Дискретная математика: комбинаторика, булевы функции, помехоустойчивое кодирование

ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÒÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ ÈÐÊÓÒÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ Â.È. ÏÀÍÒÅËÅÅ ÒÐÈÍÀÄÖÀÒÜ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÄÈÑÊÐÅÒÍÎÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ Ó÷åáíîå ïîñîáèå Èðêóòñê 2004 ÁÁÊ 22.176 ÓÄÊ 519.719.1+519.716 Ïå÷àòàåòñÿ ïî ðåøåíèþ ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî ñîâåòà Èðêóòñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà Ïàíòåëååâ Â.È. Òðèíàäöàòü ëåêöèé ïî äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêå: êóðñ ëåêöèé.  Èðêóòñê: Èðêóò. óí-ò, 2004.  74 ñ. Èçëàãàåòñÿ ìàòåðèàë êóðñà "Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà" (êîìáèíàòîðèêà, áóëåâû ôóíêöèè, ïîìåõîóñòîé÷èâîå êîäèðîâàíèå), ïðåäíàçíà÷åííûé äëÿ ñòóäåíòîâ ìàòåìàòè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé âóçîâ. Ïðåäñòàâëåíû òîëüêî òåîðåòè÷åñêèå àñïåêòû êóðñà, ïîýòîìó èçëîæåíèå íåîáõîäèìî ñîïðîâîæäàòü ïðàêòè÷åñêèìè è ëàáîðàòîðíûìè çàíÿòèÿìè ïî ñîîòâåòñòâóþùèì ïîñîáèÿì. Ðåöåíçåíòû: À.Â. Ìàíöèâîäà, ä-ð. ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô., çàâ. êàôåäðîé èíôîðìàöèîííûõ ñèñòåì ÈÃÓ; Ç.À. Äóëàòîâà, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, çàâ. êàôåäðîé àëãåáðû ÈÃÏÓ © Ïàíòåëååâ Â.È., 2004 © Èðêóòñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò, 2004 Ëåêöèÿ 1 Ââîäíàÿ Ÿ 1. Ìàòåìàòè÷åñêèé ÿçûê Ïðè ÷òåíèè ìàòåìàòè÷åñêèõ òåêñòîâ ìîæíî âñòðåòèòü ìíîãî ñëîâ, êîòîðûå çàïèñàíû íà ìàòåìàòè÷åñêîì ÿçûêå. Ïåðåâîä ýòèõ ñëîâ íà ðóññêèé ÿçûê íå âñåãäà îñóùåñòâëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî. Óìåíèå îñóùåñòâëÿòü ýòîò ïåðåâîä â ñîîòâåòñòâèè ñ êîíòåêñòîì ÿâëÿåòñÿ íåîòúåìëåìîé ÷àñòüþ ìàòåìàòè÷åñêîé êóëüòóðû. Ìàòåìàòè÷åñêèå ñëîâà, òàê æå êàê è ñëîâà ðóññêîãî ÿçûêà ñòðîÿòñÿ èç áóêâ. Òîëüêî áóêâàìè çäåñü ÿâëÿþòñÿ íå òîëüêî áóêâû ëàòèíñêîãî, ãðå÷åñêîãî è ðóññêîãî àëôàâèòîâ, íî è òàêèå ñèìâîëû êàê ñêîáêè, çíàê ðàâåíñòâà, çíàê ñóììû, ñòðåëêè è äðóãèå. Íèæå ñëåâà çàïèñàíû íåêîòîðûå ñëîâà íà ìàòåìàòè÷åñêîì ÿçûêå, à ñïðàâà èõ "ïåðåâîä"íà ðóññêèé ÿçûê (êîíå÷íî æå ýòîò "ïåðåâîä"íåïîëíûé). +  ïëþñ, ñëîæåíèå, ñóììà, êðåñòèê; ·  óìíîæåíèå, òî÷êà, ïðîèçâåäåíèå; {  ôèãóðíàÿ ñêîáêà, ñèñòåìà, è; {...}  ìíîæåñòâî; =  ðàâíî, åñòü, ýòî; | èëè :  òàêèå ... , ÷òî ....; A → B  èç A ñëåäóåò B ; åñëè âûïîëíÿåòñÿ A, òî âûïîëíÿåòñÿ è B; (..., ...), (..., ..., ...)  ïàðà, òðîéêà; i = 1, k  i ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ îò 1 äî k ∀  äëÿ ëþáîãî. À òåïåðü ñëîâà ïîñëîæíåå: (a, b)  ïàðà, â êîòîðîé íà ïåðâîì ìåñòå ñòîèò a, íà âòîðîì ìåñòå ñòîèò b èëè ïðîñòî ïàðà ab; {x|x ∈ N, x>2}  ìíîæåñòâî òàêèõ x, ÷òî x ïðèíàäëåæèò N è 3 4 Ëåêöèÿ 1. Ââîäíàÿ x áîëüøå ½ èëè ðàâåí 2; a, åñëè a ≥ 0; |a| =  ìîäóëü a ðàâåí a, åñëè a ≥ 0 è −a, åñëè a < 0. ìîäóëü a ðàâåí −a, åñëè a < 0 ∀x ≥ 2A(x)  äëÿ ëþáîãî x, òàêîãî ÷òî x ≥ 2, âûïîëíÿåòñÿ A(x). Áóêâû ãðå÷åñêîãî àëôàâèòà âñòðå÷àþòñÿ ïî÷òè âî âñåõ ôîðìóëàõ. Ñòðî÷íûå ãðå÷åñêèå áóêâû α àëüôà β áåòà γ ãàììà δ äåëüòà ², ε åïñèëîí ζ äçýòà θ òýòà η ýòà ι éîòà κ êàïïà λ ëÿìáäà µ ìþ τ υ ξ ρ ν σ òàó èïñèëîí êñè ðî íþ ñèãìà o îìèêðîí π ïè φ, ϕ ôè ω îìåãà χ õè ψ ïñè Ïðîïèñíûå ãðå÷åñêèå áóêâû A àëüôà B áåòà Γ ãàììà ∆ äåëüòà E åïñèëîí Z äçýòà Θ òýòà H ýòà I éîòà K êàïïà Λ ëÿìáäà M ìþ T òàó Υ èïñèëîí Ξ êñè P ðî N íþ Σ ñèãìà O Π Φ Ω X Ψ îìèêðîí ïè ôè îìåãà õè ïñè À òåïåðü ïîñìîòðèì, ÷òî îçíà÷àþò ñëîâà ðóññêîãî ÿçûêà ñ òî÷êè çðåíèÿ "ìàòåìàòè÷åñêîãî". è  êàê ïðàâèëî âñòðå÷àåòñÿ â ñî÷åòàíèè "A è B ", ãäå A, B  íåêîòîðûå óòâåðæäåíèÿ, îçíà÷àåò, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ îáà óòâåðæäåíèÿ; èëè  âñòðå÷àåòñÿ â ñî÷åòàíèè "A èëè B ", ÷àùå âñåãî îçíà÷àåò, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç äâóõ óòâåðæäåíèé (íåâàæíî êàêîå), âûïîëíÿþòñÿ îáà óòâåðæäåíèÿ (íî åñëè âñòðåòèòñÿ ôðàçà: "Ýëåìåíò ai ðàâåí 1 èëè 2", òî çäåñü "èëè"îçíà÷àåò, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ òîëüêî îäíî óòâåðæäåíèå èç "Ýëåìåíò ai ðàâåí 1", "Ýëåìåíò ai ðàâåí 2"); ëèáî  ñâÿçûâàåò ÷àùå âñåãî 2 óòâåðæäåíèÿ, îçíà÷àåò, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç äâóõ óòâåðæäåíèé (íåâàæíî êàêîå), íî íå îáà; èíà÷å  âñòðå÷àåòñÿ ïîñëå íåêîòîðîãî óòâåðæäåíèÿ, îçíà÷àåò, ÷òî íå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå ïðåäûäóùåãî óòâåðæäåíèÿ; Ÿ 2. Ìàòåìàòè÷åñêèå óòâåðæäåíèÿ 5 ñëåäóåò  âñòðå÷àåòñÿ â ñî÷åòàíèè "èç A ñëåäóåò B ", îçíà÷àåò, ÷òî âçÿâ A è, ïðèìåíÿÿ ïðàâèëüíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ðàññóæäåíèÿ (à íàó÷èòü ïðàâèëüíûì ìàòåìàòè÷åñêèì ðàññóæäåíèÿì  îäíà èç çàäà÷ îáðàçîâàíèÿ), ìîæíî ïîëó÷èòü óòâåðæäåíèå B . Ÿ 2. Ìàòåìàòè÷åñêèå óòâåðæäåíèÿ Íà çàíÿòèÿõ ïî ìàòåìàòèêå, â ðàçëè÷íûõ ó÷åáíèêàõ íàì ïîñòîÿííî ïðèõîäèòñÿ ñòàëêèâàòüñÿ ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè óòâåðæäåíèÿìè. Ýòè óòâåðæäåíèÿ êàê ïðàâèëî ÿâëÿþòñÿ èñòèííûìè, íî èíîãäà ìîãóò áûòü è ëîæíûìè. Ïîÿâëåíèå ëîæíûõ óòâåðæäåíèé ñâÿçàíî ñ ðàçëè÷íûìè îáñòîÿòåëüñòâàìè.  ó÷åáíèêàõ è äðóãèõ êíèãàõ  ýòî îïå÷àòêè, ñâÿçàííûå ñ íàáîðîì; îïèñêè, ïîÿâèâøèåñÿ â ðåçóëüòàòå òîãî, ÷òî àâòîð èëè ðåäàêòîð íåäîñòàòî÷íî âíèìàòåëüíî ïðîñìîòðåëè òåêñò. Ëîæíûå óòâåðæäåíèÿ â îòâåòàõ ñòóäåíòîâ ñâÿçàíû, êàê ïðàâèëî, ñ íåïîíèìàíèåì èçó÷åííîãî ìàòåðèàëà. Ëîæíûå óòâåðæäåíèÿ ìîãóò ïîÿâèòüñÿ è èç-çà íåïîëíîãî ðàçáîðà ñëó÷àåâ, âîçíèêàþùèõ â ïðîöåññå ðàññóæäåíèé. Íå íàäî áîÿòüñÿ îøèáîê â ðàññóæäåíèÿõ, îøèáàþòñÿ è ëåêòîðû è ñòóäåíòû. Êîíå÷íî, áûëî áû çàìå÷àòåëüíî íå ñîâåðøàòü îøèáîê, íî ãëàâíîå, êîãäà (íà ýòîì ñëîâå ìû ñòàâèì óäàðåíèå) ýòè îøèáêè îáíàðóæèâàþòñÿ è èñïðàâëÿþòñÿ. Óìåíèå îáíàðóæèâàòü è èñïðàâëÿòü ñâîè îøèáêè ÿâëÿåòñÿ â íåêîòîðîì ðîäå "ïîêàçàòåëåì êëàññà". Óòâåðæäåíèÿ, èñïîëüçóåìûå ìàòåìàòèêàìè, íàçûâàþòñÿ òàêèìè ñëîâàìè êàê, "òåîðåìà", "ëåììà", "ïðåäëîæåíèå", "äîêàçàòåëüñòâî". Ìû íå áóäåì ïîäðîáíî îñòàíàâëèâàòüñÿ íà òîì, êàê ïîíèìàòü ýòè ñëîâà, à äàäèì íåêîòîðûå ïîÿñíåíèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî  íåêîòîðîå ðàññóæäåíèå, ïðîâåäåííîå ïî ïðèíÿòûì ïðàâèëàì. Òåîðåìà, ëåììà, ïðåäëîæåíèå  óòâåðæäåíèÿ, äëÿ êîòîðûõ èçâåñòíû äîêàçàòåëüñòâà. Äëÿ íåêîòîðûõ óòâåðæäåíèé ìû ýòè äîêàçàòåëüñòâà áóäåì ïðèâîäèòü, äëÿ äðóãèõ îñòàâèì ÷èòàòåëþ. Òåîðåìó îò ïðåäëîæåíèÿ áóäåò îòëè÷àòü ëèøü çíà÷èìîñòü äëÿ íàøåãî êóðñà. Ëåììà  âñïîìîãàòåëüíîå óòâåðæäåíèå, èñïîëüçóåìîå ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåì è ïðåäëîæåíèé. 6 Ëåêöèÿ 1. Ââîäíàÿ Ÿ 3. Ïðèåìû, èñïîëüçóåìûå ïðè äîêàçàòåëüñòâàõ Íåâîçìîæíî ïåðå÷èñëèòü âñå ïðèåìû, èñïîëüçóåìûå ïðè äîêàçàòåëüñòâàõ ìàòåìàòè÷åñêèõ óòâåðæäåíèé. Êàê ïðàâèëî, ïðè èçó÷åíèè ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ âîçíèêàþò è èññëåäóþòñÿ òàêèå ïðèåìû. Íåêîòîðûå èç íèõ èñïîëüçóþòñÿ ïðè ðåøåíèè çàäà÷ îïðåäåëåííîãî êëàññà, äðóãèå ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïî÷òè âñåãäà (íî ýòî íå çíà÷èò, ÷òî ïðèåì îáÿçàòåëüíî óïðîñòèò ðåøåíèå). Ìû îñòàíîâèìñÿ íà òðåõ. Äîêàçàòåëüñòâà, èñïîëüçóþùèå ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè Äîêàçàòåëüñòâî ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè îñíîâàíî íà àêñèîìå èíäóêöèè è äâóõ ïðàâèëàõ ðàññóæäåíèé. Àêñèîìó èíäóêöèè ìû ñôîðìóëèðóåì ñëåäóþùèì îáðàçîì: Åñëè íåêîòîðîå óòâåðæäåíèå A âûïîëíÿåòñÿ äëÿ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà s è äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî k íå ìåíüøåãî ÷åì s èç òîãî, ÷òî óòâåðæäåíèå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ k ìîæíî ïîëó÷èòü, ÷òî îíî âûïîëíÿåòñÿ äëÿ k + 1, òî óòâåðæäåíèå A âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ íå ìåíüøèõ s. A(s)&∀k ≥ s(A(k) → A(k + 1)) → ∀k ≥ sA(k) Ïåðâîå ïðàâèëî ðàññóæäåíèÿ: åñëè ó íàñ âûïîëíÿåòñÿ óòâåðæäåíèå  A è âûïîëíÿåòñÿ óòâåðæäåíèå  B , òî ìû ñ÷èòàåì, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ óòâåðæäåíèå  A è B . Äðóãèìè ñëîâàìè: åñëè åñòü A, åñòü B, òî åñòü 00 A&B 00 . Âòîðîå ïðàâèëî ðàññóæäåíèÿ: Åñëè âûïîëíÿåòñÿ óòâåðæäåíèå  A è âûïîëíÿåòñÿ óòâåðæäåíèå Èç A ñëåäóåò B , òî âûïîëíÿåòñÿ óòâåðæäåíèå  B . Èëè èç A è A → B ñëåäóåò B . Ðàññóæäåíèÿ ìû ïðîâîäèì ñëåäóþùèì îáðàçîì. Áàçèñ èíäóêöèè. Ïðîâåðÿåì ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ äëÿ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà s. Øàã èíäóêöèè. Äîêàçûâàåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî k íå ìåíüøåãî ÷åì s èç òîãî, ÷òî óòâåðæäåíèå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ k ìîæíî ïîëó÷èòü, ÷òî îíî âûïîëíÿåòñÿ äëÿ k + 1. Ïîñëå òîãî êàê ïðîéäåíû ýòè ýòàïû, ìû èìååì A(s) è ∀k ≥ s(A(k) → A(k + 1)), Ÿ 3. Ïðèåìû, èñïîëüçóåìûå ïðè äîêàçàòåëüñòâàõ 7 à òåïåðü ïî ïåðâîìó ïðàâèëó ïîëó÷àåì A(s)&∀k ≥ s(A(k) → A(k + 1)). (∗) Äàëåå èç àêñèîìû èíäóêöèè è (∗) ïî âòîðîìó ïðàâèëó ïîëó÷àåì ∀k ≥ sA(k), ò.å óòâåðæäåíèå A âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ k ≥ s. Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî íà øàãå èíäóêöèè íàøè ðàññóæäåíèÿ äîëæíû áûòü ñïðàâåäëèâûìè ïðè ïåðåõîäå îò s ê s + 1, îò s + 1 ê s + 2 è ò.ä.  ñëåäóþùåì ïðèìåðå ðàññóæäåíèÿ áóäóò ñïðàâåäëèâûìè ïðè ïåðåõîäå îò 2 ê 3, îò 3 ê 4 è ò.ä., íî íå âûïîëíÿþòñÿ ïðè ïåðåõîäå îò 1 ê 2. Ïðèìåð Äîêàæåì, ÷òî â ëþáîé ãðóïïå âñå ëþäè èìåþò âîëîñû îäèíàêîâîãî öâåòà. Øàã èíäóêöèè. Ïóñòü äëÿ ëþáîé ãðóïïû èç k ÷åëîâåê ýòî óòâåðæäåíèå âûïîëíÿåòñÿ. Ïîêàæåì, ÷òî îíî âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ëþáîé ãðóïïû èç k + 1 ÷åëîâåêà. Ïóñòü 1,2,...,k , k + 1  íîìåðà ëþäåé. Óäàëèì ÷åëîâåêà ñ íîìåðîì k + 1. Îñòàíåòñÿ ãðóïïà â êîòîðîé k ÷åëîâåê, ïî ïðåäïîëîæåíèþ îíè âñå èìåþò âîëîñû îäíîãî öâåòà. Èòàê, ëþäè ñ íîìåðàìè 1, 2,...k èìåþò âîëîñû îäíîãî öâåòà. Âåðíåì ÷åëîâåêà ñ íîìåðîì k + 1 è óäàëèì ñ íîìåðîì 1. Ñíîâà èìååì ãðóïïó èç k ÷åëîâåê, â êîòîðîé ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè âñå ëþäè èìåþò âîëîñû îäíîãî öâåòà. Çíà÷èò ëþäè ñ íîìåðàìè 2,...,k , k + 1 èìåþò âîëîñû îäíîãî öâåòà. Íî ÷åëîâåê ñ íîìåðîì 1 èìååò âîëîñû òîãî æå öâåòà, ÷òî è 2, çíà÷èò ëþäè ñ íîìåðàìè 1,2,...,k , k + 1 èìåþò âîëîñû îäíîãî öâåòà. Ðàçáîð ñëó÷àåâ Íåêîòîðûå çàäà÷è ìîæíî ðàçáèòü íà ñëó÷àè è çàòåì èññëåäîâàòü êàæäûé ñëó÷àé ïî îòäåëüíîñòè. Òèïè÷íûìè ïðèìåðàìè ðàçáîðà ñëó÷àåâ ÿâëÿþòñÿ óòâåðæäåíèÿ î íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ è ðåøåíèå óðàâíåíèé ñî çíàêîì ìîäóëÿ. Óòâåðæäåíèÿ î íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ (êîíå÷íî æå äàëåêî íå âñå) ìîæíî äîêàçûâàòü ðàññìàòðèâàÿ îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà íåêîòîðîå âûáðàííîå ÷èñëî. 8 Ëåêöèÿ 1. Ââîäíàÿ Ïðèìåð Ñàìûé ïðîñòîé. Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë äåëèòñÿ íà 2. Äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àè: ïåðâîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 2 è ïåðâîå ÷èñëî ïðè äåëåíèè íà 2 äàåò îñòàòîê 1. Ýòèìè ñëó÷àÿìè èñ÷åðïûâàþòñÿ âñå âîçìîæíîñòè. Èññëåäîâàíèå âûðàæåíèÿ ïîä ìîäóëåì êàê ïðàâèëî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ÷èñëîâàÿ îñü ðàçáèâàåòñÿ íà ïðîìåæóòêè è êàæäûé ïðîìåæóòîê èññëåäóåòñÿ îòäåëüíî. Ðàçáîð ñëó÷àåâ áóäåò íàìè èñïîëüçîâàí íåîäíîêðàòíî, â ÷àñòíîñòè ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû î ïîëíîòå ìíîæåñòâà áóëåâûõ ôóíêöèé. Äîêàçàòåëüñòâà ìåòîäîì îò ïðîòèâíîãî Ïóñòü èìåþòñÿ óòâåðæäåíèÿ "A"è "B". Åñëè ÿâëÿåòñÿ ñïðàâåäëèâûì óòâåðæäåíèå "Èç A ñëåäóåò B", òî ãîâîðÿò, ÷òî óòâåðæäåíèå "A"ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì äëÿ "B", à "B"â ñâîþ î÷åðåäü íåîáõîäèìûì äëÿ "A". Êîãäà â çàäà÷å òðåáóåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî "A"ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì (íåîáõîäèìûì) äëÿ "B", òî íàäî äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ "Èç A ñëåäóåò B"("Èç B ñëåäóåò A"). Åñëè "A"ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì äëÿ "B", òî íà ìàòåìàòè÷åñêîì ÿçûêå ýòî îáîçíà÷àåòñÿ ⇔ èëè ↔.  ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàññóæäåíèÿõ äîñòàòî÷íî ÷àñòî âìåñòî îäíîãî óòâåðæäåíèÿ äîêàçûâàåòñÿ äðóãîå, à çàòåì äåëàåòñÿ âûâîä, ÷òî òàê êàê ñïðàâåäëèâî âòîðîå óòâåðæäåíèå, òî ñïðàâåäëèâî è ïåðâîå. Ðàñññìîòðèì âûñêàçûâàíèå "Èç A ñëåäóåò B". Îïðåäåëèì äëÿ íåãî 3 íîâûõ âûñêàçûâàíèÿ. "Èç B ñëåäóåò A âûñêàçûâàíèå îáðàòíîå èñõîäíîìó; "Èç íå A ñëåäóåò íå B âûñêàçûâàíèå ïðîòèâîïîëîæíîå èñõîäíîìó; "Èç íå B ñëåäóåò íå A âûñêàçûâàíèå îáðàòíîå ïðîòèâîïîëîæíîìó. Ëåãêî ïðèâåñòè ïðèìåðû, êîãäà èñõîäíîå âûñêàçûâàíèå èñòèííî, à îáðàòíîå íåò èëè êîãäà èñõîäíîå èñòèííî, à ïðîòèâîïîëîæíîå íåò. Íî ýòîãî íå óäàñòñÿ ñäåëàòü, åñëè ðàñìàòðàâèòü èñõîäíîå è ïðîòèâîïîëîæíîå îáðàòíîìó. Îíè èëè îáà èñòèííû èëè îáà ëîæ- Ÿ 4. Ñîêðàùåíèÿ 9 íû. Òàêèå óòâåðæäåíèÿ íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè. Ïîýòîìó ÷àñòî â äîêàçàòåëüñòâàõ, âìåñòî, òîãî, ÷òîáû ïîêàçûâàòü ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ "Èç A ñëåäóåò B"ïîêàçûâàþò ñïðàâåäëèâîñòü "Èç íå B ñëåäóåò íå A"è çàòåì äåëàþò çàêëþ÷åíèå, ÷òî ñïðàâåäëèâî èñõîäíîå âûñêàçûâàíèå. Ÿ 4. Ñîêðàùåíèÿ 4.1. Ìíîãîòî÷èå Íà ïðîòÿæåíèè íàøèõ ëåêöèé ìû ïî÷òè âñåãäà áóäåì èìåòü äåëî ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì îáúåêòîâ. À êîíå÷íîå ÷èñëî îáúåêòîâ âñåãäà ìîæíî ïåðå÷èñëèòü. Íàïðèìåð, åñëè ìû èìååì 5 ÿáëîê, òî ìîæíî ñêàçàòü ïåðâîå ÿáëîêî, âòîðîå ÿáëîêî, òðåòüå ÿáëîêî, ÷åòâåðòîå ÿáëîêî, ïÿòîå ÿáëîêî. À åñëè ïðåäìåòîâ ó íàñ 1000. ßñíî, ÷òî ïåðå÷èñëåíèå âñåõ  íå ñàìûé ðàçóìíûé ïîäõîä.  òàêèõ ñëó÷àÿõ ìû èñïîëüçóåì ìíîãîòî÷èå: ïåðâîå ÿáëîêî, âòîðîå ÿáëîêî,..., òûñÿ÷íîå ÿáëîêî. Ãäå ñòàâèòü ìíîãîòî÷èå è êîãäà åãî ìîæíî ñòàâèòü? Ýòî çàâèñèò îò êîíêðåòíîé çàäà÷è. Ìíîãîòî÷èå áóäåì ñòàâèòü òîãäà, êîãäà åãî èñïîëüçîâàíèå íå ïðèâîäèò ê íåäîðàçóìåíèþ. 1, 2, ..., 100  ðàññìàòðèâàþòñÿ âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà îò 1 äî 100. 1, 3, 5, ..., 99  ðàññìàòðèâàþòñÿ âñå íå÷åòíûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà îò 1 äî 99. Íå âñåãäà íàì áóäåò èçâåñòíî ÷èñëî îáúåêòîâ. Ïîýòîìó äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ÷èñëà îáúåêòîâ ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ðàçëè÷íûå áóêâû  n, m è äðóãèå. 1, 2, ..., n  ðàññìàòðèâàåì âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà îò 1 äî n.  êîíêðåòíîé ñèòóàöèè n ïðèíèìàåò êîíêðåòíîå çíà÷åíèå. a1 , ..., an  ðàññìàòðèâàåì n ïåðåìåííûõ, ïåðâàÿ îáîçíà÷åíà a1 , âòîðàÿ îáîçíà÷åíà a2 è òàê äàëåå. (Ôðàçà "è òàê äàëåå"òîæå ÿâëÿåòñÿ ñîêðàùåíèåì. Åå ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü â òîì ñëó÷àå, åñëè ïîíÿòíî, ÷òî ïðîèñõîäèò "äàëåå".)  òàêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõ íàì èíîãäà ïðèäåòñÿ âûäåëÿòü íåêîòîðûå ÷ëåíû, êàê ñëåâà íàïðàâî òàê è ñïðàâà íàëåâî. Ïîíÿòíî, ÷òî íà 5 ìåñòå ñëåâà ó íàñ ñòîèò a5 , íà k -îì ìåñòå ñëåâà ñòîèò ak , íà k + p-ì ìåñòå ñëåâà ñòîèò ak+p . À íà 5 ìåñòå ñïðàâà ñòîèò an−4 (Íà ïåðâîì ìåñòå ñïðàâà ñòîèò an ). Êàê ïðàâèëî ìíîãîòî÷èå ó íàñ áóäåò ñòîÿòü ïîñëå íåêîòîðîãî îáúåêòà (îáúåêòîâ), ÷òîáû áûëî ïîíÿòíî, ÷òî îíî îáîçíà÷àåò 10 Ëåêöèÿ 1. Ââîäíàÿ (çàïèñü 1,1,...,1 îçíà÷àåò ÷òî ìû èìååì íåêîòîðóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñîñòîÿùóþ èç îäíèõ åäèíèö). Åñëè æå ïåðåä ìíîãîòî÷èåì íè÷åãî íå ñòîèò, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íàñ íå èíòåðåñóåò, êàêèå îáúåêòû ìû ðàññìàòðèâàåì, ëèøü áû îíè óäîâëåòâîðÿëè ðàññìàòðèâàåìîìó ñëó÷àþ. Òàê åñëè ìû ðàññìàòðèâàåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ñîñòîÿùèå òîëüêî èç 0 è 1, òî çàïèñü ...,0,1,..., 1 áóäåò îçíà÷àòü ÷òî ñïðàâà ñòîÿò ïîäðÿä îäíè åäèíèöû, çàòåì íóëü, à äàëüøå íàì íå âàæíî ÷òî ñòîèò  íóëü èëè åäèíèöà. 4.2. Îáîçíà÷åíèå ñóìì Îäíîé èç îñíîâíûõ îïåðàöèé â ìåòåìàòèêå ÿâëÿåòñÿ ñóììà.  ýòîì ïóíêòå ìû ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ñîêðàùåíèÿ äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ñóìì è îñíîâíûå ïðèåìû îáðàùåíèÿ ñ íèìè. Ïóñòü ìû õîòèì íàéòè ñóììó ïåðâûõ ïÿòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ýòî ìîæíî çàïèñàòü òàê  1+2+3+4+5, èëè ñ èñïîëüçîâàíèåì ìíîãîòî÷èÿ  1+2+...+5. ×èñëà, âõîäÿùèå â ñóììó íàçûâàþòñÿ ñëàãàåìûìè èëè ÷ëåíàìè ñóììû. Íå âñåãäà íàì ÿâíî èçâåñòíû ñëàãàåìûå (âïðî÷åì êàê è ÷èñëî ñëàãàåìûõ), ïîýòîìó ìû áóäåì èìåò äåëî ñ ñóììàìè âèäà a1 + a2 + ... + an (Íà "ðóññêîì ÿçûêå"ýòó ñóììó ìîæíî ïðî÷èòàòü ïðèìåðíî òàê "ñóììà, â êîòîðîé ñëàãàåìûå åñòü a c íåêîòîðûì èíäåêñîì, ïðè÷åì èíäåêñ èçìåíÿåòñÿ îò 1 äî n.) P Äëÿ ñëîâà "ñóììà"â ìàòåìàòèêå åñòü îáîçíà÷åíèå , ñíèçó è ñâåðõó ýòîãî ñèìâîëà ìû óêàæåì èçìåíåíèå èíäåêñà, à ñïðàâà çàïèøåì ñëàãàåìîå (äëÿ èíäåêñà èñïîëüçóåì áóêâó i) è òîãäà: a1 + a2 + ... + an = n X ai i=1 Ñóììû ìîãóò ñòðîèòüñÿ òîëüêî èç òåõ ñëàãàåìûõ, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò íåêîòîðûì óñëîâèÿì. Âñå òàêèå óñëîâèÿ ìû áóäåì çàïèñûâàòü ïîä çíàêîì ñóììû. Íàïðèìåð äëÿ ñóììû âñåõ ÷åòíûõ ÷èñåë îò 2 äî 100 ìîæíî èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå 50 X i=1 X 2i èëè n 6n6100 1 n−íå÷åòíîå 11 Ÿ 4. Ñîêðàùåíèÿ  êà÷åñòâå èíäåêñîâ äëÿ ñóììèðîâàíèÿ íàìè áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ è ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷èñåë.P aα1 α2 åñòü ñîêðàùåíèå Ïðèìåð Ïóñòü A = {0, 1}. Òîãäà α1 α2 αi ∈A äëÿ a00 + a01 + a10 + a11 Cìåíà èíäåêñà ñóììèðîâàíèÿ.  ñóììå n P ai ïåðåìåíi=1 P íûé èíäåêñ i ñâÿçàí çíàêîì , ïîñêîëüêó i âP ai íèêàê íå ñâÿçàíî ñ òåìè i, êîòîðûå ïîÿâëÿþòñÿ äî èëè ïîñëå .  ÷àñòíîñòè ëþáàÿ äðóãàÿ áóêâà (êðîìå a è n) ìîãëà áû çàìåíèòü i (íàïðèìåð áóêâà k ). Òàêèì îáðàçîì n X ai = i=1 n X ak = n X ap p=1 k=1 Ïðè çàìåíå èíäåêñà ñóììèðîâàíèÿ íóæíî îáÿçàòåëüíî ó÷èòûâàòü ïðåäåëû ñóììèðîâàíèÿ. n P Åñëè â ai èíäåêñ i ìû õîòèì çàìåíèòü íà t − 4, òî íóæíî i=1 ó÷åñòü ÷òî ïðè i = 1 ïîëó÷èì t = 5, à ïðè i = n ïîëó÷èì t = n + 4. n X ai = n+4 X at−4 t=5 i=1  ñóììàõ îòäåëüíûå ñëàãàåìûå ìîæíî âûäåëÿòü ÿâíî: n X i=1 ai = a1 + n X i=2 ai = n−1 X ai + an = a1 + a2 + i=1 n X ai i=3 Ïðåîáðàçîâàíèå ñóìì. Ïóñòü K  íåêîòîðîå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ñóììû â êîòîðûõ èíäåêñû ïðèíèìàþò çía÷åíèÿ èç K ìîæíî ïðåîáðàçîâûâàòü, èñõîäÿ èç ñëåäóþùèõ ïðîñòûõ ïðàâèë: P P ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí  cak = c ak (â äðóãîé èík∈K k∈K òåðïðåòàöèè  ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíîñèòü çà ñêîáêó) èëè â áîëåå îáùåì âèäå 12 Ëåêöèÿ 1. Ââîäíàÿ n X i=1 ai · t X k=1 ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí  X bk = P k∈K ai bk 6i6n 1 16k6t (ak + bk ) = P k∈K ak + P k∈K bk Ðàçäåë 1. ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÀ Ëåêöèÿ 2 Âûáîðêè: óïîðÿäî÷åííûå è íåóïîðÿäî÷åííûå, ñ ïîâòîðåíèåì è áåç ïîâòîðåíèÿ Ÿ 1. Ïðàâèëà ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ Ïóñòü A è B  íåêîòîðûå ìíîæåñòâà. Áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿ: S A T B = {x|x ∈ A èëè x ∈ B}  îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ; A B = {x|x ∈ A è x ∈ B}  ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ; A × B = {(a, b)|a ∈ A è b ∈ B}  äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ìíîæåñòâ; A\B = {x|x ∈ A è x ∈ / B}  ðàçíîñòü ìíîæåñòâ. Åñëè A  ìíîæåñòâî, òî ÷åðåç |A| îáîçíà÷èì ìîùíîñòü ìíîæåñòâà A (â ñëó÷àå êîíå÷íîãî A áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòî ÷èñëî ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A). Ïðàâèëî ñóììû. Ïóñòü A è B êîíå÷íûå T S ìíîæåñòâà, òàêèå ÷òî A B = ∅, |A| = m, |B| = n. Òîãäà |A B| = m + n. Èíòåðïðåòàöèÿ. Åñëè îáúåêò A ìîæåò áûòü âûáðàí m ñïîñîáàìè, à îáúåêò B ìîæåò áûòü âûáðàí n ñïîñîáàìè, òî âûáîð "ëèáî A, ëèáî B "ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåí m + n ñïîñîáàìè. Ëèáî A, ëèáî B îçíà÷àåò, ÷òî íóæíî âçÿòü îáúåêò A èëè îáúåêò B , íî íå îáà. Ïðèìåð.  êîìàíäèðîâêó äîëæåí áûòü îòïðàâëåí îäèí ñîòðóäíèê ôèðìû.  ôèðìå èìååòñÿ äâà îòäåëà: â ïåðâîì 4 ÷åëîâåêà, à âî âòîðîì 5 ÷åëîâåê. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî âûáðàòü êîìàíäèðóåìîãî. Ðåøåíèå: ßñíî, ÷òî â êîìàíäèðîâêó ìîæíî îòïðàâèòü ëèáî ñîòðóäíèêà ïåðâîãî îòäåëà, ëèáî âòîðîãî îòäåëà. Ïóñòü A îçíà÷àåò òî, ÷òî â êîìàíäèðîâêó îòïðàâèëè ñîòðóäíèêà ïåðâîãî îòäåëà, à B  â êîìàíäèðîâêó îòïðàâèëè ñîòðóäíèêà âòîðîãî îòäåëà. Çäåñü íàì íàäî âûáðàòü A ëèáî B . Äëÿ A ñóùåñòâóåò 4 âîçìîæíîñòè (â ïåðâîì îòäåëå 4 ñîòðóäíèêà è ëþáîãî ìîæíî 13 14 Ëåêöèÿ 2. Âûáîðêè îòïðàâèòü â êîìàíäèðîâêó, ó íàñ âåäü íåò íèêàêèõ äîïîëíèòåëüíûõ òðåáîâàíèé), à äëÿ B  5 âîçìîæíîñòåé. Ïî ïðàâèëó ñóììû ïîëó÷àåì 5 + 4 = 9 ñïîñîáîâ. Ïðàâèëî ïðîèçâåäåíèÿ. Ïóñòü A è B  êîíå÷íûå ìíîæåñòâà, |A| = m, |B| = n. Òîãäà |A × B| = m · n. Èíòåðïðåòàöèÿ. Åñëè îáúåêò A ìîæåò áûòü âûáðàí m ñïîñîáàìè è ïîñëå êàæäîãî èç òàêèõ âûáîðîâ, îáúåêò B â ñâîþ î÷åðåäü ìîæåò áûòü âûáðàí n ñïîñîáàìè, òî âûáîð "A è B "â óêàçàííîì ïîðÿäêå ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåí m · n ñïîñîáàìè. Ïðàâèëî ïðîèçâåäåíèÿ ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü íà ñëó÷àé k êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ. Ïóñòü Ai (i = 1, k)  êîíå÷íûå ìíîæåñòâà, |Ai | = mi , òîãäà |A1 × . . . × Ak | = m1 · . . . · mk . Ïðèìåð. Ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé âèäà ab, ãäå a ∈ {0, 1}, b ∈ {0, 1} ìîæíî ñîñòàâèòü? Ðåøåíèå. Íàì íóæíî çàïîëíèòü äâå ïîçèöèè ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà {0, 1}. Äëÿ ýòîãî ìû ñíà÷àëà çàïîëíÿåì ïåðâóþ ïîçèöèþ (ñòàâèì ÷òî-òî íà ïåðâîå ìåñòî), à çàòåì, ïîñëå òîãî, êàê çàïîëíèëè ïåðâóþ ïîçèöèþ, çàïîëíÿåì âòîðóþ ïîçèöèþ. Ïóñòü A îçíà÷àåò çàïîëíåíèå ïåðâîé ïîçèöèè, à B  çàïîëíåíèå âòîðîé ïîçèöèè. Ñïðàøèâàåòñÿ, ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî âûïîëíèòü A è B ? Ïåðâóþ ïîçèöèþ ìîæíî çàïîëíèòü äâóìÿ ñïîñîáàìè: ïîñòàâèòü íà ïåðâîå ìåñòî 0 èëè 1, çíà÷èò |A| = 2. Âòîðóþ ïîçèöèþ ìîæíî çàïîëíèòü òîæå äâóìÿ ñïîñîáàìè. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ïðàâèëó ïðîèçâåäåíèÿ ïîëó÷àåì 2 · 2 = 4 ðàçëè÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè: 00  íà ïåðâîå ìåñòî ïîñòàâèëè 0 è ïîñëå òîãî, êàê íà ïåðâîå ìåñòî ïîñòàâèëè 0 íà âòîðîå ìåñòî ïîñòàâèëè 0; 01; 10; 11. Äâîè÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ äëèíû n áóäåì íàçûâàòü ñëîâî, â êîòîðîì n áóêâ è áóêâû  ýòî 0 èëè 1. Òåîðåìà 2.1. ×èñëî ðàçëè÷íûõ äâîè÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé äëèíû n ðàâíî 2n . Äîêàçàòåëüñòâî. Íà ïåðâîì ìåñòå â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæåò ñòîÿòü 0 èëè 1. Ò.å. èìåþòñÿ 2 âîçìîæíîñòè çàïîëíèòü ïåðâóþ ïîçèöèþ. Ïîñëå òîãî, êàê çàïîëíèëè ïåðâóþ ïîçèöèþ, èìååòñÿ 2 âîçìîæíîñòè çàïîëíèòü âòîðóþ ïîçèöèþ. Ò.î. èìååòñÿ 4 âîçìîæíîñòè çàïîëíèòü äâå ïîçèöèè. Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, 15 Ÿ 2. Âûáîðêè áåç ïîâòîðåíèÿ ïîëó÷àåì 2n ðàçëè÷íûõ âîçìîæíîñòåé çàïîëíèòü n ïîçèöèé. ¤ Òåîðåìà 2.2. ×èñëî âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà A, ñîñòîÿùåãî èç n ýëåìåíòîâ, ðàâíî 2n . Äîêàçàòåëüñòâî. Êàæäîìó ïîäìíîæåñòâó ìíîæåñòâà A ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå äâîè÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äëèíû n. Ïåðåíóìåðóåì ýëåìåíòû ìíîæåñòâà A íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè îò 1 äî n. Èìååì A = {a1 , . . . , an }. Ïóñòü äàíî ïîäìíîæåñòâî B ⊆ A. Ñòðîèì äâîè÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (x1 , . . . , xn ) ñëåäóþùèì îáðàçîì: ½ xi = 1, åñëè ai ∈ B 0, åñëè ai ∈ /B Ýòî ñîîòâåòñòâèå ÿâëÿåòñÿ âçàèìíîîäíîçíà÷íûì, ñëåäîâàòåëüíî âñåõ ïîäìíîæåñòâ ñòîëüêî æå, ñêîëüêî äâîè÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé äëèíû n. ¤ Ÿ 2. Âûáîðêè áåç ïîâòîðåíèÿ Ïóñòü äàíî ìíîæåñòâî S = {a1 , a2 , ..., an }, ñîñòîÿùåå èç n ýëåìåíòîâ. Íàáîð (ai1 , ..., aik ) äëèíû k , ãäå aij ∈ S , íàçûâàåòñÿ âûáîðêîé áåç ïîâòîðåíèÿ ýëåìåíòîâ èç S . Åñëè íàáîð óïîðÿäî÷åííûé, òî âûáîðêà íàçûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííîé, åñëè æå íàáîð íåóïîðÿäî÷åííûé, òî è âûáîðêà íàçûâàåòñÿ íåóïîðÿäî÷åííîé. ×èñëî k íàçûâàåòñÿ îáúåìîì èëè äëèíîé âûáîðêè. 2.1. Óïîðÿäî÷åííûå âûáîðêè áåç ïîâòîðåíèÿ Åñëè â âûáîðêå âàæåí ïîðÿäîê ýëåìåíòîâ, òî âûáîðêà íàçûâàåòñÿ ðàçìåùåíèåì. Äðóãèìè ñëîâàìè: ðàçìåùåíèå  ýòî óïîðÿäî÷åííàÿ âûáîðêà, â êîòîðîé âñå ýëåìåíòû ðàçëè÷íû. Åñëè îáúåì ðàçìåùåíèÿ ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà, òî òàêîå ðàçìåùåíèå íàçûâàåòñÿ ïåðåñòàíîâêîé. Òåðìèí ðàçìåùåíèå ìîæíî ïðîèíòåðïðåòèðîâàòü ñëåäóþùåé çàäà÷åé: èìååòñÿ n ïðåäìåòîâ è k ÿùèêîâ (÷èñëî ïðåäìåòîâ áîëüøå ÷èñëà ÿùèêîâ). ßùèêè íàäî çàïîëíèòü ïðåäìåòàìè (ïî îäíîìó ïðåäìåòó â ÿùèê) èëè ïðåäìåòû ðàçìåñòèòü ïî ÿùèêàì. Îáîçíà÷èì ÷èñëî ðàçìåùåíèé èç n ïî k ÷åðåç Akn ; ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê èç n ýëåìåíòîâ ÷åðåç Pn . 16 Ëåêöèÿ 2. Âûáîðêè Íàïîìíèì, ÷òî n! ÷èòàåòñÿ êàê n-ôàêòîðèàë è îáîçíà÷àåò ñëåäóþùåå: 0! = 1, n! = n(n − 1)(n − 2) · . . . · 1. Òåîðåìà 2.3. 1. Akn = n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1). 2. Pn = n! Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóåì ïðàâèëî ïðîèçâåäåíèÿ. ¤ Íåêîòîðûå ñâîéñòâà ðàçìåùåíèé n 1. Arn = An Pn Pn−r = An−r , n−r Arn−1 + rAr−1 n−1 2. Arn = Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì âòîðîå ñâîéñòâî. (n−1)! (n−1)! Ïåðâûé ñïîñîá. Arn−1 + rAr−1 n−1 = (n−1−r)! + r (n−1−r+1)! = (n−1)! (n−1−r)! (n−1)!(n−r)+r(n−1)! n! + r (n−1)! = n(n−1)! (n−r)! = (n−r)! (n−r)! = (n−r)! . Âòîðîé ñïîñîá. Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà A, òîãäà â ïðîèçâîëüíîå ðàçìåùåíèå ïî r ýëåìåíòîâ îí ìîæåò âõîäèòü, à ìîæåò è íå âõîäèòü. ×èñëî ðàçìåùåíèé, â êîòîðûå îí íå âõîäèò ðàâíî Arn−1 . À ëþáîå ðàçìåùåíèå, â êîòîðîå îí âõîäèò ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: âîçüìåì ðàçìåùåíèå èç n − 1 ïî r − 1 (èõ âñåõ áóäåò Ar−1 n−1 ) è ïîñòàâèì ýòîò ýëåìåíò íà ëþáîå èç r ìåñò. ¤ 2.2. Íåóïîðÿäî÷åííûå âûáîðêè Ñî÷åòàíèÿ. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü âûáîðêè, â êîòîðûõ ïîðÿäîê ýëåìåíòîâ íå âàæåí. Òàêèå âûáîðêè íàçûâàþòñÿ ñî÷åòàíèÿìè áåç ïîâòîðåíèé èëè ïðîñòî ñî÷åòàíèÿìè. ¡ ¢ Äëÿ ÷èñëà ñî÷åòàíèé èç n ïî k ââåäåì îáîçíà÷åíèå nk (÷èòàåòñÿ "÷èñëî ñî÷åòàíèé èç n ïî k "). Äëÿ ïîäñ÷åòà ÷èñëà ñî÷åòàíèé âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèì. ×èñëî óïîðÿäî÷åííûõ âûáîðîê èç n ïî k , â êîòîðûõ âñå ýëåìåíòû ðàçëè÷íû ðàâíî Akn . Åñëè ïîìåíÿòü ìåñòàìè ýëåìåíòû ðàçìåùåíèÿ, òî ïîëó÷èì íîâîå ðàçìåùåíèå, íî òî æå ñàìîå ñî÷åòàíèå, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ÷èñëî ñî÷åòàíèé èç n ïî k , íàäî ÷èñëî ðàçìåùåíèé èç n ïî k ðàçäåëèòü íà ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê èç k . Ÿ 2. Âûáîðêè áåç ïîâòîðåíèÿ 17 Ò.î. ÷èñëî ñî÷åòàíèé ðàâíî ¡n¢ k = Akn n! = k! (n − k)!k! Ïî àíàëîãèè ñ ðàçìåùåíèÿìè ìîæíî äîêàçàòü ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ 1. n0 + n1 + . . . + nn = 2n . ¡n¢ ¡n−1¢ ¡n−1¢ 2. r = r + r−1 , n ≥ r ¡ ¢ ¡ n ¢ 3. nr = n−r ,n ≥ r Çàìå÷àíèå. Íà ñî÷åòàíèå èç n ïî k ìîæíî ñìîòðåòü êàê íà ïîäìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç k ýëåìåíòîâ, ìíîæåñòâà, â êîòîðîì n ýëåìåíòîâ. Ïåðåáîð ñî÷åòàíèé Äëÿ ïåðåáîðà âñåõ ñî÷åòàíèé áåç ïîâòîðåíèé èç n ïî m áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ñî÷åòàíèè ó÷àñòâóåò m ÷èñåë èç äèàïàçîíà îò 1 äî n. Ýòè ÷èñëà â ñî÷åòàíèè ñòîÿò â âîçðàñòàþùåì ïîðÿäêå. Èòàê, áóäåì ñòðîèòü ÷èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè x1 , . . . , xm , ãäå xi < xi+1 . Íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå. xi = i äëÿ âñåõ i = 1, m. Øàã. Ïðîñìàòðèâàåì êîìïîíåíòû ñïðàâà íàëåâî è èùåì ïåðâóþ êîìïîíåíòó, êîòîðóþ ìîæíî óâåëè÷èòü (íåëüçÿ óâåëè÷èòü xm = n, xm−1 = n−1 è ò.ä.). Åñëè òàêîé êîìïîíåíòû íåò, òî çàêîí÷èòü ïðîöåññ.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ïóñòü k  íàèáîëüøåå ÷èñëî, äëÿ êîòîðîãî xk < n + m − k . Óâåëè÷èâàåì xk íà åäèíèöó, à äëÿ âñåõ ìåcò ñëåäóþùèõ çà k êàæäûé ýëåìåíò óâåëè÷èâàåì íà 1 ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðåäûäóùèì (ò.å. xk+1 = xk + 1, xk+2 = xk+1 + 1 è ò.ä.). Ïðîäîëæàåì øàã. Ïðèìåð. Ïåðåáåðåì âñå ñî÷åòàíèÿ èç 7 ýëåìåíòîâ ïî 5. ¡7¢ 5 = 7! 7·6 = = 21 (7 − 5)!5! 1·2 18 Ëåêöèÿ 2. Âûáîðêè  øàãà Ñî÷åòàíèå  øàãà Ñî÷åòàíèå  øàãà Ñî÷åòàíèå 1 12345 8 12457 15 14567 2 12346 9 12467 16 23456 3 12347 10 12567 17 23457 4 12356 11 13456 18 23467 5 12357 12 13457 19 23567 6 12367 13 13467 20 24567 7 12456 14 13567 21 34567 Êîäèðîâàíèå ñî÷åòàíèé. Ðàññìîòðèì ñî÷åòàíèå èç n ýëåìåíòîâ ïî m ýëåìåíòîâ. Êàæäîìó ñî÷åòàíèþ ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå äâîè÷íûé íàáîð (x1 , . . . , xn ) ñëåäóþùèì îáðàçîì ½ 1, åñëè ai âõîäèò â ñî÷åòàíèå xi = 0, åñëè ai íå âõîäèò â ñî÷åòàíèå Èç ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà ñî÷åòàíèþ (34567) áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü íàáîð (0011111), ñî÷åòàíèþ (12567) íàáîð (1100111). Òàêîå ñîîòâåòñòâèå ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì, çíà÷èò ÷èñëî ¡ n ¢ äâîè÷íûõ íàáîðîâ äëèíû n, ñîäåðæàùèõ m åäèíèö ðàâíî m . Ÿ 3. Âûáîðêè c ïîâòîðåíèåì Ïóñòü äàíî ìíîæåñòâî S , ñîñòîÿùåå èç ýëåìåíòîâ n ðàçëè÷íûõ ñîðòîâ. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ÷èñëî ïðåäìåòîâ êàæäîãî ñîðòà ìîæåò áûòü êàê êîíå÷íî, òàê â ïðèíöèïå è áåñêîíå÷íî. Íàáîð (ai1 , ..., aik ) äëèíû k , ãäå aij ∈ S , íàçûâàåòñÿ âûáîðêîé ñ ïîâòîðåíèåì ýëåìåíòîâ èç S . Àíàëîãè÷íî âûáîðêàì áåç ïîâòîðåíèÿ îïðåäåëèì óïîðÿäî÷åííûå è íåóïîðÿäî÷åííûå âûáîðêè, îáúåì (äëèíó) âûáîðêè. 3.1. Óïîðÿäî÷åííûå âûáîðêè ñ ïîâòîðåíèåì Òåîðåìà 2.4. ×èñëî óïîðÿäî÷åííûõ âûáîðîê ñ ïîâòîðåíèåì îáúåìà r èç ìíîæåñòâà, èìåþùåãî n ýëåìåíòîâ, ðàâíî nr . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A1 îçíà÷àåò òî, ÷òî çàïîëíåíî 1-å ìåñòî, A2  çàïîëíåíî 2-å ìåñòî,..., Ar  çàïîëíåíî r-å ìåñòî â âûáîðêå. Òîãäà î÷åâèäíî |A1 | = n (íà ïåðâîå ìåñòî ìîæíî ïîñòàâèòü ïðåäìåò ëþáîãî ñîðòà),|A2 | = n (íà âòîðîå ìåñòî ìîæíî ïîñòàâèòü ïðåäìåò ëþáîãî ñîðòà),...,|Ar | = n è ïî ïðàâèëó ïðîèçâåäåíèÿ ïîëó÷àåì íóæíûé ðåçóëüòàò. ¤ 19 Ÿ 3. Âûáîðêè ñ ïîâòîðåíèåì Îáîçíà÷èì ÷èñëî óïîðÿäî÷åííûõ âûáîðîê ñ ïîâòîðåíèåì îáúåìà k èç ìíîæåñòâà, ñîäåðæàùåãî n ýëåìåíòîâ ÷åðåç Unk . Êàê ìû âûøå ïîêàçàëè Unk = nk Ïðèìåð. Ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë ìîæíî ñîñòàâèòü èç öèôð 1, 2, 3, 4, 5, 6? Ðåøåíèå. Unk = 64 . Ïðèìåð. Íàéòè ÷èñëî âñåõ ïÿòèçíà÷íûõ ÷èñåë. 5 = 105 , íî íà ïåðÐåøåíèå. Âñåõ öèôð 10, ñëåäîâàòåëüíî U10 4 = 104 . âîì ìåñòå íå ìîæåò ñòîÿòü 0, ÷èñëî òàêèõ ÷èñåë ðàâíî U10 5 4 5 ×èñëî âñåõ ïÿòèçíà÷íûõ ÷èñëå ðàâíî U10 − U10 = 10 − 104 . 3.2. Íåóïîðÿäî÷åííûå âûáîðêè ñ ïîâòîðåíèåì Ðàññìàòðèâàåì âûáîðêè äëèíû r, íå ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ïîðÿäîê ýëåìåíòîâ. Òàêèå âûáîðêè íàçûâàþòñÿ ñî÷åòàíèÿìè ñ ïîâòîðåíèÿìè. ×èñëî òàêèõ ñî÷åòàíèé îáîçíà÷èì Vnr . Íàéäåì ÷åìó ðàâíî Vnr . ×èñëî ýëåìåíòîâ a1 âõîäÿùèõ â ñî÷åòàíèå èç r ýëåìåíòîâ ñ ïîâòîðåíèÿìè îáîçíà÷èì ÷åðåç x1 , àíàëîãè÷íî äëÿ a2  x2 , . . . , äëÿ an  xn . Ïðè ýòîì ½ x1 + x2 + . . . + xn = r, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, . . . , xn ≥ 0, Êàæäûé ñèìâîë ai âîîáùå ãîâîðÿ íå îáÿçàí âõîäèòü â êàæäîå ñî÷åòàíèå. Ê óæå èìåþùèìñÿ ñèìâîëàì â ñî÷åòàíèè ìû äîáàâèì îäèí ñèìâîë a1 , îäèí ñèìâîë a2 , ... è îäèí ñèìâîë an . Ïîëó÷èì íîâîå ñî÷åòàíèå äëèíû n + r. Åñëè yi  ÷èñëî ñèìâîëîâ ai â íîâîì ñî÷åòàíèè, òî èìååì ½ y1 + y2 + . . . + yn = n + r, (∗) y1 > 0, y2 > 0, . . . , yn > 0, Îäèíàêîâûå ýëåìåíòû, âõîäÿùèå â ñî÷åòàíèå, îáúåäèíèì â ãðóïïû, ïîìåùàÿ ìåæäó ãðóïïàìè âåðòèêàëüíóþ ÷åðòó a1 . . . a1 | a2 . . . a2 | . . . | an . . . an | {z } | {z } | {z } y1 y2 yn ×èñëî ðàçäåëèòåëåé ðàâíî (n − 1). È òåïåðü ëþáîå íîâîå ñî÷åòàíèå ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: íàì íàäî ÷èñëî n + r ðàçáèòü íà n ñëàãàåìûõ (ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû *). Âîçüìåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êðóæî÷êîâ äëèíû (n + r) ° ° ° ... ° ° 1 2 3 ... n + r − 1 n + r È ýòó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàäî ðàçáèòü íà n ãðóïï, òîãäà ÷èñëî êðóæî÷êîâ â ïåðâîé ãðóïïå ýòî y1 , âî âòîðîé ãðóïïå  y2 , ..., â ïîñëåäíåé ãðóïïå  yn . Äëÿ ýòîãî ìåæäó êðóæî÷êàìè íóæíî ïîñòàâèòü (n − 1) ðàçäåëèòåëü ¡n+r−1¢ (ïîðÿäîê íå âàæåí), âñåõ ðàçëè÷íûõ âîçìîæíîñòåé n−1 , ò.î. Vnr = ¡n+r−1¢ n−1 . ¤ Ëåêöèÿ 3 Áèíîì Íüþòîíà Ÿ 1. Áèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû Òåîðåìà 3.1. [Áèíîìèàëüíàÿ]. Ïóñòü n  íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òîãäà n X ¡n¢ i n−i (x + y) = i x y n i=0 Äîêàçàòåëüñòâî. Ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Áàçà èíäóêöèè. n = 1 1 X ¡1¢ i 1−i ¡1¢ 0 1 ¡1¢ 1 0 (x+y) = = 0 x y + 1 x y = x0 y 1 +x1 y 0 = (x+y)1 . i x y 1 i=0 20 21 Ÿ 1. Áèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû Øàã èíäóêöèè. m m−1 (x + y) = (x + y) · (x + y) = (x + y) · m−1 X ¡m−1¢ i m−1−i xy = i i=0 =x· m−1 X m−1 X¡ ¡m−1¢ i m−1−i ¢ m−1 i m−1−i x y + y · xy = i i i=0 = m−1 X i=0 X¡ ¢ ¡m−1¢ i+1 m−(i+1) m−1 m−1 i m−i x y + xy = i i i=0 i=0 = m−2 X X¡ ¡m−1¢ i+1 m−(i+1) ¡m−1¢ m 0 m−1 ¢ m−1 i m−i x y + · x y + xy = i m−1 i i=0 i=0 µ i + 1 îáîçíà÷èì çà k òîãäà i = k − 1 = = m−1 X = m−1 X = X¡ ¡m−1¢ k m−k m−1 ¢ ¡ ¢ m 0 m−1 i m−i x y + xy + m−1 k−1 i m−1 x y = k=1 = ¶ ¡ i=0 k îáîçíà÷èì çà i ¢ = X¡ ¡m−1¢ i m−i m−1 ¢ ¡ ¢ m 0 ¡m−1¢ 0 m m−1 i m−i x y + xy + m−1 x y = i−1 i m−1 x y + i=1 i=1 = m−1 X ¡ ¢ ¡m−1¢ i m−i ( m−1 )x y + xm y 0 + xo y m = i−1 + i i=1 = m−1 X i=1 m X ¡m¢ i m−i ¡m¢ i m−i m 0 0 m . x y + x y + x y = i x y i i=0 ¤ Áèíîìèàëüíàÿ ¡n¢òåîðåìà èìååò äåëî ñî ñòåïåíÿìè áèíîìà x + y . Ñèìâîëû k ÿâëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ïðåäñòàâëåíèÿ n-é ñòåïåíè áèíîìà x + y â âèäå ñóììû ïðîèçâåäåíèé ñòåïåíåé x è y , ïîýòîìó îíè íàçûâàþòñÿ áèíîìèàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. 22 Ëåêöèÿ 3. Áèíîì Íüþòîíà Áèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû îáëàäàþò ìíîãèìè ñâîéñòâàìè, î êîòîðûõ ìû ïîãîâîðèì íåñêîëüêî ïîçæå. Êàê ïðÿìîå ñëåäñòâèå áèíîìèàëüíîé òåîðåìû ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùåå. m ¡ ¢ P Ñëåäñòâèå. (−1)i mi = 0. i=0 Äîêàçàòåëüñòâî. 0 = (−1 + 1)m = m P ¡ ¢ . m ¡ ¢ P m i m−i = i (−1) · (1) i=0 (−1)i mi i=0 Òðåóãîëüíèê Ïàñêàëÿ. ¡ ¢ ¤ ¡ ¢ Îïðåäåëèì çíà÷åíèå nk ïðè k > n ñëåäóþùèì îáðàçîì nk = 0. Ýòî õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñ îïðåäåëåíèåì. Äåéñòâèòåëüíî, ìû íå ñìîæåì îáðàçîâàòü íåóïîðÿäî÷åííóþ âûáîðêó áåç ïîâòîðåíèé äëèíà êîòîðîé áîëüøå, ÷åì ÷èñëî ýëåìåíòîâ â ìíîæåñòâå èç êîòîðîãî ìû äåëàåì âûáîðêó. ¡ ¢ ¡ ¢ ¡n−1¢ Âîñïîëüçîâàâøèñü ñâîéñòâîì ni = n−1 + i−1 , êîòîðîå i ìû âûâåëè ïðè èçó÷åíèè ñî÷åòàíèé, ìîæíî ïîñòðîèòü òàáëèöó ¡ ¢ çíà÷åíèé ni , êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ òðåóãîëüíèêîì Ïàñêàëÿ. Ïðè ¡n¢n ¡  áåñêîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë. Ñîñòàâèì ñóììó X ak tk , A(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + . . . + an tn + . . . = k≥0 êîòîðàÿ áóäåò íàçûâàòüñÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè < a0 , a1 , . . . >. