Экономико - математические модели управления запасами

МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МВД РОССИИ им. В.Я. КИКОТЯ РЯЗАНСКИЙ ФИЛИАЛ Кафедра экономической безопасности КОРОЛЕВ Г. И. МАТЕМАТИКА ЭКОНОМИКО – МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Тема 31. Экономико - математические модели управления запасами Лекция по курсу « МАТЕМАТИКА» Для специальности 38.05.01 – Экономическая безопасность Рязань - 2017 СОДЕРЖАНИЕ Введение……………………………………………………………. 1. Постановка задачи управления запасами 2. Математическая модель оптимальной партии поставки……….. 2 2 3 Введение Для обеспечения производства материальными ресурсами, топливом, комплектующими изделиями предприятия заключают соответствующие договора на их поставку со снабженческими организациями. В договоре должны быть четко определены все основные параметры, в частности, объем поставок и их график. Разумеется, предприятие заинтересовано в том, чтобы издержки, связанные с заказом, доставкой и хранением (содержанием) материалов были бы минимальными. В связи с этим решается оптимизационная задача управления запасами на минимум суммарных издержек. В настоящей лекции мы рассматриваем математическую модель экономически выгодных объемов заказываемых партий. В целях лучшего понимания составления и решения модели в постановке задачи управления запасами нами делается ряд упрощающих допущений. 1. Постановка задачи управления запасами Задачу управления необходимыми производственными запасами сформулируем при следующих допущениях. 1. Интенсивность потребления ресурсов предприятием является постоянной, т. е. график потребления представляет собой отрезок прямой линии. 2. Объем партии поставки является постоянным. 3. Время разгрузки партии поставки и время ее перемещения внутри предприятия принимается равной нулю. 4. Отсутствие запасов на складе предприятия не допускается. 5. Очередная поставка осуществляется точно в момент времени, когда полностью расходуется предыдущая партия. Задача управления запасами: Обеспечить предприятие такими объемами поставок и в такие сроки, чтобы производство снабжалось бесперебойно при минимальных издержках на заказывание, доставку и содержание ресурсов. Математически задача может быть сформулирована следующим образом. 2 Зная: - интенсивность потребления ресурсов - p ; - издержки по заказу и доставке одной партии - k; - удельные издержки хранения - s, определить: - оптимальный (квазиоптимальный) объем партии поставки - V; - количество поставок в течение года - N; - интервал времени между поставками - t, обеспечив минимальные суммарные издержки I по управлению запасами. 2. Математическая модель оптимальной партии поставки С учетом принятых допущений процесс поставки, хранения и расходования ресурсов при постоянной интенсивности потребления можно графически представить в виде прямоугольного треугольника (рис. 1). Катет треугольника по оси ординат соответствует объему поставки V, катет по оси абсцисс - времени t расходования одной партии поставки, а угол α (наклон гипотенузы) характеризует интенсивность p потребления ресурса: p  tg  V t (1) V α t Рис.1. Графическая интерпретация процесса поставки. Площадь треугольника пропорциональна издержкам хранения ресурсов. Как правило, поставки осуществляются несколько раз в год, поскольку однократная поставка на всю годовую программу сопряжена как с трудностями доставки больших объемов ресурсов (ограниченность текущих запасов на оптовых базах или складах поставщиков, сложности с большегрузным транспортом и пр.), так и с проблемами хранения из-за ограниченности складских площадей потребителя. Таким образом, предприятие стоит перед выбором размера партии поставки или количества поставок в течение планового периода. Критерием выбора и является минимум суммарных затрат на заказывание, доставку и хранение ресурсов. Для упрощения расчетов издержки, связанные с заказыванием и доставкой ресурсов по выбранному маршруту выбранным видом