Доверительные интервалы

1 Лекция 7. 19.01.21 Тема. Доверительные интервалы. 1. Вычисление доверительного интервала c заданной доверительной вероятностью для неизвестного математического ожидания нормального распределения по выборке объёма n . Теоретические сведения и примеры. Пусть 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 − выборка объёма 𝑛 из нормального (гауссовского) закона распределения, т.е. 𝑋𝑖 ~ 𝑁(𝑚; 𝜎 2 ), 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Нужно найти интервал 𝐼𝛾 , который с заданной вероятностью γ накрывает неизвестное среднее значение 𝑚 = 𝐸𝑋, т.е. 𝑃(𝑚 ∈ 𝐼𝛾 )= γ. Такой интервал называется доверительным интервалом с доверительной вероятностью γ. В качестве доверительной вероятности γ выбираем величину, близкую к 1 (например, 0,9; 0.95; 0,99 и др.). 1) Предположим, что дисперсия 𝜎 2 известна. Оценкой (точечной) для неизвестного математического ожидания 𝑚 является выборочное среднее 𝑋. Тогда 𝑋~ 𝑁(𝑚; 𝜎2 ) 𝑛 и случайная величина 𝑍 = 𝑋−𝑚 2 √𝜎 𝑛 = (𝑋−𝑚) 𝜎 √𝑛 ~ 𝑁(0; 1), т.е. имеет стандартное нормальное распределение. Найдём такой интервал (𝑞1 , 𝑞2 ) , при котором вероятность того, что 𝑍 принадлежит этому интервалу, равна заданной вероятности γ, т.е. 𝑃(𝑞1 < 𝑍 < 𝑞2 ) = 𝛾. Плотность распределения 1 √2𝜋 случайной величины (она такая: 𝑒− 𝑥 2 /2 симметрична относительно нуля. Нетрудно ) показать, что нужно выбрать интервал, симметричный относительно нуля, т.е. (−𝑞; 𝑞). Тогда при одной и той же заданной вероятности 𝛾 такой интервал будет иметь меньшую длину, чем любой другой интервал (𝑞1 ; 𝑞2 ). Значит нужно найти такое значение 𝑞, чтобы 𝑃(−𝑞 < 𝑍 < 𝑞) = 𝛾. Обозначим 𝛼 = 1 − 𝛾. Тогда, т.к. распределение симметрично относительно нуля, 𝛼 2 то 𝑃(𝑍 ≤ −𝑞) = 𝑃(𝑍 ≥ 𝑞) = . 𝑃(𝑍 ≥ 𝑞) = 𝛼 2 Величина 𝑞 является верхней 𝛼 2 𝛼 2 - процентной точкой, т.к. 𝛼 2 или 𝑃(𝑍 < 𝑞) = 1 − , что означает, что 𝑞 является квантилью уровня (1 − ) стандартного нормального распределения и обозначается 𝑞 = 𝑧1−𝛼/2 . Тогда 𝑃(−𝑧1−𝛼/2 < 𝑍 < 𝑧1−𝛼/2 ) = 𝑃 (−𝑧1−𝛼/2 < 𝜎 √𝑛 𝑋−𝑚 𝜎 √𝑛 < 𝑧1−𝛼/2 ) = γ. 𝜎 √𝑛 Значит 𝑃 (𝑋 − 𝑧1−𝛼/2 ∙ ( ) < 𝑚 < 𝑋 + 𝑧1−𝛼/2 ∙ ( )) = γ. Таким образом, найдём по таблице стандартного нормального распределения квантиль 𝑧1−𝛼/2 , а 𝜎 √𝑛 затем половину длины доверительного интервала, которую обозначим через 𝜀 = 𝑧1−𝛼/2 ∙ ( ). Тогда доверительный интервал с уровнем доверия γ есть 𝐼γ = (𝑋 − 𝜀; 𝑋 + 𝜀), т.