Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Основные понятия Дифференциальным называется уравнение, связывающее независимую переменную (переменные), неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы. Если искомая (неизвестная) функция является функция одной переменной y = y ( x ) , то уравнение называется обыкновенным, если нескольких переменных то уравнением в частных производных. Рассмотрим обыкновенные дифференциальные уравнения. В общем виде обыкновенные дифференциальные уравнения записываются ( ( ) 4 n , d ( ) y, dx n = 0 или F x, y, y, y, y, y ( ) , F x, dy, dx, d 2 y, dx 2 , d 3 y, dx 3 , , y( n) ) = 0, где y = y ( x ) — неизвестная, n раз непрерывно дифференцируемая на ( a ; b ) функция. ( Дифференциальное уравнение вида y( n) = f x, y, y, y, ,y ( n−1) ) называется разрешенным относительно старшей производной. Порядок дифференциального уравнения определяется порядком входящей в него старшей производной. Пример: Дифференциальные уравнения первого порядка y = cos 2x ; 2 y − y = 0 ; ( xy + x ) y = 1 ; x3 y − y 3 = 0 ; dy = x dx ; 2dy dx − =0 y x Дифференциальные уравнения второго порядка y − 2 y + y = 0 ; y + 5 y + 6 y = x 2 ; y  = 1 ; x y = sin x − x3 ; y + y = cos x ; Дифференциальное уравнение третьего порядка. y = x ; y = sin x − x 2 ; y − 7 y + 6 y = x Дифференциальные уравнения решаются интегрированием. 1 2 yy = y 2 + 1 Решением (или интегралом) дифференциального уравнения F ( x, y, y, y, , y( n) ) = 0 называется функция y = y ( x ) , n раз дифференцируемая на ( a ; b ) , которая при подстановке её в это уравнение обращает его в тождество относительно переменной x : F ( x, y ( x ) , y ( x ) , y ( x ) , , y ( n) ( x ) )  0 для всех x из ( a ; b ) . Дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений. Если искомая функция выражена в явном виде, мы получим общее решение. Если искомая функция выражена в неявном виде, то говорят, что решение получено в виде общего интеграла. Количество констант, входящих в общее решение, определяется порядком дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения. Геометрически общее решение (и общий интеграл) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости, зависящих от одного параметра С. Решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну константу C , решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две константы ( C1; C2 ) , решение дифференциального уравнения третьего порядка содержит три константы ( C1; C2 ; C3 ) и т.д. Если заданы дополнительные (начальные) условия y0 = y ( x0 ) ( y x = x0 = y0 ) (поставлена задача Коши), получим единственное решение, называемое частным решением или частным интегралом. Правильность решения дифференциального уравнения можно проверить, подставив найденную функцию в исходное уравнение. 2 Простейшие типы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Уравнения с разделёнными переменными Уравнениями с разделенными переменными называют ДУ вида g ( y ) dy = f ( x ) dx . Функции, расположенные в левой и в правой части равенства, могут содержать только ту переменную, которая, находящихся под знаком дифференциала. Дифференциальные уравнения с разделёнными переменными решаются интегрированием обеих частей уравнения.  