, íîñèò íàçâàíèå ñòîÿ÷åé âîëíû.  ðåçóëüòàòå ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî â ðåçîíàòîðå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ñóïåðïîçèöèè ïîëåé áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ñòîÿ÷èõ âîëí, îïðåäåëÿåìûõ èíäåêñîì Q . Íåîáõîäèìî òàêæå îòìåòèòü, ÷òî â ëþáîé òî÷êå ðåçîíàòîðà â ìîìåíòû, êîãäà ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå â ðåçîíàòîðå ìàêñèìàëüíî, ìàãíèòíîå ïîëå â ýòîé òî÷êå ðàâíî íóëþ è íàîáîðîò. Ñ ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì ñâÿçàíà ýíåðãèÿ: G G HD :QH _ (Q U _  G9  (5.2.11)  ³ 9 à ñ ìàãíèòíûì — ýíåðãèÿ: :Q PD  G G ³ _ +Q U _  G9  9 (5.2.12)  ïðîöåññå êîëåáàíèé â ðåçîíàòîðå ïðîèñõîäèò íåïðåðûâíûé ïåðåõîä ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â ýíåðãèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ è íàîáîðîò. Ïîñêîëüêó ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé â ðåçîíàòîðå â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè íå ñîâïàäàþò, ïåðåõîä îäíîãî âèäà ýíåðãèè â äðóãîé ñâÿçàí ñ å¸ äâèæåíèåì âíóòðè ðåçîíàòîðà. Îäíàêî ñðåäíåå çà ïåðèîä êîëåáàíèÿ çíà÷åíèå âåêòîðà Óìîâà-Ïîéíòèíãà â ëþáîé òî÷êå ðåçîíàòîðà ðàâíî íóëþ: G G G  6! 5H > ( + @    Òàêèì îáðàçîì, â ëþáîé òî÷êå ðåçîíàòîðà â ñðåäíåì çà ïåðèîä êîëåáàíèÿ ïîòîê ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè îòñóòñòâóåò è ïðåâðàùåíèå ýíåðãèè çàêëþ÷àåòñÿ ëèøü â å¸ ïåðåõîäå èç îäíîãî âèäà â äðóãîé. 5.3. Ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ â îáú¸ìíûõ ðåçîíàòîðàõ ÑÂ× ïðè íàëè÷èè ïîòåðü  ðåàëüíûõ ðåçîíàòîðàõ ÑÂ× âñåãäà èìåþò ìåñòî ïîòåðè ýíåðãèè, ïðèâîäÿùèå ê çàòóõàíèþ ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé. Äèññèïàöèÿ ýíåðãèè â ðåçîíàòîðàõ âûçâàíà òðåìÿ îñíîâíûìè ïðè÷èíàìè: — ïîòåðÿìè â ñòåíêàõ ðåçîíàòîðà; — ïîòåðÿìè â ñðåäå, çàïîëíÿþùåé ðåçîíàòîð; — ïîòåðÿìè, ñâÿçàííûìè ñ èçëó÷åíèåì â îêðóæàþùóþ ñðåäó (äëÿ îòêðûòûõ ðåçîíàòîðîâ ÑÂ× è ïðè íàëè÷èè îòâåðñòèé â ýêðàíå, ñëóæàùèõ äëÿ âîçáóæäåíèÿ ðåçîíàòîðîâ è âûâîäà èç íèõ ýíåðãèè). 5.3.1. Ñîáñòâåííàÿ (íåíàãðóæåííàÿ) äîáðîòíîñòü ðåçîíàòîðà. Ïîíÿòèå «êîìïëåêñíîé» ÷àñòîòû. Ïîòåðè â ðåçîíàòîðå õàðàêòåðèçóþòñÿ ïàðàìåòðîì 4 , íàçûâàåìûì ñîáñòâåííîé äîáðîòíîñòüþ ðåçîíàòîðà, îïðåäåëÿåìîé ôîðìóëîé (5.1.3). Ïðè ýòîì ïîëíàÿ çàïàñ¸ííàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ðåçîíàòîðà 238 ÃËÀÂÀ 5 íà ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå ZQ óäîâëåòâîðÿåò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ: G: Z  Q :  (5.3.1) GW 4 è îïðåäåëÿåòñÿ êàê : : W  H  ZQ W  4  : (5.3.2) Èç (5.3.1) è (5.3.2) ñëåäóåò, ÷òî çàïàñ ýíåðãèè ñîáñòâåííîãî êîëåáàíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíî G G óáûâàåò. Òàê êàê ýíåðãèÿ êâàäðàòè÷íî ñâÿçàíà ñ ïîëåì, àìïëèòóäû âåëè÷èí ( è + èçìåíÿþòñÿ ïî çàêîíó H[S ^  ZQ W  4 ` . Ïðè íàëè÷èè ïîòåðü ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû ðåçîíàòîðà ñòàíîâÿòñÿ êîìïëåêñíûìè: ZQ ZcQ  L ZcQc  Ðàçëè÷íûå ôàêòîðû, îïðåäåëÿþùèå ïîòåðè, ïðè âû÷èñëåíèè äîáðîòíîñòè 4 ðåçîíàòîðîâ ìîæíî ó÷èòûâàòü îòäåëüíî. Îáùàÿ ìîùíîñòü ïîòåðü 3 â ðåçîíàòîðå çà ïåðèîä êîëåáàíèé íà ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå ZQ îïðåäåëÿåòñÿ êàê 3 3 3  36  (5.3.3) ãäå 3 — ìîùíîñòü ïîòåðü â ìåòàëëå, 3 — ìîùíîñòü ïîòåðü â äèýëåêòðèêå, 3 6 — ìîùíîñòü ïîòåðü íà èçëó÷åíèå. Òîãäà, ñâÿçûâàÿ ñ êàæäûì âèäîì ïîòåðü ñâî¸ çíà÷åíèå äîáðîòíîñòè, ìîæíî çàïèñàòü:  4       4 4 46 (5.3.4) ãäå â ñîîòâåòñòâèè ñ (5.3.3) è (5.3.4) 4 ZQ : 3  4 ZQ : 3  46 ZQ : 36 (5.3.5) — ÷àñòíûå (ïàðöèàëüíûå) äîáðîòíîñòè 5.3.2. Êîëåáàíèÿ ïðè íàëè÷èè ïîòåðü â ñòåíêàõ ðåçîíàòîðà. Îïðåäåëèì äîáðîòíîñòü ðåçîíàòîðà, ñâÿçàííóþ ñ ïîòåðÿìè â åãî ìåòàëëè÷åñêèõ ñòåíêàõ. Áóäåì èñõîäèòü èç áóäåì ïîíèìàòü ñðåäíþþ (çà ïåðèîä) ìîùíîñòü ïåðâîé ôîðìóëû (5.3.5), ãäå ïîä 3 ïîòåðü â ñòåíêàõ ðåçîíàòîðà. Ïîä âîçäåéñòâèåì ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â ìåòàëëå ñòåíîê ðåçîíàòîðà íàâîäÿòñÿ ýëåêòðè÷åñêèå òîêè, íà ïîääåðæàíèå êîòîðûõ ðàñõîäóåòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ýíåðãèÿ. Âû÷èñëèì ñîîòâåòñòâóþùóþ ýòîìó ïðîöåññó ñðåäíþþ çà ïåðèîä ìîùíîñòü äæîóëåâûõ . Ïðè îòñóòñòâèè âíóòðè îáú¸ìà V ðåçîíàòîðà ñòîðîííèõ èñòî÷íèêîâ ïîòåðü 3 èç óðàâíåíèÿ áàëàíñà ýíåðãèè (1.13.3) èìååì: 3  36 ãäå 36  5H ^   G G G > @ (  + G 6 `— ³ 6 ñðåäíèé çà ïåðèîä ïîòîê ìîùíîñòè ÷åðåç âíóòðåííþþ ïîâåðõíîñòü ðåçîíàòîðà S. Ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ â îáú¸ìíûõ ðåçîíàòîðàõ Ñëåäîâàòåëüíî,   5H ^  3u wvz ³ > G G G Q  (  + 6 @ G6 `  239 (5.3.6) G ãäå Q — âåêòîð âíåøíåé íîðìàëè ê âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè ðåçîíàòîðà S. Èç îïðåäåëÿþòñÿ ïîòîêîì ýíåðãèè, ñîîòíîøåíèÿ (5.3.6) ñëåäóåò, ÷òî ïîòåðè 3 íàïðàâëåííûì âíóòðü ïðîâîäíèêà. Äëÿ îöåíêè ïîòåðü â ñòåíêàõ ðåçîíàòîðà íà èõ âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè áóäåì èñïîëüçîâàòü ïðèáëèæ¸ííîå ãðàíè÷íîå óñëîâèå Ùóêèíà-Ëåîíòîâè÷à: G G G (5.3.7) (W  = > Q  + W @ ãäå = P PZ — V  L ïîâåðõíîñòíîå ñîïðîòèâëåíèå ìåòàëëà ñ ó÷¸òîì åãî êîíå÷íîé ïðîâîäèìîñòè V ; P — îòíîñèòåëüíàÿ ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ìåòàëëà; çíàê «–» â (5.3.7) îçíà÷àåò, G ÷òî âåêòîð Q íàïðàâëåí â ìåòàëë. Ãðàíè÷íîå óñëîâèå (5.3.7) ïîëó÷àåòñÿ èç ðàâåíñòâà òàíãåíöèàëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ G ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íà ïîâåðõíîñòè ìåòàëëà, â êîòîðîì (ðàâåíñòâå) ïîëå ( âíóòðè ìåòàëëà ÿâëÿåòñÿ êàñàòåëüíûì ê åãî ïîâåðõíîñòè è ñâÿçàíî ñ ìàãíèòíûì ïîëåì ñîîòíîøåíèåì ( PP  H H + , ñîîòâåòñòâóþùèì ïëîñêîé âîëíå, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ â ìåòàëëå íîðìàëüíî ê åãî ïîâåðõíîñòè. Ïðè ýòîì â ïðèâåä¸ííîì ñîîòíîøåíèè H è P — ïàðàìåòðû ìåòàëëà. Çíà÷åíèå ïîâåðõíîñòíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ â (5.3.7) â ïðåäñòàâëåííîì âèäå ïîëó÷àåòñÿ ïðè óñëîâèè H Z  V   . Ïîäñòàâëÿÿ (5.3.7) â (5.3.6), ïîëó÷àåì 3 5  ³ G +W  G6  (5.3.8) 6 — àêòèâíàÿ ÷àñòü ïîâåðõíîñòíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ãäå 5 P PZ  V ïðîâîäíèêà. Âåëè÷èíó çàïàñ¸ííîé â ðåçîíàòîðå çà ïåðèîä ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ Q -ãî ñîáñòâåííîãî êîëåáàíèÿ çàïèøåì â âèäå: : PD  ³ G _ +Q _  G9  9 ãäå P D P P , P — îòíîñèòåëüíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû, çàïîëíÿþùåé îáú¸ì ðåçîíàòîðà V. Òàê êàê ñòðóêòóðà ïîëÿ â ðåçîíàòîðå ó ïîâåðõíîñòè ðåàëüíîãî ïðîâîäíèêà áëèçêà ê ñòðóêòóðå ïîëÿ ó èäåàëüíî ïðîâîäÿùåé ïîâåðõíîñòè èäåàëüíîãî ïðîâ (5.3.8) ìîæíî ïîñòàâèòü âîäíèêà, ïðè âû÷èñëåíèè ñðåäíèõ ïîòåðü 3 G ðàñïðåäåëåíèå + Q W Q -ãî ñîáñòâåííîãî êîëåáàíèÿ ðåçîíàòîðà ñ èäåàëüíî ïðîâîäÿùèìè ñòåíêàìè. Ñëåäîâàòåëüíî, äîáðîòíîñòü ðåçîíàòîðà, ñâÿçàííàÿ ñ ïîòåðÿìè â åãî ìåòàëëè÷åñêèõ ñòåíêàõ, îïðåäåëÿåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ 240 ÃËÀÂÀ 5 ôîðìóëîé (5.3.5) êàê 4 ZQ : ZQ P D 5 3 G  G  ³ _ +Q _ 9 ³ _ +QW _ G9 G6  (5.3.9) 6 Òàê êàê  L  ' V ãäå ' — ãëóáèíà ïðîíèêíîâåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â   ZQ P P  V ïðîâîäÿùóþ ñðåäó (òîëùèíà ñêèí-ñëîÿ), âûðàæåíèå äëÿ äîáðîòíîñòè (5.3.9) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå: G _ +Q _ G9 PD 9 4  (5.3.10) G P ' _ +QW _ G6 =u ³ ³ 6 Èç (5.3.10) ñëåäóåò, ÷òî äîáðîòíîñòü ðåçîíàòîðà, ñâÿçàííàÿ ñ ïîòåðÿìè â ìåòàëëè÷åñêèõ ñòåíêàõ, îïðåäåëÿåòñÿ çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ àìïëèòóäû ìàãíèòíîãî ïîëÿ êîíêðåòíîãî ñîáñòâåííîãî êîëåáàíèÿ. 5.3.3. Êîëåáàíèÿ ïðè íàëè÷èè ïîòåðü â ñðåäå-çàïîëíèòåëå.  ðåàëüíûõ ðåçîíàòîðàõ ñðåäà-çàïîëíèòåëü îáû÷íî îáëàäàåò îòëè÷íîé îò íóëÿ ïðîâîäèìîñòüþ, ÷òî ïðèâîäèò ê âîçíèêíîâåíèþ ïîòåðü, ñâÿçàííûõ ñ ïîãëîùåíèåì ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ýòîé ñðåäîé.  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ðåçîíàòîð çàïîëíåí îäíîðîäíîé ñðåäîé ñ êîìïëåêñíîé äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ H Hc  L Hcc . Ïðè îòñóòñòâèè ìàãíèòíûõ ïîòåðü ( Pcc  ) ñðåäíÿÿ çà ïåðèîä ìîùíîñòü ýëåêòðè÷åñêèõ ïîòåðü (ïîòåðè â äèýëåêòðèêå) â îáú¸ìå V îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå: l 3wvz ZQ H  Hcc  G ³_(_  G9  9 êîòîðàÿ ñëåäóåò èç îáùåé çàïèñè çàïàñ¸ííîé âíóòðè äèýëåêòðè÷åñêîé ñðåäû, çàïîëíÿþùåé ðåçîíàòîð, ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. ìîæíî îïðåäåëèòü ÷åðåç Çàïàñ¸ííóþ çà ïåðèîä ýíåðãèþ ðåçîíàòîðà : ìàêñèìàëüíóþ ýíåðãèþ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ èñêîìîãî Q -ãî ñîáñòâåííîãî êîëåáàíèÿ: G H  Hc : _ ( _  G9   ³ 9 Ñëåäîâàòåëüíî, äîáðîòíîñòü ðåçîíàòîðà 4  , ñâÿçàííàÿ ñ ïîòåðÿìè â äèýëåêòðèêå, îáóñëîâëåííûìè êîìïëåêñíîñòüþ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè (äèýëåêòðè÷åñêèìè ïîòåðÿìè), îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì (ñì. âòîðóþ ôîðìóëó â (5.3.5)): 4 ZQ : 3 Hc Hcc   WJ G (5.3.11) Ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ â îáú¸ìíûõ ðåçîíàòîðàõ 241 Àíàëîãè÷íî, íåñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äîáðîòíîñòü 4  , îáóñëîâëåííàÿ ìàãíèòíûìè ïîòåðÿìè â äèýëåêòðèêå ïðè Hcc  , îïðåäåëÿåòñÿ êàê Pc  4  Pcc WJ G Äîáðîòíîñòü 4 ðåçîíàòîðà, çàïîëíåííîãî âåùåñòâîì ñ ïàðàìåòðàìè H Hc  L Hcc è P Pc  L Pcc , íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå  4 Hc Pc   Hcc Pcc Ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî Hcc V  H  ZQ , ãäå V — ýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîâîäèìîñòü ñðåäû, ZQ — ÷àñòîòà Q -ãî ñîáñòâåííîãî êîëåáàíèÿ ðåçîíàòîðà, äîáðîòíîñòü, ñâÿçàííàÿ ñ òåïëîâûìè ïîòåðÿìè â äèýëåêòðèêå, âû÷èñëÿåòñÿ êàê ZQ H  Hc  V  îáùåì ñëó÷àå êîìïëåêñíîñòü äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ñâÿçàíà íå òîëüêî ñ òîêàìè ïðîâîäèìîñòè, G íî è ñ èíåðöèîííîñòüþ ñðåäû, êîòîðàÿ ïðîÿâëÿåòñÿ â G òîì, ÷òî âåêòîðû ' è ( îêàçûâàþòñÿ ñäâèíóòûìè ïî ôàçå, òî åñòü G G ' HD ( H L G  ãäå H D — ìîäóëü àáñîëþòíîãî çíà÷åíèÿ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè.  