Справочник от Автор24
Высшая математика

Конспект лекции
«Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка»

Справочник / Лекторий Справочник / Лекционные и методические материалы по высшей математике / Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка

Выбери формат для чтения

pdf

Конспект лекции по дисциплине «Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка», pdf

Файл загружается

Файл загружается

Благодарим за ожидание, осталось немного.

Конспект лекции по дисциплине «Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка». pdf

txt

Конспект лекции по дисциплине «Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка», текстовый формат

БСБО-01-18−БСБО-04-18; Дифференциальные уравнения. Лекция 4 Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка. Перейдем к изучению дифференциальных уравнений (ДУ) 2-го порядка, т.е. уравнений вида F(x,y,y,y)  0, (1) которые связывают независимую переменную x, и ее производные вплоть до второго порядка включительно. Если из написанной формулы (1) удается выразить y(x) явно , т.е. y  f(x,y,y), (2) то такое уравнение ДУ называется разрешенным относительно старшей производной. В ряде случаев удается понизить порядок ДУ с помощью соответствующей замены переменной и перейти к ДУ 1 порядка, методы интегрирования которых мы изучили раньше. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся классы ДУ , допускающие понижение порядка. 1.Уравнение не содержит явно y Рассмотрим ДУ 2-го порядка F(x,y,y)  0, (3) которое явно не содержит искомую функцию y. Выполним в этом уравнении (3) замену Получим для функции z  z(x) ДУ 1-го порядка:  y  z(x),   y  z (x). F(x,z,z)  0. (4) Проинтегрировав, найдем его общий интеграл (x,z,c1 )  0, где с1−произвольная постоянная. Тогда подставив в последнее уравнение (5) искомой функции y(x) ДУ 1-го порядка: (5) z  y , (x,y,c1 )  0. Интегрируя исходного ДУ (3): это уравнение (6), найдем общий получим для (6) интеграл 1 БСБО-01-18−БСБО-04-18; Ф(x,y,c1 , c2 )  0, где с1, с2−произвольные постоянные. Таким образом, изложенный алгоритм сводит задачу интегрирования ДУ 2-го порядка вида (3) к последовательному интегрированию 2-х ДУ 1-го порядка (4) и (6). xy  5 y  0. Пример 1. Решить уравнение Решение. Это уравнение не содержит явно y, F(x,y,y)  0, в котором x  R. Получим уравнение для функции z  z(x) : 1). Уравнение для т.е. это уравнение вида Выполним  y  z(x),  y  z (x). замену  z  z(x). xz  5z  0. Это ДУ с разделяющимися переменными. Имеем x dz  5z. dx Затем dz dx  5 . Для получение последнего z x равенства выполнено деление на x  z, что приводит к потере решения z  0 для уравнения xz  5z  0. xdz  5zdx, и , наконец , Интегрируя и учитывая потерянное решение получаем: ln z  5 ln x  ln c1 , где c1  0 z  c1  x5 , где c1−любое число. т.е. Выполнив обратную замену функции z(x)  y , и z  0, получим уравнение для y  y(x). 2). Уравнение для y  y(x) : y  c1  x5 . x6  c2  c~1  x 6  c2 , Откуда y  c1   x dx  c1  6 5 где c~1 , c2 − произвольные постоянные. ~ x c . Ответ: y  c 1 2 6 2 БСБО-01-18−БСБО-04-18; Замечание 1.Уравнение вида F(x,y)  0, (7) y , интегрируется по ранее изложенной схеме. Однако, если (7) разрешимо относительно y , т.е. имеет вид y  f(x), то его интегрирование на основании формулы y  ( y) выполняется не содержащее явно y и следующим образом: y   f ( x)dx  c1 , y   (  f(x)dx  c1 )dx   (  f(x)dx)dx  c1 x  c2 . Пример 2. Решить уравнение y  5x  sin x. Решение. Это уравнение относится к виду (7), не содержащему явно y и y . Учитывая, что y  ( y) , последовательно получаем: ( y)  5x  sin x, 5 y   (5 x  sin x)dx   x 2  cos x  c1 , 2 5 5 y   ( x 2  cos x  c1 )dx   x 3  sin x  c1 x  c2 , 2 6 где c1 , c2 − произвольные постоянные. 5 3 Ответ: y   x  sin x  c1 x  c2 . 6 2.