Дифференциальное исчисление функции одного переменного

Определение производной и дифференциала функции. Геометрический и механический смысл. Таблица производных. Правила дифференцирования. Производные и дифференциалы высших порядков. Исследование функций и построение графиков. Определение Предел отношение к Dy Dx lim Dx ®0 которому стремится т.е. при Dx ® 0 f ( x + Dx ) - f ( x ) Dx называется производной функции f(x). f ¢( x ) или y ¢ . Определение Если окажется что разность Dy - k × Dx убывает к нулю быстрее, чем Dx , то величина k × Dx называется дифференциалом функции y в точке x. dy (dy = k × Dx ) Геометрический смысл производной Геометрический смысл – это тангенс угла наклона касательной к графику этой функции в данной точке к положительному направлению оси. Угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению ее производной в точке касания k = f ¢(x ) y - y1 = f ¢( x )( x - x1 ) Геометрический смысл производной Определение Нормалью к графику функции называется прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной. y - y1 = - 1 ( x - x1 ) f ¢( x ) M ( x1 , y1 ) – точка касания. Угловой коэффициент нормали можно получить из углового коэффициента касательной: 1 k1 = - f ¢( x1 ) Геометрический смысл дифференциала — Геометрический смысл – дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке. Касательная к графику функции образует в данной точке с положительным направлением оси Ox острый или тупой угол в зависимости от знака производной в этой точке. 1) Если производная положительная , то угол острый и сама функция возрастает. 2) 3) Если производная отрицательная, то угол тупой и функция убывает. Если производная равна нулю, то касательная параллельна оси Ox. Геометрический дифференциала смысл Пример Найти производную функции y = x 2 . Dy ¢ y = lim Воспользуемся определением производной Dx ® 0 Dx где Δy = f (x + Δx) − f (x) . 2 2 Получим, что y ¢ = lim Dx ® 0 ( x + Dx ) -x Dx В числителе раскрываем скобки и сокращаем: 2 × x × Dx + Dx 2 y ¢ = lim = lim (2 × x × Dx ) = 2 x Dx ® 0 Dx ® 0 Dx Ответ: y'= 2x . Пример Найти производную функции y = xn . Dy Dx ® 0 Dx y ¢ = lim 2. По определению производной . В нашем случае: Δy = f (x + Δx) − f (x), f (x + Δx) = (x + Δx)n, f (x) = xn. По формуле бинома Ньютона: 3. Подставим это выражение в предел и посчитаем его: 1. Dy = f ( x + Dx ) - x n = n × x n × Dx + n lim 4. Dx ®0 n × x n -1 × Dx + 1 × n × (n - 1) × x n - 2 × Dx 2 + ... + Dx n 2 1 × n × (n - 1) × x n - 2 × Dx 2 + ... + Dx n 2 = n × x n -1 Dx Производная функции y = xn равна y'= n ⋅ xn−1. Пример Найти производную функции y = sin x . 1. 2. f(x + Δx) = sin(x + Δx), f (x) = sin x , то Δy = sin(x + Δx) − sin x . Раскрываем по формуле разности синусов: x + Dx - x x + Dx + x Dx Dx ö æ cos 2 sin cosç x + ÷ 2 2 2 2 ø è Подставим полученные результаты в формулу для определения производной : Dx Dx ö æ 2 sin cosç x + ÷ 2 2 ø è y ¢ = lim Dx Dx ®0 2 sin 3. 4. Используя первый замечательный предел, придем к выражению Ответ: (sin x)'= cos x . Dx ö æ lim cosç x + ÷ = cos x Dx ®0 2 ø è Таблица производных элементарных функций № п/п Функция f(x) 1 const 2 xn n × x n -1 3 ex ex 4 ax a x × ln (a ) log a x 1 x × ln a 1 x 5 6 ln ( x ) 7 sin ( x ) 8 cos( x ) Производная функции f‘ (x) cos( x ) - sin ( x ) Таблица производных элементарных функций № п/п 9 Функция f(x) 1 cos 2 x tg ( x ) 10 ctg ( x ) 11 arcsin( x ) 12 Производная функции f‘ (x) arccos( x ) 13 arctg ( x ) 14 arcctg ( x ) - 1 sin 2 x 1 - 1- x2 1 1- x2 1 x2 +1 - 1 x2 +1 Пример Найти производную y = x3. Смотрим в таблицу производных на формулу номер 2. Для нашего примера n=3 y'= 3x2. Пример Найти производную y = 1 x . Переписываем эту функцию по свойству степеней: y = x−1 По формуле 2 в таблице y'= −1⋅ x−2, т.