ýòîì ñëó÷àå: 4 V H Z è, êàê ñëåäóåò èç (5.3.11), äîáðîòíîñòü, ñâÿçàííàÿ ñ ïîòåðÿìè â äèýëåêòðèêå, çàïîëíÿþùåì ðåçîíàòîð, çàïèøåòñÿ â âèäå: H FRV G 4  H VLQ G  V  H ZQ Êîìïëåêñíîñòü ìàãíèòíîé G G ïðîíèöàåìîñòè ñâÿçàíà ñ òåì, ÷òî ïî ôàçå îêàçûâàþòñÿ ñäâèíóòûìè âåêòîðû % è + . Òàêèì îáðàçîì, äîáðîòíîñòü ðåçîíàòîðà, îáóñëîâëåííàÿ ïîòåðÿìè â ñðåäå, çàïîëíÿþùåé åãî, çàâèñèò òîëüêî îò ïàðàìåòðîâ ñðåäû-çàïîëíèòåëÿ è îò ÷àñòîòû ýëåêòðîìàãíèòíîãî êîëåáàíèÿ, íî íå çàâèñèò îò ôîðìû ñàìîãî ðåçîíàòîðà è îò òèïà êîëåáàíèÿ. Íåîáõîäèìî òàêæå îòìåòèòü, ÷òî äîáðîòíîñòü ïðè íàëè÷èè ïîòåðü â ñðåäå áóäåò òåì áîëüøå, ÷åì áîëüøå ÷àñòîòà êîëåáàíèÿ. Hc H FRV G  Hcc H VLQ G  5.3.4. Êîëåáàíèÿ ïðè íàëè÷èè ïîòåðü íà èçëó÷åíèå. Äàííûé âèä ïîòåðü ñâÿçàí ñ èçëó÷åíèåì ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè ÷åðåç îòâåðñòèÿ â ñòåíêàõ ðåçîíàòîðà èëè ÷åðåç áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü â îòêðûòûõ ðåçîíàíñíûõ ñòðóêòóðàõ ÑÂ×. Èçëó÷åíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè âî âíåøíþþ ñðåäó ïðèâîäèò ê çàòóõàíèþ ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé âíóòðè ðåçîíàòîðà. Âëèÿíèå îòâåðñòèé íà çàòóõàíèå êîëåáàíèé ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü òàê íàçûâàåìîé âíåøíåé äîáðîòíîñòüþ: ZQ :  46 (5.3.12) 36 ãäå 3 6 — ìîùíîñòü ïîòåðü íà èçëó÷åíèå âî âíåøíþþ ñðåäó. 242 ÃËÀÂÀ 5  êà÷åñòâå ïîëíîé ýíåðãèè, çàïàñ¸ííîé â ðåçîíàòîðå çà ïåðèîä : , â (5.3.12) íåîáõîäèìî âçÿòü ñóììó ýëåêòðè÷åñêîé è ìàãíèòíîé ýíåðãèé ñâîáîäíûõ íåçàòóõàþùèõ êîëåáàíèé (5.2.11), (5.2.12). 5.3.5. Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â ðåàëüíîì ðåçîíàòîðå ñ ïîòåðÿìè. Âåêòîðû íàïðÿæ¸ííîñòåé ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé Q -ãî êîëåáàíèÿ, ñ êîòîðûìè ýíåðãèÿ, çàïàñ¸ííàÿ â ðåçîíàòîðå (5.3.2), ñâÿçàíà êâàäðàòè÷íî, îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: Z W G G ( Q U W G G   4Q Q FRV Z W  (Q U H Q G G + Q U W G G   4Q Q VLQ Z W  +Q U H Q Z W (5.3.13) Èç âûðàæåíèé (5.3.13) ïðè 4Q o f ïîëó÷àþòñÿ âûðàæåíèÿ äëÿ íàïðÿæ¸ííîñòåé ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé â ñëó÷àå ðåçîíàòîðà áåç ïîòåðü. 5.4. Îáùàÿ ýëåêòðîäèíàìè÷åñêàÿ òåîðèÿ îáú¸ìíûõ ðåçîíàòîðîâ Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå îáùèå ñâîéñòâà ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ðåçîíàòîðîâ âíå çàâèñèìîñòè îò èõ êîíôèãóðàöèè. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü íàïðÿæ¸ííîñòè ïîëåé G G (Q  +Q è ðåçîíàíñíûå ÷àñòîòû ZQ êàê ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ âåêòîðíîé êðàåâîé çàäà÷è, ñîñòîÿùåé èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà: G G G G (5.4.1) URW +Q L ZQ H D (Q  URW (Q  L ZQ P D +Q è ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ G (W 6  (5.4.2) ãäå S — ïîâåðõíîñòü, îãðàíè÷èâàþùàÿ ðåçîíàíñíûé îáúåì, n — íîìåð êîëåáàíèÿ. Êàê óæå îòìå÷àëîñü âûøå, ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé îäíîðîäíîé êðàåâîé çàäà÷è ïðè îòñóòñòâèè ïîòåðü G— âåùåñòâåííû. Ïîêàæåì ýòî. Âòîðîå óðàâíåíèå èç (5.4.1) G óìíîæèì ñêàëÿðíî íà +Q , à óðàâíåíèå, êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîå ñ ïåðâûì, íà  (Q . Ïîñëå ñëîæåíèÿ ïðåîáðàçîâàííûõ óðàâíåíèé èìååì: G G G G G  G  + Q URW (Q  ( Q URW + Q  L ZQ P D + Q  L ZQ H D (Q èëè ñ ó÷¸òîì (Ï.3.3) G G GLY >( Q u + Q @ G  G   L ZQ P D + Q  L ZQ H D ( Q  Âîñïîëüçîâàâøèñü ñîîòíîøåíèåì: G H D ZQ (Q  (5.4.3) G  URW + Q  óðàâíåíèå (5.4.3) ïðåîáðàçóåì ê âèäó: G  G  G G  ZQ P D +Q URW +Q  L ZQ GLY >(Q u +Q @  HD (5.4.4) Ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ â îáú¸ìíûõ ðåçîíàòîðàõ 243 Ïðîèíòåãðèðîâàâ (5.4.4) ïî âñåìó îáú¸ìó V ðåçîíàòîðà, ïîëó÷àåì: G G  G G H D URW +Q G9  L ZQ >(Q  +Q @ G6 ³ ZQ ³ 9 G +Q ³ PD  6 (5.4.5)  G9 9 Ïðè óñëîâèè (5.4.2) ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë â (5.4.5) ðàâåí íóëþ.  ðåçóëüòàòå ZQ — âåùåñòâåííàÿ âåëè÷èíà ïðè âåùåñòâåííûõ ïàðàìåòðàõ H è P . Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíî, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ êðàåâîé çàäà÷è (5.4.1), (5.4.2) âåùåñòâåííû. Âåùåñòâåííîñòü ZQ îçíà÷àåò, ÷òî êîëåáàíèÿ — íåçàòóõàþùèå. Ýòîãî è ñëåäîâàëî îæèäàòü ïðè âåùåñòâåííûõ ïàðàìåòðàõ H è P ñðåäû, çàïîëíÿþùåé ðåçîíàòîð, è ïðè îòñóòñòâèè ïîòîêà ìîùíîñòè â åãî ñòåíêàõ, îïðåäåëÿåìîãî ïîâåðõíîñòíûì èíòåãðàëîì â (5.4.5). Ôîðìóëà (5.4.5) ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ìíèìóþ ÷àñòü ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ, êîòîðàÿ ïîÿâëÿåòñÿ ïðè íåâûïîëíåíèè óñëîâèÿ (5.4.2), ÷òî èìååò ìåñòî â ðåàëüíûõ ðåçîíàòîðàõ. Îáîçíà÷èâ ZQ ZcQ  L ZcQc , ôîðìóëó (5.4.5) ïåðåïèñûâàåì â âèäå: ZcQ  ZcQc   L ZcQ ZcQc G  H D URW + Q G9  L ZcQ  ZcQc ³ 9 G + Q G9 ³ PD G G G ³ > (Q  +Q @ G6 6  9 Ïðèðàâíèâàÿ ìíèìûå ÷àñòè, ïðè óñëîâèè ZcQ !! ZcQc ïîëó÷àåì: G G G 5H >(Q  +Q @ G6 ³ 6 ZcQc ³  PD (5.4.6)  G  +Q G9 9  (5.4.6) âñå âåëè÷èíû èìåþò êîíêðåòíûé ôèçè÷åñêèé ñìûñë: G  PD : +Q G9 —  ³ 9 ýíåðãèÿ, çàïàñåííàÿ â ðåçîíàòîðå; 3 5H   G G G ³ >(Q  +Q @ G6 — 6 ñðåäíèé çà ïåðèîä ïîòîê ìîùíîñòè ÷åðåç âíóòðåííþþ ïîâåðõíîñòü S, îãðàíè÷èâàþùóþ ðåçîíàíñíûé îáúåì. Âåëè÷èíà G  P D +Q G9 4 Z ³ 9 5H G G (5.4.7) G ³ >(Q  +Q @ G6 6 ÿâëÿåòñÿ äîáðîòíîñòüþ ðåçîíàòîðà. Çäåñü ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî Z ZcQ . 244 ÃËÀÂÀ 5 Îòíîøåíèå 5H S G G G ³ >(Q  +Q @ G6 6 7 5H  Z G G G ³ >(Q  +Q @ G6 6 — åñòü ïîòåðè ýíåðãèè â ñòåíêàõ ðåçîíàòîðà çà ïåðèîä T. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî äîáðîòíîñòü ðåçîíàòîðà 4 — ýòî óìíîæåííîå íà S îòíîøåíèå çàïàñåííîé â ðåçîíàòîðå ýíåðãèè ê ïîòåðÿì åå çà ïåðèîä. Ñ ó÷åòîì (5.4.7) ôîðìóëó (5.4.6) ìîæåì ïåðåïèñàòü êàê Z  4 ZcQc Òîãäà ZQ ZcQ  L ZcQ 4 L · Z §¨  ¸ 4 ¹ © è âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü êîëåáàòåëüíîãî ïðîöåññà â ðåçîíàòîðå áóäåò îïèñûâàòüñÿ ôóíêöèåé IW H LZ W H  Z W 4  òî åñòü äîáðîòíîñòü áóäåò îïðåäåëÿòü ñêîðîñòü çàòóõàíèÿ êîëåáàíèé. Äîáðîòíîñòü ðàçëè÷íûõ ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé îäíîãî è òîãî æå ðåçîíàòîðà ðàçíàÿ, ïîñêîëüêó êîëåáàíèÿ èìåþò ðàçëè÷íûå ñòðóêòóðû ïîëåé è ïî-ðàçíîìó âçàèìîäåéñòâóþò ñ ýêðàíèðóþùåé ïîâåðõíîñòüþ. G ÂG òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ìîæíî ïîëó÷èòü àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ ïîëåé (Q , +Q , ïîäñòàâëÿÿ èõ â (5.4.7) è ïðîèçâîäÿ èíòåãðèðîâàíèå, íåòðóäíî ïîëó÷èòü ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ äîáðîòíîñòè òîãî èëè èíîãî êîëåáàíèÿ â êîíêðåòíîì ðåçîíàòîðå.  îáùåì ñëó÷àå äëÿ ëþáîãî êîëåáàíèÿ â îáúåìíîì ýêðàíèðîâàííîì ðåçîíàòîðå èìååò ìåñòî ïðîïîðöèîíàëüíîñòü: 9 (5.4.8) 4a  ' 6 ãäå V — îáúåì ðåçîíàòîðà, S — ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè, îãðàíè÷èâàþùåé ðåçîíàíñíûé îáú¸ì; ' — òîëùèíà ñêèí-ñëîÿ. Ïîñêîëüêó ' a O ; 9 a O  6 a O  èç (5.4.8) ïîëó÷àåì, ÷òî 4 a O , òî åñòü ïðè ñòðåìëåíèè ñîõðàíèòü îäíîìîäîâûé ðåæèì êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû (â ýòîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî ñîõðàíÿòü ïðîïîðöèþ: 9 a O ) ñ ðîñòîì ÷àñòîòû èìååì ïàäåíèå äîáðîòíîñòè — 4 a   Z  5.5. Ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî âîëíîâîäíîãî ðåçîíàòîðà Îäíèì èç íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåìûõ âèäîâ îáú¸ìíûõ çàêðûòûõ ðåçîíàòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûé âîëíîâîäíûé ðåçîíàòîð. Îí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îòðåçîê ïðÿìîóãîëüíîãî âîëíîâîäà äëèíîé l ñ çàìåòàëëèçèðîâàííûìè òîðöåâûìè ïëîñêîñòÿìè Ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ â îáú¸ìíûõ ðåçîíàòîðàõ < èäåàëüíî ïðîâîäÿùèå ñòåíêè V 245 ; E f D =  O Ðèñ. 5.3 (ðèñ. 5.3). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûé ðåçîíàòîð çàïîëíåí ñðåäîé áåç ïîòåðü ñ ïàðàìåòðàìè e è m, à åãî ñòåíêè ÿâëÿþòñÿ èäåàëüíî ïðîâîäÿùèìè ( V f ). Øèðèíó øèðîêîé ñòåíêè îáîçíà÷èì ÷åðåç a, à óçêîé — ÷åðåç b. Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ðåçîíàòîðà ìîæíî íàéòè ïóò¸ì ðåøåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷ (5.2.1) è (5.2.2) (äëÿ êîëåáàíèé òèïîâ E è H ñîîòâåòñòâåííî).  ñèëó ñïåöèôèêè ãåîìåòðèè ðàññìàòðèâàåìîãî ðåçîíàòîðà óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ äåêàðòîâîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò. Çàïèøåì òð¸õìåðíîå óðàâíåíèå Ãåëüìãîëüöà â ïðîåêöèÿõ íà îñè äåêàðòîâîé ñèñòåìû: w \ L w \ L w \ L  N \ L   (5.5.1) w ] G G ãäå \ L — îäíà èç ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðîâ ( èëè + ; N  ZH D P D . Äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (5.5.1) âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ è ïðåäñòàâèì íåèçâåñòíîå ðåøåíèå â âèäå: w [  w \  \ L [ \ ] (5.5.2) ;[ <\ =]  Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (5.5.2) â óðàâíåíèå Ãåëüìãîëüöà (5.5.1) è äåëåíèÿ åãî íà XYZ ïîëó÷àåì:  G  ;  G  <  G =   ; G[  < G\ = G]   N  (5.5.3) Îòñþäà, â ñèëó íåçàâèñèìîñòè ôóíêöèé X,Y è Z, ïîëó÷àåì òðè îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿ: G; G[   F [ ;  G< G\  F \ <  G = G]   F] =  (5.5.4) è äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå: F[  F\  F] N  ãäå F [  F \  F ] — íåîïðåäåë¸ííûå ïîñòîÿííûå ðàçäåëåíèÿ. (5.5.5) 246 ÃËÀÂÀ 5 Ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (5.5.4) èìåþò âèä: ;[ $ FRV F [ [  $ VLQ F [ [  < \ % FRV F \ \  % VLQ F \ \  (5.5.6) = ] & FRV F ] ]  & VLQ F ] ]  ãäå $L  %L  &L L   — íåîïðåäåë¸ííûå ïîñòîÿííûå (îíè îïðåäåëÿþòñÿ èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé íà èäåàëüíî ïðîâîäÿùèõ ñòåíêàõ ýêðàíà). Ïîíèìàÿ ïîä \ L ñîñòàâëÿþùèå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, òàíãåíöèàëüíûå ê áîêîâûì ñòåíêàì ðåçîíàòîðà íà ðåøåíèå (5.5.2) íàêëàäûâàåì ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ: \L  [  D \L  \  E (5.5.7) w \L  ]  O  w]  ðåçóëüòàòå ñ ó÷¸òîì (5.5.6) ïîëó÷àåì ñîáñòâåííûå ôóíêöèè êðàåâîé çàäà÷è (5.5.1), (5.5.7) â âèäå: \ L PQS [ \ ] \ L PQS VLQ F [ [ VLQ F \ \ FRV F ] ]  (5.5.8) ãäå \ L PQS — íåîïðåäåë¸ííûå êîýôôèöèåíòû; ïîñòîÿííûå ðàçäåëåíèÿ â (5.5.8): PS QS SS F[  F\  F]  (5.5.9) D E O ãäå P      Q      S       , ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì (5.5.5). Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà (5.5.1) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (5.5.7) îïèñûâàåò E-êîëåáàíèÿ ïîëîãî ïðÿìîóãîëüíîãî ðåçîíàòîðà. Áóäåì îáîçíà÷àòü ëþáîå èç íèõ êàê (PQS , ãäå: m — ÷èñëî ïîëóâîëí, óêëàäûâàþùèõñÿ âäîëü ñòåíêè ñ ðàçìåðîì a; n — ÷èñëî ïîëóâîëí, óêëàäûâàþùèõñÿ âäîëü ñòåíêè ñ ðàçìåðîì b; p — ÷èñëî ïîëóâîëí, óêëàäûâàþùèõñÿ âäîëü ñòåíêè ñ ðàçìåðîì l. Êîëåáàíèÿ E-òèïà õàðàêòåðèçóþòñÿ G òåì, ÷òî ó íèõ ïðèñóòñòâóåò ïðîäîëüíàÿ âäîëü îñè Oz ñîñòàâëÿþùàÿ âåêòîðà ( . Ïîýòîìó â äàííîì ñëó÷àå óäîáíî ïîëîæèòü \ L (] , à äëÿ îïðåäåëåíèÿ äðóãèõ ñîñòàâëÿþùèõ ïîëÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà.  