Уравнение не содержит явно x Рассмотрим ДУ 2-го порядка F(y,y,y)  0, (8) которое явно не содержит искомую функцию x. Выполним в этом уравнении (8) замену Получим для функции y  p(y),    y  p  y  p  dp . y x  dy p  p(y) ДУ 1-го порядка: F(y,p, p)  0. (9) 3 БСБО-01-18−БСБО-04-18; Проинтегрировав, найдем его общий интеграл (y,p,c1 )  0, где с1−произвольная постоянная. Подставив в полученное равенство функции y(x) ДУ 1-го порядка: p  y , получим для искомой (y,y,c1 )  0. (10) Интегрируя последнее уравнение (10), найдем его общий Ф(x,y,c1 , c2 )  0 интеграл (11) Найденный общий интеграл (11) − решение исходного уравнения (8). Заметим, что вновь задача интегрирования ДУ 2-го порядка вида (8) свелась к последовательному интегрированию 2-x ДУ 1-го порядка. Это уравнения (9) и (10). Пример 3. Решение. Решить уравнение yy  ( y) 2  0. Это уравнение не содержит явно x,  y  p(y),  dp F(y,y,y)  0. Выполним замену   y  p .  dy функции p  p(y). 1). Уравнение для p  p(y) : yp т.е. это уравнение вида Получим уравнение для dp  p 2  0. dy Это ДУ с разделяющимися переменными. Имеем затем, dp dy  . p y ypdp   p 2 dy, и, ( В последнем уравнении в результате деления на рассматриваемого уравнения y  0 и p  0. ). yp 2 , мы потеряли решения Выполнив интегрирование , получим ln p   ln y  ln c1 , где c1  0. Следовательно, p  c1 , c1−любое число, и y  0 . (Случай c1  0 y возможен, так как p  0 − потерянное решение.) 2). Уравнение для функции y  y(x) : y  c1 . y 4 БСБО-01-18−БСБО-04-18; Разделив результат имеем: ydy  c1dx. Следовательно, переменные , y2  c1 x  с2 , 2 интегрирования произвольные постоянные. y0 , Учитывая потерянное решение интеграл исходного уравнения. Ответ: с1 , c2 − где y 2  c~1  x  c~2 , Замечание 2. ( не содержит получим общий y  0. Уравнение вида явно не F(y, y)  0, только x , но и y ) интегрируется по предложенной ранее. Однако, если (12) разрешимо (12) схеме, относительно y, т.е. имеет вид y  f(y), то для его решения можно использовать другой способ. Сначала нужно решаемое уравнение y  f(y) соответствующим 2 ydx  2dy. Получится 2  y  y  dx  2  f ( y)  dy, т.е. d ( y)2   2 f ( y)dy. 2 Интегрируем его и имеем ( y)  2 f ( y )dy  с1. образом умножить на уравнение уравнение Отсюда  dy  dx. 2 f ( y )dy  с1 Остается проинтегрировать обе части этого равенства и получить:  Пример 4. Решение. dy  x  c2 . 2 f ( y )dy  с1 Решить задачу Коши: y  2 y 3 , y(0)  1, y(0)  1. Умножим уравнение y  2y 3 на 2 ydx  2dy. Получим 2 4 Из начальных условий d ( y) 2   4 y 3 dy. Отсюда ( y)  y  c1. y(0)  1, y(0)  1 , заданных для x=0, найдем уравнение для определения 2 4 константы c1 : 1  1  c1. Из этого уравнения c1  0. Поэтому ( y)  y . 5 БСБО-01-18−БСБО-04-18; Извлекая квадратный корень, возьмем только знак “+”, т.к. по условию задачи Коши y(0)  0. Разделив С учетом переменные получим y  y 2 . dy  dx . y2 имеем В силу начальных условий y  0. получаем  этого Поэтому после интегрирования 1 1 .  x  с2 или y   x  с2 y y(0)  1, y(0)  1 , найдем уравнение для Из начальных условий определения константы c2 : 1  1 . Из 0  c2 этого уравнения c2  1. Поэтому решение исходной задачи Коши задается формулой: y Ответ: y 1 . 1 x 1 . 1 x 3.Известно одно решение уравнения F(x,y,y,y)  0, Если известно одно из решений y1  y1(x) уравнения F(x,y,y,y)  0, то его порядок может быть понижен на единицу. Для этого в исходном уравнении (1) вводятся следующие замены: y  y1 ( x)   u ( x)dx,   y  y1( x)   u ( x)dx  y1 ( x)  u ( x),   y  y( x)  u ( x)dx  2 y( x)  u ( x)  y ( x)  u( x).   1 1 1 Эти замены сводят исходную задачу к поиску функции 1-го порядка. Пример 5. u(x) из ДУ Решить уравнение y  y  0. 6 БСБО-01-18−БСБО-04-18; Решение. Подберем одно решение этого уравнения. Непосредственная проверка показывает, что y1 ( x)  cos x удовлетворяет этому уравнению. y  сosx   u ( x)dx,   Сделаем замену:  y   sin x   u ( x)dx  cos x  u ( x),  y   cos x  u ( x)dx  2 sin x  u ( x)  cos x  u( x).   Получим уравнение для нахождения функции u(x). Имеем  cos x   u( x)dx  2 sin x  u( x)  cos x  u( x)  сosx   u( x)dx  0 или cos x  u( x)  2 sin x  u( x). Разделяем Интегрируем du 2 sin x  dx. u cos x переменные и находим u c1 , cos 2 x где c1−любое число. Следовательно, y  c1 cos x   dx 2  c1 cos x(tgx  c2 )  c1 sin x  c~2 cos x, cos x где с1 , c~2 − произвольные постоянные. ~ cos x. Ответ: y  c1 sin x  c 2 Литература. 1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Для втузов, том II. Глава XIII, §18. 2. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под редакцией Б.П.Демидовича Глава IX, §10. 3. Лекция 4 Антиповой Т.Н. для групп БСБО-01-18− БСБО-04-18. 7

