Электрическое поле заряда. Закон Кулона.

Электрическое поле заряда. Закон Кулона. На сегодняшний день не существует единого общепринятого определения электрического заряда. Тем не менее, можно считать, что электрический заряд – это скалярная величина, характеризующая способность тела к электрическому взаимодействию с другими заряженными телами. Единицей измерения электрического заряда является Кулон (Кл). Элементарный электрический заряд q – это величина равная Кл. Таким зарядом обладают электроны и протоны. Никакое тело не может обладать зарядом, меньше элементарного. Более того, заряд любого тела всегда кратен элементарному заряду. Стоит отметить, что в современной физике существует гипотеза о существовании дробных зарядов и (кварков), но экспериментального подтверждения данного факта нет. Шарль Дюфе в 1729г экспериментально показал, что существует два типа зарядов. Один образуется при трении стекла о шёлк, а другой — смолы о шерсть. Поэтому Дюфе назвал заряды «стеклянным» и «смоляным» соответственно. Позже Бенджамин Франклин назвал их положительными и отрицательными. Считается, что элементарным положительным зарядом обладает протон, а элементарным отрицательным зарядом – электрон. Из курса физики известно, что разноименные заряды притягиваются, а одноименные заряды отталкиваются. Сила взаимодействия зарядов определяется законом Кулона: – константа, называемая диэлектрической проницаемостью вакуума, – диэлектрическая проницаемость среды, определяющая во сколько раз сила взаимодействия зарядов в данной среде меньше, чем в вакууме. – величины взаимодействующих зарядов, – расстояние между взаимодействующими зарядами. Пример. Найти силу взаимодействия разноименных зарядов Кл и Кл находящихся в керосине () на расстоянии м. Решение Пусть на Рис … изображены заряды, данные в условии задачи. Поскольку заряды разноименные, то они притягиваются друг к другу. Т.е. силы Кулона направлены, как показано на Рис …, причем они равны. А именно, заряд притягивает заряд с той же силой, что и заряд притягивает заряд . Рис … Найдем модуль этой силы: Если в некоторой области присутствуют несколько зарядов, то результирующая сила взаимодействия между ними находится как векторная сумма сил взаимодействия зарядов. Пример. Пусть в вакууме находятся три заряда одинаковой величины Кл и полярности. Причем заряды расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной 0.001м. Найти результирующую силу, действующую на каждый заряд. Решение Пусть на Рис … изображена система зарядов, данная по условию задачи, а изображенный треугольник является равносторонним со сторонами 0.001м и внутренними углами . Поскольку все заряды одинаковые и находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, то и силы , действующие на них тоже одинаковы. Таким образом, достаточно найти силу, действующую на один из зарядов, на остальные заряды будут действовать такие же силы. Сила взаимодействия двух зарядов F определяется законом Кулона (…). Поскольку одноименные заряды отталкиваются, то эти силы направлены так, как показано на Рис … В силу принципа суперпозиции сил результирующая сила , действующая на заряд, является векторной суммой сил F, действующих со стороны каждого заряда (Рис …). Найдем модуль F: По правилу сложения векторов и с учетом того, что внутренний угол треугольника равен , имеем Направление силы определяется в соответствии с правилом сложения векторов и указано на Рис … Если в некотором объеме V находится некоторое количество элементарных зарядов, то общий заряд Q равен алгебраической сумме этих зарядов . Такую систему удобно характеризовать объемной плотностью заряда Аналогично, если заряды равномерно распределены на некоторой поверхности, то данную систему удобно характеризовать поверхностной плотностью заряда Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Потенциал. Очевидно, что электрические заряды не взаимодействуют между собой непосредственно. Изначально предполагалось, что взаимодействие заряженных частиц осуществлялось посредством «физического эфира». Понятие эфира известно еще в Древней Греции из работ Платона и Аристотеля, но в академической науке он был определен Рене Декартом в XVII веке. Эфир – это гипотетическая всепроникающая среда, колебания которой проявляют себя как электромагнитные волны, в том числе как видимый свет. Следует отметить, что сторонниками данной теории были и такие известные ученые, как Максвелл и Гюйгенс. По современным представлениям взаимодействие осуществляется посредством электрического поля. Т.е. каждый заряд создает вокруг себя электрическое поле, оказывающее силовое воздействие на другие заряды. Для исследования электрического поля принято использовать некоторый пробный заряд – небольшой заряд , величина которого не приводит к перераспределению поля. Для количественного описания электрического поля введена силовая характеристика – напряженность электрического поля, равная отношению силы, с которой поле действует на положительный пробный заряд, помещенный в данную точку пространства, к величине этого заряда: Размерность напряженности электрического поля . Напряженность электрического поля системы N зарядов равно векторной сумме напряженностей полей этих зарядов Рассмотрим работу по переносу заряда в электрическом поля. В соответствии с механическим определением работы в однородном поле имеем Теперь введем величину, описывающую энергию электрического поля и не зависящую от величины этого заряда: