Экономико-математические методы и модели в логистике

Лекции по дисциплине «Экономико-математические методы и модели в логистике» Курицын С.). 2 и*н+ 2021 г. 1 Содер&ание Глава §1 §2 §3 §4 1 Модели и моделирование в управлении и логистике Пон$тие модели. Классификаци$ моделей. . . . . . . . . . . . . Рол3 и место математического моделировани$ в экономике . . Основные этапы экономико-математического моделировани$ . Классификации экономико-математических моделей . . . . . . Глава 2 . . . . . . . . . . . . . . . . Функционал5ные модели. Моделирование социал5но-экономических процессов § 1 Балансовые модели в экономике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2 Линейные модели многоотраслевой экономики . . . . . . . . . . . . . § 3 Ме@отраслевые балансовые модели в аналиBе экономических покаBателей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I Ме@отраслевой баланс труда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Модел3 равновесных цен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4 Модел3 ме@дународной торговли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 5 Функции одной переменной в моделировании экономических процессов I ПроиBводственна$ функци$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Функции спроса и предло@ени$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Функци$ распределени$ дохода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Функции дохода, иBдер@ек и прибыли . . . . . . . . . . . . . . . . V Eависимост3 величины спроса от дохода . . . . . . . . . . . . . . . § 6 Пон$тие эластичности функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 7 Соотношение ме@ду средними и предел3ными величинами в экономике § 8 Применение дифференциал3ного исчислени$ в экономике . . . . . . . § 9 Применение интеграл3ного исчислени$ функций одной переменной в экономическом моделировании . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I Определение суммарной величины по иBвестной предел3ной величине II Вычисление обIема выпущенной продукции . . . . . . . . . . . . . III Неравенство в распределении доходов . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Eадача дисконтировани$ дене@ного потока . . . . . . . . . . . . . § 10 Функции нескол3ких переменных в экономике . . . . . . . . . . . . . . I ПроиBводственна$ функци$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Функци$ полеBности и отношени$ предпочтени$ . . . . . . . . . . § 11 Некоторые прило@ени$ дифференциал3ных уравнений в социал3ноэкономической сфере . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I Модел3 естественного роста выпуска . . . . . . . . . . . . . . . . . II Модел3 естественного роста в услови$х насыщаемости рынка (в услови$х конкуренции) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Модел3 естественного роста в услови$х конкуренции с учётом иBдер@ек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Модел3 выбыти$ фондов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Модел3 Со́лоу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI Модел3 Эванса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 5 5 6 6 8 8 9 14 14 15 16 18 19 20 20 21 22 23 28 28 30 30 30 31 32 33 33 42 49 49 50 52 52 53 54 § 12 Некоторые прило@ени$ раBностных уравнений в моделировании динамических процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I ПаутинообраBна$ модел3 рынка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Модел3 экономического цикла Самуэл3сона-Хикса . . . . . . . . . 56 56 57 Глава 3 Модели управлени: ;апасами § 1 Основные пон$ти$ теории управлени$ Bапасами . . . . . . . . . . . . . § 2 Статическа$ детерминированна$ модел3 управлени$ Bапасами беB дефицита . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3 Модел3 с проиBводством . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4 Статическа$ детерминированна$ модел3 управлени$ Bапасами с количественными скидками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 5 Статическа$ детерминированна$ модел3 с дефицитом . . . . . . . . . § 6 Стохастические модели управлени$ Bапасами . . . . . . . . . . . . . . 58 58 Глава §1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8 72 72 74 75 76 78 79 81 82 4 Модели маршрути;ации перево;ки гру;ов Основные пон$ти$ теории графов . . . . . . . . . . . . . . Eадача о кратчайшем пути . . . . . . . . . . . . . . . . . . Построение графа наимен3шей длины . . . . . . . . . . . Eадача китайского почтал3она . . . . . . . . . . . . . . . . Eадача коммиво$@ёра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eадача о раBмещении регул$рных пунктов обслу@ивани$ Eадача о раBмещении экстренных пунктов обслу@ивани$ Определение координат склада в регионе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 63 65 66 69 Глава 5 Линейные оптими;ационные модели 84 § 1 Математическое программирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 § 2 Постановка некоторых Bадач линейного программировани$ . . . . . . 85 § 3 Основные формы Bадач линейного программировани$ . . . . . . . . . 87 § 4 Графический метод решени$ Bадач линейного программировани$ . . 88 § 5 АналиB модели на чувствител3ност3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 § 6 Двойственные Bадачи линейного программировани$ . . . . . . . . . . 96 § 7 Симплекс-метод решени$ основной Bадачи линейного программировани$ 99 § 8 Целочисленное программирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 § 9 Дробно-линейное программирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 § 10 Транспортна$ Bадача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 § 11 Модификации транспортной Bадачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 § 12 Многокритериал3ные модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 § 13 Прило@ени$ методов линейного программировани$ к решениT Bадач на графах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Глава §1 §2 §3 §4 6 Нелинейное программирование Постановка Bадачи нелинейного программировани$ Метод мно@ителей Лагран@а . . . . . . . . . . . . Eадачи выпуклого программировани$ . . . . . . . . Eадача об инвестиционном портфеле . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 126 128 130 136 Глава §1 §2 §3 §4 §5 7 Динамическое программирование Постановка Bадачи динамического программировани$ . . . . . . . . Принцип оптимал3ности и уравнени$ Беллмана . . . . . . . . . . . . Eадача о распределении ресурсов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Обща$ схема применени$ метода динамического программировани$ Алгоритм Беллмана—Форда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 8 § § § § § 1 2 3 4 5 Модели и методы прин:ти: решений в услови:х ленности и риска Основные пон$ти$ теории игр . . . . . . . . . . . . . . . . Антагонистические игры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Решение игр методами линейного программировани$ . . . Биматричные игры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Коалиционные игры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . . . . . неопреде. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 140 141 143 147 148 149 149 150 155 158 162 Глава 1 §1 Модели и моделирование в управлении и логистике Пон6тие модели. Классификаци6 моделей. Модел&' обIекта будем наBыват3 идеалиBированный обраB реал3ного обIекта исследовани$ и окру@аTщих его условий, который с той или иной степен3T адекватности отра@ает наиболее существенные свойства этого обIекта. Вс$ка$ модел3 дол@на отра@ат3 цел3 исследовани$. Процесс исследовани$ реал3ного обIекта посредством BамещаTщей его адекватной модели наBываетс$ моделированием. Адекватност3 модели — степен3 соответстви$ реал3ному обIекту или процессу. Адекватност3 покаBывает, наскол3ко качественно и количественно блиBко поведение обIекта, полученного в модели, в сравнении с реал3ным обIектом. Выдел$Tт 3 принципиал3ных вида моделей. 1. Аналоговые 2. ФиBические 3. Математические Аналогова0 модел& — модел3, основанна$ на аналогии или подобии ме@ду обIектами, операци$ми или процессами, имеTщими раBличнуT фиBическуT природу (графики, диаграммы, графы). Примером аналоговой модели мо@ет $вл$т3с$ органиBационна$ схема сотрудников предпри$ти$. Фи2ическа0 модел& — умен3шенна$ или увеличенна$ копи$ реал3ного обIекта, в основных наиболее существенных чертах воспроиBвод$ща$ реал3ный обIект, исследуема$ в искусственно соBданных услови$х. Математическа0 модел& — идеалиBированный обраB реал3ного обIекта, выра@енный в математических пон$ти$х и символах, отра@аTщий существенные характеристики обIекта (уравнени$, неравенства, функции и др.). СчитаTтс$ наиболее информативными. §2 Рол< и место математического моделировани6 в экономике Под экономико-математическим моделированием будем понимат3 процесс построени$, верификации, интерпретации и испол3Bовани$ математических моделей 5 дл$ решени$ исследовател3ских или прикладных Bадач в области экономики. Под экономико-математической модел&' будем понимат3 математическуT конструкциT , обладаTщуT определенным сходством с обIектом моделировани$ в области экономики и преднаBначеннуT дл$ получени$ новой информации о нем. ОбIектом экономико-математического моделировани$ $вл$етс$ экономика, понимаема$ в двух смыслах: как народное хоB$йство или его част3, а так@е как экономическа$ наука или тот или иной её обIект. Экономика представл$ет собой единство трёх составл$Tщих: экономическа$ теори$, экономическа$ политика и хоB$йственна$ практика. Практическими Bадачами экономико-математического моделировани$ $вл$етс$ аналиB экономических обIектов или процессов, экономическое прогноBирование, прин$тие управленческих решений. §3 Основные этапы экономико-математического моделировани6 1. Постановка экономической проблемы и её качественный аналиB. Требуетс$ сформулироват3 сущност3 проблемы, выделит3 предпосылки и допущени$. 2. Построение математической модели. 3. Математический аналиB модели. Выдел$Tтс$ общие свойства модели и докаBываетс$ существование решени$ этой Bадачи. 4. Подготовка исходной информации. 5. Численное решение. 6. АналиB численных реBул3татов и их применение. §4 Классификации экономико-математических моделей 1. По общему целевому наBначениT экономико-математические модели дел$тс$ на теоретико-аналитические (испол3BуTтс$ дл$ иBучени$ общих свойств) и прикладные (дл$ решени$ конкретных экономических Bадач). 2. По степени агрегировани$ обIектов дел$тс$ на макро- и микроэкономические. 3. По конкретному преднаBначениT выдел$Tт балансовые, оптимиBационные, имитационные, трендовые и другие модели. 4. По учёту факторов времени дел$тс$ статические и динамические модели. 5. По учёту фактора неопределённости дел$тс$ на детерминированные и стохастические (случайные). 6. По типу информации, испол3Bуемой в модели, выдел$Tт аналитические и идентифицируемые модели. 6 7. По типу математического аппарата, испол3Bуемого в модел$х, выдел$Tт матричные модели, модели линейного и нелинейного программировани$, модели сетевого планировани$ и управлени$, коррел$ционно-регрессионные модели, модели теории массового обслу@ивани$. 7 Глава 2 §1 Функционал<ные модели. Моделирование социал<но-экономических процессов Балансовые модели в экономике Макроэкономика функционировани$ внутриотраслевого хоB$йства требует баланса ме@ду отдел3ными отрасл$ми. Ка@да$ отрасл3 с одной стороны $вл$етс$ проиBводителем, а с другой — потребителем другой отрасли. При этом воBникает сло@на$ Bадача расчета св$Bи ме@ду отрасл$ми череB выпуск и потребление продукции раBного вида. Проблема впервые была иBучена американским экономистом Василием Васил3евичем Леонт3евым [«Количественный аналиB соотношений „Bатраты - выпуск“ в экономической системе США», 1936]. Леонт3ев родилс$ в МTнхене, рос в Петрограде, в 1920 году в воBрасте 15 лет поступил в Ленинградский университет. Имел проблемы с советским руководством, выступа$ в Bащиту Питирима Сорокина, поддер@ива$ академические свободы, нескол3ко раB Bадер@ивалс$ чекистами. В 1925 году ему был раBрешён выеBд иB страны. В 1925-1931 годах работал в Германии, после чего эмигрировал в США, основнуT научнуT де$тел3ност3 вёл там (в 1933 году получил гра@данство). В 1973 году Bа раBработку балансовой модели (Input-Output Model) был удостоен Нобелевской премии по экономике. В начале 90-х годов приеB@ал в РоссиT с предло@ением помощи с реформированием экономики. Вернувшис3 в США, он скаBал: «[ туда бол3ше не поеду. Они ничего не слушаTт». Балансовые модели стро$тс$ исход$ иB следуTщих основных предполо@ений. 1. Ка@дый вид продукции выпускаетс$ тол3ко одной отрасл3T. 2. Существует единственный проиBводственный процесс дл$ иBготовлени$ ка@дого вида продукции. 3. Eатраты ресурсов на единицу проиBводства продукции лTбой отрасли неиBменны. 4. Не существует внешних источников материал3ных ресурсов (потребление природного сыр3$ не учитываетс$). Ка@да$ отрасл3 получает материал3ные ресурсы в виде проме@уточной продукции тол3ко от сме@ных отраслей. Если отрасл3 удовлетвор$ет этим требовани$м, она наBываетс$ чистой отрасл3T. Пуст3 имеетс$ n отраслей, ка@да$ иB которых выпускает своT продукциT, xi (i = 1, . . . ,n) — валовой выпуск i-й отрасли. ОбоBначим череB yi (i = 1, . . . ,n) обIем конечной продукции i-й отрасли дл$ непроиBводственного потреблени$ (дл$ конечного потребител$), а череB xij (i = 1, . . . ,n, j = 1, . . . ,n) — обIем продукции i-й отрасли, потребл$емый j-й отрасл3T. Например, если ест3 три отрасли: электроэнергетика, легка$ промышленност3 и машиностроение, то x11 — это так наBываемые собственные ну@ды электростанций, x12 — это Bатраты на электроэнергиT на проиB8 водство продукции легкой промышленности: оде@ды, обуви, x31 — это проиBводство генераторов дл$ энергетики. и т. д. Балансовые модели мо@но рассматриват3 в натурал3ном и в стоимостном выра@ении. Математическа$ модел3 ме@отраслевого баланса обычно представл$етс$ в виде таблицы (см. таблицу 1). Таблица 1: Модел3 Леонт3ева Потребление yi ПроиBвод$щие отрасли Конечный 1 2 ... n продукт 1 x11 x12 . . . x1n y1 2 x21 x22 . . . x2n y2 ... ... ... ... ... ... n xn1 xn2 . . . xnn yn Условно чиста$ продукци$ Z1 Z2 . . . Zn Валовой продукт x1 x2 . . . xn xi Валовой продукт x1 x2 ... xn Балансовый принцип св$Bи раBличных отраслей состоит в том, что валовой впуск ка@дой отрасли дол@ен быт3 равен сумме обIемов проиBводственной и непроиBводственной сфер. В краткой форме: ! x1 = x11 + x12 + · · · + x1n + y1 , " " " #x = x + x + · · · + x + y , 2 21 22 2n 2 " ... " " $ xn = xn1 + xn2 + · · · + xnn + yn . xi = n % xij + yi (i = 1, . . . ,n) . (1.1) j=1 Формулу (1.1) наBываTт соотношением баланса. §2 Линейные модели многоотраслевой экономики На основании аналиBа экономики США перед II Мировой войной Леонт3ев устаx новил, что соотношени$ aij = xijj мен$етс$ слабо и могут рассматриват3с$ как константы. Это обI$сн$етс$ тем, что технологии проиBводства остаTтс$ на одном и том @е уровне длител3ное врем$. 9 Определение 2.1. Коэффициентами пр$мых материал3ных Bатрат aij (i = 1, . . . ,n; j = 1, . . . ,n) наBываTтс$ отношени$ обIема продукции i-й отрасли, испол3Bованной в j-й отрасли, к общей продукции, потребл$емой в j-й отрасли, т.е. aij = xij . xj (2.1) 9амечание 2.1. Коэффициенты пр$мых материал3ных Bатрат покаBываTт количество продукции проиBвод$щей отрасли, потребл$емой при проиBводстве единицы продукции потребл$Tщей отрасли. ИB формулы (2.1) следует, что xij = aij xj . Подставл$$ это выра@ение в (1.1), получим n % xi = aij xj + yi (i = 1, . . . ,n) . (2.2) j=1 Определение 2.2. Система равенств (2.2) наBываетс$ экономико-математической модел3T линейного ме@отраслевого баланса или, кратко, модел3T Леонт3ева или модел3T «Bатраты-выпуск» (Input-Output Model). Введём следуTщие обоBначени$. & где ) x1 ' x2 * * X=' (. . . + , xn & a11 ' a21 A=' (. . . an1 a12 a22 ... an2 ... ... ... ... ) a1n a2n * *, ...+ ann & ) y1 ' y2 * * Y =' (. . . + , yn X — матрица валовых выпусков всех отраслей, A — матрица коэффициентов пр$мых Bатрат, Y — матрица конечного продукта всех отраслей. Тогда модел3 вида (2.2) мо@ет быт3 представлена в матричной форме: X = A · X + Y. (2.3) Рассмотрим две основные Bадачи, св$Bанные с модел3T вида (2.3). Bадача 2.1. При Bаданных обIемах валового выпуска всех отраслей и иBвестных коэффициентах пр$мых материал3ных Bатрат найти обIем конечной продукции по отрасл$м. Решение. ИB равенства (2.3) выраBим Y : Y = X − A · X, Y = E · X − A · X, Y = (E − A) · X. 10 Bадача 2.2. ИBвестны коэффициенты ПМE и обIемы конечного продукта всех отраслей. Требуетс$ найти обIемы валового выпуска всех отраслей. Решение. ИB равенства (2.3) выраBим Y : Y = (E − A) · X. Пуст3 матрица (E −A) невыро@денна$ (т. е. определител3 отличен от 0), тогда существует обратна$ к ней матрица (E − A)−1 . Домно@им слева на обе части равенства, получим решение Bадачи: X = (E − A)−1 · Y. Определение 2.3. Матрица B = (E − A)−1 наBываетс$ матрицей полных материал3ных Bатрат, а коэффициенты этой матрицы — коэффициентами полных материал3ных Bатрат. С учетом определени$ решение Bадачи 2.2 мо@но Bаписат3 в виде X = B · Y. (2.4) Вы$сним экономический смысл коэффициентов полных материал3ных Bатрат. Пуст3 & ) b11 b12 . . . b1n ' b21 b22 . . . b2n * * B=' (. . . . . . . . . . . . + . bn1 bn2 . . . bnn Рассмотрим частный случай, когда конечна$ продукци$ сводитс$ к одной единице чистой продукции первой отрасли, т. е. y1 = 1, y2 = 0, . . . , yn = 0. Найдем по формуле (2.4), скол3ко продукции дол@на выпустит3 ка@да$ отрасл3, чтобы получит3 тол3ко одну единицу продукции первой отрасли: & ) & ) & ) b11 b12 . . . b1n 1 b11 ' b21 b22 . . . b2n * ' 0 * ' b21 * * ' * ' * X=' ( . . . . . . . . . . . . + · (. . . + = ( . . . + . bn1 bn2 . . . bnn bn1 Таким обраBом, элементы j-го столбца матрицы B покаBываTт обIемы валового выпуска ка@дой отрасли дл$ проиBводства тол3ко одной единицы конечного продукта j-й отрасли. Пример 2.1. Данные модели Леонт3ева представлены в таблице. Требуетс$ найти: а) A; б) B; в) обIем валового выпуска ка@дой отрасли, если обIемы конечного продукта увеличатс$ до 60, 70, 30 соответственно при неиBменных технологических константах; г) составит3 схему ме@отраслевого баланса. Решение. а) aij = xij . xj 11 ПроиBвод$щие отрасли 1. Добыча и переработка углеводорода 2. Энергетика 3. Машиностроение a11 = a12 = a13 = a21 = a22 = Потребление yi Конечный продукт xi Валовой продукт 1 2 3 5 35 20 40 100 10 20 10 10 20 10 60 10 100 50 5 = 0,05; 100 35 = 0,35; 100 20 = 0,4; 50 10 = 0,1; 100 10 = 0,1; 100 a23 = 20 50 a31 = 20 100 = 0,2; a32 = 10 100 = 0,1; a33 = 10 50 = 0,4; = 0,2. & ) 0,05 0,35 0,4 A = ( 0,1 0,1 0,4+ . 0,2 0,1 0,2 б) & ) A11 A21 A31 1 B = (E − A)−1 = · (A12 A22 A32 + . det (E − A) A13 A23 A33 & ) 0,95 −0,35 0,4 (E − A) = (−0,1 0,9 −0,4+ . −0,2 −0,1 0,8 Найдём определител3 матрицы: , , , 0,95 −0,35 0,4 , , , ,−0,1 0,9 −0,4, = 0,514 ∕= 0 — невыро@денна$ матрица. , , ,−0,2 −0,1 0,8 , Найдём алгебраические дополнени$: A11 , , , −0,4,, 1+1 , 0,9 = (−1) ·, = 0,68; −0,1 0,8 , A12 = (−1) A13 = (−1) 1+2 1+3 , , ,−0,1 −0,4, , , = 0,16; ·, −0,2 0,8 , , , ,−0,1 0,9 , , , = 0,19; ·, −0,2 −0,1, 12 , , ,−0,35 −0,4, , = 0,32; A21 = (−1) · ,, −0,1 0,8 , , , , , 2+2 , 0,95 −0,4, A22 = (−1) ·, = 0,68; −0,2 0,8 , 2+1 A23 = (−1) 2+3 A31 = (−1) , , , 0,95 −0,35, , = 0,165; ·,, −0,2 0,1 , 3+1 , , ,−0,35 −0,4, , , = 0,5; ·, 0,9 −0,4, A32 = (−1) 3+2 , , , 0,95 −0,4, , , = 0,42; ·, −0,1 −0,4, (E − A)−1 в) X ′ = (E − A)−1 · Y ′ . г) xij = aij · xj . A33 = (−1) 3+3 & , , , 0,95 −0,35, , , = 0,82. ·, −0,1 0,9 , ) 1,32 0,62 0,97 = (0,31 1,32 0,82+ . 0,37 0,32 1,6 & ) & ) & ) 1,32 0,62 0,97 60 152 ′ ( + ( + ( X = 0,31 1,32 0,82 · 70 = 136+ . 0,37 0,32 1,6 30 93 & ) 7,6 47,6 37,2 X = (15,2 13,6 37,2+ . 30,4 13,6 18,6 Потребление ПроиBвод$щие отрасли 1. Добыча и переработка углеводорода 2. Энергетика 3. Машиностроение Условно чиста$ продукци$ Валовой продукт yi Конечный продукт xi Валовой продукт 1 2 3 7,6 47,6 37,2 60 152 16,2 30,4 97,8 152 13,6 13,6 61,2 136 37,2 18,6 93 70 30 136 93 Свойства элементов матриц пр:мых и полных материал5ных ;атрат 1. Элементы матрицы A удовлетвор$Tт соотношениT 0 ! aij ! 1, i = 1,n, j = 1,n. 2. Элементы матрицы B, сто$щие на главной диагонали, удовлетвор$Tт условиT bii " 1, i = 1,n. Пон:тие продуктивности матрицы A Определение 2.4. Матрица A " 0 (т. е. все элементы неотрицател3ны) наBываетс$ продуктивной, если дл$ лTбого вектора Y " 0 существует решение X " 0 уравнени$ (E − A) · X = Y . 13 9амечание 2.2. Продуктивност3 матрицы оBначает, что проиBводственна$ система способна обеспечит3 некоторый поло@ител3ный конечный выпуск по всем отрасл$м. Справедливы следуTщие две теоремы Теорема 2.1. Пуст& матрица A — неотрицател&на0 квадратна0 матрица, тогда следу'щие утверBдени0 эквиваленты: 1. матрица A продуктивна; 2. матрица (E − A)−1 существует и неотрицател&на; 3. р0д E + A + A2 + · · · + An + . . . сходитс0; 4. наибол&шее по модул' собственное 2начение матрицы A мен&ше единицы (т. е. решение уравнени0 |λE − A| = 0 строго мен&ше единицы). Теорема 2.2 (Критерий продуктивности матрицы). Дл0 того чтобы матрица A была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы максимум сумм элементов ее столбцов не превосходил единицы, причем хот0 бы дл0 одного и2 столбцов сумма элементов строго мен&ше единицы. §3 I Ме&отраслевые балансовые модели в аналиFе экономических покаFателей МеFотраслевой баланс труда Рассмотрим применение ме@отраслевого баланса дл$ определени$ пр$мых и полных Bатрат труда на единицу продукции. Пуст3 дана схема баланса в натурал3ном выра@ении Bа некоторый период и её математическа$ модел3 имеет вид X = A · X + Y. Будем полагат3, что дано распределение Bатрат труда в проиBводстве всех видов продукции, при этом трудовые Bатраты выра@ены в единицах труда одинаковой степени сло@ности. ОбоBначим Bатраты @ивого труда в проиBводстве j-го продукта череB Lj . Тогда пр$мые Bатраты труда на единицу j-го продукта (или коэффициенты пр$мой трудоёмкости) определ$Tтс$ по формуле tj = Lj , j = 1,n. xj Полными Bатратами труда будем наBыват3 сумму пр$мых Bатрат @ивого труда и Bатрат овеществлённого труда, перенесённых на продукт череB иBрасходованные средства проиBводства. 14 ОбоBначим полные Bатраты Tj . Тогда aij · Ti — Bатраты овеществлённого труда, перенесённого на единицу j-го продукта череB i-е средство проиBводства. ОтсTда полные трудовые Bатраты на единицу продукции Tj = n % i=1 aij · Ti + tj , j = 1,n, где t = (t1 ,t2 , . . . ,tn ) — вектор-строка коэффициентов пр$мой трудоёмкости, а T = (T1 ,T2 , . . . ,Tn ) — вектор-строка коэффициентов полной трудоёмкости. Тогда дл$ определени$ коэффициентов трудоёмкости получим следуTщуT математическуT модел3: T = T · A + t, T · (E − A) = t, (3.1) T = t · (E − A)−1 . Пуст3 L — величина совокупных Bатрат @ивого труда по всем отрасл$м. т. е. L= n % j=1 Тогда Lj = n % j=1 tj · xj = t · X. L = t · X = t · (E − A)−1 · Y = T · Y. Получившеес$ равенство представл$ет собой основное балансовое равенство в теории ме@отраслевого баланса труда. 9амечание 3.1. Дл$ того, чтобы получит3 схемы ме@отраслевого баланса труда, ну@но элементы ка@дой строки исходной схемы ме@отраслевого баланса домно@ит3 на свой коэффициент пр$мой трудоемкости tj . II Модел5 равновесных цен Пуст3 дана модел3 Леонт3ева в натурал3ном виде. ОбоBначим череB & ) p1 ' p2 * * p=' (. . . + pn вектор цен единицы продукции всех отраслей. Тогда доход i-й отрасли равен pi · xi . Част3 этого дохода отрасл3 тратит на приобретение продукции других отраслей. Дл$ выпуска единицы продукции i-й отрасл3T необходима продукци$ всех остал3ных отраслей в обIёмах a1i , a2i , . . . , ani . Тогда дене@ные Bатраты на одну единицу продукции состав$т a1i · p1 + a2i · p2 + · · · + ani · pn , а на вес3 валовой продукт — xi · (a1i · p1 + a2i · p2 + · · · + ani · pn ). 15 ОбоBначим череB Vi величину оставшегос$ дохода и будем наBыват3 добавленной стоимост3T (част3 дохода идёт на выплату Bарплаты и другие ну@ды, не св$Bанные непосредственно с проиBводством): Vi = pi · xi − xi · (a1i · p1 + a2i · p2 + · · · + ani · pn ) . РаBделим на xi : pi − (a1i · p1 + a2i · p2 + · · · + ani · pn ) = или, в матричной форме Vi = vi ; xi p = AT · p + v. (3.2) Полученна$ модел3 $вл$етс$ двойственной к модели Леонт3ева. Система (3.2) наBываетс$ прибыл3ной, если она раBрешима в неотрицател3ных векторах p. Продуктивност3 и прибыл3ност3 модели эквивалентны: иB продуктивности модели (1.1) следует прибыл3ност3 модели (3.2) и наоборот. Модел3 равновесных цен поBвол$ет, Bна$ величины норм добавленной стоимости, прогноBироват3 цены на продукты отраслей и иBменение цен одних отраслей как следствие иBменени$ цен остал3ных отраслей. §4 Модел< ме&дународной торговли Рассмотрим одну иB экономических моделей, которые свод$тс$ к отысканиT собственного Bначени$ и собственного вектора матрицы. В качестве такой модели рассмотрим модел3 Bакупок. Пуст3 имеетс$ n стран, ка@да$ иB которых расходует вес3 свой бTд@ет на покупку товаров. ОбоBначим величины бTд@етов всех стран череB x1 , x2 , . . . , xn и рассмотрим так наBываемуT линейнуT модел3 обмена (модел3 ме@дународной торговли). Пуст3 aij — дол$ национал3ного дохода, которуT j-$ страна тратит на покупку товаров i-й страны. При этом будем полагат3, что вес3 национал3ный доход тратитс$ на покупку товаров внутри страны или на импорт иB других стран. Тогда имеет место равенство n % aij = 1, j=1 16 - . i = 1,n . (4.1) Рассмотрим матрицу A, состо$щуT иB & a11 a12 ' a21 a22 A=' (. . . . . . an1 an2 элементов aij , т.е. ) . . . a1n . . . a2n * *. ... ...+ . . . ann Матрица A, удовлетвор$Tща$ условиT (4.1), наBываетс$ структурной матрицей торговли. Найдём выручку (доход) от внутренней и внешней торговли дл$ ка@дой иB стран: Pi = ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn (i = 1,n). Дл$ сбалансированной торговли необходима беBдефицитност3 торговли ка@дой страны, т. е. выручка ка@дой страны дол@на быт3 не мен3ше её национал3ного дохода: Pi " xi (i = 1,n). Пока@ем, что в получившейс$ системе неравенств не содер@итс$ строгих неравенств. Предполо@им противное: пуст3 выполн$етс$ хот$ бы одно строгое неравенство (например, первое), тогда система примет вид ! " "a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn > x1 , " #a x + a x + · · · + a x " x , 21 1 22 2 2n n 1 " ... " " $ an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn > xn . Сло@им почленно получившиес$ неравенства: (a11 + a21 + · · · + an1 ) x1 + (a12 + a22 + · · · + an2 ) x2 + · · · + + (a1n + a2n + · · · + ann ) xn > x1 + x2 + · · · + xn , x1 + x2 + · · · + xn > x1 + x2 + · · · + xn . Получили противоречие, а Bначит допущение, что хот$ бы одно строгое неравенство присутствует, неверно. Таким обраBом, система неравенств примет вид системы уравнений: Pi = xi (i = 1,n). Введём в рассмотрение матрицу-столбец бTд@етов всех стран & ) x1 ' x2 * * X=' (. . . + . xn 17 Тогда модел3 ме@дународной торговли примет вид A · X = X. (4.2) Eаметим, что модел3 (4.2) сводитс$ к отысканиT собственного вектора матриц A, соответствуTщего собственному BначениT λ = 1. Пример 4.1. Структурна$ матрица ме@дународной торговли 3-х стран имеет вид: &1 1 1) 3 A = ( 13 1 3 4 1 2 1 4 2 1+ . 2 Найти соотношение национал3ных доходов стран, удовлетвор$Tщих сбалансированной беBдефицитной торговле. Решение. ! 1 1 1 " # 3 x1 + 4 x2 + 2 x3 1 x + 12 x2 + 12 x3 3 1 " $1 x + 14 x2 3 1 & ) x1 X = (x 2 + . x3 ! 2 1 1 " = x1 , #− 3 x1 + 4 x2 + 2 x3 = 0, 1 = x2 , ⇐⇒ x − 12 x2 + 12 x3 = 0, ⇐⇒ 3 1 " $1 1 = x3 ; x + 4 x2 − x3 = 0; 3 1 & ) & ) −8 3 6 −8 3 6 ( 2 −3 3 + ∼ ( 0 −9 18 + 4 3 −12 9 −18 Тогда x2 = 2x3 , x1 = 1,5x3 . ! " #−8x1 + 3x2 + 6x3 2x1 − 3x2 + 3x3 " $ 4x1 + 3x2 − 12x3 = 0, = 0, = 0. & ) 1,5x X = ( 2x + , x ∈ R. x Таким обраBом, сбалансированност3 торговли достигаетс$ при соотношении национал3ных доходов 3 : 4 : 2. §5 Функции одной переменной в моделировании экономических процессов Функции наход$т широкое применение в экономическом моделировании. При иBучении многих социал3но-экономических процессов в качестве математической модели могут слу@ит3 функции одной или нескол3ких переменных, причем спектр испол3Bуемых в экономике функций достаточно широк. Рассмотрим некоторые иB них. 18 I Прои;водственна: функци: Определение 5.1. ПроиBводственной функцией y = f (x) наBываетс$ функци$, неBависима$ переменна$ которой x ест3 обIем испол3Bуемых ресурсов, а Bависима$ переменна$ y — Bначение обIема выпускаемой продукции. Пример 5.1. Функци$ y = axα , где a > 0, 0 < α < 1. ИBобраBим график этой функции. y f (x) x Рис. 1: График проиBводственной функции ИB графика видно, что с ростом величины x — Bатрачиваемого ресурса, обIем y — выпускаемой продукции — увеличиваетс$, однако при этом видно, что с ростом x ка@да$ единица ресурса дает все мен3ший прирост обIема. Это подтвер@дает фундаментал3ное поло@ение экономической теории — Bакон убываTщей эффективности. Пример 5.2. Дл$ моделировани$ проиBводственного процесса региона или страны пол3BуTтс$ проиBводственной функцией Кобба-Дугласа: Q = A × Lα × K β , где A — т. н. технологический коэффициент, L — Bатраты труда, K — капитал. Коэффициенты α и β часто обладаTт свойством α + β = 1. Пример 5.3. Часто проиBводственные функции рассматриваTтс$ в динамике, т. е. врем$ t вли$ет на обIем проиBводства. Примером такой функции мо@ет слу@ит3 проиBводственна$ функци$ Кобба-Дугласа вида: Q = A × eP t × L(t)α × K(t)β , где мно@ител3 eP t учитывает во времени научно-технический прогресс, P > 0 — темп прироста выпуска под воBдействием НТП. 19 II Функции спроса и предлоFени: Определение 5.2. Функцией спроса (предло@ени$) наBываетс$ Bависимост3 обIема спроса q (предло@ени$ s) от цены P товара. Функци$ спроса обоBначаетс$ q = q(P ) или q D = q D (P ) или D = D(P ). Функци$ предло@ени$ обоBначаетс$ s = s(P ) или q S = q S (P ) или S = S(P ). 9амечание 5.1. ИB экономических сообра@ений следует, что област3 определени$ и област3 Bначений функций спроса и предло@ени$ $вл$етс$ подмно@еством мно@ества R+ . Кроме того, функци$ спроса $вл$етс$ убываTщей, а функци$ предло@ени$ — воBрастаTщей на своих област$х определени$. P S P∗ D Q∗ Q Рис. 2: Графики функций спроса и предло@ени$ Определение 5.3. Цена P0 (P ∗ ), при которой выполн$етс$ равенство S(P ) = D(P ), наBываетс$ равновесной ценой. Пример 5.4. ИBвестно, что спрос на товар Bадаётс$ функцией D = 3 @ение — S = 20P 2 . Определит3 равновеснуT цену P0 . 960 , P +2 а предло- Равновесна$ цена определ$етс$ уравнением 3 960 = 20P 2 . P +2 Так как лева$ част3 уравнени$ $вл$етс$ убываTщей функцией, а права$ — воBрастаTщей, то данное уравнение имеет единственное решение. Eаметим, что P = 4 $вл$етс$ решением данного уравнени$. III Функци: распределени: дохода Определение 5.4. Функцией распределени$ дохода наBываетс$ Bависимост3 числа лиц y, имеTщих доход не менее x, от величины дохода x. 20 Пример 5.5. Распределение дохода в р$де стран мо@ет быт3 описано Bаконом Парето y = ax−m , 3 где m, a — некоторые поло@ител3ные константы. Дл$ функции Парето y = 2·109 x− 2 определите: а) число лиц, чей доход не мен3ше 105 дене@ных единиц; б) наимен3ший доход, который имеTт 100 богатейших лTдей данной страны. Решение. √ 3 −3 а) y = 2 · 109 · (105 ) 2 = 2 · 10 2 = 2 1000 ≈ 63. 