Дискретные системы; виды модуляций; синтез систем с фиксированной структурой

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра автоматизации технологических процессов и производств Конспект лекций Часть 2 По дисциплине «Теория автоматического управления» для студентов направления специальности 1 – 40 05 01 Информационные системы и технологии (пищевая промышленность) Могилев 2019 1 СОСТАВИТЕЛЬ: Евгения Львовна Волынская, доцент кафедры автоматизации технологических процессов и производств учреждения образования «Могилевский государственный университет продовольствия», к.т.н., доцент РЕЦЕНЗЕНТЫ: Сергей Николаевич «Могилевхимволокно» Адамов, начальник цеха КИПиА ОАО Михаил Михайлович Кожевников, заведующий кафедрой автоматизации технологических процессов и производств учреждения образования «Могилевский государственный университет продовольствия», к.т.н., доцент. РЕКОМЕНДОВАН К УТВЕРЖДЕНИЮ: Кафедрой автоматизация технологических процессов и производств протокол № 5 от 05 декабря 2019 г. Заведующий кафедрой к.т.н., доцент М.М. Кожевников Научно-методическим советом учреждения государственный университет продовольствия» протокол № 4 от 04.02.2020 г. Председатель НМС, к.т.н., доцент образования «Могилевский А.С. Носиков 2 Содержание Импульсные системы. Виды модуляций…………………………. Решетчатые функции и z-преобразование………………………. Определение z-преобразования………………………………….. Основные свойства z-преобразования…………………………… Уравнения и передаточные функции дискретных систем……… Преобразование структурных схем дискретных систем……….. Дискретное преобразование Лапласа и частотные характеристики.. Связь между дискретным и непрерывным преобразованием Лапласа и непрерывная модель дискретной системы……………… 6.1 Связь между дискретным преобразованием и непрерывным преобразованиями Лапласа…………………………………………. 6.2 Непрерывная часть дискретной системы…………………………… 7 Устойчивость дискретных систем…………………………………….. 7.1 Характеристическое уравнение и основное условие устойчивости 7.2 Алгебраические критерии устойчивости…………………………… 7.3 Частотный критерий устойчивости………………………………….. 8 Влияние периода квантования на устойчивость……………………. 9 Оценка качества дискретных систем………………………………….. 9.1 Показатели качества в переходном режиме………………………… 9.1.1 Прямые показатели качества………………………………………… 9.1.2 Косвенные показатели качества……………………………………… 9.1.3 Особенности переходного процесса дискретных систем…………. 9.2 Показатели качества в установившемся режиме…………………….. 9.3 Статические и астатические системы………………………………. 10 Синтез дискретных систем…………………………………………… 10.1 Постановка задачи синтеза. Типовые законы управления…………... 10.2 Синтез систем с фиксированной структурой……………………….. 10.3 Метод полиноминальных уравнений………………………………. 10.4 Синтез дискретной системы по непрерывной модели……………… Список использованных источников 1 2 2.1 2.2 3 4 5 6 3 С. 4 5 6 7 9 11 14 15 15 16 18 18 20 21 24 26 26 26 28 29 30 31 33 33 34 36 39 41 1. Дискретные системы. Виды модуляций. Система управления называется дискретной, если она содержит дискретный элемент. Элемент называется дискретным, если его выходной сигнал квантовано по времени или по уровню. Говорят, что сигнал квантован по времени, если он представляет собой последовательность импульсов, и квантован по уровню, если он принимает дискретные значения, т.е. значения, кратные некоторой минимальной величине, называемой уровнем квантования и квантом. Дискретные системы разделяются на импульсные и цифровые. Система управления называется импульсной, если она содержит импульсный элемент – дискретный элемент, преобразующий непрерывный сигнал в импульсный, т.е. в последовательность импульсов. На выходе импульсного элемента сигнал квантован по времени. Система управления называется цифровой, если она содержит цифровое устройство. На выходе цифрового устройства сигнал квантован по уровню и по времени. Остановимся на характеристике импульсов и импульсной модуляции. Импульсом длительности Ти называется сигнал (физическая величина), который описывается функцией, не обращающейся в нуль только на некотором конечном интервале времени длительности Ти. По форме различают прямоугольные, треугольные, синусоидальные (рисунок 1.1) и другие импульсы. Они характеризуются шириной (длительностью) Ти и амплитудой (высотой) Аи. Последовательность импульсов, помимо указанных параметров, еще характеризуется периодом следования\импульсов Т0 и относительной длительностью = Ти / Т0 (рисунок 1.2). а) б) в) Рисунок 1.1 – Формы импульса: а) – прямоугольный импульс; б) – треугольный импульс; в) – синусоидальный импульс В импульсном элементе происходит модуляция, т.е. в соответствии с входным сигналом изменяется один из параметров последовательности импульсов на выходе. В зависимости от того, какой параметр изменяется, различают амплитудно-импульсную модуляцию (АИМ), широтно-импульсную (ШИМ) и другие. 4 Рисунок 1.2 – Последовательность импульсов При АИМ изменяется амплитуда Аи, а при ШИМ – ширина (длительность) импульса. Импульсный элемент, осуществляющий амплитудноимпульсную модуляцию, называют АИМ-элементом, а импульсный элемент, осуществляющий широтно-импульсную модуляцию, называют ШИМ-системой управления. Различают импульсную модуляцию 1-го и 2-го родов. При импульсной модуляции 1-го рода модулируемый параметр изменяется в соответствии со значениями входного (модулирующего) сигнала. 2. Решетчатые функции и z-преобразование Эффективный математический метод описания дискретных функций основывается на замене последовательности импульсов x(t) (t=nT0) решетчатой функцией, состоящей из идеальных импульсов. Идеальный импульс определяется (t)= , а его площадь равна . Если продолжительность замыкания ключа значительно меньше периода квантования , т.