Дискретная и непрерывная случайная величина. Основные понятия.

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Дискретная и непрерывная случайная величина. Основные понятия. Перед изучением лекции необходимо вспомнить следующий материал предыдущей лекции:       Классическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности . Свойства вероятностей. Теорема сложения. Теорема умножения. Схема урн. Формула Бернулли. Формула Пуассона. План лекции (вопросы для изучения):  Дискретная случайная величина (ДСВ): 1. Определение ДСВ. Закон распределения ДСВ. Многоугольник распределения. 2. Основные законы распределения ДСВ: 2.1. Распределение Бернулли. 2.2. Биномиальное распределение. 2.3. Распределение Пуассона. 2.4. Геометрическое распределение. 2.5 Отрицательное биномиальное распределение (распределение Паскаля). 2.5. Гипергеометрическое распределение.  Непрерывная случайная величина (НСВ): 3. Функция распределения НСВ и ДСВ. 4. Свойства функции распределения. 5. Плотность распределения НСВ (плотность вероятности). Ее свойства. 6. Основные законы распределения НСВ: 6.1. Равномерное распределение. 6.2. Нормальное распределение. 6.3. Показательное распределение. 6.4. Логарифмически-нормальное распределение. Согласно плану изучаем материал лекции здесь: ТВ И МС Лекция 3 или Лекции по ТВиМС (учебник Крупкиной Т.В.) ст. 50-62 или Лекции по ТВ и МС (3-1, 3-2, 3-3)    Замечание: В разных источниках случайная величина обозначаются либо греческими буквами , либо прописными буквами латинского алфавита . В своих конспектах старайтесь придерживаться одного, выбранного обозначения. Учебники: • Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. • Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. • Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. Ответьте на следующие вопросы: 1. Дайте определение случайной величины (СВ) как функции. 2. Приведите пример ДСВ распределенной по биномиальному закону, составьте ряд и найдите функцию распределения для своего примера. 3. Приведите пример ДСВ распределенной по закону Пуассона, составьте ряд и найдите функцию распределения для своего примера. 4. Приведите пример ДСВ распределенной по геометрическому закону распределения, составьте ряд и найдите функцию распределения для своего примера. 5. Приведите пример ДСВ распределенной по геометрическому закону распределения сдвинутому на единицу, составьте ряд и найдите функцию распределения для своего примера. 6. Приведите пример ДСВ распределенной по гипергеометрическому закону распределения, составьте ряд и найдите функцию распределения для своего примера. 7. Приведите пример ДСВ распределенной по отрицательному биномиальному закону распределения, составьте ряд и найдите функцию распределения для своего примера. 8. Какой закон распределения ДСВ используется при изучении событий вероятность которых стремится к 0 и почему? 9. Какая функция называется интегральной, а какая дифференциальной функцией распределения и почему? 10. Определите, может ли данная функция являться функцией распределения некоторой НСВ? Ответьте на следующие вопросы: 11. Определите, может ли данная функция являться функцией плотности распределения некоторой НСВ? 12. Какими свойствами необходимо обладать функции F(x), чтобы являться функцией распределения непрерывной случайной величины? 13. Какими свойствами необходимо обладать функции f(x), чтобы являться функцией плотности распределения непрерывной случайной величины? 14. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию с интервалом движения 10 минут. Каким законом распределения можно описать время ожидания очередного автобуса пассажиром пришедшим на остановку? Записать функцию распределения и функцию плотности вероятности данного закона. 15. Плотность задана функцией Как называется это распределение? Записать его функцию распределения. Построить графики интегральной и дифференциальной функций распределения. 16. Функция распределения имеет вид Как называется это распределение? Записать его функцию распределения. Построить графики интегральной и дифференциальной функций распределения. 17. Какими особенностями обладает график функции распределения непрерывной случайной величины? 18. Какими особенностями обладает график функции плотности распределения непрерывной случайной величины? Как найти на графике значение вероятности попадания в интервал (a, b)? Решите следующие задачи: 19. Из 10 гвоздей в коробке 6 ржавых. Составить закон распределения случайной величины, выражающей число ржавых гвоздей среди трех одновременно взятых из коробки. Определить вид распределения. Записать функцию распределения и построить ее график. 20. Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину при броске равна 0,4. Составить закон распределения случайной величины, выражающей количество бросков данного баскетболиста, если он кидает мячи до первого попадания и может сделать не более 5 бросков. Определить вид распределения. Записать функцию распределения и построить ее график. 21. Игральная кость бросается 5 раз. Составить закон распределения случайного числа выпадения единицы. Определить вид распределения. Записать функцию распределения и построить ее график. 22. Прибытие посетителей в зоопарк подчиняется закону Пуассона. Чему равна вероятность того, что в течение минуты в зоопарк войдет не более 2 посетителей, если в среднем туда каждые 3 минуты входит 1 посетитель? 23. Случайная величина задана дифференциальной функцией Найти значение константы, интегральную функцию, построить их графики. Найти вероятность попадания величины в интервал (0,5 ; 1). 24. Случайная величина задана функцией распределения Найти значение константы, интегральную функцию, построить их графики. Найти вероятность попадания величины в интервал (1 ; 2). 25 Найти вероятность попадания в интервал (1, 4) для СВ с функцией плотности распределения а) из вопроса 15; б) из вопроса 16.