Двумерные случайные величины.

Лекция . Двумерные случайные величины. 1. Понятие двумерной случайной величины и закон ее распределения. 2. Дискретные двумерные случайные величины 3. Функция распределения двумерной СВ 4. Двумерные непрерывные случайные величины 5. Условные законы распределения составляющих системы СВ 6. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Зачастую результат опыта описывается несколькими случайными величинами: . Например, погоду в данном месте в определенное время суток можно охарактеризовать следующими случайными величинами: Х1 – температура, Х2 – давление, Х3 – влажность воздуха, Х4 – скорость ветра. Успеваемость студента, получающего диплом, характеризуется системой n случайных  величин  - оценками, проставленными в дипломе . В этом случае говорят о многомерной случайной величине или о системе случайных величин . Рассмотрим двумерную случайную величину , возможные значения которой есть пары чисел . Геометрически двумерную случайную величину можно истолковать как случайную точку на плоскости . Например, точка попадания снаряда определяется не одной случайной величиной, а двумя: абсциссой и ординатой - и может быть рассмотрена как комплекс двух случайных величии или случайная точка на плоскости Точка падения метеорита характеризуется системой двух случайных величин: Х- географическая широта места падения и Y – долгота этого места. Определение Если составляющие Х и Y – дискретные случайные величины, то - дискретная двумерная случайная величина, а если Х и Y – непрерывные, то - непрерывная двумерная случайная величина. Определение Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. 2. Дискретные двумерные случайные величины Закон распределения двумерной дискретной случайной величины может быть задан в виде таблицы с двойным входом (см. таблица 6.1), где - вероятность того, что составляющая Х приняла значение xi, а составляющая Y – значение yj. Таблица 1.1. Y X y1 y2 … yj … ym x1 p11 p12 … p1j … p1m x2 p21 p22 … p2j … p2m … … … … … … … xi pi1 pi2 … pij … pim … … … … … … … xn pn1 pn2 … pnj … pnm Так как события , составляют полную группу попарно несовместных событий, то сумма вероятностей равна 1, т.е. . (1.1) Из таблицы 6.1 можно найти законы распределения одномерных составляющих Х и Y. Пример 1. Найти законы распределения составляющих Х и Y, если задано распределение двумерной случайной величины в виде таблицы 1.2. Таблица 1.2. Y X 2 5 7 -1 0,11 0,13 0,23 3 0,1 0,12 0,09 4 0,11 0,08 0,03 Решение. Так как , то проводя суммирование по строкам таблицы 1.2 получим распределение Х: Аналогично суммируя по столбцам, получим распределение Y: 2 5 7 0,32 0,33 0,35 Определение Если зафиксировать значение одного из аргументов, например , то полученное распределение величины Х называется условным распределением СВ Х. Аналогично определяется условное распределение Y. Пример 2. По распределению двумерной случайной величины, заданной табл. 1.2, найти: а) условный закон распределения составляющей Х при условии ; б) условный закон распределения Y при условии, что . Решение. Условные вероятности составляющих Х и Y вычисляются по формулам , . (1.2) Тогда а) , , . Условный закон распределения Х при условии имеет вид -1 3 4 0,394 0,364 0,242 Контроль: . б) Аналогично находим условный закон Y при условии . 2 5 7 0,5 0,364 0,136 Контроль: . 3. Функция распределения двумерной СВ Определение Интегральной функцией распределения системы двух случайных величин ( X,Y )   называется вероятность совместного выполнения неравенств  X