е. Ти<<Т0, импульсы последовательности x(t) можно заменить идеальными импульсами (t) той же площади x(t) x (t)= (2.1) Решетчатая функция физически нереализуема, она служит лишь удобной формой представления последовательности реальных импульсов. Введение идеального квантователя, формирующего -импульсы, позволяет значительно упростить математический аппарат, используемый для описания процессов прохождения дискретных сигналов через линейные динамические звенья. 5 x(t) x (t) t t Рисунок 2.1 – Дискретная и решетчатые функции Предполагается. Что площади реальных и соответствующих им идеальных импульсов одинаковы. Учитывая, что последовательность импульсов определена лишь в моменты времени t=nT0, уравнение (1) можно переписать в виде x (t)= (2.2) Величина Ти не учитывается, т.к. она не влияет на конечный результат. Поэтому для простоты выбирают Ти=1 с. Тогда x*(t)= (2.3). Применялись следующие допущения: а) Ти<<Т0; б) выход квантователя (ФИ) подается на линейную реализуемую систему с передаточной функцией W(p)= . Кроме этого используется смещенная решетчатая функция x[(n+ )T0] (0< <1), которая принимает значения непрерывной функции в моменты времени t=(n+ )T0. 2.1 Определение z-преобразования. z-преобразованием называется соотношение X*(z)= (2.4) Ставящее в соответствие дискретной функции x(nT0) функцию комплексного переменного X*(z). При этом x(nT0) называют оригиналом, а X*(z) – изображением или z-изображением. z-преобразование также условно записывается в виде X*(z)=Z а обратное z-преобразование – в виде x(nT0)=Z-1 6 z-преобразование от смещенной решетчатой функции x[(n+ )T0], т.е. соотношение X*(z, )= Называют модифицированным z-преобразованием. Модифицированное zпреобразование также записывают в виде X*(z, )=Z =Z . Функцию X*(z, ) называют z-изображением смещенное решетчатой функции или модифицированным z-изображением решетчатой функции . Пример. Определить z-изображение единичной решетчатой функции =1( и смещенной решетчатой функции ]=1 ]. Решение. Так как при всех n≥0 1( =1 ]=1, то X*(z)= X*(z, )= По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии Z = 2.2 Основные свойства z-преобразования. Так как z-преобразование от x(nT0) можно рассматривать как частный случай модифицированного zпреобразования при =0, то рассмотрим свойства модифицированного zпреобразования. 1. Линейность. Модифицированное z-преобразование от линейной комбинации дискретных функций равно линейной комбинации их модифицированных преобразований Z . Здесь аi (i=1,2…n) – константы. 2. Теорема запаздывания. Модифицированное z-преобразование от функции с запаздывающим аргументом определяется следующим образом Z . 3. Теорема опережения. Модифицированное z-преобразование от функции с опережающим аргументом определяется следующим образом 7 Z то . Если x[ T0]=x[(1+ )T0]=…=x[(m-1+ )T0]=0 (нулевые начальные условия), Z . 4 Умножение оригинала на (n+ )T0. Z-преобразование от произведения (n+ )T0 определяется следующим образом Z . При =0 имеем Z . 5 Умножение оригинала на а-(n+ ) T0. Z-преобразование от произведения а-(n+ ) T0 определяется следующим образом Z . При =0 имеем Z . 6 Произведение изображений и от свертки их оригиналов x1[(n+ )T0] и x2[(n+ )T0] равно z-преобразованию При =0 имеем 7 Теорема о граничных значениях. Начальное значение решетчатой функции ) по ее обычному и модифицированному z-преобразованиям определяется следующим образом 8 x[ T0]= Предел x(∞)= при условии, что он существует, определяется следующим образом x(∞)= . 3.Уравнения и передаточные функции дискретных систем Если дискретная система задается разностным уравнением, то ее передаточные функции определяются аналогично передаточным функциям непрерывных систем. Отличие состоит в том, что в случае дискретных систем вместо оператора дифференцирования Лапласа р используется оператор смещения Е, а вместо преобразования Лапласа – z-преобразование. Пусть дискретная система управления описывается разностным уравнением a0y[(n+l)T0]+ a1y[(n+l-1)T0]+…+ aly[nT0]= =b0g[(n+m)T0]+ b1g[(n+m-1)T0]+ bmg[nT0], (3.1) где y[nT0] – выходная переменная, g[nT0] – входная переменная, ai (i=1,2,..l) и bi (i=1,2,…m) – константы. В операторной форме это уравнение принимает вид (a0El+ a1El-1+…+ al) y[nT0]=(b0Em+ b1Em-1+…+ bm) g[nT0]. Разностный оператор при выходной переменной Q*(E)= a0El+ a1El-1+…+ al называется собственным (разностным) оператор при входной переменной оператором, а разностный R*(E)= b0Em+ b1Em-1+…+ bm – разностным оператором воздействия. Отношение оператора воздействия к собственному оператору называется передаточной функцией в операторной форме. В соответствии с этим определением передаточная функция в операторной форме равна W*(E)= (3.2) Имеющее наименьший порядок отношение z-изображений (при нулевых начальных условиях) выходной и входной переменных называется передаточной функцией в z-изображениях. 9 Для вычисления передаточной функции в z-изображениях системы управления применим к обеим частям этого уравнения z-преобразование. Используя свойство линейности z-преобразования. Можем записать а0Z{ y[(n+l)T0]}+ a1 Z{y[(n+l-1)T0]}+…+ al Z{y[nT0]}= =b0 Z{g[(n+m)T0]}+ b1 Z{g[(n+m-1)T0]}+…+ bm Z{g[nT0]}. В соответствии с теоремой опережения при нулевых начальных условиях (y[0]=y[T0]=…=y[(l-1)T0]=0, g[0]=g[T0]=…=g[(m-1)T0]=0) имеем Z{y[(n+i)]}=ziY*(z), Z{g[(n+i)]}=ziG*(z). Поэтому (a0zl+ a1zl-1+…+al) Y*(z)=( b0zm+ b1zm-1+…+ bm) G*(z). Отсюда для передаточной функции в z-изображениях W*(z) получаем W*(z)= (3.3) Сравнивая передаточные функции в операторной форме (3.2) и zизображениях (3.3), нетрудно заметить, что W*(z)= W*(E) E=z Передаточная функция W*(z) является функцией комплексной переменной z, и по определению она не содержит одинаковых нулей и полюсов. Поэтому если передаточная функция в операторной форме W*(E) имеет одинаковые нули и полюсы, обратное равенство W*(E)= W*(z) z=E не имеет места. Передаточная функция W*(E) является оператором и уравнение y[nT0]= W*(E) g[nT0], где W*(E) определяется соотношением (3.2), представляет собой операторную (символическую) форму записи уравнения (3.1). В правой части нельзя переставлять местами оператор и входную переменную. Таким образом, если дискретная система задана разностным уравнением, то процесс вычисления передаточных функций ничем не отличается от процесса вычисления передаточных функций непрерывных систем. Однако, как правило, приходится вычислять передаточные функции, когда известны характеристики дискретных элементов и передаточная функция непрерывной части. И в этом случае возникают особенности, которые делают вычисление передаточных функций дискретных систем более сложным. 