е. 𝜎 √𝑛 𝑃(𝑚 ∈ 𝐼γ ) = 𝑃(𝑋 − 𝜀 < 𝑚 < 𝑋 + 𝜀) = γ, где 𝜀 = 𝑧1−𝛼/2 ∙ ( ). Отметим, что, если объём выборки 𝑛 увеличивается, то 𝜀 уменьшается; если увеличивается стандартное отклонение 𝜎, то 𝜀 увеличивается ; если увеличивается доверительная вероятность γ, то 𝜀 увеличивается. 2) Обычно 𝑆2 = дисперсия 2 2 𝜎2 (𝑋1 −𝑋) +(𝑋2 −𝑋) …+(𝑋𝑛−𝑋) 𝑛−1 не известна. Тогда по выборке 2 . По теории случайная величина 𝑇𝑛−1 = √𝑛 ∙ мы (𝑋−𝑚) 𝑆 её оценим так: 2 2 2 2 (𝑋1 −𝑋) +(𝑋2 −𝑋) …+(𝑋𝑛 −𝑋) (здесь 𝑆 = √ 𝑛−1 − выборочное стандартное отклонение) имеет распределение Стьюдента с (𝑛 − 1) степенями свободы. Это известный закон распределения. В этом случае вместо квантили стандартного нормального распределения нужно будет найти квантиль другого распределения, а именно распределения Стьюдента. Распределение Стьюдента с 𝑘 степенями свободы имеет следующая случайная величина: 𝑇𝑘 = 𝑍0 1 𝑘 √ (𝑍12 +𝑍22 +⋯+𝑍𝑘2 ) 𝑍0 = 1 𝑘 √ ∑𝑘𝑖=1 𝑍𝑖2 , где 𝑍0 , 𝑍1 , … , 𝑍𝑘 − независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение 𝑁(0; 1). Плотность этого распределения симметрична относительно нуля. При большом числе степеней свободы 𝑘 эта плотность близка к плотности стандартного нормального распределения. Т.к. случайная величина 𝑇𝑛−1 = (𝑋−𝑚) 𝑆 √𝑛 имеет распределение Стьюдента с (𝑛 − 1) степенями свободы, то можно указать интервал, в котором с заданной вероятностью γ находится эта случайная величина, т.е. 𝑃(−𝑞 < 𝑇𝑛−1 < 𝑞) = 𝛾. Тогда 𝑃(𝑇𝑛−1 ≤ −𝑞) + 𝑃(𝑇𝑛−1 ≥ 𝑞) = 1 − 𝛾 = 𝛼. Т.к. плотность распределения Стьюдента симметрична относительно нуля, то 𝛼 2 𝛼 2 𝛼 2 𝑃(𝑇𝑛−1 ≤ −𝑞) = 𝑃(𝑇𝑛−1 ≥ 𝑞) = . Или 𝑃(𝑇𝑛−1 < 𝑞) = 1 − . Т.е. 𝑞 − квантиль уровня (1 − ) распределения Стьюдента с (𝑛 − 1) степенями свободы. Обозначим её так: 𝑞 = 𝑡𝑛−1;1− 𝛼/2 . Тогда 𝑃(−𝑡𝑛−1;1− 𝛼/2 < 𝑇𝑛−1 < 𝑡𝑛−1;1− 𝛼/2 ) = 𝛾 = 1 − 𝛼. Значит 𝑃 (−𝑡𝑛−1;1− 𝛼/2 < 𝑋−𝑚 𝑆 √𝑛 < 𝑡𝑛−1;1− 𝛼/2 ) = 1 − 𝛼 = 𝛾 или 𝑃(𝑋 − 𝜀 < 𝑚 < 𝑋 + 𝜀) = γ, где половина длины доверительного интервала 𝜀 находится так: 𝜀 = (𝑡𝑛−1;1− 𝛼/2 ) ∙ 𝑆 . √𝑛 𝛼 2 Коэффициент пропорциональности 𝑡𝑛−1;1− 𝛼/2 − это квантиль уровня (1 − ) для распределения 𝛼 2 Стьюдента с (𝑛 − 1) степенями свободы, т.е. такое значение, что 𝑃(𝑇𝑛−1 < 𝑡𝑛−1;1− 𝛼/2 ) = 1 − . Иначе эта величина 𝑡𝑛−1;1− 𝛼/2 вероятность равна 𝛼 2 есть верхняя 𝛼 2 -точка, т.