Цифровые модели дискретных систем

Лекция 21 21.1. Цифровые модели дискретных систем. 1 вид модели. Функция filt создает tf-модель в формате цифрового фильтра в виде дискретной передаточной функции, числитель и знаменатель которой являются полиномами от z-1 .Синтаксис этой функции следующий: sys=filt(num,den,Ts) Коэффициенты полинома числителя num и знаменателя den должны быть упорядочены в порядке возрастания степеней z-1. Возвращаемая величина sys – передаточная функция. В качестве примера рассмотрим модель цифрового инерционного фильтра, дискретная передаточная функция которого где - постоянная времени и коэффициент усиления аналогового эквивалента цифрового фильтра. T – период квантования сигнала по времени. Пример 1. Цифровой фильтр первого порядка. Пусть Листинг программы %Исходные данные >> kn=1;T=0.7;Tn=1;d=exp(-T./Tn);k=kn.*(1-d); % Функция filt >> WZ=filt([0 k],[1 -d]) %Функция возвращает передаточную функцию Transfer function: 0.5034 z^-1 --------------- 1 - 0.4966 z^-1 Sampling time: unspecified >> step(WZ) >> impulse(WZ) >>bode(WZ, {0.01 15}) >>nyquist(WZ, {0.01 15}) Графики функции 2. Функция zpk создает модель в виде передаточной функции по ее заданным нулям и плюсам и возвращает передаточную функцию, а функция zpkdata возвращает нули, полюсы и коэффициенты передачи. Например, >> W=zpk([-0.5],[0.1+i 0.1-i],[2],-1) Zero/pole/gain: 2 (z+0.5) ------------------- (z^2 - 0.2z + 1.01) Sampling time: unspecified >> [z,p,k]=zpkdata(W) z = [-0.5000] p = [2x1 double] k = 2 3. dss – модель системы в форме Коши для дискретного объекта с заданным периодом квантования сигнала по времени. Современная теория дискретных систем РА, так же как и непрерывных, базируется на описании процессов в пространстве состояний. Познакомимся с методами математического описания в пространстве состояния систем РА с одним входом и одним выходом. Рассмотрим системы, дискретные передаточные функции которых имеют вид (21.1) где - входной и выходной сигналы. Передаточной функции (21.1) соответствует разностное уравнение . (21.2) В аргументах выражения (21.2) для сокращения записи множитель T опущен, также будем поступать и дальше. Введем обозначение (21.3) и составим следующую систему из разностных уравнений первого порядка: (21.4) Неизвестные коэффициенты в системе уравнений (21.4) определяются из условия эквивалентности системы разностных уравнений (21.4) исходному разностному уравнению (21.2) и вычисляются по формулам: (21.5) Уравнения (21.3) и (21.4) перепишем в матричной форме: (21.6) , (21.7) где - вектор переменных состояния, размером • матрица системы размером • матрица управления размером • матрица наблюдения размером • транспонированная матрица наблюдения; • l – порядок системы. Выражение (21.6) называют векторным разностным уравнением системы, а выражение (21.7) – уравнением выхода. Для пояснения физического смысла введенных переменных состояния на рис. 21.1б а изображена структурная схема, составленная по уравнениям (21.6) и (21.7), которая отличается от схемы непрерывной системы тем, что в схеме цифровой системы вместо векторного интегратора введен вектор запаздывания. На рис. 21.1,б показана структурная схема, в которой изображены все составляющие вектора состояния. Из этой схемы видно, что переменные состояния – это дискретные значения выходного сигнала в текущий момент времени и его значения в предыдущие моменты времени. Составляющие вектора переменных состояния можно рассматривать как оси координат многомерного пространства . Стечение времени вектор состояния изменяет свое значение и положение , его конец при этом описывает в пространстве состояний некоторую кривую, называемую траекторией движения системы. Очевидно, что эта траектория зависит от начального состояния системы и входного сигнала. Рис. 21.1. Структурная схема цифровой системы: a – векторной форме; б- в переменных состояния Матрица системы определяет устойчивость и другие показатели качества работы системы, матрица управления характеризует влияние на переменные состояния входного сигнала, а матрица наблюдения устанавливает связь выходного сигнала с вектором переменных состояния. Так же как и в непрерывных системах, выбор переменных состояния в цифровых системах является неоднозначной операцией, т. е. Векторное разностное уравнение зависит от выбранных переменных состояния. Однако все возможные векторные уравнения эквивалентны, так как описывают один и тот же динамический процесс связи выходного сигнала системы с входным. Проиллюстрируем это на конкретных примерах. Пример 2. Составить модель дискретного векторного уравнения системы первого порядка, дискретная передаточная функция которого В командной строке записываем: >> A=[0.4966]; B=[0.5034]; C=[1]; D=[0]; E=[1]; >> HZ=dss(A,B,C,D,E) Выполнение программы: a = x1 x1 0.4966 b = u1 x1 0.5034 c = x1 y1 1 d = u1 y1 0 e = x1 x1 1 Continuous-time model. Пример 3. Найти векторное разностное уравнение и составить модель в переменных состояния для системы, дискретная передаточная функция которой Р е ш е н и е. Данной передаточной функции соответствует разностное уравнение Уравнения системы в пространстве состояний получаются следующими: (21.8) а уравнение выхода имеет вид . (21.9) Таким образом Листинг . Модель системы в переменных состояния % Исходные данные >> A=[0 1;-0.125 0.75];B=[1;-0.125];C=[1 0;0 0]; >> D=[0;0]; E=[1 0;0 1]; %Функция, возвращающая модель уравнения системы >> WZ=dss(A,B,C,D,E) a = x1 x2 x1 0 1 x2 -0.125 0.75 b = u1 x1 1 x2 -0.125 c = x1 x2 y1 1 0 y2 0 0 d = u1 y1 0 y2 0 e = x1 x2 x1 1 0 x2 0 1 Continuous-time model. 4.Модель в форме frd. Данная модель описывает систему в частотной области. Синтаксис модели frd: sys=frd( response, frequency, T) Пример 4 . Составить модель в форме frd системы, дискретная передаточная функция которой . %модель системы >> hz=filt(1,[1 1 2],0.5); % Диапазон частот >> Fred=[0:2:15]; % Модель в форме frd >> HZ=frd(hz,Fred) Выполнение программы Frequency(rad/s) Response ---------------- -------- 0 0.2500 + 0.0000i 2 0.0934 + 0.3511i 4 -0.8142 - 0.6801i 6 0.4949 - 0.1071i 8 0.0370 + 0.8167i 10 -0.0908 - 0.4710i 12 0.2410 - 0.0894i 14 0.1831 + 0.2383i Sampling time: 0.5 Discrete-time frequency response. 21.2. Преобразование моделей Ранее были рассмотрены следующие модели преобразования для непрерывных систем (систем LTI): tf – преобразует LTI – модель в tf - форму; ss – преобразует LTI – модель в ss – форму; zpk – преобразует LTI – модель в zpk – форму; frd – преобразует LTI – модель в frd - форму ; Для дискретных систем: Функция filt создает модель в виде дискретной передаточной функции tf; zpk – создает модель в виде дискретной передаточной функции по заданным нулям и полюсам; dss – создает модель в форме Коши; frd – cсоздает модель частотной характеристики. Пакет CST создает также функцию c2d, которая преобразует непрерывную модель в дискретную и функцию d2c, преобразующую дискретную модель в непрерывную. Функция d2d изменяет интервал дискретизации в дискретной модели. Ниже приведены примеры