Данная величина называется потенциалом электрического поля. В электродиманике под потенциалом понимают работу по переносу заряда из данной точки на бесконечность, отнесенную к величине этого заряда. Единицей измерения потенциала является Вольт [В]=[Дж/Кл]. Если заряд переносится не на бесконечность, а из некоторой точки А в точку В, то в этом случае вводят так называемую разность потенциалов (напряжение): В общем случае, когда электрическое поле неоднородное, имеем а работа по переносу заряда из точки А в точку В: В силу суперпозиции полей потенциал в некоторой точке пространства, созданный несколькими источниками поля, равен алгебраической сумме потенциалов от каждого источника: Пример. Рассчитать напряженность электрического поля зарядов Кл, Кл, Кл, расположенных на одной линии (см. Рис …) на расстоянии 0.001м справа от заряда . Расстояния между и равно 0.002м, между и равно 0.001м. Решение Пусть на Рис … изображена система зарядов, данная по условию задачи и пусть точка А яавляется той точкой, в которой ищется напряженность электрического поля. Рис … Рис … Результирующее поле в точке А в соответствии с принципом суперпозиции находится как векторная сумма полей каждого заряда. Найдем модули электрических полей создаваемые каждым из зарядов в точке А: С учетом того, что силовые линии положительных зарядов начинаются на этих зарядах, а силовые линии отрицательных зарядов заканчиваются на них (Рис …), найдем: Поскольку знак результирующей напряженности положительный, то поле в точке А направлено слева направо. Пример. Рассчитать разность потенциалов между точками А и В, находящихся на расстоянии 0.001м и 0.002м от точечного заряда Кл. Решение Теорема Остроградского-Гауса. Для описания теоремы рассмотрим Рис... Из курса физики известно, что для данной конфигурации поток вектора напряженности через произвольную элементарную площадку dS будет равен: Т.е. в однородном поле . В произвольном электрическом поле Рис … Здесь , т.е. ориентация dS в пространстве задается с помощью единичного вектора . Таким образом, направление вектора совпадает с направлением внешней нормали к поверхности. Подсчитаем поток вектора E через произвольную замкнутую поверхность S, окружающую точечный заряд q (рис. 2.9). Окружим заряд q сферой S1. Рис … Центр сферы совпадает с центром заряда. Радиус сферы S1 равен R1. В каждой точке поверхности S1 проекция E на направление внешней нормали одинакова и равна: Теперь рассмотрим некоторую замкнутую поверхность , например сферу. Тогда поток через S1 Подсчитаем поток через сферу S2, имеющую радиус R2: Из непрерывности линии E следует, что поток и через любую произвольную поверхность S будет равен этой же величине: – теорема Гаусса для одного заряда. Линии напряженности начинаются и заканчиваются на зарядах (или в бесконечности). Полученный результат справедлив не только для одного заряда, но и для любого числа произвольно расположенных зарядов, находящихся внутри поверхности: – теорема Гаусса для нескольких зарядов. Размерность потока электрического поля . Таким образом поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности, деленной на ε0. Пример. Найти поток электрического поля через сферическую поверхность, внутри которой находится заряд Кл. Решение Электрический ток. Электрическим током называется направленное движение зарядов. Величиной, описывающей электрический ток, является сила тока Это количество зарядов прошедшее через данную поверхность за время t. За положительное направление тока выбрано направление движения положительных зарядов. Отношение силы тока к площади поверхности, по которой он протекает, называется поверхностной плотностью тока. Пример. Рассчитать плотность тока, если за 0.1с через поверхность S=0.01м проходит заряд 16мКл. Решение Найдем ток, протекающий через рассматриваемую поверхность Найдем плотность тока, протекающего через данную поверхность Постоянное магнитное поле. Закон Био-Савара-Лапласа. Известно, что два проводника с током взаимодействуют между собой. Если токи протекают в одном направлении (Рис …), то проводники притягиваются, если в противоположных – отталкиваются. Сила взаимодействия прямо пропорциональна величине токов, длине проводников и обратно пропорциональна расстоянию между проводниками Рис … Рис … Взаимодействие между токами осуществляется посредством магнитного поля. Как и в случае электрического поля, магнитное поле представляется силовыми линиями магнитного поля, но, в отличие от электрического поля, силовые линии магнитного поля всегда замкнутые и охватывают возбудившего его ток. Характеризуется поле вектором магнитной индукции, модуль которого равен а направление определяется в соответствии с правилом Ленца. В общем случае, когда проводник не является линейным, а имеет произвольную форму, рассчитывают магнитную индукцию , создаваемую малым элементом проводника : Результирующее магнитное поле находится как интегральная сумма элементарных полей, создаваемых всеми элементами тока В наиболее общей форме запись закона Бои-Савара-Лапласа очень громоздкая и здесь не приводится. Магнитное поле бесконечного проводника равно Рис … Магнитное поле проводника конечной длины равно где и – углы между прямыми, проведенной из данной точки в концы проводника и прямой, параллельной проводнику. Магнитное поле кругового тока На больших расстояниях от плоскости тока получим Пример. Найти магнитную индукцию проводника с током длиной в вакууме. Решение Пример. Найти магнитную индукцию кругового тока, если Пример. Найти магнитную индукцию катушки с током, если Энергия магнитного поля. Изотропные, анизотропные, биизотропные и бианизотропные среды, метаматериалы. Материальные уравнения Диэлектрики, полупроводники, проводники. Из курса физики известно, что в зависимости от способности материала проводить электрический ток различают диэлектрические, полупроводниковые и проводящие среды. Так диэлектрические материалы обладают электрическим сопротивлением в пределах . К диэлектрикам относятся различные пластмассы, резина и т.