е. это означает, что справа от неё 𝛼 2 , т.е. 𝑃(𝑇𝑛−1 ≥ 𝑡𝑛−1;1− 𝛼/2 ) = . Значение 𝑡𝑛−1;1− 𝛼/2 находится по таблице верхних процентных точек распределения Стьюдента. В этой таблице верхняя α -точка для распределения Стьюдента с 𝑘 степенями обозначается так: 𝑡(𝑘; 𝛼). Тогда в нашем случае в этих 𝛼 2 обозначениях 𝑡𝑛−1;1− 𝛼/2 = 𝑡 (𝑛 − 1; ). Таблица для нескольких α для распределения Стьюдента с 𝑘 степенями выложена в LMS. Также эта таблица записана в конце этого файла. 𝛼 2 Здесь 𝑡 (𝑛 − 1; ) − функция от двух аргументов, первый из которых есть число степеней свободы распределения Стьюдента, а второй – значение вероятности справа от этой точки. Значит, доверительный интервал для 𝑚 = 𝐸𝑋 с уровнем доверия γ есть: 𝐼𝛾 = (𝑋 − 𝜀; 𝑋 + 𝜀) 𝛼 2 при 𝜀 = 𝑡 (𝑛 − 1; ) ∙ 𝑆 √𝑛 . Это означает, что 𝑃(𝑋 − 𝜀 < 𝑚 < 𝑋 + 𝜀) = 𝛾 = 1 − 𝛼 . Пример. Мы хотим оценить, сколько времени студенты курса тратят на подготовку к контрольной работе. Случайным образом выбираем 25 студентов и по этой выборке вычисляем 𝑋 и 𝑆. Пусть вычисленные значения таковы: 𝑋 = 140 мин. и 𝑆 = 15 мин. Построим доверительный интервал с доверительной вероятностью 𝛾 = 0,95 для среднего генеральной совокупности. (Т.е. для генерального среднего студентов всего курса.) 3 𝛼 2 Найдём 𝜀 = 𝑡 (𝑛 − 1; ) ∙ 𝑆 √𝑛 . Здесь 𝑛 = 25; 𝛼 = 1 − 𝛾 = 0,05; 𝛼 2 = 0,025. По таблице верхних 𝛼 2 процентных точек распределения Стьюдента находим 𝑡 (𝑛 − 1; ) = 𝑡(24; 0,025) ≅ 2,064. На рис. изображена плотность распределения Стьюдента с 24 степенями свободы. 𝛼 2 Тогда 𝜀 = 𝑡 (𝑛 − 1; ) ∙ 𝑆 √𝑛 = 2,064 ∙ 15 √25 = 6,192 ≈ 6 мин. Значит доверительный интервал с уровнем доверия 𝛾 = 0,95 для среднего генеральной совокупности равен: 𝐼0,95 = (𝑋 − 𝜀; 𝑋 + 𝜀) ≈ (140 − 6; 140 + 6) = (134; 146). 2. Вычисление доверительного интервала c заданной доверительной вероятностью для неизвестной вероятности успеха в схеме испытаний Бернулли по выборке большого объёма n Теоретические сведения и примеры. Пусть 𝑋 – число успехов в n испытаниях Бернулли, p – вероятность успеха в одном испытании, 𝑞 = 1 − 𝑝. Тогда 𝑝̂ = 𝑋 𝑛 – относительная частота (доля) успехов, определённая по выборке объёма 𝑛. Это оценка неизвестной вероятности успеха 𝑝. При большом числе испытаний 𝑛 эта величина близка к неизвестному параметру 𝑝, т.е. 