Дивергенция. Теорема Остроградского-Гаусса

Лекция 3. Дивергенция. Теорема Остроградского-Гаусса 3.1. Силовые линии и поток вектора. Желая исследовать какоелибо векторное поле, мы можем выделить определенный объем V и Рис. 3.1 сосредоточить внимание на картине силовых линий в этом объеме. На рис. 3.1 изображено несколько характерных типов расположения силовых линий, которые, возможно, при этом встретятся (пунктиром изображена граница S области V). Как видно, в одном из случаев внутри объема находится «источник» силовых линий (рис. 3.1а) либо «cток» (рис. 3.16), т. е. линии выходят из V или, соответственно, входят в V через границу S. Но силовые линии могут также пронизывать V насквозь, не начинаясь и не кончаясь в этой области (рис. 3.1е). Наконец, замкнутые силовые линии могут совершенно не пересекать границу S (рис. 3.1г). Вообще, когда задана векторная функция и изучается соответствующее векторное поле, закономерен вопрос, является ли некоторая точка Р источником (стоком) или не является. На такой вопрос, как будет видно, легко ответить аналитически, не прибегая к помощи графики. Начнем с понятия потока вектора. Потоком вектора F через границу (поверхность) S называется интеграл (3.1) ∫ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗, где векторный дифференциал поверхности ⃗⃗⃗⃗⃗ понимается как произведение обычного дифференциала ds на единичный вектор нормали ⃗ к поверхности, т.е. ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; положительной считают внешнюю нормаль (что для замкнутой поверхности определяется однозначно). Процесс получения подынтегрального выражения при вычислении потока вектора поясняет рис. 3.2. Подынтегральное выражение, будучи скалярным произведением двух векторов, положительно, когда угол между ними острый, и отрицательно при тупом угле. Рис 3 2 Поэтому поток вектора обязательно положителен, если все силовые линии выходят через рассматриваемую поверхность наружу (образуя острый угол с еѐ внешней нормалью), как, например, на рис. 3.1а, и отрицателен, когда они входят внутрь (рис. 3.16). В случае замкнутой поверхности S обычно пишут: (3.1а) ∮ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ Покажем, что поток вектора ⃗ через поверхность S можно измерять числом пересекающих еѐ силовых линий при условии, что их густота характеризует интенсивность поля. Рассмотрим сначала векторный элемент поверхности ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ (элемент площади Δs на рис. 3.2 заштрихован). Элементарный поток ΔФ, проходящий через Δs, равен ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , (3.2) где - проекция векторного элемента ⃗⃗⃗⃗⃗⃗на направление вектора ⃗ Как видно из рис. 3.2, представляет собой площадку, через которую под прямым углом проходят все силовые линии вектора ⃗ , пересекающие элемент Δs; число их обозначим ΔN. Густота силовых линий характеризуется отношением ΔN/ , а по условию последнее должно быть пропорционально абсолютному значению F вектора ⃗ , т. е. , (3.3) (k - коэффициент пропорциональности). Таким образом, согласно (3.2) и (3.3) , (3.4) т. е. элементарный поток измеряется числом силовых линий, проходящих через соответствующий элемент поверхности. Складывая потоки элементарных площадок, на которые разбита поверхность S, находим: . (3.5) Следовательно, полный поток Ф вектора ⃗ через поверхность S измеряется числом N силовых линий, еѐ пересекающих, что и требовалось показать. При этом число выходящих силовых линий считается положительным, а число входящих - отрицательным. Наконец, необходимо ещѐ одно замечание. Соотношение (3.5) мы будем рассматривать как точное, хотя практически точность выражения потока числом силовых линий зависит от степени грубости построенной картины. В сущности, формула (3.5) может рассматриваться как точная, если число силовых линий, отнесенных к единице площади, условно считается непрерывной функцией, приращения заменяются дифференциалами, а суммирование потока по элементам интегрированием. 