3 3 б) Необходимо решит3 уравнение 100 = 2 · 109 x− 2 . Имеем x 2 = 2 · 107 , откуда x ≈ 73700. IV Функции дохода, и;дерFек и прибыли Определение 5.5. Функцией дохода (иBдер@ек) будем наBыват3 Bависимост3 дохода R = R(q) (иBдер@ек C = C(q)) от обIёма проиBводства. Поведение функции дохода во многих случа$х определ$етс$ функцией спроса по формуле R(q) = q · q −1 (P ), где q −1 (P ) — функци$, обратна$ к функции спроса. Пример 5.6. Пуст3 q(P ) = 19 − 2P . Требуетс$ составит3 функциT дохода R(q). q(P ) — убываTща$, найдём дл$ неё обратнуT функциT: P = 19 − q . 2 Тогда R(q) = q · 19 − q . 2 Определение 5.6. Функцией прибыли π(q) наBываетс$ Bависимост3 прибыли предпри$ти$ в Bависимости от обIема проиBводства q. Функции иBдер@ек, дохода и прибыли св$Bаны ме@ду собой соотношением π(q) = R(q) − C(q). Графики этих функций иBобра@ены на рисунке 3. ИB графиков этих функций видно, что иBдер@ки фирмы сначала велики, а при небол3шом обIеме проиBводства и растут быстрее, чем доход. С увеличением обIема 21 Рис. 3: Функции дохода, иBдер@ек и прибыли. проиBводства скорост3 роста иBдер@ек умен3шаетс$ и, в какой-то момент времени, они сравниваTтс$ с доходом, и фирма начинает получат3 прибыл3. При увеличении проиBводства прибыл3 увеличиваетс$, достига$ максимума при некотором q. При дал3нейшем увеличении обIема проиBводства q иBдер@ки снова начинаTт расти быстрее дохода (исчерпаны эффективные ресурсы, ну@ны дополнител3ные помещени$ и т. д.), и прибыл3 умен3шаетс$, достига$ отрицател3ных Bначений. Кроме того, если 0 < q < q2 , то проиBводство убыточно и приносит максимал3ный убыток при q = q1 . Если @е q2 < q < q4 , то фирма получает прибыл3, причем максимал3на$ прибыл3 получаетс$ при q = q3 . V Bависимост5 величины спроса от дохода Определение 5.7. Функци$ми Торнквиста наBываTтс$ функции, моделируTщие св$B3 ме@ду величиной дохода потребител$ и величиной спроса. Эти функции испол3BуTтс$ дл$ построени$ некоторых математических моделей в теории потребител3ского спроса. Они раBличаTтс$ в Bависимости от вида товаров. α · J(J + β) — спрос на малоценные товары. J2 + γ α·J 2. x = — спрос на товары 1 группы необходимости. J +β α(J − γ) 3. x = — спрос на товары 2 группы необходимости. J +β α · J(J − γ) 4. x = — спрос на товары роскоши. J +β 1. x = 22 Графики укаBанных функций представлены на рисунке 4. Рис. 4: Графики функций Торнквиста §6 Пон6тие эластичности функции Ва@ным пон$тием в иBучении экономических процессов $вл$етс$ пон$тие эластичности, которое вводитс$ с применением проиBводной. Пуст3 дана функци$ y = f (x), дифференцируема$ на некотором проме@утке D. Поставим вопрос о скорости иBменени$ Bависимой переменной от иBменени$ x. Недостаток проиBводной дл$ получени$ ответа на этот вопрос состоит в том, что Bначение проиBводной Bависит от выбора системы единиц иBмерени$. Поэтому в экономике иBучаTт св$B3 не абсолTтных Bначений переменных x и y (∆x и ∆y), а св$B3 их относител3ных процентных отношений. Определение 6.1. Эластичност3T функции f (x) в точке x ∈ D наBываетс$ предел относител3ного приращени$ функции y к относител3ному приращениT x при ∆x → 0, т. е. ∆y ∆x x Ex (y) = lim : = · y′. ∆x→0 y x y Определённа$ таким обраBом эластичност3 функции наBываетс$ предел3ной или точечной эластичност3T. 9амечание 6.1. Эластичност3 функции покаBывает прибли@ённо, на скол3ко процентов иBмен$етс$ Bначение функции при иBменении неBависимой переменной на 1%. Пример 6.1. Пуст3 дана Bависимост3 ме@ду себестоимост3T продукции и обIёмом проиBводства. C = 50 − 0,4q. Требуетс$ найти эластичност3 себестоимости при обIеме выпуска q0 = 30. C ′ (q) = −0,4. Ex (y) = Eq (C) = q 50−0,4q · (−0,4) = 23 −0,4q . 50−0,4q Eq (C) q=30 = −0,4·30 50−0,4·30 = −0,316. Пример 6.2. Найти кривые, эластичност3 которых во всех точках посто$нна и равна −1. Ex (y) = −1; x ′ · y = −1; y dy x · = −1; dx y dy dx =− ; y x / / dy dx =− + c; y x ln |y| = − ln |x| + c; |y| = y= ec ; |x| c1 , где c1 ∕= 0 — проиBвол3на$ посто$нна$. x Геометрический смысл эластичности состоит в том, что эластичност3 по модулT равна отношениT рассто$ний по касател3ной от данной точки графика функции до точек ее пересечени$ с ос$ми Ox и Oy. y |Ex (y)| = CB CA B C f (x) x0 A x Рис. 5: Геометрический смысл эластичности Eафиксируем точку касани$ C(x0 , f (x0 )) и составим уравнение касател3ной: y = f ′ (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ). 24 Найдём координаты точек A и B: 1 f (x0 ) A x0 − ′ ,0 , f (x0 ) B (0, f (x0 ) − x0 · f ′ (x0 )) . Найдём рассто$ни$: 2 CB = x20 ′ 2 + (x0 · f (x0 )) , 2 AC = f (x0 ) f ′ (x0 ) 12 + (f (x0 ))2 . Тогда CB 2 x20 (1 + (f ′ (x0 ))2 ) (f ′ (x0 ))2 x20 = = · (f ′ (x0 ))2 = AC 2 (f (x0 ))2 (1 + (f ′ (x0 ))2 ) f 2 (x0 ) т. е. x0 · f ′ (x0 ) f (x0 ) 12 = (Ex (y))2 , CB . CA 9амечание 6.2. Если точки A и B ле@ат по раBные стороны от точки C, то эластичност3 отрицател3на; если точки A и B ле@ат по одну сторону от точки C, то эластичност3 поло@ител3на. |Ex (y)| = Свойства эластичности 1. Эластичности двух вBаимно обратных функций $вл$Tтс$ вBаимно обратными величинами, т. е. 1 Ey (x) = , Ex (y) ∕= 0. Ex (y) 2. Эластичност3 проиBведени$ двух функций определ$етс$ по формуле Ex (U · V ) = Ex (U ) + Ex (V ). 3. Эластичност3 частного двух функций определ$етс$ по формуле 0 1 U Ex = Ex (U ) − Ex (V ). V Дока@ем второе свойство: Ex (U · V ) = x x x x · (U · V )′ = (U ′ V + U V ′ ) = · U ′ + · V ′ = Ex (U ) + Ex (V ). U ·V U ·V U V Дугова$ эластичност3 определ$етс$ следуTщим обраBом: Ex (y) = 2(y2 − y1 ) 2(x2 − x1 ) : . y2 + y1 x2 + x1 25 Эластичност5 спроса и предлоFени: Пуст3 дана функци$ спроса q = q(P ). Тогда эластичност3 спроса по цене EP (q) покаBывает относител3ное иBменение величины спроса на какой-либо товар при иBменении цены на этот товар на 1% и характериBует чувствител3ност3 потребител$ к иBменениT цен на товар. Определение 6.2. Если эластичност3 спроса по цене мен3ше 1 по модулT (|EP (q)| < 1), то спрос наBываетс$ неэластичным. Если бол3ше 1 (|EP (q)| > 1) — то спрос наBываетс$ эластичным. Если равна 1 (|EP (q)| = 1) — то спрос наBываетс$ нейтрал3ным или единичным. Если равна бесконечности (|EP (q)| = ∞) — то спрос наBываетс$ совершенно эластичным. Если равна 0 (|EP (q)| = 0) — то спрос наBываетс$ совершенно неэластичным. Аналогичные пон$ти$ ввод$тс$ и дл$ функции предло@ени$. Пример 6.3. Пуст3 даны функции спроса и предло@ени$: D(P ) = 10 − P, S(P ) = 3P + 6. Требуетс$ найти: а) равновеснуT цену; б) эластичност3 спроса; в) эластичност3 предло@ени$ при этой цене. Решение. а) б) D(P ) = S(P ) =⇒ 10 − P = 3P + 6 =⇒ P = 1. EP (D) = в) P −P (10 − P )′ = . 10 − P 10 − P 1 EP (D) p=1 = − . 9 3P . 3P + 6 1 EP (S) p=1 = . 3 EP (S) = Таким обраBом, увеличение цены на 1% влечёт Bа собой сни@ение спроса на 19 % и повышение предло@ени$ на 13 %. Вы$сним, как вли$ет эластичност3 спроса по цене на эластичност3 дохода по цене. Пуст3 функци$ спроса и функци$ дохода по цене Bаданы в виде: D = D(P ), Тогда R = R(P ) = P · D(P ). EP (R) = EP (P · D(P )) = EP (P ) + EP (D) = 1 + EP (D) = 1 − |EP (D)|. Последний переход справедлив потому, что функци$ D(P ) — убываTща$. 26 P ·R′ (P ) > 0, R(P ) Bначит, R′ (P ) > 0 =⇒ R = R(P ) — воBрастаTща$ функци$: чем бол3ше цена, тем выше доход. 2. |EP (D)| > 1, т. е. спрос эластичный. Тогда, рассу@да$ аналогично, получим, что R′ (P ) < 0 =⇒ R = R(P ) — убываTща$ функци$: если цена убывает, то доход растёт. 1. |EP (D)| < 1, т. е. спрос неэластичный. В этом случае EP (R) = Таким обраBом, Bамечаем, что дл$ эластичного спроса иBменение цены и дохода происход$т в раBных направлени$х и дл$ увеличени$ выручки продавцу следует сни@ат3 цену. В случае неэластичного спроса цена и доход мен$Tтс$ в одном направлении и продавцу выгодно повышат3 цену. Эластичност3 спроса по доходу EJ (q) — покаBател3 процентного иBменени$ спроса на какой-либо товар или услугу в реBул3тате иBменени$ дохода потребител$. Когда коэффициент эластичности спроса по доходу отрицателен EJ (q) < 0, то товар или услуга наBываетс$ ниBкокачественным, а падение спроса на этот товар или услугу определ$етс$ ростом дохода потребител$. Когда коэффициент эластичности спроса по доходу нулевой EJ (q) = 0, то товар или услуга наBываетс$ нейтрал3ным, а рост спроса на этот товар или услугу не определ$етс$ ростом дохода. Нет пр$мой Bависимости ме@ду потреблением этого блага и иBменением дохода потребител$. Когда коэффициент эластичности спроса по доходу поло@ителен EJ (q) > 0, то товар или услуга наBываетс$ нормал3ным, а рост спроса на этот товар или услугу определ$етс$ ростом дохода потребител$. Когда коэффициент эластичности спроса по доходу поло@ителен, но мен3ше единицы 0 < EJ (q) < 1, то товар или услуга наBываетс$ товаром первой необходимости, а спрос на этот товар растёт медленнее роста доходов и имеет предел насыщени$. Когда коэффициент эластичности спроса по доходу равен единице EJ (q) = 1, то товар или услуга наBываетс$ товаром второй необходимости, а спрос на товары или услуги растёт в меру роста доходов потребител$. ОбIём спроса иBмен$етс$ на мен3ший процент, чем доход. Когда коэффициент эластичности спроса по доходу бол3ше единицы EJ (q) > 1, то товар или услуга наBываетс$ предметом роскоши, а спрос на товары или услуги опере@ает рост доходов потребител$. ОбIём спроса иBмен$етс$ на бол3ший процент, чем иBмен$етс$ доход. 27 §7 Соотношение ме&ду средними и предел<ными величинами в экономике Пуст3 функци$ F (x) Bадаёт некоторуT суммарнуT величину (функци$ дохода, функци$ иBдер@ек, проиBводственна$ функци$, функци$ полеBности). Определение 7.1. Средней величиной AF (x) от величины F (x) наBываетс$ отношение вида F (x) AF (x) = . x Геометрически средн$$ величина равна тангенсу угла наклона радиус-вектора, проведённого к кривой, иBобра@аTщей величину F (x), в точку x. Определение 7.2. Предел3ной (мар@инал3ной) величиной M F (x) наBываетс$ проиBводна$ F (x) по x: M F (x) = F ′ (x). Геометрически предел3на$ величина равна тангенсу угла наклона кривой, иBобра@аTщей величину F (x), в точке x. Тогда св$B3 ме@ду предел3ной и средней величинами устанавливаетс$ по формуле / M F (x)dx AF (x) = . x §8 Применение дифференциал<ного исчислени6 в экономике Чтобы прибыл3 была максимал3ной, необходимо, чтобы предел3ный доход и предел3ные иBдер@ки были равны. Дока2ател&ство. Пуст3 R = R(q) — доход, C = C(q) — иBдер@ки, π(q) = R(q)−C(q) — прибыл3. Так как при некотором q прибыл3 максимал3на, то по теореме Ферма π ′ (q) = 0 =⇒ (R(q) − C(q))′ = 0 =⇒ R′ (q) − C ′ (q) = 0 =⇒ =⇒ M R(q) − M C(q) = 0 =⇒ M R = M C. При наиболее экономичном проиBводстве достигаетс$ равенство предел3ных и средних иBдер@ек. 28 Дока2ател&ство. Под наиболее экономичным проиBводством понимаетс$ такой уровен3 проиBводства, при котором средние иBдер@ки минимал3ны. AC(q) = C(q) – средние иBдер@ки. q Тогда по необходимому условиT экстремума 0 ′ 1′ C (q) C ′ (q) · q − C(q) ′ AC (q) = 0 =⇒ = 0 =⇒ = 0 =⇒ C ′ (q)·q−C(q) = 0 =⇒ q q2 C(q) =⇒ C ′ (q) − = 0 =⇒ AC(q) − M C(q) = 0 =⇒ AC = M C. q Пуст3 q = q(t) — количество проиBведенной продукции Bа врем$ t. Тогда с экономической точки Bрени$ проиBводна$ функции q(t) представл$ет собой проиBводител3ност3 труда в данный момент времени t. Пример 8.1. ОбIем продукции q в течение рабочего дн$ представл$ет функци$ 4 q(t) = − t3 + 20t2 + 90t, (0 ! t ! 8). 3 Найдите проиBводител3ност3 труда череB два часа после начала работы. В какой момент времени проиBводител3ност3 труда максимал3на? Найдем проиBводнуT q ′ (t). Получим q ′ (t) = −4t2 +40t+90. Найдем Bначение проиBводной в точке t = 2: q ′ (2) = 154. Найдем момент времени, когда проиBводител3ност3 максимал3на. Учитыва$, что графиком функции q ′ (t) = −4t2 +40t+90 $вл$етс$ парабола, ветви которой направлены вниB, получим, что max q ′ (t) = q ′ (5) = 190. t∈[0;8] Таким обраBом, проиBводител3ност3 труда максимал3на череB 5 часов после начала работы и равна 190 ден.ед./час. Пример 8.2. В некоторой стране при иBучении потребител3ского спроса на малоценные товары была получена функци$ Торнквиста 2J(J + 3) . J2 + 1 Определите доходы группы населени$ этой страны, дл$ которых спрос на малоценные товары самый высокий. x= Найдем проиBводнуT: ′ x = 2J(J + 3) J2 + 1 1′ = −6J 2 + 4J + 6 . (J 2 + 1)2 Пуст3 x′ = 0, т. е. −6J 2 +4J +6 = 0. Поло@ител3ный корен3 этого уравнени$ J ≈ 1,4. Найдем вторуT проиBводнуT: 1′ −6J 2 + 4J + 6 12J 3 − 12J 2 − 36J + 4 ′′ x = = . (J 2 + 1)2 (J 2 + 1)3 29 Так как x′′ (1,4) < 0, то при J = 1,4 спрос максимален. Eначит, доход сло$ населени$ этой страны, который потребл$ет максимал3ное число малоценных товаров, составл$ет 1,4 ден. ед. Пример 8.3. Фирме «Ал3фа» поступило предло@ение выполнит3 BакаB на проиBводство некоторой продукции обIема q . ИBвестно, что функци$ дохода фирмы при выполнении этого BакаBа R(q) = q 2 − q + 11; функци$ иBдер@ек проиBводства — C(q) = 5q + 1. При каких обIемах проиBводства q фирме имеет смысл брат3с$ Bа выполнение данного BакаBа? Функци$ прибыли π(q) имеет вид: π(q) = R(q) − C(q) = q 2 − 6q + 10. Так как графиком функции π(q) $вл$етс$ парабола, ветви которой направлены вверх, то она имеет при q = 3 минимум. Eначит, этот обIем проиBводства дл$ фирмы не $вл$етс$ оптимал3ным. Далее, так как π(0) = π(6) = 10, то фирме не имеет смысла брат3с$ Bа выполнение BакаBа, если она не мо@ет проиBводит3 более 6 единиц продукции. §9 I Применение интеграл<ного исчислени6 функций одной переменной в экономическом моделировании Определение суммарной величины по и;вестной предел5ной величине F (x) = / M F (x) dx. Пример 9.1. Дана функци$ предел3ного дохода M R(q) = 20 − 0,04q. Требуетс$ найти функциT спроса. R(q) = P (q) = II / R(q) = q · P (q) =⇒ P (q) = R(q) . q (20 − 0,04q) dq = 20q − 0,02q 2 + c. R(0) = 0 =⇒ c = 0. 20q − 0,02q 2 20 − P = 20 − 0,02q =⇒ q = = 1000 − 50P. q 0,02 Вычисление обKема выпущенной продукции Пуст3 функци$ y = f (t) ест3 проиBводител3ност3 труда некоторого проиBводства в Bависимости от времени. Тогда с экономической точки Bрени$ обIем продук30 ции Q, проиBведенной Bа проме@уток времени [0; ], будет равен Q= /T f (t) dt. III Неравенство в распределении доходов Одной иB ва@нейших проблем в социал3ных и экономических науках $вл$етс$ проблема иBмерени$ социал3ного неравенства. СуществуTт раBличные методики раBличени$ этого неравенства. В насто$щее врем$ дл$ иBучени$ неравенства испол3BуTтс$ раBличные коэффициенты: коэффициент Лоренца, коэффициент Д@ини, коэффициент дифференциации. Дл$ исследовани$ социал3ного неравенства и графического представлени$ Bависимости доли доходов от доли имеTщего его населени$ испол3Bуетс$ так наBываема$ крива$ Лоренца. Рис. 6: Крива$ Лоренца Определение 9.1. Коэффициент Д@ини — это величина равна$ отношениT площади фигуры, ограниченной кривой Лоренца и биссектрисой 1 координатного угла к площади треугол3ника, ограниченного биссектрисой, ос3T Ox и линией абсолTтного неравенства. /1 |f (x) − x| dx /1 k= = 2 |f (x) − x| dx. 1 2 С экономической точки Bрени$ коэффициент Д@ини характериBует степен3 неравенства в распределении доходов населени$. Если k = 0, то говор$т о полном равенстве, если 0 < k ! 0,3, то говор$т о слабом неравенстве, если 0,3 < k ! 0,7, то это Bначител3ное распределение доходов, если 0,7 < k ! 1, то говор$т о сил3ном распределении доходов. 31 Пример 9.2. По данным исследовани$, в распределении доходов некоторой страны 3 крива$ Лоренца имеет вид y = x 2 . Найдите коэффициент Д@ини k. Воспол3Bуемс$ определением коэффициента Д@ини. Получим 1 S= − 2 /1 3 x 2 dx = 0,1. Тогда k = 2S = 0,2. Таким обраBом, так как коэффициент Д@ини достаточно мал, то распределение доходов среди населени$ в данной стране достаточно равномерное. IV Bадача дисконтировани: денеFного потока Определение 9.2. Нахо@дение начал3ной суммы по ее конечной величине, полученной Bа n лет при Bаданном годовом проценте i, наBываетс$ дисконтированием. При этом раBност3 ме@ду конечной и начал3ной суммой наBываетс$ дисконтом. 1. Простые проценты. P n i S — — — — первоначал3на$ сумма долга, срок, процентна$ ставка, нарощенна$ сумма. S . (9.1) 1 + in Получили решение Bадачи математического дисконтировани$, т. е. Bадачи отыскани$ первоначал3ной суммы долга по его будущей стоимости. S = P (1 + in) =⇒ P = Пример 9.3. ЧереB 180 дней после подписани$ договора дол@ник уплатил 310 тыс. руб. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначал3на сумма долга при условии, что временна$ баBа равна 365 дн$м? Согласно (9.1) находим P = 180000 = 287328,59 руб. 1 + 180 · 0,16 365 2. Сло@ные проценты. S = P (1 + i) или S = P n i 1+ m 1m·n , где m — количество начислений процентов Bа год. Тогда P = S S .m·n . или P = n (1 + i) 1 + mi 32 (9.2) 3. Непрерывные проценты. Пуст3 в формуле сло@ных процентов m → ∞. lim S = lim P m→∞ m→∞ i 1+ m 1m·n ∞ = [1 ] = lim P m→∞ =P 2 1+ lim m→∞ 1 m i 1 mi ·ni 1+ 1 m i = 1 mi 3ni = P · ein . Дл$ того чтобы отличат3 ставку непрерывных процентов от ставок дискретных процентов, ставку непрерывных процентов наBываTт силой роста и обоBначаTт δ. Тогда S = P · eδn , где δ — сила роста. Находим решение Bадачи: P = S · e−δn . (9.3) Предполо@им, что ден3ги вкладываTтс$ в банк не раBово, а посто$нно и обраBуTт дене@ный поток, который представл$ет собой непрерывнуT функциT P (t) = S(t) · e−δt . Тогда обща$ сумма, вло@енна$ в банк Bа период времени T представл$ет собой определённый интеграл вида A= /T S(t) · e−δt dt, где S(t) — е@егодно поступаTщий доход. В практических финансово-кредитных операци$х непрерывные проценты примен$Tтс$ крайне редко. Они имеTт теоретическое Bначение, испол3BуTтс$ в аналиBе сло@ных финансовых проблем при обосновании и выборе инвестиционных проектов. § 10 I Функции нескол<ких переменных в экономике Прои;водственна: функци: ПроиBводственна$ функци$ представл$ет собой функциT, св$BываTщуT переменные величин Bатрат (ресурсов, факторов проиBводства и т. д.) и величину обIёма выпущенной продукции: y = f (x1 , x2 , . . . , xn ), где xi — покаBател3 i-го проиBводственного ресурса или Bатраты ресурса, y — покаBател3, характериBуTщий реBул3таты проиBводства, или обIём выпущенной продукции. С помощ3T проиBводственной функции решаTтс$ следуTщие основные Bадачи: 1. оценка отдачи ресурсов в проиBводственном процессе; 33 2. прогноBирование экономического роста; 3. раBработка вариантов плана раBвити$ проиBводства; 4. оптимиBаци$ функционировани$ хоB$йственной единицы при условии Bаданного критери$ и ограничени$ на ресурсы. ПроиBводственна$ функци$ дол@на удовлетвор$т3 следуTщим математическим и экономическим услови$м: 1. област3 определени$ функции представл$ет собой мно@ество вида G = {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn | xi " 0, i = 1, n}; 2. при отсутствии хот$ бы одного ресурса проиBводство невоBмо@но: f (0, x1 , . . . , xn ) = f (x1 , 0, . . . , xn ) = . . . = f (x1 , x2 , . . . , 0) = 0; 3. с ростом Bатрат хот$ бы одного ресурса обIём выпуска не убывает: ∀(x1 , x2 , . . . , xn ), (x̃1 , x̃2 , . . . , x̃n ) ∈ G, xi ! x̃i , i = 1, n f (x1 , x2 , . . . , xn ) ! f (x̃1 , x̃2 , . . . , x̃n ); это условие мо@ет быт3 сформулировано при помощи проиBводных: ∂y > 0 внутри G i = 1, n; ∂xi 4. увеличение Bатрат одного ресурса при неиBменных остал3ных приводит к невоBрастаниT эффективности его испол3Bовани$ (т. е. выполн$етс$ Bакон убываTщей эффективности): ∂ 2y ! 0 внутри G, i = 1, n; ∂x2i 5. при росте одного ресурса предел3на$ эффективност3 другого не убывает: ∂ 2y " 0 внутри G, i = 1, n, j = 1, n, i ∕= j; ∂xi ∂xj 6. проиBводственна$ функци$ $вл$етс$ однородной функцией степени λ, т. е. f (tx1 , tx2 , . . . , txn ) = tλ f (x1 , x2 , . . . , xn ). ПроиBводственна$ функци$, дл$ которой выполн$Tтс$ свойства 3—6, наBываетс$ неоклассической проиBводственной функцией. Основные типы прои;водственных функций 1. Линейна$ функци$ y = a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn . Така$ функци$ испол3Bуетс$, когда Bатрачиваемые ресурсы $вл$Tтс$ Bамен$емыми. 34 4 5 2. Функци$ Леонт3ева y = min xa11 , xa22 , . . . , xann . 3. Функци$ Кобба—Дугласа Q = Axα1 1 xα2 2 . . . xαnn . 4. ПроиBводственна$ функци$ CES (функци$ с посто$нной эластичност3T Bаме. λ −ρ −ρ − ρ щени$) Q = A · a1 x−ρ . Эта функци$ $вл$етс$ обоб1 + a2 x2 + . . . + an xn щением функции Кобба—Дугласа. Пример 10.1. Рассмотрим проиBводственнуT функциT Кобба—Дугласа следуTщего вида Q = A × Lα × K 1−α , A > 0, 0 < α < 1. Проверим, какие свойства проиBводственной функции выполн$Tтс$. 1. G = {(L, K) ∈ R2 | L " 0, K " 0}. 2. Q(0, K) = Q(L, 0) = Q(0, 0) = 0. 3. 4. ∂Q ∂Q = A · α · Lα−1 · K 1−α > 0; = A · Lα · (1 − α) · K −α > 0. ∂L ∂K ∂ 2Q ∂ = 2 ∂L ∂L ∂ 2Q ∂ = ∂K 2 ∂K 5. ∂ 2Q ∂ = ∂L∂K ∂L 6. ∂Q ∂L 1 ∂Q ∂K 1 ∂Q ∂K . ∂ A · α · Lα−1 · K 1−α = A · α · (α − 1) · Lα−2 · K 1−α < 0. ∂L = = 1 . ∂ A · Lα · (1 − α) · K −α = A·Lα ·(1−α)·(−α)·K −α−1 < 0. ∂K = . ∂ A · Lα · (1 − α) · K −α = A·α·Lα−1 ·(1−α)·K −α > 0. ∂L Q(tL, tK) = A · (tL)α · (tK)1−α = t · A · (tL)α · (tK)1−α = t · Q(K, L), λ = 1. Основые экономико-математические характеристики прои;водственной функции Рассмотрим двухфакторнуT проиBводственнуT функциT Q = Q(x1 , x2 ). Определение 10.1. Средней проиBводител3ност3T i-го ресурса наBываетс$ отношение вида xQi , i = 1, 2: Q APi = , i = 1, 2. xi Определение 10.2. Предел3ной (мар@инал3ной) проиBводител3ност3T i-го ресурса наBываетс$ частна$ проиBводна$ 1-го пор$дка от проиBводственной функции по i-й переменной: ∂Q M Pi = , i = 1, 2. ∂xi 35 Предел3нуT проиBводител3ност3 ресурса так@е наBываTт предел3ным выпуском по ресурсу. Предел3на$ проиBводител3ност3 i-го ресурса прибли@ённо покаBывает, на скол3ко единиц увеличитс$ обIём выпуска Q, если обIём Bатрат i-го ресурса вырастет на одну достаточно малуT единицу при неиBменных обIёмах другого Bатрачиваемого ресурса. Определение 10.3. Эластичност3T выпуска по i-му ресурсу наBываетс$ величина, определ$ема$ по формуле xi ∂Q Ei = · , i = 1, 2. Q ∂xi Эластичност3 Ei прибли@ённо покаBывает, на скол3ко процентов иBменитс$ выпуск, если Bатраты i-го ресурса вырастут на 1% при неиBменных обIёмах другого Bатрачиваемого ресурса. 9амечание 10.1. Eаметим, что эластичност3 выпуска по i-му ресурсу представл$ет собой отношение предел3ной проиBводител3ности i-го ресурса к его средней проиBводител3ности: M Pi Ei = , i = 1, 2. APi Пример 10.2. Найдём среднTT и предел3нуT проиBводител3ност3 и эластичност3 выпуска по ка@дому ресурсу дл$ проиBводственной функции Кобба—Дугласа. Q A · Lα · K 1−α APL = = = A · Lα−1 · K 1−α — проиBводител3ност3 труда. L L Q = A · Lα · K −α — капиталоотдача. K ∂Q M PL = = A · α · Lα−1 · K 1−α . ∂L ∂Q M PK = = A · Lα · (1 − α) · K −α ∂K M PL A · α · Lα−1 · K 1−α EL = = = α. APL A · Lα−1 · K 1−α M PK A · Lα · (1 − α) · K −α EK = = = 1 − α. APK A · Lα · K −α APK = Дл$ двухфакторной проиBводственной функции рассмотрим конкретные Bначени$ Bатрат ресурсов x01 , x02 , тогда получим Q(x01 , x02 ) = C, где C — обIём выпуска при Bаданных Bатратах. Рассмотрим тепер3 равенство вида Q(x1 , x2 ) = C. Это равенство выра@ает все воBмо@ные комбинации Bатрат ресурсов, которые обеспечиваTт один и тот @е обIём выпуска в количестве C единиц. Таким обраBом, мы получаем линии уровн$ дл$ функции двух переменных. Такие линии уровн$ проиBводственной функции наBываTтс$ лини$ми посто$нного выпуска или иBоквантами. 36 Пример 10.3. 1 1 Q = x12 x22 . Необходимо построит3 иBокванты, соответствуTщие обIёмам выпуска 1, 2, 3. 1 1 1 1 1 1 1. C1 = 1 =⇒ x12 x22 = 1 =⇒ x1 · x2 = 1. 2. C2 = 2 =⇒ x12 x22 = 2 =⇒ x1 · x2 = 4. 3. C3 = 3 =⇒ x12 x22 = 3 =⇒ x1 · x2 = 9. ИBобраBим иBокванты на графике. x2 x1 Пример 10.4. ! " #x1 , если x1 < x2 , Q = min{x1 , x2 } = x2 , если x1 > x2 , " $ x1 , если x1 = x2 . Необходимо построит3 иBокванты, соответствуTщие обIёмам выпуска 1, 2, 3. ИBобраBим иBокванты на графике. Свойства и;оквант 1. ИBокванты, соответствуTщие раBличным обIёмам выпуска, не пересекаTтс$. 2. ИBокванта, соответствуTща$ обIёму выпуска C, раBбивает пространство ресурсов на два подпространства, в одном иB которых выполн$етс$ неравенство Q < C, в другом — Q > C. 3. Бол3шему обIёму выпуска соответствует иBокванта, более удалённа$ от начала координат. 37 x2 x1 Определение 10.4. Предел3ной нормой Bамещени$ первого ресурса вторым при неиBменном обIёме выпуска наBываетс$ выра@ение вида M RT S12 = − dx2 . dx1 Предел3нуT норму Bамещени$ так@е наBываTт предел3ной технологической нормой Bамещени$. Аналогично определ$етс$ предел3на$ технологическа$ норма Bамещени$ второго ресурса первым. Предел3на$ технологическа$ норма Bамещени$ M RT S12 прибли@ённо покаBывает, на скол3ко единиц увеличатс$ Bатраты второго ресурса при неиBменном обIёме выпуска, если Bатраты первого ресурса умен3шатс$ на единицу. Рассмотрим иBокванту, соответствуTщуT обIёму выпуска C, т. е. Q(x1 , x2 ) = C. Продифференцируем обе части этого равенства: dQ(x1 , x2 ) = 0; ∂Q ∂Q · dx1 + · dx2 = 0; ∂x1 ∂x2 dx2 − = dx1 M RT S12 = ∂Q ∂x1 ∂Q ∂x2 ; M P1 . M P2 Пример 10.5. Дл$ проиBводственной функции Кобба-Дугласа найдём предел3нуT технологическуT норму Bамещени$ капитала трудовыми Bатратами. M RT SKL = M PK A · Lα · (1 − α) · K −α 1−α L = = · . M PL A · α · Lα−1 · K 1−α α K 38 Bадача оптими;ации прои;водства Пуст3 дана проиBводственна$ функци$ Q = Q(x1 , x2 ). ИBвестны цены ресурсов p1 , p2 и цена готовой продукции p0 . Тогда величина дохода мо@ет быт3 найдена по формуле R(x1 , x2 ) = p0 · Q(x1 , x2 ), а величина иBдер@ек — C(x1 , c2 ) = p1 x1 + p2 x2 . Найдём прибыл3 π(x1 , x2 ) = R(x1 , x2 ) − C(x1 , x2 ) = p0 · Q(x1 , x2 ) − p1 x1 − p2 x2 . Определение 10.5. Линии уровн$ функции иBдер@ек наBываTтс$ иBокостами. x2 x1 Bадача оптими;ации прои;водственных и;дерFек в долгосрочном периоде Требуетс$ найти обIёмы ресурсов x1 и x2 , при которых проиBводственные иBдер@ки фиксированного выпуска будут минимал3ны. 6 C(x1 , x2 ) = p1 x1 + p2 x2 → min (10.1) Q(x1 , x2 ) = Q0 (10.2) Данна$ Bадача представл$ет собой Bадачу отыскани$ условного экстремума. СуществуTт раBличные методы решени$ таких Bадач. Один иB них — так наBываемый метод подстановки. Пуст3 условие (10.2) не$вно Bадаёт функциT x2 (x1 ), тогда проиBводна$ функции C(x1 , x2 ) по переменной x1 будет равна Cx′ 1 (x1 , x2 ) = p1 + p2 x′2 = p1 − p2 · Тогда Cx′ 1 (x1 , x2 ) или = 0 ⇐⇒ p1 = p2 · p1 M P1 = . p2 M P2 ∂Q ∂x1 ∂Q ∂x2 ∂Q ∂x1 ∂Q ∂x2 . p1 ⇐⇒ = p2 ∂Q ∂x1 ∂Q ∂x2 (10.3) Таким обраBом, мо@но покаBат3, что если проиBводственна$ функци$ Q = Q(x1 , x2 ) гладка$ и выпукла$, то услови$ (10.3) и (10.2) $вл$Tтс$ необходимыми и достаточными дл$ решени$ данной Bадачи. 39 Геометрический смысл ;адачи Как иBвестно иB теории не$вных функций, если выра@ение F (x, y) = 0 Bадаёт не$внуT функциT y = f (x), то её проиBводна$ находитс$ вычисл$етс$ по формуле f ′ (x) = − Fx′ (x, y) . Fy′ (x, y) Тогда дл$ проиBводственной функции Q = Q(x1 , x2 ) выра@ение − ∂Q ∂x1 ∂Q ∂x2 P1 = −M M P2 Bадаёт проиBводнуT не$вной функции x′2 (x1 ). Исход$ иB геометрического смысла P1 проиBводной, получим, что − M = tg α, где α — угол наклона касател3ной к линии M P2 уровн$ Q(x1 , x2 ) = Q0 . Рассмотрим тепер3 уравнение иBокосты p1 x1 + p2 x2 = C0 ⇐⇒ x2 = − p1 C0 x1 + . p2 p2 Тогда − pp12 = tg β, где β — угол наклона иBокосты. Таким обраBом, получаем, что условие (10.3) геометрически оBначает, что касател3на$ к иBокванте и иBокоста в точке решени$ имеTт один угол наклона. При этом точка решени$ Bадачи дол@на принадле@ат3 и иBокосте, и иBокванте. Это оBначает, что иBокоста и будет $вл$т3с$ касател3ной к иBокванте. x2 Q(x1 , x2 ) = Q0 O x1 C(x1 , x2 ) = C0 В общем случае Bадачу (10.1)—(10.2) решаTт методом мно@ителей Лагран@а. При рассмотрении данной Bадачи в краткосрочном периоде некоторые факторы проиBводство (ресурсы) $вл$Tтс$ фиксированными, Bначит, Bадача минимиBации иBдер@ек упрощаетс$. Пол3Bу$с3 решением Bадачи минимиBации иBдер@ек, мо@но получит3 соответствуTщие функции спроса на ресурсы в Bависимости от обIёма выпуска и, более того, получит3 в $вном виде функциT иBдер@ек в Bависимости от обIёма выпуска. 40 Пример 10.6. Рассмотрим Bадачу минимиBации иBдер@ек при фиксированном обIёме выпуска продукции дл$ проиBводственной функции Кобба—Дугласа. 7 C(L, K) = pL L + pK K → min , A · Lα · K 1−α = Q0 . Будем решат3 Bадачу методом подстановки. ! ! # M PK = p K , # 1 − α · L = pK , M PL pL α K pL ⇐⇒ ⇐⇒ $ $ A · Lα · K 1−α = Q0 ; A · Lα · K 1−α = Q0 ; ! pK α " #L = p · 1 − α · K, 0 L 1α ⇐⇒ ⇐⇒ pK α " $A · · ·K · K 1−α = Q0 ; pL 1 − α ! pK α " #L = p · 1 − α · K, L0 1α ⇐⇒ ⇐⇒ pK α " $A · K · · = Q0 ; pL 1 − α ! 1−α pK α Q0 pK α " " · · · · , #L = pL 10− α A 1pL 1 − α ⇐⇒ ⇐⇒ −α " Q0 pK α " $K = · · ; A pL 1 − α ! ! 11−α 1α−1 1 pK α 1 pL 1 − α " " " " · · Q0 , #L = · #L = · · · Q0 , A 0pL 1 − α 1 A p α K 1 ⇐⇒ ⇐⇒ α −α 1 pL 1 − α " " 1 pK α " " $K = · $ K= · · · Q0 . · · Q0 , A pK α A pL 1 − α Пол3Bу$с3 решением данной Bадачи, получаем так наBываемые функции спроса на ресурсы в Bависимости от обIёма выпущенной продукции. ! 1α−1 1 pL 1 − α " " #L(Q) = · · · Q, A 0pK α 1 (10.4) α 1 pL 1 − α " " $K(Q) = · · · Q. A pK α или Подставим найденные функции спроса в функциT иBдер@ек: 1α−1 1α 1 pL 1 − α 1 pL 1 − α C = pL · · · · Q + pK · · · ·Q A pK α A pK α C = k · Q, 41 где 1 k= · A 8 pL · = II 1α 9 pL 1 − α + pK · · = pK α 80 1α−1 0 1α 99 1 − α 1 − α 1 pαL · p1−α K pαL · p1−α · + = · . K α α A αα · (1 − α)1−α pL 1 − α · pK α 8 1 · A 1α−1 Функци: поле;ности и отношени: предпочтени: Пуст3 потребителT на рынке предлагаетс$ n благ. Определение 10.6. Вектор x = (x1 , x2 , . . . , xn ), где xi — это обIём (количество) потребл$емого i-го блага, наBываетс$ набором или вектором благ, а мно@ество всевоBмо@ных таких наборов наBываетс$ пространством благ : ; R+ = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn | xi " 0, i = 1, n . Существует два подхода к определениT полеBности дл$ потребител$: пор$дкова$ теори$ полеBности и количественна$ теори$ полеBности. Согласно пор$дковой теории полеBности выбор потребител$ характериBуетс$ отношением предпочтени$, которое обоBначаетс$ символом # или $. Это отношение, исход$ иB логики отношени$ благ, дол@но обладат3 следуTщими свойствами: 1. рефлексивност3: ∀x ∈ Rn+ x # x, 2. транBитивност3: ∀x, y, z ∈ Rn+ x # y ∧ y # z =⇒ x # z, 3. полнота: ∀x, y ∈ Rn+ x # y ∨ y # x. Если x # y, а условие y # x не выполн$етс$, то говор$т об отношении строгого предпочтени$ и BаписываTт x ≻ y. Если одновременно x # y и y # x, то говор$т, что x и y беBраBличны потребителT и BаписываTт x ∼ y. Отношение беBраBличи$ обладает следуTщими свойствами: 1. рефлексивност3: ∀x ∈ Rn+ x ∼ x, 2. симметричност3: ∀x, y ∈ Rn+ x ∼ y =⇒ y ∼ x, 3. транBитивност3: ∀x, y, z ∈ Rn+ x ∼ y ∧ y ∼ z =⇒ x ∼ z. Таким обраBом, отношение беBраBличи$ $вл$етс$ отношением эквивалентности и Bадаёт раBбиение пространства Rn+ на классы эквивалентности (классы беBраBличи$). 