д. Полупроводники обладают удельным сопротивлением в пределах . К полупроводникам относятся элементы четвертой группы таблицы Менделеева, например, кремний и германий. Проводники имеют удельное сопротивление . К проводникам относятся, например, все металлы. Кроме того, существует классификация проводников, полупроводников и диэлектриков по ширине запрещенной зоны, но это предмет другого курса. Поляризация диэлектриков. Диэлектрическая проницаемость. Электрическая индукция. Если диэлектрик поместить в постоянное электрическое поле , то в нем наблюдается так называемое явление поляризации среды. Рассмотрим его подробнее. Хорошо известно, что молекулы включают в себя как положительные, так и отрицательные заряды. Более того, в физике различают полярные и неполярные молекулы. Во внешнем электрическом поле положительные заряды смещаются в направлении действия поля, а отрицательные в противоположном. Наблюдается так называемое явление поляризации среды. За счет этого внутри диэлектрика возникает дополнительное внутреннее электрическое поле. Общее поле, в силу принципа суперпозиции, равно Таким образом, электрическое поле в диэлектрике меньше, чем в вакууме вокруг него. Отношение называют диэлектрической проницаемостью среды. Таким образом, напряженность электрического поля всегда зависит от свойств среды в которой существует это поле. Причем, она пропорциональна диэлектрической проницаемости . Исходя из этого, для характеристики поля целесообразно ввести новую величину, не зависящую от свойств среды. Такой величиной является электрическая индукция или электрическое смещение где . Здесь Ф/м – диэлектрическая проницаемость вакуума, – диэлектрическая проницаемость среды. Магнитная проницаемость среды. Напряженность магнитного поля. Разместим два проводника с током в вакууме, а затем в керосине. При этом сила взаимодействия этих проводников (сила Ампера) в керосине меньше, чем в вакууме. Это свидетельствует о том, что величина индукции магнитного поля B в этих случаях различна. Отношение называется магнитной проницаемостью среды. В зависимости от величины различают диамагнетики , и парамагнетики . Если же , то среда является не магнитной. Таковыми являются большинство материалов в природе. Далее, как и в случае с электрическим полем вводят величину, которая характеризует магнитное поле и не зависит от свойств среды: Векторная величина H называется напряженностью магнитного поля. Здесь , Гн/м – магнитная проницаемость вакуума, – магнитная проницаемость среды. Обычно выражение (…) записывается в форме, аналогичной (…): Изотропная среда. Изотропной средой является среда, электромагнитные свойства которой не зависят от направления. В такой среде Векторы электрической и магнитной индукции связаны с векторами напряженности электрического и магнитного полей соотношениями где и – скалярные величины (числа). Или в скалярной форме: , , , , , . Анизотропная среда. Анизотропной средой является среда, электромагнитные свойства которой зависят от направления действия электрического и магнитного полей. где и – тензоры диэлектрической и магнитной проницаемости, записываемые в матричной форме: , Эти выражения в скалярной форме имеют вид: (…) В зависимости от вида тензора диэлектрической и магнитной проницаемости различают одноосные и двухосные анизотропные среды. Если – скаляр, а тензор электрической проницаемости имеет вид , то среда называется электрической одноосной средой. Такой средой, например, является кварц. Если – скаляр, а тензор магнитной проницаемости имеет вид то среда называется магнитной одноосной средой. Такой средой является феррит вдали от области резонанса. Если – скаляр, а тензор электрической проницаемости имеет вид , то среда называется электрической двухосной средой. Такой средой, например, является плазма в области резонанса. Если – скаляр, а тензор магнитной проницаемости имеет вид то среда называется магнитной двухосной средой. Такой средой является феррит в области резонанса. Если быть до конца точным, то плазма и феррит описывается тензорами вида , соответственно. Но изучение таких сред является предметом отдельного курса. Биизотропная среда. Биизотропной является изотропная среда, электрическая и магнитная индукция в которой определяется как напряженностью электрического поля, так и напряженностью магнитного поля. Материальные уравнения таких сред имеют вид. Здесь и – называются коэффициентами киральности. Сами среды также иногда называют киральными. Средой, описываемой материальными уравнениями такого вида, может, например, являться обычная изотропная среда при высоких напряженностях электрического и магнитного полей. На сегодняшний день также существует ряд искусственно созданных сред с подобными свойствами. Кроме того, такие уравнения описывают электромагнитные свойства движущихся сред. Бианизотропная среда. Бианизотропной является анизотропная среда, электрическая