3.2. Дивергенция. По определению, дивергенция вектора ⃗ , обозначаемая символом div ⃗ , выражается следующим предельным соотношением: ⃗ (3.6) ∮ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ где под S понимается замкнутая поверхность, ограничивающая ΔV. Для иллюстрации введенного понятия обратимся к рис. 3.3. Положим, что поток вектора ⃗ через S для рассматриваемого случая равен Ф, Ф > 0. Одновременно он измеряется числом выходящих через S силовых линий. Поэтому, если предельный переход в (3.6) производить, стягивая S вокруг точки Р (рис. 3.3а), из которой силовые линии выходят, то как бы ни уменьшался объем, поток через его границу останется равным Ф. В пределе при ΔV → 0 получим ⃗ в точке Р. Если же, стягивая S, мы обойдем точку Р (рис. 3.36), то, начиная с этого момента, число силовых линий, входящих в ΔV, окажется равным числу линий выходящих. Следовательно, понимая предельный переход в (3.6) как стягивание S к любой из точек, не совпадающих с Р, будем иметь: ⃗ вне точки Р. Рис. 3.3 Очевидно, если бы вместо поля с точечным источником мы рассмотрели поле с подобным же стоком (см. рис. 3.1б), то расхождение везде было бы равно нулю, кроме одной точки, в которой оно имело бы отрицательное значение. В полях же без источников и стоков (рис. 3.1, в, г), расхождение ⃗ равно нулю во всех точках. Поля с нулевым расхождением называются соленоидальными; их силовые линии нигде не начинаются и не кончаются: они или замкнуты, или уходят в бесконечность (они могут также оканчиваться на границе области, в которой задано векторное поле). Из определения оператора дивергенции следует его физический смысл: это растекание физической величины, еѐ расхождение. 3.3. Дивергенция в декартовых координатах. От общего определения дивергенции (3.6) можно перейти к еѐ дифференциальному ⃗ в выражению в декартовой системе координат. Для нахождения некоторой точке М(х, у, z) проведѐм через неѐ координатные линии и построим, как это показано на рис. 3.5, элементарный параллелепипед. Теперь надо вычислить поток вектора ⃗ через поверхность этого параллелепипеда. Очевидно, полный поток Ф можно разбить на три части (Ф = Ф1 + Ф2 + Ф3), каждая из которых соответствует двум противоположным граням. Так, Ф1 - это поток через грань 1 и противоположную ей грань 1' (невидимую на рис.). Чем меньше грань, тем с большим основанием при вычислении потока можно заменять интеграл (3.1) приближенным выражением ⃗ ⃗ Рис. 3.5 (ΔS-площадь грани, - поток через неѐ). Поступая так, учтѐм, что на гранях 1 и 1' - единичный вектор внешней нормали равен ⃗⃗ ⃗⃗ соответственно, а ΔS = ΔyΔz. Таким образом, [ ( ) ( )] . ) через Заменив ( ( ) ( ) найдем: , и точно также: Согласно (3.6) в точке М(х, у, z) ⃗ ( ) (в пределе приближѐнные выражения становятся точными), т. е. ⃗ (3.7) 3.4. Теорема Остроградского-Гаусса. В заключение получим важное соотношение, которое составляет содержание теоремы Остроградского- Рис. 3.6 Гаусса. Рассматривая объем V с граничной поверхностью S (рис. 3.6), разобьѐм его на элементы ΔVi .Каждый из этих элементарных объѐмов может быть настолько мал, что ошибка определения дивергенции вектора ⃗ внутри ΔVi по приближенной формуле ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ () ∮ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ в ΔVi) вместо (3.6) будет меньше некоторой наперѐд заданной (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) есть величины. Поэтому справедливо: | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ () ∮ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗| где ε -как угодно малая положительная величина, соответственно которой выбран размер ΔVi. Полагая, что неравенство (с данным ε) выполнено дли каждого элемента, произведѐм суммирование по i, которое даст: |∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ () ∮ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗| Дело в том, что поверхностные интегралы по всем внутренним границам, разделяющим смежные элементы ΔVi, взаимно уничтожаются: на каждой общей границе (см. рис. 3.6) нормали для двух соседних элементов противоположны. Поэтому остаются лишь поверхностные интегралы по тем частям поверхностей элементов, которые составляют внешнюю границу S. Переходя в пределе при N→∞ (бесконечное «измельчение» элементов ΔVi) от суммы к интегралу и учитывая произвольную малость ε, получаем соотношение: ⃗ (3.8) ∫ ∫ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ Это и есть формулировка теоремы Остроградского-Гаусса, согласно которой объѐмный интеграл от дивергенции вектора равен потоку этого вектора через замкнутую граничную поверхность. 