9амечание 10.2. Дл$ описани$ отношени$ предпочтени$ в микроэкономике рассматриваTтс$ и другие свойства этих отношений: монотонност3, непрерывност3, выпуклост3, ненасыщаемост3, аксиома неBависимости потребител$ и др. Отношение предпочтени$ $вл$етс$ лиш3 качественной категорией и плохо приспособлена дл$ проведени$ количественных исследований. Дл$ них удобно испол342 Bоват3 некоторый числовой индикатор (покаBател3), который поBвол$ет свести абстрактные операции отношени$ предпочтени$ к операци$м с числами. В качестве такого индикатора выступает функци$ полеBности. Определение 10.7. Функци$ U = U (x) наBываетс$ функцией полеBности, если x # y ⇐⇒ U (x) " U (y). 9амечание 10.3. В терминах функции полеBности отношени$ беBраBличи$ и строго предпочтени$ BадаTтс$ следуTщим обраBом x ∼ y ⇐⇒ u(x) = u(y), x ≻ y ⇐⇒ u(x) > u(y). Eначени$ функции полеBности наBываTт уровн$ми полеBности. Вообще говор$, ка@дый потребител3 имеет своT собственнуT функциT полеBности. Ва@но отметит3, что, если функци$ U = U (x) — функци$ полеBности некоторого потребител$, котора$ описывает его предпочтени$ на некотором потребител3ском мно@естве, а F (U ) — некотора$ строго воBрастаTща$ функци$, то сло@на$ функци$ F (U (x)) так @е представл$ет собой функциT полеBности. Справедливы следуTщие утвер@дени$. Теорема 10.1. Если предпочтени0 потребител0 на потребител&ском мноBестве описыва'тс0 функцией поле2ности, то эти предпочтени0 полны и тран2итивны (рационал&ны). Теорема 10.2. Если бинарное отношение # 0вл0етс0 полным, тран2итивным, непрерывным и монотонным, то существует непрерывна0 вещественно2начна0 функци0 U = U (x), представл0'ща0 это отношение. Экономико-математические характеристики функции поле;ности Определение 10.8. Средней полеBност3T i-го блага наBываетс$ следуTща$ величина U AUi = , (i = 1, n). xi Определение 10.9. Предел3ной полеBност3T i-го блага наBываетс$ следуTща$ величина ∂U Mi U = , (i = 1, n). ∂xi В дал3нейшем будем рассматриват3 функции полеBности, представленные функци$ми двух переменных, т. е. функции вида U = U (x1 , x2 ). Пуст3 функци$ U (x1 , x2 ) дифференцируема на некотором потребител3ском мно@естве. Неоклассическа$ функци$ полеBности обладает следуTщими свойствами. 43 1. 2. 3. ∂U > 0, (i = 1, 2). ∂xi Это свойство оBначает, что если в раBличных наборах количество одного продукта (блага) посто$нно, а количество другого растёт, то потребител3ска$ оценка так@е растёт. ∂ 2U < 0, (i = 1, 2). ∂x2i Это свойство оBначает, что предел3на$ полеBност3 ка@дого продукта (блага) умен3шаетс$, если его количество в наборе растёт. ∂ 2U > 0, (i = 1, 2, j = 1, 2, i ∕= j). ∂xi ∂xj Это свойство оBначает, что предел3на$ полеBност3 ка@дого продукта (блага) увеличиваетс$, если растёт количество другого продукта (блага). Определение 10.10. Кривой беBраBличи$ функции полеBности U = U (x1 , x2 ) наBываетс$ мно@ество таких потребител3ских наборов (x1 , x2 ), дл$ которых уровен3 потребител3ской оценки одинаковый: U (x1 , x2 ) = U0 . Если функци$ полеBности удовлетвор$ет услови$м 1-3, то соответствуTщие ей кривые беBраBличи$ обладаTт следуTщими свойствами: 1. Кривые беBраBличи$, соответствуTщие раBным уровн$м потребител3ской оценки, не пересекаTтс$. 2. Если крива$ беBраBличи$ U (x1 , x2 ) = U0 Bадаёт не$внуT функциT x2 = x2 (x1 ), то при фиксированном U0 эта функци$ $вл$етс$ убываTщей на проме@утке [0; +∞). U (x1 , x2 ) = U0 =⇒ dU (x1 , x2 ) = 0; ∂U ∂U · dx1 + · dx2 = 0; ∂x1 ∂x2 ∂U dx2 1 = − ∂x < 0. ∂U dx1 ∂x2 3. График функции x2 = x2 (x1 ) $вл$етс$ выпуклым вниB на всей области определени$. Определение 10.11. Предел3ной нормой Bамещени$ первого блага вторым наBываетс$ величина вида dx2 M RS12 = − . dx1 44 ИB свойств кривых беBраBличи$ следует, что предел3на$ норма Bамещени$ определ$етс$ по формуле ∂U M U1 ∂x1 M RS12 = ∂U = . M U2 ∂x2 Аналогично определ$етс$ предел3на$ норма Bамещени$ второго блага первым. БNдFетное мноFество. Bадачи потребител5ского выбора Пуст3 потребител3 обладает некоторым доходом в раBмере J, который он тратит на приобретение наборов, состо$щих иB двух благ при иBвестных ценах p1 и p2 на данные блага. Определение 10.12. Мно@ество наборов благ (x1 , x2 ), стоимост3 которых не превосходит доход потребител$ при Bаданных ценах p1 и p2 наBываетс$ бTд@етным мно@еством (или бTд@етным ограничением). 7 p1 x1 + p2 x2 ! I, x1 " 0, x2 " 0. Пр$ма$ p1 x1 + p2 x2 = J наBываетс$ бTд@етной линией. x2 J p2 J p1 x1 Рис. 7: БTд@етное мно@ество Bадача потребител5ского выбора: требуетс$ найти такой потребител3ский набор (x1 , x2 ), который максимиBирует функциT полеBности данного потребител$ при Bаданном бTд@етном ограничении. ! " #U (x1 , x2 ) → max , p1 x1 + p2 x2 ! J, " $ x1 " 0, x2 " 0. 45 x2 U 3 U4 U 1 U2 x1 Рис. 8: Решение Bадачи потребител3ского выбора БTд@етна$ лини$ имеет вид p1 x1 + p2 x2 = J, тогда x2 = pJ2 − pp12 x1 . Подставим это выра@ение в функциT полеBности: U = U (x1 , x2 ) = U (x1 , pJ2 − pp12 x1 ). Т. к. функци$ U = U (x1 , x2 ) удовлетвор$ет основным свойствам неоклассической функции полеBности, то оптимал3ным решением Bадачи потребител3ского выбора будет $вл$т3с$ внутренн$$ точка экстремума функции. Тогда по необходимому условиT экстремума функции получим 1 1 ∂U ∂U ∂ J p1 ∂U ∂U p1 ′ U = + · − x1 = + · − = 0, ∂x1 ∂x2 ∂x1 p2 p2 ∂x1 ∂x2 p2 откуда или p1 M1 U + M2 U · − p2 1 =0 M1 U p1 = . M2 U p2 Т. к. оптимал3ное решение ле@ит на бTд@етной линии, то Bадача отыскани$ оптимал3ного решени$ сводитс$ к решениT следуTщей системы уравнений ! p1 M1 U " # M2 U = p 2 , p1 x1 + p2 x2 = J, " $ x1 " 0, x2 " 0. В общем случае Bадачу потребител3ского выбора решаTт методом мно@ителей Лагран@а. Решив Bадачу потребител3ского выбора при проиBвол3ных поло@ител3ных благах и доходе, получим св$B3 ме@ду обIёмом потреблени$ ка@дого блага, их ценами и доходом, т. е. получим функции x1 = x1 (p1 , p2 , J) и x2 = x2 (p1 , p2 , J), которые наBываTтс$ функци$ми спроса Маршалла или функци$ми спроса на первое и второе блага. 46 Рассмотрим решение Bадач потребител3ского выбора дл$ раBличных функций полеBности. Пример 10.7. где A > 0, α > 0, β > 0. Найдём полеBности: Найдём их отношение: ! β α " #U = A · x1 · x2 → max , p1 x1 + p2 x2 ! J, " $ x1 " 0, x2 " 0, M1 U = A · α · xα−1 · xβ2 , 1 M2 U = A · β · xα1 · xβ−1 . 2 M1 U α · x2 = . M2 U β · x1 Тогда получили следуTщуT Bадачу: ! ! p ·β α · x p " 2 1 # # x2 = 1 · x1 , = , p2 · α β · x1 p2 ⇐⇒ $p x + p x = J. " $p1 x1 + p1 · β x1 = J. 1 1 2 2 α Тогда α·J β·J ; p1 · (α + β) p2 · (α + β) Пример 10.8. 1 ! " # x1 = α·J , p1 · (α + β) ⇐⇒ β·J " $ x2 = . p2 · (α + β) — оптимал3ный набор потребител$. ! " #U = a1 x1 + a2 x2 → max , p1 x1 + p2 x2 ! J, " $ x1 " 0, x2 " 0. p1 x1 + p2 x2 = J =⇒ x2 = J p1 p1 − x1 =⇒ tg α = . p2 p2 p2 a1 x1 + a2 x2 = U0 =⇒ x2 = U 0 a1 a1 − x1 =⇒ tg ϕ = . a2 a2 a2 Тогда воBмо@ны 3 случа$: 1 p1 J , тогда оптимал3ный набор потребител$ — ;0 ; p2 0 p1 1 p1 J , тогда оптимал3ный набор потребител$ — 0; ; p2 p2 p1 , тогда оптимал3ный набор потребител$ — p2 1 < J p1 J x1 ; − x1 | 0 ! x1 ! . p2 p2 p1 a1 1. > a2 a1 2. < a2 a1 3. = a2 60 47 x2 ϕ ϕ α x1 O Пример 10.9. x2 ! x1 x1 " #U = min ( a1 ; a1 ) → max , p1 x1 + p2 x2 ! J, " $ x1 " 0, x2 " 0. x2 = a2 x a1 1 U3 U2 U1 x1 ! #p1 x1 + p2 x2 = J, a2 $ x2 = x1 ; a1 ! a #p1 x1 + p2 2 x1 = J, a1 ⇐⇒ $ x 2 = a2 x 1 ; a1 48 ! " # x1 = a1 J , p1 a1 + p2 a2 ⇐⇒ a2 J " $ x2 = . p1 a1 + p2 a2 Тогда § 11 I a1 J a2 J ; p1 a1 + p2 a2 p1 a1 + p2 a2 1 — оптимал3ный набор потребител$. Некоторые прило&ени6 дифференциал<ных уравнений в социал<но-экономической сфере Модел5 естественного роста выпуска Пуст3 некотора$ продукци$ реалиBуетс$ по фиксированной цене p. ОбоBначим череB q(t) обIём продукции, реалиBованной в момент времени t, тогда величина дохода в этот момент времени будет определ$т3с$ по формуле R(t) = p · q(t). Пуст3 част3 этого дохода предпри$тие расходует на инвестиции в проиBводство реалиBуемой продукции: I(t) = m · R(t) = m · p · q(t), где 0 < m < 1 — коэффициент, наBываемый нормой инвестиции. В данной модели будем полагат3, что рынок ненасыщаем, т. е. вс$ продукци$ реалиBуетс$, тогда в реBул3тате расширени$ проиBводства будет получен прирост дохода, част3 которого снова будет испол3Bована на расширение проиBводства. Это приводит к росту скорости иBменени$ обIёма выпущенной продукции, причём эта скорост3 будет пропорционал3на увеличениT инвестиций, таким обраBом, q ′ (t) = α · I(t), где α — коэффициент акселерации. Тогда q ′ (t) = α · m · p · q(t) или q ′ (t) = k · q(t), где k = α · m · p. (11.1) Уравнение (11.1) ест3 дифференциал3ное уравнение 1-го пор$дка относител3но функции q(t). Это уравнение наBываетс$ уравнением естественного роста. Eаметим, что (11.1) — это уравнение с раBдел$Tщимис$ переменными. dq = k · q, dt / dq = q / q ∕= 0 dq = k · dt q k · dt + c, где c — проиBвол3на$ посто$нна$, ln |q| = k · t + c, 49 |q| = ekt+c , q = c1 · ekt , q = ±ec · ekt , 1 — проиBвол3на$ посто$нна$, c1 ∕= 0. Тогда общее решение исходного уравнени$ имеет вид q(t) = c∗ · ekt , c∗ — проиBвол3на$ посто$нна$. Математическа$ модел3 (11.1) была предло@ена Томасом Робертом Мал3тусом в 1798 году дл$ прогноBировани$ роста населени$ Eемли. II Модел5 естественного роста в услови:х насыщаемости рынка (в услови:х конкуренции) На практике модел3 естественного роста с посто$нными темпами (модели Мал3туса) целесообраBно примен$т3 на начал3ных этапах раBвити$ экономической системы. Дл$ того чтобы учест3 воBмо@ност3 насыщени$ в реBул3тате роста было предло@ено в модели (11.1) в качестве коэффициента k рассматриват3 некоторуT убываTщуT функциT переменной q, т. е. k = k(q) — убываTща$ функци$. Пуст3 в модели (11.1) цена p выпущенной продукции определ$етс$ с помощ3T обратной функции спроса p = p(q). При этом, очевидно, функци$ p(q) — убываTща$. В этом случае модел3 (11.1) примет вид q ′ (t) = k1 · p(q) · q, (11.2) где k1 = α · m. При этом, т. к. k1 > 0, q > 0, p > 0, то и q ′ (t) > 0, т. е. функци$ q(t) воBрастает. Найдём проиBводнуT 2–го пор$дка: q ′′ (t) = k1 (p′ (q) · q ′ (t) · q + p(q) · q ′ (t)) = k1 · q ′ (t) · (p′ (q) · q + p(q)) = 8 9 8 9 1 q 1 1 = k1 ·q ′ (t)· ′ + p(q) = k1 ·q ′ (t)· q′ (p) + p(q) = k1 ·q ′ (t)·p(q)· p ′ +1 = q (p) · q (p) q q 1 1 ′ = k1 · q (t) · p(q) · 1 − . |Ep (q)| В Bависимости от эластичности функции спроса по цене мо@но получит3 проме@утки, где график функции q(t) будет имет3 раBличные направлени$ выпуклости: • если |Ep (q)| > 1, то q ′′ (t) > 0, и график функции q(t) выпуклый вниB; • если |Ep (q)| < 1, то q ′′ (t) < 0, и график функции q(t) выпуклый вверх; 50 • если |Ep (q)| = 1, то q ′′ (t) = 0 и точка t — точка перегиба. Пуст3 дл$ определённости функци$, обратна$ к функции спроса, $вл$етс$ линейной, т. е. p(q) = b − aq, тогда модел3 (11.2) примет вид q ′ (t) = k1 · (b − aq) · q, a,b > 0 = a > q ′ (t) = k1 b 1 − q · q b 1 q ′ q (t) = k2 1 − · q. b2 (11.3) Модел3 (11.3) представл$ет собой модел3 естественного роста выпуска в услови$х насыщаемости рынка. Уравнение вида (11.3) наBываTт уравнением ФерхTл3ста, оно иBначал3но по$вилос3 в 1836 году при иBучении иBменений численности населени$. Eаметим, что это уравнение $вл$етс$ уравнением с раBдел$Tщимис$ переменными. 1 dq q = k2 1 − · q, dt b2 / = = dq 1− dq 1− q b2 q b2 > > ·q = ·q = k2 dt, / k2 dt + c. Найдём интеграл в левой части: / = dq 1− q b2 > = ·q / b2 dq = (b2 − q) · q / (b2 − q + q)dq = (b2 − q) · q / dq + q / dq = (b2 − q) , , , q , ,. = ln |q| − ln |b2 − q| = ln ,, b2 − q , Тогда получим решение уравнени$: , , , q , , , = k2 t + c, где c — проиBвол3на$ посто$нна$, ln , b2 − q , q = c 2 · e k2 t , b2 − q q = b 2 · c 2 · e k2 t − q · c 2 · e k2 t , q · (1 + c2 · ek2 t ) = b2 · c2 · ek2 t , 51 q f (x) b2 t Рис. 9: Логистическа$ крива$ q(t) = b 2 · c 2 · e k2 t . 1 + c 2 · e k2 t (11.4) Крива$, Bадаваема$ уравнением (11.4), наBываетс$ логистической кривой. Уравнение ФерхTл3ста находит раBличные прило@ени$ при моделировании процессов в социал3но-экономической сфере. Например, дл$ описани$ распространени$ в определённых социал3ных группах обраBцов поведени$ моды, обраBовани$, информации, рекламы и т. д. При иBучении социал3ных групп это уравнение встречаетс$ под наBванием уравнение Коулмена. III Модел5 естественного роста в услови:х конкуренции с учётом и;дерFек Рассмотрим модел3 естественного роста (11.3) и будем учитыват3, что скорост3 иBменени$ обIёма выпущенной продукции Bависит не от дохода, а от прибыли. Пуст3 функци$ иBдер@ек имеет вид C(q) = c1 q + c0 . Тогда модел3 примет вид q ′ (t) = k1 · ((b − aq) · q − c1 q − c0 ). (11.5) Уравнение (11.5) представл$ет собой математическуT модел3 естественного роста в услови$х конкуренции с учётом иBдер@ек. Её мо@но Bаписат3 в ином виде: q ′ (t) = −ak1 q 2 + k1 (b − c1 )q − k1 c0 . Полученное уравнение $вл$етс$ дифференциал3ным уравнением первого пор$дка с раBдел$Tщимис$ переменными. IV Модел5 выбыти: фондов ОбоBначим череB K(t) величину проиBводственных фондов в момент времени t, выра@еннуT в натурал3ном или стоимостном выра@ении. 52 Со временем все фонды иBнашиваTтс$, стареTт, в этом случае говор$т о процессе выбыти$ фондов, при этом скорост3 выбыти$ фондов выра@аетс$ череB некоторый коэффициент выбыти$, обоBначим его µ. Выбытие фондов ведёт к умен3шениT фондов µ·K в единицу времени, а Bа проме@уток времени ∆t — на величину µ·K ·∆t. ОбоBначим Bа I величину посто$нных инвестиций в единицу времени. Eа укаBанный период раBмер инвестиций, который идёт на воBобновление проиBводственных фондов, равен ρ · I, где ρ — норма инвестиций (0 < ρ < 1). Тогда Bа проме@уток времени ∆t величина инвестиций, направл$ема$ на воBобновление фондов, равна ρ · I · ∆t. Рассмотрим проиBвол3ный момент времени t и дадим приращение ∆t. Тогда величина проиBводственных фондов в момент времени t + ∆t составит K(t + ∆t) = K(t) − µK(t)∆t + ρI∆t, откуда K(t + ∆t) − K(t) = −µK(t) + ρI. ∆t Устремл$$ ∆t → 0, получим уравнение K ′ (t) = −µK(t) + ρI. (11.6) Таким обраBом, получили математическуT модел3 выбыти$ (или дви@ени$) фондов. Eаметим, что уравнение (11.6) представл$ет собой линейное неоднородное дифференциал3ное уравнение первого пор$дка. K ′ + µK = ρI. Домно@им на e ! µdt = eµt : eµt K ′ + eµt µK = eµt ρI, (eµt K)′ = eµt ρI, / µt e K = eµt ρIdt + c, eµt K = K(t) = V 1 µt e ρI + c, µ ρI + c · e−µt , где c — проиBвол3на$ посто$нна$. µ Модел5 Со́лоу Введём следуTщие обоBначени$: X — валовый продукт. В данной модели будем полагат3, что экономическа$ система проиBводит тол3ко один универсал3ный продукт, и этот продукт идёт на инвестирование и потребление в проиBводство. 53 Модел3 Солоу отобра@ает ва@нейшие макроэкономические аспекты процесса воспроиBводства. ОбоBначим череB I обIём инвестиций, C — обIём фондов непроиBводственного потреблени$. В данной модели имеет место равенство X = I + C. Пуст3 K — это обIёмы проиBводственных фондов, а L — обIём трудовых ресурсов. Будем полагат3, что все укаBанные величины непрерывно Bавис$т от времени t. Будем полагат3, что численност3 Bан$тых в проиBводстве растёт с посто$нными темпами ν, т. е. функци$ L = L(t) $вл$етс$ решением дифференциал3ного уравнени$ L′ (t) = ν · L(t) при начал3ных услови$х L(0) = L0 . Реша$ это уравнение, получим, что L(t) = L0 ·eνt . Кроме того, в процессе проиBводства происходит дви@ение фондов согласно следуTщему дифференциал3ному уравнениT K ′ (t) = −µK(t) + I. Мо@но ввести обоBначение: I = ρ · X, тогда C = (1 − ρ) · X. Таким обраBом, модел3 Солоу представл$ет собой следуTщуT систему соотношений: ! K ′ (t) = −µK(t) + ρ · X, " " " " " "L(t) = L0 · eνt , " " #L(0) = L , (11.7) "K(0) = K0 , " " " " " X = X(K, L), " " $ C = (1 − ρ)X, где X — неоклассическа$ проиBводственна$ функци$. VI Модел5 Эванса Рассмотрим рынок одного товара и обоBначим череB D(t) функциT спроса на этот товар, S(t) — функциT предло@ени$, p(t) — цену на товар. Будем считат3, что функции спроса и предло@ени$ линейны относител3но цены, т. е. D(t) = a − b · p(t), S(t) = α + β · p(t), где a, b, α, β > 0, и дл$ определённости a > α, т. е. при нулевой цене спрос превышает предло@ение. Основное предполо@ение, на котором строитс$ модел3 Эванса, состоит в том, что цена мен$етс$ в Bависимости ме@ду спросом и предло@ением, а именно: увеличение цены пр$мо пропорционал3но превышениT спроса над предло@ением и длител3ности временного проме@утка, т. е. ∆p = γ · (D − S) · ∆t. Устремл$$ ∆t → 0, получим p′ (t) = γ · (D(t) − S(t)). 54 Подставим выра@ени$ дл$ спроса и предло@ени$, получим: p′ (t) = γ · (a − b · p(t) − α − β · p(t)), p′ (t) + γ · (b + β)p(t) = γ(a − α), p(0) = p0 . (11.8) Уравнение (11.8) — линейное неоднородное дифференциал3ное уравнение пер! вого пор$дка. Решим его, домно@им на e γ(b+β)dt = eγ(b+β)t : eγ(b+β)t · p′ (t) + eγ(b+β)t · γ · (b + β)p(t) = eγ(b+β)t · γ(a − α), (eγ(b+β)t · p(t))′ = eγ(b+β)t · γ(a − α), / γ(b+β)t e · p(t) = eγ(b+β)t · γ(a − α)dt + c eγ(b+β)t · p(t) = p(t) = γ(a − α) γ(b+β)t e + c, γ(b + β) (a − α) + c · e−γ(b+β)t ; (b + β) (a − α) (a − α) + c =⇒ c = p0 − ; (b + β) (b + β) 1 (a − α) (a − α) p(t) = + p0 − · e−γ(b+β)t ; (b + β) (b + β) p(0) = p0 = Функции спроса и предло@ени$ Bавис$т не тол3ко от цены p(t), но и от скорости иBменени$ этой цены, а так@е от темпа роста этой цены. Если p(t) два@ды дифференцируема$ функци$, p′ (t) — скорост3 иBменени$ цены, а p′′ (t) — темп роста цены. Тогда функции спроса и предло@ени$ будут имет3 более сло@ный вид: S(t) = α + β · p(t) + γ · p′ (t) + δ · p′′ (t), D(t) = a − b · p(t) − c · p′ (t) + d · p′′ (t), где a, b, c, d, α, β, γ, δ > 0. Тогда модел3 установлени$ равновесных цен будет имет3 вид: (d − δ) · p′′ (t) + (−c − γ) · p′ (t) + (−b − β) · p(t) = α − a. (11.9) Eаметим, что уравнение (11.9) представл$ет собой линейное неоднородное дифференциал3ное уравнение 2-го пор$дка с посто$нными коэффициентами. 55 § 12 I Некоторые прило&ени6 раFностных уравнений в моделировании динамических процессов Паутинообра;на: модел5 рынка При моделировании социал3но-экономических процессов с помощ3T дифференциал3ных уравнений часто исход$т иB предполо@ени$ о мгновенном вли$нии факторов на экономические процессы. В реал3ных ситуаци$х такие вBаимодействи$ не всегда происход$т мгновенно, очен3 часто они происход$т с некоторым BапаBдыванием. Поэтому в тех модел$х, где необходимо учест3 BапаBдывание, вместо дифференциал3ных уравнений дл$ моделировани$ испол3BуTтс$ раBностные. Рассмотрим модел3 установлени$ равновесной цены с учётом BапаBдывани$. Будем полагат3, что проиBводител3 определ$ет обIём предло@ени$ в некотором текущем периоде на основе цены, установившейс$ в предыдущем периоде. Тогда, счита$, что Bависимост3 предло@ени$ от цены линейна$, получим следуTщуT функциT предло@ени$: α + β · p(t − 1), α, β > 0. С другой стороны спрос потребител$ в текущий момент времени t будет определ$т3с$ ценой, установившейс$ в текущем периоде. Счита$, что спрос $вл$етс$ так@е линейной функцией от цены, получим следуTщуT функциT спроса: d(t) = a − b · p(t), a,b > 0. ОтсTда математическа$ модел3 установлени$ равновесной цены примет вид: s(t) = d(t), α + β · p(t − 1) = a − b · p(t), b · p(t) + β · p(t − 1) = a − α, a > α. (12.1) Введём обоBначение T = t − 1, тогда t = T + 1, отсTда b · p(T + 1) + β · p(T ) = a − α. Eаметим, что полученное уравнение представл$ет собой линейное раBностное уравнение первого пор$дка с посто$нными коэффициентами. Найдём решение этого уравнени$: pо.н. (T ) = pо.о. (T ) + pч.н. (T ), 1. Найдем pо.о. (T ). b · p(T + 1) + β · p(T ) = 0, b · λ + β = 0, 56 b · λ + β = 0, β λ=− , b 1T β pо.о. (T ) = c · − . b 2. Найдём pч.н. (T ) Пуст3 pч.н. (T ) = m, где m — неопределённый коэффициент. b · m + β · m = a − α =⇒ m = pч.н. (T ) = Тогда β pо.н. (T ) = c · − b II a−α . b+β a−α . b+β 1T + a−α . b+β Модел5 экономического цикла Самуэл5сона-Хикса В данной модели рассматриваетс$ экономика, в которой проиBводитс$ некоторый продукт X. ИBвестно, что част3 этого продукта идёт на внутреннее потребление C, а част3 направлена на инвестирование I в проиBводство этого продукта, т. е. имеем X(t) = C(t) + I(t). В данной модели предполагаетс$, что рост потреблени$ BапаBдывает от роста продукта, т. е. C(t) = m·X(t−1)+n. С другой стороны обIём инвестировани$ Bависит от приращени$ продукта в предыдущие периоды, т. е. I(t) = a·(X(t−1)−X(t−2)), где a — коэффициент акселерации. Тогда экономическа$ модел3 экономического цикла примет вид: X(t) = m · X(t − 1) + n + a · (X(t − 1) − X(t − 2)) или X(t) − (m + a) · X(t − 1) + a · X(t − 2) = n. (12.2) Eаметим, что уравнение представл$ет собой линейное неоднородное раBностное уравнение второго пор$дка относител3но функции X(t) с посто$нными коэффициентами. 57 Глава 3 §1 Модели управлени6 Fапасами Основные пон6ти6 теории управлени6 Fапасами Рассмотрим основные характеристики моделей управлени$ Bапасами 1. Спрос. [вл$етс$ ва@ным фактором при постановке Bадачи управлени$ Bапасами. Спрос мо@ет быт3 детерминированным (посто$нным во времени, Bаранее иBвестным) или случайным (при этом его случайност3 описываетс$ либо случайным моментом спроса, либо случайным обIектом спроса). 2. ОбIём BакаBа. Eапасы пополн$Tтс$ с помощ3T BакаBов. При периодическом пополнении и случайном исчерпании Bапасов обIём BакаBа мо@ет Bависет3 от того состо$ни$, которое наблTдаетс$ в момент подачи BакаBа. Как правило, BакаB подаётс$ на одну и ту @е величину дл$ дости@ени$ величины Bапаса Bаданного уровн$. Момент, или уровен3, Bапаса, при котором делаетс$ новый BакаB, будем наBыват3 точкой восстановлени$ Bапасов. 3. Врем$ доставки. В идеалиBированных модел$х предполагаетс$, что пополнение Bапаса осуществл$етс$ мгновенно, т. е. врем$ доставки равно нулT. Однако во многих модел$х в качестве одной и ва@ных характеристик вклTчаетс$ срок выполнени$ BакаBа, т. е. проме@уток времени с момента BакаBа до его выполнени$. 4. Eатраты на приобретение. ХарактериBуетс$ стоимост3T единицы приобретаемой продукции, причем стоимост3 мо@ет быт3 посто$нной или мен$т3с$ от обIёма BакаBа. 5. ИBдер@ки выполнени$ (соBдани$) BакаBа. Представл$Tт собой расходы, св$Bанные с оформлением BакаBа или его раBмещением на других проиBводствах. Эти Bатраты не Bавис$т от обIёма BакаBа. 6. ИBдер@ки хранени$. Счита$, что обIём склада неограничен, полагаTт, что Bа хранение ка@дой единицы BакаBа в единицу времени вBимаетс$ определённа$ плата. 7. Потери от дефицита (штраф Bа дефицит). Это расходы, которые обусловлены отсутствием Bапаса определённой продукции. 8. Совокупные иBдер@ки Bа период. Представл$Tт собой сумму всех видов иBдер@ек в Bависимости от модели. 9. Номенклатура Bапасов. РаBличаTт однотипные (однономенклатурные) Bапасы и раBнотипные (многономенклатурные) Bапасы. В качестве критери$ эффективности управлени$ Bапасами рассматриваетс$ средн$$ совокупност3 Bатрат или иBдер@ек, вклTчаTща$ в себ$ Bатраты на хранение, поставку продукта и штрафы. Пуст3 A(t), B(t) и D(t) представл$Tт собой пополнение Bапасов, их расход и спрос на Bапасаемый продукт соответственно Bа проме@уток времени [0; t]. Тогда уровен3 Bапаса в момент времени t будет определ$т3с$ функцией вида J(t) = J0 + A(t) − B(t), где J0 — начал3ный уровен3 Bапаса. 58 Пуст3 a(t), b(t), d(t) — это интенсивности пололнени$, расхода и спроса на Bапасаемый продукт соответственно. Тогда a(t) = A′ (t), b(t) = B ′ (t), d(t) = D′ (t). Eадача управлени$ Bапасами состоит в отыскании такой стратегии пополнени$ и расхода Bапасов, при которой функци$ совокупных Bатрат принимает наимен3шее Bначение. §2 Статическа6 детерминированна6 модел< управлени6 Fапасами беF дефицита Пуст3 Q — общее потребление некоторого продукта на складе Bа период времени ∆. Пополнение Bапаса осуществл$етс$ парти$ми одинакового обIёма, равного q. При этом C0 — это Bатраты на доставку одной партии товара, не Bавис$щие от обIёма партии. Ch — Bатраты на хранение одной единицы товара в единицу времени. Будем считат3, что в модели управлени$ Bапасами расходование продукта (его Bапаса) происходит непрерывно с посто$нной интенсивност3T, т. е. b(t) = b. Кроме того в данной модели будем полагат3, что Bакупочна$ цена не Bависит от раBмера BакаBа, не допускаетс$ дефицит товара, а пополнение Bапаса осуществл$етс$ мгновенно в момент полного исчерпани$ товара на складе. Требуетс$ определит3 оптимал3ный раBмер BакаBа q0 , врем$ ме@ду BакаBами T , количество BакаBов k Bа период времени ∆ и соответствуTщие иBдер@ки T C(q0 ). Решение ;адачи Т. к. расходование Bапаса осуществл$етс$ непрерывно с посто$нной интенсивност3T, то эту интенсивност3 расхода мо@но определит3 по формуле b= Q . ∆ (2.1) Т. к. модел3 не допускает дефицита продукта, то это оBначает полное удовлетворение спроса на этот продукт: d(t) = b(t) = b. Таким обраBом, интенсивност3 спроса иBвестна и посто$нна. Eна$, что пополнение Bапаса осуществл$етс$ парти$ми равного обIёма q, Bаметим, что функци$ интенсивности пополнени$ Bапаса не $вл$етс$ непрерывной: a(t) = 0 во все моменты времени t, кроме момента поставки BакаBа, когда интенсивност3 пополнени$ 59 a(t) = q. При этом ка@да$ парти$ q будет иBрасходована Bа врем$ q T = . b (2.2) Предполо@им, что в начал3ный момент времени уровен3 Bапаса равен обIёму партии, т. е. J0 = q. Тогда уровен3 Bапаса на проме@утке времени [0; T ] будет определ$т3с$ по формуле J(t) = q − bt. J q T 2T 3T t Т. к. Bа врем$ ∆ необходимо имет3 Q единиц продукта, который поставл$етс$ парти$ми обIёма q, то количество таких партий будет определ$т3с$ по формуле k = Qq или b∆ ∆ k= = . (2.3) bT T Тогда Bатраты на соBдание Bапаса будут определ$т3с$ следуTщим обраBом: C1 (q) = C0 · k = C0 · Q . q Eатраты на хранение Bапаса в момент времени t будут определ$т3с$ по формуле Ch · J(t) = Ch (q − bt). Тогда Bатраты на хранение продукта Bа проме@уток времени [0; T ] состав$т C20 (q) = /T 8 , , 9 1 2 ,T bt2 ,T bT , Ch (q − bt)dt = Ch · (q − bt)dt = Ch · qt,, − = Ch · qT − = , 2 2 1 1 q T2 qT Ch · T · q = Ch · qT − = Ch · qT − = . ∆ 2 2 2 /T Tq 9амечание 2.1. Eа проме@уток времени T средний Bапас составл$ет , а, Bначит, 2 Bатраты на хранение всего Bапаса при его линейном расходе равны Bатратам на хранение среднего Bапаса продукта. 60 Eатраты на хранение Bапаса Bа проме@уток времени ∆ будут определ$т3с$ равенством Ch · T · q Ch · T · Q Ch · q · ∆ C2 (q) = k · C20 (q) = k · = = . 2 2 2 ОтсTда совокупные Bатраты в данной Bадаче будут определ$т3с$ следуTщей функцией: T C(q) = C1 (q) + C2 (q) или T C(q) = C0 · Q Ch · ∆ + q. q 2 (2.4) Определим такой обIём Bапаса q, при котором совокупные иBдер@ки T C(q) будут наимен3шими. C0 · Q Ch · ∆ T C ′ (q) = − 2 + , q 2 C0 · Q Ch · ∆ 2C0 Q T C ′ (q) = 0 =⇒ − 2 + = 0 =⇒ q 2 = , q 2 Ch ∆ ? 2C0 Q q0 = . (2.5) Ch ∆ 2C0 · Q T C ′′ (q) = > 0, тогда q0 — точка минимума. q3 Т. к. функци$ T C(q) непрерывна на [0; +∞) и имеет на проме@утке единственнуT точку минимума, то именно в ней достигаетс$ наимен3шее Bначение функции. Формула (2.5) наBываетс$ формулой Уилсона или формулой наиболее экономичного обIёма партии, её так@е часто BаписываTт в виде ? 2C0 b q0 = . Ch C T C(q) C2 (q) C1 (q) q0 q ИB формулы Уилсона следует, что минимал3на$ совокупност3 иBдер@ек управлени$ Bапасами достигаетс$ в том случае, когда Bатраты на хранение Bапаса совпадаTт с Bатратами на его соBдание. При этом величина минимал3ных Bатрат будет определ$т3с$ по формуле @ T C(q0 ) = ∆ · 2C0 Ch b. 61 Пример 2.1. Официал3ный представител3 компании «Бета» Bанимаетс$ роBничной прода@ей электроники, одним иB видов продукции $вл$Tтс$ ноутбуки. Спрос на них составл$ет 25 штук в неделT. Причем его величина равномерно распредел$етс$ в течение недели. Представител3 проиBводит Bакупку по цене 180 ден. ед. Стоимост3 одного BакаBа составл$ет 300 ден. ед., а иBдер@ки хранени$ 10 ден. ед. Bа одну штуку в течение года и 15% среднегодовой стоимости Bапаса. Предполага$, что в году 50 недел3, найдите оптимал3ный раBмер BакаBа. Решение. Дано: Q = 25 · 50 = 1250, C0 = 300, Ch = 10 + 0,15 · 180 = 37, ∆ = 1 год = = 50 недел3. ? 2 · 300 · 1250 q0 = ≈ 142. 37 · 1 √ T C(q0 ) = T C(142) = 1 · 2 · 300 · 1250 · 37 = 5278,83. T = 142 1250 50 ≈ 5,68. На практике обIём BакаBа мо@ет отличат3с$ от оптимал3ного. Например, в рассмотренном примере мо@ет окаBат3с$ удобным BакаBыват3 по 140 или 150 штук. ВоBникает вопрос, как иBмен$тс$ при этом суммарные Bатраты. Дл$ этого рассмотрим функциT суммарных иBдер@ек и раBло@им её в р$д Тейлора в окрестности точки q0 : T C(q) = T C(q0 ) + Т. к. T C ′ (q0 ) = 0, T C ′′ (q0 ) = дер@ек составит T C ′ (q0 ) T C ′′ (q0 ) (q − q0 ) + (q − q0 )2 + . . . . 1! 2! 2C0 · Q , то относител3ное отклонение суммарных иBq03 T C(q) − T C(q0 ) = T C(q0 ) 2C0 ·Q (q − q0 )2 q 3 ·2! C0 ·Q + Ch2·∆ q0 q0 C0 Q = C0 Q + Ch2·∆ q02 q − q0 q0 12 . Полученный реBул3тат свидетел3ствует об определённой устойчивости по отношениT к наиболее экономичному обIёму BакаBа, т. к. при малых отклонени$х обIёма BакаBа от оптимал3ного относител3ное иBменение суммарных Bатрат $вл$етс$ бесконечно малой величиной более высокого пор$дка, чем относител3ное иBменение обIёма BакаBа. 9амечание 2.2. Т. к. в точке минимума выполн$етс$ соотношение C0 · Q Ch · ∆ = q0 , q0 2 то 2C0 ·Q (q − q0 )2 q 3 ·2! C0 ·Q + Ch2·∆ q0 q0 1 = 2 62 q − q0 q0 12 . J q R b T 2T 3T t L Если в модели иBвестно врем$ выполнени$ BакаBа L, причем к момену нового поступлени$ Bапас равен нулT, то необходимо установит3 точку восстановлени$ Bапаса — уровен3 Bапаса продукта, при котором необходимо делат3 новый BакаB. Тогда R = b · L. В этом случае получили статическуT детерминированнуT модел3 беB дефицита с фиксированным временем выполнени$ BакаBа. §3 Модел< с проиFводством Рассмотрим модел3, в которой проиBводство и хранение продукции осуществл$етс$ одной органиBацией. Будем полагат3, что Bа год проиBвод$т продукциT парти$ми q, и эта продукци$ поступает непосредственно на склад. ПроиBводител3ност3 по выпуску этой продукции посто$нна и равна p штук в единицу времени. При этом проиBводство продукции прекращаетс$ в тот момент, когда уровен3 Bапаса на складе достигает максимума. Считаетс$, что спрос удовлетвор$етс$ полност3T и его интенсивност3 совпадает с интенсивност3T расхода: d(t) = b(t) = b. Очевидно, данна$ система будет работат3 тол3ко в том случае, когда p > b. Пуст3 C0 — посто$нные иBдер@ки, св$Bанные с органиBацией проиBводства одной партии, Ch — иBдер@ки на хранение одной единицы продукта в единицу времени. Стоимост3 иBдели$ не Bависит от обIёма партии. Требуетс$ определит3 оптимал3ный раBмер проиBводства партии q0 , врем$ ме@ду последовател3ными Bапусками проиBводства T , количество проиBводственных циклов k Bа Bаданный период времени ∆ и совокупные иBдер@ки. 63 Решение ;адачи В начал3ный момент времени склад пуст. Уровен3 Bапасов на складе будет определ$т3с$ по формуле 7 (p − b)t, если 0 ! t ! T1 , J(t) = q − bt, если T1 < t ! T. q . p Тогда максимал3ный Bапас продукции на складе мо@но найти следуTщим обраBом: q q ′ = T1 · (p − b) = (p − b). p Продол@ител3ност3 проиBводства одной партии определ$етс$ по формуле T1 = J q q′ T1 T 2T 3T t Найдём врем$ полного исчерпани$ Bапаса на складе. 1 q′ q q b T2 = = (p − b) = · 1 − b pb b p q T = T1 + T2 = . b Составим функциT иBдер@ек проиBводства. C1 (q) = C0 · k = C0 · ∆ C0 · ∆ · b = . T q Найдём функциT иBдер@ек хранени$ Bа один цикл. C20 (q) = /T q2 Ch · J(t)dt = Ch · 2b b 1− p 1 ОтсTда функци$ иBдер@ек хранени$ Bа проме@уток времени ∆ определ$етс$ так: 1 1 q2 b ∆b Ch ∆ b C2 (q) = C20 (q) · k = Ch · 1− · = q 1− . 