и магнитная индукция в которой определяется как напряженностью электрического поля, так и напряженностью магнитного поля. , , , Здесь и – тензоры диэлектрической и магнитной проницаемости, и – тензоры киральности. Естественных материалов, описываемых материальными уравнениями (…), в природе не существует. При этом, представлено большое количество искусственных бианизотропных материалов. Материальные уравнения такого вида встречаются при описании электромагнитных явлений в движущихся анизотропных средах. Метаматериал. Еще одной разновидностью искусственных сред являются так называемые метаматериалы. Их особенностью является то, что и диэлектрическая и магнитная проницаемости таких сред отрицательные: , . Данные среды проявляют экзотические среды, к примеру, угол преломления волны при прохождению в такую среду является отрицательным. Гиперболическая среда. Гиперболическая среда – это среда, в которой поперечная и продольная составляющие электрической или/и магнитной проницаемости имеют разные знаки. Уравнения Максвелла в интегральной форме и их физический смысл. Поток поля. Для понимания понития потока поля рассмотрим движение жидкости через некоторую поверхность, например, через носик крана. Закрывая или открывая кран мы изменяем количество жидкости, вытекающей из него (поток). Аналогично, потоком поля через некоторую поверхноять S является количественная мера поля A, прошедшего через эту поверхность, за единицу времени. Марематически поток поля выражается следубщим соотношением: Здесь Ф – поток поля, S – площадь поверхности, через которую рассчитывается поток, А – количественная мера поля, например, напряженность или индукция, – модуль количественной меры поля, – угол между направлением поля и нормалью к поверхности, – скалярное произведение векторов, – вектор, по величине совпадающий с площадью элементарного участка, а по направлению с нормалью. Отметим, что поток векторного поля является скалярной величиной. Циркуляция поля. Понятие циркуляция изначально было введено в гидродинамике для описания движения жидкости по замкнутому контуру. Представим себе движение жидкости. Допустим в какой-то момент вся жидкость замерзла, кроме очень тонкого контура. В зависимости от характера движения и ориентации контура жидкость будет либо находиться без движения, либо циркулировать вдоль контура. Для характеристики такого движения берут произведение средней скорости этой жидкости в контуре на длину контура По аналогии описывается циркуляция электрического или магнитного поля. Физически, циркуляция представляет собой работу по переносу жидкости или поля по данному замкнутому контуру. Выражение для нахождения циркуляции имеет вид: Первое уравнение Максвелла (Теорема о циркуляции магнитного поля). Циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равна полному току пронизывающему этот контур. Для понимания физического смысла первого уравнения Максвелла рассмотрим Рис … Хорошо известно, что переменный электрический ток I, протекающий по проводнику, возбуждает вокруг него переменное магнитное поле пропорциональное величине этого тока. Cиловые линии этого поля замкнутые, как показано на Рис … Таким образом, сторонние электрические токи в данной области пространства возбуждают магнитное поле в среде. Если среда, в которой возбуждается магнитное поле, является проводящей, то в ней возникает электрический ток проводимости, который в, свою очередь, создает собственное магнитное поле. Его также необходимо учитывать в расчетах. Таким образом, рассматривая элементарный ток проводимости , имеем где – поверхностная плотность тока проводимости, s – площадь сечения проводника, – элементарная напряженность магнитного поля. При условии, что поверхностная плотность тока постоянная величина, получаем Из курса физики также известно, что кроме токов проводимости существуют и токи смещения. Они возникают только в цепях переменного тока, и примером их существования является конденсатор. Отметим, что ток смещения не является электрическим током в классическом смысле, поскольку он не является направленным движением заряженных частиц, а представляет собой переменное электрическое поле. Поскольку сила элементарного тока смещения связана с напряженностью электрического поля dE и электрической индукцией выражением , то можно записать . а) б) Рис … Таким образом, если мы мысленно выделим некоторый замкнутый контур в пространстве, внутри которого находится проводник с током и существует ток смещения, создаваемый, например, конденсатором, то величина магнитного поля по этому контуру прямо пропорциональна величине тока проводимости и тока смещения: Далее произведем интегральное суммирование по замкнутому контуру L и получим Здесь – циркуляция магнитного поля по замкнутому контуру L, ограничивающему поверхность S. Если сравнить магнитное поле с жидкостью, то речь идет о количестве жидкости циркулирующей в бесконечно тонкой замкнутой трубе. – полный сторонний ток, – полный ток проводимости, – плотность тока проводимости, – удельная проводимость, – полный ток смещения. В расчетах сторонние токи учитываются далеко не во всех задачах, поэтому зачастую первое уравнение Максвелла записывается в форме Для наглядности процесса отметим, что механическим аналогом процесса, описываемого первым уравнением Максвелла, может служить вращение вентилятора, когда на лопасти дует ветер. Чем выше скорость ветра, тем быстрее вращаются лопасти по замкнутому контуру. Пример 