Экспериментальное определение функции распределения и плотности вероятности.

Лекция 10 1.3.2. Экспериментальное определение функции распределения и плотности вероятности. Рассмотрим стационарные эргодические процессы, для которых статистические характеристики могут измеряться по одной реализации случайного процесса. Одномерную функцию распределения случайного про­цесса x(t) определяют по вероятности нахождения исследуемой реализации случайного процесса x(t) ниже уровня х, который может изменяться от —  до + : F (х) = Р [х (t) х] (рис. 1.9). Рассмотрим Рис. 1.9. Одномерная функция распределения вероятности: а — определение функции распределения вероятности; 6 — вид функции распределения вероятности некоторую реализацию как функцию времени, представленную на рис. 1.9. По определению, F(- ) = 0 , F( + ) = 1 и Плотность распределения случайного процесса определяет вероятность того, что значения процесса в произвольный момент времени будут заключены в определенном интервале. Определение вероятности Р [-   х (t)  х] можно производить суммированием отрез­ков времени , в течение которых выполняются указанные неравенства, и отнесения полученной суммы к времени наблюдения Тx. Вероятность Р [х x(t)  х + dx] того, что значений x(t) попадают в ин­тервал от х до (х + х), можно найти, вычисляя также отношение , где — суммарная продолжительность нахождения про­цесса в интервале (х, х + х) за время наблюдения Тx. При стрем­лении Тx к бесконечности это отношение все точнее описывает вероятность такого события. Это утверждение можно записать следующим образом: Как следует из (1.20), одномер­ную плотность вероятности случайного процесса X(t) (рис. 1.10) находят из следующего выражения: обычно принимают гипотезу нормального закона распре­деления ошибки А, являющейся, как правило, результатом воздействия множества независимых случайных факторов. Последнее, как указывалось ранее, служит достаточным основанием для принятия данной гипотезы. Определение вероятности] Р [х x(t)  х + dx] можно производить суммированием отрез­ков времени , в течение которых выполняются указанные неравенства, и отнесения полученной суммы к времени наблюдения Т: для плотности вероятности (рис. 1.10, а) для функции распределения (рис. 1.9, а) Как отмечалось ранее, при экспериментальном опреде­лении статистических характеристик (в данном случае за- При малых х одномерная плотность распределения р(х) опреде­ляется соотношением Более строго Плотность распределения р(х) есть всегда действительная неот­рицательная функция. Вероятность того, что мгновенное значение x(t) не превышает некоторой величины х, характеризуется функцией F(х), которая равна интегралу от плотности распределения в пределах от минус бесконечности до х. Функция F(х) называется функцией распре­деления. Ее не сле­дует путать с плотностью распределения. По определению1) Функция распределения ограничена значениями нуль и единица, так как вероятность того, что x(t) меньше -, очевидно, равна нулю, а вероятность того, что x(t) меньше +, равна единице (достоверное событие). Вероятность попадания x(t) в некоторый интервал составляет Плотности вероятности некоторых функций. Рис. 1.12. Четыре примера функций времени. а — гармонический процесс; б — сумма гармонического процесса и случайного шума; в — узкополосный случайный шум; г — широкополосный случайный шум. Примеры. Для того чтобы пояснить, какое практическое значение имеет плотность распределения, рассмотрим четыре при­мера реализации, которые могут встретиться на практике: а) гармоническое колебание; б) гармоническое колебание плюс случайный шум; в) узкополосный случайный шум; г) широкопо­лосный случайный шум. Типичные примеры перечисленных реали­зации приведены на рис. 1.12. Во всех случаях для удобства принято, что средние значения равны нулю (). Отметим, что гармоническое колебание обычно считается де­терминированной функцией, так как соотношение определяет точный ее вид. Однако гармониче­ское колебание можно рассматривать также как выборочную функ­цию случайного процесса , где на­чальная фаза 0 каждой выборочной функции x(t) есть случай­ная величина. Такая интерпретация гармонического колебания принята и в настоящей работе для того, чтобы оправдать примене­ние понятий теории вероятностей. (Рис. 1.13. Графики плотности распределения. • — гармонический процесс; б — сумма гармонического процесса и случайного шума; — узкополосный случайный шум; г — широкополосный случайный шум. Типичные графики плотности распределения как функции непрерывного аргумента (зависимость р от х) для всех четырех примеров представлены на рис. 1.13. Кривая чашеобразной фор­мы, характеризующая плотность распределения гармонического колебания (рис. 1.13, а), определяется формулой Кривые колоколообразной формы (рис. 1.13, в и г) характери­зуют узкополосный и широкополосный случайные процессы. В идеальном случае эти кривые плотности распределения опи­сываются классической формулой Гаусса Плотность распределения суммы гармонического колебания и случайного шума обладает характерными чертами плотностей распределения обоих этих процессов, как это видно из рис. 1.13, б. Приведенные на рис. 1.13 примеры показывают, как меняется вид кривой плотности распределения при переходе от гармонического процесса к широкополосному случайному процессу. Применение. Основная цель получения плотности распределения физического процесса состоит в установлении вероят­ностных законов для его мгновенных значений. Однако из рис. ,1.13 видно, что эту функцию можно использовать также и для того, чтобы отличить гармонический процесс от случайного. Кроме того, плотность распределения позволяет опытному специалисту выявить нелинейные физические эффекты.