2b p q 2 p 64 Тогда мо@ем найти суммарные иBдер@ки проиBводства 1 C0 ∆b Ch ∆ b T C(q) = + 1− q. q 2 p Дл$ того чтобы найти оптимал3ный обIём партии q0 , необходимо исследоват3 функциT T C(q) на наимен3шее Bначение на проме@утке (0, +∞). §4 Статическа6 детерминированна6 модел< управлени6 Fапасами с количественными скидками Пуст3 дана статическа$ детерминированна$ модел3 беB дефицита. Будем полагат3, что в данной модели цена приобретаемого продукта Bависит от обIёма BакаBа так, что если обIём BакаBа превышает Bаданное Bначение q1 , то предоставл$етс$ скидка, в соответствии с которой цена Bа единицу продукции становитс$ равной p1 < p, где p — первоначал3на$ цена единицы продукции. Будем полагат3, что иBдер@ки соBдани$ BакаBа C0 и иBдер@ки хранени$ единицы товара Ch не Bавис$т от цены единицы продукции. Требуетс$ определит3 оптимал3ный раBмер BакаBа q0 и иBдер@ки T C(q0 ). Решение. В данной модели функци$ совокупных иBдер@ек будет представл$т3 собой сумму иBдер@ек соBдани$ BакаBов, иBдер@ек хранени$ и иBдер@ек приобретени$. Т. к. цена продукции Bависит от обIёма партии, то функци$ общих иBдер@ек будет имет3 вид: ! C0 Q Ch ∆q " # + + pQ, если q ! q1 , q 2 T C(q) = C Q C ∆q " $ 0 + h + p1 Q, если q > q1 . q 2 C q q0 q1 Определим точку, в которой функци$ общих иBдер@ек принимает наимен3шее Bначение на ка@дом иB проме@утков (0, q1 ) и [q1 , +∞). Пуст3 q0 — точка минимума, тогда воBмо@ны 2 случа$: 65 1. q0 ∈ [q1 , +∞), тогда оптимал3ный раBмер BакаBа совпадает с q0 ; 2. q0 ∈ [(0, q1 ), тогда оптимал3ный раBмер BакаBа ну@но выбрат3, сравнив Bначени$ функции общих иBдер@ек в точках q0 и q1 . Аналогичное решение мо@но получит3 в случае, когда иBдер@ки хранени$ Ch и иBдер@ки соBдани$ BакаBа C0 Bавис$т от цены. В случае, если система скидок в Bависимости от раBмера BакаBа более гибка$ и содер@ит n проме@утков, решение Bадачи управлени$ Bапасами сведётс$ к решениT n Bадач определени$ раBмера BакаBа, при котором соответствуTща$ функци$ иBдер@ек достигает наимен3шего Bначени$ с учётом ограничений на количество. C q1 q0 §5 q2 q3 q Статическа6 детерминированна6 модел< с дефицитом Пуст3 в исходной Bадаче воBмо@но наличие дефицита, т. е. при отсутствии Bапасаемого продукта спрос на него сохран$етс$ с интенсивност3T d(t) = b, но потребление Bапаса отсутствует b(t) = 0. Пуст3 Cd — это штраф Bа дефицит Bа ка@дуT единицу продукта в единицу времени. Требуетс$ определит3 оптимал3ный раBмер BакаBа q0 , максимал3ный уровен3 Bапаса S0 и соответствуTщие совокупные иBдер@ки T C(q0 , S0 ). Решение. ИBобраBим линиT уровн$ Bапаса. 66 J q S T2 T1 T 2T 3T t Ка@дый временной интервал длиной T одного цикла представл$ет собой сумму двух интервалов: врем$ потреблени$ Bапаса длиной T1 и врем$, когда Bапас отсутствует и накапливаетс$ дефицит, длиной T2 , который будет перекрыт в момент поступлени$ следуTщей партии. При этом необходимост3 перекрыти$ дефицита приводит к тому, что максимал3ный уровен3 Bапаса S в момент поступлени$ ка@дой партии мен3ше обIёма этой партии q на величину q − S. ИB геометрических сообра@ений получим T1 S S = =⇒ T1 = · T. T q q T2 q−S q−S = =⇒ T2 = · T. T q q T = T1 + T2 . Функци$ общих иBдер@ек в данной модели будет представл$т3 собой сумму иBдер@ек соBдани$ BакаBа C1 (q), иBдер@ек хранени$ Bапаса C2 (q, S) и иBдер@ек, св$Bанных с дефицитом C3 (q, S), т. е. T C(q) = C1 (q) + C2 (q, S) + C3 (q, S). Функци$ иBдер@ек соBдани$ BакаBов: Q C1 (q) = C0 · . q Функци$ иBдер@ек хранени$ Bапаса: ST1 ST1 ∆ S 2T ∆ Ch ∆S 2 C2 (q, S) = Ch · · k = Ch · · = Ch · · = . 2 2 T 2q T 2q Функци$ иBдер@ек, св$Bанных с дефицитом: C3 (q, S) = Cd · (q − S)T2 Cd (q − S)2 · T ∆ Cd ∆(q − S)2 ·k = · = . 2 2q T 2q Таким обраBом, функци$ общих иBдер@ек примет вид: T C(q, S) = C0 · Q Ch ∆S 2 Cd ∆(q − S)2 + + . q 2q 2q 67 Отметим, что функци$ общих иBдер@ек — это функци$ двух переменных, а Bначит, чтобы определит3 максимал3ный уровен3 Bапаса, ну@но исследоват3 эту функциT на наимен3шее Bначение. Исследуем функциT на экстремум. По необходимому условиT экстремума получим ! ∂T C(q, S) " # = 0, ∂q " $ ∂T C(q, S) = 0. ∂S Определим критические точки и с помощ3T достаточного услови$ экстремума функции установим, $вл$етс$ эта критическа$ точка точкой минимума. ∂ 2 T C(q, S) ∂ 2 T C(q, S) ∆(q, S) = · − ∂q 2 ∂S 2 ∂ 2 T C(q, S) ∂q∂S 12 Точка (q0 , S0 ), в которой ∆(q0 , S0 ) > 0 $вл$етс$ точкой экстремума, при этом ∂ 2 T C(q, S) она будет $вл$т3с$ точкой минимума, если > 0. ∂q 2 ! A A #q0 = 2C0 Q · Ch +Cd , A Ch ∆ A Cd Cd $S0 = 2C0 Q · Ch ∆ Ch +Cd Определение 5.1. Величина ρ = неудовлетворённого спроса. (5.1) Cd наBываетс$ плотност3T убытков иB-Bа Ch + Cd ИB формулы (5.1) видно, что оптимал3ный обIём BакаBа в модели с дефицитом бол3ше чем соответствуTщий оптимал3ный обIём BакаBа в модел$х беB дефицита в 1 √ раB. ρ Пример 5.1. Компани$ «Гамма» реалиBует профессионал3нуT видеотехнику. Спрос на продукциT равномерно распределён в течение года и составл$ет 2000 шт. Eакупка оборудовани$ обходитс$ в 50 ден. ед. Bа штуку, стоимост3 подачи BакаBа равна 50 ден. ед, а иBдер@ки хранени$ составл$Tт 15% среднегодовой стоимости Bапасов. По оценке владел3ца компании система BакаBов, поBвол$Tща$ отсутствие Bапасов, предусматривает расходы, св$Bанные с утратой довери$ со стороны клиентов, в раBмере 5 ден. ед. в год Bа единицу оборудовани$. Требуетс$ определит3 минимал3ное Bначение общей стоимости BакаBа при условии, что отсутствие Bапаса недопустимо. Найти величину экономии, котора$ достигаетс$ при введении системы, поBвол$Tщей отсутствие товаров, счита$, что дефицит покрываетс$ иB новых поставок. Решение. Дано: Q = 2000, C0 = 50, Cd = 5, ∆ = 1, Ch = 0,15 · 50 = 7,5. 68 1. Модел3 беB дефицита. q0 = ? 2C0 Q = Ch ∆ T C(q0 ) = T C(163) = ? 2 · 50 · 2000 ≈ 163. 7,5 · 1 50 · 2000 7,5 · 1 · 163 + ≈ 1224,75. 163 2 2. Модел3 с дефицитом. ? ? ? 2C0 Q Ch + Cd 12,5 q0 = = 163 · ≈ 163 · 1,58 ≈ 258. Ch ∆ Cd 5 ? 5 S0 = 163 · ≈ 103. 12,5 T C(258,103) = §6 50 · 2000 7,5 · 1 · 1032 5 · 1 · (258 − 103)2 + + ≈ 774,6. 258 2 · 258 2 · 258 ∆T C = 1224,75 − 774,6 = 450,15. Стохастические модели управлени6 Fапасами Предполо@им, что рассматриваетс$ один фиксированный проме@уток времени, в течение которого проиBводитс$ не более одного пополнени$ Bапаса. Так@е предполо@им, что пополнение происходит мгновенно. Пуст3 Ch — иBдер@ки хранени$ единицы Bапаса в начале этого периода, Cd — иBдер@ки, св$Bанные с дефицитом в течение этого периода, p — стоимост3 единицы Bапаса. Пуст3 спрос D Bа укаBанный период представл$ет собой дискретнуT или непрерывнуT случайнуT величину, BаданнуT Bаконом распределени$ веро$тности P (D) или плотност3T веро$тности f (D) соответственно. Требуетс$ найти обIём Bапаса S, минимиBируTщий о@идаемые иBдер@ки Bа этот период. Решение. Будем полагат3, что начал3ный Bапас равен 0. В этом случае BакаB оформл$етс$ сраBу в начале периода, поэтому фиксированными иBдер@ками соBдани$ BакаBа мо@но пренебреч3. Пуст3 S — величина Bапаса, соBдаваемого в начале периода. Если в течение периода величина спроса мен3ше раBмера Bапаса, т. е. D < S, то в течение этого периода на складе посто$нно хранитс$ S − D единиц продукции, с которыми св$Bаны иBдер@ки хранени$. Если @е величина спроса Bа рассматриваемый период превышает обIём Bапаса, т. е. D > S, то воBникает дефицит в раBмере D − S единиц продукции, с которым св$Bаны соответствуTщие иBдер@ки. В стохастических модел$х управлени$ Bапасами функци$ общих иBдер@ек $вл$етс$ случайной величиной, поэтому в качестве решени$ Bадачи рассматриваетс$ математическое о@идание иBдер@ек. 69 Рассмотрим 2 типа Bадачи. Пуст3 спрос $вл$етс$ дискретной случайной величиной с иBвестным р$дом распределени$ Тогда дл$ величины Bапаса S математическое о@идание иBдер@ек храD P (D) P (0) 1 P (1) 2 P (2) ... ... нени$ равно C1 (S) = Ch · S % D=0 (S − D) · P (D). Математическое о@идание иBдер@ек от дефицита будет равно C2 (S) = Cd · ∞ % D=S+1 (D − S) · P (D). Тогда суммарные иBдер@ки будут имет3 следуTщий вид: T C(S) = C1 (S) + C2 (S). Мо@но докаBат3, что функци$ T C(S) достигает наимен3шего Bначени$ при раBмере Bапаса S0 , удовлетвор$Tщего двойному неравенству F (S0 ) < ρ < F (S0 + 1), где ρ — плотност3 убытков, F (D) — функци$ распределени$ спроса. Пуст3 тепер3 спрос $вл$етс$ непрерывной случайной величиной, Bаданной плотност3T веро$тности f (D), тогда совокупные иBдер@ки будут равны T C(S) = Ch · /S /+∞ (S − D)f (D)dD + Cd · (D − S)f (D)dD. S Мо@но покаBат3, что функци$ общих иBдер@ек принимает наимен3шее Bначение при величине Bапаса S0 , удовлетвор$Tщего равенству F (S0 ) = ρ, где ρ — плотност3 убытков, F (D) — функци$ распределени$ спроса. Пример 6.1. Островок в ТРЦ специалиBируетс$ на прода@е чехлов дл$ смартфонов. Eатраты на хранение единицы продукции в составл$Tт 500 ден.ед. в ден3., иBдер@ки от дефицита равны 2000 ден.ед. Bа единицу в ден3. Eакон распределени$ спроса Bадаётс$ следуTщей таблицей. D P (D) 3 0,1 4 0,2 Найдите оптимал3ный раBмер Bапасов. 70 5 0,3 6 0,3 7 0,1 Найдем плотност3 убытков. ρ= Cd 2000 = = 0,8. Ch + Cd 2500 Найдём функциT распределени$ D F (D) [0; 3] 4 0,1 5 0,3 6 0,6 7 0,9 (7; +∞) 1 F (S0 ) < ρ < F (S0 + 1) ⇐⇒ F (S0 ) < 0,8 < F (S0 + 1) =⇒ S0 = 6. 71 Глава 4 §1 Модели маршрутиFации перевоFки груFов Основные пон6ти6 теории графов Определение 1.1. Графом G наBываетс$ пара 〈V ; E〉, где V — мно@ество обIектов проиBвол3ной природы, а E — мно@ество пар элементов мно@ества V . Элементы мно@ества V обычно наBываTт вершинами графа, а элементы мно@ества E — рёбрами графа. Определение 1.2. Граф наBываетс$ конечным, если мно@ества вершин и рёбер конечны. Определение 1.3. Две вершины графа наBываTтс$ сме@ными, если они раBличны и принадле@ат одному ребру. Определение 1.4. Ребро графа наBываетс$ инцидентным вершине, если эта вершина принадле@ит этому ребру. Определение 1.5. Пуст3 граф G содер@ит n вершин v1 , v2 , . . . , vn и в нём лTбые две вершины соединены не более чем одним ребром. Матрицей сме@ности наBываетс$ матрица A раBмером n × n, в которой элемент aij = 1, если существует ребро ме@ду вершинами vi и vj , и aij = 0, если ребра ме@ду вершинами нет. 4 2 6 7 3 1 8 & '1 ' '0 ' '0 A=' '0 ' '0 ' (0 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 0* * 0* * 0* * 1* * 1* * 1+ 9амечание 1.1. Матрица сме@ности графа симметрична относител3но главной диагонали. 72 Определение 1.6. Последовател3ност3 ребёр в графе, в которой соседние ребра инцидентны одной вершине, наBываетс$ цеп3T. Цеп3, в которой начал3на$ вершина совпадает с конечной, наBываетс$ циклом. Определение 1.7. Ребро, дл$ которого укаBано, кака$ иB вершин $вл$етс$ концом, а кака$ — началом, наBываетс$ дугой. Граф, состо$щий иB мно@ества вершин и мно@ества дуг, наBываетс$ ориентированным графом или орграфом. Определение 1.8. Цеп3 в орграфе наBываетс$ путём, цикл — контуром. Определение 1.9. Дуга, имеTща$ своим началом и концом одну и ту @е вершину, наBываетс$ петлёй. Определение 1.10. Пуст3 орграф беB петел3 содер@ит n вершин и m дуг. Матрицей инцидентности орграфа наBываетс$ матрица T раBмера n × m, в которой элемент tij = 1, если дуга ej выходит иB вершины vi , tij = −1, если дуга ej входит в вершину vi и tij = 0, если дуга ej не инцидентна вершине vi . 4 e7 e8 e3 2 6 e2 e1 7 e 10 8 e9 e4 1 e6 e1 1 3 e5 5 & ) 1 '−1 0 1 0* ' * '0 1 1 0* ' * '0 * 1 1 1 −1 * T =' '0 0 −1 0 1 0 −1 0 0* ' * '0 * −1 −1 ' * (0 0 −1 0 −1 −1 0 0 −1+ 0 −1 0 1 1 1 Определение 1.11. Граф наBываетс$ св$Bным, если лTбые его две вершины св$Bаны цеп3T. Определение 1.12. Конечный св$Bный граф беB циклов наBываетс$ деревом. Определение 1.13. Граф наBываетс$ мул3тиграфом, если в нём две вершины св$Bаны более чем одним ребром. Определение 1.14. Граф наBываетс$ вBвешенным, если ка@дому ребру сопоставлено в соответствие некоторое число, наBываемое его весом. 73 Определение 1.15. Длиной цепи в графе наBываетс$ сумма весов ребёр, вход$щих в цеп3. Определение 1.16. Графы G и H наBываTтс$ иBоморфными, если ме@ду мно@ествами их вершин существует вBаимно одноBначное соответствие, сохран$Tщее сме@ност3. §2 Iадача о кратчайшем пути Пуст3 дан граф G = 〈V, E〉, где V = {v1 , v2 , . . . , vn } и ребрам графа наBначены веса cij . При этом элементы матрицы C могут быт3 поло@ител3ными или отрицател3ными числами, а так@е равны нулT. Постановки ;адачи о кратчайшем пути 1. 2. 3. 4. Найти Найти Найти Найти кратчайший пут3 иB Bаданной вершины s в BаданнуT вершину d. кратчайшие пути иB Bаданной вершины s во все остал3ные. кратчайшие пути в BаданнуT вершину d иB всех остал3ных вершин. кратчайший пут3 иB ка@дой вершины в ка@дуT вершину. Алгоритмы поиска кратчайших путей в графе 1. Алгоритм Дейкстры. Находит кратчайший пут3 иB одной вершины графа до всех остал3ных. Работает тол3ко в графе с неотрицател3ными весами. 2. Алгоритм Беллмана—Форда. Находит кратчайший пут3 иB одной вершины графа до всех остал3ных. Мо@ет работат3 в графе с отрицател3ными весами. 3. Алгоритм A∗. Находит кратчайший пут3 ме@ду двум$ вершинами, испол3Bу$ алгоритм поиска по первому наилучшему совпадениT. 4. Алгоритм Флойда—Уоршелла. Находит кратчайшие пути ме@ду всеми вершинами вBвешенного ориентированного графа. Алгоритм Дейкстры (Dijkstra’s Algorithm, SPF, 1959) 1. Перейти от графа G к иBоморфному графу H, в котором начал3ной вершиной $вл$етс$ Bаданна$ вершина иB услови$ Bадачи. 2. Ка@дой вершине vi присвоит3 метку λi следуTщим обраBом: λ1 = 0, λi = ∞ (i = 2, . . . , n). ОбI$вит3 все метки временными. 3. Дл$ всех ребёр, сме@ных с вершиной vi с наимен3шей временной меткой, найти такие ребра {vi , vj }, дл$ которых раBност3 индексов удовлетвор$ет неравенству λi + cij < λj и пометит3 вершину vj меткой λi + cij . ОбI$вит3 метку вершины vi посто$нной. 74 4. Продол@ат3 процесс до тех пор, пока конечна$ вершина не получит посто$ннуT метку. После окончани$ данного алгоритма метка конечной вершины λn равна кратчайшему пути иB вершины v1 в вершину vn . Дл$ нахо@дени$ самого пути мо@но в момент присвоени$ вершине vj временной метки, добавл$т3 к метке и индекс вершины vi . Тогда кратчайший пут3 будет проходит3 череB вершины с этими индексами. Пример 2.1. Дан граф. Требуетс$ найти кратчайший пут3 иB вершины 1 в вершину 10. 11 7 6 13 10 15 3 5 7 8 9 8 8 7 4 9 5 1 3 4 5 7 2 1 3 4 2 9 В реBул3тате однократного выполнени$ алгоритма Дейкстры решаTтс$ Bадачи 1 и 2. Применив алгоритм Дейкстры к ка@дой вершины поочерёдно, мо@но найти решение Bадач 3 и 4. §3 Построение графа наимен<шей длины Пуст3 имеетс$ некоторое количество пунктов v1 , v2 , . . . , vn , которые ну@но соединит3 ме@ду собой дорогами, трубопроводами и т. п. Дл$ ка@дой пары пунктов vi и vj иBвестна стоимост3 (рассто$ние, врем$ постройки) cij . Необходимо выбрат3 наиболее экономичный способ соединени$ всех пунктов. Рассмотрим граф G = 〈V, E〉, где V = {v1 , v2 , . . . , vn }. Тогда граф G дол@ен имет3 минимал3нуT длину вход$щих в него ребёр и быт3 св$Bным. Определение 3.1. Св$Bный граф с минимал3но воBмо@ной длиной всех его рёбер наBываетс$ графом наимен3шей длины или остовом. Очевидно, что остов не содер@ит циклов, а, потому, $вл$етс$ деревом. Дл$ соединени$ всех n вершин понадобитс$ ровно n − 1 ребро. 75 Алгоритм Краскала (Kruskall’s Algorithm) 1. Выбрат3 самое короткое ребро и добавит3 его к остову. 2. ИB оставшихс$ рёбер выбрат3 самое короткое, которое с ранее добавленными рёбрами не обраBует цикла, и добавит3 его к остову. 3. Повторит3 пункт 2 n − 2 раBа. Пример 3.1. Дан граф. Требуетс$ найти в нём остов. 11 7 6 13 10 15 3 5 7 8 9 8 8 7 4 9 5 1 3 4 5 7 2 1 3 4 2 9 Рассмотренные алгоритмы Дейкстры и Краскала относ$т к классу так наBываемых @адных алгоритмов. §4 Iадача китайского почтал<она Пуст3 дан граф G = 〈V, E〉. Определение 4.1. Степен3T вершины графа наBываетс$ количество ребёр, инцидентных данной вершине. Определение 4.2. Цикл, проход$щий череB все рёбра графа ровно по одному раBу, наBываетс$ эйлеровым циклом. Теорема 4.1. Дл0 существовани0 в св02ном неориентированном графе эйлерова цикла необходимо и достаточно, чтобы степени всех его вершин были чётными. Постановка ;адачи В данном вBвешенном графе G найти цикл, проход$щий череB ка@дое ребро по крайней мере один раB, такой, что сумма длин ребёр, вход$щих в этот цикл, принимает наимен3шее Bначение. 76 Алгоритм решени: ;адачи 1. Проверит3, существует ли эйлеров цикл в графе. 2. Если эйлерова цикла нет, то дл$ всех вершин в нечётной степени построит3 матрицу кратчайших рассто$ний. 3. В построенной матрице выбрат3 пары вершин, суммарное рассто$ние ме@ду которыми наимен3шее, испол3Bу$ ка@дуT вершину ровно один раB. 4. Дополнит3 исходный граф выбранными на предыдущем шаге рёбрами. В полученном мул3тиграфе степени всех вершин станут чётными. 5. В полученном графе пройти эйлеров цикл, испол3Bу$ алгоритм Флёри: пройденное ребро вычёркиваетс$ иB графа, при этом при проходе графа ребро, удаление которого приведёт к нарушениT св$Bности, выбираетс$ тол3ко в том случае, если нет другой воBмо@ности. Пример 4.1. Дан граф. Решит3 дл$ него Bадачу китайского почтал3она. 11 7 10 15 3 5 7 8 9 8 8 7 4 9 5 1 3 4 5 7 2 1 3 4 2 6 13 9 5 9 8 Удвоим рёбра нечётных вершин: 2 3 7 4 5 3 8 7 7 6 77 13 10 15 9 4 7 11 8 7 5 4 3 1 5 1 7 2 1 9 §5 Iадача коммиво6&ёра Имеетс$ n городов, рассто$ние ме@ду лTбыми двум$ иB которых иBвестны. Необходимо обойти все города ровно по одному раBу и в вернут3с$ в исходный город так, чтобы суммарный пройденный пут3 был минимал3но воBмо@ным. Определение 5.1. Граф наBываетс$ полным, если лTбые две его вершины св$Bаны ребром. Определение 5.2. Цикл, проход$щий череB все вершины неориентированного графа ровно по одному раBу, наBываетс$ гамил3тоновым циклом. Очевидно, что в Bадаче коммиво$@ёра реч3 идёт о поиске гамил3тонова цикла наимен3шей длины в полном графе. Дл$ решени$ Bадачи достаточно перебрат3 все гамил3тоновы циклы и выбрат3 наимен3ший их них. Поскол3ку коммиво$@ёр в ка@дом иB городов встает перед выбором следуTщего города иB тех, что он ещё не посетил, существует (n−1)! маршрутов. Факториал воBрастает очен3 быстро, Bна2 чит, переборный алгоритм не $вл$етс$ эффективным. Поэтому дл$ решени$ Bадачи коммиво$@ёра часто испол3BуTтс$ прибли@ённые алгоритмы. Tадный алгоритм 1. Выбрат3 начал3нуT вершину и пометит3 её как посещённуT. 2. Найти сме@нуT череB ребро наимен3шей длины вершину и пометит3 её как посещённуT. 3. Повтор$т3 пункт 2 до тех пор, пока ест3 непосещённые вершины. 4. ИB последней помеченной вершины вернут3с$ в начал3нуT. Пример 5.1. Дан граф. Решит3 дл$ него Bадачу коммиво$@ёра. 1 1 4 2 2 7 5 3 2 3 9 5 5 4 8 7 5 8 6 13 5 Пуст3 дл$ лTбых трёх вершин графа выполн$етс$ неравенство треугол3ника. 78 Дерев:нный алгоритм 1. Построит3 минимал3ный остов графа. 2. В остове удвоит3 все рёбра. При этом все вершины станут чётной степени. 3. В получившемс$ мул3тиграфе построит3 эйлеров цикл и Bаписат3 последовател3ност3 вход$щих в него вершин. 4. В последовател3ности вершин вычеркнут3 все повтор$Tщиес$ вершины, кроме первого и последнего вхо@дени$ начал3ной вершины. ^адный алгоритм мо@ет дават3 реBул3тат, существенно отличаTщийс$ от оптимал3ного. Дерев$нный алгоритм приводит к реBул3тату, который мо@ет отличат3с$ от оптимал3ного не более чем в 2 раBа. Теорема 5.1 (Теорема Оре). Пуст& граф G содерBит не мен&ше 3 вершин. Тогда, если сумма степеней л'бых двух несмеBных вершин не мен&ше количества всех вершин в графе, то в нём существует гамил&тонов цикл. §6 Iадача о раFмещении регул6рных пунктов обслу&ивани6 Рассмотрим сет3 с обслу@иваемыми обIектами, BаданнуT неориентированным графом G = 〈V, E〉, где V = {v1 , v2 , . . . , vn } — мно@ество пунктов обслу@ивани$. ИBвестны рассто$ни$ ме@ду пунктами обслу@ивани$ cij , а так@е веса вершин wi , отра@аTщие приоритет обслу@ивани$. Требуетс$ раBместит3 пункт регул$рного обслу@ивани$ в одной иB вершин графа так, чтобы сумма кратчайших рассто$ний от этого пункта до всех вершин графа с учётом их весов была минимал3но воBмо@ной. ни$. Сформулированна$ Bадача так@е наBываетс$ минисуммной Bадачей раBмеще- Определение 6.1. Пуст3 дл$ графа G иBвестна матрица кратчайших рассто$ний D = (dij ) и иBвестны веса всех вершин wi , тогда дл$ вершин графа мо@но определит3 пон$тие передаточного числа по следуTщим формулам: 1. внешнее передаточное число σE (vi ) = n % wj · dij ; n % wj · dji j=1 2. внутреннее передаточное число σI (vi ) = j=1 Определение 6.2. Вершина vE наBываетс$ внешней медианой графа, если её внешнее передаточное число равно минимуму всех внешних передаточных чисел вершин 79 графа: σE (vE ) = min σE (vi ). i=1,n Вершина vI наBываетс$ внутренней медианой графа, если её внутреннее передаточное число равно минимуму всех внутренних передаточных чисел вершин графа: σI (vI ) = min σI (vi ). i=1,n 9амечание 6.1. Дл$ неориентированного графа пон$ти$ внутреннего и внешнего передаточного числа совпадаTт, пон$ти$ внешней и внутренней медиан так@е совпадаTт. В этом случае говор$т просто о медиане σ(vi ) графа Теорема 6.1. Какова бы ни была точка x графа, в нём найдётс0 по крайней мере одна вершина v така0, что σ(v) ! σ(x). Алгоритм решени: ;адачи 1. Построит3 матрицу кратчайших рассто$ний. 2. Дл$ ка@дой вершины найти передаточное число. 3. Найти медиану графа. В случае ориентированного графа в качестве критери$ оптимиBации выступает сумма внешних и внутренних передаточных чисел. Пример 6.1. В районе располо@ено 7 посёлков, св$Bанных дорогами. Требуетс$ определит3 место дл$ оптимал3ного располо@ени$ школы, если в посёлках @ивёт 80, 100, 140, 90, 60, 50, 40 школ3ников. В качестве критери$ оптимиBации при выборе места дол@но выступат3 суммарное рассто$ние, проходимое всеми школ3никами в школу и обратно. 2 5 11 5 6 1 5 9 6 8 10 6 4 7 14 80 13 4 3 11 7 Составим матрицу кратчайших рассто$ний & ) & ∞ 9 10 ∞ 11 ∞ ∞ 0 9 10 15 11 17 ' 9 ∞ 5 6 5 ∞ ∞* ' 9 0 5 6 5 10 ' * ' '10 5 ∞ 7 ∞ ∞ 14* '10 5 0 7 10 11 ' * ' '∞ 6 7 ∞ 8 4 11* =⇒ '15 6 7 0 8 4 ' * ' '11 5 ∞ 8 ∞ 6 ∞* '11 5 10 8 0 6 ' * ' (∞ ∞ ∞ 4 6 ∞ 13+ (17 10 11 4 6 0 ∞ ∞ 14 11 ∞ 13 ∞ 24 17 14 11 19 13 σ(v1 ) = 6120; σ(v2 ) = 3400; σ(a3 ) = 3640; ) 24 17* * 14* * 11* *. 19* * 13+ σ(v4 ) = 3900; σ(v5 ) = 4560; σ(a6 ) = 5140; σ(v7 ) = 8120. Оптимал3но располо@ит3 школу в поселке 2. ДаннуT Bадачу мо@но обобщит3 на случай, когда требуетс$ раBместит3 не один, а нескол3ко пунктов регул$рного обслу@ивани$. В этом случае простой перебор всех вершин не даёт эффективного решени$ и примен$Tтс$ другие методы исследовани$. §7 Iадача о раFмещении экстренных пунктов обслу&ивани6 Пуст3 дана сет3 с обслу@иваемыми обIектами G = 〈V, E〉, где V = {v1 , v2 , . . . , vn } — мно@ество пунктов обслу@ивани$. ИBвестны веса рёбер cij , представл$Tщие собой врем$ перемещени$ ме@ду пунктами vi и vj , а так@е веса вершин wi , равные веро$тности потребности в обслу@ивании данного пункта. Требуетс$ раBместит3 пункт экстренного обслу@ивани$ в одной иB вершин графа так, чтобы врем$ проеBда в самый отдалённый пункт было минимал3но воBмо@ным. ни$. Сформулированна$ Bадача так@е наBываетс$ минимаксной Bадачей раBмеще- Определение 7.1. Пуст3 дл$ графа G иBвестна матрица кратчайших рассто$ний D = (dij ) и иBвестны веса всех вершин wi , тогда дл$ вершин графа мо@но определит3 следуTщие пон$ти$: 1. число внешнего раBделени$ SE (vi ) = max(wj · dij ); vj ∈V 2. число внутреннего раBделени$ SI (vi ) = max(wj · dji ). vj ∈V 81 Определение 7.2. Внешним центром графа vE наBываетс$ вершина графа, дл$ которой SE (vE ) = min SE (vi ), Bначение SE (vE ) наBываетс$ внешним радиусом графа. vi ∈V Внутренним центром графа vI наBываетс$ вершина графа, дл$ которой SI (vI ) = min SI (vi ), Bначение SI (vI ) наBываетс$ внутренним радиусом графа. vi ∈V 9амечание 7.1. В графе мо@ет быт3 нескол3ко внутренних и внешних центров. В случае неориентированного графа внешний и внутренний центры совпадаTт. Алгоритм решени: ;адачи 1. Построит3 матрицу кратчайших рассто$ний. 2. Построит3 матрицу S, элементы которой определ$Tтс$ по формуле sij = wj ·dij . 3. Найти число внешнего раBделени$ ка@дой вершины графа, дл$ этого в ка@дой строке матрицы S найти наибол3ший элемент Si = max sij . j 4. Найти внешний радиус графа. Дл$ этого иB найденных чисел Si выбрат3 наимен3шее SE = min Si . i 5. Вершина vE , которой соответствует число SE будет $вл$т3с$ внешним центром графа и решением исходной Bадачи. Данна$ модел3 поBвол$ет решат3 Bадачи о раBмещении центров экстренного реагировани$ такого как по@арное депо. Если @е ставитс$ Bадача о раBмещении пункта скорой медицинской помощи, то необходимо учитыват3 длител3ност3 пути в обе стороны. Дл$ этого необходимо определит3 местополо@ение так наBываемого внешневнутреннего центра графа, дл$ нахо@дени$ которого вычисл$етс$ число внешневнутреннего раBделени$ по формуле 1 SEI (vEI ) = min max (wj · (dij + dji )) . vi ∈V vj ∈V В общем случае пункт экстренного обслу@ивани$ мо@ет раBмещат3с$ на ребре графа, а не в его вершине. В этом случае говор$т о нахо@дении абсолTтных центров. Дл$ решени$ подобных Bадач раBработаны свои алгоритмы. §8 Определение координат склада в регионе Пуст3 имеетс$ n потребителей и пуст3 иBвестны координаты их раBмещени$ Mi (xi , yi ), (i = 1, n) и обIёмы поставок продукции дл$ ка@дого потребител$ Qi . Требуетс$ определит3 место располо@ени$ склада данной продукции, чтобы сумма рассто$ний от склада до ка@дого иB потребителей с учётом обIёмов поставки была минимал3ной. ОбоBначим искомуT точку раBмещени$ склада M (x, y) и введём в рассмотрение 82 следуTщуT функциT d(x, y) = n % i=1 Qi · ρ(M, Mi ), где ρ(M, Mi ) — метрика пространства на плоскости. Таким обраBом, требуетс$ определит3 точку минимума функции d(x, y) и её Bначение в этой точке. Решение этой Bадачи точными методами дл$ бол3шого числа потребителей Bатруднител3но, поэтому дл$ её решени$ часто примен$Tт прибли@ённые методы. Пример 8.1. Исходные данные Bадачи представлены в таблице. xi 300 550 yi 575 500 600 Qi 300 250 150 1. В евклидовой метрике: d(x, y) = 300 · @ x2 + (y − 575)2 + 250 · 2. В манхэттенской метрике: @ (x − 300)2 + (y − 500)2 + @ + 150 · (x − 550)2 + (y − 600)2 . d(x, y) = 300·(|x|+|y −575|)+250·(|x−300|+|y −500|)+150·(|x−550|+|y −600|). 83 Глава 5 §1 Линейные оптимиFационные модели Математическое программирование Определение 1.1. Математическое программирование представл$ет собой математическуT дисциплину, BанимаTщуTс$ иBучением оптимиBационных Bадач и раBработкой методов их решени$. В общем виде математическа$ постановка оптимиBационной Bадачи состоит в определении наибол3шего или наимен3шего Bначени$ целевой функции f (x1 , x2 , . . . , xn ). при услови$х gi (x1 , x2 , . . . , xn ) ! bi (i = 1, m), где f и gi — некоторые Bаданные функции, а bi — некоторые действител3ные числа. В Bависимости от свойств функций f и gi выдел$Tт раBличные подраBделы математического программировани$ со своими методами решени$ определенных классов Bадач. Если все функции f и gi линейные, то соответствуTща$ Bадача наBываетс$ 2адачей линейного программировани0. Если хот$ бы одна иB функций нелинейна$, то Bадача $вл$етс$ 2адачей нелинейного программировани0. Линейное программирование $вл$етс$ наиболее иBученным раBделом математического программировани$. Дл$ решени$ Bадач линейного программировани$ раBработан р$д эффективных методов и алгоритмов. Среди Bадач нелинейного программировани$ наиболее иBучены 2адачи выпуклого программировани0, дл$ решени$ которых необходимо найти минимум выпуклой или максимум вогнутой функции, Bаданной на выпуклом Bамкнутом мно@естве. В 2адачах целочисленного программировани0 на переменные Bадачи накладываетс$ ограничение принадле@ности мно@еству целых чисел. В 2адачах дробно-линейного программировани0 целева$ функци$ f представл$ет собой отношение двух линейных выра@ений, а функции gi $вл$Tтс$ линейными. В 2адачах стохастического программировани0 функции f или gi содер@ат случайные величины. Eадача, процесс решени$ которой состоит иB нескол3ких этапов, относитс$ к 2адачам динамического программировани0. 84 §2 Постановка некоторых Fадач линейного программировани6 Bадача 2.1 (Eадача о распределении ресурсов). В распор$@ении некоторого предпри$ти$ имеTтс$ определенные ресурсы (сыр3е, рабоча$ сила, оборудование и т. п.) R1 , R2 , . . . , Rm в количествах, соответственно, b1 , b2 , . . . , bm единиц. С помощ3T этих ресурсов могут проиBводит3с$ товары T1 , T2 , . . . , Tn . Дл$ проиBводства одной единицы товара Tj необходимо aij единиц ресурса Ri (i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n). Себестоимост3 ка@дой единицы товара Tj равна sj , а цена ка@дой такой единицы равна cj . Рынок не мо@ет поглотит3 более чем kj единиц товара Tj . Требуетс$ определит3, какое количество единиц и какого товара ну@но проиBвести дл$ того, чтобы получит3 максимал3нуT прибыл3. Решение. Составим математическуT модел3 Bадачи. Составим таблицу. Таблица 2: Eадача о распределении ресурсов s1 s2 . . . sn Продукты k1 k2 . . . kn и ресурсы c1 c2 . . . cn T1 T2 . . . Tn b1 R1 a11 a12 . . . a1n b2 R2 a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... ... ... bm Rm am1 am2 . . . amn ОбоBначим череB x1 , x2 , . . . , xn планируемое к проиBводству количество товаров T1 , T2 , . . . , Tn , соответственно. Ресурсов, которыми располагает предпри$тие, дол@но быт3 достаточно дл$ обеспечени$ планируемого проиBводства. Eначит, дол@ны выполн$т3с$ следуTщие неравенства: n % aij xj ! bi i = 1,m. j=1 С учетом условий спроса товары следует проиBвести в количествах не бол3ших, чем их мо@но продат3, т. е. xj ! kj j = 1,n. Прибыл3, получаема$ предпри$тием, равна z= n % qj x j , j=1 где qj = cj − sj — чиста$ прибыл3 от реалиBации единицы товара Tj . 85 Таким обраBом, Bадача о распределении ресурсов сводитс$ к следуTщей Bадаче: требуетс$ найти Bначени$ переменных x1 , x2 , . . . , xn , которые удовлетвор$Tт неравенствам: ! n % " " " aij xj ! bi i = 1,m, " # j=1 (2.1) " xj ! kj j = 1,n, " " " $x " 0 j = 1,n. j и обращаTт в максимум функциT этих переменных z= n % j=1 (2.2) qj xj → max . Bадача 2.2 (Eадача о пищевом рационе). Пуст3 имеетс$ n видов продуктов питани$: P1 , P2 , . . . , Pn . ИBвестна стоимост3 единицы ка@дого продукта: c1 , c2 , . . . , cn . ИB этих продуктов необходимо составит3 пищевой рацион с содер@анием раBличного рода полеBных веществ V1 , V2 , . . . , Vm не менее b1 , b2 , . . . , bm единиц соответственно. Единица продукта Pi содер@ит aij единиц вещества Vj . Требуетс$ составит3 рацион так, чтобы его стоимост3 была минимал3ной и он содер@ал необходимое органиBму количество полеBных веществ. Решение. Составим математическуT модел3 Bадачи. Дл$ этого Bаполним следуTщуT таблицу. Таблица 3: Eадача Продукты и полеBные P1 P2 вещества V1 a11 a12 V2 a21 a22 ... ... ... Vm am1 am2 цена c1 c2 о пищевом рационе ... Pn потребност3 ... ... ... ... ... a1n a2n ... amn cn b1 b2 ... bm Пуст3 x1 , x2 , . . . , xn — количество планируемых к приобретениT продуктов питани$ P1 , P2 , . . . , Pn соответственно. Тогда z= n % j=1 cj xj → min . (2.3) Необходимо обеспечит3 потребност3 органиBма в полеBных веществах, тогда получим следуTщие ограничени$: ! j " #% a x " b i = 1,m, ij j i (2.4) i=n " $ xj " 0, j = 1,n. 86 §3 Основные формы Fадач линейного программировани6 Полученна$ на содер@ател3ном этапе исследовани$ линейна$ оптимиBационна$ модел3 мо@ет быт3 представлена в раBличных формах: общей, стандартной и канонической. Обща: форма ;адачи линейного программировани: Требуетс$ найти Bначени$ переменных x1 , x2 , . . . , xn , удовлетвор$Tщие системе ограничений ! n % " " aij xj ! bi i = 1, . . . , m1 , " " " " # j=1 n % (3.1) " aij xj = bi i = m1 + 1, . . . , m, " " " j=1 " " $ xj " 0, j = 1, . . . , n обращаTщих в максимум (минимум) функциT z= n % j=1 cj xj → max(min). (3.2) Определение 3.1. Функци$ (3.2) наBываетс$ целевой функцией. Определение 3.2. Мно@ество Bначений переменных x1 , x2 , . . . , xn , удовлетвор$Tщих системе ограничений (3.1), наBываетс$ мно@еством опорных решений, или, кратко, опорным решением. Определение 3.3. Мно@ество Bначений переменных, удовлетвор$Tщих одновременно услови$м (3.1) и (3.2), наBываетс$ мно@еством оптимал3ных решений, или, кратно, оптимал3ным решением. Стандартна: форма ;адачи линейного программировани: Требуетс$ найти Bначени$ переменных x1 , x2 , . . . , xn , удовлетвор$Tщие системе ограничений ! n % " # aij xj ! bi i = 1, . . . , m, (3.3) j=1 " $ xj " 0, j = 1, . . . , n обращаTщих в максимум (минимум) функциT z= n % j=1 cj xj → max(min). 