1. Рассмотрим замкнутый контур прямоугольной формы в свободном пространстве. Стороны контура равны 1см и 2см. Пусть внутри этого контура расположен проводник с током I=10мА. Найти циркуляцию магнитного поля по этому контуру. Решение Поскольку среда является непроводящей, а электрический ток постоянным, то в уравнении Максвелла отсутствуют вторые два слагаемых. Геометрические размеры контура также не имеют значения. Тогда Пример 2. Найти циркуляцию магнитного поля по круговому контуру радиуса R=0.1м, если электрическое поле через поверхность, ограниченную этим контуром максимально в центре контура, симметрично, а зависимость его величины от времени и расстояния от центра имеет вид . Решение Поскольку сторонние токи по условию отсутствуют и среда является непроводящей (отсутствуют токи проводимости), то первое уравнение Максвелла запишется в виде. Найдем производную по времени от магнитной индукции Тогда Пример 3. Найти циркуляцию магнитного поля (полный ток) по замкнутому круговому контуру радиуса R=0.1м, если контур находится в однородном электромагнитном поле. Электрическая составляющая поля направленна перпендикулярно контуру, причем . Среда имеет диэлектрическую проницаемость , является проводящей с удельной проводимостью . В центре контура также расположен проводник с током , проходящим перпендикулярно контуру. Решение Запишем первое уравнение Максвелла в виде Учитывая, что и , а также то, что вектор напряженности электрического поля перпендикулярен поверхности контура, запишем Поскольку электрическое поле по условию однородное, то вместо интегралов в правой части можно записать Найдем производную по времени от напряженности электрического поля Тогда Пример 4. Найти циркуляцию магнитного поля (полный ток) по замкнутому круговому контуру радиуса R=0.1м, если контур находится в однородном электромагнитном поле. Электрическая составляющая поля направленна под углом к нормали контура, причем . Среда имеет диэлектрическую проницаемость , является проводящей с удельной проводимостью . В центре контура также расположен проводник с током , ориентированный под углом к нормали контура. Решение Второе уравнение Максвелла (Закон индукции Фарадея). Изменение потока магнитной индукции, проходящего через незамкнутую поверхность S, взятое с обратным знаком, пропорционально циркуляции электрического поля на замкнутом контуре L, который является границей поверхности S. Из курса физики известно, что переменное магнитное поле приводит к возникновению переменного электрического поля. Наглядным лабораторным опытом, подтверждающим данное явление, является перемещение магнита внутри проволочной катушки (Рис …). При перемещении магнита внутри катушки в самой катушке возникает электрическое поле E и связанный с ним электрический ток (). В рассматриваемом опыте загорается электрическая лампочка. Причем, чем выше скорость перемещения магнита, тем больше напряженность электрического поля (сильнее светится лампочка). Таким образом, если магнитное поле однородное (одинаковое во всех точках контура), то напряженность электрического поля пропорциональна скорости изменения магнитного поля Далее следует учесть, что магнитное поле не является. Таковым его можно считать только при бесконечно малых размерах. Поэтому размеры контура уменьшают до бесконечно малых (элементарных) и получают Затем производится интегральное суммирование магнитных потоков элементарных контуров и записывается конечное выражение второго уравнения Максвелла в виде Здесь S – площадь контура, L – длина контура, ds – площадь элементарного контура, dl – длина элементарного контура. Знак «минус» в (…) определяется тем, что изменяющееся магнитное поле создает в контуре переменный электрический ток, который в свою очередь создает свое магнитное поле. Это индуцированное магнитное поле направлено встречно исходному полю (Закон Ленца). Другими словами, если исходное поле увеличивается, то индуцированное поле препятствует его возрастанию и наоборот. Третье уравнение Максвелла (Закон Гаусса). Рассмотрим некоторую замкнутую поверхность, например, сферу. Допустим, что внутри данной поверхности находится электрический заряд Q. Доказательство данного закона было приведено выше в пункте … Четвертое уравнение Максвелла (Закон Гауса для магнитного поля). Описание физического смысла этого уравнения такое же, как и третьего, с той лишь разницей, что магнитных зарядов не существует. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Ротор векторного поля. Ротором векторного поля называется предел отношения циркуляции этого поля по замкнутому контуру к площади поверхности, ограниченной этим контуром, когда эта площадь стремится к нулю: Таким образом, с математической точки зрения ротор векторного поля – это производная от циркуляции этого поля по замкнутому контуру по поверхности, ограниченной этим контуром. Для понимания ротора представим себе движение жидкости в раковине, когда образуется воронка. Частичка жидкости при этом движется по окружности со скоростью , где – угловая скорость, r – расстояние от центра воронки до данной частицы. Без строгого доказательства скажем, что модуль ротора линейной скорости в данном случае равен удвоенной угловой скорости . Теперь необходимо учесть, что рассматриваемая частица движется также и поступательно (вода выливается в трубу), поэтому величина (ротор), описывающая данное явление, должна быть векторной (указывать направление движения). Направление ротора совпадает с направлением поступательного движения жидкости. С физической точки зрения наличие ненулевого ротора поля свидетельствует о способности силового поля совершать работу при перемещении вдоль замкнутого контура, а величина циркуляции по контуру и есть работа поля. В прямоугольной системе координат ротор вектора A записывается как Пример. Вычислить ротор векторного поля в точке М(3;3;1). Решение Запишем компоненты поля A раздельно для координат x, y и z: Найдем компоненты ротора поля А для координат x, y и z: Тогда Подставим числовые значения Следовательно, в точке О ротор равен И не имеет компоненты z. Для дальнейшего анализа рассмотрим Рис … Модуль ротора поля равен Угол проекции ротора на плоскость xOy по отношению к оси x равен Угол ротора по отношению к оси z равен: Т.