g ( y ) dy =  f ( x ) dx ; G ( y) = F ( x) + C Пример 1: Решить дифференциальное уравнение с разделёнными переменными dy = cos xdx  с начальными условиями y   = 1 . 6   Проинтегрируем обе части уравнения  dy =  cos xdx Константу записываем в той части, в которой находится аргумент y = sin x + C (1) Получили общее решение уравнения. Решим задачу Коши. Подставим начальные условия в полученное решение y ( x0 ) = y0   y  =1 6 y = sin x + C 1 = sin  6 +C И вычислим значение константы 1 = sin  6 +C 1 +C 2 1 1 С = 1− = 2 2 1= Подставим полученное значение в общее решение (1) и получим частное решение уравнения. y = sin x + 1 - частное решение уравнения. 2 3 Пример 2: Решить дифференциальное уравнение с разделёнными переменными dy dx с начальными условиями y ( 2 ) = 8 . = y x Проинтегрируем обе части уравнения  dy dx = y x Константу записываем в той части, в которой находится аргумент ln y = ln x + ln C Получили решение в виде общего интеграла. Для того, чтобы получить общее решение уравнения, сделаем преобразования. (Так как в левой и в правой части получили натуральные логарифмы, то и константу запишем, как натуральный логарифм ln C .) Вспомним свойства логарифмов: ln a + ln b = ln ( a  b ) a ln a − ln b = ln   b c  ln a = ln ( a c ln y = ln x + ln C ; ln y = ln ( C  x ) ) Если равны логарифмы, то равны и подлогарифмические выражения ln a = ln b  a = b ln y = ln ( x  C ) y =C x Т. к. C - любое число, то мы можем убрать знак модуля. y = C  x - общее решение дифференциального уравнения (2) Решим задачу Коши. Подставим начальные условия в полученное решение y ( x0 ) = y0 y ( 2) = 8 y=Cx 8=C2 И вычислим значение константы 8 = 2C С=4 Подставим полученное значение в общее решение (2) и получим частное решение уравнения. y = 4 x - частное решение уравнения. 4 Общее ДЗ. (Зайцев И. Л. «Элементы высшей математики) ДУ с разделенными переменными. Найти частные решения уравнений: 1. ds = (4t − 3)dt; s(0) = 0 2. dx = (2t 2 − 5)dt; x(− 4) = 1 3. xdx = dy; y(1) = 0 4. xdx = ydy; y(2) = 1 5. x 2 dx + ydy = 0; y (0) = 1 6. (t − 1)dt + sds = 0; s(2) = 0 7. 2dy dx − = 0; y (1) = 2 y x Ответы: 2. x = 1. s = 2t 2 − 3t ; y= 2 3 1 t − 5t + ; 3 3 1 3 − 2 x 3 ; 6. s 2 − 2t + t 2 = 0 ; 3 3. y = ( ) 1 2 x −1 ; 2 4. y = x 2 − 3 ; 5. 7. y = 2 x ; Уравнения с разделяющимися переменными Уравнениями с разделяющимися переменными называют ДУ вида f1 ( x )  g1 ( y ) dy = f 2 ( x )  g2 ( y ) dx (3) или y = f ( x )  g ( y ) Вначале рассмотрим уравнение вида (4) f1 ( x )  g1 ( y ) dy = f 2 ( x )  g2 ( y ) dx . (3): В левой и в правой части равенства расположены ПРОИЗВЕДЕНИЯ функций, каждая из которых могут содержать ТОЛЬКО ОДНУ переменную. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными сводятся к уравнениям с разделёнными переменными, которые решаются интегрированием обеих частей уравнения. Для того, чтобы получить уравнение с разделёнными переменными, нужно «избавиться от того, что мешает», т.