4. Ротор. Теорема Стокса 4.1. Ротор. В 1.2 было показано, что для полей потенциальных циркуляция при однозначности потенциала равна нулю (п. 4). Однако в общем случае циркуляция вектора ⃗ по некоторому контуру L не должна обязательно быть равной нулю. Подобно потоку вектора, циркуляция также может быть использована для локальной характеристики поля. При этом возникает понятие ротора вектора ⃗ , обозначаемого символом rot ⃗ . По определению, rot ⃗ есть вектор, проекция которого на произвольное направление ⃗⃗ выражается следующим образом: ⃗ (4.1) ∫ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ где ΔS - площадка, выбранная так, что ⃗⃗ есть нормаль к ней, a L - контур этой площадки, направление обхода которого при интегрировании составляет с нормалью правовинтовую систему (если смотреть вдоль нормали, то обход производится по часовой стрелке). 4.2. Ротор в декартовых координатах. Как и дивергенцию, ротор вектора нетрудно представить в виде дифференциального выражения в декартовой системе координат. Обратимся к рис. 4.1, на котором через произвольную точку М(х, у, z) проведены три координатные линии и построены элементарные площадки, лежащие в координатных плоскостях. ⃗ на ось х, мы должны вычислить Желая сначала найти проекцию вектора циркуляцию вектора F по контуру первой площадки и перейти к пределу согласно (4.1). Действия при этом похожи на производившиеся в преыдущем разделе. Итак, на основании (4.1) ⃗ {[ [ ( ( ) ) ( ( ( )] )] } ) Таким образом, ⃗ Совершенно аналогично получаем: ⃗ (4.2a) , (4.2б) . (4.2в) и ⃗ Эти три равенства удобно объединяются в форме определителя: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ | | (4.3) Нетрудно показать, что потенциальные поля являются обязательно ⃗ «безвихревыми», т. е. для всякого вектора ⃗ будет . Чтобы проверить тождество , (4.4) достаточно рассмотреть какую-либо одну его проекцию. Так, составляя по формулам (4.2а) и (2.4а) проекцию этого вектора на ось х, имеем: . Другой важный факт заключается в том, что дивергенция вихревого поля тождественно равна нулю, т. е. такое векторное поле соленоидально (3.2): ⃗ . (4.5) Действительно, ( ) ( ) ( ) Из определения ротора, его можно трактовать в физическом смысле как вихрь. 4.3. Теорема Стокса. Перейдем, наконец, к теореме Стокса, содержание которой выражается равенством: ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∮ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ , (4.6) ∫ где S - некоторая поверхность, a L - еѐ контур, направление обхода которого при интегрировании согласовано с направлением положительной нормали к S, как и ранее. Согласно теореме Стокса, поток ротора некоторого вектора F через поверхность S равен циркуляции самого вектора по соответствующему контуру L. Чтобы убедиться в справедливости теоремы Стокса, разобьем произвольную поверхность S на достаточно малые элементарные площадки Δsi (рис. 4.3) и для определения ротора ⃗ внутри Δsi воспользуемся приближѐнным соотношением ⃗( ) ∫ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ⃗( ) есть ⃗ внутри Δsi) вместо (4.1). Поскольку точность этого равенства может быть как угодно велика (достаточно лишь взять соответственно малые размеры элемента Δsi), то | ⃗( ) ∫ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ | где ε – наперѐд заданная сколь угодно малая положительная величина. ⃗ Рис. 4.3 Выбрав все элементы достаточно малыми, произведѐм суммирование по i и получим: ∫ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ | ⃗( ) |∑ где фигурирует циркуляция ⃗ по граничному контуру L всей поверхности S, поскольку при суммировании части циркуляции по общим границам смежных элементов взаимно уничтожались; действительно, как видно из рис. 4.3, направления обходов общих участков границ смежных элементов противоположны. Неограниченно измельчая все элементы и переходя соответственно этому от суммы к интегралу (N→∞), а также учитывая произвольную малость ε, приходим от предыдущего равенства к формулировке теоремы Стокса (4.6). 