е. ротор лежит в плоскости xOy. Дивергенция поля. Дивергенцией векторного поля в точке М называется предел отношения потока вектора А через замкнутую поверхность, окружающую точку М, в направлении внешней нормали к объему, ограниченному этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку М Таким образом, дивергенция является производной потока поля через замкнутую поверхность по объему, ограниченному этой поверхностью. В прямоугольной системе координат дивергенция вычисляется по формуле Пример. Вычислить дивергенцию векторного поля в точке М(3;3;1). Решение Вычислим дивергенцию по формуле (…): Подставим в найденное выражение значения координат точки М: Значение указывает на то, что в точке M есть источник векторного поля A мощностью 133. Система уравнений Максвелла. Используя вышеизложенный материал для ротора и дивергенции, а также уравнения Максвелла в интегральной форме перейдем к описанию электромагнитного поля в конкретной точке пространства. Разделим обе части первого уравнения Максвелла на площадь поверхности S и возьмем предел или В правой части полученного выражения присутствует ротор вектора напряженности магнитного поля. Первое слагаемое правой части – плотность тока проводимости. Действительно, предел отношения функции к аргументу, когда последний стремится к нулю является производной. Тогда получаем: Аналогичные действия можно провести и со вторым слагаемым. В результате описанных математических преобразований получаем первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме Аналогично выводится второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме Для вывода третьего и четвертого уравнений Максвелла обе части их уравнений следует делить на объем V. Тогда Система уравнений Максвелла дополняется материальными уравнениями Еще раз отметим, что уравнения Максвелла в дифференциальной форме описывают поведение электромагнитного поля в некоторой точке пространства, а не в области пространства. Уравнения Максвелла в комплексной форме. Комплексные числа. Комплексным числом называется число вида где a – действительная часть комплексного числа, b – мнимая часть комплексного числа, – мнимая единица. Выражение (…) является алгебраической формой записи комплексного числа. Кроме этого, существует показательная форма записи: где Z – модуль комплексного числа, – аргумент комплексного числа. Эти величины связаны с действительной и мнимой частями следующими соотношениями: Дополнительно существует тригонометрическая форма записи комплексного числа где ; Над комплексными числами производятся все те же действия, что и над действительными: Умножение на j: , Комплексные поля. Комплексная диэлектрическая и магнитная проницаемость. Наиболее часто встречающимся законом изменения электромагнитных полей является гармонический (косинусоидальный или синусоидальный). При этом электрическое поле математически может быть описано как где – волновое число, – текущая фаза, – длина волны. Однако математические действия с тригонометрическими функциями очень громоздки, поэтому вместо тригонометрических функций используют их образ. Т.е. тригонометрической функции ставят в соответствие комплексную функцию: Учитывая тригонометрическую форму записи комплексного числа легко увидеть, что: Проведем преобразования правой части данного выражения: Здесь – так называемая комплексная амплитуда. Комплексная амплитуда представляет собой вектор длиной E расположенный под углом на комплексной плоскости. В соответствии с методом, все расчеты полей производятся для комплексных полей, а затем проводится обратный переход к тригонометрическим функциям. Метод комплексных функций существенно упрощает расчеты и поэтому широко используется в электродинамике, электротехнике, антенных системах и т.д. В частности, произведение или сумма комплексных величин существенно проще, чем тригонометрических. Уравнения Максвелла для изотропной диэлектрической однородной среды в комплексной форме Введем понятие комплексной диэлектрической проницаемости Тогда Аналогично запишем второе уравнение Максвелла в комплексной форме где . Третье и четвертое уравнения имеют вид: Для дифференциальной формы уравнений Максвелла Расписывая ротор в прямоугольных координатах, получим (…) Закон сохранения электромагнитной энергии. Закон Умова-Пойтинга. Энергия электрического и магнитного полей вычисляется как Полная энергия электромагнитного поля равна Часто удобнее использовать не полную энергию, а объемную плотность энергии: Кроме того, электромагнитное поле переносит электромагнитную энергию Введем вектор S, равный векторному произведению векторов и : Здесь П – так называемый вектор Пойтинга. Тогда запишем теорему Пойтинга для мгновенных значений векторов поля в интегральной форме Вектор Пойтинга имеет размерность , т.