𝑝̂ ≈ 𝑝. Математически это означает, что для ∀ 𝜀 > 0 𝑃(|𝑝̂ − 𝑝| ≤ 𝜀) → 1 при 𝑛 → ∞ . (Такая сходимость называется сходимостью по вероятности.) Какова погрешность этой оценки? Нужно найти такое 𝜀, что 𝑃(|𝑝̂ − 𝑝| < 𝜀) = 𝑃(𝑝̂ − 𝜀 < 𝑝 < 𝑝̂ + 𝜀) = γ, где γ – заданная доверительная вероятность. Тогда интервал 𝐼𝛾 = (𝑝̂ − 𝜀; 𝑝̂ + 𝜀) с вероятностью γ накрывает неизвестную вероятность успеха 𝑝. Этот интервал называется доверительным интервалом с уровнем доверия γ. Обозначим 𝛼 = 1 − 𝛾. Поскольку по интегральной теореме Муавра-Лапласа при большом числе наблюдений случайная величина 𝑋 имеет распределение, близкое к нормальному: 𝑋 ≈ 𝑁(𝑛𝑝; 𝑛𝑝𝑞), то 𝑝̂ = 𝑋 𝑛 𝑝𝑞 ), 𝑛 𝑛𝑝𝑞 = 2 𝑛 ≈ 𝑁 (𝑝; 𝑋 𝑛 𝐷𝑝̂ = 𝐷 ( ) 𝑋 𝑛 т.к. по свойствам математического ожидания и дисперсии 𝐸𝑝̂ = 𝐸 ( ) = 𝑝 и = 𝑝𝑞 . 𝑛 Тогда 𝑝̂−𝑝 ̂̂ √𝑝𝑞 𝑛 ≈ 𝑁(0; 1) . 𝛼 2 Пусть 𝑧1− 𝛼/2 − квантиль уровня (1 − ) стандартного нормального закона (или ещё эту точку называют верхней Это означает, что для стандартной нормальной величины 𝑍 𝛼 2 –процентной точкой). 4 𝛼 2 𝑃(𝑍 < 𝑧1− 𝛼/2 ) = 𝛷(𝑧1− 𝛼/2 ) = 1 − , где 𝛷(𝑥) − функция распределения стандартного 𝛼 2 нормального закона. Или 𝑃(𝑍 ≥ 𝑧1− 𝛼/2 ) = . Следовательно, 𝑃 (−𝑧1− 𝛼/2 < 𝑝̂−𝑝 ̂𝑞 ̂ 𝑝 𝑛 √ < 𝑧1− 𝛼/2 ) ≈ 𝑃(−𝑧1− 𝛼/2 < 𝑍 < 𝑧1− 𝛼/2 ) = 𝛷(𝑧1− 𝛼/2 ) − 𝛷(−𝑧1− 𝛼/2 ) = 1 − 𝛼 = 𝛾. 𝑝̂𝑞̂ 𝑛 Тогда 𝑃(𝑝̂ − 𝜀 < 𝑝 < 𝑝̂ + 𝜀) ≈ 𝛾, где 𝜀 = 𝑧1− 𝛼/2 ∙ √ . Таким образом, половина длины доверительного интервала 𝜀 c доверительной вероятностью 𝑝̂𝑞̂ 𝑛 𝛾 = 1 − 𝛼 равна 𝜀 = 𝑧1− 𝛼/2 ∙ √ , а сам интервал 𝐼𝛾 = (𝑝̂ − 𝜀; 𝑝̂ + 𝜀). Пример. Обозначим через p долю жителей, доверяющих мэру некоторого города. Для оценивания этой доли был проведён социологический опрос: среди 400 случайно выбранных горожан 260 сказали, что доверяют мэру. Здесь 𝑛 = 400; 𝑋набл = 260. Тогда доля жителей, доверяющих мэру, подсчитанная по этой выборке, равна 𝑝̂ = 260 400 = 0,65. Эта величина является оценкой неизвестной доли p. Какова погрешность такой оценки? Найдём приближенный доверительный интервал (интервальную оценку) для p с уровнем доверия γ=0,95. Т.е. найдём такое 𝜀, что 𝑃(𝑝̂ − 𝜀 < 𝑝 < 𝑝̂ + 𝜀) ≈ 𝛾 = 0,95, а тогда доверительный интервал есть: 𝐼0,95 = (𝑝̂ − 𝜀; 𝑝̂ + 𝜀). Это означает, что 𝑃(𝑝 ∈ 𝐼0,95 ) ≈ 0,95. 𝑝̂𝑞̂ 𝑛 Вычислим 𝜀 = 𝑧1− 𝛼/2 ∙ √ . По таблице стандартного нормального закона при 𝛾 = 0,95 решая обратную задачу, находим 𝑧1− 𝛼/2 = 𝑧1− 0,05/2 = 𝑧0,975 = 1,96 (т.