Дискретные случайные величины

Случайные величины Дискретные случайные величины Закон распределения дискретной случайной величины Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать любые заранее неизвестные значения. Дискретной случайной величиной называется величина, значения которой конечное множество фиксированных величин. Для описания поведения дискретной случайной величины задают все значения , которые она может принять, и вероятности появления этих значений . Законом распределения вероятностей (рядом распределения) дискретной случайной величины называется последовательность возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей, причем : … … Ряд распределения можно задать графически, откладывая на оси абсцисс значения , а на оси ординат – соответствующие значения вероятностей и соеденяя их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения. Для дискретной случайной величины можно ввести понятие функции распределения , которая равна вероятности случайного события, состоящего в том, что дискретная случайная величина примет одно из возможных значений, меньших некоторого значения т.е. . Если дискретные значения случайной величины расположены в порядке возрастания , то можно задать в виде: Графически функция распределения представляется в виде ступенчатой функции: Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины - числа появления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна ; вероятность возможного значения , где - число появления события , вычисляют по формуле Бернулли. Случайная величина называется распределенной по закону Пуассона, если число испытаний - велико, а вероятность появления события в каждом испытании очень мала. Вероятность возможного значения , где - число появления события , вычисляют по формуле Пуассона. Пример: Среди 10 новых автомобилей 4 имеют заводской дефект. Наудачу выбираются 2 автомобиля. Написать закон распределения вероятностей числа автомобилей, имеющих дефект среди выбранных. Решение: Пусть случайная величина автомобилей, имеющих дефект среди выбранных 2 автомобилей. Случайная величина может принимать значения , , . Для определения вероятности появления каждого из этих значений воспользуемся формулой: . Где - число автомобилей, имеющих дефект среди наудачу выбранных автомобилей; - всего имеющихся автомобилей; - число автомобилей, имеющих дефект среди всех 10 автомобилей. Вычисляем вероятности: ; ; . Значит, закон распределения имеет вид: 1 2 Ответ: см. таблицу. Числовые характеристики дискретных случайных величин Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма вида: , где - возможные значения дискретной случайной величины; - вероятность появления значения . Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины. Свойства математического ожидания: 1. , где - произвольная постоянная. 2. , если - взаимно независимые случайные величины. 3. . 4. , где - дискретная случайная величина; - число испытаний в биномиальном законе распределения; - вероятность появления события в одном испытании. Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: . Дисперсию можно вычислять так же по формуле . Свойства дисперсии: 1. ; , где - произвольная постоянная. 2. , где - независимые случайные величины. 3. , где - дискретная случайная величина с биномиальным законом распределения; - число испытаний; - вероятность появления события в одном испытании; - вероятность не появления события в одном испытании. 4. , где - среднее квадратичное отклонение. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение характеризуют рассеяние случайной величины около среднего значения. Начальным теоретическим моментом порядка случайной величины называется математическое ожидание величины : . Центральным моментом порядка случайной величины называется математическое ожидание величины : . Пример: Два завода, выпускающие пылесосы, поставляют продукцию в магазин в пропорции 2:3. Доля продукции высшего качества на первом заводе составляет 85%, а на втором 95%. В магазине куплено 5 пылесосов. Найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа качественных пылесосов. Решение: Составим закон распределения случайной величины - числа качественных пылесосов среди купленных пяти пылесосов. Вероятность появления события - куплен качественный пылесос – найдем по формуле полной вероятности: . Закон распределения случайной величины определим по формуле Бернулли: . Случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5. Закон ее распределения с учетом того, что , примет вид: ; ; ; ; ; . 1 2 3 4 5 0,00001 0,00029 0,0057 0,061 0,309 0,624 Тогда ; ; . Ответ: , . Решить следующую задачу: Биатлонист стреляет по мишени (5 выстрелов) вероятность попадания при одном выстреле 0,75. Написать закон распределения случайной величины числа попаданий биатлониста по мишени, построить многоугольник распределения, найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение числа попаданий. Использовать формулу Бернулли. Выполненное задание отправить через ЭОС.