87 (3.4) Канонична: (основна:) форма ;адачи линейного программировани: Требуетс$ найти Bначени$ переменных x1 , x2 , . . . , xn , удовлетвор$Tщие системе ограничений ! n % " # aij xj = bi i = 1, . . . , m, (3.5) j=1 " $ xj " 0, j = 1, . . . , n обращаTщих в минимум функциT z= n % j=1 cj xj → min. (3.6) Все три формы Bадачи линейного программировани$ эквивалентны. Оптимал3ные Bначени$ целевых функций совпадаTт. К каноничной форме мо@но привести лTбуT Bадачу линейного программировани$. Так, если функциT z необходимо обратит3 в максимум, то мо@но рассмотрет3 функциT z̃ = −z, которуT требуетс$ минимиBироват3. Кроме того, лTбое ограничение–неравенство мо@но Bаменит3 равенством путём введени$ неотрицател3ной фиктивной переменной. §4 Графический метод решени6 Fадач линейного программировани6 Рассмотрим Bадачу линейного программировани$ дл$ двух переменных в стандартной форме. Система ограничений: z = c1 x1 + c2 x2 → max. ! " a11 x1 + a12 x2 ! b1 , " " " " " #a21 x1 + a22 x2 ! b2 , ... " " " am1 x1 + am2 x2 ! bm , " " " $x , x " 0. 1 2 (4.1) (4.2) ИBвестно, что мно@ество решений неравенства с двум$ переменными ai1 x1 + ai2 x2 ! bi представл$ет собой одну иB полуплоскостей вместе с пр$мой ai1 x1 +ai2 x2 = bi , а мно@еством решений совместной системы вида (4.2) $вл$етс$ выпуклый многоугол3ник. Так@е иBвестно, что дл$ пр$мой, Bаданной уравнением ai1 x1 + ai2 x2 = bi , вектор с координатами (ai1 , ai2 ) $вл$етс$ вектором нормали к этой пр$мой. 88 Линии уровн$ целевой функции (4.1) мо@но Bадават3 равенством c1 x1 +c2 x2 = k (k ∈ R), т. е. линии уровн$ представл$Tт собой семейство параллел3ных пр$мых. Если Bадача (4.1)—(4.2) имеет оптимал3ное решение, то целева$ функци$ принимает оптимал3ное Bначение в одной иB угловых точек многоугол3ника опорных решений. Если @е целева$ функци$ принимает оптимал3ное Bначение более чем в одной угловой точке, то она принимает его в лTбой точке отреBка, соедин$Tщего эти точки. Eначение целевой функции в точках линии уровн$ растет, если линиT уровн$ перемещат3 параллел3ным переносом в направлении вектора нормали, и умен3шаетс$ при перемещении линии уровн$ в противополо@ном направлении. Алгоритм графического метода решени: ;адачи линейного программировани: 1. Построит3 област3 опорных решений Bадачи, BадаваемуT системой ограничений (4.2). 2. Построит3 линиT уровн$ целевой функции (4.1) c1 x1 + c2 x2 = 0. 3. Перемещат3 линиT уровн$ вдол3 вектора нормали к точке оптимал3ного решени$. 4. Найти оптимал3ное Bначение целевой функции. Пример 4.1. Небол3ша$ фабрика проиBводит 2 вида красок дл$ внутренних и нару@ных работ. Дл$ проиBводства красок испол3BуTтс$ два исходных продукта A и B. Максимал3но воBмо@ные суточные Bапасы этих продуктов составл$Tт 6 и 8 тонн соответственно. Расходы исходных продуктов A и B дл$ проиBводства 1 тонны краски ка@дого типа приведены в таблице: Исходный продукт A B Расход Тип 1 Тип 2 1 2 2 1 Максимал3ный Bапас 6 8 ИBучение рынка сбыта покаBало, что суточный спрос на краску типа 2 никогда не превышает спроса на краску типа 1 более чем на 1 тонну. Кроме того, установлено, что спрос на краску типа 2 никогда не превышает 2-х тонн в сутки. Оптовые цены одной тонны краски равны: 3000 рублей дл$ краски типа 1 и 2000 рублей дл$ краски типа 2. Какое количество краски ка@дого вида дол@на проиBводит3 фабрика, чтобы суммарный доход от реалиBации продукции был максимал3ным? Решение. Пуст3 x1 , x2 — планируемое к проиBводству количество краски типа 1 и 2 соответственно. Тогда доход составит z = 3x1 + 2x2 → max . 89 (4.3) Составим ограничени$ по ресурсам: ! " 1x1 + 2x2 ! 6, " " " " "2x1 + 1x2 ! 8, # x2 − x1 ! 1, " " " x2 ! 2, " " " $x , x , " 0. 1 2 (4.4) Таким обраBом, дл$ решени$ рассматриваемой Bадачи требуетс$ найти Bначени$ x1 , x2 , удовлетвор$Tщие системе ограничений (4.4) и обращаTщие в максимум функциT (4.3). Eададим систему ограничений на плоскости и найдём решение графически. Дл$ этого в системе координат x1 Ox2 построим многогранник решений, удовлетвор$Tщий системе (4.4) (на плоскости это будет многоугол3ник): необходимо построит3 пр$мые, получаемые, если в системе Bнаки неравенств Bаменит3 на Bнаки равенств, а Bатем отобрат3 ну@нуT полуплоскост3 с учётом Bнака неравенства. ОбоBначим числами от 1 до 4 пр$мые, соответствуTщие пор$дку неравенств в системе. Получим многоугол3ник OABCDE. Целева$ функци$ $вл$етс$ функцией двух переменных, построим её линиT уровн$ z = 0. x2 3 B C 4 D A E O 2 1 x1 z=0 Eаметим, что в направлении вектора нормали к линии уровн$ целевой функции #» n (3, 2) Bначение функции будет воBрастат3. Таким обраBом, Bадача сводитс$ к нахо@дениT такого поло@ени$ линии уровн$ (с помощ3T параллел3ного переноса в направлении вектора нормали) целевой функции, наиболее удалённого от начала 90 координат и имеTщей с многоугол3ником OABCDE хот$ бы одну общуT точку. Такое поло@ение достигаетс$ при прохо@дении линии уровн$ череB точку D. x2 3 B C 4 D A E O x1 1 2 Таким обраBом, координаты точки D — и ест3 оптимал3ное решение. Чтобы их найти, необходимо решит3 систему иB уравнений, BадаTщих пр$мые 1 и 2. 7 x1 + 2x2 = 6, 2x1 + x2 = 8, =⇒ 7 x1 = 10 , 3 4 x2 = 3 . Наибол3шее Bначение целевой функции равно z = 3 · 10 3 +2· 4 3 = 38 . 3 Bадача 4.1 (Eадача о пищевом рационе). Пуст3 имеетс$ n видов продуктов питани$: P1 , P2 , . . . , Pn . ИBвестна стоимост3 единицы ка@дого продукта: c1 , c2 , . . . , cn . ИB этих продуктов необходимо составит3 пищевой рацион с содер@анием раBличного рода полеBных веществ V1 , V2 , . . . , Vm не менее b1 , b2 , . . . , bm единиц соответственно. Единица продукта Pi содер@ит aij единиц вещества Vj . Требуетс$ составит3 рацион так, чтобы его стоимост3 была минимал3ной и он содер@ал необходимое органиBму количество полеBных веществ. Решение. Составим математическуT модел3 Bадачи. Дл$ этого Bаполним следуTщуT таблицу. Пуст3 x1 , x2 , . . . , xn — количество планируемых к приобретениT продуктов питани$ P1 , P2 , . . . , Pn соответственно. Тогда z= n % j=1 cj xj → min . 91 (4.5) Таблица 4: Eадача Продукты и полеBные P1 P2 вещества V1 a11 a12 V2 a21 a22 ... ... ... Vm am1 am2 цена c1 c2 о пищевом рационе ... Pn потребност3 ... ... ... ... ... a1n a2n ... amn cn b1 b2 ... bm Необходимо обеспечит3 потребност3 органиBма в полеBных веществах, тогда получим следуTщие ограничени$: ! n % " # aij xj " bi i = 1,m, (4.6) j=1 " $ xj " 0, j = 1,n. §5 АналиF модели на чувствител<ност< Под аналиBом модели на чувствител3ност3 понимаTт иBучение реакции оптимал3ного решени$ на иBменени$ исходной модели. Обычно выдел$Tт две основные Bадачи аналиBа на чувствител3ност3. 1. Степен3 вли$ни$ на оптимал3ное решение иBменени$ коэффициентов системы ограничений. При этом те неравенства системы ограничений, обращаTщиес$ в точке оптимал3ного решени$ в равенства, наBываTтс$ св$BываTщими ограничени$ми, а те, что остаTтс$ неравенствами — несв$BываTщими ограничени$ми. Ресурс иB св$BываTщего ограничени$ наBываетс$ дефицитным. 2. Степен3 вли$ни$ на оптимал3ное решение иBменени$ коэффициентов целевой функции. Пример 5.1. Рассмотрим ка@дуT иB этих Bадач дл$ примера 4.1. Решение. Точка оптимал3ного решени$ была получена как точка пересечени$ пр$мых, BадаTщих ограничени$ 1 и 2. Таким обраBом, эти ограничени$ $вл$Tтс$ св$BываTщими, а ресурсы, которые они BадаTт — дефицитными. Дл$ дефицитных ресурсов нет необходимости рассматриват3 умен3шение их Bапасов, т. к. это будет тол3ко «ухудшат3» решение: Bначение целевой функции будет умен3шат3с$. Вы$сним, как повли$ет на оптимал3ное решение увеличение Bапасов ка@дого дефицитного ресурса в отдел3ности (Bапасы исходных продуктов) на оптимал3ное решение. Увеличение Bапаса исходного продукта A графически будет оBначат3, что пр$ма$ 1 будет сдвигат3с$ параллел3ным переносом вдол3 вектора нормали #» n (1, 2). 92 Вместе с ней будет сдвигат3с$ точка оптимал3ного решени$ D. ОбоBначим Bа F точку пересечени$ пр$мых 2 и 4. Очевидно, что сдвиг пр$мой 1 дал3ше этой точки не приведёт к дал3нейшему увеличениT Bначени$ целевой функции, т. к. тепер3 многоугол3ник OABF E $вл$етс$ многогранником решений, а точка F $вл$етс$ точкой оптимал3ного решени$. x2 3 B C F 4 D A E O 2 1 1 x1 Координаты точки F найдем как координаты точки пересечени$ пр$мых 2 и 4, т. е. как решение системы 7 7 2x1 + x2 = 8, x1 = 3, =⇒ x2 = 2, x2 = 2. При этом требуетс$ найти новое Bначение Bапаса исходного продукта A, т. е. ну@но найти правуT част3 неравенства 1, учитыва$, что тепер3 пр$ма$, Bадаваема$ соответствуTщим уравнением, проходит череB точку F (3, 2). Подставим её координаты в левуT част3, получим: 1 · 3 + 2 · 2 = 7. Так@е найдём новое Bначение целевой функции: z = 3 · 3 + 2 · 2 = 13, т. е. оптимал3ное Bначение выросло на 13 . Таким обраBом, увеличение Bапаса исходного продукта A на 1 тонну приведёт к росту дохода на 13 тыс. руб. Решим аналогичнуT Bадачу дл$ ресурса 2 — исходного продукта B. Увеличение Bапаса геометрически оBначает параллел3ный перенос пр$мой 2 вдол3 вектора нормали #» n (2, 1). В этом случае многогранником решений будет $вл$т3с$ многоугол3ник OABCG, где G — точка пересечени$ пр$мой 1 и оси x1 , эта @е точка будет новой точкой оптимал3ного решени$. 93 x2 3 B C 4 D A E O 2 G 1 x1 2 Координаты точки G найдем как координаты точки пересечени$ пр$мой 1 и оси x1 : G(6, 0). Тогда новый Bапас ресурса 2 будет равен 2 · 6 + 1 · 0 = 12 тонн, а новое оптимал3ное Bначение целевой функции — 3 · 6 + 2 · 0 = 18 тыс. руб. Иначе происходит работа с несв$BываTщими ограничени$ми (недефицитными ресурсами). Их увеличение никак не ска@етс$ на точке оптимал3ного решени$, т. к. соответствуTща$ ограничениT пр$ма$ не проходит череB неё, а увеличение Bапаса ресурса будет тол3ко сдвигат3 пр$муT ещё дал3ше. Таким обраBом, дл$ аналиBа модели на чувствител3ност3 в данном случае целесообраBно рассматриват3 умен3шение дефицитного ресурса (в данной Bадаче — спроса). Требуетс$ найти такое его крайнее Bначение, когда дал3нейшее сни@ение Bапаса ресурса приведёт к иBменениT оптимал3ного решени$. Рассмотрим пр$муT 3 и соответствуTщее ограничение. Будем проиBводит3 параллел3ный перенос в направлении, противополо@ном к вектору нормали #» n (−1, 1). При этом сдвиг ну@но остановит3 тогда, когда эта пр$ма$ пройдёт череB точку D — дал3нейшее смещение пр$мой 3 приведёт к тому, что точка D перестанет быт3 точкой оптимал3ного решени$. Найдем правуT част3 ограничени$ 3, дл$ этого подставим координаты точки D( 10 , 4 ) в его левуT част3: 43 − 10 = −2. Таким обраBом, если спрос на краску типа 3 3 3 2 упадёт настол3ко, что будет мен3ше спроса на краску типа 1 на 2 тонны в сутки, то это не ока@ет вли$ни$ на оптимал3ное решение. Рассмотрим ограничение 4: очевидно, что пр$ма$, параллел3на$ пр$мой, BадаTщей это ограничение, пройдет череB точку D( 10 , 4 ) при правой части, равной 43 . 3 3 Таким обраBом, падение спроса на краску типа 2 до 43 тонн в сутки не иBменит точку оптимал3ного решени$. 94 x2 3 3 B C 4 D 4 A E O 2 1 x1 Наконец, исследуем чувствител3ност3 оптимал3ного решени$ к иBменениT коэффициентов целевой функции, т. е. цен на конечнуT продукциT. Геометрически такое иBменение приведет к увеличениT или умен3шениT угла наклона линии уровн$ целевой функции. При этом дл$ того, чтобы точка D оставалас3 точкой оптимал3ного решени$, угол наклона дол@ен мен$т3с$ ме@ду углами наклона пр$мых 1 и 2. x2 3 B C 4 D A E O 2 1 x1 Вы$сним, каков будет диапаBон Bначений коэффициента при x1 при неиBменном коэффициенте при x2 , и наоборот. Пуст3 c1 — цена на краску первого типа, 95 тогда лини$ уровн$ будет Bадават3с$ уравнением c1 x1 + 2x2 = 38 . ВыраBим иB этого 3 уравнени$, а так@е уравнений, BадаTщих пр$мые 1 и 2 переменнуT x2 : x2 = 19 c1 − x1 , 3 2 1 x2 = 3 − x1 , 2 x2 = 8 − 2x1 . Т. к. на угол поворота вли$ет тол3ко коэффициент при c1 , тогда получим следуTщее двойное неравенство: −2 ! − c1 1 ! − ⇐⇒ 1 ! c1 ! 4. 2 2 Таким обраBом, иBменение цены на краску типа 1 не приведёт к иBменениT точки оптимал3ного решени$, доход от реалиBации при этом будет колебат3с$ от 1 · 10 + 2 · 43 = 6 тыс. руб. до 4 · 10 + 2 · 43 = 16 тыс. руб. 3 3 Пуст3 тепер3 c2 — цена на краску типа 2, тогда получим уравнение линии уровн$ 3x1 + c2 x2 = 38 . Поступа$ аналогично тому, как исследовалас3 цена на краску типа 3 1, получим диапаBон цен 3 ! c2 ! 6 2 и прибыл3 от 3 · 10 + 32 · 43 = 12 тыс. руб. до 3 · 10 + 6 · 43 = 18 тыс. руб. 3 3 Если цены на краски выйдут Bа границы найденных диапаBонов, то точка D перестанет быт3 точкой оптимал3ного решени$ — и будет требоват3с$ новое решение Bадачи. §6 Двойственные Fадачи линейного программировани6 Пуст3 дана следуTща$ Bадача линейного программировани$ ! " a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn ! b1 , " " " " a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn ! b2 , " " " " " ..., " " " #a x + a x + . . . + a x ! b , k1 1 k2 2 kn n k " ak+1,1 x1 + ak+1,2 x2 + . . . + ak+1,n xn = bk+1 , " " " " " ..., " " " " " am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm , " " $ x1 , x2 , . . . , xp " 0, 96 (6.1) где 0 ! k ! m, 0 ! p ! n. z = c1 x1 + c2 x2 + . . . + cn xn → max. (6.2) Определение 6.1. Двойственной Bадачей к Bадаче (6.1)—(6.2) наBываетс$ Bадача вида ! " a11 y1 + a21 y2 + . . . + am1 ym " c1 , " " " " a12 y1 + a22 y2 + . . . + am2 ym " c2 , " " " " " ..., " " " #a y + a y + . . . + a y " c , 1p 1 2p 2 mp m p (6.3) " a y + a y + . . . + a 1,p+1 1 2,p+1 2 m,p+1 xm = cp+1 , " " " " ". . . , " " " " " a1n y1 + a2n y2 + . . . + anm ym = cn , " " $ y1 , y2 , . . . , yk " 0, z = b1 y1 + b2 y2 + . . . + bm ym → min. (6.4) Алгоритм построени: двойственной ;адачи 1. Упор$дочит3 Bапис3 исходной Bадачи, т. е. если целева$ функци$ Bадачи минимиBируетс$, то ограничени$-неравенства дол@ны быт3 вида ", если максимиBируетс$ — то вида !. 2. Матрица иB коэффициентов при неиBвестных двойственной Bадачи обраBуетс$ транспонированием матрицы, составленной иB коэффициентов при неиBвестных исходной Bадачи. 3. Количество переменных в двойственной Bадаче совпадает с количеством ограничений в исходной Bадаче. 4. Если исходна$ Bадача $вл$етс$ Bадачей минимиBации, то двойственна$ Bадача будет Bадачей максимиBации. При этом вектор, обраBованный иB коэффициентов при неиBвестных целевой функции исходной Bадачи, совпадает с вектором свободных коэффициентов системы ограничений двойственной Bадачи. И наоборот. 5. Если на j-T переменнуT исходной Bадачи нало@ено условие неотрицател3ности, то j-е ограничение двойственной Bадачи будет неравенством, в противном случае — равенством. И наоборот. Экономический смысл двойственной ;адачи Пуст3 некоторое предпри$тие располагает ресурсами b1 , b2 , . . . , bm , которые могут испол3Bоват3с$ дл$ выпуска n видов продукции. Пуст3 так@е иBвестны стоимост3 единицы j-го вида продукции cj (j = 1, n) и норма потреблени$ i-го (i = 1, m) ресурса на проиBводство единицы j-ой продукции, равна$ aij . Требуетс$ определит3 97 обIем проиBводства продукции ка@дого вида xj , максимиBируTщий суммарнуT стоимост3 проиBводимой продукции. При этом расход ресурсов не дол@ен превышат3 их наличи$. СоответствуTща$ двойственна$ Bадача будет формулироват3с$ следуTщим обраBом. Предполо@им, что некотора$ органиBаци$ мо@ет Bакупит3 все ресурсы, которыми располагает предпри$тие. Необходимо определит3 оптимал3ные цены yi (i = 1, m) на эти ресурсы исход$ иB услови$, что покупаTща$ органиBаци$ дол@на уплатит3 сумму, не мен3шуT той, которуT мо@ет выручит3 предпри$тие при органиBации собственного проиBводства продукции. Ка@дое j-ое ограничение иB системы (6.3) представл$ет собой неравенство или уравнение, лева$ част3 которого равна оценке всех ресурсов, расходуемых на проиBводство j-го вида продукции, а права$ част3 — стоимости единицы этой продукции. 9амечание 6.1. Eаметим, что Bадача (6.1)—(6.2) $вл$етс$ двойственной к Bадаче (6.3)—(6.4), поэтому часто говор$т о паре двойственных Bадач. Теорема 6.1 (Теорема двойственности). Пара двойственных 2адач одновременно ра2решима, причем оптимал&ные 2начени0 их целевых функций совпада'т. Пример 6.1. Построим двойственнуT Bадачу к Bадаче иB примера 4.1. ! 1x1 + 2x2 ! 6, " " " #2x + 1x ! 8, 1 2 "x2 − x1 ! 1, " " $ x2 ! 2. & 1 '2 A=' (−1 z = 3x1 + 2x2 → max . ) 2 1 1* * =⇒ AT = 1 2 −1 0 ; 1+ 2 1 1 1 1 & ) 6 '8 * . T * B=' (1+ =⇒ B = 6 8 1 2 ; 2 Тогда - C= 3 2 ! " #y1 + 2y2 − y3 " 3, 2y1 + y2 + y3 + y4 " 2, " $ y1 , y2 , y3 , y4 " 0. z = 6y1 + 8y2 + y3 + 2y4 → min 98 . 0 1 3 =⇒ C = . 2 T §7 Симплекс-метод решени6 основной Fадачи линейного программировани6 ИB основных свойств Bадач линейного программировани$ следует, что, если Bадача имеет оптимал3ное решение, то оно соответствует хот$ бы одной угловой точке многогранника решений. Поэтому, если перебрат3 все угловые точки многогранника решений и найти в них Bначение целевой функции, то мо@но найти оптимал3ное решение и соответствуTщее Bначение целевой функции. При этом перебор угловых точек мо@но сократит3, если осуществл$т3 его не случайным обраBом, а с учётом иBменений Bначений целевой функции, т. е. последовател3но улучша$ её Bначение. Такой перебор составл$ет основу универсал3ного метода решени$ Bадач линейного программировани$ — симплекс-метода. Eа раBработку симплекс-метода в 1975 году была вручена Нобелевска$ преми$ по экономике Леониду Канторовичу и Т3$ллингу Купмансу. Они поло@или основу теории в 1939 году. В 1947 (1949) году Д@он Данциг раBработал симплекс-метод в современном виде. Пуст3 дана Bадача линейного программировани$ в основной форме: ! a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 , " " " #a x + a x + . . . + a x = b , 21 1 22 2 2n n 2 " ... " " $ am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm , z = c0 + c1 x1 + c2 x2 + . . . + cn xn . (7.1) (7.2) Отыскание опорного решени: 1. ВыраBит3 r переменных череB остал3ные n − r переменных: ! x1 = β1 + α1r+1 xr+1 + . . . + α1n xn , " " " #x = β + α 2 2 2r+1 xr+1 + . . . + α2n xn , " ..., " " $ xr = βr + αrr+1 xr+1 + . . . + αrn xn . Определение 7.1. Переменные x1 , x2 , . . . , xr наBываTтс$ баBисными, а переменные xr+1 , xr+2 , . . . , xn — свободными. 2. Если β1 , β2 , . . . , βr " 0, тогда (β1 , β2 , . . . , βr , 0, . . . , 0) — мно@ество опорных решений. Перейти к поиску оптимал3ного решени$. 3. Если βk < 0, тогда воBмо@ны случаи: 99 (a) в соответствуTщем уравнении все αk,r+1 , αk,r+2 , . . . , αkn < 0, тогда Bадача нераBрешима; (b) хот$ бы один αkl > 0, тогда в соответствуTщем уравнении рассмотрет3 все коэффициенты αkl , имеTщие раBные Bнаки с соответствуTщим свободным , , , βk , членом и выбрат3 тот, дл$ которого отношение ,, ,, минимал3но; пуст3 αkl выбран коэффициент αpq , тогда иB p-го уравнени$ выраBит3 переменнуT xq и подставит3 её во все остал3ные уравнени$ системы, т. е. ввести переменнуT xq в состав баBисных, а переменнуT xp сделат3 свободной. 4. Повторит3 пункты 2—3. Отыскание оптимал5ного решени: 1. Подставит3 баBисные переменные в целевуT функциT (7.2), тогда z = γ0 + γr+1 xr+1 + γr+2 xr+2 + . . . + γn xn . 2. Если все γr+1 , γr+2 , . . . ,γn " 0, то найденное решение (β1 , β2 , . . . , βr , 0, . . . , 0) будет оптимал3ным. 3. Пуст3 γk < 0 (если таких нескол3ко, то выбрат3 наибол3ший по модулT), тогда воBмо@ны случаи: (a) все коэффициенты α1k , α2k , . . . , αrk " 0 , то целева$ функци$ неограничена — Bадача не имеет решени$; (b) хот$ бы один иB α1k , α2k , . . . , αrk < 0, тогда рассмотрет3 в системе все отрикоэффициенты αik < 0 и выбрат3 тот, дл$ которого отношение ,цател3ные , , βi , , , минимал3но; пуст3 выбран коэффициент αpk , тогда иB p-го уравне, αik , ни$ выраBит3 переменнуT xk и подставит3 её во все остал3ные уравнени$ системы, т. е. ввести переменнуT xk в состав баBисных, а переменнуT xp сделат3 свободной. 4. Повторит3 пункты 1—3. Пример 7.1. Решим Bадачу иB примера 4.1 симплекс-методом. ! " "1x1 + 2x2 ! 6, " #2x + 1x ! 8, 1 2 " x2 − x1 ! 1, " " $ x2 ! 2. z = 3x1 + 2x2 → max . Сведём Bадачу к основной Bадаче линейного программировани$. Введём фиктивные переменные x3 , x4 , x5 , x6 " 0. ! x1 + 2x2 + x3 = 6, " " " #2x + x + x = 8, 1 2 4 " −x1 + x2 + x5 = 1, " " $ x2 + x6 = 2. 100 z̃ = −z = −3x1 − 2x2 → min . ! x3 = 6 − x1 − 2x2 , " " " #x = 8 − 2x − x , 4 1 2 " x5 = 1 + x1 − x2 , " " $ x6 = 2 − x2 . Мно@ество опорных решений (0, 0, 6, 8, 1, 2). Eаметим, что γ1 = −3 < 0, γ2 = −2 < 0, рассмотрим γ1 и соответствуTщие коэффициенты при x1 иB системы. Среди уравнений α11 = −1 < 0, α21 = −2 , 6<, 0, α31, = ,1 > 0, α41 = 0. Дл$ первых двух коэффициен8 , , , , тов составим отношени$: −1 = 6, −2 = 4 и выберем наимен3шее. Тогда иB второго уравнени$ выраBим x1 и подставим в остал3ные уравнени$ системы: ! ! 1 1 x = 4 − x − x , x1 = 4 − 12 x2 − 12 x4 , " " 1 2 4 2 2 " " . " " # # x3 = 6 − 4 − 12 x2 − 12 x4 − 2x2 , x3 = 2 − 32 x2 + 12 x4 , . ⇐⇒ " " x5 = 1 + 4 − 12 x2 − 12 x4 − x2 , x5 = 5 − 32 x2 − 12 x4 , " " " " $ $ x6 = 2 − x2 ; x6 = 2 − x2 . 1 1 z̃ = −3 4 − x2 − x4 2 2 1 1 3 − 2x2 = −12 − x2 + x4 . 2 2 Новое мно@ество опорных решений (4, 0, 2, 0, 5, 2). Eаметим, что γ2 = − 12 < 0, рассмотрим соответствуTщие коэффициенты при x2 иB системы. Выберем среди них тот, где отношение свободного члена к нему минимал3но по модулT — α22 . Тогда иB второго уравнени$ выраBим x2 и подставим в остал3ные уравнени$ системы: ! ! x2 = 43 − 23 x3 + 13 x4 , x1 = 10 + 13 x3 − 23 x4 , " " 3 " " . " " #x = 4 − 4 − 2 x + 1 x x − 1 x , #x = 4 − 2 x + 1 x , 1 3 4 2 4 2 3 3 3 2 3 3 3 3 4 -4 2 . ⇐⇒ 1 1 " " x5 = 5 − 3 − 3 x3 + 3 x4 x2 − 2 x4 , x5 = 3 + x3 − x4 , " " " " -4 2 . $ $ 1 x6 = 2 − 3 − 3 x3 + 3 x4 . x6 = 23 + 23 x3 − 13 x4 . 1 4 2 1 3 38 1 4 z̃ = −12 − − x3 + x4 x2 + x4 = − + x3 + x4 . 3 3 3 2 3 3 3 1 10 4 2 Новое мно@ество опорных решений , , 0, 0, 3, . Eаметим, что все коэффици3 3 3 енты целевой функции поло@ител3ны, Bначит найденное решение — оптимал3ное. Тогда решение исходной Bадачи примет вид: x1 = 10 4 38 , x2 = , z = . 3 3 3 9амечание 7.1. ЛTбуT Bадачу линейного программировани$ мо@но свести к основной Bадаче линейного программировани$ с помощ3T введени$ фиктивных переменных и подмены целевой функции. 101 §8 Целочисленное программирование Нередко приходитс$ рассматриват3 Bадачи, в которых неиBвестные величины могут принимат3 тол3ко целочисленные Bначени$. При решении таких Bадач с целочисленными переменными испол3BуTт раBличные модификации симплекс-метода. Наиболее иBвестные методы решени$ целочисленных Bадач — метод отсечений и метод ветвей и границ. Основна: ;адача целочисленного программировани: Требуетс$ найти Bначени$ переменных x1 , x2 , . . . , xn , удовлетвор$Tщих системе ограничений ! a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 , " " " " " a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 , " " " #. . . (8.1) " a m1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm , " " " " " x1 , x2 , . . . , xn " 0, " " $ x1 , x2 , . . . , xn ∈ Z, z = c1 x1 + c2 x2 + . . . + cn xn → min. (8.2) Некоторые постановки ;адач целочисленного программировани: Bадача 8.1 (Eадача о рTкBаке). РTкBак обIёмом V и груBдоподIёмност3T P Bаполн$етс$ n видами раBличных предметов. Ка@дый предмет j-го вида имеет обIём Vj , массу mj и ценност3 cj . Требуетс$ выбрат3 и поло@ит3 в рTкBак предметы так, чтобы их суммарна$ ценност3 была наибол3шей, и при этом были соблTдены ограничени$ на обIём и груBоподIёмност3. Пуст3 xj — количество предметов j-го вида. ! n % " " " Vj xj ! V, " " " " j=1 " " n #% mj xj ! P, " " j=1 " " " " xj " 0, j = 1, n, " " " $x ∈ Z j = 1, n. j z= n % j=1 cj xj → max 102 Bадача 8.2 (Eадача об оптимал3ном раскрое). ИB стандартных Bаготовок одинакового раBмера необходимо выделит3 m раBличных видов иBделий в количестве не менее b1 , b2 , . . . , bm штук. Исходные Bаготовки могут быт3 раскроены n раBличными способами, при этом дл$ ка@дого j-го варианта иBвестно количество иBделий i-го вида aij и величина отходов cj . Требуетс$ раскроит3 Bаготовки так, чтобы получит3 необходимое количество иBделий ка@дого вида при минимал3ных суммарных отходах. Пуст3 xj — количество Bаготовок, раскроенных j-м способом. ! n % " " " aij xj " bi i = 1, m, " # j=1 " xj " 0, j = 1, n, " " " $x ∈ Z j = 1, n. j z= n % j=1 cj xj → min Алгоритм метода ветвей и границ 1. Найти симплекс-методом оптимал3ное решение Bадачи (8.1)—(8.2), отбросив услови$ целочисленности. 2. Пуст3 решением слу@ит следуTща$ система ! " "x1 = β1 + α1,r+1 xr+1 + . . . + α1n xn , " #x = β + α 2 2 2,r+1 xr+1 + . . . + α2n xn , " ..., " " $ xr = βr + αr,r+1 xr+1 + . . . + αrn xn . Если все числа β1 , β2 , . . . , βr целые, то решение (β1 , β2 , . . . , βr , 0, 0, . . . , 0) оптимал3но. Если Bадача беB условий целочисленности нераBрешима, то и исходна$ Bадача нераBрешима. 3. Если среди свободных членов β1 , β2 , . . . , βr ест3 хот$ бы один нецелый, то выбрат3 тот, который имеет наибол3шуT дробнуT част3. Пуст3 выбран свободный член βk . Составит3 две новые Bадачи, добавив в систему ограничений новые ограничени$ xk ! [βk ] и xk " [βk ] + 1. 4. Составленные Bадачи решит3 симплекс-методом. Если оптимал3ное решение составленных Bадач будет целочисленным, то оптимал3ным решением исходной Bадачи (8.1)-(8.2) $вл$етс$ решение той иB дополнител3ных Bадач, в которой Bначение целевой функции наимен3шее. В противном случае повторит3 п. 3—4. Пример 8.1. Пуст3 в Bадаче иB примера 4.1 проиBвод$тс$ банки (или контейнеры) краски. 103 Решение. Точка D - 10 3 . 4 ! 1x1 + 2x2 ! 6, " " " " " 2x1 + 1x2 ! 8, " " " #x − x ! 1, 2 1 " x2 ! 2, " " " " " x1 , x2 " 0, " " $ x1 , x2 ∈ Z, z = 3x1 + 2x2 → max . ; 3 — точка оптимал3ного решени$. x2 3 B C 4 D A E O 2 1 x1 B C B C Отсекаем 2 мно@ества решений: x1 ! 10 = 3, x1 " 10 + 1 = 3 + 1 = 4. 3 3 Получим многогранник решений OABCF G и точку E. z(E) = z(4; 0) = 12. x2 3 B C 4 F A E O 2 104 1 x1 B C B C Точка F (3; 1,5), тогда отсекаем 2 мно@ества решений: x2 ! 32 = 1, x2 " 32 + 1 = 2. Получили многогранник решений OAHG и отреBок BC. Точка H(3; 1), z(H) = 11, z(C) = 10. x2 3 B C A 4 H E O G 2 1 x1 Наибол3шее Bначение z = 12 достигаетс$ в точке E(4; 0). Алгоритм метода отсечений 1. Найти симплекс-методом оптимал3ное решение Bадачи (8.1)—(8.2), отбросив услови$ целочисленности. 2. Пуст3 решением слу@ит следуTща$ система ! x1 = β1 + α1,r+1 xr+1 + . . . + α1n xn , " " " #x = β + α 2 2 2,r+1 xr+1 + . . . + α2n xn , " ..., " " $ xr = βr + αr,r+1 xr+1 + . . . + αrn xn . Если все числа β1 , β2 , . . . , βr целые, то решение (β1 , β2 , . . . , βr , 0, 0, . . . , 0) оптимал3но. Если Bадача беB условий целочисленности нераBрешима, то и исходна$ Bадача нераBрешима. 3. Если среди свободных членов β1 , β2 , . . . , βr ест3 хот$ бы один нецелый, то выбрат3 тот, который имеет наибол3шуT дробнуT част3. Пуст3 выбран коэффициент βk . Сформироват3 правил3ное отсечение в виде неравенства {−αk,r+1 }xr+1 + . . . + {−αkn }xn " {βk }. 4. ПреобраBоват3 полученное отсечение введением фиктивной целочисленной переменной xn+1 в уравнение {−αk,r+1 }xr+1 + . . . + {−αkn }xn − xn+1 = {βk }. Составит3 расширеннуT Bадачу, добавив это уравнение к исходной системе. 105 5. ПолученнуT Bадачу решит3 симплекс-методом. Если оптимал3ное решение будет целочисленным, то оно $вл$етс$ решением исходной Bадачи. В противном случае повторит3 пункты 3—5. 9амечание 8.1. Если в процессе решени$ по$витс$ уравнение с нецелым свободным членом и целыми остал3ными коэффициентами, то исходна$ Bадача нераBрешима в целых числах. Пример 8.2. Снова решим Bадачу иB примера 4.1. Решение. ! x1 " " " #x 2 " x5 " " $ x6 = 10 + 13 x3 − 23 x4 , 3 = 43 − 23 x3 + 13 x4 , = 3 + x3 − x4 , = 23 + 23 x3 − 13 x4 . z̃ = − 38 1 4 + x3 + x4 . 3 3 3 Найденное решение не $вл$етс$ целочисленным, сформируем отсечение: 6 < 6 < 6 < 1 2 10 2 2 1 − x3 + x4 " ⇐⇒ x3 + x4 − x7 = . 3 3 3 3 3 3 Добавим данное ограничение в систему и решим новуT Bадачу симплекс-методом: ! ! 10 1 2 " " x = + x − x , x1 = 72 − x4 + 12 x7 , 1 " " 3 3 3 3 4 " " " " 4 2 1 " " " " # x2 = 3 − 3 x3 + 3 x4 , # x2 = 1 + x4 − x7 , ⇐⇒ x3 = 12 − x4 + 32 x7 , x5 = 3 + x3 − x4 , " " " " " " x6 = 23 + 23 x3 − 13 x4 , x5 = 72 − 2x3 + 32 x7 , " " " " " " $2x + 2x − x = 1, $x = 1 − x + x . 7 6 4 7 3 3 3 4 3 Найденное решение не $вл$етс$ целочисленным, сформируем отсечение: 6 < 6 < 1 7 1 1 {1} x4 + − x7 " ⇐⇒ x7 − x8 = . 2 2 2 2 Добавим данное ограничение в систему и решим новуT Bадачу симплекс-методом: ! ! 7 1 x = − x + x , x1 = 4 − x4 + x8 , " " 1 4 7 " " 2 2 " " " " " " x2 = 1 + x4 − x7 , x2 = x4 − 2x8 , " " " " " " #x = 1 − x + 3 x , #x = 2 − x + 3x , 3 4 3 4 8 2 2 7 ⇐⇒ 7 3 "x5 = 2 − 2x3 + 2 x7 , "x5 = 5 − 2x4 + 3x8 , " " " " " " " " " " x = 1 − x + x , x6 = 2 − x4 + 2x8 , 6 4 7 " " " " $1 $ 1 x − x8 = 2 . x7 = 1 + 2x8 . 2 7 z̃ = −12 + x4 + x8 . 106 §9 Дробно-линейное программирование Часто на практике нар$ду с получением максимал3ной прибыли требуетс$ оценит3 и другие экономические покаBатели, характериBуTщие эффективност3 работы предпри$ти$: рентабел3ност3, проиBводител3ност3 труда и др. В этом случае целева$ функци$ будет представл$т3 собой отношение двух выра@ений, Bавис$щих от неиBвестных x1 , x2 , . . . , xn . Определение 9.1. Функци$ вида z= p0 + p1 x1 + p2 x2 + . . . + pn xn q0 + q1 x 1 + q2 x 2 + . . . + qn x n наBываетс$ дробно-линейной функцией аргументов x1 , x2 , . . . , xn . Себестоимост3 единицы продукции характериBует Bатраты на проиBводство единицы продукции, себестоимост3 находитс$ иB соотношени$ Себестоимост3 = Bатраты . обIём продукции При решении Bадач оптимиBации по покаBателT себестоимости целевуT функциT следует минимиBироват3. Рентабел3ност3 проиBводства — покаBател3 эффективности проиBводства, выра@аTщий прибыл3ност3 или доходност3. Рентабел3ност3 = прибыл3 (доход) от реалиBации продукции . Bатраты на проиBводство продукции При решении Bадач оптимиBации по покаBателT рентабел3ности целевуT функциT следует максимиBироват3. ПроиBводител3ност3 труда представл$ет собой соотношение ПроиBводител3ност3 труда = обIём выполненной работы . врем$ При решении Bадач оптимиBации по покаBателT проиBводител3ности труда целевуT функциT следует максимиBироват3. Эффективност3 проиBводства представл$ет собой соотношение Эффективност3 проиBводства = обIём выпущенной продукции . Bатраты проиBводства При решении Bадач оптимиBации по покаBателT проиBводител3ности труда целевуT функциT следует максимиBироват3. 