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 1, 1, 1, . . .. Åé ñîîòâåòñòâóåò ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ A(t) = a + t + t2 + t3 + . . .. Ïðè |t| < 1 íà íåå ìîæíî ñìîòðåòü êàê íà áåñêîíå÷íî óáûâàþùóþ ãåîìåò1 ðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ è òîãäà A(t) = 1−t , òàêèì îáðàçîì ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 1, 1, 1, . . . ÿâëÿåòñÿ 1 ôóíêöèÿ 1−t . Âîçüìåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ n ¡ ¢ ¡n¢ ¡n¢ ¡n¢ ¡n¢ P n k n = , , , . . . , . Ïî ôîðìóëå (1 + t) 1 2 n k t ñëåäóåò, ÷òî k=0 ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé äëÿ ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÿâëÿåòñÿ (1 + t)n . 30 31 Ëåêöèÿ 5. Ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè Ïðè èçó÷åíèè áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ ìû äîêàçàëè ïðàâèëî ñâåðòêè Âàíäåðìîíäà (âûáîð k ÷åëîâåê èç n ìóæ÷èí è m æåíùèí). Äîêàæåì åùå ðàç ýòî ñâîéñòâî ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé. Ïóñòü A(t)  ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè < a0 , a1 , a2 , . . . >, B(t)  ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè < b0 , b1 , b2 , . . . >. Òîãäà ïðîèçâåäåíèåì A(t) · B(t) ÿâëÿåòñÿ ñòåïåííîé ðÿä (a0 + a1 t + a2 t2 + . . .) · (b0 + b1 t + b2 t2 + . . .) = = a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 )t + (a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 )t2 + . . . . Êîýôôèöèåíò ïðè tn ðàâåí a0 bn + a1 bn−1 + . . . an b0 = n X ak bn−k . k=0 Âîçüìåì ôîðìóëû (1 + t)n = n X ¡n¢ k k t k=0 è (1 + t)m = m X ¡m¢ k k t . k=0 Åñëè ïåðåìíîæèì äâå ýòè ôîðìóëû, òî ñëåâà ïîëó÷èì (1 + t)n · (1 + t)m = (1 + t)m+n , íî ñ îäíîé ñòîðîíû (1 + t)m+n = m+n X ¡m+n¢ k t , k k=0 k P à c äðóãîé êîýôôèöèåíò ïðè tk ñëåâà ðàâåí al bk−l , ãäå al  l=0 ¡ ¢ êîýôôèöèåíò ïðè tl â (1+t)n (îí ðàâåí nl ), à bk−l  êîýôôèöè¡m¢ åíò ïðè tk−l â (1 + t)m (îí ðàâåí k−l è îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì k X ¡n¢¡ m ¢ l l=0 k−l = ¡n+m¢ . k 32 Ëåêöèÿ 5. Ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè Ïðè n = m = k èìååì n ¡¡ ¢¢ P n 2 l l=0 ¤ ¡ ¢ = 2n n . Òàáëèöà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ çàìêíóòûé âèä ∞ P 1 tn 1−t < 1, 1, 1, . . . > n=0 ∞ P n=0 ∞ P < 1, 2, 4, 8, 16, 32, . . . > < 0, 1, 1 (1−t)2 (n + 1)tn < 1, 2, 3, 4, 5 . . . > 1 1 1 2, 3, 4, . . . 1 1+t (−1)n tn < 1, −1, 1, −1, . . . > n=0 ∞ P n=0 ∞ P > n=0 ∞ P 1 < 0, 1, 12 , 16 , 24 ,... > n=0 2n tn 1 1−2t 1 n nt 1 ln 1−t 1 n n! t et Ÿ 1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Ôèáîíà÷÷è Ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ Ôèáîíà÷÷è íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . ., êîòîðóþ ìîæíî çàäàòü ôîðìóëîé f0 = f1 = 1 è fn = fn−1 + fn−2 . Ïîêàæåì, êàê, èñïîëüçóÿ ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè, ìîæíî ïîëó÷èòü ôîðìóëó n-ãî ÷ëåíà. ∞ P Ðàññìîòðèì ðÿä fn xn  ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ F (x) äëÿ n=0 ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Ôèáîíà÷÷è. Âû÷èñëèì 1 2 xF (x) = f0 x + f1 x + . . . = ∞ X fn−1 xn . n=1 2 2 3 x F (x) = f0 x + f1 x + . . . = ∞ X n=2 fn−2 xn . Ÿ 2. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ïðîèçâîäÿùèìè ôóíêöèÿìè 33 Îòñþäà xF (x)+x2 F (x) = ∞ X (fn−2 +fn−1 )xn +x = n=2 ∞ X fn xn +f1 x1 = F (x)−1, n=2 ñëåäîâàòåëüíî 1 . 1 − x − x2 F (x) = Ðàçëîæèì F (x) íà ñóììó ýëåìåíòàðíûõ äðîáåé: 1 a b = + , 1 − x − x2 x1 − x x2 − x ãäå x1 , x2  êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ 1 − x − x2 = 0, ñëåäî√ âàòåëüíî x1,2 = −1±2 5 . −1 = ax2 − ax + bx1 − bx = ax2 + bx1 − x(a + b) −1 = ax2 + bx1 − x(a + b), ñëåäîâàòåëüíî a = −b è òîãäà −1 = −bx2 + bx1 = b(−x2 + x1 ), ïîëó÷àåì b = −1 x1 −x2 = − √15 , îòñþäà 1 1 =√ 2 1−x−x 5 µ 1 1 − x1 − x x2 − x ¶ = ! 1 1 1 1 · − · = x1 1 − xx1 x2 1 − xx2 à ¶ ¶ ! ∞ µ ∞ µ ∞ 1 X x n 1 1 X xn+1 − xn+1 1 X x n 2 1 =√ =√ − xn = x2 x2 (x1 x2 )n+1 5 x1 n=0 x1 5 n=0 n=0 1 =√ 5 à ∞ ¤ 1 X£ =√ (−x2 )n+1 − (−x1 )n+1 xn . 5 n=0 34 Ëåêöèÿ 5. Ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè È îêîí÷àòåëüíî 1 fn = √ 5 "µ √ ¶n+1 µ √ ¶n+1 # 1+ 5 1− 5 − . 2 2 Ÿ 2. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ïðîèçâîäÿùèìè ôóíêöèÿìè 1. Ëèíåéíûå îïåðàöèè. Ïóñòü äàíû äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {ak } è {bk } ñ ïðîèçâîäÿùèìè ôóíêöèÿìè A(x) è B(x), òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ck = α·ak +β ·bk èìååò ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ C(x) = α · A(x) + β · B(x). P P bk xk , òîak xk , B(x) = Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè A(x) = k≥0 k≥0 ãäà α · A(x) + β · B(x) = X k≥0 αak xk + X βbk xk = k≥0 X (αak + βbk )xk k≥0 ¤ 1 Ïðèìåð. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 1, 1, 1, . . . ñîîòâåòñòâóåò 1−x , ïî1 ñëåäîâàòåëüíîñòè { k! } ñîîòâåòñòâóåò ex , çíà÷èò ïîñëåäîâàòåëü5 100 íîñòè {100+ k! } ñîîòâåòñòâóåò ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ 1−x +5ex . 2. Ñäâèã íà÷àëà âïðàâî. Ïóñòü äàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ak } è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {bk } îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç {ak } ñëåäóþùèì îáðàçîì: bk = 0 äëÿ k = 0, 1, . . . , i − 1 è bk = ak−i äëÿ k = i, i + 1, . . .. Òîãäà ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ äëÿ {bk } åñòü B(x) = xi A(x) 3. Ñäâèã íà÷àëà âëåâî. Ïóñòü bk = ak+i , k = 0, 1, . . ., òîãäà i−1 P B(x) = [A(x) − ak xk ]x−i . k=0 Äîêàçàòåëüñòâî. ∞ ∞ ∞ ∞ P P P P B(x) = bk xk = ak+i xk = x−i ak+i xk+i = x−i ak xk = k=0 k=0 k=0 k=i µ∞ ¶ µ ¶ i−1 i−1 P P P −i k k −i k x ak x − ak x = x A(x) − ak x . ¤ k=0 k=0 k=0 4. ×àñòè÷íûå ñóììû. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {bk } îïðå- äåëÿåòñÿ ÷åðåç ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ak } ñëåäóþùèì îáðàçîì: k P bk = ai , k = 0, 1, . . ., òîãäà B(x) = A(x) 1−x i=0 35 Ÿ 2. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ïðîèçâîäÿùèìè ôóíêöèÿìè Äîêàçàòåëüñòâî. µ ¶ ∞ ∞ k ∞ P P P P k B(x) = bk x = ai x k = (a0 + a1 + . . . + ak ) xk = k=0 k=0 i=0 k=0 a0 x0 + (a0 + a1 )x1 + (a0 + a1 + a2 )xµ2 + . . . ¶= a0 (x0 + x1 + x2 + ∞ ∞ ∞ ∞ P P P P . . .) + a1 (x1 + x2 + . . .) + . . . = ai xk = ai xi · xk = A(x) · i=0 1 1−x i=0 k=i k=0 ¤ 5. Èçìåíåíèå ìàñøòàáà. 5.1. Ïóñòü bk = k · ak , òîãäà B(x) = xA0 (x). Rx 5.2. Ïóñòü bk = ak /(k + 1), òîãäà B(x) = x1 A(x)dx. Ò.ê. A(x) = Rx A(x)dx = ∞ P k=0 ∞ Rx P k=0 0 ak xk , òîãäà ak xk dx = ∞ P ak k+1 k+1 x k=0 ñóììó 12 + 22 =x ∞ P k=0 ak k k+1 x = xB(x) Ïðèìåð. Íàéäåì + 32 + . . . + k 2 . Ðàññìîòðèì 4 ïîñëåäîâàòåëüíîñòè: 1, 1, 1, ...; 1, 2, 3, ...; 12 , 22 , 32 , ...; 02 , 02 + 12 , 02 + 12 + 22 , .... Ïóñòü îáùèé ÷ëåí ïåðâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýòî ak , âòîðîé  bk , òðåòüåé  ck , ÷åòâåðòîé  dk . Íåñëîæíî çàìåòèòü, ÷òî k P ak = 1, bk = k · ak , ck = k · bk , dk = ci . i=0 Ïóñòü ïðîèçâîäÿùèìè ôóíêöèÿìè äëÿ ýòèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé áóäóò A(x), B(x), C(x) è D(x). Åñëè ìû ñìîæåì ïðî∞ P èçâîäÿùóþ ôóíêöèþ D(x) ïðåäñòàâèòü â âèäå lk xk , òî ýòî i=0 ïîçâîëèò íàì ðåøèòü çàäà÷ó. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè bk è ak ñâÿçàíû èçìåíåíèåì ìàñøòàáà, çíà÷èò B(x) = x · A(x)0 . Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ck è bk òàêæå ñâÿçàíû ýòèì èçìåíåíèåì, ò.î. C(x) = x · B 0 (x) = x(x · A0 (x))0 = x · A0 + x2 A00 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè dk è ck ñâÿçàíû "÷àñòè÷íîé ñóììîé". D(x) = C(x) xA0 + x2 A00 = 1−x 1−x 36 Ëåêöèÿ 5. Ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè Ó íàñ A(x) = ∞ X 1 · xk = k=0 1 1 2 , A0 = , A00 = 1−x (1 − x)2 (1 − x)3 È òîãäà äëÿ D(x) ïîëó÷èì D(x) = Ðàçëîæèì äðîáü Ïîëó÷èì 1 (1−x)4 x(1+x) . (1−x)4 â ðÿä ïî ñòåïåíÿì x (ðÿä Ìàêëîðåíà). ∞ X ¡k+3¢ k 1 = 3 x 4 (1 − x) k=0 Òåïåðü D(x) = (x + x2 ) ∞ X ¡ ∞ ∞ ¢ k X ¡k+3¢ k+1 X ¡k+3¢ k+2 x = x + = 3 3 x k+3 3 k=0 k=0 k=0 ∞ ∞ X X ¡3¢ ¡k+4¢ ¡k+3¢ k+2 ¡3¢ ¡ ¢ ¡k+1¢ k = 3 x+ ( 3 + 3 )x = 3 x+ ( k+2 + 3 )x = 3 k=0 k=2 = ∞ X lk xk k=0 Ñðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ, ïîëó÷èì ¡¢ ¡ ¢ ¡k+2¢ d0 = 0, d1 = 33 , dk = k+1 + 3 , k = 2, 3, ... 3 È îêîí÷àòåëüíî 12 + 22 + 32 + ... + k 2 = ¡k+2¢ 3 + ¡k+1¢ 3 = (2k + 1)(k + 1)k 6 Ðàçäåë 2. ÁÓËÅÂÛ ÔÓÍÊÖÈÈ Ëåêöèÿ 6 Îïðåäåëåíèå è ñïîñîáû çàäàíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé Ÿ 1. Äâîè÷íûå íàáîðû  ýòîì ïàðàãðàôå ìû âîçâðàùàåìñÿ ê äâîè÷íûì íàáîðàì, êîòîðûå áóäóò èãðàòü äëÿ íàñ âàæíóþ ðîëü. Äâîè÷íûì íàáîðîì ìû íàçûâàëè êîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñîñòîÿùóþ èç íóëåé è åäèíèö. Äâîè÷íûå íàáîðû â äàëüíåéøåì áóäåì îáîçíà÷àòü èñïîëüçóÿ ìàëûå ãðå÷åñêèå áóêâû è ñêîáêè, íàïðèìåð (σ1 . . . σn ), èëè σ̃ (ó÷èòûâàÿ, ÷òî σi ∈ {0, 1}, i ∈ {1, . . . , n}), à σi áóäåì íàçûâàòü i-é êîìïîíåíòîé äâîè÷íîãî íàáîðà. Èíîãäà äâîè÷íûé íàáîð áóäåì çàïèñûâàòü è áåç ñêîáîê. ×èñëî íóëåé è åäèíèö â äâîè÷íîì íàáîðå áóäåì íàçûâàòü äëèíîé íàáîðà è îáîçíà÷àòü |σ̃|. Ìû óæå çíàåì, ÷òî ÷èñëî âñåõ äâîè÷íûõ íàáîðîâ äëèíû n ðàâíî 2n . Íàáîð, â êîòîðîì âñå êîìïîíåíòû ðàâíû íóëþ, íàçûâàþò íóëåâûì è îáîçíà÷àþò ÷åðåç 0̃, à íàáîð, ñîñòîÿùèé èç îäíèõ åäèíèö, íàçûâàþò åäèíè÷íûì è îáîçíà÷àþò ÷åðåç 1̃. Âåñîì ||σ̃|| äâîè÷íîãî íàáîðà σ̃ äëèíû n áóäåì íàçûâàòü ÷èñn P ëî åãî êîìïîíåíò, ðàâíûõ åäèíèöå, ò.å. ||σ̃|| = σi . i=1 Îïðåäåëåíèå. Ðàññòîÿíèåì (Õýììèíãà) ìåæäó íàáîðàìè σ̃ è τ̃ äëèíû n íàçûâàåòñÿ ÷èñëî ïîçèöèé, â êîòîðûõ ýòè íàáîðû ðàçëè÷íû. Íàáîðû, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ðàâíî åäèíèöå, áóäåì íàçûâàòü ñîñåäíèìè, à åñëè ýòî ðàññòîÿíèå ñîâïàäàåò ñ èõ äëèíîé, òî  ïðîòèâîïîëîæíûìè. Ïðèìåð Ó íàáîðà (00111) ñîñåäíèìè ÿâëÿþòñÿ (10111), (01111), (00011), (00101), (00110), à ïðîòèâîïîëîæíûì  íàáîð (11000). 37 38 Ëåêöèÿ 6. Îïðåäåëåíèå è ñïîñîáû çàäàíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî íàáîðîâ, îòñòîÿùèõ îò çàäàííîãî íàáîðà σ̃ íà ðàññòîÿíèè r, íàçûâàåòñÿ ñôåðîé ðàäèóñà r ñ öåíòðîì â òî÷êå σ̃ . Òåîðåìà ¡6.1. ¢ Åñëè Sr (σ̃)  ñôåðà ðàäèóñà r ñ öåíòðîì â σ̃ , òî |Sr (σ̃)| = nr ¡ ¢ Íàïîìíèì, ÷òî nr  ÷èñëî ñî÷åòàíèé èç n ïî r èëè áèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ î÷åâèäíî. ¤ Ïðèìåð Åñëè âîçüìåì òî÷êó (0000) è r=2, òî S2 (0000) = {(0011), (0101), (0110), (1001), (1010), (1100)} Íà äâîè÷íûå íàáîðû ìîæíî ñìîòðåòü êàê íà çàïèñü â äâîè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî äâîè÷íûå íàáîðû σ̃1 , . . . , σ̃m (m = 2n ) óïîðÿäî÷åíû ïî íàòóðàëüíîìó ïîðÿäêó, åñëè îíè ïðåäñòàâëÿþò ÷èñëà 0, . . . , 2n − 1, çàïèñàííûå â äâîè÷íîì èñ÷èñëåíèè. Äëÿ ïåðå÷èñëåíèÿ âñåõ äâîè÷íûõ íàáîðîâ ïî íàòóðàëüíîìó ïîðÿäêó ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèì ïðàâèëîì: ïåðâûé íàáîð ñîñòîèò èç âñåõ íóëåé. Ïóñòü íà øàãå k ìû èìååì íåêîòîðûé íàáîð. Ïðîñìàòðèâàÿ ýëåìåíòû íàáîðà ñïðàâà íàëåâî íàõîäèì ïåðâûé íóëü. Åñëè íóëÿ íåò, òî ïðîöåññ ïåðå÷èñëåíèÿ íàáîðîâ çàâåðøåí. Ïóñòü íóëü ñòîèò íà r ìåñòå. Çàìåíÿåì ýòîò íóëü íà åäèíèöó, à íà âñåõ ñëåäóþùèõ çà r ïîçèöèÿõ çàïèñûâàåì íóëþ. Ïåðåõîäèì ê øàãó ñ íîìåðîì k + 1. Ïðèìåð Ïóñòü n = 3. Ïåðå÷èñëèì âñå äâîè÷íûå íàáîðû äëèíû 3.  øàãà 1 2 3 4 5 6 7 8 íàáîð 000 001 010 011 100 101 110 111  äàëüíåéøåì, åñëè ýòî íå îãîâîðåíî îòäåëüíî, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äâîè÷íûå íàáîðû óïîðÿäî÷åíû ïî íàòóðàëüíîìó ïîðÿäêó. Äâîè÷íûå íàáîðû ìîæíî ñêëàäûâàòü è âû÷èòàòü, èñïîëüçóÿ èçâåñòíûå àëãîðèòìû ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ "â ñòîëáèê"(íå çàáûâàÿ, ÷òî ðîëü 10 èãðàåò 2, ò.å. 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=10  íóëü ïèøåì, îäèí "â óìå"). È òîãäà âñå íàáîðû â íàòóðàëüíîì ïîðÿäêå ìîæíî ïåðå÷èñëèòü, åñëè âçÿòü íàáîð (0...00) è ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèáàâëÿòü íàáîð (0...01). Ïðèìåð (000)+(001)=(001); (001)+(001)=(010); (010)+(001)=(011) è ò.ä. Ÿ 2. Áóëåâû ôóíêöèè 39 Ÿ 2. Áóëåâû ôóíêöèè Ìíîæåñòâî {0, 1} îáîçíà÷èì êàê E , à ìíîæåñòâî âñåõ äâîè÷íûõ íàáîðîâ äëèíû n êàê E n . Îïðåäåëåíèå. Áóëåâîé ôóíêöèåé íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå èç E n â E . Ïðè ýòîì n íàçûâàåòñÿ ðàçìåðíîñòüþ ôóíêöèè. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òîãî, ÷òîáû çàäàòü áóëåâó ôóíêöèþ ðàçìåðíîñòè n, íåîáõîäèìî êàæäîìó äâîè÷íîìó íàáîðó äëèíû n ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå 0 èëè 1. Ýòî ñîîòâåòñòâèå ìîæíî çàäàòü ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè. Îäíèì èç íèõ ÿâëÿåòñÿ òàáëèöà, ñîñòîÿùàÿ èç äâóõ ñòîëáöîâ.  ëåâîì ñòîëáöå çàïèñûâàþòñÿ âñå äâîè÷íûå íàáîðû çàäàííîé äëèíû, à â ïðàâîì  ñîîòâåòñòâóþùèå íàáîðàì ýëåìåíòû ìíîæåñòâà . Ñëåäóþùàÿ òàáëèöà çàäàåò ôóíêöèþ ðàçìåðíîñòè 2. íàáîðû ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåìåíòû (00) 1 (01) (10) (11) 1 Äëÿ ôóíêöèè, çàäàííîé ýòîé òàáëèöåé, íàáîð (00) îòîáðàæàåòñÿ â 1, íàáîð (01) îòîáðàæàåòñÿ â 0, íàáîð (10) îòîáðàæàåòñÿ â 0, íàáîð (11) îòîáðàæàåòñÿ â 1. Åñëè ìû çàôèêñèðóåì ðàñïîëîæåíèå íàáîðîâ â ëåâîì ñòîëáöå, òî òîãäà íàì ìîæíî óêàçûâàòü ëèøü âòîðîé ñòîëáåö. Òàêîé ñïîñîá çàäàíèÿ ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ âåêòîðíûì.  äàëüíåéøåì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ çàäàíà ñâîèì âåêòîðîì, òî äâîè÷íûå íàáîðû óïîðÿäî÷åíû ïî íàòóðàëüíîìó ïîðÿäêó. Ïðèìåð Äëÿ ôóíêöèè (0110) ñ÷èòàåì, ÷òî íàáîð (00) îòîáðàæàåòñÿ â 0, íàáîð (01) îòîáðàæàåòñÿ â 1 è ò.ä. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ÷èñëî âñåõ íàáîðîâ äëèíû n ðàâíî 2n , íåñëîæíî äîêàçàòü ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Òåîðåìà 6.2. Äâîè÷íûé íàáîð ÿâëÿåòñÿ âåêòîðîì çíà÷åíèé íåêîòîðîé áóëåâîé ôóíêöèè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëèíà åãî ðàâíà 2n . À îòñþäà ïî ïðàâèëó ïðîèçâåäåíèÿ ïîëó÷àåì 40 Ëåêöèÿ 6. Îïðåäåëåíèå è ñïîñîáû çàäàíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé Òåîðåìà 6.3. ×èñëî âñåõ áóëåâûõ ôóíêöèé ðàçìåðíîñòè n n ðàâíî 22 . Ïðè ìàëîì ÷èñëå ïåðåìåííûõ ôóíêöèþ óäîáíî çàäàâàòü íå â âèäå äâóõ ñòîëáöîâ (ñòîëáåö àðãóìåíòîâ è ñòîëáåö çíà÷åíèé ôóíêöèè), à â âèäå òàê íàçûâàåìûõ êàðò Êàðíî. Çäåñü âåêòîð ïåðåìåííûõ äëèíû n ðàçáèâàåòñÿ íà äâà ïîäâåêòîðà äëèíû m1 è m2 (m1 + m2 = n), à çíà÷åíèÿ ôóíêöèè çàïîëíÿþò òàáëèöó ðàçìåðà 2m1 × 2m2 , íîìåðàìè ñòðîê ÿâëÿþòñÿ âñå íàáîðû äëèíû m1 , à íîìåðàìè ñòîëáöîâ âñå íàáîðû äëèíû m2 è íà ïåðåñå÷åíèè ñòðîêè ñ íîìåðîì σ̃ è ñòîëáöà ñ íîìåðîì τ̃ ñòîèò f (σ̃, τ̃ ). Ïðèìåð Ñëåäóþùàÿ òàáëèöà ÿâëÿåòñÿ êàðòîé Êàðíî äëÿ ôóíêöèè îò 4 ïåðåìåííûõ: x3 x4 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 x2 0 0 1 1 x1 Ñëîâî ¿áóëåâàÀ â ñëîâîñî÷åòàíèè ¿áóëåâà ôóíêöèÿÀ ÷àñòî äëÿ êðàòêîñòè áóäåì îïóñêàòü. Ïðîèçâîëüíûå áóëåâû ôóíêöèè áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëàìè f, g, h, âîçìîæíî ñ èíäåêñàìè, à ðàçìåðíîñòü ôóíêöèè f îáîçíà÷àåì ÷åðåç dimf . Ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé ðàçìåðíîñòè n áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç F n , à ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé  F . Äëÿ íåêîòîðûõ ÷àñòî óïîòðåáëÿåìûõ ôóíêöèé áóäóò ââåäåíû ñïåöèàëüíûå îáîçíà÷åíèÿ. Ôóíêöèè ðàçìåðíîñòè íóëü  ýòî êîíñòàíòû: 0 è 1, íàçûâàåìûå ñîîòâåòñòâåííî íóëåâîé è åäèíè÷íîé ôóíêöèÿìè. Ôóíêöèé ðàçìåðíîñòè îäèí âñåãî ÷åòûðå: f1 = (00), f2 = (01), f3 = (10), f4 = (11). Ôóíêöèÿ f2 íàçûâàåòñÿ òîæäåñòâåííîé è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì e, à ôóíêöèÿ f3 íàçûâàåòñÿ îòðèöàíèåì è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì −. Åñëè ôóíêöèÿ f èìååò ðàçìåðíîñòü n, òî ãîâîðèì, ÷òî ôóíêöèÿ f çàâèñèò îò n àðãóìåíòîâ. Ÿ 2. Áóëåâû ôóíêöèè 41 Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè f íàáîð (σ1 , . . . , σn ) îòîáðàæàåòñÿ â α, òîãäà ìû áóäåì ïèñàòü f (σ1 , . . . , σn ) = α è ãîâîðèòü, ÷òî åñëè i-é àðãóìåíò ôóíêöèè f ïðèíèìàåò çíà÷åíèå σi (i ∈ ñ), òî çíà÷åíèå ôóíêöèè ðàâíî α èëè íà íàáîðå (σ1 , . . . , σn ) ôóíêöèÿ f ïðèíèìàåò çíà÷åíèå α. Îïðåäåëåíèå. Îñòàòî÷íûìè ôóíêöèÿìè îò ôóíêöèè f ïî i-ìó àðãóìåíòó íàçûâàþòñÿ ôóíêöèè ðàçìåðíîñòè íà åäèíèöó ìåíüøå ÷åì ðàçìåðíîñòü f , îáîçíà÷àåìûå è îïðåäåëÿåìûå ñëåäóþùèì îáðàçîì: fiσi (τ1 , . . . , τn−1 ) = f (τ1 , . . . , τi−1 , σi , τi , . . . , τn−1 ) äëÿ ëþáîãî íàáîðà (τ1 , . . . , τn−1 ) ∈ E n−1 . Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè çíà÷åíèå íåêîòîðîé ôóíêöèè h çàâèñÿùåé îò (n-1)-ãî àðãóìåíòà íà ïðîèçâîëüíîì íàáîðå (τ1 , . . . , τn−1 ) ðàâíî çíà÷åíèþ ôóíêöèè f íà íàáîðå (τ1 , . . . , τi−1 , σi , τi , . . . , τn−1 ), òî ôóíêöèÿ h íàçûâàåòñÿ σi -îñòàòî÷íîé ôóíêöèè f è îáîçíà÷àåòñÿ fiσi . Åñëè σi = 0, òî èìååì íóëåâóþ îñòàòî÷íóþ; åñëè σi = 1, òî  åäèíè÷íóþ îñòàòî÷íóþ. Åñëè ôóíêöèÿ f çàäàíà â âèäå òàáëèöû èç 2-õ ñòîëáöîâ, òî íóëåâàÿ îñòàòî÷íàÿ ïî i-ìó àðãóìåíòó ôóíêöèÿ îò ôóíêöèè f ñîñòîèò èç âñåõ ñòðî÷åê â êîòîðûõ ëåâûé ñòîëáåö íà i-ì ìåñòå ñîäåðæèò 0.  òîì ñëó÷àå, êîãäà ôóíêöèÿ çàäàíà ñâîèì âåêòîðîì, îñòàòî÷íûå ïî àðãóìåíòàì âûïèñûâàòü äîñòàòî÷íî ïðîñòî:  ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó  íóëåâàÿ îñòàòî÷íàÿ  ýòî ïåðâàÿ ïîëîâèíà âåêòîðà, à åäèíè÷íàÿ îñòàòî÷íàÿ  ýòî âòîðàÿ ïîëîâèíà;  ïî âòîðîìó àðãóìåíòó  âåêòîðû, ÿâëÿþùèåñÿ îáúåäèíåíèåì ïåðâîé è òðåòüåé, âòîðîé è ÷åòâåðòîé ÷åòâåðòè ñîîòâåòñòâåííî. Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè îñòàòî÷íûå ïî òðåòüåìó àðãóìåíòó, âåêòîð äåëèòñÿ íà 8 ÷àñòåé è äëÿ íóëåâîé îñòàòî÷íîé ñêëåèâàåì ñîîòâåòñòâåííî 1, 3, 5 è 7 ÷àñòè, à äëÿ åäèíè÷íîé îñòàòî÷íîé  2, 4, 6 è 8 ÷àñòè. È íàêîíåö, ÷òîáû íàéòè îñòàòî÷íûå ïî k -ìó àðãóìåíòó, âåêòîð ðàçáèâàåòñÿ íà 2k ÷àñòåé, à çàòåì äëÿ íóëåâîé îñòàòî÷íîé ñêëåèâàþòñÿ íå÷åòíûå ÷àñòè, à äëÿ åäèíè÷íîé ñêëåèâàþòñÿ ÷åòíûå ÷àñòè. Ïðèìåð Äëÿ ôóíêöèè f = (01010001) èìååì f10 = (0101) è 1 f1 = (0001). 