Диэлектрическая проницаемость плазмы

Лекция N 10 Объемные плазмоны I 1.Диэлектрическая проницаемость плазмы. Плазма является наиболее распространенное состояние материи в природе и вообще во Вселенной. ▀ Плазмой называется ионизованный газ, в котором все или значительная часть атомов потеряли по одному или несколько принадлежащих им электронов и превратились в положительно заряженные ионы. Плазма представляет собой смесь трех компонент: свободные электроны, положительные ионы и нейтральные атомы. Плазма в целом представляет собой электронейтральную систему. При рассмотрении высокочастотных свойств плазмы может быть использована классическая модель Друдэ. В этой модели газ свободных электронов движется в поле положительно заряженных ионов, которые считаются неподвижными. При воздействии на плазму электромагнитного поля происходит смещение электронов из положения равновесия. Это смещение приводит к возникновению индуцированного дипольного момента. В рассматриваемой модели полагается, что смещения электрона происходят на расстояния много меньшие длины волны. Поэтому при рассмотрении уравнения движения для отдельного электрона можно пренебречь изменением поля с расстоянием. Оценки показывают, что магнитной частью силы Лоренца, в силу ее малости, также можно пренебречь. Задача является линейной, поэтому применяем комплексные поля. Падающее электромагнитное поле имеет вид: ⃗( ⃗, ) = ⃗ ⃗⃗ (1) В результате, с учетом этих предположений, второй закон Ньютона для отдельного электрона запишется в следующем виде: ⃗ В этом уравнении: вием поля, ⃗ + = ⃗ (2) - масса электрона, ⃗ - смещение электрона под дейст- – заряд электрона, параметр описывает потери энергии элек- трона за счет столкновения с атомами и ионами. Вынужденное решение уравнения (2) ищем в виде, подобном вынуждающей силе, т.е. ⃗= ⃗ (3) Подставляя вид решения (3) в уравнение (2) и выполняя дифференцирование по времени, получаем ⃗ (− ⃗ )= − Откуда получаем ⃗ =− ⃗ ( (4) ) + Подставляя найденную амплитуду (4) в формулу (3), получаем окончательно решение для радиуса вектора смещения электрона под действием поля: ⃗=− ⃗ ( (5) ) + Дипольный момент, возникающий при смещении электрона, будет равен ⃗= ⃗=− Обозначим ⃗ ( + ) (6) - плотность электронов, т.е. число электронов в единице объ- ема. Тогда поляризация, определяемая как дипольный момент единицы объема вещества, будет равна: ⃗ ⃗=− ⃗= ( (7) ) + Согласно общему определению в электродинамике, вектор электрической индукции электромагнитного поля определяется с помощью формулы: ⃗= Здесь ⃗+4 ⃗ = 4 ( + − ) ⃗ (8) отражает вклад в вектор индукции от других источников. С другой стороны, вектор индукции ⃗ связан с вектором поля ⃗ с помощью соотношения ⃗= ⃗ (9) Сравнивая формулы (8) и (9) делаем вывод. ⟹ Диэлектрическая проницаемость плазмы в модели Друдэ вычисляется по формуле: ( )= − ( + ) (10) Из формулы (10) следует, что lim ( ) = (11) → ⟹ Следовательно, для плазмы величина ской проницаемости при есть предел диэлектриче- → ∞. Введем еще одну важную для плазмы характеристику. Обозначим = Величина 4 имеет, очевидно, размерность частоты. ▼Эта величина называется плазменной частотой. (12) Тогда выражение для диэлектрической проницаемости (10) перепишется в следующем виде: ( )= − (13) + ⟹ Следовательно, формула (13) есть окончательное выражение для диэлектрической проницаемости плазмы. Отметим, что высокочастотные свойства металлов также описываются моделью Друдэ и, соответственно, формулой (13) для диэлектрической проницаемости. Мы видим, что диэлектрическая проницаемость плазмы – комплексная величина. Выделим в ней действительную и мнимую части. ( )= = − − = + + + − ( ( = + + − − )( + ) − + ) = + ⟹ Следовательно, диэлектрическая проницаемость плазмы приобретает вид: ( )= ( )+ ( )= ( )= ( ) − + + (14) (15) (16) 2.Объемные плазмоны Найдем теперь дисперсионное уравнение для нормальных электромагнитных волн в среде с диэлектрической проницаемостью (13). ▼Объемный плазмон – это электромагнитное поле в среде, диэлектрическая проницаемость которой задается формулой (13). Электромагнитное поле в среде описывается уравнениями Максвелла ⃗=− ⃗= ⃗ 1 (12) ⃗ 1 (13) Рассмотрим вначале случай немагнитных сред μ = 1, которые будут изучены в дальнейшем. Совершим далее стандартные преобразования для получения волнового уравнения: ⃗=− ⃗ 1 =− ⃗ 1 Расписывая ⃗= ⃗−∆⃗ для случая изотропной однородной среды ( ⃗ = 0), получим волновое уравнение: ∆⃗− ⃗ 1 =0 (14) Это уравнение для гармонических полей с учетом: ∆⃗=− ⃗, ⃗ =− сводится к виду: − ( ) ⃗=0 ⃗, Поскольку мы ищем нетривиальное решение волнового уравнения, то отсюда получаем дисперсионное уравнение: ( ) = (15) Подставляя сюда полученное ранее выражение для диэлектрической проницаемости среды, получим дисперсионное уравнение в виде = ∎Решения этого уравнения − = (16) + ( ) или = ( ) называются диспер- сионными характеристиками, а их графические изображения – дисперсионными кривыми для объемного плазмона. 3.Диэлектрическая проницаемость бесстолкновительной плазмы Рассмотрим идеальный случай – случай бесстолкновительной плазмы, когда полагают = 0. Диэлектрическая проницаемость плазмы в этом случае – вещественная величина ( )= − (17) На Рисунке 1 показан график зависимости диэлектрической проницаемости от относительной частоты = (18) eps 20 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 1,1 1,15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4 1,45 1,5 1,5 -20 -40 eps -60 -80 -100 -120 Рисунок 1. Диэлектрическая проницаемость идеальной плазмы как функция относительной частоты при =1.