107 Основна$ Bадача дробно-линейного программировани$: требуетс$ найти Bначени$ переменных x1 , x2 , . . . , xn , удовлетвор$Tщих системе ! " a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 , " " " " " #a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 , (9.1) ... " " " am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm , " " " $x , x , . . . , x " 0, 1 2 n обращаTщих в минимум дробно-линейнуT функциT z= p0 + p1 x1 + p2 x2 + . . . + pn xn → min. q0 + q1 x 1 + q2 x 2 + . . . + qn x n (9.2) 9амечание 9.1. ИB экономического смысла Bадачи мо@но считат3, что q0 + q1 x1 + q2 x2 + . . . + qn xn " 0. 1 > 0. Умно@им обе части q0 + x 1 q1 + q2 x 2 + . . . + qn x n ка@дого уравнени$ системы ограничений на y0 : ! " a11 x1 y0 + a12 x2 y0 + . . . + a1n xn y0 = b1 y0 , " " " " " #a21 x1 y0 + a22 x2 y0 + . . . + a2n xn y0 = b2 y0 , ... " " " am1 x1 y0 + am2 x2 y0 + . . . + amn xn y0 = bm y0 , " " " $x , x , . . . , x " 0. 1 2 n Введём переменнуT y0 = Введём новые переменные yj = xj y0 , тогда Bадача примет вид ! b1 y0 − a11 y1 − a12 y2 − . . . − a1n yn = 0, " " " " " b2 y0 − a21 y1 − a22 y2 − . . . − a2n yn = 0, " " " #. . . " bm y0 − am1 y1 − am2 y2 − . . . − amn yn = 0, " " " " " q0 + q1 y1 + q2 y2 + . . . + qn yn = 1, " " $ y1 , y2 , . . . , yn " 0, y0 > 0, z = p0 + p1 y1 + p2 y2 + . . . + pn yn → min. (9.3) (9.4) В реBул3тате получили основнуT Bадачу линейного программировани$. Решив эту Bадачу, получим мно@ество оптимал3ных решений (y0 , y1 , y2 , . . . , yn ). Тогда реyj шение исходной Bадачи мо@но найти по формуле xj = . y0 Пример 9.1. Eавод по проиBводству соков «Сады Смоленщины» иBготавливает два вида соков иB трех видов фруктов ($блоки, апел3сины, персики). Соки поставл$Tтс$ в торговуT сет3 в пакетах по 2 л и 1,5 л. Все данные о проиBводстве и реалиBации представлены в таблице: 108 Фрукты [блоки Персики Апел3сины Прибыл3 от реалиBации Расход 2 л 1,5 л 1 0,5 0,3 0,25 0,75 1 13 5 Eапас 650 245 800 Состав3те план проиBводства сока, дл$ которого рентабел3ност3 будет наибол3шей, если иBвестно, что Bатраты на двухлитровый пакет составл$Tт 5 руб., на полуторалитровый — 2 руб. Решение. Пуст3 x1 , x2 — планируемое к проиBводству количество двухлитровых и полуторалитровых пакетов сока соответственно. Тогда получим следуTщуT математическуT модел3 Bадачи. Требуетс$ найти Bначени$ переменных x1 и x2 , удовлетвор$Tщих системе ограничений вида: ! x1 + 0,5x2 ! 650, " " " #0,3x + 0,25x ! 245, 1 2 " 0,75x + x ! 800, 1 2 " " $ x1 , x2 " 0, обращаTщих в максимум целевуT функциT z= 13x1 + 5x2 → max. 5x1 + 2x2 Введём фиктивные переменные x3 , x4 , x5 , тогда система ограничений примет вид ! x1 + 0,5x2 + x3 = 650, " " " #0,3x + 0,25x + x = 245, 1 2 4 " 0,75x + x + x = 800, 1 2 5 " " $ xi " 0, (i = 1, 5). 1 Пуст3 y0 = , тогда получим следуTщуT Bадачу линейного программирова5x1 + 2x2 ни$: ! " y1 + 0,5y2 + y3 − 650y0 = 0, " " " " " #0,3y1 + 0,25y2 + y4 − 245y0 = 0, 0,75y1 + y2 + y5 − 800y0 = 0, " " " 5y1 + 2y2 = 1, " " " $y " 0, (i = 1, 5), y > 0. i z = 13y1 + 5y2 → max. 109 Решив Bадачу симплекс-методом, получим ! 1 1 1 y0 = 3250 + 6500 y2 + 650 y3 , " " " #y = 1 − 2 y , 1 5 5 2 1 6 49 "y4 = 65 − 65 y2 + 130 y3 , " " $ 5 15 16 y5 = 52 − 26 y2 + 13 y3 , 13 1 − y2 . 5 5 Тогда решение исходной Bадачи будет имет3 вид: ! " #x1 = 650, x2 = 0, " $ z = 13 . 5 z= § 10 Транспортна6 Fадача Рассмотрим следуTщуT Bадачу. Пуст3 имеетс$ m складов A1 , A2 , . . . , Am , в которых располо@ен однородный продукт в количествах a1 , a2 , . . . , am единиц соответственно. Этот продукт дол@ен быт3 доставлен n потребител$м B1 , B2 , . . . , Bn , потребности которых равны b1 , b2 , . . . , bn соответственно. Транспортные расходы, св$Bанные с перевоBкой иB пункта Ai в пункт Bj , составл$Tт cij . Требуетс$ составит3 такой план перевоBок, который при минимал3ных транспортных расходах обеспечивает удовлетворение спроса во всех пунктах потреблени$ Bj Bа счет распределени$ всего продукта, наход$щегос$ в пунктах отправки Ai . Пуст3 xij — количество груBа, перевоBимого иB пункта Ai в пункт Bj . Дл$ решени$ Bадачи составим транспортнуT таблицу Таблица 5: Транспортна$ Bадача Склады и потребители A1 A2 ... Am Потребности B1 B2 ... Bn Eапасы c11 x11 c21 x21 ... cm1 xm1 b1 c12 x12 c22 x22 ... cm2 xm2 b2 ... ... ... ... ... c1n x1n c2n x2n ... cmn xmn bn a1 a2 ... am Определение 10.1. Матрица C = (cij ) (i = 1, m, j = 1, n) наBываетс$ матрицей тарифов, а сами числа cij — тарифами. Определение 10.2. Матрица X = (xij ) (i = 1, m, j = 1, n) наBываетс$ планом перевоBок или планом транспортной Bадачи. 110 Определение 10.3. Вектор A = (a1 , a2 , . . . , am ) наBываетс$ вектором Bапаса. Вектор B = (b1 , b2 , . . . , bn ) наBываетс$ вектором потребностей. Математическа$ модел3 транспортной Bадачи имеет вид: требуетс$ найти неотрицател3ные Bначени$ переменных xij (i = 1, m, j = 1, n), обращаTщие в минимум целевуT функциT m % n % z= cij xij → min, (10.1) i=1 j=1 удовлетвор$Tщие следуTщей системе ограничений: ! n % " " " xij = ai , i = 1, m, " " " # j=1 m % " xij = bi , i = 1, n, " " " " i=1 " $ xij " 0. (10.2) Определение 10.4. Модел3 транспортной Bадачи наBываетс$ Bакрытой, если выполн$етс$ условие m n % % ai = bi , i=1 j=1 и открытой в противном случае. Теорема 10.1. Транспортна0 2адача (10.1)—(10.2) ра2решима тогда и тол&ко тогда, когда она 0вл0етс0 2акрытой. На практике условие Bакрытости обычно не выполн$етс$. В этом случае поступаTт следуTщим обраBом: • если суммарный спрос превышает суммарный Bапас продукта, т. е. m % ai < i=1 n % bi , j=1 то в рассмотрение вводитс$ фиктивный m + 1 пункт отправки Am+1 с Bапасом продукта n m % % am+1 = bi − ai , j=1 i=1 причем тарифы на доставку фиктивным поставщиком равны нулT; • если суммарный Bапас продукта превышает суммарный спрос, т. е. m % ai > i=1 111 n % j=1 bi , то в рассмотрение водитс$ фиктивный n+1 пункт потреблени$ Bn+1 со спросом bn+1 = m % i=1 ai − n % bi , j=1 при этом тарифы на перевоBку равны нулT. Определение 10.5. План перевоBок X, удовлетвор$Tщий системе ограничений (10.2), наBываетс$ опорным планом транспортной Bадачи. Опорный план перевоBок X, обращаTщий в минимум целевуT функциT (10.1), наBываетс$ оптимал3ным планом Bадачи. Так как система ограничений транспортной Bадачи содер@ит m + n уравнений и mn неиBвестных, то справедлива следуTща$ теорема. Теорема 10.2. КаBдый опорный план транспортной 2адачи содерBит m + n − 1 ба2исну' и mn − (m + n − 1) свободну' переменные. Определение 10.6. Клетка, соответствуTща$ баBисной переменной опорного плана, наBываетс$ Bагру@енной, а – свободной переменной – свободной. Определение 10.7. Циклом в транспортной таблице наBываетс$ набор клеток, в котором две и тол3ко две соседние клетки располо@ены в одной строке или одном столбце и последн$$ клетка набора ле@ит в той @е строке или столбце, что и перва$, при этом ровно одна клетка $вл$етс$ свободной. Теорема 10.3. План транспортной 2адачи 0вл0етс0 опорным тогда и тол&ко тогда, когда и2 m + n − 1 2ан0тых им клеток в транспортной таблице нел&20 обра2оват& ни одного цикла. Алгоритм построени: опорного плана методом наимен5шего элемента 1. EагруBит3 в транспортной таблице клетку с наимен3шим тарифом. 2. EагруBит3 клетку той @е строки (столбца) со следуTщим по величине тарифом. 3. Повтор$т3 п.2 до тех пор, пока не будут исчерпаны все Bапасы и удовлетворен вес3 спрос. 4. Если в реBул3тате будут Bагру@ена m+n−1 клетка, то опорный план построен. В противном случае все последуTщие клетки Bаполнит3 нул$ми, до тех пор, пока количество Bагру@енных клеток будет равно m + n − 1. Одним иB наиболее простых способов решени$ транспортной Bадачи $вл$етс$ метод потенциалов. Определение 10.8. Числа ui и vj , соответствуTщие Bагру@енным клеткам транспортной таблицы и удовлетвор$Tщие системе уравнений ui + vj = cij , наBываTтс$ потенциалами i-го поставщика и j-го потребител$. 112 (10.3) 9амечание 10.1. Система (10.3) имеет m + n неиBвестных и m + n − 1 уравнений, поэтому дл$ ее решени$ один иB потенциалов мо@но считат3 равным нулT. Определение 10.9. Числа ∆kp = ckp − (uk + vp ), (10.4) соответствуTщие свободным клеткам транспортной таблицы, наBываTтс$ оценками свободных клеток. Алгоритм метода потенциалов 1. Услови$ Bадачи (10.1)—(10.2) Bаписат3 в виде транспортной таблицы. 2. Сравнит3 суммарный Bапас и суммарный спрос и в случае необходимости ввести фиктивный пункт отправки или потреблени$. 3. Построит3 опорный план. 4. Вычислит3 потенциалы ui и vj поставщиков и потребителей, решив систему (10.3). 5. Вычислит3 оценки свободных клеток ∆kp по формулам (10.4). 6. Если все оценки свободных клеток неотрицател3ны, то найденный план $вл$етс$ оптимал3ным. Если среди оценок свободных клеток ∆kp ест3 хот$ бы одна отрицател3на$, то выбрат3 клетку с наибол3шей по модулT оценкой. 7. Построит3 цикл с началом в выбранной клетке и расставит3 в вершинах получившейс$ ломаной Bнаки «плTс» и «минус» по часовой стрелке, начина$ с выбранной клетки. 8. Выбрат3 Bагру@енные клетки, в которых стоит Bнак «минус», и найти среди них минимал3ное Bначение α. 9. ИBменит3 Bначени$ в вершинах цикла на величину α, учитыва$ Bнак, сто$щий в клетке. 10. Повторит3 п.п. 4—9. 9амечание 10.2. Если в п.6 алгоритма все оценки свободных клеток ∆kp поло@ител3ны, то Bадача имеет единственное решение. Если @е среди неотрицател3ных оценок имеетс$ хот$ бы одна нулева$, то Bадача имеет бесконечно много решений. Пример 10.1. Компани$ «^ар и холод», BанимаTща$с$ проиBводством моро@еного, имеет четыре предпри$ти$. ПроиBводител3ност3 ка@дого предпри$ти$ равна 170, 130, 190 и 200 тыс. шт. е@емес$чно. Моро@еное отправл$етс$ в три города – Смоленск, Москву и Минск, потребление в которых составл$ет 150, 270 и 250 тыс. шт. соответственно. Транспортные расходы на перевоBку 1 тыс. шт. моро@еного с предпри$тий по городам приведены в таблице. Решение. Найдем суммарный спрос и Bапасы, получим 150 + 270 + 250 = 670, 170 + 130 + 190 + 200 = 690. Так как Bапасы превышаTт спрос, то введем фиктивный город Фантом с потреблением 20 тыс. шт. моро@еного в мес$ц, составим транспортнуT таблицу. 113 Города и предпри$ти$ Π1 Π2 Π3 Π4 Города и предпри$ти$ Π1 Π2 Π3 Π4 Спрос Смоленск Москва Минск 5 4 6 7 4 5 2 3 6 9 5 5 Минск Фантом Eапасы 170 130 190 200 Смоленск Москва 5 40 4 110 6 7 150 4 5 2 190 3 80 270 6 130 9 5 120 5 250 20 20 Найдём потенциалы поставщиков и потребителей. Решив систему уравнений (10.3), получим ! " u1 = 0, " " " " u2 = −1, " " " " " u3 = −2, " " " #u = −1, 4 " v1 = 5, " " " " " v2 = 4, " " " " " v3 = 6, " " $ v4 = 1. Найдем оценки свободных клеток, испол3Bу$ формулы (10.4), получим ∆12 ∆22 ∆31 ∆41 = 0, = 2, = 3, = 3, ∆14 ∆23 ∆33 ∆44 = −1, = 4, = 3, = 0. Так как среди оценок свободных клеток ест3 отрицател3ные, то построенный план не $вл$етс$ оптимал3ным. Построим цикл, соответствуTщий свободной клетке (1; 4). Найдем минимал3ное Bначение среди Bагру@енных клеток, в которых стоит Bнак «минус», имеем min{20, 40} = 20. Перейдем к новому плану, иBменив Bначени$ в клетках, соответствуTщих вершинам цикла, получим транспортнуT таблицу и продол@им выполнение алгоритма. 114 Оптимал3ный план перевоBок будет имет3 вид & ) 20 80 50 '130 0 0 * * X=' ( 0 190 0 + , 0 200 при этом Bатраты на транспортировку моро@еного состав$т z = 2620 единиц. Так как оценка свободной клетки ∆42 = 0, то Bадача имеет бесконечно много решений. § 11 Модификации транспортной Fадачи Часто при решении транспортной Bадачи воBникаTт дополнител3ные услови$. 1. ОбIём перевоBок ме@ду пунктами Ai и Bj Bаранее иBвестен и равен a. В этом случае в систему ограничений добавл$етс$ условие xij = a. 2. Существует ограничение на пропускнуT способност3 дороги ме@ду пунктами. Тогда добавл$етс$ условие xij ! b. 3. ПеревоBка груBа иB пункта Ai в пункт Bj не допускаетс$, тогда тариф устанавливаетс$ равным ∞. Постановка транспортной Bадачи мо@ет предполагат3 максимиBациT целевой функции (например, если вместо тарифов на перевоBку в $чейках транспортной таблицы укаBан доход от транспортировки единицы товара от поставщика к потребителT). В этом случае дл$ решени$ Bадачи все $чейки транспортной таблицы умно@аTтс$ на −1, далее Bадача решаетс$ стандартным обраBом. Транспортна$ Bадача имеет раBличные прило@ени$ в других Bадачах, которые не св$Bаны с перевоBкой груBов. К ним относ$тс$, например, Bадачи управленческого характера, св$Bанные с распределением работников по раBличным видам работ, с формированием оптимал3ного штата фирмы и др. Частным случаем транспортной Bадачи $вл$етс$ Bадача о наBначени$х. В этой Bадаче число пунктов наBначени$ и число пунктов проиBводства совпадаTт, а сами Bначени$ потребностей и предло@ени$ равны по 1. Это Bадача мо@ет быт3 решена стандартным методом потенциалов, однако дл$ её решени$ существует особый метод — венгерский алгоритм. Венгерский алгоритм 1. В ка@дой строке таблицы найти наимен3ший элемент и вычест3 его иB всех элементов данной строки. 2. Повторит3 ту @е процедуру дл$ столбцов. 115 3. Найти строку, содер@ащуT тол3ко одно нулевое Bначение стоимости, и в клетку, соответствуTщуT данному BначениT, поместит3 один элемент (проиBвести наBначение). Если такие строки отсутствуTт, допустимо начат3 с лTбого нулевого Bначени$ стоимости. 4. Eачеркнут3 оставшиес$ нулевые Bначени$ данного столбца. 5. Повтор$т3 два предыдущих действи$ до тех пор, пока продол@ение этой процедуры не ока@етс$ невоBмо@ным. 6. Если на данном этапе ест3 нескол3ко нулей, которым не соответствуTт наBначени$ и которые $вл$Tтс$ неBачеркнутыми, то необходимо найти столбец, содер@ащий тол3ко одно нулевое Bначение, и в соответствуTщуT клетку поместит3 один элемент. 7. Eачеркнут3 оставшиес$ нули в данной строке. 8. Повтор$т3 два предыдущих действи$ до тех пор, пока продол@ение этой процедуры не ока@етс$ невоBмо@ным. 9. Если таблица содер@ит неучтенные нули, повторит3 предыдущие действи$, начина$ со строк. 10. Если все элементы распределены в клетки, которым соответствует нулева$ стоимост3, то полученное решение $вл$етс$ оптимал3ным. Если не все элементы наBначены (ест3 строки и столбцы беB наBначений), то перейти к следуTщему шагу. 11. Провести минимал3ное число пр$мых череB строки и столбцы матрицы таким обраBом, чтобы они проходили череB все нули, содер@ащиес$ в таблице. 12. Найти наимен3ший среди элементов, череB которые не проходит ни одна проведенна$ пр$ма$. 13. Вычест3 его иB всех элементов, череB которые не проход$т пр$мые, и прибавит3 найденный элемент ко всем элементам, которые ле@ат на пересечении проведенных пр$мых. Все элементы, череB которые проходит тол3ко одна пр$ма$, оставит3 беB иBменений. 14. Вернут3с$ к шагу 3 и повтор$т3 алгоритм до тех пор, пока не будет найдено оптимал3ное решение. Пример 11.1. Некотора$ компани$ имеет 4 сбытовые баBы и 4 BакаBа, которые необходимо доставит3 раBличным потребител$м. В таблице содер@итс$ информаци$ о рассто$нии ме@ду ка@дой баBой и ка@дым потребителем. Как следует распределит3 BакаBы по сбытовым баBам, чтобы обща$ дал3ност3 транспортировки была минимал3ной? A B C D I 68 56 38 47 II 72 60 40 42 III 75 58 35 40 IV 83 63 45 45 Решение. В ка@дой строке найдём наимен3ший элемент: 68, 56, 35 и 40 соответственно. Вычтем эти Bначени$ иB всех элементов соответствуTщих строк. 116 A B C D I 3 7 II 4 4 5 2 III 7 2 IV 15 7 10 5 II 2 2 3 III 7 2 IV 10 2 5 Повторим операциT дл$ столбцов. A B C D I 3 7 Осуществим наBначени$. A B C D I 3 7 II 2 2 3 III 7 2 IV 10 2 5 Получено тол3ко три нулевых наBначени$, а дол@но быт3 четыре. Тогда данное распределение $вл$етс$ недопустимым. Проведём наимен3шее число пр$мых, проход$щих череB все нули таблицы. A B C D I 3 7 II 2 2 3 III 7 2 IV 10 2 5 Наимен3шим элементом, череB который не проходит ни одна иB пр$мых, $вл$етс$ 2. Вычтем 2 иB ка@дого элемента, череB который не проходит ни одна пр$ма$ и добавим 2 ко всем элементам, ле@ащим на пересечении двух пр$мых. После этого осуществим наBначени$. Данное решение $вл$етс$ оптимал3ным, но не единственным. Найдём общуT дал3ност3 перевоBок дл$ данного решени$: 68 + 60 + 35 + 45 = 208. 117 I 3 9 A B C D II 1 III 7 2 2 IV 8 3 Друга$ постановка Bадачи о наBначени$х предполагает максимиBациT целевой функции. Имеетс$ n работников и n раBличных видов работ. Эффективност3 выполнени$ i-м работником j-й работы иBвестна и равна aij . Необходимо наBначит3 работников на выполнение этих видов работ так, чтобы суммарна$ эффективност3 выполнени$ всеми работниками всех видов работ была максимал3ной. Построим математическуT модел3 Bадачи. Решение будем искат3 в виде матрицы X раBмера n × n, в которой xij = 1, если i-й работник наBначен на j-T работу, и xij = 0 в противном случае. Тогда получим систему ограничений ! n % " " " xij = 1 (i = 1, n), " " " # j=1 n % " xij = 1 (j = 1, n), " " " " i=1 " $ xij ∈ {0, 1}. Целева$ функци$ будет имет3 вид z= n % n % i=1 j=1 § 12 aij xij → max. Многокритериал<ные модели Экономическа$ эффективност3 проиBводства обычно количественно иBмер$етс$ системой экономических покаBателей (чистый доход, прибыл3, рентабел3ност3, валовой доход на единицу сопоставимых по качеству то варов и т. п.). При этом максимал3ное Bначение одного иB покаBателей не оBначает, что одно предпри$тие работает лучше другого. В этом случае охарактериBоват3 эффективност3 всего проиBводства мо@ет тол3ко система таких покаBателей. Определение 12.1. Eадачи, решаемые с учетом мно@ества (системы) покаBателей, наBываTт многокритериал3ными Bадачами. Оптимал3ные планы Bадач, получаемые при оптимиBации по отдел3ным покаBател$м, вообще говор$, будут отличат3с$ друг от друга. Поэтому при решении многокритериал3ных Bадач требуетс$ построит3 план, при котором система покаBателей была бы наилучшей (компромиссной). 118 Выдел$Tт нескол3ко способов построени$ таких компромиссных планов: 1. Метод уступок. Примен$етс$ в том случае, когда покаBатели оптимиBации не $вл$Tтс$ равноBначными. 2. Метод равных и наимен3ших отклонений. Примен$етс$, когда все критерии равноBначны и в компромиссном плане относител3ные отклонени$ всех критериев от своих оптимал3ных Bначений дол@ны быт3 равны и минимал3ны. Алгоритм метода уступок 1. Располо@ит3 критерии z1 , z2 , . . . , zp по их Bначимости, счита$ наиболее ва@ным первый критерий. 2. Решит3 Bадачу по первому критериT, т. е. отыскат3 оптимал3ное Bначение целевой функции z1 , равное z10 . 3. Сделат3 уступку по первому критериT, т. е. иBменит3 Bначение z1 до Bначени$ k1 z10 , где 0 < k1 < 1, если критерий максимиBировалс$, и k1 > 1 в противном случае. 4. Ввести в систему ограничений дополнител3ное ограничение z1 " k1 z10 , если критерий максимиBировалс$, и z1 ! k1 z10 в противном случае. 5. Решит3 Bадачу по второму критериT z2 , т. е. найти оптимал3ное Bначение z20 целевой функции z2 . 6. Выполнит3 п.3 алгоритма дл$ второго критери$, т. е. сделат3 уступку k2 z20 , где k2 вводитс$ аналогично k1 . 7. Выполнит3 п.4 алгоритма дл$ второго критери$, т. е. ввести в систему ограничений дополнител3ное неравенство z2 " k2 z20 или z2 ! k2 z20 . 8. Решит3 новуT Bадачу с двум$ дополнител3ными ограничени$ми по трет3ему критериT z3 и т. д. 9. Процесс решени$ Bакончит3 тогда, когда получено решение по всем критери$м. Пример 12.1. Предпри$тие «Ай, да валенки мои!» иBготавливает валенки дл$ девочек и мал3чиков, располага$ при этом проиBводственными мощност$ми четырех видов в следуTщих количествах: первого вида — не менее 12, а остал3ных — не более 10, 6 и 7. Нормы Bатрат мощностей ка@дого вида на одну тыс. пар валенок дл$ девочек составл$ет соответственно 3, 1, 1 и 0, на одну тыс. пар валенок дл$ мал3чиков — 4, 1, 0 и 1. Прибыл3 от сбыта, чистый доход и Bатраты на одну тыс. пар валенок дл$ девочек и мал3чиков составл$Tт 300000 руб. и 500000 руб., 300000 руб. и 100000 руб., 200000 руб. и 100000 руб. соответственно. Найдите компромиссный план проиBводства валенок обоих видов, счита$ наиболее предпочтител3ным критерием прибыл3 с отклонением от максимал3ного Bначени$ на 20%, чистый доход с отклонением 40% и менее ва@ным — критерий Bатрат. Решение. Пуст3 x1 , x2 тыс. штук — планируемое к проиBводству количество пар валенок дл$ девочек и мал3чиков соответственно. Тогда получим следуTщуT математическуT модел3 Bадачи. Требуетс$ найти неотрицател3ные Bначени$ переменных 119 x1 и x2 , удовлетвор$Tщих системе ограничений ! 3x1 + 4x2 " 12, " " " #x + x ! 10, 1 2 " x1 ! 6, " " $ x2 ! 7, (12.1) обращаTщих в максимум функции z1 = 300x1 + 500x2 , z2 = 300x1 + 100x2 , (12.2) (12.3) с отклоненением от наибол3ших Bначений не более 20% и 40% соответственно и — в минимум функциT z3 = 200x1 + 100x2 . (12.4) Решим Bадачу (12.1)—(12.4) по алгоритму метода уступок. Введем фиктивные неотрицател3ные переменные x3 , x4 , x5 и x6 , тогда система ограничений (12.1) примет вид: ! 3x1 + 4x2 − x3 = 12, " " " #x + x + x = 10, 1 2 4 (12.5) " x 1 + x5 = 6, " " $ x2 + x6 = 7. Решив Bадачу (12.2), (12.5) симплекс-методом, получим ! " " x1 " #x 2 " x3 " " $ x5 = 3 − x4 + x6 , = 7 − x6 , = 25 − 3x4 − x6 , = 3 + x4 − x6 , z1 = 4400 − 300x4 − 200x6 . Сделаем уступку по первому критериT. Введем в систему ограничений дополнител3ное условие 300x1 + 500x2 " 0,8 · 4400 и, добавив фиктивнуT переменнуT x7 , получим ! " x1 = 3 − x4 + x6 , " " " " " # x2 = 7 − x6 , (12.6) x3 = 25 − 3x4 − x6 , " " " x5 = 3 + x4 − x6 , " " " $300x + 500x − x = 3520. 1 2 7 120 Решив Bадачу (12.3), (12.6), получим ! " x1 = 6 − x5 , " " " " " # x2 = 4 − x4 + x5 , x3 = 22 − 4x4 + x5 , " " " x6 = 3 + x4 − x5 , " " " $x = 280 − 500x + 200x , 7 4 5 z2 = 2200 − 100x4 − 200x5 . Сделаем уступку по второму критериT. Введем в систему ограничений дополнител3ное условие 300x1 + 100x2 " 0,6 · 2200 и, добавив фиктивнуT переменнуT x8 , получим ! x1 = 6 − x5 , " " " " " x2 = 4 − x4 + x5 , " " " #x = 22 − 4x + x , 3 4 5 (12.7) " x 6 = 3 + x4 − x5 , " " " " " x7 = 280 − 500x4 + 200x5 , " " $ 300x1 + 100x2 − x8 = 1320. Решив Bадачу (12.4), (12.7), получим ! 1 1 x1 = 77 − 1200 x7 + 240 x8 , " " 30 " " 11 1 1 " x2 = 2 + 400 x7 − 400 x8 , " " " #x = 177 + 3 x + 1 x , 3 10 400 7 400 8 29 1 1 " x4 = 15 − 600 x7 − 600 x8 , " " " 103 1 1 " " x5 = 30 + 1200 x7 − 240 x8 , " " $ 1 1 x6 = 32 − 400 x7 + 400 x8 , z3 = 3190 1 7 + x7 + x8 . 3 12 12 Таким обраBом, предпри$тиT «Ай, да валенки мои!» следует планироват3 к проиBводству 2567 пар валенок дл$ девочек и 5500 пар — дл$ мал3чиков, при этом прибыл3 составит 3,52 млн. руб., чистый доход — 1,32 млн. руб., а Bатраты — 1,063 млн. руб. Метод равных и наимен5ших отклонений При решении Bадач линейного программировани$ методом уступок, вообще говор$, мы имеем раBличные отклонени$ критериев от их экстремал3ных Bначений. Потребуем, чтобы в компромиссном плане относител3ные отклонени$ всех критериев от своих экстремал3ных Bначений были равны и минимал3ны. Кроме того, будем 121 предполагат3, что в области допустимых решений Bадачи не существует плана, оптимиBируTщего все критерии. Пуст3 z1 , z2 , . . . , zp — критерии оптимиBации, а z10 , z20 , . . . , zp0 — их оптимал3ные Bначени$. Условие равенства относител3ных отклонений имеет следуTщий вид: , , , , , , , z1 − z10 , , z2 − z20 , , zp − zp0 , , , , , , , , z0 , = , z0 , = . . . = , z0 , . 1 2 p Рассмотрим два проиBвол3ных фиксированных критери$ zq и zl . Тогда воBмо@ны два случа$. 1. Критерии одного смысла, в этом случае условие равенства относител3ных отклонений мо@но Bаписат3 в виде zq zl − 0 = 0. zq zl (12.8) zq zl + = 2. zq0 zl0 (12.9) 2. Критерии раBного смысла, тогда Пуст3 целевые функции Bадачи имеTт вид zk = n % ckj xj (k = 1, p). j=1 Определение 12.2. Если к системе ограничений исходной Bадачи добавит3 ограn % ничени$ вида (12.8), (12.9) и ckj xj − zk , k = 1, p, где критерии исходной Bадачи j=1 вклTчены в состав неиBвестных, а в качестве целевой функции вB$та одна иB целевых функций zk , то внов3 полученна$ Bадача наBываетс$ BамещаTщей. Алгоритм метода равных и наимен5ших отклонений 1. Решит3 Bадачу отдел3но по ка@дому критериT, т. е. найти экстремал3ные Bначени$ ка@дого иB них. 2. Составит3 BамещаTщуT Bадачу. 3. Найти решение BамещаTщей Bадачи. Пример 12.2. Решит3 Bадачу предыдущего примера, счита$, что все критерии равноBначны. Найдём экстремал3ные Bначени$ целевых функций, получим: z10 = 4400, z20 = 2200, z30 = 300. Составим BамещаTщуT Bадачу: требуетс$ найти неотрицател3ные 122 Bначени$ переменных x1 , . . . , x6 , z1 , z2 , z3 , удовлетвор$Tщие системе ограничений ! " 3x1 + 4x2 − x3 = 12, " " " " " x1 + x2 + x4 = 10, " " " " "x1 + x5 = 6, " " " " " #x2 + x7 = 7, (12.10) 300x1 + 500x2 − z1 = 0, " " " 300x1 + 200x2 − z2 = 0, " " " " "200x1 + 100x2 − z3 = 0, " " " " z1 z2 " − 2200 = 0, " 4400 " " $ z1 + z3 = 2, 4400 300 обращаTщие в минимум целевуT функциT z = 200x1 + 100x2 . Реша$ Bадачу (12.10)—(12.11) симплекс-методом, получим ! 11 " x1 = 430 , " " " " 11 " x2 = 430 , " " " " "x3 = − 5083 , " 430 " " 2139 " " #x4 = 215 , x5 = 2569 , 430 " " " x6 = 2999 , " 430 " " " 880 "z1 = , " 43 " " " 440 " z2 = 43 , " " " $z = 330 . 3 43 (12.11) (12.12) Таким обраBом, исходна$ Bадача решений не имеет. § 13 Прило&ени6 методов линейного программировани6 к решениP Fадач на графах Пуст3 дан граф G = 〈V, E〉, где V = {v1 , v2 , . . . , vn } и ребрам графа наBначены веса cij . Bадача о кратчайшем пути в графе Решение Bадачи будем искат3 в виде матрицы X раBмера n×n, в которой xij = 1, если в искомый маршрут входит ребро, св$BываTщее вершину i с вершиной j, и 123 xij = 0 в противном случае. Тогда длина маршрута будет равна n % n % cij xij . i=1 j=1 Очевидно, что начал3ной (первой) вершине будет инцидентно тол3ко одно ребро в маршруте, т. е. сумма элементов строки матрицы X, соответствуTщей начал3ной вершине, равна 1, а сумма элементов столбца — равна 0. Аналогично, дл$ последней вершины сумма элементов строки матрицы X равна 0, а сумма элементов столбца — равна 1. Всем проме@уточным вершинам графа будет инцидентно два ребра — вход$щее и исход$щее. Тогда сумма элементов строки, соответствуTщей ка@дой проме@уточной вершине, равна сумме элементов столбца с тем @е номером; она будет равна 1, если маршрут проходит череB даннуT вершину, и 0 — если не проходит. Таким обраBом, решение Bадачи о кратчайшем пути в графе свелос3 к следуTщей Bадаче линейного программировани$. Требуетс$ найти неотрицател3ные Bначени$ переменных xij , удовлетвор$Tщие системе ограничений ! n % " " " x1j = 1, " " " " j=1 " " n " % " " " xi1 = 0, " " " " i=1 " n n " % % " " # xik = xkj (k = 2, n − 1), i=1 j=1 " n " % " " " " xin = 1, " " " i=1 " " n " % " " " xnj = 0, " " " " j=1 " " $ xij " 0 (i = 1, n, j = 1, n). обращаTщие в минимум целевуT функциT n % n % z= cij xij → min. i=1 j=1 Bадача коммиво:Fёра Решение Bадачи будем искат3 так@е в виде матрицы X раBмера n × n, в которой xij = 1, если в искомый маршрут входит ребро, св$BываTщее вершину i с вершиной j, и xij = 0 в противном случае. Тогда целева$ функци$ будет имет3 тот @е вид, что и дл$ Bадачи поиска кратчайшего маршрута n % n % z= cij xij → min. i=1 j=1 124 При этом дол@ны выполн$т3с$ следуTщие ограничени$. В ка@дый пункт необходимо вIехат3 и выехат3 тол3ко один раB: n % n % xij = 1 (j = 1, n); i=1 xij = 1 (i = 1, n). j=1 Этих ограничений недостаточно дл$ решени$ Bадачи, т. к. они будут удовлетворены при нахо@дении нескол3ких Bамкнутых циклов, покрываTщих все города и не св$Bанных ме@ду собой. ИBвестны нескол3ко формулировок, BадаTщих такие ограничени$, чтобы в решении Bадачи содер@алс$ тол3ко один цикл. Наиболее иBвестны иB них формулировки Миллера—Такера—Цемлина (Miller—Tucker—Zemlin, MTZ) и Данцига—Фалкерсона—Д@онсона (Dantzig—Fulkerson—Johnson, DFJ). Рассмотрим первуT. БеB потери общности мо@но считат3, что обход маршрута начинаетс$ и Bавершаетс$ в вершине 1. Введём фиктивные переменные ui (i = 2, n), где ui = t оBначает, что i-й город был посещён на шаге t. Система ограничений имеет следуTщий вид: ! n % " " xij = 1 (j = 1, n), " " " " i=1 " " n " % " " " xij = 1 (i = 1, n), " # j=1 " ui − uj + nxij ! n − 1 (i = 2, n, j = 2, n), " " " " " xij ∈ {0; 1} (i = 1, n, j = 1, n), " " " " " 0 ! ui ! n − 1 (i = 2, n), " " $ ui ∈ Z (i = 2, n). Eаметим, что достаточно потребоват3, чтобы ка@дый обход проходил череB вершину 1 (т. к. у@е введённые равенства гарантируTт, что такой обход мо@ет быт3 единственным). Если предполо@ит3, что существует маршрут иB k вершин, не проход$щий череB вершину 1, то сло@ив соответствуTщие неравенства ui −uj +nxij ! n−1, получим противоречие nk ! (n − 1)k. Пока@ем тепер3, что дл$ лTбого маршрута, проход$щего череB все города (необ$Bател3но оптимал3ного) найдутс$ Bначени$ переменных ui , удовлетвор$Tщие ограничениT. Дл$ всех xij = 0 очевидно, что ui −uj ! ! n−1 будет выполнено. Дл$ всех xij = 1 получим ui −uj +nxij = t−(t+1)+n = n−1, т. е. ограничение выполн$етс$. 125 Глава 6 §1 Нелинейное программирование Постановка Fадачи нелинейного программировани6 Во многих экономических модел$х Bависимости ме@ду посто$нными и переменными не всегда $вл$Tтс$ линейными. Как правило, прибыл3, себестоимост3, Bатраты на проиBводство и др. Bавис$т от обIема проиBводства, расхода ресурсов и т. п. нелинейно. Примером могут слу@ит3 раBличные проиBводственные функции. В общем виде Bадача нелинейного программировани$ состоит в определении оптимал3ного (максимал3ного или минимал3ного) Bначени$ функции z = f (x1 , x2 , . . . , xn ) при следуTщей системе ограничений 7 gi (x1 , x2 , . . . , xn ) ! bi (i = 1, k), gi (x1 , x2 , . . . , xn ) = bi (i = k + 1, m), (1.1) (1.2) где f и gi — некоторые иBвестные (вообще говор$, нелинейные) функции n переменных, а bi — Bаданные числа. Так@е на переменные Bадачи иB её экономического смысла часто накладываетс$ условие неотрицател3ности xj " 0 (j = 1, n). Если среди ограничений нет неравенств, отсутствуTт услови$ неотрицател3ности, а сами переменные и функции f и gi $вл$Tтс$ непрерывными величинами и, кроме того, данные функции непрерывны и имеTт частные проиBводные по крайней мере второго пор$дка, то такие Bадачи мо@но решат3 классическими методами дифференциал3ного исчислени$. Если в Bадаче содер@итс$ две переменных x1 и x2 , то её мо@но решит3 геометрически. Как и в случае геометрического решени$ Bадач линейного программировани$, сначала необходимо построит3 област3 опорных решений — мно@ество точек плоскости, удовлетвор$Tщих системе ограничений (1.2). В отличие от Bадач линейного программировани$ это мно@ество не об$Bател3но будет выпуклым и мо@ет быт3 да@е раBрывным. При этом оптимал3ное Bначение целевой функции (1.1) мо@ет достигат3с$ и на границе, и внутри области. После построени$ области опорных решений необходимо Bаписат3 уравнени$ линий уровн$ целевой функции f (x1 , x2 ) = c, где c = const, и определит3 направление воBрастани$ (убывани$) целевой функции: дл$ этого мо@но построит3 нескол3ко линий уровн$ дл$ раBличных Bначений c. Eатем, перемеща$ линиT уровн$ в ну@ном направлении, найти точки области, в которых целева$ функци$ принимает оптимал3ное Bначение. Пример 1.1. Найти Bначени$ переменных x1 , x2 , удовлетвор$Tщие системе ограни- 126 чений ! x1 − x2 ! 