е. y¢ = - 1 x2 Правила дифференцирования Дифференцируемые функции u = u (x ) и v = v( x ) 1. Производная от суммы равна сумме производных: (u + v)ʹ = uʹ + vʹ Пример Найти производную от суммы ln(x) + arccos(x) . Подставим в формулу суммы данные из примера (ln(x) + arccos(x))'= (ln(x))'+(arccos(x))'. 1. По таблице элементарных производных находим в левом столбце нужные функции. По формуле производной от суммы получаем ответ: 2. ¢ ¢ (ln(x )) + (arccos(x )) 1 æ 1 ç = + çx è 1- x2 ö ÷ ÷ ø Правила дифференцирования Дифференцируемые функции u = u (x ) и v = v( x ) 2. Число можно вынести за знак производной: (Cu)ʹ = Cuʹ Пример Найти производную 6× x . По формуле число выносим за скобки: ( ) ¢ 1 3 6× x = 6× = 2 x x Правила дифференцирования Дифференцируемые функции u = u (x ) и v = v( x ) 3. Производная от произведения считается по следующей формуле: (uv)ʹ = uʹv + uvʹ Пример Найти производную от произведения: x3 ⋅ tg(x). По формуле производной от произведения: (x3 ⋅ tg(x))'= (x3 )'tg(x) + (tg(x))' x3. По таблице ищем производные. Ответ: (x 3 × tg (x ))¢ = 3 × x 2tg (x ) + 12 x 3 cos x Правила дифференцирования Дифференцируемые функции u = u (x ) и v = v( x ) 4. Производная от дроби вычисляется следующим образом: (u/v)ʹ = (uʹv - uvʹ)/ 2 v Пример 2 × cos(x ) 3x Найти производную Применим формулу производной дроби : ¢ ¢ x x æ 2 × cos( x ) ö æç 2 × cos( x ) 3 - 3 × ln (3) × 2 × cos( x ) ö÷ ç ÷ = 2 x ÷ 3 è ø çè 3x ø ( ) Применим табличные производные. Ответ: æç 2 × cos(x ) ö÷¢ = 2 × sin (x )× 3 - 3 × ln(3)× 2 × cos(x ) = - 2(sin x + ln(3)cos x ) 3 è 3 ø (3 ) x x x x 2 x Правила дифференцирования 5.— Производная от сложной функции y(x)=f(g), где g=g(x). Для данного класса задач есть следующее правило нахождения производных: f(x) – так называемая внешняя функция, а g(x) – внутренняя. В написанной формуле индексы указывают переменные, по которым проводится дифференцирование. ( f (g(x))) ʹx = fʹg (g(x)) ⋅ gʹ (x) Пример Найти производную сложной функции cos (2x) . 2x – внутренняя функция, cos – внешняя. Применим правило нахождения производных сложной функции: (cos(2x))'= (2x)' ⋅ (cos(2x))'= 2 ⋅ (−sin(2x)) . Правила дифференцирования — Иногда зависимость между переменными x и y удобно задавать в параметрической форме двумя ( ) ( ) x = j t , y = Y t уравнениями: , где t – параметр. 6. Производная функции, заданной параметрически. Если j (t )и Y (t ) дифференцируемы и ψ ′(t) ≠ 0 , то производная y′x находится по следующей формуле: y¢ y¢ = t x x¢ t Пример Функция в параметрическом виде: x = t 4 , y = t Найти производную yʹx . Находим последовательно производные yt¢, xt¢ . Подставляем полученные значения в формулу: 1 1 -2 1 ¢ yt = t = ; xt¢ = 4t 3 2 2 t Ответ: y¢x = 1 8t 3 t Пример Вычислить значение производной функции y = 6x4 в точке M(3,2). : Ищем производную: f ʹ(x) = 24x3. Вместо переменной x подставляем значение x1=3 Ответ: [24 x 3 ]x =3 = 24 × 33 = 648 Пример Написать уравнения касательной и нормали к кривой y = x3 в точке M(1,2) . Ищем производную от x3 в точке x1 =1 : f ʹ(x) = (x3 )ʹ = 3x2. Подставляем 1, получаем: [3x 2 ]x =1 = 3 ×12 = 3 Раскроем скобки: Раскроем скобки: y − 2 = 3(x −1) y = 3x −1. 1 (x - 1) 3 1 7 y =- x+ 3 3 y-2= - Уравнение нормали Определение Функцию f′(x) называют производной первого порядка, или первой производной. Определение Пусть f ′(x) есть производная от функции f (x), тогда производная от функции f ′(x) называется второй производной от функции f(x) f ′′(x). Вторая производная называется также производной второго порядка. В отличие от нее функцию f ʹ(x) называют производной первого порядка, или первой производной. Определение Производная от второй производной называется третьей производной функции f (x) (или производной третьего порядка) f ʹʹʹ(x). Пример x4. Найти 1, 2, 3, 4, 5 производные от функции f (x) = Первая производная вычисляется как обычно от исходной функции f ʹ(x) = 4x3 . Вторая производная – это производная от первой f ʹʹ(x) =12x2 . Третья производная равна f ʹʹʹ(x) = 24x . Четвертая и пятая f IV (x) = 24, f V (x) = 0 . Вторым дифференциалом (дифференциалом второго порядка) называется дифференциал от дифференциала функции: d y = y¢¢dx 2 2 Определение Дифференциалом n-го порядка называется дифференциал дифференциала порядка n-1: d y = y¢¢dx n n Найти три первых дифференциала функции sin(3x) . Решение: 1. Находим дифференциал первого порядка по формуле: dy = y'dx dy = 3⋅ cos(3x) ⋅ dx. 2. Находим дифференциал второго порядка по формуле: d 2 y = y''dx2 d 2 y = −9⋅ sin(3x) ⋅ dx2. 