Двойной интеграл (4 часа).

Раздел «Кратные интегралы» Лекция 1: Двойной интеграл (4 часа) 1. Понятие двойного интеграла 2. Повторные интегралы. Сведение двойного интеграла к повторному (вычисление двойного интеграла через повторные) 3. Замена переменных в двойном интеграле 3.1. Двойной интеграл в криволинейных координатах 3.2. Двойной интеграл в полярной системе координат 4. Некоторые геометрические и физические приложения двойных интегралов: 4.1. Вычисление объемов криволинейных цилиндров 4.2. Вычисление площади плоских фигур 1. Понятие двойного интеграла Пусть D – некоторая замкнутая ограниченная квадрируемая (имеющая площадь) область. Пусть эта область D ограничена некоторой границей, которая состоит из конечного числа непрерывных кривых , и так далее. Рис. 1.1. Пусть на D определена ограниченная функция . Разобьем область D на n произвольных областей () с площадями , не имеющих общих внутренних точек. В каждой элементарной области выберем произвольным образом точку . Вычислим значения функции в этих точках и составим сумму произведений , которую назовем интегральной суммой функции . Определение 1.1. Диаметром области назовем наибольшее расстояние между любыми двумя точками этой области и обозначим его через . Пусть , . Определение 1.2. Если существует конечный предел интегральных сумм при , то он называется двойным интегралом от функции по области D и обозначается . Итак, , где – подынтегральная функция, D – область интегрирования, x, y – переменные интегрирования. Теорема 1.1. (Достаточное условие интегрируемости функции.) Функция , непрерывная в замкнутой ограниченной квадрируемой области, интегрируема в этой области. Данная теорема принимается без доказательства. Рассмотрим тело , ограниченное сверху графиком функции , непрерывной и неотрицательной в ограниченной замкнутой области D, с боков – цилиндрической поверхностью, направляющей которой является граница области D, а образующие параллельны оси аппликат, снизу– областью D, лежащей в плоскости XOY. Назовем такую область криволинейным цилиндром. Отметим, что интегральная сумма представляет собой сумму объемов прямых цилиндров, площади оснований которых равны , а высоты – , то есть интегральная сумма дает приближенное значение объема криволинейного цилиндра: , а точное значение объема . Таким образом, геометрический смысл двойного интеграла заключается в том, что двойной интеграл от неотрицательной непрерывной функции по области D равен объему соответствующего криволинейного цилиндра. Пусть в области D. Тогда , где – площадь области D. Таким образом двойной интеграл можно использовать для вычисления площадей плоских фигур. Так как двойной интеграл определяется аналогично определенному, то ряд свойств определенного интеграла переносится на двойной. 1. Если , то . 2. Если существуют интегралы от функций и , то . 3. Если область D является объединением областей и , не имеющих общих внутренних точек, в каждой из которых функция интегрируема, то эта функция будет интегрируема и в области D, причем . 4. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области D, то в этой области найдется такая точка , что будет справедливо равенство , где S – площадь области D. Это свойство называется теоремой о среднем. 2. Повторные интегралы. Сведение двойного интеграла к повторному Рассмотрим сначала двойной интеграл от функции по некоторой прямоугольной замкнутой области D со сторонами, параллельными координатным осям. . Рис. 2.1. Теорема 2.1. Пусть функция непрерывна в прямоугольнике D. Тогда вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторного интеграла: . Данная теорема принимается без доказательства. Пример 2.1. Вычислите , где . Решение. Рассмотрим теперь двойной интеграл от функции по некоторой замкнутой области D, которая задается следующим образом: . Рис. 2.2. Теорема 2.2. Пусть функция непрерывна на D, а функции и непрерывны на отрезке . Тогда вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторного интеграла: . Данная теорема принимается без доказательства. Пример 2.2. Вычислите , где . Решение. Рис. 2.3. При вычислении двойных интегралов можно применять различный порядок интегрирования. Например, в предыдущем примере интеграл можно было вычислить так: . Пример 2.2.3. Перейдите от двойного интеграла к повторному, где D – область, ограниченная линиями , , . Решение. Здесь можно перейти к повторному интегралу так: , или . Рис. 2.4. 3. Замена переменных в двойном интеграле 3.1. Двойной интеграл в криволинейных координатах Пусть функция двух переменных непрерывна в замкнутой ограниченной квадрируемой области D. Тогда эта функция интегрируема в области D, то есть существует . (3.1.1) Предположим также, что на D определена пара функций , (3.1.2) которые устанавливают взаимно однозначное соответствие между ограниченной замкнутой областью D, лежащей в плоскости XOY, и ограничены замкнутой областью , лежащей в плоскости UOV. В этом случае можно определить пару обратных функций , (3.1.3) отображающих в D. Предположим также, что функции u, v, x и y имеют непрерывные частные производные. Вычислим определитель , который называется якобианом системы функций (3.1.3). При соблюдении всех вышеизложенных условий возможна замена переменных в двойном интеграле (3.1.1) и будет справедлива формула: . (3.1.4) Формула (3.1.4) остается справедливой и в том случае, когда взаимно однозначное соответствие между D и , а также непрерывность функций (3.1.2) и (3.1.3) и их частных производных нарушаются в отдельных точках или вдоль отдельных кривых. 3.2. Двойной интеграл в полярной системе координат Иногда приходится прибегать к замене переменных в двойном интеграле для того, чтобы упростить его вычисление. В полярной системе координат положение точки M на плоскости определяется парой чисел , где  – это расстояние от точки M до начала координат O, а  – угол между положительным направлением оси OX и отрезком OM. Заметим, что , . Рис. 3.2.1. Из рисунка видно, что . Вычислим якобиан этой системы функций. Двойной интеграл в полярной системе координат вычисляется по формуле: . 4. Некоторые геометрические и физические приложения двойных интегралов 4.1. Вычисление объемов криволинейных цилиндров Как было сказано ранее, с помощью двойных интегралов можно вычислять объемы криволинейных цилиндров. Напомним, что , где  – криволинейный цилиндр, ограниченный сверху поверхностью , с боков – цилиндрической поверхностью, направляющей которой является граница области D, снизу – плоскостью XOY. Пример 4.1.1. Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями , , , . Рис. 4.1.1. 4.2. Вычисление площади плоских фигур Напомним, что с помощью двойных интегралов можно вычислять площади плоских фигур: . Пример 4.2.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и . Решение. Рис. 4.2.1. Найдем сначала аналитически точки пересечения линий: , , , , . С помощью двойных интегралов можно вычислять площади поверхностей по формуле: , где S – площадь куска поверхности , вырезанного цилиндром, направляющей которого является граница области D. С помощью двойных интегралов можно вычислять массы пластинок с непрерывной плотностью : . С помощью двойных интегралов можно также вычислять координаты центров масс, моменты инерции плоских пластинок и т.д.