42 Ëåêöèÿ 6. Îïðåäåëåíèå è ñïîñîáû çàäàíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé Åñòåñòâåííîé ÿâëÿåòñÿ è îáðàòíàÿ îïåðàöèÿ: ïîñòðîåíèå ôóíêöèè îò n àðãóìåíòîâ, èñïîëüçóÿ ôóíêöèþ îò n − 1 àðãóìåíòà. Ïðèìåð Âîçüìåì äâå ôóíêöèè îò 2-õ àðãóìåíòîâ: f =(1110) è g =(0101). Åñëè ìû ñêëåèì ïåðâûé è âòîðîé íàáîðû, òî ïîëó÷èì ôóíêöèþ îò 3 àðãóìåíòîâ: (11100101), ó êîòîðîé íóëåâàÿ îñòàòî÷íàÿ ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèåé f , à åäèíè÷íàÿ îñòàòî÷íàÿ ïî ýòîìó àðãóìåíòó ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèåé g . Ðàçîáüåì f è g íà äâå ïîëîâèíû: (11) è (10); (01) è (01). Ñêëåèâ ýòè äâîéêè â ïîðÿäêå: ïåðâàÿ, òðåòüÿ, âòîðàÿ, ÷åòâåðòàÿ ïîëó÷èì ôóíêöèþ îò òðåõ àðãóìåíòîâ, ó êîòîðîé íóëåâàÿ îñòàòî÷íàÿ ïî âòîðîìó àðãóìåíòó ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèåé f , à åäèíè÷íàÿ îñòàòî÷íàÿ ïî ýòîìó àðãóìåíòó ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèåé f . Èíäóêòèâíî ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïîíÿòèå îñòàòî÷íîé ôóíêöèè íà ìíîæåñòâî àðãóìåíòîâ i1 , . . . , is ïî íàáîðó σi1 , . . . , σis (s6n): ³ σ ,...,σ ´σis σi ,...,σi i is−1 f i11,...,is s = f i11,...,is−1 , is ãäå s íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîì îñòàòî÷íîé ôóíêöèè. Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî f σi1 ,...,σis i1 ,...,is =f σj1 ,...,σjs j1 ,...,js , ãäå j1 , . . . , js ëþáàÿ ïåðåñòàíîâêà i1 , . . . , is . Íàçîâåì i-é àðãóìåíò ôóíêöèè f ôèêòèâíûì, åñëè fi0 = fi1 (ñîâïàäàþò íóëåâàÿ è åäèíè÷íàÿ îñòàòî÷íûå ïî ýòîìó àðãóìåíòó) è ñóùåñòâåííûì â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ñóùåñòâåííîé, åñëè ó íåå íåò ôèêòèâíûõ àðãóìåíòîâ è íåñóùåñòâåííîé â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ðàíãîì ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ ÷èñëî åå ñóùåñòâåííûõ àðãóìåíòîâ, äëÿ ôóíêöèè f îí îáîçíà÷àåòñÿ êàê rang f . Î÷åâèäíî, ÷òî rangf 6dimf , ïðè÷åì ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ôóíêöèÿ f ñóùåñòâåííàÿ. Òåîðåìà 6.4. ×èñëî âñåõ ñóùåñòâåííûõ ôóíêöèé ðàçìåðíîn ¡ ¢ P n−i ñòè n ðàâíî (−1)i ni · 22 . i=0 Äîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ ïðèíöèïîì âêëþ÷åíèÿ-èñêëþ÷åíèÿ. Äëÿ ôóíêöèè, çàâèñÿùåé îò n àðãóìåíòîâ, áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî îíà îáëàäàåò ñâîéñòâîì Ai , åñëè ó íåå ñîâïàäàþò Ÿ 2. Áóëåâû ôóíêöèè 43 îñòàòî÷íûå ïî i-ìó àðãóìåíòó. Òîãäà ïî ïðèíöèïó âêëþ÷åíèÿèñêëþ÷åíèÿ ÷èñëî ñóùåñòâåííûõ ôóíêöèé îò n àðãóìåíòîâ ðàâíî ÷èñëó âñåõ ôóíêöèé îò n àðãóìåíòîâ ìèíóñ ÷èñëî ôóíêöèé, ó êîòîðûõ ñîâïàäàþò îñòàòî÷íûå ïî îäíîìó àðãóìåíòó, ïëþñ ÷èñëî ôóíêöèé, ó êîòîðûõ ñîâïàäàþò îñòàòî÷íûå ïî äâóì àðãóìåíòàì, ìèíóñ ÷èñëî ôóíêöèé, ó êîòîðûõ ñîâïàäàþò îñòàòî÷íûå ïî òðåì àðãóìåíòàì, è ò.ä. Ôóíêöèþ îò n àðãóìåíòîâ, ó êîòîðîé ñîâïàäàþò îñòàòî÷íûå ïî îäíîìó àðãóìåíòó ìîæíî ïîëó÷èòü ñêëåéêîé èç ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè îò n − 1 àðãóìåíòà (ïðè÷åì ýòà ñêëåéêà îäíîçíà÷n−1 íà). Ôóíêöèé îò n − 1 àðãóìåíòà âñåãî 22 , à ÷èñëî àðãóìåíòîâ ó íàñ ðàâíî n. Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî ôóíêöèé, ó êîòîðûõ ¡n¢ñîâïàn−1 n−1 2 äàþò îñòàòî÷íûå ïî îäíîìó àðãóìåíòó ðàâíî n2 = 1 22 Ôóíêöèþ îò n àðãóìåíòîâ, ó êîòîðîé ñîâïàäàþò îñòàòî÷íûå ïî äâóì àðãóìåíòàì, ìîæíî ïîëó÷èòü ñêëåéêîé èç ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè îò n − 2 àðãóìåíòà. Ôóíêöèé îò ¡ ¢n − 2 àðãóìåíòà âñåãî n−2 22 , à äâà àðãóìåíòà ìîæíî âûáðàòü n2 ñïîñîáàìè. Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ, ïîëó÷àåì â ðåçóëüòàòå íóæíóþ ôîðìóëó. ¤ Ïðèâåäåì íàçâàíèÿ è îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ñóùåñòâåííûõ ôóíêöèé ðàíãà 1 è 2, ïðè ýòîì, êàê ïðèíÿòî, âìåñòî çàïèñè âèäà f (x, y) áóäåì èñïîëüçîâàòü çàïèñü âèäà xf y . Äëÿ ôóíêöèé e = (01) è − = (10) âìåñòî çàïèñè e(x) è −(x) èñïîëüçóåòñÿ çàïèñü x è x̄. f1 = (0001) íàçûâàþò êîíúþíêöèåé, f1 (x, y) = x · y ; f2 = (0111)  äèçúþíêöèåé, f2 (x, y) = x ∨ y ; f3 = (0110)  ñëîæåíèåì, f3 (x, y) = x ⊕ y ; f4 = (1110)  øòðèõîì (Øåôôåðà), f4 (x, y) = x|y ; f5 = (1000)  ñòðåëêîé (Ïèðñà), f5 (x, y) = x ↓ y ; f6 = (1101)  èìïëèêàöèåé, f6 (x, y) = x → y ; f7 = (1001)  ýêâèâàëåíòíîñòüþ, f7 (x, y) = x ↔ y ; f8 = (0011)  êîèìïëèêàöèåé, f8 (x, y) = x → 7→ y ; f9 = (1011)  îáðàòíîé èìïëèêàöèåé, f9 (x, y) = x ← y ; f10 = (0100)  îáðàòíîé êîèìïëèêàöèåé, f10 (x, y) = x ←7 y.  çàêëþ÷åíèè ïàðàãðàôà ââåäåì n-ìåñòíûå êîíúþíêöèè, äèçúþíêöèè è n-ìåñòíîå ñëîæåíèå ïî mod2. 44 Ëåêöèÿ 6. Îïðåäåëåíèå è ñïîñîáû çàäàíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé x1 + x2 + ... + xn−1 + xn = (...(x1 + x2 ) + ... + xn−1 ) + xn x1 ∨ x2 ∨ ... ∨ xn−1 ∨ xn = (...(x1 ∨ x2 ) ∨ ... ∨ xn−1 ) ∨ xn x1 · x2 · ... · xn−1 · xn = (...(x1 · x2 ) · ... · xn−1 ) ∨ xn Êðîìå òîãî, î÷åíü ÷àñòî íàìè áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ îáîçíà÷åíèå ½ x, åñëè σ = 1; σ x = x̄, åñëè σ = 0. Ÿ 3. Ïåðåìåííûå è àðãóìåíòû áóëåâûõ ôóíêöèé  ìàòåìàòèêå äëÿ óäîáñòâà èçëîæåíèÿ èñïîëüçóþòñÿ ñèìâîëû, íàçûâàåìûå ïåðåìåííûìè. Ñòîèò ñêàçàòü, ÷òî èíîãäà óäîáñòâî èçëîæåíèÿ ïðèâîäèò ê íåóäîáñòâó ïîíèìàíèÿ òåêñòà. Ïîýòîìó ïîãîâîðèì ïîïîäðîáíåå î ïåðåìåííûõ â áóëåâûõ ôóíêöèÿõ. Êàê ïðàâèëî ïåðåìåííûå â áóëåâûõ ôóíêöèÿõ èñïîëüçóþòñÿ äëÿ èìåíîâàíèÿ àðãóìåíòîâ. Ïóñòü X  íåêîòîðîå ìíîæåñòâî ñèìâîëîâ, êîòîðûå áóäåì íàçûâàòü ïåðåìåííûìè (äëÿ ïåðåìåííûõ áóäåì èñïîëüçîâàòü ñèìâîëû x, y , z , u, v , w, âîçìîæíî ñ ðàçëè÷íûìè èíäåêñàìè). Åñëè X è Y  íåêîòîðûå ìíîæåñòâà ïåðåìåííûõ, òî ÷åðåç x̃ è ỹ áóäåì îáîçíà÷àòü íåêîòîðûå óïîðÿäî÷åíèÿ ìíîæåñòâ X è Y . Çàïèñü x̃ ⊆ ỹ îçíà÷àåò, ÷òî x̃ ïîäìíîæåñòâî ỹ êàê óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ, à çàïèñü X ⊆ ỹ è x̃ ⊆ Y íå ó÷èòûâàåò ïîðÿäêà. ×åðåç |x̃| îáîçíà÷àåì äëèíó íàáîðà x̃. Ðàññìîòðèì çàïèñü âèäà f (x1 , x2 ). ×òî ìîæåò îçíà÷àòü ýòî âûðàæåíèå? Îäíîçíà÷íî îòâåòèòü íà ýòîò âîïðîñ íåëüçÿ. Âñå çàâèñèò îò êîíòåêñòà, â êîòîðîì âñòðåòèëàñü òàêàÿ çàïèñü. Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî âîçìîæíûõ ñèòóàöèé. 1. "Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x1 , x2 ) çäåñü ðå÷ü èäåò î ôóíêöèè ó êîòîðîé 2 àðãóìåíòà è ïåðâûé àðãóìåíò èìåíîâàí ïåðåìåííîé x1 , à âòîðîé ïåðåìåííîé x2 . 2. "Âîçüìåì ôóíêöèþ f (x1 , x2 ) = g(x1 , x1 , x2 ) çäåñü îïðåäåëÿåòñÿ íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ îò 2 àðãóìåíòîâ, äëÿ êîòîðîé çíà÷åíèå íà ïðîèçâîëüíîì íàáîðå σ1 , σ2 ðàâíî çíà÷åíèþ (çàäàííîé ðàíüøå) ôóíêöèè g íà íàáîðå σ1 , σ1 , σ2 . 3. "... äëÿ ôóíêöèè f (x1 , x2 ) = x2 + x1  çäåñü òàêæå îïðåäåëÿåòñÿ íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ îò 2 àðãóìåíòîâ, äëÿ êîòîðîé çíà÷åíèå íà ïðîèçâîëüíîì íàáîðå σ1 , σ2 ðàâíî ñóììå σ1 + σ2 . Ïîñëåäíèé ñëó÷àé, êîãäà çíà÷åíèå ôóíêöèè íà íàáîðå îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç íåêîòîðûå îïåðàöèè, ìîæåò ïðèâåñòè ê íåîäíîçíà÷íîñòè: ðàññìîòðèì ôðàçó "Ó ôóíêöèè x + y ...". Î êàêîé ôóíêöèè çäåñü èäåò ðå÷ü  ìîæåò áûòü î ôóíêöèè, ó êîòîðîé 2 àðãóìåíòà è ïåðâûé èìåíîâàí x, à âòîðîé y , èëè î ôóíêöèè, ó êîòîðîé ïåðâûé àðãóìåíò èìåíîâàí y , à âòîðîé x, èëè î ôóíêöèè, ó êîòîðîé ÷èñëî àðãóìåíòîâ áîëüøå äâóõ, íî âñå îíè, êðîìå äâóõ, ÿâëÿþòñÿ ôèêòèâíûìè? Åñëè àðãóìåíòû ôóíêöèè f èìåíîâàíû ïåðåìåííûìè x1 , . . . , xn , òî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ çàâèñèò îò x1 , . . . , xn (èëè x̃) è îáîçíà÷àòü ýòî òàê: f (x1 , . . . , xn ) (èëè f (x̃)). Ïðè ïåðåõîäå ê îñòàòî÷íûì ôóíêöèÿì áóäåì ñîõðàíÿòü èìåíîâàíèå àðãóìåíòîâ, åñëè èìååòñÿ ôóíêöèÿ f (x1 , . . . , xn ), òî îñòàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ áóäåò fxσii (x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn ). Áóäåì èñïîëüçîâàòü çàïèñü fỹσ̃ äëÿ îñòàòî÷íûõ ôóíêöèé ïî ìíîæåñòâó àðãóìåíòîâ. Äëÿ êðàòêîñòè çàïèñè äëÿ íàáîðà x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn ââåäåì îáîçíà÷åíèå x̃i , òîãäà äëÿ îñòàòî÷íîé ôóíêöèè îò f (x̃) ïî àðãóìåíòó xi óïîòðåáëÿåòñÿ çàïèñü fxσii (x̃i ). Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè ïåðåìåííàÿ ñóùåñòâåííàÿ â íåêîòîðîé îñòàòî÷íîé ôóíêöèè îò ôóíêöèè f , òî îíà ñóùåñòâåííàÿ è â f . Ëåêöèÿ 7 Ïðåäñòàâëåíèå áóëåâûõ ôóíêöèé òåðìàìè  ïðåäûäóùåé ëåêöèè ìû ïîçíàêîìèëèñü ñ áóëåâûìè ôóíêöèÿìè è ñ íåêîòîðûìè ñïîñîáàìè èõ çàäàíèÿ: òàáëè÷íûì, âåêòîðíûì, ñ ïîìîùüþ êàðò Êàðíî. Êðîìå òîãî, ó íàñ áûë ïðèìåð, êîãäà çíà÷åíèå ôóíêöèè íà íàáîðå îïðåäåëÿëîñü ÷åðåç çíà÷åíèÿ èçâåñòíîé ôóíêöèè. Øèðîêî èñïîëüçóåìûì ïðåäñòàâëåíèåì â òåîðèè ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå òåðìàìè. 45 46 Ëåêöèÿ 7. Ïðåäñòàâëåíèå áóëåâûõ ôóíêöèé òåðìàìè Ïóñòü B ⊆ F è X  íåêîòîðîå ìíîæåñòâî ïåðåìåííûõ. Èíäóêöèåé îïðåäåëèì ïîíÿòèå òåðìà íàä B îò ìíîæåñòâà ïåðåìåííûõ X : 1) ïåðåìåííàÿ x èç X åñòü òåðì; 2) åñëè ñèìâîëîì f îáîçíà÷àåòñÿ ôóíêöèÿ ðàçìåðíîñòè m, ïðèíàäëåæàùàÿ B , è Φ1 , . . . , Φm  òåðìû, òî f (Φ1 , . . . , Φm ) åñòü òåðì. Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ òåðìîâ èñïîëüçóåì ñèìâîëû Φ, Ψ âîçìîæíî ñ ðàçëè÷íûìè èíäåêñàìè. Ìíîæåñòâî B áóäåì íàçûâàòü áàçèñíûì ìíîæåñòâîì, à ôóíêöèè èç B áàçèñíûìè ôóíêöèÿìè. Ïðè ýòîì ãîâîðÿò, ÷òî òåðì ÿâëÿåòñÿ òåðìîì íàä áàçèñíûì ìíîæåñòâîì B . Ñ îïðåäåëåíèåì òåðìà ñâÿçàíî íåñêîëüêî ñîïóòñòâóþùèõ ïîíÿòèé: ïîäòåðì òåðìà Φ, ãëóáèíà d(Φ) òåðìà Φ, ìíîæåñòâî χ(Φ) ïåðåìåííûõ òåðìà Φ. 1) åñëè Φ = x, òî åäèíñòâåííûì ïîäòåðìîì Φ ÿâëÿåòñÿ x; d(Φ) = 0; χ(Φ) = {x}; 2) åñëè Φ = f (Φ1 , . . . , Φm ), òî ïîäòåðìàìè Φ ÿâëÿþòñÿ ñàì òåðì Φ è âñå ïîäòåðìû òåðìîâ Φ1 , . . . , Φm ; d(f (Φ1 , . . . , Φm )) = 1 + max d(Φi ); χ(Φ) = χ(Φ1 ) ∪ . . . ∪ χ(Φm ). i ∈ m̃ Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïîäòåðì Ψ òåðìà Φ îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèì ìåñòîì âõîæäåíèÿ â Φ. Çàìåòèì, ÷òî îäèíàêîâûå òåðìû ìîãóò áûòü ðàçëè÷íûìè êàê ïîäòåðìû íåêîòîðîãî òåðìà, â ñëó÷àå, åñëè èõ âõîæäåíèÿ â Φ ðàçíûå. Åñëè ìíîæåñòâî ïåðåìåííûõ òåðìà Φ åñòü {x1 , x2 , ..., xn }, òî ïðèìåíÿåì çàïèñü Φ(x1 , x2 , ..., xn ). Åñëè æå íóæíî ïîä÷åðêíóòü, êàêèå ôóíêöèîíàëüíûå ñèìâîëû âõîäÿò â ïîñòðîåíèå òåðìà Φ, óïîòðåáëÿåì çàïèñü Φ[f1 , . . . , fk ], ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî â Φ åñòü ïîäòåðìû âèäà fi (Φi1 , . . . , Φis ), i ∈ {1, . . . , k} è fi 6= fj äëÿ i 6= j , à âñå îñòàëüíûå ïîäòåðìû ÿâëÿþòñÿ ïåðåìåííûìè. Åñëè Φ = f (Φ1 , . . . , Φm ), òî f  âíåøíÿÿ ôóíêöèÿ òåðìà Φ. Çàìå÷àíèå. Åñëè â îïðåäåëåíèå òåðìà âõîäÿò ôóíêöèè ðàíãà 0, 1, 2, òî äëÿ íèõ èñïîëüçóþòñÿ îáîçíà÷åíèÿ, ââåäåííûå âûøå. Ïðè ýòîì, ÷òîáû óìåíüøèòü ÷èñëî ñêîáîê â òåðìàõ, ÷àñòü ñêîáîê áóäåì îïóñêàòü, äîãîâîðèâøèñü î ïðèîðèòåòå ôóíêöèé äëÿ åäèíñòâåííîñòè âîññòàíîâëåíèÿ ñêîáîê: −, ·, ∨, ⊕, âñå îñòàëüíûå ôóíêöèè.  çàïèñè òåðìîâ ñèìâîë êîíúþíêöèè ¿·À ÷àñòî Ëåêöèÿ 7. Ïðåäñòàâëåíèå áóëåâûõ ôóíêöèé òåðìàìè 47 áóäåò îïóñêàòüñÿ. Ñîïîñòàâèì íàáîðó ïåðåìåííûõ (x1 , x2 , ..., xn ) îäèí èç íàáîðîâ ìíîæåñòâà E n , ïðè ýòîì ñ÷èòàåì, ÷òî çàäàíî çíà÷åíèå ïåðåìåííûõ (x1 , x2 , ..., xn ). Ïóñòü âñå ïåðåìåííûå òåðìà Φ âñòðå÷àþòñÿ ñðåäè ïåðåìåííûõ ìíîæåñòâà {x1 , x2 , ..., xn }. Îïðåäåëèì çíà÷åíèå òåðìà Φ ïðè çàäàííûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ (x1 , x2 , ..., xn ). 1) åñëè Φ  ïåðåìåííàÿ, òî çíà÷åíèå Φ ñîâïàäàåò ñî çíà÷åíèåì ýòîé ïåðåìåííîé; 2) åñëè Φ = f (Φ1 , . . . , Φm ) è çíà÷åíèÿ òåðìîâ Φ1 , . . . , Φm åñòü σ1 , . . . , σm ñîîòâåòñòâåííî, òî çíà÷åíèå òåðìà Φ åñòü f (σ1 , . . . , σm ). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ôóíêöèÿ g ïðåäñòàâèìà òåðìîì Φ(x1 , . . . , xn ), åñëè dimg = n è äëÿ ëþáîãî íàáîðà α1 , . . . , αn , çàäàþùåãî çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ, çíà÷åíèå òåðìà Φ(x1 , . . . , xn ) ïðè ýòîì çíà÷åíèè ïåðåìåííûõ ñîâïàäàåò ñ g(α1 , . . . , αn ). È òàêæå ñ÷èòàåì, ÷òî ôóíêöèÿ g ïðåäñòàâèìà òåðìîì Φ, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå óïîðÿäî÷åíèå x̃ ïåðåìåííûõ χ(Φ), ïðè êîòîðîì ôóíêöèÿ g ïðåäñòàâèìà òåðìîì Φ(x̃). Äëÿ ýòèõ ïîíÿòèé èñïîëüçóåì îáîçíà÷åíèÿ g = Φ(x̃) è g = Φ. Åñëè ôóíêöèÿ g ïðåäñòàâèìà òåðìîì Φ, êîòîðûé ïîñòðîåí èç ôóíêöèé f1 , . . . , fn , òî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî g åñòü ñóïåðïîçèöèÿ ôóíêöèé f1 , . . . , fn (îáîçíà÷àåì g = Φ[f1 , . . . , fn ]). Ïóñòü Φ è Ψ  òåðìû. Åñëè ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ χ(Φ) ∪ χ(Ψ) çíà÷åíèÿ òåðìîâ Φ è Ψ ñîâïàäàþò, òî òàêèå òåðìû íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè è îáîçíà÷àþòñÿ Φ = Ψ. Ýòî îòíîøåíèå, î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè. Ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå äàåò ìíîæåñòâî ÷àñòî èñïîëüçóåìûõ ýêâèâàëåíòíûõ òåðìîâ. Ïðåäëîæåíèå 7.1. Ïóñòü X,Y,Z  òåðìû, òîãäà 1) X · Y = Y · X; X ∨ Y = Y ∨ X; X ⊕ Y = Y ⊕ X  êîììóòàòèâíîñòü êîíúþíêöèè, äèçúþíêöèè, ñëîæåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî; 2) X ·(Y ·Z) = (X ·(Y )·Z; X ∨(Y ∨Z) = (X ∨Y )∨Z; X ⊕(Y ⊕Z) = = (X ⊕Y )⊕Z  àññîöèàòèâíîñòü êîíúþíêöèè, äèçúþíêöèè, ñëîæåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî; 3) 1·X = X; 0·X = 0; 1∨X = 1; 0∨X = X; 0⊕X = X; 1⊕X = X̄; 4) X · X = X; X ∨ X = X  èäåìïîòåíòíîñòü; 48 Ëåêöèÿ 7. Ïðåäñòàâëåíèå áóëåâûõ ôóíêöèé òåðìàìè ¯ = X  ñíÿòèå äâîéíîãî îòðèöàíèÿ; 5) X̄ 6) X · Y = X̄ ∨ Ȳ ; X ∨ Y = X̄ · Ȳ ; X ⊕ Y = X ⊕ Y ⊕ 1  äå Ìîðãàíà; 7) X · (Y ∨ Z) = X · Y ∨ X · Z; X ∨ (Y · Z) = (X ∨ Y ) · (X ∨ Z); X · (Y ⊕ Z) = X · Y ⊕ X · Z; X ∨ (Y ⊕ Z) = X ∨ Y ⊕ X ∨ Z ⊕ X  äèñòðèáóòèâíîñòü; 8) X ⊕ Y = X̄ · Y ∨ X · Ȳ ; X|Y = X̄ ∨ Ȳ ; X ↓ Y = X̄ · Ȳ ; X ↔ Y = X · Y ∨ X̄ · Ȳ ; X ↔ Y = X̄ ⊕ Y ; X → Y = X̄ ∨ Y ; X ← Y = X ∨ Ȳ ; X → | Y = X · Ȳ ; X ← | Y = X̄ · Y ; X ∨ Y = XY ⊕ X ⊕ Y ; 9) X ∨X ·Y = X; X̄ ∨X ·Y = X̄ ∨Y ; X ·(X ∨Y ) = X; X̄ ·(X ∨Y ) = = X̄ · Y ; X ⊕ X · Y = X · Ȳ ; X ⊕ X ∨ Y = X̄ · Y  ïîãëîùåíèÿ; 18) X · X̄ = 0; X ∨ X̄ = 1; X ⊕ X = 0. Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Íåïîñðåäñòâåííî ïî îïðåäåëåíèþ ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî òåðìû â îáåèõ ÷àñòÿõ òîæäåñòâ ÿâëÿþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè. ¤ Ôóíêöèè f (x̃) è g(ỹ) íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè îíè ýêâèâàëåíòíû êàê òåðìû. Ôóíêöèè, ýêâèâàëåíòíûå ôóíêöèÿì ðàçìåðíîñòè 0, 1, 2, íàçîâåì ñîîòâåòñòâåííî êîíñòàíòíûìè, óíàðíûìè, áèíàðíûìè. Áèíàðíûå ôóíêöèè, çà èñêëþ÷åíèåì ôóíêöèé ýêâèâàëåíòíûõ ⊕ è ↔, íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè. Ïðèíöèï äâîéñòâåííîñòè Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü f è g  ôóíêöèè ðàçìåðíîñòè n, f è g íàçûâàþòñÿ äâîéñòâåííûìè, åñëè äëÿ ëþáîãî íàáîðà (σ1 , σ2 , ..., σn ) âûïîëíÿåòñÿ f (σ1 , σ2 , ..., σn ) = ḡ(σ¯1 , . . . , σ¯n ). Äëÿ äâîéñòâåííûõ ôóíêöèé f è g ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ g = f ∗ è f = g ∗ . Î÷åâèäíî, ÷òî (f ∗ )∗ = f . Êðîìå òîãî ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ïîëåçíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùåå, íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþùåå èç îïðåäåëåíèÿ, ñâîéñòâî f (x1 , ..., xn ) = (f¯)∗ (x̄1 , ..., x̄n ).  ñëåäóþùåé òàáëèöå ïðèâåäåíî íåñêîëüêî ïàð äâîéñòâåííûõ ôóíêöèé ôóíêöèÿ x x̄ x ∨ y x + y äâîéñòâåííàÿ ôóíêöèÿ x x̄ x · y x + y + 1 Îïðåäåëèì òåðì Φ∗  äâîéñòâåííûé ê òåðìó Φ : 1) åñëè Φ = x, òî Φ∗ ≡ x; 2) åñëè Φ = f (Φ1 , . . . , Φs ), òî Φ∗ = f ∗ (Φ∗1 , . . . , Φ∗s ). Ïðè ýòîì, î÷åâèäíî, åñëè Φ[f1 , . . . , fn ], òî Φ∗ = Φ[f1∗ , . . . , fn∗ ]. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ òåðìà Φ = f (Φ1 , . . . , Φs ) çíà÷åíèå íà ïðîèçâîëüíîì íàáîðå (σ1 , ..., σn ) åñòü f (Φ1 (σ1 , ..., σn ), . . . , Φs (σ1 , ..., σn )), à äëÿ äâîéñòâåííîãî òåðìà Φ∗ åñòü f ∗ (Φ∗1 (σ1 , ..., σn ), . . . , Φ∗s (σ1 , ..., σn )) = = f¯(Φ̄∗1 (σ1 , ..., σn ), . . . , Φ̄∗s (σ1 , ..., σn )) = = f¯(Φ1 (σ¯1 , ..., σ¯n ), . . . , Φs (σ¯1 , ..., σ¯n ) Òåîðåìà 7.1. [Ïðèíöèï äâîéñòâåííîñòè] Ïóñòü ôóíêöèÿ f ïðåäñòàâèìà òåðìîì Φ. Òîãäà äâîéñòâåííàÿ ôóíêöèÿ f ∗ ïðåäñòàâèìà äâîéñòâåííûì òåðìîì Φ∗ . Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì èíäóêöèåé ïî ãëóáèíå òåðìà Φ. Áàçèñ èíäóêöèè. Ïóñòü d(Φ) = 0. Òîãäà f  òîæäåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ. Ïîëó÷àåì Φ∗ = Φ, f ∗ = f . Øàã èíäóêöèè. Ïóñòü Φ = g(Φ1 , . . . , Φm ). Òîãäà òàê êàê d(Φi ) < d(Φ), òî, èñïîëüçóÿ ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè äëÿ Φ1 , . . . , Φm , ïîëó÷èì f ∗ = ḡ(Φ1 , . . . Φm )(x̄1 , . . . , x̄k ) = ḡ(Φ1 , . . . , Φm )(x̄1 , . . . , x̄k ) = ∗ = ḡ( (Φ̄1 (x̄1 , . . . , x̄k )), . . . , (Φ̄m (x̄1 , . . . , x̄k ))) = ḡ(ḡ1∗ , . . . , ḡm )= ∗ = g ∗ (g1∗ , . . . , gm ) = g ∗ (Φ∗1 , . . . , Φ∗m ) = Φ∗ , ãäå gi ïðåäñòàâèìà òåðìîì Φi (x̃) äëÿ âñåõ i ∈ m̃. ¤ Ëåêöèÿ 8 Ñïåöèàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé Òåðìàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé åñòåñòâåííûì îáðàçîì ñòàâÿò âîïðîñ î âîçìîæíîñòè çàäàíèÿ ôóíêöèé òåðìàìè ñïåöèàëüíîãî âèäà. Ñ íåêîòîðûìè òàêèìè ïðåäñòàâëåíèÿìè ìû ïîçíàêîìèìñÿ â ýòîé ëåêöèè. 49 50 Ëåêöèÿ 8. Ñïåöèàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé Ÿ 1. Äèçúþíêòèâíûå ôóíêöèé ïðåäñòàâëåíèÿ áóëåâûõ Îïðåäåëåíèå. Ïðåäñòàâëåíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé, â êîòîðûõ âíåøíåé ôóíêöèåé òåðìà ÿâëÿåòñÿ äèçúþíêöèÿ (â îáùåì ñëó÷àå ìíîãîìåñòíàÿ) íàçûâàþòñÿ äèçúþíêòèâíûìè. Òåîðåìà 8.1. Ëþáóþ áóëåâó ôóíêöèþ f (x1 , ..., xn ) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå f (x1 , ..., xi , ..., xn ) = xi · fx1i (x1 , ..., ..., xn ) ∨ x̄i · fx0i (x1 , ..., ..., xn ). Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî åñëè ïåðåìåííàÿ xi ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1, òî ñïðàâà îñòàåòñÿ f (x1 , ..., 1, ..., xn ), à åñëè 0, òî ñïðàâà îñòàåòñÿ f (x1 , ..., 0, ..., xn ). ¤ Ýòî ðàçëîæåíèå ìîæíî îáîáùèòü íà ñëó÷àé k ≤ n ïåðåìåííûõ. Òåîðåìà 8.2. Ëþáóþ áóëåâó ôóíêöèþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå _ f (x1 , ..., xi1 , ..., xik , ..., xn ) = xσi11 ·...·xσikk ·f (x1 , ..., σ1 , ..., σk , ..., xn ). σ1 ...