10 4. Преобразование структурных схем дискретных систем При преобразовании структурных схем дискретных систем нельзя переносить через дискретный элемент сумматор или непрерывный элемент (кроме пропорционального звена). Как было показано выше, дискретнонепрерывный фильтр и дискретное звено и дискретное звено можно переставлять местами. Непрерывную часть, естественно, можно преобразовывать по известным правилам преобразования структурных схем непрерывных систем. Для схем, состоящих только из дискретных элементов, справедливы правила преобразования структурных схем непрерывных систем. Рассмотрим систему управления с несколькими дискретными элементами с одинаковым периодом, эквивалентная схема которой представлена на рисунке 4.1а. g(t) x(t) W2(р) y(t) W3(р) а) G*(z) X*(z) (z) Y*(z) (z) б) Рисунок 4.1 – Дискретная модель системы с несколькими дискретными элементами а) исходная эквивалентная схема; б) структурная схема дискретной модели. Она может быть преобразована и представлена в виде структурной схемы с одним дискретными звеньями с передаточными функциями (рисунок 4.1б). Wi* (z) ZT {Wi (p)}, i=1,2,3. Когда перед дискретным элементом включен непрерывный элемент или к системе, кроме задающего воздействия, приложено возмущение и нужно исследовать ее качество, при преобразовании структурной схемы возникают проблемы, связанные с необходимостью переноса сумматора. 11 g(t) y(t) x(t) W1(р) - а) g(t) y(t) g*(t) W1(р) W0(р) б) Рисунок 4.2 – Преобразование структурной схемы с непрерывным звеном перед дискретным элементом а) исходная схема; б) преобразованная схема. В первом случае (рисунок 4.2.а) при преобразовании сумматор переносится через точку съема сигнала, и в преобразованной схеме (рисунок 4.2.б) эта точка отсутствует. Поэтому при определении ошибки следует исходить из следующих соотношений. Ошибка в моменты съема сигнала равна x[nT0]=y[nT0] - g[nT0], или в z-изображениях X*(z)=G*(z)-Y*(z), где Y*(z) = ZT {W1 (p)} G1* (z) , 1 ZT {W1 (p)W0 (p)} G1* (z) ZT {W0 (p)G(p)}. Во втором случае (рисунок 3а) для определения реакции на выходе и ошибки от возмущения перенесем сумматор, к которому приложено возмущение, через звено с передаточной функцией W2(p) (рисунок 4.2б). 12 fв(t) g(t) x(t) y(t) W2(р) - fв(t) а) W2(р) g(t) x(t) W2(р) fв1(t) y(t) - б) Рисунок 4.3 – Преобразование с переносом возмущения а) исходная схема; б) преобразованная схема. Реакция системы на возмущающее воздействие определяется из следующих соотношений Y f* ( z) 1 Fв*1 ( z) , Fâ*1 (z) 1 ZT {W1 ( z)W2 ( z)} ZT {W2 (p)Fâ (p)}. Ошибки от задающего воздействия и возмущения равны соответственно Х g* ( z) Wxg* ( z)G* ( z) G* ( z ) , 1 ZT {W1 ( p)W2 ( p)} X в* (z) Yв* (z). И наконец, рассмотрим преобразование структурной схемы системы управления, в которой дискретный элемент охвачен обратной связью с непрерывным звеном (рисунок 4.3а). g(t) (р) x(t) (р) а) 13 y(t) g(t) x(t) y(t) (р) (р) Wф(р) б) G*(z) X*(z) (z) Y*(z) (z) в) Рисунок 4.4 – Преобразование дискретного элемента, охваченного обратной связью а) преобразованная эквивалентная схема; б) дискретная модель. Заменим дискретный элемент эквивалентной схемой и перенесем узел (рисунок 4.4б). Из последней схемы получаем дискретную модель системы управления (рисунок 4.4в). В этой модели }. 5. Дискретное характеристики преобразование Лапласа и частотные Дискретным преобразованием Лапласа называют соотношение F(p)=D{f[nT0]}= , ставящее решетчатой функции f[nT0] в соответствие функцию F(p) комплексного переменного р. Функцию f[nT0] называют оригиналом, а F(p) – изображением или D-изображением. Дискретное преобразование получается из z-преобразования при подстановке z=epT F(p)=Z{f[nT0]} -pT0 =F*( z=e ). Обратное дискретное преобразование Лапласа имеет вид 14 f[nT0]= (5.1) Передаточную функцию в дискретных преобразованиях Лапласа или в Dизображениях можно определить как дискретное преобразование Лапласа от весовой функции [nT0] [nT0]}= Она связана с передаточной функцией в z-изображениях соотношением -pT0 z=e Частотной передаточной функцией (дискретной) называется функция, которая получается при подстановке в передаточную функцию в Dизображениях р=j =W*( p=j ). На основе этой функции точно также, как и в случае непрерывных систем, определяются амплитудно-фазовые, амплитудные, фазовые и другие частотные функции и их характеристики. Так как еj( +2 /T )T =e j T , то частотная передаточная функция =W*( ) является периодической функцией с периодом и=2 /Т0. Поэтому при построении частотных характеристик дискретных систем ограничиваются частотами из интервала [ или [0 . Дискретные частотные функции имеют такой же физический смысл, что и непрерывные: если на вход дискретной системы подается гармонический сигнал g(t)=sin t, то на ее выходе в установившемся режиме в дискретные моменты времени t =nT0 будем иметь y[nT0] = A sin [ nT0+ ]. Амплитуда и фаза этого процесса соответственно равны амплитуде и фазе частотной передаточной функции. 6. Связь между дискретным и непрерывным преобразованием Лапласа и непрерывная модель дискретной системы Между дискретным и непрерывным преобразованиями Лапласа существует связь, которая позволяет выразить частотную передаточную функцию разомкнутой дискретной системы через частотную передаточную функцию приведенной непрерывной части. Пользуясь соотношением, связывающим две указанные функции, можно получить непрерывную модель дискретной системы. 