е. представляет из себя поверхностную плотность электромагнитной мощности. Она включает в себя поверхностную плотность мощности электрического поля поверхностную плотность мощности магнитного поля и поверхностную плотность мощности токов проводимости где – удельная проводимость. Эту величину можно рассматривать, как мощность расходуемую на нагревание среды за счет электрических потерь. Более полное выражение теоремы Пойтинга должно включать в себя и мощности сторонних источников электрических и магнитных токов […]. Оно является достаточно громоздким и здесь не приводится. Пример. Найти поверхностную плотность мощности электрического и магнитного полей через сферическую поверхность в вакууме, если точечный источник поля находится в центре сферы и равномерно излучает во всех направлениях. Напряженности этих полей , . где r – расстояние от центра сферы. Решение Граничные условия для векторов электромагнитного поля. Нормальные составляющие. Рассмотрим поведение электрического поля на границе раздела S двух сред 1 и 2. Геометрия задачи представлена на Рис … Выберем некоторый бесконечно малый элемент поверхности S и построим цилиндр высотой на этом элементе. Здесь , , – нормали к поверхности S и основаниям цилиндра, соответственно. Допустим, что на поверхности S находится некоторый заряд Q. Используя третье уравнение Максвелла (закон Гаусса), запишем: Здесь , – электрическая индукция через верхнюю и нижнюю поверхности, соответственно, – поток вектора электрической индукции через верхнее основание цилиндра, – поток вектора электрической индукции через нижнее основание цилиндра, – поток через боковую поверхность. Теперь будем уменьшать высоту цилиндра , стягивая цилиндр к поверхности , тогда потоком можно пренебречь. Тогда Учитывая, что и , найдем Здесь – поверхностная плотность заряда. Таким образом, при прохождении границы раздела двух сред вектор электрической индукции испытывает скачек, равный поверхностной плотности заряда. В случае отсутствия заряда на поверхности, вектор электрической индукции является непрерывным. Аналогично, магнитная индукция является непрерывной на границе раздела сред, поскольку магнитные заряды в природе не существуют: Тангенциальные составляющие. Рассмотрим поведение составляющих электрического поля. Геометрия задачи изображена на Рис … Пусть граница раздела S рассекается плоскостью P, причем плоскость P перпендикулярна S в рассматриваемой области пространства. Выберем прямоугольный контур ABCD в плоскости P таким образом, чтобы этот контур пересекал границу раздела. Здесь , . Применим к данному контуру второе уравнение Максвелла В левой части выражения записана циркуляция. Первые два слагаемых соответствуют циркуляции по участкам контура AB и CD, соответственно, третье – по участкам AD и BC. В правой части дана скорость изменения потока магнитного поля. Уменьшая высоту контура , стягивая его к границе, запишем или поскольку уменьшается до нуля Рассмотрим аналогичную задачу для магнитного поля. Запишем первое уравнение Максвелла Откуда Стягивая данный контур к границе раздела найдем: или Если поверхностные токи на границе отсутствуют, то правая часть равенства (…) равна нулю. Электромагнитная волна в изотропной среде. Волновые уравнения Вывод волновых уравнений и их решения приведем для комплексных амплитуд. Рассмотрим первое уравнение Максвелла (…) в дифференциальной форме. Возьмем ротор от обеих частей данного уравнения Используя соотношение (…) векторного анализа, получим Используя материальные уравнения , и второе уравнение Максвелла (…), получим Аналогично, применяя операцию ротора ко второму уравнению Максвелла, можно получить Если сторонние токи, возбуждающие электромагнитное поле, находятся за пределами исследуемой области и сторонние заряды отсутствуют, то волновые уравнения (…) и (…) принимают вид или Решение данных уравнений для гармонической волны ищется в виде где , – постоянные интегрирования, определяемые мощностью источника возбуждения волны. Тогда или Откуда . Здесь – так называемое волновое число, где – скорость распространения фронта электромагнитной волны (фазовая скорость). Окончательное решение волновых уравнений зависит от граничных условий и типа волны. Плоские гармонические волны Плоская гармоническая волна – это волна, фронт которой является плоским. В этом случае изменения поля вдоль координат x и y не происходит. Т.е. . Тогда уравнения (…) принимают вид Решение волновых уравнений будем искать в виде , . Тогда Откуда найдем . Следовательно общее решение (…) имеет вид Частные решения волновых уравнений определяются мощностью источника и граничными условиями. Основные параметры электромагнитных волн В теории колебаний различают продольные и поперечные волны. В продольной волне колебания происходят в направлении распространения волны. Такие волны встречаются в механике и гидродинамике. В поперечной волне колебания происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Такие волны встречаются как в механике и гидродинамике, так и в электродинамике и оптике. Отметим, что в природе существуют только поперечные электромагнитные волны, продольных электромагнитных волн не существует. Рассмотрим основные параметры электромагнитной волны. Отметим, что колебательный процесс в такой волне происходит как в пространстве, так и во времени. Для определенности