ðåçóëüòàòå äëÿ ñîñòàâëÿþùèõ ïîëÿ E-êîëåáàíèé ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ: F F ( [PQS  ( [ ] FRV F [ [ VLQ F \ \ VLQ F ] ]  FA F \F] ( \PQS  (  VLQ F [ [ FRV F \ \ VLQ F ] ]  FA (]PQS ( VLQ F [ [ VLQ F \ \ FRV F ] ]  + [PQS L( + \PQS  L( +]PQS  Z HDF\ VLQ F [ [ FRV F \ \ FRV F ] ]  F A Z HDF[ F A FRV F [ [ VLQ F \ \ FRV F ] ]  (5.5.10) Ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ â îáú¸ìíûõ ðåçîíàòîðàõ ãäå FA FPQ 247 F[  F\ ; ( — àìïëèòóäà êîëåáàíèÿ. Ïîñòîÿííûå F A F PQ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñîáñòâåííûå ÷èñëà êðàåâîé çàäà÷è (5.5.1), (5.5.7).  âûðàæåíèÿõ (5.5.9), (5.5.10) öåëî÷èñëåííûå èíäåêñû ìîãóò ïðèíèìàòü ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: P      Q      S       . Èç (5.5.5) ïîëó÷àåì ôîðìóëó äëÿ ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò E-êîëåáàíèé: F F PQ  F ] HP ZPQS SF HP    §¨ P ·¸  §¨ Q ·¸  §¨ S ·¸  ©O¹ ©E¹ ©D¹ (5.5.11) Äëèíû âîëí, ñîîòâåòñòâóþùèå êîëåáàíèÿì E-òèïà, îïðåäåëÿþòñÿ êàê O PQS ª P  Q  S º  « §¨ ·¸  §¨ ·¸  §¨ ·¸ » ©O¹ ¼ ©E¹ ¬© D ¹     (5.5.12) Ôîðìóëà (5.5.12) äà¸ò çíà÷åíèå äëèíû âîëíû â ñâîáîäíîì ïðîñòðàíñòâå ñ ïàðàìåòðàìè H  P  , êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò ðåçîíàíñíàÿ ÷àñòîòà, îïðåäåëÿåìàÿ ïî ôîðìóëå (5.5.11), ðåçîíàòîðà, çàïîëíåííîãî ñðåäîé ñ ïàðàìåòðàìè H D  P D . Ðàññìîòðèì òåïåðü óðàâíåíèå (5.5.1) ñîâìåñòíî ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè: w \L  w[ \L  [  D ]  O  w \L w\  \  E (5.5.13)  ýòîì ñëó÷àå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè êðàåâîé çàäà÷è (5.5.1), (5.5.13) èìåþò âèä: \ L PQS [ \ ] \cL PQS FRV F [ [ FRV F \ \ VLQ F ] ]  (5.5.14) ãäå \cL PQS — íåîïðåäåë¸ííûå êîýôôèöèåíòû; ïîñòîÿííûå ðàçäåëåíèÿ â (5.5.14) óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ (5.5.5). Êðàåâàÿ çàäà÷à (5.5.1), (5.5.13) îïèñûâàåò ýëåêòðîìàãíèòíûå ïîëÿ H-êîëåáàíèé, õàðàêòåðèçóþùèõñÿ íàëè÷èåì ïðîäîëüíîé ñîñòàâëÿþùåé âåêòîðà íàïðÿæ¸ííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ïîýòîìó óäîáíî ïîëîæèòü \ L { +] .  ýòîì ñëó÷àå ñîñòàâëÿþùèå ïîëÿ îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè âûðàæåíèÿìè: ZP D F \ ( [PQS L+ FRV F [ [ VLQ F \ \ VLQ F ] ]  F A ZP D F [ ( \PQS  L+ VLQ F [ [ FRV F \ \ VLQ F ] ]  F A (]PQS  + [PQS  + + \PQS  + +]PQS + FRV F [ [ FRV F \ \ VLQ F ] ]  F[F] F A F \F] F A VLQ F [ [ FRV F \ \ FRV F ] ]  (5.5.15) FRV F [ [ VLQ F \ \ FRV F ] ]  ãäå + — àìïëèòóäà êîëåáàíèÿ, îïðåäåëÿåìàÿ èñòî÷íèêîì âîçáóæäåíèÿ; 248 ÃËÀÂÀ 5 FA FPQ F[  F\ ; P        Q        S      Çäåñü îáîçíà÷åíèå (0) óêàçûâàåò íà òî, ÷òî èíäåêñû m è n îäíîâðåìåííî íå ìîãóò áûòü ðàâíûìè íóëþ, ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå, êàê ñëåäóåò èç (5.5.15), áóäåò îòñóòñòâîâàòü ïîïåðå÷íîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå. H-êîëåáàíèÿ áóäåì îáîçíà÷àòü êàê + PQS . ×àñòîòû è äëèíû âîëí ñîáñòâåííûõ H-êîëåáàíèé îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèÿìè (5.5.11) è (5.5.12), òî åñòü ñîâïàäàþò ñ àíàëîãè÷íûìè ïàðàìåòðàìè E-êîëåáàíèé. Ëþáûå òðè öåëûõ ÷èñëà m, n è p îïðåäåëÿþò ñòðóêòóðû ïîëåé (PQS è + PQS -êîëåáàíèé, èìåþùèõ òîæäåñòâåííî ðàâíûå ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè D z E z O âñå òèïû êîëåáàíèé âîëíîâîäíîãî ïðÿìîóãîëüíîãî ðåçîíàòîðà èìåþò äâóõêðàòíîå âûðîæäåíèå.  ñëó÷àå êóáè÷åñêîãî ðåçîíàòîðà D E O ïðè ëþáîì ñî÷åòàíèè m, n è p ñóùåñòâóåò óæå äâåíàäöàòü òèïîâ êîëåáàíèé ñ îäèíàêîâîé ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé. Çàìåòèì, ÷òî âûáîð ïðîäîëüíîé îñè (íà ðèñ. 5.3 — îñü OZ) â ñëó÷àå ïðÿìîóãîëüíîãî ðåçîíàòîðà ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíûì, ïîñêîëüêó â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò âñå îñè ðàâíîïðàâíû. Îñíîâíûì íàçûâàþò òèï êîëåáàíèÿ ñ íàèìåíüøåé ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé. Èç ôîðìóëû (5.5.11) ñëåäóåò, ÷òî òèï îñíîâíîãî êîëåáàíèÿ çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó äëèíàìè ð¸áåð ïðÿìîóãîëüíîãî ðåçîíàòîðà a, b è l. Åñëè âçÿòü O  D  O  E , èç (5.5.11) ñëåäóåò, ÷òî PLQ ^ ZPQS ` Z SF HP  D    E  (5.5.16) òî åñòü îñíîâíûì áóäåò êîëåáàíèå òèïà ( . Ïðè E  D  E  O , êàê ñëåäóåò èç ôîðìóëû (5.5.11), îñíîâíûì êîëåáàíèåì ÿâëÿåòñÿ + ; à ïðè D  E  D  O — + . Äàííûå óòâåðæäåíèÿ âûòåêàþò èç ïðîñòûõ ñîîáðàæåíèé: èíäåêñ, îïèñûâàþùèé âàðèàöèè ïîëÿ âäîëü ñàìîãî êîðîòêîãî ðåáðà äîëæåí áûòü ðàâåí íóëþ, òàê êàê ðàçìåðû ð¸áåð âõîäÿò â (5.5.11) â çíàìåíàòåëè. Òàêèì îáðàçîì, îñíîâíûì âñåãäà ÿâëÿåòñÿ òèï êîëåáàíèé ñ îòñóòñòâèåì âàðèàöèè ïîëÿ âäîëü íàèìåíüøåãî ðåáðà. Ïóñòü íà äëèíû ð¸áåð ïîëîãî ïðÿìîóãîëüíîãî ðåçîíàòîðà íàêëàäûâàþòñÿ óñëîâèÿ E  D  E  O (òî åñòü ðåáðî b ÿâëÿåòñÿ ñàìûì êîðîòêèì)*).  ýòîì ñëó÷àå îñíîâíûì òèïîì êîëåáàíèÿ áóäåò + , ñîñòàâëÿþùèå ïîëÿ êîòîðîãî îïðåäåëÿþòñÿ èç (5.5.15) ïðè P   Q   S  : ( \ + [ + ] ãäå Z S  HDP D ðàâíû íóëþ. *) D ZP D S[ S] VLQ §¨ ·¸ VLQ §¨ ·¸  S © D ¹ © O ¹ D S[ S]  + VLQ §¨ ·¸ FRV §¨ ·¸  O © D ¹ © O ¹ S S [ ] + FRV §¨ ·¸ VLQ §¨ ·¸  © O ¹ © D ¹  L+ (5.5.17)   D     O  ; îñòàëüíûå ñîñòàâëÿþùèå ïîëÿ êîëåáàíèÿ + Ýòîò ñëó÷àé ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå ðàñïðîñòðàí¸ííûì Ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ â îáú¸ìíûõ ðåçîíàòîðàõ + 249 Ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå â ïëîñêîñòè YOZ < G + < G ( = Ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå â ïëîñêîñòè XOY < ( < ] O  ;  ; = D  = ; [ á) Ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå â ïëîñêîñòè XOY < < + ] =  ; Ðèñ. 5.4 O  ; 250 ÃËÀÂÀ 5 V 5 f = O  Ðèñ. 5.5 Ðàññìîòðèì ñòðóêòóðó ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ êîëåáàíèÿ + (ðèñ. 5.4à). Ó ýòîãî êîëåáàíèÿ ñèëîâûå ëèíèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ïàðàëëåëüíû îñè OY. Ñèëîâûå ëèíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ëåæàò â ïëîñêîñòÿõ \ FRQVW . Ýëåêòðè÷åñêîå è ìàãíèòíîå ïîëÿ ðåçîíàòîðà ñäâèíóòû íà ðàññòîÿíèå /   ïî îñè OZ (ãäå / — äëèíà âîëíû â îäíîðîäíî çàïîëíåííîì ïðÿìîóãîëüíîì âîëíîâîäå). Íà ðèñ. 5.4á ïðèâåäåíà ñòðóêòóðà ïîëÿ êîëåáàíèÿ ( .  