6.1 Связь между дискретным преобразованием и непрерывным преобразованиями Лапласа. Пусть функция f(t) непрерывна на интервале [0, 15 ∞) и f(0)=0. Тогда D-изображение F(p)=D{f[nT0]} решетчатой функции f[nT0], соответствующей непрерывной функции f(t), связано с изображением Лапласа F(p)=L{f(t)} функции f(t) соотношением F(p)= Для получения этой формулы в обратном преобразовании Лапласа f(t)= 1) интервал интегрирования разобьем на подинтервалы 0+j(2m+1) ] и представим интеграл справа в виде суммы [ 0+j(2m- f(t) = Произведем замену переменных р=р’+jm и положим t=nT0. Тогда f[nT0]= еjmn2 . Отсюда, заменив переменную интегрирования р’ на р и учитывая, что =0, находим f[nT0]= . Поменяв порядок суммирования и интегрирования, последнее равенство можно представить в виде f[nT0]= 6.2 Непрерывная часть дискретной системы. Пусть дискретная система состоит из дискретного элемента (ДЭ) и непрерывной части (НЧ) (рисунок 6.1а). g(t) x(t) y(t) НЧ - а) 16 g(t) y(t) x(t) - б) Рисунок 6.1 – Дискретная система (а) и ее непрерывная модель (б) Дискретный элемент вырабатывает прямоугольные импульсы с периодом Т0, относительной длительностью и амплитудой Аи=1. Тогда передаточная функция приведенной непрерывной части имеет вид Wп(p)= где , - передаточная функция непрерывной части. Учитывая, что Wп(p) есть изображение Лапласа весовой функции ПНЧ п(t), а передаточная функция в D-изображениях п[nT0], согласно формуле (2) имеем Положив и= , для частотной передаточной функции разомкнутой дискретной системы получаем (6.1) Как отмечалось выше, частотная передаточная функция является периодической функцией с периодом , и при построении частотных характеристик достаточно ограничиться интервалом [ . И если выполняется условие ≤ 1 при > , (6.2) то в формуле (6.1) можно ограничиться одним слагаемым, соответствующим n=0. Остальные члены при указанном условии не будут оказывать существенного влияния на частотную характеристику. Поэтому при условии (4) можем принять , 17 И исходную дискретную систему можно представить непрерывной моделью (рисунок 5б). При малых T0 = И передаточная функция разомкнутой системы непрерывной модели имеет вид W(p)= Wн(p), Или, когда относительная длительность =1, W(p)= Wн(p) (6.3) Таким образом, дискретизация по времени соответствует введению чистого запаздывания на полпериода. При малых Т0 наличие дискретного элемента не учитывают и принимают W(p)= Wн(p) (6.4) Однако следует иметь в виду, что непрерывная модель, основанная на последнем соотношении, может приводить к неправильным выводам. Например, когда непрерывная часть представляет собой апериодическое или колебательное звено, замкнутая система получается устойчивой при любом коэффициенте усиления, если исходить из соотношения (6). Однако в действительности из-за того, что дискретный элемент вносит запаздывание, существует максимальное значение коэффициента усиления, выше которого замкнутая система будет неустойчивой. 7. Устойчивость дискретных систем 7.1 Характеристическое уравнение и основное условие устойчивости Если внешние воздействия заданы, то уравнения дискретной системы управления можно записать в виде а0y(t+nT0)+ а1y(t+(n-1)T0)+…+ аny(t)= (t) или, в операторной форме (а0Еn+ а0Еn-1+…+an)y(t)= (t) Характеристическое уравнение имеет вид 18 (7.1) D*(z)= а0zn+ а0zn-1+…+an = 0. (7.2) Характеристический полином (левая часть характеристического уравнения) поучается при подстановке в собственный оператор D*(Е)= а0Еn+ а0Еn-1+…+an = 0 Вместо оператора смещения Е переменной z. Если задана передаточная функция системы управления, то при определении характеристического полинома нужно исходить из следующих положений: по определению передаточной функции в операторной форме ее знаменатель есть собственный оператор, а знаменатель передаточной функции в z-изображениях совпадает с характеристическим полиномом (при условии, что передаточная функция в операторной форме не содержит одинаковых нулей и полюсов). Общее решение неоднородного разностного уравнения (7.1) имеет вид y(t) = yв(t)+yс(t), где yв(t) – частное решение этого уравнения и yс(t) – общее решение соответствующего разностного уравнения. Линейная дискретная система управления называется устойчивой, если общее решение однородного разностного уравнения при t ∞ стремится к нулю (7.3) Если все корни zi (i=1,2,…n) характеристического уравнения простые (т.е. различные), то общее решение однородного разностного уравнения имеет вид yс(t) = (7.4) где Сi – произвольные постоянные. Если среди корней характеристического уравнения имеется кратный корень zj кратности kj, то ему в (4) соответствует слагаемое Из (7.4) и последнего выражения следует, что условие (7.3) будет выполнено в том случае, когда zi <1 при всех 1, 2,…n. Основное условие устойчивости. Для того, чтобы линейная дискретная система управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были по 19 модулю меньше единицы, или, что то же самое, находились внутри единичного круга на z-плоскости корней. 7.2 Алгебраические критерии устойчивости Рассмотрим необходимое условие устойчивости, основанное на преобразовании внутренности единичного круга в левую полуплоскость. Необходимое условие устойчивости. Для того, чтобы все корни характеристического полинома D(z)= а0zn+ а0zn-1+…+an = 0 были по модулю меньше единицы ( zi <1, i=1,2…,n), необходимо, чтобы при а0 >0 выполнялись неравенства D*(1)>0, (-1)nD*(-1)>0. Чтобы доказать это элементарные множители (7.4) утверждение, D*(z)= а0 (z-z1) (z-z2)… (z-zn). разложим полином Q*(z) на (7.5) Если корень zi является вещественным и по модулю меньше единицы, то множитель (z-zi) при z=1 и множитель (-1) (z-zi) при z=-1 будут положительными. Если корень zi является комплексным, т.