Дифференциальные уравнения высших порядков

1 Лекция 3.6 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Лекция 3.6 §1. Дифференциальные уравнения высших порядков Определение. Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной: Определение. Решением ДУ называется всякая функция у=φ(х), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Определение. Общим решением ДУ называется функция у=φ(х;С1;С2), где С1 и С2 - не зависящие от х произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям: 1. φ(х;С1;С2)является решением ДУ для каждого фиксированного значения С1 и С2. 2. Каковы бы ни были начальные условия (это другая запись начальных условий, мы с вами об этом говорили) существуют единственные значения постоянных функция является решением уравнения удовлетворяет начальным условиям Определение. Всякое решение такие, что и . уравнения , получающееся из общего решения у= φ(х;С1;С2) при конкретных значениях постоянных называется частным решением. 2 Лекция 3.6 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Определение. Решения ДУ , записанные в виде называются общим и частным интегралом соответственно. §2. Уравнения, допускающие понижение порядка Мы умеем аналитически решать всего пять типов дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли, в полных дифференциалах. Причем однородные, линейные и Бернулли тоже сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными. Даже решить уравнение второго порядка, не говоря уж об уравнении n-го порядка – проблема. Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже. Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка. I. Пусть дано уравнение 𝑦 ′′ = 𝑓(𝑥). Порядок можно понизить, введя новую функцию р(х), положив у'=р(х). Тогда у''=p'(x) и получаем ДУ первого порядка: p'=ƒ(х). Решив его, т. е. найдя функцию р=р(х), решим уравнение y'=р(х). Получим общее решение заданного уравнения 𝑦 ′′ = 𝑓(𝑥) . На практике поступают иначе: порядок понижается непосредственно путем последовательного интегрирования уравнения. Так как уравнение 𝑦 ′′ = 𝑓(𝑥) можно записать в виде dy'=ƒ(х)dx. Тогда, интегрируя уравнение y''=ƒ(х), получаем: y'= Далее, интегрируя полученное уравнение по х, находим: 𝑦 ′ = ∫(𝜑1 (𝑥) + С1 ) 𝑑𝑥, т.е. 𝑦 ′ = 𝜑2 (𝑥) + С1 𝑥 + С2 - общее решение данного уравнения. или 𝑦 ′ = 𝜑1 (𝑥) + С1 . 3 Лекция 3.6 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Если дано уравнение то, проинтегрировав его последовательно n раз, найдем общее решение уравнения: Пример. Решить уравнение Решение: Последовательно интегрируя четыре раза данное уравнение, получим II. Пусть дано уравнение 𝑦 ′′ = 𝑓(𝑥, 𝑦′) не содержащее явно искомой функции у. Обозначим у'=р, где р=р(х) - новая неизвестная функция. Тогда у''=p' и уравнение 𝑦 ′′ = 𝑓(𝑥, 𝑦 ′ ) принимает вид p'=ƒ(х;р). Пусть р=𝜑(𝑥; 𝐶1 ) - общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию р на y', получаем ДУ: y'= 𝜑(𝑥; 𝐶1). Для отыскания у достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение уравнения 𝑓(𝑥, 𝑦′) 𝑦 ′′ = будет иметь вид Частным случаем уравнения 𝑦 ′′ = 𝑓(𝑥, 𝑦′) является уравнение 𝑦 ′′ = 𝑓(𝑥, 𝑦′) не содержащее также и независимую переменную х. Оно интегрируется тем же способом: переменными. Если задано уравнение вида Получаем уравнение р'=ƒ(р) с разделяющимися 4 Лекция 3.6 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ которое также не содержит явно искомой функции, то его порядок можно понизить на k единиц, положив y(к)=р(х). Тогда у(к+1)=p'; ...; y(n)=p(n-k) и уравнение примет вид F(x;p;p';... ;p(n-κ))=0. Частным случаем уравнения является уравнение или С помощью замены y(n-1)=p(x), y(n)=p' это уравнение сводится к ДУ первого порядка. Пример. Решить уравнение Решение: Полагаем у'=р, где Тогда Это уравнение с разделяющимися переменными: Интегрируя, получим Возвращаясь к исходной переменной, получим y'=C1х, - общее решение уравнения. Пример. Решить дифференциальное уравнение 2𝑥𝑦 ′ 𝑦 ′′ = (𝑦′)2 + 1. Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y в явном виде. Поэтому для понижения порядка применяем подстановку: . Получим дифференциальное уравнение первого порядка: . Это уравнение с разделяющимися переменными. Решим его: 5 Лекция 3.6 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Интегрируем полученную функцию: Мы пришли к цели - общему решению данного дифференциального уравнения: . Пример. Решить дифференциальное уравнение третьего порядка . Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y и y' в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку: . Тогда и получаем линейное дифференциальное уравнение первого порядка: . Заменяя z произведением функций u и v, получим Тогда получим выражения с функцией v: 6 Лекция 3.6 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Выражения с функцией u: Дважды интегрируем и получаем: . Для интегрирования по частям обозначаем: . Интегрируем по частям и получаем: . Итак, общее решение данного дифференциального уравнения: . III. Рассмотрим уравнение 𝑦 ′′ = 𝑓(𝑦, 𝑦′) которое не содержит явно независимой переменной х. Для понижения порядка уравнения введем новую функцию р=р(y), зависящую от переменной у, полагая у'=р. Дифференцируем это равенство по х, учитывая, что р=р(у(х)): 7 Лекция 3.6 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ т. е. Теперь уравнение запишется в виде Пусть р=φ(y;С1) является общим решением этого ДУ первого порядка. Заменяя функцию р(y) на y', получаем y'=φ(y;С1) - ДУ с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим общий интеграл уравнения (3.10): Частным случаем уравнения 𝑦 ′′ = 𝑓(𝑦, 𝑦 ′ ) является ДУ 𝑦 ′′ = 𝑓(𝑦) Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки: у'=p(у), Так же поступаем при решении уравнения F(у; у '; у'';...; у(n))=0. Его порядок можно понизить на единицу, положив y'=р, где р=р(y). По правилу дифференцирования сложной функции Замечание. Уравнение находим 𝑦 ′′ = 𝑓(𝑦, 𝑦 ′ )также Затем . найдем можно решать, применяя подстановку у'=р, где р=р(y). Пример. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям: Решение: Уравнение имеет вид 𝑦 ′′ = 𝑓(𝑦, 𝑦′). Положив у'=р, получаем: Так как р≠0 (иначе у'=0, что противоречит начальному условию у'=2), то - получили линейное ДУ первого порядка. Проведем решение полученного линейного ДУ методом Бернулли. Полагаем р=u•v. Имеем: u'v+uv'-uv+у-1=0, или u'v+u(v'-v)=1-у. 8 Лекция 3.6 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Подберем функцию v так, чтобы v'-v=0. Тогда получаем: Интегрируя это равенство, находим, что u=-(1-у)•е-y+е-у+С1. Следовательно, р=uv=((-1+у)е-y+е-у+С1)•е+у, или р=С1ey+у. Заменяя р на у', получаем: у'=С1-ey+у. Подставляя y'=2 и у=2 в это равенство, находим с1: 2=С1e2+2, С1=0. Имеем у'=у. Отсюда у=С2ех. Находим с2 из начальных условий: 2=С2е°, С2=2. Таким образом, у=2ex - частное решение данного ДУ. Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения . Решение. Полагая 𝑧𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑦 и учитывая, что , получаем − 2𝑧 2 = 0. Понизив порядок исходного уравнения, получаем уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Приводя его к виду , откуда . Учитывая, что и интегрируя, получаем , находим , откуда получаем решение исходного дифференциального уравнения второго порядка: или . При сокращении на z было потеряно решение уравнения , т.е. данном случае оно содержится в общем решении, так как получается из него при (за исключением решения y = 0). Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения .В 9 Лекция 3.6 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ . Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку: . Получим дифференциальное уравнение первого порядка: . Это уравнение с разделяющимися переменными. Решим его: Используя вновь подстановку , получим ещё одно уравнение с разделяющимися переменными. Решим и его: Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения: .