к. 𝛷(1,96) = 0,975, где 𝛷(𝑥) − функция распределения стандартного нормального закона). 𝑝̂𝑞̂ 𝑛 Тогда 𝜀 = 𝑧1− 𝛼/2 ∙ √ = 1,96 ∙ √ 0,65∙(1−0,65) 400 ≅ 0,047. Значит, 𝐼0,95 = (0,65 − 0,047; 0,65 + 0,047) = (0,603; 0,697). Это означает, что 𝑃(0,603 < 𝑝 < 0,697) ≈ 0,95. Или можно сказать, что процент жителей города, доверяющих мэру, равен 65% и при этом с вероятностью 0,95 погрешность такой оценки не превосходит 4,7%. Пример. В некотором городе был проведён выборочный репрезентативный опрос, при котором опрашиваемым был задан вопрос, оплачивают ли они “коммуналку” вовремя. Было опрошено 1200 человек. Из них 840 ответили утвердительно на этот вопрос. Найдите 98% доверительный интервал для доли горожан, вовремя оплачивающих “коммуналку”. Решение. 𝛾 = 0,98; 𝛼 = 1 − 𝛾 = 0,02; 𝑋набл = 840; 𝑝̂ = 𝜀 = 𝑧1− 𝛼/2 ∙ √ 840 1200 = 0,7; 𝑞̂ = 1 − 0,7 = 0,3; 𝑝̂ 𝑞̂ 𝛼 0,02 ; 𝛷(𝑧1− 𝛼/2 ) = 1 − = 1 − = 0,99 ⇒ 𝑧1− 𝛼/2 ≈ 2,33; 𝑛 2 2 5 𝜀 = 𝑧1− 𝛼/2 ∙ √ 𝑝̂ 𝑞̂ 0,7 ∙ 0,3 = 2,33 ∙ √ ≅ 0,031; 𝑛 1200 𝐼𝛾 = (𝑝̂ − 𝜀; 𝑝̂ + 𝜀) = (0,7 − 0,031; 0,7 + 0,031) = (0,669; 0,731). 𝑃(0,669 < 𝑝 < 0,731) ≈ 0,98. Нахождение объёма выборки, при котором с заданной вероятностью длина доверительного интервала не превосходит заданного значения. При социологическом, маркетинговом и др. исследованиях нужно задать объём выборки. Определим, какой объём выборки нужно задать, чтобы погрешность оценивания доли 𝑝 с помощью выборочной доли 𝑝̂ не превосходила заданную величину 𝜀 (𝜀 – это половина заданной Значение 𝜀 длины доверительного интервала). 𝑝̂𝑞̂ 𝑛 𝜀 = 𝑧1− 𝛼/2 ∙ √ таково: . Если бы была известна величина 𝑝̂ , то из этого уравнения мы бы нашли число испытаний 𝑛. Однако эта величина 𝑝̂ вычисляется уже после испытаний, она зависит от 𝑛. Поэтому найдём такое 𝑛, при 𝑝𝑞 𝑛 котором при любом значении 𝑝 величина 𝑧1− 𝛼/2 ∙ √ Тогда нужно найти 𝑛 из такого условия: не превосходит заданное значение 𝜀. 𝑝𝑞 𝑛 max 0≤𝑝≤1 (𝑧1− 𝛼/2 ∙ √ ) = 𝜀. Легко доказать, что ma𝑥(𝑝𝑞) = max 0<𝑝<1 (𝑝(1 − 𝑝)) достигается при 𝑝 = 0,5. 0≤𝑝≤1 Например, нарисуем график этой функции 𝑓(𝑝) = 𝑝(1 − 𝑝) = 𝑝 − 𝑝 2 на отрезке [0;1]: 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Или по-другому: найдём при каком 𝑝 функция 𝑓(𝑝) = 𝑝(1 − 𝑝) = 𝑝 − 𝑝2 принимает максимальное значение на отрезке [0;1]. 