σk Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äëÿ ëþáîãî íàáîðà α̃ = (α1 , ..., αk ) çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ xi1 , ..., xik ñðåäè âñåõ íàáîðîâ σ1 , ..., σk , êîòîðûå ó÷àñòâóþò â ïîñòðîåíèè äèçúþíêòèâíûõ ÷ëåíîâ, òîëüêî îäèí áóäåò ñîâïàäàòü ñ α̃. Âñå îñòàëüíûå áóäóò îòëè÷àòüñÿ ïî êðàéíåé ìåðå â îäíîé ïîçèöèè. Íî åñëè a 6= b, òî ab = 0 è ñëåäîâàòåëüíî ýòîò äèçúþíêòèâíûé ÷ëåí ðàâåí 0. Äëÿ íàáîðà σ1 , ..., σk êîòîðûé ñîâïàäàåò ñ α̃ = (α1 , ..., αk ) èìååì α1σ1 = 1, ..., αkσk = 1 è ñîîòâåòñòâóþùèé äèçúþíêòèâíûé ÷ëåí ðàâåí f (x1 , ..., αi1 , ..., αk , ..., xn ). ¤ Ïðè k = n â ïðåäûäóùåì ïðåäñòàâëåíèè ïîëó÷èì ðàçëîæåíèå Òåîðåìà 8.3. Ëþáóþ áóëåâó ôóíêöèþ f (x1 , ..., xn ) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå _ xσ1 1 · ... · xσnn · f (σ1 , ..., σn ). σ1 ,...,σn Ÿ 1. Äèçúþíêòèâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé 51 Åñëè ôóíêöèÿ f õîòÿ áû íà îäíîì íàáîðå îòëè÷íà îò 0, òî äëÿ íåå ìîæíî çàïèñàòü äèçúþíêòèâíóþ ôîðìó (òàê íàçûâàåìóþ ñîâåðøåííóþ äèçúþíêòèâíóþ íîðìàëüíóþ ôîðìó, ñîêðàùåííî ñäíô) âèäà Òåîðåìà 8.4. Áóëåâó ôóíêöèþ f (x1 , ..., xn ), êîòîðàÿ õîòÿ áû íà îäíîì íàáîðå ðàâíà 1, ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå _ xσ1 1 · ... · xσnn . f (σ1 ,...,σn )=1 Îïðåäåëåíèå. Ýëåìåíòàðíîé êîíúþíêöèåé íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå âèäà xσi11 · xσi22 · ... · xσikk Îïðåäåëåíèå. Äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìîé íàçûâàåòñÿ äèçúþíêöèÿ ýëåìåíòàðíûõ êîíúþíêöèé. Ñäíô ÿâëÿåòñÿ äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìîé. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ôóíêöèÿ, òîæäåñòâåííî ðàâíàÿ íóëþ, ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå x · x̄, ÿâëÿåòñÿ ñïðàâåäëèâîé Òåîðåìà 8.5. Ëþáóþ áóëåâó ôóíêöèþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìå. Íåñëîæíî çàìåòèòü, ÷òî äèçúþíêòèâíûõ íîðìàëüíûõ ôîðì ó áóëåâîé ôóíêöèè ìîæåò áûòü íåñêîëüêî (â îòëè÷èå îò ñäíô, êîòîðàÿ åäèíñòâåííà). 1.1. Ïîñòðîåíèå äíô Ìû ðàññìîòðèì äâà âàðèàíòà ïîñòðîåíèÿ äíô  ïîñòðîåíèå ñäíô ïî òàáëèöå è ïîñòðîåíèå äíô ñ èñïîëüçîâàíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè òåðìîâ. 52 Ëåêöèÿ 8. Ñïåöèàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé Ïîñòðîåíèå ñäíô ïî òàáëèöå çíà÷åíèé ôóíêöèè Äîñòàòî÷íî ïðîñòî ñòðîèòü ñäíô, èñïîëüçóÿ âåêòîð çíà÷åíèé ôóíêöèè. Âñïîìèíàåì, ÷òî ñäíô ìîæíî ïîñòðîèòü òîëüêî äëÿ ôóíêöèè, êîòîðàÿ õîòÿ áû íà îäíîì íàáîðå ðàâíà 1 è òîãäà _ f (x1 , x2 , ..., xn ) = xσ1 1 · ... · xσnn . f (σ1 ,...,σn )=1 1. Âûáèðàåì òå íàáîðû, íà êîòîðûõ ôóíêöèÿ ðàâíà 1. 2. Êàæäîìó âûáðàííîìó íàáîðó α1 , ..., αn ñòàâèì â ñîîòâåòαn 1 ñòâèå ýëåìåíòàðíóþ êîíúþíêöèþ xα 1 · ... · xn . 3. Ñòðîèì äèçúþíêöèþ ýëåìåíòàðíûõ êîíúþíêöèé. Ïîëó÷åííàÿ äíô ÿâëÿåòñÿ ñäíô. Ïðèìåð Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ îò 3 àðãóìåíòîâ  (10000001). Äëÿ íåå èìååòñÿ òîëüêî 2 íàáîðà íà êîòîðûõ îíà ðàâíà 1  íàáîð (000) è íàáîð (111). Ïåðâîìó íàáîðó ñîîòâåòñòâóåò ýëåìåíòàðíàÿ êîíúþíêöèÿ x01 x02 x03 = x¯1 x¯2 x¯3 . Âòîðîìó  ýëåìåíòàðíàÿ êîíúþíêöèÿ x1 x2 x3 . È îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì f = x¯1 x¯2 x¯3 ∨ x1 x2 x3 Ïîñòðîåíèå äíô ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè Åñëè çàäàí òåðì íàä ïðîèçâîëüíûì ìíîæåñòâîì áóëåâûõ ôóíêöèé òî ñíà÷àëà ìû åãî ïðåîáðàçóåì â òåðì íàä ìíîæåñòâîì ôóíêöèé ·, ∨, −. Äëÿ ýòîãî âñå ôóíêöèè ïðåäñòàâëÿåì, íàïðèìåð, â ñäíô. Äàëåå èñïîëüçóåì ýêâèâàëåíòíîñòè ïî çàêîíó äå Ìîðãàíà (x ∨ y) = x · y , (x · y) = x ∨ y è ñíÿòèþ äâîéíîãî îòðèöàíèÿ x = x, âñå îòðèöàíèÿ ñäåëàåì òåñíûìè (îòðèöàíèå ñòîèò òîëüêî íàä ïåðåìåííûìè). Èñïîëüçóÿ çàêîíû äèñòðèáóòèâíîñòè x(y ∨ z) = xy ∨ xz è (x ∨ y)(x ∨ z) = x ∨ (yz) òåðì ïðèâîäèì ê äíô. Ïðèìåíÿåì ïðàâèëî x · x = x è x ∨ x = x, 1 · x = x, 0 · x = 0, 1 ∨ x = 1, 0 ∨ x = x, x · x̄ = 0, x ∨ x̄ = 1.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì äèçúþíêòèâíîå ïðåäñòàâëåíèå. Ñòîèò çàìåòèòü, ÷òî ïðîöåññ íàõîæäåíèÿ äèçúþíêòèâíûõ ïðåäñòàâëåíèé íå ÿâëÿåòñÿ îäíîçíà÷íûì. Åñëè íàì íóæíî íàéòè ñäíô, òî òå äèçúþíêòèâíûå ÷ëåíû, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ ïîëíûìè (ò.å. íå ñîäåðæàò âñåõ ïåðåìåííûõ îò êîòîðûõ çàâèñèò ôóíêöèÿ) íóæíî çàìåíèòü ñëåäóþùèì 53 Ÿ 2. Êîíúþíêòèâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé îáðàçîì. Ïóñòü Φ  äèçúþíêòèâíûé ÷ëåí è ïåðåìåííàÿ y íå âõîäèò â Φ. Òîãäà Φ çàìåíÿåì íà Φ · y ∨ Φ · ȳ . Ïðèìåð Òåðì (x1 + x2 ) ∨ x3 ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ïðèâåäåì ê ñäíô. 1. Èçáàâèìñÿ îò +. Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî a + b = āb ∨ ab̄. Ïîëó÷èì òåðì (x̄1 x2 ∨ x1 x̄2 )x3 . 2. Ðàñêðîåì ñêîáêè, ïîëó÷èì x̄1 x2 x3 ∨ x1 x̄2 x3 êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñäíô. Ïðèìåð Òåðì (x1 + x2 ) ∨ x3 ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ïðèâåäåì ê ñäíô. (x1 + x2 ) ∨ x3 = [ x̄1 x2 ∨ x1 x̄2 ] ∨ x3 = [x̄1 x2 x1 x̄: ] ∨ x3 = = [(x1 ∨ x̄2 ) · (x̄1 ) ∨ x2 ] ∨ x3 = [x1 x̄1 ∨ x1 x2 ∨ x̄1 x̄1 ∨ x2 x̄2 ] ∨ x3 = = [x1 x2 ∨ x̄1 x̄2 ] ∨ x3 = x1 x2 ∨ x̄1 x̄2 ∨ x3 Ÿ 2. Êîíúþíêòèâíûå ôóíêöèé ïðåäñòàâëåíèÿ áóëåâûõ Çàìåíèâ â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå äèçúþíêöèþ íà êîíúþíêöèþ, à êîíúþíêöèþ íà äèçúþíêöèþ, ïîëó÷àåì îïðåäåëåíèå ýëåìåíòàðíîé äèçúþíêöèè, ñêíô è êîíúþíêòèâíûõ ïðåäñòàâëåíèé. 2.1. Ïîñòðîåíèå êíô Äëÿ ïîñòðîåíèÿ êíô, â òîì ÷èñëå è ñêíô, ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèì: f (x1 , ..., xn ) = (f¯)∗ (x̄1 , ..., x̄n ). Ïîýòîìó äëÿ ôóíêöèè f¯ ñíà÷àëà íàõîäèì ñäíô, äàëåå íàõîäèì f¯∗ . Äëÿ ýòîãî çàìåíÿåì · íà ∨ è íàîáîðîò. È ïîñëå ýòîãî äåëàåì çàìåíó x íà x̄, x̄ íà x. 54 Ëåêöèÿ 8. Ñïåöèàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé Ÿ 3. Ïîëèíîìèàëüíûå ôóíêöèé ïðåäñòàâëåíèÿ áóëåâûõ Îïðåäåëåíèå. Ïîëèíîìèàëüíûì ïðåäñòàâëåíèåì áóäåì íàçûâàòü ïðåäñòàâëåíèÿ â êîòîðûõ âíåøíåé ôóíêöèåé òåðìà ÿâëÿåòñÿ ñëîæåíèå ïî ìîäóëþ 2 (â îáùåì ñëó÷àå ìíîãîìåñòíîå). Ñðåäè ðàçëè÷íûõ ïîëèíîìèàëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé ìû ïîçíàêîìèìñÿ òîëüêî ñ ïðåäñòàâëåíèåì áóëåâûõ ôóíêöèé â âèäå ïîëèíîìà Æåãàëêèíà. Áóäåì çäåñü èñïîëüçîâàòü ïîíÿòèå ñòåïåíè, îòëè÷íîå îò òîãî, ÷òî ìû ïðèìåíÿëè â ïðåäûäóùèõ ïóíêòàõ: à èìåííî a0 = 1 ïðè ëþáîì a è ñîîòâåòñòâåííî a1 = a. È òîãäà ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå. Òåîðåìà 8.6. Ëþáóþ áóëåâó ôóíêöèþ f (x1 , ..., xn ) ìîæíî ïðåäñòàâèòü ïîëèíîìèàëüíîé ôîðìîé âèäà X aσ1 ...σn xσ1 1 · ... · xσnn . (σ1 ,...,σn ) ãäå aσ1 ...σn ∈ {0, 1}. Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïîëèíîìèàëüíóþ ôîðìó èç ýòîãî óòâåðæäåíèÿ áóäåì íàçûâàòü ïîëèíîìîì Æåãàëêèíà. Ðàçëè÷íûõ íàáîðîâ σ1 ...σn áóäåò 2n , êðîìå òîãî, äëÿ aσ1 ...σn èìååòñÿ äâà âàðèàíòà  0 è 1. Ñëåäîâàòåëüíî ÷èñëî ðàçëè÷íûõ ïîëèíîìîâ Æåãàëêèíà îò n ïåðåìåííûõ ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì áóëåâûõ ôóíêöèé îò n ïåðåìåííûõ. Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî ðàçëè÷íûå ïîëèíîìû îïðåäåëÿþò ðàçíûå ôóíêöèè. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè ïî ÷èñëó íåèçâåñòíûõ. Äëÿ n = 0 èìååì 2 ïîëèíîìà  0 è 1, êîòîðûå åñòåñòâåííî çàäàþò äâå ðàçíûå ôóíêöèè. Ëþáîé ïîëèíîì îò n íåèçâåñòíûõ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå x1 · P1 (x2 , ..., xn ) + P2 (x2 , ..., xn ), ãäå â ïîñòðîåíèè ïîëèíîìîâ P1 è P2 ó÷àñòâóþò òîëüêî ïåðåìåííûå x2 , ..., xn . Ïóñòü ó íàñ èìåþòñÿ äâà ðàçëè÷íûõ ïîëèíîìà îò n íåèçâåñòíûõ: P (x1 , ..., xn ) = x1 ·P11 (x2 , ..., xn )+P21 (x2 , ..., xn ) è Q(x1 , ..., xn ) = x1 · P12 (x2 , ..., xn ) + P22 (x2 , ..., xn ). Ðàññìîòðèì ñëó÷àé: P21 (x2 , ..., xn ) è P22 (x2 , ..., xn ) ðàçëè÷íûå ïîëèíîìû îò íåèçâåñòíûõ x2 , ..., xn . Òîãäà ïî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþ îíè îïðåäåëÿþò ðàçíûå ôóíêöèè: ò.å. ñóùåñòâóåò íàáîð α2 , ..., αn íà êîòîðîì P21 (α2 , ..., αn ) 6= P22 (α2 , ..., αn ), íî òîãäà Ÿ 3. Ïîëèíîìèàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé 55 P (0, α2 , ..., αn ) 6= Q(0, α2 , ..., αn ), ò.å. ïîëèíîìû P è Q îïðåäåëÿþò ðàçíûå ôóíêöèè. Ïóñòü P21 (x2 , ..., xn ) è P22 (x2 , ..., xn ) ñîâïàäàþò êàê ïîëèíîìû. Òîãäà P11 (x2 , ..., xn ) è P12 (x2 , ..., xn ) äîëæíû áûòü ðàçíûìè êàê ïîëèíîìû. Ñëåäîâàòåëüíî ïî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþ îíè îïðåäåëÿþò ðàçíûå ôóíêöèè: ò.å. ñóùåñòâóåò íàáîð α2 , ..., αn íà êîòîðîì P11 (α2 , ..., αn ) 6= P12 (α2 , ..., αn ), íî òîãäà P (1, α2 , ..., αn ) 6= Q(1, α2 , ..., αn ), ò.å. ïîëèíîìû P è Q îïðåäåëÿþò ðàçíûå ôóíêöèè. ¤ Èòàê, ìû ïîêàçàëè, ÷òî ëþáóþ áóëåâó ôóíêöèþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü ïîëèíîìîì Æåãàëêèíà X aσ1 ...σn xσ1 1 · ... · xσnn . (σ1 ,...,σn ) ãäå aσ1 ...σn ∈ {0, 1}. Ïîëèíîì áóäåò ïîñòðîåí, åñëè ìû ñìîæåì óêàçàòü êîýôôèöèåíòû aσ1 ...σn ∈ {0, 1}. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ. Ïóñòü äàíà ôóíêöèÿ f (x1 , ..., xn ). Ðàññìîòðèì âñå äâîè÷íûå íàáîðû (α1 , ..., αn ). Äëÿ êàæäîãî èç íèõ äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâî f (α1 , ..., αn ) = X aσ1 ...σn α1σ1 · ... · αnσn . (σ1 ,...,σn ) Ïîëó÷èëè ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ aσ1 ...σn ∈ {0, 1}. Ðåøèâ åå, ìû íàéäåì íóæíûå êîýôôèöèåíòû. Ïäâåäåì èòîã. Ïîëèíîì Æåãàëêèíà  ýòî ñóììà ïðîèçâåäåíèé ïåðåìåííûõ è çíà÷èò ëþáóþ áóëåâó ôóíêöèþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñóììîé ïðîèçâåäåíèé ïåðåìåííûõ. Òàê êàê ñëîæåíèå âûïîëíÿåòñÿ ïî mod2, òî êîýôôèöèåíòû ïåðåä ïðîèçâåäåíèÿìè ïåðåìåííûõ ìîãóò áûòü ðàâíû 1 èëè 0. Âñåãî ïåðåìåííûõ n, íåêîòîðûå èç íèõ ìîãóò íå âõîäèòü â ïðîèçâåäåíèå. Äëÿ òåõ ïåðåìåííûõ, êîòîðûå âõîäÿò â ïðîèçâåäåíèå íà ñîîòâåòñòâóþùåì ìåñòå â èíäåêñå äëÿ êîýôôèöèåíòà ñòîèò 1, à äëÿ îñòàëüíûõ  0. Ïðèìåð 56 Ëåêöèÿ 8. Ñïåöèàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé Åñëè èìåþòñÿ ïåðåìåííûå x1 , x2 , x3 , x4 , òî äëÿ îáîçíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòà ïåðåä x1 · x2 · x3 èñïîëüçóåì a1110 , à ïåðåä x2 · x4  a0101 . Ïîêàæåì åùå äâà ñïîñîáà âû÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ. Îäèí èç ñïîñîáîâ íàõîæäåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ñâÿçàí ñ ïîíÿòèåì ïðîèçâîäíîé áóëåâîé ôóíêöèè, âòîðîé íîñèò íàçâàíèå "Ïðàâèëî òðåóãîëüíèêà". 3.1. Ïðîèçâîäíûå áóëåâûõ ôóíêöèé Ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè ïî i-ìó àðãóìåíòó íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ, ðàâíàÿ ñóììå íóëåâîé è åäèíè÷íîé îñòàòî÷íîé ïî ýòîìó àðãóìåíòó. Ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè f ïî àðãóìåíòó, èìåíîâàííîìó ïåðå0 ìåííîé xi , áóäåì îáîçíà÷àòü fxi . Èòàê, ïî îïðåäåëåíèþ fxi = fx0i + fx1i . Êàê îáû÷íî, íàõîæäåíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè íàçûâåòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèåì ôóíêöèè. Ìû îñòàíîâèìñÿ íà ïðîñòûõ ñâîéñòâàõ ïðîèçâîäíûõ, èñïîëüçóþ êîòîðûå ìîæíî âû÷èñëÿòü êîýôôèöèåíòû ïîëèíîìîâ Æåãàëêèíà. Äîêàçàòåëüñòâî ýòèõ ñâîéñòâ ìîæíî âûâåñòè íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ, ïîýòîìó ìû çäåñü èõ ïðèâîäèòü íå áóäåì. Ïðåäëîæåíèå 8.1. 1) (0)0x = (1)0x = 0; 2) (x)0x = 1; 3) (f )0x = fx0 ; 4) fx0 = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x  ôèêòèâíàÿ ïåðåìåííàÿ. Èç ýòîãî ïðåäëîæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî (fx0 )0x = 0, ïîýòîìó ïðîèçâîäíûå âûñøèõ ïîðÿäêîâ ïî îäíîé ïåðåìåííîé âñå ýêâèâàëåíòíû íóëåâîé ôóíêöèè è íå ïðåäñòàâëÿþò èíòåðåñà. Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå îïðåäåëÿåò ïðèåìû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ òåðìîâ íàä áèíàðíûìè ôóíêöèÿìè. Ïðåäëîæåíèå 8.2. Åñëè f , g  ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè è x ∈ χ(f ) ∪ χ(g), òî âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà: 1) (f ⊕ g)0x = fx0 ⊕ gx0 ; 2) (f · g)0x ≈ f · gx0 ⊕ fx0 · g ⊕ fx0 · gx0 ; Ÿ 3. Ïîëèíîìèàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé 57 3) (f ∨ g)0x ≈ f · gx0 ⊕ fx0 · g ⊕ fx0 · gx0 . Ñëåäñòâèå. Åñëè x  ôèêòèâíàÿ ïåðåìåííàÿ ôóíêöèè g (èëè íå âñòðå÷àåòñÿ ñðåäè ïåðåìåííûõ g ), òî âåðíû ðàâåíñòâà: 1) (f ⊕ g)0x = fx0 ; 2) (f g)0x = fx0 g; 3) (f ∨ g)0x = fx0 g. Òàê êàê ïðîèçâîäíàÿ ïî i-ìó àðãóìåíòó ÿâëÿåòñÿ áóëåâîé ôóíêöèåé, òî äëÿ íåå ìîæíî íàéòè ïðîèçâîäíóþ ïî j -ìó (i 6= j ) àðãóìåíòó.  îáùåì ñëó÷àå fx0 i1 ,...,xik = (fx0 i1 ,...,xik−1 )0xik Ïðåäëîæåíèå 8.3. Âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî fx0 i1 ,...,xik = fx0 s1 ,...,xsk , ãäå s1, ..., sk  ïðîèçâîëüíàÿ ïåðåñòàíîâêà i1, ..., ik Òåîðåìà 8.7. Ïóñòü â íàáîðå σ1 , ..., σn åäèíèöû ñòîÿò íà ìåñòàõ i1 , ..., is , à íóëè íà ìåñòàõ j1 , ..., jt s + t = n, òîãäà äëÿ áóëåâîö ôóíêöèè f (x1 , ..., xn ) êîýôôèöèåíò aσ1 ,...,σn ïîëèíîìà Æåãàëêèíà âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå aσ1 ,...,σn = (fx0 i1 ,...,xis )0,...,0 xj1 ,...,xjt . Ò.å. ïî ïåðåìåííûì xi1 , ..., xis áåðåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ, à âìåñòî ïåðåìåííûõ xj1 , ..., xjt ïîäñòàâëÿåòñÿ 0. Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Âçÿâ ïðîèçâîäíóþ ïî ïî ïåðåìåííûì xi1 , ..., xis ìû ïîëó÷èì ñëàãàåìûå ñ êîýôôèöèåòû ó êîòîðûõ åäèíèöû ñòîÿò íà ìåñòàõ i1 , ..., is , à ïîäñòàâèâ íóëè ïîëó÷èì íóæíûé êîýôôèöèåíò. Ïðèìåð Äëÿ ôóíêöèè f (x, y, z) = (10001111) íàéòè ïîëèíîì Æåãàëêèíà. (Ïðè âû÷èñëåíèè ïðîèçâîäíîé áóäåì èñïîëüçîâàòü òîëüêî îïðåäåëåíèå, ò.å. áóäåì âû÷èñëÿòü ñóììû îñòàòî÷íûõ, èñïîëüçóÿ ïðàâèëà íàõîæäåíèÿ îñòàòî÷íûõ ôóíêöèè, çàäàííîé âåêòîðîì.) 000 = 1 a000 = fx,y,z 00 a001 = (fz0 )00 xy = ((1011) + (0011))xy = 1 00 a010 = (fy0 )00 xz = ((1011) + (0011))xz = 1 58 Ëåêöèÿ 8. Ñïåöèàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé 0 )0 = ((1000)0 )0 = 1 a011 = (fyz x z x 00 a100 = (fx0 )00 yz = ((1000) + (1111))yz = 0 0 )0 = ((01) + (11))0 = 1 a101 = (fxz y y 0 )0 = ((01) + (11))0 = 1 a110 = (fxy z z a111 = fxyz = ((01) + (11))0z = 1 È îêîí÷àòåëüíî èìååì f (x, y, z) = 1+z+y+yz+xz+xy+xyz. 3.2. Âû÷èñëåíèå êîýôôèöèåíòîâ ïîëèíîìà Æåãàëêèíà ïî ïðàâèëó òðåóãîëüíèêà Ýòîò ìåòîä íåîïòèìàëåí ïî êîëè÷åñòâó íåîáõîäèìûõ îïåðàöèé, íî ëåãîê äëÿ çàïîìèíàíèÿ è ïîýòîìó ÷àñòî ïðèìåíÿåòñÿ ïðè ðó÷íûõ âû÷èñëåíèÿõ äëÿ ôóíêöèé íåáîëüøèõ ðàçìåðíîñòåé. Èäåÿ ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Áåðåòñÿ âåêòîð-ñòîëáåö, ñîäåðæàùèé 2n ñòðîê. Ïîñëåäîâàòåëüíî (ñïðàâà) ñòðîÿòñÿ âåêòîðûñòîëáöû, ÷èñëî ñòðîê â êîòîðûõ áóäåò óìåíüøàòüñÿ íà 1 äî òåõ ïîð, ïîêà íå ïîëó÷èì âåêòîð-ñòîëáåö, ñîäåðæàùèé 1 ñòðîêó.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ ôèãóðà, ïîõîæàÿ íà ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê. Ïîñòðîåíèå âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: áåðåì ïîñëåäíèé (ñïðàâà) âåêòîð è, íà÷èíàÿ ñî âòîðîé ñòðîêè, ìû ê ýëåìåíòó, ñòîÿùåìó â ýòîé ñòðîêå, ïðèáàâëÿåì (ïî mod 2) ýëåìåíò, ñòîÿùèé â ïðåäûäóùåé ñòðîêå è ðåçóëüòàò çàïèñûâàåì ñïðàâà.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì âåêòîð, äëèíà êîòîðãî íà 1 ìåíüøå ïðåäûäóùåãî. Ïðèìåð Âîçüìåì âåêòîð-ñòîëáåö (0111)t . Îïèñàííûå âûøå ïðåîáðàçîâàíèÿ äàäóò òàêîé "òðåóãîëüíèê"(çà 3 øàãà). 1 1 1 0 1 1 0 0 1 Âû÷èñëåíèå êîýôôèöèåíòîâ ïîëèíîìà Æåãàëêèíà ýòèì ìåòîäîì çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: â êà÷åñòâå ïåðâîíà÷àëüíîãî âåêòîðà áåðåòñÿ âåêòîð çíà÷åíèé ôóíêöèè. Äàëåå ñòðîèòñÿ "òðåóãîëüíèê". Ýëåìåíòû "òðåóãîëüíèêà", ñòîÿùèå íà ãèïîòåíóçå ÿâëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ïîëèíîìà Æåãàëêèíà: åñëè â ñòðîêå, êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèþ ôóíêöèè íà íàáîðå (α1 , ..., αn ), íà ãèïîòåíóçå ñòîèò ýëåìåíò b, òî êîýôôèöèåíò aα1 ,...,αn ðàâåí b. Ÿ 3. Ïîëèíîìèàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé 59 Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî óòâåðæäåíèÿ çàíóìåðóåì ñòðîêè è ñòîëáöû "òðåóãîëüíèêà"äâîè÷íûìè íàáîðàìè äëèíû n (íîìåðó k ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå äâîè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå ÷èñëà k − 1), ïåðâûé ñòîëáåö ïîëó÷èò íîìåð (0...00), âòîðîé  (0...01),..., ïîñëåäíèé  (1...11)) Ïî ïîñòðîåíèþ â ïåðâîì ñòîëáöå â ñòðîêå ñ íîìåðîì (γ1 , ..., γn ) ñòîèò f (γ1 , ..., γn ). Ýëåìåíòû ãèïîòåíóçû ñòîÿò â ñòðîêàõ è ñòîëáöàõ ñ îäèíàêîâûìè íîìåðàìè (äëÿ ñòðîêè ñ íîìåðîì (α1 , ..., αn ) ãèïîòåíóçà ñòîèò â ñòîëáöå ñ íîìåðîì (α1 , ..., αn )). Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî íàáîð (σ1 , ..., σn ) ≤ (α1 , ..., αn ) (÷èòàåòñÿ "ìåíüøå èëè ðàâåí"), åñëè σi ≤ αi äëÿ âñåõ i ∈ {1, ..., n}. Î÷åâèäíî, ÷òî íå âñå íàáîðû ñðàâíèìû ïîäîáíûì îáðàçîì. Ïðèìåð Èìååì (010) ≤ (011), íî íàáîðû (01) è (10) ïîäîáíûì îáðàçîì íå ñðàâíèìû. Ëåììà 8.1. (σ1 , ..., σn ) ≤ (α1 , ..., αn ) ⇔ ((α1 , ..., αn )−(σ1 , ..., σn )) ≤ (α1 , ..., αn ) À òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî 1) Êîýôôèöèåíò ïîëèíîìà Æåãàëêèíà ñ èíäåêñîì σ1 , ..., σn (ò.å. aσ1 ,...,σn ) ðàâåí ñóììå çíà÷åíèé ôóíêöèè íà âñåõ íàáîðàõ, êîòîðûå íåáîëüøå σ1 , ..., σn . X aσ1 ,...,σn = f (β1 ...βn ) (β1 ...βn )≤(σ1 ,...,σn ) 2)  "òðåóãîëüíèêå"â ñòðîêå σ̃ = (σ1 , ..., σn ) íà ãèïîòåíóçå ñòîèò X f (β1 ...βn ) (β1 ...βn )≤(σ1 ,...,σn ) Äîêàçàòåëüñòâî ïåðâîãî óòâåðæäåíèÿ ìû îñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ, à âìåñòî âòîðîãî äîêàæåì, ÷òî äëÿ ñòðîêè ñ íîìåðîì σ̃ = (σ1 , ..., σn ) â ñòîëáöå ñ íîìåðîì (β1 , ..., βn ) ñòîèò X f [(σ1 ...σn ) − (α1 ...αn )] (α1 ...αn )≤(β1 ,...,βn ) (Òîãäà äëÿ ñòðîêè (σ1 , ..., σn ) íà ãèïîòåíóçå áóäåò ñòîÿòü X f [(σ1 ...σn ) − (α1 ...αn )] (α1 ...αn )≤(σ1 ,...,σn ) 60 Ëåêöèÿ 8. Ñïåöèàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé è äàëåå, èñïîëüçóÿ ëåììó 8.1, X f [(σ1 ...σn ) − (α1 ...αn )] = (α1 ...αn )≤(σ1 ,...,σn ) X f (β1 ...βn )) (β1 ...