е. от функции, содержащей «другую переменную». f1 ( x )  g1 ( y ) dy = f 2 ( x )  g 2 ( y ) dx Разделим левую и правую части «на то, что мешает», f1 ( x )  g1 ( y ) dy = f 2 ( x )  g 2 ( y ) dx f1 ( x )  g1 ( y ) dy f1 ( x ) = f 2 ( x )  g 2 ( y ) dx f1 ( x ) : f1 ( x ) и сократим то, что возможно g1 ( y ) dy = 5 f 2 ( x )  g 2 ( y ) dx f1 ( x ) f 2 ( x )  g 2 ( y ) dx g1 ( y ) dy = f1 ( x ) Теперь «нам мешает» функция g 2 ( y ) . Разделим на неё левую и правую части уравнения. f 2 ( x )  g 2 ( y ) dx g1 ( y ) dy = g1 ( y ) dy g2 ( y ) = f1 ( x ) f 2 ( x )  g 2 ( y ) dx g 2 ( y )  f1 ( x ) : g2 ( y ) и сократим то, что возможно g1 ( y ) dy g2 ( y ) = f 2 ( x )  g 2 ( y ) dx g 2 ( y )  f1 ( x ) g1 ( y ) f ( x) dy = 2 dx Теперь в левой и в правой частях уравнения находятся только g2 ( y ) f1 ( x ) «нужные» переменные. Т. е. мы получили уравнение с разделёнными переменными, которые мы уже научились решать, интегрируя левую и правую части уравнения. g1 ( y ) f2 ( x ) d y =  g2 ( y )  f1 ( x ) dx ; G ( y) = F ( x) + C Пример 3: Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными x dy = y dx с начальными условиями y (15) = 3 . Для того, чтобы получить уравнение с разделёнными переменными, надо «избавиться от того, что мешает». x dy = y dx Разделим левую и правую части уравнения «на то, что мешает». x dy = y dx : x y dx x dy и сократим то, что возможно = x x x dy = y dx x dy = y dx dy = y dx x x x Теперь «нам мешает» только y : y 6 y dx y dx dy dy и сократим то, что возможно ; = = y y y  x y  x dy dx = y x Теперь и в левой, и в правой части уравнения стоят только «нужные переменные». Мы получили дифференциальное уравнение с разделёнными переменными. Для того, чтобы его решить, интегрируем левую и правую части уравнения.  dy dx = ; y x ln y = ln x + ln c ; ln y = ln ( С  x ) ; y =С x ; y =Сx (5) Получили общее решение уравнения. Подставим начальные условия и вычислим значение константы С. y (15 ) = 3 y =Сx 3 = С 15 С = 15 : 3 С =5 Найденное значение подставим в общее решение (5) и получим частное решение y=5x Пример 4: Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными cos y  sin x dy = sin y  cos x dx   с начальными условиями y   = . 2 6 Для того, чтобы получить уравнение с разделёнными переменными, надо «избавиться от того, что мешает». cos y  sin x dy = sin y  cos x dx Разделим левую и правую части уравнения «на то, что мешает». cos y  sin x dy = sin y  cos x dx : sin x cos y  sin x dy sin y  cos x dx и сократим то, что возможно = sin x sin x cos y  sin x dy sin x cos y  dy = = sin y  cos x dx sin x sin y  cos x dx Теперь «нам мешает» только sin y sin x 7 cos y  dy = sin y  cos x dx sin x : sin y cos y  dy sin y  cos x dx cos y  dy sin y  cos x dx и сократим то, что возможно = = sin y sin y sin y  sin x sin y  sin x cos y cos x dy = dx Теперь и в левой, и в правой части уравнения стоят только sin y sin x «нужные переменные». Мы получили дифференциальное уравнение с разделёнными переменными. Для того, чтобы его решить, интегрируем левую и правую части уравнения. cos y cos x  ctg y dy =  ctg x dx  sin y dy =  sin x dx (используем замену) (или таблицу интегралов) ln sin y = ln sin x + ln С ln sin y = ln ( С  sin x ) ; sin y = С sin x ; sin y = С  sin x (6) Получили решение в виде общего интеграла. Подставим начальные условия.    