Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Московский технический университет связи и информатики ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ И ВОЛНЫ Москва 2020 г. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ D   E, B  H , j   E.     D E E rot H  j  =j   = E   , t t t   B H  rot E   = ,  t t  div D   ,   div B  0   rot H  i E ,   rot E   i  H .  УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ С УЧЕТОМ СТОРОННИХ ТОКОВ  E ст rot H  j   +j ,  t  B H  rot E   = , t t   ст  div D     ,  div B  0   rot H m  i E m + J rot E m   i  H m . ст m  ,    ВЫВОД УРАВНЕНИЯ БАЛАНСА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ЭНЕРГИИ. dW P  Pп  Р  , dt ст D rot H  j   j ст . t D E ro t H  E j  E  E j ст . t div [E, H] = H rot E – E rot H, B E ro t H  H ro t E  d iv [E , H ]   H  d iv [E , H ]. t УРАВНЕНИЕ БАЛАНСА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ЭНЕРГИИ В ОБЪЕМЕ V. D B  E j  E j  d i v [E , H ]  E  H. t t ст  D B   E j dV   E j dV  [E, H ] dS    E  H  dV, t t  V V S V ст D B E H 1 E  H  E  H  t t t t 2 • П = [E, H]   E 2  H 2   1 2      ( E   H  t   t 2  t 2  ) .   d 1 2 2  E j dV   E j dV  П d S    ( E   H ) dV . dt  2 V V V S  ст МОЩНОСТЬ ТЕПЛОВЫХ ПОТЕРЬ EjdV = EjdV = (Ed)(jdS) = dUdI = dPП, где dI = jdS – ток, протекающий по рассматриваемому бесконечно малому цилиндру; dU = Ed – изменение потенциала на длине d, а dPП – мощность джоулевых потерь в объеме dV. МОЩНОСТЬ СТОРОННИХ ИСТОЧНИКОВ • Е jСТ < 0 Р ст   d 1 2 2   E j dV    ( E   H ) dV . dt  2 V V  ст 1 W   ( E 2   H 2) d V. 2 V E j  V ст dV. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО И МАГНИТНОГО ПОЛЕЙ. 1 1 2 W    E dV   E D dV, 2V 2V э 1 W  2 м 1 V  H d V  2 2  H B d V. V 2 2 1  E  H w эм  w э  w м  ( E 2   H 2 )=  . 2 2 2 w  э  E2 2 , w  м H 2 2 . ВЗАИМНАЯ ЭНЕРГИЯ ДВУХ ПОЛЕЙ 1 2 2 W   [ (E1  E2 )   (H1  H 2 ) ] dV  W 1 W 2 W 12 , 2V W12   ( E1E2   H1H 2 ) dV V ПЛОТНОСТЬ ПОТОКА ЭНЕРГИИ (ВЕКТОР ПОЙНТИНГА).   E j ст d V  V  П d S. S П   E , H  ; P  П dS .  S В А Вт  2 ММ М СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ЭНЕРГИИ W   w dV    w dS, V  S' Будем называть скоростью распространения энергии vэ предел отношения  к t при t0. СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ЭНЕРГИИ W  t  П dS , S  vэ  lim   П dS /  w dS.  t 0  t S S П vэ  . w ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВЕКТОРОВ E И H.  E ст H  rot H    j , rot E    , t t   ст   di v E  , di v H  0.   для   0. 2 2 2    2 2   2 2 2 • rot rot A = grad div A –  A, x y z (rot E )  H ст ст rot rot H    rot j     2  rot j , t t 2 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ВЕКТОРА H 2  H 2 g r ad d iv H  H     2  rot j ст , t   H ст  H   2   rot j t 2   E ст    j  2 ст  t  ( rot H )  E j   rot rot E         2   , t t t t ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ВЕКТОРА E 2 ст ст  E  j  2 grad div E  E     2   , с учето м d iv E  t t   E grad  j  E   2   t  t  2 ст ст УРАВНЕНИЕ ДАЛАМБЕРА 1 w  w  2 2  f (x, y, z, t). v t 2 2 v= 1  . ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ВЕКТОРОВ E И H (ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА) E  Em ( x , y, z )ei  t , E  i  E, t 2 E    2 E. t g rad   E     E  i  j  ,  2 ст 2  H    H   rot j 2 2 ст ст НЕДОСТАТКИ НЕОДНОРОДНЫХ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ВЕКТОРОВ E И H. • • Iст z ВЕКТОРНЫЙ И СКАЛЯРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛЫ • div B = 0. div rot a = 0, • А1 = А + grad , rot grad  = 0. B = rot A.  A H rot E     rot   , t  t  rot (E + A/t) = 0 1 H  rot A.  A E   grad u  t УСЛОВИЕ КАЛИБРОВКИ E ст rot H    j t   A  u ст  A    2    j + grad  d iv A     . t  t  2  u d iv A   0.  t u d iv A  . t  ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ВЕКТОРНОГО ПОТЕНЦИАЛА   A ст  A    2   j . t 2 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ КОМПЛЕКСНОГО ВЕКТОРНОГО ПОТЕНЦИАЛА  A    A    j 2 k 2    2 f    2 f 1  2   A k A    j . 2 2 ст  j ст ( ,  ,  ) exp (  ikR ) A  dV.  V R ст f 2  . V 