ýòîì ñëó÷àå ñèëîâûå ëèíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ÿâëÿþòñÿ ïðîñòðàíñòâåííûìè êðèâûìè, ëåæàùèìè â ïëîñêîñòÿõ XOY, ó íèõ îòñóòñòâóåò ïðîäîëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ âäîëü îñè OZ. Íà ðèñ. 5.4â èçîáðàæåíà ñòðóêòóðà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ êîëåáàíèÿ + , ó êîòîðîãî ñèëîâûå ëèíèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ÿâëÿþòñÿ ïðîñòðàíñòâåííûìè êðèâûìè, ðàñïîëîæåííûìè â ïëîñêîñòÿõ YOX. Ñòðóêòóðû ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé äðóãèõ òèïîâ ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ïðÿìîóãîëüíîãî ïîëîãî ðåçîíàòîðà íåñëîæíî ïîëó÷èòü, âîñïîëüçîâàâøèñü ñòðóêòóðàìè ïîëåé ñîáñòâåííûõ âîëí ïðÿìîóãîëüíîãî âîëíîâîäà â ïîïåðå÷íîé ïëîñêîñòè. Ïåðåñòðîéêà ïðÿìîóãîëüíîãî âîëíîâîäíîãî ðåçîíàòîðà, êàê ñëåäóåò èç (5.5.11), îñóùåñòâëÿåòñÿ èçìåíåíèåì îäíîãî èç åãî ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ. Åñëè ðåçîíàòîð ðàññìàòðèâàòü êàê îòðåçîê âîëíîâîäà, çàêëþ÷åííûé ìåæäó äâóìÿ ìåòàëëè÷åñêèìè ïåðåãîðîäêàìè ] ] , òî ïåðåñòðîéêó åãî ðåçîíàíñíûõ ÷àñòîò ìîæíî îñóùåñòâëÿòü ïåðåìåùåíèåì îäíîé èç ïåðåãîðîäîê. Ïîäâèæíàÿ ïåðåãîðîäêà íàçûâàåòñÿ ïëóíæåðîì. Ïëóíæåðû ïîäðàçäåëÿþòñÿ íà êîíòàêòíûå è áåñêîíòàêòíûå. Ïåðâûå èìåþò ãàëüâàíè÷åñêèé êîíòàêò ñ ïîâåðõíîñòüþ âîëíîâîäà. Âòîðûå, áóäó÷è ïëîòíî ïðèæàòûìè ê ïîâåðõíîñòè âîëíîâîäà, èçîëèðîâàíû îò íåå ïî òîêó ïðîâîäèìîñòè. 5.6. Ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ êðóãëîãî âîëíîâîäíîãî ðåçîíàòîðà Äðóãèì íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåìûì îáú¸ìíûì ðåçîíàòîðîì ÑÂ× ÿâëÿåòñÿ êðóãëûé âîëíîâîäíûé ðåçîíàòîð, îáðàçîâàííûé îòðåçêîì êðóãëîãî âîëíîâîäà äëèíû l ñ çàìåòàëëèçèðîâàííûìè òîðöåâûìè ïëîñêîñòÿìè (ðèñ. 5.5). Áóäåì, êàê âñåãäà, ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñòåíêè ðåçîíàòîðà èäåàëüíî ïðîâîäÿùèå, à åãî çàïîëíåíèå — îäíîðîäíûé äèýëåêòðèê ñ ïàðàìåòðàìè e è m. Ðàäèóñ êðóãëîãî ðåçîíàòîðà îáîçíà÷èì ÷åðåç R. Ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ â îáú¸ìíûõ ðåçîíàòîðàõ 251 Ýëåêòðîìàãíèòíûå ïîëÿ ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ðåçîíàòîðà îïèñûâàåòñÿ ðåøåíèÿìè êðàåâûõ çàäà÷ (5.2.1) è (5.2.2) (äëÿ êîëåáàíèé òèïîâ E è H, ñîîòâåòñòâåííî).  ñèëó ãåîìåòðèè ðàññìàòðèâàåìîãî ðåçîíàòîðà óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò. Çàïèøåì òð¸õìåðíîå óðàâíåíèå Ãåëüìãîëüöà â ïðîåêöèÿõ íà îñè öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò:  w § w \ L ·  w \ L w \ L   N \ L   (5.6.1) ¨U ¸ U wU © w U ¹ U w M w ] G G ãäå \ L — îäíà èç ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðîâ ( èëè + .  ñîîòâåòñòâèè ñ ìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ ïðåäñòàâèì íåèçâåñòíîå ðåøåíèå â âèäå: \L U M ] 5U )M =]  (5.6.2) Ïîäñòàâëÿÿ (5.6.2) â óðàâíåíèå (5.6.1), ïîëó÷àåì òðè íåçàâèñèìûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé 5 U  ) M è Z(z): G 5 GU G ) G M   G 5 §¨  Q  ·¸  FA  5 U G U ¨© U ¸¹  Q )  G = G]    F ] = (5.6.3)  è äîïîëíèòåëüíîå ñîîòíîøåíèå FA  F]  FA  F]  N  (5.6.4) Q — ïîñòîÿííûå ðàçäåëåíèÿ. ãäå Ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ïîäîáíûõ äâóì ïåðâûì óðàâíåíèÿì ñèñòåìû (5.6.3) â îáùåì ñëó÷àå ïîëó÷åíû â ïàðàãðàôå 4.6 ïðè ðàññìîòðåíèè êðóãëîãî ýêðàíèðîâàííîãî âîëíîâîäà. Ðåøåíèå òðåòüåãî óðàâíåíèÿ èç (5.6.3) çàïèñûâàåòñÿ â âèäå: = ] & FRV F ] ]  & VLQ F ] ]  (5.6.5) ãäå &  & — íåèçâåñòíûå ïîñòîÿííûå, îïðåäåëÿåìûå èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé. Ðàññìîòðèì ïåðâóþ êðàåâóþ çàäà÷ó íà óðàâíåíèè Ãåëüìãîëüöà (5.6.1) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè: \L  w \L  w] U 5 ]  O  (5.6.6) Ïðè òàêîé çàïèñè ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ïîä \ L ñëåäóåò ïîíèìàòü ïðîäîëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþ ïîëÿ ( ] . Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â ïàðàãðàôå 4.6, è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (5.6.6), ïîëó÷àåì âûðàæåíèÿ äëÿ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé äàííîé êðàåâîé çàäà÷è: \ L QPS \  QPS -Q P QP U  5 ) Q M FRV F ] ]  (5.6.7) ãäå ) Q M & FRV QM  ' VLQ QM (C, D — íåèçâåñòíûå ïîñòîÿííûå). Èç ñîîòíîøåíèÿ (5.6.4) ñ èñïîëüçîâàíèåì ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (5.6.6) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ 252 ÃËÀÂÀ 5 îïðåäåëåíèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé:   § P QP ·  § SS ·  (5.6.8) ¨ ¸ ¨ ¸ © O ¹ © 5 ¹  (5.6.7) \  PQS — íåèçâåñòíûå àìïëèòóäû; â (5.6.8) P QP — m-é êîðåíü óðàâíåíèÿ -Q F A 5  ; F ] SS  O ; m = 1, 2, 3, . . . ; n = 0, 1, 2, . . . ; p = 0, 1, 2, . . . ; çíà÷åíèÿ êîðíåé P QP ïðèâåäåíû â òàáëèöå 4.1; NQPS ZQPS H D P D . Ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è (5.6.1), (5.6.6) îïèñûâàþò E-êîëåáàíèÿ îäíîðîäíî çàïîëíåííîãî êðóãëîãî ðåçîíàòîðà, êîòîðûå èìåþò â ñòðóêòóðå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñîñòàâëÿþùóþ ( ] : F (UQPS  \ QPS ] -Qc F A U ) Q M VLQ F ] ]  FA QF (MQPS  \ QPS  ] -Q F A U ) cQ M VLQ F ] ]  F AU  NQPS (]QPS \ QPS -Q F A U ) Q M FRV F ] ]  +UQPS L \ QPS +MQPS +]QPS QZH D -Q F A U ) cQ M FRV F ] ]  (5.6.9) F AU ZH D  L \ QPS -Qc F A U ) Q M FRV F ] ]  FA   F] SS  O  ãäå F A F QP P QP  5 ; m = 1, 2, 3, . . . ; n = 0, 1, 2, . . . ; p = 0, 1, 2, . . . . Êîëåáàíèÿ â êðóãëîì îäíîðîäíî çàïîëíåííîì ðåçîíàòîðå, ïîëÿ êîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿ èç ñîîòíîøåíèé (5.6.9), áóäåì íàçûâàòü (QPS -êîëåáàíèÿìè. Öåëî÷èñëåííûé èíäåêñ p îïðåäåëÿåò ÷èñëî âàðèàöèé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ âäîëü îñè Oz (÷èñëî ïîëóâîëí, óêëàäûâàþùèõñÿ íà äëèíå l ðåçîíàòîðà). Ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû è äëèíû âîëí (QPS -êîëåáàíèé îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè ôîðìóëàìè: Z( QPS O(QPS   §¨ P QP ·¸  §¨ SS ·¸  © O ¹ © 5 ¹ S    P S S § QP ·  § · ¨ O ¸ ¨ 5 ¸ © ¹ © ¹ F HP (5.6.10) (5.6.11) Ôîðìóëà (5.6.11) îïðåäåëÿåò äëèíó âîëíû â ñâîáîäíîì ïðîñòðàíñòâå ñ ïàðàìåòðàìè H P  , ñîîòâåòñòâóþùóþ ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå Z( QPS ðåçîíàòîðà, çàïîëíåííîãî ñðåäîé ñ ïàðàìåòðàìè H D  P D , âû÷èñëÿåìîé ïî ôîðìóëå (5.6.10). Ðàññìîòðèì òåïåðü êðàåâóþ çàäà÷ó íà óðàâíåíèè (5.6.1) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè: w \L  wéq U 5  wU (5.6.12) \L  wéq ]   O  Ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ â îáú¸ìíûõ ðåçîíàòîðàõ 253  ýòîì ñëó÷àå ïîä \ L ñëåäóåò ïîíèìàòü ïðîäîëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ +] . Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè êðàåâîé çàäà÷è èìåþò ñëåäóþùèé âèä: \ c QPS -Q [ QP U  5 ) Q M VLQ F ] ]  \ L QPS (5.6.13) ãäå \c PQS — íåèçâåñòíûå àìïëèòóäû; [ QP — m-é êîðåíü óðàâíåíèÿ -Qc F A 5  ; F ] SS  O ; m = 1, 2, 3, . . . ; n = 0, 1, 2, . . . ; p = 1, 2, 3, . . . ; çíà÷åíèÿ êîðíåé [ QP ïðèâåäåíû â òàáëèöå 4.2 (ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî â ýòîé òàáëèöå îíè îáîçíà÷åíû ÷åðåç F QP ). Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ êðàåâîé çàäà÷è (5.6.1), (5.6.12) îïðåäåëÿþòñÿ èç ñîîòíîøåíèé:  NQPS   § [ QP ·  § SS ·  ¨ 5 ¸ ¨ O ¸ ¹ © ¹ © (5.6.14) Ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è (5.6.1), (5.6.12) îïèñûâàþò H-êîëåáàíèÿ, ñîñòàâëÿþùèå ïîëÿ êîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè âûðàæåíèÿìè: QZP D (UQPS  L \ cQPS (MQPS L \ cQPS (]QPS  +UQPS \ cQPS +MQPS \ cQPS +]QPS \ cQPS -Q F A U ) Q M VLQ F ] ]  F ] -Q F A U ) cQ M VLQ F ] ]  F AU Z PD -Qc F A U ) Q M VLQ F ] ]  FA (5.6.15) F] -Qc F U ) Q M FRV F ] ]  FA Q F] -Q F U ) cQ M FRV F ] ]  FAU SS  O  ãäå F A F QP [ QP  5 ; m = 1, 2, 3, . . . ; n = 0, 1, 2, . . . ; p = 1, 2, 3, . . . . Êîëåáàíèÿ â êðóãëîì îäíîðîäíî çàïîëíåííîì ðåçîíàòîðå, ïîëÿ êîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (5.6.15), áóäåì íàçûâàòü +QPS -êîëåáàíèÿìè. Ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû è äëèíû âîëí H-êîëåáàíèé îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè ôîðìóëàìè: Z+ QPS O+QPS F HP   §¨ [ QP ·¸  §¨ SS ·¸  © O ¹ © 5 ¹ S   § [ QP ·  § SS · ¨ O ¸ ¨ 5 ¸ ¹ © ¹ ©  (5.6.16) (5.6.17) Ïî ôîðìóëå (5.6.17) âû÷èñëÿþòñÿ äëèíû âîëí â ñâîáîäíîì ïðîñòðàíñòâå ñ ïàðàìåòðàìè H  P  , ñîîòâåòñòâóþùóþ ñîáñòâåííûì ÷àñòîòàì Z+ QPS ðåçîíàòîðà, çàïîëíåííîãî ñðåäîé ñ ïàðàìåòðàìè H D  P D , âû÷èñëÿåìûìè ïî ôîðìóëå (5.6.16). 254 ÃËÀÂÀ 5 Äëÿ êðóãëîãî ðåçîíàòîðà, â îòëè÷èå îò ïðÿìîóãîëüíîãî, íàïðàâëåíèå OZ ÿâëÿåòñÿ âûäåëåííûì êàê ïðîäîëüíàÿ îñü êðóãëîãî âîëíîâîäà. Èç ñðàâíåíèÿ ñîîòíîøåíèé (5.6.10) è (5.6.16) äëÿ E- è H-êîëåáàíèé ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî êîëåáàíèÿ äàííûõ òèïîâ ïðè îäèíàêîâûõ öåëî÷èñëåííûõ èíäåêñàõ n, m è p èìåþò ðàçëè÷íûå ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû. Îñíîâíûì, êàê îáû÷íî, íàçûâàåòñÿ êîëåáàíèå, èìåþùåå ìèíèìàëüíóþ ñîáñòâåííóþ ÷àñòîòó. Çäåñü íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî â çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ðàäèóñîì ðåçîíàòîðà R è äëèíîé l îñíîâíûì òèïîì ÿâëÿåòñÿ ëèáî êîëåáàíèå + , ëèáî ( , â ÷¸ì ëåãêî óáåäèòüñÿ, ïîëüçóÿñü òàáëèöàìè 4.1 è 4.2 äëÿ êîðíåé P QP è [ QP . Íåñëîæíî çàìåòèòü, ÷òî ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû êîëåáàíèé + è ( ðàâíû ìåæäó ñîáîé ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ: § P · ¨ ¸ © 5 ¹ Òàê êàê P    [    § [ ·  § S ·  ¨ 5 ¸ ¨O¸ © ¹ © ¹ (5.6.18)  , òî èç (5.6.18) ñëåäóåò, ÷òî O 5 S  P   [ |   Òàêèì îáðàçîì, ïðè O  5 |  êîëåáàíèÿ + è ( ÿâëÿþòñÿ âûðîæäåííûìè è îáëàäàþò îäèíàêîâûìè ñîáñòâåííûìè ÷àñòîòàìè. Ïðè âñåõ äðóãèõ ñîîòíîøåíèÿõ ìåæäó R è l îäíà èç ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò áóäåò èìåòü ìåíüøåå çíà÷åíèå: ( ­ Z O  5    ® + O  5 !   ¯ Z Íà ðèñ. 5.6 ïðèâåäåíû ñòðóêòóðû ïîëåé êðóãëîãî îäíîðîäíî çàïîëíåííîãî ðåçîíàòîðà äëÿ íåñêîëüêèõ íèçøèõ òèïîâ êîëåáàíèé ïðè O ! 