𝑓 ′ (𝑝) = 1 − 2𝑝 = 0 ⇒ 𝑝 = 0,5. При 𝑝 < 0,5 𝑓 ′ (𝑝) > 0, а при 𝑝 > 0,5 𝑓 ′ (𝑝) < 0. Таким образом, максимальное значение такой функции достигается при 𝑝 = 0,5. Тогда найдём 𝑛, подставив в формулу для 𝜀 вместо 𝑝 величину 0,5: 0,5∙0,5 𝑛 𝑧1− 𝛼/2 ∙ √ = 𝜀 ⇒ 𝑛={ ( 𝑧1− 𝛼/2 2 ) , если это число целое 2𝜀 𝑧1− 𝛼/2 2 [( 2𝜀 ) ] + 1, иначе где через [a] обозначена целая часть числа a. (Берём в качестве 𝑛 ближайшее целое, большее или равное величине ( выборочной доле 𝑝̂ . 𝑧1− 𝛼/2 2 2𝜀 ) .) Тогда при таком числе 𝑛 𝑃(|𝑝̂ − 𝑝| < 𝜀) ≥ 𝛾 при любой 6 Пример. Найдём объём наблюдений 𝑛, при котором с вероятностью 0,95 длина доверительного интервала для 𝑝 не превзойдёт величину 0,06 при любом значении выборочной доли 𝑝̂ . Применим выведенную формулу для 𝑛, подставив в неё 𝜀 = 0,03, которое является половиной заданной длины доверительного интервала и квантиль 𝑧1− 𝛼/2 = 𝑧0,975 = 1,96 при 1 − 𝛼/2 = 1 − 1−𝛾 2 = 0,975 : ( 𝑧1− 𝛼/2 2 1,96 2 ) =( ) ≅ 1067,11 2𝜀 2 ∙ 0,03 𝑛 = [1067,11] + 1 = 1068. 7 Верхние процентные точки распределения Стьюдента. Пусть 𝑇𝑘 − случайная величина, распределённая по Стьюденту с 𝑘 степенями свободы. Верхняя 𝛼 -процентная точка 𝑡(𝑘; 𝛼) определяется как решение уравнения: 𝑃(𝑇𝑘 ≥ 𝑡(𝑘; 𝛼)) = 𝛼. В таблице заданы значения 𝑡(𝑘; 𝛼) для нескольких значений 𝛼. В строке при 𝑘 = ∞ приведены соответствующие значения для стандартного нормального распределения. Пример использования таблицы. Пусть 𝑘 = 12, 𝛼 = 0,05. Тогда 𝑡(𝑘; 𝛼) = 𝑡(12; 0,05) = 1,7823. 𝑘 𝛼=0,1 𝛼=0,05 𝛼=0,025 𝛼=0,01 𝛼=0,005 𝛼=0,0025 1 3,0777 6,3138 12,7062 31,8205 63,6567 127,3213 2 1,8856 2,9200 4,3027 6,9646 9,9248 14,0890 3 1,6377 2,3534 3,1824 4,5407 5,8409 7,4533 4 1,5332 2,1318 2,7764 3,7469 4,6041 5,5976 5 1,4759 2,0150 2,5706 3,3649 4,0321 4,7733 6 1,4398 1,9432 2,4469 3,1427 3,7074 4,3168 7 1,4149 1,8946 2,3646 2,9980 3,4995 4,0293 8 1,3968 1,8595 2,3060 2,8965 3,3554 3,8325 9 1,3830 1,8331 2,2622 2,8214 3,2498 3,6897 10 1,3722 1,8125 2,2281 2,7638 3,1693 3,5814 11 1,3634 1,7959 2,2010 2,7181 3,1058 3,4966 12 1,3562 1,7823 2,1788 2,6810 3,0545 3,4284 13 1,3502 1,7709 2,1604 2,6503 3,0123 3,3725 14 1,3450 1,7613 2,1448 2,6245 2,9768 3,3257 15 1,3406 1,7531 2,1314 2,6025 2,9467 3,2860 16 1,3368 1,7459 2,1199 2,5835 2,9208 3,2520 17 1,3334 1,7396 2,1098 2,5669 2,8982 3,2224 18 1,3304 1,7341 2,1009 2,5524 