будем считать, что волна распространяется вдоль оси z декартовой системы координат (Рис …). В этом случае уравнение, описывающее поведение волны, имеет вид Здесь – амплитуда волны. Наибольшее значение параметра, описывающего волну, например, напряженность электрического или магнитного поля. – угловая (циклическая) частота, f – линейная частота. – волновое число, определяющее скорость распространения волны в пространстве. – период волны. Это промежуток времени между двумя максимами в одной точке пространства. – начальная фаза волны. Это величина, определяющая фазу волны в начальный момент (момент начала наблюдения). – длина волны. Это расстояние между двумя ближайшими максимумами в пространстве в один и тот же момент времени. Рис … К основным параметрам электромагнитной волны Поляризация волны. ТЕ- и ТМ-волны. Круговая и эллиптическая поляризации. В свободном пространстве различают волны: 1. Линейной поляризации. Если колебания электрического (магнитного) поля волны происходят в плоскости вдоль одной линии, то такая волна называется линейнополяризованной или волной линейной поляризации. • ТЕ-волны. Волны, в которых колебания вектора напряженности электрического поля происходят в вертикальной плоскости. • ТМ-волны. Волны, в которых колебания вектора напряженности магнитного поля происходят в вертикальной плоскости. 2. Эллиптической поляризации • Круговой поляризации. Волны, в которых вектор напряженности электрического (магнитного) поля в каждой точке пространства с течением времени описывают окружность. • Собственно эллиптической поляризации. Волны, в которых вектор напряженности электрического (магнитного) поля в каждой точке пространства с течением времени описывают окружность. Прохождение электромагнитной волны через границу раздела изотропных сред. При прохождении электромагнитной волны через границу раздела двух изотропных сред необходимо учитывать два основных условия: Условие непрерывности тангенциальных компонент электромагнитного поля, рассмотренное выше. Условие непрерывности тангенциальных компонент волнового вектора. ТМ-волна Рассмотрим границу раздела двух анизотропных сред (Рис…) с параметрами , для первой и , для второй сред, соответственно. Пусть падающая плоская линейно поляризованная волна содержит тангенциальную к поверхности раздела электрическую компоненту и нормальную (вертикальную) магнитную компоненту . Тогда отраженная и прошедшая волны содержат такие компоненты. Допустим, что волна падает на границу раздела сред под произвольным углом . Тогда в силу условия непрерывности тангенциальных компонент волнового вектора имеем , . Запишем условие непрерывности для тангенциальных компонент электромагнитного поля Учитывая, что , получим Введем коэффициент отражения и коэффициент прохождения , как отношение отраженной волны к падающей и отношение прошедшей волны к падающей, соответственно. Тогда (…) принимает вид Из первых двух уравнений (…) находим коэффициенты отражения и прохождения где может быть найден из условия непрерывности тангенциальных компонент волнового вектора используя хорошо известное тригонометрическое соотношение : ТЕ-волна Рассмотрим границу раздела двух анизотропных сред (Рис…) с параметрами , для первой и , для второй сред, соответственно. Пусть падающая плоская линейно поляризованная волна содержит нормальную к поверхности раздела электрическую компоненту и тангенциальную магнитную компоненту . Тогда отраженная и прошедшая волны содержат такие компоненты. Допустим, что волна падает на границу раздела сред под произвольным углом . Тогда в силу условия непрерывности тангенциальных компонент волнового вектора имеем , . Запишем условие непрерывности для тангенциальных компонент электромагнитного поля Учитывая, что , , получим Введем коэффициент отражения и коэффициент прохождения , как отношение отраженной волны к падающей и отношение прошедшей волны к падающей, соответственно. Тогда (…) принимает вид Из первых двух уравнений найдем Явление полного внутреннего преломления. Угол Брюстера. Явление полного внутреннего отражения. Критический угол. Поверхностная волна. Граничные условия Леонтовича. Скин-слой. Векторные и скалярные потенциалы Введем векторный потенциал Из первого уравнения Максвелла Учитывая, что ротор постоянной величины равен нулю, получим откуда Подставим (…) во второе уравнение Максвелла Учитывая выражение из векторного анализа получим Для устранения неоднозначности используем условие калибровки или и получим уравнение для векторного потенциала Для гармонического закона изменения поля, когда решение ищется в виде , выражение (…) принимает вид Из условия калибровки (…) имеем Подставляя (…) в (…) получаем Для гармонического закона изменения поля, когда решение уравнений Максвелла ищется в виде , выражение (…) принимает вид Таким образом и компонента магнитного поля (…) и компонента электрического поля (…) выражаются через векторный потенциал поля. Аналогично (…) дифференциальное уравнение для скалярного потенциала имеет вид Круглый волновод Длина волны в круглом волноводе, заполненном диэлектриком должна удовлетворять условию Критическая длина волны для волны -типа Критическая длина волны для волны -типа Продольное волновое число Поперечное волновое число Фазовая скорость Длина волны в волноводе Групповая скорость Потери в металле для волны -типа Потери в металле для волны -типа Формулы векторного анализа Основные величины в прямоугольных координатах Некоторые тождества