е. zi = i+j i ( i и I – вещественные числа), то существует комплексно сопряженный корень zi+1 = ij i . Произведение (z-zi) (z-zi+1)=(z- i )2+ При z=1 и произведение (-1) (z-zi) (-1)(z-zi+1)=(z- i )2+ При z=-1 будут положительными. Следовательно из формулы (6) следует, что если все корни характеристического уравнения по модулю меньше единицы, то будут выполняться неравенства (7.5). Исследование устойчивости, основанное на преобразовании единичного круга в левую полуплоскость. Критерии устойчивости непрерывных систем позволяют судить, находятся ли корни характеристического уравнения в левой полуплоскости или нет. Поэтому их нельзя непосредственно использовать для исследования устойчивости дискретных систем. Однако ими можно воспользоваться, если произвести преобразование переменной характеристического уравнения, при котором единичный круг преобразуется в левую полуплоскость. При преобразовании 20 = (7.6) внутренность единичного круга на z-плоскости преобразуется в левую полуплоскость, его внешность - в правую полуплоскость и окружность единичного радиуса – в мнимую ось на -плоскости. Разрешим неравенство (7) относительно z и подставим полученное выражение в характеристическое уравнение (2) G*( ) = (1- )nD*( )=a0(1+ )n+ a1(1+ )n-1(1- )+…+ an(1- )n=0. (7.7) Представим это преобразованное характеристическое уравнение в стандартной форме G*(z)=c0 n + c1 n-1 +… +cn=0. (7.8) Выражения для коэффициентов этого уравнения через коэффициенты исходного характеристического уравнения получим, если в (7.7) раскроем скобки и произведем приведение подобных членов, а затем приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в (7.7) и (7.8). Если корни исходного характеристического уравнения располагаются внутри единичного круга, то корни преобразованного характеристического уравнения (7.8) располагаются в левой полуплоскости. Таким образом, для того, чтобы дискретная система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все корни преобразованного Характеристического уравнения (7.8) располагались в левой полуплоскости (имели отрицательную вещественную часть). 7.3 Частотный критерий устойчивости Рассмотрим полином, который получается из характеристического уравнения D*(z) при подстановке в него z=epT . (7.9) Этот полином является характеристическим полиномом в Dизображениях. Установим, какими должны быть корни (т.е. корни характеристического уравнения в D-изображениях), чтобы система была устойчивой. Представим переменную z в виде z= z ej arg z. Подставив это выражение в z=epT и прологарифмировав, получим р= z +j arg z) (7.10) Так как z <0 при z <1, то условие устойчивости дискретных систем zi <1 (i=1,2,…n) принимает вид 21 Re(pi)= zi )<0, i=1,2,…n (7.11) Таким образом, для того, чтобы дискретная система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения в D-изображениях расположились в левой р-полуплоскости. Критерий Найквиста. Для исследования устойчивости дискретных систем можно использовать критерий Найквиста (его аналог). Как и в случае непрерывных систем, он используется для определения устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазочастотной характеристике ее разомкнутой системы. Пусть передаточная функция дискретной системы управления в разомкнутом состоянии имеет вид - полиномы от epT где Если разомкнутая система неустойчива и ее характеристическое уравнение имеет k корней в правой полуплоскости и не содержит корней на мнимой оси, то для того, чтобы замкнутая система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до и/2 охватывала точку (-1, j0) k/ 2раз. Если разомкнутая система устойчива, то для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывала точку (-1, j0). Рассмотрим дополнительную функцию , В числителе имеем характеристическое уравнение замкнутой системы, а в знаменателе – характеристический полином разомкнутой системы. Для того, чтобы замкнутая система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения располагались в левой полуплоскости или выполнялось равенство arg = n при изменении частоты от 0 до и/2. По условию характеристическое уравнение =0 имеет k корней в правой и остальные (n-k) корней в левой полуплоскости. Поэтому arg = (n-k) при изменении частоты И так как arg = arg -arg 22 , то от 0 до и/2. arg до = arg = k при изменении частоты - arg от 0 и/2. Отсюда следует: для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора охватывал начало координат k/2 раз. В силу равенства , годограф получается из годографа путем сдвига последнего влево на единицу. Поэтому, для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора при изменении частоты от 0 до и/2 охватывала точку (-1, j0) k/ 2раз. Если разомкнутая система устойчива, то k=0, и для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф не охватывал точку (-1, j0). Im W1(j ) Nyquist Diagram Nyquist Diagram 0.5 1 Im W(j ) Re W1(j ) Re W(j ) -0.5 Imaginary Axis Imaginary Axis -1 -2 -1 -1.5 -2 -3 -2.5 -4 -3 -2 -5 -2 2 4 6 8 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 Real Axis 10 Real Axis а) б) Рисунок 7.1 – Годограф Найквиста: а) W(j ). годограф W1(j ); б) годограф Псевдочастотный критерий. Применив преобразование z= , при определении устойчивости дискретных систем можно воспользоваться всеми методами исследования устойчивости непрерывных систем. Подставим это выражение в передаточную функцию разомкнутой дискретной системы W*(z) Положив функцию =j * (иногда делают подстановку =jT0 */2), получим Переменная * не имеет физического смысла частоты, функция физического смысла частотных передаточных функций непрерывных и 23 дискретных систем. Переменную * называют псевдочастотой, функцию - псевдочастотной передаточной функцией, а характеристики (АЧХ, ФЧХ, АФЧХ, ЛАФЧХ), которые строятся на основе , называют псевдочастотными характеристиками. С использованием псевдочастотной характеристики (т.е. годографа при изменении * от 0 до ∞) критерий устойчивости Найквиста формулируется так же, как и в случае непрерывных систем. Точно так же совпадают формулировки логарифмического частотного критерия устойчивости непрерывных систем. 