βn )≤(σ1 ,...,σn ) Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Áàçà èíäóêöèè. Äëÿ ñòîëáöà ñ íîìåðîì (0...00) åñòü òîëüêî îäèí íàáîð, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ ñóììèðîâàíèÿ  (0...00) è ýëåìåíòû ñòîëáöà ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê f [(σ1 , ..., σn )−(0...00)]. Øàã èíäóêöèè. Ïóñòü óòâåðæäåíèå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ñòîëáöà ñ íîìåðîì (β1 , ..., βn ). Ïîêàæåì, ÷òî îíî âûïîëíÿåòñÿ è äëÿ ñëåäóþùåãî ñòîëáöà, ò.å. äëÿ ñòîëáöà ñ íîìåðîì β̃+1 = (β1 , ..., βn )+ (0...01). Âîçüìåì ñòðîêó ñ íîìåðîì (σ1 ...σn ). Íàì íàäî ïîêàçàòü, ÷òî â ñòîëáöå β̃ + 1 ñòîèò X f [(σ1 ...σn ) − (α1 ...αn )] (α1 ...αn )≤(β1 ,...,βn )+(0...01) Ýëåìåíò, ñòîÿùèé â ñðîêå (σ1 ...σn ) è ñòîëáöå β̃ +1 åñòü ñóììà ýëåìåíòà B (ñòîÿùåãî â ñòðîêå (σ1 ...σn ) è ñòîëáöå β̃ ) è ýëåìåíòà Ñ (ñòîÿùåãî â ñòðîêå (σ1 ...σn ) − (0...01) è ñòîëáöå β̃ ). X f [(σ1 ...σn ) − (α1 ...αn )] ∗ B= (α1 ...αn )≤(β1 ,...,βn ) C= X f [(σ1 ...σn ) − (0...01) − (α1 ...αn )] = (α1 ...αn )≤(β1 ,...,βn ) = X f [(σ1 ...σn ) − [(α1 ...αn ) + (0...01)]] ∗∗ (α1 ...αn )≤(β1 ,...,βn ) Åñëè ñëàãàåìîå âñòðå÷àåòñÿ â (*) è (**), òî â B + C îíî íå âñòðå÷àåòñÿ. Ðàññìîòðèì îñòàâøèåñÿ ñëàãàåìûå. à) Åñëè â B + C îñòàëîñü ñëàãàåìîå f [(σ1 ...σn ) − (α1 ...αn )], òî (α1 ...αn ) − (0...01) 6≤ (β1 , ..., βn ) á) Åñëè â B + C îñòàëîñü ñëàãàåìîå f [(σ1 ...σn ) − [(α1 ...αn ) + (0...01)]], òî (α1 ...αn ) + (0...01) 6≤ (β1 , ..., βn ) 61 Ÿ 3. Ïîëèíîìèàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé Ïîêàæåì, ÷òî ïðè ) (α1 ...αn ) ≤ (β1 , ..., βn ) + (0...01), à ïðè á) (α1 ...αn ) + (0...01) ≤ (β1 , ..., βn ) + (0...01).  ñëó÷àå à) ïóñòü (β1 , ..., βn ) = (...0 1...1 |{z}). Òîãäà (α1 , ..., αn ) = p (...0 0...0 |{z}) (èíà÷å íå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå). È ñëåäîâàòåëüíî (α1 , ..., αn ) ≤ p (β1 , ..., βn ) + (0...01). Ñëó÷àé á) ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. À òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî åñëè íàáîð (γ1 , ...γn ) ≤ (β1 , ..., βn ) + (0...01), òî (γ1 , ...γn ) ≤ (β1 , ..., βn ), íî (γ1 , ...γn ) − (0...01) 6≤ (β1 , ..., βn ) (∗ ∗ ∗) èëè (γ1 , ...γn ) = (α1 , ..., αn ) + (0..01), (α1 , ...αn ) ≤ (β1 , ..., βn ), íî (α1 , ...αn ) + (0...01) 6≤ (β1 , ..., βn ) (∗ ∗ ∗∗) Åñëè (γ1 , ...γn ) îêàí÷èâàåòñÿ íà 1, òî íåñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ (****), à åñëè îêàí÷èâàåòñÿ íà 0, òî (***). Ïðèìåð Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ èç ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà f = (10001111). Îïðåäåëèì êîýôôèöèåíòû ïîëèíîìà Æåãàëêèíà ïî ìåòîäó "òðåóãîëüíèêà". íîìåðà ñòðîê "òðåóãîëüíèê" 000 1 001 0 1 010 0 0 1 0 0 0 1 011 100 1 1 1 1 0 101 1 0 1 0 1 1 110 1 0 0 1 1 0 1 111 1 0 0 0 1 0 0 1 "Ãèïîòåíóçà"ýòî âåêòîð (11110111) è ñëåäîâàòåëüíî êîýôôèöèåíò a100 = 0, à îñòàëüíûå êîýôôèöèåíòû ðàâíû 1. È f (x, y, z) = 1 + z + y + yz + xz + xy + xyz. Ëåêöèÿ 9 Çàìêíóòîñòü è ïîëíîòà ìíîæåñòâà áóëåâûõ ôóíêöèé  ýòîé ëåêöèè ìû ðàññìîòðèì âîïðîñ î òîì, êàêèå ìíîæåñòâà áóëåâûõ ôóíêöèé íàäî áðàòü, ÷òîáû ìîæíî áûëî ëþáóþ ôóíêöèþ ïðåäñòàâèòü òåðìîì íàä ýòèì ìíîæåñòâîì. Ÿ 1. Ïîíÿòèÿ çàìêíóòîñòè è ïîëíîòû Îïðåäåëåíèå. Çàìûêàíèåì ìíîæåñòâà ôóíêöèé K íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé, ïðåäñòàâèìûõ òåðìàìè íàä K. Çàìûêàíèå ìíîæåñòâà K îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç [K]. Ëåììà 9.1. Äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ K, R âûïîëíÿåòñÿ: 1) K ⊆ [K]; 2) [K] = [[K]]; 3) [K] ∪ [R] ⊆ [K ∪ R]; 4) [K ∩ R] ⊆ [K] ∩ [R]; 5) åñëè K ⊆ R, òî [K] ⊆ [R]; 6) [K] ∩ [R] ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì. Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ çàìêíóòîñòè. ¤ Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî ôóíêöèé K íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì, åñëè îíî ñîâïàäàåò ñî ñâîèì çàìûêàíèåì. Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî ôóíêöèé B íàçûâàåòñÿ áàçèñîì äëÿ çàìêíóòîãî ìíîæåñòâà ôóíêöèé K , åñëè [B] = K .  ýòîì ñëó÷àå òàêæå ãîâîðÿò, ÷òî ìíîæåñòâî B ïîëíî â ìíîæåñòâå K . Ïðè K = F (ò.å. K  ìíîæåñòâî âñåõ áóëåâûõ ôóíêöèé) ãîâîðÿò ïðîñòî, ÷òî B  ïîëíîå ìíîæåñòâî. Åñëè äëÿ çàìêíóòîãî ìíîæåñòâà K ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé áàçèñ, òî K íàçûâàåòñÿ êîíå÷íî ïîðîæäåííûì. 62 Ÿ 2. Íåêîòîðûå çàìêíóòûå êëàññû 63 Çàìå÷àíèå. Ýòî îïðåäåëåíèå áàçèñà îòëè÷àåòñÿ îò îïðåäåëåíèé, êîòîðûå çíàêîìû íàì (íàïðèìåð èç êóðñà ëèíåéíîé àëãåáðû). Çäåñü â áàçèñå ìîãóò áûòü ôóíêöèè, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþòñÿ òåðìàìè ñ èñïîëüçîâàíèåì äðóãèõ ôóíêöèé áàçèñà (ìû íå òðåáóåì ìèíèìàëüíîñòè, èëè â òåðìèíàõ ëèíåéíîé àëãåáðû íåçàâèñèìîñòè.) Ëåììà 9.2. (î ñâîäèìîñòè áàçèñîâ). Ïóñòü R  áàçèñ äëÿ çàìêíóòîãî ìíîæåñòâà K . Åñëè R ⊆ [B] è B ⊆ K , òî B áàçèñ äëÿ K . Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Òàê êàê R  áàçèñ äëÿ K , òî [R] = K . Ïî ñâîéñòâàì çàìûêàíèÿ èç R ⊆ [B] ñëåäóåò, ÷òî [R] ⊆ [B]. Ïîëó÷èëè K ⊆ [B]. Òàê êàê B ⊆ K , òî [B] ⊆ [K] = K .  èòîãå K = [B]. ¤ Ýòà ëåììà ïîçâîëÿåò ðåøàòü âîïðîñ î ïîëíîòå ìíîæåñòâ ñ ïîìîùüþ óæå èçâåñòíûõ ïîëíûõ ìíîæåñòâ. Ïðèìåðû 1. Ìíîæåñòâî B0 = {·, ∨, −} ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì, òàê êàê ëþáàÿ íåíóëåâàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâèìà ñ.ä.í.ô., êîòîðàÿ ñîäåðæèò òîëüêî ·, ∨, −, à íóëåâàÿ ôóíêöèÿ 0 = xx. 2. Ìíîæåñòâà B1 = {·, −}, B2 = {∨, −}, B3 = {|}, B4 = {↓ }, B5 = {→, 0} ÿâëÿþòñÿ ïîëíûìè. Òàê êàê x1 ∨ x: = x1 · x: , òî ìíîæåñòâî B1 ïîëíî ïî ëåììå î ñâîäèìîñòè áàçèñîâ â ñèëó ïîëíîòû B0 . Àíàëîãè÷íî, òàê êàê x = x | x è x · y = (x | y) | (x | y), òî ìíîæåñòâî B3 ïîëíî â ñèëó ïîëíîòû B1 . Ïîëíîòà ìíîæåñòâ B2 è B4 ïîëó÷àåòñÿ ïî ïðèíöèïó äâîéñòâåííîñòè èç ïîëíîòû B1 è B3 . Ìíîæåñòâî B5 ïîëíî, òàê êàê x = x → 0 è x ∨ y = (x → 0) → y è B2 ïîëíî. Ÿ 2. Íåêîòîðûå çàìêíóòûå êëàññû  ýòîé ÷àñòè ëåêöèè ìû ïîçíàêîìèìñÿ ñ 5 âàæíûìè çàìêíóòûìè êëàññàìè áóëåâûõ ôóíêöèé. 2.1. Êëàññ ëèíåéíûõ ôóíêöèé. Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé, åñëè îíà ïðåä- ñòàâèìà ïîëèíîìîì Æåãàëêèíà ñòåïåíè íå âûøå 1. Òåîðåìà 9.1. Ìíîæåñòâî L âñåõ ëèíåéíûõ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì, è {1, ⊕}  áàçèñ äëÿ L. Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äëÿ çàìêíóòîñòè L äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ñóïåðïîçèöèÿ ëèíåéíûõ ôóíêöèé áóäåò ëèíåéíîé ôóíêöèåé. 64 Ëåêöèÿ 9. Çàìêíóòîñòü è ïîëíîòà Íî ýòî ëåãêî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî åñëè â ïîëèíîì âìåñòî ïåðåìåííûõ ïîäñòàâëÿòü ïîëèíîìû ñòåïåíè íå âûøå 1, òî â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ ïîëèíîì ñòåïåíè íå âûøå 1. Òî, ÷òî {1, ⊕}  áàçèñ äëÿ L ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ëèíåéíîé ôóíêöèè. ¤ Ëåììà 9.3. (î íåëèíåéíîé ôóíêöèè). Åñëè f  íåëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ, òî · ∈ [{f, −, 0, 1}]. Äðóãèìè ñëîâàìè: Ìîæíî ïîñòðîèòü òåðì íàä {f, −, 0, 1}, êîòîðûé ïðåäñòàâëÿåò êîíúþíêöèþ. Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äëÿ ôóíêöèè f (x1 , ..., xn ) ïîñòðîèì ïîëèíîì Æåãàëêèíà. Òàê êàê ôóíêöèÿ íåëèíåéíàÿ, òî íàéäåòñÿ ñëàãàåìîå, êîòîðîå ñîäåðæèò ïðîèçâåäåíèå äâóõ ïåðåìåííûõ. Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè òàêèìè ïåðåìåííûìè áóäóò x1 è x2 . Òîãäà f = x1 · x2 · f1 (x3 , ..., xn ) + f2 (x1 , x2 , ..., xn ), ïðè÷åì f2 íå ñîäåðæèò ïðîèçâåäåíèå x1 · x2 . Âîçüìåì íàáîð σ3 , ..., σn òàêîé, ÷òî f1 (σ3 , ..., σn ) = 1 (åñëè f1 ≡ 0, òî ïîëèíîì íå ñîäåðæèò ïðîèçâåäåíèå x1 · x2 ). Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ ïðåäñòàâèìóþ òåðìîì H1 (x1 , x2 ) = f (x1 , x2 , σ3 , ..., σn ). H1 = x1 · x2 + α1 x1 + α2 x2 + α3 . (Ôóíêöèþ f2 (x1 , x2 , σ3 , ..., σn ) ìû ïðåäñòàâèëè êàê α1 x1 + α2 x2 + α3 ) Òîãäà H2 (x1 , x2 ) = H1 (x1 + α2 , x2 + α1 ) = x1 · x2 + α1 · α2 + α3 . È òåðì H3 (x1 , x2 ) = H2 (x1 , x2 ) + α1 α2 + α3 = x1 · x2 ïðåäñòàâëÿåò êîíúþíêöèþ. ¤ 2.2. Êëàññ ìîíîòîííûõ ôóíêöèé Íà ìíîæåñòâå äâîè÷íûõ íàáîðîâ ìû ââîäèëè íàòóðàëüíûé ïîðÿäîê. Äëÿ îïèñàíèÿ êëàññà ìîíîòîííûõ ôóíêöèé íàì ïîíàäîáèòñÿ äðóãîé ïîðÿäîê, êîòîðûé ñâÿçàí ñ òåì, ÷òî 0 ≤ 0, 0 ≤ 1, 1 ≤ 1. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî íàáîð (σ1 , ..., σn ) ≤ (α1 , ..., αn ), åñëè σi ≤ αi äëÿ âñåõ i ∈ {1, ..., n}. Î÷åâèäíî, ÷òî íå âñå íàáîðû ñðàâíèìû ïîäîáíûì îáðàçîì. Ïðèìåð Èìååì (010) ≤ (011), íî íàáîðû (01) è (10) ïîäîáíûì îáðàçîì íå ñðàâíèìû. Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ f (x̃) íàçûâàåòñÿ ìîíîòîííîé, åñëè äëÿ ëþáûõ íàáîðîâ σ̃ è τ̃ èç òîãî, ÷òî σ̃ ≤ τ̃ ñëåäóåò, ÷òî f (σ̃) ≤ f (τ̃ ). Ÿ 2. Íåêîòîðûå çàìêíóòûå êëàññû 65 Ïðèìåð Ìîíîòîííûìè ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè ·, ∨, à íåìîíîòîííûìè  ⊕, −. Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî îñòàòî÷íûå ìîíîòîííîé ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ ìîíîòîííûìè. Òåîðåìà 9.2. Ìíîæåñòâî M âñåõ ìîíîòîííûõ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì, è {·, ∨, 0, 1}  áàçèñ äëÿ M . Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äëÿ çàìêíóòîñòè M äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ñóïåðïîçèöèÿ ìîíîòîííûõ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ìîíîòîííîé. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü f (g1 , . . . , gm )  ñóïåðïîçèöèÿ ìîíîòîííûõ ôóíêöèé è σ̃ ≤ τ̃ , òîãäà gi (σ̃) ≤ gi (τ̃ ), i = 1, . . . , m. Ïîýòîìó (g1 (σ̃), . . . , gm (σ̃)) ≤ (g1 (τ̃ ), . . . , gm (τ̃ )); îòñþäà f (g1 (σ̃), . . . , gm (σ̃)) ≤ f (g1 (τ̃ ), . . . , gm (τ̃ )). Îïðåäåëåíèå çàìêíóòîñòè äëÿ M âûïîëíÿåòñÿ. Ðàâåíñòâî M = [{·, ∨, 0, 1}] ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ëþáóþ ìîíîòîííóþ ôóíêöèþ f ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå f = xi fx1i ∨ fx0i . Ïðè xi = 0 ïîëó÷àåì (xi fx1i ∨ fx0i )0xi = fx0i , à ïðè xi = 1 ïîëó÷àåì (xi fx1i ∨ fx0i )1xi = fx1i ∨ fx0i = fx1i , òàê êàê äëÿ ëþáîãî σ̃i âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî fx1i (σ̃i ) > fx0i (σ̃i ).  ñèëó òîãî, ÷òî îñòàòî÷íûå ôóíêöèè ìîíîòîííûõ ôóíêöèé  ìîíîòîííûå ôóíêöèè, âûïîëíèâ óêàçàííîå ðàçëîæåíèå ïî âñåì ñóùåñòâåííûì àðãóìåíòàì, ïîëó÷èì f ∈ [{·, ∨, 0, 1}]. Ëåììà 9.4. (î íåìîíîòîííîé ôóíêöèè). Åñëè f  íåìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ, òî − ∈ [{f, 0, 1}]. Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü äëÿ íåêîòîðûõ íàáîðîâ σ̃ è τ̃ , òàêèõ ÷òî σ̃ ≤ τ̃ , âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå f (σ̃) > f (τ̃ ). Òîãäà f (σ̃) = 1, f (τ̃ ) = 0. Îïðåäåëèì òåïåðü ôóíêöèþ g(x) = f (a1 , . . . , an ), ãäå ½ σi , åñëè σi = τi , ai = x, åñëè σi < τi . Òîãäà g(0) = f (σ̃) = 1 è g(1) = f (τ̃ ) = 0, ò.å. g(x) = x. Òàê êàê g(x) ∈ [{f, 1, 0}], òî − ∈ [{f, 1, 0}]. ¤ 2.3. Êëàññ ñàìîäâîéñòâåííûõ ôóíêöèé Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ f (x̃) íàçûâàåòñÿ ñàìîäâîéñòâåí- íîé, åñëè îíà ñîâïàäàåò ñ äâîéñòâåííîé ê íåé ôóíêöèåé èëè, ÷òî ðàâíîñèëüíî, âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâî f (x1 , ..., xn ) = f (x̄1 , ..., x̄n ). 66 Ëåêöèÿ 9. Çàìêíóòîñòü è ïîëíîòà Ïðèìåð Ôóíêöèè (01), (10), (1010), (00010111) ÿâëÿþòñÿ ñàìîäâîéñòâåííûìè; à (0110), (0001)  íåñàìîäâîéñòâåííûìè. Òåîðåìà 9.3. Ìíîæåñòâî S âñåõ ñàìîäâîéñòâåííûõ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì. Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äëÿ çàìêíóòîñòè S äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ñóïåðïîçèöèÿ ñàìîäâîéñòâåííûõ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ñàìîäâîéñòâåííîé. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ñóïåðïîçèöèè f (g1 , . . . , gn ) ïîëó÷àåì f (g1 , . . . , gn ) = f (g 1 , . . . , g n ) = = f (g1 (x̃), . . . , gn (x̃)) = f (g1 , . . . , gn )(x̃). ¤ Ëåììà 9.5. (î íåñàìîäâîéñòâåííîé ôóíêöèè). Åñëè f  íåñàìîäâîéñòâåííàÿ ôóíêöèÿ, òî {0, 1} ⊆ [{f, −}]. Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Òàê êàê f  íåñàìîäâîéñòâåííàÿ ôóíêöèÿ, òî ñóùåñòâóåò íàáîð (σ1 , ..., σn ) òàêîé, ÷òî f (σ1 , ..., σn ) 6= f (σ̄1 , ..., σ̄n ), ïîýòîìó f (σ1 , ..., σn ) = f (σ̄1 , ..., σ̄n ). Îïðåäåëèì îäíîìåñòíóþ ôóíêöèþ g(x) = f (xσ1 , . . . , xσn ). Î÷åâèäíî g(x) ∈ [{f, −}]. Òîãäà g(0) = f (0σ1 , . . . , 0σn ) = = f (σ 1 , . . . , σ n ) = f (σ1 , . . . , σn ) = f (1σ1 , . . . , 1σn ) = g(1). Îòñþäà g(x) ýòî êîíñòàíòà a. Åñëè a = 0, òî g(x) = 1; åñëè a = 1, òî g(x) = 0. ¤ 2.4. Êëàññû ôóíêöèé, ñîõðàíÿþùèõ êîíñòàíòû. Ôóíêöèÿ f (x̃) íàçûâàåòñÿ ñîõðàíÿþùåé íóëü, åñëè fx̃0̃ = 0 è ñîõðàíÿþùåé åäèíèöó, åñëè fx̃1̃ = 1, äðóãèìè ñëîâàìè, ôóíêöèÿ ñîõðàíÿþùàÿ íóëü íà íàáîðå èç âñåõ íóëåé ðàâíà 0, à ôóíêöèÿ, ñîõðàíÿþùàÿ 1, íà íàáîðå èõ âñåõ åäèíèö ðàâíà 1. Òåîðåìà 9.4. 1) Ìíîæåñòâî F0 âñåõ ôóíêöèé ñîõðàíÿþùèõ íóëü ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì, è {·, ⊕}  áàçèñ äëÿ F0 . 2) Ìíîæåñòâî F1 âñåõ ôóíêöèé ñîõðàíÿþùèõ åäèíèöó ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì, è {∨, ↔}  áàçèñ äëÿ F1 . Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Çàìêíóòîñòü ìíîæåñòâ F0 è F1 ïîêàçûâàåòñÿ íåñëîæíî. Åñëè f ∈ F0 , òî î÷åâèäíî ïîëèíîì Æåãàëêèíà íå ñîäåðæèò ñëàãàåìîãî 1. Ïîýòîìó F0 = [{·, ⊕}]. Ïî ïðèíöèïó äâîéñòâåííîñòè ïîëó÷àåì, ÷òî F1 = [{∨, ↔}]. ¤ Ÿ 3. Êðèòåðèé ïîëíîòû è çàìêíóòîñòü 67 Ÿ 3. Êðèòåðèé ïîëíîòû è çàìêíóòîñòü  ýòîì ïóíêòå äîêàçûâàåòñÿ êðèòåðèé ïîëíîòû ìíîæåñòâà ôóíêöèé. Òåîðåìà 9.5. Ìíîæåñòâî ôóíêöèé K ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà K 6⊆ L, K 6⊆ M , K 6⊆ F0 , K 6⊆ F1 è K 6⊆ S . Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. (⇒) Äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî åñëè ìíîæåñòâî K ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì, òî ëþáàÿ áóëåâà ôóíêöèÿ ïðåäñòàâèìà òåðìîì íàä K . Íî ñðåäè áóëåâûõ ôóíêöèé åñòü íåëèíåéíûå, íåñàìîäâîéñòâåííûå, íåìîíîòîííûå, íåñîõðàíÿþùèå 0, íåñîõðàíÿþùèå 1. (⇐) Òàê êàê K 6⊆ F0 è K 6⊆ F1 , òî ñóùåñòâóþò f, g ∈ K è f 6∈ F0 , g 6∈ F1 . Âîçìîæíû ñëó÷àè: 1) f (0̃) = f (1̃) = 1 è g(0̃) = g(1̃) = 0. Òîãäà f (x, . . . , x) = 1, g(x, . . . , x) = 0. Ïîýòîìó 0, 1 ∈ [K], è â ñèëó K 6⊆ M , èñïîëüçóÿ ëåììó î íåìîíîòîííîé ôóíêöèè, ìîæíî ïîëó÷èòü òåðì, ïðåäñòàâëÿþùèé x. Äàëåå, òàê êàê K 6⊆ L ïî ëåììå î íåëèíåéíîé ôóíêöèè ìîæíî ïîëó÷èòü êîíúþíêöèè. Íî ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç êîíúþíêöèè è îòðèöàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì. 2) f (0̃) = f (1̃) = 1 è g(0̃) = 1, g(1̃) = 0. Òîãäà f (x, . . . , x) = 1, g(x, . . . , x) = x. Ïîýòîìó 0, 1 ∈ [K], è ñíîâà, èñïîëüçóÿ ëåììó î íåëèíåéíîé ôóíêöèè, K  ïîëíîå ìíîæåñòâî. 3) f (0̃) = 1, f (1̃) = 0 è g(0̃) = g(1̃) = 0. Àíàëîãè÷íî ïóíêòó 2) ìíîæåñòâî K  ïîëíîå. 4) f (0̃) = g(0̃) = 1 è f (1̃) = g(1̃) = 0. Òîãäà f (x, . . . , x) = x. Ïîýòîìó − ∈ [K]. Òàê êàê K 6⊆ S , òî ñóùåñòâóåò íåñàìîäâîéñòâåííàÿ ôóíêöèÿ h ∈ K . Ïî ëåììå î íåñàìîäâîéñòâåííîé ôóíêöèè {0, 1} ⊆ [{h, −}] ⊆ [K].  ñèëó K 6⊆ L K ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì. ¤ Ñëåäñòâèå. Åñëè R  ïîëíîå ìíîæåñòâî, òî ñóùåñòâóåò ïîëíîå ìíîæåñòâî B òàêîå, ÷òî B ⊆ R è |B| ≤ 4. Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû. Äåéñòâèòåëüíî, â ïåðå÷èñëåííûõ ñëó÷àÿõ ïîëó÷àåòñÿ ïîëíîòà ïðè âûáîðå ôóíêöèé: 1) f1 6∈ F0 , f2 6∈ F1 , f3 6∈ L, f4 6∈ M ; 2) f1 6∈ F0 , f2 6∈ M ∪ F1 , f3 6∈ L; ;) f1 6∈ F1 , f2 6∈ M ∪ F1 , f3 6∈ L; 4) f1 6∈ F0 ∪ F1 ∪ M, f2 6∈ S, f3 6∈ L. 68 Ëåêöèÿ 9. Çàìêíóòîñòü è ïîëíîòà Òàê êàê êàæäûé ðàç âûáèðàëîñü íå áîëåå ÷åòûðåõ ôóíêöèé (âîçìîæíî ðàâíûõ), òî |B| ≤ 4. ¤ Ñëåäñòâèå.Äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî ìíîæåñòâà K , îòëè÷íîãî îò F , âûïîëíÿåòñÿ õîòÿ áû îäíî èç óñëîâèé: K ⊆ L, K ⊆ M, K ⊆ F0 , K ⊆ F1 , K ⊆ S . Ïðèìåðû 1. Ïðèâåäåì ïðèìåð, êîòîðûé ïîêàçûâàåò, ÷òî â ôîðìóëèðîâêå ïåðâîãî ñëåäñòâèÿ íåëüçÿ îãðàíè÷èòüñÿ òðåìÿ ôóíêöèÿìè. Ïóñòü B1 = {0, 1, ·, l}, ãäå l(x1 , x2 , x3 ) = x1 ⊕ x2 ⊕ x3 . Ìíîæåñòâî B1 ïîëíîå, òàê êàê 0 6∈ F1 , 1 6∈ F0 , · 6∈ L, · 6∈ S, l 6∈ M . Íî íè îäíî åãî ñîáñòâåííîå ïîäìíîæåñòâî íå ïîëíî. Äåéñòâèòåëüíî, {0, 1, ·} ⊆ M ; {0, 1, l} ⊆ L;{0, ·, l} ⊆ F0 ; {1, ·, l} ⊆ F1 . 2. Ïóñòü B2 = {f }, ãäå f (x, y, z) = (11100010). Ìíîæåñòâî B2 ïîëíîå, òàê êàê: f (000) = 1, ïîýòîìó f 6∈ F0 ; f (111) = 0, ïîýòîìó f 6∈ F1 ; f (000) > f (111), ïîýòîìó f 6∈ M ; f 6∈ L; f (001) = f (110), ïîýòîìó f 6∈ S . Ïîëó÷èì, ÷òî f  ïîëíàÿ ôóíêöèÿ. Ðàçäåë 3. ÏÎÌÅÕÎÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÅ ÊÎÄÈÐÎÂÀÍÈÅ Ëåêöèÿ 10 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îïðåäåëåíèÿ ïîìåõîóñòîé÷èâîãî êîäèðîâàíèÿ Áóðíîå ðàçâèòèå âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè è ïåðèôåðèéíûõ óñòðîéñòâ âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèí, âîçíèêíîâåíèå ñëîæíûõ òåððèòîðèàëüíî ðàññðåäîòî÷åííûõ ñèñòåì, èñïîëüçóþùèõ ðàçëè÷íûå ñðåäñòâà ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè, ïðèâåëî ê áîëüøîìó ðîñòó êîëè÷åñòâà äàííûõ ïåðåäàâàåìûõ îò îäíîãî îáúåêòà ê äðóãîìó, îò îäíîé ìàøèíû ê äðóãîé. Ïðè ýòîì îáû÷íî ïðèõîäèòñÿ ðåøàòü ñëåäóþùèå çàäà÷è. Çàñåêðå÷èâàíèå èíôîðìàöèè. Èíôîðìàöèþ, ïåðåäàâàåìóþ îò îäíîãî îáúåêòà ê äðóãîìó íåîáõîäèìî çàêîäèðîâàòü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû óáûòêè îò ïðîíèêíîâåíèÿ â êàíàë ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè òðåòüåãî îáúåêòà áûëè ìèíèìàëüíûìè. Óìåíüøèòü çàòðàòû íà ïåðåäà÷ó èíôîðìàöèè. Ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå ýêîíîìíûõ êîäîâ. Óìåíüøèòü âëèÿíèå ðàçëè÷íûõ ïîìåõ è øóìîâ â êàíàëå ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè ïîä äåéñòâèåì êîòîðûõ ñîîáùåíèå îáû÷íî èñêàæàåòñÿ. Ðåøåíèå òðåòüåé çàäà÷è òðåáóåò èëè èñïîëüçîâàíèÿ îáîðóäîâàíèÿ, èñêëþ÷àþùåãî îøèáêè, èëè êàêîãî ëèáî ðîäà êîäîâ, èñïðàâëÿþùèõ èëè îáíàðóæèâàþùèõ îøèáêè íà âûõîäå óñòðîéñòâ, ïðèíèìàþùèõ èíôîðìàöèþ. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ áîëåå âûãîäíûì îêàçûâàåòñÿ âòîðîé ïóòü. Òèïè÷íàÿ ìîäåëü ñèñòåìû ñâÿçè, â êîòîðîé èñïîëüçóþòñÿ êîäû, èñïðàâëÿþùèå èëè îáíàðóæèâàþùèå îøèáêè, âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì (ñì. ðèñ.). Áîëüøàÿ ÷àñòü òåîðèè êîäîâ îñíîâàíà íà ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî êàæäûé èç ñèìâîëîâ èñêàæàåòñÿ øóìîì íåçàâèñèìî è ÷òî, 69 70 Ëåêöèÿ 10. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îïðåäåëåíèÿ ñëåäîâàòåëüíî, âåðîÿòíîñòü äàííîé êîìáèíàöèè îøèáîê çàâèñèò îò ÷èñëà îøèáîê.  ëåêöèÿõ ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî áëîêîâûå êîäû, ïðåäíàçíà÷åííûå äëÿ èñïðàâëåíèÿ òàêèõ îøèáîê. Êðîìå òîãî ìàòåðèàë îãðàíè÷åí ëèíåéíûìè äâîè÷íûìè êîäàìè. Òàê êàê ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî äâîè÷íûå êîäû, òî ñ÷èòàåì, ÷òî ïðè ïåðåäà÷å èíôîðìàöèè 0 ìîæåò èçìåíèòüñÿ íà 1, à 1 íà 0. ïðåîáðàçîâàòåëü îò èñòî÷íèèíôîðìàöèè êà èíôîð- - â êîíå÷íóþ - êîäåð ìàöèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñèìâîëîâ - ìîäóëÿ- òîð ? øóì - êàíàë ê ïîëó÷àòåëþ ¾ èíôîðìàöèè ïðåîáðàçîâàòåëü êîíå÷íîé ïîñëåäåêîäîâàòåëüíîñòè ¾ äåð ñèìâîëîâ â ñîîáùåíèå ¾ äåìîäó-¾ ëÿòîð Ðèñ. Ìîäåëü ñèñòåìû ñâÿçè Ïóñòü Vn  ìíîæåñòâî âñåõ äâîè÷íûõ ñëîâ äëèíû n, ò.å. Vn = {(a1 , a2 , . . . , an )|ai ∈ {0, 1}; 1 ≤ i ≤ n} Íàïîìíèì äâà îïðåäåëåíèÿ. Îïðåäåëåíèå. Ðàññòîÿíèåì Õåììèíãà d(A,B) ìåæäó äâîè÷íûìè ñëîâàìè A = (a1 , a2 , . . . , an ) è B = (b1 , b2 , . . . , bn ) äëèíû n íàçûâàåòñÿ ÷èñëî ïàð êîìïîíåíò ai è bi òàêèõ, ÷òî ai 6= bi . Îïðåäåëåíèå. Âåñîì ñëîâà íàçûâàåòñÿ ÷èñëî íåíóëåâûõ êîìïîíåíò â ñëîâå.  ñëåäóþùåì îïðåäåëåíèè ââîäèòñÿ ïîíÿòèå áëîêîâîãî êîäà è êîäîâûõ ñëîâ. Îïðåäåëåíèå. Áëîêîâûì êîäîì äëèíû n (èëè ïðîñòî êîäîì) íàçîâåì ïîäìíîæåñòâî C ⊆ Vn , ñîñòîÿùåå èç K ïîñëå- Ëåêöèÿ 10. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îïðåäåëåíèÿ 71 äîâàòåëüíîñòåé äëèíû n. Ýëåìåíòû C íàçûâàþòñÿ êîäîâûìè ñëîâàìè (èëè êîäîâûìè âåêòîðàìè). Èñïîëüçóÿ áëîêîâûé êîä â êîòîðîì èìååòñÿ K êîäîâûõ ñëîâ, ìû ìîæåì, âìåñòî K ñîîáùåíèé, ïî êàíàëó ïåðåäàâàòü êîäîâûå ñëîâà, åñëè çàðàíåå óñòàíîâèì âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó êîäîâûìè ñëîâàìè è ñîîáùåíèÿìè. Ïðèìåð Åñëè ìû çàðàíåå çíàåì, ÷òî ïî êàíàëó ñâÿçè áóäåò ïåðåäàâàòüñÿ òîëüêî 4 ñîîáùåíèÿ: "Øëèòå äåíåã", "Øëèòå áîëüøå äåíåã", "Øëèòå åùå áîëüøå äåíåã"è "Çàáåðèòå ìåíÿ îòñþäà", òî âìåñòî íèõ íàì äîñòàòî÷íî âçÿòü 4 ðàçíûõ äâîè÷íûõ ñëîâà îäèíàêîâîé äëèíû, äîãîâîðèâøèñü ÷òî ïåðâîìó ñîîáùåíèþ ñîîòâåòñòâóåò ïåðâîå ñëîâî, âòîðîìó  âòîðîå ñëîâî, òðåòüåìó  òðåòüå ñëîâî, ÷åòâåðòîìó  ÷åòâåðòîå ñëîâî è ïî êàíàëó ñâÿçè ïåðåäàâàòü ýòè äâîè÷íûå ñëîâà. Ïðè ýòîì áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïåðâîå ñîîáùåíèå çàêîäèðîâàíî ïåðâûì ñëîâîì, âòîðîå ñîîáùåíèå çàêîäèðîâàíî âòîðûì ñëîâîì, òðåòüå  òðåòüèì, ÷åòâåðòîå  ÷åòâåðòûì. Òàê êàê ÷èñëî äâîè÷íûõ ñëîâ äëèíû n ðàâíî 2n , òî íàèìåíüøåå çíà÷åíèå n, êîòîðîå äîñòàòî÷íî äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è  ýòî 2 è ïîëó÷àåì ñëîâà 00, 01, 10, 11.  îáùåì ñëó÷àå, åñëè èìååòñÿ K ñîîáùåíèé, òî äëÿ èõ ïåðåäà÷è äîñòàòî÷íî èñïîëüçîâàòü äâîè÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äëèíû n, ãäå n  íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ 2n ≥ K .  äàëüíåéøåì ñ÷èòàåì, ÷òî âñå ñîîáùåíèÿ ïðåäñòàâëåíû äâîè÷íûìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè. Òàê êàê êàíàë ñâÿçè ñ øóìîì, òî ïðè ïåðåäà÷å 0 ìîæíî ïîìåíÿòüñÿ íà 1, à 1 íà 0. È òîãäà, âìåñòî îòïðàâëåííîãî ñîîáùåíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü äðóãîå. Ïóñòü â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå ñîîáùåíèþ "Øëèòå åùå áîëüøå äåíåã"ñîîòâåòñòâóåò 10, à "Çàáåðèòå ìåíÿ îòñþäà"ñîîòâåòñòâóåò 11. Ìû îòïðàâèëè ñîîáùåíèå 10. Ïðè ïåðåäà÷å ïî êàíàëó ñâÿçè 0 èçìåíèëñÿ íà 1. Ðåçóëüòàò ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ ñîâñåì íå òàêèì, êàêèì ìû åãî îæèäàåì. Îäèí èç âûõîäîâ â ýòîé ñèòóàöèè çàêëþ÷àåòñÿ â êîäèðîâàíèè äâîè÷íûìè ñëîâàìè, äëèíà êîòîðûõ áîëüøå îïðåäåëåííîãî âûøå n. Ïðèìåð Âìåñòî êîäîâûõ ñëîâ 00, 01, 10, 11 äëèíà êîòîðûõ ðàâíà 2, áóäåì îòïðàâëÿòü äâîè÷íûå ñëîâà äëèíû 3, äîãîâîðèâøèñü íà òðåòüåì ìåñòå ïèñàòü òàêîé ñèìâîë (0 èëè 1), ÷òîáû 72 Ëåêöèÿ 10. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îïðåäåëåíèÿ ÷èñëî åäèíèö â ñëîâå áûëî ÷åòíûì. Òîãäà âìåñòî 00 áóäåì îòïðàâëÿòü 000, âìåñòî 01  011, âìåñòî 10  101, âìåñòî 11  110. È òåïåðü åñëè ïðè ïåðåäà÷å ñëîâà 101 íóëü èçìåíèëñÿ íà 1, òî ïîëó÷åííîå ñëîâî 111 êîäîâûì ÿâëÿòüñÿ íå áóäåò. È ïîëó÷àòåëþ èíôîðìàöèè ïîíÿòíî, ÷òî ïðè ïåðåäà÷è ñîîáùåíèÿ ïðîèçîøëà îøèáêà. Ïóñòü x = (x1 , . . . , xn )  êîäîâîå ñëîâî. Òàê êàê êàíàë ñâÿçè ñ øóìîì, òî ïðèíÿòîå ñëîâî y = (y1 , . . . , yn ) ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îò x. Êîä, îáíàðóæèâàþùèé îøèáêè, ïî ïðèíÿòîìó ñëîâó îïðåäåëÿåò, ïðîèçîøëà ëè îøèáêà.  ñëó÷àå ïîëîæèòåëüíîãî îòâåòà ñîîáùåíèå, êàê ïðàâèëî ïîâòîðÿåòñÿ. Êîä, èñïðàâëÿþùèé îøèáêè, ïî ïðèíÿòîìó ñëîâó äîëæåí ðåøèòü, êàêîå êîäîâîå ñëîâî áûëî ïåðåäàíî. ×èùå âñåãî çäåñü ðóêîâîäñòâóþòñÿ äåêîäèðîâàíèåì ïî ìàêñèìóìó ïðàâäîïîäîáèÿ: ïåðåäàííûì ñ÷èòàåòñÿ êîäîâîå ñëî- âî, îòëè÷àþùååñÿ îò ïðèíÿòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äëèíû n â íàèìåíüøåì ÷èñëå êîìïîíåíò. Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè ìû ïðèíÿëè ñëîâî y , òî áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îòïðàâëåíî òî êîäîâîå ñëîâî, êîòîðîå áëèæå âñåãî ê y. ×òîáû ìîæíî áûëî èñïðàâëÿòü îäíó îøèáêó, èñïîëüçóÿ ïðèíöèï ìàêñèìóìà ïðàâäîïîäîáèÿ, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ êàæäîãî êîäîâîãî ñëîâà íå áûëî äðóãèõ êîäîâûõ ñëîâ íà ðàññòîÿíèè ìåíüøåì 3. Ïðè îäíîé îøèáêå âìåñòî îòïðàâëåííîãî êîäîâîãî ñëîâà u ìû ìîæåì ïîëó÷èòü ëþáîå ñëîâî, íàõîäÿùååñÿ íà ñôåðå ðàäèóñà 1. È òîãäà îò ëþáîãî ñëîâà íà ýòîé ñôåðå ðàññòîÿíèå äî äðóãèõ êîäîâûõ ñëîâ äîëæíî áûòü áîëüøå 1, ò.å íå ìåíüøå 2. Òàêèì îáðàçîì ðàññòîÿíèå îò u äî äðóãèõ êîäîâûõ ñëîâ äîëæíî áûòü íåìåíüøå 3. ×òîáû ìîæíî áûëî èñïðàâëÿòü îøèáêè â t è ìåíüøåì ÷èñëå êîìïîíåíò (îøèáêè âåñà t) íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáûõ äâóõ ðàçëè÷íûõ êîäîâûõ ñëîâ v1 è v2 ìíîæåñòâà {v|d(v, v1 ) ≤ t, v ∈ Vn } è {w|d(w, v2 ) ≤ t, w ∈ Vn } íå èìåëè îáùèõ ýëåìåíòîâ. Íåñëîæíî äîêàçàòü ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Òåîðåìà 10.1. Ïóñòü D(A1 ) = {A|d(A1 , A) ≤ t, A ∈ Vn } è D(A2 ) = {A|d(A2 , A) ≤ t, A ∈ Vn }. Òîãäà íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì òîãî, ÷òî D(A1 ), D(A2 ) íå ñîäåðæàò îáùèõ ýëåìåíòîâ, ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå ñîîòíîøåíèÿ d(A1 , A2 ) ≥ 2t+ 1. Îïðåäåëåíèå. Ìèíèìàëüíûì ðàññòîÿíèåì êîäà C íàçûâàåòñÿ ÷èñëî d = min ðàññòîÿíèé Õýììèíãà ìåæäó ñëîâàìè u è v ãäå u ∈ C, v ∈ C, u 6= v . Òåîðåìà 10.2. Äëÿ òîãî, ÷òîáû êîä èñïðàâëÿë ëþáûå îøèáêè âåñà t1 , ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå äîëæíî áûòü íå ìåíüøå 2 · t1 + 1. Äëÿ òîãî, ÷òîáû êîä îáíàðóæèâàë ëþáûå îøèáêè âåñà t1 , ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå äîëæíî áûòü íå ìåíüøå t1 + 1. Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå íå ìåíüøå t1 + 1, òî íà ñôåðå, ðàäèóñ êîòîðîé áîëüøå 0 è ìåíüøå t1 + 1, à öåíòð íàõîäèòñÿ â êîäîâîì ñëîâå u, íåò äðóãèõ êîäîâûõ ñëîâ. Àíàëîãè÷íî, åñëè ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå íå ìåíüøå 2t1 + 1, òî îò òî÷åê ñôåðû, ðàäèóñ êîòîðîé áîëüøå 0 è ìåíüøå t1 + 1 ñ öåíòðîì â êîäîâîì ñëîâå u, ðàññòîÿíèå äî u ìåíüøå ðàññòîÿíèÿ äî äðóãèõ êîäîâûõ ñëîâ. ¤ Ïóñòü èìåþòñÿ 2 ñîîáùåíèÿ. Åñëè èõ çàêîäèðîâàòü â âèäå äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé: (00) è (11), òî òîãäà ìîæíî îáíàðóæèòü ëþáóþ îäèíî÷íóþ îøèáêó. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ïîñëàíî ñîîáùåíèå (00) è âìåñòî ïåðâîãî íóëÿ ìû ïîëó÷èëè 1, ò.å. ïîëó÷åíî ñëîâî (10). Íî ñîîáùåíèÿìè ìîãóò áûòü ëèøü ñëîâà (00) è (11), ïîýòîìó äåëàåì âûâîä î òîì, ÷òî ïðè ïåðåäà÷å ïðîèçîøëà îøèáêà. Èñïðàâèòü åå, èñïîëüçóÿ ïðèíöèï ìàêñèìóìà ïðàâäîïîäîáèÿ, íåëüçÿ. Åñëè æå ýòè äâà ñîîáùåíèÿ çàïèñàòü â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé (000) è (111), òî òîãäà ìîæíî îáíàðóæèòü 2 îøèáêè è èñïðàâèòü ëþáóþ îäèíî÷íóþ îøèáêó. Ëåêöèÿ 11 Ëèíåéíûå êîäû Ÿ 1. Ñïîñîáû çàäàíèÿ ëèíåéíûõ êîäîâ Ëèíåéíûå êîäû ÿâëÿþòñÿ îäíèìè èç âàæíåéøèõ â òåîðèè êîäèðîâàíèÿ. Ýòî ñâÿçàíî è ñ óäîáñòâàìè â îáíàðóæåíèè è èñïðàâëåíèè îøèáîê, è â âîçìîæíîñòè êîìïàêòíîãî çàäàíèÿ êîäà, 73 74 Ëåêöèÿ 11. Ëèíåéíûå êîäû è ñ ïðîñòûìè àëãîðèòìàìè êîäèðîâàíèÿ è äåêîäèðîâàíèÿ, ðåàëèçóåìûìè ýëåêòðîííûìè ïåðåêëþ÷àòåëüíûìè ñõåìàìè. Íà ìíîæåñòâå âñåõ äâîè÷íûõ ñëîâ ðàçìåðíîñòè n îïðåäåëèì îïåðàöèè ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ è óìíîæåíèÿ âåêòîðà íà ÷èñëî: a) (a1 , ..., an ) + (b1 , ..., bn ) = (a1 + b1 , ..., an + bn ), ãäå â ïðàâîé ÷àñòè ñëîæåíèå âûïîëíÿåòñÿ ïî mod2. b) α(a1 , ..., an ) = (α · a1 , ..., α · an ), α ∈ {0, 1}. Îïðåäåëåíèå. Ëèíåéíûì êîäîì äëèíû n íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî äâîè÷íûõ ñëîâ äëèíû n, çàìêíóòîå îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ Äëÿ çàäàíèÿ ëèíåéíîãî êîäà óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ìàòðèöåé G, íàçûâàåìîé ïîðîæäàþùåé ìàòðèöåé êîäà. Ïóñòü äàí ëèíåéíûé êîä C . Âûáåðåì â C ìíîæåñòâî ñëîâ g1 , . . . , gk , òàêèõ ÷òî ëþáîå ñëîâî èç C ìîæíî ïðåäñòàâèòü ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ñëîâ g1 , . . . , gk (Ò.å. äëÿ ëþáîãî ñëîâà u èç C íàéäóòñÿ òàêèå ÷èñëà α1 , ...αk èç {0, 1}, ÷òî u = α1 · g1 + ... + αk · gk .)(Òàêîå ìíîæåñòâî ñëîâ áóäåì íàçûâàòü áàçèñîì ëèíåéíîãî êîäà.) Áàçèñ âñåãäà ìîæíî âûáðàòü, ïðè÷åì ÷èñëî k îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ïî êîäó C , â îòëè÷èè îò g1 , . . . , gk . Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ìîæíî íàéòè â ëþáîì êóðñå ëèíåéíîé àëãåáðû. Ìàòðèöà   g1 G =  ...  gk ðàçìåðíîñòè (k × n) íàçûâàåòñÿ ïîðîæäàþùåé ìàòðèöåé êîäà. Åñëè äëÿ ëèíåéíîãî êîäà ïîðîæäàþùàÿ ìàòðèöà èìååò ðàçìåðíîñòü k × n, òî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî çàäàí n × k -ëèíåéíûé êîä. Ïóñòü A = (α1 , . . . , αk )  ñîîáùåíèå äëèíû k (αi ∈ {0, 1}), G  ïîðîæäàþùàÿ ìàòðèöà k × n-ëèíåéíîãî êîäà C , òîãäà ñîîòâåòñòâóþùåå ñîîáùåíèþ A êîäîâîå ñëîâî a ∈ ìîæíî âûáðàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:   a11 . . . a1n (1) a = A · G = (α1 , . . . , αk ) ·  . . . . . . . . .  . ak1 . . . akn 75 Ÿ 1. Ñïîñîáû çàäàíèÿ ëèíåéíûõ êîäîâ Ïðèìåð Ïóñòü äàíà ïîðîæäàþùàÿ  1 1 1 0 0  1 0 0 1 1 G= 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 ìàòðèöà  0 0 0 0  1 0  0 1 (7,4)-ëèíåéíîãî êîäà.  ïîðîæäàþùåé ìàòðèöå 4 êîäîâûõ ñëîâà, çíà÷èò â êîäå âñåãî 16 ñëîâ. Ïîýòîìó ñ ïîìîùüþ ýòîãî êîäà ìîæíî çàêîäèðîâàòü 16 ñîîáùåíèé. Åñëè íàïðèìåð, ñîîáùåíèå A = (0101), òî ñîîòâåòñòâóþùåå åìó êîäîâîå ñëîâî ðàâíî   1 1 1 0 0 0 0  1 0 0 1 1 0 0  = (0100101). a = (0101)  0 1 0 1 0 1 0  1 1 0 1 0 0 1 Òåîðåìà 11.1. Ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ëèíåéíîãî êîäà ðàâíî ìèíèìàëüíîìó âåñó íåíóëåâûõ ñëîâ. Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ëþáûõ 2-õ êîäîâûõ ñëîâ u è v ÷èñëî ïîçèöèé â êîòîðûõ îíè ðàçëè÷àþòñÿ  ýòî ÷èñëî åäèíèö â ñëîâå u + v . Ïóñòü u1 è u2 òàêèå êîäîâûå ñëîâà, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè ìèíèìàëüíî. Òîãäà d(u1 , u2 ) ýòî âåñ ñëîâà u1 + u2 , íî äëÿ ëèíåéíîãî êîäà èìååì u1 + u2 ∈ C . ¤ Äëÿ ëèíåéíîãî êîäà C ÷åðåç CD îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âåêòîðîâ CD = {u = (u1 , . . . , un ) ∈ Vn | òàêèõ, ÷òî äëÿ ëþáîãî v = (v1 , . . . , vn ) ∈ C âûïîëíÿåòñÿ n X ui vi = 0}. i=1 Ýòî ìíîæåñòâî îáðàçóåò ëèíåéíûé êîä, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ êîäîì, äâîéñòâåííûì (äóàëüíûì) êîäó C . Ïîðîæäàþùàÿ ìàòðèöà äóàëüíîãî êîäà íàçûâàåòñÿ ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöåé èñõîäíîãî êîäà. Åñëè ïîðîæäàþùàÿ ìàòðèöà êîäà C èìååò ðàçìåðíîñòü (k, n), òî ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà èìååò ðàçìåðíîñòü (n−k, n). Ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó áóäåì îáîçíà÷àòü H . 76 Ëåêöèÿ 11. Ëèíåéíûå êîäû Ïî îïðåäåëåíèþ H · v t = 0 ⇐⇒ v ∈ C .  ÷àñòíîñòè, åñëè â êà÷åñòâå âåêòîðîâ v âçÿòü áàçèñíûå âåêòîðû êîäà C , òî ïîëó÷èì H · Gt = 0. Ïðèìåð Íàéòè ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó ëèíåéíîãî êîäà, åñëè åãî ïîðîæäàþùàÿ ìàòðèöà èìååò âèä:   1 1 1 0 0 0 0  1 0 0 1 1 0 0  G= 0 1 0 1 0 1 0  1 1 0 1 0 0 1 Ïî îïðåäåëåíèþ âåêòîð u ∈ CD , åñëè u · Gt = 0. Ðåøàåì ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé:   1 1 0 1  1 0 1 1     1 0 0 0    (u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , u7 )  0 1 1 1  = 0  0 1 0 0     0 0 1 0  0 0 0 1 Îáùåå ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû (u6 + u7 , u5 + u7 , u5 + u6 , u5 + u6 + u7 , u5 , u6 , u7 ). Ïðåäñòàâèì îáùåå ðåøåíèå â âèäå u5 (0, 1, 1, 1, 1, 0, 0) + u6 (1, 0, 1, 1, 0, 1, 0) + u7 (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1) è òîãäà ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà èìååò âèä   0 1 1 1 1 0 0 H =  1 0 1 1 0 1 0 . 1 1 0 1 0 0 1 Ëèíåéíûé êîä ìîæíî çàäàâàòü íå òîëüêî ïîðîæäàþùåé, íî è ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöåé. Åñëè H  ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà êîäà, òî äëÿ ëþáîãî êîäîâîãî ñëîâà v âûïîëíèòñÿ H · v t = 0. Óðàâíåíèÿ, îáðàçîâàííûå ýòèì ðàâåíñòâîì, íàçûâàþòñÿ ïðîâåðî÷íûìè óðàâíåíèÿìè. Ÿ 2. Äåêîäèðîâàíèå ëèíåéíîãî êîäà 77 Ÿ 2. Äåêîäèðîâàíèå ëèíåéíîãî êîäà Ïóñòü C  (n, k)-ëèíåéíûé êîä. Äëÿ ëþáîãî âåêòîðà a ∈ Vn ìíîæåñòâî a + C = {a + x|x ∈ C} íàçûâàåòñÿ ñìåæíûì êëàññîì êîäà C . Òåîðåìà 11.2. Äâà ñìåæíûõ êëàññà ëèáî íå ïåðåñåêàþòñÿ, ëèáî ñîâïàäàþò, à îáúåäèíåíèå âñåõ ñìåæíûõ êëàññîâ ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì Vn . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ñìåæíûå êëàññû a+C è b+C èìåþò îáùèé ýëåìåíò u: u = a + c1 è u = b + c2 (c1 , c2 ∈ C ).  ýòîì ñëó÷àå ñìåæíûå êëàññû ñîâïàäàþò. Äëÿ ýòîãî ïîêàæåì ÷òî ëþáîé ýëåìåíò èç a + C ëåæèò â b + C è íàîáîðîò. Âîçüìåì v = a + c3 , ãäå c3 ∈ C . Òàê êàê a = u + c1 , òî èìååì v = a + 3 = u + 1 + 3 = b + 2 + c1 + c3 = b + c4 ; c4 = c1 + c2 + c3 ∈ C. Òî åñòü v ∈ b + C . Àíàëîãè÷íî ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ëþáîé èç b + C ëåæèò â a + C . Òàêèì îáðàçîì, åñëè 2 ñìåæíûõ êëàññà èìåþò îáùèé ýëåìåíò, òî îíè ñîâïàäàþò. Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî ëþáîå ñëîâî èç Vn ëåæèò â íåêîòîðîì êëàññå. Òàê êàê 0 ëåæèò â ëþáîì ëèíåéíîì êîäå è ñëîâî u âñåãäà ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê u = u + 0, òî ïîëó÷àåì íóæíûé ðåçóëüòàò. ¤ Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïî êàíàëó ñâÿçè îòïðàâëåíî êîäîâîå ñëîâî x, äåêîäåð ïðèíèìàåò âåêòîð y . Òîãäà y ïðèíàäëåæèò íåêîòîðîìó ñìåæíîìó êëàññó, íàïðèìåð y = ai + ( ∈ C). Âåêòîð e = y + x íàçûâàåòñÿ âåêòîðîì îøèáîê. Âåêòîð e = y + x = ai + c + x = ai + 1 , ãäå 1 = + x ∈ C . Èòàê, âåêòîð îøèáîê ëåæèò â òîì æå êëàññå, ÷òî è y à ïîòîìó âîçìîæíûìè âåêòîðàìè îøèáîê ÿâëÿþòñÿ â òî÷íîñòè âñå âåêòîðû èç ñìåæíîãî êëàññà, ñîäåðæàùåãî y . Òàê êàê ìû ðóêîâîäñòâóåìñÿ ïðèíöèïîì ìàêñèìóìà ïðàâäîïîäîáèÿ, òî ïðè äàííîì y ñòðàòåãèÿ äåêîäåðà çàêëþ÷àåòñÿ â âûáîðå èç ñìåæíîãî êëàññà, ñîäåðæàùåãî y , âåêòîðà e ñ íàèìåíüøèì âåñîì è â äåêîäèðîâàíèè y êàê x = y + e. Âåêòîð èç ñìåæíîãî êëàññà, èìåþùèé ìèíèìàëüíûé âåñ, íàçûâàåòñÿ ëèäåðîì ñìåæíîãî êëàññà. Èìååòñÿ ïðîñòîé ñïîñîá, êàê îïðåäåëèòü â êàêîì ñìåæíîì êëàññå íàõîäèòñÿ y : íàäî âû÷èñëèòü âåêòîð Sy = Hy t , êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ñèíäðîìîì y . 78 Ëåêöèÿ 11. Ëèíåéíûå êîäû Òåîðåìà 11.3. 1. Ñèíäðîì âåêòîðà ðàâåí íóëþ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âåêòîð ÿâëÿåòñÿ êîäîâûì. 2. Ñèíäðîì ðàâåí ñóììå òåõ ñòîëáöîâ ìàòðèöû H , íîìåðà êîòîðûõ ñîâïàäàþò ñ íîìåðàìè ïîçèöèé, ãäå ïðîèçîøëè îøèáêè. 3. Äâà âåêòîðà íàõîäÿòñÿ â îäíîì ñìåæíîì êëàññå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èõ ñèíäðîìû ðàâíû. 4. Èìååòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ñèíäðîìàìè è ñìåæíûìè êëàññàìè. Äîêàçàòåëüñòâî. 1 óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöû è ñèíäðîìà. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âòîðîãî óòâåðæäåíèÿ ïðåäñòàâèì ïîëó÷åííîå ñëîâî êàê ñóììó îòïðàâëåííîãî êîäîâîãî ñëîâà è âåêòîðà îøèáîê.  âåêòîðå îøèáîê åäèíèöû ñòîÿò íà òåõ ïîçèöèÿõ, ãäå ïðîèçîøëè îøèáêè. È òåïåðü Sy = Hy t = H(xt + et ) = Het è óòâåðæäåíèå ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì. 3. Ïóñòü Sx = Sy . Òîãäà Hxt = Hy t è H(xt + y t ) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî H(x + y)t = 0 è x + y ∈ C . Ïîýòîìó x + y = c, x = y + c èëè x ∈ y + C , íî y ∈ y + C . Òàêèì îáðàçîì x è y ëåæàò â îäíîì ñìåæíîì êëàññå. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè x = a + c1 è y = a + c2 , òî Sx = Sy . 4. Îñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ. ¤  îáùåì âèäå àëãîðèòì äåêîäèðîâàíèÿ ïî ñèíäðîìó âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì: 1. Ðàçáèâàåì ïðîñòðàíñòâî Vn íà ñìåæíûå êëàññû ïî êîäó. 2.  êàæäîì ñìåæíîì êëàññå íàõîäèì âåêòîð, èìåþùèé íàèìåíüøèé âåñ (ò.å. íàõîäèì ëèäåðà ñìåæíîãî êëàññà). 3. Äëÿ êàæäîãî ëèäåðà âû÷èñëÿåì ñèíäðîì. (Äëÿ îñòàëüíûõ âåêòîðîâ èç ýòîãî ñìåæíîãî êëàññà ñèíäðîì áóäåò òàêèì æå.) Òàêèì îáðàçîì óñòàíàâëèâàåì âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ñèíäðîìàìè è ñìåæíûìè êëàññàìè. 4. Äëÿ ïðèíÿòîãî ñëîâà âû÷èñëÿåì ñèíäðîì. 5. Ê ïðèíÿòîìó ñëîâó ïðèáàâëÿåì ëèäåðà, ñîîòâåòñòâóþùåãî âû÷èñëåííîìó ñèíäðîìó. Ïðèìåð Ðàññìîòðèì (4,2)-êîä ñ ïîðîæäàþùåé ìàòðèöåé µ G= 1 0 1 1 0 1 0 1 ¶ . 