транспорта будем считать не зависящими от размера партии поставки: k = Const. Тогда издержки на N заказов и доставок будут равны K = kN. 3 Издержки хранения S пропорциональны площади треугольника (рис.1), то есть средней величине запаса и времени хранения: Ss V t, 2 (2) где s – удельные издержки хранения. Таким образом, суммарные издержки на N поставок равны: I N  K  S  kN  s V tN 2 (3) Разделим выражение (3) на величину tN, чтобы получить общие издержки в единицу времени, т. к величина tN есть общее время N поставок. Учитывая, что V t , (4) p получим kp sV (5) I  V 2 Если формулу (5) представить графически (рис.2), то относительно объема поставки V первое слагаемое соответствует гиперболе, а второе – прямой линии. Сумма гиперболы и прямой дает кривую с ярко выраженным минимумом. Таким образом, исследовав функцию (5) на экстремум, можно получить оптимальную величину объема поставки. Суммарные издержки Издержки хранения Издержки заказывания t Рис.2. Графическая интерпретация издержек. Для нахождения минимума издержек приравняем нулю первую производную от функции суммарных издержек (5):  s 0, 2 Vopt  2kp s откуда kp V2 4 (6) Подставляя формулу оптимального объема поставки (6) в формулу (4), получим оптимальный интервал времени между поставками: topt  2k sp (7) Если плановый период обозначить через Т, то оптимальное количество поставок будет равно: N opt  T topt T sp 2k (8) Подставляя выражение (6) в формулу удельных затрат (5), получим величину минимальных суммарных затрат в единицу времени: I min  2kps (9) При проведении практических расчетов величину Vopt, вычисленную по формуле (6), приходится корректировать, исходя из условий отгрузки. Например, если по расчету объем оптимальной партии поставки равен 2,25 тонн, а материалы отгружаются упаковками по 100, 300, 500 и 1000 кг, то расчетное число необходимо округлить либо до 2,2 тонн (две упаковки по 1000 кг и две по 200 кг), либо до 2,3 тонн(две упаковки по 1000 кг и одна по 300 кг). В этом случае изменяться и величины t, N и I, в частности, N должно быть целым числом. Измененные данные назовем квазиоптимальными. Оценим влияние отклонения объема партии поставки от оптимального на увеличение суммарных издержек. Если отношение скорректированного объема поставки к оптимальному обозначить через υ = V/Vopt, то отклонение фактических издержек от минимальных составит величину:  2  1   I    100%   i  1  100%    I opt   2      (10) Отклонение i в пределах одного-двух процентов считается вполне удовлетворительным. Необходимо также проверить, обеспечивают ли скорректированные данные годовую потребность предприятия в материалах. Чтобы расчеты носили завершенный характер, определяются: а) стоимость материалов на производственную программу; б) общая сумма расходов (стоимость материалов плюс издержки); в) доля издержек в общей сумме расходов (отношение издержек к сумме всех расходов). 5 Расчетными и скорректированными данными заполняется соответствующая таблица (табл. 1) и вычерчивается календарный график поставок с учетом или без учета праздничных и выходных дней (рис.3). Для решения практической задачи управления ресурсами задаются примерно следующие исходные данные: 1. Интенсивность потребления ресурсов р, (тонн/месяц). 2. Стоимость ресурсов с, (руб/тонна). 3. Накладные расходы на доставку одной партии ресурсов k, (% от стоимости тонны ресурсов). 4. Удельные издержки хранения s, (% от стоимости тонны ресурсов). 5. Весовая дискретность отгрузки d, (вес упаковки к отгрузке). Таблица 1 Сводная таблица результатов Расчетное Скорректированзначение ное значение № Наименование показателя 1 2 3 4 5 6 7 Годовая потребность Стоимость ресурсов Объем одной поставки Количество поставок Интервал между поставками Суммарные издержки Общая сумма расходов Доля издержек в общей сумме расходов 8 Динамика потребления 1 52 104 156 208 260 Дни поставок (интервал между поставками) Рис.3. График оптимальной (квазиоптимальной) поставки ресурсов. 6