8. Влияние периода квантования на устойчивость Рассмотрим влияние дискретизации по времени на устойчивость на примере АИМ-системы, состоящей из фиксатора нулевого порядка и непрерывной части. Пусть система без дискретного элемента, т.е. непрерывная система, устойчива при любом положительном k. Рассмотрим случай, когда . Передаточная функция приведенной непрерывной части Wп(p)= , и дискретная передаточная функция разомкнутой системы имеет вид W*(z)= = Отсюда для характеристического уравнения замкнутой системы имеем z- + После преобразования коэффициенты характеристического уравнения имеют вид с0 = а0 – а1= 1+ - с1 = а0 + а1= 1 - + . Условие устойчивости принимает вид с0 = 1+ - с1 = 1 - + . 24 Второе неравенство выполняется при любом положительном k, а первое – только при k0 Первое и третье неравенства выполняются при любом положительном коэффициенте k, второе – только при kn0 (9.5) При выполнении этого условия передаточная функция, связанная с весовой функцией z-преобразованием, принимает вид Ф*(z)= (9.6) В общем случае передаточная функция W*(z) представляет собой отношение полиномов W*(z) (9.7) и она при разложении в ряд Лорана примет вид (6), если а1 = а2 = …= аn =0 (9.8) Действительно, в этом случае имеем W*(z) Таким образом, система (9.7) является оптимальной (переходной процесс заканчивается за конечное число шагов), если выполняется равенство (9.8). 29 9.2 Показатели качества в установившемся режиме Наиболее полной характеристикой качества в установившемся режиме является установившаяся ошибка х(∞). Ее можно найти по z-изображению X*(z) на основе теоремы о граничных значениях х(∞)= Другим показателем качества в установившемся режиме являются коэффициенты ошибок. Коэффициенты ошибок. Переходя к оригинала, из равенства X*(z)= по теореме о свертке получим Процесс считается установившемся в текущий момент времени, если входное воздействие начало действовать при t0 - ∞. Поэтому, положив в предыдущей формуле начальное k=-∞, получим х(∞)= Или, положив n-k=i, получим х(∞)= (9.9) Разложив функцию g(t- ) в ряд Тейлора в окрестности точки t g(t- )= Произведем дискретизацию по времени, для чего в полученном разложении положим t=nT0 и =iT0 g[(n-i) = Подставим это выражение в (9) и поменяем порядок суммирования х(∞)= или 30 х(∞)= (10) где Ck= . (9.10) Коэффициенты Ck характеризуют качество системы в установившемся режиме и называются коэффициентами ошибки. При этом С0 называют коэффициентом статической ошибки, С1 – коэффициентом скоростной ошибки, С2 – коэффициентом ошибки по ускорению. Вычисление коэффициентов ошибок. Вычислять коэффициенты ошибки по формуле (11) неудобно. Поэтому обычно используют формулы, связывающие коэффициенты ошибки с передаточной функцией по ошибке и имеющие следующий вид Ck= z=1, k=0,1,2… (9.11) Здесь определяется по рекуррентной формуле = (9.12) Из приводимых формул следует, что коэффициент статической ошибки С0= , и для нахождения остальных коэффициентов необходимо вычислять производные от передаточной функции . 9.3 Статические и астатические системы Система называется статической, если статическая ошибка отлична от нуля, и астатической, если статическая ошибка равна нулю. Статическая ошибка – это установившаяся ошибка при постоянных внешних воздействиях. Система является астатической и обладает астатизмом порядка , если первые коэффициентов равны нулю, а ( +1)-й коэффициент ошибки отличен от нуля С0=С1=…=С -1=С =0. Вычисление коэффициентов ошибки астатических систем. Для астатической системы с астатизмом порядка первые ( +1) коэффициентов можно определить по формуле Сk= z=1, k=0,1,2,…, (9.13) 31 Иначе говоря, этой формулой можно пользоваться при вычислении до первого отличного от нуля коэффициента ошибки. Структура астатических систем. Система обладает астатизмом порядка , если передаточная функция ошибки может быть представлена в виде Т.к. передаточная функция по ошибке имеет вид , где - передаточная функция разомкнутой системы, то она может быть представлена в указанном выше виде, если передаточная функция имеет вид (9.14) Пусть дискретная система состоит из дискретного фильтра (регулятора) и приведенной непрерывной части. ПНЧ g(t) x(t) Wн(р) Wф(р) y(t) - Рисунок 9.2 – Структурная схема дискретной системы Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид где = ZT{Wф(р) Wн(р)}. Система будет астатической, если или включает множитель . Так как ZT{1/р} = , передаточная функция будет содержать указанный множитель, если непрерывная часть (т.е. Wн(р)) включает интегрирующее звено. Здесь важно, чтобы непрерывная часть, а не приведенная непрерывная часть, включала интегрирующее звено. Это связано с тем, что множитель (z-1) в знаменателе , который появляется из-за интегрирующего звена в формирователе импульсов, сокращается с аналогичным множителем, появляющимся в числителе. Например, при фиксаторе нулевого порядка передаточная функция формирователя имеет вид Wф(р) = ,и 32 Как видим, в этом случае появляется множитель (z-1) в числителе, который сокращается с таким же множителем в знаменателе, появляющимся из-за множителя (1/р) в передаточной функции приведенной непрерывной части. 