3. Формула дифференциала третьего порядка: d 3 y = y(3)dx3. Ответ: d 3y = −27 ⋅ cos(3x) ⋅ dx3. Исследование функций и построение графиков — Для исследования функции находят следующие этапы исследования: Область определения функции; — Четность, нечетность, периодичность функции; — Нули функции; — Интервалы знакопостоянства, интервалы монотонности, экстремумы. — Этапы исследования функций Это множество, на котором функция существует. D( y) Этапы исследования функций 1. Функция y = x2 существует везде, следовательно, ее область определения – вся числовая прямая, то есть D( y) = (−∞;+∞) . 2. Функция y = 1 не существует в нуле, так как x на нуль делить нельзя. Следовательно, ее область определения D( y) = (−∞;0)U (0;+∞) Этапы исследования функций — В основном периодическими являются только тригонометрические функции, такие как sin x, cos x, tg x, ctg x . — Функция является четной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и выполняется равенство f (−x) = f (x). Примером четной функции может служить y = x2 ; y = cos x; y = x Этапы исследования функций • Функция является нечетной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и f (−x) = − f (x). Примерами нечетной функции могут служить: 1 y = ; y = x 3 ; y = sin x; y = tgx x • Если функция не является четной и не является нечетной или ее область определения не симметрична относительно начала координат, то эта функция общего вида Этапы исследования функций — Для того, чтобы найти точки пересечения графика с осями координат, надо сначала приравнять у к нулю и найти корни получившегося уравнения, а затем сделать то же самое с х. Пример Найти точки пересечения графика функции y = x + 2 с осями координат. Приравняем левую часть уравнения к нулю 0 = x + 2 , найдем решение уравнения x = −2 и точку A(−2;0) пересечения с осью Ох. Теперь приравняем х к нулю и найдем у. Он равен y = 2. Значит, вторая точка пересечения графика функции с осями координат имеет координаты B(0;2) . Определение Точки пересечения с осями координат называют нулями функции. Этапы исследования функций — Такое исследование легко провести с помощью производной. По первой производной функции можно определить промежутки возрастания и убывания функции, а также определить точки экстремума функции (максимум и минимум). Определение Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a; b), если для любых двух точек x1 и x2 таких, что a < x1 < x2 < b , выполняется неравенство : f ( x1 ) < f ( x2 ) Определение Функция f (x) называется убывающей в интервале (a; b), если для любых двух точек x1 и x2 таких, что a ≤ x1 < x2 ≤ b , выполняется неравенство: f ( x1 ) > f ( x2 ) Определение монотонности — Если для любой точки x0 ∈( a; b) выполняется неравенство f ′ (x0 ) > 0 , то функция f (x) возрастает в интервале (a; b). — Если для любой точки x0 ∈ [a; b] выполняется неравенство f ′ (x0 ) < 0 , то функция f (x) убывает в интервале (a; b). Определение Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности функции. Значение функции f(x0) называется максимумом функции f (x) , если для любой точки х, x0 ≠ x, из некоторой достаточно малой окрестности точки x0 выполняется неравенство f(x0)>f(x). Точка x0 называется в этом случае точкой максимума функции f (x) . Значение функции f(x0) называется минимумом функции f (x) , если для любой точки х, x0 ≠ x, из некоторой достаточно малой окрестности точки x0 выполняется неравенство f(x0)