5. Некоторые соотношения векторного анализа 5.1. Оператор Гамильтона. В векторном анализе широко используется так называемый оператор Гамильтона «набла» ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (5.2) Это символическое обозначение дифференциальной операции, которую можно произвести как над скалярной, так и над векторной функцией. В первом случае имеем: ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ т. е. ⃗⃗ (5.3) Что касается действия ⃗⃗ на вектор, то здесь существенна векторная структура самого оператора, позволяющая понимать это действие двояко. Во-первых, очевидно, ⃗⃗ ⃗ можно строить по формальному правилу составления скалярного произведения двух векторов (1.4), принимая операторы дифференцирования д/дх, д/ду и д/дz за компоненты вектора. Это дает: ⃗⃗ ⃗ Как видно, ⃗⃗ ⃗ ⃗. (5.4) Но можно рассматривать и «векторное произведение» оператора ⃗⃗ на вектор ⃗ : ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ || || что даѐт ротор вектора: ⃗⃗ ⃗ ⃗. (5.5) Оператор Гамильтона является, таким образом, удобным средством представления операций векторного анализа. При выполнении различных действий его следует понимать как вектороподобный комплекс обычных дифференциальных операторов д/дх, д/ду и д/дz. Однако, обращаясь с ⃗⃗ формально как с вектором, надо помнить, что не имеет смысла дописывание этого оператора справа (например, ⃗⃗ или ⃗ ⃗⃗), поскольку бессмысленны выражения типа в отличие от . Пользуясь формулами (3.7) и (2.5), нетрудно образовать дивергенцию градиента некоторой скалярной функции: (5.6) Запишем это с использованием оператора Гамильтона: (5.6а) Оператор (его обозначают также Δ) называется оператором Лапласа. Это один из важнейших операторов математической физики. Он применяется и к векторным функциям, при этом ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ . (5.7) 5.2. Тождества векторного анализа. В § 4 п. 3 были получены два важных тождества векторного анализа (4.4) и (4.5), т. е. равенства, справедливые для любых функций, к которым их применение осмысленно (в данном случае требуется существование частных производных второго порядка) и компонент ⃗ . Запишем ещѐ некоторые тождества, часто применяемые в теории электромагнетизма. Следующие четыре тождества векторного анализа имеют значение правил дифференцирования произведения функций: , (5.8) ⃗ ⃗ ⃗ , (5.9) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( ⃗ ⃗) (5.10) ⃗ ⃗ ( ⃗ ). (5.11) Вывод их весьма прост с использованием векторного дифференциального оператора «набла». При этом необходимо использовать обычные правила дифференцирования произведения. Например, ⃗ ⃗⃗( ⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗( ⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗( ⃗ ) ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ Здесь индексы операторов «набла» условно показывают, на который из двух сомножителей они действуют. В последующем эти индексы опущены за ненадобностью. Ещѐ одно часто используемое тождество имеет вид: ⃗ ⃗ ⃗ (5.12) Его можно получить, в частности, из формулы (1.9) при помощи оператора Гамильтона, соблюдая правила применения последнего. Перепишем сначала (1.9) в виде: ⃗ ( ⃗⃗ ⃗) ⃗⃗( ⃗ ⃗) ( ⃗ ⃗⃗) ⃗ (существен порядок сомножителей скалярных произведений). Полагая теперь ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ , имеем: ⃗⃗ (⃗⃗ ⃗ ) ⃗⃗(⃗⃗ ⃗ ) ⃗, что совпадает с (5.12), если учесть (5.3) и (5.4). С помощью оператора Гамильтона легко доказываются также другие полученные ранее тождества (4.4), (4.5): ⃗ ⃗⃗ (⃗⃗ ) ⃗⃗(⃗⃗ ⃗) Последнее равенство можно трактовать физически так: «вихрь не растекается».