10. Синтез дискретных систем 10.1 Постановка задачи синтеза. Типовые законы управления. Как и в непрерывном случае, возможны две различные постановки синтеза дискретных систем управления: 1) Синтез параметров при фиксированной (заданной) структуре; 2) Синтез управляющего устройства при произвольной структуре. Предполагается, что регулятор реализуется с помощью цифровых устройств и эквивалентная структурная схема включает дискретный фильтр (регулятор), реализующий требуемый закон управления (рисунок 1). g(t) x(t) u(nT0) u(t) Wп(р) y(t) - Рисунок 10.1 – Эквивалентная схема системы управления с дискретным регулятором Типовые законы управления в дискретном случае определяются следующим образом. Пропорциональный закон, или П-закон (П-регулятор): u(nT0) = kп x(nT0), kп Пропорционально-интегральный (суммарный) регулятора) или ПС-закон (ПС-регулятор): u(nT0) = (kп +kc где x(nT0), закон (аналог ПИ- kп + kc - обратный оператор сдвига: x(nT0) = x[(n-1)T0]. Пропорционально разностный закон (аналог ПД-закона), или ПР-закон (ПР-регулятор): u(nT0) = (kп +kр(1 – Е-1)) x(nT0), kп + kр Пропорционально-суммарно-разностный закон (аналог ПИД-регулятора), или ПСР-закон (ПСР-регулятор): u(nT0) = (kп +kc – x(nT0), 33 kп + kc 10.2 Синтез систем с фиксированной структурой Задача синтеза систем с фиксированной структурой ставится следующим образом: задан объект и выбрана структура регулятора; требуется определить параметры регулятора, обеспечивающие заданные требования к качеству синтезируемой системы. Структура регулятора (системы) определяется в основном из требований к структурной устойчивости и качеству синтезируемой системы в установившемся режиме. Параметры регулятора определяются исходя из требований к качеству системы в переходном режиме. На параметры могут быть наложены ограничения, вытекающие из требований допустимой ошибки в установившемся режиме или каких-либо других требований. Рассмотрим постановку и решение задачи синтеза параметров на конкретных примерах. Дискретный элемент есть фиксатор нулевого порядка, период квантования Т0=0,1с и передаточная функция непрерывной части имеет вид Wн(p)=1/p. Определить тип и параметры регулятора исходя из следующих требований к системе: С0=0, С1 ≤1, J2 min. Так как коэффициент пропорциональной (позиционной) ошибки равен нулю, а коэффициент скоростной ошибки не равен нулю, система должна быть астатической и обладать астатизмом первого порядка. Но в связи с тем, что непрерывная часть включает интегрирующее звено, можно выбрать Прегулятор ( kп). При фиксаторе нулевого порядка передаточная функция формирующего звена имеет вид Wф(p)= . Поэтому передаточная функция приведенной непрерывной части (ПНЧ) имеет вид Wп(p)= Wф(p) Wн(p) = Передаточная функция разомкнутой дискретной системы равна W*(z)= Wп(p)} = kп , И передаточная функция по ошибке замкнутой системы = . Так как С0=0, коэффициент скоростной ошибки можно определить по формуле 34 С1 = z=1 = z=1 = Условие С1 ≤1 будет выполняться, если уравнение имеет вид z-1+0.1kп = 0. kп ≥1. Характеристическое Его корень z1= 1 – 0.1kп по модулю будет меньше единицы, если 0 < kп <20. Таким образом, система будет устойчива и будут выполнены требования к качеству в установившемся режиме, если 1 < kп <20. Найдем выражение для ошибки при g[nT0] = 1[nT0]: X*(z) = G*(z) = . Так как система астатическая, установившаяся ошибка есть х(∞)=0 и переходная составляющая ошибки хп[nT0] = х[nT0]. Поэтому По формуле разложения имеем хп[nT0] = (1- )n-1 = (1- )n, n = 1,2… Суммарная квадратичная ошибка имеет вид J2 = . По формуле суммы бесконечно убывающей прогрессии имеем J2 = Отсюда следует, что J2 достигает минимума при полученных выше ограничения на , когда = 0 или = 10. Таким образом, решением данной задачи является = 10. Дискретный элемент представляет фиксатор нулевого порядка, период квантования Т0=0,1 с и передаточная функция непрерывной части есть Wн(p)= . Определить тип и параметры регулятора, при котором статическая ошибка равна нулю и переходный процесс заканчивается за конечное число шагов. Чтобы статическая ошибка была равна нулю, выберем ПИ-регулятор: kп + kc . Передаточная функция формирующего звена имеет вид 35 Wф(p)= , Передаточная функция приведенной непрерывной части – Wп(p)= Wф(p) Wн(p) = и передаточная функция разомкнутой дискретной системы W*(z)= Wп(p)} = Приняв = е-01 0,9, получим W*(z)= Передаточная функция замкнутой системы имеет вид Ф*(z) = , где b0 = 0.1( a1 = 0.1( , b1 = -0.1 , -1.9, a2 = 0.9- 0.1 . Условие окончания переходного процесса за конечное число шагов принимает вид a1 = 0.1( Отсюда -1.9 =0, a2 = 0.9- 0.1 =9 и = 0. =10. 10.3 Метод полиноминальных уравнений Рассматривается задача синтеза при произвольной (нефиксированной) структуре в следующей постановке. Задана передаточная функция приведенной непрерывной части Wп(p) и известна дискретная передаточная функция неизменяемой части Известна также желаемая передаточная функция синтезировать регулятор, при котором передаточная синтезируемой системы была бы равна желаемой: Ф*(z) = = . Требуется функция Ф *(z) (10.1) 36 Разрешив это тождество относительно передаточной функции регулятора, получим = (10.2) При синтезе регулятора нужно, чтобы он был физически осуществим. Условие физической осуществимости регулятора, состоящее в том, что весовая функция регулятора равна нулю при отрицательных аргументах или степень числителя его передаточной функции не превышает степень ее знаменателя. При определении передаточной функции регулятора по формуле (10.2) синтезированная система будет реализуема, если передаточная функция неизменяемой части содержит нули и полюсы вне единичного круга, и они входят в передаточную функцию регулятора. В этом случае при вычислении передаточной функции разомкнутой системы указанные нули и полюса сокращаются, если регулятор реализуется в соответствии с (10.2). Однако, при малом изменении параметров регулятора указанные нули и полюса могут не сократиться. Тогда разомкнутая система становится неустойчивой, что может привести к неустойчивости и замкнутой системы. Разложим числитель и знаменатель передаточной функции неизменяемой части на два множителя, один из которых содержит нули внутри единичной окружности, другой – на и вне единичной окружности . Здесь , - полиномы, нули которых расположены внутри единичной окружности; , - полиномы, нули которых расположены на и вне единичной окружности. Подставим полученное выражение для в (2) = (10.3) Как отмечалось, для того чтобы синтезированная система была реализуемой, передаточная функция регулятора (10.3) не должна содержать полиномы и , содержащие нули вне единичной окружности. Но, как это следует из (3), для этого нужно, чтобы включало полином ,а - полином , т.