использования моделей преобразования. Пример 5. Задана передаточная функция непрерывного инерционного звена. Необходимо найти дискретную передаточную функцию дискретного инерционного звена . В командной строке Матлаба записываем % Модель непрерывного инерционного звена >> W=tf(10,[0.1 1]) Transfer function: 10 --------- 0.1 s + 1 %Функция преобразования с периодом дискретизации 0.05 >> WZ=c2d(W,0.05) Transfer function: 3.935 ---------- z - 0.6065 Sampling time: 0.05 %Функция преобразования с периодом дискретизации 0.1 >> WZ=c2d(W,0.1) Transfer function: 6.321 ---------- z - 0.3679 Sampling time: 0.1 >> Пример 6. Задана передаточная функция аналогового фильтра: Требуется найти передаточную функцию дискретного фильтра и сравнить импульсные функции аналогового и дискретного фильтров, а также сравнить их частотные характеристики. %программа вычисления характеристик аналогового фильтра >> W=tf([0.5 1],[0.025 0.35 1]) Transfer function: 0.5 s + 1 ---------------------- 0.025 s^2 + 0.35 s + 1 %характеристики аналогового фильтра >> impulse(W) >> bode(W,{1 100}) %программа вычисления характеристик дискретного фильтра >> WZ=c2d(W,0.05) Transfer function: 0.7471 z - 0.6758 ---------------------- z^2 - 1.425 z + 0.4966 Sampling time: 0.05 >> impulse(WZ) bode(WZ,{1 100 }) Выполнение программы Характеристики аналогового фильтра Характеристики цифрового фильтра Пример 7.Требуется найти передаточную функцию дискретного фильтра и сравнить импульсные функции аналогового и дискретного фильтров, а также сравнить их частотные характеристики. >> W=tf([0.5 1],[0.025 0.35 1]) Transfer function: 0.5 s + 1 ---------------------- 0.025 s^2 + 0.35 s + 1 >> WZ=c2d(W,0.05) Transfer function: 0.7471 z - 0.6758 ---------------------- z^2 - 1.425 z + 0.4966 Sampling time: 0.05 >> impulse(WZ) >>bode(WZ,{1 100}) Выполнение программы Пример Нужно спроектировать цифровой фильтр, характеристики которого эквивалентны фильтру с передаточной функцией Составляем программу расчета дискретной передаточной функции цифрового фильтра Листинг Программа цифрового фильтра W1=tf([0.2 1],[0.1 1]); W2=tf(1,[0.05 1 ]); W=W1*W2; %Дискретная передаточная функция % цифрового фильтра WZ=c2d(W,0.02) % Вычисление полюсов цифрового % фильтра P=[1 -1.489 0.5488]; roots(P); % Переходные функции фильтров step(W,WZ); % Частотные характеристики фильтров bode(W,WZ),grid on; Выполнение программы Transfer function: 0.6265 z - 0.5667 ---------------------- z^2 - 1.489 z + 0.5488 Sampling time: 0.02 21.3.Арифметические операции с моделями Операндами при операциях с моделями являются LTI – модели. Возможны следующие операции: + и - - сложение и вычитание LTI – моделей (параллельное соединение), . – умножение LTI – моделей (последовательное соединение), \ - левое деление (sys1\sys2 ) равносильно inv((sys11)*sys2), / - правое деление (sye1/sys2) равносильно sys1*inv(sys2)), ^ - возведение LTI – модели в степень, ‘ – замена матрицы A(p) на матрицу [A(-p)]T, матрицы A(z) на матрицу [A(z-1)] – операция pertransposition, .’ – транспонирование модели (замена входов на выходы и наоборот), inv – обращение LTI – моделей. Примеры использования моделей Создадим одномерную модель >> W=tf([1 0],[1 2 10]) Transfer function: s -------------- s^2 + 2 s + 10 >> W' %Pertransposition Transfer function: -s -------------- s^2 - 2 s + 10 >> inv(W) %Invertion Transfer function: s^2 + 2 s + 10 -------------- s >> W^2 %power Transfer function: s^2 --------------------------------- s^4 + 4 s^3 + 24 s^2 + 40 s + 100