2, " " " #x ! 4, 2 " x 1 + x2 − x1 x2 " 0, " " $ x1 " 0, x2 " 0, обращаTщие в максимум целевуT функциT z = 2x21 − x2 . ИBобраBим област3 опорных решений. ИBобраBим линии уровн$ целевой функции при c = 0, c = 2. Получили параболы с ос3T симметрии, совпадаTщей с ос3T ординат. Так@е Bаметим, что при росте параметра c парабола смещаетс$ вниB, и она покинет област3 опорных решений череB точку, обраBованнуT лини$ми 1 и 3. x2 2 1 3 c=0 x1 c=2 Тогда дл$ нахо@дени$ точки оптимал3ного решени$ необходимо решит3 систему уравнений 7 x1 − x2 = 2, x1 + x2 − x1 x2 = 0. √ √ Реша$ полученнуT систему, получим x = 2+ 2, x = 2. Найдем Bначение целевой 1 2 √ √ функции в этой точке: z = 2(2 + 2)2 − 2 ≈ 21,9. 127 §2 Метод мно&ителей Лагран&а Рассмотрим частный случай Bадачи нелинейного программировани$ в случае, когда система ограничений (1.2) содер@ит тол3ко равенства, отсутствуTт ограничени$ на неотрицател3ност3 переменных, а функции f (x1 , x2 , . . . , xn ) и gi (x1 , x2 , . . . , xn ) непрерывны вместе со своими частными проиBводными. Составим функциT L(x1 , x2 , . . . , xn , λ1 , λ2 , . . . , λm ) = f (x1 , x2 , . . . , xn )+ m % i=1 λi ·(bi −gi (x1 , x2 , . . . , xn )), (2.1) котора$ наBываетс$ функцией Лагран@а, а посто$нные мно@ители λ1 , λ2 , . . . , λm — мно@ител$ми Лагран@а. Отметим, что мно@ители Лагран@а имеTт экономический смысл. Так, если функци$ f (x1 , x2 , . . . , xn ) выра@ает доход, соответствуTщий плану проиBводства (x1 , x2 , . . . , xn ), а функци$ gi (x1 , x2 , . . . , xn ) — иBдер@ки i-го ресурса, соответствуTщие этому плану, то λi — это цена i-го ресурса, характериBуTща$ иBменение оптимал3ного Bначени$ целевой функции в Bависимости от иBменени$ количества i-го ресурса (мар@инал3на$ оценка). Функци$ L(x1 , x2 , . . . , xn , λ1 , λ2 , . . . , λm ) — функци$ n+m переменных. Требуетс$ найти стационарные точки этой функции, дл$ этого необходимо решит3 следуTщуT систему уравнений: ! ! m ∂L % ∂gi " " = 0 (j = 1, m), # # ∂f − λi = 0 (j = 1, m), ∂xj ∂xj ∂xj ⇐⇒ i=1 " " $ ∂L = 0 (i = 1, n), $ bi − gi (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0 (i = 1, n). ∂λi Таким обраBом, Bадача свелас3 к нахо@дениT локал3ного экстремума функции Лагран@а (2.1), который мо@но найти классическим способом. Отметим ещё один способ вы$снени$ характера экстремума в стационарных точках функции Лагран@а. Дл$ этого необходимо составит3 так наBываемый определител3 Гессе, или, кратко, гессиан, который представл$ет собой определител3 мат- 128 рицы, составленной иB всевоBмо@ных частных проиBводных , , ∂ 2L ∂ 2L ∂ 2L ∂ 2L , · · · , ∂x21 ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂xn ∂x1 ∂λ1 , , , , ∂ 2L ∂ 2L ∂ 2L ∂ 2L , · · · , ∂x2 ∂x1 ∂x22 ∂x2 ∂xn ∂x2 ∂λ1 , , , .. .. .. .. ... , . . . . , , , , ∂ 2L ∂ 2L ∂ 2L ∂ 2L , H(L) = , ··· , ∂xn ∂x1 ∂xn ∂x2 ∂x2n ∂xn ∂λ1 , , , ∂ 2L ∂ 2L ∂ 2L , ∂ 2L ··· , , ∂λ1 ∂x1 ∂λ1 ∂x2 ∂λ1 ∂xn ∂λ21 , , , .. .. .. .. .. , . . . . . , , , , ∂ 2L ∂ 2L ∂ 2L ∂ 2L , · · · , ∂λm ∂x1 ∂λm ∂x2 ∂λm ∂xn ∂λm ∂λ1 второго пор$дка: , ∂ 2L , , ··· ∂x1 ∂λm ,, , , 2 ∂ L , , ··· ∂x2 ∂λm ,, , , .. ... , . , , , ∂ 2 L ,, ··· ,. ∂xn ∂λm , , , , ∂ 2L , ··· , ∂λ1 ∂λm , , , , .. .. , . . , , , 2 ∂ L ,, ··· , ∂λ2m Если в стационарной точке гессиан принимает отрицател3ное Bначение, то данна$ точка $вл$етс$ точкой минимума, а если поло@ител3ное Bначение — то точкой максимума. В случае выро@денности гессиана, т. е. при H(L) = 0, требуетс$ дополнител3ное исследование. Пример 2.1. По плану проиBводства продукции предпри$тиT необходимо иBготовит3 180 иBделий. Это мо@но сделат3 двум$ технологическими способами. При проиBводстве x1 иBделий первым способом Bатраты равны 4x1 + x21 ден.ед., а при иBготовлении x2 иBделий вторым способом они составл$Tт 8x2 + x22 ден.ед. Определит3, скол3ко иBделий следует иBготовит3 ка@дым иB способов, чтобы при этом общие Bатраты были минимал3ными. Математическа$ постановка Bадачи состоит в отыскании Bначений переменных x1 и x2 , удовлетвор$Tщих системе ограничений 7 x1 + x2 = 180, x1 " 0, x2 " 0, обращаTщих в минимум функциT z = 4x1 + x21 + 8x2 + x22 . Решим Bадачу методом мно@ителей Лагран@а. При этом отбросим временно условие неотрицател3ности переменных. Составим функциT Лагран@а L(x1 , x2 , λ) = 4x1 + x21 + 8x2 + x22 + λ(180 − x1 − x2 ). 129 Вычислим частные проиBводные и приравн$ем их к нулT: ! " #4 + 2x1 − λ = 0, 8 + 2x2 − λ = 0, " $ 180 − x1 − x2 = 0. Эту систему легко решит3, исклTча$ мно@ител3 Лагран@а λ: в первых двух уравнени$х переносим их в правуT част3 и приравниваем их левые части. Реша$, полученнуT систему линейных уравнений, находим, что x1 = 91, x2 = 89. Найдем гессиан: , , ,2 0 −1,, , 2 −1,, . H(L) = ,, 0 ,−1 −1 0 , Нетрудно видет3, что H(L) = −4 < 0, таким обраBом, найденна$ точка $вл$етс$ точкой минимума. Eаметим, что тот @е реBул3тат мо@но было получит3, если преобраBоват3 исходнуT целевуT функциT. ИB системы ограничений выраBим переменнуT x1 = 180 − x2 и подставим это выра@ение в целевуT функциT: z = 4(180−x2 )+(180−x2 )2 +8x2 +x22 . Полученна$ функци$ $вл$етс$ функцией одной переменной, которуT нетрудно исследоват3 на экстремум с помощ3T проиBводной. §3 Iадачи выпуклого программировани6 Выпуклые мноFества В школ3ном курсе геометрии выпуклым многоугол3ником наBывалс$ такой многоугол3ник, который ле@ит по одно сторону от пр$мых, содер@ащих его стороны. Это определение не поBвол$ет распространит3 его на n-мерное пространство. Eа определение выпуклости дл$ дал3нейшего его обобщени$ воB3мем следуTщее свойство. Определение 3.1. Мно@ество точек плоскости наBовём выпуклым, если оно вместе с лTбыми двум$ своими точками содер@ит вес3 отреBок, соедин$Tщий эти точки. 130 На рисунке а многоугол3ник выпуклый, а многоугол3ник на рисунке б не $вл$етс$ выпуклым. Данное определение поBвол$ет распространит3 пон$тие выпуклости на мно@ества с всTду гладкими границами. Теорема 3.1. Пересечение л'бого числа выпуклых мноBеств ест& выпуклое мноBество. Точка мно@ества наBываетс$ внутренней, если существует така$ её окрестност3, в которой содер@атс$ тол3ко точки, принадле@ащие данному мно@еству. Точка мно@ества наBываетс$ граничной, если в лTбой её окрестности содер@атс$ точки, как принадле@ащие данному мно@еству, так и не принадле@ащие ему. Точка мно@ества наBываетс$ угловой, если она не $вл$етс$ внутренней ни дл$ какого отреBка, целиком принадле@ащего данному мно@еству. Дл$ выпуклого мно@ества угловые точки совпадаTт с вершинами многогранника, дл$ невыпуклого мно@ества это не всегда верно. Пре@де чем распростран$т3 данное определение на случай n-мерного пространства, необходимо обобщит3 пон$тие отреBка в этом случае. Рассмотрим n = 2, т. е. плоскост3. Пуст3 X1 = (x11 , x12 ), X2 = (x21 , x22 ) — некоторые фиксированные точки плоскости, а X = (x1 , x2 ) — проиBвол3на$ точка отреBка X1 X2 . Пуст3 α — отношение длин отреBков XX2 и X1 X2 . Очевидно, что при этом 0 ! α ! 1. Eапишем это отношение в координатах, тогда α= откуда где 7 x21 − x1 x22 − x2 = , x21 − x11 x22 − x12 x1 = αx11 + (1 − α)x21 , x2 = αx12 + (1 − α)x22 , (3.2) 0!α!1 (3.3) Ввод$ обоBначение α1 = α, α2 = 1 − α эти услови$ примут вид 7 x1 = α1 x11 + α2 x21 , x2 = α1 x12 + α2 x22 , где (3.1) α1 " 0, α2 " 0, α1 + α2 = 1. (3.4) (3.5) Наконец, систему равенств (3.4) мо@но кратко Bаписат3 в виде одного равенства X = α1 X1 + α2 X2 , понима$, что в нем все операции выполн$Tтс$ по отдел3ным координатам. 131 (3.6) x2 X2 x22 X x2 x12 X1 x11 x21 x1 x1 Определение 3.2. ОтреBком X1 X2 в n-мерном пространстве наBовём мно@ество точек X, удовлетвор$Tщих услови$м (3.6) и (3.5). 9амечание 3.1. В определении 3.2 X1 = (x11 , x21 , . . . , xn1 ), X2 = (x12 , x22 , . . . , xn2 ). Определение 3.3. Мно@ество точек n-мерного пространства наBываетс$ выпуклым, если оно вместе с лTбыми своими двум$ точками содер@ит вес3 отреBок, соедин$Tщий эти точки. Обобщением пон$ти$ отреBка на случай нескол3ких точек $вл$етс$ их выпукла$ линейна$ комбинаци$. Определение 3.4. Мно@ество точек X наBываетс$ выпуклой линейной комбинацией точек X1 , X2 , . . . , Xm , если выполн$Tтс$ услови$ X = α1 X1 + α2 X2 + . . . + αm Xm , где m % αj = 1, αj " 0 (j = 1, m). j=1 Теорема 3.2. Выпуклый n-мерный многогранник 0вл0етс0 выпуклой линейной комбинацией своих угловых точек. Определение 3.5. Функци$ F (X) = F (x1 , x2 , . . . , xn ), определенна$ на выпуклом мно@естве M n-мерного пространства, наBываетс$ выпуклой на этом мно@естве, если дл$ лTбых двух точек X1 , X2 ∈ M и лTбого α ∈ [0; 1] F (αX1 + (1 − α)X2 ) ! αF (X1 ) + (1 − α)F (X2 ). 132 (3.7) Если в условии (3.7) Bаменит3 Bнак ! на Bнак ", то получим определение вогнутой функции. Если в условии (3.7) неравенство выполн$етс$ как строгое, то функци$ наBываетс$ строго выпуклой (или строго вогнутой). F (X) F (X2 ) F (X1 ) F (X) X1 X = αX1 + (1 − α)X2 X2 X Рис. 10: График выпуклой функции Как видно иB рисунка, неравенство (3.7) оBначает, что отреBок, соедин$Tщий точки (X1 , F (X1 )) и (X2 , F (X2 )) располо@ен не ни@е графика функции на отреBке X1 X2 (выше графика дл$ строго выпуклой функции). Решение ;адач выпуклого программировани: Пуст3 дана система неравенств вида 7 gi (x1 , x2 , . . . , xn ) ! bi , i = 1, m), xj " 0, j = 1, n) и функци$ z = f (x1 , x2 , . . . , xn ), (3.8) (3.9) причем все функции g(X) $вл$Tтс$ выпуклыми на некотором выпуклом мно@естве M , а функци$ z либо выпукла либо вогнута на этом мно@естве. Eадача выпуклого программировани$ состоит в отыскании такого решени$ системы ограничений (3.8), при котором целева$ функци$ (3.9) достигает минимал3ного Bначени$, если она выпукла, или максимал3ного Bначени$, если она вогнута. Вс$ка$ Bадача линейного программировани$ $вл$етс$ Bадачей выпуклого программировани$. В общем случае Bадача выпуклого программировани$ $вл$етс$ Bадачей нелинейного программировани$. 133 Теорема 3.3. Л'бой локал&ный максимум (минимум) 2адачи выпуклого программировани0 0вл0етс0 глобал&ным максимумом (минимумом). Определение 3.6. Говор$т, что мно@ество опорных решений Bадачи (3.8)—(3.9) удовлетвор$ет условиT регул$рности (или условиT Слейтера), если существует хот$ бы одна точка X така$, что gi (Xi ) < bi i = 1, m). Составим дл$ Bадачи (3.8)—(3.9) функциT Лагран@а L(x1 , x2 , . . . , xn , λ1 , λ2 , . . . , λm ) = f (x1 , x2 , . . . , xn ) + m % i=1 λi · (bi − gi (x1 , x2 , . . . , xn )). Рассмотрим Bадачу (3.8)—(3.9) при условии, когда целева$ функци$ максимиBируетс$. Определение 3.7. Точка (X0 ,Λ0 ) = (x01 , x02 , . . . , x0n , λ01 , λ02 , . . . , λ0m ) наBываетс$ седловой точкой функции Лагран@а дл$ Bадачи (3.8)—(3.9), если выполн$етс$ условие L(X,Λ0 ) ! L(X0 ,Λ0 ) ! L(X0 ,Λ) дл$ всех X и Λ. Теорема 3.4 (Теорема Куна—Таккера). Дл0 2адачи выпуклого программировани0 (3.8)—(3.9), мноBество опорных решений которой обладает свойством регул0рности, точка X0 0вл0етс0 оптимал&ным решением тогда и тол&ко тогда, когда существует вектор Λ0 , что (X0 ,Λ0 ) — седлова0 точка функции ЛагранBа. Метод мно@ителей Лагран@а поBвол$ет находит3 решение Bадачи в случае, когда система ограничений Bадачи (3.8)—(3.9) содер@ит тол3ко равенства. Теорема Куна—Таккера обобщает этот метод на случай, когда система ограничений содер@ит неравенства. Если предполо@ит3, что функции f и gi непрерывно дифференцируемы, то обычно теорему BаписываTт в виде условий Куна—Таккера, которые выра@аTт необходимые и достаточные услови$, чтобы точка (X0 ,Λ0 ) $вл$лас3 седловой точкой функции Лагран@а: !0 1 ∂L " " ! 0 (j = 1, n), " " " ∂x0j X0 ,Λ " 1 " " " ∂L " " x · = 0 (j = 1, n), " j " ∂xj X0 ,Λ0 " " " #x0 " 0 (j = 1, n), 0j 1 (3.10) ∂L " " " 0 (i = 1, m), " " " ∂λ0i X0 ,Λ " 1 " " " ∂L " " λ · = 0 (i = 1, m), " i " ∂xj X0 ,Λ0 " " " $λ0 " 0 (i = 1, m). i 134 В случае, когда целева$ функци$ Bадачи выпуклого программировани$ (3.8)—(3.9) минимиBируетс$, в услови$х Куна—Таккера (3.10) Bнак первого неравенства мен$етс$ на противополо@ный. Пример 3.1. Решит3 Bадачу нелинейного программировани$ ! " #x1 + 2x2 ! 8, 2x1 − x2 ! 12, " $ x1 , x2 " 0, z = 2x1 + 4x2 − x21 − 2x22 → max. Целева$ Функци$ z $вл$етс$ вогнутой, так как представл$ет собой сумму линейной функции и отрицател3ной квадратичной. Воспол3Bуемс$ теоремой Куна—Таккера. Составим функциT Лагран@а L = 2x1 + 4x2 − x21 − 2x2 + λ1 (8 − x1 − 2x2 ) + λ2 (12 − 2x1 + x2 ). Eапишем необходимые и достаточные услови$ седловой точки этой функции ! " 2 − 2x1 − λ1 − 2λ2 ! 0, " " " " " 4 − 4x2 − 2λ1 + λ2 ! 0, " " " " " 8 − x1 − 2x2 " 0, " " " " " #12 − 2x1 + x2 " 0, x1 (2 − 2x1 − λ1 − 2λ2 ) = 0, " " " x2 (4 − 4x2 − 2λ1 + λ2 ) = 0, " " " " " λ1 (8 − x1 − 2x2 ) = 0, " " " " " λ2 (12 − 2x1 + x2 ) = 0, " " " $x , x , λ , λ " 0. 1 2 1 2 Число равенств в системе равно 4, что совпадает с числом неиBвестных. Но это не всегда обеспечивает единственност3 решени$ системы. Уравнени$ Bаданы в виде проиBведений — а, Bначит, распадаTтс$ на совокупности. Их бывает удобно рассматриват3 вBаимоисклTчаTщими случа$ми: 1) первый мно@ител3 равен нулT, а второй не равен; 2) второй мно@ител3 равен нулT, а первый не равен; 3) оба мно@ител$ равны нулT. ПолучаTщиес$ при этом выра@ени$ в части случаев будут отсекат3с$ неравенствами иB системы. Рассмотрим такие случаи. 1. x1 , x2 , λ1 , λ2 > 0, тогда ! 2 − 2x1 − λ1 − 2λ2 = 0, " " " #4 − 4x − 2λ + λ = 0, 2 1 2 " 8 − x1 − 2x2 = 0, " " $ 12 − 2x1 + x2 = 0, 135 ! x1 = 6,4, " " " #x = 0,8, 2 ⇐⇒ " λ1 + 2λ2 = −12,8, " " $ 2λ2 − λ2 = 0,8. Очевидно, что при выбранных ограничени$х трет3е уравнение не мо@ет быт3 верным. 2. x1 , x2 , λ1 > 0, λ2 = 0, тогда ! ! 8 " " 2 − 2x − λ = 0, 1 1 # # x1 = 3 , ⇐⇒ x2 = 83 , 4 − 4x2 − 2λ1 = 0, " " $ $ 8 − x1 − 2x2 = 0, λ1 = − 10 . 3 Снова получили противоречие с выбранными ограничени$ми. 3. x1 , x2 > 0, λ1 , λ2 = 0, тогда 7 7 2 − 2x1 = 0, x1 = 1, ⇐⇒ 4 − 4x2 = 0, x2 = 1. Подстановка данного вектора (x1 , x2 , λ1 , λ2 ) = (1, 1, 0, 0) в неравенства исходных условий покаBывает, что все они выполн$Tтс$. Таким обраBом, найдена седлова$ точка функции Лагран@а, котора$ в силу теоремы Куна—Таккера $вл$етс$ оптимал3ным решением Bадачи выпуклого программировани$. Итак, x1 = 1, x2 = 1, z = 4. 9амечание 3.2. В общем случае дл$ Bадач нелинейного программировани$ выполнение условий Куна—Таккера не $вл$етс$ критерием существовани$ седловой точки функции Лагран@а. §4 Iадача об инвестиционном портфеле Под портфелем будем понимат3 набор инвестиций в ценные бумаги, обращаTщиес$ на финансовом рынке. В 1952 американский экономист Гарри Марковиц опубликовал в @урнале The Journal of Finance стат3T «Выбор портфел$», в которой впервые была построена математическа$ модел3, описываTща$ выбор инвестиционного портфел$ и метод его построени$. Основна$ иде$ Марковица BаклTчалас3 в том, что финансовые пон$ти$ «доходност3» и «риск» были формалиBованы на $Bыке теории веро$тностей и математической статистики. Eадача выбора инвестиционного портфел$ свелас3, таким обраBом, к выбору оптимал3ного портфел$ иB набора воBмо@ных портфелей, т. е. $вл$етс$ Bадачей оптимиBации. Критерием оптимал3ности при этом выступает наибол3ша$ доходност3 при Bаданной величине риска или наимен3ший риск при Bаданном уровне доходности портфел$. В 1990 году Г. Марковицу Bа вклад в теориT формировани$ цены финансовых активов была вручена Нобелевска$ преми$ по экономике. Bом: Доходност3 ценной бумаги Bа период владени$ определ$етс$ следуTщим обра- p1 − p0 , p0 где p0 — цена акции в начале периода, p1 — цена акции в конце периода. r= 136 Так как на момент начала владени$ ценной бумагой, инвестор не Bнает, какова будет её цена к концу периода, то мо@но считат3 доходност3 случайной величиной. Дл$ работы с этой случайной величиной обычно испол3BуTт исторический подход. Предполагаетс$, что распределение веро$тностей будущих величин практически совпадает с распределением веро$тностей ранее наблTдаемых величин. При этом считаетс$, что веро$тност3 конкретной величины доходности всегда одинакова 1 и равна , где N — число наблTдений. N Дл$ решени$ Bадачи выбора оптимал3ного портфел$ не требуетс$ построени$ Bакона распределени$, достаточно обойтис3 основными числовыми характеристиками. Математическое о@идание доходности ценной бумаги тогда мо@но найти как среднее арифметическое наблTдаемых доходностей N 1 % E(r) = rt . N t=1 Дисперси$ доходности характериBует её отклонение от о@идаемого Bначени$ N 1 % V (r) = E((E(r) − r) ) = (E(r) − rt )2 . N t=1 2 Чем бол3ше дисперси$, тем выше риск конкретного актива. В качестве меры @ риска удобно вB$т3 среднеквадратическое отклонение σr = V (r). В стат3е «Выбор Портфел$» Марковиц сформулировал следуTщуT модел3 поведени$ инвестора: правило E—V гласит, что инвестор стремитс$ выбрат3 портфел3, соответствуTщий комбинаци$м с минимал3ным V дл$ Bаданного и бол3ших Bначений E и с максимал3ным E дл$ Bаданного и мен3ших Bначений V . Ещё одним ва@ным утвер@дением $вл$етс$ необходимост3 диверсификации портфел$. Так, риски отдел3ных ценных бумаг могут быт3 св$Bаны и ме@ду собой. Диверсифицируемый риск портфел$ — это риск портфел$, который мо@ет быт3 сни@ен путём увеличени$ числа раBличных ценных бумаг. Рассмотрим портфел3 иB n активов. Пуст3 xj — дол$ вло@ений в j-T ценнуT бумагу. Тогда мо@но определит3 доходност3 портфел$ как средневBвешенное Bначение доходностей ка@дой отдел3ной ценной бумаги rp = n % rj x j . j=1 Eаметим при этом, что дл$ долей вло@ений дол@но выполн$т3с$ следуTщее условие: n % xj = 1. j=1 137 Кроме того, будем полагат3, что xj " 0 (j = 1, n). Хот$ с точки Bрени$ экономики могут встречат3с$ и отрицател3ные Bначени$, обычно это св$Bано с долговыми об$Bател3ствами. В отличие от доходности общий риск портфел$ не $вл$етс$ средневBвешенным Bначением рисков активов портфел$, т. к. раBличные активы могут реагироват3 на иBменени$ рынка в св$Bке. Так, портфел3 с 60 ценными бумагами раBличных @елеBнодоро@ных компаний не мо@ет считат3с$ стол3 @е качественно диверсифицированным, как портфел3 того @е раBмера, вклTчаTщий в себ$ ценные бумаги @елеBнодоро@ных, энергосбытовых, горнодобываTщих, проиBводственных и прочих компаний. Причина этого BаклTчаетс$ в том, что, как правило, одновременное воBникновение Bатруднений у нескол3ких компаний более веро$тно, если эти компании принадле@ат одной отрасли. Дл$ оценки риска портфел$ испол3Bуетс$ пон$тие ковариации. Ковариаци$ двух случайных величин ест3 математическое о@идание проиBведени$ отклонени$ случайных величин от их математических о@иданий: cov(X, Y ) = E((X − E(X))(Y − E(Y ))). Очевидно, что ковариаци$ некоторой случайной величины самой с собой равна дисперсии этой случайной величины. Тогда найдём ковариациT активов ri и rj : N 1 % cov(ri , rj ) = (rti − E(ri ))(rtj − E(rj )). N t=1 Испол3Bование ковариации при решении Bадачи поиска оптимал3ного инвестиционного портфел$ имеет свои недостатки. Так, Bначение ковариации Bависит от единиц иBмерени$ испол3Bуемых случайных величин. Кроме того, ковариаци$ характериBует не тол3ко Bависимост3 величин, но и их раBброс вокруг средних Bначений. Например, если одна случайна$ величина мало отклон$етс$ от средних Bначений, то величина ковариации этой величины с лTбой другой будет сравнител3но небол3шой. В некоторых случа$х дл$ преодолени$ этих проблем испол3BуTт коэффициент коррел$ции, который проиBводит нормировку ковариации: corr(ri , rj ) = cov(ri , rj ) . σ ri σ rj Пуст3 V = vij — матрица ковариаций активов в портфеле. Тогда величину σp2 = n % n % xi xj cov(xi , xj ) i=1 j=1 будем определ$т3 как риск портфел$. Таким обраBом, в рассматриваемой Bадаче выбора инвестиционного портфел$ следует минимиBироват3 риск портфел$ при Bаданном уровне доходности. 138 z= ! n % " " rj xj = r, " " " " # j=1 n % " xj = 1, " " " j=1 " " $ xj " 0 (j = i, n, n % n % i=1 j=1 xi xj cov(xi , xj ) → min. (4.1) (4.2) В данном случае величина доходности r выбираетс$ инвестором и дл$ ка@дого такого Bначени$ воBмо@но найти величину риска портфел$, т. е. мо@но вести реч3 о мно@естве эффективных портфелей, которые и будут отличат3с$ друг от друга величиной доходности. Eадачу (4.1)—(4.2) мо@но решат3 методом мно@ителей Лагран@а, а в случае небол3шого числа активов — графически. В случае выбора иB бол3шого числа раBличных активов удобнее находит3 решение с помощ3T средств комп3Tтерной математики. Так@е в системе (4.1) @елаемый уровен3 доходности мо@но вместо Bнака равенства испол3Bоват3 Bнак неравенства ". 139 Глава 7 §1 Динамическое программирование Постановка Fадачи динамического программировани6 В рассмотренных Bадачах линейного и нелинейного программировани$ решение отыскивалос3 Bа один шаг. В отличие от них Bадачи динамического программировани$ $вл$Tтс$ многоэтапными или многошаговыми. То ест3 решение Bадачи динамического программировани$ вклTчает нескол3ко этапов, на ка@дом иB которых отыскиваетс$ решение некоторой частной Bадачи, котора$ поро@даетс$ исходной Bадачей. Поэтому термин «динамическое программирование» описывает не стол3ко класс Bадач, скол3ко метод решени$ Bадач математического программировани$, которые в своT очеред3 могут относит3с$ к Bадачам линейного или нелинейного программировани$. Рассмотрим общуT постановку Bадач динамического программировани$. Рассматриваетс$ некоторый управл$емый процесс. В реBул3тате управлени$ система S переходит иB начал3ного состо$ни$ s0 Bа n шагов в состо$ние sn . ОбоBначим череB Xk управление на k-м шаге (k = 1, 2, . . . , n). Переменные Xk могут быт3 числами, n-мерными векторами, качественными приBнаками, при этом они удовлетвор$Tт некоторым ограничени$м и наBываTтс$ допустимыми. Пуст3 X = (X1 , X2 , . . . , Xn ) — управление, перевод$щее систему S иB начал3ного состо$ни$ s0 в состо$ние sn . ОбоBначим череB Sk состо$ние системы после k-го шага управлени$, тогда получим последовател3ност3 состо$ний s0 , s1 , s2 , . . . , sn . Целева$ функци$, определ$Tща$ оптимал3ност3 выбранного управлени$, Bависит от начал3ного состо$ни$ и самого этого управлени$, т. е. z = f (s0 , X). (1.1) Состо$ние системы sk после k-го шага Bависит тол3ко от предыдущего состо$ни$ sk−1 и управлени$ Xk , т. е. не Bависит от предшествуTщих состо$ний и управлений. Это наBываетс$ отсутствием последействи$. Формал3но это мо@но Bаписат3 следуTщим обраBом: sk = ϕk (sk−1 , Xk ), k = 1, n. (1.2) Уравнени$ (1.2) наBываTтс$ уравнени$ми состо$ний. Целева$ функци$ $вл$етс$ суммой покаBателей эффективности ка@дого шага. ОбоBначим покаBател3 эффективности k-го шага череB zk = fk (sk−1 , Xk ), k = 1, n. (1.3) Тогда целева$ функци$ примет вид z= n % fk (sk−1 , Xk ). k=1 140 (1.4) Таким обраBом, постановка Bадачи динамического программировани$ выгл$дит следуTщим обраBом: определит3 такое допустимое управление X, перевод$щее систему S иB состо$ни$ s0 в состо$ние sn , при котором целева$ функци$ (1.4) принимает наибол3шее (наимен3шее) Bначение. §2 Принцип оптимал<ности и уравнени6 Беллмана Принцип оптимал3ности впервые был сформулирован Ричардом Беллманом в 1953 году. Каково бы ни было состо$ние системы в реBул3тате какого-либо числа шагов, на бли@айшем шаге ну@но выбират3 управление так, чтобы оно в совокупности с оптимал3ным управлением на всех последуTщих шагах приводило к оптимал3ному выигрышу на всех оставшихс$ шагах, вклTча$ данный. Основное требование дл$ выполнени$ этого принципа — отсутствие обратной св$Bи, т. е. управление на данном шаге не дол@но окаBыват3 вли$ни$ на предшествуTщие шаги. Таким обраBом, на ка@дом шаге управление Xk следует выбират3, учитыва$, что состо$ние системы sk , в которое её переведёт это управление, вли$ет на выбор дал3нейшего процесса управлени$. Но последний шаг дл$ состо$ни$ sn−1 мо@но планироват3 локал3но оптимал3но, т. к. $вл$етс$ последним шагом. Ограничимс$ рассмотрением случа$ максимиBации целевой функции. Тогда Xn — допустимое управление на n-ом шаге, fn (sn−1 , Xn ) — целева$ функци$ этого шага. Управление следует выбрат3 так, чтобы получит3 максимум целевой функции. Величина zn∗ (sn−1 ) наBываетс$ условным максимумом целевой функции на n-ом шаге, если zn∗ (sn−1 ) = max fn (sn−1 , Xn ). (2.1) {Xn } Управление Xn , при котором достигаетс$ zn∗ (sn−1 ), Bависит от sn−1 , наBываетс$ условным оптимал3ным управлением на n-м шаге и обоBначаетс$ Xn∗ (sn−1 ). Так как на этом этапе решени$ Bадачи состо$ние sn−1 $вл$етс$ проиBвол3ным, то получены две функции zn∗ (sn−1 ) и Xn∗ (sn−1 ). Рассмотрим тепер3 двухшаговуT Bадачу, введ$ в рассмотрение шаг (n − 1). Дл$ лTбых состо$ний sn−2 , проиBвол3ном управлении Xn−1 и оптимал3ном управлении на n-м шаге Bначение целевой функции на двух последних шагах равно fn−1 (sn−2 , Xn−1 ) + zn∗ (sn−1 ). (2.2) Согласно принципу оптимал3ности решение следует выбират3 так, чтобы оно вместе с оптимал3ным управлением на n-м шаге максимиBировало целевуT функциT на двух последних шагах. Следовател3но, ну@но найти максимум выра@ени$ (2.2) дл$ всех допустимых управлений Xn−1 . Этот максимум Bависит от состо$ни$ ∗ системы sn−2 , обоBначаетс$ zn−1 (sn−2 ) и наBываетс$ условным максимумом целевой функции при оптимал3ном управлении на двух последних шагах. СоответствуT∗ щее управление Xn−1 на (n − 1)-м шаге обоBначаетс$ череB Xn−1 (sn−2 ) и наBываетс$ 141 условным оптимал3ным управлением на (n − 1)-м шаге. ∗ zn−1 (sn−2 ) = max {fn−1 (sn−2 , Xn−1 ) + zn∗ (sn−1 )} . {Xn−1 } (2.3) Выра@ение, максимум которого ищетс$ в равенстве (2.3) Bависит тол3ко от sn−2 и Xn−1 , т. к. sn−1 мо@но найти иB уравнени$ состо$ний (1.2) при k = n − 1: sn−1 = = ϕn−1 (sn−2 , Xn−1 ). В реBул3тате максимиBации по переменной Xn−1 внов3 получаем две функции zn∗ (sn−2 ) и Xn∗ (sn−2 ). Далее рассматриваетс$ трехшагова$ Bадача, когда к двум последним шагам добавл$етс$ (n − 2)-й шаг и т. д. ОбоBначим череB zk∗ (sk−1 ) условный максимум целевой функции, полученный при оптимал3ном управлении на n − (k − 1) шагах, начина$ с k-го, при условии, что к началу k-го шага система находилас3 в состо$нии sk−1 : zk∗ (sk−1 ) = max {(Xk ,...,Xn )} n % fi (si−1 , Xi ). (2.4) i=k Целева$ функци$ при проиBвол3ном управлении Xk на k-м шаге и оптимал3ном управлении на последуTщих n − k шагах равна ∗ fk (sk−1 , Xk ) + zk+1 (sk ). (2.5) Согласно принципу оптимал3ности Xk выбираетс$ иB услови$ максимума этой суммы, т. е. : ; ∗ zk∗ (sk−1 ) = max fk (sk−1 , Xk ) + zk+1 (sk ) . (2.6) {Xk } Управление Xk на k-м шаге, при котором достигаетс$ этот максимум, обоBначаетс$ Xk∗ наBываетс$ условным оптимал3ным управлением на k-м шаге. Уравнени$ (2.1) и (2.6) наBываTт уравнени$ми Беллмана. Они $вл$Tтс$ рекуррентными, поBвол$$ находит3 предыдущее Bначение функции, Bна$ последуTщие. Процесс решени$ этих уравнений вместе с уравнением (2.1) наBываетс$ условной оптимиBацией. В реBул3тате получаTтс$ две последовател3ности: условные максимумы целевой функции ∗ zn∗ (sn−1 ), zn−1 (sn−2 ), . . . , z2∗ (s1 ), z1∗ (s0 ) и условные оптимал3ные управлени$ ∗ Xn∗ (sn−1 ), Xn−1 (sn−2 ), . . . , X2∗ (s1 ), X1∗ (s0 ). Эти последовател3ности поBвол$Tт найти решение Bадачи динамического программировани$ при Bаданных n и s0 . zmax = z1∗ (s0 ). 142 Eна$ s0 , найдем X ∗ = X ∗ (s0 ). Далее иB уравнений состо$ний (1.2) найдем s∗1 = ϕ1 (s0 , X1∗ ) и, подставл$$ по цепочке, получим оптимал3ное управление X ∗ = (X1∗ , X2∗ , . . . , Xn∗ ). §3 Iадача о распределении ресурсов Рассмотрим рассмотренный метод решени$ Bадач динамического программировани$ на примере. Пример 3.1. Планируетс$ де$тел3ност3 четырех промышленных предпри$тий. Начал3ные средства составл$Tт s0 = 5 млн.руб. РаBмеры вло@ений в ка@дое предпри$тие кратны 1 мн.руб. Средства, выделенные k-му предпри$тиT принос$т в конце года прибыл3 fk (x) в соответствии с таблицей. x 1 2 3 4 5 f1 (x) 8 10 11 12 18 f2 (x) 6 9 11 13 15 f3 (x) 3 4 7 11 18 f4 (x) 4 6 8 13 16 При этом прибыл3 от вло@ени$ в одно придепри$тие не Bависит от вло@ений в другое предпри$тие. Суммарна$ прибыл3 равна сумме прибылей, полученных от ка@дого предпри$ти$. Необходимо определит3, какое количество средств необходимо выделит3 ка@дому предпри$тиT, чтобы суммарна$ прибыл3 была наибол3шей. ОбоBначим череB xk количество средств, выделенных k-му предпри$тиT. Тогда целева$ функци$ имеет вид z= 4 % k=1 fk (xk ) → max. Переменные при этом удовлетвор$Tт системе ограничений ! 4 % " # x = 5, k " $ k=1 xk " 0, (k = 1, 4). Процесс распределени$ средств мо@но рассматриват3 как 4-шаговый, номер шага совпадает с номером предпри$ти$, набор переменных x1 , x2 , x3 , x4 — управлени$ на 1, 2, 3 и 4 шагах соответственно. sn = 0, т. к. все средства дол@ны быт3 вло@ены в проиBводство. 143 Уравнени$ состо$ний в данной Bадаче тогда имеTт вид sk = sk−1 − xk , (k = 1, 4), где sk — количество средств, оставшихс$ после k-го шага, которые осталос3 распределит3 ме@ду оставшимис$ 4 − k предпри$ти$ми. Введём в рассмотрение функциT z ∗ (sk−1 ) — условнуT оптимал3нуT прибыл3, полученнуT от предпри$тий с k-го по 4-е, если ме@ду ними оптимал3но распредел$лис3 средства sk−1 . Эти обоBначени$ мо@но проиллTстрироват3 следуTщим рисунком. Допустимые управлени$ на k-м шаге удовлетвор$Tт условиT 0 ! xk ! sk−1 , т. е. k-му предпри$тиT либо не выдел$етс$ ничего, либо не бол3ше оставшихс$ средств. Eапишем уравнени$ Беллмана дл$ этой Bадачи: z4∗ (s3 ) = max f4 (x4 ), 0!x4 !s3 z3∗ (s2 ) = max {f3 (x3 ) + z4∗ (s3 )} , z2∗ (s1 ) = max {f2 (x2 ) + z3∗ (s2 )} , z1∗ (5) 0!x3 !s2 0!x2 !s1 = max {f1 (x1 ) + z2∗ (s1 )} , 0!x1 !5 Проведем условнуT оптимиBациT на ка@дом шаге. 4 шаг. Все средства, оставшиес$ к 4 шагу, следует вло@ит3 в 4-е предпри$тие. При этом дл$ всех воBмо@ных Bначений s3 = 0, 1, . . . , 5 z4∗ (s3 ) = f4 (s3 ) и x∗4 (s3 ) = s3 . 3 шаг. Остаток средств s2 к этому шагу мо@ет принимат3 все Bначени$ от 0 до 5. Тогда в Bависимости от этого выбираем 0 ! x3 ! s2 , находим остаток после этого шага s3 = s2 − x3 и сравниваем дл$ фиксированного s2 и раBных x3 Bначени$ суммы f3 (x3 )+z4∗ (s3 ). Дл$ ка@дого s2 наибол3шее Bначение этой суммы и ест3 условна$ максимал3на$ прибыл3 z3∗ (s2 ). Это прибыл3, полученна$ при распределении s2 144 средств ме@ду 3 и 4 предпри$ти$ми. s2 = 0 : s2 = 1 : s2 = 2 : s2 = 3 : s2 = 4 : s2 = 5 : x3 x3 x3 x3 x3 x3 x3 x3 x3 x3 x3 x3 x3 x3 x3 x3 x3 x3 x3 x3 x3 =0 =0 =1 =0 =1 =2 =0 =1 =2 =3 =0 =1 =2 =3 =4 =0 =1 =2 =3 =4 =5 =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ f3 (0) + z4∗ (0) = 0; f3 (0) + z4∗ (1) = 0 + 4 = 4; f3 (1) + z4∗ (0) = 3 + 0 = 3; f3 (0) + z4∗ (2) = 0 + 6 = 6; f3 (1) + z4∗ (1) = 3 + 4 = 7; f3 (2) + z4∗ (0) = 4 + 0 = 4; f3 (0) + z4∗ (3) = 0 + 8 = 8; f3 (1) + z4∗ (2) = 3 + 6 = 9; f3 (2) + z4∗ (1) = 4 + 4 = 8; f3 (3) + z4∗ (0) = 7 + 0 = 7; f3 (0) + z4∗ (4) = 0 + 13 = 13; f3 (1) + z4∗ (3) = 3 + 8 = 11; f3 (2) + z4∗ (2) = 4 + 6 = 10; f3 (3) + z4∗ (1) = 7 + 4 = 11; f3 (4) + z4∗ (0) = 11 + 0 = 11; f3 (0) + z4∗ (5) = 0 + 16 = 16; f3 (1) + z4∗ (4) = 3 + 13 = 16; f3 (2) + z4∗ (3) = 4 + 8 = 12; f3 (3) + z4∗ (2) = 7 + 6 = 13; f3 (4) + z4∗ (1) = 11 + 4 = 15; f3 (5) + z4∗ (0) = 18 + 0 = 18. Тогда мо@ем виде таблицы оформит3 Bначени$ условного максимума z3∗ (s2 ) s2 ∗ x3 (s2 ) z3∗ (s2 ) 1 4 2 1 7 3 1 9 4 13 5 5 18 2 шаг. Проводим условнуT оптимиBациT в Bависимости от остатка s1 согласно трет3ему иB уравнений Беллмана данной Bадачи. При этом Bначени$ z3∗ (s2 ) берем иB 145 таблицы, полученной на шаге 2, а s2 = s1 − x2 . s1 = 0 : s1 = 1 : s1 = 2 : s1 = 3 : s1 = 4 : s1 = 5 : x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 =0 =0 =1 =0 =1 =2 =0 =1 =2 =3 =0 =1 =2 =3 =4 =0 =1 =2 =3 =4 =5 =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ f2 (0) + z3∗ (0) = 0 + 0 = 0; f2 (0) + z3∗ (1) = 0 + 4 = 4; f2 (1) + z3∗ (0) = 6 + 0 = 6; f2 (0) + z3∗ (2) = 0 + 7 = 7; f2 (1) + z3∗ (1) = 6 + 4 = 10; f2 (2) + z3∗ (0) = 9 + 0 = 9; f2 (0) + z3∗ (3)0 + 9 = 9; f2 (1) + z3∗ (2) = 6 + 7 = 13; f2 (2) + z3∗ (1) = 9 + 4 = 13; f2 (3) + z3∗ (0) = 11 + 0 = 11; f2 (0) + z3∗ (4) = 0 + 13 = 13; f2 (1) + z3∗ (3) = 6 + 9 = 15; f2 (2) + z3∗ (2) = 9 + 7 = 16; f2 (3) + z3∗ (1) = 11 + 4 = 15; f2 (4) + z3∗ (0) = 13 + 0 = 13; f2 (0) + z3∗ (5) = 0 + 18 = 18; f2 (1) + z3∗ (4) = 6 + 13 = 19; f2 (2) + z3∗ (3) = 9 + 9 = 18; f2 (3) + z3∗ (2) = 11 + 7 = 18; f2 (4) + z3∗ (1) = 13 + 4 = 17; f2 (5) + z3∗ (0) = 15 + 0 = 15. Составим таблицу дл$ Bначений условного максимума на 2 шаге. s1 x∗2 (s1 ) z2∗ (s1 ) 1 1 6 2 1 10 3 1 13 4 2 16 5 1 19 Eаметим, что дл$ s1 = 3 мо@но вB$т3 как x∗2 (s1 ) = 1, так и x∗2 (s1 ) = 2. В конечном итоге, это не повли$ет на Bначение целевой функции, но раBличных оптимал3ных управлений дл$ данного шага бол3ше одного. 