79 Ÿ 2. Äåêîäèðîâàíèå ëèíåéíîãî êîäà Íåñëîæíî âû÷èñëèòü ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó: µ ¶ 1 0 1 0 H= . 1 1 0 1 Ñîñòàâèì ñëåäóþùóþ ñòàíäàðòíóþ òàáëèöó: ñîîáùåíèå 00 10 01 11 êîä (1-é ñìåæíûé êëàññ) 0000 1011 0101 1110 2-é ñìåæíûé êëàññ 1000 0011 1101 0110 3-é ñìåæíûé êëàññ 0100 1111 0001 1010 4-é ñìåæíûé êëàññ 0010 1001 0111 1100 ñèíäðîì µ ¶S µ 0 ¶ 1 µ 1 ¶ µ 1 ¶ 1 ëèäåðû ñìåæíûõ êëàññîâ Äîïóñòèì, ïðèíÿò âåêòîð y = (1111). Âû÷èñëÿåì ñèíäðîì: µ s= 1 0 1 0 1 1 0 1 ¶   1 µ ¶  1   1 = 1 1 Ïî ñèíäðîìó îïðåäåëÿåì ñìåæíûé êëàññ. Ëèäåðîì ýòîãî ñìåæíîãî êëàññà ÿâëÿåòñÿ âåêòîð (0100) è òîãäà y äåêîäèðóåòñÿ â êîäîâîå ñëîâî x = y − e = (1011). Çàìå÷àíèå. Äëÿ òðåòüåãî ñìåæíîãî êëàññà â êà÷åñòâå ëèäåðà ìîæíî áûëî áû âìåñòî âåêòîðà (0100) âçÿòü âåêòîð (0001), èìåþùèé òàêîé æå âåñ. Òàêèì îáðàçîì, íåêîòîðûå ñëîâà áóäóò äåêîäèðîâàíû íåïðàâèëüíî. Ó ýòîãî êîäà ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ðàâíî 2 è ïîýòîìó îí ìîæåò èñïðàâëÿòü íå âñå îäèíî÷íûå îøèáêè. Ëåêöèÿ 12 Ïðèìåðû ëèíåéíûõ êîäî⠟ 1. Êîäû Õýììèíãà Ðàññìîòðèì îäíî èç ñåìåéñòâ ëèíåéíûõ êîäîâ, êîòîðûå ëåãêî êîäèðîâàòü è äåêîäèðîâàòü  êîäû Õýììèíãà. Êàê óæå èçâåñòíî, ñèíäðîì ïðèíÿòîãî âåêòîðà ðàâåí ñóììå òåõ ñòîëáöîâ ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöû H , íîìåðà êîòîðûõ ñîâïàäàþò ñ íîìåðàìè ïîçèöèé, ãäå ïðîèçîøëè îøèáêè. Ñëåäîâàòåëüíî äëÿ òîãî ÷òîáû ïîñòðîèòü êîä, èñïðàâëÿþùèé îäíó îøèáêó, íåîáõîäèìî âûáðàòü ñòîëáöû ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöû íåíóëåâûìè (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îøèáêà â ýòîé ïîçèöèè íå áóäåò îáíàðóæèâàåìîé) è ðàçëè÷íûìè (åñëè 2 ñòîëáöà áóäóò ðàâíû, òî îøèáêè â ýòèõ ïîçèöèÿõ áóäóò íåðàçëè÷èìûìè). Îïðåäåëåíèå. Äâîè÷íûé êîä Õýììèíãà Hr äëèíû n = 2r − 1(r ≥ 2) èìååò ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó H , ñòîëáöû êîòîðîé ñîñòîÿò èç âñåõ íåíóëåâûõ äâîè÷íûõ âåêòîðîâ äëèíû r, ïðè÷åì êàæäûé âåêòîð âñòðå÷àåòñÿ â òàáëèöå îäèí ðàç. Êîä Õýììèíãà Hr èìååò ïàðàìåòðû n = 2r − 1, k = 2r − 1 − r, d = 3. Ïðèìåð Äâå ìàòðèöû à H1 = 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ! à è H2 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ! çàäàþò 2 êîäà Õýììèíãà ñ îäíèìè è òåìè æå ïàðàìåòðàìè n=7, k =4, d=3. Ïóñòü H  ìàòðèöà, â êîòîðîé l-ñòîëáåö Hl ðàâåí äâîè÷íîìó ïðåäñòàâëåíèþ ÷èñëà l. Òîãäà ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå, êîòîðîå ëåãêî ñëåäóåò èç òåîðåìû î ñèíäðîìå. Òåîðåìà 12.1. Åñëè ïðîèçîøëà îøèáêà â l-îì ñèìâîëå, òî ñèíäðîì S ðàâåí äâîè÷íîìó ïðåäñòàâëåíèþ ÷èñëà l. 80 Ÿ 2. Êîäû Ðèäà-Ìàëëåðà 81 Ÿ 2. Êîäû Ðèäà-Ìàëëåðà  ýòîì ïóíêòå ìû ðàññìîòðèì êîäû, äëÿ êîòîðûõ íàéäåí çàìå÷àòåëüíûé àëãîðèòì èñïðàâëåíèÿ îøèáîê, ñûãðàâøèé âàæíåéøóþ ðîëü â ðàçâèòèè ìåòîäîâ ìàæîðèòàðíîãî äåêîäèðîâàíèÿ. Ìû óæå çíàåì, ÷òî ëþáóþ áóëåâó ôóíêöèþ îò n ïåðåìåííûõ ìîæíî çàïèñàòü ïîëèíîìîì Æåãàëêèíà ñòåïåíè íå âûøå n. Îïðåäåëåíèå. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî r, 0 ≤ r ≤ m, äâîè÷íûé êîä Ðèäà-Ìàëëåðà (ÐÌ-êîä) ïîðÿäêà r è äëèíû 2m îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìíîæåñòâî âñåõ âåêòîðîâ f , çàäàâàåìûõ áóëåâûìè ôóíêöèÿìè f (x1 , . . . , xm ), ïðåäñòàâèìûìè âñåìè ïîëèíîìàìè Æåãàëêèíà, ñòåïåíü êîòîðûõ íå ïðåâîñõîäèò r. ÐÌ-êîä r-ãî ïîðÿäêà è äëèíû 2m áóäåì îáîçíà÷àòü R(r, m). Ðàññìîòðèì ÐÌ-êîä ïåðâîãî ïîðÿäêà äëèíû 8. Âû÷èñëÿåì ÷èñëî ïåðåìåííûõ  m=3. Òàêèì îáðàçîì ÐÌ-êîä ïåðâîãî ïîðÿäêà äëèíû 8 ñîñòîèò èç âñåõ âåêòîðîâ çàäàâàåìûõ áóëåâûìè ôóíêöèÿìè îò 3 ïåðåìåííûõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëåäóþùèì ïîëèíîìàì Æåãàëêèíà: 0; x3 ; x2 ; x1 ; x3 +x2 ; x3 +x1 ; x2 +x1 ; x3 +x2 +x1 ; 1; 1+x3 ; 1+x2 ; 1+ x1 ; 1+x3 +x2 ; 1+x3 +x1 ; 1+x2 +x1 ; 1+x3 +x2 +x1 ò.å. ñëåäóþùèå âåêòîðû ïîëèíîì êîäîâîå ñëîâî 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 x3 ; 0 0 0 0 1 1 1 1 x2 ; 0 0 1 1 0 0 1 1 x1 ; 0 1 0 1 0 1 0 1 x3 + x2 ; 0 0 1 1 1 1 0 0 x3 + x1 ; 0 1 0 1 1 0 1 0 x2 + x1 ; 0 1 1 0 0 1 1 0 x3 + x2 + x1 ; 0 1 1 0 1 0 0 1 1; 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + x3 ; 1 1 1 1 0 0 0 0 1 + x2 ; 1 1 0 0 1 1 0 0 1 + x1 ; 1 0 1 0 1 0 1 0 1 + x3 + x2 ; 1 1 0 0 0 0 1 1 1 + x3 + x1 ; 1 0 1 0 0 1 0 1 1 + x2 + x1 ; 1 0 0 1 1 0 0 1 1 + x3 + x2 + x1 ; 1 0 0 1 0 1 1 0 82 Ëåêöèÿ 12. Ïðèìåðû ëèíåéíûõ êîäîâ Òåîðåìà 12.2. Ïîëèíîì Æåãàëêèíà îò m ïåðåìåííûõ ñòåïåíè r ñîäåðæèò ñàìîå áîëüøåå ¡ ¢ ¡m¢ 1+ m 1 + ... + r ¡ ¢ íåíóëåâûõ ÷ëåíîâ. (Çäåñü m r  ÷èñëî ñî÷åòàíèé èç m ïî r .) Äîêàçàòåëüñòâî Ñëàãàåìîå êîòîðîå íå ñîäåðæèò ïåðåìåííûõ îäíî  1. ×èñëî ¡ ¢ ñëàãàåìûõ, êîòîðûå ñîäåðæàò ïî îäíîé ïåðåìåííîé ðàâíî m 1 . È â îáùåì ñëó÷àå, ¡ ¢ ÷èñëî ñëàãàåìûõ, êîòîðûå ñîäåðæàò t ïåðåìåííûõ ðàâíî mt . ¤ ¡m¢ ¡m¢ Çíà÷èò ðàçìåðíîñòü êîäà R(r, m) ðàâíà 1 + 1 + . . . + r è m m êîä R(r, m) ñîäåðæèò 21+(1 )+...+(r ) êîäîâûõ ñëîâ. Òåîðåìà 12.3. Ïóñòü G(r,m)  ïîðîæäàþùàÿ ìàòðèöà êî- äà R(r,m), òîãäà µ G(r + 1, m + 1) = G(r + 1, m) G(r + 1, m) G(r, m) ¶ Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîèçâîëüíûé âåêòîð u èç êîäà R(r+1, m+ 1), ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïîëèíîìîì Æåãàëêèíà îò m + 1 íåèçâåñòíîãî ñòåïåíè íå âûøå r + 1. Âñå ñëàãàåìûå, âõîäÿùèå â ïîëèíîì ðàçáèâàåì íà 2 ÷àñòè: â ïåðâóþ çàíîñèì ñëàãàåìûå, ñîäåðæàùèå ïåðåìåííóþ xm+1 , à âî âòîðóþ  âñå îñòàëüíûå ñëàãàåìûå. È òåïåðü ïðåäñòàâèì u êàê u(xm+1 , xm , ..., x1 ) = α · xm+1 · u0 (xm , ..., x1 ) + β · u00 (xm , ..., x1 ) ãäå u0 ∈ R(r, m), à u0 / ∈ R(r + 1, m). È â êà÷åñòâå áàçèñà äëÿ R(r + 1, m + 1) ìû ìîæåì âçÿòü âåêòîðû, ïîëó÷åííûå óìíîæåíèåì âåêòîðîâ èç áàçèñà äëÿ R(r, m) íà xm+1 è áàçèñ äëÿ R(r + 1, m). Íî ÷òîáû âåêòîðû èç áàçèñà äëÿ R(r + 1, m) ñòàëè ÿâëÿòüñÿ çíà÷åíèÿìè áóëåâîé ôóíêöèè îò m + 1 ïåðåìåííîé, ìû ïåðåìåííóþ xm+1 ââåäåì ôèêòèâíî. À äëÿ ýòîãî ìû äîëæíû êàæäûé âåêòîð ñêëåèòü ñ ñàìèì ñîáîé. (Âñïîìíèì ëåêöèè ïî òåîðèè áóëåâûõ ôóíêöèé.) È òåïåðü äëÿ âåêòîðà èç ïåðâîé ãðóïïû ìû ïîëó÷èì, ÷òî åãî ïåðâàÿ ïîëîâèíà ñîñòîèò èç îäíèõ íóëåé, à âòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåò âåêòîð èç R(r, m). À äëÿ âåêòîðà èç âòîðîé ãðóïïû ïåðâàÿ è âòîðàÿ ïîëîâèíû áóäóò ñîâïàäàòü è ïðåäñòàâëÿòü âåêòîð èç R(r + 1, m). ¤ Òåîðåìà 12.4. Ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå êîäà R(r,m) ðàâíî 2m−r . Äîêàçàòåëüñòâî. Èíäóêöèÿ ïî m è r. Ïðè äîêàçàòåëüñòâå ïðåäûäóùåãî óòâåðæäåíèÿ ìû ïîêàçàëè, ëþáîé âåêòîð èç R(r + 1, m + 1) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû (0, y) + (x, x), ãäå y ∈ R(r, m) à x ∈ R(r + 1, m), ò.å â âèäå (x, y + x). Òàê êàê ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ëèíåéíîãî êîäà ñîâïàäàåò ñ íàèìåíüøèì âåñîì íåíóëåâûõ ñëîâ, áóäåì ñðåäè âåêòîðîâ âèäà (x, y + x) èñêàòü ñëîâà ñ íàèìåíüøèì ÷èñëîì åäèíèö. Åñëè ìû âîçüìåì x = 0, òî ïîëó÷èì ñëîâî (0, y). Òàê êàê y ∈ R(r, m), òî ïî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþ íàèìåíüøåå ÷èñëî åäèíèö â y ðàâíî 2m−r . Åñëè x 6= 0, òî â íèæíåé ÷àñòè âåêòîðà (x, y + x) íå ìîæåò óíè÷òîæèòüñÿ áîëüøå åäèíèö, ÷åì èõ ñòîèò â âåðõíåé ÷àñòè. Çíà÷èò ÷èñëî åäèíèö â (x, y + x) íå ìåíüøå, ÷åì ÷èñëî åäèíèö â y è îïÿòü âîñïîëüçóåìñÿ èíäóêòèâíûì ïðåäïîëîæåíèåì. À òåïåðü m − r = m + 1 − (r + 1) ¤ Ëåêöèÿ 13 Ìàæîðèòàðíîå äåêîäèðîâàíèå ëèíåéíûõ êîäîâ Ìàæîðèòàðíîå äåêîäèðîâàíèå  ýòî ïðîñòîé ìåòîä îïðåäåëåíèÿ ïðîâåðî÷íûõ ñèìâîëîâ ïî ïðîâåðî÷íûì óðàâíåíèÿì, ñîñòàâëåííûì ñ ïîìîùüþ ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöû. Îñíîâíûì çäåñü ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå îðòîãîíàëüíûõ (ðàçäåëåííûõ) ïðîâåðî÷íûõ ñóìì (óðàâíåíèé). Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî ïðîâåðî÷íûõ óðàâíåíèé íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíûì îòíîñèòåëüíî i-é êîîðäèíàòû, åñëè ïåðåìåííàÿ xi âõîäèò âî âñå óðàâíåíèÿ, à äðóãèå ïåðåìåííûå âõîäÿò íå áîëåå ÷åì â îäíî óðàâíåíèå.  áîëåå îáùåì âèäå, åñëè S1 , . . . , Sj  ñóììû ðàçëè÷íûõ ñèìâîëîâ, è êàæäîå Si (i ∈ {1, . . . , j} ñîäåðæèò ñèìâîëû e1 , e2 , . . . , ei ñ êîýôôèöèåíòàìè a, b, . . . , c è íè îäèí äðóãîé ñèìâîë íå ñîäåðæèòñÿ áîëåå ÷åì â îäíîé ñóììå, òî S1 , . . . , Sj îðòîãîíàëüíû îòíîñèòåëüíî ñóììû ae1 + be2 + . . . + cei . 83 84 Ëåêöèÿ 13. Ìàæîðèòàðíîå äåêîäèðîâàíèå Ïðèìåð Åñëè S1 = ae1 + be2 S2 = ae1 + be2 + ce3 S3 = ae1 + be2 + de4 + f e5 òî S1 , S2 , S3 îðòîãîíàëüíû îòíîñèòåëüíî ñóììû ae1 + be2 . ¤ Ïðè÷èíû âàæíîñòè ðàññìîòðåíèÿ îðòîãîíàëüíûõ ñóìì óêàçûâàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà Òåîðåìà 13.1. Åñëè äëÿ ëþáîãî ñèìâîëà ëèíåéíîãî êîäà ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå d−1 ïðîâåðî÷íûõ ñóìì, îðòîãîíàëüíûõ îòíîñèòåëüíî ýòîãî ñèìâîëà, òî êîä èìååò ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ðàâíîå ïî ìåíüøåé ìåðå d. Ïðèìåð Ðàññìîòðèì (7,3)-ëèíåéíûé êîä ñ ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöåé   1 1 0 1 0 0 0  0 1 1 0 1 0 0  H= 0 0 1 1 0 1 0  0 0 0 1 0 0 1 Ïóñòü ïðèíÿòî íåêîòîðîå ñëîâî (α0 , α1 , . . . , α6 ), ñîäåðæàùåå áûòü ìîæåò îøèáî÷íûå ñèìâîëû. Ïåðâîé ñòðîêå ìàòðèöû H ñîîòâåòñòâóåò ïðîâåðî÷íîå ñîîòíîøåíèå: α0 + α1 + α3 = 0 Ñóììå 1, 2 è 3 ñòðîê α0 + α4 + α5 = 0 Ñóììå 1, 2 è 4 ñòðîê α0 + α2 + α6 = 0 Ýòè ñîîòíîøåíèÿ îðòîãîíàëüíû îòíîñèòåëüíî α0 . Èòàê èìååì: α0 = α1 + α3 α0 = α4 + α5 α0 = α2 + α6 Òåïåðü ðóêîâîäñòâóåìñÿ ñëåäóþùèì ïðàâèëîì: åñëè ñðåäè çíà÷åíèé α1 + α3 , α4 + α5 , α2 + α6 , α0 áîëüøèíñòâî ñîñòàâëÿþò 85 Ëåêöèÿ 13. Ìàæîðèòàðíîå äåêîäèðîâàíèå íóëè, òî ïîëàãàåì, ÷òî íóëü è åñòü âåðíîå çíà÷åíèå α0 , åñëè æå áîëüøèíñòâî èç íèõ  åäèíèöà, òî âåðíûì äëÿ α0 ñ÷èòàåì 1. Òàêîå ãîëîñîâàíèå ãàðàíòèðóåò âåðíîå ðåøåíèå, åñëè ïðèíÿòîå ñëîâî ñîäåðæèò íå áîëåå îäíîé îøèáêè. Âîçìîæíî è ðàâåíñòâî ãîëîñîâ (â ñëó÷àå äâîéíîé îøèáêè), è â ýòîì ñëó÷àå äîâîëüñòâóåìñÿ îáíàðóæåíèåì îøèáêè. Åñëè íà ïåðâîì øàãå óäàåòñÿ âîññòàíîâèòü ñèìâîëû ïðèíÿòîãî ñëîâà, òî êîä, äëÿ êîòîðîãî ýòî âîçìîæíî, íàçûâàåòñÿ ïîëíîñòüþ îðòîãîíàëèçèðóåìûì. Íî ÷àùå ïðèõîäèòñÿ íà ïåðâîì øàãå âîññòàíàâëèâàòü ïðàâèëüíî íåêîòîðûå êîìáèíàöèè èç t ýëåìåíòîâ ïðèíÿòîãî ñëîâà, äàëåå êîìáèíàöèè èç ìåíüøå ÷åì t ýëåìåíòîâ è òàê äàëåå äî òåõ ïîð ïîêà íå áóäåò ïîëó÷åíî ìíîæåñòâî ïðîâåðî÷íûõ ñóìì, îðòîãîíàëüíûõ îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîãî îøèáî÷íîãî ñèìâîëà. Ïðèìåð Ðàññìîòðèì ëèíåéíûé êîä ñ ïîðîæäàþùåé ìàòðèöåé:     1 1 1 1 1 1 1 1 g0  0 0 0 0 1 1 1 1   g1  G= = 0 0 1 1 0 0 1 1   g2  0 1 0 1 0 1 0 1 g3 Ïóñòü v = (α0 , α1 , . . . , α7 )  ïðîèçâîëüíîå êîäîâîå ñëîâî. Îíî ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå: v = a0 g0 + a1 g1 + a2 g2 + a3 g3 èëè B B B B v = a0 B B B B @ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C B C B C B C B C + a1 B C B C B C B A @ 1 1 1 1 1 C B C B C B C B C + a2 B C B C B C B A @ 1 1 1 1 1 C B C B C B C B C + a3 B C B C B C B A @ 1 1 1 1 1 C B C B C B C B C=B C B C B C B A @ a0 a0 + a3 a0 + a2 a0 + a2 + a3 a0 + a1 a0 + a1 + a3 a0 + a1 + a2 a0 + a1 + a2 + a3 1 C C C C C C C C A Èç ýòîãî ðàâåíñòâà âèäíî, ÷òî ñóììà ïåðâîé è âòîðîé êîîðäèíàòû âåêòîðà v ðàâíû a3 , òî åñòü α0 + α1 = a3 . Àíàëîãè÷íî: α2 + α3 = a3 , α4 + α5 = a3 , α6 + α7 = a3 . Äëÿ a2 ïðîâåðêè ñëåäóþùèå: α0 + α2 = a2 , α1 + α3 = a2 , α4 + α6 = a2 , α5 + α7 = a2 . Äëÿ a1 ïðîâåðêè ñëåäóþùèå: α0 + α4 = a1 , α1 + α5 = a1 , α2 + α6 = a1 , α3 + α7 = a1 . 86 Ëåêöèÿ 13. Ìàæîðèòàðíîå äåêîäèðîâàíèå Ïðèìåíÿÿ ê ïîëó÷åííûì ïðîâåðêàì ïðèíöèï áîëüøèíñòâà, íàéäåì çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ a1 , a2 , a3 (îíè áóäóò âåðíûìè, åñëè ïðîèçîøëî íå áîëåå îäíîé îøèáêè). Åñëè îïðåäåëèòü a1 , a2 , a3 , òî ìîæíî íàéòè è a0 . Ðàññìîòðèì ðàâåíñòâî: v1 = v−a1 g1 −a2 g2 −a3 g3 . Ïðè áåçîøèáî÷íîé ïåðåäà÷å v1 = a0 g0 , ò.å. ó v1 âñå êîîðäèíàòû äîëæíû áûòü îäèíàêîâûìè. Òàêèì îáðàçîì, ëèáî âñå îíè ðàâíû 1, ëèáî âñå ðàâíû 0. Ïî áîëüøèíñòâó ïðèíèìàåì çíà÷åíèå a0 . Ïóñòü ïðèíÿòî ñëîâî (0 1 1 1 0 1 1 0). Òîãäà a1 a1 a1 a1 =0 =0 =0 =1 a2 a2 a2 a2 =1 =0 =1 =1 a3 a3 a3 a3 =1 =0 =1 =1 Ïî áîëüøèíñòâó çíà÷åíèé íàõîäèì a1 = 0; a1 = a3 = 1, è v1 = (00010000) ñëåäîâàòåëüíî a0 = 0 è v = g2 + g3 = (01100110). ¤ Çàìå÷àíèå: Ñèñòåìó îðòîãîíàëüíûõ ïðîâåðîê ìîæíî ñîñòàâèòü íåïîñðåäñòâåííî ïî ñòîëáöàì ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöû. Ïðèìåð Ðàññìîòðèì ìåòîä ìàæîðèòàðíîãî äåêîäèðîâàíèÿ íà ïðèìåðå êîäà Ðèäà-Ìàëëåðà âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïîðîæäàþùàÿ ìàòðèöà (2,4)êîäà Ðèäà-Ìàëëåðà èìååò âèä: B B B B B B B G=B B B B B B @ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 g0 g1 C B C B g2 C B C B g3 C B C B g4 C B C = B g1 × g2 C B g ×g 3 C B 1 C B g1 × g4 C B C B g2 × g3 A @ g2 × g4 g3 × g4 1 1 C C C C C C C C C C C C C A Åñëè v  êîäîâîå ñëîâî, òî v = a0 g0 + a1 g1 + a2 g2 + a3 g3 + a4 g4 + a12 g1 × g2 + a13 g1 × g3 + +a14 g1 × g4 + a23 g2 × g3 + a24 g2 × g4 + a34 g3 × g4 Íà ïåðâîì ýòàïå îïðåäåëÿåì âåðíûå çíà÷åíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ aij , äëÿ êàæäîãî èç êîòîðûõ èìååòñÿ ïî 4 ïðîâåðî÷íûõ Ëåêöèÿ 13. Ìàæîðèòàðíîå äåêîäèðîâàíèå 87 ñîîòíîøåíèÿ. Íàïðèìåð, äëÿ a34 îíè ñëåäóþùèå: a34 a34 a34 a34 = α0 + α1 + α2 + α3 = α4 + α5 + α6 + α7 = α8 + α9 + α10 + α11 = α12 + α13 + α14 + α15 Ïîñëå òîãî, êàê îïðåäåëèëè ýòè êîýôôèöèåíòû íàõîäèì âåêòîð v1 = v −a12 g1 ×g2 −. . .−a34 g3 ×g4 . Ïîñêîëüêó ïðè áåçîøèáî÷íîé ïåðåäà÷å v1 = a0 g0 + a1 g1 + a2 g2 + a3 g3 + a4 g4 , òî ïðîâåðî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ a1 , a2 , a3 , a4 ïîëó÷àåì èç ýëåìåíòîâ âåêòîðà v1 ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû G. Íàïðèìåð, äëÿ a4 îäíî èç ïðîâåðî÷íûõ ñîîòíîøåíèé âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì: a4 = α00 + α10 , ãäå αi0  ýëåìåíòû âåêòîðà v1 . È íàêîíåö íà 3 øàãå îïðåäåëÿåì êîýôôèöèåíò a0 . ¤ ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ Ëåêöèÿ 1. Ââîäíàÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Ÿ1. Ìàòåìàòè÷åñêèé ÿçûê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Ÿ2. Ìàòåìàòè÷åñêèå óòâåðæäåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Ÿ3. Ïðèåìû, èñïîëüçóåìûå ïðè äîêàçàòåëüñòâàõ . . . . . . . . . . . . . 6 Ÿ4. Ñîêðàùåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Ëåêöèÿ 2. Âûáîðêè: óïîðÿäî÷åííûå è íåóïîðÿäî÷åííûå, ñ ïîâòîðåíèåì è áåç ïîâòîðåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Ÿ1. Ïðàâèëà ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Ÿ2. Âûáîðêè áåç ïîâòîðåíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Ÿ3. Âûáîðêè ñ ïîâòîðåíèåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ëåêöèÿ 3. Áèíîì Íüþòîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ÿ1. Áèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ÿ2. Êîíå÷íûå ðàçíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ëåêöèÿ 4. Ïðèíöèï âêëþ÷åíèÿ è èñêëþ÷åíèÿ . . . . . . . . . . . . . . 25 Ÿ1. Ëîãè÷åñêîå òîæäåñòâî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Ÿ2. Ïðèëîæåíèÿ ê òåîðèè ÷èñåë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Ëåêöèÿ 5. Ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Ÿ1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Ôèáîíà÷÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Ÿ2. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ïðîèçâîäÿùèìè ôóíêöèÿìè . . . . . . . . 34 Ëåêöèÿ 6. Îïðåäåëåíèå è ñïîñîáû çàäàíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Ÿ1. Äâîè÷íûå íàáîðû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Ÿ2. Áóëåâû ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Ÿ3. Ïåðåìåííûå è àðãóìåíòû áóëåâûõ ôóíêöèé . . . . . . . . . . . . . 44 Ëåêöèÿ 7. Ïðåäñòàâëåíèå áóëåâûõ ôóíêöèé òåðìàìè . . . . . . 45 Ëåêöèÿ 8. Ñïåöèàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé 49 Ÿ1. Äèçúþíêòèâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé . . . . . . . 50 Ÿ2. Êîíúþíêòèâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé . . . . . . . 53 Ÿ3. Ïîëèíîìèàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé . . . . . . 54 Ëåêöèÿ 9. Çàìêíóòîñòü è ïîëíîòà ìíîæåñòâà áóëåâûõ ôóíêöèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Ÿ1. Ïîíÿòèÿ çàìêíóòîñòè è ïîëíîòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Ÿ2. Íåêîòîðûå çàìêíóòûå êëàññû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Ÿ3. Êðèòåðèé ïîëíîòû è çàìêíóòîñòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Ëåêöèÿ 10. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îïðåäåëåíèÿ ïîìåõîóñòîé÷èâîãî êîäèðîâàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Ëåêöèÿ 11. Ëèíåéíûå êîäû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Ÿ1. Ñïîñîáû çàäàíèÿ ëèíåéíûõ êîäîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ÿ2. Äåêîäèðîâàíèå ëèíåéíîãî êîäà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ëåêöèÿ 12. Ïðèìåðû ëèíåéíûõ êîäîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ÿ1. Êîäû Õýììèíãà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ÿ2. Êîäû Ðèäà-Ìàëëåðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ëåêöèÿ 13. Ìàæîðèòàðíîå äåêîäèðîâàíèå ëèíåéíûõ êîäîâ 73 77 80 80 81 83 Ïàíòåëååâ Âëàäèìèð Èííîêåíòüåâè÷ ÒÐÈÍÀÄÖÀÒÜ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÄÈÑÊÐÅÒÍÎÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ Ó×ÅÁÍÎÅ ÏÎÑÎÁÈÅ Ïå÷àòàåòñÿ â àâòîðñêîé ðåäàêöèè Êîìïüþòåðíàÿ âåðñòêà àâòîðà Òåìïëàí 2004. Ïîç. 56 Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 9.11.2004 ã. Ôîðìàò áóìàãè 60×84 1/16. Ó÷.-èçä. ë. 4,2. Òèðàæ 100 ýêç. Öåíà äîãîâîðíàÿ. Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèé îòäåë Èðêóòñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà 664003, Èðêóòñê, á. Ãàãàðèíà, 36 Îòïå÷àòàíî â ÎÊÈÑ ÖÍÈÒ ÈÃÓ 664003, Èðêóòñê, á. Ãàãàðèíà, 20