y  = 2 6 sin y = С  sin x sin  = С  sin  6 1 = C 1 2 1 C= 2 2 Подставим полученное значение константы в общее решение (6) sin y = 1  sin x . 2 Получили частное решение уравнения. Если уравнение задано в виде (4) y = f ( x )  g ( y ) Вспомним: dy = y  dx  y = dy dx Сделаем замену y = f ( x )  g ( y ) dy = f ( x)  g ( y) dx 8 dy ДОЛЖНЫ БЫТЬ В ЧИСЛИТЕЛЕ ! ! dx u Домножим левую и правую части уравнения на dx dy = f ( x)  g ( y) dx  dx dy  dx = f ( x )  g ( y )  dx dx dy = f ( x )  g ( y ) dx ; dy = f ( x )  g ( y ) dx ; Разделим на то, что мешает: dy = f ( x )  g ( y ) dx dy g ( y) = : g ( y) f ( x )  g ( y ) dx g ( y) Сократим dy g ( y) dy g ( y) = f ( x )  g ( y ) dx g ( y) = f ( x ) dx И получим дифференциальное уравнение с разделёнными переменными, которое решается интегрированием левой и правой части. dy  g ( y ) =  f ( x ) dx Пример 5: y = x  y dy = x y dx dy = x y dx  dx dy  dx = x  y  dx dx dy = x  y dx dy = x  y dx dy = x  y dx : y 9 dy x  y dx = y y dy = x  dx y  dy = x  dx y  x2 ln y = + C 2 Получили решение в виде общего интеграла Общее ДЗ. (Зайцев И. Л. «Элементы высшей математики) ДУ разделяющимися переменными. Найти частные решения уравнений: 8. 9. 2sdt = tds; s(1) = 2 2dy dx + = 0; y (0) = 2 2x y ( ) 11. x 3 dy = y 3 dx = 0; y 3 = 2 17. dy y + dx = dx x 16. xdy − y dx = 0; y(0) = 0 или ; y (0) = 1 18. 19. (1 + y )dx − (1 − x)dy = 0; y(0) = 1 21. 2dy = 1 + x 2 ; y (0) = 0 dx 1 14. x 2 dy − y 3 dx = 0; y (− 1) = 1 2 12. 13. dy + xdx = 2dx; y(1) = 1,5 или y + x = 2; y(1) = 1,5 15. (t + 1)dx = 2 xdt; x(1) = 4 10. x 2 dy − y 2 dx = 0; y(0,2) = 1 24. dy + y  tgx  dx = 0; y(0) = 1 dy − dx = 0; y (0) = 3 2y 20. 2 y = y; y(0) = 1 1   22. tgx  y  = 1 + y; y  = − 2 6 2 x − 1 dx = ; y (5) = 0 y + 1 dy x  y  = y ; y(0) = 0 23. (1 − x 2 ) dy + xy = 0; y (0) = 4 dx 25. cos x  sin y dy − cos y  sin x dx = 0; y( ) =  ДУ разделяющимися переменными. Найти общие решения уравнений: 26. ( xy + x ) dx =1 dy 27. (xy 2 + x )dx + (x 2 y − y )dy = 0 28. (y − x 2 y )dy + (x + xy 2 )dx = 0 29. (1 + x 2 )dy − (xy + x )dx = 0 30. ydx + (1 − y )xdy = 0 31. x 2 dy + ( y − 1)dx = 0 32. 2(xy + y )dx = xdy 33. (x 2 +1)dy = ydx 34. x 2 y  − 2 xy = 3 y 10 Ответы: 8. y = 4 − 2 x 2 ; 13. y = 2 x − 9. s = 2t 2 ; 1 2 x ; 2 14. y = 17. 2 y − 2 x + x = 2 ; 21. 3( y + 1) = 2 x − 1 ; 10. y = x ; 1 + 2x 28. y = C (1 − x ) − 1 ; 32. y = Cx 2 e 2 x ; 2 6 + x2 x 2 26. y = e 2 30. xy = Ce ; y 3 − 2 x 34. y = Cx e . 11 x 20. y = e 2 ; 24. y = cos x ; 27. (x 2 − 1)(y 2 + 1) = C ; −1 ; 29. y = C 1 + x − 1 ; 2 1+ x ; 1− x 23. y = 4 1 − x 2 ; +C 3  x + x3 ; 6 16. y = x ; 2 19. y = 12. y = ; 15. x = (1 + t ) ; 22. y = sin x − 1 ; 33. y = Ce arctgx ; x 6 11. y = 18. y = 3e 2 x ; 25. y = x и y = 2 − x ; 2 x ; 1 − 4x 1 x 31. y = Ce + 1 ;