Случай бесстолкновительной плазмы

Лекция N 11 Объемные плазмоны II. Анализ дисперсионных характеристик 1.Случай бесстолкновительной плазмы Для идеальной плазмы имеем следующее дисперсионное уравнение: = − (1) Проведем анализ дисперсионных зависимостей для этого случая. Введем обозначение = (2) Тогда из (1) получаем: = − = − 1 = − 1 Обозначим = (3) ▀ Тогда дисперсионное уравнение для идеальной плазмы приобретает вид = − (4) На Рисунке 1 изображен график зависимости диэлектрической проницаемости идеальной плазмы при = 5. Выбор такого значения диктуется тем, что далее будет рассмотрен случай неидеальной плазмы. В качестве такого объекта рассматривается образец серебра, для которого диэлектрическая проницаемость в бесконечности как раз равна этому значению. от u для этого случая На Рисунке 2 изображена зависимость eps 50 2,15 2,25 2,35 2,45 1,05 1,15 1,25 1,35 1,45 1,55 1,65 1,75 1,85 1,95 2,05 -50 0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 0,85 0,95 -100 -150 -200 eps -250 -300 -350 -400 -450 Рисунок 1. Зависимость диэлектрической проницаемости идеальной плазмы от относительной частоты при = 5. n^2 35 30 25 20 15 n^2 10 5 -5 2,45 2,35 2,25 2,15 2,05 1,95 1,85 1,75 1,65 1,55 1,45 1,35 1,25 1,15 1,05 0,95 0,85 0,75 0,65 0,55 0,45 0,35 0,25 0,15 0,05 от относительной частоты u. Рисунок 2. Зависимость n 6 5 4 3 n 2 1 2,45 2,35 2,25 2,15 2,05 1,95 1,85 1,75 1,65 1,55 1,45 1,35 1,25 1,15 1,05 0,95 0,85 0,75 0,65 0,55 0,45 0,35 0,25 0,15 0,05 Рисунок 3. Дисперсионная кривая для объемного плазмона в случае идеальной плазмы при = 5. Из рисунков 2 и 3 видно, что начиная с относительной частоты и выше выполняется условие < 0 и, следовательно, = 1/√ становится чисто мнимым и в этой области частот объемный плазмон не существует. 2.Учет процессов столкновения в модели диэлектрической проницаемости плазмы Рассмотрим теперь случай столкновительной плазмы. На прошлой Лекции мы вывели формулу для комплексной диэлектрической проницаемости плазмы для этого случая: ( )= ( )+ ( ) (5) ( )= − ( )= (6) + (7) + Для получения числовых характеристик плазмона в этом случае преобразуем полученные формулы, вводя, как и прежде, относительную частоту = (8) Имеем, ( )= − ( )= + = − = − + + = Γ ( +Γ ) = Γ 1 +Γ 1 +Γ (9) (10) Следовательно, для действительной и мнимой частей комплексной диэлектрической проницаемости как функций от приведенной частоты мы получаем следующие выражения: ( )= − ( )= Γ 1 +Γ (11) 1 +Γ (12) Здесь мы ввели относительную частоту столкновений Γ Γ= (13) Запишем теперь дисперсионное уравнение для случая столкновительной плазмы, которое мы получили на прошлой Лекции = − (14) + Приведем это соотношение к безразмерной частоте: = = С учетом определения (2) для 1 ( + Γ) − (16) , получаем окончательно: = − ( + ) (17) ▼Уравнение (17) есть дисперсионное уравнение для объемного плазмона в относительных частотах Дальнейшие вычисления проведем для параметров серебра. 3.