1 шаг. Наконец, по четвертому иB уравнений Беллмана найдем оптимал3ные Bначени$ z1∗ (s0 ), которые будут $вл$т3с$ условными оптимал3ными максимума дл$ распределени$ средств ме@ду всеми 4-м$ предпри$ти$ми. При этом s0 = 5, т. к. бол3ше предыдущих шагов нет. 146 s0 = 5 : x1 x1 x1 x1 x1 x1 =0 =1 =2 =3 =4 =5 =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ f1 (0) + z2∗ (5) = 0 + 19 = 19; f1 (1) + z2∗ (4) = 8 + 16 = 24; f1 (2) + z2∗ (3) = 10 + 13 = 23; f1 (3) + z2∗ (2) = 11 + 10 = 21; f1 (4) + z2∗ (1) = 12 + 6 = 18; f1 (5) + z2∗ (0) = 18 + 0 = 18. Таким обраBом, получено, что zmax = 24 млн.руб. при оптимал3ном управлении X = (1, 2, 1, 1), т. е. 1-е предпри$тие получит 1 млн.руб., 2-е — 2 млн.руб., 3-е и 4-е — по 1 млн.руб. ∗ 9амечание 3.1. Предло@енна$ схема решени$ Bадач динамического программировани$ наBываетс$ обратной. ВоBмо@на реалиBаци$ пр$мой схемы: от 1 шага к n-му. 9амечание 3.2. Метод решени$ Bадачи динамического программировани$ беBраBличен к виду функций fk (x). §4 Обща6 схема применени6 метода динамического программировани6 Обычно построение модели и применение метода делаетс$ в соответствии со следуTщей последовател3ност3T действий. 1. Выбираетс$ способ делени$ процесса управлени$ на шаги. 2. Определ$Tтс$ параметры состо$ни$ sk и переменные управлени$ Xk на ка@дом шаге. 3. EаписываTтс$ уравнени$ состо$ний (1.2). 4. Ввод$тс$ целевые функции k-го шага и суммарна$ целева$ функци$. 5. Ввод$тс$ в рассмотрение условные максимумы (минимумы) zk∗ (sk−1 ) и условное оптимал3ное управление на k-м шаге. 6. EаписываTтс$ уравнени$ Беллмана Bадачи (2.1) и (2.6) дл$ zn∗ (sn−1 ), zk∗ (sk−1 ) (k = n − 1, 1). 7. Последовател3но решаTтс$ уравнени$ Беллмана (проиBводитс$ условна$ оптимиBаци$) — на выходе имеетс$ последовател3ност3 функций zk∗ (sk−1 ) и Xk∗ (sk−1 ). 8. Дл$ конкретного начал3ного состо$ни$ s0 находитс$ оптимал3ное решение Bадачи zmax = z1∗ (s0 ) и по цепочке s0 → X1∗ → s∗1 → . . . → s∗n−1 → Xn∗ → s∗n восстанавливаетс$ оптимал3ное управление X ∗ = (X1∗ , X2∗ , . . . , Xn∗ ). 147 §5 Алгоритм Беллмана—Форда Алгоритм Беллмана—Форда решает Bадачу поиска кратчайшего пути во вBвешенном графе методом динамического программировани$ и в отличие от алгоритма Дейкстры мо@ет работат3 с отрицател3ными весами рёбер. Дл$ реалиBации алгоритма рассматриваетс$ массив (вектор) длины n, в котором di содер@ит длину пути иB начал3ной вершины в вершину i и последовател3но рассматриваTтс$ пути, содер@ащие 0, 1, 2, . . . рёбер. Пуст3 граф Bадан матрицей весов C. 1. d[1] = 0, d[i] = +∞ (i = 2, n). 2. Общий шаг. Дл$ ка@дого ребра (vi , vj ) находитс$ минимум ме@ду di + cij и dj . dj = min{di + cij , dj }. 3. Выполнит3 шаг 2 P (G) − 1 раB. Таким обраBом, на ка@дом шаге алгоритма кратчайший пут3 выбираетс$ как оптимал3ное Bначение ме@ду ранее найденным и суммой пути до предыдущей вершины и длиной рассматриваемого ребра. 148 Глава 8 §1 Модели и методы прин6ти6 решений в услови6х неопределенности и риска Основные пон6ти6 теории игр Определение 1.1. Игра — это математическа$ модел3 конфликтной ситуации, котора$ имеет следуTщие характеристики: 1) наличие нескол3ких участников; 2) неопределённост3 поведени$ участников, св$Bанна$ с наличием у ка@дого иB них вариантов действий; 3) несовпадение интересов участников; 4) вBаимосв$Bанност3 поведени$ участников; 5) наличие правил поведени$, иBвестных всем участникам. Игроками наBываTт стороны, участвуTщие в конфликтной ситуации и вли$Tщие на действи$ и реBул3тат других сторон. ОбоBначим мно@ество игроков череB P = {1, 2, . . . , n}. Определение 1.2. Ход игрока — это выбор и осуществление одного иB предусмотренных правилами действий. Ходы бываTт личными и случайными. Личный ход — соBнател3ный выбор игроком одного иB воBмо@ных действий. Случайный ход — это выбор иB р$да воBмо@ностей, осуществл$емый не решением игрока, а каким-либо механиBмом случайного выбора. Определение 1.3. Совокупност3 ходов, предприн$тых игроками с начала игры, наBываетс$ партией. Определение 1.4. Стратегией игрока Si наBываетс$ совокупност3 принципов, определ$Tщих выбор варианта действий при ка@дом личном ходе игрока в Bависимости от сло@ившейс$ ситуации. При этом вариант действий sk ∈ Si наBываетс$ чистой стратегией. Набор (s1 , s2 , . . . , sn ) наBываетс$ профилем стратегии. Определение 1.5. Число ui , выра@аTщее степен3 удовлетворенности игрока i при выборе стратегии всеми игроками, наBываетс$ плате@ом. Определение 1.6. Соответствие ме@ду профил$ми стратегий всех игроков и плате@ей игрока i наBываетс$ плате@ной функцией или функцией выигрыша игрока i и обоBначаетс$ Ui , т. е. Ui : S1 × S2 × . . . × Sn → R. Таким обраBом, игра описываетс$ правилами или системой условий, которые вклTчаTт в себ$ список игроков, мно@ество их стратегий, платё@ные функции иг149 роков, характер ходов, характер вBаимодействи$ и имеTщуTс$ у игроков информациT: G = 〈P, {Si }, {Ui }〉 Решит3 игру — это предло@ит3 наилучший вариант поведени$ ка@дого игрока и определит3, какой плате@ ка@дый игрок в этом случае получит. Существует два основных способа представлени$ игры. 1. Нормал3на$ форма. В этом случае игра Bадаётс$ в форме таблицы, где укаBываетс$ мно@ество игроков, мно@ество их стратегий и платё@ных функций ка@дого иB игроков. При этом описываTтс$ стратегические вBаимодействи$ игроков, но не предусматриваетс$ последовател3ност3 ходов. 2. ПоBиционна$ форма. В этом случае игра представл$етс$ в виде графа или дерева прин$ти$ решений: вершинами графа $вл$Tтс$ поBиции, в которых мо@ет окаBат3с$ игра, а рёбра — это чистые стратегии игроков, в концевых вершинах укаBываTтс$ плате@и игроков. Классификаци: игр 1. В Bависимости от видов ходов игры подраBдел$Tтс$ на стратегические и аBартные. АBартные игры состо$т тол3ко иB случайных ходов; если @е нар$ду со случайными присутствуTт личные ходы или игра состоит тол3ко иB личных ходов, то такие игры наBываTтс$ стратегическими. 2. В Bависимости от числа участников игры подраBдел$Tтс$ на парные и мно@ественные. 3. По характеру вBаимоотношений участников игры дел$тс$ на бескоалиционные, коалиционные и кооперативные. 4. По количеству стратегий ка@дого игрока игры подраBдел$Tтс$ на конечные и бесконечные. 5. В Bависимости от Bначени$ суммы выигрышей всех игроков выдел$Tт игры с нулевой суммой и игры с ненулевой суммой. Определение 1.7. Парные игры с нулевой суммой наBываTтс$ антагонистическими играми. В таких играх выигрыш одного игрока равен проигрышу другого и цели этих игроков противополо@ны. §2 Антагонистические игры Рассмотрим бескоалиционнуT конечнуT парнуT игру с нулевой суммой. Пуст3 игроки A и B располагаTт некоторым конечным числом чистых стратегий A1 , A2 , . . . , Am и B1 , B2 , . . . , Bn соответственно. Игрок A мо@ет выбират3 лTбуT своT чистуT стратегиT Ai (i = 1,m), в ответ на которуT игрок B мо@ет выбират3 лTбуT своT чистуT стратегиT Bj (j = 1, n). Так как игра состоит тол3ко иB личных 150 ходов игроков, то выбор пары чистых стратегий (Ai , Bj ) одноBначно определ$ет реBул3тат aij — платё@ (выигрыш) игрока A. При этом в силу того, что игра $вл$етс$ игрой с нулевой суммой, платё@ (проигрыш) игрока B составл$ет −aij . Если иBвестны Bначени$ aij выигрыша дл$ ка@дой пары чистых стратегий (Ai , Bj ), то мо@но составит3 матрицу выигрышей игрока A вида & ) a11 a12 . . . a1n ' a21 a22 . . . a2n * * A=' (2.1) (... ... ... ... +. am1 am2 . . . amn Определение 2.1. Матрица A наBываетс$ плате@ной матрицей игры. Оптимал3ной стратегией игрока в игре наBываетс$ така$ стратеги$, котора$ обеспечивает ему наибол3ший (наибол3ший средний) выигрыш. При выборе такой стратегии основой рассу@дений $вл$етс$ предполо@ение о том, что противник раBумный и делает все, чтобы получит3 максимал3нуT выгоду дл$ себ$. При этом дл$ выбора оптимал3ной стратегии испол3BуTт принцип максимина: выбираетс$ та стратеги$, чтобы при наихудшем дл$ данного игрока поведении противника получит3 максимал3ный платё@ (выигрыш). Этот принцип $вл$етс$ принципом крайне осторо@ного игрока и $вл$етс$ основным принципом теории матричных игр. Определим оптимал3ное поведение ка@дого иB игроков. Рассмотрим проиBвол3нуT чистуT стратегиT Ai игрока A. Игрок A дол@ен расчитыват3, что противник ответит своей чистой стратегией Bj , при которой выигрыш игрока A будет наимен3шим. Пуст3 αi = min aij (i = 1,m), тогда αi — минимал3ный воBмо@ный выигрыш j игрока A при применении им чистой стратегии Ai . Определение 2.2. Число α = max αi = max min aij наBываетс$ чистой ни@ней i i j ценой игры или максимином, а соответствуTща$ ему чиста$ стратеги$ игрока A — максиминной стратегией. Тем самым игрок A выбирает наибол3ший выигрыш среди всех наихудших вариантов. Число α покаBывает, какой минимал3ный гарантированный выигрыш мо@ет получит3 игрок A, правил3но примен$$ свои чистые стратегии при лTбых действи$х игрока B. Проведём аналогичные рассу@дени$ дл$ игрока B. Выбира$ стратегиT Bj игрок B исходит иB предполо@ени$, что его противник стремитс$ увеличит3 свой выигрыш, т. е. и проигрыш игрока B. Пуст3 βj = max aij (j = 1, n) — максимал3но воBмо@ный проигрыш игрока B i (выигрыш игрока A) в случае применени$ им чистой стратегии Bj . 151 Определение 2.3. Число β = min βi = min max aij наBываетс$ чистой верхней цеj j i ной игры или минимаксом, а соответствуTща$ ему чиста$ стратеги$ игрока B — минимаксной стратегией. Число β покаBывает, какой максимал3ный гарантированный проигрыш мо@ет получит3 игрок B, правил3но примен$$ свои чистые стратегии при лTбых действи$х игрока A. Таким обраBом, правил3но примен$$ свои чистые стратегии, игрок A обеспечит себе выигрыш не менее α, а игрок B – проигрыш не более β , причем α ! β. Определение 2.4. Если α = β , то говор$т, что игра имеет седловуT точку в чистых стратеги$х и чистуT цену игры ν = α = β, при этом пару чистых стратегий (Ai , Bj ), соответствуTщих α и β, наBываTт седловой точкой игры, а элемент aij — седловым элементом плате@ной матрицы. Упор$доченнуT тройку (Ai , Bj , ν) наBываTт решением игры. Стратегии, обраBуTщие седловуT точку, $вл$Tтс$ оптимал3ными дл$ ка@дого иB игроков. Пример 2.1. В фил3ме «Терминатор» машины отправили в прошлое Терминатора, чтобы убит3 Д@она Коннора, а лTди — Bащитника, чтобы помешат3 ему это сделат3. Составим платё@нуT матрицу соответствуTщей игры и определим её седловуT точку. Пуст3 1 — платё@, при котором Д@он Коннор спасён, −1 — платё@, если Д@он Коннор убит. ❳❳❳ ❳❳ Машины ❳❳❳ Послат3 ❳❳ ЛTди ❳❳ натора терми- Не посылат3 терминатора 1 αi −1 Послат3 Кайла РивBа Не посылат3 Кайла РивBа 1 −1 1 βj 1 1 1 ❍❍ ❍❍ 1 1 ❍❍ Так как ни@н$$ и верхн$$ цены игры совпадаTт и равны α = β = 1, то у игры ест3 седлова$ точка, причём их две: (послат3 Кайла РивBа; послат3 терминатора; 1), (послат3 Кайла РивBа; не посылат3 терминатора; 1). Если игра имеет седловуT точку, то говор$т, что она имеет решение в чистых стратеги$х, при этом решение обладает следуTщим свойством: дл$ игрока, допустившего отклонение от своей оптимал3ной стратегии это никогда не мо@ет быт3 выгодным, т. е. дл$ игрока A это мо@ет привести к умен3шениT выигрыша, если игрок B будет придер@иват3с$ оптимал3ной стратегии. 152 Пример 2.2. EаBывала и Лопух играTт в следуTщуT игру. Ка@дый иB игроков имеет по 3 карты: EаBывала — бубновый и трефовый туB и бубновуT двойку, Лопух — бубновый и трефовый туB и трефовуT двойку. Игроки одновременно выбираTт и покаBываTт друг другу по одной карте. Если масти карт раBные, то выигрывает Лопух, а если одинаковые — EаBывала. Если вскрытыми окаBываTтс$ двойки, то не выигрывает никто, в противном случае величина выигрыша равна числу очков той карты, которуT вскрыл выигравший. Составим плате@нуT матрицу: ❍❍ E ❍❍ Л ❍❍ ТБ ТТ 2Т αi ТБ ТТ 2Б 1 −1 2 −1 1 −1 −2 1 −2 −1 −1 βj 2 1 1 ❍❍ ❍❍−1 1 ❍❍ Игра не имеет седловой точки, а Bначит не имеет решени$ в чистых стратеги$х. Иногда до решени$ игры её платё@нуT матрицу мо@но упростит3 череB исклTчение иBлишних стратегий (дублируTщихс$ или Bаведомо невыгодных). Определение 2.5. Если в плате@ной матрице все элементы k-й строки не мен3ше соответствуTщих им элементов p-й строки, то говор$т, что чиста$ стратеги$ Ak доминирует над чистой стратегией Ap . Если чиста$ стратеги$ Ak доминирует над чистой стратегией Ap , то игроку A невыгодно испол3Bоват3 своT чистуT стратегиT Ap . Поэтому иB плате@ной матрицы мо@но исклTчит3 строку с номером p, что приведет к умен3шениT раBмерности плате@ной матрицы, т. е. упростит решение игры. Определение 2.6. Если в плате@ной матрице элементы k-го столбца не бол3ше соответствуTщих им элементов p-го столбца, то говор$т, что чиста$ стратеги$ Bk доминирует над чистой стратегией Bp . Как и в случае игрока A, если чиста$ стратеги$ Bk доминирует над чистой стратегией Bp , то игроку B невыгодно примен$т3 своT чистуT стратегиT Bp . Поэтому иB плате@ной матрицы мо@но исклTчит3 столбец с номером p. Пример 2.3. Упростим платё@нуT матрицу игры иB примера 2.2. Дл$ EаBывалы стратеги$ «покаBат3 двойку бубей» доминирует над стратегией «покаBат3 туB бубей», а дл$ Лопуха стратеги$ «покаBат3 туB треф» доминирует над стратегией «покаBат3 двойку треф». Тогда иB платё@ной матрицы мо@но исклTчит3 первуT строку и третий столбец. 153 ❍❍ ❍❍ Л E ❍❍ ТБ ТТ αi ТТ 2Б −1 2 1 −1 −1 −1 βj 2 1 ❍❍ 1 ❍❍−1 ❍❍ Если игра не имеет седловой точки, то оптимал3ное решение мо@но получит3, череду$ случайным обраBом чистые стратегии. Определение 2.7. Пуст3 pi — веро$тност3, с которой игрок A выберет чистуT стратегиT Ai (i = 1, m). Смешанной стратегией игрока A наBываетс$ вектор p = (p1 , p2 , . . . , pm ), координаты которого удовлетвор$Tт услови$м pi " 0 (i = 1, m) и m % pi = 1. i=1 Аналогично определ$етс$ смешанна$ стратеги$ q = (q1 , q2 , . . . , qn ) игрока B. Eдес3 под веро$тност3T понимаетс$ частота, с которой игроки примен$Tт ту или инуT своT чистуT стратегиT. При испол3Bовании смешанных стратегий игра приобретает случайный характер, случайной становитс$ и величина выигрыша игроков. Определение 2.8. Функци$ z(p, q) = m % n % (2.2) aij pi qj i=1 j=1 наBываетс$ платё@ной функцией дл$ игры в смешанных стратеги$х. Плате@и игроков в смешанных стратеги$х определ$Tтс$ как математическое о@идание выигрыша. Пример 2.4. Пуст3 дана платё@на$ матрица & ) 1 −1 2 −3 4 −1 −2+ A=( 0 −3 1 0 −4 и смешанные стратегии ′ p = 1 1 1 , , 3 3 3 1 , ′ q = 1 1 1 , 0, , 4 4 2 1 . Найдём Bначение платё@ной функции дл$ данных стратегий: z(p′ , q ′ ) = 1 · 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 · −1· ·0+2· · −3· · +0· · +4· ·0−1· · −2· · − 3 4 3 3 4 3 2 3 4 3 3 4 3 2 1 1 1 1 1 1 1 7 −3· · +1· ·0+0· · −4· · =− . 3 4 3 3 4 3 2 12 154 Игрок A имеет своей цел3T Bа счёт иBменени$ своей смешанной стратегии p увеличит3 свой платё@ z(p, q), а игрок B стремитс$ сделат3 Bначение z(p, q) наимен3шей. Определение 2.9. Смешанные стратегии p и q наBываTтс$ оптимал3ными, если они обраBуTт седловуT точку дл$ плате@ной функции (2.2), т. е. удовлетвор$Tт условиT max min z(p, q) = min max z(p, q) = ν. (2.3) p q q p При этом величину ν наBываTт ценой игры. Смешанные стратегии p0 , q 0 будут $вл$т3с$ оптимал3ными, если дл$ них выполн$етс$ следуTщее неравенство z(p, q 0 ) ! z(p0 , q 0 ) ! z(p0 , q), где p и q — лTбые другие смешанные стратегии, отличные от p0 и q 0 соответственно. Полученное неравенство наBываетс$ равновесием по Нэшу. Определение 2.10. Равновесием Нэша наBываетс$ такой профил3 стратегий игроков, в котором ка@дому игроку невыгодно отклон$т3с$ от выбранной им стратегии, если остал3ные игроки своих стратегий не мен$Tт. Теорема 2.1 (Теорема Д@она фон Неймана). Дл0 матричной игры с л'бой платёBной матрицей существует по крайней мере одна ситуаци0 в смешанных стратеги0х, дл0 которой выполн0етс0 равновесие по Нэшу, т. е. л'ба0 матрична0 игра имеет решение в смешанных стратеги0х. §3 Решение игр методами линейного программировани6 Предполо@им, что плате@на$ матрица игры упрощена. Составим следуTщуT таблицу, соответствуTщуT плате@ной матрице A1 (p1 ) A1 (p2 ) ... Am (pm ) βj B1 (q1 ) a11 a21 ... am1 β1 B2 (q2 ) a12 a22 ... am2 β2 ... ... ... ... ... Bn (qn ) a1n a2n ... amn βn αi α1 α2 ... αm ИB определени$ оптимал3ной смешанной стратегии игрока A, если этот игрок придер@иваетс$ своей оптимал3ной стратегии, то он выигрывает не менее чем 155 цена игры при лTбых стратеги$х игрока B. Таким обраBом, дл$ решени$ игры в смешанных стратеги$х требуетс$ найти неотрицател3ные Bначени$ переменных p1 , p2 , . . . , pm , удовлетвор$Tщих системе ограничений ! a11 p1 + a21 p2 + . . . + am1 pm " ν, " " " " " a12 p1 + a22 p2 + . . . + am2 pm " ν, " " " #. . . (3.1) " a p + a p + . . . + a p " ν, 1n 1 2n 2 mn m " " " m " "% " " pi = 1, $ i=1 обращаTщих в максимум функциT z = ν. (3.2) В системе (3.1) ν $вл$етс$ неиBвестной, удовлетвор$Tщей условиT α ! ν ! β. Если среди элементов плате@ной матрицы ест3 хот$ бы один отрицател3ный, то, увеличив все элементы плате@ной матрицы на наибол3ший по модулT отрицател3ный элемент |a|, получим матрицу, все элементы которой неотрицател3ны. Поэтому в системе ограничений (3.1) мо@но считат3 величину ν неотрицател3ной. При этом оптимал3ным Bначением функции (3.2) будет $вл$т3с$ величина z − |a|. Аналогично дл$ решени$ игры череB смешаннуT стратегиT игрока B требуетс$ найти неотрицател3ные Bначени$ переменных q1 , q2 , . . . , qn , удовлетвор$Tщих системе ограничений ! " a11 q1 + a12 q2 + . . . + a1n qn ! ν, " " " " " a21 q1 + a22 q2 + . . . + a2n qn ! ν, " " " #. . . (3.3) " am1 q1 + am2 q2 + . . . + amn qn ! ν, " " n " % " " " " qj = 1, " $ j=1 обращаTщих в минимум функциT z = ν. (3.4) Eадачи (3.1)—(3.2) и (3.3)—(3.4) $вл$Tтс$ парой двойственных Bадач. Поэтому цена игры в ка@дой иB них будет одинакова. Пример 3.1. Решим Bадачу иB примера 2.2. Ранее платё@на$ матрица была упрощена: 1 −1 1 A= . 2 −1 156 Прибавим 2 ко всем элементам матрицы, чтобы сделат3 все её элементы поло@ител3ными числами: 1 1 3 ′ A = . 4 1 Пуст3 p = (p1 , p2 ) — смешанна$ стратеги$ EаBывалы, а q = (q1 , q2 ) — смешанна$ стратеги$ Лопуха, ν — цена игры. Составим математическуT модел3 игры дл$ игрока EаBывала: z = ν → max, ! p1 + 4p2 " ν, " " " #3p + p " ν, 1 2 " p + p 1 2 = 1, " " $ p1 , p2 " 0. pi 1 Введём обоBначение xi = (i = 1, 2). Тогда Bаметим, что x1 + x2 = . Eапишем ν ν Bадачу в новых обоBначени$х: z ′ = x1 + x2 → min, ! " #x1 + 4x2 " 1, 3x1 + x2 " 1, " $ x1 , x2 " 0. Решим полученнуT Bадачу графически. x2 2 x1 1 z=0 ИB рисунка видим, что точкой оптимал3ного решени$ Bадачи $вл$етс$ точка пересечени$ пр$мых, BадаTщих ограничени$ 1 и 2. Найдём точку пересечени$: 7 7 3 x1 + 4x2 = 1, x1 = 11 , ⇐⇒ 2 3x1 + x2 = 1, x2 = 11 . 157 Тогда ν = 1 11 3 11 3 2 = , p1 = · = =⇒ p2 = . x1 + x2 5 11 5 5 5 1 3 2 11 11 1 p= , ; ν A′ = =⇒ νA = −2= . 5 5 5 5 5 Аналогично мо@но составит3 и решит3 Bадачу дл$ игрока Лопух: Введём обоBначение yi = z = ν → min, ! q1 + 4q2 ! ν, " " " #3q + q ! ν, 1 2 " q1 + q2 = 1, " " $ q1 , q2 " 0. qi (i = 1, 2). Eапишем Bадачу в новых обоBначени$х: ν z ′ = y1 + y2 → max, ! " #y1 + 4y2 ! 1, 3y1 + y2 ! 1, " $ y1 , y2 " 0. Так@е реша$ эту Bадачу графически, мо@но получит3 решение 1 2 3 11 11 1 q= , ; ν A′ = =⇒ νA = −2= . 5 5 5 5 5 ВоBвраща$с3 к исходному условиT (до удалени$ доминируемых стратегий) получим следуTщие смешанные стратегии и цену игры: 1 1 3 2 2 3 1 p = 0, , , q= , ,0 , ν = . 5 5 5 5 5 Таким обраBом, дл$ Лопуха эта игра невыгодна, т. к. математическое о@идание плате@а (выигрыша) EаBывалы поло@ител3но. §4 Биматричные игры Рассмотрим бескоалиционнуT конечнуT парнуT игру с ненулевой суммой. Пуст3 игроки A и B располагаTт некоторым конечным числом чистых стратегий A1 , A2 , . . . , Am и B1 , B2 , . . . , Bn соответственно. Игрок A мо@ет выбират3 лTбуT своT чистуT стратегиT Ai (i = 1,m), в ответ на которуT игрок B мо@ет выбират3 лTбуT своT чистуT стратегиT Bj (j = 1, n). Ка@да$ пара чистых стратегий (Ai , Bj ) 158 одноBначно определ$ет платё@ aij игрока A, а плате@ игрока B равен bij , причем bij ∕= −aij . Тогда дл$ ка@дого игрока существует сво$ плате@на$ матрица раBмера m × n: & ) & ) a11 a12 . . . a1n b11 b12 . . . b1n ' a21 a22 . . . a2n * ' b21 b22 . . . b2n * * * A=' B=' (4.1) (... ... ... ... +, (... ... ... ...+. am1 am2 . . . amn bm1 bm2 . . . bmn Игры с плате@ными матрицами (4.2) наBываTтс$ биматричными играми двух игроков или бескоалиционными играми двух игроков с проиBвол3ной суммой. Часто биматричные игры BаписываTтс$ с & (a11 ,b11 ) (a12 ,b12 ) ' (a21 ,b21 ) (a22 ,b22 ) A=' ( ... ... (am1 ,bm1 ) (am2 ,bm2 ) помощ3T матриц вида ) . . . (a1n ,b1n ) . . . (a2n ,b2n ) * *. + ... ... . . . (amn ,bmn ) (4.2) Пример 4.1. Студент готовитс$ к Bачету, который принимает преподавател3. Студент мо@ет готовит3с$ или не готовит3с$ к Bачету, преподавател3 мо@ет поставит3 или не поставит3 Bачтено. Eапишем даннуT игру в терминах биматричных игр. Студент Готов Не готов Eачтено Eаслу@енно ПовеBло Не Bачтено Обидно Bаслу@енно A= 1 2 −1 , 1 0 Преп. Готов Не готов B= Eачтено Нормал3но Обманул Не Bачтено Был не прав Оп$т3 придёт 1 1 −3 . −2 −1 Пуст3 p = (p1 , p2 , . . . , pm ) — смешанна$ стратеги$ игрока A, q = (q1 , q2 , . . . , qm ) — смешанна$ стратеги$ игрока B. Тогда плате@и игроков A и B будут определ$т3с$ следуTщим обраBом: UA (p,q) = m % n % aij pi qj , UB (p,q) = i=1 j=1 m % n % bij pi qj . i=1 j=1 Равновесие по Нэшу в биматричных играх определ$етс$ следуTщим обраBом: 7 UA (p, q 0 ) ! UA (p0 , q 0 ), (4.3) UB (p0 , q) ! UB (p0 , q 0 ). Услови$ равновеси$ (4.3) дл$ биматричной игры обобщаTт пон$тие седловой точки матричной игры. Ка@дое иB неравенств системы (4.3) дол@но выполн$т3с$ дл$ лTбой смешанной стратегии игрока A и игрока B, в частности — и дл$ лTбой чистой стратегии. 159 Определение 4.1. Говор$т, что пара стратегий (p, q) обраBует ситуациT равновеси$ дл$ биматричной игры, если выполн$Tтс$ неравенства: ! n m D n D D " " aij pi qj (i = 1, m), # aij qj ! j=1 i=1 j=1 (4.4) m m D n D D " " bij pi qj (j = 1, n). $ bij pi ! i=1 i=1 j=1 Теорема 4.1 (Теорема Нэша). Л'ба0 биматрична0 игра имеет хот0 бы одну ситуаци' равновеси0. Так @е, как и в играх с нулевой суммой в р$де случаев биматричные игры могут имет3 решение в чистых стратеги$х. Пуст3 биматрична$ игра Bадана матрицами (4.2). В ка@дом столбце матрицы A найдём наибол3ший элемент и отметим его. Поло@ение отмеченных элементов соответствует приемлемым ситуаци$м игрока A в случае, когда игрок B выбирает своT стратегиT Bj . В ка@дой строке матрицы B так@е найдём наибол3ший элемент и отметим его. Поло@ение отмеченных элементов соответствует приемлемым ситуаци$м дл$ игрока B в случае, когда игрок A выбирает своT чистуT стратегиT Ai . Если поло@ение двух отмеченных элементов двух матриц совпадает, что биматрична$ игра имеет решение в чистых стратеги$х. Пример 4.2. & ) 8 4 6 A = (7 8 9 + , 2 1 3 & ) 4 4 5 B = (3 7 6 + . 5 6 9 Дл$ данных матриц точка (A2 , B2 ) — ситуаци$ равновеси$ в чистых стратеги$х. В отличие от антагонистических игр наличие седловой точки в биматричных играх не оBначает оптимал3ности чистых стратегий игроков. Биматричные игры 2 × 2 Пуст3 ка@дый иB игроков A и B имеет 2 чистые стратегии, и их плате@ные матрицы имеTт следуTщий вид: 1 1 a11 a12 b11 b12 A= , B= . a21 a22 b21 b22 Пуст3 p = (p1 , p2 ) — смешанна$ стратеги$ игрока A, а q = (q1 , q2 ) — смешанна$ стратеги$ игрока B (p1 + p2 = 1, q1 + q2 = 1). Тогда иB определени$ ситуации равновеси$ получим следуTщуT систему неравенств: ! a11 q1 + a12 q2 ! a11 p1 q1 + a12 p1 q2 + a21 p2 q1 + a22 p2 q2 , " " " #a q + a q ! a p q + a p q + a p q + a p q , 21 1 22 2 11 1 1 12 1 2 21 2 1 22 2 2 " b11 p1 + b12 p2 ! b11 p1 q1 + b12 p1 q2 + b21 p2 q1 + b22 p2 q2 , " " $ b12 p1 + b22 p2 ! b11 p1 q1 + b12 p1 q2 + b21 p2 q1 + b22 p2 q2 . 160 ПреобраBовав даннуT систему, получим: ! (a11 − a12 − a21 + a22 )(1 − p1 )q1 + (a12 − a22 )(1 − p1 ) ! 0, " " " #(a − a − a + a )p q + (a − a )p " 0, 11 12 21 22 1 1 12 22 1 " (b11 − b12 − b21 + b22 )p1 (1 − q1 ) + (b12 − b22 )(1 − q1 ) ! 0, " " $ (b11 − b12 − b21 + b22 )p1 q1 + (b21 − b22 )q1 " 0, Введём обоBначени$: a1 = a11 − a12 − a21 + a22 , a2 = a22 − a12 , b1 = b11 − b12 − b21 + b22 , b2 = b22 − b21 . Тогда система примет вид: ! (1 − p1 )(a1 q1 − a2 ) ! 0, " " " #p (a q − a ) " 0, 1 1 1 2 " (1 − q )(b p 1 1 1 − b2 ) ! 0, " " $ q1 (b1 p1 − b2 ) " 0. Найдём решение первой пары уравнений системы. При этом будем полагат3, что a1 , a2 , b1 , b2 " 0. Рассмотрим 3 случа$: 1) p1 = 1 =⇒ a1 q1 − a2 " 0 =⇒ q1 " aa21 . 2) p1 = 0 =⇒ a1 q1 − a2 ! 0 =⇒ q1 ! aa21 . 3) 0 < p1 < 1 =⇒ a1 q1 − a2 = 0 =⇒ q1 = aa21 . Аналогично найдём решение второй пары уравнений системы: 1) q1 = 1 =⇒ b1 p1 − b2 " 0 =⇒ p1 " bb21 . 2) q1 = 0 =⇒ b1 p1 − b2 ! 0 =⇒ p1 ! bb21 . 3) 0 < q1 < 1 =⇒ b1 p1 − b2 = 0 =⇒ p1 = bb21 . ИBобраBим в системе координат. q1 C 1 a2 a1 B A b2 b1 1 Точки A, B и C определ$Tт ситуации равновеси$. 161 p1 В Bависимости от элементов плате@ных матриц биматрична$ игра мо@ет имет3 раBличное количество равновесных ситуаций: чётное, нечётное и бесконечное. При этом, если количество равновесных ситуаций нечётно, то при малых иBменени$х элементов платё@ных матриц количество равновесных ситуаций не мен$етс$; если @е их чётное или бесконечное количество, то малые иBменени$ элементов платё@ных матриц приводит к существенным иBменени$м равновесных ситуаций. Eаметим, что при определении равновесных ситуаций выбор игрока A определ$етс$ тол3ко элементами платё@ной матрицы игрока B и не Bависит от элементов его собственной платё@ной матрицы. Аналогично происходит и дл$ игрока B. Таким обраBом, равновесна$ ситуаци$ обоих игроков определ$етс$ не стол3ко стремлением увеличит3 собственный выигрыш, скол3ко @еланием умен3шит3 выигрыш противника. Следовател3но, если игроку A полност3T иBменит3 платё@нуT матрицу, а игроку B оставит3 её беB иBменений, то игрока A никак не иBменит своего поведени$, а игрок B при этом иBменит своT стратегиT на другуT равновеснуT. Пример 4.3. A= 1 2 −1 , 1 0 B= 1 1 −3 . −2 −1 Стратегии (A1 , B1 ) и (A2 , B2 ) — ситуации равновеси$ по Нэшу в чистых стратеги$х. Найдем ситуациT равновеси$ в смешанных стратеги$х: (p1 , p2 ) — смешанна$ стратеги$ игрока A, (q1 , q2 ) — мешанна$ стратеги$ игрока B. a1 = a11 − a12 − a21 + a22 = 2 + 1 − 1 + 0 = 2, a2 = a22 − a12 = 0 + 1 = 1, b1 = b11 − b12 − b21 + b22 = 1 + 3 + 2 − 1 = 5, b2 = b22 − b21 = −1 + 2 = 1. Получим систему ! (1 − p1 )(2q1 − 1) ! 0, " " " #p (2q − 1) " 0, 1 1 " (1 − q 1 )(5p1 − 1) ! 0, " " $ q1 (5p1 − 1) " 0. Реша$ эту Bадачу описанным выше методом, получим три точки: A(0, 0), B( 15 , 12 ) и C(1, 1). §5 Коалиционные игры ОбоBначим череB N мно@ество всех игроков N = {1, 2, . . . , n}. ОбоBначим череB K лTбое подмно@ество мно@ества N и будем наBыват3 его коалицией. Количество коалиций иB k ! n игроков — ест3 сочетание Cnk . Тогда число всевоBмо@ных коалиций будет равно n % Cnk = 2n . k=0 162 Коалици$, состо$ща$ иB всех n игроков наBываетс$ тотал3ной или бол3шой коалицией. ОбраBовав коалициT, мно@ество K действует как один игрок против остал3ных игроков, платё@ коалиции Bависит от примен$емых стратегий самим мно@еством K и других игроков. Платё@ коалиции будем представл$т3 как сумму плате@ей вход$щих в неё игроков. Теори$ кооперативных игр исследует типы коалиций, которые обраBуTтс$ в процессе игры, и услови$ их устойчивого существовани$. Поставим в соответствие ка@дой коалиции наибол3ший уверенно получаемый платё@. В этом случае говор$т, что Bадана характеристическа$ функци$ V (K). Пример 5.1. 4 студента решаTт Bадачи по дисциплине «Экономико-математические методы и модели в логистике». Всего ест3 10 Bадач. Если ка@дый решает Bадачи в одиночку, то смо@ет решит3 тол3ко 4 Bадачи. Если двое студентов обIедин$тс$, то смогут решит3 7 Bадач. Коалици$ иB 3 или 4 студентов мо@ет решит3 все 10 Bадач. Составим характеристическуT функциT игры. Всего воBмо@но 24 = 16 коалиций. ! 10, " " " #7, V (K) = " 4, " " $ 0, если если если если 3 ! |K| ! 4, |K| = 2, |K| = 1, |K| = 0. Частным случаем характеристической функции $вл$етс$ функци$, принимаTща$ тол3ко 2 Bначени$: 0, если коалици$ проигрывает, и 1 — если выигрывает. Подобные функции воBникаTт в Bадачах голосовани$. Часто при рассмотрении коалиционных игр полагаTт, что характеристическа$ функци$ обладает свойством супераддитивности, т. е. ∀K1 , K2 : K1 ∩ K2 = ∅ =⇒ V (K1 ∪ K2 ) " V (K1 ) + V (K2 ). В ранее рассмотренном примере это свойство не выполн$етс$. Игры, в которых свойство супераддитивности имеет место, наBываTтс$ супераддитивными играми. Основной Bадачей в кооперативной игре $вл$етс$ распределение общего выигрыша ме@ду членами коалиции. Определение 5.1. Вектором выигрышей будем наBыват3 вектор x = (x1 , x2 , . . . , xn ), где xi — выигрыш (платё@) i-го игрока. Определение 5.2. Допустимым вектором выигрышей будем наBыват3 вектор x = (x1 , x2 , . . . , xn ), координаты которого удовлетвор$Tт условиT n % xi ! V (N ), i=1 где N — тотал3на$ коалици$. Решением коалиционной игры будем наBыват3 некоторое мно@ество допустимых векторов выигрышей игроков. Это мно@ество мо@ет имет3 раBный вид в Bависимости от выбранной концепции игры (выборе ва@ных свойств). 163 Концепци: :дра Определение 5.3. [дро C(V ) — это мно@ество векторов плате@ей со следуTщими свойствами: D 1) xi " V (K) ∀K ⊂ N ; i D 2) xi = V (N ). i Первое условие наBываетс$ условием индивидуал3ной рационал3ности, смысл которого состоит в том, что обIедин$т3с$ выгодно тол3ко в том случае, когда ка@дый вошедший в коалициT игрок получит при распределении выигрыша сумму, не мен3шуT той, что он мог бы получит3 самосто$тел3но. Второе условие наBываетс$ условием коллективной рационал3ности, оно оBначает, что игроки дол@ны делит3 ме@ду собой реал3но воBмо@ный выигрыш. Вектор x, удовлетвор$Tщий обоим услови$м наBываетс$ деле@ом в услови$х характеристической функции V . Система 〈N, V, C〉, где C — $дро, Bадаёт классическуT коалиционнуT игру. Решением такой игры и будет делё@, воBникаTщий в реBул3тате соглашени$ игроков. 164