2,8784 3,1966 19 1,3277 1,7291 2,0930 2,5395 2,8609 3,1737 20 1,3253 1,7247 2,0860 2,5280 2,8453 3,1534 21 1,3232 1,7207 2,0796 2,5176 2,8314 3,1352 22 1,3212 1,7171 2,0739 2,5083 2,8188 3,1188 23 1,3195 1,7139 2,0687 2,4999 2,8073 3,1040 24 1,3178 1,7109 2,0639 2,4922 2,7969 3,0905 25 1,3163 1,7081 2,0595 2,4851 2,7874 3,0782 26 1,3150 1,7056 2,0555 2,4786 2,7787 3,0669 27 1,3137 1,7033 2,0518 2,4727 2,7707 3,0565 28 1,3125 1,7011 2,0484 2,4671 2,7633 3,0469 29 1,3114 1,6991 2,0452 2,4620 2,7564 3,0380 30 1,3104 1,6973 2,0423 2,4573 2,7500 3,0298 31 1,3095 1,6955 2,0395 2,4528 2,7440 3,0221 32 1,3086 1,6939 2,0369 2,4487 2,7385 3,0149 8 33 1,3077 1,6924 2,0345 2,4448 2,7333 3,0082 34 1,3070 1,6909 2,0322 2,4411 2,7284 3,0020 35 1,3062 1,6896 2,0301 2,4377 2,7238 2,9960 36 1,3055 1,6883 2,0281 2,4345 2,7195 2,9905 37 1,3049 1,6871 2,0262 2,4314 2,7154 2,9852 38 1,3042 1,6860 2,0244 2,4286 2,7116 2,9803 39 1,3036 1,6849 2,0227 2,4258 2,7079 2,9756 40 1,3031 1,6839 2,0211 2,4233 2,7045 2,9712 41 1,3025 1,6829 2,0195 2,4208 2,7012 2,9670 42 1,3020 1,6820 2,0181 2,4185 2,6981 2,9630 43 1,3016 1,6811 2,0167 2,4163 2,6951 2,9592 44 1,3011 1,6802 2,0154 2,4141 2,6923 2,9555 45 1,3006 1,6794 2,0141 2,4121 2,6896 2,9521 46 1,3002 1,6787 2,0129 2,4102 2,6870 2,9488 47 1,2998 1,6779 2,0117 2,4083 2,6846 2,9456 48 1,2994 1,6772 2,0106 2,4066 2,6822 2,9426 49 1,2991 1,6766 2,0096 2,4049 2,6800 2,9397 50 1,2987 1,6759 2,0086 2,4033 2,6778 2,9370 55 1,2971 1,6730 2,0040 2,3961 2,6682 2,9247 60 1,2958 1,6706 2,0003 2,3901 2,6603 2,9146 65 1,2947 1,6686 1,9971 2,3851 2,6536 2,9060 70 1,2938 1,6669 1,9944 2,3808 2,6479 2,8987 80 1,2922 1,6641 1,9901 2,3739 2,6387 2,8870 90 1,2910 1,6620 1,9867 2,3685 2,6316 2,8779 100 1,2901 1,6602 1,9840 2,3642 2,6259 2,8707 110 1,2893 1,6588 1,9818 2,3607 2,6213 2,8648 120 1,2886 1,6577 1,9799 2,3578 2,6174 2,8599 130 1,2881 1,6567 1,9784 2,3554 2,6142 2,8557 140 1,2876 1,6558 1,9771 2,3533 2,6114 2,8522 150 1,2872 1,6551 1,9759 2,3515 2,6090 2,8492 200 1,2858 1,6525 1,9719 2,3451 2,6006 2,8385 250 1,2849 1,6510 1,9695 2,3414 2,5956 2,8322 300 1,2844 1,6499 1,9679 2,3388 2,5923 2,8279 400 1,2837 1,6487 1,9659 2,3357 2,5882 2,8227 500 1,2832 1,6479 1,9647 2,3338 2,5857 2,8195 ∞ 1,2816 1,6449 1,9600 2,3263 2,5758 2,8070