Серебро – характеристики объемных плазмонов Для серебра параметры модели Друдэ имеют следующие значения: = 5, =9 , = 0.02 (18) На Рисунке 4 приведен график зависимости действительной и мнимой частей диэлектрической проницаемости серебра от относительной частоты. Обратим внимание, что правая ось ординат на этом графике отвечает значениям мнимой части части ( ). Левая ось относится к значениям действительной ( ). На Рисунке 5 приведен график зависимости действительной и мнимой частей квадрата величины для серебра от относительной частоты. Мнимая часть отображается на правой оси ординат. На Рисунке 6 приведен график зависимости действительной и мнимой частей величины для серебра от относительной частоты. 20 2,5 0,1 0,16 0,22 0,28 0,34 0,4 0,46 0,52 0,58 0,64 0,7 0,76 0,82 0,88 0,94 1 1,06 1,12 1,18 1,24 1,3 1,36 1,42 1,48 2 -20 1,5 ReEps -40 ImEps 1 -60 -80 -100 0,5 Рисунок 4. Зависимость действительной и мнимой частей диэлектрической проницаемости от относительной частоты для параметров серебра. 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 1,1 1,15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4 1,45 1,5 0,05 0,11 0,17 0,23 0,29 0,35 0,41 0,47 0,53 0,59 0,65 0,71 0,77 0,83 0,89 0,95 1,01 1,07 1,13 1,19 1,25 1,31 1,37 1,43 1,49 12 0,05 10 0,045 0,04 8 0,035 6 0,03 0,025 4 2 -2 Рисунок 5. Зависимость действительной и мнимой частей 1,5 1 0,5 ReN2 ImN2 0,02 0,015 0,01 0,005 от относитель- ной частоты для параметров серебра. 3,5 3 2,5 2 ReN ImN Рисунок 6. Зависимость действительной и мнимой частей от относитель- ной частоты для параметров серебра. ≤ 0.44 действительная часть Из этого рисунка видно, что для очень мала, хотя и не равна нулю, как в случае бесстолкновительной плазмы. Это означает, что плазмон в этом диапазоне сильно затухает. В Таблице 1 приведены значения действительной и мнимой частей значений для этого диапазона . Таблица 1. Значения действительной и мнимой частей , от u ReN2 ImN2 ReN ImN u ReN2 ImN2 ReN ImN 0,05 -0,986 0,044 0,022 0,993 0,25 -0,687 0,009 0,005 0,829 0,06 -0,981 0,037 0,019 0,990 0,26 -0,662 0,009 0,005 0,814 0,07 -0,974 0,032 0,016 0,987 0,27 -0,635 0,008 0,005 0,797 0,08 -0,967 0,028 0,014 0,984 0,28 -0,608 0,008 0,005 0,780 0,09 -0,959 0,025 0,013 0,979 0,29 -0,579 0,008 0,005 0,761 0,1 -0,950 0,022 0,011 0,974 0,3 -0,550 0,007 0,005 0,742 0,11 -0,939 0,020 0,010 0,969 0,31 -0,519 0,007 0,005 0,721 0,12 -0,928 0,019 0,010 0,963 0,32 -0,488 0,007 0,005 0,699 0,13 -0,915 0,017 0,009 0,957 0,33 -0,455 0,007 0,005 0,675 0,14 -0,902 0,016 0,008 0,950 0,34 -0,422 0,007 0,005 0,650 0,15 -0,887 0,015 0,008 0,942 0,35 -0,387 0,006 0,005 0,622 0,16 -0,872 0,014 0,007 0,934 0,36 -0,352 0,006 0,005 0,593 0,17 -0,855 0,013 0,007 0,925 0,37 -0,315 0,006 0,005 0,562 0,18 -0,838 0,012 0,007 0,915 0,38 -0,278 0,006 0,006 0,527 0,19 -0,819 0,012 0,006 0,905 0,39 -0,239 0,006 0,006 0,489 0,2 -0,800 0,011 0,006 0,894 0,4 -0,200 0,006 0,006 0,447 u ReN2 ImN2 ReN ImN u ReN2 ImN2 ReN ImN 0,21 -0,779 0,011 0,006 0,883 0,41 -0,159 0,005 0,007 0,399 0,22 -0,758 0,010 0,006 0,871 0,42 -0,118 0,005 0,008 0,344 0,23 -0,735 0,010 0,006 0,858 0,43 -0,075 0,005 0,009 0,275 0,24 -0,712 0,009 0,005 0,844 0,44 -0,032 0,005 0,014 0,179