5 . PLQ ZQPS 5.7. Êîàêñèàëüíûé ðåçîíàòîð Êîàêñèàëüíûé ðåçîíàòîð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îòðåçîê êîàêñèàëüíîé ëèíèè ïåðåäà÷è äëèíû l ñ çàìåòàëèçèðîâàííûìè òîðöåâûìè ïëîñêîñòÿìè (ðèñ. 5.7). Ýêðàí è öåíòðàëüíûé ïðîâîäíèê ëèíèè ïðåäïîëàãàþòñÿ èäåàëüíî ïðîâîäÿùèìè, à çàïîëíåíèå ðåçîíàòîðà — îäíîðîäíî-äèýëåêòðè÷åñêèì ñ ïàðàìåòðàìè H D è P D . Ðàäèóñ âíóòðåííåãî ïðîâîäíèêà îáîçíà÷èì ÷åðåç 5 , à âíåøíåãî — ÷åðåç 5 .  ðàññìàòðèâàåìîé ñòðóêòóðå ðåçîíàíñ âîçíèêàåò, êîãäà ìåæäó òîðöåâûìè ïîâåðõíîñòÿìè óêëàäûâàåòñÿ öåëîå ÷èñëî äëèí ïîëóâîëí. 5.7.1. T-êîëåáàíèÿ êîàêñèàëüíîãî ðåçîíàòîðà. Ïðè èçó÷åíèè êîàêñèàëüíûõ ðåçîíàíñíûõ ñòðóêòóð îñíîâíîé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò T-êîëåáàíèÿ. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîëÿ T-êîëåáàíèÿ âîñïîëüçóåìñÿ îïðåäåëåíèåì ñòîÿ÷åé âîëíû, êîòîðàÿ îáðàçóåòñÿ ïðè ñëîæåíèè äâóõ ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûõ áåãóùèõ T-âîëí. Ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ â îáú¸ìíûõ ðåçîíàòîðàõ + 255 ( à) á) + ( â) ã) ( ä) Ðèñ. 5.6 256 ÃËÀÂÀ 5 öåíòðàëüíûé ïðîâîäíèê V f V f 5 HD  PD 5 O ýêðàí Ðèñ. 5.7 Çàïèøåì âûðàæåíèÿ äëÿ ïîëåé äâóõ T-âîëí, áåãóùèõ â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ (ñì. ïàðàãðàô 4.7.1): G G G = ,  L J ] G , ( U H  + M  H  L J ]  SU SU (5.7.1) G G G = , L J ] G , ( U H  + M  H L J ]  SU SU G G ãäå U  M — åäèíè÷íûå îðòû öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò; , — êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà òîêà, ïðîòåêàþùåãî ïî âíóòðåííåìó ïðîâîäíèêó; Z — õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå ñðåäû-çàïîëíèòåëÿ (â ñëó÷àå âàêóóìíîãî çàïîëíåíèÿ = = ), J — ïîñòîÿííàÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ T-âîëíû. Èç óñëîâèÿ îáðàçîâàíèÿ ñòîÿ÷åé âîëíû íàõîäèì: J SS  O  p = 1, 2, 3, . . . Íàéä¸ì ñóïåðïîçèöèþ ïîëåé äâóõ âîëí, îïèñûâàåìûõ âûðàæåíèÿìè (5.7.1), îáåñïå÷èâàþùóþ âûïîëíåíèå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé íà òîðöåâûõ ïëîñêîñòÿõ: G G G G L= ( U M (  (  U $ VLQ SS]  O  U (5.7.2) G G G G  + U M +  + M $ FRV SS]  O  U ãäå $ ,  S — àìïëèòóäà T-êîëåáàíèÿ, çàâèñÿùàÿ îò âåëè÷èíû òîêà , , ïðîòåêàþùåãî ïî âíóòðåííåìó ïðîâîäíèêó êîàêñèàëüíîãî ðåçîíàòîðà. Èç âûðàæåíèé (5.7.2) ñëåäóåò, ÷òî T-êîëåáàíèÿ îïèñûâàþòñÿ åäèíñòâåííûì öåëî÷èñëåííûì èíäåêñîì p, ïîýòîìó äëÿ êëàññèôèêàöèè T-êîëåáàíèé ðåçîíàòîðà èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå 7S . Èíäåêñ p îïðåäåëÿåò ÷èñëî äëèí ïîëóâîëí, óêëàäûâàþùèõñÿ íà äëèíå ðåçîíàòîðà l. Ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû è äëèíû âîëí 7S -êîëåáàíèé îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè: O F SS ZS  OS  (5.7.3) O S HP ãäå O S — äëèíà âîëíû â ñâîáîäíîì ïðîñòðàíñòâå ñ ïàðàìåòðàìè H  P  , ñîîòâåòñòâóþùàÿ ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå êîëåáàíèÿ 7S êîàêñèàëüíîãî ðåçîíàòîðà, çàïîëíåííîãî ñðåäîé ñ ïàðàìåòðàìè H D  P D . Ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ â îáú¸ìíûõ ðåçîíàòîðàõ 7 -êîëåáàíèå  257 ïðîäîëüíûé ðàçðåç 7 -êîëåáàíèå Ðèñ. 5.8 Îñíîâíûì êîëåáàíèåì â êîàêñèàëüíîì ðåçîíàòîðå ÿâëÿåòñÿ 7 -êîëåáàíèå ñ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé SF Z  O HP Êàê ñëåäóåò èç (5.7.3), ñïåêòð 7S -êîëåáàíèé êîàêñèàëüíîãî ðåçîíàòîðà ÿâëÿåòñÿ ýêâèäèñòàíòíûì ñ «÷àñòîòíûì ðàññòîÿíèåì» ìåæäó ñîñåäíèìè òèïàìè ðàâíûì SF ZS  ZS   (5.7.4) O HP Èç âûðàæåíèÿ (5.7.4) âèäíî, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè äëèíû ðåçîíàòîðà l ñïåêòð êîëåáàíèé ñãóùàåòñÿ. Íà ðèñ. 5.8 ïðèâåäåíà ñòðóêòóðà ïîëÿ 7 -êîëåáàíèÿ. Ïðè ïîñòðîåíèè ñòðóêòóð ïîëåé 7S -êîëåáàíèé íåîáõîäèìî âäîëü îñè OZ èçîáðàçèòü ñòðóêòóðó ïîëÿ 7 -êîëåáàíèÿ p ðàç, èçìåíÿÿ ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ïîëóâîëíû ê äðóãîé íàïðàâëåíèå ñèëîâûõ ëèíèé ïîëÿ. Èç ðèñ. 5.8 âèäíî, ÷òî ñèëîâûå ëèíèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ 7 -êîëåáàíèÿ ÿâëÿþòñÿ ïðÿìûìè ëèíèÿìè, èñõîäÿùèìè èç âíóòðåííåãî ïðîâîäíèêà è âõîäÿùèå âî âíåøíèé. Ñèëîâûå ëèíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êîíöåíòðè÷åñêèå ïî îòíîøåíèþ ê âíóòðåííåìó ïðîâîäíèêó îêðóæíîñòè. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî â êîàêñèàëüíîì ðåçîíàòîðå ìîãóò ñóùåñòâîâàòü è âûñøèå òèïû êîëåáàíèé òèïà (QPS  +QPS . Ïðîöåññ îïðåäåëåíèÿ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé è ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé äëÿ âûñøèõ òèïîâ êîëåáàíèé êîàêñèàëüíîãî ðåçîíàòîðà àíàëîãè÷åí èçëîæåííîìó â ðàçäåëå 5.6 ïðè ðàññìîòðåíèè êðóãëîãî ïîëîãî ðåçîíàòîðà. 5.7.2. Å-êîëåáàíèÿ êîàêñèàëüíîãî ðåçîíàòîðà. Ôîðìóëèðîâêà êðàåâîé çàäà÷è äëÿ E-êîëåáàíèé èìååò ñëåäóþùèé âèä:  w § w (] ·  w (] w (]   N (] ¨U ¸  U wU © wU ¹ U w M w] 5  U  5    M  S  (]  U 5  5 w (] w]  ]  O   (5.7.5) 258 ÃËÀÂÀ 5 Ïðè çàïèñè ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà íåîáõîäèìî ó÷åñòü, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå òî÷êà U  âûïàäàåò èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ïîëÿ, ïîýòîìó â ðåøåíèÿõ íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü öèëèíäðè÷åñêèå ôóíêöèè êàê 1-ãî ðîäà, òàê è 2-ãî ðîäà. Ïðè ýòîì ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è (5.7.5) ìîæåò áûòü çàïèñàíî ñëåäóþùèì îáðàçîì: (] QPS ( QPS ^ $ - Q D QP U   %