е. желаемая передаточная функция должна удовлетворять соотношениям (10.4) = , (10.5) 37 где и - неопределенные полиномы; - знаменатель желаемой передаточной функции, т.е. характеристический полином синтезируемой системы; множитель (z-1) вводится для обеспечения требуемого порядка астатизма. Исключив из (4) и (5), получим полиноминальное уравнение + = Откуда определяются полиномы Подставив (4) и (5) в (3) находим (10.6) и . = (10.7) Обозначим степень произвольного полинома через . Тогда условие физической осуществимости регулятора из (10.7) можно записать в виде (10.8) Полиноминальное уравнение (10.6) разрешимо, если число неизвестных (коэффициентов полиномов и не меньше числа уравнений, получаемых приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях в уравнении (10.6). И так как число неизвестных равно ( + 1)+( + 1), а число уравнений +1, условие разрешимости полиноминального уравнения принимает вид + +1≥ (10.9) В (5) степени полиномов числителя и знаменателя равны. Поэтому из его правой части имеем = + , Откуда - – (10.10) Объединяя условие физической осуществимости разрешимости (10.9), с учетом (10.10) получим + -1 ≤ ≤ + - , (8) и условие (10.11) где 38 = - степень знаменателя передаточной функции неизменяемой части. Таким образом, условия физической осуществимости регулятора и разрешимости полиноминального уравнения будут выполнены, если степень полиномов и удовлетворяют условиям (10.10) и (10.11). Из условия (11) получаем, что степень характеристического уравнения синтезируемой системы должна удовлетворять неравенству + + -1 - (10.12) Порядок синтеза системы управления методом полиноминальных уравнений можно сформулировать следующим образом. 1 Разложить полиномы числителя и знаменателя передаточной функции неизменяемой части на два множителя, один из которых имеет нули внутри единичной окружности, другой – на и вне единичной окружности. Если указанные полиномы не имеют нулей на и вне единичной окружности, то положить =1 и =1; если они не имеют нулей внутри единичной окружности, то приравнять и постоянному множителю этих полиномов. 2 Исходя из требований к качеству синтезируемой системы в переходном режиме и порядку астатизма выбрать характеристический полином синтезируемой системы и число . Степень полинома должна удовлетворять условию (10.12). 3 Из соотношений (10.10) и (10.11) определить степени неопределенных полиномов и и записать их с неопределенными коэффициентами. 4 Подставить полученные неопределенные полиномы в полиноминальное уравнение и определить их коэффициенты. 5 Подставить найденные полиномы и в формулу для передаточной функции регулятора (10.7). 10.4 Синтез дискретной системы по непрерывной модели Дискретный регулятор можно конструировать, используя методы синтеза непрерывных систем. Для этого сначала нужно с помощью указанных методов определить передаточную функцию Wp(р) аналогового (непрерывного) регулятора, а затем аппроксимировать Wp(р) дискретной передаточной функцией . При этом, учитывая, что дискретизация по времени с периодом Т0 вводит запаздывание Т0/2, следует проводить синтез для объекта с передаточной функцией , где - передаточная функция исходной системы. При снтезе передаточную функцию введенного звена чистого запаздывания можно аппроксимировать одним из следующих способов: 1- . 39 При получении дискретной передаточной функции можно воспользоваться аппроксимацией производной конечными разностями (метод Эйлера): прямой px(t) или обратной px(t) На основе этих равенств при методе Эйлера р заменяется на или . Другой метод аппроксимации – метод трапеций, или метод Тустена – состоит в том, что р заменяется на . Такая замена получается следующим образом. Интеграл u(t)= , положив t = nT0, можно представить в виде u(nT0) = Последний интеграл представляет площадь под кривой х = х (t) на отрезке [(n-1)T0, nT0]. Заменив эту площадь площадью трапеции, получаемой при аппроксимации кривой х = x(t) отрезком прямой на указанном отрезке, находим u(nT0) = u[(n-1)T0] + или в операторной форме u(nT0) = . Это соотношение получено из равенства u(t)= или u(t) = . Сравнивая последнее равенство с предыдущим соотношением получаем, что дифференциальному оператору р соответствует разностный оператор . Поэтому при аппроксимации аналоговой передаточной функции дискретной модели методом трапеций р заменяется на Список использованных источников 40 . 1 Малафеев С.И. Теория автоматического управления / С.И. Малафеев, А.А. Малафеева. – М.: АКАДЕМИЯ, 2014. – 378 с. 2 Автоматизация настройки систем управления/ В.Я. Ротач и [др]; под ред. В.Я. Ротача. – М.: АльянС, 2015. – 271 с.:ил. 3 Гальперин М.В. Автоматическое управление: учебник. – М.: ИД «ФОРУМ ИНФА-М, 2017. – 224 с.: ил. 4 Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования./ В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. – 4-е изд. СПб: Профессия, 2007. – 749 с. 5 Ротач В.Я Теория автоматического управления: уч. для студ. Вузов/ В.Я. Ротач. – М.: изд. Дом МЭИ, 2007. – 400с. 6 Анхимюк, В.Л. Теория автоматического управления: Учебн. пособие для вузов / В.Л. Анхимюк, О.Ф. Опейко, Н.Н. Михеев. – Минск: Дизайн ПРО, 2000 – 352 с. 7 Ерофеев А.А. Теория автоматического управления: уч. для вузов/ А.А. Ерофеев – 3-е изд., стереотип. – Спб.: Политехника, 2008. – 302 с. 8 Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т.1. Линейные системы/ Д.П. Ким. – 2-е изд. испр. и доп. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2016. – 312 с. 9 Теория автоматического управления.Ч.1: Теория линейных систем автоматического управления /Под ред. А.А. Воронова. - М.:Высш.шк.,1986.362с. 10 Куропаткин В.П. Оптимальные и адаптивные системы/ В.П. Куропаткин. - М.:Высш.шк.,1980. - 287 с. 11 Топчеев Ю.И.,. Задачник по теории автоматического регулирования/ Ю.И.Топчеев, А.П. Цыпляков. -М.:Машиностроение,1977. - 592 с. 12. Изерман, Р. Цифровые системы управления/ пер. с англ. – М.: Мир, 1984. – 541 с., ил. 41