Электродинамические свойства частично ионизованного газа.

Лекция 3 Электродинамические свойства частично ионизованного газа. Элементы электродинамики применительно к ионизованному газу. Движение заряженных частиц в электрическом, магнитном и скрещенных электрическом и магнитном полях. Скорость дрейфа заряженных частиц в скрещенных электрическом и магнитном полях с учетом столкновений частиц. Проводимость частично-ионизованной плазмы в магнитном поле. Проверить(3.18)-(3.21). Элементы электродинамики применительно к ионизованному газу. В магнитной газовой динамике основной силой, которая определяет процессы переноса импульса, энергии, электричества при наличии электрического и магнитного поля является сила Лоренца, действующая на частицы, движущиеся со скоростью V. В лабораторной системе координат, в которой нет движения среды, сила Лоренца, действующая на движущиеся заряженные частицы, при наличии электрического и магнитного полей равна . (3.1) В движущемся со скоростью системе координат, рис.3.1, в нерелятивистской механике, сила Лоренца определяется уравнением . (3.2) Рис. 3.1. Система подвижных координат. При этом величины F, q, E, B преобразуются по законам нерелятивистской электродинамики, причем , , , (3.3) . (3.4) Величина <<1 во всех случаях, когда <<1. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях. Будем далее рассматривать движение заряженных частиц, движущейся со скоростью в электрическом и магнитном полях в неподвижной системе координат. Закон движения заряженной частицы между столкновениями определяется уравнением . В электрическом поле между соударениями частица с зарядом q и массой m движется равноускоренно по закону , . (3.5) В однородном магнитном поле частица с зарядом q движется по закону , . (3.6) Для того чтобы установить характер движения заряженной частицы в магнитном поле, умножим (3.6) скалярно на , получим . (3.7) Из (3.7) видно, что сила перпендикулярна вектору скорости , поэтому она не совершает работу и не изменяет кинетической энергии частицы. , . (3.8) Чтобы построить траекторию частицы, разложим вектор скорости на составляющие параллельную и перпендикулярную вектору магнитного поля. В этом случае и . Отсюда следует, что составляющая скорости частицы вдоль поля не меняется и модуль перпендикулярной составляющей вектора скорости остается постоянным , так как . Это означает, что частица движется вдоль поля с постоянной скоростью, описывая окружности с центров на силовой линии магнитного поля. Рис.3.2. Схема движения заряженных частиц в магнитном поле. Для установления траектории движущейся заряженной частицы рассмотрим её движение в ортогональной системе координат x,y,z. Пусть вектор магнитного поля имеет составляющие , тогда составляющая вектора скорости перпендикулярная вектору магнитного поля будет иметь компоненты . Движение частицы в плоскости xy описывается системой двух уравнений (3.9.а) . (3.9.б) Интегрируя (3.9.а) и (3.9.б), получим (3.10.а) . (3.10.б) При этом . В уравнении (3.10.б)знак «–» следует брать для положительной частицы, когда q>0, а знак «+» для отрицательной частицы, когда q <0. Величина называется циклотронной или ларморовской частотой и характеризует частоту вращения заряженной частицы вокруг магнитно-силовой линии. Интегрируя уравнения (3.10.а) и (3.10.б) получим систему двух уравнений, описывающих траекторию частицы в магнитном поле. (3.11.а) . (3.11.б) Уравнения (3.11) описывают проекцию траектории частицы на плоскость xy. Это окружность с центром в точке x0y0. Радиус r называется ларморовским радиусом и равен . (3.12) Положительный заряд вращается по часовой стрелке, а отрицательный – против часовой стрелки. Поскольку скорость частицы вдоль поля сохраняется , то траектория частицы между двумя столкновениями это спираль вокруг магнитной силовой линии. Отношение ларморовской частоты к средней частоте столкновений частицы сорта s называется параметром Холла. Параметр Холла определяет величину углового вращения частицы между двумя соударениями. Наиболее подвижная частица в частично ионизованном газе это электрон, поэтому параметр Холла электрона в магнитной газовой динамике имеет большое значение. Оценим величину параметра Холла электрона в условиях: В=1Тл, V┴= 105 м/с, Те = 2500 К,  = 2.6·10111/с, le= 1.2·10-6м, ωе=1.8·1011 рад/с, re=5.7·10-7м, = 0.7. То есть в наиболее характерных в техническом приложении случаях ≈ 1. Скорость дрейфа заряженных частиц в скрещенных электрическом и магнитном полях с учетом столкновений частиц. В произвольно направленных электрическом и магнитном полях заряженные частицы движутся, ускоряясь вдоль магнитного поля под действием электрического поля, и вращаюсь вокруг силовых линий магнитного поля. Для выяснения характера движения в произвольно ориентированных и разложим вектор электрического поля на составляющие параллельную и перпендикулярную вектору магнитного поля. Вдоль магнитного поля частица движется равноускоренно (3.13) В поперечном магнитному полю направлении частица движется в скрещенных электрическом и магнитном полях . (3.14) Траектория частиц в скрещенных полях может быть найдена путем суперпозиции траекторий вдоль магнитного поля и поперек магнитного поля в электрическом поле поперечном магнитному. Рис. 3.3. Схема дрейфи заряженных частиц в скрещенных электрическом и магнитном полях. Частицы положительно заряженные ускоряются в направлении , поэтому в верхней части траектории скорость больше, а в нижней меньше и частица дрейфует вправо в направлении вектора . Для отрицательных частиц скорость в нижней части спирали больше чем в верхней. Частица также дрейфует вправо, т.е. в направлении вектора . Скорость дрейфа в скрещенных полях не зависит от массы и заряда частиц . (3.15) Траектория частиц есть вращение вокруг центра, движущегося со скоростью UD. Проводимость частично-ионизованной плазмы в магнитном поле Рассмотрим движение слабоионизованного газа в скрещенных, электрическом и магнитном полях в ортогональной системе координат xyz. Пусть вектора имеют следующие компоненты: магнитное поле , электрическое поле , скорость частиц . В системе отсчета xyz, движущейся со среднемассовой скоростью потока u с учетом столкновений имеем (3.16) . (3.17) Наличие магнитного поля В создает условия постоянной связи между Vx и Vy, поэтому оценку скорости дрейфа частиц и, соответственно токов, можно провести только в Лоренцевском приближении, т.е. в случае слабоионизованной плазмы, когда силу торможения частиц при столкновениях можно приближенно считать равной . Рассматривая установившийся процесс, когда получим уравнения для средней скорости электронов в направлении x и y (3.18) . (3.19) Для скоростей дрейфа электронов в направлении x и y получим уравнения (3.20) (3.21) где – величина, называемая подвижностью электронов в слабоионизованном газе, – параметр Холла электрона, – циклотронная частота. Если , то , а . Влиянием магнитного поля можно пренебречь. В случае, когда величина мала и для электронов, и для ионов влиянием магнитного поля также можно пренебречь. При равных температурах электронов и ионов имеем << 1. (3.22) В общем случае, когда βе ~ 1, а βi <<1, jy ≠ 0 и jx ≠ 0, . (3.23) Подставляя в (3.23) скорости дрейфа электронов (3.20) и (3.21), получим (3.24) . (3.25) Обозначим эффективную проводимость плазмы по y как (σе)┴, а по x как (σе)H, , . Рис. 3.5. Зависимость токов проводимости и Холла от параметра Холла. Уравнение (3.24) определяет величину тока Фарадея, а уравнение (3.25) определяет величину тока Холла. Если βе = 0, то ; и имеем только ток проводимости т.е. чистый ток Фарадея.