Рекомендованные лекции

Смотреть все
Высшая математика

Дифференциальные уравнения высших порядков

1 Лекция 3.6 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Лекция 3.6 §1. Дифференциальные уравнения высших порядков Определение. Дифференциальные уравне...

Высшая математика

Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные сведения из теории

Тема 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1. Основные сведения из теории Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется ...

Высшая математика

Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур

Лекция 13. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фиг...

Высшая математика

Основные понятия дифференциальных уравнений высших порядков. Уравнения, допускающие понижения порядка

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Лекция. Основные понятия дифференциальных уравнений высших порядков. Уравнения, допускающие понижения поряд...

Высшая математика

Математика

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Чайковский государственный институт физической культуры» (ФГБОУ ...

Автор лекции

Трегубова С.Н.

Авторы

Высшая математика

Дифференциальные уравнения, ряды

глава 11 Дифференциальные уравнения. глава 12 Ряды. Гл. 11. Дифференциальные уравнения. § 1.1 Дифференциальные уравнения. Определение 1. Дифференциаль...

Высшая математика

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных. Область определения функции . График функции. Рассмотрим точки координатной плоскости . Открытым шаром в с центром в то...

Высшая математика

Дифференциальные уравнения

1 1УТСб-01-21зп (3-й семестр) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия и определения Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением назыв...

Высшая математика

Численные методы

Часть 1. ВВЕДЕНИЕ Лекция 1 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить предмет курса; дать общую характерис­тику таких свойств численн...

Высшая математика

Центральная предельная теорема и теоремы непрерывности . Многомерное нормальное распределение.Дискретный и общий случай.

Êðàòêèé êîíñïåêò ëåêöèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå (II-é êóðñ, âåñåííèé ñåìåñòð, ìîäóëü III) ëåêòîð Ñ.Â. Øàïîøíèêîâ 1. Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåì...

Автор лекции

Шапошников С. В.

Авторы

Смотреть все